2.3.3. Parçacık yayınlanma hızı Bir b parçacığının bir n- exciton durumundaki bileşik

sisteminden yayınlanma hızı yani birim zamanda yayınlanma olasılığı;

Wb ( n,E,)=

İle verilir. Burada Sb, ve b sırasıyla yayınlanan parçacığın spinini, indirgenmiş kütlesi ve nükleon sayısıdır. E ve U bileşik çekirdeğin ve kalan çekirdeğin uyarılma enerjileridir ve U = E-b - B’dir. Burada b yayınlanan parçacığın enerjisidir. B, yayınlanan b parçacığın bağlanma enerjisidir. ters reaksiyon tesir kesitidir. Qb(p,h) ise, proton, nötron parçacıklarını birbirinden ayırt edebilme çarpanıdır.

),(),,(

),()(

2321 hpQ

Ehp

hUbp

h

sb

tersbbb

b

(2.7)

)( btersb

I ) Qb (p,h)=1, n > n ve n > 20 ( 2.8.1)

II ) Qb ( p,h) =

Şeklindedir. denge durumundaki en muhtemel exciton sayısıdır. Rb(p)

Çarpımını ise, uyarılmış durum yoğunluğunun bir tür fermiyon için yani yalnız proton veya nötron için kullanılmasına olanak verir.

ile tanımlıdır. Rb (p, p) parçacıklı bir grup içinde pb

parçacığının yayınlanan parçacığı oluşturacak nötron ve proton sayılarının doğru birleştirmelerini verme olasılığıdır. [Cline 1973]

!

!

2 Pbx

N

AA bb

Vb

n

b

b

ia

b

aippi

app

i

b

P

p

pp

A

N

A

Z

i

pp

pR

a

1

0)(

(2.8.2)

(2.8.3)

Burada p= giriş kanalına ait proton + nötron sayısı, Pb= , çıkış kanalına ait proton + nötron sayısıdır ve N,Z ve A sırasıyla nötron proton ve çekirdeğin kütle numarasıdır.

Eğer a= b ise Rb (p) = 1 ( 2.9.a)

a≠b ise Rb (p) = 1 (2.9.b)

a,b sırasıyla giriş ve çıkış kanalındaki herhangi bir parçacıktır.

aa bb

2.3.4. Alfa yayınlanma hızı

Alfa parçacığı yayınlanma hızı [ Machner et al 1981]

(2,10) bağıntısı ile hesaplanır. Burada (p,h) çarpanı,

Qb(p,h) çarpanının genelleştirilmiş hali olup seviyesi üzerindeki parçacık ile Fermi düzeyi altındaki m parçacığın giden parçacığı oluşturma olasılığını verir.

() ise, enerjinin fonksiyonu olarak alfa parçacığının oluşma ihtimalini verir.

),,(

),,1(),()()(

12),,( 41

ImIm

3/2 Ehp

EhphpQF

h

SnEW m

bl

bters

b

ImQ

ImF

2.3.5. Gamma yayınlama hızı Gamma yayınlanma olasılığı Wb( E,n, b) nükleon

yayınlanma hızına benzer bir biçimde “ Ayrıntılı denge ilkesi kullanılarak çıkarılır. [ Blan et al 1972 Akkermans et al 1985] Bir n exciton durumundaki bir çekirdeğin b

enerjili bir foton yayınlanma hızı;

(2,11)

bağıntısı ile verilir. Burada ters reaksiyon tesir kesintisinin ilk ve son exction durumlar arasındaki enerji farkına bağlı olduğu varsayılır. Burada (p,h,E) E uyarılma enerjili n inci exciton durumunun durum yoğunluğudur; b( k n,) katsayıları dallanma oranıdır.

Ters reaksiyon tesir kesitinin hesaplanmasında yalnızca GDR ( Giant Dipolar Resonance ) katkısı gözönüne alınır . [ Sato et al 1983, Zhang Jıng Shang , Oblozınsky,1988]

),,(

),,(),()(

1),,( 2

232 Ehp

Uhpnkb

chnEW k

h

bters

bb

)( bres

2.3.6. Toplam parçacık yayınlanma hızıWt (,n) toplam parçacık yayınlanma hızı ( 2,7)

eşitliğinin izinli parçacık enerji aralığı içinde integralin alınarak, olası tüm parçacık türleri üzerinden toplanması ile elde edilir.

(2.12)

İle verilir.

bbbb

dnEWb ),,( n)E, ( W max,

0t

2.3.7. Geçiş Hızları Bir residua iki cisim ile exciton – exciton etkileşimi

exciton sayısını 0 veya 2 ve 0 veya 1değiştirir. [Griffin 1966]

Griffin’in orijinal makalesinde bu bozunma hılzarı zamana bağlı pertürbasyon teorisi çerçevesinde ( birinci mertebe yaklaşımlar ) Fermi’nin altın kuralı,

(2,13)

kullanılarak hesaplanır. Burada n’ =n veya n 2 ve iki – cisim etkileşmesi ortalama kare matris elemanıdır. f son durum yoğunluğudur.

fnn Mh

hEp 2

/',

2),(

2

M

1. geçiş hızı:Bu geçişler bir parçacık bir değişik ile yok olduğu zaman

ortaya çıkar ve bu sırada açığa çıkan enerji ya diğer parçacığa ya da diğer deşiğe verilir.

),,(2, Ehpnn

)2)(3(

]1,2([)(

4

),,(

104.11),,( 1,2

2

0

21

2, knkn

hpEEkG

k

n

Ehp

x

KEhp p

hp

n

kmfpnn

Ekn

hpEx

kn

hpE pkn

p

)(

,1(

1(

)],1([ 1

hp

terimi

tokuşdeğeğ

(2.14)

2. Bu geçişler ( a) bir parçacık fermi düzeyinin üzerindeki bir deşik çifti yaratacak şekilde etkileştiği zaman veya (b) fermidenizdeki iki nükleon bir deşiğin var olması durumunda bir deşik ille yok olmak ve değeri yok olma sonrası açığa çıkan enerjiyi olarak fermi seviyesi üzerinde uyarıldığı tamamen ortaya çıkar.

)2)(3(

]1,2([)(

2

),,(

104.11),,( 1,2

1

0

21

2, knkn

hpEEkG

k

n

Ehp

x

KEhp p

hp

n

kmfpnn

Ekn

hpEx

kn

hpE pkn

p

)(

,1(

1(

)],1([ 1

hp

terimi

tokuşdeğeğ Denklem (2.14) ve Denklem (2.15) deki Gph (k) katsayıları [Ericson,1960] da tablo halinde verilmiştir. kmfp nükleonun nükleer madde içindeki ortalama serbest yoludur.

(2.15)

2.3.8. Başlangıç ve denge durumundaki exciton sayısı

Exciton modelinin en önemli parametrelerinden biri n0

başlangıç exciton sayısıdır. Nükleonlarla oluşturulan reaksiyonlarda genellikle n0=3 olur, bir sayı 2p1h konfigürasyonuna karşılık gelir, x nükleonlı, 4He, 3He, 3H gibi, parçacıklarla oluşturulan reaksiyonlarda ise eğer gelen parcacık tek bir exciton gibi davranırsa

n0 =3, eğer gelen parçacık hedef çekirdeğin Coulomb ve nükleer kuvvet alanı iç,inde bileşenlerine ayrılırsa

n0= x veya x+2 alınabilir. Gelen parçacık α ise n0=6 değerleri mümkün olabilir. Hesaplamalarımızda direk gamma yayınlanması da

hesaba katmak amacıyla n0= 1 alınmıştır.

Denge durumunda en muhtemel exciton sayısı ile hesaplanır. Burada g tek parçacık durum yoğunluğudur ve g = A / 13 MeV-1 ile verilir,E bileşik sisteminin uyarılma enerjisidir. [Zhang Jıng Shan, 1988]

İki cisim etkileşmesinin matris elemanının karesinin ortalaması

ile hesaplanır [Kalbach 1978]

gEn 4.1

2/1

2/1

3

3

2/1

3

3

2

/

15

7

/

'

/

7

/

nE

MeV

E

n

A

k

E

n

A

k

MeV

nE

E

n

A

k

Mev

nE

MeV

nE

E

n

A

k

M

E / n <2MeV için

2MeVE/n <7MeV için

7MeVE/n15 MeV için

15MeV<E/n için

(2.16)

Burada A bileşik sistemi kütle numarası, k ampirik bir sabit ve değeri 135 MeV3, ise exciton başına

ortalama uyarılma enerjisidir.

Evaporation model hesaplamalarında tüm giriş parametreleri exciton modeldeki gibidir.

n

E

2.3.9. Parçacık – değişik durum yoğunlukları Parçacık – değişik durum yoğunluklarının

hesaplanmasında aşağıdaki bağıntılar kullanılmıştır:

1. Çiftlenim düzeltmesiz Willams bağıntısı 2. Fu tarafından verilen çiftlemin düzeltme

faktörlü Wiliams formüllü 3. Kalbachın ileri sürdüğü çiftlmin düzeltme

faktörlü Wiliams formüllü Preequilibrium reaksiyonu hesaplanmasında

yaygın olarak kullanılan parçacık – deşik durum yoğunluğu için William tarafından verilen bağıntı [Williams 1971]

şeklindedir.

Burada p ve h sırasıyla paçacık ve deşik sayısı, g tek parçacık durum yoğunluğu, E uyarılma enerjisi, n= p+h exciton sayısıdır. Ap,h Pauli düzeltme faktörleridir ve William tarafından

Ap ,h = (p2+h2+p-3h)/ 4 g

Şeklinde verilmiştir. Nötron ve protn yayınlanma tesir kesiti ve spekktrum hesaplanmalarında tek- tek, tek – çift e çift – çift çekirdeklerdeki farkları açıklamak çin denk ( 2.16) da çiftlenim düzeltilmesi yapmak gerekir.

[ Ignatyuk et al 1973]

)!1(!!

)]([),,(

1.

nhp

AEgEhp

nhp

n

(2.18)

(2.17)

Ignatyuk ve Sokolov tarafından verilen çiftlenmim düzeltilmesi:

dir.

Burada 0 ve sırasıyla taban durum ve uyarılmış durum çiftlenim aralığıdır. .(E, n) bir çiftlenim denklemler[Ignatyuk et al 1973] kümes çözülerek bulunur. g tek- parcaçık durum yoğunluğu ve tabanı durum çiftlenim aralığı düzenli çiftlenim model parametreleridir.

Fu’nun çiftlenim düzeltmeli Pauli düzeltme fonksiyonu

Bp,h =Ap,h[1+ ( 2g /n)2]1/2 şeklindedir. [ Fu 1984 ]

)(4

1 220 gP (2.19)

Denklem (2.16) ile verilen Williams2ın parçacık – deşik durum yoğunluğu için

bulunur. denk (2.18) ile tanımlanana çiftlenni düzeltilmes hesaplayabilmek için g, 0 ve ( W, n) model parametrelerin bilinmesi gerekir. ( E,n) nin sayısal değerleri düzenli çiftlerin model Hamiltoniyenin’den elde edilen bir çiftlenim denklemler kümesinin çözülmesi ile bulunur[Ignatyuk et al 1973] ( p,h,E) çiftlenim aralığı

( / 0 ) =0.996-1.76(n/nc) 1.60 (E/ C)-0.68,E>Efaz (2.21.a),

( / 0 )= 0 ,E< Efaz ( 2.21.b)

)!1(!!

)(),,(

nhp

BPEgEhp

n

(2.20)

Burada Efaz çiftlenim faz geçiş enerjidir ve

Efaz=C[ 0716+ 2.44 ( n/nc)2.17.], (2.22.a)

Efaz= 0 (2.22.b)

İle verilir. 0.446 nc den küçük exciton sayılı durumlar için faz geçişi yoktur. C yoğunlaşma enerjisi ve nc kritik exciton sayısı

C= g 02 /4 (2.23)

nc= 0.792 g 0 (2.24) ile tanımlanır. Kalbachb tarafından verilen çiftlenimli Pauli düzeltme faktörü

Pm = maksimum (p,h) dir

446.0cn

n

446.0cn

n

g

hhppgPP

gA mmhp 4

)1()1()/(

4

)( 2/12222

0,

(2.25)

Williams’ın parçacık – deşik durum yoğunluğu bağıntısı potansiyle kuyusunun sonsuz derinlikte olduğu varsayımına göre çıkarılmıştır. [ Williams 1971] Uyarılma enerjisi VR potansiyel kuyu derinliğini aşmadığı sürece bu bağıntı yeterlidir. Yüksek uyarılma enerjileri için yapmak gerekir. Willams’ın parçacık deşik durum yoğunluğu formülünde tek parçacık durumlarının sayısı sınırsızdır. Kuyu derinliğini aşan bir yada daha fazla deşik içeren konfigürasyonlar çıkarılmalıdır.

Parçacık – deşik durum yoğunluğu hesaplanmasında Pauli ve Pairing düzeltmelerinin yanı sıra yüksek uyarılma enerjileri için sonsuz kuyu derinliği düzeltilmeside yapılması gerekir. Bu durumda parçacık – deşilk durum yoğunluğu

))(()(

1)1()(

)(),,(),,(

12

0

hiVEE

hiVEhhf

hfEhpVEp

nh

i

(2.26)

şeklinde ifade edilir.

Heaviside fonksiyonu, E- iV(h) negatif olması

durumunda sıfır pozitif olması halinde ise + 1 dir. [ Fu

1984, Kalbach 1986]. Bu bağıntın, ilk birkaç etkileşme

sonunda oluşan durumların

(konfigürasyonların)çekirdeğin yüzey bölgesiyle sınırlı

olduğu ve böylece daha küçük bir etkin kuyu

derinliğine sahip olduğunu hesaba katmak için kuyu

derinliğinin h ile değişmesine imkan verir.

2.3.10. Direk reaksion mekanizması Titreşimsel çekirdeklerde nükleon saçılmasında alçak

enerjili direk uyarılmalar mümkündür. Nötronla oluşturulan reaksiyonlarda elde edilen spektrumların yüksek enerji bölgesini açıklamak için direk reaksiyonları hesaba katmak gerekmektedir.

(n,n) direk reaksiyonu diferansiyel tesir kesiti,

ile verilir.

Burada çekirdeğin hacmi VR otansiyel kuyu derinliğindeki; bu çalışmada 48 Me V alınmıştır. R çekirdeğin yarıçapı

)(12

)()()(

2)(

3

2

222

u

VPPk

k

RKhd

abdRbbaa

a

b

aabb

b

dir

(2.27)

3

3

4R

)/4(Pa aaaaa KkKk

Transmisyon katsayısı; ka ve Ka sırasıyla gelen parçacığın çekirdeğin içindeki ve dışındaki dalga sayısıdır. deformasyon parametresi multipolen rite foton enerjisidir. Hesaplamalarda yalnız kuadropol ve oktupolar titreşimler göz önüne alınmıştır.

Çift çekirdekler için 2 2 değerleri ref [ Raman et al 1987] dan alınmıştır. Tek çekirdekler için ise komşu çift çekirdeklere ait değerler kullanılmıştır. 3

değerleri Re [ Lederer 1978, Kalka]den alınmıştır. Oktupolar deformasyon parametreleri :

bağıntısından hesaplanmıştır.100/)()12(2

3 MeV

Hesaplamalarda kalan çekirdeğin uyarılma enerjisi ile kollektif durum enerjisi ve yayınlanma enerjisi arasındaki ilişkiyi veren bağıntısı yerine

“ yarı genişliği “ deneysel enerji reolution hesaa katacak şekilde seçilen bir Gauss eğrisi kullanılmıştır.

Direk parçacık spektrumu hesaplandıktan sonra toplam etkileşme tesir kesiti hesaplanır ve böylece parçacık spekturumun hesaplanması için gerekli olan Dab inceltme faktörü elde edilir.

)( u

)( gelEdirab

2.3.11. Weisskopf – ewing evapora E enerjisindeki toplam tek parçacık seviye yoğunluğu

ile verilir. seviye yoğunluk parametresidir,

MeV-1, tek parçacık enerji düzey yoğunluğudur., A. Bileşik sisteminin kütle numarasıdır.

DE

DEaExpE

)(2[

48

1)(1

,6

2ga

13

Ag

(2.28)