pŘehled vzorcŮ z fyzikyhejnal-skola.sweb.cz/1 fyzika/f_1 vzorce_prehled 35 sweb... · web...

document.docx, tisk document.docx21.9.2023Str. 1/18

Poznámky pro učitele:Předpony od piko po tera jsou v předchozím vydání učebnice, (v novějším možná ne), ale budou to potřebovat od piko až po tera a TB znají. Práce vyjadřuje dráhový účinek síly, impulz síly vyjadřuje časový účinek síly – Leibnitz a Newton.Xxx - přidat sem vzorce z dalších souborů, např. tření z 1E a elektro z 2ABC, formy existence hmoty z F6, atd. xxx – doplnit čísla stránek z učebnice.

ÚVODNÍ POZNÁMKY PRO ŽÁKY:Tento soubor je k dispozici na www.hejnal-skola.sweb.cz

Původně byl tento soubor jen přehled vzorců, později bylo u většiny z nich doplněno i vysvětlení vzorců, vysvětlení probírané látky včetně vysvětlujících příkladů, takže se postupně stává zkráceným zápisem látky ze sešitu. Je proto vhodný nejen pro opakování, ale lze ho použít, i když někdo chyběl při hodině. Tento soubor bude ještě upravován - dole jsou zbytky z dřívějška, které ještě nejsou dodělané! Označení míst, kde je nutno ještě něco dodělat, je uděláno pomocí xxx, yyy, atd.!

Tento přehled vzorců nemůže nahradit výuku, ve které je probíráno podrobné vysvětlení jednotlivých vzorců, jež bývá doplněno i obrázky. V tomto přehledu bylo doplněno vysvětlení jen k nejdůležitějším vzorcům a obrázky nebyly doplňovány téměř vůbec.

Naprostá většina zde uváděné látky byla probírána na ZŠ, takže ji už máte umět! Jedná se tedy většinou o její zopakování a uspořádání, tj. vzorce ze ZŠ musí být uspořádány logicky (viz tři druhy fyzikálních vzorců níže). U každého vzorce je nutno vědět, co dotyčná písmena znamenají a v jakých jednotkách se měří, tj. každý vzorec je nutno umět vysvětlit větou!

Učebnice = příslušná učebnice ze sady učebnic fyziky, které používáme při výuce, např. FI/21 označuje naši učebnici fyziky FI, stránku 21, přičemž FI = Lepil O. a kol. , FYZIKA I pro střední školy, Prometheus 9421083, Dotisk 4., přepracovaného vydání ISBN, 80-7196-184-1Kdo má jiné vydání, tak stránka bude poněkud jiná (podívat se v učebnici dopředu či dozadu).

Dotazy: Jestliže jsi něčemu doma nerozuměl , tak se zeptej spolužáka (když ti to bude vysvětlovat, tak se to bude učit i on). Když to nebude vědět spolužák, tak zavolej ve třídě, kdo to ví. Když to nebude vědět nikdo, tak se zeptej mě: (a) O přestávce (bývám většinou v kabinetu); (b) V úterý a ve čtvrtek bývám v kabinetu asi do 16.15 hod a je možno domluvit i jiný termín; (c) Na začátku každé hodiny fyziky se můžeš zeptat na to, čemu jsi doma nerozuměl. Jestliže nebudeš rozumět něčemu při výkladu , tak se zeptej hned při hodině (na konci každého bodu se většinou ptám, kdo má dotazy, takže se každý může zeptat a jestliže se chceš na něco zeptat ihned, tak mě prosím nech alespoň dokončit větu).

DÁLE BUDE NA MODRÉM PODKLADU NEPOVINNÉ UČIVO - JE SPRÁVNĚ A PŘESNĚJI. Nepovinné učivo je určeno především těm, co chtějí jít na VŠ (především na VŠ technického směru) – tento soubor si můžou stáhnout a na VŠ jim bude sloužit jako přehled středoškolského učiva a tyto upřesňující poznámky se jim budou hodit.


ČERVENĚ NA MODRÉM PODKLADU BUDE NEPOVINNÉ UČIVO, KTERÉ JE VELMI DŮLEŽITÉ, TAKŽE JE DOPORUČENO PRO VŠECHNY ŽÁKY a měli by se s ním seznámit všichni žáci!

Občas je zde ještě úmyslně užito i některých zastaralých označení jednotek, např. 1sekunda = 1sec místo správného 1s, aby se to nepletlo s drahou s. (Xxx-postupně přeznačit na správné jednotky. )

Označení veličin pochází většinou z angličtiny (např. plocha či povrch S = surface nebo objem V = volume).

V zápisu zlomků je používaná šikmá a poctivě i vodorovná zlomková čára.

Jak se učit – viz sešit a zvláštní soubor

1) Co je to fyzika – viz FI/11, kp. 1.1.a) Původně to bylo jen řecké slovo označující přírodu (fysis=příroda).b) Později vznikla nauka o přírodě a začala se nazývat fyzika v mnoha řečech, např.

česky se postupně psalo physica, physika, fysika a nyní fyzika. Pozn.: Sami si najděte a doplňte, jak se řekne fyzika v těch jazycích, které se učíte, např. AJ:xxx, NJ:xxx, FJ:xxx, ŠJ:xxx, RJ:xxx. Kdo se chce naučit jazyk, tak by měl všechny výrazy z fyziky umět nejen v AJ, ale i v dalším jazyce co se učí.

c) Nyní je fyzika jen jednou z několika přírodních věd, protože se z ní oddělily např. matematika, chemie, biologie. (Tj. „fyzika je matkou všech přírodních věd.“)

2) Význam fyziky především pro technické předmětyVýznam fyziky je velký, neboť fyzika jakožto nauka o přírodě (fysis=příroda) jednak přispívá k poznání a pochopení světa, v němž žijeme, takže má význam filozofický a dále má značný význam technický, protože technický rozvoj lidstva byl umožněn teprve praktickým využitím fyzikálních poznatků, tj. FYZIKA JE ZÁKLADEM TECHNIKY neboť vám umožní pochopit podstatu činnosti různých technických zařízení, přístrojů a strojů, s kterými budete pracovat.

3) Příroda se skládá z hmoty (materie), jejíž množství vyjadřujeme pomocí veličiny hmotnost, kterou označujeme písmenem m (protože AJ:mass=hmotnost) a kterou měříme v kilogramech, značka kg. Pozn.: Česky se už slovo massa= hmotnost neužívá, ale užívá se masivní stůl, nábytek masiv, horský masiv. Pozn.: Sami si najděte a doplňte, jak se řekne hmota a hmotnost v těch jazycích, které se učíte, např. AJ:xxx, NJ:xxx, FJ:xxx, ŠJ:xxx, RJ:xxx. Kdo se chce naučit jazyk, tak by měl všechny výrazy z fyziky umět nejen v AJ, ale i v dalším jazyce co se učí.

4) Formy existence hmoty jsou a) Fyzikální látka, z níž jsou tvořena tělesa např. kladivo je ze dřeva a ze železa (v

železe bývají příměsi uhlíku C, dusíku N, kyslíku O, případně chromu, atd. ) b) Fyzikální (silové) pole, především gravitační pole, (např. Slunce přitahuje

Zeměkouli, Zeměkoule přitahuje nejen Měsíc, ale i každé jiné těleso, např. kámen) a elektromagnetické pole (např. elektrony kmitající v anténě vysílače vybudí ve svém okolí elektromagnetické pole, to se šíří jakožto elektromagnetická vlna k nám, zde rozkmitá elektrony v anténě našeho přijímače, což v přijímači


zesílíme a náš rozhlasový či TV přijímač „hraje“). Speciální případy elmg. pole jsou elektrické pole a magnetické pole. Dále existuje pole jaderných sil, jež drží pohromadě jádra atomů (např. uvolňování jaderné energie v jaderné elektrárna, či jaderné reakce uvnitř Slunce a hvězd). Kromě těchto silných jaderných interakcí jsou i slabé jaderné interakce, jež způsobí např. přeměnu neutronu v jádře atomu na proton a elektron.

c) Poznámky: Fyzikální pole zprostředkuje působení na dálku, aniž by se tělesa dotýkala: např. Slunce přitahuje Zeměkouli ve skutečnosti znamená, že Slunce vytvoří ve svém okolí gravitační pole a to přitahuje Zeměkouli, podobně Zeměkoule vytváří ve svém okolí gravitační pole a to přitahuje Měsíc či kámen, atd. Pole je nová forma existence hmoty, protože existuje i tam, kde není žádná látka (ve vakuu), např. v mezihvězdném prostoru se šíří elektromagnetický signál i když tam nejsou téměř žádné atomy či molekuly plynu, takže jsme mohli komunikovat s kosmonauty i když byli na Měsíci, ale televizní signál k nám běžel znatelně déle. Světlo, teplo nebo rentgenovo záření je také elektromagnetickým zářením.

5) Fyzikální veličiny, FI/13, kp.1.2Fyzikální veličiny jsou ty vlastnosti fyzikálních těles a polí, jejichž velikost lze měřit.Např. cihla není veličina, ale její délka, šířka, výška, objem, hmotnost a hustota jsou veličiny. Rovněž světlo, jež lze považovat za vlnění elektromagnetického pole, není veličinou, ale jeho perioda, frekvence, vlnová délka či rychlost šíření jsou veličiny, které můžeme měřit. Pozn.: Veličiny rozdělujeme dále na skaláry a vektory podle toho, zdali mají či nemají směr. Např. hmotnost či hustota jsou skaláry, jež nemají směr, zatímco rychlost je ve skutečnosti vektor, který zakreslíme do obrázku jako šipku, která míří na sever či na východ podle toho, kam se pohybujeme a jejíž délka vyjadřuje velikost rychlosti, viz dále.

6) Měření Měření je srovnávání, kolikrát je měřená veličina větší, nežli příslušná jednotka, např. ukázka měření délky místnosti skládacím metrem (a ne kilogramovým závažím). Výsledek měření mívá: označení veličiny, číselnou hodnotu (velikost) a značku jednotky, např. délka místnosti a = 5m znamená, že místnost je pětkrát delší, nežli můj skládací metr. PROTO VŽDY MUSÍME DOSAZOVAT DO VZORCŮ VČETNĚ JEDNOTEK , např. plocha podlahy místnosti o délce a = 5m a šířce b = 4m je S = a.b = 5m.4m = 20m2. V matematice jste na ZŠ jednotky většinou vynechávali, což je sice rychlejší, ale je to špatně, zatímco v učebnicích fyziky pro 6. až 9. ročník z nakladatelství Fraus není snad jediný příklad, který by byl bez jednotek! (Např. když napíši S = a.b = 5.4 = 20m2, tak jsem dosadil a = 5, což neplatí, protože na pravé straně je pouhé číslo, takže to může být např.počet žáků, ale ne délka, obdobnou chybu jsem udělal při dosazení b = 4, a nakonec jsem vynásobil 5.4 = 20m2, což je též špatně, protože nalevo není plocha, takže tam mám 3 chyby a správný výsledek! Podrobněji v hodině.)

7) Fyzikální jednotky Fyzikální jednotka je dohodnutá velikost fyzikální veličiny, např. původně se měřila délka pomocí palců, stop a loktů a teprve potom se vědci dohodli, že metr bude desetimiliontá část vzdálenosti od zemského pólu k rovníku. Zajímavost bez zápisu - výklad jak to měřili, proč a jak se definice metru změnila.

8) Soustava jednotek SI (FJ: Système Internacional ďUnités)a) Základní jednotky jsou metr, kilogram, sekunda, ampér (a další, jež poznáme

později), takže nyní předpokládáme, že umíme měřit jen délku, hmotnost a čas a


ostatní veličiny a jejich jednotky „zatím neznáme“ a budeme je postupně odvozovat až dále. Původní definice byly: metr byla desetimiliontá část vzdálenosti od zemského pólu k rovníku, kilogram byla hmotnost 1dm3

destilované vody (při teplotě 4°C, kdy má voda největší hustotu) a sekunda byla zvolena tak, že se Zeměkoule otočila přesně za 24 hodin (od pravého poledne k dalšímu poledni). Jejich definice se však postupně změnily, viz www. Uuu

b) Odvozené jednotky budeme postupně odvozovat ze základních pomocí definic, viz dále. Např. odvodíme, že jestliže ujedu vzdálenost s=1metr za dobu t=1sekundu, potom pomocí definice rychlosti v = s/t odvodím, že jednotkou rychlosti je v = 1m/1s = 1m/s = 1m. s-1. (Mocniny se záporným mocnitelem viz zvláštní soubor ve Wordu.) Každou odvozenou jednotku musím umět převést na základní, tj. na kg, m, s a případně i na ampéry!!!

c) Násobky a díly jednotek SI tvoříme pomocí řeckých předpon, FI/16, kp. 1.2.:10n Předpona Značka Název Násobek Příklad Např.

1012 tera T bilion 1 000 000 000 000 TW – terawatt 2 TW = 2 000 000 000 000 W109 giga G miliarda 1 000 000 000 GHz – gigawatt 3 GW = 3 000 000 000 W106 mega M milion 1 000 000 MW –megawatt 4 MW = 4 000 000 W103 kilo k. tisíc 1 000 km – kilometr 5 km = 5 000 m102 hekto h. sto 100 hl – hektolitr 6 hl = 600 litrů101 deka dk. deset 10 dkg – dekagram 7 dkg = 70 g100 - - jedna 1 m – metr -10−1 deci d. desetina 0,1 dm – decimetr 2 dm = 0,2 m10−2 centi c. setina 0,01 cm – centimetr 3 cm = 0,03 m10−3 mili m. tisícina 0,001 mm – milimetr 4 mm = 0,004 m10−6 mikro µ miliontina 0,000 001 µm – mikrometr 5 µm = 0,000 005 m10−9 nano n. miliardtina 0,000 000 001 nm – nanometr 6 nm = 0,000 000 006 m10−12 piko p. biliontina 0,000 000 000 001 pF – pikofarad 7 pF = 0,000 000 000 007 F

Poz.: Word může špatně zobrazovat značky jednotek ve sloupci „Značka“ – chce tam sám od sebe dávat velká písmena jako na začátku věty, proto jsou za nimi navíc tečky, které ke značce nepatří. Správně by to mělo být ve sloupci „Příklad“, velká písmena jsou pouze první tři značky - T, G a M.

Další řecké předpony viz https://cs. wikipedia. org/wiki/P%C5%99edpona_soustavy_SI

Naučit se to nejlépe ve 4 skupinách: (a) kilo, mega giga tera, (b) mili, mikro, nano, piko (c) deci, centi a (d) deka, hekto . Pozor, neplést si dekagram a decigram, 20dkg = 20.(10g) = 200 g (dvacet deka salámu je v Německu zwei Hundert Gram Wurst), ale 2dg = 2. (0,1g) = 0,2g.

POZOR, PŘEDPONA JE SOUČÁSTÍ JEDNOTKY, TAKŽE MÁ PŘEDNOST např. PŘED UMOCŇOVÁNÍM! Např. 5km2 = 5.(km)2 = 5.(103m)2 = 5.106.m2 = 5 000 000 m2, zatímco chybně je 5km2 ≠ (tuto chybu nedělat) 5.1000.m2 = 5 000 m2 !!! Tj. 5 km2 ≠ 5.k(m2)!V této tabulce se užívají mocniny, protože s velkými a malými čísly se počítá pomocí mocnin deseti – MOCNINY ZATÍM POUŽÍVAT NEMUSÍTE, ALE JE VHODNÉ SI JE ZOPAKOVAT A NAUČIT: Zopakujte si dle letošní učebnice matematiky mocniny a vzorce pro počítání s mocninami, jež byly pro kladný mocnitel probírány na ZŠ. Podívejte se tam i na mocniny se záporným mocnitelem, které na ZŠ běžně probírány nejsou, takže nyní jsou jen doporučeným nepovinným učivem, ale jen do té doby, nežli budou v matematice v 1.pololetí 1.ročníku probrány. Kdo umí počítat s mocninami s kladným mocnitelem, tak mu stačí si zapamatovat, že mocnina se záporným mocnitelem je jedna lomeno mocnina s kladným mocnitelem, např.10 -3 = 1/10 3 , atd., viz tabulka předpon. Krátké a přehledné vysvětlení viz též soubor Mocniny.doc na www.hejnal - skola.sweb.cz Pozor, u počítačů se užívají kilobajty, megabajty a gigabajty, jež se přepočítávají jinak: Násobnými jednotkami jsou 1 KB (počítačový kilobyte) = 1024 B, 1 MB (počítačový megabyte) = 1024 KB a 1 GB (počítačový gigabyte) = 1024 MB, atd., zatímco normálně by se mělo jednat o tisícinásobky, (řecky: kilo = tisíc = 1 000, mega = milion= 1 000 000, giga = miliarda = 1 000 000 000). Důvodem je to, že součástky počítače pracují jen se dvěma stavy (proud teče nebo neteče), takže v konstrukci počítačů je vhodné užívat čísla, jež se dají rozložit na součin samých dvojek, přičemž 1024 = 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 210 je to z nich, které se nejvíc blíží číslu 1000. Pozor, užívá se 1kB = 1000 B i 1 KB = 1024 B, ale u GB a TB se rozdíl mezi počítačovým GB a TB „řeckým“ GB a TB moc neuvažuje, protože platí

http://www.hejnalskola.sweb.cz/


1GB = 1024KB = 1024.1024B = 1048576B = 106B (po zaokrouhlení, tj. přibližně) a podobně 1TB = 1,0737.109B = 109B (po zaokrouhlení).

d) Další užívané jednotky, jež nepatří do soustavy SI, mohou být povolené (hodina, minuta, litr, tuna, km/h), nebo nepovolené (průměr trubek se běžně udává v palcích, další anglické míry jako stopa a yard se u nás neužívají.)

9) Tři druhy fyzikálních vzorců – odvozování veličin a jednotek: Fyzikální vzorec obsahuje fyzikální veličiny. Vzorce jsou nejdůležitější částí fyziky – fyzikové se snažili všechny pozorované jevy popsat pomocí vzorců a teprve vzorce nám umožňují spočítat to, co potřebujeme a to nejen v technice, např. nestačí vědět, že když pustím kámen, tak padá dolů, ale musím umět dle vzorců spočítat, kde bude a jakou bude mít rychlost např. za 5 vteřin. Druhy vzorců jsou:a) Definice. Jestliže v dotyčném vzorci je jedna jediná dosud neznámá veličina, potom se jedná o definici této nové veličiny, neboli o její odvození z předchozích, již známých veličin. Ve skutečnosti je definice pouze sdělení, na čem se lidé dohodli, např. lidé se dohodli na tom, že jestliže těleso ujede dráhu s za dobu t, tak jejich poměr budou nazývat průměrnou rychlost, vp = s/t. Z každé definice nové veličiny přitom vyplývá i její jednotka, např. jestliže těleso ujede za 1sekundu dráhu 1m, potom jeho průměrná rychlost je vp = 1m/1s = 1m/s. Přitom u definice nové veličiny bude navíc sděleno, že dotyčná jednotka se jmenuje podle nějakého fyzika, např. že jednotka síly se nazývá po fyziku Isaaku Newtonovi newton, tj. že 1N = 1kg.m/s2, podrobněji viz definice dále. b) Zákony (v matematice se říká věty). Jestliže v dotyčném vzorci není ani jedna dosud neznámá veličina, potom se jedná o zákon, který je nutno dokázat, tj. vysvětlit, proč tento vzorec platí. Ve skutečnosti se jedná o tvrzení, že nějaká veličina či kombinace veličin na levé straně tohoto vzorce je rovna kombinaci veličin na jeho pravé straně, takže toto tvrzení je nutno dokázat, tj. vysvětlit proč tato rovnost platí – podrobněji viz důkazy dále. c) Nesmyslné vzorce . Jestliže jsou v dotyčném vzorci dvě nebo více dosud neznámých, tj. nedefinovaných veličin, potom se jedná o nesmysl, protože již ze ZŠ víte, že z jedné rovnice lze vypočítat jen jednu neznámou, takže z jednoho vzorce lze vysvětlit jen jednu veličinu. Přitom takovéto nesmyslné vzorce mohou být správné, ale jsou umístěny na nevhodném místě. Např. Mezi základní jednotky soustavy fyzikálních jednotek SI patří metr, kilogram a sekunda, takže nyní předpokládáme, že zatím umíme měřit jen délku, hmotnost a čas a ostatní veličiny a jejich jednotky nyní „ještě neznáme“. Kdybychom hned nyní uvedli platný vzorec pro závislost odporu vodiče na jeho rozměrech, který byl probírán již na ZŠ,

R=ρ lS

tak nyní v něm víme pouze to, co je to délka vodiče l, takže pro nás obsahuje ještě 3 „neznámé“, R, ρ, S, takže je nesmyslem. Kdybychom ho uvedli až po vzorci S=π. r2, kterým se „naučíme“ co je to plocha S kruhového průřezu vodiče, tak by tento vzorec obsahoval ještě 2 „neznámé“ R a ρ. Jestliže ho uvedeme až poté, co se v nauce o elektromagnetizmu dozvíme, co je to odpor R, (tj. po vzorci R=U/I jež byl rovněž probírán na ZŠ), tak už to nesmyslný vzorec nebude, ale bude to definice měrného odporu ρ, protože všechny ostatní veličiny už budeme znát. Vidíme tedy, jak je důležité správné uspořádání vzorců: ze správného vzorce můžeme udělat nesmysl, jestliže ho uvedeme moc brzo a dále vidíme, že definice nějaké veličiny musí být prvním vzorcem, v němž tato veličina vystupuje. (Takovéto nesmyslné vzorce v tomto přehledu snad nejsou, ale kdyby někdo takový vzorec našel, tak ať mě upozorní.)

10) DélkaZnát původní definici metru – metr byl původně desetimiliontá část vzdálenosti od severního pólu na rovník, (mezinárodní prototyp v Sévru u Paříže, náš prototyp, atd. )


Převody jednotek:Hl Př.1. : Př. Převeďte 4km na cm, zkráceně 4km = ?cm.

Výpočet: 4 km = 4.(103m) = 4.103.(102.cm) = 4.105 cm. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami lze udělat z hlavy – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se u složitějších výpočtů neobejdete.Hl Př.2. : Př. Převeďte 4cm na km, zkráceně 4cm=?km.

Výpočet 1: 4 cm = 4.(10-2m) = 4.10-2.(10-3.km) = 4.10-5 km. Tento výpočet je nejlepší a lze udělat z hlavy . Potřebuji umět z 8. třídy ZŠ počítat mocninami s kladným mocnitelem a vědět, že mocnina se záporným mocnitelem je jedna lomeno mocninou s kladným mocnitelem (např. 10-2 = 1/102 či 10-3 = 1/103), takže v 1. závorce výpočtu jsem místo centimetru napsal setinu metru a v 2. závorce výpočtu jsem místo metru napsal tisícinu kilometru a potom jsem mocniny vynásobil (podle pravidel pro počítání s mocninami z 8. třídy ZŠ se exponenty sečtou). Podrobnosti k mocninám viz soubor Mocniny.doc na swebu. U každého rovnítka musí platit, že jeho levá strana je skutečně rovna jeho pravé straně. Proto z levé strany musím vše přepsat na pravou, nic nesmím zapomenout, nic si nesmím připsat navíc a jenom smím něco napsat jiným způsobem. Závorky jsou tam zbytečné (normálně se tam nepíšou), pouze žákům naznačují, že v závorce je to, co bylo napsáno jiným způsobem místo něčeho jiného. .

Výpočet 2: 4 cm=4 m102=

4102 .( km103 )=4km

105 =0,000 04 km

K tomuto výpočtu potřebuji umět z 8. třídy ZŠ počítat mocninami s kladným mocnitelem. Uvědomte si, že je to totéž co předchozí výpočet, pouze místo záporných mocnin píšu do jmenovatele kladné mocniny a protože se ve výsledku nenechává zlomek, tak ho převedu na desetinné číslo, v němž po každých třech místech udělám mezeru, aby bylo rovnou vidět, kolik jich je.

Výpočet 3: 4 cm = 4.(0,01m) = 4.0,01.(0,001.km) = 4.0,000 01 km = 0,000 04 km. Nepoužívám mocniny ani zlomky. Tento výpočet je stejný jako první, pouze místo mocnin se záporným mocnitelem píšu desetinná čísla, v nichž nezapomenu dělat mezery.

Výpočet 4: 4 cm=4 m100

= 4100 ( km1000 )= 4 km

100 000=0,000 04km

Tento výpočet je stejný jako druhý, pouze místo mocnin píšu jedničku s nulami a s mezerami.

Každý to může dělat, jak chce, ale musí v něm platit všechna rovnítka, takže všude musí být i jednotky. První výpočet je nejlepší - bez mocnin se záporným mocnitelem se u složitějších výpočtů neobejdete a mocniny se záporným mocnitelem budete mít v matematice v 1.ročníku SŠ (asi v říjnu). Řešení dalších příkladů dole budou pokud možno nejlepším způsobem, protože od října byste to tak měli umět, na tabuli to budeme psát i bez mocnin se záporným mocnitelem. Hl Př.3. : Př. Obvod obdélníka - obvod zahrady (délka plotu O=?, a=50m,

b=40m)Hl Př.4. : Př. Obvod čtverce a=5cmHl Př.5. : Př. Délka hran kvádru (např. cihly délka a=15cm, šířka b=10cm,

výška c=5cm)Hl Př.6. : Př. Délka hran krychle (např. dětské kostky na hraní a=3cm)Hl Př.7. : Př. Délka rovníku (z původní definice metru, zeměkoule je ideální

koule)


11) Př. Délka kružnice = obvod kruhuObvod kruhu o poloměru r se spočte dle vzorce

O = 2 π r,kde π je Ludolfovo číslo, přibližně π = 3,14. Důkaz (vysvětlení): Vzít si hrneček a změřit jeho diametr (průměr) d a spočítat jeho radius (poloměr) r=d/2. Potom krejčovským metrem změřit jeho obvod O. Nakonec spočítat O podle našeho vzorce a zjistit, že to v rámci měřících chyb skutečně platí. Pozor je to jenom vysvětlení, ale není to pravý důkaz (ten se dělá v matematice), protože jsem to pro ostatní kruhy nedokázal, a i když bych to takto udělal s velkým počtem jiných kruhů, tak bych to stejně nikdy neudělal pro všechny. Hl Př.8. : Spočti obvod kruhu o poloměru 5cm, (zkráceně: r=5cm, O=?) Hl Př.9. : Př. Spočti poloměr Zeměkoule, (z původní definice metru znám délku

rovníku).Př. Další příklady viz soubor Příklady pro žáky ….xls na internetu: hejnal-skola.sweb.cz

12) Plocha obdélníka (AJ:surface=plocha či povrch)Definice: Plocha obdélníka je součinem jeho stran,

S = a.b [m2 = m. m],přičemž m2 nečteme jako metr na druhou, ale jako metr čtvereční. Ukázka měření plochy místnosti skládacím metrem, s výsledkem a=5m, b=4m, takže S=a⋅b = 5 m . 4 m = 20 m2,což si znázorníme v sešitu: Nakreslete si obrázek obdélníka a = 5cm (vodorovně), b = 4cm (svisle) a ukažte v něm, že jeho plochu budou tvořit tři řady po čtyřech dlaždicích, takže v něm budeme mít 20 dlaždic, každou o ploše 1cm2. Vidíme tedy, že z obrázku dostaneme totéž, co ze vzorceS=a⋅b = 5 cm . 4 cm = 20 cm2.Zatím jsme uměli měřit jen základní veličiny soustavy SI, takže jsme „nevěděli“ co je to plocha S na levé straně tohoto vzorce, ale již jsme věděli, co je to délka, tj. strany obdélníka na jeho pravé straně. Dotyčný vzorec, S = a.b, tedy obsahoval pouze jedinou doposud „neznámou“ veličinu S a sděluje nám, že lidé se dohodli na tom, že součinu a. b na jeho pravé straně se bude říkat plocha, že se většinou označuje písmenem S (z anglického surface=plocha) a že nejjednodušší případ je a = 1m, b = 1m, takže S = a . b = 1m. 1m = 1m2, tj. že plochu budeme měřit pomocí dlaždic metr krát metr. V hranaté závorce by tedy mělo být [m. m=m2], ale píše se to [m2 = m. m], aby pořadí jednotek odpovídalo vzorci, jež stojí před závorkou. Z tohoto vzorce sami hned poznáme, že další jednotky plochy jsou „dlaždice“ cm. cm=cm2

jež jsme kreslili do sešitu, nebo dm. dm=dm2 jež míváme často jakožto dlaždičky na podlaze v koupelně, nebo mm. mm=mm2 jež jsou na milimetrovém papíru či km. km=km2, atd. Od teďka již víme, co je to plocha a v jakých jednotkách se měří.

13) Plocha čtvercePlocha čtverce je druhou mocninou jeho strany, S = a2 . Tento vzorec je pro nás zákonem (v matematice říkáme větou) protože už víme i to, co je to plocha S. Neobsahuje tudíž žádnou „neznámou“, dosud nedefinovanou veličinu, takže je to tvrzení, že plocha čtverce S na jeho levé straně je rovna druhé mocnině jeho strany, jež je na jeho pravé straně. Toto tvrzení však musíme dokázat, tj. vysvětlit, proč tento vzorec platí, tj. proč se levá strana tohoto vzorce rovná pravé. Důkaz (vysvětlení): Čtverec je obdélníkem, který má stejně dlouhé stany, (tj. čtverec je speciálním případem obdélníka a proto je vzorec pro plochu čtverce speciálním případem vzorce pro plochu obdélníka). Proto dosazením b = a do vzorce pro obdélník získáváme S = a. b = a. a = a2. Například ve čtverci o straně a = 4cm (vodorovně i svisle) máme 4 řady dlaždic po 4 dlaždicích, takže v něm budeme mít 16 dlaždic, každou o ploše 1cm2. Odvození vzorce je jeho vysvětlení, které dám před vzorec, zatímco důkaz vzorce je jeho vysvětlení, které dám až za vzorec.


Poznámka: Důkazy se často vynechávají, takže na ně žáci nejsou zvyklí. K tomu, abych tomu rozuměl, však nestačí, že to tvrdil autor učebnice, ale musím vědět i vysvětlení proč to platí (tj. umět důkaz). Poznámka: Velice často se používá i opačný postup – nejdříve je definice plochy pomocí čtverce a potom plocha obdélníka jakožto věta, kterou je nutno dokázat. V tomto případě by plocha čtverce byla prvním vzorcem, v němž vystupuje plocha, takže by to pro nás byla definice plochy (tj. bylo by to sdělení, čemu se říká plocha, takže by se vzorec S=a2 nedokazoval) a plocha obdélníka S=a.b by byla druhým vzorcem, v němž bychom již znali všechny veličiny, takže by to byla pro nás věta, kterou bychom museli dokázat. O tom, co je definicí a co je větou tedy rozhoduje pořadí vzorců (a jestliže správný vzorec uvedu moc brzo, tak z něj mohu udělat i nesmysl - viz výše závislost odporu na rozměrech vodiče). Poznámka: Dále uváděné vzorce budou většinou definicemi, protože jsou nejdůležitější – zákony si můžeme z předchozích vzorců odvodit (tj. dokázat).

Další často užívanou jednotkou je hektar, jež je 100 arů (hekto=řecky 100), 1ha = 100a, přičemž ar je čtverec o straně 10m, (takže 1a =10m . 10m = 100m2).

Převody jednotek:Hl Př.10. : Př. Převeďte 4km2 na cm2, zkráceně 4km2 = ?cm2.

Výpočet: 4 km2 = 4.(103m)2 = 4.(103.102.cm)2 = 4.(105.cm)2 = 4.1010 cm2. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami lze udělat z hlavy – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se neobejdete.Hl Př.11. : Př. Převeďte 4cm2 na km2, zkráceně 4cm2 = ?km2.

Výpočet: 4 cm2 = 4.(10-2m)2 = 4.(10-2.10-3. km)2 = 4.(10-5.km)2 = 4.10-10 km2. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami lze udělat z hlavy – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se záporným mocnitelem se neobejdete. Kdo to chcete bez mocnin se záporným mocnitelem, tak tam pište jedna lomeno mocninou s kladným mocnitelem nebo desetinné číslo, např. 10-2m = (1/102)m = (1/100)m = 0,01 m, atd.Hl Př.12. : Př. Převeďte 4ha na km2, zkráceně 4ha = ?km2.

Výpočet: 4 ha = 400 ar = 400.(10m)2 = 400.(101.10-3. km)2 = 400.(10-2.km)2 = 400.10-4 km2 = 4.10-2 km2 Př. Další příklady pro žáky viz soubor PrikladyProZaky.xls na internetu: hejnal-skola.sweb.cz

14) Plocha kruhuPlocha kruhu o poloměru r se spočte dle vzorce

S=π r 2,

kde π je Ludolfovo číslo, přibližně π = 3,14. Důkaz (vysvětlení): Nakreslit kruh na milimetrový papír a spočítat, kolik milimetrových čtverečků se do kruhu vejde, a dosazením do tohoto vzorce ověřit, že platí, atd., viz výklad. Pozor je to jenom vysvětlení, ale není to pravý důkaz (ten se dělá v matematice), protože jsem to pro ostatní kruhy nedokázal, a i když bych to takto udělal s velkým počtem jiných kruhů, tak bych to stejně nikdy neudělal pro všechny. Hl Př.13. : Př. Vypočti plochu kruhu, jehož obvodem je rovník.

15) Povrch koule se spočte dle vzorce S = 4πr2 Nepovinná látka je na modrém podkladu, tento vzorec nemusíte umět!

Hl Př.14. : Př. Vypočti povrch Zeměkoule, víš-li, že pro něj platí S = 4 rπ 2, kde r je poloměr zeměkoule. (Nepovinný vzorec.)

16) Objem kvádru (AJ:volume)


Definice: Objem kvádru je součinem jeho hran

V=a⋅b⋅c [m3=m⋅m⋅m ]Např. Učebna má délku a=5m, šířku b=4m a výšku 3m, takže její objem je V = a. b. c = 5m . 4m . 3m = 60m3, (čti 60 metrů krychlových a ne metrů na třetí). Další jednotky odvozované z řeckých předpon jsou cm. cm. cm=cm3, nebo mm. mm. mm = mm3, atd. , často užívaná jednotka je litr jež je rovna decimetru krychlovému, takže např. 50 l = 50 dm3.

17) Objem krychleV=a3

Důkaz: Krychle je speciálním případem kvádru, který má všechny strany stejně dlouhé. a = b = c, takže V = a . b . c = a . a . a = a3 Pozn.: Většinou se uvádí objem krychle jako první vzorec v němž je objem, takže V=a3 je definicí a objem kvádru až za ním, takže je V=a.b.c je zákonem a dokazovali bychom ho skládáním kostiček o straně 1cm do hranolu.Převody jednotek:Hl Př.15. : Př. Převeďte 4km3 na cm3, zkráceně 4km3 = ?cm3.

Výpočet: 4 km3 = 4.(103m)3 = 4.(103.102.cm)3 = 4.(105.cm)3 = 4.1015 cm3. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami lze udělat z hlavy – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se u složitějších výpočtů neobejdete.Hl Př.16. : Př. Převeďte 4cm3 na km3, zkráceně 4cm3 = ?km3.

Výpočet: 4 cm3 = 4.(10-2m)3 = 4.(10-2.10-3. km)3 = 4.(10-5.km)3 = 4.10-10 km3. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami lze udělat z hlavy – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se záporným mocnitelem se později neobejdete.Př. Další příklady viz soubor Příklady pro žáky ….xls na internetu: hejnal-skola.sweb.cz

18) Objem koule- vzorec je nepovinnýV= 4

3πr3

Důkaz (vysvětlení): Vzít ocelovou kuličku, změřit její poloměr, spočítat kolik by měl být její objem podle tohoto vzorce a potom ji ponořit v odměrném válci do vody a změřit tak její skutečný objem - jestliže to v rámci chyb měření souhlasí, tak to mám pro tuto kouli dokázané. Pozor je to jenom vysvětlení, ale není to pravý důkaz (ten se dělá v matematice), protože jsem to pro ostatní koule nedokázal, a když to udělám takto s velkým počtem jiných koulí, tak to stejně nikdy neudělám pro všechny. Hl Př.17. : Př. Vypočti objem zeměkoule.

19) Průměrná hustota FI str.15, kp. 1.2.

ρ=mV [kg⋅m−3= kg

m3 ]Definice průměrné hustoty - jestliže těleso má hmotnost m(kg) a objem V(m 3 ), potom poměr ρ = m/V se nazývá jeho průměrná hustota . Přitom je zřejmé, že např. kovová hlava kladiva má větší hustotu, nežli jeho dřevěná násada. Např. Jestliže 1m3 sněhu má hmotnost 200 kg, potom jeho průměrná hustota je ρ = m/V = 200kg/1m3 = 200kg/m3 = 200kg.m-3. Správně bychom měli u průměrné hustoty psát index p, tj. ρp = m/V, a rozlišovat ji od hustoty v daném místě, ρ = Δm/ΔV, kde Δm je hmotnost velmi malého kousku tělesa a ΔV je jeho objem, přičemž ρ = Δm/ΔV by byla v kovové hlavici kladiva větší, nežli v jeho dřevěné násadě.


Jestliže má však těleso ve všech místech stejnou hustotu ρ = Δm/ΔV (je homogenní=stejnorodé, např. kus ledu, násada kladiva bez kovové hlavy, atd.,) potom je hustota v každém jeho místě rovna jeho průměrné hustotě ρ = ρp, takže pro homogenní tělesa platí ρ = m/V. Takovéto tvrzení platí obecně, a dokazovat ho nebudeme. Podrobněji to bude u rychlosti, kdy rychlost rovnoměrného pohybu je rovna průměrné rychlosti a podobně i u zrychlení – viz níže. Z definice nově definované veličiny vyplývá vždy i její jednotka - v hranaté závorce za vzorcem bývá uveden nejjednodušší příklad ukazující, jaká je jednotka nově definované veličiny, např. zde: jestliže těleso má hmotnost m = 1kg a objem V = 1 m3, potom jeho hustota je ρ = m/V = 1kg/1m3 = 1kg.m-3. Chybně se říká, že hustota je hmotností jednoho metru krychlového. Např. Jestliže 1m3

sněhu má hmotnost 200 kg, potom jeho průměrná hustota je 200kg/m3, takže hmotnost i hustota mají sice stejné číslo, ale jinou jednotku! (Mohlo by se říci, že hustota je číselně rovna hmotnosti jednoho metru krychlového.) Pozor, takováto chyba bývá v učebnicích u mnoha veličin!Pozn.: Každá definice je ve skutečnosti sdělení „jak se čemu říká“ či „na čem se lidé dohodli“, takže např. definici hustoty bychom mohli též formulovat takto: „Lidé se dohodli, že poměr hmotnosti tělesa m(kg) a jeho objemu V(m 3 ) budou nazývat jeho průměrnou hustotou ρ = m/V“. (Nebo: „Dohodneme se, že . . . . budeme nazývat. . . . “, atd. ) Proto každý může vyslovit definici trochu jiným způsobem, ale musí to být správně. Převody jednotek:Hl Př.18. : Př. Převeďte 4kg/m3 na g/cm3, zkráceně 4kg/m3 = ?g/cm3.

Výpočet:4 kg/m3 = 4.(103g) / (102cm)3 = 4.103g / 106cm3 = 4.10-3g/cm3 = 4.10-3g.cm-3. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami už z hlavy radši nedělejte – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se neobejdete.Hl Př.19. : Př. Převeďte 4g/cm3 na kg/m3, zkráceně 4g/cm3 = ?kg/m3.

Výpočet: 4g/cm3 = 4.(10-3kg) / (10-2 m)3 = 4.(10-3kg) / (10-6 m)3 = 4.103kg/m3 = 4.103kg.m-3. Tento výpočet dle pravidel pro počítání s mocninami už z hlavy radši nedělejte – kdo to budete dělat jinak, tak můžete, ale takhle je to snad nejlepší – bez mocnin se záporným mocnitelem se neobejdete.Hl Př.20. : Př. Spočti průměrnou hustotu Zeměkoule, víš-li, že její hmotnost je

5,97.1024kg. Pozn.: Veličiny rozdělujeme na veličiny extenzivní, např. objem a hmotnost tělesa, jež jsou součtem objemů a hmotností všech jeho částí a veličiny intenzivní, např. hustota kladiva, která není součtem hustoty jeho kovové hlavy a hustoty jeho dřevěné násady, ale je jejich určitým průměrem, (přičemž se nejedná o aritmetický průměr, ale o tzv. „vážený průměr“). Př. Další příklady viz soubor Příklady pro žáky ….xls na internetu: hejnal-skola.sweb.cz

20) Mechanika, kinematika, dynamika a statika FI/17 kp.2Mechanika je nauka o pohybu těles pevných, kapalných i plynných a rozdělujeme ji na kinematiku, dynamiku a statiku. Kinematika se zabývá popisem pohybu, tj. jak se těleso pohybuje, (kineó = pohybuji). Dynamika se zabývá příčinami pohybu, tj. proč se těleso pohybuje, (protože do něj strkám silou, dynamis = síla). Statika se zabývá podmínkami klidu těles, tj. proč těleso stojí (statický = neměnný, nepohyblivý).

21) Relativnost polohy, FI/17 kp.2.1Poloha tělesa je relativní , musíme ji určovat ve vztahu k ostatním tělesům, (relace=vztah). Např. věta: „Hora Říp je asi 50 km na sever“ platí v Praze (jen relativně k Praze = ve vztahu k Praze, =vzhledem k Praze, =od Prahy), ale neplatí vzhledem k Děčínu, k Liberci či k Chomutovu, viz obrázek v sešitu. Proto musíme říct např. Říp je asi 50 km na sever od Prahy (nebo Říp je asi 30 km na jih od Děčína, xxxkm na západ od Liberce a xxxkm na


východ od Chomutova xxx-ověřit). Proto polohu těles udáváme vždy vzhledem k nějaké soustavě souřadné.

22) Relativnost klidu a pohybuKlid a pohyb jsou neměnnost či změna polohy s časem a proto jsou též relativní. Např. když jedu autem po rovníku na východ, tak jsem v klidu vzhledem k sedadlu, ale mám rychlost asi v = 60km/h vzhledem k silnici a vzhledem ke středu Země mám rychlost asi v = 40000km/24h + 60km/h. (Rovník je dlouhý asi 40 000km, takže patník u silnice má vzhledem ke středu Země v = 40 000km/24h.)

23) Soustava souřadnáPravoúhlá soustava souřadná Oxyz, např. soustava souřadná v učebně (hrany místnosti) - ukázka počátku a souřadných os a určení polohy křídy ve třídě. Chceme-li určit polohu bodu v rovině, tak používáme v matematice při kreslení grafů pouze Oxy. Tuto pravoúhlou soustavu souřadnou nazýváme též kartézská soustava souřadná a značíme ji Oxyz, protože má osy x,y,z na sebe kolmé a všechny vycházejí s počátku O (nemá to být nula, ale ó podle AJ:Origin = počátek, i když v tomto bodu je x=0, y=0 i z=0). Domluvíme se, že naše pravoúhlá soustava bude mít počátek na začátku první startovací dráhy letiště ve Kbelích, kladná poloosa x bude mířit na východ, kladná poloosa y na sever a kladná poloosa z vzhůru, (tj. tak, jak by se Oxy zakreslilo normálně do mapy). Zeměpisné souřadnice neurčují přesně polohu bodu – k zeměpisné délce a šířce musím přidat navíc nadmořskou výšku, (nebo výšku nad terénem, či vzdálenost od středu Země), např. souřadnice vrcholu Petřínské rozhledny a souřadnice jejího vchodu. Novější přístroje GPS udávají zeměpisné souřadnice a dokáží i nadmořskou výšku. xxx

24) Hmotný bodPozorované těleso v mnoha případech považujeme za hmotný bod, v němž je soustředěna veškerá hmotnost tělesa a který má nulové rozměry. Hmotný bod ve skutečnosti neexistuje, a protože má nulový průměr, tak nemůžeme rozlišit, zdali se otáčí kolem své osy či nikoliv. Proto jedno a totéž těleso v některých případech považujeme za hmotný bod a v jiných nikoliv. (Např. Zeměkouli považujeme za hmotný bod, když se nám jedná o to, jak obíhá kolem Slunce a nezávisí nám na tom, že se ve skutečnosti otáčí, ale když se nám jedná o to, jak se střídá den a noc, tak ji za hmotný bod považovat nemůžeme. Naproti tomu molekulu vody H20 většinou považujeme za hmotný bod, ale když se nám jedná o to, proč je voda tak dobrým rozpouštědlem, tak musíme vzít v úvahu, že 2 malé atomy H jsou připojeny k většímu atomu O pod úhlem asi 102°, viz obrázek a výklad v sešitu.)

25) Dráha hmotného bodu, FI/19, kp.2.2Trajektorie je křivka, po které se těleso pohybuje, zatímco dráha je ta část trajektorie, kterou těleso urazí. Proto bychom neměli např. říkat, že se družice pohybuje po kruhové dráze, ale po kruhové trajektorii. Podle trajektorie rozdělujeme pohyby na přímočarý pohyb (pohyb po přímce) a křivočarý pohyb (pohyb po křivce).

26) Rychlost hmotného bodu dle vzorce ze ZŠ, FI/22, kp.2.3 Vzorec pro rychlost ze ZŠ je

v= st [1km/h=1km

1h ] [1m /sec= 1m1sec ], přičemž

závorky znamenají, že jestliže ujedu 1km za 1hodinu, tak jsem jel rychlostí 1km/h, nebo když ujedu 1m za 1 sekundu, tak jsem jel rychlostí 1m/sec. (Sekunda se má značit s, ale aby se to nepletlo s drahou s, tak se sekunda někdy značí jako sec.)Pozn.: Rychlost se označuje písmenem v, protože AJ:velocity=rychlost.Hl Př.21. : Př. Ujel jsem 240km za 6h.


a) Jakou jsem jel rychlostí dle vzorce ze ZŠ? b) Proč jsem dostal pokutu? (Prý mi radarem naměřili v obci v=65km/h).c) Jakou jsem měl rychlost, když jsem se stavil asi na 20 min v motorestu?d) Je jedno, jestli jedu dotyčnou rychlostí na východ nebo na sever?Závěr: Ve vzorci v = s/t je jen průměrná rychlost, takže ve skutečnosti jedu chvíli rychleji a chvíli pomaleji. Když jedu na východ, tak se dostanu jinam, nežli když jedu na východ, takže dále ještě upřesníme, že rychlost je vektor – má směr.

27) Průměrná rychlost Opravený zjednodušený vzorec ze ZŠ: Jestliže za dobu t ujedu dráhu s, potom moje průměrná rychlost je

v p=st [1km/h=1km

1h ][1m /sec= 1m1sec ].

Tento vzorec psát poctivě s indexem p protože to je průměrná rychlost, (přesněji průměrná velikost rychlosti)! Např. jestliže ujedu 240km za 6h, tak jedu průměrnou rychlostí vp = s/t = 240km/6h = 40km/h a je jasné, že chvíli jedu rychleji a chvíli pomaleji a že se nejedná o vektor.

Připište si měkkou obyčejnou tužkou index p k rychlosti u vzorce pro průměrnou rychlost

v FI/22 kp.2.3 v 1.rámečku!

Správný vzorec pro průměrnou rychlost: Jestliže v čase t0 má auto na tachometru ujetou dráhu s0 a později v čase t má na tachometru ujetou dráhu s, potom jeho průměrná rychlost je

v p=s−s0

t−t0 [1km/h=1km1h ][1m /sec= 1m

1sec ].Např. v čase t0=12 h mám na tachometru s0 = 120 000km a v čase t = 16 h mám na tachometru s = 120 200km, tak moje průměrná rychlost byla vp = (s-s0)/(t-t0) = 200km/4h = 50km/h.Hl Př.22. : Šnek lezl rovně po ose x. V čase t0=12 h byl v místě x0 = 120m a

v čase t = 16 h v místě x = 122m. Jakým vzorcem vyjádříme jeho průměrnou rychlost v xp (indexem x značíme, že se pohybuje po ose x a indexem p, že se jedná o jeho průměrnou rychlost) a kolik v tomto případě byla?

Řešení: vxp = (x-x0)/(t-t0) = 2m/4h = 0,50 m/h = 50 cm/h = cca 0,1389 mm/sec

Závěr: Pohybuje-li se těleso po ose x, potom jeho průměrná rychlost je vxp=

x−x0

t−t0 .

28) Okamžitá rychlostVelkým řeckým písmenem Δ (delta) označujeme velmi malou změnu veličiny, která je uvedena za ním, např. Δt je velmi malá změna času a Δs je velmi malá změna celkové ujeté dráhy.Jestliže za velmi krátkou dobu Δt urazí těleso velmi malou dráhu Δs, potom jejich poměr

v= ΔsΔt [1m /sec= 1m

1sec ]se nazývá okamžitá rychlost.Např.: Jestliže v poledne v čase t1=12h mám na tachometru ujetou dráhu s1 = 12 000 km a v čase t2=12h2sec mám na přesném tachometru s2=12 000,050km, potom se čas změnil


o Δt = t2 - t1 = 2sec a celková dráha ujetá autem se změnila o Δs = s2 - s1 = 50m. Moje okamžitá rychlost v čase asi 12h 01 sec tedy byla v = Δs/Δt = 50m/2sec = 25m/sec Až proberete v matematice mocniny se záporným mocnitelem (exponentem), tak budete psát 25m/sec = 25m.sec-1. Správně by se mělo jednat o mnohem kratší čas a dráhu, např. jestliže dle radaru ujedu ve vesnici za 0,002 sekundy 4 centimetry, potom mám okamžitou rychlost v = Δs/Δt = 0,04m/0,002s = 20 m/s = 72 km/h (viz převody jednotek níže), takže platím pokutu!Zajímavosti z www: Gepard prý dosáhne krátkodobě okamžitou rychlost až 120 km/h = cca 33,3m/s. Maximální okamžitou rychlost člověka lze spočítat nejlépe z posledního úseku štafety na 4 x 100 metrů. Nejrychleji ho prý zaběhl v květnu 2015 v Nassau Jamajčan Usain Bolt za 8,65 s, což znamená průměrnou letmou rychlost (tedy bez pomalého pevného startu) 11,561 m/s = 41,618 km/h. Nejrychlejším ptákem je sokol stěhovavý, který při střemhlavém letu dosáhne maximální rychlosti 200 km/h. Ve vodě je nejrychlejší plachetník atlantský, který dosáhne ve vodě téměř 110 km/h.

Pohybuje-li se těleso po ose x, potom jeho okamžitá rychlost je vx = Δx/Δt

Převody jednotek:Hl Př.23. : Př. Převeďte 54km/h na m/s, zkráceně 54km/h = ? m/s.

Výpočet: Místo km napíši 1000m a místo hodiny h napíši 60min a pak místo min napíši 60s, čímž mám 54kmh

=54.(1000m)

60min=

54.(1000m)60.(60 s)

=54.(1000m)

3600 s= 54m

3,6 s=15m /s

Pozn.: Kdo si pamatuje, že hodina má 3600 sekund, tak tento výpočet zkrátí, např.

54kmh

=54000m3600 s

=15m /s

Neučte se zpaměti, že se to musí vynásobit či vydělit číslem 3,6! Proč si zbytečně pamatovat číslo 3,6 když si to umím spočítat i bez něj (předchozí zkrácený výpočet je zcela jasný). Navíc za několik let už stejně číslo 3,6 zapomenu, a jestliže ho nezapomenu, tak už nebudu vědět, zdali to tím mám vynásobit či vydělit. Ve škole to žáci často zkazí – buďto pro číslo 3,6 místo dělení použijí násobení, nebo to zapíší tak, že tam některé rovnítko neplatí. KAŽDÝ TO VŠAK MŮŽE DĚLAT, JAK CHCE, ALE MUSÍ TO MÍT SPRÁVNĚ, tj. každé rovnítko mu musí platit!

Hl Př.24. : Př. Převeďte 12m/s na km/h, zkráceně 12m/s = ?km/h.

Výpočet: 12ms

=12.(0,001 k m)

s∗( 3600 s

1h )=43,2 kmh

=43,2km /h.

Vysvětlení: Při tomto výpočtu jsme dosadili 1m=0,001km a zadanou rychlost jsme vynásobili zlomkem (3600s/1h). Tento zlomek je roven jedné (nahoře i dole je totéž, protože hodina je 3600 sekund) a jedničkou smím vynásobit cokoliv, aniž bych to změnil. Hodiny jsme přitom napsali dolů do jmenovatele, protože je tam chceme dostat a sekundy nahoru, abychom je mohli vykrátit. Tento výpočet je nezvyklý a ukázali jsme si ho proto, že je krátký, pochopitelný a použitelný i v mnoho složitějších případech. KAŽDÝ TO VŠAK MŮŽE DĚLAT, JAK CHCE, ALE MUSÍ TO MÍT SPRÁVNĚ, např. lze dosadit, že 1s = 1h/3600, čímž se dostane složený zlomek, který se upraví, (umíte bezchybně složené zlomky?), nebo to lze násobit číslem 3,6 což nedoporučuji, protože se většinou zkazí správný zápis, který je v = 20 m/s = 20.3,6 km/h = 72 km/h (další nevýhody tohoto postupu viz výše), někdo to může počítat na celou stránku trojčlenkou a vyjde mu totéž, atd.


Pozn.: Tento nezvyklý postup vynásobit zadanou veličinu zlomkem, jež je roven jedné, lze užít i u předchozího příkladu, ale není to tak šikovné, jako výpočet výše. Dělá se to podobně, jenom sekundy píšeme dolů, aby se tam objevily, a hodinu píšeme nahoru, abychom ji vykrátili:

54kmh

=54 kmh

∗( 1h3600 s )=54.(1000m) .

3600 s=54m

3,6 s=15m/ s

Hl Př.25. : Př. Převeďte 20m/s na km/h, zkráceně 20m/s = ?km/h. Př. Další převody viz soubor Příklady pro žáky ….xls na internetu: www.hejnal-skola.sweb.cz

29) Rozdělení pohybůPodle velikosti rychlosti rozdělujeme pohyby na rovnoměrný (moje okamžitá rychlost je pořád stejná) a nerovnoměrný (přidávám či brzdím). Podle tvaru trajektorie jsme je výše rozdělili na přímočarý a křivočarý (zatáčím po křivé trajektorii, nebo jedu po přímce). Jejich kombinace jsou: rovnoměrný přímočarý, rovnoměrný křivočarý, nerovnoměrný přímočarý a nerovnoměrný křivočarý – doplnit příklady xxx.

30) Vztah mezi průměrnou a okamžitou rychlostí:Jestliže jedu nerovnoměrně, tak je moje okamžitá rychlost chvíli větší a chvíli menší, nežli je má průměrná rychlost. (Pozor, z naměřených okamžitých rychlostí většinou nemůžu spočítat průměrnou rychlost jako aritmetický, harmonický či geometrický průměr!) xxxMám příklad v excelu, je i v FI.Jedině když jedu rovnoměrně, tak je moje okamžitá rychlost stále rovna mé průměrné rychlosti, v = vp , takže na levou stranu předchozího vzorce pro průměrnou rychlost můžeme dosadit v, čímž z předchozího vzorce máme

v = (s-s0)/(t-t0). Vidíme tedy, že u rovnoměrného pohybu lze pro okamžitou rychlost psát na pravé straně nejen malé, ale i velké změny! Pozor, je tomu tak u všech veličin, které se s časem nemění (viz též níže průměrná akcelerace). Spočítat několik příkladů připravených v PrikladyProZaky.xlsx, jež ukazují, že při rovnoměrném pohybu je okamžitá rychlost stále rovna průměrné rychlosti.

31) Závislost dráhy na čase u rovnoměrného pohybuJestliže z předchozí rovnice vyjádříme dráhu s, tak dostanemes = s0 + v.(t-t0).Jestliže měříme čas na stopkách, tak dosadíme t0 = 0, čímž dostanemes = s0 + v.t.Jestliže na startu vynulujeme tachometr, tak dosadíme s0 = 0, čímž dostaneme

s = v . t, Tento vztah ze ZŠ často znázorňujeme v grafech dráhy rovnoměrného pohybu jako funkce času, viz FI/21 obr.2.4 a 2.6. (Odečítat z tohoto grafu hodnoty a nakreslit i graf dráhy v závislosti na čase u nerovnoměrného pohybu.)Graf rychlosti v závislosti na čase u rovnoměrného i nerovnoměrného pohybu – ukázat obrázky v F7/17 až 22.Pozn.: U rovnoměrného pohybu je okamžitá rychlost pořád stejná a tvrzení, že je v tomto případě okamžitá rychlost pořád rovna jeho průměrné rychlosti bychom měli dokázat. Protože to je složitější a přitom to je zřejmé, tak tento důkaz vynecháme. (xxx Mám ho v původních textech ve wordu a ve výpočtu v excelu). Vysvětlíme si to však na následujících grafech:


32) Vektor okamžité rychlosti, viz FI/25, obr.2.9, (v novějším vydání jsou možná přečíslovány obrázky)

Vektor okamžité rychlosti, znázorněný v FI/25, obr.2.9, je tečný k trajektorii a míří ve směru pohybu, (tj. “dopředu“), protože spojuje 2 velmi blízké body trajektorie, v ideálním případě jsou to „sousední body, jež jsou těsně vedle sebe“. Jeho délka znázorňuje, jak rychle se těleso pohybuje, a jeho směr udává, kterým směrem se těleso pohybuje. Např. v obr.2.9 jsou dvě šipky dlouhé asi 10 mm, takže mohou znázorňovat, že auto jede v první zatáčce rychlostí v = 10m/s = 36km/h na severovýchod a pak v další zatáčce stejně velkou rychlostí přibližně na jihovýchod. Rychlost je správně vektor, ale v běžném životě a na SŠ se slovem rychlost nepřesně označuje jen velikost vektoru rychlosti. Proto všechna tvrzení uváděná v předchozích odstavcích jsou nepřesná – jedná se v nich jen o velikost vektoru rychlosti a nezabývají se směrem rychlosti. Rozdělení pohybů podle směru rychlosti na křivočarý a přímočarý jsme provedli již výše, (když zatáčím po křivé trajektorii, tak se mění směr mé rychlosti, když jedu po přímce, tak ne).

33) Zrychlení (akcelerace) – poznámky k FI/26, kp.2.4Zrychlení je vektor, jehož velikost se označuje písmenem a dle slova akcelerace=zrychlení.Směr vektoru zrychlení není tečný k trajektorii, (podrobnosti budou ve zvláštním souboru). Proto je tato látka složitá a v učebnicích bývá pro žáky zjednodušována:Nyní si spočteme dva příklady dle vzorců z učebnice FI/26, kp.2.4:

a) V prvním rámečku v FI/26, kp.2.4 je uvedeno:

a= Δvt

=v−v0

t„Zrychlení a určujeme jako podíl změny rychlosti Δv a doby t, za kterou k této změně došlo“.

Poznámka: V novějším vydání mají někteří žáci přesnější vzorec a= Δv

Δt=v−v0

t−t0 . Přitom rychlost v0 je rychlost, kterou má těleso v čase t0 a v je rychlost, kterou má těleso v čase t. Když čas měříme na stopkách, tak je t0=0, a z druhé rovnice dostáváme první.

Hl Př.26. : V okamžiku letmého startu má těleso rychlost v 0 = 20m/s a v čase t = 2s po startu má rychlost jen v = 19m/s. Jaké má zrychlení podle předchozích údajů v rámečku učebnice?

Řešení: a = v/t =Δ (v- v0)/t = (19m/s – 20m/s)/2s = (-1m/s)/2s = -0,5m/s2, pozor na znaménko a na jednotku – složené zlomky.

b) Jestliže těleso nezatáčí a brzdí pořád stejně, tak se jedná o rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb, pro který najdeme v FI/28 na modrém pozadí vztah v = v0 – at.

Hl Př.27. : Těleso z předchozího příkladu brzdí pořád stejně, takže má stále a = - 0,5m/s2 a když jsme odstartovali stopky, tak mělo rychlost v0 = 20m/s. Jakou mělo rychlost dle vzorce z učebnice po 4 sekundách brždění?

Řešení: v = v0 – at = 20m/s - (- 0,5m/s2).4s = 20m/s + 2m/s = 22m/s (Pozor na znaménka a na jednotky u součinu zrychlení s časem.)

c) Otázka: Proč vyšla rychlost po 4 vteřinách brždění větší, nežli byla na začátku? Kde je chyba?

Řešení: Po překontrolování výpočtů zjistíme, že v našich výpočtech chyba není. Musí tedy být v použitých vzorcích a musíme tedy některý z nich opravit.Podrobnosti:


Velikost vektoru zrychlení nevyjadřuje vzorec a = Δv/t = (v-v0)/t, uvedený v FI kp.2.4 str. 26, v rámečku, protože když těleso brzdí, tak jim z tohoto vzorce vychází velikost akcelerace záporně a velikost jakéhokoliv vektoru musí být vždy kladná.Směr vektoru zrychlení není tečný k trajektorii a proto je tato látka složitá a při jejím zjednodušení pro žáky se občas udělá chyba.Vzorec a = Δv/t = (v-v0)/t, uvedený v FI kp.2.4 str. 26 opravíme tak, aby platily všechny další vzorce, jež jsou v učebnici. Bylo by ho možné upravovat i jinak.

34) Velikost zrychleníJestliže se rychlost tělesa při pohybu po přímce za velmi krátký čas Δt změní o Δv, potom velikost jeho okamžitého zrychlení (akcelerace) je

a=|ΔvΔt

| [1m /sec2=1m /sec1 sec ]

Např. Jestliže v čase t1 = 12h mělo auto rychlost v1 = 20m/sec a v čase t2 = 12h2sec mělo rychlost v2 = 19m/sec, potom se za dobu Δt = t2 - t1 = 2sec změnila jeho rychlost o Δv = v2 - v1 = -1m/sec. Jeho okamžité zrychlení tedy bylo

a=|ΔvΔt

|=|−1m /sec2sec

|=|−0,5m /sec2|=+ 0,5m /sec2

, pozor na znaménko jež nakonec vyjde kvůli absolutní hodnotě vždy kladné a pozor na jednotku – složené zlomky. Pozn.: Všimněte si, že se jedná o stejný příklad jako výše, pouze je jiné označení.

35) Pohyb rovnoměrně zrychlený a zpomalenýa) Rovnoměrně zrychlený pohyb je pohyb se stálým zrychlením, při němž rychlost

roste. b) Rychlost přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu roste s časem dle vztahu

v = v0 + at,Jestliže se těleso rozjíždí z klidu, tak je v0 = 0, takže z předchozího vztahu máme v = at.Graf závislosti rychlosti na čase u přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu viz FI/27 obr.2.10.

c) Rovnoměrně zpomalený pohyb je pohyb se stálým zrychlením, při němž rychlost klesá.

d) Rychlost přímočarého rovnoměrně zpomaleného pohybu klesá s časem dle vztahu v = v0 - at,

Graf závislosti rychlosti na čase u přímočarého rovnoměrně zpomaleného pohybu viz FI/28 obr.2.10. Dále viz řešený příklad hned za tímto grafem.

e) Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu závisí na čase dle vztahu s = (1/2)at2.Tento vztah z učebnice platí jedině tehdy, když se těleso rozjíždí z klidu a čas měříme na stopkách. Jeho odvození a graf v obr.2.12 viz FI/29.Pozn.: Jestliže měříme čas na stopkách tak, obecně platí s = s0 + v0.t + (1/2)at2 a předchozí vzorec dostaneme dosazením s0 = 0 a v0 = 0 (před startem jsem vynuloval tachometr a rozjíždím se z klidu).

f) Dráha rovnoměrně zpomaleného pohybu závisí na čase dle vztahu s = s0 + v0.t + (1/2)at2 a v učebnici FI není tento vzorec uveden.

36) Nepovinné – pohyb po přímcePOZOR v učebnici je asi 11zzz vzorců na zrychlení , rychlost a dráhu při pohybu s konstantním zrychlením. Nejlepší by asi bylo, místo všech těchto vzorců použít pouze čtyři zcela správné vzorce pro případ, že se těleso pohybuje po ose x. Všechny příklady z učebnice se pak dají spočítat pomocí těchto čtyř obecných vzorců. Kdo to tak chce dělat, tak si prohlédne zvláštní soubor Vzorce_Prehled_Zrychleni.docx zzzdát ho na sweb.


Ve škole to však budeme probírat podle učebnice a proto jsme upravili první ze vzorců pro zrychlení z učebnice tak, aby platily následující vzorce z učebnice.

pŘehled vzorcŮ z fyzikyhejnal-skola.sweb.cz/1 fyzika/f_1 vzorce_prehled 35 sweb... · web...

Documents