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1. From Wikipedia, the free encyclopedia2. Lexicographical order

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  • Partially ordered setFrom Wikipedia, the free encyclopedia

  • Contents

    1 a-paracompact space 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Binary relation 22.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    2.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3 Closure (topology) 123.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    i

  • ii CONTENTS

    3.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4 Compact operator 164.1 Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Important properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Origins in integral equation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Compact operator on Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Completely continuous operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    5 Compact space 205.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    5.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    6 Compactly embedded 296.1 Denition (topological spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Denition (normed spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    7 Cover (topology) 307.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  • CONTENTS iii

    7.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    8 Exhaustion by compact sets 338.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    9 Feebly compact space 34

    10 Functional analysis 3510.1 Normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    10.1.1 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.1.2 Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    10.2 Major and foundational results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.2.1 Uniform boundedness principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.2.2 Spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.2.3 Hahn-Banach theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.2.4 Open mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.2.5 Closed graph theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.2.6 Other topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    10.3 Foundations of mathematics considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.4 Points of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    11 H-closed space 4111.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

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