TERCERA PARCIAL LAPSO 2009 -1 739 - 1/3

Universidad Nacional Abierta Matemática V (739) Vicerrectorado Académico Tercera Parcial Área de Matemática Fecha: 16/05/2009 Lapso 2009 – 1

MODELO DE RESPUESTA

OBJ 8 PTA 1 Verifique si se cumple la siguiente igualdad

2dx2x 2) 2

I+ ∞

+ +− ∞

π= =∫ 2(x

SOLUCIÓN La función integrando

21

2x 2)f (x)

+ += 2(x

es racional y no se anula en IR, siendo 4 el grado del denominador y 0 el grado del numerador, ahora

2 2 2 2

1 1f (z)(z 2z 2) (z ( 1 i)) (z ( 1 i))

= =+ + − − + − − −

entonces −1 + i y −1 − i son polos de orden 2, y sólo −1 + i está en el semiplano superior y por tanto

I 2 i Res(f , 1 1)= π − + 2z 1 i

d 12 i l í mdz (z ( 1 i))→− +

⎛ ⎞= π ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

3z 1 i

22 i l í m(z ( 1 i))→− +

⎛ ⎞−= π ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

3

22 i(( 1 i) ( 1 i))

⎛ ⎞−= π ⎜ ⎟− + − − −⎝ ⎠

3

4 i(2 i)− π

=2π

=

Luego

I 2π

=

OBJ 9 PTA 2 Determine la transformada inversa de Laplace de:

F( s ) = ( )2

1−2

s

s

Solución:

Tenemos que

f( s ) = ( )2

1−2

s

s =

( ) ( ) ( ) ( )2 211 1+ + +

+ +

A B C Ds -1 ss - s

TERCERA PARCIAL LAPSO 2009 -1 739 - 2/3

= ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

1 1 1 D 11

+ + + + + +

+

A s - s B s 1 C s 1 s - s -s -1 s

de aquí que

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 21 1 1 D 1= + + + + + +s A s - s B s 1 C s 1 s - s -

resolviendo obtenemos que A = C = 0, B = ¼ y D = −1/4

luego

( )21−2

s

s=

( ) ( )2 24 4 1−

+

1 1s -1 s

,

recordemos que la transformada inversa de Laplace es lineal, por lo que:

f( t ) = L– 1[F( s )] = L– 1

( ) ( )2 24 4 1

⎡ ⎤−⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1s -1 s

= t t1 1t e t e4 4

−−

OBJ 10 PTA 3 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando transformada de Laplace

t

t

x x y ey y x e

′⎧ + = +⎪⎨

′+ = +⎪⎩

con las condiciones iniciales x(0) = y(0) = 1

Solución: Recordemos que:

• Tanto la transformada de Laplace como su inversa son lineales. • L[ y’ ] = sL[ y ] – y( 0 ) y L[ y’’ ] = s2L[ y ] – sy( 0 ) – y’( 0 ).

Por lo tanto, en virtud de las propiedades antes citadas, tenemos:

(1) t

t

L(x) L(x ) L(y) L(e )L(y) L(y ) L(x) L(e )

′⎧ + = +⎪⎨

′+ = +⎪⎩

Como

L[ x’ ] = s L[ x ] – x( 0 ) = s L[ x ] − 1

L[ y’ ] = s L[ y ] – y( 0 ) = s L[ y ] − 1

L( et ) = 1/(s−1)

El sistema de ecuación (1) nos queda

TERCERA PARCIAL LAPSO 2009 -1 739 - 3/3

O bien

De aquí que

2

2

s 1s 1

s s 2s1 ss 1 s 1 1L[ x ]1 s 1 s 1s 2s

1 1 s

−−

++− −

= = =+ − −+− +

2

2

s1 ss 1

s s 2s1s 1 s 1 1L[ y ]

1 s 1 s 1s 2s1 1 s

+−

+−− −

= = =+ − −+− +

en consecuencia

x(t) = L−1( 1s 1−

) = et

y(t) = L−1( 1s 1−

) = et

FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS

L[ x ] + s L[ x ] − 1 = L[ y ] + 1s 1−

L[ y ] + s L[ y ] − 1 = L[ x ] + 1s 1−

(1 + s) L[ x ] − L[ y ] = ss 1−

− L[ x ] + (1 + s) L[ y ] = ss 1−