peluang dan peubah acak diskrit
TRANSCRIPT
![Page 1: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/1.jpg)
Assalamualaikum wr.wb
![Page 2: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/2.jpg)
TEORI PELUANG DAN PEUBAH ACAK
DISKRIT
![Page 3: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/3.jpg)
Teori peluang
![Page 4: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/4.jpg)
DEFINISI PELUANG
PELUANG SUATU KEJADIAN
KEJADIAN MAJEMUK
PERMUTASI
KOMBINASI
![Page 5: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/5.jpg)
a. Definisi PeluangPeluang adalah besarnya kemungkinan
terjadinya suatu kejadian.Penentuan nilai peluang kejadian
didasarkan kepada banyaknya titik sampel kejadian dan banyaknya ruang sampel.
Ruang sampel : Keseluruhan kemungkinan yang bisa terjadi atau anggota suatu himpunan.
Titik sampel kejadian : Kemungkinan yang diharapkan terjadi.
Percobaan : Tindakan atau kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan hasil.
![Page 6: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/6.jpg)
B. PELUANG SUATU KEJADIAN Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A).
Misal banyaknya anggota kejadian suatu percobaan n (A) dan banyaknya ruang sampel adalah n (S), maka peluang terjadinya kejadian A adalah :
Contoh :Sebuah dadu dilempar ke atas. Berapa peluang kejadian munculnya bilangan genap (2, 4, 6) ?Jawab :
n(S) = 6n(A) = 3
Jadi, P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = 1/2
P (A) = n(A) / n(S)
![Page 7: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/7.jpg)
Frekuensi harapan : Banyaknya kemunculan yang di harapkan dalam suatu percobaan.
Dimana n = Banyaknya percobaan dilakukan.
Fn= n. P(A)
![Page 8: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh :
Sebuah dadu di lempar sebanyak 360 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu prima ?
Jawab : n = 360 n(A) = 3 n(s) = 6
P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = ½Fn = n. P(A) = 360 . ½ = 180
Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu prima sebanyak 180 kali.
![Page 9: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/9.jpg)
c. Kejadian Majemuk Dua kejadian saling lepas
Jika irisan suatu kejadian merupakan himpunan kosong { }
Contoh :
1. Tentukan peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 7 atau munculnya mata dadu dengan jumlah 4.
Jawab :
P(A) = peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 7
P(B) = peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 4
P(A)= 6/36
P(B)= 3/36
P(AB) = P(A)+P(B)
= 6/36 + 3/36
= 9/36
P(AB)= P(A)+ P(B)
![Page 10: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/10.jpg)
Dua kejadian saling bebasBila kejadian yang satu tidak memengaruhi kejadian yang lain.
Contoh :Sebuah dadu dilempar 1 kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil dan genap ?
Jawab :mata dadu ganjil = {1, 3, 5}
n(A)=3n(S)=6P(A)=n(A)/n(s) = 3/6 = ½mata dadu genap = { 2, 4, 6}n(B)=3n(S)=6P(B)=n(B)/n(S) =3/6 = ½
P(AB) = P(A) x P(B) =1/2 x ½ = 1/4
P(AB) = P(A). P(B)
![Page 11: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/11.jpg)
Peluang kejadian bersyarat
Peluang A terjadi jika diketahui B terjadi lebih dahulu.
Peluang B terjadi jika diketahui A terjadi lebih dahulu.
P(A|B)= P(AB)/P(B)
P(B|A)= P(AB)/P(A)
![Page 12: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh :Tentukan peluang dimunculkannya mata dadu dengan jumlah 7 dengan syarat munculnya mata dadu 1 pada dadu 1 terjadi terlebih dahulu.
Jawab :P(A) = 6/36P(B) = 6/36P(AB) = 1/36P(A|B)= P(AB)/ P(B)
= 1/36 : 6/36 = 1/6
![Page 13: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/13.jpg)
d. PermutasiPermutasi dari sekumpulan
objek adalah banyaknya susunan terurut yang berbeda dari objek-objek tersebut.
Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n
P(n,k) = n! / (n-k)!
![Page 14: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh :5 orang akan duduk pada 4 kursi yang disediakan, ada berapa susunan duduk mereka ?
Jawab : 5P4 = 5! / (5-4)!
= 5! / 1! = 1x2x3x4x5 / 1 = 120
Jadi, susunan duduk mereka sebanyak 120 susunan
![Page 15: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/15.jpg)
• Permutasi n objek dari a objek sama, b objek sama dst.
Contoh:Berapa banyaknya huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang membentuk kata JAYABAYA ?
Jawab :
8P(4,2) = 8! / 4!2!
= 5x6x7x8 / 1x2= 840
Jadi, huruf yang dapat sebanyak 840 huruf.
nP(a,b,c…) = n! / a!b!c!....!
![Page 16: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/16.jpg)
• Permutasi siklisPermutasi siklis ialah permutasi yang disusun membentuk lingkaran.
Contoh :4 orang menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar, berapa banyak susunan yang dapat terjadi ?
Jawab :P = (n-1)! = (4-1)!
= 3! = 1x2x3 = 6
Jadi, susunan yang dapat terjadi sebanyak 6 susunan.
P (n, siklis) = (n-1)!
![Page 17: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/17.jpg)
e. Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan tak terurut dari objek-objek tersebut.
Kombinasi k objek dari n objek yang sama, k≤n
kC n = n! / k! (n-k)!
![Page 18: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh :Dari 10 orang pemain akan disusun tim bola voli. Ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk ?
Jawab :n= 10k= 6
6C 10 = n! / k!(n-k)!
= 10! / 6!( 10-6)! = 10x9x8x7 / 1x2x3x4 = 210
Jadi, susunan tim yang mungkin terbentuk sebanyak 210 tim.
![Page 19: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/19.jpg)
Peubah acak
diskrit
![Page 20: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/20.jpg)
Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh atau ruang sampel ke bilangan nyata.
X = K RMisalnya E adalah sebuah eksperimen
dengan ruang sampelnya S. Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s Є S dengan sebuah bilangan real X (s) dinamakan peubah acak.
Ada dua buah himpunan yang melibatkan peubah acak, yaitu ruang sampel S yang berisi anggotanya (titik sampel) s dan Rx berupa nilai-nilai yang mungkin dari X yang berkaitan dengan anggota X nya.
Definisi peubah acak
![Page 21: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/21.jpg)
Misalnya kita mengundi dua mata uang logam Rp. 500 yang seimbang secara sekaligus. Jika X menunjukkan banyak huruf “BANK INDONESIA” yang terjadi, maka apakah X merupakan peubah acak?
Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {HH,HG,GH,GG} Dengan : G = gambar “ BUNGA MELATI” H = HURUF “BANK INDONESIA” s1 = HH maka X (s1) = X {HH} = 2 s2 = HG maka X (s2) = X {HG} = 1 s3 = GH maka X (s3) = X {GH}= 1 s4 = GG maka X (s4) = X {GG} = 0 nilai-nilai yang mungkin dari X, Rx = {0,1,2}
![Page 22: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/22.jpg)
Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi maka X disebut peubah acak.
• HH• HG• GH• GG
210
![Page 23: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/23.jpg)
PEUBAH ACAK DISKRIT
Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai - nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.
![Page 24: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/24.jpg)
Nilai-nilai yang mungkin dari X adalah Rx ={0,1,2,}. Karena banyaknya anggota dari Rx berhingga, maka X termasuk ke dalam peubah acak diskrit.
fungsi peluang dari sebuah peubah acak diskrit X adalah fungsi nilai-nilainya, P(x), memenuhi persyaratan sebagai berikut.
a. p(x) ≥ 0 b. ∑ p(x)= 1 Pasangan yang di urutkan nilai-nilai peubah acak dan
peluangnya dinamakan distribusi peluang dari peubah acak tersebut.
![Page 25: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/25.jpg)
Grafik fungsi distribusi peluang berupa grafik batang / histogram peluang.
fungsi distribusi dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi distribusi dari peubah acak diskrit X didefinisikan sebagai berikut :
F(x) = p (x ≤ x )
F (x) = ∑ p (t)
![Page 26: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/26.jpg)
Bila X dan Y adalah dua variabel acak diskrit disribusi probilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f (x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat di ambil variabel acak X dan Y. sehingga :
f (x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan.
Contoh : Bila dalam suatu penerimaan mahasiswa baru, X
menyatakan nilai rata-rata terendah yang diterima, dan Y menyatakan umur maksimum calon mahasiswa maka f (7.5 , 18) menyatakan probabilitas bahwa nilai rata-rata mahasiswa yang mendaftar adalah 7 dan dia berusia 18 tahun.
F (x,y) = p ( X=x , Y=y )
![Page 27: Peluang dan peubah acak diskrit](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081417/55b9dccebb61eb631c8b46b7/html5/thumbnails/27.jpg)
SOAL LATIHAN
1. Dari 12 siswa yang terdiri dari 7 siswa putra dan 5 siswa putri, akan dibentuk kelompok belajar yang terdiri dari 4 orang. Berapa peluang terbentuknya kelompok belajar putri ?
2. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 4 bola putih dan 5 bola hijau. Jika dari kotak tsb akan di ambil 3 bola. Tentukan peluang terambilnya 3 bola merah jika bola di ambil sekaligus !