pengantar proses stokastik · peluang bersama distribusi diskrit peluang bersama distribusi kontinu...
TRANSCRIPT
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Pengantar Proses StokastikBab 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia
2015
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Peluang Bersama Distribusi Diskrit
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit yangterdefinisi di ruang sampel yang sama. Maka fungsi peluangbersama dari X dan Y
pX ,Y (x , y) = P(X = x ,Y = y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Sifat-sifat fungsi peluang bersama pX ,Y (x , y):
1 pX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x , y)
2∑∑
x ,y pX ,Y (x , y) = 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Fungsi Peluang Marginal
Fungsi peluang marginal dari X dan Y masing-masing adalah:
pX (x) =∑y
pX ,Y (x , y), x ∈ R
danpY (y) =
∑x
pX ,Y (x , y), y ∈ R
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Contoh 1
Berikut adalah data tentang jumlah kamar tidur dan kamar mandidari 50 rumah yang akan dijual:
X\Y 2 3 4 5 Total
2 3 0 0 0 3
3 14 12 2 0 28
4 2 11 5 1 19
Total 19 23 7 1 50
Hitung pX ,Y untuk semua nilai X dan Y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Penyelesaian:
X\Y 2 3 4 5 Total
2 0.06 0 0 0 0.06
3 0.28 0.24 0.04 0 0.56
4 0.04 0.22 0.10 0.02 0.38
Total 0.38 0.46 0.14 0.02 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Peluang Bersama Distribusi Kontinu
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu yangterdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersamadari X dan Y adalah
FX ,Y (x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
dan fungsi peluang bersamanya adalah
fX ,Y (x , y) =∂2
∂x∂yFX ,Y (x , y) =
∂2
∂y∂xFX ,Y (x , y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Sifat-sifat fungsi peluang bersama fX ,Y (x , y) adalah:
1 fX ,Y (x , y) ≥ 0, ∀(x , y) ∈ R2
2
∞∫−∞
∞∫−∞
fX ,Y (x , y) dx dy = 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Fungsi Peluang Marginal
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinudengan fungsi peluang bersama fX ,Y (x , y), maka fungsi peluangmarginal dari X dan Y masing-masing adalah
fX (x) =
∫y
fX ,Y (x , y)dy , x ∈ R
dan
fY (y) =
∫x
fX ,Y (x , y)dx , y ∈ R
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Contoh 2
Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama
fX ,Y (x , y) = 3y2
x3, 0 < y < x < 1. Tentukan fungsi peluang
marginal X dan Y .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Penyelesaian:
a. Fungsi peluang marginal X
fX (x) =
x∫0
fX ,Y (x , y)dy =
x∫0
3y2
x3dy
=
[y3
x3
]x0
=x3
x3= 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
b. Fungsi peluang marginal Y
fY (y) =
1∫y
fX ,Y (x , y)dx =
1∫y
3y2
x3dx
=
[−3y2
2x2
]1y
=−3y2
2−(−3y2
2y2
)=−3y4 + 3y2
2y2=
3y2(1− y2)
2y2=
3
2(1− y2), 0 < y < 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Kebebasan
Dua kejadian X dan Y saling bebas jika dan hanya jika
fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersama Distribusi DiskritPeluang Bersama Distribusi KontinuKebebasan
Contoh 3
Pada Contoh 2, apakah X dan Y saling bebas?Jawab:
fX (x)fY (y) = 1
(3
2(1− y2)
)=
3
2(1− y2)
6= fX ,Y (x , y)
Jadi, X dan Y tidak saling bebas.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit
Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit. JikapY (y) > 0, maka fungsi peluang bersyarat X diberikan Y = yadalah
pX |Y (x |y) = P(X = x |Y = y)
=P(X = x ,Y = y)
P(Y = y)
=pX ,Y (x , y)
pY (y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Jika X dan Y saling bebas, maka
pX |Y (x |y) =P(X = x ,Y = y)
P(Y = y)
=P(X = x)P(Y = y)
P(Y = y)
= P(X = x)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Fungsi distribusi bersyarat X diberikan Y = y , untuk semua ysehingga P(Y = y) > 0 adalah
FX |Y (x |y) = P(X ≤ x |Y = y)
=∑a≤x
pX |Y (a|y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit
Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah
E [X |Y = y ] =∑x
x P(X = x |Y = y)
=∑x
x pX |Y (x |y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Law of Total Probability
Misalkan {B1,B2, . . . ,Bn} merupakan himpunan darikejadian-kejadian yang saling asing (’mutually exclusive’), yaitupartisi-partisi dari ruang sampel S ,
∪iBi = S =⇒ P(∪iBi ) = 1
Bi ∩ Bj = φ, untuk i 6= j =⇒ P(Bi ∩ Bj) = 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Maka, A = A ∩ S = A ∩ (∪iBi ) = ∪i (A ∩ Bi ) dan
P(A) =n∑
i=1
P(A ∩ Bi ) =n∑
i=1
P(A|Bi )P(Bi )
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Contoh 4
Misalkan p(x , y) diberikan
p(1, 1) = 0.5 p(1, 2) = 0.1
p(2, 1) = 0.1 p(2, 2) = 0.3
Hitung peluang bersyarat X diberikan Y = 1.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Pertama, kita mempunyai
pY (1) =∑x
p(x , 1) = p(1, 1) + p(2, 1) = 0.6
Maka,
pX |Y (1|1) = P(X = 1|Y = 1) =P(X = 1,Y = 1)
P(Y = 1)
=p(1, 1)
pY (1)=
5
6
pX |Y (2|1) =p(2, 1)
pY (1)=
1
6
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Contoh 5
Lala sedang mempersiapkan diri menghadapi seminar TA 2.Sebagai seorang mahasiswa yang selalu penuh perhitungan, Lalamencoba memperkirakan apakah akan mendapat hari yang baikatau hari yang buruk. Jika Lala mendapat hari yang baik, makapara dosen penguji semua akan menghujani Lala denganpertanyaan-pertanyaan (secara independen satu sama lain) denganpeluang 0.2. Jika mendapat hari yang buruk peluangnya membesarmenjadi 0.6. Menghujani pertanyaan-pertanyaan berartimembantai atau tidak meluluskan. Lala yakin bahwa hari yangbaik akan didapatkannya dua kali lebih banyak dibanding hari yangburuk. Pertanyaannya: Berapa peluang Lala akan lulus seminar?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Penyelesaian:Misalkan
A : kejadian hari yang baik
B : kejadian hari yang buruk
L : kejadian meluluskan
TL : kejadian tidak meluluskan
Maka
P(TL|A) = 0.2 P(L|A) = 0.8
P(TL|B) = 0.6 P(L|B) = 0.4
P(A) = 2P(B)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
P(TL) = P(TL|A)P(A) + P(TL|B)P(B)
= 0.2(2P(B)) + 0.6P(B)
= P(B)
P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B)
= 0.8(2P(B)) + 0.4P(B)
= 2P(B)
P(L) + P(TL) = 1
2P(B) + P(B) = 1
P(B) =1
3=⇒ P(A) =
2
3
Maka, peluang Lala akan lulus seminar adalahP(L) = 2P(B) = 2
(13
)= 2
3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu
Jika X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama fX ,Y (x , y),maka fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y , terdefinisi∀y sehingga fY (y) > 0, adalah
fX |Y (x |y) =fX ,Y (x , y)
fY (y)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Ekspektasi Bersyarat Distribusi Kontinu
Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah
E [X |Y = y ] =
∞∫−∞
x fX |Y (x |y)dx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Contoh 6
Misalkan fungsi peluang bersama X dan Y diberikan
fX ,Y (x , y) =
{6xy(2− x − y), 0 < x < 1, 0 < y < 1
0, lainnya
Tentukan ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y , di mana0 < y < 1.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Penyelesaian:Pertama, kita tentukan fX |Y (x |y) yaitu
fX |Y (x |y) =fX ,Y (x , y)
fY (y)
=6xy(2− x − y)
1∫0
6xy(2− x − y) dx
=6xy(2− x − y)
y(4− 3y)
=6x(2− x − y)
4− 3y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Maka
E [X |Y = y ] =
1∫0
x6x(2− x − y)
4− 3ydx
=(2− y)2− 6
4
4− 3y
=5− 4y
8− 6y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Conditioning Rules
E [X ] = E [E [X |Y ]]Bukti:
E [X ] =∑y
E [X |Y = y ]P(Y = y)
=∑y
∑x
x P(X = x |Y = y)P(Y = y)
=∑y
∑x
xP(X = x ,Y = y)
P(Y = y)P(Y = y)
=∑y
∑x
x P(X = x ,Y = y)
=∑x
x∑y
P(X = x ,Y = y) =∑x
x P(X = x) �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Contoh 7
Sam akan membaca baik satu bab buku statistika maupun satubab buku sejarah. Jika banyaknya kesalahan cetak pada satu babbuku statistika berdistribusi Poisson dengan mean 2 danbanyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku sejarah jugaberdistribusi Poisson dengan mean 5. Asumsikan Sam memilikipeluang yang sama untuk memilih kedua buku tersebut, berapabanyak kesalahan cetak yang diharapkan yang akan Sam temukan?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Penyelesaian:Misalkan
X : menyatakan banyaknya kesalahan cetak
Y : menyatakan buku yang akan dipilih
Misalkan
Y =
{1, jika Sam memilih buku statistika
2, jika Sam memilih buku sejarah
Maka
E [X ] = E [X |Y = 1]P(Y = 1) + E [X |Y = 2]P(Y = 2)
= 2
(1
2
)+ 5
(1
2
)=
7
2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Var(X ) = E [Var(X |Y )] + Var(E [X |Y ])Bukti:
E [Var(X |Y )] = E[E [X 2|Y ]− (E [X |Y ])2
]= E
[E [X 2|Y ]
]− E
[(E [X |Y ])2
]= E [X 2]− E
[(E [X |Y ])2
]dan
Var(E [X |Y ]) = E[(E [X |Y ])2
]− (E [E [X |Y ]])2
= E[(E [X |Y ])2
]− (E [X ])2
Jadi, E [Var(X |Y )] + Var(E [X |Y ]) = E [X 2]− (E [X ])2 �.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Misalkan E adalah sebarang kejadian dan definisikan peubahacak indikator X oleh
X =
{1, jikaE terjadi
0, jikaE tidak terjadi
Maka
E [X ] = P(E )
E [X |Y = y ] = P(E |Y = y), untuk sebarang peubah acak Y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Maka,
P(E ) = E [X ] = E [E [X |Y = y ]]
= E [P(E |Y = y)]
=∑y
P(E |Y = y)P(Y = y), jika Y diskrit
=
∞∫−∞
P(E |Y = y)fY (y)dy , jika Y kontinu
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Contoh 8
Di kampung, setiap Minggu pagi Swari meninggalkan rumah untuklari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan/belakang denganpeluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatuolahraga/bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depanpintu yang ia lewati. Ketika Swari pulang, Swari akan masuk lewatpintu depan/belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluangyang sama. Jika dia mempunyai 4 pasang sepatu, akan dihitungberapa peluang Swari akan sering berolahraga dengan bertelanjangkaki. Tentukan ruang sampelnya terlebih dahulu.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Penyelesaian:
S = {(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)}
MisalkanA : Swari berolahraga dengan bertelanjang kakiD : sepatu ada di pintu depanB : sepatu ada di pintu belakang
P(A) = P(A|D)P(D) + P(A|B)P(B)
=1
5.1
2+
1
5.1
2
=1
5
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
Diskusi
1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikaninformasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikansetidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikanlebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenissports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih darisatu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluangbahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acakmengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
2. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikutioleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebutdiketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswaangkatan 2012. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkinmengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengankemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkandiri dan dia adalah angkatan 2012. Berapa peluang bahwamahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
3. JB berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok.Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Faktayang ada menunjukkan bahwa jika JB hendak keluar daripenjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akanmembawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalamwaktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali kepenjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yangakan membawa JB bebas. Diasumsikan bahwa JB memilihpintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut 0.5, 0.3,dan 0.2. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan JBuntuk bebas?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
Pustaka
Peluang Bersyarat Distribusi DiskritEkspektasi Bersyarat Distribusi DiskritPeluang Bersyarat Distribusi KontinuConditioning RulesDiskusi
4. JB hendak melakukan penipuan. Di tangannya diamenyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dansebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zetacalon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sangpemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JBkemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya.Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yangdilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koinyang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapapeluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? MisalJB melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya danmuncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik
Peluang BersamaPeluang dan Ekspektasi Bersyarat
PustakaPustaka
Pustaka
Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models;9th Edition. New York: Academic Press.
Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 PengantarProses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung.
Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Coursein Stochastic Processes; Second Edition. New York: AcademicPress.
Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik