i
Penerapan Kalkulus Diferensial Pada Matematika
Ekonomi
Dosen Pengampu: Prof. Dr. Edi Syahputra, M.Pd
Nailul Himmi Hasibuan 814 6172 050
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA PENDIDIKAN PASCASARJANA
UNIMED
2014
ii
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................ i
BAB I. PENDAHULUAN.......................................................................................... 1
1.1 Kalkulus Diferensial ............................................................................................. 1
1.2 Laju Perubahan Rata-rata ..................................................................................... 1
1.3 Laju Perubahan Sesaat ......................................................................................... 2
1.4 Kaidah-kaidah Diferensial .................................................................................... 2
1.4.1 Kaidah Fungsi Konstan .............................................................................. 3
1.4.2 Kaidah Fungsi Linier .................................................................................. 3
1.4.3 Kaidah Fungsi Pangkat............................................................................... 3
1.4.4 Kaidah Fungsi Penjumlahan dan Pengurangan........................................... 4
1.4.5 Kaidah Fungsi Perkalian ............................................................................. 4
1.4.6 Kaidah Fungsi Pembagian .......................................................................... 4
1.4.7 Kaidah Berantai .......................................................................................... 5
1.4.8 Kaidah Logaritma ....................................................................................... 5
1.4.9 Kaidah Eksponensial................................................................................... 6
BAB II. PEMBAHASAN........................................................................................... 7
2.1 Konsep Marginal................................................................................................... 7
2.1.1 Produksi Marginal....................................................................................... 7
2.1.2 Pendapatan Marginal................................................................................... 8
2.1.3 Biaya Marginal............................................................................................ 8
2.2 Konsep Elastisitas ................................................................................................. 9
2.2.1 Elastisitas Permintaan ................................................................................. 9
2.2.2 Elastisitas Penawaran ................................................................................. 10
2.2.3 Elastisitas Produksi..................................................................................... 10
2.3 Maksimasi dan Minimasasi................................................................................... 11
2.4 Pendapatan Konsumsi ........................................................................................... 13
2.5 Pendapatan Tabungan ........................................................................................... 13
BAB III. PENUTUP................................................................................................... 15
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 16
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.KALKULUS DIFRENSIAL
Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang
mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.
Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara
umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar
kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif.
Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatanbenda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan darimomentum suatu benda sama dengan gaya yang
diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan
menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untukperusahaan yang sedang bersaing. Turunan sering digunakan untuk mencari titik
ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam.
Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial)
1.2.LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
Laju perubahan rata-rata suatu fungsi π¦ = π(π₯) dalam daerah interval π < π₯ < π,
dengan π < π dituliskan:
πΏππ [π, π] =βπ¦
βπ₯=
π(π) β π(π)
π β π β¦ β¦ β¦ (1)
Laju perubahan rata-rata ini dapat ditafsirkan secara geometris sebagai ukuran
kecuraman atau kemiringan garis lurus yang menggabungkan titik-titik [a,f(a)] dan
[b,f(b)]. Pada fungsi linier π¦ = π(π₯) = ππ₯ + π , laju perubahan rata-rata (βπ¦
βπ₯) selalu sama
dengan π (kemiringan) dalam setiap himpunan bagian daerah defenisinya. Sebaliknya,
laju perubahan rata-rata suatu fungsi kurvalinier π(π₯) berubah-rubah menurut gerakan
berurutan sepanjang kurva.
Contoh 1. Laju perubahan rata-rata fungsi linier π¦ = π(π₯) = 5π₯ + 4 sebesar 5
dalam setiap himpunan bagian daerah defenisinya yaitu:
πΏππ [π, π] =βπ¦
βπ₯=
π(π) β π(π)
π β π=
(5π + 4) β (5π + 4)
π β π=
5(π β π)
(π β π)= 5
Oleh karena itu, untuk sembarang bilanga real π > 0 diperoleh:
2
πΏππ [π,π+1] =βπ¦
βπ₯=
{[π(π + 1) + 4] β [π(π) + 4]}
(π + 1) β π= π(π + 1) β π(π)
Besarnya kenaikan atau penurunan ordinat fungsi linier untuk setiap pertambahan
satu absis sama dengan LPR-nya. Adakalanya laju perubahan suatu factor terhadap factor
lain diketahui, seddangkan model fungsi yang sesungguhnya antara kedua fungsi tidak
diketahui. Pada kondisi ini, nilai-nilai fungsi tersebut dapat dihampiri dengan
menggunakan laju perubahan rata-ratanya.
1.3.LAJU PERUBAHAN SESAAT
Seperti yang telah dikemukakan diatas, laju perubahan rata-rata fungsi π¦ = π(π₯)
kontinu pada suatu selang waktu tertentu yang secara geometri ditafsirkan sebagai
kemiringan yang menghubungkan sepasang titik tertentu pada kurva fungsi tersebut. Laju
perubahan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap laju perubahan rata-rata fungsi
π¦ = π(π₯) dengan cara membuat βπ₯ menuju nol. Dengan demikian yang dimaksud dengan
laju perubahan sesaat pada π = π₯ dituliskan sebagai:
πΏππ[π] = limβπ₯β0
βπ¦
βπ₯= lim
π₯βπ
π(π₯) β π(π)
π₯ β π β¦ β¦ β¦ (2)
Dengan memisalkan π₯ = π + βπ₯ atau βπ₯ = π₯ β π, maka βπ₯ β 0 mempunyai arti
yang sama dengan π₯ β π. oleh karena itu bentuk limit diatas dapat ditulis menjadi:
πΏππ[π] = limβπ₯β0
βπ¦
βπ₯= lim
βπ₯β0
π(π + βπ₯) β π(π)
βπ₯ β¦ β¦ β¦ (3)
Untuk sembarang fungsi π¦ = π(π₯) dengan bilangan real π kita dapat mengevaluasi
dan menghitung ada tidaknya nilai limit tanpa memandang bentuk tafsiran geometrisnya,
jika nilai limit ini ada pada titik di sekitar π₯ = π, maka secara matematis disebut turunan
fungsi π¦ = π(π₯) dititik π₯ = π. Proses untuk mendapatkan turunan semacam ini disebut
pendiferensial fungsi π¦ = π(π₯). Fungsi π(π₯) yang mempunyai turunan dititik π₯ = π
dikatakan terdiferensial di π. terminologi formal untuk menuliskan turunan di π₯ = π adalah
πβ²(π) = limπ₯βπ
π(π₯) β π(π)
π₯ β πβ¦ β¦ β¦ (4)
atau
πβ²(π) = limβπ₯β0
π(π + βπ₯) β π(π)
βπ₯ β¦ β¦ β¦ (5)
Ada juga penulisan lambing turunan yang diperkenalkan ahli matematika
kebangsaan Jermal yaitu Gottfried Leibnitz (1646-1716):
ππ¦
ππ₯| π₯ = π ππ‘ππ’
ππ(π₯)
ππ₯| π₯ = π
(Wibisono,1999)
1.4.KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIAL
Proses penurunan sebuah fungsi π¦ = π(π₯) disebut diferensiasi yaitu mencari
perubahan π¦ berkenaan dengan suatu perubahan π₯ apabila perubahan π₯ yaitu βπ₯ β 0.
Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensiasi tersebut disebut derivative. Ada kaidah-
kaidah diferensial dari suatu fungsi, dengan mengetahui turunan fungsi-fungsi tersebut
dapat pula ditenteukan dari beberapa fungsi lainnya.
3
1.4.1. Kaidah Fungsi Konstan
Suatu turunan fungsi konstan π(π₯) = π, dimana π adalah suatu konstanta adalah
nol.
πβ²(π) = limπ₯βπ
π(π₯) β π(π)
π₯ β π= lim
π₯βπ
(π) β (π)
π₯ β π= 0 β¦ β¦ (6)
Jadi π β²(π₯) = 0 untuk semua bilangan nyata π₯. Oleh karena π(π₯) konstan, maka
π(π₯) tidak berubah untuk setiap perubahan π₯. dengan demikian π β²(π₯) = 0 tanpa
memperhatikan berapapun perubahan variable π₯.
Contoh 2. Tentukan hasil turunan dari fungsi konstan π(π₯) = 12 disekitar π₯ = 3.
π(π₯) = 12 β π β²(π₯) = 0
1.4.2. Kaidah Fungsi Linier
Turunan fungsi linier π(π₯) = ππ₯ + π dimana π adalah suatu konstanta adalah sama
dengan π yaitu sama dengan koefisien dari π₯.
πβ²(π) = limπ₯βπ
π(π₯) β π(π)
π₯ β π= lim
π₯βπ
(ππ₯ + π) β (ππ + π)
π₯ β π= lim
π₯βπ
π(π₯ β π)
π₯ β π= π β¦ β¦ (7)
Contoh 3. Tentukan hasil turunan dari fungsi linier π(π₯) = 8π₯ β 3 disekitar π₯ = 5.
π(π₯) = 8π₯ β 3 β π β²(π₯) = 8
1.4.3. Kaidah fungsi pangkat
Turunan fungsi pangkat π(π₯) = π₯ π adalah sama dengan eksponen π dikalikan
dengan variable π₯ dipangkatkan π β 1 dengan π bilangan asli.
πβ²(π) = limπ₯βπ
π(π₯) β π(π)
π₯ β π= lim
π₯βπ
π₯π β ππ
π₯ β π
= limπ₯βπ
(π₯ β π)(π₯πβ1 + ππ₯πβ2 + β― + ππβ3π₯β2 + ππβ2π₯ + ππβ1
π₯ β π
= ππβ1 + ππβ1 + β― + ππβ1 ada sebanyak n suku maka:
π β²(π) = πππβ1 β¦ β¦ β¦ (8)
Jadi π β²(π₯) = ππ₯ πβ1 untuk semua bilangan real π₯. secara umum lambang-lambang
turunan sampai ordo ke-n dituliskan:
π β²(π₯) ππ‘ππ’ π
ππ₯π(π₯) π‘π’ππ’πππ ππππ‘πππ
π β²β²(π₯) ππ‘ππ’ π2
ππ₯ 2π(π₯) π‘π’ππ’πππ ππππ’π
π β²β²β²(π₯) ππ‘ππ’ π3
ππ₯ 3π(π₯) π‘π’ππ’πππ πππ‘πππ
ππ(π₯) ππ‘ππ’ ππ
ππ₯ ππ(π₯) =
π
ππ₯[
ππβ1
ππ₯ πβ1π(π₯)] π‘π’ππ’πππ ππ β π
Contoh 4. Tentukan hasil turunan dari fungsi pangkat π(π₯) = π₯ 4 β 6π₯ pada π₯ = 2.
π(π₯) = π₯ 4 β 6π₯ β π β²(π₯) = 4π₯ 3 β 6 ππππ π₯ = 2,π β²(2) = 26
π β²(π₯) = 4π₯ 3 β 6 β π β²β²(π₯) = 12π₯2 ππππ π₯ = 2, π β²β²(2) = 48
π β²β²(π₯) = 12π₯ 2 β π β²β²β²(π₯) = 24π₯ ππππ π₯ = 2, π β²β²(2) = 48
(Martono, 1999)
4
1.4.4. Kaidah fungsi penjumlahan dan pengurangan
Turunan bentuk penjumlahan dan pengurangan π(π₯) = π’(π₯) Β± π£(π₯) adalah sama
dengan turunan-turunan fungsi individu π β²(π₯) = π’β² (π₯) Β± π£ β²(π₯).
πβ²(π₯) = limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯= lim
βπ₯β0
[π’(π₯ + βπ₯) + π£(π₯ + βπ₯)] Β± [π’(π₯) + π£(π₯)]
βπ₯
= limβπ₯β0
π’(π₯ + βπ₯) β π’(π₯)
βπ₯Β± lim
βπ₯β0
π£(π₯ + βπ₯) β π£(π₯)
βπ₯= π’β²(π₯) Β± π£β²(π₯) β¦ β¦ (9)
Dengan demikian untuk fungsi π(π₯) = π’(π₯) Β± π£(π₯) Β± π€(π₯) Β± π§(π₯) fungsi
turunannya adalah:
π
ππ₯[π’(π₯) Β± π£(π₯) Β± π€(π₯) Β± π§(π₯)] =
π
ππ₯π’(π₯) Β±
π
ππ₯π£(π₯) Β±
π
ππ₯π€(π₯) Β±
π
ππ₯π§(π₯)
Contoh 5. Tentukan hasil turunan dari fungsi penjumlahan dan pengurangan
π(π₯) = 3π₯ 2 β π₯ + 4 pada π₯ = 3.
π(π₯) = 3π₯ 2 β π₯ + 4 β π β²(π₯) = 6π₯ β 1; π’ππ‘π’π π₯ = 3, π β²(3) = 17.
1.4.5. Kaidah perkalian
Turunan bentuk perkalian π(π₯) = π’(π₯).π£(π₯) adalah sama dengan fungsi pertama
dikalikan turunan fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan dengan turunan fungsi
pertama. Jika βπ₯ merupakan pertambahan dalam π₯ yang menyebabkan pertambahan
masing-masing π’, π£ dan π¦ sebesar βπ’,βπ£ dan βπ¦ selanjutnya:
π¦ + βπ¦ = (π’ + βπ’)(π£ + βπ£) = π’π£ + π’βπ£ + π£βπ’ + βπ’βπ£ β¦ β¦ (10)
Karena π¦ = (π’π£), maka rumus dengan mengetur kembali dan membanginya
dengan βπ₯ diperoleh:
βπ¦
βππ₯= π’
βπ£
βπ₯+ π£
βπ’
βπ₯+ βπ’
βπ£
βπ₯β¦ β¦ . (11)
Pada βπ₯ β 0, maka: βπ¦
βπ₯β
ππ¦
ππ₯ dan
βπ£
βπ₯β
ππ£
ππ₯ dan
βπ’
βπ₯β
ππ’
ππ₯ sehingga:
ππ¦
ππ₯= lim
βπ₯β0
βπ¦
βπ₯= lim
βπ₯β0[π’
βπ£
βπ₯+ π£
βπ’
βπ₯+ βπ’
βπ£
βπ₯] = π’ lim
βπ₯β0
βπ£
βπ₯+ π£ lim
βπ₯β0
βπ’
βπ₯+ [ lim
βπ₯β0βπ’][ lim
βπ₯β0βπ£]
Karena βπ’ = 0, maka fungsi turunan menjadi;
ππ¦
ππ₯= π’
ππ£
ππ₯+ π£
ππ’
ππ₯β¦ β¦ β¦ (12)
Contoh 6. Diketahui fungsi π¦ = π(π₯) = 2π₯ 2(3π₯ + 2) tentukan nilai turunan pada
π₯ = 1.
Misalkan π’ = 2π₯ 2 βππ’
ππ₯= 4π₯ dan π£ = 3π₯ + 2 β
ππ£
ππ₯= 3 dengan
mensubstitusikan rumus diatas, diperoleh:
ππ¦
ππ₯= π’
ππ£
ππ₯+ π£
ππ’
ππ₯= 2π₯ 2(3) + 4π₯(3π₯ + 2) = 6π₯ 2 + (12π₯ 2 + 8π₯) = 18π₯ 2 + 8π₯
Pada π₯ = 1, maka nilai π β²(1) = 18(1)2 + 8(1) = 26.
1.4.6. Kaidah pembagian
Turunan bentuk hasil bagi π(π₯) =π’(π₯)
π£(π₯) adalah sama dengan penyebut kali turunan
pertama pembilang dikurangi pembilang kali turunan pertama penyebut, semuanya dibagi
kuadrat penyebutnya. Misalkan π’ = π(π₯).π£(π₯), maka:
5
π’β²(π₯) = π(π₯). π£ β²(π₯) + π β²(π₯).π£(π₯)
π β²(π₯). π£(π₯) = π’β²(π₯) β π(π₯).π£ β²(π₯)
π β²(π₯) =π’β²(π₯) β π(π₯).π£ β²(π₯)
π£(π₯)
Karena π(π₯) =π’(π₯)
π£(π₯), maka bentuk akhir dapat ditulis menjadi
π β²(π₯) =π’β²(π₯) β
π’(π₯)π£(π₯)
. π£ β²(π₯)
π£(π₯)=
π’β² (π₯)π£(π₯) β π’(π₯).π£ β²(π₯)
[π£(π₯)]2β¦ β¦ (13)
Contoh 7. Diketahui fungsi π(π₯) = 3π₯/(5π₯ β 2) tentukan nilai turunan pada π₯ =
1.
Misalkan π’ = 3π₯ βππ’
ππ₯= 3 dan π£ = 5π₯ β 2 β
ππ£
ππ₯= 5 dengan mensubstitusikan
rumus diatas, diperoleh:
π β²(π₯) =π’β²(π₯)π£(π₯) β π’(π₯). π£ β²(π₯)
[π£(π₯)]2=
3(5π₯ β 4) β 3π₯(5)
(5π₯ β 4)2=
15π₯ β 12 β 15π₯
(5π₯ β 4)2=
β12
(5π₯ β 4)2
Untuk nilai π₯ = 1 β π β²(π₯) =β12
(5(1)β4)2 = β12
1.4.7. Kaidah berantai
Suatu fungsi turunan (ππ¦
ππ₯) fungsi dari fungsi π¦ = π(π) dimana π = β(π₯) adalah
sama dengan turunan fungsi pertama berkaitan dengan π dikalikan dengan turunan fungsi
kedua berkaitan dengan π₯. Misalkan π¦ = πππ dimana π(π) dan π(β(π₯) masing-masing
mempunyai turunan disetiap titik, maka (ππππβ) juga mempunyai turunan di setiap titik
dan berlaku:
ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ.ππ
ππ₯β¦ β¦ (14)
Jiak π¦ = π(π§),π§ = π(π‘) dan π‘ = β(π₯), fungsi π, π, β mempunyai turunan disetiap titik,
maka (ππππβ) juga mempunyai turunan di setiap titik berlaku:
ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ§.ππ§
ππ‘.ππ‘
ππ₯β¦ β¦ (15)
Contoh 8. Diketahui fungsi π¦ = (π₯ 2 + 5)2 tentukan nilai turunan pada π₯ = 1.
Misalkan π’ = π₯ 2 + 5 βππ’
ππ₯= 2π₯; π¦ = π’2 β
ππ¦
ππ’= 2π’
ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ’.ππ’
ππ₯= 2π’(2π₯) = 4π’π₯
Karena π’ = π₯ 2 + 5 β 4π₯(π₯ 2 + 5) = 4π₯ 3 + 20π₯
Untuk π₯ = 1 maka π β²(π₯) = 4(1)3 + 20(1) = 24
1.4.8. Kaidah logaritma
Suatu fungsi logaritma π(π₯) = log π(π₯) dapat dicari fungsi turunannya yaitu:
π β²(π₯) =πβ²(π₯)
π(π₯).
1
ln πβ¦ β¦ (16)
Contoh 9. Diketahui fungsi π(π₯) = ln(2π₯ + 3)2 . tentukan π β²(π₯)
Misalkan π(π₯) = (2π₯ + 3)2 β πβ²(π₯) = 4(2π₯ + 3)
6
π β²(π₯) =πβ²(π₯)
π(π₯).
1
ln π=
4(2π₯ + 3)
(2π₯ + 3)2 ln π
Untuk ln π = 1 maka
π β²(π₯) =4
2π₯ + 3
1.4.9. Kaidah eksponensial
Dengan menggunakan aturan rantai dapat mencari fungsi yang berbentuk π(π₯) =
π(π₯)β(π₯), dimana π(π₯) > 0 untuk setiap himpunan definitf π₯. Kaidah eksponensial dapat
membuktikan rumus-rumus turunan yang berbentuk π(π₯) = π(π₯).β(π₯) atau
π(π₯) = π(π₯)/β(π₯).
1. Jika π dan β keduanya mempunyai turunan, π > 0 dan π(π₯) = π(π₯)β(π₯),
hitunglah π β²(π₯). Dari π(π₯) = π(π₯)β(π₯) diperoleh ππ|π(π₯)| = β(π₯). ln|π(π₯)|.
Jadi, πβ² (π₯)
π(π₯)= β(π₯).
πβ² (π₯)
π(π₯)+ ββ²(π₯). ln|π(π₯)|.
π β²(π₯) = π(π₯) [β(π₯).πβ²(π₯)
π(π₯)+ ββ²(π₯). ln|π(π₯)|] β¦ β¦ (17)
Contoh 10. Diketahui fungsi π(π₯) = ππ₯ . tentukan π β²(π₯)
Misal π(π₯) = π β πβ²(π₯) = 0; β(π₯) = π₯ β ββ²(π₯) = 1
π β²(π₯) = ππ₯ [1.0
π+ 1. ln|π|] = ππ₯ [0 + ln|π|]
Jadi
π β²(π₯) = ππ₯ ln π
2. Rumus turunan berbentuk perkalian π(π₯) = π(π₯). β(π₯) ataupun rumus
pembagian π(π₯) = π(π₯)/β(π₯) dapat diambil turunan logaritma.
Bentuk perkalian: ln π(π₯) = ln π(π₯) + ln β(π₯)
Bentuk pembagian : ln π(π₯) = ln π(π₯) β ln β(π₯)
Dapat dituliskan
π β²(π₯)
π(π₯)=
πβ²(π₯)
π(π₯)Β±
ββ²(π₯)
β(π₯) β π β²(π₯) = π(π₯) [
πβ²(π₯)
π(π₯)Β±
ββ²(π₯)
β(π₯)] β¦ (18)
Contoh 11. Diketahui fungsi π(π₯) = (3π₯ β 2)/ππ₯ . tentukan π β²(π₯)
Misal π(π₯) = 3π₯ β 2 β πβ²(π₯) = 3; β(π₯) = ππ₯ β ββ²(π₯) = ππ₯
π β²(π₯) = π(π₯) [πβ²(π₯)
π(π₯)β
ββ²(π₯)
β(π₯)] =
3π₯ β 2
ππ₯[
3
3π₯ β 2β
ππ₯
ππ₯]
=3π₯ β 2
ππ₯[
3
3π₯ β 2β 1] =
3π₯ β 2
ππ₯[
3
3π₯ β 2β
3π₯ β 2
3π₯ β 2]
= [3π₯ β 2
ππ₯] [
β3π₯ + 5
3π₯ β 2]
(Purcell,1987)
7
BAB II
PEMBAHASAN
PENERAPAN KALKULUS DEFERENSIAL
PADA MATEMATIKA EKONOMI
2.1.KONSEP MARGINAL
Istilah marginal digunakan pada perubahan sedikit demi sedikit pada
pendapatan, biaya, produksi, keuntungan, cash-flow dan juga input-output. Secara
matematik pendapatan marginal dan biaya marginal dapat dirunkan dari fungsi total
masing-masing.
2.1.1. Produksi Marginal
Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output tambahan yang
dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan input (πππ =βπππ
βπ). Jika
perubahan βπ β 0, maka turunan pertama dari fungsi produksi marginal dinyatakan
sebagai:
πππ = limβπβ0
βπππ
βπ=
ππππ
ππβ¦ β¦ (19)
Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi fisik (π΄ππ =
πππ) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai maksimum. Secara geometris, dapat
ditunjukan oleh perpotongan kurva produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva
produksi marginalnya.
Contoh 12. Diketahui fungsi produksi pada persamaan π = 60π2 β π3
dimana P output produksi dan Q input produksi.
a. Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi rata-rata
b. Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi rata-rata jika
digunakan input sebanyak Q=10 unit.
c. Berapa total biaya maksimumnya.
Penyelesaian:
π = πππ = 60π2 β π3
a. Fungsi produksi marginal, πππ =ππππ
ππ= 120π β 3π2
Fungsi produksi rata-rata, π΄ππ =πππ
π= 60π β π2
b. Pada π = 10 unit, maka
πππ = 60π2 β π3 = 60(10)2 β (10)3 = 6000 β 1000 = 5000
πππ = 120π β 3π2 = 120(10) β 3(10)2 = 1200 β 300 = 900
π΄ππ = 60π β π2 = 60(10) β (10)2 = 600 β 100 = 500
c. Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0, yaitu:
120π β 3π2 = 0 β π(120 β 3π) = 0 diperoleh π =120
3= 40unit
Jadi, TPP maksimum
60π β π2 = 60(40) β (40)2 = 96.000 β 64.000 = 32.000
8
2.1.2. Pendapatan Marginal
Pendapatan marginal dapat didefenisikan sebagai perubahan pendapatan total yang
diakibatkan oleh penjualan suatu barang tambahan, yaitu:
ππ =πππ
ππβ¦ β¦ (20)
Pendapatan rata-rata dapt dinyatakan sebagai pendapatan toal(TR) yang dihasilkan
dari setiap unit barang yang diminta yaitu
π΄π =ππ
πβ¦ β¦ (21)
Pada saat pendapatan rata-rata mencapai maksimum maka pendapatan rata-ratanya
sama dengan pendapatan marginalnya (AR=MR)
Contoh 13. Diketahui fungsi permintaan pada persamaan π = 15 β π .
a. Carilah fungsi produksi marginal yang berhubungan dengan fungsi permintaan
tersebut
b. Hitunglah pendapatan marginal dan rata-rata pada π = 3unit
Penyelesaian:
Fungsi permintaan π = 15 β π β π = 15 β π
Fungsi pendapatan total, ππ = ππ = (15 β π)π = 15π β π2
a. Fungsi pendapatan marginal, ππ =πππ
ππ= 15 β 2π
Untuk π = 3unit, ππ = 15 β 2(3) = 9unit
b. Fungsi pendapatan rata-rata, π΄π =ππ
π=
15π βπ2
π= 15 β π
Untuk π = 3unit, π΄π = 15 β (3) = 12unit
2.1.3. Biaya Marginal
Biaya marginal didefenisikan sebagai perubahan dalam biaya total yang
dikeluarkan untuk menghassilkan satu unit tambahan output.
ππΆ =πππΆ
ππβ¦ β¦ (22)
Biaya rata-rata (AC) merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah barang yang
diproduksi yang dinyatakan π΄πΆ =ππΆ
π. Pada saat biaya rata-rata mencapai minimum maka
biaya rata-rata sama dengan biaya marginalnya (AC=MC).
Contoh 14. Jika fungsi biaya suatu perusahaan berdasrkan fungsi ππΆ = 0,5π2 +
2π + 20.
a. Carilah fungsi produksi marginal
b. Fungsi biaya rata-rata pada π = 2 unit
Diketahui: fungsi biaya total ππΆ = 0,5π2 + 2π + 20.
a. Fungsi biaya marginal, ππΆ =πππΆ
ππ= π + 2
Untuk π = 2unit, maka ππΆ = 2 + 2 = 4unit.
b. Fungsi biaya rata-rata, π΄πΆ =ππΆ
π
π΄πΆ =ππΆ
π=
0,5π2 + 2π + 20
π= 0,5π + 2 +
20
π
9
Untuk π = 2unit, maka π΄πΆ = 0,5(2) + 2 +20
(2)= 1 + 2 + 10 = 13unit
2.2.KONSEP ELASTISITAS
Elastisitas dari suatu fungsi π¦ = π(π₯) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai :
π = πΈπ¦
πΈπ₯= lim
βπ₯β0
(βπ¦π¦ )
(βπ₯π₯ )
= ππ¦
ππ₯ .
π₯
π¦β¦ β¦ (23)
Ini berarti bahwa elastisitas π¦ = π(π₯) merupakan limit dari rasio antara perubahan
relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil
atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan
sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
2.2.1 Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price
elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
ππ = %βππ
%βπ=
πΈππ
πΈπ= lim
βπβ0
(βππ
ππ)
(βππ )
= πππ
ππ.
π
ππ
β¦ β¦ (24)
Dimana πππ
ππ tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |ππ| > 1, elastic β
uniter jika |ππ| = 1, dan inelastic bila |ππ| < 1. Barang yang permintaanya elastic
mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu,
maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase
yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Contoh 15:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan ππ = 25 β 3 π2 .
tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
ππ = 25 β 3 π2 ππ = πππ
ππ .
π
ππ= β6π .
π
25β3π2 .
πβ²π = πππ
ππ= β6π = β6 (5).
5
25β75= 3 (ππππ π‘ππ)
Ξ·d = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan π = 5, harga naik (turun) sebesar 1 % maka
jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 %.
10
2.2.2 Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price
elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka
elastisitas penawarannya :
ππ = %βππ
%βπ=
πΈππ
πΈπ= lim
βπβ0
(βππ
ππ )
(βππ )
= πππ
ππ.
π
ππ
β¦ β¦ (25)
Dimana πππ
ππ tak lain adalah Q's atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila ππ > 1, elastic β uniter
jika ππ = 1 dan inelastic bila ππ < 1. Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan
bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil
daripada persentase perubahan harganya.
Contoh 16 :
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh ππ = β200 + 7 π2. Berapa
elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
ππ = β200 + 7 π2 ππ = πππ
ππ .
π
ππ = 14π .
π
β200 +7π2
πβπ =πππ
ππ = 14 π
Pada π = 10, ππ = 140 . 10
β200 +700= 2,8
Pada π = 15, ππ = 210 . 15
β200 +1575= 2,3
ππ = 2,8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1
% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan
ππ = 2,3 berarti bahwa apabila dari kedudukan π = 15, harga naik (turun) sebesar 1%
maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%
2.2.3 Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input)
yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran
terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk
yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan
fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :
11
ππ = %βπ
%βπ=
πΈπ
πΈπ= lim
βπβ0
(βππ )
(βππ )
= ππ
ππ.π
πβ¦ β¦ (25)
Dimana ππ
ππ adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].
Contoh 17 :
Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan π = 6 π₯2 β π₯ 3. Hitunglah
elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7
unit.
π = 6 π₯2 β π₯ 3 πβ =ππ
ππ = 12 π₯ β 3 π₯2
ππ = ππ
ππ .
π
π= (12 π β 3 π2).
π₯
(6 π₯2 β π₯)
Pada π₯ = 3, ππ = (36 β 27) . 3
(54β27)= 1
Pada π₯ = 7, ππ = (84 β 147) . 7
(294β343)= 9
ππ = 1 berarti bahwa, dari kedudukan π₯ = 3, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %.
Dan ππ = 9 berarti bahwa, dari kedudukan π₯ = 7, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %.
2.3.MAKSIMASI DAN MINIMASASI
Masalah maksimasi dan minimasi akan dikatakan sebagai optimisasi yang biasanya
ditemukan pada saat menentukan kombinasi yang dioptimum dari barang/jasa yang
dihasilkan atau akan dijual oleh perusahaan, menentukan camburan bahan-bahan yang
terbaik akan tetapi menekan biaya sekecil-kecilnya, dan lainnya. Untuk mencapai suatu
maksimum atau minimum relative suatu fungsi harus berada pada tidak naik atau turunnya
pada titik itu, dimana turunannya nol.
Syarat pertama untuk mencari nilai-nilai optimum dari suatu fungsi bebas π¦ = π(π₯)
dibutuhkan syarat perlu yaitu turunan pertama harus nol. Syarat kedua merupakan syarat
cukup dimana turunan kedua negative untuk nilai maksimum relative dan positif untuk
nilai minimum relative. Taksiran secara gometris fungsi kuatrat π¦ = π(π₯) = ππ₯ 2 + ππ₯ + π
mempunyai turunan pertama yaitu π β²(π₯) = 2ππ₯ + π dan turunan kedua π β²β² = 2π.
1. Untuk π > 0: Kurva π( π₯) berupa fungsi linier yang memotong sumbu-X di
titik stationer π₯ = βπ
2π. Karena π β²β² (β
π
2π) < 0 maka kurva fungsi π β²(π₯)
bersifat turun disekitar titik stationer π₯ = βπ
2π. Akan tetapiπ β² (β
π
2π) = 0,
sehingga pada sebelah kiri titik stationer diperoleh π β²(π₯) > 0 dan disebelah
kananya diperoleh π β²(π₯) < 0. Dengan demikian menurut uji turunan pertama
fungsi π(π₯) mencapai maksimum pada titik stationer π₯ = βπ
2π.
12
2. Untuk π < 0: Kurva πβ²( π₯) berupa fungsi linier yang memotong sumbu-X di
titik stationer π₯ = βπ
2π. Karena π β²β² (β
π
2π) > 0 maka kurva fungsi π β²(π₯)
bersifat turun disekitar titik stationer π₯ = βπ
2π. Akan tetapiπ β² (β
π
2π) = 0,
sehingga pada sebelah kiri titik stationer diperoleh π β²(π₯) < 0 dan disebelah
kanannya diperoleh π β²(π₯) > 0. Dengan demikian menurut uji turunan pertama
fungsi π(π₯) mencapai minimum pada titik stationer π₯ = βπ
2π.
Untuk suatu maksimum relative: ππ¦
ππ₯= 0;
π2 π¦
ππ₯2 < 0
Untuk suatu minimum relative: ππ¦
ππ₯= 0;
π2 π¦
ππ₯2 > 0
Fungsi keuntungan dapat didefenisikan berupa selesih dari pendapatan dan biaya
produksi. πΏ = ππ β ππΆ = π(π). Keuntungan maksimum dapat diperoleh dari turunan
pertama fungsi pendapatan(MR) dan fungsi biaya (MC) adalah nol. Dan turunan kedua
harus negative untuk maksimum dan positif untuk minimum.
ππΏ
ππ= πΏβ²π = 0 ππ‘ππ’ ππ = ππΆ β¦ β¦ (26)
π2πΏ
ππ2= πΏβ²β²(π) < 0 β¦ β¦ (27)
Contoh 18: fungsi permintaan suatu perusahaan π = 300 β π dan biaya rata-rata
yang dikeluarkan ditunjukkan oleh fungsi π΄πΆ = π β 200 β20000
π. Tentukanlah a.
memaksimumkan pendapatan total, b. meminumkan biaya, dan c. memaksimumkan
keuntungan.
a. Pendapatan total, ππ = ππ = (300 β π)π = 300π β π2
Pendapatan TR maksimum jika, πππ
ππ= 300 β 2π = 0 β π = 150unit
π2 ππ
ππ2 = β2 < 0. Karena pada π = 150 unit pendapatan akan maksimum,
ππ = 300(150) β (150)2 = 22.500
b. Biaya total, ππΆ = π΄πΆ. π = (π β 200 β20000
π)π = π2 β 200π β 20000
Biaya TC minimum jika, πππΆ
ππ= 2π β 200 = 0 β π = 100unit
π2 ππΆ
ππ2 = 2 > 0. Karena pada π = 100 unit pendapatan akan maksimum, ππ =
(100)2 β 200(100) β 20000 = 10000
c. Fungsi laba, πΏ = ππ β ππΆ = (300π β π2) β (π2 β 200π β 20000) =
β2π2 + 500π β 20000
Laba maksimum jika, ππΏ
ππ= β4π + 500 = 0 β π = 125 unit
π2πΏ
ππ2 = β4 < 0. Karena pada π = 125 unit pendapatan akan maksimum, πΏ =
β2(125)2 + 500(125) β 20000 = 11250
13
2.4.Pendapatan konsumsi
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan
(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan
ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan
masing β masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:
π = πΆ + π β¦ β¦ (28)
Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan
sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan
pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan
akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan
tabungan pun akan berkurang pula, sehingga :
ππ = ππΆ + ππ diferensial
Karena ππΆ + ππ = ππ ππ/ππ = ΒΆπΆ/ππ + ΒΆπ/ππ derivasi
ΒΆπΆ/ππ = πππΆ (Marginal Propensity to Consume)
ΒΆπ/ππ = πππ (Marginal Propensity to Save)
Sehingga terbukti bahwa MPC + MPS = 1
(Supangat, 2006)
2.5.Pendapatan Tabungan
Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari
dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini :
π = π (π, π) β¦ β¦ (29)
Dimana π adalah tabungan (savings). π adalah pendapatan nasional (national
income), dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita asumsikan seperti semua
fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative
(parsial) kontinu, atau secara simbolis, π Π πΆβ². Derivatif parsial πΏπ/πΏπ mengukur
kecenderungan marginal (marginal propensity to save). Jadi, untuk semua perubahan
dalam π, ππ, perubahan π hasilnya dapat diaproksima dengan kuantitas (πΏπ
πΏπ) ππ . Demikian
juga jika perubahan dalam i, di kita dapat (πΏπ
πΏπ) ππ sebagai aproksimasi untuk menentukan
perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial
ππ = (ππ
ππ) ππ + (
ππ
ππ) ππ β¦ β¦ (30)
Atau dengan menggunakan notasi yang lain,
ππ = ππ ππ + ππππ β¦ β¦ (31)
Perhatikan bahwa kedua derivative parsial Sy dan Si kembali menaikan peran sebagai
βpengubahβ yang masing β masing mengubah dY dan di menjadi dS yang bersesuaian.
Pernyataan dS, yang merupakan jumlah perubahan β perubahan hasil aproksimasi dari
14
kedua sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari
diferensial total ini disebut diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua
komponen yang ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi
tabungan.
Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah sedangkan i konstan. Dalam
hal ini dY= 0 dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial: ππ =
(πΏπ
πΏπ) ππ . Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh
(πΏπ
πΏπ) = (
ππ
ππ) i konstan
(Dumairy, 1991)
15
BAB III
PENUTUP
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil
yang diperoleh dari proses diferensiasi.
Istilah marginal digunakan pada perubahan sedikit demi sedikit pada
pendapatan, biaya, produksi, keuntungan, cash-flow dan juga input-output. Secara
matematik pendapatan marginal dan biaya marginal dapat dirunkan dari fungsi total
masing-masing.
Elastisitas π¦ = π(π₯) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam
y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau
mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan
sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan
(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan
ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan
masing β masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:
Y = C + S
Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin
besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan
berkurang pula, sehingga : DY = ΒΆC + ΒΆS diferensial
S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional
(national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).
Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat (πΏπ
πΏπ) ππ sebagai aproksimasi
untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S
diaproksimsi dengan diferensial
ππ = (ππ
ππ) ππ + (
ππ
ππ) ππ
16
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. (1991). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. edisi kedua.
Yogyakarta: BPFE
Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga
Purcell,EJ. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis. Terjemahan Nyoman Susila,dkk.
Jakarta: Erlangga
Supangat,A. (2006). Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: Kencana
Wibisono, Y. (1999). Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: Gajahmada university
press
Wikipedia. (2000). Kalkulus diferesial. (http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial,
akses 10 Februari 2015)