penerapan kalkulus diferensial pada matematika ekonomi
TRANSCRIPT
i
Penerapan Kalkulus Diferensial Pada Matematika
Ekonomi
Dosen Pengampu: Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd
Nailul Himmi Hasibuan 814 6172 050
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA PENDIDIKAN PASCASARJANA
UNIMED
2014
ii
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................ i
BAB I. PENDAHULUAN.......................................................................................... 1
1.1 Kalkulus Diferensial ............................................................................................. 1
1.2 Laju Perubahan Rata-rata ..................................................................................... 1
1.3 Laju Perubahan Sesaat ......................................................................................... 2
1.4 Kaidah-kaidah Diferensial .................................................................................... 2
1.4.1 Kaidah Fungsi Konstan .............................................................................. 3
1.4.2 Kaidah Fungsi Linier .................................................................................. 3
1.4.3 Kaidah Fungsi Pangkat............................................................................... 3
1.4.4 Kaidah Fungsi Penjumlahan dan Pengurangan........................................... 4
1.4.5 Kaidah Fungsi Perkalian ............................................................................. 4
1.4.6 Kaidah Fungsi Pembagian .......................................................................... 4
1.4.7 Kaidah Berantai .......................................................................................... 5
1.4.8 Kaidah Logaritma ....................................................................................... 5
1.4.9 Kaidah Eksponensial................................................................................... 6
BAB II. PEMBAHASAN........................................................................................... 7
2.1 Konsep Marginal................................................................................................... 7
2.1.1 Produksi Marginal....................................................................................... 7
2.1.2 Pendapatan Marginal................................................................................... 8
2.1.3 Biaya Marginal............................................................................................ 8
2.2 Konsep Elastisitas ................................................................................................. 9
2.2.1 Elastisitas Permintaan ................................................................................. 9
2.2.2 Elastisitas Penawaran ................................................................................. 10
2.2.3 Elastisitas Produksi..................................................................................... 10
2.3 Maksimasi dan Minimasasi................................................................................... 11
2.4 Pendapatan Konsumsi ........................................................................................... 13
2.5 Pendapatan Tabungan ........................................................................................... 13
BAB III. PENUTUP................................................................................................... 15
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 16
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.KALKULUS DIFRENSIAL
Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang
mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.
Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara
umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar
kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif.
Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatanbenda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan darimomentum suatu benda sama dengan gaya yang
diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan
menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untukperusahaan yang sedang bersaing. Turunan sering digunakan untuk mencari titik
ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam.
Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial)
1.2.LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
Laju perubahan rata-rata suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam daerah interval 𝑎 < 𝑥 < 𝑏,
dengan 𝑎 < 𝑏 dituliskan:
𝐿𝑃𝑅 [𝑎, 𝑏] =∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎 … … … (1)
Laju perubahan rata-rata ini dapat ditafsirkan secara geometris sebagai ukuran
kecuraman atau kemiringan garis lurus yang menggabungkan titik-titik [a,f(a)] dan
[b,f(b)]. Pada fungsi linier 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 , laju perubahan rata-rata (∆𝑦
∆𝑥) selalu sama
dengan 𝑚 (kemiringan) dalam setiap himpunan bagian daerah defenisinya. Sebaliknya,
laju perubahan rata-rata suatu fungsi kurvalinier 𝑓(𝑥) berubah-rubah menurut gerakan
berurutan sepanjang kurva.
Contoh 1. Laju perubahan rata-rata fungsi linier 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4 sebesar 5
dalam setiap himpunan bagian daerah defenisinya yaitu:
𝐿𝑃𝑅 [𝑎, 𝑏] =∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎=
(5𝑏 + 4) − (5𝑎 + 4)
𝑏 − 𝑎=
5(𝑏 − 𝑎)
(𝑏 − 𝑎)= 5
Oleh karena itu, untuk sembarang bilanga real 𝑎 > 0 diperoleh:
2
𝐿𝑃𝑅[𝑎,𝑎+1] =∆𝑦
∆𝑥=
{[𝑚(𝑎 + 1) + 4] − [𝑚(𝑎) + 4]}
(𝑎 + 1) − 𝑎= 𝑚(𝑎 + 1) − 𝑚(𝑎)
Besarnya kenaikan atau penurunan ordinat fungsi linier untuk setiap pertambahan
satu absis sama dengan LPR-nya. Adakalanya laju perubahan suatu factor terhadap factor
lain diketahui, seddangkan model fungsi yang sesungguhnya antara kedua fungsi tidak
diketahui. Pada kondisi ini, nilai-nilai fungsi tersebut dapat dihampiri dengan
menggunakan laju perubahan rata-ratanya.
1.3.LAJU PERUBAHAN SESAAT
Seperti yang telah dikemukakan diatas, laju perubahan rata-rata fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥)
kontinu pada suatu selang waktu tertentu yang secara geometri ditafsirkan sebagai
kemiringan yang menghubungkan sepasang titik tertentu pada kurva fungsi tersebut. Laju
perubahan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap laju perubahan rata-rata fungsi
𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan cara membuat ∆𝑥 menuju nol. Dengan demikian yang dimaksud dengan
laju perubahan sesaat pada 𝑐 = 𝑥 dituliskan sebagai:
𝐿𝑃𝑆[𝑐] = lim∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥= lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐 … … … (2)
Dengan memisalkan 𝑥 = 𝑐 + ∆𝑥 atau ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑐, maka ∆𝑥 → 0 mempunyai arti
yang sama dengan 𝑥 → 𝑐. oleh karena itu bentuk limit diatas dapat ditulis menjadi:
𝐿𝑃𝑆[𝑐] = lim∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)
∆𝑥 … … … (3)
Untuk sembarang fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan bilangan real 𝑐 kita dapat mengevaluasi
dan menghitung ada tidaknya nilai limit tanpa memandang bentuk tafsiran geometrisnya,
jika nilai limit ini ada pada titik di sekitar 𝑥 = 𝑐, maka secara matematis disebut turunan
fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dititik 𝑥 = 𝑐. Proses untuk mendapatkan turunan semacam ini disebut
pendiferensial fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Fungsi 𝑓(𝑥) yang mempunyai turunan dititik 𝑥 = 𝑐
dikatakan terdiferensial di 𝑐. terminologi formal untuk menuliskan turunan di 𝑥 = 𝑐 adalah
𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐… … … (4)
atau
𝑓′(𝑐) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)
∆𝑥 … … … (5)
Ada juga penulisan lambing turunan yang diperkenalkan ahli matematika
kebangsaan Jermal yaitu Gottfried Leibnitz (1646-1716):
𝑑𝑦
𝑑𝑥| 𝑥 = 𝑐 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥| 𝑥 = 𝑐
(Wibisono,1999)
1.4.KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIAL
Proses penurunan sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) disebut diferensiasi yaitu mencari
perubahan 𝑦 berkenaan dengan suatu perubahan 𝑥 apabila perubahan 𝑥 yaitu ∆𝑥 → 0.
Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensiasi tersebut disebut derivative. Ada kaidah-
kaidah diferensial dari suatu fungsi, dengan mengetahui turunan fungsi-fungsi tersebut
dapat pula ditenteukan dari beberapa fungsi lainnya.
3
1.4.1. Kaidah Fungsi Konstan
Suatu turunan fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 𝑘, dimana 𝑘 adalah suatu konstanta adalah
nol.
𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐= lim
𝑥→𝑐
(𝑘) − (𝑘)
𝑥 − 𝑐= 0 … … (6)
Jadi 𝑓 ′(𝑥) = 0 untuk semua bilangan nyata 𝑥. Oleh karena 𝑓(𝑥) konstan, maka
𝑓(𝑥) tidak berubah untuk setiap perubahan 𝑥. dengan demikian 𝑓 ′(𝑥) = 0 tanpa
memperhatikan berapapun perubahan variable 𝑥.
Contoh 2. Tentukan hasil turunan dari fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 12 disekitar 𝑥 = 3.
𝑓(𝑥) = 12 → 𝑓 ′(𝑥) = 0
1.4.2. Kaidah Fungsi Linier
Turunan fungsi linier 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 dimana 𝑏 adalah suatu konstanta adalah sama
dengan 𝑎 yaitu sama dengan koefisien dari 𝑥.
𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐= lim
𝑥→𝑐
(𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑎𝑐 + 𝑏)
𝑥 − 𝑐= lim
𝑥→𝑐
𝑎(𝑥 − 𝑐)
𝑥 − 𝑐= 𝑎 … … (7)
Contoh 3. Tentukan hasil turunan dari fungsi linier 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 3 disekitar 𝑥 = 5.
𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 3 → 𝑓 ′(𝑥) = 8
1.4.3. Kaidah fungsi pangkat
Turunan fungsi pangkat 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 adalah sama dengan eksponen 𝑛 dikalikan
dengan variable 𝑥 dipangkatkan 𝑛 − 1 dengan 𝑛 bilangan asli.
𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐= lim
𝑥→𝑐
𝑥𝑛 − 𝑐𝑛
𝑥 − 𝑐
= lim𝑥→𝑐
(𝑥 − 𝑐)(𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑐𝑛−3𝑥−2 + 𝑐𝑛−2𝑥 + 𝑐𝑛−1
𝑥 − 𝑐
= 𝑐𝑛−1 + 𝑐𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 ada sebanyak n suku maka:
𝑓 ′(𝑐) = 𝑛𝑐𝑛−1 … … … (8)
Jadi 𝑓 ′(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 untuk semua bilangan real 𝑥. secara umum lambang-lambang
turunan sampai ordo ke-n dituliskan:
𝑓 ′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑓 ′′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑2
𝑑𝑥 2𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎
𝑓 ′′′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑3
𝑑𝑥 3𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎
𝑓𝑛(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑛
𝑑𝑥 𝑛𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥[
𝑑𝑛−1
𝑑𝑥 𝑛−1𝑓(𝑥)] 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒 − 𝑛
Contoh 4. Tentukan hasil turunan dari fungsi pangkat 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥 pada 𝑥 = 2.
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥 → 𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥 3 − 6 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 2,𝑓 ′(2) = 26
𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥 3 − 6 → 𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥2 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 2, 𝑓 ′′(2) = 48
𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥 2 → 𝑓 ′′′(𝑥) = 24𝑥 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 2, 𝑓 ′′(2) = 48
(Martono, 1999)
4
1.4.4. Kaidah fungsi penjumlahan dan pengurangan
Turunan bentuk penjumlahan dan pengurangan 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) adalah sama
dengan turunan-turunan fungsi individu 𝑓 ′(𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ± 𝑣 ′(𝑥).
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
[𝑢(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑣(𝑥 + ∆𝑥)] ± [𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)]
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
𝑢(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑢(𝑥)
∆𝑥± lim
∆𝑥→0
𝑣(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑣(𝑥)
∆𝑥= 𝑢′(𝑥) ± 𝑣′(𝑥) … … (9)
Dengan demikian untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) ± 𝑤(𝑥) ± 𝑧(𝑥) fungsi
turunannya adalah:
𝑑
𝑑𝑥[𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) ± 𝑤(𝑥) ± 𝑧(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑢(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥𝑣(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥𝑤(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥𝑧(𝑥)
Contoh 5. Tentukan hasil turunan dari fungsi penjumlahan dan pengurangan
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 pada 𝑥 = 3.
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 4 → 𝑓 ′(𝑥) = 6𝑥 − 1; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 3, 𝑓 ′(3) = 17.
1.4.5. Kaidah perkalian
Turunan bentuk perkalian 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥) adalah sama dengan fungsi pertama
dikalikan turunan fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan dengan turunan fungsi
pertama. Jika ∆𝑥 merupakan pertambahan dalam 𝑥 yang menyebabkan pertambahan
masing-masing 𝑢, 𝑣 dan 𝑦 sebesar ∆𝑢,∆𝑣 dan ∆𝑦 selanjutnya:
𝑦 + ∆𝑦 = (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝑢∆𝑣 + 𝑣∆𝑢 + ∆𝑢∆𝑣 … … (10)
Karena 𝑦 = (𝑢𝑣), maka rumus dengan mengetur kembali dan membanginya
dengan ∆𝑥 diperoleh:
∆𝑦
∆𝑑𝑥= 𝑢
∆𝑣
∆𝑥+ 𝑣
∆𝑢
∆𝑥+ ∆𝑢
∆𝑣
∆𝑥… … . (11)
Pada ∆𝑥 → 0, maka: ∆𝑦
∆𝑥→
𝑑𝑦
𝑑𝑥 dan
∆𝑣
∆𝑥→
𝑑𝑣
𝑑𝑥 dan
∆𝑢
∆𝑥→
𝑑𝑢
𝑑𝑥 sehingga:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥= lim
∆𝑥→0[𝑢
∆𝑣
∆𝑥+ 𝑣
∆𝑢
∆𝑥+ ∆𝑢
∆𝑣
∆𝑥] = 𝑢 lim
∆𝑥→0
∆𝑣
∆𝑥+ 𝑣 lim
∆𝑥→0
∆𝑢
∆𝑥+ [ lim
∆𝑥→0∆𝑢][ lim
∆𝑥→0∆𝑣]
Karena ∆𝑢 = 0, maka fungsi turunan menjadi;
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥… … … (12)
Contoh 6. Diketahui fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2(3𝑥 + 2) tentukan nilai turunan pada
𝑥 = 1.
Misalkan 𝑢 = 2𝑥 2 →𝑑𝑢
𝑑𝑥= 4𝑥 dan 𝑣 = 3𝑥 + 2 →
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 3 dengan
mensubstitusikan rumus diatas, diperoleh:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑥 2(3) + 4𝑥(3𝑥 + 2) = 6𝑥 2 + (12𝑥 2 + 8𝑥) = 18𝑥 2 + 8𝑥
Pada 𝑥 = 1, maka nilai 𝑓 ′(1) = 18(1)2 + 8(1) = 26.
1.4.6. Kaidah pembagian
Turunan bentuk hasil bagi 𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥) adalah sama dengan penyebut kali turunan
pertama pembilang dikurangi pembilang kali turunan pertama penyebut, semuanya dibagi
kuadrat penyebutnya. Misalkan 𝑢 = 𝑓(𝑥).𝑣(𝑥), maka:
5
𝑢′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑣 ′(𝑥) + 𝑓 ′(𝑥).𝑣(𝑥)
𝑓 ′(𝑥). 𝑣(𝑥) = 𝑢′(𝑥) − 𝑓(𝑥).𝑣 ′(𝑥)
𝑓 ′(𝑥) =𝑢′(𝑥) − 𝑓(𝑥).𝑣 ′(𝑥)
𝑣(𝑥)
Karena 𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥), maka bentuk akhir dapat ditulis menjadi
𝑓 ′(𝑥) =𝑢′(𝑥) −
𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)
. 𝑣 ′(𝑥)
𝑣(𝑥)=
𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥).𝑣 ′(𝑥)
[𝑣(𝑥)]2… … (13)
Contoh 7. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥/(5𝑥 − 2) tentukan nilai turunan pada 𝑥 =
1.
Misalkan 𝑢 = 3𝑥 →𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3 dan 𝑣 = 5𝑥 − 2 →
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 5 dengan mensubstitusikan
rumus diatas, diperoleh:
𝑓 ′(𝑥) =𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥). 𝑣 ′(𝑥)
[𝑣(𝑥)]2=
3(5𝑥 − 4) − 3𝑥(5)
(5𝑥 − 4)2=
15𝑥 − 12 − 15𝑥
(5𝑥 − 4)2=
−12
(5𝑥 − 4)2
Untuk nilai 𝑥 = 1 → 𝑓 ′(𝑥) =−12
(5(1)−4)2 = −12
1.4.7. Kaidah berantai
Suatu fungsi turunan (𝑑𝑦
𝑑𝑥) fungsi dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑔) dimana 𝑔 = ℎ(𝑥) adalah
sama dengan turunan fungsi pertama berkaitan dengan 𝑔 dikalikan dengan turunan fungsi
kedua berkaitan dengan 𝑥. Misalkan 𝑦 = 𝑓𝑜𝑔 dimana 𝑓(𝑔) dan 𝑔(ℎ(𝑥) masing-masing
mempunyai turunan disetiap titik, maka (𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ) juga mempunyai turunan di setiap titik
dan berlaku:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑔.𝑑𝑔
𝑑𝑥… … (14)
Jiak 𝑦 = 𝑓(𝑧),𝑧 = 𝑔(𝑡) dan 𝑡 = ℎ(𝑥), fungsi 𝑓, 𝑔, ℎ mempunyai turunan disetiap titik,
maka (𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ) juga mempunyai turunan di setiap titik berlaku:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑧.𝑑𝑧
𝑑𝑡.𝑑𝑡
𝑑𝑥… … (15)
Contoh 8. Diketahui fungsi 𝑦 = (𝑥 2 + 5)2 tentukan nilai turunan pada 𝑥 = 1.
Misalkan 𝑢 = 𝑥 2 + 5 →𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑥; 𝑦 = 𝑢2 →
𝑑𝑦
𝑑𝑢= 2𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢.𝑑𝑢
𝑑𝑥= 2𝑢(2𝑥) = 4𝑢𝑥
Karena 𝑢 = 𝑥 2 + 5 → 4𝑥(𝑥 2 + 5) = 4𝑥 3 + 20𝑥
Untuk 𝑥 = 1 maka 𝑓 ′(𝑥) = 4(1)3 + 20(1) = 24
1.4.8. Kaidah logaritma
Suatu fungsi logaritma 𝑓(𝑥) = log 𝑔(𝑥) dapat dicari fungsi turunannya yaitu:
𝑓 ′(𝑥) =𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥).
1
ln 𝑎… … (16)
Contoh 9. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥 + 3)2 . tentukan 𝑓 ′(𝑥)
Misalkan 𝑔(𝑥) = (2𝑥 + 3)2 → 𝑔′(𝑥) = 4(2𝑥 + 3)
6
𝑓 ′(𝑥) =𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥).
1
ln 𝑎=
4(2𝑥 + 3)
(2𝑥 + 3)2 ln 𝑒
Untuk ln 𝑒 = 1 maka
𝑓 ′(𝑥) =4
2𝑥 + 3
1.4.9. Kaidah eksponensial
Dengan menggunakan aturan rantai dapat mencari fungsi yang berbentuk 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), dimana 𝑔(𝑥) > 0 untuk setiap himpunan definitf 𝑥. Kaidah eksponensial dapat
membuktikan rumus-rumus turunan yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).ℎ(𝑥) atau
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)/ℎ(𝑥).
1. Jika 𝑔 dan ℎ keduanya mempunyai turunan, 𝑔 > 0 dan 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥),
hitunglah 𝑓 ′(𝑥). Dari 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) diperoleh 𝑙𝑛|𝑓(𝑥)| = ℎ(𝑥). ln|𝑔(𝑥)|.
Jadi, 𝑓′ (𝑥)
𝑓(𝑥)= ℎ(𝑥).
𝑔′ (𝑥)
𝑔(𝑥)+ ℎ′(𝑥). ln|𝑔(𝑥)|.
𝑓 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [ℎ(𝑥).𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)+ ℎ′(𝑥). ln|𝑔(𝑥)|] … … (17)
Contoh 10. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 . tentukan 𝑓 ′(𝑥)
Misal 𝑔(𝑥) = 𝑎 → 𝑔′(𝑥) = 0; ℎ(𝑥) = 𝑥 → ℎ′(𝑥) = 1
𝑓 ′(𝑥) = 𝑎𝑥 [1.0
𝑎+ 1. ln|𝑎|] = 𝑎𝑥 [0 + ln|𝑎|]
Jadi
𝑓 ′(𝑥) = 𝑎𝑥 ln 𝑎
2. Rumus turunan berbentuk perkalian 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) ataupun rumus
pembagian 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)/ℎ(𝑥) dapat diambil turunan logaritma.
Bentuk perkalian: ln 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) + ln ℎ(𝑥)
Bentuk pembagian : ln 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) − ln ℎ(𝑥)
Dapat dituliskan
𝑓 ′(𝑥)
𝑓(𝑥)=
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)±
ℎ′(𝑥)
ℎ(𝑥) → 𝑓 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)±
ℎ′(𝑥)
ℎ(𝑥)] … (18)
Contoh 11. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)/𝑒𝑥 . tentukan 𝑓 ′(𝑥)
Misal 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2 → 𝑔′(𝑥) = 3; ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 → ℎ′(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑓 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)−
ℎ′(𝑥)
ℎ(𝑥)] =
3𝑥 − 2
𝑒𝑥[
3
3𝑥 − 2−
𝑒𝑥
𝑒𝑥]
=3𝑥 − 2
𝑒𝑥[
3
3𝑥 − 2− 1] =
3𝑥 − 2
𝑒𝑥[
3
3𝑥 − 2−
3𝑥 − 2
3𝑥 − 2]
= [3𝑥 − 2
𝑒𝑥] [
−3𝑥 + 5
3𝑥 − 2]
(Purcell,1987)
7
BAB II
PEMBAHASAN
PENERAPAN KALKULUS DEFERENSIAL
PADA MATEMATIKA EKONOMI
2.1.KONSEP MARGINAL
Istilah marginal digunakan pada perubahan sedikit demi sedikit pada
pendapatan, biaya, produksi, keuntungan, cash-flow dan juga input-output. Secara
matematik pendapatan marginal dan biaya marginal dapat dirunkan dari fungsi total
masing-masing.
2.1.1. Produksi Marginal
Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output tambahan yang
dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan input (𝑀𝑃𝑃 =∆𝑇𝑃𝑃
∆𝑄). Jika
perubahan ∆𝑄 → 0, maka turunan pertama dari fungsi produksi marginal dinyatakan
sebagai:
𝑀𝑃𝑃 = lim∆𝑄→0
∆𝑇𝑃𝑃
∆𝑄=
𝜕𝑇𝑃𝑃
𝜕𝑄… … (19)
Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi fisik (𝐴𝑃𝑃 =
𝑀𝑃𝑃) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai maksimum. Secara geometris, dapat
ditunjukan oleh perpotongan kurva produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva
produksi marginalnya.
Contoh 12. Diketahui fungsi produksi pada persamaan 𝑃 = 60𝑄2 − 𝑄3
dimana P output produksi dan Q input produksi.
a. Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi rata-rata
b. Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi rata-rata jika
digunakan input sebanyak Q=10 unit.
c. Berapa total biaya maksimumnya.
Penyelesaian:
𝑃 = 𝑇𝑃𝑃 = 60𝑄2 − 𝑄3
a. Fungsi produksi marginal, 𝑀𝑃𝑃 =𝜕𝑇𝑃𝑃
𝜕𝑄= 120𝑄 − 3𝑄2
Fungsi produksi rata-rata, 𝐴𝑃𝑃 =𝑇𝑃𝑃
𝑄= 60𝑄 − 𝑄2
b. Pada 𝑄 = 10 unit, maka
𝑇𝑃𝑃 = 60𝑄2 − 𝑄3 = 60(10)2 − (10)3 = 6000 − 1000 = 5000
𝑀𝑃𝑃 = 120𝑄 − 3𝑄2 = 120(10) − 3(10)2 = 1200 − 300 = 900
𝐴𝑃𝑃 = 60𝑄 − 𝑄2 = 60(10) − (10)2 = 600 − 100 = 500
c. Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0, yaitu:
120𝑄 − 3𝑄2 = 0 → 𝑄(120 − 3𝑄) = 0 diperoleh 𝑄 =120
3= 40unit
Jadi, TPP maksimum
60𝑄 − 𝑄2 = 60(40) − (40)2 = 96.000 − 64.000 = 32.000
8
2.1.2. Pendapatan Marginal
Pendapatan marginal dapat didefenisikan sebagai perubahan pendapatan total yang
diakibatkan oleh penjualan suatu barang tambahan, yaitu:
𝑀𝑅 =𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄… … (20)
Pendapatan rata-rata dapt dinyatakan sebagai pendapatan toal(TR) yang dihasilkan
dari setiap unit barang yang diminta yaitu
𝐴𝑅 =𝑇𝑅
𝑄… … (21)
Pada saat pendapatan rata-rata mencapai maksimum maka pendapatan rata-ratanya
sama dengan pendapatan marginalnya (AR=MR)
Contoh 13. Diketahui fungsi permintaan pada persamaan 𝑄 = 15 − 𝑃 .
a. Carilah fungsi produksi marginal yang berhubungan dengan fungsi permintaan
tersebut
b. Hitunglah pendapatan marginal dan rata-rata pada 𝑄 = 3unit
Penyelesaian:
Fungsi permintaan 𝑄 = 15 − 𝑃 → 𝑃 = 15 − 𝑄
Fungsi pendapatan total, 𝑇𝑅 = 𝑃𝑄 = (15 − 𝑄)𝑄 = 15𝑄 − 𝑄2
a. Fungsi pendapatan marginal, 𝑀𝑅 =𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄= 15 − 2𝑄
Untuk 𝑄 = 3unit, 𝑀𝑅 = 15 − 2(3) = 9unit
b. Fungsi pendapatan rata-rata, 𝐴𝑅 =𝑇𝑅
𝑄=
15𝑄 −𝑄2
𝑄= 15 − 𝑄
Untuk 𝑄 = 3unit, 𝐴𝑅 = 15 − (3) = 12unit
2.1.3. Biaya Marginal
Biaya marginal didefenisikan sebagai perubahan dalam biaya total yang
dikeluarkan untuk menghassilkan satu unit tambahan output.
𝑀𝐶 =𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄… … (22)
Biaya rata-rata (AC) merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah barang yang
diproduksi yang dinyatakan 𝐴𝐶 =𝑇𝐶
𝑄. Pada saat biaya rata-rata mencapai minimum maka
biaya rata-rata sama dengan biaya marginalnya (AC=MC).
Contoh 14. Jika fungsi biaya suatu perusahaan berdasrkan fungsi 𝑇𝐶 = 0,5𝑄2 +
2𝑄 + 20.
a. Carilah fungsi produksi marginal
b. Fungsi biaya rata-rata pada 𝑄 = 2 unit
Diketahui: fungsi biaya total 𝑇𝐶 = 0,5𝑄2 + 2𝑄 + 20.
a. Fungsi biaya marginal, 𝑀𝐶 =𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄= 𝑄 + 2
Untuk 𝑄 = 2unit, maka 𝑀𝐶 = 2 + 2 = 4unit.
b. Fungsi biaya rata-rata, 𝐴𝐶 =𝑇𝐶
𝑄
𝐴𝐶 =𝑇𝐶
𝑄=
0,5𝑄2 + 2𝑄 + 20
𝑄= 0,5𝑄 + 2 +
20
𝑄
9
Untuk 𝑄 = 2unit, maka 𝐴𝐶 = 0,5(2) + 2 +20
(2)= 1 + 2 + 10 = 13unit
2.2.KONSEP ELASTISITAS
Elastisitas dari suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai :
𝜂 = 𝐸𝑦
𝐸𝑥= lim
∆𝑥→0
(∆𝑦𝑦 )
(∆𝑥𝑥 )
= 𝑑𝑦
𝑑𝑥 .
𝑥
𝑦… … (23)
Ini berarti bahwa elastisitas 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan limit dari rasio antara perubahan
relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil
atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan
sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
2.2.1 Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price
elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
𝜂𝑑 = %∆𝑄𝑑
%∆𝑃=
𝐸𝑄𝑑
𝐸𝑃= lim
∆𝑃→0
(∆𝑄𝑑
𝑄𝑑)
(∆𝑃𝑃 )
= 𝑑𝑄𝑑
𝑑𝑃.
𝑃
𝑄𝑑
… … (24)
Dimana 𝑑𝑄𝑑
𝑑𝑃 tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |𝜂𝑑| > 1, elastic –
uniter jika |𝜂𝑑| = 1, dan inelastic bila |𝜂𝑑| < 1. Barang yang permintaanya elastic
mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu,
maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase
yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Contoh 15:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan 𝑄𝑑 = 25 – 3 𝑃2 .
tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
𝑄𝑑 = 25 – 3 𝑃2 𝜂𝑑 = 𝑑𝑄𝑑
𝑑𝑃 .
𝑃
𝑄𝑑= −6𝑃 .
𝑃
25−3𝑃2 .
𝑄′𝑑 = 𝑑𝑄𝑑
𝑑𝑝= −6𝑃 = −6 (5).
5
25−75= 3 (𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑘)
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan 𝑃 = 5, harga naik (turun) sebesar 1 % maka
jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 %.
10
2.2.2 Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price
elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka
elastisitas penawarannya :
𝜂𝑠 = %∆𝑄𝑠
%∆𝑃=
𝐸𝑄𝑠
𝐸𝑃= lim
∆𝑃→0
(∆𝑄𝑠
𝑄𝑠)
(∆𝑃𝑃 )
= 𝑑𝑄𝑠
𝑑𝑃.
𝑃
𝑄𝑠
… … (25)
Dimana 𝑑𝑄𝑠
𝑑𝑃 tak lain adalah Q's atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila 𝜂𝑠 > 1, elastic – uniter
jika 𝜂𝑠 = 1 dan inelastic bila 𝜂𝑠 < 1. Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan
bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil
daripada persentase perubahan harganya.
Contoh 16 :
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh 𝑄𝑠 = −200 + 7 𝑃2. Berapa
elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
𝑄𝑠 = −200 + 7 𝑃2 𝜂𝑠 = 𝑑𝑄𝑠
𝑑𝑃 .
𝑃
𝑄𝑠= 14𝑃 .
𝑃
−200 +7𝑃2
𝑄’𝑠 =𝑑𝑄𝑠
𝑑𝑃 = 14 𝑃
Pada 𝑃 = 10, 𝜂𝑠 = 140 . 10
−200 +700= 2,8
Pada 𝑃 = 15, 𝜂𝑠 = 210 . 15
−200 +1575= 2,3
𝜂𝑠 = 2,8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1
% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan
𝜂𝑠 = 2,3 berarti bahwa apabila dari kedudukan 𝑃 = 15, harga naik (turun) sebesar 1%
maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%
2.2.3 Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input)
yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran
terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk
yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan
fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :
11
𝜂𝑝 = %∆𝑃
%∆𝑋=
𝐸𝑃
𝐸𝑋= lim
∆𝑋→0
(∆𝑃𝑃 )
(∆𝑋𝑋 )
= 𝑑𝑃
𝑑𝑋.𝑋
𝑃… … (25)
Dimana 𝑑𝑃
𝑑𝑋 adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].
Contoh 17 :
Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan 𝑃 = 6 𝑥2 – 𝑥 3. Hitunglah
elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7
unit.
𝑃 = 6 𝑥2 – 𝑥 3 𝑃’ =𝑑𝑃
𝑑𝑋 = 12 𝑥 – 3 𝑥2
𝜂𝑝 = 𝑑𝑃
𝑑𝑋 .
𝑋
𝑃= (12 𝑋 − 3 𝑋2).
𝑥
(6 𝑥2 − 𝑥)
Pada 𝑥 = 3, 𝜂𝑝 = (36 − 27) . 3
(54−27)= 1
Pada 𝑥 = 7, 𝜂𝑝 = (84 − 147) . 7
(294−343)= 9
𝜂𝑝 = 1 berarti bahwa, dari kedudukan 𝑥 = 3, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %.
Dan 𝜂𝑝 = 9 berarti bahwa, dari kedudukan 𝑥 = 7, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %.
2.3.MAKSIMASI DAN MINIMASASI
Masalah maksimasi dan minimasi akan dikatakan sebagai optimisasi yang biasanya
ditemukan pada saat menentukan kombinasi yang dioptimum dari barang/jasa yang
dihasilkan atau akan dijual oleh perusahaan, menentukan camburan bahan-bahan yang
terbaik akan tetapi menekan biaya sekecil-kecilnya, dan lainnya. Untuk mencapai suatu
maksimum atau minimum relative suatu fungsi harus berada pada tidak naik atau turunnya
pada titik itu, dimana turunannya nol.
Syarat pertama untuk mencari nilai-nilai optimum dari suatu fungsi bebas 𝑦 = 𝑓(𝑥)
dibutuhkan syarat perlu yaitu turunan pertama harus nol. Syarat kedua merupakan syarat
cukup dimana turunan kedua negative untuk nilai maksimum relative dan positif untuk
nilai minimum relative. Taksiran secara gometris fungsi kuatrat 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
mempunyai turunan pertama yaitu 𝑓 ′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏 dan turunan kedua 𝑓 ′′ = 2𝑎.
1. Untuk 𝑎 > 0: Kurva 𝑓( 𝑥) berupa fungsi linier yang memotong sumbu-X di
titik stationer 𝑥 = −𝑏
2𝑎. Karena 𝑓 ′′ (−
𝑏
2𝑎) < 0 maka kurva fungsi 𝑓 ′(𝑥)
bersifat turun disekitar titik stationer 𝑥 = −𝑏
2𝑎. Akan tetapi𝑓 ′ (−
𝑏
2𝑎) = 0,
sehingga pada sebelah kiri titik stationer diperoleh 𝑓 ′(𝑥) > 0 dan disebelah
kananya diperoleh 𝑓 ′(𝑥) < 0. Dengan demikian menurut uji turunan pertama
fungsi 𝑓(𝑥) mencapai maksimum pada titik stationer 𝑥 = −𝑏
2𝑎.
12
2. Untuk 𝑎 < 0: Kurva 𝑓′( 𝑥) berupa fungsi linier yang memotong sumbu-X di
titik stationer 𝑥 = −𝑏
2𝑎. Karena 𝑓 ′′ (−
𝑏
2𝑎) > 0 maka kurva fungsi 𝑓 ′(𝑥)
bersifat turun disekitar titik stationer 𝑥 = −𝑏
2𝑎. Akan tetapi𝑓 ′ (−
𝑏
2𝑎) = 0,
sehingga pada sebelah kiri titik stationer diperoleh 𝑓 ′(𝑥) < 0 dan disebelah
kanannya diperoleh 𝑓 ′(𝑥) > 0. Dengan demikian menurut uji turunan pertama
fungsi 𝑓(𝑥) mencapai minimum pada titik stationer 𝑥 = −𝑏
2𝑎.
Untuk suatu maksimum relative: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0;
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 < 0
Untuk suatu minimum relative: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0;
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 > 0
Fungsi keuntungan dapat didefenisikan berupa selesih dari pendapatan dan biaya
produksi. 𝐿 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 𝑓(𝑄). Keuntungan maksimum dapat diperoleh dari turunan
pertama fungsi pendapatan(MR) dan fungsi biaya (MC) adalah nol. Dan turunan kedua
harus negative untuk maksimum dan positif untuk minimum.
𝑑𝐿
𝑑𝑄= 𝐿′𝑄 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑀𝑅 = 𝑀𝐶 … … (26)
𝑑2𝐿
𝑑𝑄2= 𝐿′′(𝑄) < 0 … … (27)
Contoh 18: fungsi permintaan suatu perusahaan 𝑃 = 300 − 𝑄 dan biaya rata-rata
yang dikeluarkan ditunjukkan oleh fungsi 𝐴𝐶 = 𝑄 − 200 −20000
𝑄. Tentukanlah a.
memaksimumkan pendapatan total, b. meminumkan biaya, dan c. memaksimumkan
keuntungan.
a. Pendapatan total, 𝑇𝑅 = 𝑃𝑄 = (300 − 𝑄)𝑄 = 300𝑄 − 𝑄2
Pendapatan TR maksimum jika, 𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄= 300 − 2𝑄 = 0 → 𝑄 = 150unit
𝑑2 𝑇𝑅
𝑑𝑄2 = −2 < 0. Karena pada 𝑄 = 150 unit pendapatan akan maksimum,
𝑇𝑅 = 300(150) − (150)2 = 22.500
b. Biaya total, 𝑇𝐶 = 𝐴𝐶. 𝑄 = (𝑄 − 200 −20000
𝑄)𝑄 = 𝑄2 − 200𝑄 − 20000
Biaya TC minimum jika, 𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄= 2𝑄 − 200 = 0 → 𝑄 = 100unit
𝑑2 𝑇𝐶
𝑑𝑄2 = 2 > 0. Karena pada 𝑄 = 100 unit pendapatan akan maksimum, 𝑇𝑅 =
(100)2 − 200(100) − 20000 = 10000
c. Fungsi laba, 𝐿 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = (300𝑄 − 𝑄2) − (𝑄2 − 200𝑄 − 20000) =
−2𝑄2 + 500𝑄 − 20000
Laba maksimum jika, 𝑑𝐿
𝑑𝑄= −4𝑄 + 500 = 0 → 𝑄 = 125 unit
𝑑2𝐿
𝑑𝑄2 = −4 < 0. Karena pada 𝑄 = 125 unit pendapatan akan maksimum, 𝐿 =
−2(125)2 + 500(125) − 20000 = 11250
13
2.4.Pendapatan konsumsi
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan
(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan
ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan
masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:
𝑌 = 𝐶 + 𝑆 … … (28)
Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan
sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan
pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan
akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan
tabungan pun akan berkurang pula, sehingga :
𝑑𝑌 = 𝜕𝐶 + 𝜕𝑆 diferensial
Karena 𝜕𝐶 + 𝜕𝑆 = 𝑑𝑌 𝑑𝑌/𝑑𝑌 = ¶𝐶/𝑑𝑌 + ¶𝑆/𝑑𝑌 derivasi
¶𝐶/𝑑𝑌 = 𝑀𝑃𝐶 (Marginal Propensity to Consume)
¶𝑆/𝑑𝑌 = 𝑀𝑃𝑆 (Marginal Propensity to Save)
Sehingga terbukti bahwa MPC + MPS = 1
(Supangat, 2006)
2.5.Pendapatan Tabungan
Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari
dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini :
𝑆 = 𝑆 (𝑌, 𝑖) … … (29)
Dimana 𝑆 adalah tabungan (savings). 𝑌 adalah pendapatan nasional (national
income), dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita asumsikan seperti semua
fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative
(parsial) kontinu, atau secara simbolis, 𝑓 Є 𝐶′. Derivatif parsial 𝛿𝑆/𝛿𝑌 mengukur
kecenderungan marginal (marginal propensity to save). Jadi, untuk semua perubahan
dalam 𝑌, 𝑑𝑌, perubahan 𝑆 hasilnya dapat diaproksima dengan kuantitas (𝛿𝑆
𝛿𝑌) 𝑑𝑌 . Demikian
juga jika perubahan dalam i, di kita dapat (𝛿𝑆
𝛿𝑖) 𝑑𝑖 sebagai aproksimasi untuk menentukan
perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial
𝑑𝑆 = (𝜕𝑆
𝜕𝑌) 𝑑𝑌 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑖) 𝑑𝑖 … … (30)
Atau dengan menggunakan notasi yang lain,
𝑑𝑆 = 𝑆𝑌 𝑑𝑌 + 𝑆𝑖𝑑𝑖 … … (31)
Perhatikan bahwa kedua derivative parsial Sy dan Si kembali menaikan peran sebagai
“pengubah” yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi dS yang bersesuaian.
Pernyataan dS, yang merupakan jumlah perubahan – perubahan hasil aproksimasi dari
14
kedua sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari
diferensial total ini disebut diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua
komponen yang ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi
tabungan.
Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah sedangkan i konstan. Dalam
hal ini dY= 0 dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial: 𝑑𝑆 =
(𝛿𝑆
𝛿𝑌) 𝑑𝑌 . Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh
(𝛿𝑆
𝛿𝑌) = (
𝑑𝑆
𝑑𝑌) i konstan
(Dumairy, 1991)
15
BAB III
PENUTUP
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil
yang diperoleh dari proses diferensiasi.
Istilah marginal digunakan pada perubahan sedikit demi sedikit pada
pendapatan, biaya, produksi, keuntungan, cash-flow dan juga input-output. Secara
matematik pendapatan marginal dan biaya marginal dapat dirunkan dari fungsi total
masing-masing.
Elastisitas 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam
y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau
mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan
sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan
(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan
ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan
masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:
Y = C + S
Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin
besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan
berkurang pula, sehingga : DY = ¶C + ¶S diferensial
S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional
(national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).
Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat (𝛿𝑆
𝛿𝑖) 𝑑𝑖 sebagai aproksimasi
untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S
diaproksimsi dengan diferensial
𝑑𝑆 = (𝜕𝑆
𝜕𝑌) 𝑑𝑌 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑖) 𝑑𝑖
16
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. (1991). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. edisi kedua.
Yogyakarta: BPFE
Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga
Purcell,EJ. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis. Terjemahan Nyoman Susila,dkk.
Jakarta: Erlangga
Supangat,A. (2006). Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: Kencana
Wibisono, Y. (1999). Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: Gajahmada university
press
Wikipedia. (2000). Kalkulus diferesial. (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial,
akses 10 Februari 2015)