Geometría analítica

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1.

Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualqu ier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c , B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.

De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cu alesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones o puestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único.

Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyeccion es apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

Modernos avances

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss , Nikolái Lobachevski, y János Bolyai , trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.

Carl Fiedrich Gauss

Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o

más dimensiones.

En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

refiere a la manera en la que Fermat, heredero de Viète en lo que al álgebra concierne, inicia hacia 1629 una reconstrucción de los enunciados dados por Apolonio en los Lugares Planos. Esta recopilación de los enunciados de Apolonio se presenta en la Colección Matemática de Pappus, hecha por Commandino4 en 1589, la cual constituye la primera traducción al latín de los trabajos del geómetra griego. Estos trabajos recolectan el conocimiento matemático hasta el tiempo de Pappus5 (290 – 350). En el Libro VII de esta Colección, Pappus trata sobre a) Los lemas del libro Sectione Determinata, de Apolonio. b) Lemas de los Porismos, de Euclides c) Un lema sobre Lugares Planos de Euclides (a partir del trabajo de Apolonio sobre las Cónicas) el cual establece que el lugar geométrico de un punto tal que su distancia a un punto dado mantiene una razón constante respecto a su distancia de una recta dada es una cónica; y a continuación da las pruebas de que esa cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que la razón constante sea igual, menor o mayor que la unidad (estas pruebas no aparecen en el trabajo de Apolonio). En el Libro I, Fermat trata sobre los lugares geométricos que solamente comprenden rectas y círculos. Se trata de las transformaciones del plano en el plano (traslaciones, rotaciones, reflexiones). En el Libro II, Fermat estudia los lugares geométricos de los puntos para los cuales la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante; o para los cuales la razón de las distancias a los dos puntos fijos es constante, etc. Este método de Fermat es mucho más cercano a la geometría analítica, como la conocemos actualmente, que la obra de Descartes. Una vez en posesión del método, Fermat trabaja sobre el cálculo de áreas bajo curvas que representan funciones potencia, utilizando series geométricas, adelantándose al cálculo integral y sirviendo de punto de apoyo al trabajo de Newton. Pero también, entre las aplicaciones más geniales de la geometría analítica está la determinación de tangentes a curvas algebraicas (que Fermat y Descartes llamaban geométricas). El método para esta determinación de tangentes lo dio a conocer en 1638 y el mismo Descartes no pudo comprenderlo inmediatamente, en parte por la manera muy concisa de Fermat para utilizar el lenguaje12 . Este trabajo se encuentra en su Methodus Disquirendam Maximam et Minimam13 , escrito pocos años después de su Isagoge.

János Bolyai

Arthur Cayley

En sus trabajos sobre máximos y mínimos Fermat utiliza virtualmente la noción y la notación funcional del cálculo de límites, pero no los utiliza de manera específica. Fermat estuvo muy cerca de descubrir el cálculo: le faltó establecer la conexión entre el problema de la determinación de tangentes y el problema del cálculo del área bajo una curva. Fermat comienza con una ecuación y muestra cómo esta ecuación puede ser considerada como la definición de un lugar geométrico de puntos -una curva- con respecto a un sistema de referencia. Fermat no inventa las coordenadas y no es el primero en utilizar representaciones gráficas.

v-a+c=2 Esta fórmula, atribuida a René Descartes (1956-1650), y más conocida por la fórmula de Euler, relaciona el

número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo (en particular, homeomorfo a una esfera). Observar

que en esta fórmula no interviene ninguna magnitud de medida.

En la página Euler’s formula for poliedra encontraréis los cálculos de la característica de Euler para los cuerpos

platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. En todos los caso obtenemos que .

ANALISIS MATEMATICO

El análisis es una rama de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos y sus funciones. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del Cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.

HISTORIA

El análisis se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos tópicos del análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX,Cauchy fue el primero que fundó estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de Sucesión de Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.

Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición e-d deLímite . Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto Continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante Cortaduras de Dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de Integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.

También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, Curva que llena el espacio) comenzaron a surgir. En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría básica de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando Teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el Análisis funcional.

El análisis matemático es una rama de las matemáticas que incluye las teorías de diferenciación, integración, medida, los límites, las series infinitas y las funciones analíticas. Estas teorías se estudiaron por lo general en el contexto de los números y funciones reales y complejas. Análisis evolucionado a partir de cálculo, que consiste en los conceptos elementales y técnicas de análisis. El análisis puede ser distinguida de la geometría. Sin embargo, se puede aplicar a cualquier espacio de objetos matemáticos que tiene una definición de la cercanía o distancias específicas entre los objetos.

Historia En Europa, durante la segunda mitad del siglo 17, Newton y Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo infinitesimal, que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó hasta el siglo 18, en los temas de análisis como el cálculo de variaciones, diferenciales ordinarias y parciales ecuaciones, análisis de Fourier, y funciones generadoras. Durante este período, las técnicas de cálculo se aplicaron a problemas discretos aproximados por las continuas.

En el siglo 18, Euler introdujo la noción de función matemática. Análisis real comenzó a surgir como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, pero el trabajo de Bolzano no llegó a ser muy conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a poner cálculo sobre una base lógica firme rechazando el principio de la generalidad del álgebra ampliamente utilizado en el trabajo anterior, en particular por Euler. En cambio, Cauchy formulado cálculo en términos de ideas geométricas y infinitesimales. Por lo tanto, su definición de continuidad requiere un cambio infinitesimal en x para corresponder a un cambio infinitesimal en y. También introdujo el concepto de la secuencia de Cauchy, y comenzó la teoría formal de análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico. Las contribuciones de estos matemáticos y otros, tales como Weierstrass, desarrollaron la definición del enfoque de límite, fundando así el campo moderno de análisis matemático.

En la mitad del siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. El último tercio del siglo 19 vio la aritmetización de análisis por Weierstrass, quien pensaba que el razonamiento geométrico era inherentemente errónea, e introdujo la definición de "epsilon-delta" del límite. Luego, los matemáticos empezaron a preocuparse de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin pruebas. Dedekind entonces construye los números reales por los cortes de Dedekind, en la que los números irracionales se definen formalmente, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un sistema completo: el continuum de los números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin en términos de expansiones decimales. Por aquel entonces, los intentos de refinar los teoremas de integración Riemann llevaron al estudio del "tamaño" del conjunto de discontinuidades de funciones reales.

Además, "monstruos" comenzaron a ser investigados. En este contexto, Jordania desarrolló su teoría de la medida, Cantor desarrolló lo que ahora se llama la teoría de conjuntos ingenua, y Baire demostró la categoría teorema de Baire. En el siglo 20, el cálculo se formalizó mediante una teoría axiomática de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacio vectorial normado estaba en el aire, y en la década de 1920 Banach creado análisis funcional.

Espacios topológicos, espacios métricos La motivación para el estudio de análisis matemático en el contexto más amplio de los espacios topológicos o métrica es triple:

• Las mismas técnicas básicas han demostrado ser aplicable a una clase más amplia de problemas.

• Una mayor comprensión de análisis en los espacios más abstractos con frecuencia resulta ser directamente

aplicables a los problemas clásicos. Por ejemplo, en el análisis de Fourier, funciones se expresan en términos de una

cierta suma infinita de funciones trigonométricas. Así, el análisis de Fourier se puede usar para descomponer un

sonido en una combinación única de tonos puros de varios campos de fútbol. Los "pesos", o coeficientes, de los

términos en la expansión de Fourier de una función pueden ser considerados como componentes de un vector en un

espacio de dimensión infinita conocido como un espacio de Hilbert. Estudio de las funciones definidas en esta

configuración más general por lo tanto proporciona un método conveniente de obtener resultados sobre la forma en

funciones varían en el espacio, así como el tiempo o, en términos más matemáticos, ecuaciones diferenciales

parciales, donde esta técnica se conoce como separación de variables.

• Las condiciones necesarias para demostrar el resultado particular se expresan de manera más explícita. El analista

se vuelve más consciente de exactamente qué se necesita aspecto de la hipótesis para demostrar el teorema.

Cálculo de las diferencias finitas, cálculo o análi sis discreta discreta

En la sección anterior sobre espacios topológicos deja claro, el análisis no es sólo acerca de la continuidad en el sentido tradicional de los números reales. El análisis se refiere fundamentalmente a las funciones, los espacios que las funciones que actúan sobre la función y los espacios que las propias funciones son miembros. Una función f discreta se suele llamar una secuencia a. Una secuencia podría ser una secuencia finita de alguna fuente de datos o una secuencia infinita de un sistema dinámico discreto. Una función discreta podría definirse explícitamente por una lista, o por una fórmula para f o se le podría dar implícitamente por una relación de recurrencia o ecuación de diferencia. Una ecuación de diferencia es el equivalente discreto de una ecuación diferencial y se puede utilizar para aproximar la última o estudió en su propio derecho. Todas las preguntas y el método sobre ecuaciones diferenciales tienen un equivalente discreto de ecuaciones en diferencias. Por ejemplo, donde hay transformadas integrales en análisis armónico para el estudio de funciones continuas o señales analógicas, hay transformadas discretas para funciones discretas o señales digitales. Así como la métrica discreta hay espacios métricas más generales discretas o finita y espacios topológicos finitos.

Esta es la identidad de Euler, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales, el cero, el uno, pi, el número e y el número i. Esta ecuación expresa con unos pocos símbolos matemáticos, una belleza infinita. Digna de un genio como Euler.

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas. Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de -1,

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por lo tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún. Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

Ó, resulta lo mismo escribir,

Aunque la campana de Gauss lleva el nombre del genio de las matemáticas Carl Friedrich Gauss , realmente la distribución

normal la descubrió y publico por primera vez Abraham Moivre (por eso en algunos libros se llama la distribución de Moivre –

Gauss) en un artículo del año 1733, que reprodujo en la segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” (1738) como

aproximación de la distribución normal para valores grandes de n. Este resultado fue ampliado por Pierre-Simon de Laplace en su

libro “Teoría analítica de las probabilidades” (1812).

El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos y

algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.

La campana de Gauss está definida por la función:

Propiedades

� El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

� Es simétrica respecto a la media µ.

� Tiene un máximo en la media µ.

� Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

� En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

� El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

� El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

� Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

� La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Aplicaciones

Una de las mayores aportaciones al cálculo integral

variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

� Caracteres morfológicos de individuos (

diámetros, perímetros,...

� Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un

� Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de

examen.

� Caracteres [Psicología|psicológicos]], por ejemplo: cociente in

� Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

� Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la

Heptadecágono

febrero 19, 2010 a 16:58 (Científicas

Se trata de una figura geométrica que se caracteriza por tener sus diecisiete lados

había sido estudiada por los griegos más de dos mil años antes, pero esta figura no había sido objeto de estudio por

parte de los mismos. Sería el gran matemático alemán <<

método para construir unheptadecágonoheptadecágonoheptadecágonoheptadecágono, usando solamente regla y compás.

GaussGaussGaussGauss definió qué tipo de polígonos regulares podían ser construidos con regla y compás. Y formuló el siguiente

teorema:

<< << << << Un polígono regular de Un polígono regular de Un polígono regular de Un polígono regular de lados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuesto

descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2

SiendoSiendoSiendoSiendo rrrr >= 0>= 0>= 0>= 0 y losy losy losy los PiPiPiPi es un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a ees un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a ees un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a ees un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a e

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

cálculo integral que realizó Gauss, fue la introducción de esta

variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

(personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras,

, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de

, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de

Caracteres [Psicología|psicológicos]], por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

Científicas)

Se trata de una figura geométrica que se caracteriza por tener sus diecisiete lados con la misma longitud. La geometría

había sido estudiada por los griegos más de dos mil años antes, pero esta figura no había sido objeto de estudio por

parte de los mismos. Sería el gran matemático alemán <<Johann Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich Gauss>> quien, en 1796, id

, usando solamente regla y compás.

definió qué tipo de polígonos regulares podían ser construidos con regla y compás. Y formuló el siguiente

lados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuesto

descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2rrrr * P1 … Pk* P1 … Pk* P1 … Pk* P1 … Pk

es un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a ees un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a ees un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a ees un número primo de Fermat, los cuales se acomodan a esta expresión << Pi=sta expresión << Pi=sta expresión << Pi=sta expresión << Pi=

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

que realizó Gauss, fue la introducción de esta función. Este gráfico se usa en

,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras,

, o de una misma cantidad de abono.

, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de

telectual, grado de adaptación a un medio,...

con la misma longitud. La geometría

había sido estudiada por los griegos más de dos mil años antes, pero esta figura no había sido objeto de estudio por

>> quien, en 1796, ideara un

definió qué tipo de polígonos regulares podían ser construidos con regla y compás. Y formuló el siguiente

lados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuestolados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si, y sólo si,si, y sólo si,si, y sólo si,si, y sólo si, la la la la

sta expresión << Pi=sta expresión << Pi=sta expresión << Pi=sta expresión << Pi= >>>>>>>>

Es decir, cualquier polígono regular en el que el número de lados es múltiplo de 2, o si el número de lados

corresponde a un número primo de Fermaprimo de Fermaprimo de Fermaprimo de Fermat.t.t.t.

Para demostrar este teorema, GaussGaussGaussGauss enseñó el método de cómo construir un polígono de diecisiete lados con regla y

compás. Aquí tenéis un par de links a páginas en donde se explica de manera detallada cómo se realiza la

construcción de dicho polígono regular.

Construcción del HeptdecágonoConstrucción del HeptdecágonoConstrucción del HeptdecágonoConstrucción del Heptdecágono

Además demostró que el heptágonoheptágonoheptágonoheptágono equilátero <<polígono de siete lados iguales>>, no podía construirse con el

auxilio de regla y compás. Éste fue el primer caso en el que una construcción geométrica resultaba imposible.

El n-gono regular es construible con regla y compás si y solo si, todos los primos impares que dividen n son primos de Fermat

cuyo cuadrado no divide n. Para ilustrar este hecho, el polígono regular de 18 lados (18 – gono) no es construible ya que 3 es

un primo de Fermat, pero su cuadrado 9 (3� ) divide a 18 contradiciendo el resultado antes mencionado. Este teorema nos

ayuda a probar que el 60-gono regular se puede construir con regla y compás, en efecto, tenemos que 60 = (2�)(3)(5) y los

números 3 y 5 son primos de Fermat, 9 y 25 que son los cuadrados de 3 y 5 respectivamente no dividen a 60. Luego

podemos asegurar que 60-gono es construible con regla y compás.

Se dice que sus habitantes intentaron durante años encontrar una ruta por la que cruzando una sola vez cada puente se pudiese

regresar al punto de partida. Nunca lo encontraron. La cuestión es ¿existe tal camino? Alguno dirá: ¡eso es posible, sin duda!,

otros que: ¡no, eso es imposible! Pero… ¿cómo demostrar quién tiene razón? En su propuesta Euler lo hizo de una forma

general para cualquier número de puentes, sean siete o más.

Era la primera vez que se hacía referencia a una geometría basada en la estructura de los objetos y no en las medidas que suele

ser lo habitual. Euler la llamó“geometriam situs”, hoy más conocida como Topología, dando lugar a lateoría de grafos o

teoría de las gráficas. Un grafo se define como un conjunto de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de aristas (o

arcos). Se suele representar mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).

El problema de los siete puentes de Königsberg es un problema complejo pero con una solución muy simple de entender. No

vamos a entrar muy a fondo en la explicación pero si en el modo de llegar a ella.

Figura 2

En la Figura 2 se muestran de manera esquemática los 7 puentes, 1,2,3,4,5,6, y 7, y las cuatro zonas, A,B,C,D, incluidas las dos

islas, Isla 1 e Isla 2, en que el río Pregel divide a la ciudad.

Lo primero que hizo Euler para resolver el problema fue eliminar todo lo que no era importante. Convirtió las cuatro zonas (A, B, C

y D) en puntos (los llamados vértices o nodos), y cada uno de los puentes (1,2,3, …) en líneas (aristas o arcos) que conectan los

nodos (zonas). De esta manera obtuvo el gráfico indicado en la Figura 3. El problema lo redujo a decidir si existe o no un camino

que comience por uno de los puntos azules, transite por todas las líneas una sola vez, y regrese al mismo punto de partida.

La conclusión básica de su teoría, que no de su demostración, es muy sencilla:

“Para cumplir con las condiciones del problema, si uno llega a un nodo (zona) a través de una arista (puente) debe salir de él por una

arista distinta (puente), lo que nos lleva a que en cada nodo (zona) el número de aristas que confluyen debe ser par”.

En el caso de los puentes de Königsberg esta premisa no se cumple en ningún caso: a los nodos (zonas) B, C y D llegan tres

aristas (puentes), mientras que al nodo (zona) A llegan cinco. Según la conclusión de Euler se trata de un problema

irresoluble: no existe solución que permita hacer el recorrido pasando una sola vez por cada uno de los puentes.

Napoleón y las matemáticas .... Napoleón Bonaparte es una de las personas más conocidas en la

historia. Muchos lo alaban por sus habilidades militares pero no mucha gente sabe que era un gran

aficionado a las matemáticas, y en especial a la geometría. Napoleón pensaba que las matemáticas eran

fundamentales para el desarrollo científico y tecnológico, y que el rigor matemático perfeccionaba al

espíritu. Por lo que el progreso y el perfeccionamiento de éstas conllevaría la prosperidad del estado,

de ahí que durante el tiempo que estuvo en el poder potenciara el desarrollo de las matemáticas en

Francia.

A lo largo de la historia, las ciencias exactas han cautivado a personas cuyos oficios nada tienen que ver con las matemáticas. Son muchos los casos y van desde papas hasta presidentes.

Es bien conocida la fascinación que sintió Napoleón Bonaparte, emperador de Francia, por las matemáticas. Tuvo una gran amistad con algunos de los mejores matemáticos de la época, entre ellos: Joseph Louis Lagrange, Gaspard

Monge y Pierre Simon Laplace. Pero, lo más sorprendente es que hay un teorema que lleva el nombre del emperador, bueno la verdad el teorema no es de Napoleón sino de Lorenzo Mascheroni uno de sus amigos matemático que dedicó al emperador su obra: Geometria del compasso. Teorema: Dado un triángulo cualquiera de lados (a, b, c), si a partir de los lados del triángulo (a, b, c) se construyen tres triángulo equiláteros, entonces los puntos centrales (baricentros) de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero."

Euclides fue el primer artífice de una teoría matemática en el sentido actual de la palabra, creando el método

axiomático-deductivo que aún se utiliza en nuestros días. Construir una teoría matemática mediante el método

axiomático-deductivo consiste en tomar un pequeño número de postulados o axiomas, que se aceptan como

verdaderos por su propia evidencia, y deducir a partir de ellos otras propiedades o teoremas de forma razonada. Para

que una nueva propiedad pueda integrarse en la teoría matemática no basta que la intuición la acepte como

verdadera, sino que es imprescindible obtener una demostración de la misma mediante las reglas de la lógica, en

cuyo caso se convierte en un teorema. A su vez, ese teorema puede utilizarse para demostrar otras propiedades

obteniendo así otros nuevos teoremas, y de esta forma el edificio matemático se va ampliando y completando, al

igual que una construcción de madera puede agrandarse al añadir sucesivas piezas que se apoyan en las anteriores.

En su conocida obra Los Elementos , Euclides seleccionó cinco postulados básicos para construir su geometría,

que pueden enunciarse como sigue:

1. Dos puntos determinan una única recta.

2. Todo segmento de recta puede prolongarse en cualquier dirección.

3. Es posible construir un círculo dados su centro y su radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única recta que es paralela a la recta dada y que pasa por

el punto.

Durante 2000 años muchos matemáticos dedicaron su tiempo y sus esfuerzos a completar con nuevos teoremas

esa gran construcción que es la geometría de Euclides. Algunos de ellos trataron de reducir el número inicial de

postulados, pues se pensaba que el 5º postulado podía demostrarse a partir de los otros cuatro. Es decir, querían

convertir el 5º axioma en teorema, en cuyo caso bastaría aceptar los cuatro primeros axiomas y tomarlos como punto

de partida para obtener finalmente la misma geometría.

De la misma forma que un arquitecto calcula los cimientos precisos para que la torre que desea construir sea lo

más esbelta posible, así hacen los matemáticos cuando buscan los axiomas más convenientes para su teoría y,

cuantos menos axiomas utilicen, más elegante será el resultado final.

Para convertir el 5º postulado en un teorema, era necesario obtener una demostración, y a ello se dedicaron sin

éxito muchos matemáticos a lo largo de varios siglos. Fue a principios del siglo XIX cuando tres

matemáticos, Lobachevski en Russia, Gauss en Alemania y Bolyai en Hungría, dieron con un resultado inesperado

que arrojó una nueva luz sobre esta cuestión. Trabajaron independientemente unos de otros en la elaboración de

modelos geométricos que mantenían los cuatro primeros postulados de Euclides a la vez que negaban el quinto.

Esperaban que una geometría en la que se negara que "por un punto exterior a una recta pasa una única

paralela" , sería una geometría incoherente y llena de contradicciones.

Estos tres grandes matemáticos utilizaron el siguiente método de razonamiento en su intento de probar que el

axioma de las paralelas era consecuencia necesaria de los otros cuatro:

Si tenemos "P", y probamos que "P y no Q" es imposible, entonces de "P" se deduce necesariamente "Q".

En el caso que nos ocupa, "P" es el conjunto de los cuatro primeros axiomas y "Q" es el 5º. Sin embargo, en contra

de lo que esperaban, obtuvieron una geometría coherente, impecable desde el punto de vista lógico, válida aunque

algunos de sus resultados fueran contrarios a la geometría clásica de Euclides. Probaron que "P y no Q" es posible,

por lo cual "Q" no se deduce de "P" , es decir, demostraron que EL 5º POSTULADO ES INDEPENDIENTE DE

LOS OTROS 4. Ese resultado tuvo un gran impacto, tanto por su interés matemático como filosófico, y dejó

definitivamente resuelta la cuestión, aunque en un sentido distinto del esperado. Aparecieron de esta manera las

geometrías no euclidianas, donde son posibles otros espacios sorprendentes y maravillosos.

Hay dos formas de negar el 5º postulado de las paralelas:

A. Dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta paralela a la dada que contenga al punto.

B. Dada una recta y un punto exterior a ella, existen al menos dos rectas paralelas a la dada que contienen al

punto.

Veremos dos modelos de geometrías no euclidianas , que corresponden a cada una de estas posibles

alternativas. Cuando comencemos a estudiar una geometría no euclidiana, debemos abrir nuestra mente y aceptar

que el concepto de recta se asocia al de "camino más corto posible", independientemente de la forma resultante, que

puede no ser la habitual a la que estamos acostumbrados. Igualmente, al pensar en dos rectas paralelas, debemos

descartar la clásica imagen de los raíles de un tren, y asumir que el significado de rectas paralelas es "rectas del

mismo plano que, por mucho que se alarguen, nunca se van a cortar."

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA La geometría no euclidiana es llamada así por su oposición a uno de los postulados del sistema deductivo de Euclides, desarrollado en sus Elementos de Geometría. Se trata del quinto postulado, ya citado arriba, y que formula la imposibilidad de que por un punto exterior a una recta pueda ser trazada más de una paralela a dicha recta.

En la segunda década del siglo XIX, más en concreto alrededor de 1824, Carl Friedrich Gauss (en la imagen) concluyó que debían ser posibles geometrías alternativas a la de Euclides. Pese a ello, y como señala Henderson, “Gauss nunca publicó sus pensamientos sobre geometría no euclidiana, y por eso el honor de su descubrimiento oficial ha sido dado a Nikolai Ivanovich Lobachevski, ruso, y János Bolyai, húngaro, que separadamente formularon el primer sistema de geometría no euclidiana” . Por lo que al primero respecta, ha de señalarse que Lobachevsky publicó “On the Principles of Geometry” en el Kazan Messenger, describiendo la “geometría imaginaria” que, desde

1826, había desarrollado. Por su parte, Bolyai publicó en 1832 “Absolute Science of Space”, apareciendo como un apéndice al tratado matemático de su padre titulado Tentamen. No obstante, Bolyai había completado su manuscrito hacia 1829. Así pues, una alternativa consistente al sistema de Euclides comienza a ser formulada. Lobachevsky y Bolyai optaron por la misma alternativa al citado quinto postulado de Euclides: a través de un punto exterior a una recta dada puede ser dibujada más de una línea que no corte la recta dada. Existen infinito número de líneas que, aunque se aproximen a la recta dada, como se extienden hasta el infinito, nunca se intersectarán. Similarmente, la suma de los ángulos de un triángulo será menos de los 180º de la geometría euclidiana. La consistencia lógica de la alternativa de Lobatchevsky la ha subrayado Poincaré al afirmar que sus proposiciones “no tienen ninguna relación con las de Euclides, pero no están menos lógicamente ligadas unas con otras” .

Un primer problema planteado por estas iniciales geometrías alternativas al sistema euclidiano era el de su visualización, problema que durará algunas décadas. Henderson apunta que “la visualización de esas propiedades de la geometría Lobachevsky-Bolyai fue grandemente facilitada en 1868 cuando el matemático italiano Eugenio Beltrami propuso la ‘pseudoesfera’ (en la imagen) como un modelo parcial para este tipo de geometría no euclidiana”. Esta introducción de Beltrami fue indicio del interés por parte de los matemáticos hacia este tema, lo que ha de unirse a que Gauss ganó prestigio en la década de los 60, dando a su vez prestigio a la geometría no euclidiana. Con ello, este tipo de geometría captó la atención de una joven generación de matemáticos, que la desarrollaron más. Entre la citada joven generación ha de destacarse a Bernhard Riemann. En 1867, se publicó una conferencia

que éste había pronunciado años atrás en la Universidad de Göttingen (titulada “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”), y en la que sugería la idea de un tipo más importante de geometría no euclidiana, distinguiendo entre espacio ilimitado y espacio infinito. Según Henderson, “en la superficie de una esfera el espacio sería ilimitado y sí finito, y la esfera, de hecho, es el modelo más fácilmente entendible para la geometría no euclidiana implicada por Riemann. Una vez que el espacio es finito y una línea no puede ser extendida indefinidamente (…), es posible establecer que ninguna línea puede ser dibujada paralela a una línea dada. Este principio es fácilmente aparente en la geometría de la esfera donde ‘líneas’ son definidas como grandes círculos y todas se encontrarán en los ‘polos’ de la esfera”. De este modo, Riemann proponía una geometría en superficies de curvatura positiva constante, justo lo opuesto a la geometría de Lobachevsky-Bolyai se superficies de curvatura negativa constante. Además, Riemann sugirió una geometría en superficies de curvatura variable, en la que el movimiento de una figura cambiaría su tamaño y sus propiedades. Dicha deformabilidad de figuras en movimiento muestra su carácter no euclidiano en el hecho de que “aunque Euclides no había postulado formalmente la indeformabilidad de figuras en movimiento, su asunción es esencial para sus sistema”. Las figuras, negado el principio de indeformabilidad, pueden retorcerse al ser movidas. Este hecho será central en el análisis de la obra de Marcel Duchamp que veremos más abajo. No en vano, fue este tipo tardío de geometría no euclidiana el que sería de gran interés para artistas de principios del siglo XX, tales como los cubistas y Marcel Duchamp. Por otra parte, ha de mencionarse la fundamental característica no euclidiana del continuo espacio-tiempo deEinstein: su curvatura, variable de un lugar

a otro, es causada por la materia, distribuida en dicho continuo. Comprobada la falibilidad de Euclides, surge un espacio curvo que invalida la perspectiva lineal que había dominado desde el Renacimiento. Al tiempo, dicha falibilidad “podía sólo sumarse al reconocimiento creciente en el siglo XIX de la naturaleza relativa de las ‘verdades’ matemáticas o científicas que el hombre puede descubrir” .

tEORÍA dE gRUPOS: El padre de esta teoría fue el matemático francés Évariste Galois. Évariste murió temprano, vivió desde 1811 a 1832, es decir, 21 años, que ni siquiera alcanzó a cumplir. ¿ Cuál era el problema que investigaba Galois ? Desde el siglo IX existían formas de resolver ecuaciones aunque de grados no elevados. De este proceso de búsqueda nosotros recibimos la capacidad de manipular los coeficientes de una ecuación cuadrática (de segundo grado); bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíz; para encontrar el valor de la incógnita que ellas contienen. Esta técnica es conocida como "Resolución por Radicales" y seamos matemáticos o no, se mantiene remanente en nuestra mente la conocida fórmula de Bashkara:

A principio del siglo XIX ya habían disponibles fórmulas similares hasta para ecuaciones de cuarto grado (orden cuatro, una de aquellas ecuaciones donde la incógnita al menos una vez aparece multiplicada 4 veces por si misma). Resolución de una ecuación de Grado Cuatro:

Pero ya desde el Renacimiento y 200 años más tarde, las ecuaciones de grado quinto decepcionaban y confundían a los matemáticos, porque era imposible encontrar una resolcuión en el estilo de los radicales. Parecía que la naturaleza (el universo) establecía una ruda distinción entre las ecuaciones cuárticas y quínticas. No hay duda que las

ecuaciones de grado cinco o más existen, así lo prueba el teorema fundamental del álgebra ( Teorema Fundamental del Álgebra (Wikipedia) ), pero otra cosa es encontrarlas .... En la "Noche Fatal de GALOIS", este joven matemático demostró que las ecuaciones de grado quinto y mayor NO pueden ser resueltas por la manipulación arirmética de sus coeficientes .... Para lograr esto, Galois introdujo una idea nueva: la idea de GRUPO. Pero, ¿ qué es un GRUPO ? En un diccionario : Grupo es una estructura algebraica, provista de tres axiomas particulares, estudiada en la rama denominada Teoría de Grupos. Más formalmente (Wikipedia) : En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: 1) Tener la Propiedad Asociativa, 2) Tener Elemento Identidad y 3) Tener Elemento Inverso. 4) Cumplir la propiedad de la Clausura. En palabras sencillas : Es un conjunto de operaciones que se aplican sobre algo, con la propiedad de que si alguna operación del conjunto es seguida por cualquier otra operación de ese conjunto, el resultado también puede ser logrado por una sola operación del conjunto. Las operaciones reciben el nombre de elementos del grupo, y su número se llama orden del grupo. Veamos un ejemplo: Pensemos en nuestra cabeza (solidaria al cuerpo) y tengamos en mente esta cuatro órdenes: a) Cabeza quieta. b) Mirar a la Izquierda. c) Media vuelta (esto moviliza el cuerpo) d) Mirar a la Derecha. Ahora ejecutemos seguidamente: Mirar a la Izquierda seguida de Media Vuelta: Un secuencia de este tipo se llama MULTIPLICACION de OPERACIONES. Si analizamos lo que aquí pasa, estas dos operaciones pueden ser reemplazadas por una sola: Mirar a la Derecha. Las cuatro operaciones anteriores conforman un grupo porque ellas cumplen los axiomas de grupo: 1) Propiedad Asociativa: Si el producto de dos operaciones es seguida de una tercera, el resultado es el mismo que si la primera operación se continúa con el producto de la segunda y la tercera.

2) Identidad: Hay exactamente una operación que NO produce efecto alguno, en nuestro caso es "quieto". 3) Existencia de Inverso: Para cada operación existe una operación inversa, lo que significa que la ejecución de una operación y de su inversa es equivalente a la operación de identidad. En este ejemplo "mirar a la izquierda" y "mirar a la derecha" son inversas la una de la otra, mientras que "Cabeza Quieta" y "Media Vuleta" son cada una la inversa de si misma. 4) Clausura: El producto de cualquier par de operaciones equivale a una sola operación del conjunto. De forma similar, el conjunto Z de los números enteros ( Z= -infinito, ....-3, -2, -1, 0 , +1, +2,+3, ....., + infinito ) asociado a la SUMA posee una estructura de Grupo. ¿ Y cuál fue la genialidad de GALOIS ? la genialidad de GALOIS fue demostrar de manera definitiva que las ecuaciones ,como los propios números (por ejemplo los enteros recién aludidos), tienen una identidad algebraica oculta, una estructura propia, una vida interior. Correspondían, contenían, -no eran- un grupo ....

Historia del concepto de grupo. El estudio del desarrollo del concepto de grupo tiene ciertas peculiaridades. Es erróneo pensar que puesto que los racionales, distintos de cero Q*=Q-{0}, forman grupo respecto de la multiplicación. Entonces, éstos son el origen del concepto y que por tanto debe ser tan antiguo como ellos mismos, remontándose al inicio de las matemáticas. Sin embargo, no fue así, el concepto de grupo es un ejemplo de como la abstracción de algunas ideas, comunes a muchas áreas de la matemática, que se iban desarrollando paralelamente, han necesitado de la distancia y del tiempo para poder asentarse, y dar lugar a una definición que satisfaciera formalmente y diera cabida a todos los ejemplos. Ésto no sucedió plenamente hasta el siglo XX. Pudiéndose decir que la teoría de grupos, aunque tuvo resultados importantes anteriores, es una teoría moderna en la historia de la matemática. Aunque ya en pleno siglo XXI, se puede decir que está plenamente consolidada como disciplina matemática y convertida en un clásico en el curriculum académico.

Las tres áreas en las que surgió, de forma natural e implícitamente, el concepto de grupo son: en la geometría al comienzo del siglo XIX, en la teoría de números al final del siglo XVIII y en la teoría de ecuaciones algebráicas al final también del dieciocho y que condujo al estudio de las permutaciones. La geometría habia sido estudiada desde el tiempo de los griegos, siendo la primera teoría en formularse

formalmente y el paradigma de todas las teorías matemáticas. ¿Que pasó al principio del diecinueve?. Había empezado a perder su caracter métrico, con la geometría proyectiva y las geometrías no euclidianas. El estudio de la geometría en n dimensiones condujo a una abstracción en la geometría misma. La diferenciación entre la geometría métrica y la geometría incidental empezó a gestarse con el trabajo de Monge, su alumno Carnot y más aún con Poncelet. Las geometrías no euclidianas fueron estudiadas por Lambert, Gauss, Lobachevsky y János Bolyai entre otros. Möbius en 1827, aunque sin percatarse del concepto de grupo, empezó a clasificar geometrías según propiedades que permanecen invariantes bajo un determinado grupo de transformaciones. Steiner en 1832, estudió nociones de geometría sintética que pueden formar parte del estudio de ciertos grupos de transformaciones. En 1761, Euler estudió la aritmética modular. En particular, analizó los restos módulo n, de potencias de un número. Aunque el trabajo de Euler no lo estableció en términos de teoría de grupos, él dió un ejemplo de descomposición de un grupo abeliano finito en clases adjuntas, según un subgrupo y probó un caso especial del resultado (hoy conocido como teorema de Lagrange): el orden de un subgrupo divide al orden del grupo. Gauss, en 1801, llevó el teorema de Euler mucho mas allá y probó resultados de aritmética modular que son especializaciones de teoremas generales de

grupos abelianos. Estudió el orden de los elementos y probó que (aunque no con esta notación) que existe un subgrupo para cada divisor del orden de un grupo cíclico. Gauss también examinó otros grupos abelianos. Analizó las formas cuadráticas binarias, con coeficientes enteros, y las estudió bajo transformaciones y sustituciones. Las clasificó en clases de equivalencia y definió un producto de clases. Gauss probó que el orden del producto (de 3 formas) es immaterial; en nuestro lenguaje actual probó la propiedad asociativa del producto de clases. De hecho, Gauss obtuvo un grupo abeliano finito. Más tarde, en 1869, Schering que editó el trabajo de Gauss, encontró un sistema de generadores para este grupo abeliano. El primero que estudió las permutaciones fue Lagrange en 1770, en su trabajo sobre teoría de ecuaciones algebráicas. El objetivo de Lagrange era encontrar los motivos por los que las ecuaciones de tercer y cuarto grado son resolubles por radicales. Al estudiar la cúbica general, encontró que ciertas combinaciones de sus raíces (hoy llamadas resolventes de Lagrange) tomaban solo tres valores bajo las seis permutaciones de sus tres raíces. Este trabajo se considera el origen de los grupos de permutaciones. Aunque, en honor de la verdad Lagrange nunca consideró el producto de dos permutaciones; o sea, su estructura de grupo. La primera persona que afirmó que la quíntica podía no ser resoluble por radicales fue Ruffini. En 1799, publicó dicha irresolubilidad algebráica (de las ecuaciones de quinto grado) en un trabajo erróneo. En este trabajo, basado en el de Lagrange, Ruffini introduce los grupos de permutaciones. Los llama permutazione y únicamente describe la propiedad de clausura de la composición, manejando la propiedad asociativa de forma implícita (al ser una composición de aplicaciones). Ruffini divide sus permutazione en tipos. En notación moderna, distingue grupos de permutaciones cíclicos (permutazione semplice) y no cíclicos (permutazione composta). Las permutazione composta las divide en tres, que en nuestra notación son los grupos intransitivos de permutaciones y los transitivos primitivos y no primitivos. Desgraciadamente, la demostración de Ruffini tenía dos saltos lógicos que no logró salvar en posteriores publicaciones. De todas formas, en 1802, mostró que el grupo de permutaciones asociado a una ecuación irreducible es un subgrupo transitivo (hoy día sabemos que el recíproco es cierto), llevando el estudio de las permutaciones a un estado muy avanzado para su época. El trabajo de Cauchy fue muy importante en la teoría de permutaciones. En 1815, estudia las permutaciones de las raíces de ecuaciones. Pero, en 1844, Cauchy estudia las permutaciones por sí mismas. Introduce la notación de potencias positivas o nevativas (incluída la potencia 0 definiéndola como la permutación identidad), define el orden de una permutación, introduce la notación de ciclo actual y usa el término de sutituciones conjugadas. Cauchy llama a dos permutaciones similares si tienen la misma descomposición en ciclos disjuntos y demuestra que es equivalente a ser permutaciones conjugadas. Abel, en 1824, dió la primera prueba aceptada de la irresolubilidad de la quíntica general. En términos modernos, probó que el grupo alternado (de las permutaciones pares) de cinco símbolos, A5, es un grupo simple y que en consecuencia el grupo de todas las permutaciones de 5 símbolos, S5, es no resoluble. Galois, en 1831, fue el primero en darse cuenta de que la solución algebráica de una ecuación estaba relacionada con la estructura de un grupo de permutaciones asociado a la ecuación (llamado hoy, en su honor, el grupo de Galois de la ecuación). En 1832, Galois había descubierto que ciertos subgrupos, hoy llamados subgrupos normales, eran fundamentales en su demostración. Llamó descomposición propia a la descomposición en clases adjuntas, si coinciden por la izquierda y por la derecha. Galois también mostró que el primer grupo simple no abeliano tenía orden 60 (el alternado A5 de Abel). Sin embargo, el trabajo de Galois no se publicó hasta 1846. Liouville lo hizo publicar, al encontrar conexiones entre la teoría de permutaciones de Cauchy y la de Galois. Sin embargo, Liouville no entendió la importancia del concepto de grupo en el trabajo de Galois. Betti, en 1851, relacionó la teoría de permutaciones y la teoría de ecuaciones. De hecho, Betti fue el primero en probar que el grupo de Galois asociado a una ecuación era de hecho un grupo de permutaciones en el sentido moderno. Serret publicó un importante trabajo discutiendo el artículo de Galois, publicado por Liouville, todavía sin resaltar la significación del concepto de grupo. Sin embargo, Jordan, primero en 1865 y 1869 de forma parcial y finalmente en 1870 (40 años después) entendió cláramente la importancia de los grupos de permutaciones. Definió isomorfismo de grupos de permutaciones y probó el teorema (llamado hoy de Jordan-Hölder) de existencia y unicidad, salvo isomorfía, de series de composición para estos grupos. Hölder lo generalizó al contexto de grupos abstractos en 1889. En 1872, Klein expuso su objetivo (hoy conocido como programa de Erlangen) de clasificación de las geometrías según propiedades invariantes vía subgrupos de transformaciones. Por fin, los grupos se convierten en centro de atención para investigación en matemáticas. Quizás el trabajo mas importante, anterior a Betti, en teoría de grupos sea debido a Cayley. En 1849, Cayley publicó un artículo relacionando sus ideas sobre permutaciones con las de Cauchy. En 1854, Cayley hace un intento de definición de grupo abstracto, que aunque no es todavía formalmente correcta, usa una tabla de multiplicación para describir la composición en un grupo finito. Significativamente se da cuenta de que los cuaternios y las matrices forman grupo. Cayley en 1878, escribió 4 artículos sobre el tema, uno de ellos llamado The theory of groups. La

época estaba madura para el estudio de un grupo arbitrario. Cayley demuestra que cualquier grupo finito puede describirse en términos de grupos de permutaciones. Esto impulsó a Hölder, en 1893, a investigar los grupos de orden p3, pq2, pqr and p4. Frobenius y Netto (un estudiante de Kronecker) llevaron la teoría de grupos un poco más allá. Sin embargo, la mayor contribución de finales del XIX la hizo von Dyck. Había obtenido su doctorado bajo la supervisión de Klein y era su ayudante. En 1882 y 1883, von Dyck dió una contrucción de los grupos libres y una definición de grupo dado por generadores y relaciones. La teoría de grupos tuvo mayoría de edad cuando se publicaron los libros, primero los dos tomos de álgebra, Lehrbuch der Algebra en 1895, de Heinrich Weber (un estudiante de Dedekind) y el libro de Burnside, Theory of groups of finite order, publicado en 1897. Estos libros influenciaron a la siguiente generación de matemáticos e impulsaron el importante desarrollo que tuvo la teoría de grupos en el siglo XX.

Mujeres matemáticas HIPATÍA

Nació alrededor del año 370 y murió en el 415 d.C

Hipatía hija de Teón, uno de los hombres más sabios de Alejandría, es la

primera mujer nombrada en la historia de las matemáticas .

Hipatía es recordada por sus comentarios acerca de la obra de

Arquímedes, y por haber remplazado a su padre en su cátedra en la escuela

de Alejandría.

Los habitantes de Alejandría estaban poco acostumbrados a que una mujer

tuviera tanta influencia en los medios científicos y políticos, y la veían más

bien como una hechicera.

Más tarde fue acusada por los ciudadanos de influir sobre el gobernador

de la ciudad, para que éste estuviera en contra de la cristiandad, así pues en

el año 415 fue martirizada y asesinada por un grupo de cristianos fanáticos

encabezados por unos monjes.

Esa época (comienzo de la Edad Media) supuso una paralización en el

desarrollo de las matemáticas del mundo occidental.

MARÍA GAETANA AGNESI

María G. Agnesi nació en Milán en 1718, y murió también en Milán en 1799,

fue una distinguida lingüista , matemática y filósofa; remplazó a su padre en

la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bologna cuando éste estuvo

enfermo, y fue la primera mujer en ocupar una cátedra de matemáticas. En

1748, se publicó su libro "Instituzioni Analithe" sobre cálculo diferencial, que

fue muy popular; se tradujo a muchos idiomas y se usó en Europa durante

muchos años.

Fue conocida también como La Bruja de Agnesi por confundir en su libro la

palabra versoria (nombre latino de la curva de una función), por versiera otra

palabra que significa abuela del diablo o bruja, de ahí viene el nombre

adoptado también por la curva; La Bruja de Agnesi, cuya ecuación es :

SOPHIE GERMAIN

Sophie Germain nació en 1776 en París y murió también en París en 1831.

Empezó a introducirse en las matemáticas a los 13 años en la biblioteca de su

padre, tras leer cómo murió Arquímedes a manos de un soldado al no

responderle cuando estaba ensimismado con un problema, esto la decidió a

conocer las matemáticas cuando pensó ¿qué cosa tan maravillosa podía abstraer a una persona hasta dejarse matar?.

Al ser mujer tuvo muchas dificultades, la primera en su propia familia. A los

18 años quiso entrar en "L'Ecole Polytechnique", pero no admitían a mujeres.

A través de unos amigos que le pasaban los apuntes de las clases, al final del

semestre Shopie presentó una memoria con un nombre masculino, "M.

LeBlanc". El profesor Lagrange, uno de los más importantes matemáticos de

la época quedó impresionado por la calidad del trabajo de "Monsieur LeBlanc"

(Monsieur es "señor" en francés) y quiso conocerlo personalmente. Cuando vio

que se trataba de una joven quedó muy sorprendido pero reaccionó bien y

pese a ser mujer, la introdujo en su círculo de investigadores.

En 1801 presentó unos resultados interesantes sobre la teoría de números

firmando con su sobrenombre, a partir de entonces estableció con Gauss, el

gran matemático alemán, una correspondencia frecuente.

Más tarde Sophie hizo descubrimientos importantes en teoría de

números, de física , matemática, acústica y elasticidad. Iba a recibir el título

de Doctor Honoris Causa en Gotinga pero murió un mes antes de la fecha.

EMMY AMALIE NOETHER

Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlange, Baviera, Alemania. Murió el 14

de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pensilvania, USA.

Emmy Noether es conocida por su contribución al álgebra abstracta.

El padre de Emmy fue Max Noether, un distinguido matemático y profesor

en Erlangen. Su madre fue Ida Kanf Mann. Emmy fue la mayor de cuatro

hermanos.

Estudió alemán, inglés, francés, aritmética y empezó clases de piano y

demostró interés por la danza .

En 1900 obtuvo el certificado de profesora de inglés y de francés en la

escuela de chicas en Baviera. Decidió un modo de vida distinto al de las demás

mujeres de su época, estudiar matemáticas en la universidad, un camino lleno

de dificultades para una mujer.

En estos años, en Alemania, las mujeres no podían matricularse en las

universidades de manera oficial y tenía que solicitar permiso a cada profesor

para asistir a su asignatura. Noether obtuvo el permiso en la Universidad de

Erlangen ( 1900-1902). Después fue a la Universidad de Gotinga. Entre 1903-

1904 asistió a clases de matemáticos tan importantes como Blumethal,

Hilbert, Klein y Minkowski.

En 1904, Noether obtuvo permiso para matricularse en Erlanger y en 1907

obtuvo el doctorado bajo la dirección Paul Gordan.

Después de sus brillantes estudios lo natural hubiera sido que obtuviese una

plaza como profesora e investigadora en la universidad pero no pudo ser ¡por

ser mujer!. Estuvo un tiempo trabajando con su padre.

La reputación de Noether creció cuando aparecieron sus publicaciones. En

1908 fue elegida miembro del círculo Matemático de Palermo. En 1909 llegó a

ser miembro de Dents the Mathematiker Vereiningung.

Hilbert (padre de la teoría de relatividad junto a A.Einstein) y Klein

pidieron a Emmy que regresara a Gotinga y mantuvieron una dura pugna con

las autoridades académicas para que le concedieran una plaza. Entre tanto

ella dio cursos bajo el nombre de Hilbert hasta que en 1919 consiguió una

plaza.

Los trabajos de Noether continuaron y tuvieron importante influencia en el

desarrollo del álgebra moderna y la teoría de la relatividad, aunque la mayoría

de sus ideas fueron publicadas por alumnos suyos y no por ella misma.

Emmy Noether con Dubreils

(otro importante matemático) en 1931

SOF'JA ALEKSADROVNA JANOVSKAJA

Nació el 31 de Enero de 1896 en Polonia y murió el 24 de Octubre de 1966 en

Moscú.

Su familia se trasladó a Odessa cuando ella era joven y allí se educó en los

clásicos y las matemáticas.

En los primeros años de la revolución rusa tomó parte activa en la política

llegando a ser editora del periódico " Kommunist" en Odessa.

En 1923 volvió a su estudios ocupándose de seminarios en la Universidad

Estatal de Moscú. Cerca de 1931 fue profesora allí y cuatro años después

recibió un doctorado.

Janovskaja trabajó en la filosofía y lógica de las matemáticas. Su trabajo en

lógica matemática tuvo importancia en el desarrollo de la misma en la antigua

Unión Soviética.

La historia de las matemáticas fue otro tema que trató Janovskaja e hizo

diversas publicaciones.