parçacık fiziğine giriş

Taslak

Icindekiler

1 Giris 31.1 Klasik Mekanik ve Sacılma Problemi . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Kuantum Mekanigi ve Sacılma Problemi . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Kuantum Mekanikte Tesir Kesiti . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Sert Kure Probleminin Cozumu . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Parcacık Akısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Sert Kure Probleminin Tesir Kesiti . . . . . . . . . . . 14

2 Kuantum Mekaniginde Tedirgeme Kuramı 172.1 Zaman Bagımsız Tedirgeme Kuramı . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Zaman Bagımlı Tedirgeme Kuramı . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Kuantum Alan teorisine Giris: Skalar Alanlar 333.1 Harmonik Salınıcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 1 + 1 Boyutta Skalar Alanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Lagranjiyan Formulasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Parcacıkların Kuantum Mekanigi . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Uzay Zaman Simetrileri ve Tek Parcacık Denklemleri 514.1 Uzay Zaman simetrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1 Oteleme Simetrisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2 Donme Simetrisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.3 Lorentz Simetrisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Tek Parcacık Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.1 Schroedinger Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2 Klein-Gordon Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.3 Dirac Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.4 Donme Simetrisi ve Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1

Taslak

2 ICINDEKILER

4.3 Ugulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Serbest Alanların Kuantizasyonu 81

Ekler 83

A Green Fonksiyonunun Hesabı 85

Taslak

Bolum 1

Giris

Parcacık fizigi atom altı dunyadaki dogal olayları anlamaya calısır. Bununicin kullandıgı araclar ise hızlandırıcılardır. Hızlandırıcılarda parcacıklaryuksek enerjilerde carpıstırılarak ve sacılan parcacıkların hızları, enerjileri,v.b. olculerek carpıstıkları anda nasıl etkilestiklerini anlamaya calısırız.

Cıkan pacacıklara bakarak olctugumuz temel nicelik “differansiyel tesirkesiti”dir. Bu nicelik parcacıkların etkilesimleri ile ilgili her turlu bilgiyiicerir.

Parcacık fiziginde diferansiyel tesir kesitini incelemeden once sacılma pro-lemini klasik mekanik ve kuantum mekaniginde inceleyelim. Bu incelemel-erde, sacılma problemi kadar fizige (ve matematige) nasıl yaklastıgımıza dadikkat edelim. Bu, daha sonra kuantum alan teorisine gecis yapmamızı dakolaylastıracaktır.

1.1 Klasik Mekanik ve Sacılma Problemi

Klasik mekanikte verilen bir sistemin durumu, sistemi olusturan parcacıklarınkonum vektorlerini, ~ri(t), ve hız (veya momentum) vektorlerini, ~vi(t), be-lirterek matematiksel olarak tasvir edilir (kinematik). Burada “t” zamanıbelirleyen bir matematiksel semboldur. Sistemin zamanla degisimini, yanimatematiksel tasviri icin kullandıgımız ~ri(t) ve ~vi(t) nesnelerinin zamanladegisimini ise Newton denklemlerinden elde edebiliriz (dinamik). Ozellikle,

3

Taslak

4 BOLUM 1. GIRIS

Sekil 1.1:

eylemsiz bir referans sisteminde

~vi(t) =d~ri(t)

dt

mid~vi(t)

dt= ~Fi(t) (1.1)

Burada, ~Fi(t), i’inci parcacıgıa etki eden kuvvetlerin toplamıdır. (Klasikmekanigi, Lagranj veya Hamiltonyen formalizminde de tanımlayabiliriz, an-cak bu, bu dersin kapsamı dısındadır. Detaylı bilgi icin ilgili dersinize bakınız.)

Ornek bir sacılma problemine bakalım. Basit bir problem olarak, Ryarıcaplı cok sert ve cok agır bir kure dusunelim. Bu kurenin uzerine mkutleli, noktasal bir parcacık attıgımızı varsayalım. Hızı ~v olsun ve hızvektoru dogrultusunda bir dogru cizdigimizde bu dogrunun kurenin merkezineolan uzaklıgı “b” olsun. Carpısmanın tamamen esnek oldugunu varsayalım.Dolayısıyla carpısma sonunda, m kutlesinin enerjisinin aynı kalması gerektiginden(enerjinin korunumundan dolayı) hız vektoru siddetini degistirmeden sadeceyonunu degistirecektir. m kutlesi I noktasına carptıgında, geldigi acıylasapacaktır. Sapma acısı, geldigi dogrultu ile sacıldıktan sonra gittigi dogrultuarasındaki acıdır. Yukarıdaki sekilden acıkca gorulebilecegi uzere, m kutlesininsapma acısı, hızından bagımsız olarak χ = π−2θ olacaktır. Buradaki θ acısı,sin θ = b

Rifadesinden bulunabilir.

Eger b parametresi, db kadar degisecek olursa, θ parametresi de dθ kadardegisecektir. dθ ve db arasındaki bagıntı

sin θ =b

R(1.2)

bagıntısından

cos θdθ =db

R(1.3)

olarak yazılabilir. θ degistigi icin χ’da degisecektir ve χ’daki dχ degisimi

dχ = −2dθ = − 2

R cos θdb = − 2

R√

1− b2

R2

db = − 2√R2 − b2

db

⇒ dχ = − 2√R2 − b2

db (1.4)

Taslak

1.1. KLASIK MEKANIK VE SACILMA PROBLEMI 5

Sekil 1.2:

olarak bulunur. Buradaki “−” isareti b buyudukce, χ’ın azaldıgı anlamınagelir, ki m kutlesi merkezden ne kadar uzaga carparsa, o kadar az sacılmasızaten beklenen bir sonuctur.

Gercek fiziksel bir durumda, hicbir parametreyi kesin olarak belirleye-meyiz, her olcumun bir hata payı vardır. Dolayısıyla, burada soyle bir sorusorulabilir: m kutlesi ne kadar buyuklukte bir alana nisan alınmalıdır ki,(χ, χ+ dχ) arasına sacılsın? Bu aralıga sacılabilmesi icin

b parametresinin (b, b+ db) aralıgında olması gerekir. (b, b+ db) aralıgınagelen noktaların olusturdugu kesit alan

dσ = 2πbdb (1.5)

olacagından, denklem 1.4 ifadesini de kullanırsak

dσ

dχ=

2πbdb2√

R2−b2db= πb

√R2 − b2 (1.6)

olacaktır. Burada b = R sin θ esitligini kullanırsak (dσ tanımı geregi pozitifoldugundan denklem 1.6’da “-” isaretini attık).

dσ

dχ= π(R sin θ)(R cos θ) =

πR2

2sin 2θ

=πR2

2sin(π − 2θ) =

πR2

2sinχ (1.7)

olarak bulunur. Buradaki dσ, m kutlesinin (χ, χ + dχ) arasında sacılmasıicin nisan alınması gereken alanı gosterir.

Benzer hesapları Coulomb potansiyeli icin yapsaydık (R yarıcaplı bir kureyerine cok agır noktasal bir elektrik yuku koyarak)

dσ

dχ= π

( α

mv2

)2 cos χ2

sin3 χ2

(1.8)

bulacaktık, burada α = qq′/4πε0 olmak uzere.1.7 ve 1.8 denklemlerini kıyaslarsak, hemen gorebilecegimiz onemli bazı

temel farklar vardır:

Taslak

6 BOLUM 1. GIRIS

1. Toplam tesir kesiti (yani herhangi bir sacılma olabilmesi icin nisanalınması gereken toplam alan) denklem 1.7 icin

σT =

∫ π

0

dσ

dχdχ = πR2 <∞ (1.9)

iken, Rutherford sacılmasında σT → ∞ olur. Buradan Rutherfordsacılmasına sebep olan kuvvetin uzun erimli oldugunu, oysa denklem1.7’de verilen tesir kesitine sebep olan etkinin ise kısa erimli oldugunusoyleyebiliriz.

2. Yine iki tesir kesitini kıyaslarsak denklem 1.7’deki tesir kesitim kutlesininilk hızından (ya da enerjisinden) bagımsız olmasına ragmen, denklem1.8’deki tesir kesitinin enerjiye bagımlı oldugunu goruruz. Bunun temelsebebi, denklem 1.7 tesir kesitindeki potansiyelin (kurenin) cok sert ol-masıdır.

Her ne kadar tesir kesitlerini elde ederken, bilinen potansiyellerden yolacıkmıs olsak da, parcacık fiziginde potansiyellerin ne oldugunu bilemeyiz (herfarklı model, farklı etkiler, potansiyeller icerecektir). Dolayısıyla, gercek hay-atta bu problemi tersinden cozmeye calısıyoruz: deneyde olctugumuz tesir ke-sitlerini acıklayabilmek icin ne gibi etkilesimlere (potansiyellere) ihtiyacımızvar?

1.2 Kuantum Mekanigi ve Sacılma Problemi

Kuantum mekaniginde bir sistemin durumunu Hilbert uzayında bir vektorlegosterebiliriz. (Kullanacagımız gosterim |ψ〉 olacaktır, ve buna ket denir).Istersek bunu bir dalga fonksiyonu ile de gosterebiliriz ψ(~r). Gozlemlenebilirnicelikler, bu vektor uzayında operatorlere karsılık gelir, mesela bir parcacıgınkonumuna karsılık gelen islemciyi r ile gosterirsek

rψ(~r) ≡ ~rψ(~r) (1.10)

olarak tanımlanır. Momentum islemcisine bakacak olursak

pψ(~r) ≡ −i~~∇ψ (1.11)

olarak tanımlanır. Sistemin durumunun zamanla degisimi

i~∂

∂t|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 (1.12)

Taslak

1.2. KUANTUM MEKANIGI VE SACILMA PROBLEMI 7

denklemi ile belirlenir. Burada H sistemin Hamilton islemcisi olarak bilinir.Klasik mekanikte inceledigimiz sacılma problemini bir de kuantum mekaniksel

olarak inceleyelim. Ilk cevaplamamız gereken soru, sistemi hazırladıgımız ilkdurumu nasil tasvir edecegimiz sorusudur. m kutlesi ilk durumda belirli bir~p0 = m~v Dolayısıyla dalga fonksiyonunu ψ(~r) ile gosterecek olursak

pψ(~r) = ~p0ψ(~r) (1.13)

olmalıdır. p islemcisinin gosterimini kullanacak olursak

−i~~∇ψ(~r) = ~p0ψ(~r) (1.14)

oldugundan

ψ(~r) = Nei~ ~p0·~r (1.15)

oldugu gorulur, burada N boylamlandırma sabitidir.Bu asamada klasik mekanikteki durumla kıyasladıgımızda bir problemle

karsılasırız: klasik durumda parcacıgımız bir noktada bulunuyordu ve o nok-tanın her anda konumunu ve momentumunu biliyorduk. Oysa simdi ~p mo-mentumlu bir parcacıgı tasvir etmek icin kullandıgımız dalga fonksiyonununtasvir ettigi parcacık esit olasılıkla her yerde olabilir. Belli bir noktada bu-lunan bir dalga fonksiyonu da secebilirdir:

ψ(~r) = δ2(~r − ~r0) (1.16)

ancak bu durumda bu dalga fonksiyonu ile tasvir edilen parcacık herhangibir momentuma sahip olabilir. Bu durumda klasik mekanikte kullandıgımıztanımı, oldugu gibi, kuantum mekanikte kullanamayız. Bu problemden kur-tulmak icin, oncelikle klasik mekanikte tesir kesitini baska nasıl tanımlayabi-lecegimize bakalım. Yeni tanımı ararken, mumkun oldukca olculen niceliklercinsinden tanımlayalım.

1.2.1 Kuantum Mekanikte Tesir Kesiti

Oncelikle tek bir m kutlesi yollamak yerine, homojen bir huzme yolladıgımızıvarsayalım. Huzmenin yogunlugunu nm ile, huzmedeki parcacıkların hızını dav ile gosterelim. Ayrıca carpısma bolgesinin etrafına olcum aletleri yerlestirip,gelen parcacıkların sayısını sayalım. Eger, olcum cihazını yeterince uzaga

Taslak

8 BOLUM 1. GIRIS

Sekil 1.3:

Sekil 1.4: uzaktan

yerlestirip, sisteme uzaktan bakarsak, gorecegimiz sistem sekil 1.4 gibi ola-caktır. Eger sadece A kesit alanına sahip bir silindirin icindeki parcacıklarınsacıldıgını goruyorsak (ya da huzmenin icinden yeterince kucuk bir A alanınagiden parcacıkları secersek), olcum cihazına birim zamanda carpan parcacıksayısı

∆N = nmvA∆σ

A(1.17)

olacaktır.Burada (nmvA) birim zamanda kureye carpan (ve sacılan) parcacık sayısıdır.

∆σ olcum cihazının icine sacılması icin nisan alınması gereken alandır. DolayısıylaA alanı icerisine homojen yayılmıs olan parcacıkların sadece ∆σ/A kadarıolcum cıhazına dogru sacılacaktır. Buradan, ∆σ’yi cekecek olursak

∆σ =∆N

nmv(1.18)

olarak bulunur. Burada nmv yollanan parcacık akısı, yani birim zamandabirim alanı dik kesen parcacık sayısı, ∆N ise olcum aletinde birim zamandaolculen parcacık sayısıdır. Burada nmv’yi birim zamandaki carpısma sayısıve ∆N ’yi de bu carpısmalardan “duzgun dogrultuda” (yani olcum cihazınadogru) sonlananların sayısı olarak bakabiliriz. Bu yorumda ∆σ bir tur, her-hangi bir carpısmanın duzgun dogrultuda sonlanma olasılıgıdır

Denklem 1.18’daki tesir kesiti tam olarak bir olasılık degildir, cunkuolasılıgın birimi yokken, ∆σ’nın birimi alan birimidir. Tesir kesiti ile sacılmaolasılıgı arasındaki iliskiyi soyle olusturabiliriz. Birim zamandaki carpısmasayısını, N ile gosterelim. Bu durumda, yolladıgımız tek bir parcacıgınsacılma olasılıgını P = ∆N/N olarak yazabiliriz. Bu durumda tesir kesiti:

∆σ = P N

nmv(1.19)

olarak yazabiliriz. nmv ifadesi, yollanana parcacık akısıdır, yani birim alanabirim zamanda gelen parcacık sayısıdır. Dolayısıyla N

nmvN parcacıgın geldigi

Taslak


alandir. Buradan da gorulebilecegi gibi, tesir kesitini

∆σ = P∆A (1.20)

olarak da yazabiliriz. Burada A parcacıkları yolladıgımız alandır.∆σ’nın bu iki tanımı, olculen parcacık sayısının yollanana oranı ve olasılık,

kuantum mekaniksel genellemeye uygun tanımlardır. Bir ornek inceleyecekolursak, klasik olarak inceledigimiz sert kure sacılmasını, simdi de kuantummekaniksel olarak inceleyelim.

1.2.2 Sert Kure Probleminin Cozumu

Sert bir kureyi

V (~r) =

0 |~r| > R ise∞ |~r| < R ise

(1.21)

potansiyeli ile modelleyebiliriz. R yarıcaplı kurenin icinde potansiyel sonsuzoldugu icin, bu kurenin icinde dalga fonksiyonu sıfır olmalıdır.

Bu potansiyele karsılık gelen Schroedinger denklemini tam olarak cozebiliriz.Potansiyelin kuresel simetrisi oldugu icin, Hamiltoniyenin butun oz fonksiy-onları

ψ(~r) =u(r)

rYlm(θ, φ) (1.22)

seklinde yazabiliriz. Buradaki Ylm(θ, φ) fonksiyonları kuresel harmonik fonksiy-onlardır. Schroedinger denklemine yerlestirisek, u(r)’nin sagladıgı denklem

− ~2

2m

d2u

dr2+

[V (r) +

~2l(l + 1)

2mr2

]u(r) = Eu(r) (1.23)

olarak yazılabilir. r < R durumunda, V (r) = ∞ oldugunda, bu bolgedeu(r) = 0 olacaktır. r > R bolgesinde ise u(r)

d2u

dr2+

[2mE

~2− l(l + 1)

r2

]u(r) = 0 (1.24)

denklemini saglayacaktır. Bu denklemin genel cozumu

u(r) = a√rJl+1/2(κr) + b

√rYl+1/2(κr) (1.25)

Taslak

10 BOLUM 1. GIRIS

olarak yazılabilir. Burada J ve Y fonksiyonları Bessel fonksiyonlarıdır veE = ~2κ2/2m olarak tanımlanmıstır. Bu cozumdeki a ve b sabitlerini bul-mak icin sınır kosullarını kullanacagız. Bu problemdeki tek sınır kosulumuzdalga fonksiyonunun surekliliginden gelen u(R) = 0 kosuludur. Bu kosulunsaglanması icin a ve b sabitlerinin aJl+1/2(κR) + bYl+1/2(κR) = 0 kosulunusaglaması lazım. Bu durumda genel cozumumuzu

u(r) = Nlm

[√rYl+1/2(κR)Jl+1/2(κr)−

√rYl+1/2(κr)Jl+1/2(κR)

](1.26)

olarak yazabiliriz. BuradaNlm boylamlandırma sabitidir. Genel olarak kuan-tum mekanikteki dalga fonksiyonları bire boylamlandırılırlar. Ancak sonlubir hacime sınırlandırılmamıs dalga fonksiyonları bire boylamlandırılamazlar.Bu buldugumuz cozumde sonlu bir hazme sınırlandırılmadıgı icin, bire boy-lamlandırılamaz.

Buldugumuz cozumun enerjisi l ve m degerinden bagımsızdır. Dolayısı ilebutun olası l ve m degerine sahip cozumler yozdur. Belli bir enerjiye sahipen genel cozumu

ψ(~r) =∑lm

Nlm√r

[Yl+1/2(κR)Jl+1/2(κr)− Yl+1/2(κr)Jl+1/2(κR)

]Ylm(θ, φ)(1.27)

olarak yazabiliriz.Bizim ilgilendigimiz problemde, potansiyelden uzakta belli momentum ile

potansiyelimize dogru ilerleyen ve potansiyelden sacıldıktan sonra da kureselolarak sacılan cozum. Dolayısı ile bekledigimiz cozum, potansiyelden uzakta

ψ(~r) ' ei~p·~r + f(θ, φ)eikr

r(1.28)

Bu cozumdeki ikinci terim, r = 0’dan dısarı dogru yayılan kuresel bir dal-gadır. Buldugumuz cozumu, buna benzetebilmek icin, oncelikle, buldugumuzcozumun r →∞ limitinde neye benzeyecegine bakalım. Bunun icin, cozumumuzu1/r cinsinden seriye acıp, sadece 1/r’nin en kucuk kuvvetine tutmamız yeter-lidir. Bunun icin Bessel fonksiyonunun asimptotik ifadelerine ihtiyacımız var:

Jl+ 12(κr)

r→∞−→√

2

κπrsin(κr − lπ

2) (1.29)

ve

Yl+ 12(κr)

r→∞−→ −√

2

κπrcos(κr − lπ

2) (1.30)

Taslak


Bu limitte buldugumuz dalga fonksiyonunu yazarsak

ψ(~r) =∑lm

Nlm√rYlm(θ, φ)

√2

κπr

[Yl+ 1

2(κR) sin(κr − lπ

2) + Jl+ 1

2(κR) cos(κr − lπ

2)]

=∑lm

(−i)Nlm√rYlm(θ, φ)

√1

2κπr

×[ei(κr−l

π2

)(Yl+ 12(κR) + iJl+ 1

2(κR)) + e−i(κr−l

π2

)(Yl+ 12(κR)− iJl+ 1

2(κR))

](1.31)

Burada

Yl+ 12(κR) + iJl+ 1

2(κR) ≡ Kle

iδl (1.32)

olarak tanımlarsak

ψ(~r) =∑lm

(−i)NlmKl

rYlm(θ, φ)

√1

2κπ

[ei(κr−l

π2

+δl) − e−i(κr−lπ2

+δl)]

(1.33)

elde ederiz. Burada, koseli parantezin icindeki ifadeye bakacak olursak, bu-radaki ilk terim r = 0 noktasından dısarı dogru yayılan, bir dalgayı temsileder, ikinci terim ise r = 0 noktasına dogru kuculen bir kuresel dalgayı temsileder. Benzer bir ifadeyi, duzlem dalga icin de yazabiliriz:

ei~k·~r = 4π

∑lm

il√

π

2krY ∗lm(θk, φk)Ylm(θ, φ)Jl+ 1

2(kr) (1.34)

olarak yazılabilir. Bu ifadenin de r →∞ asimptotik limitine bakacak olursak

ei~k·~r = 4π

∑lm

il√

π

2krY ∗lm(θk, φk)Ylm(θ, φ)

√2

kπrsin(kr − lπ

2

)= 2π

∑lm

(−i) 1

krY ∗lm(θk, φk)Ylm(θ, φ)

(eikr − e−i(kr−lπ)

)(1.35)

Yine burada da eikr ile orantılı olan terimleri dısarı dogru yayılan kuresel dal-galar, e−ikr ile orantılı olan terimleri de iceri dogru kuculen kuresel dalgalarolarak yorumlayabiliriz. Denklemler 1.35 ve 1.33’u kıyaslayacak olursak, ve

Taslak

12 BOLUM 1. GIRIS

ikisinde de iceri merkeze dogru kuculen kuresel dalgaları esitleyecek olursak,κ = k ve bilmedigimiz Nlm sabitlerinin

NlmKle−iδl

√1

2κπ=

2π

kY ∗lm(θk, φk)(i)

l

=⇒ Nlm =2π

Kl

il√

2π

keiδlY ∗lm(θk, φk) (1.36)

olması gerektigini goruruz. Bu cozumu denklem 1.33’a yerlestirecek olursak,cozumumuz

ψ(~r) =∑lm

(−i)ril(

2π

k

)Y ∗lm(θk, φk)Ylm(θ, φ)

[ei(kr−l

π2

+2δl) − e−i(kr−lπ2

)]

= 2π∑lm

(−i) 1


[ei(kr+2δl) − e−i(kr−lπ)

]= 2π

∑lm

(−i) 1


[eikr − e−i(kr−lπ)

]+2π

∑lm

(−i) 1

krY ∗lm(θk, φk)Ylm(θ, φ)eikr

[ei2δl − 1

](1.37)

seklini alır. Burada son esitlikte yaptıgımız, ikinci esitlikteki cozumu iki ter-imin toplamı seklinde yazmak oldu. Birinci terimi denklem 1.35 ile kıyaslarsanız,bu terimin aslında duzlem dalganın merkezden uzaktaki ifadesi oldugunugorursunuz. Dolayısıyla bu cozumu

ψ(~r) = ei~k·~r + f(θ, φ)

eikr

r(1.38)

olarak yazabiliriz. Burada

f(θ, φ) = 2π∑lm

(−i)k

Y ∗lm(θk, φk)Ylm(θ, φ)[ei2δl − 1

](1.39)

olarak tanımladık.Denklem 1.38’e bakacak olursak, buradaki birinci terim, bizim potansiyele

dogru goderdigimiz parcacıkları tasvir ederken, ikinci terim potansiyeldensacılan parcacıkları temsil edecektir. Denklem 1.18’a bakacak olursak, bucozumden tesir kesitini elde etmek icin, yolladıgımız parcacık akısını, veolcum cihazına dogru sacılan parcacık sayısını hesaplamamız gerekir.

Taslak


1.2.3 Parcacık Akısı

Oncelikle kuantum mekaniginde parcacık akısının nasıl hesaplandıgını birtekrar edelim. Kuantum mekaniginde, |ψ(~r, t)|2, bir parcacıgın ~r noktasındabulunma olasılık yogunlugunu verir (eger dalga fonksiyonu bire boylamlandırıldıysa).Bunu, uygun boylamlandırma sabiti ile carparsak, ~r noktasındaki parcacıkyogunlugu olarak da yorumlayabiliriz:

ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 (1.40)

. Toplam parcacık sayısı korunacagından, belli bir noktadaki parcacık sayısınındegisimi, o noktadaki parcacık akımından kaynaklanacaktır. Dolayısı ile,parcacık akımını, ~j, sureklilik denklemini

∂ρ

∂t+ ~∇ ·~j = 0 (1.41)

saglayacak sekilde tanımlarız.Denklem 1.40’nin zamana gore turevini alacak olursak

∂ρ

∂t=

∂

∂t(ψ∗(~r, t)ψ(~r, t))

=

(∂ψ∗

∂t

)ψ + ψ∗

(∂ψ

∂t

)(1.42)

elde ederiz. ψ’ın Schroedinger denklemini ∂ψ/∂t = 1i~Hψ sagladıgını kul-

lanırsak

∂ρ

∂t=

1

i~[−(Hψ∗)ψ + ψ∗(Hψ)] (1.43)

elde ederiz.Pek cok kuantum mekanik probleminde, Hamiltoniyen islemcisi

H = − ~2

2m∇2 + V (~r) (1.44)

olarak yazılabilir. Burada V (~r) reel bir potansiyeldir. Dolayısıyla yukarıdakidenklemdeki farka katkı vermez. Bu durumda

∂ρ

∂t=

i~2m

[−(∇2ψ∗)ψ + ψ∗(∇2ψ)

]= − i~

2m~∇ ·[(~∇ψ∗)ψ − ψ∗(~∇ψ)

](1.45)

Taslak

14 BOLUM 1. GIRIS

yazabiliriz. Buradan

∂ρ

∂t+ ~∇ ·

i~2m·[(~∇ψ∗)ψ − ψ∗(~∇ψ)

]= 0 (1.46)

Bu denklemi, denklem 1.41 ile kıyaslayacak olursak, parcacık akımının

~j =i~2m

[(~∇ψ∗)ψ − ψ∗(~∇ψ)

](1.47)

olarak ifade edilebilecegini goruruz.

1.2.4 Sert Kure Probleminin Tesir Kesiti

Simdi, sert kure probleminin tesir kesiti hesabına donelim. Yolladıgımız

parcacıkları ψg = ei~k·~r ile gostermistim. Buna karsilik gelen parcacık akımını

hesaplayacak olursak

~jg =~~km

(1.48)

oldugunu buluruz (bu ifadenin parcacıgın hızına esit olduguna dikkat ediniz).

Potansiyelden yansıyan parcacıkların ise, dalgafonksiyonunun ψy = f(θ, φ) eikr

r

kısmı ile ifade edildigine deginmistik. Bu kısma karsılık gelen parcacık akısınıkuresel koordinatlarda yazarsak, r yonunde bir bileseni ve θ ve φ yonundebilesenleri olacaktır. ~∇ islemcisinin bu yondeki bilesenler, fazladan bir 1/rcarpanı icerdiginden, θ ve φ yonlerindeki parcacık akıları 1/r3 ile orantılıolacagından, potansiyelden cok uzakta, yani olcum cihazımızın oldugu yerde,hicbir katkıları olmayacaktir. Dolayısıyla, olcum cihazımızın oldugu yerde~j = jrr olacaktır, burada

jr =i~2m

[∂ψ∗y∂r

ψy − ψ∗y∂ψy∂r

]=

~km

1

r2|f(θ, φ)|2 (1.49)

olacaktır. Buradaki ~k/m carpanı, yine, parcacıkların hızlarının buyuklugunuverirken, |f(θ, φ)|2 carpanı ise hangi yone ne kadar sacıldıgı ile ilgili bilgi vere-cektir. 1/r2 carpanının soyledigi ise, parcacıkların merkezden uzaklastıkcadaha buyuk bir kurenin uzerine yayıldıgıdır.

Taslak


Eger potansiyelimizin merkezinde r mesafede (r R), acıklıgının alanı∆A olan bir olcum aleti kullanırsak, olcum aletinin icine girecek olan parcacıksayısı

∆N = jr∆A (1.50)

olacaktir. Denklemler 1.50, 1.49 ve 1.48 ifadelerini denklem 1.18 ifadesindeyerine yerlestirecek olursak

∆σ =~km|f(θ, φ)|2 1

r2∆A

|~~km|

= |f(θ, φ)|2 ∆A

r2(1.51)

Burada ∆A/r2’nin olcum aletinin gordugu katı acı, ∆Ω, oldugunu kullanırsak,ve ∆A alanını cok kucuk alırsak, diferansiyel tesir kesiti icin

dσ

dΩ= |f(θ, φ)|2 (1.52)

elde ederiz.Tesir kesitinin acık ifadesini elde etmeden once, uygun bir koordinat sis-

temi secelim. Islemleri kolaylastırması icin, z eksenin ~k vektorunun yonundesecelim. Bu durumda θk = 0 olacaktır. Kuresel Harmoniklerin tanımından

Ylm(θk = 0, φk) =

√2l+14π

m = 0 ise

0 m 6= 0 ise(1.53)

ve Yl0(θ, φ) =√

(2l + 1)/4πPl(cos θ), Pl(cos θ) Legendre polinomu olmakuzere, oldugundan

f(θ, φ) =∞∑l=0

−i2πk

2l + 1

4π

(e2iδl − 1

)Pl(cos θ)

=1

k

∑l

eiδl sin(δl)Pl(cos θ) (1.54)

olacaktır.Denklem 1.32’den, δl icin

tan δl =Jl+ 1

2(kR)

Yl+ 12(kR)

(1.55)

Taslak

16 BOLUM 1. GIRIS

olarak yazabiliriz. Bu fonksiyon, kucuk kR degerlerinde, l ile hızlı bir sekildeazalan bir fonksiyondur. Dolayısıyla sadece l = 0 teriminin katkısını hesapla-mak, yaklasık bir sonuc bulmamız icin yeterli olabilir. Bu durumda

tan δ0 = − tan(kR) =⇒ δ0 ≈ −kR (1.56)

olacaktır. f(θ, φ) ifadesinde yerine yerlestirirsek

f(θ, φ) ≈ 1

keiδ0 sin(δ0)P0(cos θ)

≈ 1

kδ0 = −R (1.57)

olacaktır. Differansiyel tesit kesiti ifadesinde (denklem 1.52) yerine yerlestirecekolursak, differansiyel tesir kesitini

dσ

dΩ= R2 (1.58)

buluruz. Toplam tesir kesitini ise, butun katı acı uzerinden integrallersek

σT =

∫dσ

dΩdΩ =

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d(cos θ)R2 = 4πR2 (1.59)

elde ederiz. Bu sonuc klasik mekanikte hesapladıgımız sonucun dort katıdır1.Her ne kadar hesap bakımından uzun gorunse de tesir kesitini hesaplamak

icin yaptıgımız islemleri uc adımda ozetleyebiliriz

1. Gelen ve sacılan parcacıkları temsil eden dalga fonksiyonunu bul (den-klem 1.38)

2. Dalga fonksiyonundan gelen ve sacılan akıları hesaplar (denklemler 1.48ve 1.49)

3. Tesir kesiti ifadesinde yerine koy (denklem 1.18)

Bu adımlardan en karmasık olanı birinci adımdır, ve pek cok durumdakesin bir cozum bulmak mumkun degildir. Bu sebeple cesitli yaklasık cozumbulma metodlarını kullanırız. Bi sonraki bolumde kuantum mekanikte te-dirgeme kuramını inceleyip, bazı uygulamalarına bakacagız.

1Kuantum mekaniksel hesabın, niye klasik hesabın dort katını verdigi, ve kuantummekanikteki sacılma hesapları ile ilgili daha detayli bilgiyi kuantum mekanik kitaplarınızdabulabilirsiniz.

Taslak

Bolum 2

Kuantum MekanigindeTedirgeme Kuramı

Bir onceki kısımda, tam olarak cozebildigimiz bir problemde, tesir kesi-tini hesapladık. Ancak cogu zaman karsılastıgımız problemlerin tam bircozumunu bulmak mumkun degildir. Bu gibi durumlarda yaklasık bir cozumbulabiliriz.

2.1 Zaman Bagımsız Tedirgeme Kuramı

Inceleyecegimiz sistemin Hamiltonyen’i

H = H0 + αV (~r) (2.1)

olarak veriliyor olsun. Burada α’nın kucuk bir parametre oldugunu varsay-acagız. V (~r) ise, ~r = 0 etrafındaki kucuk bir bolgede yerellesmis bir potan-siyelimiz olsun.

[H0 + αV (~r)]ψα(~r) = Eαψ(~r) (2.2)

denklemini saglayacak dalga fonksiyonunu arayalim. Aradıgımız sonuc dogalolarak α’ya baglı oldugu icin, dalga fonksiyonunda α’yi bir alt simge olarakgosterdik. Bizim yolladıgımız parcacıkları temsilen, α = 0’da cozumumuzunbir duzlem dalga olmasını bekleriz (cunku dalga fonksiyonunu degistirecekbir etki yoktur):

ψα=0(~r) = ei~k·~r ≡ ψ0(~r) (2.3)

17

Taslak

18 BOLUM 2. KUANTUM MEKANIGINDE TEDIRGEME KURAMI

ve enerjisi E0 = ~2k2/(2m) olacaktır.Herhangi bir α degerindeki cozumu ve karsılık gelen enerjiyi α cinsinden

Taylor serisi olarak acarsak:

ψα(~r) = ψ0(~r) + αψ1(~r)2αψ2(~r) · · ·

Eα = E0 + αE1 + α2E2 + · · · (2.4)

olarak yazabiliriz. Bu acılımları zaman bagımsız Schroedinger denklemindeyerlerine yerlestirecek olursak

[H0 + αV (~r)](ψ0(~r) + αψ1(~r)2

αψ2(~r) · · ·)

(2.5)

=(E0 + αE1 + α2E2 + · · ·

) (ψ0(~r) + αψ1(~r)2

αψ2(~r) · · ·)

(2.6)

elde ederiz. Bu denklemin butun α degerlerinde saglanması icin iki taraftakiα’nın aynı kuvvetlerının katsayılarının esit olması gerekir. Bu durumda α0

ve α1 terimlerinin katsayılarını esitlersek

H0ψ0 = E0

(H0 − E0)ψ1(~r) = (E1 − V (~r))ψ0(~r) (2.7)

buluruz. Ilk denklem bize ψ0’ın potansiyel olmadıgı durumdaki cozumu

oldugugu soyler, ki bu cozumun ψ0 = ei~k·~r oldugunu zaten belirtmistik. Dalga

fonksiyonuna gelen ilk duzeltme terimi ψ1(~r) olur, ki eger α yeterince kucukise 1. Bu durumda iki bilinmeyeni bulmamız gerekir: ψ1 ve E1. E1’i bulmakicin 2.6 denklemini soldan ψ∗0 ile carpıp, ~r uzerinden integralleyelim. Sol taraf∫

d3rψ∗0(~r)(H0 − E0)ψ1(~r) =

∫d3r[(H†0 − E0)ψ0

]∗ψ1(~r) = 0 (2.8)

olacaktır. Dolayısı ile sag taraftan

E1

∫d3rψ∗0(~r)ψ0(~r) =

∫d3rψ∗0(~r)V (~r)ψ0(~r) (2.9)

elde edilir. Inregrali sonsuz uzay yerine buyuk ama sonlu bir Ω hacmiuzerinden alacak olursak, |ψ0(~r)| = 1 oldugunu da kullanırsak

E1 =1

Ω

∫d3rψ∗0(~r)V (~r)ψ0(~r) (2.10)

1Daha dogru bir ifade ile, α’nin kucuk olması tek basına yeterli degildir. αV islemcisininbutun matriks elemanlarının kucuk olması gerekir

Taslak

2.1. ZAMAN BAGIMSIZ TEDIRGEME KURAMI 19

elde ederiz. Burada paydadaki integraldeki V (~r) sadece kucuk bir hacimdesıfırdan farklı oldugu icin Ω’dan bagımsızdır. Dolayısıyla Ω → ∞ limitindeE1 = 0 bulunur.

Enerjiye duzeltme gelmemesi beklenmeyen bir durum degildir. Aradıgımızcozum sonlu bir hacmi kıstırılmıs bir cozum olmadıgından, olası enerjilerikuantize degil, sureklidir. Dolayısıyla E0 enerjisine sahip bir cozum mut-

laka vardır. Ayrıca aradıgımız cozum potensitelden cok uzak bolgede ei~k·~r

olmalıdır. Bu bolgede potensitel sıfır oldugundan, bu cozgmgn tek enerjisikinetic enerjisidir ki o da ~2k2/(2m)’dir ki E0’a esittir. Bu sebepten dolayı,enerjiye gelen sadece E1 duzeltmesi degil, butun duzeltmeler sıfırdır.

Gelelim ψ1 duzetlmesini hesaplamaya. E1 = 0 oldugundan, E1’in saglamasıgereken denklem

(H0 − E0)ψ1(~r) = −V (~r)ψ0(~r) (2.11)

Bu denklemi, Green fonksiyonlarını kullanarak cozelim. Bunun icin oncelikle

(H0 − E0)G(~r) = −4πδ3(~r) (2.12)

denkleminin cozumunu bulmamız lazım. Bu cozumu bulduktan sonra, ψ1(~r)cozumunu

ψ1(~r) =1

4π

∫d3r′G(~r − ~r′)V (~r′)ψ0(~r′) (2.13)

olarak elde edebiliriz.Denklem 2.12’i cozmek icin, aradıgımız cozumun sınır kosullarını da be-

lirtmemiz gerekir. Aradıgımız ψ1 cozumui sacılan parcacıkları temsil edecegiicin, cozumun, potansiyelden cok uzaklarda, bellir bir noktadan dısarı dogruyayılan kuresel bir dalga olması gerekir. Dolayısıyla, G(~r) cozumu icingereken sınır kosulu

G(~r)|~r|→∞−→ K

eikr

r(2.14)

seklinde olmalıdır. Buradaki K belirlenmesi gereken bir sabittir. Bu sınırkosulunu saglayan Green fonksiyonu

G(~r) = −2m

~2

eikr

r(2.15)

Taslak


olarak bulunur. (cozumun detayı icin bkz. Ek. A ) Buradan da ψ1(~r)cozumunu

ψ1(~r) = − m

2π~2

∫d3r′

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|ei~k·~rV (~r′) (2.16)

olarak buluruz. Burada ψ0(~r) dalga fonksiyonunu acık halini de yerlestirdik.Olcum aletimiz potansiyelin oldugu yerden cok uzakta olacaktır. Bir baskadeyisle, integrale katkı veren her bolgedeki ~r′ noktası icin |~r′| |~r| olacaktır.Eger |~r − ~r′| uzunlugunu r′/r cinsinden Taylo acılımına tabi tutarsak

|~r − ~r′| =√

(~r − ~r′)2

=(r2 + r′2 − 2rr′ cos γ

) 12

= r

(1 +

(r′

r

)2

− 2r′

rcos γ

) 12

= r

(1− r′

rcos γ

)= r − r′ cos γ (2.17)

elde ederiz. Bu sonucu kullanarak

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|' eikr

re−i

~k′·r′ +O

((r′

r

)2)

(2.18)

yazabiliri. Burada ~k′ = kr olarak tanımladık. Bu durumda

ψ1(~r) = − m

2π~2

eikr

r

∫d3r′ei

~k·~r′−i~k′·~r′V (~r′) (2.19)

olcaktır. Artık yaklasık cozumu denklem 1.38’deki gibi yazacak olursak,

f(θ, φ) = − αm

2π~2

∫d3r′ei~q·~rV (~r′)

= − αm

2π~2V (~q) (2.20)

olarak buluruz. Burada ~q = ~k−~k′ olarak tanımladık, ve V (~q), V (~r) fonksiy-onunun Fourier donusmus halidir.

Taslak

2.1. ZAMAN BAGIMSIZ TEDIRGEME KURAMI 21

Devam etmeden oncelikle ~k′ vektorunun neye karsılık geldıgıne bakalım.r dogrultusu, olcum cihazımızın konumunu gosteren dogrultudur. Parcacıgınolcum cihazina gidebilmesi icin sacıldıktan sonra momentumunun r dogrultusundaolması gerekir. Enerjinin korunumundan dolayı, momentumunun siddetininise degismemis olması gerekir. Dolayısıyla ~k′, sacıldıktan sonra olcum ci-hazina dogru giden parcacıgın momentumundur. ~q ise, parcacıgın momentu-mundaki degisimdir. Denklem 2.20’den tesir kesitini

dσ

dΩ= |f(θ, φ)|2 =

α2m2

(2π)2~4|V (~q)|2 (2.21)

olarak yazılabilir.Denklem 2.21’den de goruldugu gibi, eger tesir kesitini olcebilirsek, bu-

rada potansiyelin Fourier donusumunu, ve dolayısıyla da etkilesme potan-siyelini bulabiliriz.

Tesir kesiti hesabi icin bir ornek olarak Kulomb etkilesmesinden sacılmayıinceleyelim. Bu durumda V (~r) = 1

rve α = q1q2

4πε0olacaktır. V (~r)’nin Fourier

donusumu yapılırsa V (~q) = −4πq2

elde edilir. Yukarıdaki ifadeye yerlestiririse, differansiyel tesir kesiti

dσ

dΩ=

(2αm

~2

)21

q4(2.22)

olarak elde edilir. Sacılma acısınıa onceki bolumde oldugu gibi χ ile gosterecekolursak,

q2 = (~k − ~k′)2 = k2 + k′2 − 2kk′ cosχ

= 2k2(1− cosχ) = 4k2 sin2 χ

2(2.23)

yazabiliriz. Ayrıca dΩ = 2π sinχdχ = 4π sin χ2

cos χ2dχ oldugunu da kul-

lanırsak, differansiyel tesir kesiti

dσ

dχ= 4π sin

χ

2cos

χ

2

(2αm

~2

)21(

4k2 sin2 χ2

)2

= π( α

mv2

)2 cos χ2

sin3 χ2

(2.24)

elde ederiz. Burada v ≡ ~k/m olarak tanımladık. Bu sonucun denklem1.8’de verilen klasik tesir kesiti ifadesi ile aynı olduguna dikkat edin.

Taslak


2.2 Zaman Bagımlı Tedirgeme Kuramı

Bir onceki kısımda, zaman bagımsız tedirgeme kuramı kullanarak sacılmatesir kesitini hesapladık. Bu yonteme Hamiltoniyen’imizin enerji oz fonksiy-onlarını yaklasık olarak hesaplayıp, tesir kesitini elde ettik. Ancak deneylerdeyapılan bu degildir. Deneyde belli bir t = ti anında bir yerde parcacıkdemeti hazırlanır, ki bu demet bir duzlem dalga degil, bir dalga paketidir.Bu dalga paketi hedefe (veya bir baska demete) dogru gonderilir, t = 0anı civarında sacılma gerceklesir, ve t = ts anında da olcum cihazımızdaparcacıkları olceriz. Bu durumda, ilk t = ti anında hazırlanan durumun, za-manla evrimini incelememiz gerekir. Bunun icin de zaman bagımlı tedirgemekuramını kullanırız. Bu kısımdan sonra artık sistemimizi dalga fonksiyonlariile degil Dirac’ın bra ve ket gosterimi ile gosterecegiz.

Sistemin ilk durumunu |ψ(t = ti)〉 = |ψi〉 ile gosterelim. Bu sisteminzaman ile degisimini Schroedinger denklemi ile belirleyebiliriz 2:

i∂

∂t|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 (2.25)

Sekilsel olarak, bu denklemi

|ψ(t)〉 = e−iH(t−ti)|ψ(ti)〉 (2.26)

olarak cozebiliriz (parcacık fizigindeki Hamiltonyenler zamandan bagımsızolacagından burada daH’nin zamandan bagımsız oldugunu vasaydık). Deneylerdeolcebilecegimiz nicelikler, belirli islemcilerin, O, iki durum arasındaki matrikselemanlarıdır (veya bunlar cinsinden ifade edilebilen niceliklerdir):

F (t) = 〈ψ(t)|O|ψ′(t)〉 (2.27)

Genel olarak bra ve ketlerdeki durumlar farklı olabilir. Denklem 2.27’dakimatriks elemanı, O islemcisi acıkca zamana baglı olmasa bile |ψ〉 ve |ψ′(t)〉durumları zamanla degistigi icin degisecektir. Kuantum mekaniginin buresmine, yani islemcilerin zamandan bagımsız oldugu, ama durumların za-manla degistigi resme, Schroedinger resmi denir.

Denklem 2.27’da denklem 2.26’u yerlestirecek olursak,

F (t) = 〈ψ(ti)|eiH(t−ti)Oe−iH(t−ti)|ψ′(ti)〉= 〈ψ(ti)|OH(t)|ψ′(ti)〉 (2.28)

2Bundan doyle ~ = 1 olan birimlerle calısacagız

Taslak

2.2. ZAMAN BAGIMLI TEDIRGEME KURAMI 23

elde ederiz, burada OH(t) ≡ eiH(t−ti)Oe−iH(t−ti) olarak tanımladık. Dikkatederseniz, denklem 2.28’da islemcimiz zaman bagımlı, ancak durumlarımızzamandan bagımsız, bir basa deyisle, durumlar zamanla degismiyor. Kuan-tum mekanigin bu resmine, yani islemcilerin zamanla degisip, durumlarınzamanla degismedigi resme, Heisenberg resmi denir.

Sacılma problemlerinde, genelde Hamiltoniyeni iki kısma ayırırız: H =H0 + V . Bu ayırım her ne kadar keyfi olsa da, H0’a etkilesmeyen Hamil-toniyen, ve V ’ye de etkilesme terimi olarak tanımlarız. Bizim ilgilendigimiz,sistemde V ’den kaynaklı olan degisimlerdir. Heisenber ve Schroedinger resim-lerinde, zamanla degisen nesneler (Schroedinger resminde durumlar, Heisen-ber resminde islemciler), hem H0’dan dolayı hem de V ’den dolayı degisirler.H0 ve V ’den kaynaklı degisimleri ayırmak icin, etkilesme resmi dedigimiz birresim daha tanımlarız. Bu resimde islemcilerimiz H0’dan dolayı degisirler(Heisenberg resmindekine benzer sekilde), durumlar ise V teriminden dolayıdegisirler. Bu ayirimi yapmak icin, denklem 2.28’da islemcinin iki yanınae−iH0(t−ti)eiH0(t−ti) ≡ 1 yerlestirelim:

F (t) = 〈ψ(ti)|eiH(t−ti)e−iH0(t−ti)eiH0(t−ti)Oe−iH0(t−ti)eiH0(t−ti)e−iH(t−ti)|ψ′(ti)〉≡ I〈ψ(t)|OI(t)|ψ′(t)〉I (2.29)

Burada

|ψ(t)〉I = eiH0(t−ti)e−iH(t−ti)|ψ(ti)〉 (2.30)

ve

OI(t) = eiH0(t−ti)Oe−iH0(t−ti) (2.31)

olacak sekilde tanımladık. Eger dikkat ederseniz, eger V = 0 ise, yani H =H0 ise, |ψ(t)〉I = |ψ(ti)〉 ve OI(t) = OH(t) olacaktır.

Denklem 2.30 ifadesinin zamana gore turevini alacak olursak

∂

∂t|ψ(t)〉I = eiH0(t− ti)iH0e

−iH(t−ti)|ψ(ti)〉 − eiH0(t−ti)iHe−iH(t−ti)|ψ(ti)〉

= −ieiH0(t−ti)V e−iH(t−ti)|ψ(ti)〉= −ieiH0(t−ti)V e−iH0(t−ti)eiH0(t−ti)e−iH(t−ti)|ψ(ti)〉= −iV I(t)|ψ(t)〉I (2.32)

elde ederiz. Bu ise tıpkı Schroedinger denklemine benzemektedir, tek farkızamandan bagımsız H Hamiltoniyeni yerine zaman bagımlı V (t) etkilesimi

Taslak


gelmistir. Buradan da, etkilesme resminde, durumlardaki degisimin tek se-bebinin etkilesme terimleri oldugu gorulmektedir.

2.32 denklemini cozmek icin sekilsel olarak iki tarafın da ti’den t anınakadar integralini alabiliriz:

|ψ(t)〉I − |ψ(ti)〉I = −i∫ t

ti

dt′V I(t′)|ψ(t′)〉I

=⇒ |ψ(t)〉I = |ψ(ti)〉I − i∫ t

ti

dt′V I(t′)|ψ(t′)〉I (2.33)

Bu denklemin iki tarafında da bulmak istedigimiz ifade oldugu icin, bu ifadetam olarak bir cozum sayılmaz. Ancak yineleme ile tam cozumu bulabiliriz.Denklemin sag taraftak ifadeyi, integrali icindeki |ψ(t)〉I yerine yerlestiririsek

|ψ(t)〉I = |ψ(ti)〉I − i∫ t

ti

dt′V I(t′)|ψ(ti)〉I + (−i)2

∫ t

ti

dt1

∫ t1

ti

dt2VI(t1)V I(t2)|ψ(t2)〉I(2.34)

elde ederiz. Bu islemi sonsuz defa tekrarlar isek, cozumu

|ψ(t)〉I = |ψ(ti)〉I − i∫ t

ti

dt′V I(t′)|ψ(ti)〉I + (−i)2

∫ t

ti

dt1

∫ t1

ti

dt2VI(t1)V I(t2)|ψ(ti)〉I + · · ·

=

[1 + (−i)

∫ t

ti

dt′V I(t′) + (−i)2

∫ t

ti

dt1

∫ t1

ti

V I(t1)V I(t2)

+ (−i)3

∫ t

ti

dt1

∫ t1

ti

dt2

∫ t2

ti

dt3VI(t1)V I(t2)V I(t3) + · · ·

]|ψ(ti)〉I

≡ S(t, ti)|ψ(ti)〉I (2.35)

elde ederiz. Burada son satırda

S(t, ti) = 1 + (−i)∫ t

ti

dt′V I(t′) + (−i)2

∫ t

ti

dt1

∫ t1

ti

V I(t1)V I(t2)

+(−i)3

∫ t

ti

dt1

∫ t1

ti

dt2

∫ t2

ti

dt3VI(t1)V I(t2)V I(t3) + · · ·(2.36)

islemcisini tanımladık. Denklem 2.36 ifadesinde dikkat etmemiz gereken birnokta, farklı zamanlardaki V I(t) islemcilerinin genel olarak yer degistirmemesidir,

Taslak


yani t1 6= t2 ise V (t1)V (t2) 6= V (t2)V (t1). Farklı zamanlardaki islemcilerin,zaman sıralı carpımlarını tanımlayalım:

T V (t) = V (t)

T V (t1)V (t2) =

V (t1)V (t2) t1 > t2 iseV (t2)V (t1) t2 < t1 ise

(2.37)

Bir baska deyisle, T ile gosterdigimiz zaman sıralı carpım, zaman sırasındadaha once gelen islemciyi, daha sola yerlestirir. Uc veya daha fazla islemcininzaman sırlı carpımı da benzer sekilde tanımlanır. Denklem 2.36’deki inte-gral icindeki islemci carpımları da zaman sıralıdır. Zaman sıralı carpımıntanımından da gorulebilecegi uzere T V (t1)V (t2) = T V (t2)V (t1) ola-caktır. Yani, zaman sıralı carpımın icinde oldukları surece, farklı zaman-lardaki islemcilerin yerlerini istedigimiz gibi degistirebiliriz, cunku carpımınhangi sırada olacagını, zaman sıralı carpımın icindeki sıra degil, zaman sıralıcarpımın kendisi belirleyecektir.

Zaman sıralı carpım tanımını ve∫ t

ti

dt1 · · ·∫ tl−1

ti

dtl · · ·∫ tn−1

ti

dtnT V (t1)V (t2)...V (tn)

=1

n!

∫ t

ti

dt1 · · ·∫ t

ti

dtnT V (t1)V (t2)...V (tn)

= T

1

n!

(∫ t

ti

dt′V (t′)

)n(2.38)

oldugunu kullanırsak, denklem 2.36

S(t, ti) = T∞∑n=0

1

n!

(−i∫ t

ti

dt′V (t′)

)n= T e−i

∫ ttidt′V (t′)

(2.39)

olarak yazılabilir.Ilk bolumde, tesir kesitinin bir tur olasılık oldugundan bahsetmistik. Deneyde,

t = ti anında hazırlarıgımız parcacıkları bir dalga paketi olarak gosterelim:

|ψi〉 =

∫d3k

(2π)3φ~pi (

~k)|k〉 (2.40)

Burada φ~pi (~k), dalga paketinin momentum uzeyındaki gosterimidir. Deneylerde

hazırlanan sacılma icin hazırlanan parcacıklar, belli bir momentumda hazırlanır.

Taslak


Dolayısıyla, burada φ~pi (~k) fonksiyonu, sadece ~p momentumuna cok yakın

bir bolgede sıfırdan farklı, bunun dısında sıfır olan bir pakettir. Paketinkoordinat uzayındaki genisligi Heisenger belirsizlik ilkesinden bulunabilir.∆x∆p ≥ 1

2. sectigimiz dalgayı

〈ψi|ψi〉 = 2Ep (2.41)

olacak sekilde boylamlandıralım3. Dolayısıyla∫d3k

(2π)3|φ~pi (~k)|2 = 2Ep (2.42)

olacaktır.|ψi〉 dalga durumunun t anındaki halini, Schroedinger resminde |ψ(t)〉 ile

gosterelim. Olcum aletimizin t = ts anında olctugu dalga paketini de ise

|ψs〉 =

∫d3k

(2π)3φ~p′

s (~k)|k〉 (2.43)

olarak gosterelim. Buradaki φ~p′s (~k)’de, yine ~p′ vektoru yakınına yerellesmis

bir momentum uzayı dalga paketi olsun, ve boylamlandırılması da denklem2.42’daki gibi ∫

d3k

(2π)3|φ~p′s (~k)|2 = 2Ep′ (2.44)

olsun. Bu durumda bizim aradıgımız olasılıgın genligi

M = 〈ψs|ψ(ts)〉 (2.45)

olarak verilecektir. Bu genligi

M = 〈ψs|ψ(t)〉= 〈ψs|e−iH(ts−ti)|ψi〉= 〈ψs|e−iH0(ts−ti)eiH0(ts−ti)e−iH(ts−ti)|ψi〉= 〈ψs|e−iH0(ts−ti)S(ts, ti)|ψi〉 (2.46)

olarak da yazabiliriz.

3Neden boyle bir boylamlandırma sectigimiz, ileride Lorentz simetrisini tartıstıgımızdanetlesecektir.

Taslak


|ψs〉 durumu, momentumları ve enerjileri sırasıyla ~p′, ve Ep′ ’a esit olandurumların toplamı oldugu icin

〈ψs|e−iH0(ts−ti) ' 〈ψs|e−iEp′ (ts−ti) (2.47)

olarak yazabiliriz. Dolayısıyla

M = e−iEp′ (ts−ti)〈ψs|S(ts, ti)|ψi〉 (2.48)

olur. S(ts, ti) islemcisinin denklem 2.36 ifadesindeki Taylor acılımını kul-lanırsak

MeiEp′ (ts−ti) = 〈ψs|1− i∫ ts

ti

dtV I(t) + · · · |ψi〉

= 〈ψs|ψi〉 − i∫ ts

ti

dt〈ψs|V I(t)|ψi(t)〉 (2.49)

olacaktor. Bu iki terimi sırasıyla inceleyelim. Ilk terime bakacak olursa,

〈ψs|ψi〉 =

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)〈~k′|~k〉

=

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)(2π)3δ3(~k − ~k′)

=

∫d3k

(2π)3φ~p′∗s (~k)φ~pi (

~k) (2.50)

olacaktrıir. ~p 6= ~p′ icin ve yeterince yerellesmis paketler icin φ~p′∗s (~k)φ~pi (

~k)

carpımı butun olası ~k degerleri icin sıfırdır, cunku herhangi bir k degeri ya~p’den uzaktır, ve dolayısıyla φ~pi (

~k) = 0 olacaktır, ya da ~p′’dan uzaktır, ve

dolayısıyla φ~p′

i (~k) = 0 olacaktır.

Simdi ikinci terimdeki intergalin icindeki matris elemanını hesaplayalım.

〈ψs|V I(t)|ψi(t)〉 =

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)〈~k′|V I(t)|~k〉 (2.51)

olacaktır. Burada V I ’nın tanımını kullanırsak, integralin icindeki matris el-

Taslak


emani

〈~k′|V I(t)|~k〉 = 〈~k′|eiH0(t−ti)V e−iH0(t−ti)|~k〉= ei(Ek−Ek′ )(t−ti)〈~k′|V |~k〉

= ei(Ek−Ek′ )(t−ti)∫d3x〈~k′|~x〉〈~x|V ~k〉

= ei(Ek−Ek′ )(t−ti)∫d3xe−i(

~k′−~k)·~xV (~x)

= ei(Ek−Ek′ )(t−ti)V (~k − ~k′) (2.52)

olarak buluruz. Burada V (~k), V (~x) potansiyelinin Fourier donusumudur.Dolayısıyla, denklem 2.51’e yerlestirirsek

〈ψs|V I(t)|ψi(t)〉 =

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)ei(Ek−Ek′ )(t−ti)V (~k − ~k′)(2.53)

elde ederiz.Yine φi ve φs dalga fonksiyonlarının yeterince yerellesmis olduklarını kul-

lanırsak,

〈ψs|V I(t)|ψi(t)〉 = V (~p− ~p′)∫

d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)ei(Ek−Ek′ )(t−ti)(2.54)

yazabiliriz. Zaman uzerinden integralini alacak olursak, sacıma genligini bu-luruz:

M = −iV (~q)

∫ ts

ti

dt

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)ei(Ek−Ek′ )(t−ti) (2.55)

burada ~q = ~p′ − ~p olarak tanımladık. Buradan sacılma olasılıgı

P =1

2Ep

1

2Ep′|V (~q)|2

∣∣∣∣∫ ts

ti

dt

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3φ~p′∗s (~k′)φ~pi (

~k)ei(Ek−Ek′ )(t−ti)∣∣∣∣2

≡ 1

2Ep

1

2Ep′|V (~q)|2F (~p, ~p′) (2.56)

ifadesinden hesaplanabilir. Buradaki 1/(2E) carpanlarını, kullandıgımız dalgafonksiyonlarının 2E’ye boylamlandırdıgımız icin geldi.

Taslak


Denklem 2.56’daki F (~p, ~p′) ifadesini hesaplamak icin acıkca yazacak olur-sak

F (~p, ~p′) =

∫ ts

ti

dt1

∫d3k1

(2π)3

∫d3k′1(2π)3

∫ ts

ti

dt2

∫d3k2

(2π)3

∫d3k′2(2π)3

×φ~p′∗s (~k′1)φ~p′

s (~k′2)φ~pi (~k1)φ~p∗i (~k2)e

i(Ek1−Ek′1)(t1−ti)e

−i(Ek2−Ek′2)(t2−ti)(2.57)

Dalga fonksiyonlarının yerellesmıs olmasından dolayı, integrale katkı verenyerler sadece ~k1 ' ~k2 ' ~p ve ~k′1 ' ~k2 ' p′ bolgeleridir. Dolayısıyla,ustellerdeki Ek1 − Ek′1 ' Ek2 − Ek′2 olacagından, ti ile orantılı olan kısımlarıbirbirini goturecektir.

∆E = Ek1 − Ek′1 ' Ek2 − Ek′2 olarak tanımlarsak, t integralleri,

sin2(

∆E T2

)(∆E

2

)verir, burada T = ts − ti olarak tanımladık. Eger T yeterince buyuk ise, buifade yerine

sin2(

∆E T2

)(∆E

2

) → Tπδ(∆E/2) = T2πδ(∆E) (2.58)

yazabiliriz. Boylece F (~p, ~p′) fonksiyonunu

F (~p, ~p′) = T

∫d3k1

(2π)3

∫d3k′1(2π)3

∫d3k2

(2π)3

∫d3k′2(2π)3

×φ~p′∗s (~k′1)φ~p′

s (~k′2)φ~pi (~k1)φ~p∗i (~k2)2πδ(Ek2 − Ek′2) (2.59)

olarak elde ederiz. Dalga fonksiyonlarının yerellesmis olmasını da kullanırsak,

F (~p, ~p′) = T2πδ(Ep − Ep′)∫

d3k1

(2π)3

∫d3k′1(2π)3

∫d3k2

(2π)3

∫d3k′2(2π)3

×φ~p′∗s (~k′1)φ~p′

s (~k′2)φ~pi (~k1)φ~p∗i (~k2) (2.60)

elde ederiz.denk2.60

Buradan sonra devam edebilmek icin, φ dalga fonksiyonları ile ilgili dahafazla bilgiye ihtiyacımız var. Oncelikle φ~p

′s (~k) dalga fonksiyonlarına bakalım.

Bu dalga fonksiyonları, olcum cihazımızın olctugu dalga fonksiyonudur. Olcumcıhazlarının her zaman bir hata payı vardır, ve sadece belli bir momentum

Taslak


aralıgı olcebilirler. Farzedelim ki, olcum aletimiz gelen parcacıgın ~p′ momen-tumu civarinda d3p′ hacmi icinde kalan bir momentum olctu. Bu durumdaolctugu dalga icin:

φ~p′

s (~k) = N

1 ~k′ ∈ d3p′ ise

0 ~k′ 6∈ d3p′ ise(2.61)

Burada N boylamlandırma sabitidir ve denklem 2.44’dan N−2 = d3p′

2E′p(2π)3

olarak bulunur. Bu ifadeyi denklem 2.2’a yerlestirir isek

F (~p, ~p′) = T2πδ(Ep − Ep′)∫

d3k1

(2π)3

∫d3k′1(2π)3

φ~pi (~k1)φ~p∗i (~k2)N 2

(d3p′

(2π)3

)2

= T2πδ(Ep − Ep′)∫

d3k1

(2π)3

∫d3k′1(2π)3

φ~pi (~k1)φ~p∗i (~k2)2Ep′

d3p′

(2π)3(2.62)

buluruz.Simdi ise, φ~pi dalga fonksiyonlarına bakalım. Bunlar deneyde hazırladıgımız

huzmedeki parcacıkları tasvir edeceklerdir. ~p vektorunun yonunu z yonuolarak secelim. ~k vektorunu, ~k = kzz + ~k⊥ olarak tanımlayalım. Bu-rada, kz, ~k vektorunun ~p vektoru yonundeki (yani z yonundeki) bileseni,~k⊥ ise, z yonune dik bilesenidir. φ~pi (kz, k⊥) dalga fonksiyonunun, k⊥’e gorekısmı Fourier donusumunu alırsak, dalga fonksiyonunun huzmenin kesitin-deki dagılımını elde ederiz:∫

d2k⊥(2π)2

φ~pi (kz, k⊥)e−i~b·~k⊥ ≡ φ(~b, kz) (2.63)

Burada ~b vektoru, parcacıgın, merkez eksenden ne kadar uzaktan gittiginigosterir, ve uzunlugu klasik mekanikteki sacılma problemindeki b parametre-sine denk gelir. Eger, yolladıgımız parcacıklar huzme icinde homojen olarakyayıldılarsa |φ(~b, kz)|2 parcacık yogunlugunu verecegi icin,

|φ(~b, kz)| ∝1√A

(2.64)

olması gerekir. Bu orantıdaki orantı sabiti, dalga fonksiyonunun nasıl boy-lamlandırıldıgına baglıdır. φ dalga fonksiyonunu

φ(~b, kz) =1√Aψ(kz) (2.65)

Taslak


olarak yazalım. Buradaki ψ(kz) fonksiyonu huzmenin z yonundeki profiliniverecektir. ψ fonksiyonunun boylamlandırılması 2.42’dan∫

dkz2π|ψ(kz)|2 = 2Ep (2.66)

olarak bulunur.ψ(kz) icin de 2.61’ benzer bir cozum kabul edelim:

ψ(kz) = Ni

1 kz ∈ dp ise0 kz 6∈ dp ise

(2.67)

Ni boylamlandırma sabiti, denklem 2.66’dan N−2i = dp

(2Ep)(2π)olarak bulunur.

Denklemler 2.63-2.67’yi denklem 2.62’de yerlestirir isek

F (~p, ~p′) = T2πδ(Ep − Ep′)∫

dk1z

(2π)

dk2z

(2π)φ(~0, k1z)φ

∗(~0, k2z)2Ep′d3p′

(2π)3

=T

A2πδ(Ep − Ep′)N 2

i

(dp

2π

)2

2Ep′d3p′

(2π)3

=T

A2πδ(Ep − Ep′)2Ep

dp

2π2Ep′

d3p′

(2π)3(2.68)

buluruz. Bu ifadeyi denklem 2.56’da yerine yerlestirir isek, sacılma olasılıgıicin

P = |V (~q)|2TA

2πδ(Ep − Ep′)dp

2π

d3p′

(2π)3(2.69)

elde ederiz. Denklem 1.20, bu ifadeyi A ile carparsak tesir kesitini elde ederiz:

dσ = |V (~q)|22πδ(Ep − Ep′)d3p′

(2π)3

Tdp

2π(2.70)

Bu ifadeyi, zaman bagımsız tedirgeme kuramı ile elde ettigimiz 2.21 ifadesiile kıyaslamak istersek, oncelikle T zamanına bir anlam vermemiz gerekir. Tsures, etkilesimlerin basladıgı ile bittigi zamanlar arasında gecen sure olaraktanımlanmıstı. Eger dalga paketinin koordinat uzayındaki boyutunu ∆zolarak gosterirsek, T = ∆z/v olacaktır, burada v = p/m dalga paketininhızıdır. Denklem 2.67’de verilen dalga fonksiyonun Fourier donusumunualırsak, dalga paketinin z yonundeki profilinin

ψ(z) ∝ sin(z dp/2)

z(2.71)

Taslak


oldugunu buluruz. Bu profildeki parcacıkların dagılımı, ρ(z) = 4ρ0dp2

(sin(z dp/2)

z

)2

olur, burada ρ0 yogunlugun en buyuk degeridir. Eger bu paketi, yaklasıkolarak ∆z uzunlugunda, ρ0 homojen yogunlugunda bir paket olarak mod-ellersek, dalganın genisligini ∆zρ0 =

∫∞−∞ dzρ(z) ifadesinden parcacık huzmesinin

genisligi ∆z = 2π/dp olarak bulunur. Buradan

Tdp =∆zdp

v=

2π

v=⇒ Tdp

2π=

1

v(2.72)

olarak bulunur. Bu sonucu denklem 2.70’e yerlestirir isek,

dσ = |V (~q)|22πδ(Ep − Ep′)d3p′

(2π)3

1

v(2.73)

elde ederiz. Buradaki Dirac delta fonksiyonunu kullanarak, d3p′ integral-lerinden birini daha hesaplayabiliriz. Kuresel koordinatlara gecersek d3p′ =dΩp′2dp′ yazabiliriz. Ep′ = p′2/2m oldugunu kullanırsak, mdEp′ = p′dp′ ola-caktir. Dolayısıyla d3p′ = mdΩp′dEp′ olacaktır. Dirac delta fonksiyonunukullanarak Ep′ integralini alırsak

dσ

dΩ=

m

(2π)2|V (~q)|2 p

v=

m2

(2π)2|V (~q)|2 (2.74)

olacaktır. Bu sonuc, denklem 2.21 ifadesinin aynısıdır. (Bu hesapta, α,V (~r)’nin icindedir, ve ~ = 1 olarak kullanıyoruz.)

Taslak

Bolum 3

Kuantum Alan teorisine Giris:Skalar Alanlar

Simdiye kadar hep tek bir parcacıgın gelip, bir potansiyelden sacılıp, aynıparcacık olarak devam ettigi durumlari inceledik (esnek carpısma). Bunugenellestirip n parcacıgın gelip, sacıldıktan sonra yine n parcacık olarak yol-larına devam ettigi sistemlere uyarlayabiliriz. Sistemimizin dalga fonksiy-onumuzu ψ(~r1, · · · , ~rn, t) olarak yazabilirim. Buradaki her ~ri, sistemdekiparcacıgın konumunu belirtecektir. Hamiltoniyenimiz ise bu koordinatlarınvert bu koordinatlara gore turevlerin bir fonksiyonu olacaktır. Boyle birHamiltoniyen ile zamanla nasıl evrildigi belirlenen sistemdeki koordinat sayısınıdegistirmek mumkun degildir. Bir baska deyisle sistemdeki parcacık sayısısabit kalacaktır.

Oysa deneylerde, surekli parcacıkların yaratılıp yok edildiklerini goruruz.Simdiye kadarki tasvirimiz, boyle surecleri incelemek icin uygun degildir. Buyuzden alternatif bir yonteme ihtiyac duyarız. Bu yontemi anlayabilmek icinoncelikle harmonik salınıcı problemini islemciler kullanarak inceleyelin. Bubizim daha sonraki islemlerimiz icin prototip olusturacaktır.

3.1 Harmonik Salınıcı

Harmonik salınıcının Hamiltonyenini

H =P 2

2+

1

2ω2Q2 (3.1)

33

Taslak

34BOLUM 3. KUANTUM ALAN TEORISINE GIRIS: SKALAR ALANLAR

olarak yazabiliriz (kutle carpanlarını ihmal ettik). P ve Q islemciler yerineklasik nicelikler olsa idi, Hamiltoniyeni carpanlarına ayırabilirdik:

H = ω

[ω

2Q2 +

1

2ωP 2

]= ω

[√ω

2Q− i√

2ωP

] [√ω

2Q+

i√2ωP

](3.2)

Oysa P ve Q islemci oldugundan bu esitlik dogru olmayacaktır. Eger paran-tezi carpacak olursak[√

ω

2Q− i√

2ωP

] [√ω

2Q+

i√2ωP

]=

ω

2Q2 +

1

2ω− i1

2[P,Q]

= H − 1/2 (3.3)

elde ederiz. Bu durumda Hamiltoniyeni

H = ω

[√ω

2Q− i√

2ωP

] [√ω

2Q+

i√2ωP

]+ω

2(3.4)

olarak yazabiliriz. Eger a islemcisini

a ≡√ω

2Q+

i√2ωP (3.5)

olarak tanımlarsak Hamiltoniyeni

H = ω

(a†a+

1

2

)(3.6)

olarak yazabiliriz. a ve a† islemcileri ile islem yapmak icin, oncelikle bunlarınyer degistirme bagıntılarını hesaplayalım:

[a, a†

]=

[√ω

2Q+

i√2ωP,

√ω

2Q− i√

2ωP

]=

[√ω

2Q,− i√

2ωP

]+

[i√2ωP,

√ω

2Q

]= − i

2[Q,P ] +

i

2[P,Q]

= 1 (3.7)

Taslak

3.1. HARMONIK SALINICI 35

elde ederiz. Bu islemcilerin Hamiltoniyen ile de yer degistirmesini hesaplarsak:

[H, a] =[ωa†a+

ω

2, a]

= ω[a†a, a

]= ω

[a†, a

]a = −ωa (3.8)[

H, a†]

=[ωa†a+

ω

2, a†]

= ω[a†a, a†

]= ωa†

[a, a†

]= ωa† (3.9)

Sadece bu yer degistirme bagıntılarını bilerek, Hamiltonien’in oz degerlerinive oz fonksiyonlarını hesaplayabiliriz. Oz degerlerini En ile gosterelim, ve Enenerjisine sahip durumu |n〉 ile gosterelim:

H|n〉 = En|n〉 (3.10)

|n〉 durumuna [H, a] islemcisini uygulayalim. Yer degistirmenin tanımından

[H, a] |n→ = Ha|n〉 − aH|n〉= Ha|n〉 − Ena|n〉 (3.11)

elde ederiz. [H, a] = −ωa oldugunu kullanırsak

−ωa|n〉 = Ha|n〉 − Ena|n〉 =⇒ H(a|n〉) = (En − ω)(a|n〉) (3.12)

buluruz. Bir baska deyisle, eger |n〉, H’nin En ozdegerine karsılık bir du-rum ise, a|n〉, H’nin En − ω ozdegerine karsılık gelen bir durumdur. a|n〉durumuna bir kere daha a islemcisini uygularsak, En− 2ω enerjisine karsılıkgelen durumu buluruz. Eger bunu sonsuza kadar devam ettirebilirsek, eldeettigimiz durumların enerjisi −∞’a kadar gider.

Oysa 〈n|H|n〉 = En oldugunu kullanırsak,

〈n|H|n〉 = 〈n|ω(a†a+

1

2

)|n〉

= ω〈n|a†a|n〉+ω

2〈n|n〉

= ω (a|n〉)† (a|n〉) +ω

2

=⇒ En ≥ω

2(3.13)

elde ederiz, yani herhangi bir durumun alabilecegi en dusuk enerji ω2

olmalıdır.ω2

enerjisine dahip durumu |0〉 ile gosterecek olursak, bu durum

a|0〉 = 0 (3.14)

Taslak


kosulunu saglar. Enerjiyi istedigimiz kadar azaltamayacagımızdan, her |n〉durumu icin, an|n〉 = cn|0〉 olmalıdır, burada cn uygun boylamlandırma sabi-tidir. an|0〉 durumunun enerjisi, En − nω olarak da yazılabilir, dolayısıyla

En − nω =ω

2=⇒ En = ω

(n+

1

2

)(3.15)

olarak elde edilir.Benzer sekilde,

[H, a†

]= ωa† yer degisimini |n〉 durumuna uygularsak,[

H, a†]

= ωa†|n〉Ha†|n〉 − a†H|n〉 = ω

(a†|n〉

)H(a†|n〉)− Ena†|n〉 = ω

(a†|n〉

)=⇒ H(a†|n〉) = (En + ω)

(a†|n〉

)(3.16)

elde ederiz. Yani a† islemcisini |n〉 durumuna uygularsak, elde ettigimizdurum da Hamiltoniyenin bir oz durumudur ve oz degeri ω kadar artmıstır:En = ω

(n+ 1

2

)oldugunu da kullanırsak

H(a†|n〉

)= ω

((n+ 1) +

1

2

)(a†|n〉

)(3.17)

buluruz. Yani a†|n〉 = dn|n+1〉 olur, burada dn boylamlandırma sabiti olmakuzere. Boylamlandırma sabitlerini bulmak icin 〈n|H|n〉 = En = ω

(n+ 1

2

)ve[a, a†

]= 1 oldugunu kullanabiliriz.

En = 〈n|H|n〉

ω

(n+

1

2

)= ω〈n|a†a|n〉+

ω

2(3.18)

oldugunu kullanırsak

〈n|a†a|n〉 = n (3.19)

buluruz. 〈n|a†a|n〉 = |a|n〉|2 oldugundan, birime boylamlandırılmıs durumlaricin

a|n〉 =√n|n− 1〉 (3.20)

buluruz. a islemcisini tekrar tekrar uygularsak an|n〉 =√n!|0〉 elde ederiz.

Taslak

3.1. HARMONIK SALINICI 37

a†|n〉 durumunun boyunu hesaplamak icin,[a, a†

]= 1 ifadesinin |n〉 du-

rumu icin beklene degerini hesaplayabiliriz:

〈n|[a, a†

]|n〉 = 〈n|n〉 = 1

〈n|aa†|n〉 − 〈n|a†a|n〉 = 1 (3.21)

Denklem 3.19’u kullanırsak

〈n|aa†|n〉 = 1 + n (3.22)

elde ederiz. 〈n|aa†|n〉 = |a†|n〉|2 oldugundan,

a†|n〉 =√n+ 1|n+ 1〉 (3.23)

elde ederiz. Eger n = 0’dan baslayıp, n kere a† islemcisini uygularsak(a†)n |0〉 =

√n!|n〉 buluruz.

a ve a† islemcileri |n〉 durumundaki “n” sayısını bir arttırıp, bir azalttıgıicin bunlara basamak islemcileri denir: enerji durumlarını bir basamak asagıveya yukarı tasırlar.

Harmonik salınıcı ile ilgili elde ettiklerimizi ozetlersek:

1. Kesikli enerji degerleri vardır

2. a ve a† islemcileri ile bir durumun enerjisini ω kadar azaltabilir veyaarttırabiliriz

3. en dusuk enerji durumu a|0〉 = 0 denkleminden bulunabilir

4. En enerjisine sahip birim boylu durumu

|n〉 =(a†)n√n!

(3.24)

olarak yazabiliriz.

Bu ozelliklerden ozellikle harmonik salınıcıya enerjinin sabit buyukluktepaketler halinde eklenip cıkartılabiliyor olmasına dikkat ediniz.

Parcacık dedigimiz kavrama donecek olursak, bunlar, belli ozellikleri olan(kutle, elektrik yukg, vb) enerji paketlerinden baska birsey degildir. Har-monik salınıcıdaki enerji paketlerine “fonon” adını verilir. Harmonik salınıcısistemini iki farklı sekilde tasvir edebiliriz:

Taslak


1. Tek boyutta salınıp duran ve kesikli enerji seviyeleri olan bir birim kutle

veya

2. Belli sayıda fonon iceren tek bir nokta.

Birinci tasvirde, a† islemcisi salınıcının daha fazla salınmasını saglayarak sis-temin enerjisini arttırırken, ikinci tasvirde sisteme fonon ekleyerek sisteminenerjisini arttirir.

Birinci tasvirde, sistemin enerjisi ne olursa olsun tek bir salınıcı varken,ikinci tasvirde, sistemdeki fonon sayısı degisebilir.

Birinci tasvirde sistemi 1 + 1 (+1 boyut zaman olmak uzere) boyuttaSchroedinger denklemi ile tanımlarken, ikinci tasvir 0 + 1 boyutlu bir alan1

teorisidir (noktanın boyut sayısı sıfırdır).

Ikinci tasvir bize parcacık yaratıp yok etmemize olanak tanır. (Bu yuzdena ve a† islemcilerine sırasıyla yok etme ve yaratma islemcileri denir.) Bu ikincitasviri simdi genellestirip deneylerdeki parcacık yaratma/yok etme sureclerinitasvir edebilecek hale getirelim.

3.2 1 + 1 Boyutta Skalar Alanlar

Dogadaki ilgilendigimiz sistemler bir noktadan ibaret degildir. Oncelikle 0+1boyuttaki alan kuramımızı 1 + 1 boyuta genellestirelim.

Her salınıcı, alan teorisinde tek bir noktaya karsılık gelmektedir. Birdogru elde etmek icin sıralanmıs sonsuz tane alana ihtiyacimiz oldugu icin,yan yana sıralanmıs sonsuz tane salınıcı dusunelim. Her salınıcının arasındaki

Sekil 3.1: Tek boyutta salınıcılar

mesafe l olsun (daha sonra l→ 0 limitine bakacagız.) i’inci salınıcının denge

1Matematiksel tanımı olaran bir alan, cok basit sekliyle, belli bir uzaydaki her noktayamatematiksel bir nesne atayan bir fonksiyondur. Bu ornekte uzayımız tek bir noktadanolusmaktadır.

Taslak

3.2. 1 + 1 BOYUTTA SKALAR ALANLAR 39

konumundan yer degistirmesini Qi ie gosterelim. Bu sistemin Hamiltoniyeni

H = H0 +H1

H0 =∑i

(1

2P 2i +

1

2ω2Q2

i

)H1 =

∑i

1

2ω2(Qi+1 −Qi)

2)

(3.25)

olarak yazılabilir. Burada, H0 birbiri ile hic etkilesmeyen salınıcılara karsılıkgelen Hamiltoniyenken, H1 salınıcların arasındaki yaylardan kaynaklanan,birbirlerini etkilemelerini tasvir eden terimdir. Butun salınıcların birbirleriile, ve aralarındaki yayların da birbirleri ile ozdes olduklarını varsaydık. Tekbir salınıcı ornegindeki gibi burada da, her nokta icin bir fonon yaratma veyok etme islemcisini tanımlayabiliriz:

ai ≡√ω

2Qi +

i√2ωPi

a†i ≡√ω

2Qi −

i√2ωPi (3.26)

Bu durumda Hamiltoniyen’imiz

H =∑i

ω

(a†iai +

1

2

)+ J

∑i

[ai+1 + a†i+1 − ai − a

†i

]2

(3.27)

olarak yazilabilir. Burada J ≡ ω2/ω olarak tanımladık.Eger buradaki ikinci toplam (H1 kısmından gelen) olmasaydı (J = 0) sis-

tem birbirinden bagımsız salınıcılardan olusacaktı ve i’inci salınıcıdaki fononsayısını ni ile gosterecek olusak

|ni〉 =∏i

(a†i )ni

√ni!|0〉 (3.28)

durumu, enerjisi∑

i ω(ni + 1

2

)olan oz duruma karsılık gelecekti.

Oncelikle, ikinci toplamdaki terimlerin neye karsılık geldigine bakalım.t = 0’da sistemde i = i0 noktasında tek bir fonon olsun, ve bu durumu|ni0 = 1〉 olarak gosterelim:

|ni0 = 1〉 = a†i0|0〉 (3.29)

Taslak


Cok kısa δt zamanı sonra, sistemin durumu

|ψ(δt)〉 = eiHδt|ni0 = 1〉= |ni0 = 1〉+ iδtH|ni0 = 1〉 (3.30)

durumuna evrilecektir. Denklem 3.30’daki ilk terim sistemin degismemegenligini verirken, ikinci terim sistemin degisme genligini verecektir. Den-klem 3.27’yi kullanırsak, ikinci terimi

H|ni0 = 1〉 =3

2ω|ni0 = 1〉+ iδtH1|ni0 = 1〉 (3.31)

olarak yazabiliriz. Denklem 3.27’ye bakacak olursak H1 = −2J(a†i0−1ai0 +

a†i0+1ai0)+· · · olarak yazabiliriz. H1 bunlar dısında pek cok terim icermektedir,ama su anda bizi bu iki terim daha cok ilgilenmektedir. Bu islemciyi ilk du-rumumuza uygulayacak olursak, sistemin t = δt anındaki durumunu

|ψ(δt)〉 = (1 + i3

2ωδt)|ni0 = 1〉

− 2iJδt (|ni0−1 = 1〉+ |ni0+1 = 1〉) + · · · (3.32)

olarak buluruz. Burada simdilik ilgilenmedigimiz pek cok terimi · · · ilegosterdik. Ilk satır J = 0 olsaydı, sistemimizin Hamiltoniyenin bir oz durumuolmasından dolayı kazanacagı fazı gosterirken, ikinci satır, H1’den kaynaklan-maktadır. Buradaki ki duruma bakacak olursak, sistemimiz t = 0’da i0 nok-tasında tek bir fononla baslamıs olsa da, t = δt zamanından, sadece i0±1 nok-talarında tek bir fonon tasıyan bir duruma evrimlesebilecegini gosterir, yanifononumuz i0 noktasından, hemen yakınındaki noktalara hareket etmistir.Buradan da soyleyebiliriz ki, Hamiltoniyenimizin H1 kısmı, fononlarımızı tekboyutta hareketinden sorumlu olan kısımdır.

Bu modelde fononumuz (skalar parcacıgımız) sadece kesikli noktalardabulunabilir. Oysa bildigimiz kadarıyla, dogada parcacıkların bulunabildiginoktalar bir sureklilik olusturur2

Simdi, modelimizin sureklilik limitini hesaplayalım, l → 0. Onceliklebazı tanımlar yapalım. Simdiye kadar, salınıcılarımızı tam sayı degerler alan

2Bu noktaların da kesikli oldugunu dair kimi modeller vardır. Ancak simdiye kadarbunu dogrulayacak bir deneysel veri elde edilememistir. Tabiki bu, ileride yapılacak deney-lerin, su anda olcebildigimizden daha kısa mesafelerde uzay-zamanın kesikli bir yapısıoldugunu gosteremeyecegi anlamına gelmez.

Taslak


i alt simgesi ile belirttik. Ancak sureklilikteki noktaları tamsayılar ile be-lirtemeyiz. Bunun icin salınıcılarımızı i yerine i = 0 referans salınıcısındanolan x uzaklıgı ile belirtelim, yani i yerine x ↔ li kullanalım. Qi konumislemcilerimiz yerine φ(x) = Qi/

√l, x = li olmak uzere ve Pi momentum

islemcimiz yerine de Π(x) = Pi/√l alanımızı kullanalım. Bu durumda l→ 0

limitinde Qi+1 −Qi =√l(φ(x+ l)− φ(x)) '

√ll∂φ/∂x yazabiliriz. Aynı za-

mandai i’ler uzerinden toplamları da bir Riemann toplamı olarak dusunup,∑i = 1

l

∑i l→

1l

∫dx ile yer degistirebiliriz. Bu durumda denklem 3.25’deki

Hamiltoniyenimiz

H0 =

∫dx

(1

2Π(x)2 +

1

2ω2φ(x)2

)H1 =

∫dx

1

2v2

(∂φ(x)

∂x

)2

(3.33)

halini alır. Burada, v = liml→0,ω→∞ lω olarak tanımladık. Sureklilik lim-itinde, genelde Hamiltoniyen yerine Hamiltoniyen yogunlugu ile islem ya-parız:

H =

∫dxH (3.34)

ve denklem 3.33’den Hamiltoniyen yogunlugunu

H =1

2Π(x)2 +

1

2ω2φ(x)2 +

1

2v2

(∂φ(x)

∂x

)2

(3.35)

olarak yazabiliriz.Devam etmeden once, yeni tanımladıgımız Π ve φ islemcilerinin yer degistirmelerini

hesaplayalım. Kesikli durumda,

[Pi, Qj] = −i

1 i = j ise0 i 6= j ise

= −iδij (3.36)

olarak tanımlanmıstı. Π ve φ alanlarının tanımlarını kullanırsak, buradan

[Π(x), φ(x′)] = −il

1 x = x′ ise0 x 6= x′ ise

(3.37)

elde ederiz. Buna gore, l → 0 limitinde, eger x = x′ ise, [Π(x), φ(x′)] son-suz, diger durumda ise sıfırdır. Bu ozelligi saglayan bir fonksiyonumuz Dirac

Taslak


delta fonksiyonudur. l’nin sonlu oldugu durumda, x = x′ esitligini de yo-rumlamamız lazım. l’nin sonlu oldugu durumda, eger x′ (x − l/2, x + l/2)aralıgında ise, x = x′ alacagız. Bu durumda, yukaridaki ifadenin gercektenDirac delta fonksiyonu verecegini gostermek icin, su integrale bakalım:∫ ∞

−∞dx′ [Π(x), φ(x′)] =

∫ x+l/2

x−l/2dx′(−il

)= −i (3.38)

buluruz. Bir baska deyisle, [Π(x), φ(x′)] yer degistirmesi, nerdeyse heryerdesıfır, x = x′ noktasında sonsuz, ve x = x′’ı iceren herhangi bir bolgede inte-grali de −i olan bir fonksiyondur. Boylamlandırması dısında, bu ozellikler,Dirac delta fonksiyonunu tanımlayan ozelliklerdir. Dolayısıyla

[Π(x), φ(x′)] = −iδ(x− x′) (3.39)

olarak buluruz.Istersek, bu Hamiltonitenden yola cıkarak, uygun bir Schroedinger den-

klemi elde edebiliriz. Kesikli durumda, her salınıcının ye rdegistirmesi, bizimdalga fonksiyonumuzun argumani idi. Artık surekli sonsuz tane salınıcımızoldugu icin, dalga fonksiyonumuzun da surekli sonsuz argumanı olacaktır. Budurumda Dalga fonksiyonumuzu ψ [φ, t] olarak yazabiliriz. Bu dalga fonksiy-onu, belirleyecegimiz her φ fonksiyonu icin bize tek bir karmasık sayı vere-cektir. Boylamlandırmasını ise, butun olası φ fonksiyonları uzerinden mutlakkaresinin integralini bir olacak sekilde secmemiz lazım. Bu tarz fonksiy-onellerle3 daha zonra ugrasacagız. Su an icin bizi ilgilendiren daha ziyadeparcacık yorumu oldugu icin, denklem 3.34-3.35’deki Hamiltoniyeni Heisen-ber resminde inceleyelim. Bu durumda Π ve φ alanlarının zaman bagımlılıgını

∂

∂tΠ = i [H,Π(x)]

= i

∫dx′

[1

2v2

(∂φ

∂x′

)2

+1

2ω2φ2,Π(x)

]

= −∫dx′[v2 ∂φ

∂x′∂

∂x′δ(x− x′) +m2φδ(x− x′)

]∂Π

∂t= v2 ∂

2

∂x2φ−m2φ (3.40)

3Fonksiyonel: argumanı fonksiyon olan fonksiyonlar

Taslak


ve

∂

∂tφ = i

∫dx′[

1

2Π(x′), φ(x)

]=

∫dx′Π(x′)δ(x− x′)

∂φ

∂t= Π(x) (3.41)

elde ederiz. Eger denklem 3.41’i denklem 3.41’a yerlestirir isek,

∂2φ

∂t2= v2∂

2Φ

∂x2−m2φ (3.42)

elde ederiz. Bu ise, m = 0 durumunda, hızı v olan bir dalga denklemidir.Denklem 3.42’nin

φ(x, t) =

∫ ∞−∞

dk

(2π)bk(t)e

ikx (3.43)

seklinde bir cozumunu arayalım. Denklem 3.42’ye yerlestirir isek, bk(t) islemcilerinin

bk(t) = −(v2k2 +m2)bk(t) (3.44)

denklemini saglaması gerekir. Bu denklemin cozumunu

bk(t) =a†√2ωk

eiωkt +a−k√2ωk

e−iωkt (3.45)

olark yazabiliriz. Burada ωk =√v2k2 +m2 olarak tanımladık, ve 2ωk carpanlarını

daha sonra isimizi kolaylastırması icin ekledik. Ayrıca, ustellerin katsayısıolan islemcilerin birbiri ile iliskilerini φ’nin Hermitsel bir islemci, φ† = φ,olması kosulunu saglayacak sekilde sectik. Dolayısıyla φ(x, t) islemcisi

φ(x, t) =

∫ ∞−∞

dk

(2π)√

2ωk

[a†ke

i(ωkt+kx) + a−ke−i(ωkt−kx)

](3.46)

Bu cozumu, 3.34’yeki Hamiltoniyen’e yerlestirirsek,

H =

∫dk

2π

ωk2

[a†kak + aka

†k

](3.47)

elde ederiz.

Taslak


Devam etmeden once a ve a† islemcilerinin yer degistirmelerini hesaplayalım.Bunu hesaplamak icin [Π(x, t), φ(x′, t)] = −iδ(x−x′) oldugunu kullanabiliriz.Denklemler 3.41 ve 3.43’u kullanırsak,

[Π(x, t), φ(x′, t)] =

∫dk

2π

dk′

2πeikx+ik′x′

[bk(t), bk′(t)

](3.48)

elde ederiz. Bu ifadenin

−iδ(x− x′) =

∫dk

2πeik(x−x′) (3.49)

ifadesine esit olabilmesi icin[bk(t), bk′(t)

]= −i2πδ(k + k′) (3.50)

olması gerekir. Denklem 3.45’i denklem 3.50’ye yerlestirirsek

−i2πδ(k + k′) =[bk(t), bk′(t)

]=

1√4ωkωk′

[iωka

†keiωkt − iωka−ke−iωkt, a†k′e

iωk′ t + a−k′e−iωk′ t

]= i

1

2

√ωkωk′

[a†k, a

†k′

]ei(ωk+ωk′ )t − [a−k, a−k′ ] e

−i(ωk+ωk′ )t

+[a†k, a−k′

]ei(ωk−ωk′ )t −

[a−k, a

†k′

]e−i((ωk−ωk′ )t

(3.51)

elde ederiz. Son esitlikteki ilk satırdaki terimler, butun k degerleri icinωk ≥ 0 oldugu icin, zaman bagımli terimlerdir. Oysa esitligin sol tarafızamandan bagımsızdır. Dolayısıyla, bu terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır,

yani[a†k, a

†k′

]= 0 ve [a−k, a−k′ ] = 0 olmalıdır. Ikinci satırdaki terimler

ise, ωk = ωk′ kosulunu saglayacak k ve k′ degerleri dısında sıfır olmalıdır.Dolayısıyla denklem 3.51’in her t degerinde saglanması icin[

a†k, a−k′]

= −2πδ(k + k′)

=⇒[a†k, ak′

]= −2πδ(k − k′) (3.52)

olması gerekir.

Taslak

3.3. LAGRANJIYAN FORMULASYONU 45

a ve a† islemcilerinin birbirleri ile yerdegistirmelerini hesapladıktan sonra,artik Hamiltoniyen ile yer degistirmelerini hesaplayabiliriz:[

H, a†k

]=

∫ ∞−∞

dk′

2π

ωk′

2

[a†k′ak′ + ak′a

†k′ , a

†k

]=

∫ ∞−∞

dk′

2π

ωk′

2

a†k′[ak′ , a

†k

]+[ak′ , a

†k

]a†k′

=

∫ ∞−∞

dk′

2π

ωk′

2

a†k′2πδ(k − k

′) + 2πδ(k − k′)a†k′

=

∫ ∞−∞

dk′

2π

ωk′

24πδ(k − k′)a†k′

= ωka†k (3.53)

Benzer sekilde, yok etme islemcisinin Hamiltoniyen ile yer degistirmesinihesaplarsak

[H, ak] = −ωkak (3.54)

elde ederiz. Bu iki sonuc, denklemler 3.8 ve 3.9 ile aynıdır. Benzer islemleriyaparsak, a†k/ak islemcilerinin ωk enerjili bir paket(parcacık) yaratıp/yokettigini soyleyebiliriz. Denklem 3.47’ye bakacak olursak, Hamiltoniyen’inher k degeri icin birbirinden bagımsız Hamiltoniyenlerin toplamı oldugunugoruruz. Farklı k degerleri birbirlerini etkilemedigi icin, bu Hamiltoniyenbirbirleri ile etkilesmeyen parcacıkları tasvir eder.

3.3 Lagranjiyan Formulasyonu

Π vert φ lan islemcilerinin sagladıkları denklemleri biraz daha yakından in-celeyelim. Bunun icin oncelikle fonksiyonel turevleri tanımlayalım. φ(x, t)herhangi bir fonksiyon/islemci olsun. Bu fonksiyon/islemcinin φ(x′, t)’ye gorefonksiyonel turevi

δφ(x, t)

δφ(x′, t)= δ(x− x′) (3.55)

olarak tanımlanır. Bu, kesikli durumdaki

xixj

= δij (3.56)

Taslak


turevine karsılık gelir (bkz. denklem 3.36).Diger fonksiyonel turev kuralları, normal turev kurallarına benzer. Bir

ornekle gosterelim:

δH

δφ(x, t)(3.57)

turevini hesaplayalım. Denklemler 3.34 ve 3.35’i kullanırsak

δH

δφ(x, t)=

∫dx′

δHδφ(x′, t)

=

∫dx′(ω2φ(x′, t)

δφ(x′, t)

δφ(x, t)+ v2∂φ(x′, t)

∂x′δ

δφ(x, t)

∂φ(x′, t)

∂x′

)(3.58)

yazabiliriz. Burada

δ

δφ(x, t)

∂φ(x′, t)

∂x′=

∂

∂x′δφ(x′, t)

δφ(x, t)

=∂

∂x′δ(x− x′) (3.59)

denklemini kullanırsak, x′ integralini aldıgımızda denklem 3.58

δH

δφ(x, t)= ω2φ(x, t)− v2∂

2φ(x, t)

∂x2(3.60)

olur. Denklem 3.40 ile kıyasladıgımızda

∂Π(x, t)

∂t= − δH

δφ(x, t)(3.61)

olarak yazabilecegimizi goruruz.Benzer sekilde Hamiltoniyen’in Π(x, t) islemcisine gore turevini aldıgımızda

∂φ(x, t)

∂t=

δH

δφ(x, t)(3.62)

oldugu bulunur. Bu denklemler analitik mekanikteki Hamilton denklem-lerinin alan kuramındaki karsılıklarıdır.

Analitik mekanikte oldugu gibi, (kuantum) alan kuramında da Hamil-toniyen formulasyonu yerine Lagranj formulasyonuna da gecebiliriz. Hamiltonyenyogunlugundan Lagranj yogunlugunu

L = Π∂φ

∂x−H (3.63)

Taslak

3.4. PARCACIKLARIN KUANTUM MEKANIGI 47

olarak tanımlarsak

L =1

2

(∂φ

∂t

)2

− 1

2v2

(∂φ

∂x

)− 1

2ω2φ2 (3.64)

elde ederiz. Lagranjiyen yogunlugu cinsinden eylem S =∫dx∫dtH olarak

tanımlanır. Eylemin, φ’ye gore bir ektremum olması kosulundan

δLδφ(x, t)

= 0 (3.65)

Euler-Lagranj denklemleri

0 =∂

∂t

∂L∂(∂φ/∂t)

+∂

∂x

∂L∂(∂φ/∂x)

− ∂L∂φ

=∂2φ

∂t2− v2∂

2φ

∂x2+ ω2φ (3.66)

olarak elde edilir. Bu ise, daha once Hamiltoniyen formulasyonu ile eldeettigimiz denklem 3.42’nin aynısıdır. Dolayısıyla, Lagranjiyen yogunlugu daHamiltoniyen yogunlugunun icerdigi aynı bilgileri icerir.

Langranj yogunlugu ile calısmanın bize getirecegi en buyuk avantaj, son-raki bolumde de gosterecegimiz gibi, Hamiltoniyen yogunlugu, sectigimizreferans sistemine bagımlıyken, Lagranj yogunlugu bagımsızdır. Dolayısı ile,referans sisteminden bagımsız doga yasalarını tasvir etmek icin, referans sis-teminden bagımsız bir Lagranj yogunlugundan baslamak yeterlidir.

3.4 Parcacıkların Kuantum Mekanigi

Bu bolumu bitirmeden once cevabını arayacagımız son soru, acaba alanlarınyaratıkları parcacıklar icin bir dalga fonksiyonu yazacak olursak, bu nasıl birkuantum mekaniksel denklemi saglar?

Bu soruya cevap verebilmek icin, oncelikle yarattıgımız parcacıklar icinuygun bir dalga fonksiyonu tanımlayalım. Tek parcacık iceren bir durumyaratalım. En genel boyle bir durumu

|ψ〉 =

∫dk

(2π)√

2ωkϕ(k)a†k|0〉 (3.67)

Taslak


olarak yazabiliriz. Bu durumun zaman gelisimini Hamiltoniyeni kullanarakyazarsak

|ψ(t)〉 = eiHt|ψ〉

=

∫dk

(2π)√

2ωkeiωktϕ(k)a†k|0〉 (3.68)

olarak elde ederiz. Burada eiHta†k = eiωkta†keiHt oldugunu kullandık. Burada

|0〉 hic parcacık icermeyen temel durumdur. φ(x) alanını iki kısma ayıralım:

φ(x) = φ+(x) + φ−(x)

φ+(x) ≡∫

dk

(2π)√

2ωkeikxa†k

φ−(x) ≡∫

dk

(2π)√

2ωkeikxak (3.69)

Bir baska deyisle, sadece yaratma(yok etme) islemcilerini iceren kısımlarınaayıralım. Buradaki islemcileri Schroedinger resminde yazdık, cunku istedigimizdalga fonksiyonunun zaman bagımlı olması. Ters fourier donusumu yaparsak

ak =

∫dx√

2ωke−ikxφ+(x) (3.70)

elde ederiz. Dolayısıyla, parcacıgımızın durumunu

|ψ(t)〉 =

∫dxψ(x, t)φ+(x)|0〉 (3.71)

olarak da yazabiliriz. Burada ψ(x, t), ϕ(x, t)’nin Fourier donusumudur:

ψ(x, t) =

∫dk

2πϕ(k)e−i(kx+ωkt) (3.72)

φ+(x) islemcisi kesik durumdaki a†i islemcisine karsılık gelir (a†i ’dan farkliboylamlandırılmıstır.). Nasıl ki ai islemcisini i noktasında bir parcacık yaratanbir islemci olarak tanımladıysak, φ+(x)’de x noktasında bir parcacık yaratır.Bu durumda

φ+(x)|0〉 = |x〉 (3.73)

Taslak

3.4. PARCACIKLARIN KUANTUM MEKANIGI 49

olarak gosterirsek,

|ψ(t)〉 =

∫dxψ(x, t)|x〉 (3.74)

olarak yazabiliriz. Buradan da gorulebilecegi uzere ψ(x, t), |ψ(t)〉 duru-mundaki bir parcacıgın x noktasında bulunma olasılık genligini verir, birbaska deyisle, parcacıgımızın dalga fonksiyonudur. Denklem 3.72 ise, φ(x, t)alanının sagladıgı denklem 3.42’nin en genel cozumudur. Buradan cıkaracagımızsonuc, Heisenber resminde alanların sagladıgı denklem ile, bu alanların yarattıgıparcacıkların dalga fonksiyonlarının Schroedinger resmine sagladıkları den-klem aynıdır. Dolayısıyla, Schroedinger resminde tek parcacık denklemininne olması gerektigini belirledigimizde, kuantum alan teorimizde Heisenbergresminde alanların sagladıgı denklemi ve dolayısıyla Lagranj yogunlugumuzuda belirlemis oluruz.

Taslak


Taslak

Bolum 4

Uzay Zaman Simetrileri ve TekParcacık Denklemleri

Bir onceki bolumde, tek parcacıgun sagladıgı denklemi biliyorsak, bununkuantum alanının da sagladıgı denklemle aynı oldugunu gormustuk. Bu den-klemi biliyorsak, buna karsılık gelen Lagranj yogunlugunu da elde edebiliriz.

Simetriler biza olası tek parcacık denklemlerini (ve dolayısıyla Lagranjyogunluklarını) yazmakta yardımcı olurlar. Daha sonra etkilesimli alan-ları inceledigimizde, olası etkilesimlerin de ne oldugunu soyleyecekler. Bubolumde oncelikle uzay zaman simetrilerini ve bu simetrilerle utatrlı onemlitek parcacık denklemlerini inceleyecegiz.

4.1 Uzay Zaman simetrileri

Dogayı modellemek icin, oncelikle zamanı ve uzunlukları olcebilmemiz gerekir.Bunun icin zaman ve uzay’da oncelikle bir referans noktası seceriz, ve bu nok-taya (genellikle) t = 0 anı ve ~r = 0 konumu deriz. Bundan sonra ise, bu nok-tadan gecen eksenlerimizi belirleriz. Bu nokta ve eksenlerin secimi tamamenkeyfidir, ve doga yasaların bizim bu secimimizden bagımsız olmalıdır.

Bu konum ve zaman eksenleri bizim referans sistemimizi olustururlar.Farzedelimk,, bir referans sistemi R sectik. Bu referans sisteminde herhangibir P olayının konum ve zamanın koordinatlarını (x, y, z, t) olarak gosterelim.Bu sisteme karsılık gelen dalga fonksiyonumuzu da ψ(x, y, z, t) ile gosterelim.Bu dalga fonksiyonunun sagladıgı denklemi

D(∂t, ∂x, ∂y, ∂z;x, y, z, t)ψ(x, y, z, t) = 0 (4.1)

51

Taslak

52BOLUM 4. UZAY ZAMAN SIMETRILERI VE TEK PARCACIK DENKLEMLERI

olarak yazabiliriz. Burada ∂X = ∂∂X

, X = x, y, z, veya t olmak uzere, olarakgosterdik.

R referans sistemi yerine, bir baska bir R′ referans sistemi de secilebilirdi.Bu yeni referans sisteminde P olayınının koordinatları (x′, y′, z′, t′) olsun. Buiki koordinat aynı noktayı belirledigi icin, bunların arasında bir iliski olmakzorundadır: x′µ = x′µ(x) 1 Hangi referans sistemini kullanırsak kullanalım,dalga fonksiyonunun degeri sadece hangi noktaya baktıgımıza baglı olacaktır.Eger R referans sisteminda dalga fonksiyonunu Ψ(x), ve R′ referans siste-mindeki dalga fonksiyonunu da Ψ′(x′) olarak yazarsak, bu durumda

Ψ′(x′) = ΛΨ(x) (4.2)

olacaktır. Buradaki x ve x′ aynı P olayının farklı referans sistemlerindekikoordinatlarıdır. Buradaki Λ, dalga fonksiyonunun niteligine baglı olan birifadedir. Eger dalga fonksiyonumuzun degerleri sadece sayılar ise, bu du-rumda Λ = 1 olacaktır. Doga yasaları sectigimiz referans sisteminden bagımsızolacagı icin, R′ referans sisteminde Ψ′(x′)’in saglayacagı denklem de:

D(∂′µ;x′)ψ′(x′) = 0 (4.3)

olacaktır. Denklem 4.3’deki D fonksiyonu ile denklem 4.1’deki D fonksiy-onunun aynı olduguna dikkat edin. Eger x → x′ ve ψ → ψ′ donusumlerialtında, bir denklem degismiyor ise denklemimiz bu donusumler altında “degismez”;eger denklemin iki tarafı da aynı sekilde degisiyor ise, bu tur degisimleraltında ise denkleme “esdegisen” (kovaryant) denklem denir. Doga yasalarınıbelirleyen denklemler “esdegismez” veya “degismez” olmalıdır. Daha oncede blirttigimiz gibi, bu tarz denklemleri elde etmek icin, bu denklemlerindegismez bir Lagranj yogunlugundan elde edilmesi yeterlidir: Eger

L(ψ, ∂µψ, x) = L(ψ′, ∂′µψ′, x′) (4.4)

ise, dogal olarak ψ ve ψ′’in sagladıkları denklemler de aynı olacaktır.

Simdi, bazı onemli simetrileri ve tek parcacık denklemlerine ne gibi sınırlamalargetirdiklerini inceleyelim.

1Burada kullandıgımız notasyonda x0 = t x1 = x, x2 = y ve x3 = z olaraktanımlanmıstır. Ayrıca, x′µ(x) nun argumanındaki x, (x, y, z, t) koordinatlarının hepsinekarsılık gelmektedir.

Taslak

4.1. UZAY ZAMAN SIMETRILERI 53

4.1.1 Oteleme Simetrisi

Referans sistemimizi secerken, referans noktamızı uzayda istedigimiz noktadasecebiliriz. Eger R′ referans sistemindeki referans noktamızın konumu, Rreferans sisteminde ~a vektoru ile gosteriliyorsa, genel bir P olayımızın bu ikireferans sistemindeki koordinatları arasında

xi = x′i + ai, i = 1, 2, 3

x0 = x′0 (4.5)

olarak yazılabilir. Dalga fonksiyonunun iki referans sistemindeki ifadeleriarasında ise ψ′(x′i, t′) = ψ(xi, t) = ψ(x′i+ai, t′) seklinde bir bagıntı yazılabilir.Eger ψ(x′i + ai, t′) ifadesini, a′i uzerinden bir Taylor acılımı seklinde yazacakolursak:

ψ(x′i + ai, t′) = ψ(x′, t′) + ai∂′iψ(x′i, t′) +1

2aiaj∂′i∂

′jψ(x′i, t′) + · · ·

=

[1 + ~a · ~∇′ + 1

2(~a · ~∇′)2 + · · ·

)]ψ(x′i, t′)

=∞∑n=0

(~a · ~∇′)n

n!ψ(x′i, t′)

≡ e~a·∇′ψ(x′i, t′) = ei~a·~pψ(x′i, t′) (4.6)

olarak yazabiliriz. Bu sonucu denklem 4.3’un sol tarafına yerlestirirsek,

D(∂′i, ∂t, x′i, t)ψ′(x′i, t′) = D(∂′i, ∂t, x

′i, t)ei~a·~pψ(x′i, t′)

=ei~a·~pD(∂′i, ∂t, x

′i, t) +[D(∂′i, ∂t, x

′i, t), ei~a·~p]

ψ(x′i, t′)

=[D(∂′i, ∂t, x

′i, t), ei~a·~p]ψ(x′i, t′) (4.7)

elde ederiz. Ozellikle cok kısa ~a vektorleri icin,[D(∂′i, ∂t, x

′i, t), ei~a·~p]ψ′(x′i, t′)

~a→~0→ iaj[D(∂′i, ∂t, x

′i, t), pj]ψ(x′, t′) (4.8)

elde ederiz (Burada j’nin olası bgtgn deegerleri uzerinden, acıkca yazılmamısbir toplam vardır). Butun olası ai vektorleri icin, bu ifadenin sıfıra esit olmasıicin, butun j degerleri icin[

D(∂′i, ∂t, x′i, t), pj

]ψ(x′, t′) = 0 (4.9)

Taslak


olmalıdır. Bu esitligin saglanabilmesi icin,[D(∂′i, ∂t, x

′i, t), pj]

= FjD(∂′i, ∂t, x′i, t) (4.10)

olmasi yeterlidir. Buradaki Fj belirlememiz gereken bir islemcidir, ve turevve/veya koordinatlara baglı olabilir. Fizikte karsımıza cikan neredeyse butundenklemler sonlu sayıda turev icerirler. D(∂′i, ∂t, x

′i, t) islemcisinde en fazlaturev iceren terim, n tane turev icersin. Dolayısıyla, [D(∂′i, ∂t, x

′i, t), pj] yerdegistirmesi de n tane turev icerecektir. Eger Fj islemcisi, turev icerecekolsaydi, FjD(∂′i, ∂t, x

′i, t) islemcisinde, en fazla turev iceren terim n’den fazlaturev icerecekti, ve bu sebepten denklem 4.10’un iki tarafının birbirine esitolma ihtimali olmayacaktı. Dolayısıyla, Fj islemcisi turev iceremez.

[xj, pi] iδij = i∂xj∂xi

oldugunu kullanarak,

[D(∂′i, ∂t, x

′i, t), pj]

= i∂D(∂′i, ∂t, x

′i, t)

∂xj(4.11)

olarak yazabiliriz. Bu ifadeyi denklem 4.10’a yerlestirecek olursak,

i∂D(∂′i, ∂t, x

′i, t)

∂xj= FjD(∂′i, ∂t, x

′i, t) (4.12)

elde ederiz. Bu denklemin cozumunu

D(∂′i, ∂′t, x′i, t′) = e−i

∫dx′jFjD(∂′i, ∂

′t, t) (4.13)

olarak yazabiliriz. Dolayısıyla, dalga fonksiyonumuzun saglayacagı denklem

e−i∫dx′jFjD(∂′i, ∂

′t, t′)ψ(x′i, t′) = 0 (4.14)

seklinde yazılabilir. Bu denklemin iki tarafını da ei∫dx′jFj ile carpacak olur-

sak, dalga fonksiyonumuzun

D(∂′i, ∂′t, t′)ψ(x′i, t′) = 0 (4.15)

denklemini saglaması gerektigini buluruz. Buradaki D(∂′i, ∂′t, t′) islemcisinin

acıkca konumun koordinatlarını icermedigine dikkat ediniz. Buraya kadargosterdigimiz, eger sistemimizde oteleme simetrisi varsa, dalga fonksiyonu-muzun, mutlaka, konumu acıkca icermeyen bir denklem saglaması gerektigidir.

Simdiye kadar konumda oteleme simetrisini inceledik. Ama, t = 0 za-manı olarak tanımladıgımız noktanın secimi de tamamen keyfidir, ve istersek,

Taslak


bunu da farkli sectigimiz bir referans sisteminde de hesapl yapabiliriz. Budurumda, iki referans sistemi arasındaki koordinatlar ve dalga fonksiyonlarıarasındaki bagıntı:

xi = x′i

t = t′ + t0

ψ′(x′i, t′) = ψ(xi, t) = ψ(x′i, t−t0) (4.16)

olacaktır. Uzaydaki oteleme simetrisindeki islemleri, bu sefer zamanda otelemeicin tekrarlayacak olursak, bu sefer dalga fonksiyonunu sagladıgı denkleminacıkca zamana baglı olamayacagını gosteririz. Dolayısıyla, sistemimizin uzayve zamanda oteleme simetrisi varsa, dalga fonksiyonumuz mutlaka

D(∂µ)ψ(x) = 0 (4.17)

seklinde bir denklemi saglamak zorundadır.

4.1.2 Donme Simetrisi

Uzayda referans noktamızı sectikten sonra, x, y ve z eksenlerimizi istedigimizyonde uzatabiliriz: x ekseninini herhangi bir yon seceriz, sonra y exsenini, xeksenine dik herhangi bir yon olarak belirlersek, x ve y’ye dik bir z eksenininsadece iki yonde secebiliriz: z = ±x× y. Burada, genelde + isaret secilir vebu koordinat sistemine sag elli koordinat sistemi denir. Bu sekilde herhangibir R koordinat sistemi secelim. Bir baska R′ koordinat sistemini, mesela, Rkoordinat sistemini, z ekseni etrafında saatin tersi yonde θ kadar dondererektanımlayabiliriz. Dalga foknisyonumuzun sagladıgı denklem her iki referanssisteminde de aynı olmalıdır.

Dalga fonksiyonumuzun sagladıgı denklemin ozelliklerini incelemeden budonme islemini biraz daha yakından inceleyelim. Herhangi bir ~V vektorumuzolsun. Bu vektoru R ve R′ koordinat sistemlerindeki bilesenlerini

Vi = ~V · xi (4.18)

V ′i = ~V · x′i (4.19)

olarak yazabiliriz. Her ne kadar bilesenlerin degerleri iki referans sistemindefarklı olsa da, ikisi de aynı vektoru gostermektedir, ve ~V vektorunu iki refer-ans sisteminde

~V = Vixi (4.20)

~V = V ′i x′i (4.21)

Taslak


olarak yazabiliriz. Denklem 4.19’a, denklem 4.20’yi yerlestirirsek

V ′i = Vjxj · x′i

≡ ΛijVj (4.22)

elde ederiz, Buradaki Λ matrisini acıkca

Λ =

x′ · x x′ · y x′ · zy′ · x y′ · y y′ · zz′ · x z′ · y z′ · z

(4.23)

olarak yazabiliriz. z ekseni etrafında θ acısı kadar donderme ornegimizedonelim. Bu durumda

x · x′ = y · y′ = cos θ

x · y′ = cos(π

2+ θ)

= − sin θ

y · x′ = cos(π

2− θ)

= sin θ

z · z′ = 1 z · x′ = z · y′ = z′ · x = z′ · y = 0 (4.24)

Bu donmeye karsılık gelen matrisi Λz(θ) olarak gosterirsek

Λz(θ) =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 0

(4.25)

olarak yazabiliriz.θ 1 ise, θ mertebesine kadar cos θ ' 1 ve sin θ = θ yazarsak,

Λz(θ) ' 1 + iθΣz (4.26)

olarak yazabiliriz, burada

Σz =

0 −i 0i 0 00 0 0

(4.27)

olarak tanımladık.Herhangi bir θ donmesini, daha kucuk θ/N acılı N tane donmeyi arka

arkaya uygulayarak da elde edebiliriz:

Λz(θ) = Λz

(θ

N

)N(4.28)

Taslak


Buraad N herhangi bir tamsayı olabilir.N → ∞ iken, θ/N 1 olacagından, bu durumda denklem 4.26’yi kul-

lanırsak:

Λz(θ) = limN→∞

Λz

(θ

N

)N= lim

N→∞

(1 + i

θ

NΣz

)N= eiθΣz (4.29)

olacaktır.z ekseni etrafındaki donmeler yerine, x ve y ekseni etrafındaki donmeleri

de benzer sekilde incelersek, ikisini de denklem 4.29’a benzer sekilde yazabil-iriz. Bu donmelere karsılık gelen Σx ve Σy matrisleri

Σx =

0 0 00 0 −i0 i 0

(4.30)

ve

Σy =

0 0 i0 0 0−i 0 0

(4.31)

olarak tanımlanır. Denklemler 4.27, 4.30, ve 4.31’deki matris elemanlarının[Σi,Σj] = iεijkΣk denklemini sagladıgı matrisler carpılarak gosterilebilir. Buifade so(3) (veya su(2)) cebrinin yaratıcılarını tanımlar.

Donmeler altında degismeyen denklemleri bulmadan once, dalga fonsiyon-larımızın nasıl degistigine bakalım. Dalga fonksiyonumuzun aldıgı degerlerinsayılar oldugunu varsayalım. R′ referans sistemindeki konum bilesenlerimizi,R referans sistemindeki konum bilesenlerine denklem 4.22 ile iliskilendirebiliriz.R′ referans sistemindeki dalga fonksiyonumuzu, R referans sistemindeki dalgafonksiyonumuz cinsinden

ψ′(x′i, t′) = ψ(xi, t) ≡ ψ((Λ−1)ijxj, t′) (4.32)

olarak yazabiliriz. Yine, ornek olması acısından, z ekseni etrafında θ acısıkadar bir donmeyi ele alalım. Bu durumda

x′ = x cos θ + y sin θ

y′ = y cos θ − x cos θ

z′ = z (4.33)

Taslak


olarak yazabiliriz. Bu denklemleri x ve y icin cozecek olursak

x = x′ cos θ − y′ sin θy = y′ cos θ + x′ cos θ

z = z′ (4.34)

elde ederiz2

Yine oncelikle cok kucuk bir donme acısı icin donmeleri inceleyecek olur-saki

ψ′(x′, y′, z′, t′) ' ψ(x′ − y′θ, y′ + x′θ, z′, t′)

' ψ(x′, y′, z′)− θy′ ∂∂x′

ψ(x′, y′, z′, t′) + θx′∂

∂y′ψ(x′, y′, z′, t′) + · · ·

'[1 + iθ

(iy′

∂

∂x′− ix′ ∂

∂y′

)+ · · ·

]ψ(x′, y′, z′, t′) (4.35)

elde ederiz. Yine, sonlu bir θ acısı ile donmeyi, N defa, θ/N acısı kadardonme olarak yazıp, N →∞ limitini alacak olursak

ψ′(x′, y′, z′, t′) = eiθLzψ(x′, y′, z′, t′) (4.36)

buluruz. Buradaki Lz, kuantum mekanikten bildiginiz z yonundeki acısalmomentuma karsılık gelen islemcidir:

Lz = (~r × ~p)z = xpy − ypx = −ix ∂∂y

+ iy∂

∂x(4.37)

Acısal momentum islemcisinin farklı bilesenlerinin de Σi’ler gibi aynı [Li, Lj] =iεijkLk yer degistirme cebini sagladıgına dikkat ediniz.

Artık, donme simetrisi altında degismeyen denklemlerimize bakabiliriz.Denklem 4.36, oteleme simetrisi icin elde ettigimiz denklem 4.6’nın donmelericin olan analogudur. Bu durumda denklem 4.17’deki D(∂i, ∂t) islemcisi iletanımlanan denklemin, donmeler altında degismemesi icin

[D(∂i, ∂t), Lj] = RjD(∂i, ∂t) (4.38)

esitligini saglaması gerekir. Burada Lj islemcisi, acısal momentum islemcisinini bilesenidir, veRj ise, bilmedigimiz sabitlerdir. Rj islemcisi oteleme simetrisinde

2Denklem 4.34, denklem 4.33’ten, θ → −θ yazılarak elde edilebilir.

Taslak


oldugu gibi, yine turev islemcisini iceremez, ve denklem 4.38’deki yer degistirmeninsonucu konum islemcisini de iceremeyecegi icin, calRj islemcileri konum islemcisinide iceremez. DolayısıylaRj islemcileri sayı olmak zorundadır3. Rj sayılarınınbir baska ozelligini bulmak icin, yer degistirmelerinin saglama zorunda olduk-ları Jacobi ozdesligini

[[A,B] , C] + [[B,C] , A] + [[C,A] , B]

kullanabiliriz. Eger A = D(∂i, ∂t), B = Lj, C = Lk secersek,

0 = [[D(∂i, ∂t), Lj] , Lk] + [[Lj, Lk] ,D(∂i, ∂t)] + [[Lk,D(∂i, ∂t)] , Lj]

= [RjD(∂i, ∂t), Lk] + iεjkm [Lm,D(∂i, ∂t)]− [RkD(∂i, ∂t), Lj]]

= RjRkD(∂i, ∂t)−RkRjD(∂i, ∂t)− iεijmRmD(∂i, ∂t) (4.39)

olması gerektigini buluruz. Ri’ler sayısal sabitler oldugu icin, ilk iki terimbirbirini sadelestirir ve εijmRm = 0 elde ederiz. Her olası i ve j degeri icin buesitligin saglanabilmesi icin Rm = 0 olmalıdır. Dolayısıyla, D(∂i, ∂t) islemcisiiler belirlenen dalga denkleminin, donmeler altında simetrik olabilmesi icin

[D(∂i, ∂t), Lj] = 0 (4.40)

olmalıdır.

Denklem 4.40’ı hesaplamadan once D fonksiyonunun argumanları olan∂t ve ∂i ile Lj’nin yer degistirmelerini hesaplayalım. Lj sadece konum vekonuma gorev turev icerdiginden ve bu ikisi de zamana kore turevle yerdegistirebildiginden [Lj, ∂t] = 0 olacaktır. [∂j, Li] yer degistirmesine bakacakolursak:

[∂j, Li] = [∂j, (~r × ~p)i]= −i [∂j, εilmxl∂m]

= −iεilm [∂j, xl]

= −iεilmδjl∂m= −iεijm∂m (4.41)

3Islemleri kolaylastırmak icin, dalga fonksiyonumuzun sayı olmasına ek olarak D(∂i, ∂t)islemcisinin de bir vektor, matris veya daha ust dereceden bir tensor olmadıgını varsaydık.Bu varsayımlar altında sadece donmeler altında degismez denklemleri bulabiliriz.

Taslak


buluruz. Bunu kullanarak iki turev iceren bir islemcinin, Li ile yer degismesinide hesaplayalım:

[∂i∂j, Lk] = ∂i [∂j, Lk] + [∂i, Lk] ∂j

= ∂iiεjkl∂l + iεikl∂l∂j

= iεjkl∂i∂l + iεikl∂j∂l (4.42)

Eger iki tarafı da δij ile carparsak,[∂2j , Li

]= 0 (4.43)

elde ederiz. Dolayısıyla, eger, denklem 4.17’deki D(∂µ) islemcisi sadece ∂t ve∂2j ≡ ∇2 islemcilerinden olusuyor ise, denklem 4.40’ı saglayacaktır. Boylece

skalar bir fonksiyonun saglaması gereken en genel oteleme ve donme simetri-lerine sahip denklemin

D(∂t,∇2)ψ(xi, t) = 0 (4.44)

oldugunu gostermis olduk. D islemcisinı eger

D(∂t,∇2) = −i∂t −∇2

2m(4.45)

olarak sececek olursak, Schroedinger denklemini elde ederiz.Donme simetrisini kullanarak, tek boyutta elde ettigimiz denklem 3.42’yi

uc boyuta genellestirebiliriz. Donme simetrisinin bize soyledigi, differansiyeldenklemlerde ∂x islemcisinin hic bir zaman tek basına gelemeyecegi, her za-man icin ∂2

x + ∂2y + ∂3

z = ∇2 seklinde gelmesi gerektigi. Dolayısıyla, denklem3.42’nin uc boyuta donme simetrik bir sekilde genellestirilmis halini

∂2φ

∂t2= v2∇2φ−m2φ (4.46)

olarak yazabiliriz. Bu denklem

D(∂t,∇2) =∂2

∂t2− v2∇2 +m2 (4.47)

islemcisine karsılık gelir.Donme simetrisini incelemeyi bitirmeden once, bu sonuclarımızi baska bir

yontemle elde edelim. Bir vektorun referans sisteminden bagımsız olarak bir

Taslak


matematiksel nesne olarak var olması, farklı referans sistemlerindeki bilesenlerinindegerleri arsında

V ′i = ΛijVj (4.48)

seklinde bir iliskinin olmasını gerektirmisti. Bunu tersinden de yorumlayabil-iriz: eger bir nesnenin bilesenleri, referans sitemimizi degistirdigimizde, den-klem 4.48’de gosterildigi sekilde degisiyor ise, o nesne, referans sistemindenbagımsız olarak tanımlanabilen bir vektordur. Bu ozelligi geneestirmemizmumkundur: Ti1i2···in olarak gosterdigimiz bir gurup nesnemiz olsun. Egerreferans sistemimizi degistirdigimiz zaman, bu nesneler

T ′i1i2···in = Λi1j1Λi2j2 · · ·ΛinjnTj1j2···jn (4.49)

seklinde degisiyorsa, bu nesneleri referans sisteminden bagımsız olarak vardırve bunlara n. dereceden tensorler denir. (Ikinci derece tensorlere bir ornek

Tij = ViVj olarak verebiliriz, burada Vi, ~V vektorunun bilesenleridir.) Vek-tirler birinci derece tensorlerdir, skalarlar (sayılar) sıfırınca dereceden den-klemlerdir.

Eger bir esitligin iki tarafı da n. derece bir tensor ise, esitlik her refer-ans sisteminde dogrudur. Doga yasalarının her referans sisteminde aynıgorunmesi icin, tensor esitlikler seklinde yazılabiliyor olması gerekir.

Dalga fonksiyonumuz ψ her referans sisteminde var olan bir nesnedir. Rreferans sisteminde dalga fonksiyonumuzun aldıgı degerleri ψ(x) ile gosterelim,ve her x olayı icin bir sayı olsun, yani ψ(x) skalar bir alan olsun. R referanssisteminde

~∇ψ(x) =∂ψ

∂xx+

∂ψ

∂yy +

∂ψ

∂zz (4.50)

ifadesini ele alalım. ∂iψ(x) ifadesinin R′ referans sistemindeki ∂′iψ′(x′) ile

nasıl iliskilendirebilecegimize bakalım. Donmalere baktıgımız icin

x′i = Λijxj (4.51)

olarak yzabiliriz. Bu durumda

∂′iψ′(x′) =

∂ψ′(x′)

∂x′i=∂xj

∂x′i∂ψ(x)

∂xj=(Λ−1

)ji∂iψi(x) (4.52)

Taslak


elde ederiz. Λ matrisinin acık ifadesinden Λ−1 = ΛT oldugu gosterilebilir.Dolayısıyla

∂′iψ′ = Λij∂iψ (4.53)

olacaktır. Bu bagıntı ise, vektorleri tanımlayan denklem 4.48 ile aynıdır.Dolayısıyla ~∇ψ ifadesi, referans sisteminden bagımsız olarak var olan birvektordur. ~∇ψ ifadesini semboluk olarak ~∇ vektoru ile ψ sayısının carpımıolarak dusunebiliriz. Bir vektorler bir sayının carpımı nasıl bir vektor veriyorise bu carpımda bize bir vektor verir. Iki vektorun skalar carpımı donmeleraltında degismez oldugundan, ~∇ vektoru ile ~∇ψ vektorunun carpımı, ~∇ ·~∇ψ ≡ ∇2ψ da donmeler altında degismez. ∂t islemi de donmelerden etk-ilenmedigi icin, bu islemciye de skalar diyebiliriz. Skalarlardan olusmus her-hangi bir denklem de yine skalar oldugu icin, donmeler altında degismeyenen genel dogrusal denklemin denklem 4.44’de verilen ifade oldugu gorulebilir.Dogrusal olma kosulunu kaldırırsak, bu denkleme (~∇ψ) ·(~∇ψ), ψ∇2ψ, (~∇ψ) ·(∇2 ~ψφ), v.b. gibi daha pek cok terim ekleyebiliriz.

Bu bakıs acısıyla, vektor alanların saglayabilecegi dereken denklemler,de yazabiliriz. Bu denklemler, referans sistemi donmeleri altında degismezolabilirler:

D(∂t,∇2)~∇ · ~V = 0 (4.54)

veya, vektorel denklemler olabilirler:

D0(∂t)~V +DT (∂t,∇2)~∇(~∇ · ~V ) = 0 (4.55)

veya daha genes n. mertebeden tensor denklemler olabilir. Sakalar denklem-ler disindaki tensorel denklemlerin her iki tarafı da referans sistemi donmelerialtında degisirler, dolayısıyla degismez degillerdir. Ancak iki taraf ta aynısekilde degisecegi icin, esitlik her referans sisteminde gecerlidir, yani bu den-klemler esdegisen (kovaryant) denklemlerdir.

4.1.3 Lorentz Simetrisi

Simdiye kadar R ve R′ gibi iki referans sistemi aldıgımızda, bu iki refer-ans sisteminin orijinlerinin birbirlerine gore hareketsiz olduklarını varsaydık.Oysa gorelilik kuramının bize soyledigine gore, birbirlerine gore sabit hızla gi-den butun referans sistemleri birbirlerine denktir, ve dolayısıyla, bu referanssistemlerinde yazılan doga yasaları da aynı gorunmelidir.

Taslak


Einstein’ın ozel gorelilik kuramunda da gosterdigi gibi, eger R ve R′ refer-ans sistemleri birbirlerine gore x-yonunde v hızı ile hareket ediyorsa, ve Polayı bu referans sistemlerinde sırasıyla xµ ve x′µ uzay-zaman koordinatlarıile gosteriliyorsa, bu iki koordinat sistemini birbirine

t′ = γ(t− vx)

x′ = γ(x− vt)y′ = y

z′ = z (4.56)

olarak iliskilidir. Denklem 4.56’da ısık hızını bir aldık, c = 1, γ = 1√1−v2

olarak tanımladık. Matrislerle yazmak istersek,

Λ =

γ −vγ 0 0−vγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(4.57)

olarak tanımlarsak, x′µ = Λµνx

ν olarak yazabiliriz (birinci sembolu yukarıdaikinci sembolu asagıda yazdıgımıza dikkat edin).

Denklem 4.57’deki matrisi,

v = tanh η (4.58)

seklinde bir η tanımlayarak, donme matrislerine benzer bir hale getirebiliriz.Bu donusum altında γ = cosh η ve vγ = sinh η oldugunu kullanırsak

Λη =

cosh η − sinh η 0 0− sinh η cosh η 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(4.59)

olarak yazılabilir. η parantezinin bir avantazı da Λη1Λη2 = Λeta1+η2 olmasıdır.Cok dusuk hızlarda, v ' η 1 icin,

Λη =

1 −η 0 0−η 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= 1 + iηKx (4.60)

Taslak


olarak yazarsak, x-yonundeki boostların yaratıcısını

Kx =

0 i 0 0i 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(4.61)

olarak buluruz. Bu yaratıcı cinsiden, sonlu bir η icin, Λη matrisini

Λη = eiηKx (4.62)

olarak yazabiliriz. Benzer sekilde, y ve z yonundeki boostlara bakacak olur-sak,

Ky =

0 0 i 00 0 0 0i 0 0 00 0 0 0

(4.63)

ve

Kz =

0 0 0 i0 0 0 00 0 0 0i 0 0 0

(4.64)

elde ederiz. Eger bu matrislerin yer degistirmelerini hesaplayacak olursak,genel olarak

[Ki, Kj] = −iεijkΣk (4.65)

olarak bulunur. Buradaki Σk matrisleri, denklemler 4.27, 4.30 ve 4.31’detanımlanmıstır. Son olarak, K matrisleri ile Σ matrislerinin de yer degistirmelerinihesaplayacak olursak

[Ki,Σj] = iεijkKk (4.66)

olarak buluruz. K matrisleri ile Σ matrisleri arasındaki onemli bir farkınΣ† = Σ oldugu halde K† = −K olmasıdır.

Taslak


Simdi de skalar fonksiyonların boostlar altında nasil degistigine bakalım.Yine once η 1 durumunu inceleyelim. Bu durumda, denklem 4.56’dakiifadeleri t, x, y ve z icin cozersek,

t = t′ + ηx′

x = x′ + ηt′

y = y′

z = z′ (4.67)

elde ederiz. Yeni referans sistemindeki dalga fonksiyonu, eksi referans siste-mindeki dalga fonksiyonuna

ψ′(x′, y′, z′, t′) = ψ(x, y, z, t)

sekliden baglı olacagindan denklem 4.67’deki sonucları kullanırsak

ψ′(x′, y′, z′, t′) = ψ(x′ + ηt′, y′, z,t′ + ηx′)

= ψ(x′, y′, z′, t′) + η

(t′∂

∂x′+ x′

∂

∂t′

)ψ(x′, y′, z′, t′)

=

[1 + η

(t′∂

∂x′+ x′

∂

∂t′

)]ψ(x′, y′, z′, t′) (4.68)

olacaktir. Yine sonlı bir η’ya karsılık gelen donusumu, N →∞ iken, η/N ’likN tane donusum olarak yazarsak,

ψ′(x′) = eη(t′ ∂∂x′+x

′ ∂∂t′ )ψ(x′) ≡ eiηKxψ(x′) (4.69)

olarak yazabiliriz. Burada sonucumuzu denklem 4.36’ya benzetebilmek icin

Kx = −it′ ∂∂x′− ix′ ∂

∂t′(4.70)

olarak tanımladık. Benzer sekilde, diger yonlerdeki boostları icin de

Ki = −it′ ∂∂x′i− ix′i

∂

∂t′(4.71)

olarak tanımlayabiliriz.Eger

Σµν = ixµ∂

∂xν− ixν

∂

∂xµ(4.72)

Taslak


islemcisini tanımlarsak, Σi ve Ki islemcilerini,

Ki = Σi0

Li =1

2εijkΣjk (4.73)

olarak yazabiliriz.Denklem 4.56’daki ifadeleri kullanarak

t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = t2 − x2 − y2 − z2 (4.74)

oldugunu gosterilebilir. Eger (t, x, y, z) ≡ (x0, x1, x2, x3) dortlusune, x dortvektor’unun bilesenleri olarak bakarsak, ve herhangi iki dort vektorun skalercarpımı’nı V1 · V2 = V 0

1 V0

2 − V 11 V

12 − V 2

2 V2

2 − V 31 V

32 olarak tanımlarsak,

Lorentz donusumleri, 4 vektorlerini skaler carpımlarını degistirmezler. Ikidort vektorun skaler carpımlarını daha basit yazabilmek icin gµν = diag(1,−1,−1,−1)olacak sekilde metrigi tanımlarsak, dort vektorlerin carpımını

V1V2 = gµνVµ

1 Vν

2 (4.75)

olarak yazabiliriz.Uc boyutlu vektorlerde oldugu gibi, dort boyutlu vektorleri de, Lorentz

donusumleri altında V ′µ = ΛµνV

ν seklinde donusen nicelikleri dort vektorolarak tanımlayacagız. Daha belirgin olarak, bu sekilde degisen vektorlerekovaryant vektor diyecegiz.

Lorent donusumleri altında denklem 4.75’da tanımlanan skaler carpımındegismemesi icin

V1V2 = gµνVµ

1 Vν

2 → gµνV′µ

1 V ′ν2 = gµνΛµµ′Λ

νν′V

µ′

1 V ν′

2 = gµ′ν′Vµ′

1 V ν′

2 (4.76)

olabilmesi icin Λ matrislerinin

gµνΛµµ′Λ

νν′ = gµ′ν′ (4.77)

esitligini saglaması gerekir. Denklem 4.57’de tanımlanan Λ matrisi bu ifadeyisaglar. g metriginin tersinin matris elemanlarını (g−1)µν ≡ gµν olarak gosterelim.

Ayrıca, Λ matrisinden yeni bir matrisi elemanları Λ νµ ≡ gµµ′g

νν′Λµ′

ν′ ola-cak sekilde tanımlayalım (yeni matrisin birinci sembolunu asagıda, ikincisembolunu yukarıda yazdıgımıza dikkat ediniz). Bu tanımlaraı kullanarak,denklem 4.77’i gν

′α ile carparsak

Λµµ′Λ

αµ = δαµ′ (4.78)

Taslak


elde ederiz. Buradan da gorebilecegimiz uzere, yeni tanımladıgımız Λ νµ ma-

trisi aslında Λµν matrisinin tersidir.

Herhangi bir V µ kovaryant vektorune karsılık genel kontravaryant vektoru

Vµ = gµνVν (4.79)

olarak tanımlayalım. V µ vektorunun bilesenlerini V µ = (V 0, ~V ) ile gosterirsek,

kontravaryant vektorun bilesenleri Vµ = (V 0,−~V ) olur. Bu vektorun Lorentzdonusumu altında nasıl degistigine bakacak olursak,

Vµ → V ′µ = gµνVν

= gµνΛνν′V

ν′

= gµνΛβα g

ναgβν′Vν′

= Λ βα δ

αµVβ

= Λ βµ Vβ (4.80)

elde ederiz. Buradan da gorecegimiz gibi, kontravaryant vektorler, referanssistemi donusumu altında, Λ matrisi ile degil, Λ−1 matrisi ile donusurler.

Simdi de ∂/∂xµ islemcisinin nasıl donustugune bakalım:

∂

∂xµ→ ∂

∂x′µ=∂xα

∂x′µ∂

∂xα(4.81)

olacaktır. Koordinat donusumunu

x′α = Λµνx′ν (4.82)

olarak tanımlamıstık. Iki tarafı da Λ αµ ile carparsak

xα = λ αµ x′µ (4.83)

elde ederiz. Bu ifadenin x′ν ’ye gore turevini alırsak:

∂xα

∂x′ν=

∂

∂x′νΛ αµ x′µ

= Λ αµ

∂x′µ

∂x′ν

= Λ αµ δ

µν = Λ α

ν (4.84)

Taslak


elde ederiz. Dolayısıyla, denklem 4.84’i denklem 4.81’e yerlestirirsek, birLorentz donusumu altında,

∂

∂xµ→ Λ α

µ

∂

∂xα(4.85)

oldugunu buluruz. Bu da bize, ∂∂xµ

islemcisinin, bir kontravaryant vektor gibidavrandıgını gosterir.

∂∂xµ

= ∂µ ile gosterir ise, bilesenleri ∂µ = (∂t,∇) olarak yazılabilir. Karsılıkgelen kovaryant dort vektor ise ∂µ = gµν∂ν = (∂t,−∇) bilesenlerine sahiptir.Dort vektorlerin skalar carpımlarının Lorentz donusumleri altında degismediginikullanırsak, gµν∂µ∂ν = gµν∂

µ∂ν = ∂µ∂µ = ∂2t −∇2 ≡ islemcisinin Lorentz

donusumleri altında degismedigini soyleyebiliriz. Bu bilgiyi kullanırsak, skalaralanlar icin, dogrusal Lorentz degismez denklemlerin en genel halinin

D()φ = 0 (4.86)

olması gerektigini hemen soyleyebiliriz.

4.2 Tek Parcacık Denklemleri

4.2.1 Schroedinger Denklemi

En bilinen kuantum mekaniksel dalga denklemi belki de Schroedinger Den-klemidir:

i∂

∂tφ− 1

2m∇2φ = 0 (4.87)

(Herhangi bir potensiyel terimi oteleme simetrisini bozacagından eklenmemistir).Bu denklemi elde etmek icin kullanabilecegimiz Lagranj yogunlugu

L = φ∗(i∂

∂t

)φ−

(i∂

∂tφ∗)φ+

1

2m(~∇φ∗) · (~∇φ) (4.88)

Bu Langranj yogunlugundan φ ve φ∗ icin hareket denklemini elde ederken, φve φ∗ alanalarının birbirinden bagımsız alanlar oldugunu dusunerek bunlaragore turev alınmalıdır.

Taslak

4.2. TEK PARCACIK DENKLEMLERI 69

4.2.2 Klein-Gordon Denklemi

Scroedinger denklemi bariz bir sekilde Lorentz donusumleri altında degismezdegildir. Bu cok sasırtıcı bir sonuc degildir, cunku Scroedinger denklemiserbest parcacıgın enerji ve momentumu arasında

E =~p2

2m(4.89)

bagıntısını verir. Oysa ozel gorelilik kuramı, bize, bir parcacıgın enerjisi vemomentumu arsaındaki bagıntının

E2 = ~p2 +m2 (4.90)

oldugunu soyler. Bu esitligi sagdan dalga fonksiyonumuzla carpar, ve en-erji yerine enerji islemcisini, momentum yerine de momentum islemcisiniyerlestirirsek

( +m2)φ = 0 (4.91)

denklemini elde ederiz. Bu denkleme Klein-Gordon denklemi denir. Bu den-klemi veren Klein-Gordon Lagranj yogunlugu

L = (∂µφ∗)(∂µφ) +m2φ∗φ (4.92)

olarak yazılabilir. Eger φ skalar alanı reel bir skalar alan ise, yani φ∗ = φ, budurumda Lagranj yogunlugu 1

2ile carpılır.

4.2.3 Dirac Denklemi

Scroedinger denkleminden Dirac denklemine gecerken, onemli bi degisiklik,artık denklemimimzin zamana gore turevler cinsinden birinci derece degil,ikinci derece bir denklem olmasıdır. Kavramsal olarak bu rahatsız edici birdurumdur: dusuk hızlarda, dalga denklemimiz zamana gore birinci derecebir denklemi saglar, dolayısıyla, zamana gore birinci turevi, dalga fonksiy-onunun kendisi tarafından belirlenmistir. Oysa, zamana gore ikinci derece birdenklemde, dalga fonksiyonunun zamana gore birinci turevi dalga fonksiyonutarafından belirlenmemistir, bagımsızdır. Ikinci ve daha yuksek mertebedenturevler, fonksiyonun kendisi ve turevi tarafından belirlenmistir.

Taslak


Bu sıkıntıdan kurtulmak icin, Dirac zaman ve konuma gore birinci derece-den bir denklem yazmayı denedi. Bu denklemi elde etmek icin, farz edelimki, dalga fonksiyonumuz

(∂t + ~α · ~∇+ βm)ψ = 0 (4.93)

denklemini saglasın. ~α ve β belirlememiz gereken sabitler olsun. Goreli enerjimomentum bagıntımızdan, ψ fonksiyonu

(∂2t −∇2 +m2)ψ = 0 (4.94)

denklemini de saglamak zorundadır. Denklem 4.93’yi ∂t − ~α − βm islemcisiile carpalım:

(∂t − ~α− βm)(∂t + ~α · ~∇+ βm)ψ =[∂2t − (~α · ~∇+ βm)2

]ψ

=

[∂2t −

1

2(αiαj + αjαi)∂i∂j −m(αiβ + βαi)∂i − β2m2

]ψ(4.95)

elde ederiz. Buradaki ψ dalga fonsiyonunu carpan islemcinin, −m2 islemcisineesit olabilmesi icin

αiαj + αjαi = 2δij

αiβ + βαi = 0

β2 = −1 (4.96)

olmasi gerekir. Ilk iki denklem bize αi ve β’nın sayı olamayacagını ve matrisolmaları gerektigini gosterir.

Oncelikle daha basit olan m = 0 durumuna bakalım. Bu durumda βmatrisine ihtiyac yoktur.

αi, αj = 2δij (4.97)

kosulunu saglayan 3 matrise ihtiyacımız vardır. Bu matrislerin bir kac ozellikleriniyukarıdaki bagıntıdan elde edebiliriz: α2

1 = α22 = α2

3 = 1 oldugu icin, butunαi matrislerinin oz degerleri ±1 olmalıdır. αi matrislerinin izlerine bakacakolursak:

Iz(α1) = Iz(α1α22)

= Iz(α2α1α2)

= Iz(−α1α2α2)

= −Iz(α1) (4.98)

Taslak


elde ederiz. Burada, ilk esitlikte α22 = 14 oldugunu, ikinci esitlikte, iz

isleminin IzAB = IzBA ozelligini, ve ucuncu esitlikte de α1α2 = −α2α1

olmasını kullandık. α1 matrisinin izi, kendi eksilisine esit oldugundan, bu izsıfır olmalıdır. Benzer sekilde, diger α matrislerinin de izleri sıfır olmalıdır.Oz degerleri asdece +1 veya −1 olan bir matrisin, izinin sıfır olmasının tekyolu, o matrisin oz degerlerinde −1 kadar +1 bulunmasıdır. Dolayısıyla, αimatrislerinin boyutları cift olmalıdır. Olası en kucuk boyutlu α matrisleri ikiboyutludur. Eger Pauli sigma matrislerini

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)(4.99)

olarak tanımlarsak, αi matrisleri icin iki ayrı cozum yazabiliriz: αi = ±σi.Dolayısıyla, kutlesiz bir parcacık

(∂t − ~σ · ∇)ψ− = 0 (4.100)

veya

(∂t + ~σ · ∇)ψ+ = 0 (4.101)

denklemini saglamalıdır. Buradaki ψ± dalga fonksiyonlarına iki bilesenlispinorler denir.

Bu denklemlerin, belirli enerji ve momentuma sahip cozumlerini arayalım:ψ± = eipxu±. Bu cozumleri yukarıdaki denklemlere yerlestirirsek

(E ∓ ~σ · ~p)u± = 0 (4.102)

elde ederiz. Bu denklemlerin u± = 0’dan farklı cozumlerinin olabilmesi icin

det(E ∓ ~σ · ~p) = 0

=⇒ det

(E ± p3 p1 ∓ ip2

p1 ± ip2 E ∓ p3

)= E2 − p3

3 − p21 − p2

2 = 0 (4.103)

esitliginin saglanması gerekir. Dolayısıyla, bu dalga fonksiyonu ile temsiledilen parcacıklarda, olması gerektigi gibi, denklem 4.90’teki goreli enerjimomentum bagıntısını saglar.

4Burada α2 matrisi yerine α3 matrisini de kullanabilirdir. Onemli olan α1’den farklıbir α matrisi kullanmaktır.

Taslak


Simdi, bu cozumlerin donmeler altında nasıl davrandıklarına bakalım.Denklem 4.36’da, skalar degerler alan bir fonksiyonun donmeler altında nasıldegistigini gorduk. Spinorler soz konusu oldugunda ise, genel olarak donmeleraltındaki degisimizi

ψ′±(x′) = ei~θ·~Lτψ±(x′) (4.104)

olarak yazalım. Bu ifade ~θ vektorunun etrafında, θ ≡ |~θ| acısı kadar donmeyekasılık gelir. Skalar fonksiyon durumunda τ = 1 idi, oysa burada ψ spinorununbirden fazla bileseni oldugu icin, donmeler altında bu bilesenler de karısabilir.Bu degisimi de τ matrisi ile gosteriyoruz.

Denklem 4.100 ve 4.101’in, donmeden sonra da aynı sekilde kalmasıniistersek, ve denklem 4.104’i kullanırsak,

(∂′t ± ~σ · ~∇′)ψ′±(x′) = (∂′t ± ~σ · ~∇′)ei~θ·~Lτψ±(x′) = 0 (4.105) denk4.89

elde ederiz. Daha onceleri de surekli yaptıgımız gibi, yine cok kucuk bir acıyladonme durumuna bakalım. θ = 0 oldugunda, hic bir degisim olmayacagı icinτ = 1 olacaktır. τ ’nun θ = 0 etrafındaki seri acılımını

τ = 1 + iθkSk (4.106)

seklinde yazalım. Bu ifadeyi denklem 4.105’a yerlestirip, ustel ifadenin deseri acılımın yazarsak

0 = (∂′t ± ~σ · ~∇′)(1 + iθlLl)(1 + iθkSk)ψ±(x′)

= (∂′t ± ~σ · ~∇′)ψ±(x′) + iθl(∂′t ± ~σ · ~∇′)(Ll + Sl)ψ±(x′)

= (∂′t ± ~σ · ~∇′)ψ±(x′) + iθl(Ll + Sl)(∂′t ± ~σ · ~∇′)ψ±(x′) + i[∂′t ± ~σ · ~∇′, Ll + Sl

]ψ±(x′)(4.107)

elde ederiz. ψ±, denklem 4.100-4.101’i sagladıgı icin buradaki ilk iki terimsıfır olacaktır. Son terimin de sıfır olması icin[

∂′t ± ~σ · ~∇′, Ll + Sl]

= 0 (4.108) denk4.92

olması yeterlidir. Sl, sayılardan olusan bir matris oldugundan, turev islemcileriile yer degistirir, ama σ matrisleri ile yer degistiremez. Ll islemcisi ise σ ma-trisleri ile yer degistirir, turev ile yer degistiremez. Dolayısıyla, denklem4.108’deki yer degistirmeyi[

∂′t ± ~σ · ~∇′, Ll + Sl]

= ±[σi∂′i, L

l + Sl]

= ±σi[∂′i, L

l]±[σi, Sl

]∂′i (4.109)

Taslak


olarak yazabiliriz. Denklem 4.41’i kullanırsak,[∂′t ± ~σ · ~∇′, Ll + Sl

]= ±iσiεilm∂m ±

[σi, Sl

]∂′i

= ±(−iεmliσi +

[σm, Sl

])∂′m (4.110)

Bu sonucun denklem 4.108’yi saglaması icin Sl matrislerinin[σm, Sl

]= iεmliσ

i (4.111)

denkelmini saglaması gerekir. σ matrislerinin denklem 4.99’teki acık ifadelerinikullanarak, bu matrislerin [

σi, σj]

= 2iεijkσl (4.112)

ozdesligini sagladıgını gosterebiliriz. Dolayısıyla, denklem 4.111’i saglayan Sl

matrislerini

Sl =σl

2(4.113)

olarak yazabiliriz. Boylece, sonlu bir donme icin, denklem 4.104’de tanımlanaτ matrisini

τ = eiθk σk

2 (4.114)

olarak buluruz. Ozellikle 2π lik bir donme altında, τ = −1 olduguna vedolayısıyla tam bir tur donmenin altında spinorlerin bir eksi isaret kazandıklarınadikkat ediniz.

Spinorlerin donmeler altında nasıl davrandıklarını bulduktan sonra, simdide boostlar altında nasıl degistiklerine bakalım. Her zaman yaptıgımız gibiyine cok kucuk bir donusum alalım: η 1. Bu donusum altında spinorlerimizin

ψ± → ψ′(x′) ≡[1 + iηk(Kk + Kk)

]ψ±(x′) (4.115)

seklinde donustugunu varsayalım. Burada Kk islemcileri, skalar fonksiyon-larida da karsımıza cıkan denklem 4.73’de tanımlana islemcilerdir. Kk ise,spinorlerin ozelliklerinden kaynaklı, olası 2x2’lik matrislerdir. Simdi bul-mamız gereken bu matrislerin ne olduklarıdır. ψ′± spinorlerinin saglamasınibekledigimiz denklem (

∂′t ∓ ~σ · ~∇′)ψ′(x′) = 0 (4.116)

Taslak


olur. Denklem 4.115’deki ifadeyi yerlestirir isek

0 =(∂′t ∓ ~σ · ~∇′

)(1 + iηk(Kk + Kk)

)ψ±(x′)

=[partial′t ∓ ~σ · ~∇′, 1 + iηk(Kk + Kk)

]ψ±(x′)

+(

1 + iηk(Kk + Kk))(

∂′t ∓ ~σ · ~∇′)ψ±(x′)

=[partial′t ∓ ~σ · ~∇′, 1 + iηk(Kk + Kk)

]ψ±(x′) (4.117)

elde ederiz. Simdi, buradaki yerdegistirmeyi hesaplayalım. Kk’ların acıkifadelerinden (denklem 4.71)[

∂′t, Kk]

= −i∂k[∂i, K

k]

= −iδki ∂′t (4.118)

elde ederiz. Buradan[∂′t ∓ σi∂i, Kk, Kk

]=

[∂′t, K

k]∓ σi

[∂i, K

i]∓[σi, Kk

]∂i

= −i∂k ∓ σi(−iδki ∂0

)∓[σi, Kk

]∂i

= −i(∂k ∓ σk∂0

)∓[σi, Kk

]∂i (4.119)

elde ederiz. Bu sonucu denklem 4.117’ye yerlestirip, Dirac denkleminden,∂0ψ± = ±σi∂iψ± oldugunu kullanırsak,

0 = iηk−i[∂k − σkσi∂i

]∓[σi, Kk

]∂i

ψ±

= iηk−i(δik − σkσi

)∓[σi, Kk

]∂iψ± (4.120)

elde ederiz. Bu denklemin saglanması icin[Kk, σi

]= ±i

(δik − σkσi

)(4.121)

olması yeterlidir. Burada σiσj + σjσi = 2δij oldugunu bullanirsak, Kk’larınsaglaması gereken denklem olarak[

Kk, σi]

=

[± i

2σk, σi

](4.122)

Taslak


elde ederiz. Buradan da Kk matrislerinin

Kk = ± i2σk (4.123)

olarak elde ederiz. Buradaki onemli bir nokta, ψ+ icin olan Kk ile, ψ−icin olan Kk matrislerinin farklı olmasıdır. Eger dort bilesenli spinorlerleugrasıyor olsaydık, onlara karsılık gelen Kk matrisleri

Kk =i

2

(σk 0

0− σk)

(4.124)

olacaktır.

Bu kısmı bitirmeden once, kutleli parcacıklar icin Dirac denklemine bakalım.Bu durumda denklem 4.96’i saglayan bir dorduncu matris bulmamız gerekir.Ancak, α’ları σ matrisleri olarak alırsak, denklem 4.96’i saglayan 2x2’likbir dorduncu matris yoktur. Dolayısıyla bu durumda en az 4x4’luk α ve βmatrisleri aramamız lazım. α ve β matrislerimiz 4x4 matrisler oldugundanspinorumuzun de dort bileseni olması lazım. 4x4 matrisler ve dort bilesenlispinorlerle ugrasmak yerine, 2x2 matris ve iki bilesenli spinorlerle ugrasmayıdevam edebiliriz. Bunun icin dort bilesenli spinorumuzu

ψ =

(ψ1

ψ2

)(4.125)

olarak tanımlayalım, burada ψ1 ve ψ2 iki bilesenli spinorlerdir. Kutleli parcacıklaricin Dirac denklemimizi(

∂t − ~σ · ~∇)ψ1 +mψ2 = 0(

∂t + ~σ · ~∇)ψ2 −mψ1 = 0 (4.126)

olarak yazalım. Bunun dogru enerji momentum bagıntısını verdigini gostermekicin, bu denklemlerin cozumu olan ψ1 ve ψ2’nin denklem 4.94’i sagladıgınıgostermemiz yeterlidir. Bunun icin, denklem 4.126’deki ikinci denklemi ψ1

icin cozersek

ψ1 =1

m

(∂t + ~σ · ~∇

)ψ2 (4.127)

Taslak


elde ederiz. Bu ifadeyi, denklem 4.126’deki birinci denkleme yerlestirir isek,ψ2 icin

0 =(∂t − ~σ · ~∇

) 1

m

(∂t + ~σ · ~∇

)ψ2 +mψ2

=1

m

(∂2t −∇2

)ψ2 +mψ2

=1

m

( +m2

)ψ2 (4.128)

elde ederiz. Bu ise, genel bir carpan dısında, denklem 4.91’in aynısıdır. Ben-zer sekilde, denklem 4.126’deki birinci denklemi ψ2 icin cozup, ikinci den-kleme yerlestirirsek, ψ1’in de aynı denklemi sagladıgını gosteririz.

Denklem 4.126’deki iki denklemi istersek[(1 00 1

)∂t +

(−~σ 00 ~σ

)· ~∇+m

(0 1−1 0

)](ψ1

ψ2

)= 0 (4.129)

seklinde 4x4 matrisler cinsinden tek bir denklem olarak da yazabiliriz. Bu-radan, α ve β matrislerinin

~α =

(−~σ 00 ~σ

)β =

(0 1−1 0

)(4.130)

olarak yazılabilecegini gorebiliriz. Bu matrislerin denklem 4.96’deki ozelliklerisahip olduguna dikkat ediniz. Cogunlukla, Dirac denklemini yazmak icin, αve β matrisleri yerine

γ0 = β

γi = βαi (4.131)

olacak sekilde, dort γ matrisi tanımlarız. Denklem 4.129’un iki tarafını da βmatrisi ile carparsak, denklem 4.129(

γ0∂0 + γi∂i −m)ψ = 0 (4.132)

halini alır. γµ = (γ0, γi) olarak tanımlarsak, bu denklem cogu zaman

(γµ∂µ −m)ψ ≡ (6∂ −m)ψ = 0 (4.133)

Taslak


olarak yazılır. Burada, herhangi bir V µ dort vektoru icin, 6V = γµVµ tanımınıkullandık. Denklem 4.130 ve denklem 4.131 ifadelerini kullanırsak, γµ ma-trislerinin acık ifadesini

γ0 =

(0 1−1 0

)γi =

(0 σσ 0

)(4.134)

olarak elde ederiz.

4.2.4 Donme Simetrisi ve Spin

Bu bolumun sonunda, spin kavramını tanımlayalım. Denklem 4.36’da skalardegerler alan bir parcacıgın dalga fonksiyonunu donmeler altında

ψ′(x′, y′, z′, t′) = eiθkLkψ(x′, y′, z′, t′) (4.135)

seklinde degistigini gorduk. Bir onceki kısımda da, denklemler 4.104 ve4.125’da iki bilesenli bir spinorun

ψ′(x′) = eiθk(Lk+σk

2

)ψ(x′) (4.136)

seklinde donustugunu gosterdik. Bunu dort boyutlu bir spinore genellestiririsek,

ψ′(x′) = eiθk(Lk+Σk)ψ(x′) (4.137)

elde ederiz. Buradaki Σk matrisleri

Σk =1

2

(σk 00 σk

)(4.138)

olarak tanımlanmıstır. Ve son olarak, eger dalga fonksiyonumuzun degerleri,vektor ise, o zaman denklem 4.36’ya ek olarak, bilesenlerini de denklem4.22’yi kullanarak degistirmemiz gerekir ki bu islemin sonunda,

~V ′(x′) = eiθk(Lk+Σk)~V (x′) (4.139)

Taslak


elde ederiz. Denklem 4.139’teki Σk matrisleri, denklem 4.138’dekiler degil,denklemler 4.27, 4.30 ve 4.31 ile verilenlerdir. Denklemler 4.135-4.137 ve4.139 ifadelerinin hepsini toplu olarak

ϕ′(x′) = eiθk(Sk+Lk)ϕ(x′) (4.140)

olarak yazabiliriz. ϕ dalga fonksiyonunun ozelligine, dolayısıyla onun temsilettigi parcacıgın ozelligine gore, spin islemcisi denen Sk matrisleri, farklıifadeler alabilir. Biz burada sadece skalarlar, spinorler ve vektorler icinhangi degerleri aldıgını gorduk, daha fazla bileseni olan dalga fonksiyonlarınada genellestirilebilirler. Skalarlar icin Sk = 0 oldugundan, skalarlar spin-0parcacıklardır. Spinorler icin, ister iki bilesenli, ister dort bilesenli olsun, Sk

matrislerinin herhangi birinin oz degerleri ±12

oldugundan, spinorlerle temsiledilen parcacıklar spin-1

2parcacıklardır, ve iki farklı durumda bulunabilirler.

Vektor dalga fonksiyonlari ile temsil edilen parcacıklar icin Sk matrislerininoz degerlerini hesaplarsak, bunların oz degerlerinin de±1, 0 oldukları gorulur.Dolayısıyla, bu parcacıklar spin-1 parcacıklardır ve uc farklı durumda bulun-abilirler.

4.3 Ugulamalar

1. Denklemler 4.64 ve 4.64’de gosterilen Ky ve Kz matrislerini hesaplayın.

2. Denklemler 4.64 ve 4.65’de yazılan

[Ki, Kj] = −iεijkΣk

[Ki,Σj] = iεijkKk (4.141)

esitliklerinin dogru oldugunu gosterin.

3. ψ†+ψ− ve ψ†mψ+ carpımlarının skalar olduklarını, yani donmeler ve boost-lar altında degismediklerini gosterin.

4. (ψ†±ψ±, ψ†±σ

iψ±) dortlusunun bir dort vektor olusturdugunu gosterin.

5. ψ dort bilesenli spinoru icin, Dirac eslenigini ψ = ψ†γ0 olarak tanımlayın.

(a) ψψ

(b) ψγµψ

Taslak

4.3. UGULAMALAR 79

ifadelerinin sırasıyla bir skalar ve dort vektor olduklarını gosterin.

6. Eger ψ spinoru, (i 6∂−m)ψ denklemini saglıyorsa, ψ spinorunun ψ(−i←6∂

−m) = 0 denklemini sagladıgını gosterin. (ψ←6∂≡ (∂µψ)γµ)

7. Metinde tanımlanan γµ matrisleri icin γµ† = γ0γµγ0 oldugunu gosterin.

Taslak


Taslak

Bolum 5

Serbest AlanlarınKuantizasyonu

81

Taslak

82 BOLUM 5. SERBEST ALANLARIN KUANTIZASYONU

TaslakEkler

83

Taslak

Taslak

Ekler A

Green Fonksiyonunun Hesabı

ek1Green fonksiyonu denklem 2.12 denklemini saglar:

(H0 − E0)G(~r) = −4πδ3(~r) (A.1)

Bu denklemi Fourier donusumleri kullanarak cozmeye calısalım. Green fonksiy-onunun ve Dirac delta fonksiyonunun Fourier gosterimlerini

G(~r) =

∫d3k′

(2π)3ei~k′·~rG(~k′)

δ3(~r) =

∫d3k′

(2π)3ei~k′·~r (A.2)

kullanırsak, A.1 denklemi∫d3k′

(2π)3(E − E0)G(~k′) = −4π

∫d3k′

(2π)3ei~k′·~r (A.3)

elde ederiz, burada E = ~2k′22m

olarak tanımladık. Bu denklemin cozumunu

G(~k′) = − 4π

E − E0

(A.4)

olarak buluruz. Ters fourier donisimi yaparsak, Green fonksiyonunu bir in-tegral olarak

G(~r) = −4π

∫d3k′

(2π)3

ei~k′·~r

E − E0

= −8πm

~2

∫d3k′

(2π)3

ei~k′·~r

k′2 − k2(A.5)

85

Taslak

86 EKLER A. GREEN FONKSIYONUNUN HESABI

seklinde yazabiliriz. z ekseninin ~r dogrultusunda secersek, ve integrali kureselkoordinatlarda yazacak olursak

G(~r) = − m

π2~2

∫ ∞0

dk′k′2∫ 1

−1

d cos θ

∫ 2π

0

dφeik′r cos θ

k′2 − k2

= − 2m

π~2

∫ ∞0

dk′k′2

k′2 − k2

eik′r − e−ik′r

ik′r

= i2m

π~2

1

r

∫ ∞−∞

dk′eik′r k′

k′2 − k2(A.6)

olarak yazabiliriz. k′ integralini almaya calısırsak, bir problemle karsılasırız:integral alınan k′ bolgesi icerisinde, integralı alınan ifade iki noktada ıraksar:k′ = ±k. Green fonksiyonunu hesaplayabilmek icin bu tekilliklerde, inte-grali nasıl alacagımızı belirlememiz lazım. Bunun icin karmasık integral almayontemlerinden faydalanabiliriz. k′’nu karmasık bir sayı olarak dusunursek,yukarıdaki integral karmasık duzlemde reel eksen uzerinde alınan cizgi inte-gralidir. Integrali alınana ifadenin iki tekilligi de reel eksen uzerindedir. Butekillikleri karmasık duzlemde sonsuz kucuk miktarda, reel eksenin ustuneveya altına kaydırabiliriz. Toplam dort olasılıgın her biri A.1 denklemininfarklı cozumlerini verecektir. Bu cozumlerin her biri farklı sınır kosullarısaglayacagından sadece bir tanesi belirledigimiz sınır kosuluna uyacaktır.

Karmasık integrasyon yontemlerinden rezidu kuramını kullanmak istersek,oncelikle integralimizin kapalı bir cizgi uzerinden olması gerekmektedir. Bununicin k′ integralini −∞’den +∞’ye aldıktan sonra, buna Im(k′) > 0 ola-cak sekilde, sonsuzdaki yari cember uzerinden kapatabiliriz. Bu yarı cemberuzerinde, r > 0 oldugu icin, eik

′r → 0 olacaktır. Dolayısıyla, bu yarı cemberuzerinden aldıgımız integral sıfır olacaktır. Dolayısıyla∫ ∞

−∞dk′eik

′r k′

k′2 − k2=

∮dk′eik

′r k′

k′2 − k2(A.7)

Rezidu kuramına gore, karmasık duzlemde kapalı bir cizgi uzerinden alınanbir integralin degeri kapalı egrinin icinde kalan tekilliklerdeki rezidulerintoplamının 2πi katıdır. Oncelikle k′ = ±k’daki reziduleri hesaplayalım:

R± = limk′→±k

(k′ − (±k))eik′r k′

k′2 − k2

=e±ikr

2(A.8)

Taslak

87

Bu durumda, sadece k′ = +k’daki rezidu dısarı dogru genisleyen bir kureseldalga verir. Bu durumda k′ = +k daki tekilligi reel eksenin sonsuz az mik-tarda ustune, k′ = −k’daki tekilligi ise reel eksenin sonsuz az miktarda altınaitmemiz gerekir. Bunu k′2 − k2 yerine k′2 − k2 − i0+ yazarak saglayabiliriz.Bu durumda Green fonksiyonumuz

G(~r) = i2m

π~2

1

r

∮dk′eik

′r k′

k′2 − k2 − i0+

= i2m

π~2

1

r2πi

eikr

2

= −2m

~2

eikr

r(A.9)

olarak bulunur.

parçacık fiziğine giriş

Documents