pedro c. espinoza ponencia eima@
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Elementos Finitos y B-Splines en
Problemas Elípticos Semilineales
Pedro C. Espinoza Haro
Universidad de Lima Facultad de
Ingeniería de Sistemas
Lima - Perú
Introducción
• En el curso de Gráficos por Computadora, de la
Facultad de Ingeniería de Sistemas, de la
Universidad de Lima, se desarrollan, entre otros
temas, los fundamentos matemáticos, los
algoritmos y códigos de las curvas de Bezier y de
la curvas con B-Splines, para explicar las
tecnologías inherentes al CAD, CAGD entre
otros.
• Klaus Höllig [2] “Finite Element Methods whit B-
Splines” SIAM, Frontiers in Appl. Matah. 2003.
En este trabajo se explora por los métodos de
Elementos Finitos (EF) y los B-Splines (BS) la
solución aproximada del problema de Dirichlet,
(1)
donde la función f(s) es:
a) Localmente Lipchitziana, con un número finito
de ceros singulares:
enu
enxufxu
0
))(()(
• b) Tiene la condición del área positiva, es decir la función es positiva en
y la integral sobre los intervalos:
…..etc. son positivas.
],0[ 1s
],[ 31 ss
],[ 53 ss
• 1. Polinomios interpolantes de una
variable.
• Bases: polinomios de Lagrange.
En el caso unidimensional, los análogos discretos
obtenidos mediante EF lineales y BS de orden
k=2, son exactamente los mismos y se muestra la
existencia de la solución para este caso. Para los
EF cuadráticos y los BS de orden k=3, los
modelos discretos cambian radicalmente. Se
explora estos últimos casos. También para
regiones en el plano.
• Ejemplo 2
• Para tres nodos , los polinomios (base) de
Lagrange son:
20
2
10
10
tt
tx
tt
txxL
21
2
01
01
tt
tx
tt
txxL
12
1
02
02
tt
tx
tt
txxL
• 1.2 Para cada sucesión
de nodos , se tiene los polinomios de
Lagrange:
nttt ....10
.....,,1,0;0
nktt
txxL
jk
jn
kjj
k
2. Elementos Finitos Unidimensionales
2.1 Base: dado un h>0 , se definen:
casosotrosen
hxh
hx
x
,0
0,)0(
)(
)(0
casootrosen
hxhhh
hx
hxh
x
x
,0
2,2
)2(
0,0
0
)(1
2.2 Base del espacio de Elementos Finitos
cuadráticos
casosotrosen
hxhhh
hxx
x
,0
0,)2/)(02/(
))(0(
)(1
casosotrosen
hxhhhhh
hxhx
hxhhh
hxx
x
,0
2,)2)(2/3(
)2)(2/3(
0,)2/)(0(
)2/)(0(
)(2
3. Elementos Finitos Bidimensionales
Rectangulares
3.1 Los nodos son el producto cartesiano de los
de una dimensión con
La base de los EF asociados a estos nodos
es
El espacio de polinomios es el producto tensorial
)],[()( ji ttn
nji ,......,0,
njiyLxLyxL jiji ,.......,0,,)()(),(,
)()( yx nn
Elementos Finitos bidimensionales
rectangulares
4. Funciones B-Spline de orden k, de una
variable4.1 Son funciones formadas por trozos de
polinomios de un mismo grado, continuamente
acopladas y definidas a partir de un conjunto de
números reales o nodos:
mkmkmkk ttttttt ............ 21110
)()()( 1,1
1
1,
1
, xBtt
xtxB
tt
txxB ki
iki
kiki
iki
iki
)()(1,[1, xxB
ii tti
5. B-Splines Bidimensionales de orden
k=3
Mallado es el producto cartesiano de las
mallas unidimensionales:
B_Splines bidimensionales asociada a estos
nodos
)],[()( ji ttn
njiyBxByxB jiji ,.......,0,,)()(),(,
El espacio de las funciones B_Spline
generado por esta base será el producto
tensorial y su dimensión )()( yx kk
6. Problema de frontera Eíptico
Semilineal
La forma débil del problema (1) es
(2)
La aproximación de la solución débil de (2)
por EF o BS, se hace con un espacio aprox
)(,)( 1
0
Hvvufvu
)(,...., 1
01 HGenV nn
Donde se busca un que
satisfaga la ecuación
(3)
Elegida una base del espacio aproximante , el
problema (3) se reduce a resolver el siguiente
sistema de ecuaciones (Análogo discreto de (1))
(4)
n
1i
iih xu
nkufu khkh ,....,2,1,)(.
nx,)x(f~
hAx
es un vector n-dimensional cuya k-ésima
componente es:
El análogo discreto (4) es mucho más complejo que el análogo discreto obtenido por diferencias finitas Espinoza( [5] ).
• Los métodos empleados para el análisis de un análogo discreto dependen de f(s) y de la discretización elegida.
dxxfdxxfxf k
n
i
kiik )()()(~
1
)x(f~
• El análogo discreto de (4) por Diferencias
Finitas, estudiado por Peitgen, Saupe y
Schmitt ([8]) en el contexto de las teorías del
Grado Topológico y de las Bifurcaciones
Globales.
• Diferencias finitas, Métodos Variacionales
puede verse en Espinoza ([5]).
• El análogo discreto por Elementos Finitos es
abordado por Glowinski ([7]) haciendo uso de
métodos Variacionales cuando f es una
función no decreciente y que se anula en 0.
Ciarlet, Schultz y Varga ([3]) emplean la teoría de
Operadores Monótonos, pero cuando f tiene
derivada cont. con constantes de Lipschitzianidad
que dependen del primer autovalor del operador
Laplaciano.
En este trabajo, A es una M-Matriz y se
se hace uso de los Métodos Variacionales para
estudiar la existencia de la soluciones de (4),
determinando que existen soluciones con
componentes estrictamente positivas y con
máximo valor en cada intervalo abierto.
Proposición 1.7
Sea f como en (1) y
Entonces toda solución x de (4) tiene
componentes positivas y está en
6,
6,)s(g/Sminh 1m2
31
2
[,s[]s,s[....]s,s[]s,s[||x|| 1m2m21m24321
• BIBLIOGRAFIA:
• [1] A. Ambrosetti y P- Hess. “Positive solutions of Asymptotically linear elliptic eigenvalue problems". Math. Anal. Appl. 73 (1980) 411-422.
• [2] AK. J. Brown y H. Budin. “On the existence of positive solutions for a class of semi linear elliptic boundary value problems” SIAM J. Math Anal. Vol. 10, Nº 5, (1979) 876-883.
• [3] P.G. Ciarlet, M. H. Schultz y R.S. Varga “Numerical Methods of High-Order accuracy for Non Linear Boundary Value Problems#. Numer. Math 13 (1969) 51-77.
• [4] E.N. Dancer y K. Schimitt. “On positive solutions of semilinear elliptic equations” (Pre-print).
[5] P.C. Espinoza Positive-ordered solutions of a discrete
analogue of a nonlinear elliptic eigenvalue problems,
SIAMJ. Numer. Anal. Vol. 31, N°3 (1994) 760-767.
[6] D.G. de Figueiredo “On the uniquenes of positives
solutions of the Dirichlet problem for se Nonl. Partial Diff.
Equations and Appl. Vol 7 (1989) p.p. 80-83.
H. Brezzis and J. Lions (editors) Pitman London
[7] R.Glowinski “Numerical Method for Non Linear
Variational Problems “Springer-Verlag, 1984.
[8]H. O. Peitgen, D. Saupe y K. Schmitt “ Nonlinear elliptic
boundary problems versus their finite aproximation:
numerically irrelevant solutions” J. Reine Angew
Mathematik 322 (1981) 74-117.
[9] J.Sshroder “M-matrices and generalizations using and
operator theory approach” SIAM Review 20(1978) 213-
244.
[10] ] R.S. Varga “Matirk iterative Analysis” Engle wood
Cliffs. New Jersey 1962.