přednáška 4 - fast10.vsb.czfast10.vsb.cz/randyskova/04_prednaska_sskii_kce.pdf · lokální a...
TRANSCRIPT
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia
Přednáška 4ODM, řešení rovinných rámů
1
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
• Transformace parametrů deformace a koncových sil z lokálního do globálního souřadnicového systému a zpět
• Globální matice tuhosti a globální vektor koncových sil prutu• Příklad řešení rovinného rámu• Výpočet koncových sil, reakcí a složek vnitřních sil rámu• Kontrola správnosti řešení rámu
Lokální a globální parametry prutu
Parametry deformace:a) lokální (pro prut ab, souřadnice x*, z*, počátek v bodě a)
b) globální (pro celou konstrukci, souřadnice x, z, počátek v libovolném bodě)
2
v libovolném bodě)
Vektor globálních parametrů deformace
Vektor lokálních parametrů deformace
22 )()(
cos
sin
ababab
ab
abab
ab
abab
zzxxl
cl
xx
sl
zz
−+−=
=−=
=−=
γ
γ
{ }{ }T
bbbaaa
Tbbbaaa
wuwu
wuwu
****** ϕϕ
ϕϕ
=
=*ab
ab
r
r
Transformace složek posunutí
3
*
**
**
γwγuw
γwγuu
ϕϕ =
⋅+⋅=
⋅−⋅=
cossin
sincos
ϕϕ
γγ
γγ
=
⋅+⋅−=
⋅+⋅=
*
*
*
cossin
sincos
wuw
wuu
Transformační matice
Maticově lze zapsat abab*ab rTr ⋅=
aa
aa
a
a
abab
abab
a
a
cwsu
swcu
w
u
w
u
γγ
γγ
+−
+
− 0000cossin
0000sincos
*
*
4
b
bb
bb
a
aa
b
b
b
a
a
abab
abab
abab
b
b
b
a
a
cwsu
swcu
cwsu
w
u
w
w
u
w
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
γγ
γγ
γγ
ϕ
ϕ
+−
+
+−
=⋅
−
−
==
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
*
*
*
*
*abr
Transformační matice Tab vyjadřuje geometrickou závislost lokálních parametrů deformace na globálních.
Transformační matice
**
**
*
*
0000cossin
0000sincos
aa
aa
a
a
abab
abab
a
a
cwsu
swcu
w
u
w
u
γγ
γγ
+
−−
Z maticového zápisu lze odvodit:abab*ab rTr ⋅= *
ab1
abab rTr ⋅= −
5
*
**
**
*
*
*
*
*
100000
0cossin000
0sincos000
000100
b
bb
bb
a
b
b
b
a
abab
abab
b
b
b
a
cwsu
swcu
w
u
w
u
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
γγ
γγ
ϕ
ϕ
+
−=⋅
−==abr
Invertovaná transformační matice vyjadřuje geometrickou závislost lokálních parametrů deformace na globálních. Transformační matice je Tab ortogonální, platí:
1abT−
Tab
1ab TT =−
Transformační matice
XX 0000sincos* γγ
Transformační matice Tab, případně transponovaná transformační matice , se využije pro výpočet lokálních koncových sil z globálních případně pro výpočet globálních koncových sil z lokálních.
TabT
6
ba
ba
ba
ab
ab
ab
abab
abab
abab
abab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
⋅
−
−
==
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
*
*
*
*
*
*
γγ
γγ
γγ
γγ
*abR
*ab
Tabababab
*ab RTRRTR ⋅=⋅= případně
Koncové síly prutu v GSS
Z rovnice vyplývá:*ab
Tabab RTR ⋅=
*T*T
*ab
*ab
Tab
*ab
Tab
*ab
Tab
*ab
Tab
*ab
*ab
Tabab rkTRTRTRT)RR(TR
+=+=
+=+=+=∧∧
7
ababababab*ab
Tab
*ab
Tabab rkRrTkTRTR +=+=
*ab
Tabab RTR =
ab*ab
Tabab TkTk =
V globálním souřadném systému platí pro:
a) primární vektor koncových sil
b) matici tuhosti prutu
Globální vektor primárních koncových sil
*
**
**
*
*
*
000100
0000cossin
0000sincos
abab
abab
ab
ab
abab
abab
ab
ab
M
cZsX
sZcX
M
Z
X
M
Z
X
+
−−
γγ
γγ
8
*
**
**
*
*
*
*
*
100000
0cossin000
0sincos000
000100
ba
baba
baba
ab
ba
ba
ba
ab
abab
abab
ba
ba
ba
ab
M
cZsX
sZcX
M
M
Z
X
M
M
Z
X
M
+
−=⋅
−==
γγ
γγabR
abab sc γγ sin cos ==
Globální matice tuhosti prutu konstantního průřezu oboustranně monoliticky připojeného
EIEIEAEIEAEIEIEAEIEA
sl
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EAs
l
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EA
6121261212
6)
12()
12(
6)
12(
12
2222
232
32
232
32
−+−−−−+−
−−+−−+
ab*ab
Tabab TkTk =
9
l
EIc
l
EIs
l
EI
l
EIc
l
EIs
l
EI
cl
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EAc
l
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EA
sl
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EAs
l
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EAl
EIc
l
EIs
l
EI
l
EIc
l
EIs
l
EI
cl
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EAc
l
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EA
466266
612)
12(
6)
12()
12(
6)
12(
126)
12()
12(
266466
6)
12()
12(
612)
12(
2222
22
32
322
32
3
232
32
232
32
2222
22
32
322
32
3
−−
+−+−−−
−−+−−−+−
−−
−+−−−−+−
=abk
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
10
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
11
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
12
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
13
Příklad 3,kosoúhlý rám, zadání
2
kN4=FkN/m81 =g
kN/m4=gm12,0
m003125,0
m15,0
223
412
212
=
=
=
A
I
A
14
x
z
1
2
3
kN/m42 =g
5 3 45,0
4
6,0
5,1 1
2GPa20
m0016,0
m12,0
423
23
=
=
=
E
I
A
Příklad 3,kosoúhlý rám, výpočtový model
2
kN4=F
kN/m81 =g
( )321
15
1kN/m42 =g1
2
4=pn
( )000
( )321
( )400
3
kN3=qF
kNm675,0−=qM
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)
1
2
kN/m81 =g
5,1 10
0
1
1
==
z
x
m5,1
m5
2
2
−=
=
z
x
m22,5=l
16
15
m22,512 =l
°=°−=⇒
==−=
−=−=−=
3,3437,16
958,022,55
cos
287,022,55,1
sin
12
12
12
12
12
12
12
γ
γ
γ
l
xx
l
zz
11211
11211
kNm663,7cos
kNm299,2sin−
−
==
−==
γ
γ
gq
gn
Lokální primární vektor koncových sil
Prut oboustranně monolitický:
62/* − lnXVstupy:
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)
17
4,17
20
6
4,17
20
6
12/
2/
2/
12/
2/
2/
2121
121
121
2121
121
121
*21
*21
*21
*12
*12
*12
−
−
−
=
−
−
−
−
−
==
lq
lq
ln
lq
lq
ln
M
Z
X
M
Z
X
*12R
m22,5
kNm663,7
kNm299,2
12
11
11
=
=
−=−
−
l
q
n
Vstupy:
09578,02874,0000
02874,09578,0000
000100
00009578,02874,0
00002874,09578,0
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
1212
1212
1212
−
−
=
−
−
γγ
γγ
γγ
γγ
=12T
Transformační matice
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)
18100000
09578,02874,0000
02874,09578,0000
000100
00009578,02874,0
00002874,09578,0
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
100000
09578,02874,0000
100000
0cossin000
1212
1212
1212
1212
1212
−
−
=−
−
−−
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
Transponovaná transformační matice
=T12T
0
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)
Globální primární vektor koncových sil
0206
** ⋅+⋅−
⋅=
scsZcXX
*12
T1212 RTR
19
0
0
0
1
2
3400,17
881,20
0
400,17
881,20
0
4,17
206
206
4,17
206
206
*21
*21
*21
*21
*21
*12
*12
*12
*12
*12
21
21
21
12
12
12
−
−
−
=
−
⋅−⋅
⋅+⋅
⋅−⋅
⋅+⋅
=
+
−
+
−
==
cs
sc
cs
sc
M
cZsX
sZcX
M
cZsX
sZcX
M
Z
X
M
Z
X
12R
Lokální matice tuhosti
007,574007,574612612
0000
−
−
EIEIEIEIl
EA
l
EA
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)
20
3
22
2323
22
2323
10
9,478,1309,238,130
8,133,508,133,50
007,574007,574
9,2381,1309,478,130
8,133,508,133,50
007,574007,574
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
⋅
−
−
−
−
−−−
−
=
−
−
−
−
−−−
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EAl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EI
*12k
12*12
T1212 TkTk =
0 0 0 1 2 3
95,37,1567,52795,37,1567,527 −−−−
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)
0
Globální matice tuhosti
21
310
8,4718,1395,39,2318,1395,3
18,139,5227,15618,1329,527,156
95,37,1567,52795,37,1567,527
9,2318,1395,39,4718,1395,3
18,1329,527,15618,139,5227,156
95,37,1567,52795,37,1567,527
⋅
−−
−−
−−
−−
−−−−
−−−−
=12k
0
0
0
1
2
3
m5,1
m5
2
2
−=
=
z
x
m5,2
m8
3
3
=
=
z
x
m523 =l
( ) =−−=−= 8,05,15,2
sin 23γ zz
2 mkNg /42 =
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)
22
( )
°=⇒
=−=
=−−=−=
13,53
6,0cos
8,05
5,15,2sin
23
23
23
23
23
23
23
γ
γ
γ
l
xx
l
zz
12322
12322
kNm4,2cos
kNm2,3sin
−
−
==
==
γ
γ
gq
gn3
3
42
82/232
*
*23 −− lnX
Lokální primární vektor (oboustranně monoliticky):
Vstupy:
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)
23
5
6
8
5
6
12/
2/
2/
12/
2/
2232
232
232
2232
232
*32
*32
*32
*23
*23
−
−
−
−
=
−
−
−
−
==
lq
lq
ln
lq
lq
M
Z
X
M
Z
*23R
m5
kNm4,2
kNm2,3
23
12
12
=
=
=−
−
l
q
n
08,06,0000
000100
00006,08,0
00008,06,0
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
2323
2323
2323
−
−
=
−
−
=
γγ
γγ
γγ
γγ
23T
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)
Transformační matice
24
100000
06,08,0000
08,06,0000
000100
00006,08,0
00008,06,0
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
100000
06,08,0000
100000
0cossin000
2323
2323
2323
2323
2323
−
−
=−
−
=
−−
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
T23T
Transponovaná transformační matice
068
** ⋅+⋅−−
⋅=
scsZcXX
*23
T2323 RTR
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)
Globální primární vektor koncových sil
1
25
5
10
0
5
10
0
5
68
68
5
68
68
*32
*32
*32
*32
*32
*23
*23
*23
*23
*23
32
32
32
23
23
23
−
−
−
=
−
⋅−⋅−
⋅+⋅−
⋅−⋅−
⋅+⋅−
=
+
−
+
−
==
cs
sc
cs
sc
M
cZsX
sZcX
M
cZsX
sZcX
M
Z
X
M
Z
X
23R
1
2
3
0
0
4
Lokální matice tuhosti
0048000480612612
0000
−
−−−
−
EIEIEIEIl
EA
l
EA
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)
26
3
22
2323
22
2323
10
6,2568,708,1268,70
68,7072,3068,7072,30
0048000480
8,1268,706,2568,70
68,7072,3068,7072,30
0048000480
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
⋅
−
−
−
−
−−−
−
=
−
−
−
−
−−−
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EAl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EI
*23k
23*23
T2323 TkTk =
14,69,2288,17414,69,2288174 −−,
Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)
Globální matice tuhosti
1 2 3 0 0 4
1
27
310
6,2561,414,68,1261,414,6
61,43,3089,22861,43,3089,228
14,69,2288,17414,69,2288,174
8,1261,414,66,2561,414,6
61,43,3089,22861,43,3089,228
14,69,2288,17414,69,2288174
⋅
−−
−−
−−−−
−−
−−−−
−−
=
,
23k
1
2
3
0
0
4
Příklad 3, rovnice rovnováhy
0:0
0 :0
0:0
23212
23212
23212
z
x
MMM
FZZF
XXF
=+−=
=−−=
=+−−=
=−−=
∑
∑
∑
∑
1
2
kN4=F
kN/m81 =g
kN/m42 =g1
24=n
( )000
( )321
kN3=qF
28Obecně: FRSrK =−=⋅
ˆ
0ˆˆ
ˆ ˆ
0ˆ ˆ
0 :0
3232
23232121
23232121
23232121
323
g
g
MMM
MMMM
FZZZZ
XXXX
MMM
=+
=+++
=+++
=+++
=+−=∑ 4=pn
( )400
3kNm675,0−=qM
MMM
MMM M
ZZ FZ Z
XXX X
g 3232
23212321
23212321
23212321
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
−=⇒
−−=+⇒
−−=+⇒
−−=+⇒
Příklad 3, zatěžovací vektor
Zatěžovací vektor F představuje pravou stranu řešených lineárních rovnic:
RSF −=S … vektor uzlových zatížení, do řešení lineárních rovnic vstupuje tam,
29
=
−
−+
−
−=
+
=
−
=
=
325,4
4,12
88,34
0
5
5
10
0
0
40,17
88,20
0
0
675,0
0
4
0
0
0
32
23
23
23
21
21
21
F R S
M
M
Z
X
M
Z
X
M
F
g
1
2
3
4
S … vektor uzlových zatížení, do řešení lineárních rovnic vstupuje tam, kde hledáme neznámý parametr deformace (dle kódových čísel)
… součet vektorů primárních koncových sil prutů v GSS působící v uzlech ve smyslu hledaných parametrů deformace (dle kód. čísel)
R
Příklad 3, tvorba matice tuhosti konstrukce
Matice tuhosti konstrukce se tvoří z částí matic tuhostí prutů konstrukce, v daném případě prutů 1 a 2:
14,614,69,2288,174095,37,1567,527 − 11 2 3 4 1 2 3 4
30
3
33
10
6,258,1261,414,6
8,125,7357,81,10
61,457,86,3600,722
14,61,100,7224,702
10
6,258,1261,414,6
8,126,2561,414,6
61,461,43,3089,228
14,614,69,2288,174
10
0000
09,472,1395,3
02,133,527,156
095,37,1567,527
⋅
−
−=
⋅
−
−
−−+⋅
−
−
=+=
K
KKK 21
1
2
3
4
1
2
3
4
1 2 3 4
Příklad 3,řešení soustavy lineárních rovnic
u2 0144,6098,10203,72445,702
FrK =⋅
31
{ } { }TTwu
w
33553222
3
2
23
1021,11038,11076,9103,1
325,4
400,12
880,3410
6,258,12608,4144,6
8,12491,73573,8098,10
608,4573,8595,360203,72
−−−− ⋅⋅⋅⋅−==
=
⋅⋅
−
−
ϕϕ
ϕ
ϕ
r
Příklad 3, výpočet koncových sil prutu 1 v GSS a LSS
−
−
=
−
−
+
−
=
⋅−+
−
=
+
=
=
+=
− 65,21
94,21
85,29
65,21
65,21
54,4
97,8
65,21
0
40,17
88,20
0
103,1
0
0
0
0
40,17
88,20
0
52
1
1
1
21
12
12
12
21
12
12
12
u
w
u
X
M
Z
X
X
M
Z
X
121212
12121212
kkR
rkRR
ϕ
32
−
−
−
−
=
⋅
−
−
=
=
=
−
−
−
−
−
−
⋅
⋅
⋅−
−
−
−
−
55,9
63,17
31,17
94,21
37,22
31,29
100000
09578,02873,0000
02873,09578,0000
000100
00009578,02873,0
00002873,09578,0
55,9
91,11
65,21
85,7
97,8
65,21
40,17
88,20
0
1035,1
1076,9
103,1
40,17
88,20
0
21
21
21
12
12
12
*21
*21
*21
*12
*12
*12
3
5
2
2
2
21
21
21
21
21
21
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
w
u
M
Z
X
M
Z
X
*12
1212*12
R
RTR
ϕ
Příklad 3, výpočet koncových sil prutu 2 v GSS a LSS
−=
−+
−
=
⋅
⋅
⋅−
+
−
=
+
=
=
+=
−
−
−
65,21
55,9
91,15
65,21
65,21
55,4
91,25
65,21
0
5
10
0
0
1035,1
1076,9
103,1
0
5
10
0
3
5
5
3
2
2
2
32
23
23
23
32
23
23
23
u
w
u
X
M
Z
X
X
M
Z
X
232323
23232323
kkR
rkRR
ϕ
33
−
−
−
−
=
⋅
−
−
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
⋅
−
−
−
675,0
23,4
72,41
55,9
77,7
72,25
100000
06,08,0000
08,06,0000
000100
00006,08,0
00008,06,0
675,0
91,35
65,21
33,4
91,25
65,21
5
10
0
1021,1
0
0
5
10
0
32
32
32
23
23
23
*32
*32
*32
*23
*23
*23
33
3
3
32
32
32
32
32
32
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
w
u
M
Z
X
M
Z
X
*23
2323*23
R
RTR
ϕ
Příklad 3,podmínky rovnováhy a reakce ve styčníku 1
1 Z
12Z 12X
12X
12M
12M
R1M
34
1 12Z12X
zR1
xR1
kNm94,210
kN85,290
kN65,210
121121
121121
121121
−=−=⇒=−−
=−=⇒=−−
==⇒=−
MMMM
ZRZR
XRXR
zz
xx
Příklad 3, podmínky rovnováhy ve styčníku 2
223X
21M21X
21M23M
F
35
23Z21Z
21X23X
21Z
23X
23M
23Z
055,955,90
091,1591,1140
065,2165,210
2321
2123
2321
=−=−−
=−+=−−
=−=−−
K
K
K
MM
ZZF
XX
Příklad 3, podmínky rovnováhy a reakce ve styčníku 3
X32M
0675,0675,00
kN91,380
kN65,210
32
323323
323323
=−=+−
=+−=⇒=+−−
−==⇒=−
Kg
gzgz
xx
MM
FZRFZR
XRXR
36
3
32X
32M32Z 32X
32Z
32
zR3
xR3
gM
gF
0675,0675,0032 =−=+− KgMM
Příklad 3,kontrola řešení
2
kNF 4=mkNg /81 =
mkNg /42 =1kN65,211 =xR
37
1
3
2kN85,291 =zR
kN65,211 =xRkNm94,211 −=M
kN65,213 −=xR
kN91,383 =zR065,2165,21
0
0
31
=−
=+
=∑
xx
x
RR
F
Příklad 3,kontrola řešení
2
kNF 4=mkNg /81 =
mkNg /42 =1kN65,211 =xR
38
1
3
2kN85,291 =zR
kN65,211 =xRkNm94,211 −=M
kN65,213 −=xR
kN91,383 =zR( ) 091,3885,2975,05422,584
0
0
3122121
=−−+⋅+⋅+
=−−++
=∑
zzk
z
RRlglgF
F
k
Příklad 3,podklady pro kontrolu ΣMk = 0
2
kNF 4=mkNg /81 =
mkNg /42 =5,1 1
39
x
z
1
3
5 3 45,0
4
6,0
5,1 1
2l12 = 5,22 m
l23 = 5,00 m
l3k = 0,75 m
k
Příklad 3,kontrola řešení
2
kNF 4=mkNg /81 =
mkNg /42 =1kN65,211 =xR
40
1
3
2kN85,291 =zR
kN65,211 =xRkNm94,211 −=M
kN65,213 −=xR
kN91,383 =zR
06,065,2145,091,38725,175,54
45,3495,522,581,365,2145,885,2994,21
06,045,0725,1
45,395,51,345,8
0
3322
121111
=⋅−⋅+⋅⋅−
−⋅−⋅⋅−⋅+⋅+−
=⋅+⋅+⋅−
−⋅−⋅−⋅+⋅+
=∑
xzk
xz
k
RRlg
FlgRRM
M
k
Příklad 3,normálové síly
31,29*12 =X
94,21*12 =M
55,9*21 −=M
63,17*21 −=Z
31,17*21 −=X
mkNn /30,21 =
mkNq /66,71 = 72,25*23 =X
77,7*23 −=Z
55,9*23 =M
mkNn /2,3=
mkNq /4,22 =
41
31,2912 =X37,22*
12 −=Z68,0*
32 −=M23,4*
32 −=Z72,41*
32 −=X
mkNn /2,32 =
N
T
T
675,023,472,4155,977,772,25
55,963,1731,1794,2137,2231,29
−−−−=
−−−−=
*23
*12
R
R
Příklad 3,posouvající síly
31,29*12 =X
94,21*12 =M
55,9*21 −=M
63,17*21 −=Z
31,17*21 −=X
mkNn /30,21 =
mkNq /66,71 = 72,25*23 =X
77,7*23 −=Z
55,9*23 =M
mkNn /2,3=
mkNq /4,22 =
42
V
31,2912 =X37,22*
12 −=Z68,0*
32 −=M23,4*
32 −=Z72,41*
32 −=X
mkNn /2,32 =
T
T
675,023,472,4155,977,772,25
55,963,1731,1794,2137,2231,29
−−−−=
−−−−=
*23
*12
R
R
Příklad 3,ohybové momenty
31,29*12 =X
94,21*12 =M
55,9*21 −=M
63,17*21 −=Z
31,17*21 −=X
mkNn /30,21 =
mkNq /66,71 = 72,25*23 =X
77,7*23 −=Z
55,9*23 =M
mkNn /2,3=
mkNq /4,22 =
43
M
31,2912 =X37,22*
12 −=Z68,0*
32 −=M23,4*
32 −=Z72,41*
32 −=X
mkNn /2,32 =
T
T
675,023,472,4155,977,772,25
55,963,1731,1794,2137,2231,29
−−−−=
−−−−=
*23
*12
R
R
Použitá literatura
[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. VUTIUM, Brno 2001.
44