Pedro M. Castro, Ignacio E. Grossmann, Iiro K. Harjunkoski

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Process operations are often subject to energy constraintsAvailability

Heating /cooling utilities (steam), powerPrice

Focus on cement industry & electricity Currently under pressure to produce at lowest possible cost

Machine drive 80% total electricity consumptionGrinding process particularly complex

Requires high level control for stability and optimal performanceDeveloped approach general for continuous plants & utilities

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Contracts agreed between electricity supplier and cement plants (planning level)

Energy cost [$/kWh]Varies significantly during the day

Up to an order of magnitude

From weekdays to weekends

Maximum power consumption [MW]Also changes during the dayHarsh cost penalties if levels are exceeded

Optimal scheduling can have a large impact on electricity bill

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Scheduling decisionsWhen and where to produce a certain grade

Chemical composition or particle sizeHow much to keep in storage

ObjectivesMeet customer demands in time (multiple due dates)Incorporate energy constraints

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Must be able to handle shared resources

General multipurpose models

Rely on generic entitiesResourcesTasks

Convert real entities into virtual ones

Generate Resource‐Task Network (RTN)

Process representation

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Explore potential of continuous‐timeABB’s Expert Optimizer can address scheduling by means of Model Predictive Control (discrete‐time)

Leading software for cement plant control

Main challengeAccount for discrete events that occur at known points in time

Customer orders due datesForecast of electricity

PriceInstalled power

Use as few event points as possibleTo reduce total computational effort

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1 T2 3 T-2 T-1

Slot 1 Slot 2 Slot T-2 Slot T-1

0 H

Timing to be determined by solver

Important propertyCan be divided as many times as required (same rate)

=

One task on each time interval

If tasks span more than one energy levelTasks will be split (as more time intervals are added)

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700 t700 t

10 h

210 t

210 t

4 h3 h 3 h

210 t

210 t280 t280 t

Upgrade from Castro et al. (2004)

Binary variablesNi,t task i is executed at interval tYt,tp,e during t tasks executed in period tp of level e Yt,td

out event point t corresponds to demand point td

New constraintsTasks must start after energy level starting point

End before end time interval

And before end energy level

If t is demand point, its time is equal to due date

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TtRrTsT TC

Ii i

tiirtt

c

∈∈∀≥− ∑∈

+ ,max

,,1 ρ

ξμ

tYlbTsEe TPtp

etpttpete

∀≥ ∑ ∑∈ ∈

,,,

etrNHYubTscee

ce Ii

tiirTPtp

etpttpeIi i

tiirt ,,)1( ,,,,,max

,, ∀−⋅+≤+ ∑∑∑∈∈∈

μρξμ

tYHYtfxTYtfxTDtd

outtdt

TDtd

outtdttdt

TDtd

outtdttd ∀−⋅+≤≤ ∑∑∑

∈∈∈

)1( ,,,

Yt,e1,tp=1 Yt+1,tdout=1

tfxtd

Arguments in favorDiscrete‐events handled much more naturally

Provided that the time grid is sufficiently fineFor accurate consideration of problem data

Time intervals of 1 hour length (δ)

No additional modeling effortSame process representation (RTN)Fewer and simpler constraints

Minor limitationCan lead to suboptimal solutions

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Simple and elegantFew constraints

Resource balances

Capacity constraints

Objective function (minimize total electricity cost)

Complexity at the level of RTN structural parameters generation

μr,i, μr,i, νr,i, νr,i, λr,i

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TtRrv

NvNRRRR

tRrout

trTtRrin

trIi

tiir

IitiirtiirTttiirRRrtrRr

endtrtrtr

FPUTt

UTCTCT

∈∈∀Π−Π+

++++++=

≠∧∈≠∧∈∈

∈−≠∪∉−∈−=

∑∑

,

)(

1,||,,,

1,,,,||,,)(1,1,10

,

ξ

μξμ

||,,)( *,,,,,,,, TtTtRrvRR CTtiir

Iitiir

Iitiirtr

endtr

sc

≠∈∈∀+++= ∑∑∈∈

ξλξξλ

||,,)( ,max*

,, TtTtIIiNU sctiIiiIiIititi css ≠∈∪∈∀⋅⋅+≤+

∈∈∈ρδξξ

∑ ∑ ∑∈ ∈ ≠∧∈

⋅−⋅c UTIi Rr TtTt i

tiirtce

||max,

, )(minρξ

μ

Continuous‐time model can effectively model all features

Major breakthroughNot efficient computationally

Limited to toy problems

Discrete‐time very good approachEffectively solve problems of industrial relevance

Fast to near optimal solutions (0.8% gap in 5 CPU minutes)

Has potential to be incorporated into decision‐making tool used by industry

After post‐processing procedure eliminates superfluous information

Caused by high solution degeneracy

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Very tight discrete‐time formulation (DT)Integrality gap=0 in some cases

DT grid uses much more event points |T|Solution for CT highly dependent on |T|

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Problem (|P|, |M|, |S|) Model |T|binary

variablessingle 

variablesconstraints RMIP (€) MIP (€) CPU s nodes

EX5 (3,2,2) DT 169 2016 10784 6739 26738 26780 3600a 133242

CT 9 528 1089 562 25625 27222 7.18 3989

CT 10 594 1221 629 25625 27008 369 138426

CT 11 660 1353 696 25625 26911 4131 1295540

EX6 (3,2,3) DT 169 2520 13986 8423 43250 43259 3600b 85900

EX7 (3,3,4) DT 169 3528 18365 10780 68282 68282 18.4 671

EX8 (3,3,5) DT 169 4032 21567 12464 101139 104622 3600c 41252

EX9 (4,3,4) DT 169 4704 23923 13810 87817 87868 3600d 24400

EX10 (5,3,4) DT 169 5880 29481 16840 86505 86581 3600e 7500

May be very substantial (≥20%)When compared to scheduling based on feasibility

Preliminary results function of a variety of factors

Electricity pricing policy

How far mills are operating below maximum capacity

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Optimal scheduling of continuous plants incorporating energy constraints

Time dependent availability profiles & pricingIllustrated with electricity consumption at cement mills

ModelsProposed new continuous‐time formulation

Limited to toy problemsTested a discrete‐time formulation

Can solve real problems to near optimality, fastSubstantial cost savings can be expected from its use

AcknowledgmentsFinancial support from Luso‐American Foundation & Center for Advanced Process Decision‐making at CMU

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