pengayaan matematika solusi soal-soal latihan 1 · temukan nilai y. solusi: 1 2 3 5 8 6 6 8 2 2 2...
TRANSCRIPT
1 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
PENGAYAAN MATEMATIKA
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
1. Diketahui Rx dan 168532
28622
22
yxxyyx
yxxyyx. Temukan nilai y.
Solusi:
168532
28622
22
yxxyyx
yxxyyx
68532286 2222 yxxyyxyxxyyx
0816448 2 yxxyy
0242 2 yxxyy
0122 2 xxyyy
0)1()1(2 2 yxy
0)22)(1( xyy
01y atau 022 xy
1y
1y 022 xy
02)1(2 x
0x
Jadi, nilai dari y adalah 1.
2. Pada simtem persamaan
567
765
432234
234432
y
x, temukan nilai xy.
Solusi:
567
765
432234
234432
y
x
765234432 yx
567432234 yx
1332666666 yx +
2 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
2 yx
xy 2
xy 2 765234432 yx
765)2(234432 xx
765234468432 xx
297198 x
2
3x
2
3x xy 2
2
1
2
32
4
3
2
1
2
3xy
Jadi, nilai dari xy adalah 4
3.
3. Jika 1673636 xx , hitunglah xx 216216 .
Solusi:
1673636 xx
1672662
xx
169662 xx
1366 xx
xx 216216 xxxxxx 66663663 313 3 1 13 2158
4. Jika merupakan salah satu akar persamaan 022 xx , carilah nilai 4 + 3.
Solusi:
x = 022 xx
2 + 2 = 0
2 = 2
4 =
2 4 + 4
4 + 3 = (
2 + 2) + 2
4 + 3 = (0) + 2
4 + 3 = 2
Jadi, nilai dari 4 + 3 adalah 2.
3 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
5. Persamaan 022 pxx akar-akarnya adalah dan . Jika 0p dan
nnnF )( , 3)2( F , temukan nilai dari )3(F .
Solusi:
022 pxx , dengan p dan 2
3)2( F
322
311
22
322
22
3)(
2)(2
2
3)2(
22)(2
2
p
1242 p
162 p
4p
Karena 0p , maka yang memenuhi adalah 4p .
33)3( F )(3)( 3 )4(23)4( 3 402464 .
Jadi, nilai dari )3(F adalah 40.
6. Carilah harga x dari persamaan 2
3347347
xx
.
Solusi:
2
3347347
xx
2
312271227
xx
2
33232
xx
(kedua ruas dikalikan x32 )
xxx
322
3323232
2
4 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
xxx
322
3)34(32
2
xx
322
3132
2
Misalnya ax
32 , maka persamaan itu menjadi:
aa2
312
0232 2 aa
0)2)(12( aa
2
1a (ditolak) atau 2a (diterima)
232 x
2log32log x
2log32log x
32log
2log
x
2log32x
Jadi, harga x yang memenuhi persamaan itu adalah 2log32 .
7. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan 023 cbxaxx dan
0,, cba , carilah nilai dari 333 cba .
Solusi:
ax 023 cbxaxx
033 cabaa
0 cab
abc
bx 023 cbxaxx
0223 cbabb
0223 abbabb
02 ababb
0)()( ababb
5 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
0))(1( abb
1b atau ba
1b atau 1 ba
1)1)(1(1
1
abc
b
a
333 cba 333 1)1()1( 1111
Jadi, nilai dari 333 cba adalah 1.
8. Salah satu akar real bulat dari persamaan 019211212 24 xxx adalah p.
Hitunglah nilai 210 pp .
Solusi:
Sehingga 2p
2p 210 pp 16420)2()2(10 2
Jadi, nilai dari 210 pp adalah 16.
9. Dalam ABC, AB = AC dan 15
7
cos
cos
B
A. Tentukan
B
A
sin
sin.
Solusi:
Dalam ABC, dengan AB = AC atau c = b, maka menurut Aturan Kosinus:
bc
acbA
2cos
222
bb
abb
2
222
2
22
2
2
b
ab
2
2
21
b
a dan
ac
bcaB
2cos
222
ab
bba
2
222
ab
a
2
2
b
a
2
15
7
cos
cos
B
A
0cos7cos15 BA
02
72
1152
2
b
a
b
a
07215 22 abab
2 1 0 12 112 192
2 4 16 192
1 2 8 96 0
6 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
071530 22 abab
030715 22 baba
0)53)(65( baba
5
6
b
a(diterima) atau
3
5
b
a(ditolak, karena a dan b keduanya positif)
Menurut Aturan Sinus:
B
b
A
a
sinsin
5
6
sin
sin
b
a
B
A
10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13 , 74 , dan 85 satuan. Berapakah
luas segitiga itu?
Solusi:
Kita ketahui bahwa 22 9285 , 22 5774 , dan 22 3213 , sehingga persegi
panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.
Luas ABC 752
132
2
192
2
159
2
353945
2
31 satuan
Jadi, luas segitiga itu adalah 2
31satuan.
11. Persamaan 01574 23 xxx memiliki akar-akar , , dan . Susunlah
persamaan kuadarat baru yang akar-akarnya )1( , )1( , dan )1( .
Solusi 1:
Persamaan kubik 023 dcxbxax atau 023 a
dx
a
cx
a
bx yang akar-
akarnya , , dan adalah
0))()(( xxx
85
74
13
A
B
C
3
2
2
9
7
5
7 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
0)(2 xxx
0)()( 223 xxxxx
0)()( 23 xxx , dengan
a
b ,
a
c , dan
a
d
01574 23 xxx
4
7 ,
4
5 , dan
4
1
Akar-akar persamaan yang diminta adalah )1( , )1( , dan )1( , sehingga
persamaannya adalah
4
53
4
73111
)1)(1()1)(1()1)(1(
111
3)(2
34
72
4
5
4
7
)1(1)()1)(1)(1( 1
14
5
4
7
4
1
4
7
04
7
4
7
4
5 23 xxx
07754 23 xxx
Solusi 2:
Karena akar-akar persamaan itu )1( , )1( , dan )1( adalah simetri atau
setangkup, maka persamaan yang diminta adalah
1 x 01574 23 xxx
01)1(5)1(7)1(4 23 xxx
0155)12(7)133(4 223 xxxxxx
01557147412124 223 xxxxxx
07754 23 xxx
8 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
12. Garis 60512 yx memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A
dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat
sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Carilah
luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.
Solusi:
Menurut Dalil Pythagoras:
13169125 22 AB
15)13125(2
1S
Luas OAB = 301252
1
215
30
S
Lr
Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga – luas lingaran
2)2(1252
1
430
13. Jika 21 y dan 01 yx , cari nilai 10262344 22 yxyyx .
Solusi:
01 yx 1 yx
1 yx 10262344 22 yxyyx
102)1(6234)1(4 22 yyyyy
10266234484 22 yyyyyy
1682144 22 yyyy
2212 yy
Jika 1y , maka 31212121122212 yy
Jika 2y , maka 30232221222212 yy
Jadi, nilai dari 10262344 22 yxyyx adalah 3.
14. Jika 900 cba dan cba logloglog 532 , carilah nilai dari cba .
Solusi:
kcba logloglog 532
X
Y
B(0, 12)
A(5, 0) O
60512 yx
9 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
aka k 2log2
bkb k 3log3
ckc k 5log5
900 cba
900532 kkk
900)532( k
23030 k
2k
422 2 ka
933 2 kb
2555 2 kc
Jadi, 482594 cba .
15. Bilangan )89( p , )25( p , )13( p merupakan tiga suku pertama deret
geometri konvergen. Carilah jumlah tak hingga deret itu.
Solusi:
Karena bilangan )89( p , )25( p , )13( p merupakan tiga suku pertama deret
geometri konvergen, maka berlakulah hubungan:
)13)(89()25( 2 ppp
82492742025 22 ppppp
01252 2 pp
0)4)(32( pp
2
3p (ditolak) atau 4p (diterima)
Karena:
2
3p )89( p , )25( p , )13( p =
2
11 ,
2
11 ,
2
11 (bukan deret geometri
konvergen)
4p )89( p , )25( p , )13( p = 44, 22, 11 (deret geometri konvergen)
44a dan 2
1
44
22r
10 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
88
2
11
44
1
r
aS
Jadi, jumlah tak hingga deret itu adalah 88.
16. Diberikan deret: (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), (22, 24, 26, 28, 30), …
Carilah jumlah bilangan pada kelompok ke-21.
Solusi:
Jumlah bilangan sampai kelompok ke-21 = 1 + 2 + 3 + … + 21
231)211(2
21 .
Suku terakhir pada kelompok ke-21 46246022)1231(2
Suku pertama pada kelompok ke-21adalah
2)121(462 a
422a
Jumlah bilangan pada kelompok ke-21 9282)462422(2
21
17. Jika aa
axf
x
x
)( , carilah
11
10...
11
3
11
2
11
1ffff
Solusi:
aa
a
aa
aff
11
10
11
10
11
1
11
1
11
10
11
11
11
10
11
1
11
10
11
1
aaaaaa
aaaaaa
aa
a
aa
aff
11
9
11
9
11
2
11
2
11
9
11
21
11
9
11
2
11
9
11
2
aaaaaa
aaaaaa
aa
a
aa
aff
11
8
11
8
11
3
11
3
11
8
11
31
11
8
11
3
11
8
11
3
aaaaaa
aaaaaa
aa
a
aa
aff
11
7
11
7
11
4
11
4
11
7
11
41
11
7
11
4
11
7
11
4
aaaaaa
aaaaaa
aa
a
aa
aff
11
6
11
6
11
5
11
5
11
6
11
51
11
6
11
5
11
6
11
5
aaaaaa
aaaaaa
11
10...
11
3
11
2
11
1ffff 511111
11 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
18. Jika A adalah jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, carilah
nilai dari 500
A.
Solusi:
Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah dcnbnannS 23)( , maka
3)1()1()1()1( 23 dcbaS 3 dcba ….(1)
10)2()2()2()2( 23 dcbaS 10248 dcba ….(2)
23)3()3()3()3( 23 dcbaS 233927 dcba ….(3)
44)4()4()4()4( 23 dcbaS 4441664 dcba ….(4)
(2) – (1): 737 cba ….(5)
(3) – (2): 13519 cba ….(6)
(4) – (3): 21737 cba ….(7)
(6) – (5): 6212 ba ….(8)
(7) – (6): 8218 ba ….(9)
(9) – (8): 26 a 3
1a
3
1a 6212 ba
623
112
b
1b
737
13
1
cba
b
a
7)1(33
17
c
3
5c
3 7 13 21 31 …
4 6 8 10
2 2 2
12 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
3
3
513
1
dcba
c
b
a
33
51
3
1 d
0d
nnnnS3
5
3
1)( 23 53
3
1 2 nnn
51003100)100(3
1)100( 2 SA 343500
Jadi, nilai dari 687500
343500
500
A
19. Pada suatu barisan geometri, nS adalah jumlah n suku pertama. Jika 59 S dan
2518 S , carilah nilai dari 27S .
Solusi:
1
1
r
raS
n
n
51
19
9
r
raS
1
5
1 9
rr
a
251
118
18
r
raS
2511
5 18
9
r
r
25111
5 99
9
rr
r
519 r
49 r
1
127
27
r
raS 1
1
5 27
9
r
r 91839
9331
1
5rrr
r
1311
5 9939
9
rrr
r 929 1515 rr 415145
2 105
13 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
20. Akar-akar persamaan kuadrat 0232 xx adalah p dan q. Carilah jumlah tak
hingga dari ...111111
3322
qpqpqp
Solusi:
q
q
p
pS
11
1
11
1
1
1
1
1
qp 1)(
2)(
qppq
qp
132
23
4
1
Jadi, jumlah tak terhingga dari deret itu adalah 4
1 .
21. Carilah jarak terdekat dari kurva xxy 2 ke garis 5 xy .
Solusi:
Persamaan garis singgung pada kurva xxy 2 yang sejajar garis 5 xy
memiliki gradien 1m , yaitu nxy
nxxx 2
022 nxx
0D
0)(14)2( 2 n
044 n
1n
Mencari titik singgung:
0122 xx
0)1( 2 x
1x
1x 0111 xy
Titik singgungnya adalah (1, 0)
222
4
)1(1
501
)1(1
5
222222
yx
ba
cbyaxd
22. Titik-titik )6,(aA ; )1,(bB ; dan )4,( cC terletak pada kurva xy 122 . Carilah luas
segitiga ABC.
Solusi:
5
5 O
5 xy
xxy 2
Y
X
g
d
14 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
)6,(aA xy 122
a1262
3a
Koordinat titik A adalah (3, 6).
)1,(bB xy 122
b1212
12
1b
Koordinat titik B adalah
1,
12
1.
)4,( cC xy 122
c12)4( 2
3
4c
Koordinat titik A adalah
4,
3
4
Luas segitiga ABC
63
43
4
43
4
112
1
112
163
2
1
1283
4
3
1
2
13
2
1
203
5
2
5
2
1
2
1201015
2
1
12
125
12
510 satuan luas.
23. Jika akar-akar dari persamaan kuadrat 02 baxx ditambah 3 maka diperoleh
persamaan kuadrat 02 abxx . Carilah nilai a dan b.
Solusi:
Misalnya akar-akar persamaan kuadrat 02 baxx adalah dan , maka
a dan b .
Persamaan kuadrat yang baru yang 3 dan 3 adalah
0)3)(3()33(2 xx
09)(3)6(2 xx
09)(3)6(2 abxax
093)6(2 abxax
15 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
Persamaan kuadrat 093)6(2 abxax identik dengan persamaan
kuadrat 02 abxx , maka diperoleh:
ba 6 …. (1)
aab 93 …. (2)
Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:
aaa 936
33 a
1a
1a ba 6
b 61
5b
Jadi, nilai dari a dan b berturut-turut adalah 1 dan 5.
24. Dinda, Annisa, dan Fitri mengumpulkan uang. Annisa 25 % lebih banyak dari
pada Dinda. Fitri 20 % kurang dari pada Dinda. Fitri p % kurang dari pada
Annisa. Carilah nilai p .
Solusi:
Misalnya uang Annisa = A rupiah, uang Dinda = D rupiah, dan uang Fitri = F
rupiah, maka:
DDDA 25,1%25 …. (1)
DDDF 8,0%20 …. (2)
AApAFp
100
1% …. (3)
Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:
ADp
100
1008,0 …. (4)
Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh:
DDp
25,18,0100
100
25,1
1008,0100
p
64100 p
36p
16 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
Jadi, nilai p adalah 36.
25. Jika 2222 x . Carilah nilai dari 82384 xx .
Solusi:
6282 384384 xxxx
x2 = 2 + 2 + 2 2 + 2 )22)(22( = 4 + 2 2
x6 = 32x = 64 + 3(16) 22 + 3(4)(8) +16 2 = 160 + 112 2 .
82384 xx = 224 2112224 = 224 22 22 = 448
Jadi, nilai dari 82384 xx adalah 448.
26. Hitunglah 1002 – 99
2 + 98
2 – 97
2 +….+ 2
2 1
2.
Solusi:
Perhatikan pola berikut.
22 – 1
2 = 3 = 1 + 2.
42 – 3
2 = 7 = 3 + 4.
62 – 5
2 = 11= 5 + 6.
Sehingga dapat disimpulkan bentuk deret
1002 – 99
2 + 98
2 – 97
2 +….+2
2 - 1
2 = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97 + 98 + 99 + 100
50502
)1100(100
Jadi, hasil dari 1002 – 99
2 + 98
2 – 97
2 +….+ 2
2 – 1
2 adalah 5050.
27. Temukan angka terakhir dari bilangan !1989...!3!2!1 n
Solusi:
Angka terakhir !n adalah 0 untuk 5n , sedangkan !4!3!2!1 3324621
memiliki angka terakhir 3.
Jadi, angka terakhir dari bilangan !1989...!3!2!1 n adalah 0 + 3 = 3.
28. Carilah nilai x dari 3113 23 2 xxxx .
Solusi:
3113 23 2 xxxx
3 23 23 222 111131 xxxxxxxxxx
271 2 xx
273132 3 22 xxx
17 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
27192 3 22 xxx
2792 x
362 x
18x
29. Diberikan bahwa 31
xx , berapakah nilai dari
7
7 1
xx ?
Solusi:
31
xx
91
2
xx
91
22
2 x
x
71
2
2 x
x
Diberikan n
n
nx
xa1
, maka 31
1 x
xa , 71
2
2
2 x
xa , dan
1
1
1
1 1111
n
n
n
n
n
n
xx
xx
xx
xx
113 nnn aaa
11 3 nnn aaa
Dengan demikian,
123 3 aaa 18373
234 3 aaa 477183
345 3 aaa 12318473
456 3 aaa 322471233
567 3 aaa 8431233223
Jadi, nilai dari 7
7 1
xx adalah 843.
30. Hasil kali dua akar (dari empat akar) persamaan 0198420018 234 xkxxx
adalah 32. Tentukan nilai k.
Solusi:
Misalnya akar-akar persamaan 0198420018 234 xkxxx adalah 1x , 2x , 3x ,
dan 4x , maka
3221 xx
19841
19844321
a
exxxx
18 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
6232
1984
21
4321
43
xx
xxxxxx
Sehingga untuk suatu bilangan p dan q:
198420018 234 xkxxx 6232 22 qxxpxx
198432326262 223234 qxxpxpqxpxxqxx
1984)3262()30()( 234 xqpxpqxqpx
18 qp qp 18
kpq 30
2003262 qp
qp 18 2003262 qp
20032)18(62 qq
20032621116 qq
131694 q
14q
14q qp 18 41418
86301443014
4
kkpq
q
p
Jadi, nilai k adalah 86.
TIPS:
1. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan kuadrat (pangkat dua)
02 cbxax , maka:
a
bxx 21 dan
a
cxx 21
2. Jika 1x , 2x , dan 3x adalah akar-akar persamaan kubik (pangkat tiga)
023 dcxbxax , maka:
a
bxxx 321 ,
a
cxxxxxx 313221 , dan
a
dxxx 321
3. Jika 1x , 2x , 3x , dan 4x adalah akar-akar persamaan pangkat empat
0234 edxcxbxax , maka:
a
bxxxx 4321 ,
a
cxxxxxxxxxxxx 434232413121 ,
a
dxxxxxxxxxxxx 432431421321
a
exxxx 4321