dauben historia de la matematica

7/25/2019 Dauben Historia de La Matematica

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LLULL vol. 16 1993 2341

MATEMATICAS: LA

PERSPECTIVA DE

U

HISTORIADOR

JOSEPH W. DAUBEN

City University of New York

RESUMEN

Quin debera escribir la

historia de la matemticas? Qu

intereses y norm as deberan aplicarse

en la definicin de la disciplina?

5 on los matemticos los

nicos

cualificados para abordar la historia

de las matemticas y acaso slo los

mejores de entre ellos estn en

situacin de escribir con autoridad

sobre este tema como ha sugerido

Andr Weil? Este artculo sostiene

que esta limitadsima versin del

tema es errnea no slo para la

propia historia de las matemticas

sino tambin para las matemticas

ABSTRACT

Who should write the history of

mathematics? What interests and

standards should generally be applied

in defining the discipline? A re

mathematicians alone qualified to

discuss history of mathematics and

are perhaps only the very best of

them in a position to write

authoritatively on this demanding

subject as Andr Weil has

suggested? This paper argues that

this very limited view of the subject

is mistaken not only for the history

of mathematics itself but for

mathematics as well

Palabras clave: Matemticas Historiografa Newton Leibniz Abraham

Robinson Andr Weil Istvn Szabd George Sarton James Fetzer Jon

arwise

Si la historia de la ciencia es una historia

secreta entonces la historia de las

matemticas es doblemente secreta un

secreto dentro de un secreto

G. Sarton

Versin castellana de Esteban Azpeitia.

Recibido el 21 de diciembre de 1992


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OSEPH W. DAUBEN

LULL 16

El arte de la historia m atem tica puede ser

m ejor practicado por aqullos de no sotros

que son o han sido m atem ticos activos.

A. Weil

Historia de las M atem ticas.. . dem asiado

m temtic p r los histori dores y

dem asiado histrica para los m atem ticos.

I. Grattan-G uinness

Este artculo se basa en notas prepa radas originalmente para el Simposio

de H istoria de las Matem ticas de Tokio celebrado en la Universidad de Tokio,

del 31 de agosto al 1 de septiembre de 1990, en conjuncin con el Con greso

Internacional de Matemticos celebrado en Kyoto la semana anterior.

Considerando el inters que la Unin M atemtica Internacional

International

Mathematical

Union,

IMU ) ha dem ostrado por la historia de las matemticas,

en virtud de su reciente voto unnime para reconocer oficialmente a la

Com isin Intemacional de H istor ia de las M atemticas como una comisin

IMU conjunta con la Unin Internacional de Historia y Filosofa de la

Ciencia, pareca apropiado con siderar una cuestin que no es de ning

n modo

nueva, pero que ha provocado a menu do una considerable controversia tanto

entre los matem t icos como en tre los his toriadores de las ma tem t icas , a

saber: el objeto de la historia de las matemticas qu debera incluir la

disciplina y q uin d ebera ser incluido al definir la disciplina.

Es sta una cuestin especialmen te pertinente en relacin con la posicin

defendida no hace mu cho en el Congreso Intemacional de Ma temticos de

H elsinki en 1978) por el em inente matem tico An dr W eil, que se ocup de

este tema en su conferencia plenaria invitada

Weil hablando como

m atem tico, aprove ch la ocasin para afinnar enrgicam ente que slo los

ma temticos com o l mismo e staban cua lificados para escribir historia de las

ma temticas y que, cuanto mejor fuera el matem tico, probablemen te mejor

ser a la h is tor ia . Esto puede parecer en un p r incipio tan obvio que a du das

penas m erezca discusin. Pero en lo que sigue, sugerir algunas de las razones

por las que creo que la visin de W eil no slo no es correcta desde el punto de

vis ta de la his tor ia de las m atem ticas , s ino que es igualmen te per judicia l

estratgicamente desde la perspectiva m s sublime de las propias matem ticas.


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LLULL 16

A T E M A IC A S L A P ER S P EC T IV A D E UN H IS T O R I A D O R

5

a promocin de la historia de las matemticas

Aunque es

posible rastrear las raices de estos estudios hasta la

An tigiedad, hasta la poc a en la que el autor griego E udem o de Ro das escribi

la prim era histori

de las matem ticas, puede decirse que su aparicin como

discipl ina pro fesional se produjo en e l s iglo XIX. Incluso hoy, a pesar de l

creciente inters por la historia de las ma temticas, sigue siendo el terreno de

un n

mero relativamente pequetio de especialistas Como seal Judith

Grabiner

en

un sem inar io sobre la evolucin de las matem ticas m odernas

patrocinado por la Ac adem ia Am ericana de A rtes y Ciencias en Boston en

19742:

Hay en la actualidad dem asiados pocos histor iadores de las matem ticas . El

cam ino para el historiador d e las matem ticas es difci l; necesi ta la prepa racin del

his tor iador , pero tambin nec esi ta con ocer m uchas m atemticas . La his tor ia de la

ciencia es e l la m isma u na profesin joven y re la t ivamente pe quea; e l n

mero de

historiadores de las matemticas, a causa de los tipos de conocimiento

necesi tados , es incluso m s pequeo. Sin emb argo, la necesidad de ta les personas

es evidente .

Claramente, tanto los matemticos como los historiadores de las

m atem t icas neces i tan prom over m s que l im i tar e l n

m ero de es tudiosos

in teresados en la m ater ia . Pero los matem ticos , que aportan u na part icular

visin de las cuestiones histricas a cau sa de su ca pacidad tcnica, usualm ente

aportan tambin intereses muy particulares. Como dice Grabiner, el

matemtico3

est orientado hacia el presente, y hacia las matemticas pasadas

principalmente en cuanto han conducido a temas matemticos de importancia

actual .. .. La his tor ia de las ma temticas ta l y com o es e scr i ta po r los m atem ticos

t iende a ser tcnica y a conc entrarse en el contenido de a rt culos especficos .

W eil considera la historia de las matem ticas ante todo desde esta l imitada

perspectiva. Se trata de

una m atcria destinada sobre todo a los matem ticos, de

ent re los cuales s lo los m ejores es tn rea lm ente en buenas condic iones ,

seg

n l, de escribir la historia de esta materia notoriamente exigente.

Em pieza su discusin ci tando a Leibniz, uno de los primeros m atemticos que

justific los m otivos de l inters de la historia de la m ateria4:

Su uso no es slo que la His tor ia puede dar a cada uno lo que mcrece y que

otros puedan esperar obtener un a alabanza sem ejante, s ino tam bin que el ar te del

descubrimiento sea promovido y sus mtodos conocidos a travs de ejcmplos

i lustrat ivos .


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OSEPII W. DAUBEN

LULI, 16

W eil interpreta esto en el sentido de que L eibniz quera que el historiador

de la ciencia escribiera antes que nada pa ra cientficos creativos o que aspiran a

l legar a serlo: Este era el p

blico q ue L eibniz tena en m ente, seg

n W ei l,

cuando esc ribi retrospectivamente

obre su

ms noble invencin

el clculo.

Pero es ste un ejemplo muy curioso para expl icar el inters de la

historia de las matemticas, especialmente teniendo en cuenta la idea

subyacente en W ei l de qu e los matemt icos es tn m ejor preparados para

emprender esta tarea Porque hay muy buenas razones para creer que el

significado que Leibniz daba a sus comentarios sobre la historia de las

matem ticas, cuando escribi lo anterior, no era tan sen ci llo como W eil nos

querra hacer creer.

j Quin debera escribir la historia de las matemti

as? El caso

de Newton y Leibniz

W eil contesta a la pregunta sobre quin deb era escribir historia de las

matemticas con una respuesta muy restrictiva:

el arte de la historia

matemtica puede ser mejor practicado por aqullos de nosotros que son o han

sido matemticos activos.

Si sto fuera c ierto, i,qu mejores ejemplos de este

principio podramo s considerar que los de dos matem ticos de la ta l la de

Leibniz o New ton? De hech o, estamos en condiciones de evaluar la asercin

de W eil, porqu e New ton escribi, y Leibniz esboz, lo que am bos l lamaron

historias

de su famoso co-descu brimiento, esto es, e l clculo infini tesimal o

diferencial.

Resumiendo b revemente, la reclamacin de am bos sobre la prioridad en

el descub rimiento del clculo prioridad que al principio Le ibniz pens que

poda comp art ir con N ewton y que m s tarde reclam directamente en vir tud

de su pr ior idad en la publicacin) llev a un sp ero deba te . Es te movi a

Le ibniz a solicitar que la

oyal Society

investigara sus reclam acione s frente a

New ton. La Royal Society accedi, y un ao m s tarde present una

historia

del clculo, en realidad koco ms que una coleccin de documentos reunidos y

comentados secretamente por el propio Newton . No sorprende que el

resultado, t i tulado

Commercium Epistolicum

1712), fallara inequvocamente

a favor de Newton.

L eibniz fue ins tado por sus dec ididos par t idar ios Johann Be rnoull i y

Christian W olf a oponerse a la doctr ina histrica presentada por N ewton en el

Commercium Epistolicum.

Deseaban que Leibniz publicase su propia

narracin histrica sobre la evolucin del

clculo genuino

y Leibniz ,

reconoc iendo la prudencia de este consejo, habl a menudo d e llevarlo a cabo.


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LLULL 16

A T E M A T IC A S L A P E R S P E C T I A D E U N H IS T OR IA D OR

Logr distribuir un folleto o

Charta Volans,

hoja volante, como la llam

Newton) fechado el 29 de julio de 1713, en el que censuraba el

Commercium

Epistolicum

y repasaba el p

blico registro de cuanto l haba

publicado

sobre

el clculo, frente a los documentos hasta entonces inditos que Newton haba

recopilado para el

Commercium Epistolicum.

Un ao despus, Leibniz

empez a trabajar en su propia

Historia y origen del clculo diferencial,

que

sin embargo se qued en un simple fragmento, nada ms que un borrador

preliminar.

Mientras Bernoulli calificaba al

Commercium Epistolicum de col

recalentada,

el bulldog de Newton, John Keill, reprenda al rival de Newton

por su deslabazado trabajo con el clculo. Fue particularmente duro con el

Tentamen de Leibniz de 1689. Este, seg

n la crtica, era prueba de que

Leibniz no entenda realmente el clculo y de que no haba podido inventarlo

independientemente. Por el contrario, Leibniz haba debido sin duda tomarlo

de Newton pero sin haberlo entendido completame ntes.

La obra pstuma de Joseph Raphson,

History of Fluxions 1715),

aadi ms lea al fuego al que los newtonianos pretendan arrojar las

pretensiones de Leibniz sobre el clculo. En su prefacio deja claro que el

objeto del libro

era adjudicar las Principales Invenciones de este Mtodo a sus

Primeros y Genuinos Autores; especialmente las de Sir Isaac Newton.

La

prioridad de Leibniz en la publicacin especialmente su primer artcuto en las

Acta Eruditorum de 1684 era descartado porque revelaba cunto menos apto

y ms laborioso es el mtodo de notacin, que simboliza en modo

inverosmil insignificantes novedades quizs con el propsito de distinguirse

del simple y fcil mtodo que le fue comunicado a l), seg

n el cual l lo ha

publicado al M undo6

En el caso de la controversia Newton-Leibniz, ning

n matem

co de la

poca hubiera podido hacer justicia en el debate, o haber escrito una historia

objetiva. A pesar de la insistencia de Weil en que Leibniz esperaba que la

historia de la ciencia ilustrara el

arte del descubrimiento, en realidad Leibniz

fue ms honesto al decir en primer lugar que la historia deba ser escrita para

dar a cada uno

lo suyo

Este es a menudo el problema cuando los matemticos

apelan a la historia, frecuentemente con cuchillos de prioridad que afilar. Su

inters histrico en tales casos suele estar limitado casi enteramente a

cuestiones del tipo de quin hizo qu el primero.

Quizs el caso Newton-Leibniz sea un caso extremo. Podra argiiirse que

los tiempos han cambiado y que los matemticos de hoy, ms sofisticados,

pueden ser ms objetivos y, ms que usar la historia

nicamente para su


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JOSEPH W. DAUBEN

LULL 16

propia conveniencia -cualquiera que sta sea- est.ln en condiciones de

escribirla para ejem plificar los mejores m todos del pasado.

debera escribir historia de las matemticas El caso de

Abraham Robinson

Consideremos entonces desde este punto de vista el ejemplo

contemporneo de un m atemt ico de pr im era c lase , Abraham Robinson, que

tuvo tam bin un apreciable inters por la historia de las matem ticas, estando

muy bien informado y siendo entendido en la materia. Los editores del

D ictionary of S c ienti f ic iography

le encom endaron la redaccin de var ios

ar t culos sobre importantes matem t icos todos los cuales haban tra tado de

un m odo u o tro la cuestin de los infinitsim os) y l se ofreci incluso para

escribir el artculo sobre Carnot que desgraciadamente ya haba sido

asignado7.

Sin em barg o, el m ejor indicad or del inters de Ro binson por la historia

de las m atem ticas es el cap tulo que escribi al final de su conocido l ibro d e

anlisis no estndar en el que la atencin se centra en las cuestiones

histricas relativas a los infinitsimo s

. Entre los e jem plos considerados por

Rob inson est el caso d el t rabajo de Cauchy en series infini tas, incluyendo el

famoso teorema de Cauchy que af irma que una ser ie convergente de funciones

continuas es continua. Robinson no fue tan lejos como el filsofo de la

c iencia Im r Lakatos , quien m s t a rde af i rm ar a , basndose en e l p rop io

anl is is de Ro binson, que la dem ostracin de Cauchy e ra toda el la co rrecta

Robinson slo haba dicho que una dem ostracin no estndar del teorem a de

Cauchy m ostraba que ste era correcto, basndose en una interpretacin de los

infinitsimos de Cauchy que los haca equivalentes a los propios

infinitsimo s no estndar de Robinson)9.

La historia desde la perspectiva de un matemtico

En cualquier caso el planteamiento de Robinson en relacin con la

historia de las matem ticas no era diferente del de muchos m atem ticos. Es un

enfoque perfectamente natural: en cfccto es ms probable que un

m atemtico/a est interesado/a principalm ente en la historia de la ram a o rea

de las m atem t icas en que m s ha t raba jado. Tpico de es te enfoque es la

explicacin que el propio Weil ofrece sobre cmo entender mejor los

Elementos

de Euclides. Seg

n


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LLULL 16

ATEMATICAS LA PERSPECTIVA DE UN HISTORIADOR

Para nosotros es imposible analizar debidamente los contenidos de los

Libros V y Vll de Euclides sin el concepto de grupo e incluso sin el de grupos co n

operadores, ya que las razones de magnitudes se tratan como un grupo

multiplicativo que opera sobre el grupo aditivo

de las magnitudes mismas. En

cuanto se adopta ese punto de vista esos libros de Euclides pierden su carcter

misterioso, y se hace fcil seguir la lnea que lleva directam ente de ellos a Oresm e

y Chuque t, y luego a Neper y los logaritmos .

Pero, i,en qu consiste esta especie de

historia m atem tica ll como W eil

la llam a? Parece claro que sea lo que sea su

historia m atem tica

no slo es

anacrnica, sino que adems lleva a plantear una cuestin fundam ental que

aclara ms su planteamiento: es decir, se trata de matem ticas con ejemplos

histricos (MHE) y

no de un ejemplo de la historia de las matemticas

(EHM). De nuevo aqu, MHE EHM .

A pesar de no tratarse de historia el ejemplo de W eil es muy interesante

en s mismo como ejemplo de cmo tiende a pensar de modo natural un

matem tico sobre un problema matem tico. Dados los resultados de Euclides,

Weil los examina con un vasto repertorio de conocimientos de los que

Euclides no dispona, y observa que toda la estructura del pensam iento de

Euclides funciona grac ias a ciertos principios subyacen tes de teora de grupos.

Pero la perspectiva es

matemtica

y en realidad no va ms all de lo que W eil

sabe en aq uel momento sobre grupos m ultiplicativos y aditivos. Tal anlisis,

sin embargo, no ofrece nuevas perspectivas histricas.

Puede decirse que esto es cierto igualmente en relacin con el anlisis de

A braham R obinson sobre el uso de infinitsimos por C auchy, basado en una

reconstruccin que usa anlisis no estndar. Esto es muy interesante

matemticamente, pero, de nueve,no es en realidad

historia

de las

matemticas. De m anera similar, si Rob inson crea que el anlisis no estndar

haca posible explicar por qu Le ibniz se equivoc usando infinitsimos, la

perspectiva si hay realmente alguna es matemtica no una perspectiva

histrica sobre lo que Leibniz hizo con -o cm o concibi- su propio clculo

diferencial.

Las grandes ideas en matemticas la teora del

ol to

Si la visin de Weil de

por qu

se debera escribir historia de las

matemticas

-registrar la historia

lo llamara yo en busca de

ejemplos

heursticos ilustrativos-

plantea problemas, tambin pa rece equivocarse en su

idea de cm o se debera delimitar la historia de las ma temticas. Si la historia

de las ma temticas debe estar constituida por las

grandes ideas

de la disciplina,


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OSEPH W. DAUBEN

LULL 16

entonces es necesario conven ir qu constituye una

idea matemtica.

En este

punto W eil adopta la

teora del olfato

nose theory) de las ma temticas: el

matemtico

puede no ser capaz de definir qu es una idea matemtica pero le

gusta pensar que cuando olfatea una la reconoce12.

El infinito, por ejem plo, slo oli com o una idea m atem tica

despus de

que Cantor definiera los conjuntos equipotentes y probara algunos teoremas

sobre ellos

Esto e xcluye, insiste We il, todo lo que se ha dicho del infinito

como parte de las matemticas ya en los filsofos griegos y m edievales, o en

cualquier autor anterior aproximadamente a 1880. Las opiniones de los

filsofos g riegos sobre el infinito pueden se r de inters para los

filsofos

dice, pero se r

ega a aceptar que tuvieran una gran influencia en la obra de los

matem ticos griegos.

Si se piensa en los presocrticos, por ejemplo, como A naximan dro y sus

ideas ms bien vagas so bre el

apeiron

entonces W eil puede estar en lo cierto.

Pero i no estn las paradojas del movimiento de Zenn intimamente

elacionadas con e l problema m atem tico del infinito, como lo estaban los

esfuerzos de los pitagricos para tratar el descubrimiento de m agnitudes

inconm ensurables y la consiguiente resolucin por Eudoxo del dilem a de los

inconmensurables por medio de su teora de la proporcin?

Slo porque el infinito puede no haber sido tratado con total rigor

matemtico hasta Georg Cantor i quiere esto decir que anteriormente el

infinito no era considerado un problema m atem tico serio? i,Y qu debera

hacer el historiador de las matemticas con toda la historia de los

infinitsimos? i,Es razonable afirmar que este tema ha entrado a formar parte de

la historia de las matem ticas slo despus de la obra de Abraham Ro binson y

de la aparicin del anlisis no estndar o con los varios otros pretendientes al

mrito de haber desarrollado sistemas no arquimedianos rigurosos, admitiendo

los infinitsimos bajo enfoque s matem ticamente rigurosas, como du Bois-

Rey mond, Verone se, o ms recienterhente, Schm ieden y Laugw itz)?

igundo podemos decir que los infinitsimos se convierten en una parte

aceptable del registro histrico? La impresin es que W eil ha confu ndido de

nuevo m atemticas con historia de las matem ticas: una cosa es decir que los

infmitsimos no llegaron a ser una parte aceptable de las

matemticas

hasta el

siglo XX , pero es ciertam ente errneo c oncluir que no han sido una parte

importante de la

historia

de las matemticas hasta qu e no ha sido establecida

su rigurosa validez

14.


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LLULL

ATEMAT1CAS: LA PERSPEC77VA DE UN H1STORIADOR

1

Qu es lo que hace

historia?

La res

trictiva interpretacin de Weil de lo que constituye una

idea

matemtica

en relacin con la tayea de escribir historia de las m atemticas

tiene su paralelo en un debate qu e se desat no hace mu cho en relacin con la

historia de la m ecnica y con la cuestin de q uin d eba escribirla. Istvn

Szab, sucesor de M ax von Laue en la ctedra de mecnica de la U niversidad

Tznica de Berln entre 1948 y 1975 escribi un libro

Geschichte der

mechanischen Prinzipien que fue publicado en 1976.

Poco despus de que von Laue escribiera su prop ia

Geschichte der Physik

en 19 46 , Albert Einstein le escribi alabando el libro que

con maestra haba

escogido lo ms importante. Es verdaderamente

til continuaba Einstein, q ue

alguien que examina todo el panorama con tal inteligencia sustraiga la

historia del pensamiento humano de las manos de los fillogos y los

popularizadores y presente el gran drama limpio del polvo de detalles

insignificantes 5

Lo m ism o p odra decirse del libro de S zab,

mutatis mutandi, seg

n

Armin H ermann, profesor de H istoria de la Ciencia y de la Tecnologa de la

U niversidad de Stuttgart. Y a

n as, amotiesta Hermann , la cualificacin de

Szab com o fsico no es suficiente para asegurar que tenga una com prensin

apropiada de la historia

de la disciplina.

Para empezar, la historia de S zab se inicia en Galileo, porque, como l

mismo exp lica, slo se va a ocup ar de

lo que, en el desarrollo de la mecnica

clsica, hizo realmente historia

.

Nada anterior a Galileo afirma fue

suficientemente c ientfico p ara poder calificarlo com o p arte de la verdadera

historia de la m ecnica. Esta afirmacin. suena ahora familiar: es virtualmente

lo mism o en lo que insiste W eil respecto a la historia de las matemticas. El

infinito, por ejemplo, no tiene ning

n lugar en la historia de las matem ticas

hasta Georg Cantor.

Todo esto es semejante a decir qu e la teora del flogisto no tiene sitio en

la historia de la qu mica, o que los epiciclos, deferentes y ecuantes no tienen

lugar alguno en la historia de la astronom a. A nlogam ente, i,puede u no

imaginar la historia de la astronoma sin Ptolomeo o Coprnico o de la

m ecnica celeste sin Descartes (isea lo qu e fuera lo qu e pensara sobre los

vrtices )? El problema en am bos casos, en el de Szab y en el de W eil, es

que ambos parecen asumir qu e la historia debera servir slo a los intereses de

lo que ha tenido xito -seg

n lo qu e ellos entienden por xito-. Esto significa,

retroceder partiendo de lo qu e los cientficos en activo hoy consideran valioso


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32

OSEPH W. DAUBFN

LULL 16

o correcto y juzgar entonces todo el pasado con los patrones de medida

actuales.

Historia de las matemticas: la visin

w i

Una ve z discutida la idea tan limitada de W eil segn la cua l la historia de

las matem ticas debera escudrifiar el pasado pa ra obtener ejem plos ilustrativos

y se debera ocupar slo de ideas matem ticas reales

i ,hay alguna razn para

poner en tela de juicio su p retensin de qu e los matem ticos deberan ocup arse

de escribirla y de que en realidad estn en la mejor posicin para hacerlo)? Por

m uy razonable que pued,a parec er esta idea, s i ste fuera de verdad e l caso, es

improbable que se Ilegara nunca a escribir mu cho.

La m ayor parte de los ma tem ticos activos tienen otros intereses distintos

de la his toria , que c onsisten precisamente en probar teorem as. George M ackey,

a causa de las

presione s de su d isc ipl ina

recon oce su inters por la historia ,

pero no t iene t iempo pa ra hacerla . Ade m s, para aqu el los ma tem ticos que s

encuentran tiempo la historia es muchas veces poco ms que una cosa

anecdtica. Y tam poco es tan imp ortante la exacti tud, especialmente si se est

pensando slo en el valor heurstico de los ejemplos histricos. Por otra parte,

seg n Mackey ni la ex act i tud de tal lada de lo s his tor iado res n i la de los

f i l so f o s e s be n e f i c i o sa p e d a gg ica m e n t e . Un poco de historia es ya

st ificiente . Como a dmite M acke y, debido a las presione s de su d isc ipl ina

no

est interesado en

u n a h i s t o r i a d e t n a s ia d o d e t a l l ad a 7

Pongam os por caso, s in emb argo, que un m atem t ico con

olfato para la

historia

com o dice W eil, es serio escribiendo historia con vistas a dilucidar los

grandes resultados y mtodos del pasado. Lo que p uede esperarase en la m ayor

par te de casos es la aproximac in

retroactiva

-o, de hec ho, la ret irada- a la

historia . Este m todo es intr insec am ente a histrico, y trae c onsigo el pel igro

inherente de esc ribir historia m uy

whig

-en el sentido de que el progreso d e las

ma temticas que condu ce al presente estado de cosas era casi inevitable-.

Com o ha dicho Ivor Grat tan-Guinness , quizs ms exp res ivam ente , los

matemticos18

suelen ver la historia como el registro de un 'camino real hasta mr, esto es,

urta estudio de c mo tma teora modema particular surgi a partir de las antiguas

teorfas, en lugar de ser un e studio de esas teoras antiguas por su propio derecho. En

otras palabras, confunden la pregunta j,cmo llegamos hasta aqu? con una

pregunta diferente t,qu sucedi6 en el pasadoe.


11/19

A

A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 1 3 1 A 1 B 1

L__J L__J L__J L__J L__J L__J L__J L__J

l

3

l

l

B 1

3

3

imen

Dirichlet

Fennat

B;

B 4

4

LLULL 6


3

H aciendo es ta clase de retrocesos, la historia

whig

l leva tambin co nsigo

otro peligro inhere nte. Este est relacionado con el com prensible sentido de la

propiedad que un ma temtico puede tener sobre resultados que conducen a su

propio t rabajo o rea de e special inters . En el correspondiente del rbol

genealgico de las matem ticas, del ahora al entonces, slo los predecesores

conocidos o supuestos de la propia obra que fueron

significativos sern

incluidos.

George Sarton

i lustr este problem a de la visin del m atemtico de la

historia con una m etfora genealgica grfica:

A

A

Euclid

Figiva 1

Suponiendo n gener ciones

de predecesores, de los 1 1 1

cam inos posibles

desde la primera a la n+/ )-sima, el mtodo

retroactivo

ex min r n

predecesores e ignorar

n 1

De jando aparte los n

meros y los diagramas,

no cab e pens ar, siendo re alistas, que el rbol de las m atem ticas y la historia

de su crecimiento y desarrollo pueda ser tratado adecuadam ente de una form a

tan arbitraria y pa rcial.

Co mo contraejem plos sencillos a la idea de que pueda haber a lg

n camino

recto que Ileve d el pasado h istrico al presente en cada una

de las direcciones,

considrense los diagrarnas que algunos historiadores de las m atemticas han

intentado traza r para m ostrar las principales vas de influenc ia en la historia de

la te ,ora de redes Figura 2, de H erbert Mehrtens) y en la his toria de las

relaciones deduc tivas entre el axiom a de e leccin, la hiptesis del continuo y

los conjuntos no m edibles Figura 3 , de Gregory Moore) , por dar slo dos

ejem plos. En ca da caso los diagramas pretenden dar una idea de la comp leja

interaccin de diferentes individuos o ideas en m

l tiples direcciones, a vec es

simultnearnente, a men udo indirectam ente2.


12/19

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LULL 16

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LLULL 16

ATEMATICAS: LA PERSPECTIVA DE UN HISTORIADOR

5

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5. Dedwive Itelati~ ma-eralas

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R

Figura


14/19

36

OSEPH W. DAUBEN

LULL 16

scribir historia de las matemticas

La habilidad creativa en matemticas es claramente un don con el que

pocos son favorecidos. Pero no se necesita ser un Andr Weil o un ganador de

la Medalla Fields para entender y aprec iar las maternticas, habilidad sta de un

tipo totalmente diferente del lado creativo de las matemticas, donde las nuevas

tcnicas, teoremas y demostraciones son apreciados por encima de todo. Weil

no distingue suficientemente la una de la otra.

Precisamente sobre esta cuestin se viene dearrollando, desde hace alg

n

tiempo, un debate de tonos similares entre ciertos filsofos y la comunidad

interesada en las fronteras de la 16gica y la ciencia de la computacin. La

controversia fue lanzada por el filsofo James Fetzer, quien recientemente

atac la idea bsica de verificacin de programas, diciendo que era imposible

obtener demostraciones matemticas de la correccin de un sistema

computacional

. El tema en s ya se planteaba en 1969: de entonces data un

artculo escrito por C. A. R. Hoare titulado

Una base. axiomtica para la

program acin de ordenadores22

No entraremos aqu en los detalles de este debate sobre si es posible o no

obtener demostraciones de la correccin de un programa pero la naturaleza

ad

hominem

de un aspecto al menos del debate es relevante. Gran parte de la

constem acin produc ida por la posicin de Fetzer entre cientficos especialistas

en computacin est relacionada con el hecho de que este autor es un fil

sofo

y no un matemtico. Lase

historiador de las matemticas donde

pone filsofo

en el siguiente resumen de la situacin escrito por Jon Barwise, y el aspecto

ad hominem

de la posicin de Weil sobre el tema de los historiadores de las

matemticas se aclara mucho:

Muchas de las acusaciones dirigidas cntra el artculo de Fetzer son tpicas de

los choques entre los cientficos activos en un campo X cualquiera y los fil6sofos

de X. E l fil6sofo necesariamente intenta ofrecer un anlisis de X en su estado ac tual

al profano informado. El cientfico activo cree que el filsofo no ha captado un (o

el) punto principal de X. Por frustraci6n, demasiado a menudo se ve tentado a

afirmar que simplemente no se puede entender X sin hacer X. C omo matemticos

sean X las matemticas), podemos todos sin ninguna duda reconocer esta

tentaci6n. Pero tales reacciones no dicen realmente mucho contra el mensaje

sostenido por el filsofo; simplemente intentan suscitar duda o ridfculo sobre el

mensajero 23.

Weil, sin embargo, no ha resistido a la tentacin.

Afirma

efectivamente

que uno no puede entender las matem ticas sin

hacerlas

y seguidamente pasa

a

suscitar duda o ridculo

sobre los que escriben historia de las matemticas sin

ser preferentemente m atemticos como l.


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ATEMAT1CAS: LA PERSPECTIVA DE UN H1STORIADOR

7

Bar.vise, ms moderado, prefiere ignorar tales reacciones y, como l dice,

llegar a la sustancia del debate En este caso, la sustancia fue expresad a del

m odo m s bril lante por Ken M ay:

Yo creo que la historia puede y debera ser socialmente

til, para los

historiadores de la ciencia, para quienes hacen poltica, para los estudiantes y

usuar ios de las matem t icas , para e l lego en la m ater ia cul to , y sobre todo p ara los

ma temt icos, que son sus m s genuinos consumidores y los creadores de su materia

prima.

L a h is t or ia de l as m at em t icas par ece h ab er l legado a u n pu nt o de d espegu e

hacia el estudio serio d e los de sarrol los recientes, y un vuelo afortunado requiere la

colaboracin de los his tor iadores y los m atemt icos creat ivos 24.

Weil deftende bsicamente algo que corresponde a una visin muy

anticuada de las matem ticas , aceptada s in duda durante la ma yor parte de su

historia , pero que ya a f inales del siglo pasad o em pezaba a decaer. En esto, su

confianza (al menos en su conferencia de Helsinki sobre quin debera escribir

la his tor ia de las matem t icas y p ara quin) en autoridades no m s recientes

que Moritz Cantor (1829-1920), Paul Tannery (1843-1904), y Gustav

Enestr t im (1852-1923 ) , puede haber contr ibuido al problema, porque lo que

W e i l p a r e c e t e n e r e n m e n t e e s e l m o d e l o

acumulativo de la historia de las

matemticas. Desde este punto de vista las matemticas son consideradas un

almacn de teoras y teoremas

correctos.

La tarea del historiador es

s im plemen te tomar lo me jor de es to com o grandes ejemp los de resul tados y

mtodos y mosuar cmo llegaron a ser obtenidos. Los errores, los

experimentos fa l l idos o los razonamientos defectuosos son todos barr idos

debajo de la alfombra.

Historia de las matemticas la perspectiva del historiador

Pero las matemticas no son slo matemticas esto es, no son

simplemente un depsito de resultados correctos. Si Weil estuviera ms

favorablem ente dispuesto hacia la f tlosofa de las matem ticas , creo que algo

co m o e l li bro

Proofs and Refutations

d e I m r e L a lc a to s p o d r a a c la r a r e s te

punto. Las matemiticas consideradas intelectualmente como la resolucin de

puzzles t ienen a lgo en com

n con las c iencias exper imen ta les . Cuand o los

m at em t ico s h acen rea l m en t e m at em t icas , co n s i d eran v ar i as hi p t es is y

posibilidades, hallan lo que funciona y lo que no f unciona y m u c ha s v e c e s

m ejoran sus resultados gracias a la interaccin social con otros matem ticos.

El Congreso de K yoto recin celebrado es un claro ejem plo de este fenmeno

en accin. En resumen las matem

cas son una actividad mucho ms


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OSEPH W. DAUBEN

LULL 16

com pleja -y m ucho m s sugestiva y l lena de desafos- de lo que luego aparece

en libros o artculos como

matemticas

El reciente anlisis de He rbert Meh rten de los orgenes y de sarrollo de la

teor a de redes conf irma esta

l tima af ima cin de form a m odlica. Como

mu estra M ehrtens, la teora de redes apareci de m uchas m aneras diferentes,

com o resultado de diversos m otivos y diferentes aproximaciones. La definitiva

aceptacin de la teora de redes y su emergencia com o una ram a reconocida de

las matem t icas en los aos 30 del siglo X X fue un proc eso social , af i rm a

este autor, a la vez que un a cuestin de matem ticas tcnicas25.

En conclusin, prefiero ado ptar una visin m s am plia de la historia de

las matem ticas antes

que a las estrechas miras de Gustav En estrbm o An dr

W eil. En esto creo que G eorge Sarton estaba en lo cierto cuando escribi que

realmente la historia de las matemticas deberia ser el n

cleo de la historia de

la cultura

6

Pero si es escr ita slo por m atem ticos con los ojos puestos

nicam ente en la ut i lidad de los descubrimientos o m todos pasados para la

formacin o el uso de la generacin actual de m atemticos, esto nunc a podr

llegar a ser a s.

Este objetivo exclusivo resultara v erdaderam ente limitado, especialmen te

porque los mtodos y aproximaciones a las matem t icas m odernas se es tn

volviendo cada vez ms especializados y con menos conexin con los

problemas y mtodos que fueron tratados por los matemticos de las

generaciones anteriores. Los co ntenidos y mtodos antiguos resultan a m enudo

extraos e incluso i rrelevantes para e l t rabajo actual de los ma tem t icos, y

esto es sin duda cierto para la historia de la disciplina ha sta, digam os, 1800,

pero incluso tambin para am plios sectores de las m atemticas del siglo XIX.

Ha y todava otro aspecto de la idea de Sar ton de que las ma temticas

deberan ocup ar una po sicin central en la historia de la cultura que m erece

atencin. Es el triste hecho de qu e si la historia de las m atem ticas se lim ita a

los intereses de los matemticos como si se tratase bsicamente de un

instrume nto heurstico para la prepara cin de quienes practican la disciplina, la

historia de la ciencia (y a su vez la historia de la cultura) sufrir m ucho. Un a

vez m s hay que recordar, como Ge orge Sarton saba m uy bienn:

Sepa ra los desarrollos ma tem ticos de la historia de la ciencia y suprimirs

el esqueleto que soportaba y m antena unido todo lo derns .

Hace p oco m s de cincuenta aos, Sarton pub lic su gua para

The S tudy

of the History of Mathematics

(1936), en la que sealaba que la historia de la

ciencia era una

historia secreta

-y la historia de las m atem ticas un secreto


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dentro del secreto-, porque mientras muchos estudiosos podan conocer algo de

la historia de la ciencia en general, no se poda esperar que muchos

matemticos, cientficos o incluso especialistas en historia de la ciencia

pudieran saber mucho sobre historia de las matemticas2 8 . Si deseamos que

esta disciplina sea menos un secret secretorum ms una parte de la historia

de la ciencia y de la cultura en general del Este y del Oeste entonces debemos

apoyar y no limitar su desarrollo. Cualquiera que disponga de los medios y el

intzrs para poder hacer esto debera ser animado a unirse al creciente esfuerzo

internacional para estudiar, ensear y escribir la historia de las matemticas.

OT S

1 W EIL , A. (1 98 0) History of Mathematics: W hy and How . In: O. L ehto,

(ed.)

Proceed ings of the International C ong ress of M athem aticians H elsink i ,

1978) .

Helsinki, Academia Scientiarum Fennica, vol. 1 , 2 2 7-2 36 .

2 GRABINER, J. (1975) The Mathematician, the Historian, and the

History of Mathematics . H istoria M athem atica,

2 , 439-447; esp. p. 443.

3 GRABINER [1975, p. 439].

4 Citado en W eil [1 98 0, p. 22 71 de C. I. GERH ARD T (ed.)

Mathematische

Schri f ten, vol. 5, p. 392 .

5 Vase KEILL, J. (1714) Rponse aux auters des remarques, sur le

diffrence entre M. de L eibniz et M. Newton .

Journal L itraire de la Hay e, 2

(julio-

agosto), 445-453 y AITON , E. J. (1972 )

T he V ortex T heory of Planetary M otions.

L ondon, Macdonald, p. 138 .

El mismo tipo de argumento fue usado tambin por L eibniz y especialrrtente

por Joharm Bernoulli, quienes hicieron todo lo que pudieron para desacreditar la

competencia de N ewton como matemtico tal y como se reflejaba en los

Principia.

Com o ha dicho A. R . Hall:

S e hic ieron todo t ipo de es fu erz os para conden ar a

N ew ton] por error e ignorancia porque no se po da concebir qu e u n m atem tico tan

db il hubiera inve ntado el clculo.

[HALL , A. R. (198 0)

Philosophers at W ar. T he

Q uarre l B etw een N ew ton and L eibniz .

Cambridge, Cambridge U niversity Press, p.

193].

6 RAPHSON, J. (1715)

T h e H is to ry o f Flu x io n s , S h e w in g i n a

Com pendious M anner the f irs t R ise of , and v arious Im prov em ents m ade in that

Incomparab le Method .

London, W. Pearson, p. 19. Newton intervino tambin

secretamente en el libro de R aphson. Contribuy6 a la preparacin de una v ersi6 n

latina para el continente, y en una segtmda edici6n inglesa Newton hizo sus

propias adiciones. Como ha dicho Hall [198 0, p. 2 2 6 ] al respecto, N ewton amold6

el libro de Raphson firmemente y secretamente a sus propios fmes.

7 Existen varios estudios biogrficos sobre Robinson, entre ellos:

SEL IGMA N , G. (1 979) Biography of Abraham Robinson . En: H. J. Keisler

(exls.), S elected Papers of A braham R obinson. N ew Haven. Yale U niversity Press,

vol. 1 , x iii-xx x ii; y DA U BEN , J. (1 990) Abraharn Robinson . In:

The Dictionary

of S cienti f ic B iography .

N ew Y ork, Scribners, Supplement II, 748 -751 .


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OSEPII W. DAUBEN

LULL 16

8 ROBINSON, A. (1966)

N on-S tandard A naly sis.

Am sterdam, North-

Holland. 2 edicin, 1974.

9 LAKATOS, I. (1978) "Cauchy and the Continuum: The Significance of

Non-standard Analysis for the History and Philosophy of Mathematics". In: J.

W orrall y G. Currie (eds.),

M athem atics , Science and Epistem ology : Philosoph ical

Papers .

Cam bridge, Cambridge U niversity Press, vol. 2, 148-151. R eirnprimido

en

T he M athem atics Intelligencer, 1

(1979), 151-161, con una nota, Introducing

Imr Lakatos , en pp. 148-151.

Una discusin ms detallada de la aplicacin de Lakatos del anlisis no

estndar en su

rec onstrucc in racional

de la comprensi6n de Cauchy de los

infinitsimos se presenta en DAUBEN, J. (1987) "Abraham Robinson and

Nonstandard Analysis: History, Philosophy and Foundations of Mathematics . In:

P. Kitcher y W . Aspray (eds.),

N ew Perspectives on the H istory and Philosophy of

M ath e m atic s .

Minneapolis, University of Minnesota Press, 177-200; vase

tambin (1989) Abraham Robinson: Les Infinitesimaux, l'Analyse Non-Standard,

et les Fondem ents des Mathmatiques . In: H. Barreau (ed.),

L a M a th m a t i q u e N o n

Standard

(Fondements des Sciences). Paris, Editions du C NRS, 157-184.

10 Weil [1978 p. 2321.

11 No se debera pasar por alto que a lo largo de todo el artculo W eil insiste

en el fastidioso uso del trrnino

historia rnatem tica

cuando realmente qu iere decir

h istoria de las rnatem ticas.

Los dos trminos no son equivalentes. La historia

m atem tica , MH, es la historia analizada con los instrumentos de las matemticas

y la estadstica, generalmente conocidos como

cliom tricos.

La

h istoria de las

m atem ticas, HM , es cualquier intento de entender cano eran las matemticas en el

pasado y c6mo llegaron a ser as. iLos conceptos o conmutan MH HM. Una

til discusi6n de esta distincin se puede ver en GRATTAN-G UINNES S, I. (1990)

"Does History of Science Treat of the History of Science? The Case of

Mathematics . H istory o f Sc ience , 28 ,

149-173, especialmente p. 149.

12 Weil [1978, p. 230].

13 Weil [1978 p. 2301.

14 En el tema del infmito W eil afiade, con aire condescendiente, que por otra

parte podra ser de inters para la filosofa, lo que le lleva a decir en tono de brom a

que

alg unas unive rsidades h an establec ido cte dras para la h istoria y f ilosof a de

las m aterrulicas ; nte e s dific il im aginar lo que estas dos m aterias pue den te ne r en

c o m

n sta afirmacin resulta verdaderamente extxaa, teniendo en cuenta que

Weil, escribiendo desde su posicin en el Institute for Advanced Study de

Princeton, conoca entre sus colegas del centro la figura dominante de K urt Gadel,

en cuya obra puede decirse que la historia y filosofa de las matemticas se

encuentran de un modo especiahnente relevante. Pero esta idea de que la filosofa es

irrelevante para las matemticas parece ser un sello de la escuela Bourbaki.

15 Carta indita de Albert Einstein a Max von Laue 15 de mayo de 1947

citada en la introduccin de Armin Herrnann a la edicin especial de la obra:

SZAB O, I. (1976)

G eschichte der m ech anische n Prinz ipien urz d ihrer w ichtigsten

A n w e n d u n g e n .

Basel, Birkhuser Verlag; el

B eg le i tw ort

de Armin Hermann

acompaa la 2

edici6n, 1979, p. xi. Agradezco a Christoph Scriba el haberme

sefialado este notable caso de la introduccin de Hermann a esta edicin de la

historia de Szab6 .


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L L U L L 1 6

A T E M A T I C A S L A P E R S P E C T IV A D E U N H IS T O R I A D O R

16 Vase la discun de este punto en la incroduccin de Hermann a Szab

[1979 pp. xi-xiii].

1 7 MACK EY, G. (1 975) Remarks made at the W orkshop on the Evolution

of Modern Mathematics . Historia M cuhem atica, 2,

446-447.

1 8 Grattan-Guinness [199 0, p. 1 57].

19 SARTON, G. (1936) The Study of the History of Mathematics.

Cambridge Mass. Harvard University Press. Reimpresin New York Dover

1 957, p. 6 . L a figura de Sarton aparece a la izquierda; la versin Grattan-Guinness

est a la derecha. Diag rama reproducido con perrniso de Harvard U niversity Press.

20 L as figuras 1 y 2, respectivamente, proceden de: MEH RTE NS, H. (1979 )

Die Entstehung der Verbandstheorie.

Hildesheirn, Gerstenberg Verlag, p. 12; y

MOORE, G. H. (1982) Z erm elo s A xiom of Choice. Its Origins, Developm ent, and

Influence.

New York, Springer-Verlag, p. 326. Diagramas reproducidos con

permiso de G erstenberg Verlag y Springer-Verlag, respectivamente.

21 FETZER, J. (1988) Program verification: The Very Idea .

Com m unications of the A ssociation for Co m puting M achinery, 31 (septiembre),

1 0 4 8 - 1 0 6 3 .

22 HOARE, C. A. R. (1969) An Axiomatic I3asis for Computer

Programming .

Com m unications of the A ssociation for Com puting M achinery,

12 576-580.

23 BARWISE, J. (1989) Mathematical Proofs of Computer System

Correctness .

Notices of the American Mathematical Society 36

(septiembre),

844-851, esp. pp. 845-846.

24 MAY, K. O. (1975) What is Good History and Who Should Do It? .

H istoria M athem atica, 2,

449-455.

25 Mehrtens [1979].

26 Sarton [1936, p. 4].

27 Sarton [1936, p. 4].

28 Sarton [1936, p. 7].

dauben historia de la matematica

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