palÁnkainÉ – szederkÉnyinÉ – vincze - matematika · palánkainé jakab Ágnes dr....

PALÁNKAINÉ – SZEDERKÉNYINÉ – VINCZE

MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓFELADATGYÛJTEMÉNY 10 – 14 ÉVESEKNEK

MEGOLDÁSOK(I. KÖTET)

Palánkainé Jakab ÁgnesDr. Szederkényi Antalné - Vincze István

MATEMATIKAÖSSZEFOGLALÓ

FELADATGYÛJTEMÉNY10-14 ÉVESEKNEK

MEGOLDÁSOK*

Mozaik Oktatási Stúdió - Szeged, 1996

SZERZÕK:

Palánkainé Jakab Ágnesgyakorlóiskolai vezetô tanár

Dr. Szederkényi Antalnégyakorlóiskolai vezetô tanár

Vincze Istvánközépiskolai tanár

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bôvített, illetve rövidített változata kia-dásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része sem-miféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható.

ISBN 963 697 101 3

” Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió – Szeged, 1996

5

MÛVELETEK TERMÉSZETESSZÁMOKKAL

Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben

1. Tíz-ezres

Ezres Százas Tízes Egyes A szám

a)b)

c)d)

2

2

2020

5303

4850

1008

02 54120 38002 05020 308

2. Száz-ezres

Tíz-ezres


a)b)

c)d)

7

9

0

90

2990

2099

0909

7222

702 207009 092099 902900 992

3. Ezer-milliós

Száz-milliós

Tíz-milliós

Milliós Száz-ezres

Tíz-ezres

Ezres Százas Tízes Egyes

a)b)

c)d) 1 0

10

2601

2630

5000

7010

1600

1030

5600

a) 2 257 115 b) 6 600 606 c) 10 301 030 d) 1 001 000 000

4. Tíz-milliós

Milliós Száz-ezres

Tíz-ezres


a)b)

c)d)

617

2976

0901

6270

2101

0908

6972

2274

62 062 06219 921 99277 070 07706 101 824

5. a) ezerszáztizenegy, háromezer-harminc, kétezer-ötszáztizennyolc, nyolcszázkettô,kilencezer-kilencszázhét.

b) ötvenkétezer-harmincnyolc, ötvenezer-öt, ötezer-ötvennyolc, hatvanegyezer-egy,hetvenháromezer-hetvenhárom.

c) kétszáztizenkétezer-kétszáztizenkettô, hárommillió-harmincezer-háromszázhárom,tizrnegymillió-tizenegyezer-tizenegy, hétmillió-hétszázegy, húszmillió.

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL

6

6. a) A felbontási lehetôségek például:1111 = 1000 + 100 + 10 + 1 = 103 + 102 + 10 + 13030 = 1000 ◊ 3 + 10 ◊ 3 = 3 ◊ 103 + 3 ◊ 102518 = 1000 ◊ 2 + 100 ◊ 5 + 10 ◊ 1 + 1 ◊ 8 = 2 ◊ 103 + 5 ◊ 102 + 1 ◊ 101 + 8 ◊ 100

0802 = 100 ◊ 8 + 1 ◊ 2 = 8 ◊ 102 + 0 ◊ 101 + 2 ◊ 100

9907 = 1000 ◊ 9 + 100 ◊ 9 + 10 ◊ 0 + 1 ◊ 7 = 9 ◊ 103 + 9 ◊ 102 + 7 ◊ 100

b) 52 038 = 5 ◊ 104 + 2 ◊ 103 + 3 ◊ 10 + 8 ◊ 100

50 005 = 5 ◊ 104 + 5 ◊ 100

05 058 = 5 ◊ 103 + 5 ◊ 10 + 8 ◊ 100

61 001 = 6 ◊ 104 + 1 ◊ 103 + 1 ◊ 100

73 073 = 7 ◊ 104 + 3 ◊ 103 + 7 ◊ 101 + 3 ◊ 100

c) 00 212 212 = 2 ◊ 105 + 1 ◊ 104 + 2 ◊ 103 + 2 ◊ 102 + 1 ◊ 101 + 2 ◊ 100

03 030 303 = 3 ◊ 106 + 3 ◊ 104 + 3 ◊ 102 + 3 ◊ 100

11 011 011 = 1 ◊ 107 + 1 ◊ 106 + 1 ◊ 104 + 1 ◊ 103 + 1 ◊ 101 + 1 ◊ 100

07 000 701 = 7 ◊ 106 + 7 ◊ 102 + 1 ◊ 100

20 000 000 = 2 ◊ 107

7. a) százas, ezres, tízes, egyes, tízezresb) 0; 5; 0; 0; 3c) Az 53 310-ben a 3 az ezresek helyén áll.d) 10 503-ban a nullát

15 300-ban a nullát10 153-ban az egyet10 035-ben a nullát53 310-ben a hármat

e) ötszáz, ötezer, ötven, öt, ötvenezer

8. a) százas; ezres, százas, tízes; százas; ezres, százas; ezresb) 2; 0; 5; 0; 0c) Az 50 005-ben a legkisebb a nulla helyiértéke.d) 50 005-ben a nullát és az ötöt

5058-ban az ötöt60 011-ben a nullát és az egyet70 373-ban a hármat és a hetet

9. a) 7 < 74 < 507 < 947 < 974 < 5007 < 9047b) 1071 < 1171 < 1701 < 1710 < 7017 < 7071 < 7701

10. a) 9 < 69 < 609 < 1069 < 1960 < 1992 < 6019 < 6910b) 40 < 43 < 304 < 403 < 1043 < 3004 < 4003

11. a) 20 020 > 20 002 > 19 092 > 19 029 > 12 909 > 2002 > 2000 > 1992b) 42 042 > 6030 > 4202 > 3066 > 987 > 798 > 663 > 360

12. a) 39 333 > 30 093 > 6000 > 3333 > 3033 > 767 > 677b) 43 001 > 40 000 > 30 014 > 3401 > 3041 > 1034 > 431

SZÁMOK ÍRÁSA, OLVASÁSA A TÍZES SZÁMRENDSZERBEN

7

13. a)

b)

14. a)

b)

15. a)

b)

16. a)Szomszédok

egyestízes

százas

7

6 80 100 100

32

31 3330 400 100

193

192 194190 200100 200

Szomszédokegyestízes

százas

886

885 887880 890800 900

989

988 990980 990900 1000

1003

1002 10041000 10101000 1100

b)Szomszédok

egyestízes

százas

1359

1358 13601350 13601300 1400

5001

5000 50025000 50105000 5100

5999

5998 60005990 60005900 6000

9810

9809 98119800 98209800 9900

17. a) tízesre

0007 ª 10000032 ª 30000193 ª 19000886 ª 89000989 ª 99001003 ª 1000

százasra

0007 ª 00000032 ª 00000193 ª 20000886 ª 90000989 ª 10001003 ª 1000

ezresre kerekítve

0007 ª 0000 00032 ª 0000 00193 ª 0000 00886 ª 1000 00989 ª 1000 01003 ª 1000 0

b) 1359 ª 13605001 ª 50005999 ª 60009810 ª 9810

1359 ª 14005001 ª 50005999 ª 60009810 ª 9800

1359 ª 1000 05001 ª 5000 05999 ª 6000 09810 ª 10 000

18. legkisebb: 55 016 (tízezresekre kerekítve 60 000)legnagyobb: 64 889, illetve ha lehet „két” legnagyobb, akkor 64 989.

19. Pl.: 22323433454345

6544567654567

87655678

jegyeinek összge: (5 + 4) 2 + 3 = 18 + 3 = 21 jegyeinek összge: (6 + 5 + 4) 2 = 15 2 = 30

Æ ◊Æ ◊ ◊


8

20. Legfeljebb 18 lehet a számjegyek összege.

21. 86 a szám, mert 86 + 8 + 6 = 86 + 14 = 100.

22. A legnagyobb háromjegyû szám, a 999 számjegyeinek összege 27. Így nem tudunkilyen számot mondani.

23. A 6321. A megadott feltételeket csak ez a négyjegyû szám elégíti ki.

24. Az ötödikeseknek (1851 - 1789) : 2 = 32 szám, a hatodikosoknak (1848 - 1790) : 2 == 30 szám jutott. Hatvanketten játszottak számháborút.

25. 5 < összeg < 10. A legkisebb ilyen négyjegyû szám az 1005, a legnagyobb a 9000. Haismétlôdés nincs megengedve: 1023 ill. 6210. A számjegyek azonossága esetén: 2222.

26. 8442, (42 ◊ 2 = 84); 8040, (40 ◊ 2 = 80); 4020; 4824.

27. 3069, (3 + 0 + 6 + 9 = 18).

28. 00 010 000 - 9999 = 0 000 00100 100 000 - 9999 = 0 090 00101 000 000 - 9999 = 0 990 00110 000 000 - 9999 = 9 990 001

29. a) 27 < a < 50; 22 db b) 51 < b £ 71; 20 db c) 13 £ c £ 113; 101 db

30. a) 154 £ a < 451; 297 db b) 151 £ b £ 275; 63 db c) 48 £ c < 124; 38 db

31. Pl.: 42: 40-nél nagyobb, de 44-nél kisebb páros szám.

32. a) 150 < a £ 160; 151, 160 b) 310 £ b £ 340; 316; 325; 334c) 300 < c < 320; 302; 311

33. 900 db. A legnagyobb a 999, a legkisebb a 100. 999 - 100 = 899.

34. a) 123; 132; 213; 231; 312; 321. Hat db ilyen szám van. 123 + 321 = 444.b) 111 121 131 …

112 122 132113 123 133111 + 333 = 444

Mindhárom helyre három számjegybôl választhatunk, így(3 ◊ 3 ◊ 3 = 33) 27 db szám van.

Természetes számok összeadása, kivonása35. a) 8521; 8541; 8561; 8581

Az összeg 20-szal nôtt, mert az egyik tag is 20-szal nôtt, míg a másik állandó.b) 6298; 7398; 8498; 9598

Az összeg 1100-zal nôtt, mert az elsô tag változatlan ugyan, de a második tag 1100-zal nôtt.

TERMÉSZETES SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

9

c) 6434; 6634; 6834; 7034Az elsô tag 101-gyel nô, a második tag 99-cel nô, így az összeg 200-zal növekszik.

36. a) 5361 b) 13 070 c) 5361 d) 5361Az a, c, d összegek egyenlôek, mert amennyivel nô az egyik tag, ugyanannyivalcsökken a másik.

37. a) 341260812

1016614198

3406614112

1006614198

+ +

Az elsô tag 6-tal csökkent, a második 6-tal nôtt, aharmadik 100-zal nôtt, a negyedik 100-zal csökkent,így az összeg változatlan.

b) 4436 az összeg, mert a tagok változásának összege nulla.

38. 92418726

17967+

a) 95518726

18277

92419036

18277+ + vagy

b) 86418726

17367

92418126

17367+ + vagy

c) pl.: 9291+ 874618037

d) pl.: 9041+ 892617967

39. 375437487502

+

a) 392837487676

375439227676

+ + vagy b) 3440

37487188

375434347188

+ + vagy

c) pl.: 3774+ 3548

7322

d) pl.: 3704+ 3798

7502

40. a = 7; b = 41; c = 127; d 121-nél nem nagyobb természetes szám; e = 19; f 73-nál nemnagyobb természetes szám.

41. a = 5; b = 94; c = 9; d = 4; e 121-nél nem nagyobb természetes szám; f = 6.

42. a)a

b

0 1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 6 5 4 3 2 1 0a + b = 8

b)c

d

6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7

...c - d = 6

c)e

f

0 1 2 3 4 5 6 7

5 6 7 8 9 10 11 12

...f - e = 5


10

d) g = 2

e) h

i

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0h + i = 4

f) j

k

8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7

...j - k = 8

g)l

m

0 1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 4 3 2 1 0l + m = 7

43. a) x = 12 b) x = 3 c) x = 13

44.

45. a) ª = 16

b) ª - « = 10

10 11 12 130 1 2 3

...

c) « = 0

d) a ª-be - jel kerül, « = 100

46. a) (72 + 27) + (50 - 27) = 122 b) (48 + 72) + (50 - 48) = 122(72 - 27) + (50 + 27) = 122

47. a) 499 b) 4000 c) 948 d) 2200 e) 2520 f) 2323

48. abc

516 500 520 616 15161081 1081 1085 1081 10921597 1600 1992 1597 1597

519 900981 81

1581 1605

a + b = c c - b = a c - a = b

49. a) 226 20+ < 259 1+ < 246 28+ < 279 9+ < 93 209+

b) 233 13+ < 232 28+ < 246 28+ < 274 14+ < 246 56+

50. a) 1667 b) 7475 c) 2639 d) 5697

51. a) 2735 b) 2935 c) 2735 d) 2735

52. a) 7875 b) 7875 c) 9875 d) 5875Ha a kisebbítendô és a kivonandó ugyanannyival változik, akkor a különbségváltozatlan. A kisebbítendô növelése, valamint a kivonandó csökkentése a különbség


11

növekedését jelenti. A kisebbítendô csökkenésével vagy a kivonandó növelésével akülönbség csökkentését érhetjük el.

53. a) 4088 b) 4208 c) 4328 d) 4448Változatlan kisebbítendô esetén a különbség ugyanannyival nô, amennyivel akivonandó csökken, illetve a különbség ugyanannyival csökken, amennyivel akivonandó nô.

54.

Ell.:

542129162505

542125052916

-

-

¸

˝

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

a

c

)

) pl.:

555729162641

544129262515

-

-

b

d

)

) pl.:

542128442577

528927842505

-

-

55.

Ell.:

431224581854

431218542458

-

-

¸

˝

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

a

c

)

) pl.:

423724581779

430224681834

-

-

b

d

)

) pl.:

431223281984

473228781854

-

-

56. a) 78 b) 900 c) 931 d) 411Az összeadásban a tagok felcserélhetôk.

57. a) 1591 b) 9120 c) 1623 d) 2819

58. a) 998 mindhárom összeg b) 1954 mindegyik összegAz összeg tagjai tetszôlegesen csoportosíthatók.

59. a) 7682 b) 12 082

60. a) 1992 b) 2501 c) 5413 d) 5357Egy számhoz egy különbséget úgy is hozzáadhatunk, hogy a kisebbítendôt hozzáadjuka számhoz, majd az összegbôl elvesszük a kivonandót.

61. a) 3600 + 649 = 4249 b) 8397c) 3976 + 200 = 4176 d) 8416e) 693 + 4000 = 4693 f) 2766g) 1000 + 34 415 = 35 415 h) 2222

62. a) 461; 461; 883 b) 53; 1747; 53Összeget úgy is kivonhatunk egy számból, hogy minden tagját kivonjuk.

63. a) 3264 b) 1312


12

64. a) 6000 - 3726 = 2274 b) 3486 - 2000 = 14866542 - 4000 = 2542 2000 - 755 = 1245

Különbséget úgy is kivonhatunk, hogy a kisebbítendôt kivonjuk, a kivonandóthozzáadjuk.

65. a) 439; 139; 439 b) 1106; 1106; (-644)c) 10 721; 10 721; 7687 d) 14 514; 9420; 14 514

66. a) 6100 + 350 = 6450 b) 6976 - 500 = 6476 c) 3000 + 559 = 3559

d) 4368 - 1000 = 3368 e) 7100 + 321 = 7421 f) 8417 - 4000 = 4417

g) 6000 + 846 = 6846 h) 9265 - 3000 = 6265

67. a) 9891 b) 8832 c) 5799 d) 22 000 e) 10 956 f) 9144g) 42 860 h) 9988

68. a = 295; b = 400; c = 53; d bármely természetes szám; e = 305; f bármely 1043-nálnem nagyobb természetes szám.

69. a = 43; b = 157; c = 1000; d = 1; e bármely 2662-nél nem nagyobb természetes szám;f bármely 1043-nál nem nagyobb természetes szám lehet.

70. a) a + b = 6 ab

0 1 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1 0

b) c - d = 6 cd

6 7 8 90 1 2 3

...

c) f - e = 5

ef

0 1 2 3 10385 6 7 8 1043

...

d) g = 2

e) h - i = 4 hi

4 5 6 7 10470 1 2 3 1043

...

f) j + k = 8 jk

0 1 2 3 4 5 6 7 88 7 6 5 4 3 2 1 0

g) l - m = 7lm

7 8 9 10 10500 1 2 3 1043

...

71. a) x = 100 b) nincs ilyen természetes szám (x = -600) c) x = 100

72.

73. a) ª = 16

b) (« = -20) nincs ilyen természetes szám


13

c) ª - « = 1010 11 12 130 1 2 3

...

d) z ª « = z - 100

74. a) (627 + 58) - (342 + 58) = 285 b) (627 + 42) - (342 + 42) = 285(627 - 58) - (342 - 58) = 285 (627 - 42) - (342 - 42) = 285

75. a) 1508 b) 88 c) 598 d) 4556 e) 363 f) 1690

pl.: 2080 - 1992 = 2080 - (2000 - 8) = 2080 - 2000 + 8 = 88

76. a) 357 -191 < 357 -167 < 357 143- < 381-143 < 379 -117

b) 333-167 < 357 -167 < 357 143- < 357 -119 < 362 -100

77. abc

1992 1900 2000 2092 1792 87121029 1029 1037 1029 1329 7749963 1963 1063 963 963

2992 23921129 829

871 963 963

a - b = c c + b = a a - c = b

78. (2472 + 985) + (2472 - 985) = 4944 (= 2472 ◊ 2)

79. (6848 + 1674) - (6848 - 1674) = 3348 (= 1674 ◊ 2)

80. a) 346 + 951 < 646 + 657 b) 7951 - 3675 > 6840 - 2570

c) 1474 + 1526 > 8493 - 5593 d) 2166 - 887 = 1163 + 116

81. 500 - (35 + 42 + 47 + 243) = 133. 133 Ft-ot kaptunk vissza.

82. 15 000 - (9650 + 2860 + 2320) = 15 000 - 14 830 = 170 14 830 Ft-ot fizettem, így170 Ft-om maradt.

83. Még 181 oldalt kell elolvasni.

84. 216 + (216 + 48) = 480. 480 Ft-ot költöttek ajándékra.

85. A léc eredetileg 4116 mm volt. A nagyobb darab 156 mm-rel hosszabb.

86. 230 cm hosszú szalagot vásároltak.

87. 31 + 28 + 26 = 85. 85 ötödikes jár az iskolába.

88. 973 + 974 + 975 = 2922. 3000-nél 78-cal kisebb.

89. 685 + 632 + 642 + 726 = 2685. 2685 tanuló jár összesen a négy iskolába.

90. 16 + 37 + 53 = 106. A versenyen 106-an vettek részt.

91. 824 + 770 + 716 = 2310. 2310 virág virított a három üvegházban összesen.


14

92. A város a kiindulási helytôl 93 km-re van. 108 km-t utaztak autóbusszal. 69 km-reltöbbet utaztak buszon.

93. a) 157 < 175 < 517 < 571 < 715 < 751

b) 2037 - 849 = 1188c) 157 + 751 = 908

517 + 571 = 10881088 - 890 = 180

d) (751 + 715) - (175 + 157) = 1466 - 332 = 1134

e) (751 - 157) + (715 - 175) = 594 + 540 = 1134

94. 466 km-re volt a cél a kiindulási helytôl.

95. 160 oldalt kell még elolvasni.

96. 92 db könyv van a könyvszekrény polcain.

97. 2040 m-t tesz meg a sétáló.

98. 4922 + 5054 + 4993 = 14 969

99. a) 15 29 54

7 61

3 8

b) nincs megoldás, mert 36 + 29 π 30 + 4. Ha 36 helyett 65 - 60 = 5-öt írunk, akkorvan megoldás.

31 36 29304

c) 130 1 4638 9

27 3442 64

60 2347 3640 29

3 21

d) 315 44101 69

1 32119 2650 51 82

75 76 107 13100 7 38

63 94 12557 88 25

113 19

Természetes számok szorzása

100. a) 324 ◊ 5 = 1620 b) 941 ◊ 4 = 3764 c) 2527 ◊ 5 = 12 635

d) 7783 ◊ 4 = 31 132

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA

15

101. a) 4396 b) 0 6822 c) 4210 d) 28568792 13 644 8420 57124396 0 6822 4210 2856

Ha az egyik tényezôt kétszeresére változtatjuk (a másik állandó), a szorzat iskétszeresére változik. Ha az egyik tényezôt a felére, a másikat a kétszereséreváltoztatjuk, akkor a szorzat nem változik.

102. a) 5904 b) 9396 c) 60 775 d) 0 74761968 3132 12 155 22 4281968 9396 12 155 44 8565904 3132 60 775 67 284

103. a) 34 ◊ 72 = 72 ◊ 34 b) 46 ◊ 56 = 56 ◊ 46 c) 72 ◊ 26 > 13 ◊ 7234 ◊ 72 < 68 ◊ 72 46 ◊ 56 = 92 ◊ 28 72 ◊ 26 = 52 ◊ 3634 ◊ 72 = 68 ◊ 36 46 ◊ 56 = 184 ◊ 14 72 ◊ 26 < 36 ◊ 7834 ◊ 72 < 34 ◊ 73 46 ◊ 56 < 46 ◊ 57 72 ◊ 26 > 78 ◊ 12

104. a) 0 1350 b) 069 200 c) 00 315021 700 00 3240 031 50069 000 472 000 315 000

105. a) 098 838 b) 280 500 c) 188 568197 676 280 500 188 568098 838 561 000 094 284

106. a) 314 ◊ 63 b) 143 ◊ 36 c) 276 ◊ 42 d) 332 ◊ 84942 ◊ 21 429 ◊ 12 828 ◊ 14 996 ◊ 28

107. a) pl.: (942 : 6) ◊ (63 ◊ 3) b) pl.: (429 ◊ 3) ◊ (36 : 6)

c) pl.: (828 : 18) ◊ (42 ◊ 9) d) pl.: (996 ◊ 2) ◊ (84 : 4)

108. 856 ◊ 48 0856 ◊ 48214 ◊ 48 3424 ◊ 48856 ◊ 12 856 ◊ 192428 ◊ 24 1712 ◊ 96

109. 62 ◊ 52 ◊ 16 62 ◊ 52 ◊ 16 62 ◊ 52 ◊ 1662 ◊ 52 ◊ 32 pl.: 31 ◊ 104 ◊ 16 pl.: 31 ◊ 26 ◊ 6462 ◊ 104 ◊ 16 31 ◊ 52 ◊ 32 31 ◊ 208 ◊ 8134 ◊ 52 ◊ 16 62 ◊ 26 ◊ 32 124 ◊ 104 ◊ 4

110. a) 90 ◊ 9 = 810 b) 150 ◊ 12 = 1800 c) 72 ◊ 5 = 360702 + 108 = 810 123 + 324 = 447 755 - 395 = 36078 + 108 = 186 1476 + 324 = 1800 nincs megoldása a ter-

mészetes számok halma-zán

Összeget, különbséget egy számmal úgy is szorozhatunk, hogy a tagokat külön-különmegszorozzuk a számmal, majd a szorzatokat összeadjuk, illetve kivonjuk.


16

111. a) 392 b) 3396 c) 3760158 3981 3760392 3396 1331

112. a) 3240 b) 1072 c) 71503240 1072 71503746 0217 1942

113. a) 7500 b) 12 600 c) 35 000 d) 13 750 e) 33 110 f) 25 650

114. a) 30 880 b) 27 600 c) 160 890 d) 419 916 e) 46 092 f) 8 099 919

115. a) (1000 - 4) ◊ 25 = 24 900 b) 25 100 c) 12 499 000 d) 239 880e) 16 016 f) 1 199 940 g) 29 940 h) 11 022 i) 37 499 625

116. a) 32 + 72 ◊ 3 = 248 b) 16 + 21 ◊ 9 = 205 c) 700 - 350 = 350

d) 44 ◊ 9 - 44 ◊ 8 = 44 e) 32 ◊ 0 = 0 f) 31 ◊ 26 = 806

g) 99 ◊ 72 = 7128 h) 100 ◊ 36 = 3600

117. a) 12 ◊ 48 = 576 b) 12 c) 15 000 d) 15 000 e) 5136f) 6867 g) 3644 h) 2023

118. a), b), c) 720; 7200; 72 000d) 00 65 050 e) 605 000 f) 0 600 500

6 505 000 065 000 6 050 0000 650 500 650 000 00 65 000

119. a) 54 000 b) 570 000 c) 91 000

120. a) 1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mmb) 1 km = 100 000 cm; 1 m = 100 cm; 1 dm = 100 mmc) 6 km = 6000 m; 10 km = 10 000 m; 100 km = 100 000 md) 602 km = 602 000 m; 105 km = 105 000 m; 150 km = 150 000 m

121. a) és b) 2 m = 20 dm = 200 cm = 2000 mm12 m = 120 dm = 1200 cm = 12 000 mm73 m = 730 dm = 7300 cm = 73 000 mm81 m = 810 dm = 8100 cm = 81 000 mm8 és fél m = 85 dm = 850 cm = 8500 mm

c) 3 m = 3000 mm; 10 m = 10 000 mm; 15 m = 15 000 mmd) 15 m = 1500 cm; 105 m = 10 500 cm; 150 m = 15 000 cm

122. a) 15 m = 150 dm = 1500 cm = 15 000 mmb) 30 m = 300 dm = 3000 cm = 30 000 mmc) 105 m = 1050 dm = 10 500 cm = 105 000 mmd) 2 és fél m = 25 dm = 250 cm = 2500 mme) 1 km = 10 000 dm = 100 000 cm = 1 000 000 mmf) 3 és fél km = 35 000 dm = 350 000 cm = 3 500 000 mm


17

g) 35 km = 350 000 dm = 3 500 000 cm = 35 000 000 mmh) 305 km = 3 050 000 dm = 30 500 000 cm = 305 000 000 mm

123. a) 75 m = 7500 cm b) 800 dm = 80 000 mm c) 12 km = 120 000 dmd) 300 m = 30 000 cm e) 22 dm = 2200 mm f) 22 m = 2200 cmg) 107 km = 1 070 000 dm h) 1070 km = 1 070 000 m i) 17 km = 1 700 000 cm

124. a) 700 b) 700 c) 7000 d) 700 e) 7000f) 7000 g) 70 000 h) 70 000 i) 700 000 j) 700 000k) 7 000 000 l) 70 000 000

125. a) 6216 b) 3025 c) 16 032 d) 21 008 e) 3476f) 72 582 g) 42 043 h) 6003 i) 67 117 j) 112 343

126. a) 123 b) 271 c) 312 d) 417 e) 1076f) 2024 g) 1010 h) 3030 i) 12 017 j) 24 331

127. a) 70 550 b) 71 000 c) 4100 d) 3650 e) 777f) 7777 g) 2308 h) 2400 i) 18 717 j) 35 265

128. a) 18 007 b) 1005 c) 80 000 d) 75 500 e) 4516f) 40 516 g) 7076 h) 70 076

129. a) 652 b) 1043 c) 1607 d) 8506 e) 462f) 701 g) 11 100 h) 32 500

130. a) 6 m = 60 dm = 600 cm b) 12 m = 1200 cm = 120 dmc) 30 dm = 3000 mm = 300 cm d) 750 cm = 7500 mm = 75 dme) 250 m = 2500 dm = 25 000 cm f) 20 m = 2000 cm = 200 dmg) 4300 dm = 430 m = 43 000 cm h) 3400 cm = 340 dm = 34 000 mm

131. 4 cm; 39 mm 2 cm; 19 mm 6 cm; 58 mm 3 cm; 25 mm 5 cm; 51 mm3 cm; 25 mm 4 cm; 39 mm 7 cm; 65 mm 9 cm; 90 mm 8 cm; 77 mm3 cm; 32 mm 5 cm; 45 mm 8 cm; 83 mm 10 cm; 96 mm

132. becslés mérésa) 20 cm 19 cm 191 mmb) 15 cm 15 cm 147 mmc) 12 cm 12 cm 124 mmd) 8 cm 9 cm 87 mm

133. A legkisebb kerületû az a) síkidom.a) 94 mm b) 105 mm c) 100 mm

Kb - Ka = 11 mm ª 1 cm


18

134. a) km b) m c) mm d) m e) cm

135. a) cm b) mm

136. 11 dm és 6 dm vagy 13 dm és 5 dm.

137. Mérési lehetôség például:

138. a) 60; 60; 24 b) 300; 330; 600 c) 600; 300; 3600d) 7200; 9000; 28 800

139. a) 4 óra = 240 perc; 4 perc = 240 mp; 4 nap = 96 órab) 3 óra = 180 perc; 3 és fél óra = 210 perc; 7 óra = 420 percc) 7 perc = 420 mp; 10 perc = 600 mp; 70 perc = 4200 mpd) 5 óra = 18 000 mp; 5 és fél óra = 19 800 mp; 6 óra = 21 600 mp

140. a) 60; 3600 b) 540; 32 40024; 1440 600; 36 0007; 168 1140; 68 400

141. a) 5400; 324 000 b) 120; 72006000; 360 000 1200; 72 00011 400; 684 000 3720; 223 200

142. a) 4200; 252 000 b) 600; 36 0006000; 360 000 3000; 180 00010 200; 612 000 3600; 216 000

143. a) 33 350 b) 20 874 c) 2860 d) 4400 e) 600 f) 10 000g) 125 h) 0 i) 60 000

144. Hatféle sorrendben. 25 ◊ 40 ◊ 20 = 1000 ◊ 20 = 20 000

145. Kétjegyû: 4 ◊ 3 = 12Háromjegyû: 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24Négyjegyû: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24

146. 2 ◊ 3 ◊ 4 = 24 úton juthatunk el A-ból D-be. 30 rajz készíthetô ily módon, mertPl.:

az átmérô leolvasható


19

24 = 1 ◊ 1 ◊ 24 3 féle24 = 1 ◊ 2 ◊ 12 6 féle24 = 1 ◊ 3 ◊ 80 6 féle24 = 1 ◊ 4 ◊ 60 6 féle24 = 2 ◊ 2 ◊ 60 3 féle24 = 2 ◊ 3 ◊ 40 6 féle

147. a) 432 ◊ 304 = 131 328 b) 597 ◊ 314 = 187 458 c)

148. a) 1920 25 1921 25 1672 25 1423 25 1174 25 925 25 676 25 427 25 17

1927 25 174 46 82 73 462 89 14

2456 37 234 51 412 82 815 49 0

5316 83 337 72 279 58 98 65 11

◊ +◊ +◊ +◊ +◊ +◊ +◊ +◊ +

◊ +◊ +◊ +◊ +

◊ +◊ +◊ +◊ +

◊ +◊ +◊ +◊ +

Pl.: a b c) ) )

Olyan megoldásokat célszerû keresni, amelyekben a hozzáadandó kisebb a megadottszorzónál.

149. 32 m ◊ 21 m - 15 m ◊ 14 m = 462 m2 a beépítetlen terület.

150. 72 ◊ 60 ◊ 24 ◊ 365 = 37 843 200-at ver a szív 1 év alatt.

151. 9 kg ◊ 28 = 252 kg zabot rendel.

152. Pl.: Hány km-t tettek meg összesen? 15 km ◊ (4 + 6 + 5) = 225 km

153. 4 ◊ 12 ◊ 12 = 576 szótagos az elsô rész.432; 576; 672; 768; 1200; 672; 384; 144; 384; 480; 1200; 1008; 1104; 336; 384; 1248;528; 1008; 1056; 1008; 480; 528; 228; 480; 336; 528.A teljes vers 17 808 szótagos.(12 + 9 + 12 + 14 + 16 + 25 + 14 + 8 + 3 + 8 + 10 + 25 + 21 + 23 + 7 + 8 + 26 + 11 + + 21 + 22 + 21 + 10 + 11 + 6 + 10 + 7 + 11) ◊ 48 = 371 ◊ 48 = 17 808

154. 1 doboz cigaretta ára ◊ 3 ◊ a hetek számával.

155. 600 cm2 ◊ 256 = 153 600 cm2 = 1536 dm2

156. 325 Ft ◊ 600 = 195 000 Ft


20

157. 5755 l ◊ 12 ◊ 258 = 17 817 480 l ª 178 175 hl

158. 1 óra alatt16 óra alatt (2 mûszakban)80 óra alatt (5 munkanapon)52 hét alatt (egy év alatt)

478 m7648 m

38 240 m1 988 480 m

az automata gépsor termelése.

¸

˝Ô

˛Ô

159. abc

a b ca c bb a ca b c

a c b ca b c

a c b ca b c

a b c

a b c

5 25 15 20 84 5 5 10 09 4 7 300 125

180 500 525 60 000 0180 500 525 60 000 0180 500 525 60 000 0180 500 525 60 000 0

1620 2000 3675 18 000 000 081 120 140 9000 100081 120 140 9000 10009 80 70 3000 1000

31 5 20 2980 8

31 5

◊ ◊◊ ◊◊ ◊◊ ◊

◊ ◊ ◊+ ◊◊ + ◊- ◊- ◊ - - -- ◊ - -

( )( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) 20 2980 8

4 420 80 2800 936

-- ◊ - - - -( ) ( )a b a c

160. a)

b)

c)

d)

e)

161. a) ª ◊ « = 72

1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 7272 36 24 18 12 9 8 6 4 3 2 1

b) ª = 5


21

162. (552 km + 402 km) ◊ 7 = 6678 km

163. 779 452 ◊ 3 = 2 338 356Közelítôen 2 millió ember lakik Ankarában.

164. (13 994 - 1992) ◊ 46 = 549 792

165. (3712 + 1287) ◊ (3712 - 1287) = 12 122 575

166. 16 m2 ◊ 8 ◊ 3 = 384 m2

Természetes számok osztása

167. a) 005 b) 009 c) 006 d) 9050 090 060 9500 900 600 9

Ha változatlan osztó mellett, az osztandót tízszeresére növeljük, a hányados istízszseresére növekszik. Ha az osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára változik, ahányados változatlan marad.

168. a) 008 b) 009 c) 007 d) 7080 090 070 7800 900 700 7

169. a) 08 b) 08 c) 09 d) 816 16 18 804 04 03 8

170. a) 036 b) 062 c) 078 d) 38009 031 156 38072 124 390 38235 204 468 - (47,5)

Ha az osztandót valahányszorosára növeljük (csökkentjük), a hányadosugyanannyiszorosára nô (csökken) - változatlan osztó mellett. Ha az osztandó és azosztó ugyanannyiszorosára nô (csökken), a hányados nem változik.

171. a) 40 b) 36 c) 074 d) 5620 18 074 5610 09 074 5605 03 222 - ( 62 2, )

Ha változatlan osztandó esetén az osztó valahányszorosára nô (csökken), akkor ahányados ugyanannyiad részére csökken (nô).

172. a) 36 b) 18 c) 56 d) 3212 09 56 3236 18 56 32


22

173. 2262 : 29 = 78a) 1131 : 29 = 39 b) 0754 : 29 = 26 c) 0377 : 29 = 13d) 6786 : 29 = 234

174. 4056 : 78 = 52a) 4056 : 39 = 104 b) 04056 : 13 = 312 c) 4056 : 26 = 156d) 4056 : 156 = 26

175. becslés: 20 000

Ell.: 1885556565

3◊

a) 00 406 b) 00 105 c) 6790 3841 00 905 25718 855 0 2450 50150 480 40 730 027

176. a) 3248 : 8; 15 364 : 4; 353 360 : 7; 93 100 : 38; 2 362 340 : 58b) 353 360 : 7 = 50 480; 353 360 : 28 = 12 620c) 353 360 : 7 = 50 480; 176 680 : 14 = 12 620d) 93 100 : 38 = 2450; 3724 : 38 = 98; 93 100 : 950 = 98; 18 620 : 190 = 98

osztandó változása kétszeresére háromszorosára osztó változása harmadára felére

pl.: 3248 : 8 = 406; 2205 : 21 = 105;9744 : 4 = 2436; 4410 : 7 = 630

177. a) 0210 b) 312 c) 133 d) 31 e) 14 f) 160630 312 266 31 28 321050 312 532 31 56 64

178. a) 360 : 5 = 72 b) 480 : 40 = 12 c) 690 : 30 = 23720 : 10 = 72 120 : 10 = 12 230 : 10 = 23

d) 140 : 20 = 7 e) 515 : 5 = 103 f) 304 : 2 = 15270 : 10 = 7 1030 : 10 = 103 1520 : 10 = 152

179. a) 1700; 710; 71 b) 91; 91; 91;

180. a) 5620; 5620; 5620 b) 56 000; 5600; 560

181. a) 270; 27; 2700 b) 270; 270; 2700

182. a) 10 mm = 1 cm b) 1000 m = 1 kmc) 10 cm = 1 dm d) 100 mm = 10 cm = 1 dme) 10 dm = 1 m f) 1000 mm = 100 cm = 10 dm = 1 m

183. a) 90; 9 b) 500; 50; 5 c) 620; 62 d) 7800; 780; 78

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTÁSA

23

e) 35 f) 70 g) 60 h) 12

184. a) 1030 mm = 103 cm = 10 dm 3 cm = 1 m 0 dm 3 cmb) 125 050 cm = 1250 m 50 cm = 1 km 250 m 5 dm

185. a) 900; 90; 9 b) 7200; 720; 72 c) 16 000; 16 d) 32 000; 32

186. a) 4000 = 4 ◊ 103; 4 b) 200 000 = 2 ◊ 105; 20 000 = 2 ◊ 104; 20

c) 80 000 = 8 ◊ 104; 80 = 8 ◊ 10

187. a) 35; 70; 5; 140; 175b) 700 cm = 7 m; 500 mm = 50 cm; 14 000 mm = 1400 cm = 14 m;

17 500 mm = 1750 cm

188. a) 1 b) 10 c) 1 d) 10 e) 5 f) 5g) 25 h) 25 i) 7

189. a) 6 b) 80 óra = 3 nap 8 órac) 150 óra = 6 nap 6 óra d) 336 óra = 14 nap = 2 hét

190. a) 84 nap = 12 hét b) 91 nap = 13 hét (= 1 negyed év)c) 182 nap = 26 hét (= fél év) d) 4368 óra = 182 nap = 26 hét

191. a) 7 h b) 84 h = 3 és fél nap c) 96 h = 4 napd) 168 h = 7 nap

192. a) 60 min = 1 h b) 240 min = 4 h c) 30 min = fél h d) 120 min = 2 h

193. a) 48 h = 2 nap b) 16 h = két harmad napc) 180 min = 3 h d) 5 h = 300 min

194. a) 60 h = 2 és fél nap b) 180 h = 7 és fél napc) 5 nap = 120 h d) 90 min = 1 és fél h

195. a) 135 b) 27 c) 22 d) 4 e) 6 f) 5g) 192 h) 24 i) 57

196. a) (75 ◊ 86) : 43 = 150

b) (3 ◊ 19) ◊ 36 : 12 = 171

c) (2500 : 25) ◊ 4 = 400; 2500 : (25 ◊ 4) = 25

d) (8 ◊ 165) : (15 ◊ 4) = 22; 8 ◊ (165 : 15) ◊ 4 = 352

e) (5370 : 537) ◊ 10 = 100; 5370 : (537 ◊ 10) = 1

f) (1500 ◊ 60) : 30 = 3000; 1500 ◊ (60 : 30) = 3000

197. becslés hányados maradéka) 10 10 20

10 9 818 8 40

130 133 19


24

b) 5 5 510 10 560 64 28

300 300 7c) 9 9 95

10 10 19300 303 99

80 83 490d) 20 23 9

10 11 213150 145 525

81 81 81

198. becslés hányados maradéka) 5000 5005 0b) 1500 1615 175c) 300 336 272d) 4000 4246 134e) 350 347 5444f) 50 51 1514g) 300 347 2016h) 6 6 54 786i) 400 436 2

199. 3698

200. 53 utas

201. 3600 kannát

202.

203.

mert 1000 = 27 ◊ 37 + 1

204.


25

205. a) hányados: 6maradék: 65; 59; 53; 47; …; 11 6-tal csökken

b)hányados 16 12 9 8 7 6 5 4maradék 11 11 41 11 1 11 41 91

A kerek tízessel való osztások miatt a maradék mindig 1-re végzôdik.

c)hányados 138 13 1maradék 16 280 1270

d)hányados 68 6 0 68 0maradék 6 78 618 60 6180

e)hányados 137 112 94 82maradék 43 23 55 3

206. a) 30 - 15 + 33 + 6 = 54 b) (30 - 30) : 2 + (33 + 66) : 11 = 9

c) (20 540 - 603) ◊ 25 - 40 = 498 385 d) 20 540 - 15 075 - 40 = 5425

207. a) 104 192 - 111 = 104 081 b) 55 040 + 675 - 91 + 6795 = 62 419

c) 222 - 189 + 275 730 = 275 763 d) 160 638 : 1306 = 123

208. a) 1 600 731 : 4807 = 333 b) 157 464 : 648 = 243 c) 165 968 : 1012 = 164

209. a) 534 = 534 b) 534 < 2745 c) 4197 > 534

210. a) 132 < 3795 b) -2079 < 132 c) 132 = 132

211. a) a : b = 48 48 ◊ b = a a : 48 = b

a bb a

144 0 4810 48 7 48480 2304 336

3◊:

b)a bb a

71 000 1 1001 37 301 447 100 10 3600 30 000 44 600

711( )

:- ◊

+

c)

abcg

1320 151 5711 2100 88021380 1501 100 78

9 7 60 12100 30 500 22 111

299549 289

100 80300

(a + b) : c = g g ◊ c - a = b g ◊ c - b = a (a + b) : g = c

212. 60 kosár; 540 kosárba.

213. osztandó 115 230 345 690 805 115 115 115 115osztó 3 3 3 3 3 6 9 18 21hányados 38 76 115 230 268 19 12 6 5maradék 1 2 0 0 1 1 7 7 10

osztandó 568 1136 1704 3408 3976 568 568 568 568osztó 35 35 35 35 35 70 105 210 245hányados 16 32 48 97 113 8 5 2 2


26

maradék 8 16 24 13 21 8 43 148 78

214. a)ab

72 108 1369 13

40 5617 26 33

a = 4 ◊ b + 4 (a - 4) : 4 = b

b) pl.: ab

55 107 20 8815 10 13 3963 63 42 42

52 52 17 17

a-t b-vel osztva a maradék 3. b az a - 3-nak 3-nál nagyobb osztója.

c)ab

111 39 134 15 5411 7 9 12 13 15

71 159 2155 8

a = b ◊ b - 10

215. a) 308 b) 767 c) 311 d) 724 e) 1992 f) 2000

216. a) 1990 b) 1513 c) 5775 d) 300 e) 3099 f) 349

217. Átlagosan 49 km-t tett meg 1 óra alatt az autóbusz.

218. A másik szám 110.

219. A két szám: 23 és 69.

220. Az egy napra esô átlag 2862 db, ezt az elsô napon közelítette meg a legjobban.

221. A keverék 1 kg-jában átlag 57 db cukor lesz.

222. A keverék hômérséklete 24 ºC.

223. A forró víznek 103 ºC-osnak kellene lennie; ilyen nem lehet, mert már 100 ºC-on gôzzéalakul!

224. A szám: 270.

225. A két rész: 428; 2140.

226. A három rész: 234; 468; 1170.

227. A két szám: 12 880; 368.

228. A lány 12 éves, az anya 36 éves, az apa 48 éves.

229. Az egyik fiú 58 db, a másik 145 db diót kapott.

230. A két szám: 360; 50. Mert: 360 + 50 = 410 és 50 ◊ 7 + 10 = 360.

231. A két szám: 9412 és 29 158.

232. Nincs ilyen természetes számpár. (A feltételeknek megfelel a 32,5 és 107,5.)

233. A két szám: 9612 és 356.

234. A maradék 13. (Bármely 26-nál nagyobb természetes számot a nála 13-mal kisebbelelosztva ezt tapasztaljuk.)


27

235. 19 ágyás és 75 bokor van.

236. 11 kosár volt és 490 db dinnyét kellett elszállítani.

237. 12 év múlva édesanyám 42 éves lesz, én 21 éves leszek.

238. Ha a két város közti távolságot azonos átlagsebességgel tették meg, akkor azonos ideigvoltak úton. A második vonat két perccel tovább volt úton, ezt várakozási idô (azállomás elôtti tilos jelzés) okozhatta. (190 perc, 192 perc).

239. A szorzat 32 768 = 215.

240. a) [5 ◊ (1000 - 105) - 4325] : 6 ◊ 40 000 - 999 999 = 1b) 400 c) 2 d) 80

241. a) 112 200 b) 720 és maradék 100 c) 49 920 d) 3 119 300

242. a) 31 440 + 1040 : [150 - 2400 : 120] ◊ 20 : 395 + 1001 = = 31 440 + 1040 : 130 ◊ 20 : 395 + 1001 = 31 440 + 8 ◊ 20 : 395 + 1001 = = 31 600 : 395 + 1001 = 80 + 1001 = 1081

b) 12 c) hibás, nincs megoldás d) 1

64 2 256128 32 8

4 512 16

2 2 22 2 22 2 2

6 8

7 5 3

2 9 4vagy

28

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL

Egész számok értelmezése

243. a) (1) - 20 Ft (2) + 50 Ft adósság - készpénz

b) (1) - 8 ∞C (2) + 12 ∞C hideg - meleg

c) (1) + 1015 m (2) - 7450 m magasság - mélység

d) (1) + 5 (2) - 6 pl.: növekedés - csökkenése) 0

244. a)

b) végtelen sok megoldás; pl.: -6; 6 0; 12 -1; 11c) pl.: 6 megoldás

(-4; +3), (-5; +2), (-6; +1), (-7; 0), (-8; -1), (-9; -2)

245. a) pl.:

végtelen sok megoldás

b) 1 megoldás

c) pl.:


d) pl.:


e) pl.: 6 megoldás

246. a) 5; -1; +8; 0; +3; +7; +1

b) -3; -7; -1; 0; +3; +1; -10; -5

EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE

29

c) -1; 0; +3; +1

d) (-3; +3); (5; -5); (-7; +7); (-1; +1); (0; 0)

e) pl.: (-3; -7); (-3; -1); (5; 8); …

f) pl.: (-3; -7); (0; +3); (5; 8); …

g) (-3; +3); (5; -5); (-7; +7); (-1; +1)

247. a) (-3; +3); (5; -5); (-7; +7); (-1; +1); (0; 0)

b) (5; 0); (+3; +8); (0; -5); (-10; -5)

c) (-7; +1); (-5; -1)d) 5; +8; 0; +3; +7; +1e) 5; +8; 0; +3; +7; +1f) -3; -7; -1; -10; -5; 0; (a Ω0Ω = 0 önmaga és ellentettje is)

248. a) 0+9 > +3 b) 0-3 < 0 c) 0-7 < -40+3 = 3 0-3 < +9 0-1 > -30+7 < +31 +14 > -2 -11 > -30+11 = 11 0+3 > -3 0-2 > -70+7 < +8 003 > -3 0-9 > -130+2 > 0 0-7 < +2 -13 < -9+32 < 43 017 > -6 -43 < -34

249. a) Két pozitív szám közül a nagyobb abszolút értékû a nagyobb.Pozitív és negatív számok közül a pozitív a nagyobb.Pozitív szám és a 0 közül a pozitív a nagyobb. A nulla nagyobb minden negatívszámnál.Két negatív szám közül a nagyobb abszolút értékû a kisebb.

b) Pozitív számok ellentettjei esetén a nagyobb abszolút értékû a kisebb.Negatív számok ellentettjei esetén a nagyobb abszolút értékû a nagyobb.A nulla nagyobb a pozitív számok ellentettjeinél.A nulla kisebb a negatív számok ellentettjeinél.Pozitív számok ellentettjei kisebbek a negatív számok ellentettjeinél.

250. a) -14 < -3 < -1 < 0 < +3 < 7 < +11 < +12

b) -(+7) < 0 < -(-1) < Ω-3Ω < 9 < 12

c) -(+9) < -4 < -3 < Ω0Ω < Ω-4Ω = -(-4) < -(-5) < 9

251. a) +10 > 7 > +6 > 0 > -2 > -3 > -9 > -11

b) -(-9) = Ω-9Ω = 9 > +4 > 0 > -(+7) = -7

c) Ω-7Ω > 6 > Ω+5Ω = +5 > -(-3) > 0 > -(+3) > -16

252. a)

b)

c)

d)


30

253. b) nô: +10 ∞C; +11 ∞C; +8 ∞C; +6 ∞C; csökken: -2 ∞C; -3 ∞C; 0 ∞C; +2 ∞C

254. a) 5 ∞C-kal növekedni; 0 ∞C-kal növekedni vagy csökkenni; 2 ∞C-kal növekedni;5 ∞C-kal csökkenni; 11 ∞C-kal növekedni; 1 ∞C-kal növekedni; 3 ∞C-kal csökkenni.

b) -5 ∞C-ot; +2 ∞C-ot; +5 ∞C-ot; +20 ∞C-ot; 10 ∞C-ot

255. a) -5 < ª < +3 ª = -4; -3; -2; -1;0; 1; 2

b) -5 < ª < « < +3

- - - - - -- - -

4 4 4 4 4 43 2 1 0 1 2

- - - - -- -

3 3 3 3 32 1 0 1 2

- - - --

2 2 2 21 0 1 2

- - -1 1 10 1 2

0 01 2

ª = 1 « = 2c) -5 > ª

+3 > «

pl.: - - - - - - - -- - - - -

6 6 6 6 6 6 6 65 4 3 2 1 0 1 2

ª < -5 és ª < « < +3 pl.: - - -- - -

-7 7 76 5 4

72

...

d) -5 > ª > « > +3 nincs megoldás, mert -5 < +3

256. a) -3 ∞C £ T < +5 ∞C

b) -6 ∞C < T < -2 ∞C

c) -6 ∞C £ T £ -1 ∞C

d) -5 ∞C < T £ +5 ∞C

e) 0 ∞C < T < +10 ∞C

257. a) b)


31

C = 0-nál nem nagyobbak C = 0-nál nagyobbakD = nem negatívok D = negatívok

c) d)

C = nem nagyobb, mint -4 C = nagyobb, mint 0D = nem kisebb, mint +6 D = -5-nél kisebb

e)

C = az ellentettje nem pozitívD = abszolút értéke nem önmaga

258. a) pl.: -7; -7; -6; -1; …; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1b) pl.: -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1, -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0, …c) 0d) pl.: -7; 0; -2; -1; 1; 3; …e) pl.: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …f) +3; -3; +3; -3g) pl.: 1, 0; -1, -1; 0; 1; ...; -7; -6; -3; 0; 1; ...

259. a) igaz b) igaz (0) c) igazd) hamis (+3 < +4) e) hamis (-4 < -3) f) igaz

260. a) hamis (-4 < 3) b) igaz c) igaz d) igaz

261. a) igaz b) hamis (0 < Ω-1Ω) c) hamis (0 = -(0))

262. a) a = +7

b) b > -3

c) c < +2

d) d > +5

e) e = -7

f) f = -2, -1, 0, 1


32

263. a) a < -7 vagy a > 1

b) -8 < b < +4

c) c £ -4 vagy c ¤ +2

d) -3 £ d £ 1

e) -4 < e < 4

264. a) -4-nél nagyobb, de +4-nél kisebb számokb) -4-nél nagyobb, de +5-nél nem nagyobb számokc) -15-nél kisebb vagy +10-nél nagyobb számokd) legfeljebb -5, vagy 0-nál nagyobb számoke) -10-nél nem kisebb és -6-nál kisebb, vagy +2-nél nem kisebb számok.

265. a) b)

A(3; 4); B(2; 7); C(5; 7); A(5; 0); B(7; 0); C(3; 0); D(1; 0); E(11; 0) D(5; 9); E(2; 3) Az x tengely pozitív felére illeszkedô pontok. Az elsô síknegyedbentalálható pontok.

c) d)


33

A(0; 5); B(0; 7) ; C(0; 3); A(-2; 2); B(-3; 4); C(-5; 1);D(0; 1); E(0; 11) D(-3; 9); E(-2; 6)Az y tengelyre illeszkedô A második síknegyedben lévô pontok.pontok.

266. a)

A(-1; 0); B(-3; 0); C(-11; 0); D(-5; 0); E(-7; 0)Az A, B, C, D, E pontok az x tengelynek pontjai.

b) c)

A(-2; -3); B(-7; -1); C(-4; -6); A(0; -1); B(0; -3); C(0; -11);D(-2; -5); E(-6; -6) D(0; -5); E(0; -7)A harmadik síknegyed pontjai. Az y tengely pontjai.


34

d)

A(2; -3); B(7; -1); C(6; -6); D(2; -9); E(5; -4)A negyedik síknegyed pontjai.

267. a) b)

A(+2; +3); B(+2; 0); A(0; -3); B(-2; -3); C(-5; -3); D(+4; -3); E(+7; -3)C(+2; -3); D(+2; -8); Az x tengelytôl a csökkenés irányában vannakE(+2; +6) 3 egységre.Az y tengellyel párhuzamos+2 egységre futó egyenesenvannak.


35

c)

A(-6; -6); B(+3; +3); C(-4; -4); D(0; 0); E(+6; +6)Mindkét tengelytôl egyenlô távol lévô pontok, ahol a koordináták azonos elôjelûek.

d)

A(-3; +3); B(-8; +8); C(-2; +2); D(+2; -2); E(+5; -5)Mindkét tengelytôl egyenlô távolságra lévô, különbözô elôjelû koordinátákkalrendelkezô pontok.


36

268. a)

A(+6; +3); B(+10; +5); C(+2; +1); D(-2; -1); E(-10; -5)Az y tengelytôl való távolságuk kétszerese az x tengelytôl való távolságuknak,a koordináták egyezõ elõjelûek.

b) c)


37

A(+1; +3); B(0; 0); C(+4; +12); A(+2; -3); B(-3; +3); C(0; 0); D(-5; 5);D(-4; -12); E(-1; -3) E(+6; -6)Az x tengelytôl való távolságuk A pontok koordinátái egyenlô abszolút háromszorosa az y tengelytôl értékûek és ellenkezô elôjelûek.való távolságuknak, a koordi-náták egyezõ elõjelûek.

d) e)

A(+2; -3); B(+2; +5); C(0; 4); A(+2; +3); B(+2; +5); C(0; 4); D(-6; 4);D(+6; -4); E(+3; -2) E(-3; +2)Olyan pontok, melyek Olyan pontok, melyek y koordinátája pozitív. x koordinátája nem nagatív.

269. a) igaz b) igaz c) igaz d) igaz e) igaz f) hamis

270. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis

271. a) igaz b) igaz c) hamis d) igaz e) hamis f) igaz

272. a) x és y ellentett párok

xy

0 1 6 6 80 4 5 2 9

- + - + - + - -+ - + - + - + +

4 5 2 91 6 6 8

¥

b) x abszolút értéke az yx

y

- + - - + - -+ + + + + - + - +

2 2 7 3 6 9

4 4 8

4 4

2 2 7 3 6 9

;


38

a) a második és negyedik síknegyedben lévô pontokb) az elsô és a második síknegyedben lévô pontok

Egész számok összeadása, kivonása

273. a) 0-ba b) 0-ba c) -2-be. Összeadásnak felel meg.

274. a) +5; +23; +23; +85; +100; +30; +30Két pozitív szám összege pozitív, az összeg abszolút értéke a tagok abszolútértékének összege.

b) -5; -23; -23; -85; -100; -30; -30Két negatív szám összege negatív, az összeg abszolút értéke a tagok abszolútértékének összege.

c) +1; +9; -9; -23; +50; -4; 0Egy pozitív és egy negatív szám összegének elôjele a nagyobb abszolút értékû tagelôjelével egyezik meg, abszolút értéke pedig a tagok abszolút értékénekkülönbsége.

275. a) a + b = 24 a = 24 - b b = 24 - a

ab

13 9 5 18 26 31 10 13

30 7 34 3711 15 29 6 26

- - -- - -

b) a - b = 12 b + 12 = a b = a - 12

ab

- -- - - - - - - -

3 8 0 5 102 5 10 10

10 7 2 2215 4 12 17 2

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

39

276. a) 13 + 9 = 22 b) 43 + 90 = 13371 + 3 = 74 105 + 1501 = 16065 + 4 = 9 0 + 200 = 20015 + 15 = 30 91 + 109 = 200

277. a) -13 - 9 = -22 b) -52 - 178 = -230-11 - 13 = -24 -75 - 75 = -150-15 - 2 = -17 -106 - 548 = -654-15 - 15 = -30 0 - 73 = -73

278. a) 13 - 9 = 4 b) 78 - 87 = -971 - 3 = 68 78 - 78 = 011 - 13 = -2 0 - 13 = -1317 - 17 = 0 171 - 519 = -348

279. a) -13 + 9 = -4 b) -27 + 48 = 21-7 + 6 = -1 -56 + 23 = -33-71 + 3 = -68 0 + 91 = 91-17 + 17 = 0 -310 + 210 = -100

280. a) -2500 + 1992 = -508 b) 1992 - 2500 = -508-2500 - 1992 = -4492 -1992 - 2500 = -44922500 - 1992 = 508 -1992 + 2500 = 508

281.

282. 7 + (-13) < 7 + (-4) < 7 + (-1) < 7 + 0 < 7 + (+12)

283. (-12) + (-3) < (-10) + (-3) < 0 + (-3) < (+8) + (-3) < (+11) + (-3)

284. (+4) + (-4) > (+2) + (-6) = (+4) + (-8) = (-2) + (-2) > (-2) + (-6)

285. a) -3 b) 0-1 c) +15 d) -12-1 0-4 +10 0-8+1 0-7 0+5 0-4+3 -10 0+0 0+0+5 -13 0-5 0+4+7 -16 -10 0+8

Ha az összeg egyik tagja állandó, a másik tagját valymennyivel csökkentjük (növeljük),az összeg ugyanannyival csökken (növekszik).


40

286. a) -4 b) +2 c) +4 d) +430 +2 +4 +43

+4 +2 +4 +43+8 +2 +4 +43

+12 +2 +4 +43+16 +2 +4 +43

Ha az összeg mindkét tagját változtatjuk, akkor az összeg a tagok változásánakösszegével változik.Ha az egyik tagot ugyanannyival növelem (csökkentem), mint amennyivel a másikatcsökkentem (növelem), akkor az összeg változatlan.

287. a) [(-4) + (+4)] + (+3) + (+2) = (+5)

b) [(+12) + (-12)] + [(+20) + (-14) + (-6)] = 0

c) [(-7) + (-42) + (+49)] + (+10) + (+15) = (+25)

288. a) [(365 + 335) + (-405 - 295)] + 500 = 500

b) (-47 - 13 - 70) + 100 = -130 + 100 = -30

c) (826 - 26) + (72 - 32) = 800 + 40 = 840d) 1 (Az ellentett párok összege 0.)

289. a) (-200 - 50 + 150) + (75 - 125) = -100 - 50 = -150

b) (1992 - 92 - 900) + 1000 = 2000

c) (-1 - 9 + 10) + (2 + 8 - 3 - 7) + (4 + 6 - 5) = 5

290. a) 9; 4; -1; -6; -11; -16; -21; -26; -31; -36A tíz elem összege: -135

b) -27; -22; -17; -12; -7; -2; 3; 8; 13; 18A tíz elem összege: -45

291. a) pl.: 2; -1; 1; 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8 összegük: 22

-1; -1; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3 összegük: 10

b) pl.: -19; -13; -8; -4; -1; 1; 2; 2; 1; -1 összegük: -40

c) pl.: -1; +1; +5; +13; +29; +61; +125; +253; +509; +1021 összegük: 2016

292. a) pl.: -512; -256; -128; ... 10. elem: -1 Az elsô öt elem összege: -992

b) pl.: -5; -10; -20; ... 12. elem: -10 240 Az elsô öt elem összege: -155

c) pl.: -17; -34; -51; ... 8. elem: -136 Az elsô öt elem összege: -255

293. Mindkét esetben 680 Ft lesz a vagyonuk. 527 - (-153) = 527 + (+153) = 680

294. a) -4 b) +1 c) +13 d) -11 e) +7 f) 0

295. a) +37 b) +94 c) +46 d) +105 e) +84 f) +7


41

296. a) -18 b) -25 c) -13 d) -61 e) -87 f) -62

297. a) -9 b) +48 c) 0 d) +77 e) -62 f) -7Elôjeles számok kivonását úgy is elvégezhetjük, hogy a változatlan kisebbítendôhözhozzáadjuk a kivonandó ellentett párját.

298. a) (+17) + (-8) = +9 b) (+23) + (-17) = +6

c) (-8) + (-11) = -19 d) 0 + (-13) = -13

e) nincs megoldás f) (+854) + (-1001) = -147... kivonandó ellentettjét.

299. a) (+18) + (+7) = +25 b) (-9) + (+36) = +27

c) (-8) + (+17) = +9 d) 0 + (+56) = +56

e) (+98) + (+52) = +150 f) (+277) + (+111) = +388

g) (-397) - (-515) = (-397) + (+515) = +118... a változatlan kisebbítendôhöz hozzáadjuk a kivonandó ellentettjét.

300. a) (+a) - (+b) = (+a) + (-b) b) (-a) - (+b) = (-a) + (-b)(+a) - (-b) = (+a) + (+b) (-a) - (-b) = (-a) + (+b)

c) (+a) - (-b) = (+a) + (+b)(-a) - (-b) = (-a) + (+b)

301. a) (-12) + (-15) = -27 b) (-7) + (+2) = -5

c) (+4) - (-16) = (+4) + (+16) = +20 d) (-14) - (+4) = (-14) + (-4) = -18

302. a) (-31) + (-13) = -44

b) (+15) + (+19) = (+15) + (+19) = +34 vagy (+15) - (+19) = (+15) + (-19) = -4

c) (+7) - (+7) = (+7) + (-7) = 0 vagy (-7) - (-7) = (-7) + (+7) = 0

303. a) x = 14

b) x < 10

c) x > -3

d) x = 17

e) x £ 5

f) x £ 3

304. a) y > -1


42

b) y > 4

c) y < -5

d) y £ 21

e) y > -3

f) y ¤ 2

305. a) x £ 5

b) x ¤ 5

c) bármely

egész szám

d) x = -7

e) x ¤ 7

f) x £ -6

306. a) (+5) + (-7) + (+4) = +2 b) (+5) - (-7) - (+4) = +8

c) (+5) - (-7) + (+4) = +16 d) (+5) + (-7) - (+4) = -6

307. a) 11 b) 23 c) 4 d) 5 e) 8 f) -711 7 4 5 8 -5

308. a) -17; 17 b) 460; 1016

309. a) 0 b) -81 c) -58 d) -14

310. a) -25 b) -1 c) -14 d) -71 e) 0 f) -14g) 0 h) 44

311. a) [-3 - (-3)] + (+2) = 2

b) [243 + (-200) - (+43)] + [(+28) - (+28)] = 0

c) [602 + (+398)] - (-826) + (-26) = 1000 + 800 = 1800

d) [-57 + (-3) + 60] + (+191) + (-91) = 100

312.Sorok, oszlopok, átlók öszege: a) 4 b) 0 c) -3A kilenc szám összege: a) - b) 0 c) -9


43

a)

b)

c)

nincs megoldás

313. a) -39 b) 0; több megoldás c) 4

x yu zx zu y

+ = -+ =+ =+ =

51033

Nincs megoldás.

d) 9 e) 15 f) -3

314. a) A'(5; -1) b) A''(-2; -1) c) A'''(3; 7) d) A*(3; -3)B'(7; -3) B''(0; -3) B'''(5; 5) B*(5; -5)C'(5; -7) B''(-2; -7) C'''(3; 1) C*(3; -9)D'(3; -3) D''(-4; -3) D'''(1; 5) D*(1; -5)


44

315. a) A'(6; 2) b) A''(-1; -5) c) A'''(6; -3)B'(8; 0) B''(1; -7) B'''(8; -5)C'(6; -4) B''(-1; -11) C'''(6; -9)D'(4; 0) D''(-3; -7) D'''(4; -5)

316. a) A'(-3; -2) b) A''(9; 0) c) A'''(3; 1) d) A*(3; 1)B'(-1; -4) B''(11; -2) B'''(5; 3) B*(5; 3)C'(-3; -8) B''(9; -6) C'''(3; 7) C*(3; 7)D'(-5; -4) D''(7; -2) D'''(1; 3) D*(1; 3)


45

317. a) 6 < 10 b) 3 < 9 c) 13 = 13 d) -15 = -15 e) 6 < 14f) 5 < 17

318. a) 19 = 19 b) 15 = 15 c) 12 < 26 d) 3 < 7 e) -15 < 3

319. a b a b a b a b a b a b+ + + +-

- -- - -

- -

7 1312 18

6 70 9

7 13 20 6 20 612 18 6 30 30 66 7 1 1 13 130 9 9 9 9 9

320. a b a b a b a b a b a b- - - -- - - -

- - -- -- -

6 1454 6012 67 7

6 14 8 20 8 2054 60 114 6 6 11412 6 6 18 6 187 7 0 14 0 14

321. a) a = -22 b) b < -13 c) c = 14 d) d < 0 e) e = 35 f) f £ -8f)

322. a) a = -9 b) b ¤ 21 c) c = -8 d) d < 0 e) e = -27 f) f ¤ -3f)


46

323. a)

b)

c)

d)

324. a)Hely 1. 2. 3. 4. 5.

Szám ötféle négyféle háromféle kétféle egyféle

5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120120 lehetséges sorrendben írhatjuk be a számokat, de ezek a mûveletsorok nemadnak mind különbözô eredményt.

b) Táblázatba foglaltuk a számokat és a hozzájuk kapcsolódó mûveleti jeleket:

Számok Mûveleti jelek0 + + + + + + - - - -

-7 + + + - - - - + + +

-5 + - - + + - + - + ++4 - - + - + + + + - ++6 - + - + - + + + + -

A mûveletsoreredménye

-22 -0- -4 -4- -0- -22- -12- -8- -10 -10-

(A 0 akár összeadandó, akár kivonandó, nem befolyásolja az eredményt.)Három helyen szerepel összeadandó, ezekre a helyekre hatféle sorrendben írhatókbe a számok. Két kivonandó van, ezek lehetséges sorrendje kettô. Ezért mindenoszlop végén szereplô szám tizenkétszer fordul elô eredményként. A nulla kétoszlop végén is megtalálható, ezért ezt az eredményt huszonnégyszer kapjuk.

c) Legkisebb az eredmény, ha a két kivonandó a két pozitív szám; legnagyobb, ha a kétkivonandó a két negytív szám.

d) Összesen kilenc különbözô eredmény fordul elô.

325. a) 25 = 32 lehetôségünk van az elôjelek beírására.

b) (1) (+18) - (+17) + (+16) - (+15) + (+14) = +16(1) (+18) - (+17) + (+16) - (+15) + (-14) = -12(1) (+18) - (+17) + (+16) - (-15) + (+14) = +46(1) (+18) - (+17) + (+16) - (-15) + (-14) = +18


47

(2) (+18) - (+17) + (-16) - (+15) + (+14) = -16(1) (+18) - (+17) + (-16) - (+15) + (-14) = -44(1) (+18) - (+17) + (-16) - (-15) + (+14) = +14(1) (+18) - (+17) + (-16) - (-15) + (-14) = -14(3) (+18) - (-17) + (+16) - (+15) + (+14) = +50(1) (+18) - (-17) + (+16) - (+15) + (-14) = +22(1) (+18) - (-17) + (+16) - (-15) + (+14) = +80(1) (+18) - (-17) + (+16) - (-15) + (-14) = +52(4) (+18) - (-17) + (-16) - (+15) + (+14) = +18(1) (+18) - (-17) + (-16) - (+15) + (-14) = -10(1) (+18) - (-17) + (-16) - (-15) + (+14) = +48(1) (+18) - (-17) + (-16) - (-15) + (-14) = +20(5) (-18) - (+17) + (+16) - (+15) + (+14) = -20(1) (-18) - (+17) + (+16) - (+15) + (-14) = -48(1) (-18) - (+17) + (+16) - (-15) + (+14) = +10(1) (-18) - (+17) + (+16) - (-15) + (-14) = -18(6) (-18) - (+17) + (-16) - (+15) + (+14) = -52(1) (-18) - (+17) + (-16) - (+15) + (-14) = -80(1) (-18) - (+17) + (-16) - (-15) + (+14) = -22(1) (-18) - (+17) + (-16) - (-15) + (-14) = -50(7) (-18) - (-17) + (+16) - (+15) + (+14) = +14(1) (-18) - (-17) + (+16) - (+15) + (-14) = -14(1) (-18) - (-17) + (+16) - (-15) + (+14) = +44(1) (-18) - (-17) + (+16) - (-15) + (-14) = +16(8) (-18) - (-17) + (-16) - (+15) + (+14) = -18(1) (-18) - (-17) + (-16) - (+15) + (-14) = -46(1) (-18) - (-17) + (-16) - (-15) + (+14) = +12(1) (-18) - (-17) + (-16) - (-15) + (-14) = -16

c) Akkor lesz az eredmény a lehetô legkisebb, ha pozitív számokat vonunk ki ésnegatív számokat adunk hozzá.Az eredmény a lehetô legnagyobb akkor lesz, ha minden kivonandó negatív ésminden hozzáadandó pozitív szám.

326. a) -28b) (-26) - (+28) = -54c) [-9 - (+2)] - (-13) = (-11) - (-13) = +2d) [(-26) - (+15)] - (-13) = (-41) - (-13) = -28e) -9 - [+2 - (-13)] = -24

327. a) [(-1) + (+2) + (-3) = -2 b) (+1) + [(-2)+(+3)] = +2c) [(-1) + (+2)] - (-3) = +4 d) (+1) + [(-2) - (+3)] = -4Az a, b, c, d esetekben a különbözô zárójelezés nem változtatja meg az eredményt, mertösszeghez egy számot úgy is hozzáadhatunk, hogy az egyik tagjához adjuk hozzá.Összegbôl úgy is kivonhatunk egy számot, hogy az összeg egyik tagjából vonjuk ki aszámot.e) [(-1) - (+2)] + (-3) = -6 f) [(+1) - (-2)] + (+3) = 6

(-1) - [(+2) + (-3)] = 0 (+1) - [(-2) + (+3)] = 0

g) [(-1) - (+2)] - (+3) = 0 h) [(+1) - (-2)] - (+3) = 0(-1) - [(+2) - (+3)] = -6 (+1) - [(-2) - (+3)] = 6


48

328. a) [1992 - (+555) - (+445)] - (+92) = 900[1992 - (+555)] - [(+445)] - (+92)] = 10841992 - [(+555) - (+445)] - (+92) = 17901992 - [(+555) - (+445) - (+92)] = 1974

b) [(+92) - (+445) - (+555)] - (+1992) = -2900(+92) - [(+445) - (+555)] - (+1992) = -1790[(+92) - (+445)] - [(+555) - (+1992)] = 1084(+92) - [(+445) - (+555) - (+1992)] = 2194

329. ( )x x y x y+ = ◊ =2

x

y

10 2 0 7 11 19

20 4 36 1992

- - - - -18; 18 996; 996

0 14 22 38

Egész számok szorzása, osztása

330. a) (+2) ◊ 5 = (+10) b) (+5) ◊ 3 = (+15) c) (+27) ◊ 4 = (+108)

d) (+1992) ◊ 3 = (+5976)

331. a) (-8) ◊ 6 = (-48) b) (-7) ◊ 4 = (-28) c) (-52) ◊ 5 = (-260)

d) (-1992) ◊ 3 = (-5976)

332. a) Az elsô tényezô változatlan, a második tényezô 1-gyel csökken; a szorzat 7-telcsökken.

b) Az elsô tényezô változatlan, a másik tényezô 1-gyel csökken; a szorzat 7-tel nô.

333. a) -252 b) -513 c) 10 000 d) 30 000 e) -2500 f) -2000

334. a) -63 b) -2842 c) 148 400 d) -108 669 e) -505 505 f) 151 572

335. a) -400 392 b) -30 525 c) 0 d) -24 576 e) -4800 f) 976 000

336. a b a b a b a b a b a b5 44 54 5

4 54 5

0 117 75 20

16 25

◊ - ◊ ◊ - ◊ ◊ - ◊ -+ - + - +

- - - - + -- + + - + -

- - - + + - +- +- + + - + -

- - - + + - +- - - - + -

( ) ( )20 20 20 20 20 2020 20 20 20 20 2020 20 20 20 20 2020 20 20 20 20 200 44 0 0 0 035 28 49 49 49 4925 80 100 100 100 10080 100 400 400 400 400

337. xy

- - - - -- - - - - -

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 623 19 15 11 7 3 1 5 9 13 17 21

x ◊ 4 = y + 3 x ◊ 4 - y - 3 = 0 y = x ◊ 4 - 3 x = (y + 3) : 4

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA

49

338. xy

- - - - - -- - - - - -

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 521 17 13 9 5 1 3 7 11 15 19 23

(-4) ◊ x = y + 3 (-4) ◊ x - y - 3 = 0 y = (-4) ◊ x - 3 x = (y + 3) : (-4)

339. xy

- - - - - -- - - -

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 523 20 17 14 11 8 5 2 1 4 7 10

(-3) ◊ x = y - 5 (-3) ◊ x - y + 5 = 0 y = (-3) ◊ x + 5 x = (y - 5) : (-3)

340. a) -632 811 b) +1 717 439 724 c) -874 437 000 d) + 3 968 064

e) -2 151 136 988 f) +49 844 322 g) -4 080 028 724 h) -410 040

341. (-12) ◊ (+25) = (-300)

a) (-48) ◊ (+25) = -1200 A szorzat négyszeresére változik.(-12) ◊ (+100) = -1200

b) (-4) ◊ (+25) = -100 A szorzat harmadára változik.

342. (-12) ◊ (+25) = (-300)

a) A szorzat tizenhatszorosára változik.

b) (-60) ◊ (+50) = (-3000) A szorzat tízszeresére változik.

c) (-6) ◊ (+5) = (-30) A szorzat tizedére változik.

d) (-3) ◊ (+50) = (-150) A szorzat a felére változik.

343. (-12) ◊ (+25) = (-300)

a

b

c

)

)

)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− ⋅ + = −− ⋅ + = −− ⋅ + = −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

6 50 300

4 75 300

3 100 300

a szorzat változatlan

344. (+60) ◊ (-24) = (-1440)

a) (+120) ◊ (-24) = (-2880) b) (+30) ◊ (-24) = (-720)(+60) ◊ (-48) = (-2880) (+60) ◊ (-12) = (-720)

c) pl.: (+60) ◊ (-6) = (-360) d) pl.: (+60) ◊ (-144) = (-8640)pl.: (+30) ◊ (-12) = (-360) pl.: (+120) ◊ (-72) = (-8640) pl.: (+15) ◊ (-24) = (-360) pl.: (+180) ◊ (-48) = (-8640)

pl.: (+360) ◊ (-24) = (-8640) pl.: (+720) ◊ (-12) = (-8640) pl.: (+1440) ◊ (-6) = (-8640)


50

345. (+60) ◊ (-24) = (-1440)a) (+120) ◊ (-1) = (-120) b) pl.: (+240) ◊ (-6) = (-1440)

(+30) ◊ (-4) = (-120) pl.: (+120) ◊ (-12) = (-1440) (+20) ◊ (-6) = (-120) pl.: (+12) ◊ (-120) = (-1440) (+10) ◊ (-12) = (-120) pl.: (+20) ◊ (-72) = (-1440)

c) pl.: (-60) ◊ (+24) = (-1440)pl.: (-120) ◊ (+12) = (-1440)pl.: (-5) ◊ (+288) = (-1440)

346. I.

A(0; 2); B(4; -2); C(6; 2); D(2; 8)I. a) A'(0; 2) b) A''(0; 4) c) A'''(0; 4)

B'(12; -2) B''(4; -4) B'''(8; -4)C'(18; 2) C''(6; 4) C'''(12; 4)D'(6; 8) D''(2; 16) D'''(4; 16)torzult torzult nagyított kép

II. d) A'(0; 2) e) A''(0; 1) f) A'''(0; 1) g) A*(0; 1)B'(2; -2) B''(4; -1) B'''(2; -1) B*(8; -1)C'(3; 2) C''(6; 1) C'''(3; 1) C*(12; 1)D'(1; 8) D''(2; 4) D'''(1; 4) D*(4; 4)torzult torzult kicsinyített kép torzult


51

II.

A(0; 2); B(4; -2); C(6; 2); D(2; 8)

347.


52

a) A'(0; 2) b) A''(0; -4) c) A'''(0; -4) d) A*(0; -2)B'(-8; -2) B''(4; 4) B'''(-8; 4) B*(-4; 2)C'(-12; 2) C''(6; -4) C'''(-12; -4) C*(-6; -2)D'(-4; 8) D''(2; -16) D'''(-4; -16) D*(-2; -8)torzult torzult nagyított kép Az eredetivel

egybevágónégyszögetkapunk(középponto-san tükröz-tük).

348. a) +240 b) -240 c) +240-240 -240 +240ellentettek azonosak azonosak

349. a) +120 b) -120 c) -240+240 -240 -240kétszeresére kétszeresére változatlanváltozott változott a szorzat

350.

351.

352.

353. y = (-5) ◊ xx

y

- - - - - -- - - - - -

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30


53

a) x = 1 y = -5x = -1 y = 5

b) x £ 1 y ¤ -5x > -1 y < +5

c) x = 0 y = 0x < 0 y > 0

x £ 0 y £ 0

x £ 0 y ¤ 0

x ¤ 0 y £ 0

354. y = -3x + 4

xy

- - - - - -- - - - - -

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 722 19 16 13 10 7 4 1 2 5 8 11 14 17


54

a) ha x = 0, akkor y = 4b) ha x < 2, akkor y > 0c) ha x > 1, akkor y legfeljebb 0 (de

nincs olyan egész szám, amelyrey = 0)

d) ha -2 < x < 4, akkor -8 < y < 8

e) ha -5 £ x £ 5, akkor -11 £ y £ 19

355. a) 5; -5 b) 0 c) nincsmegoldása d) 3

e) ª < 3 f) ª ¤ 3 g) 0; 1 h) ª £ 4 i) ª £ -5

356. a) -2; +4; -8; +16; -32; +64; -128; +256

b) +50; -50; +50; -50; +50; -50; +50; -50;

c) -11; -33; -99; -297; -891; -2673; -8019; -24 057

d) +7; -14; +28; -56; +112; -224; +448; -896

357. a) 210 ◊ (-4) = -840 b) -251 ◊ (+8) = -2008

c) 98 ◊ (-12) = -1176 d) (-84) - (-63) = -21

e) (-42) ◊ 234 = -9828 f) 8 ◊ (-24) ◊ (-11) = 2112

358. a) 160 b) -98 915 c) 96 d) 413 e) 52 000 f) 2200

359. a) 10 b) 1000 c) -100 d) -2000 e) 0 f) -100 000

g) -3200 h) 0

360. a) -96 b) -540 c) 9600 d) -84 132 e) 20 592 f) 580 000

g) -234 090 h) 6 354 110 i) 710 142 j) 396 806 400


55

361. abc

a b ca b ca c b ca b c

a b ca b a ca b ca b

+ - - + - -+ - + - - ++ - - + +

+ ◊ - - -◊ + - - -◊ + ◊ - - -

- ◊ - -◊ - - - -◊ - ◊ - - -◊ + - - -+

7 7 7 7 7 79 9 9 9 9 95 5 5 5 5 0

80 80 10 10 80 098 98 28 28 28 6380 80 10 10 80 010 10 80 80 10 0

28 28 98 98 98 6328 28 98 98 98 6368 58 68 58 68 63

( )( )

( )( )

◊ - - - -c 52 38 52 38 52 7

362. a) (+2)5 = +32 b) (+5)2 = +25 c) (-1)6 = +1 d) (-25)3 = -15 625

363. a) -1 b) +9 c) -1 d) -8 e) +1 f) -32g) +1 h) +25 i) +1 j) +1 k) +1 l) +1

364. a) 54 = (-5)4 b) (-7)2 > (-5)3 c) 32 > 23

mert 625 = 625 mert 49 > -125 mert 9 > 8

d) 16 = 16 e) 9 > -8 f) 64 > -32

g) 625 > -625 h) 64 > -64 i) 10 000 = 10 000

365.

366.

367. a) 4 ◊ 81 = 324 b) (-8) ◊ 9 = -72 c) 16 ◊ 27 = 432

d) (-64) ◊ (-8) = 512 e) -4 ◊ 9 = -36 f) 1 ◊ (-1) = -1

g) -9 ◊ 125 = -1125 h) 1 ◊ (-32) = -32 i) 4 ◊ (-8) = -32

368. a) -4 ◊ 4 ◊ 25 = -400 b) 4 ◊ (-10) ◊ 4 = -160

c) -27 ◊ 15 ◊ 16 = -6480 d) -4 ◊ 4 ◊ 25 = -400

e) -4 ◊ 9 ◊ 16 = -576 f) 32 ◊ 81 ◊ 1024 = 2 654 208

369. a) xx

xx

- - - - -

+- - - - - -

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 525 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

2 27 18 11 6 3 2 3 6 11 18 275 20 11 4 1 4 5 4 1 4 11 20

2

2

2


56

b) xx

xx

- - - - -

+-

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 625 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36

2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 645 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1

2

2

2( )( )

: A grafikon két egységgel negatív irányba eltolódott az x tengely mentén.

¥: A grafikon az x tengely mentén pozitív irányba öt egységgel eltolódott.


57

370. a) xxxx

- - - - -

- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 525 16 9 4 1 0 1 4 9 16 2525 16 9 4 1 0 1 4 9 16 2525 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

2

2

2( )

A grafikont az x tengelyre tengelyesen tükröztük. A második és harmadik grafikonegybeesik.

b) xx

xx

- - - - -

- - - - - - - - - - - - -- - - - - - -

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 525 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

2 27 18 11 6 3 2 3 6 11 18 275 20 11 4 1 4 5 4 1 4 11 20

2

2

2


58

: A grafikon az x tengelyre való tükrözés után két egységgel eltolódott negatív

irányba az y tengely mentén.

¥: A grafikon az x tengelyre való tükrözés után öt egységgel eltolódott az y tengelypozitív irányába.

c) xx

x

- - - - ---

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 53 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4

64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4

2

2( )(3 )


59

A grafikonok egybeesnek.

d) xx

x

- - - - -- - - -

- - - - - - - - -

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 53 22 13 6 1 2 3 2 1 6 13 22

3 22 13 6 1 2 3 2 1 6 13 22

2

2

A pontpárok egymásnak - az x tengelyre való tükrözéssel nyert - tükörképei.

e) xx

x

- - - - - --+

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 65 121 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1

5 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121

2

2( )( )


60

A grafikonok egymás tíz egységre eltolt képei az x tengely mentén.

f) xx

x

- - - - -- + - - - - - - - - - -

+

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 52 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

2

2( )

( )

A grafikonok egymás x tengelyre tükrözött képei.

371. a) x = 0, vagy b) x = 0, vagy c) x = 0, vagyx - 5 = 0 Æ x = 5 x + 3 = 0 Æ x = -3 x - 3 = 0 Æ x = 3


61

372. a) x1 = 0; x - 3 = 0 Æ x2 = 3; x + 3 = 0 Æ x3 = -3

b) x1 = 0; x - 2 = 0 Æ x2 = 2; x - 3 = 0 Æ x3 = 3; x + 4 = 0 Æ x4 = -4

c) x + 2 = 0 Æ x1 = -2; 3x = 0 Æ x2 = 0; x3 = 3; x4 = -7

d) x1 = 0; x2 = 1; x3 = -2; x4 = 3

373. xy

x y

5 15 1 4 0 129 12 5

45 13 72 96 75 17 120

- -- - - -

◊ - - - -

6 153 13 24 10

45

374. pl.:xy

x y

105 4 0 1275 4 52 19

210 150 64 48 0 36 144

2 16 0 62 12 6 12

0

- - - -- - - + - -

◊ - - -

375. (-18) : (-6) = (+18) : (+6) = (-42) : (-14) = +3

(-18) : (+6) = (+18) : (-6) = (-42) : (+14) = -3

376. a) ◊ - - -- -- -

- -

20 10020 64050 200

080

32 4400 2000 80

1000 1600 50000 0 0 0

2 és fél 50 250 10

b) ◊ - -- - -- - -

- -- - -

9 7225 100 175 300

12 108 48 841125 500 1500

24 42 72

4 1225

144125 875

6 54

377. a) +16 (+16) : (+2) = (+8) (+16) : (+8) = (+2)b) +84 (+84) : (+7) = (+12) (+84) : (+12) = (+7)c) -65 (-65) : (+13) = (-5) (-65) : (-5) = (+13)d) -84 (-84) : (+21) = (-4) (-84) : (-4) = (+21)

378. a) -126 b) -330 c) +35 d) +72

379. a) pl.: b) pl.: c) pl.:(+45) : (+3) = (+15) (-63) : (+7) = (-9) 0 : (+8) = 0(-45) : (-3) = (+15) (+63) : (-7) = (-9) 0 : (-9) = 0

380. a) 0+2 (+12) ◊ (+2)0 = +24 b) 0-2 (+12) ◊ (-2)0 = -240+4 0(+6) ◊ (+4)0 = +24 0-4 0(+6) ◊ (-4)0 = -240+8 0(+3) ◊ (+8)0 = +24 0-8 0(+3) ◊ (-8)0 = -24


62

+24 0(+1) ◊ (+24) = +24 -24 0(+1) ◊ (-24) = -24-24 0(-1) ◊ (-24) = +24 +24 0(-1) ◊ (+24) = -240-6 0(-4) ◊ (-6)0 = +24 0+6 0(-4) ◊ (+6)0 = -240-3 0(-8) ◊ (-3)0 = +24 0+3 0(-8) ◊ (+3)0 = -24

Pl.: Soronként az eredmények egymás ellentettjei. Két egyezô elôjelû egész számhányadosa pozitív. Két különbözô elôjelû egész szám hányadosa negatív.

381. a) (-21)-szerese b) (+21)-szerese c) (-10)-szerese d) (+10)-szerese

e) (+3)-szorosa f) (-3)-szorosa g) (+1)-szerese h) (-1)-szeresei) (+210)-szerese j) nem értelmezhetô

382. a) (-48) : x = -8 b) (-48) : x = +6 c) (+48) : x = -8 d) (+48) : x = -6x = (-48) : (-8) x = -8 x = -6 x = -8x = +6ell.: (-48) : (+6) = -8

383. a) y : (-9) = +4 b) y : (-9) = -6 c) y : (+9) = +4 d) y : (-9) = -4y = (-9) ◊ (+4) y = +54 y = +36 y = +36y = (-36)ell.: (-36) : (-9) = +4

384. a) (-72) : (-36) = a b) (-72) : (-24) = ba = +2 b = +3

c) (+72) : (+36) = c d) (+72) : (+24) = dc = +2 d = +3

385. pl.:xy

x y

216 216 216 216 2164 36 6 6 9

8 36 4 27 24

- - -- - - -

- - -

216 216 21627 54 8

54 6 36:

386. a)

pl.:

: - -- -

- -- -

8 1872 6

0180 30

6 129 12 4

0 0 0 022 és fél 10 15

144 18 24 8 12

b) pl.: :

*

9 412

36 1272 4

4

- -- -

- - + -- - -

- -

3 18216 24 72 54

4 9 28 24 18

36 12 9 2

pl.: * A 3. sorból indítsunk!

387. a) (a - 3) : (-4) = 0, ha a = +3 b) (a - 3) : (-4) > 0, ha a < +3


63

c) (a - 3) : (-4) < 0, ha a > +3 d) (a - 3) : (-4) £ 0, ha a ¤ +3

e) (a - 3) : (-4) ¤ 0, ha a £ +3

388. x ◊ (-5) = y y : (-5) = x

xy

12 6 0 21 6060 30 0 25 150 0

- - -- - -

5 30 0105 300

389. x : (+4) = y y ◊ (+4) = x

xy

- - - -- - - -

48 96 28 60 0 12012 15 24 0

96 024 7 0 30

390. x : (-23) = y y ◊ (-23) = x

xy

- - -- - -

322 276 23 529 0 48314 12 23 0

529 01 23 0 21

391. a) (-4) : (x - 3) > 0, ha x - 3 < 0; x < 3

b) (-4) : (x - 3) ¤ 0, ha x - 3 < 0; x < 3

c) (-4) : (x - 3) = 0 nincs ilyen x

d) (-4) : (x - 3) > 0 értelmetlen, ha x - 3 = 0, azaz x = 3

392. a) (x - 3) : (x - 6) < 0, ha x - 3 > 0 és x - 6 < 0 3 < x < 6, azaz x = 4; x = 5

b) (x - 3) : (x - 6) ¤ 0, ha x - 3 ¤ 0 és x - 6 > 0, azaz x > 6, illetve x - 3 £ 0

és x - 6 < 0, azaz x £ 3

c) (x - 3) : (x - 6) = 0, ha x - 3 = 0. azaz x = 3

d) (x - 3) : (x - 6) értelmetlen, ha x - 6 = 0, azaz x = 6

393. a) 72 ◊ (-2) = -144-szerese b) 72 ◊ (-1) = -72-szerese

c) -1 ◊ 36 = -36-szorosa d) 72 ◊ 4 = 288-szorosa

e) -72 ◊ 36 = -2592-szerese f) nem értelmezhetô, mert 0-t szorozvamindig 0 a szorzat.

394. a) -2-szerese b) -4-szerese c) -2-szerese

d) -1-szerese e) (-2)3 ◊ 3 = -24-szerese f) 22 ◊ 7 = 28-szorosa

395. a) - < -6 51-gyel

b) + > -5 510-zel

c) + > -6 915-tel

d) - > -12 111-gyel

396. a) - < +-6 32( )-szeres

b) + > ++6 32( )-szeres

c) - < +-12 12

1( )-szeresd) + < +10 25

(két és félszeres)

397. Ellenôrzés

a) (-125) ◊ (-32) = 4000 b) 589 ◊ (-15) = -8835

c) (-664) ◊ (+3) = -1992 d) (-50) ◊ (+80) = -40 000


64

398. a) 123 b) -5005 c) -400 d) 1992 e) -27 350 f) -4587

399. a)144 2 72

24 48 72: ( )- = -

- - = -ÏÌÓ

b) -48 : (-6) = +8 c) 80 : (-8) = -10

d)- + = -

- + = -ÏÌÓ

42 6 716 9 7: ( )

e)- - = +

+ - = +ÏÌÓ

6 3 24 2 2: ( )

f)99 11 9

11 2 9: ( )- = -

- + = -ÏÌÓ

g)10 5 2

3 5 2: ( )+ = +

- + = +ÏÌÓ

h)105 15 7

12 5 7: ( )- = -

- + = -ÏÌÓ

i) 0 : (+9) = 0

j) 20 : (-5) = -4 k)0 7 0

7 7 0: ( )- =

- =ÏÌÓ

l) -15 : (+5) = -3

Ha az összeg tagjai oszthatók a számmal, akkor a tagok hányadosainak összegeként iskiszámíthatjuk az eredményt.

400. A(-16; -8); B(6; 0); C(+2; +12)

a) A'(+8; -8); B'(-3; 0); C'(-1; +12) b) A''(-16; 4); B''(6; 0); C''(+2; -6)

c) A'''(-8; -4); B'''(3; 0); C'''(+1; +6) d) A*(-8; +2); B*(3; 0); C*(+1; -3)Az eredeti és a c) feladatrészben szereplô háromszögek hasonlóak. A hasonlóság aránya2 : 1.


65

401. (-432) : (+24) = (-18)

a) (-864) : (+24) = (-36) 1 megoldás

b) (-432) : (+8) = (-54) 1 megoldás

c) pl.végtelen sok megoldásAz osztandót 6 - szeresre,az osztót - szeresre változtatjuk.

( ) : ( ) ( )( ) : ( ) ( )

( ) : ( ) ( )( ) : ( ) ( )

( ) : ( )

- + = -+ - = -

- + = -+ - = -

- + = -

¸

˝ÔÔ

˛ÔÔ

864 8 108864 8 108

1296 12 1081296 12 108

10 368 96 108

nn

402. (-432) : (+24) = (-18)

a) (-216) : (+24) = (-9) 1 megoldás

b) (-432) : (+72) = (-6) 1 megoldás

c) pl.végtelen sok megoldásAz osztandót - szeresre,az osztót 6 -szeresre változtatjuk.

( ) : ( ) ( )( ) : ( ) ( )( ) : ( ) ( )( ) : ( ) ( )

( ) : ( ) ( )

- + = -+ - = -- + = -+ - = -

- + = -

¸

˝ÔÔ

˛ÔÔ

144 48 3144 48 3216 72 3216 72 3

864 288 3

nn

403. (-432) : (+24) = (-18)

a) pl.: (-432) : (-24) = (+18) b) pl.: (+432) : (-24) = (-18)pl.: (+432) : (+24) = (+18)

c) pl.: (+864) : (+24) = (+36) d) pl.: (+144) : (+24) = (+6)pl.: (-432) : (-12) = (+36) pl.: (-144) : (-24) = (+6)

pl.: (+432) : (+72) = (+6)pl.: (-432) : (-72) = (+6)pl.: (+864) : (+144) = (+6)

e) pl.: (-864) : (-48) = 18 Végtelen sok megoldás van mindenpl.: (-864) : (+48) = -18 esetben.

404.

405. a) b)

406. a) x = -7 175 : (-7) = -25

b) x > 64 vagy x < 0 pl.: · = - + = - > -= - - - = > -

xx

128 1024 128 8 162 1024 2 512 16

( ) : ( )( ) : ( )


66

c) x = +7 (+7) ◊ (-200) = -1400

d) x £ -14 pl. x = -20 (-20) ◊ (-5) = +100 > +70

e) x = -16 (-16 + 6) ◊ (-4) = (-10) ◊ (-4) = 40

f) x > 16 pl. x = 20 (20 - 6) ◊ (-4) = 14 ◊ (-4) = -56 < -40Negatív számok közül az a kisebb, amelyiknek az abszolút értéke nagyobb.

407. a) Ω-7Ω = 7 b) Ω-9Ω = 9 c) Ω+17Ω = 17

408. a) Ω-60Ω-Ω-40Ω= 20 b) (-50) :Ω-50Ω= -1

c) Ω+66Ω: (-66) = -1 d) a hányados nem egész szám

409.x

y

- - - + - - - -+ - - - - - -12 6 18 0 1

4 0 9 3

9 4 12 36 1 36 18 2 2

3 6 2 36 1 36 1 2 18 18

xy

+ - + - +- - + -

3 3 9 4 612 12 4 9 6

18 értékpár

x ◊ y = -36 x = (-36) : y y = (-36) : x

a) y > 0, ha -36 £ x < 0 b) 0 < y < 9, ha -36 £ x < -4

y < -2, ha 0 < x < 18 -4 £ y £ +6, ha

y = 0 ilyen x érték nincs -36 £ x £ -6 és 9 £ x £ 36


67

410. a) x ◊ y = 21

xy

1 3 7 21 1 3 7 2121 7 3 1 21 7 3 1

- - - -- - - - 8 értékpár

(1) y > 0, ha x > 0(1) y < -2, ha x eleme a -1; -3; -7-nak(1) y = 0, ilyen x nincs(2) 0 < y < 9, ha x eleme a 3; 7; 21-nak

(1) -4 £ y £ 6, ha x eleme a -7; -21-nak, vagy x eleme a 7; 21-nakb) x ◊ y = -37

xy

1 37 1 3737 1 37 1

- -- - 4 értékpár

c) x ◊ y = -72; 24 értékpár d) x ◊ y = 120; 32 értékpár

411. a) x = -1 b) x = 0 c) x = 1 vagy x = -1 d) x = 1 vagy x = -1

412.

( ) : ( )

: : ( ) ( ) : ( ) : ( ) : : ( ) : : ( )x y x y+ -

- - - - - -- -

32 8 0 40 4 4 16 0 16 0 5 5 30 2 30 24 0 1 1 15 15

413. x

y

- - - - --

6 4 2 0 1232 32

8 8 12 1218 8 2 0 72 72

; ;


68

414.

( )x y x y2 252 2 40 8 100 14 8 0 52 10 58 4 9 3 25 1

26 5 3 25+ +

- - - -

- - -: ( ): ( ) : ( ) : : : ( ) : : ( ) :

nem egész nincs ért. nem egész 14 és fél

415. ( )x y x y2 2 0 16 32 4 28 2 0 4 20 2 40 10 9 3 0 00 8 10 4 3

- -- - - - - - - -

- - -: ( ): ( ) : ( ) : ( ) : ( ) ( ) : ( ) : ( ) ( ) : :

14 0

416. x : 4 = -12; x = -48

417. x : (-3) = +27; x = -81

418. xx

x2

20= =;

419. x ◊ (-4) > +5 x < -ÊËÁ

ˆ¯

5

4. A (-1)-nél kisebb egész számok.

420. x ◊ (-5) £ +15 x ¤ -3

421. xy

1 2 3 6 7 14 21 42 1 2 3 6 7 14 21 4242 21 14 7 6 3 2 1 42 21 14 7 6 3 2 1

- - - - - - - -- - - - - - - -

422. A két tényezô megegyezô elôjelû.

423. A négyzetszám mindig nem negatív, így ellentettje 0 vagy negatív. A kéttényezôsszorzat akkor negatív, ha a tényezôk ellentétes elôjelüek.

424. Hétfô: -10 ºC, kedd: -5 ºC, szerda: 2 ºC.

425. a) -4 b) 0 c) 0 d) 4

426. a) (-3)3 = -27 b) -5 c) (-3)4 = 81 d) -1 e) (-3)6 = 729

f) (-5)2 = 25 g) 1 h) (-43) = -64 i) -1

427. a) 1 = 1 b) -5 > -25 c) 16 > -16 d) 1 = 1 e) -5 > -25

f) -27 < 9

428. a) 25 : 5 = 5 b) (-7)3 : 72 = -7c) 9 : 1 = 9 d) 9 : (-1) = -9

429. 72 : (-1) = -49 < [7 : (-1)]2 = 49

430. (-35)2 : (-7)2 = 25 = [(-35) : (-7)]2 = 25

431. a) 5 - 12 = -7 b) 16 - 27 = -11 c) 9 - 8 = 1 d) 4 - 18 = -14

432. a) 5 ◊ (-8) = -40 b) 8 + 4 = 12 c) 6 ◊ 4 = 24 d) 12 + 32 = 44

433. a) 16 - (-14) = 30 b) 5 - 5 = 0 c) 8 : (-4) = -2 d) 8 : (-8) = -1


69

434. Az egyik szám: A másik szám:

összegük: 66x

x+ ¸˝˛

4

(x + 4) + x = 66; x = 31; x + 4 = 35 31 + 35 = 66A két szám: 35; 31.

435. A két szám: 32; 29.

436. A két szám: 16; 24.

437. Elsô szám:Második szám:Harmadik szám:

összegük: 81x

xx

24 3-

¸˝Ô

Ô

x + 2x + (4x - 3) = 81; x = 12; 2x = 24; 4x - 3 = 45Ell.: 12 + 24 + 45 = 81A három szám: 12; 24; 45.

438. Kisebb szám: xNagyobb szám: 20 - x

3 4 2 20 3 5 2 20x x x x- > ◊ - - = -1-gyel

( ) ( )

A kisebb szám: 9, a nagyobb: 11.Ell.:

1-gyel3 9 4 23 2 11 22◊ - = > ◊ =

439. A számok: 3; 5.

440. a) (112 - 32) : 10 > (-2) ◊ x -4 < x A (-4)-nél nagyobb egész számokra igaz.

b) -4 c) A (-4)-nél nem nagyobb egész számokra igaz.

441. pl.: (-5 + 5) : (-3) = 0Minden egész számra igaz, mert a szám és ellentettjének összege mindig 0, így0 : (-3) = 0.

442. A 441. feladatban leírtak miatt nincs ilyen egész, mert 0 : (-3) π -3.

443. pl.: [-5 - (+5)] : 2 = (-10) : 2 = -5Minden egész számra igaz.

444. [x - (-x)] : (-4) > 0; 2x < 0; x < 0A negatív számok mind ilyenek.

445. x + 2x + (2x - 3) = 42; x = 9. A számok: 9; 18; 15.

446. A számok: 21; 44; 58.

447. Az egymást követô egész számok: x - 1; x; x + 1. Így 3x = 78; x = 26; x - 1 = 25;x + 1 = 27. A három egész szám: 25; 26; 27.

448. A három egész szám: -28; -29; -30.


70

449. A három egymást követô páros szám: x - 2; x; x + 2.

5 2 4 2 5 2 5 4 2◊ - > ◊ + ◊ - - = ◊ +( ) ( ) ( ) ( )x x x x5-tel

x = 23 nem páros. Nincs megoldása a feladatnak páros számokra.

450. A három szám: 19; 21; 23. Nem párosak.

451. A három szám: 10; 12; 14. Nem páratlanok.

452. A három szám:6; 8; 10. Nem páratlanok.

453. A három páros szám: 10; 12; 14.

454. A három páratlan szám: 3; 5; 7.

68

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL

Törtek összehasonlítása. Bôvítés, egyszerûsítés

455. a) 8 megoldás: 0; 1; 2; ...; 7 b) 3 megoldás: 0; 1; 2c) 16 megoldás: 0; 1; 2; ...; 15 d) 21 megoldás: 0; 1; 2; ...; 20e) 4 megoldás: 0; 1; 2; 3 f) végtelen sok: 9; 10; ...g) végtelen sok: 4; 5; ... h) végtelen sok: 17; 18; ...i) végtelen sok: 22; 23; ... j) végtelen sok: 5; 6; ...

456. a) végtelen sok: 8; 9; ... b) végtelen sok: 12; 13; ...c) végtelen sok: 21; 22; ... d) végtelen sok: 17; 18; ...e) végtelen sok: 33; 34; ... f) 6 megoldás: 6; 5; 4; 3; 2; 1g) 10 megoldás: 10; 9; ...; 1 h) 19 megoldás: 19; 18; ...; 1i) 15 megoldás: 15; 14; ...; 1 j) 31 megoldás: 31; 30; ...; 1

457. a) ª = 1

4b) ª =

3

5c) ª =

3

7d) ª =

4

9

458. a) ª = 7

10b) ª =

1

7c) ª =

5

3d) ª =

2

7

459. a) ª = 4

11b) ª =

3

4c) ª =

7

40d) ª =

3

25

460. a) ª = 4

15b) ª =

5

9c) ª =

2

5d) ª =

3

8

461. pl.: a) 1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

10

20= = = = = = ...

pl.: l) 1

25

2

50

4

100

8

200

10

250

40

1000= = = = = = ...

Ugyanazzal a pozitív egész számmal szorozzuk a számlálót és a nevezôt.

462. pl.: d) 7

6

14

12

28

24

35

30

70

60

210

180= = = = = = ...

463. A törteket bôvítjük, ha a tört számlálóját és nevezôjét ugyanazzal az egész számmal(nem nullával) szorozzuk.a) 20 b) 36 c) 12 d) 33 e) 6 f) 15

TÖRTEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. BÔVÍTÉS, EGYSZERÛSÍTÉS

69

g) 18 h) 24 i) 20 j) 12 k) 25 l) 40m) 27 n) 42 o) 24 p) 40 q) 27 r) 36s) 4 t) 14

464. a) 24 b) 16 c) 36 d) 81 e) 40 f) 90g) 12 h) 21 i) 24 j) 12 k) 25 l) 16m) 33 n) 28 o) 54 p) 18 q) 35 r) 12s) 49 t) 35

465. a) 24 b) 144 c) 180 d) 300 e) 84 f) 45g) 96 h) 715 i) 240 j) 192 k) 264 l) 315m) 182 n) 169 o) 225 p) 396 q) 231 r) 308

s) 224 t) pl.: 66

56

99

84= = ...

466. A páratlan számlálót 4 többszöröseivel szorozva, a páros számlálót 2 többszöröseivelszorozva végtelen sok megoldást találunk.

pl.: a) 12

28

12

28

4

8

12

24

4

10; ; ; ; b)

12

30

4

18

20

30

44

128

28

34; ; ; ;

467. a)6

12

10

12

3

12

9

12

8

12

2

12

14

12

16

12

20

12

22

12; ; ; ; ; ; ; ; ;

b)1

6

1

4

1

2

2

3

3

4

5

6

7

6

4

3

5

3

11

6

c)1

6

1

4

1

2

2

3

3

4

5

6

7

6

4

3

5

3

11

6< < < < < < < < <

468. a)6

18

15

18

4

18

21

18

10

18

12

18

8

18

20

18

3

18

14

18; ; ; ; ; ; ; ; ;

b)1

6

2

9

1

3

4

9

5

9

2

3

7

9

5

6

10

9

7

6

c)7

6

10

9

5

6

7

9

2

3

5

9

4

9

1

3

2

9

1

6> > > > > > > > >

469. a)1

2

1

3

1

3

1

4

2

5; ; ; ; b)

3

7

3

4

2

3

3

5

2

3; ; ; ; c)

4

5

2

3

2

5

3

8

5

8; ; ; ; d)

3

7

2

3

6

7

3

5

11

5; ; ; ;

470. a)2

3

2

3

1

4

1

4

14

15; ; ; ; b)

91

133

13

19

11

15

21

23

11

21

7

30= ; ; ; ;

A számláló és a nevezô relatív prímek.

471. a)1 2 4 5 10 20

20 10 5 4 2 1 b)

1 2 4 8 16 32 6464 32 16 8 4 2 1


70

c)1 5 10 20 25 50 100

100 20 10 5 4 2 1

d) pl.:

5 10 20 70 14028 14 7 2 1

(10 értékpár)

e) pl.:

1 5 10 15 25 30 50150 30 15 10 6 5 3

(12 értékpár)

f) pl.:

1 2 3 4 6 12 36 60180 90 60 45 30 15 5 3

(16 értékpár)

472. a)2

7

3

7< b)

4

3

2

3> c)

3

3

3

3< d)

5

7

8

7<

e)4

9

2

3

6

9< = f)

6

10

3

5

7

10= < g)

6

8

3

4

5

8= > h)

9

6

3

2=

i)4

5

6

10

3

5> = j)

18

27

6

9

19

27= < k)

18

15

6

5

19

15= < l)

14

6

7

3

21

6= <

473. a)1

5

1

3< b)

3

4

3

5> c)

2

7

2

9> d)

3

5

3

2<

e)13

25

26

50= f)

17

34

1

2

21

42= = g)

12

231

13

12< < h)

35

481

72

55< <

i)3

7

21

49

21

50= > j)

8

9

24

27

24

26= < k)

12

14

24

28

24

26= < l)

118

19

119

18<

474. a)1

3

1

2

4

8=

2

3

3

4

6

4

5

3

1

3

1

2

4

8

2

3

3

4

6

4

5

3< = < < < <

b)1

2

2

4=

3

4

4

5

3

2

9

5

6

3

1

2

2

4

3

4

4

5

3

2

9

5

6

3= < < < < <

c)-

5

5-

1

3

3

15

7

21

7

6

- < - < < < <5

5

1

3

3

15

7

21

7

6

4

3d)

-3

2-

1

4

3

8

5

8

3

4

5

4

- < - < < < < <3

2

1

4

3

8

5

8

3

4

5

4

6

3

TÖRTEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. BÔVÍTÉS, EGYSZERÛSÍTÉS

71

475. a)-

2

3

1

4

2

3

6

8

4

3

4

3

6

8

2

3

1

4

2

3

4

3

3

2> > > > - > - > -

b)-

3

2-

2

3-

1

3

1

3

5

6

8

6

5

3

5

3

8

6

5

6

1

3

1

3

2

3

3

2> > > > - > - > -

c)-

5

4-

6

8

1

2

2

3

3

4

5

6

5

6

3

4

2

3

1

2

6

8

5

4

4

2> > > > - > - > -

d)-

3

7-

5

14

6

14

12

28

3

7= =

8

14

5

7

5

7

8

14

3

7

6

14

12

28

5

14

3

7> > = = > - > -

476. a)-

3

4

5

3

9

5

3

8

7

10

b) 3

7

5

6

-9

5

9

2

4

3

- < < < <3

4

3

8

7

10

5

3

9

5- < < < <

9

5

3

7

5

6

4

3

9

2

477. a)

4

3

-4

3

2

5

3

2

5

8

b) 4

3

-1

3

-1

2

1

2

4

5

3

2

4

3

5

8

2

5

4

3> > > > -

4

3

4

5

1

2

1

3

1

2> > > - > -


72

478. a)-

5

2

5

4

3

5

9

2

4

10

b) 9

4

5

3

5

6-

3

4

-4

3

9

2

5

4

3

5

4

10

5

2> > > > -

9

4

5

3

5

6

3

4

4

3> > > - > -

479. a)2

3

1

2> - b) - <

3

4

1

2c) - < -

5

3

1

2d)

4

31> -

e)3

2

4

2> - f) - > -

4

5

7

2g) - > -

3

5

5

3h)

1

4

3

2> -

i)3

7

15

35

2

5

14

35= > =

Törtek összeadása, kivonása

480. a)2

3b)

3

4c)

2

5d)

2

7e)

2

21=

f)2

6

1

3= g)

4

8

1

2= h)

2

4

1

2= i)

3

9

1

3=

481. Az összeg számlálója a számlálók összege lesz, az összeg nevezôje megegyezik a tagoknevezôjével.

a)7

71= b)

12

81

1

2= c)

18

101

4

5= d)

10

52= e)

6

41

1

2=

f)16

121

1

3=

482. Különbözô nevezôjû törteket az összeadás elôtt azonos nevezôjûvé alakítjuk(egyszerûsítéssel vagy bôvítéssel), majd az egyenlô nevezôjû törtekkel elvégezzük azösszeadást.

a)1

4

2

4

3

4+ = b)

1

6

2

6

3

6

1

2+ = = c)

1

8

2

8

3

8+ =

d)1

6

3

6

4

6

2

3+ = = e)

5

12

9

12

14

12

7

61

1

6+ = = = f)

7

20

15

20

22

201

1

10+ = =

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

73

g)4

5

3

5

7

51

2

5+ = = h)

3

22

55

22

58

222

7

11+ = = i)

12

15

10

15

22

151

7

15+ = =

j)15

20

4

20

19

20+ = k)

9

12

10

12

19

121

7

12+ = = l)

7

70

50

70

57

70+ =

483. a)20 9

48

29

48

+= b)

12 10

45

22

45

+= c)

9 8

60

17

60

+=

d)8 15

50

23

50

+= e)

28 15

48

43

48

+= f)

27 20

72

47

72

+=

g)21 20

96

41

96

+= h)

12 10

45

22

45

+=

484. Az összeadásban a tagok felcserélhetôk.

a)3

31= b)

6

51

1

5= c)

4

6

5

6

9

61

1

2+ = =

d)11

12

9

12

20

121

2

3+ = = e)

3 20

35

23

35

+= f)

21 44

144

65

144

+=

g)210 288

360

498

3601

23

60

+= = h)

39 34

84

73

84

+=

485. a)7

8b)

15

101

1

2= c)

14

21

2

3=

d)17

161

1

16= e)

10

91

1

9= f)

13

121

1

12=

g)10

61

2

3= h)

48

202

2

5= i)

21

141

1

2=

j)9

61

1

2= k)

16

151

1

15= l)

15

121

1

4=

m)16

121

1

3= n)

35

2

9

14

254

1418

1

7+ = = o)

2

5

2

35

14 2

35

16

35+ =

+=

p)1

3

2

31+ = vagy

60 120

180

180

1801

+= =

486. a)16

151

1

15= b)

11

15c)

17

121

5

12=

d)17

141

3

14= e)

27

201

7

20= f)

7

14

1

2=

g)10

15

2

3= h)

3

6

1

2= i)

4

3

3

4

25

122

1

12+ = =

j)21

181

1

6= k)

36

42

6

7= l)

10

15

2

3=


74

487. a)a

b

3

5

7

8

2

9

3

11

11

57

4

5

3

17

10

12

7

34

23

710

57

85

158

79

1411

65

− −

−b = a + 1

b)a

b

4

3

7

4

1

2

3

5

6

52

5

8

15

7

8

3

7

75

2315

158

107

13

34

12

25

15

− −b = a - 1

488. a)a

b

3

2

1

4

2

7

1

6

5

84

5

3

8

7

6

4

3

310

18

46

56

234

1114

46

98

−b a= + 1

2

b)a

b

4

5

6

7

1

2

1

3

7

93

4

4

9

5

7

1

3

54

1718

1714

56

310

514

016

518

−b a= - 1

2

489. Az összeadásban a tagok csoportosíthatók.

a)7

5

2

5

9

51

4

5+ = = b)

12

10

8

10

20

102+ = = c)

7

8

2

3

37

241

13

24+ = =

4

51 1

4

5+ =

3

10

17

10

20

102+ = =

18

24

19

24

37

241

13

24+ = =

d)11

8

7

16

29

161

13

16+ = = e)

55

96

11

36

253

288+ = f)

31

40

13

60

119

120+ =

5

8

19

16

29

161

13

16+ = =

7

24

169

288

253

288+ =

18

120

101

120

119

120+ =

g)14

48

20

48

34

48

17

24+ = = h)

2

3

5

2

1

3

19

6

2

6

21

63

1

2+Ê

ËÁˆ¯+ = + = =

5

48

29

48

34

48

17

24+ = =

2

3

5

2

1

3

2

32

1

2

1

33

1

2+ +ÊËÁ

ˆ¯= + + =

i)385

945

513

945

13

18

898

945

13

18

1796 1365

1890

3161

1890+Ê

ËÁˆ¯+ = + =

+=

11

27

342

630

455

630

11

27

797

630

770 2391

1890

3161

18901

1271

1890+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

+= =

490. a)5

41

1

4= b)

6

51

1

5= c)

7

71= d)

15

101

1

2= e)

9

33=


75

f)6

41

1

2= g)

10

52= h)

9

10i)

11

61

5

6= j)

12

62=

k)23

151

8

15= l)

18

121

1

2= m)

18

121

1

2= n)

14

101

2

5= o)

16

101

3

5=

491. a)2

3

1

3

1

5

4

52+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= b)

4

9

5

9

1

7

6

72+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯=

c)4

6

1

3

2

10

4

52+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= d) 2 e) 2 f) 2

g)1

21 1

1

2+ = h) 2 i) 2 j) 2 k) 2

l)3

7

4

5

1

5

4

51

8

351 2

8

35+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

492. a)13

28

3

4

12

35

23

35

34

281 2

3

14+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

b)9

16

10

16

13

16

1

42

1

4+ +Ê

ËÁˆ¯+ =

c)2

15

13

152

2

3

2

73

14 6

213

20

21+Ê

ËÁˆ¯+ + = +

+=

d)3

14

4

14

7

12

15

12

1

2

22

12

28

122

1

3+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + = =

e)7

48

27

48

4

10

6

10

34

481 1

17

24+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

f)7

18

11

18

3

42

18

421

21

421

1

2+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

g)5

28

21

28

13

34

4

34

13

14

1

2

20

141

3

7+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + = =

h)2

5

3

2

1

10

1

5

4 15 1

10

1

5

20

10

1

52

1

5+ +Ê

ËÁˆ¯+ =

+ ++ = + =

i)19

36

17

36

1

14

13

142+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯=

j)8

15

16

15

39

105

63

105

24

15

102

105

168 102

105

270

1052

4

7+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

+= =

k)106

36

13

36

25

36

2

9

144

36

2

94

2

9+ +Ê

ËÁˆ¯+ = + =

l)2

15

3

7

15

28

2

7

2

15

12 15 8

28

2

15

5

4

8 75

60

83

601

23

60+ + + = +

+ += + =

+= =


76

493. a) ( )1 21

2

1

2

1

4

3

45+ + +Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯=

b) 31

31

2

32

1

25 2

1

27

1

2+Ê

ËÁˆ¯+ = + =

c) 14

51

1

52

3

41

3

43 4

1

27

1

2+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

d) 101

62

2

67

3

619

1 2 3

620+ + = +

+ +=

494. a) 11

43

2

42

2

51

3

54

3

44 8

3

4+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= + =

b) 101

4c) 9

1

7d) 5

18

35e) 7

9

10f) 6

1

4g) 8

13

56

h) 30 i) 16 j) 1717

20k) 100 l) 10 m) 10

22

45

n) 331

42

495. a)4

51

6

5; ; ;

75

; 85

; 95

; 2; 115

b)3

7

5

71; ; ;

97

;117

;137

;157

;177

c)1

31

5

3; ; ;

73

; 3;113

;133

; 5 d)2

9

5

9

8

9; ; ;

119

;149

;179

;209

;239

e)2

10

5

10

8

10; ; ;

1110

;1410

;1710

;2010

;2310

f)11

19

15

191; ; ;

2319

;2719

;3119

;3519

;3919

1

5

1

2

4

5; ; ; 1

110

; 125

; 17

10; 2; 2

310

496. a)17

;27

;37

;87

;97

;107

4

7

5

7

6

71; ; ; ;

b)18

;38

;58

;158

;178

;198

7

8

9

8

11

8

13

8; ; ; ;

c) -1

10;

310

;7

10;

2710

;3110

;3510

11

10

3

2

19

10

23

10; ; ; ;

d) -13

; 0;23

; 9;353

;443

5

33

14

3

20

3; ; ; ;


77

497. a) 2

4

5

4

11

4

7

2

17

4

b) 2

8

5

2

7

4

13

4

c)3

1

4

23

4

1

2

31

2

5

4

d) 6

8

9

2

9

4

3

2

15

4

498. a) x = =2

4

1

2b) x = =

5

51 c) x =

4

7d) x =

5

8e) x =

1

9

f) x =7

24

499. a)3

9

1

3= b)

2

8

1

4= c)

5

7d)

4

6

2

3= e)

6

8

3

4=

f)2

4

1

2= g)

6

32= h)

7

71=

500. a)2

15b)

1

8c)

5

10

1

2= d)

15

10

3

4= e)

1

6

f)1

6g)

1

2h)

2

15i)

5

14j)

11

101

1

10=

k)7

15l)

19

36


78

501. a)7

15 Ell.:

7

15

1

3

7

15

5

15

12

15

4

5+ = + = = b)

31

211

10

21= c)

17

40

d) -1

18e)

14

45f)

1

36g)

13

75h)

17

121

5

12=

i)17

45j) -

1

36k)

11

24l)

11

24

502. A különbség nem változik, ha a kisebbítendô és a kivonandó ugyanannyival változik.

a)1

2b)

1

2c)

1

4d)

1

3e) 1

1

10

f)5

8g)

1

6h)

13

32

503. Amennyivel változik a kisebbítendô, ugyanannyival változik a különbség (változatlankivonandó esetén).

a)7

40

3

40; b)

11

15

16

15; c)

5

20

1

4

7

20= ; d) - -

271

240

275

240;

504. a)3

8

3

4

3

16

3

8

3

8

3

8

12

16

3

160

9

16

9

16+ - - = -Ê

ËÁˆ¯+ -ÊËÁ

ˆ¯= + = b)

2

51 1

2

5+ =

c)1

9

1

4

5

36- = - d)

1

21 1

1

2+ = e) 2 - 1 = 1 f)

4

16

2

80- =

g) 2 - 1 = 1 h) 0

505. a)6

7b)

1

2c) 1 d)

1

9e) 4

f) 8 g)1

5h) 1

506. a) 31

2b) 1

25

42c)

31

301

1

30= d) 1

1

3e) 0

f) 0 g) 25

6h)

1

14

507. a) 0 b)2

15c) 0 d) 0 e) 0

f)1

2g) 1 h)

89

170i)

5

26j) 1

8

15

508. a)22

24

11

12= b) - = -

88

352

18

35c)

52

361

4

9=

509. a) - = -7

28

1

4b) - = -

15

30

1

2c)

61

163

13

16=


79

510. a) -1

36b) - = -

37

301

7

30c) - = -

91

243

19

24d) - = -

451

1203

91

120

e) - 229

56f) -

14

15g)

3

14

511. a) -5

6b) -1

22

45c) -

5

12d) -1

7

24e)

1

56f) -

13

36

g)1

4h)

11

24i)

14

15j)

13

24k) -

3

8l) -

5

9

512. a) 1 b)5

8c) 1

1

2d)

9

10e) 4

7

54f) 6

11

24

Tört szorzása természetes számmal

513. a)5

64

20

6

10

33

1

3◊ = = = b)

45

133

6

13= c)

77

145

1

2= d) 14

e) 8 f) 21

2g) 12 h) 4 i) 10

2

3j) 6

1

8

k) 41

2l) 10

1

2m) 15

3

4n) 24 o) 2

2

3p) 8

514. a)2

21= b)

4

41= c)

7

71= d)

3

31= e) 1 f) 1

g)15

53= h)

28

74= i)

42

67= j) 2 k) 3 l) 9

515. a)3

23 3; ; b)

2

3

10

3

10

3; ; c) 2; 1; 1 d)

5

2

5

2

5

2; ;

Ha az egyik tényezô kétszeresére nô, a másik változatlan, akkor a szorzat kétszeresérenô. Ha az egyik tényezô felére csökken, a másik változatlan, a szorzat is felére csökken.Ha az egyik tényezô kétszeresére nô, a másik felére csökken, a szorzat változatlan.

516. a)8

3

8

3

24

9; = b)

30

7

30

14

15

7; = c) 8; 4 = 4 d)

18

8

18

8

9

4; =

517. a)4

35

310

4

9

415◊ = ◊ = ◊ = ◊

215

9

b)3

83

3

4

1

8

36◊ = ◊ = ◊ = ◊x 9

16 x nem természetes szám

c) nevezô: 14; szorzó: 1; számláló: 12.


80

518. Minden változtatásra csak példát adunk:

a)3

45

15

4

6

45

30

4

3

25

15

2

3

410

30

4◊ = ◊ = ◊ = ◊ =; ; ; b)

10

83

5

43

5

86

30

83

3

4◊ = ◊ = ◊ = =

c)14

103

7

53

7

106

42

104

1

5◊ = ◊ = ◊ = = d)

10

63

5

33

5

66

30

65◊ = ◊ = ◊ = =

e)14

35

28

65

7

310

70

323

1

3◊ = ◊ = ◊ = = f)

18

47

9

27

9

414

126

431

1

2◊ = ◊ = ◊ = =

g)10

811

5

411

5

822

110

813

3

4◊ = ◊ = ◊ = = h) 1 6

1

212 6◊ = ◊ =


a)3

54

6

52

12

52

2

5◊ = ◊ = = b)

4

36

8

33 8◊ = ◊ = c)

5

714

10

77 10◊ = ◊ =

d)4

56

8

53

24

54

4

5◊ = ◊ = = e)

5

188

5

94

20

92

2

9◊ = ◊ = = f)

3

84

3

42

6

41

1

2◊ = ◊ = =

g)6

156

12

153

36

152

2

5◊ = ◊ = = h)

1

814

2

87

14

81

3

4◊ = ◊ = =


a)3

23 4

1

2◊ = b)

5

23 7

1

2◊ = c)

8

35 13

1

3◊ = d)

8

54 6

2

5◊ =

e)9

43 6

3

4◊ = f)

1

106

3

5◊ = g)

7

41 1

3

4◊ = h)

5

34 6

2

3◊ =

521. a)6

5 kisebb

3

5-del a

9

51

4

5= -nél b)

16

5 nagyobb

4

5-del a

12

52

2

5= -nél

c)15

7 kisebb

6

7-del a

21

73= -nál d)

27

14 nagyobb

3

7-del a

21

14

3

2= -nél

e)5

6 kisebb

5

3-dal az

5

2-nél f)

4

5 kisebb

8

15-del a

4

3-nál

g) 11

2 kisebb

3

4-del a 2

1

4-nél h) 6 nagyobb 1

1

5-del a 4

4

5-nél

522. a)4

32

8

32

2

3◊ = = vagy 2

2

32

2

3+ = b)

12

55 12◊ = vagy 10 + 2 = 12

c)11

39 33◊ = vagy 27

18

333+ = d)

11

63 5

1

2◊ = vagy 3

5

25

1

2+ =

e)62

155 20

2

3◊ = vagy 20

10

1520

2

3+ = f)

5

48 10◊ = vagy 8 + 2 = 10

g)23

104 9

1

5◊ = vagy 8

12

109

1

5+ = h)

61

123 15

1

4◊ = vagy 15

3

1215

1

4+ =

i)31

93 10

1

3◊ = vagy 9

4

310

1

3+ =

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

81

523. a) 53

5b) 8

1

4c) 11

1

3d) 16 e) 12

1

2f) 31

1

2

g) 31

7h) 12

3

4Könnyebb a tagonkénti szorzás!

524. a)24

15

10

155

14

155

14

34

2

3-Ê

ËÁˆ¯◊ = ◊ = = vagy

8

55

2

35 8

10

34

2

3◊ - ◊ = - =

b) 21

2c) 16

2

3d) 2

3

7e)

14

15f) 3

2

3g) 1

1

14

h) 31

72i)

14

15

525. a) 302

3b) 19

1

3c) 30

1

2d) 28

1

2e) 12

2

3f) 8

3

5

g) 52

3h) 5

2

5i) 13

526. a) 21

4b) 2

1

10c) 3 d) 1

1

2e) 1

1

2f) 2

7

18

g) -94

5h) 1

1

4i) 0

527.x

y

3

4

5

8

1

8

5

3

2

7

11

51

2

2

5

1

3

− − −

= = − − −

14

15

16

64

32

108

114

14

313

47

425

y = x ◊ 2

528.x

y

3

10

4

3

1

5

3

4

2

5

3

7

4 31

5

− −

= = − −

45

35

125

1510

112

203

623

1 334

2157

y = x ◊ 5

529.x

y

6

12

1

8

5

4

1

24

15

72

5

61

2

1

41

− −

= − −

124

148

112

6128

112

1512

156

10y = x ◊ 12

530. a)4

5b) 3

2

3c)

1

2d) 1

1

3e)

62

63f) 1

1

2


82

531. a) 500 b) 1500 c) 200 d) 800 e) 250 f) 750g) 125 h) 625 i) 1125

532. a) 20 cm = 200 mm b) 60 cm = 600 mm c) 25 cm = 250 mm

d) 750 mm = 75 cm e) 125 mm = 121

2cm f) 375 mm = 37

1

2cm

g) 625 mm = 61

4dm h) 875 mm = 8

3

4dm

533. a) 12 óra = 720 perc = 43 200 mp b) 6 óra = 360 perc = 21 600 mpc) 18 óra = 1080 perc = 64 800 mp d) 8 óra = 480 perc = 28 800 mpe) 4 óra = 240 perc = 14 400 mp f) 20 óra = 1200 perc = 72 000 mpg) 3 óra = 180 perc = 10 800 mp h) 9 óra = 540 perc = 32 400 mp

534. a) 30 min = 1800 s b) 40 min = 2400 s c) 15 min = 900 sd) 45 min = 2700 s e) 5 min = 300 s f) 25 min = 1500 sg) 2100 s = 35 min h) 55 min = 3300 s

535. a)1

8b)

1

4c)

1

2d)

1

3e)

1

6f)

1

12

g)1

5h)

2

5i)

3

5j)

2

3k)

1

6l)

1

12

536. a) 31

4b)

3

5c) 135 d) 1

1

10e) 245 f) 1

3

5

537. a) 4 b)18

72

4

7= c) 6 d)

23

73

2

7= e) 5 f)

71

710

1

7=

538. a) minden pár egyenlô b) 210 perc > 200 perc195 perc 200 perc = 200 perc

195 perc < 200 perc

c) 195 perc > 185 perc d) 131

2óra > 12 óra

11 700 mp < 18 500 mp 8 óra = 1

3nap

11 700 mp > 11 000 mp 3 óra 15 perc < 11

3nap

e)3

7hét = 3 nap f) 25 perc > 20 perc

5

14hét = 5 nap : 2

5

12óra = 25 perc

3 nap > 2 nap5

12óra > 15 perc

TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

83

Tört osztása természetes számmal

539. a)3

8b)

4

15c)

7

40d)

1

8e)

3

4f)

4

27

g)2

15h)

3

14i)

3

16j)

4

21k)

7

40l)

1

8

m)3

10n)

3

16o)

2

15p)

4

25

540. Ha az osztót valahányszorosára növeljük (változatlan osztandó esetén), a hányadosugyanannyiad részére csökken.

a)2

15

4

15

1

15; ; b)

6

65

3

65

12

65; ; c)

3

7

1

7

2

7; ; d)

2

21

2

7

1

21; ;

541. Ha az osztandót valahányszorosára változtatjuk és az osztót is ugyanannyiszorosára,akkor a hányados változatlan.

a)2

5b)

1

12c)

5

21d)

3

8e)

1

12f)

2

5

g)3

7h)

35

216

542. a)7

95

7

45

21

95

7

35

7

15: ; : := = = b)

8

274

2

27

24

274

8

94

2

9: ; : := = =

c)23

242

23

48

69

242

23

82

23

16: ; : := = = d)

32

3016

1

15

96

3016

32

1016

1

5: ; : := = =

543. a)4

57

4

354 7

4

7: ; := = b)

17

152

17

30

17

32

17

62

5

6: ; := = =

c)32

456

32

270

16

135

32

96

32

54

16

27: ; := = = = d)

17

203

17

60

17

43

17

121

5

12: ; := = =

544. a)12

134

3

13

24

134

6

13: ; := = b)

13

124

13

48

26

124

26

48

13

64

13

24: ; : := = =vagy

c)15

145

3

14

30

145

15

75

6

14

3

7: ; : := = = = d)

14

155

14

75

28

155

28

75: ; := =

e)3

144

3

56

6

144

3

74

3

28: ; : := = = f)

7

244

7

96

14

244

7

124

7

48: ; : := = =

g)8

113

8

33

16

113

16

33: ; := = h)

11

83

11

24

22

83

11

43

11

12: ; : := = =


84

545. Mindegyik esetben csak példát adunk a változtatásra:

a)2

32

1

3: = b)

3

73

1

7: = c)

1

72

1

14: = d)

10

125

2

12

1

6: = =

e)2

54

2

20

1

10: = = f)

3

163

1

16: = g)

3

135

3

65: = h)

7

83

7

24: =

i)3

73

1

7: = j)

5

125

1

12: = k)

5

214

5

84: = l)

3

84

3

32: =

546. a)5

33

5

9: = b)

3

52

3

10: = c)

60

613

20

61: = d)

5

121

5

12: =

e)3

52

3

10: = f)

7

81

7

8: = g)

3

44

3

16: = h)

7

53

7

15: =

547. Mindegyik esetben csak példát adunk:

a)6

58

3

20: = b)

5

29

5

18: = c)

4

38

1

6: = d)

7

410

7

40: =

e)6

78

3

28: = f)

2

93

2

27: = g)

3

74

3

28: = h)

2

55

2

25: =

i)3

412

1

16: = j)

1

43

1

12: = k)

1

52

1

10: = l)

5

38

5

24: =

548. a)6

4

3

43

9

43

3

4+Ê

ËÁˆ¯

= =: : vagy 3

23

3

43

1

2

1

4

3

4: :+ = + =

b) 1 c)2

5d) 2 e)

4

15f)

8

35g) 1

1

3

h) 11

5i)

1

2

549. a)8

15b)

31

24c)

23

35d)

1

6e)

7

45f)

8

35

g)3

5h) 1

3

8i)

2

9

550. a)11

15b)

3

28c)

1

40d)

5

12e)

5

168f)

9

28

g) 0 h)3

4i)

1

12j)

11

45k)

1

36l)

1

24

551. a) 719

24b) -

3

10c)

1

10d) 5

9

10

TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

85

552. a) 131

2b)

4

7c) 1

7

12d)

71

140e) 13

1

2f)

4

7

g) 182

3h) -

139

140

Szorzás törttel (a törtrész kiszámítása)

553. a) 60 b) 40 c) 80 d) 24 e) 48 f) 72

554. a) 8 b) 6 c) 12 d) 40 e) 42 f) 36

555. a) 5 min b) 25 min c) 35 min d) 12 min e) 24 min f) 36 ming) 48 min h) 6 min i) 30 min j) 42 min k) 54 min l) 15 min

556. a) 90∞ b) 60∞ c) 120∞ d) 45∞ e) 135∞ f) 36∞g) 72∞ h) 108∞ i) 30∞ j) 150∞ k) 20∞ l) 40∞m) 100∞ n) 18∞ o) 126∞ p) 162∞ q) 180∞ r) 198∞s) 10∞ t) 30∞ u) 50∞ v) 70∞ w) 100∞ z) 180∞

557. a) 15 b) 6 c) 6 d) 4 e) 45 f) 30g) 18 h) 28 i) 9 j) 14 k) 16 l) 4

558. a) 11

2b)

2

3c) 2

1

2d) 1

1

2e) 1

1

5f) 1

1

5

g) 62

3h) 1

1

5i) 2

4

5j) 3

1

5k) 2

1

4l) 4

4

5

559. a) 2 = 2 b)12

5 nagyobb

3

5-del a

9

5-nél

c) 121

2 nagyobb 10

1

2-del a 2-nél d) 3 kisebb 2

1

3-dal az 5

1

3-nál

e)66

125

1

2= f) 14 kisebb 2-vel a 16-nál

g) -20

8 kisebb 5-tel a

20

8-nál h) 3 nagyobb 9-cel a -6-nál

i) 15 = 15 j) -2 kisebb 4-gyel a 2-nél

k)4

3 nagyobb 2

2

3-dal a -

4

3-nál l) 3

3

4 kisebb 3

3

4-del a 7

1

2-nél


86

560. a) ( : )26 4 326

43

78

419

1

2◊ = ◊ = = egyenlô 26

3

4

39

219

1

2◊ = =

b) (32 : )6 5 325

626

2

3◊ = ◊ = c) ( : )12 5 2 12

2

54

4

5◊ = ◊ =

d) ( : )24 10 7 247

1016

4

5◊ = ◊ =

561. a)3

4kg = 75 dkg b) 3

1

2kg = 350 dkg c) 2

2

5kg = 240 dkg

d)3

4kg = 750 g e)

3

4kg = 75 dkg f) 2

3

5 kg = 260 dkg

g)3

5m = 6 dm h)

5

16m = 312

1

2mm i)

57

100m = 57 cm

j)96

100m = 96 cm k)

21

100m = 21 cm l)

7

8m = 875 mm

562. a)1

4óra = 15 perc b)

3

10óra = 18 perc c)

1

6óra = 10 perc

d)1

10óra = 6 perc e)

1

3óra = 20 perc f)

1

5óra = 12 perc

g)3

10hl = 30 l h)

7

25hl = 28 l i)

9

20hl = 45 l

563. a)6

10l = 6 dl b)

1

5l = 2 dl c)

3

25l = 12 cl

d)36

25m2 = 144 dm2 e)

6

50m2 = 12 dm2 f)

21

200m2 = 10

1

2dm2

g)8

25m2 = 32 dm2 h)

39

200m2 = 1950 cm2 i)

66

100m2 = 66 dm2

564. a)2

33

3

52

2

5 kg : 5 kg : 3 kg

ÊËÁ

ˆ¯◊ = Ê

ËÁˆ¯◊ =

b)3

83

3

43

9

32 kg : 4 kg : 8 kg

ÊËÁ

ˆ¯◊ = Ê

ËÁˆ¯◊ =

c)7

203

3

77

3

20 kg : 7 kg : 20 kg

ÊËÁ

ˆ¯◊ = Ê

ËÁˆ¯◊ =

d)16

343

3

816

3

17 kg : 8 kg : 34 kg

ÊËÁ

ˆ¯◊ = Ê

ËÁˆ¯◊ =

565. a)2

53

2

5

1

3

2

15: = ◊ = b)

5

65 2

5

6

2

5

1

3:

ÊËÁ

ˆ¯◊ = ◊ =

c)7

83 4

7

8

4

3

7

61

1

6:

ÊËÁ

ˆ¯◊ = ◊ = = d)

11

125 4

11

12

4

5

11

15:

ÊËÁ

ˆ¯◊ = ◊ =

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA)

87

566. a)1

8b)

4

5c)

4

5d)

2

9e)

3

8f)

3

56

g)1

6h)

9

20

567. a) -5

24b) -

3

56c)

1

28d) -

3

16e) -

1

6f) -

1

15

g) -2

7h)

2

7i) 1

568. Ha a szorzat egyik tényezôje valahányszorosára változik (közben a másik tényezôváltozatlan), akkor a szorzat is ugyanannyiszorosára változik.

a)12

35

24

35; b)

6

5

3

5; c)

9

14

9

7; d)

28

15

14

15;

Ha az egyik tényezô valahányszorosára nô, a másik ugyanannyiad részére csökken, aszorzat nem változik.

e)5

4

10

8= f) 1 g)

1

3h)

1

4

569. a)3

7

27

7; b) - -

6

7

24

7; c)

12

25

3

25; d)

21

30

7

10=

e) - = -13

5

8

5f)

8

15

8

15= g) -3 = -3 h)

1

61;

570.18

25

35

12◊ A változtatásokra csak példákat adunk:

a)18

25

70

12

18

25

35

6

36

25

35

12◊ ◊ ◊; ; b)

18

25

35

4◊ c)

18

25

35

3◊ d)

18

5

35

12◊

e)6

25

35

12◊ f)

9

25

35

12◊ g)

18

25

7

12◊ h)

3

25

35

12

6

25

35

24◊ = ◊ = ...

571.27

8

28

3◊ A változtatásokra csak példákat adunk:

a)9

8

28

3◊ b)

27

2

28

3◊ c)

27

4

4

3◊ d)

3

2

28

3◊ e)

27

87◊ f)

9

4

28

3◊

g)27

814◊

572.56

3

27

863◊ = A változtatásokra csak példákat adunk:

a)56

39

27

84

56

27

27

228:

ÊËÁ

ˆ¯◊ ◊ÊËÁ

ˆ¯= ◊ = végtelen sok megoldás

b)7

327 56

9

87 9 63◊ = ◊ = ◊ = ...


88

573. a)12

49b)

4

9c) -

2

15d)

9

25e)

5

7f)

3

4

574. a) 212

3b) 2 c) 5

1

5d) 12

4

7e) 2

3

4f) 4

g) 4 h) 8

575. a)34

520 136◊ = vagy 6 20

4

520 120 16 136◊ + ◊ = + = b) 6

c) 51 d) 42 e) 11

2f) 7 g)

8

15h) 4

4

15

576. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai.



579. a) a a2 11

2

4

40

4

80

4

160

1

10

1

20

1

40= ◊ ; ; ; ; vagy

b) a an n+ = ◊12

3

32

135

64

405

128

1215; ; c) a an n= ◊-1

2

5

24

875

48

4375

96

21 875; ;

d) a a2 12

3

16

189

32

567

64

1701= ◊ ; ; e) a an n+ = ◊1

2

5

6

125

12

625

24

3125; ;

f) a an n= ◊-12

3

80

81

160

243

320

729; ;

580. Ha a szorzat egyik tényezôje (-1)-szeresre változik, akkor a szorzat és az ellentettjéreváltozik.a) -1; 1 b) 1; -1 c) 1; -1

581. Ha mindkét tényezô az ellentettjére változik, akkor a szorzat változatlan. Itt a szorzatértéke: 1.

582. a)7

41

3

4= b)

8

32

2

3= c)

3

21

1

2= d)

12

13

e) - = -9

24

1

2f) - = -

5

31

2

3g) - = -

15

43

3

4h) -

1

2

i)28

39

1

3= j)

35

122

11

12= k)

1

5l)

1

4

m) - = -15

81

7

8n) - = -

7

51

2

5o) -

4

9p) -3

q)2

7r)

3

4s)

8

21t)

10

31

u) -7

12


89

583.x

y

2

3

3

10

1

79 3

1

4

5

2

24

25

33

41

− −

= = − −

425

2524

4133

3

21

1

2

10

33

1

37

1

9

1

3

x ◊ y = 1

584.x

y

2

7

3

14

2

5

4

3

2

114

17

5

8

2

10

3

12

− − − −

− = − − = − − − = −

414

135

5 4

7

23

1

2

14

3

5

22

1

2

3

4

11

25

1

2

x ◊ y = -1

585. a)1

4b)

1

3c)

2

55d)

16

151

1

15= e)

4

9f)

4

9

586. a) 0 b) 1 c)4

9d)

2

3e)

1

9f) 1

587. a)1

10b)

1

80c)

2

9d) 1 e) 0 f) 1

g) 1 h)3

14i)

2

17

588. a) -1

8b) -

1

24c) -

2

175d)

14

75e)

15

22f)

1

2

589. a) -1

4b) -

7

25c) -4 d)

5

22

1

2=

590. a)3

10m2 = 30 dm2 b)

1

4m2 = 25 dm2 c)

19

100m2 = 19 dm2

d)24

25m2 = 96 dm2

591. a) 24 óra ◊ ◊7

2

1

3= 28 óra b) 7 nap ◊ ◊ =

1

2

1

3

7

6nap =1

1

6nap

c) 7 nap ◊ ◊ =1

2

1

3

7

6nap =1

1

6nap

592. a) 60 min9

2 min◊ ◊ =

1

930 b)

9

2 óra óra◊ =

1

9

1

2c)

1

24 nap nap◊ ◊ =

9

2

1

9

1

48

593. a) 457

h <2

hét < 60 h = 21

2 nap =

5

14 hét

b) 3 h 5 min < 31

4h < 200 min = 12 000 s


90

594. a hét fele = 84 óra = 31

2nap;

5

14hét = két és fél nap; 2 nap =

2

7hét = 48 óra;

4

3nap = 32 óra; 30 óra;

6

5 nap

595.x

y

x y

x y

y x

21

314

1

5

2

3

3

10

21

35

3

14

1

21

35

49

71

77

32

13

357

529

1221

370

263

= −

−

=

⋅ =

⋅ =

:

596. a)3

8 kg b)

4

11 m c)

4

5 l d)

3

10 hl = 30 l

597. Összesen: 4

5

20

25

100

125t t t= =

Elôször: 4

5

2

5

8

25

40

125t t t◊ = =

Másodszor: 12

25

3

5

36

125t t◊ =

Maradt: 100

125

40

125

36

125

24

125192t t t t- +Ê

ËÁˆ¯= = kg

A maradék: 3

5

2

5

6

25◊ = része az eredetinek, ez 192 kg.

598.4

5

4

5

4

25 hl

1

4 hl = 16 l◊ ◊ = víz maradt a hordóban.

599. = 8

25

5

8

1

5

640

10 000640 6

4

10 m

8

25 m

8

25 m m =

8

125 m m cm dm2 2 2 2◊ ◊Ê

ËÁˆ¯= ◊ = = =

600. V = ◊ÊËÁ

ˆ¯◊ = =

8

25 m

8

25 m m =

208

3125 m dm dm3 3 313

20

20 800

312566

56

100

A tartályba 66 l 56 cl olaj fér.

208 000

3125

104 000

1875 l

5

6 l =

832

15 l = 55

7

15 l◊ =

A tartályban körülbelül 55 és fél l olaj van.

601.8

5

1

4

8

5

5

16

8

5

2

5

1

2

7

10 m

8

5 m m m m m3 3 3 3 3 3- ◊ + ◊Ê

ËÁˆ¯= - +Ê

ËÁˆ¯

=

7

10 m3 homok fellazítása maradt a lányokra.


91

602. Jutalom: 7

5 kg = 1

2

5 kg = 1400 g összesen.

Két rakodónak: 7

5 kg

1

25=

7

125 kg = 56 g jutott külön - külön.◊

A többieknek: 7

5 kg

23

25=

161

125 kg = 1288 g jutott együtt.◊

603. Tª = 9

2 m

9

2 m =

81

4 m =

324

16 m2 2◊ .

= 19

4 m

17

4 m =

323

16 m2◊

A négyzet alakú szoba területe 1

16 m2 -rel nagyobb.

604. T« = 37

22

1887

16117

15

16 cm

51

4 cm cm cm2 2◊Ê

ËÁˆ¯

= =:

605. NégyzetK = 3 m

aK

=4

a =3

4 m

Tn =ÊËÁˆ¯

=3

4

9

16

22 2m m

Tn =36

64 m2

TéglalapK = 3 mK = 2(a + 3a)

K = 8a aK

=8

a b= =3

8

9

8 m m

Tt = ◊ =3

8

9

8

27

64 m m2 2

T Tn t- =9

64 m2

A négyzet alakú asztallap területe 9

64 m2 -rel nagyobb a téglalap alakú asztallap

területénél.

606. Szegôléc 41

5 m 4 = 16

4

5 m◊

Parketta 21

5

21

517

16

25 m m =

441

25 m m2 2◊ =

607. Felszántatlan terület 21

4

1

510 500 ha =

21

20 ha m2◊ = .


92

608. Eddig: 3121

3◊ = 104 (oldal)

Vasárnap: 3121

6◊ = 52 (oldal)

1 nap alatt: [312 - (104 + 52)] : 6 = 156 : 6 = 26 (oldal)

A napi adag a könyv felének 1

6-a.

A napi adag az egész könyv 1

12 része.

609. a) 113

361

43

901

13

36; ; b) 3

9

103

9

103

12

25; ; c) 2

1

32

1

152

1

3; ;

d) 19

401

41

1201

9

40; ; e)

9

20

11

12

9

20; ; f)

7

12

7

12

31

84; ; -

610. a) - -4

135

92

135

4

135; ; b) - - -11

61

26

271

5

6; ; c) 1

13

201

41

1601

13

20; ;

d)1

2

41

52

1

2; ; e) 4

2

33

1

34

2

3; ; f) 6 6 5

11

14; ;

611. a)39

80

4

5

19

20; ; b) - - -

1

240

353

480

19

40; ; c) -1

249

4001

79

1001

11

20; ;

d) - -45

161

3

82

3

8; ;

612. a)1

2

3

4

2

3

5

6

1

2

3

2

3

8+Ê

ËÁˆ¯◊ = -Ê

ËÁˆ¯◊ = nagyobb

11

24- del a

3

4- nál.

b)5

8

1

4

2

5

3

20

1

4

1

2

7

16-Ê

ËÁˆ¯◊ = +Ê

ËÁˆ¯◊ = kisebb

23

80- dal az

5

8- nál.

613. a)7

25 nagyobb

58

375-del a

47

375-nél. b)

57

200 nagyobb

251

1200-dal a

91

1200-nál.

614.x

y x

y x

1

5

2

3

4

5

5

6

3

4

4

71

1

22 2

3

41

2

3

41

2

3

4

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

2140

78

3940

11516

4556

112

158

3916

940

18

940

14

316

356

34

98

2716


93

615.2

7

5

9

10

63◊ =

a)6

7

5

9

10

21◊ = A szorzat háromszorosára változik.

b)2

7

5

3

10

21◊ = A szorzat háromszorosára változik.

c)3

7

5

9

5

21

2

7

5

6

5

21◊ = ◊ =; A szorzat

3

2-szeresére változik.

d)2

7

3

5

5

9

5

3

2

7

5

91

10

63◊Ê

ËÁˆ¯◊ ◊ÊËÁ

ˆ¯= ◊ÊËÁ

ˆ¯◊ = A szorzat változatlan, ha a tényezôk szorzói egy-

más reciprokai.

616.3

4

3

45

45

16 dm dm = 2

13

16 dm◊Ê

ËÁˆ¯◊ = csipkét horgol Jutka.

45

16

6

5 dm =

27

8 dm = 3

3

8 dm◊ csipkét horgolna gyorsabb tempóval.

45

161

4

5

9

5 dm =

45

16 dm =

81

16 dm = 5

1

16 dm◊ ◊

Jutka édesanyja ugyanannyi idô alatt 51

16 dm csipkét készít.

617. a) Állomás: 35

3

108

7 m = 180 m◊ hosszú.

b) A gazdaság melletti út 12

92◊ = 2

4

9-szer olyan hosszú, mint az állomás melletti.

c) A gazdaság melletti út: 180 m ◊22

9= 440 m hosszú.

618. m = V ◊ r m = ◊ ◊ÊËÁ

ˆ¯

◊ = ◊7

8

7

8

7

8

5

2

343

512

5

2 dm

kg

dm kg = 1

691

1024 kg3

3

Az üvegkocka tömege körülbelül másfél kg.

619. 15

42 2

5

24

1

2 h h h h h+Ê

ËÁˆ¯◊ = + = alatt horgolja körül a téglalap alakú terítôt.

620. Ma 33

222 km

4

3 km◊ = -t kerékpározott Pali.

Tegnap 33

2

99

8 km

3

4 km = 12

3

8 km◊ =

Ma 95

8 km-rel többet kerékpározott Pali, mint tegnap.


94

621. Szoknyák: 3

4 m 15 =

45

4 m = 11

1

4 m◊ .

Kabátok: 3

410

3

4

8

510 12 m 1

3

5 m m◊Ê

ËÁˆ¯◊ = ◊ ◊ = .

A varroda 231

4 m szövetet használt fel.

622. T = ◊ ◊ÊËÁ

ˆ¯= ◊ = =

5

8

5

8

3

4

5

8

15

32

75

25629

76

256 m m m m dm2 2 2

K = ÊËÁ

ˆ¯◊ = =

5

8

15

322

70

322

3

16 m + m m m = 2187

1

2 mm

Osztás törttel (az egész mennyiség kiszámítása)

623. a)4

3b) -

6

5c) -1

1

4d) 1

3

5e) -1

3

5f) -1

1

4

g) + 3

4h) -2 i) 3

624. a) 11

4b)

2

3c)

5

8d)

3

4e) -2 f) -

3

4

g)5

8h)

2

3i) 2

1

2

625. a)2

5 rész 4 vagy (4 : 2) ◊ 5 =

4

2◊ 5 = 10

1

5 rész 4 : 2 = 2 vagy 4

2

54

5

210: = ◊ =

5

5 rész 2 ◊ 5 = 10

b) 8 c) 121

2d) 20 e) 24 f) 12 g) 24

h) 24 i) 60

626. a)3

4b)

5

6c)

1

2d)

3

2e)

3

5f) 8

g)20

21h)

21

20i)

10

7

627. a) 20 b) 18 c) 15 d) 4 e) 18 f) 142

5g) 15 h) 9

OSZTÁS TÖRTTEL (AZ EGÉSZ MENNYISÉG KISZÁMÍTÁSA)

95

628. a)9

10b)

20

21c)

35

241

11

24= d)

63

401

23

40=

e)55

361

19

36= f)

9

32g)

25

241

1

24= h)

25

161

9

16=

i) -2

3j)

7

9k) -

11

14l) -

3

2

629. a)3

10b) 1

1

5c)

3

8d)

1

2e) 25 f) 81

g) 81 h) 9

630. a) 11

9b) 1

1

17c) 1

1

8d) 1

3

5e)

6

7f) 1

13

27

g) 11

11h) 1

1

14

631. a)8

51

3

5

4

5

16

53

1

5

8

51

3

5= = =; ; ;

Ha az osztandó valahányad részére csökken (változatlan osztó esetén), a hányados isugyanannyiad részére csökken.Ha az osztó valahányszorosára nô (változatlan osztandó esetén), a hányados ugyan-annyiad részére csökken.Ha az osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára változik, a hányados nem változik.

b)8

9

8

27

24

9

8

9; ; ; c)

15

4

3

4

3

4

3

4; ; ; d)

3

5

21

5

3

35

3

5; ; ;

632. a)6

51

1

5= b)

7

32

1

3= c)

28

151

13

15= d)

10

91

1

9=

633. a)3

8

2

5

15

16

6

8

2

5

3

4

2

5

15

8: ; : := = = b)

5

12

4

15

25

16

10

12

4

15

5

6

4

15

50

16: ; : := = =

c)7

6

1

3

7

2

14

6

1

3

7

3

1

37: ; : := = = d)

3

4

6

81

6

4

6

8

3

2

6

82: ; : := = =

e)5

16

3

4

5

12

10

16

3

4

5

8

3

4

5

6: ; : := = = f)

9

8

1

4

9

2

18

8

1

4

9

4

1

49: ; : := = =

g)3

10

4

5

3

8

6

10

4

5

3

5

4

5

3

4: ; : := = = h)

5

6

2

3

5

4

10

6

2

3

5

3

2

3

5

2: ; : := = =

634. a)4

5

2

3

6

5

2

5

2

3

4

10

2

3

3

5: ; : := = = b)

6

7

2

5

15

7

3

7

2

5

3

14

2

5

15

14: ; : := = =

c)8

9

3

2

16

27

4

9

3

2

8

18

3

2

8

27: ; : := = = d)

4

3

4

5

5

3

2

3

4

5

4

6

4

5

5

6: ; : := = =

e)3

4

1

3

9

4

3

8

1

3

9

8: ; := = f)

5

7

2

5

25

14

5

14

2

5

25

28: ; := =


96

g)3

2

4

3

9

8

3

4

4

3

9

16: ; := = h)

5

8

3

4

5

6

5

16

3

4

5

12: ; := =

635. a)4

5

3

4

16

15

4

5

6

4

4

5

3

2

8

15: ; : := = = b)

3

8

5

4

3

10

3

8

10

4

3

8

5

2

3

20: ; : := = =

c)7

3

3

5

35

9

7

3

6

5

35

18: ; := = d)

5

6

1

4

10

3

5

6

1

2

5

6

2

4

5

3: ; : := = =

e)3

4

1

5

15

4

3

4

2

5

15

8: ; := = f)

5

8

2

3

15

16

5

8

4

3

15

32: ; := =

g)5

2

3

5

25

6

5

2

6

5

25

12: ; := = h)

3

5

4

3

9

20

3

5

8

3

9

40: ; := =

636. a)4

5

2

3

6

5

4

5

1

3

4

5

2

6

12

5: ; : := = = b)

3

8

4

5

15

32

3

8

2

5

3

8

4

10

15

16: ; : := = =

c)1

5

6

7

7

30

1

5

3

7

1

5

6

14

7

15: ; : := = = d)

3

4

2

3

9

8

3

4

1

3

3

4

2

6

9

4: ; : := = =

e)12

35

3

7

4

5

12

35

3

14

8

5: ; := = f)

63

55

7

11

9

5

63

55

7

22

18

5: ; := =

g)56

27

7

9

8

3

56

27

7

18

16

3: ; := = h)

42

55

7

22

12

5

42

55

7

44

24

5: ; := =

637.pl.: a) 6

7

2

3

3

7

1

3

6

14

2

6

9

7: : := = = b)

4

5

2

3

2

5

1

3

6

5: := =

c)42

55

7

22

21

55

7

44

12

5: := = d)

12

35

3

14

4

35

1

14

8

5: := =

e)36

39

8

26

18

39

4

263: := = f)

52

49

12

35

13

49

3

35

65

21: := =

g)54

63

16

21

27

63

8

21

9

8: := = h)

48

49

32

35

3

49

2

35

15

14: := =

i)11

42

6

23

22

42

12

23

253

252: := = j)

12

9

7

3

24

9

14

3

4

7: := =

k)63

61

30

9

21

61

10

9

189

610: := = l)

8

55

37

11

4

55

37

22

8

185: := =

638. a) 11

6b) 1

1

2c) 1

3

5d) 1

1

2e) 1

1

16f)

3

5

639. a)8

35

7

4

2

5◊ = vagy

3

4

7

20

8

20

2

5- = = b) -

1

12c) -

4

9d) -

1

2

e) -1

4f)

1

2

OSZTÁS TÖRTTEL (AZ EGÉSZ MENNYISÉG KISZÁMÍTÁSA)

97

640. a)5

2b) 6 c) 6 d) 1

1

2e) 2 f) 2

1

2

g) 2 h)1

2

641. a) -1

2b) -

4

3c)

2

3d)

1

2e)

3

4f)

1

3

642. a) 161

11b)

1

4c)

2

15d)

109

150e)

1

4f) 5

1

3

643. a)1

4b) 32 c) - 4

1

6d) 25 e) -

1

2f)

41

123

5

12=

g) -13

4h) -

1

18i)

4

9

644. a) -7

90b) -1

1

110c) -

55

96d) -1

7

25e) 0 f)

3

20

g) 0 h) -6

7

645. a)21

1000b) 16 c) 4

44

103d) 1

3

20e) 2 f) 1

g) 420

21h)

30

1751

Vegyes feladatok

646. a)1

4

3

26

4

1

45

4

+ =

= -

=

x

x

x

Az összeg ismeretlen tagját megkapjuk, ha az összegbôl kivonjukaz ismert tagot.

Ell.: 1

4

5

4

6

4

3

2+ = =

b)3

10c)

3

14d)

1

6e)

1

3f)

6

51

1

5=

g) x

x

- =

=

4

5

3

57

5

A különbség és a kivonandó összege adja meg a kisebbítendôt.

Ell.: 7

5

4

5

3

5- =


98

h)5

6i) 1 j)

6

9

2

3= k)

5

14l)

3

8

j) - l) A kivonandót megkapjuk, ha a kisebbítendôbôl kivonjuk a különbséget.

647. Az ismeretlen szorzótényezôt úgy kapjuk meg, hogy a szorzatot elosztjuk az ismerttényezôvel.a) 3 b) 5 c) 7 d) 3 e) 7 f) 2

648. a) 9 b) 27 c) 0 d) 1 e) 2 f) 5g) 4 h) 8 i) 16 j) 0 k) 5 l) 10

649. a)1

10b)

1

12c)

2

25d)

1

10e)

2

3f)

1

3

g)4

5h) 0 i) 1 j)

5

31

2

3= k)

1

4l)

5

24

650. Az ismeretlen osztandót megkapjuk, ha a hányadost és az osztót összeszorozzuk.

a)4

5b)

3

21

1

2= c)

7

51

2

5= d)

2

3e)

18

53

3

5= f) 16

g)5

22

1

2= h)

2

3i)

7

32

1

3= j) 5 k)

2

5l) 14

651. Az ismeretlen osztót úgy kapjuk meg, hogy az osztandót elosztjuk a hányadossal.a) 4 b) 7 c) 14 d) 4 e) 5 f) 9

652. a)3

5 m harmada

1

5 m ,

4

5 m negyede

1

5 m . A két mennyiség egyenlô.

b)4

5 óra fele

2

5 óra ,

8

3 óra negyede

2

3 óra

2

5

2

3

2

5

4

15 óra < óra,

2

3- =

2

3 óra

4

15 órával több a

2

5 óránál .

c) egyenlôk: 200 m d) egyenlôk: 1

3 óra

e)3

16 l <

1

4 l,

1

16 l - rel f)

3

5 kg >

1

4 kg,

7

20 kg - mal

653. a)3

8

3

8= b)

8

9

8

15

16

45> , - del c) - < - -Ê

ËÁˆ¯

15

2

1

6

1

6

15

2, =

23

3; 7

2

3- dal

d)3

16

4

5

79

80> - , - dal e)

7

23

1

2> , - del f)

3

50

3

50=

VEGYES FELADATOK

99

654. a)3

42

3

42

3

8

3

2

3

8

12

8

15

8: + ◊ = + = + =

4

53

4

53

4

15

12

5

4

15

36

15

40

15

8

3: + ◊ = + = + = =

15

81

7

8

8

32

2

3

8

3

15

8

64

24

45

24

19

24= < = - = - =, - del nagyobb

b)9

81

1

8

32

152

2

151

1

120= < = , - dal c)

2

7

2

7=

655. a)3

32

3

32= b)

20

21

29

35

13

105> , - del c)

17

72

15

72

1

36> , - dal

656. a)175

247

7

24= b)

59

105

9

10= c)

89

243

17

24= d)

33

103

3

10=

657. 33

10 kg

658.3

42

1

25

3

8

4

85

35

84

3

8:

ÊËÁ

ˆ¯+

È

ÎÍ

˘

˚˙ ◊ = +Ê

ËÁˆ¯◊ = =

659.3

42

3

42

3

42

3

42

3

4◊ +Ê

ËÁˆ¯- ◊ -ÊËÁ

ˆ¯=: :

660.3

42

3

42

3

42

3

42

3

42

3

42 3◊ +Ê

ËÁˆ¯+ ◊ -ÊËÁ

ˆ¯= ◊ + ◊ =: :

661. 11

5

2

7

5

14

11

70- + +ÊËÁ

ˆ¯=

Az egész 840 m2.1

70 rész 840 m2 : 70 = 12 m2

11

70 rész 12 m2 ◊ 11 = 132 m2

Lacinak 11

70 részt kell felásni, ami 132 m2.

662. K T= = =51

2

3

21

1

2 dm dm dm2 2

a) pl. T13

44 2 6= ◊Ê

ËÁˆ¯◊ = dm dm2 2 K1 10= dm

pl. T23

42 4 6= ◊ ◊ =( ) dm dm2 2 K2 8

3

42= ◊ dm = 17

1

2 dm

pl. T33

42 2 2 6= ◊Ê

ËÁˆ¯◊ ◊ =( ) dm dm2 2 K3

3

22 4 2= ◊ + ◊Ê

ËÁˆ¯

dm = 11 dm

Végtelen sok megoldás van, mert ha az egyik oldalt pl. felére csökkentjük, akkor amásikat 8-szorosára kell növelnünk stb.


100

b) pl. T13

44 2 4

3

2= ◊ÊËÁ

ˆ¯◊ =( : ) dm dm2 2 K1 3 2

1

22= ◊ + ◊Ê

ËÁˆ¯

dm = 7 dm

pl. T23

42 2 2

3

2= ÊËÁ

ˆ¯◊ ◊ =: ( ) dm dm2 2 K2

3

82 4 2= ◊ + ◊Ê

ËÁˆ¯

dm = 83

4 dm

Végtelen sok megoldás van.

663.1

40 m +

1

25 m =

65

1000 m = 65 mm = 6

1

2 cm

664.3

5 km = 600 m

665. 11

10 kg

666.1

20 rész

667. 231

3 perc

668.4

5 m +

6

25 m +

4

5 m +

6

25 m +1

1

20 m = 3 m 13 cm

669. x x+ = =151

237

3

422

1

4;

670. x x- -ÊËÁ

ˆ¯= =10

3

83

4

5103

83

120110

4

15

671. 1013

20 kg

672. 319

20 kg

673. 103

412

2

510

3

45

4

510

3

42

3

447

7

10+ + +Ê

ËÁˆ¯+ -ÊËÁ

ˆ¯= (km)

674. 37

20 t

675. 23

4

5

8

5

8- +ÊËÁ

ˆ¯= A harmadik oldal

5

8 dm.

VEGYES FELADATOK

101

676. K = +ÊËÁ

ˆ¯◊

3

20

3

42 m =

18

10 m =

180

100 m = 180 cm

677. 351 kg kenyeret fogyasztanak egy év alatt, ha 52 hét vanaz évben.

678. 183

4 l

679. 1033

4 kg

680. 44

5 dm

681. A doboz legalább 36 cm széles, 46 cm hosszú és 44

5 cm

magas.

682.1

10 kg = 10 dkg

683. 251

6 kg

684.1

2

3

5

1

47

189

20+ +Ê

ËÁˆ¯◊ = 1 hét alatt 9

45

100 l tejet isznak meg. Ha egyenlôen

osztoznának, naponta 41

2 dl-t fogyasztanának külön-külön, ami

9

20 l.

685. Katiéknál: 33

515

24

100: = 24 dkg-ot fogyasztottak átlagosan.

Jutkáéknál: 33

51

1

515

12

75

4

25

16

100-Ê

ËÁˆ¯

= = =: Átlagosan 4

25 kg = 16 dkg cseresznyét

fogyasztottak.

686. 161 261

455 76

37

44◊ = ◊ =x x (m)

3

20 m

3

20 m 5 =

3

4 m◊

41

28◊

53

48◊


102

687. 604

5

35

22

2165

100-Ê

ËÁˆ¯

=: 21 db 2 kg-os csomag készíthetô.

688. x x◊ = = =9 336

11

41

113

8

11

689. 3

381

43

153

1212

3

4

m 1 öltöny

381

4 m öltönyx

x = = =:

381

4 m szövetbôl 12 öltöny szabható ki.

690. x x◊ = = =1

8

4

15

32

152

2

15

691.175

821

7

8=

692. Pisti 2871

2 kg szôlôt szedett.

693.3

525 3

4

518 83

2

5◊ + ◊ = A zsákmány 83

2

5 kg.

694. 21

44 3

4

55

1

5◊ - = Édesanya 5

1

5 kg-mal többet vitt haza.

695. x x- -ÊËÁ

ˆ¯= ◊ =10

5

83

4

733

2

273 106

139

504

696. 2 23

426 7

3

4x x x+ +ÊËÁ

ˆ¯= =

A háromszög alapja 101

2cm, szárai 7

3

4cm hosszúak.

697. 913

20

698. A harmadik oldal 121

20 cm.

699. 21

2 dm = 25 cm

VEGYES FELADATOK

103

700. 23

8 m = 2375 mm

701. 12

5 dm = 140 mm

702. A feladat megoldható egyenlôtlenséggel (a)) vagy anélkül (b)).a) Menetidô (perc) Vásárlási idô (perc) Összes idô (perc)

A x x

B y y

560

708 15 8

560

807 15 7

= +

= +

¤

¤

8 33

2215 22

7 3023

15 23

+ +xxx

yyy

££

£ £

££

£ £b) Teljes idô (perc) Menetidô (perc) Vásárlási idô (perc)

AB

30 8 2230 7 23

Mindkettôjüknek 15 percnél több idejük maradt a vásárlásra, tehát végezhettek záráselôtt a bevásárlással.

703. I. II.a) 5 óra = 300 perc 5 óra < 500 perc

b) 20 perc = 1

3óra 20 perc >

1

5óra

c) 20 perc = 1200 mp 20 perc > 120 mpd) 3 óra = 180 perc 3 óra < 200 perc

e) 90 perc = 15

10óra

f) 11

2óra = 90 perc 1

1

2óra < 120 perc

g) 66 mp = 11

10perc 66 mp < 1

1

6perc = 70 mp

h) 72 mp = 11

5perc 72 mp >

7

6perc = 70 mp

i) 11

4óra = 75 perc 1

1

4óra < 125 perc

704. ª 5 év 5 hónap 2 hét (+ 3 nap)

705. Ugyanolyan gyorsan haladtunk, mert 1 óra 40 perc = 100 perc.

706.3

2 h >

7

6 h >

3

6 h >

2

5 h >

1

3 h >

3

12 h >

5

24 h


104

707.1

3

5

12 h < h <

4

8 h =

2

4 h <

3

5 h <

4

3 h <

9

6 h

708. idôpont (h, min)

idô az indulásig (min) 25

8 6 14 15 18 8 19

33 24

35 49 07 15 42 27 36

11 53 45 18

709. a) ª = 60 b) ª = 35 c) ª = 120 d) ª = 45 e) ª = 30 f) ª = 3

710. a) « < 12 b) « > 12 c) « > 120 d) « < 16 e) « < 33 f) « > 60

711. A tört értéke 9-szeresére változik.

712. A tört értéke negyedére változik.

713.3

4 rész 273 oldal

Az egész 2733

4273

4

3: = ◊

A könyv 364 oldalas.

vagy 3

4 rész 273 oldal

1

4 rész 91 oldal

4

4 rész 91 oldal ◊ 4 = 364 oldal.

714.3

5 rész

5

6kg, az egész

6

5

5

3

25

18100 kg kg =

25

18 dkg 139 dkg.◊ = ◊ ª

139 dkg narancsot vettünk és közelítôleg 83 dkg-ot ettünk meg.

715. x

x

x x x

kg méz fér az üvegbe, 3

5 részig töltöttük.

1

4 kg az üres üveg

3

5

1

4

8

527

20

3

5

27

20

5

3

9

4

+ =

= = ◊ =: ; ;

21

4kg mézet vettünk volna.

716. 21

2óra alatt ketten 36

1

4m2

1 óra alatt ketten 361

42

1

2

29

214

1

2 m m m2 2 2: = =

1 óra alatt egyedül29

22

29

47

1

4 m m m2 2 2: = =

VEGYES FELADATOK

105

717. 1 tégla tömege kg

31

2 tégla tömege 10 kg kg = 8

3

4 kg

x

x

x

x

-

◊ =

=

=

11

4

31

28

3

435

4

7

25

2

:

1 tégla tömege 21

2kg.

718. 21

23

1

42

3

412+ ◊Ê

ËÁˆ¯

=: A család 12 tagú.

719. a)3

4

51

4

3

412

1

2

871

2

m tömege 51

4 g

121

2 m tömege g

(g)

x

x

x

= ÊËÁ

ˆ¯◊

=

:

121

2m huzal tömege 87

1

2g.

b) 121

23 5

1

4

3

4

25

23 7 262

1

2◊ ◊ÊËÁ

ˆ¯= ◊ ◊ =: (g) A felhasznált huzal tömege 262

1

2g.

c) 3

4

7

m 51

4 g =

21

4 g

1 m21

4 g :

3

4 g

7 g 1 m280 g = 7 g 40 1 m 40 = 40 m

=

◊ ◊40 m huzalt vásároltunk.

720. a)5

8 rész 82

1

2 l

1

8 rész

33

2 l

Az egész 264

2l = 132 l.

5

8 r

85 21

2 l l-

A tartály 132 literes.


106

b) a

b

c

V

=

=

==

53

5

83

4

132

dm

dm

dm3

V a b c

c

c

= ◊ ◊

= ◊ ◊

= =

13228

5

35

4132

492

34

49

A tartály mélysége 234

49dm ª 27 cm.

c) Az egész 132 l7

15 rész 132

7

1561

6

10 l l = 61 l 6 dl◊ =

A tartályban 616

10l víz van.

721.3

5dm3 tömege 4

17

25kg

7

15dm3 4

17

25

3

5

7

15

117

25

5

3

7

15

91

25

364

100:

ÊËÁ

ˆ¯◊ = ◊ ◊ = = (kg)

A kocka tömege több. 468

100

364

100

104

100- = (kg)

Sûrûség = 117

25

3

5

117

25

5

3

39

57

8

10: = ◊ = =

A testek anyaga vas.

722. 31

3h alatt 242

1

2km

1 h485

2

10

3

485

2

3

1072

3

4: = ◊ = (km)

723

4km 1 h

3491

5km

1746

5

291

44

4

5: = (h)

1 óra alatt átlagosan 723

4km-t tesz meg az autó. A 349

1

5km-es utat 4

4

5 óra alatt teszi

meg, ami 288 perc.

107

HATVÁNYOZÁS

723. a) 54 b) 26 c) 35 d) 63 e) 74 f) 105

724. a) 22 = 2 ◊ 2 = 4 b) 23 = 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8 c) 32 d) 64

e) 256 f) 1024 g) 32 = 3 ◊ 3 = 9 h) 32 = 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27

i) 34 = 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81 j) 243 k) 6561 l) 59 049

725. a) 25 b) 125 c) 625 d) 3125 e) 15 625 f) 390 625

726. a) ( )22 2 = 22 ◊ 22 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16

b) ( )22 3= 22 ◊ 22 ◊ 22 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 26 = 64

c) ( )3 3 812 2 4= = d) ( )3 3 7292 3 6= = e) 1024 f) 625

727. a) 2 8 3 93 2= < = b) 2 25 4> c) ( )4 2 22 2 2 4= =

d) 3 96 3= e) 2 8 28 2 6> = f) 2 48 4=

g) ( ) ( )2 25 2 2 5= h) 3 2 2 33 2◊ > ◊ i) 5 2 2 55 2◊ > ◊

j) ( )3 5 32 5 2> ◊ k) ( )3 2 23 3 3◊ < l) 6 2 3 2 3 3 42 2 2 2 2= ◊ = ◊ = ◊( )

728. a) 100 b) 1000 c) 10 000d) 1 000 000 e) 100 000 000 f) 10 000 000 000

729. a) 104 = 10 000 b) 105 = 100 000 c) 10 000 000d) 1 000 000 e) 10 000 f) 1000

g) 10 h) 108 = 100 000 000

730. a) 24 = 16 b) (2 ◊ 5)2 = 100 c) 216

d) (2 ◊ 5)3 = 1000 e) (2 ◊ 5)4 = 10 000 f) 1

g) 28 = 256 h) 36 = 729 i) 625j) 81 k) 128 l) 8

731. a)1

3

1

3

1

9◊ = b) 1 c)

1

3

d)1

2

1

2

1

2

1

2

1

16◊ ◊ ◊ = e)

1

2

1

2

1

2

1

8◊ ◊ = f)

1

2

1

2

1

4◊ =

HATVÁNYOZÁS

108

732. a) 3-1 b) 3-2 c) 5-2 d) 2-5 e) 2-4 f) 3-3

g) 2-1 h) 2-2 i) 2-3 j) 2-4 k) 2-5 l) 2-6

733. a) a-1 b) b-1 c) c-3 d) d -1 e) e-4 f) f -2

734. a) 20 b) 24 c) 25 d) 26 e) 2-2 f) 2-4

735. a) 32 b) 33 c) 34 d) 30 e) 3-2 f) 3-3

736. a) 3x = 81 b) 2x = 128 c) 2x = 1024 d) x = 2 e) x = 6 f) x = 33x = 34 2x = 27 2x = 210

x = 4 x = 7 x = 10g) x = 3 h) x = 4 i) x = 6 j) x = 5 k) x = 0 l) x = 0

737. a) 21

16x = b) 2

1

4x = c) 2

1

8x = d) 2 0x =

2 24

4x

x== -

- 2 22

2x

x== -

- 2 23

3x

x== -

- nincsmegoldás

e) -1 f) -5 g) -1 h) -2 i) -4

j) 0 k) nincs megoldás l) -3

738. a) 2 42x = b) 2 82 4x = c) 2 83 4x =

( )2 2

2 24

2 2

4

x

x

x

=

==

( )2 2

2 26

2 3 4

2 12

x

x

x

=

==

2 24

3 12x

x==

Írjuk fe az egyenlet jobb oldalát is 2 hatványaként!d) 8 e) 4 f) 6

739. Írjuk fel a számok hatványát a változó kitevôjével azonos kitevôjû hatvány alakjában!

a) ( )x2 3 23= b) ( )x3 2 3

2= c) ( )x4 2 42=

x = 27 x = 4 x = 4

d) 9 e) 74 = 2401 f) 9 g) 8 h) 27i) 4 j) 8 k) 27 l) 16

740. a) 128 b) 2048 c) 1024 d) 729 e) 177 147f) 6561 g) 512 h) 32 768 i) 1024 j) 390 625k) 78 125 l) 9 765 625 m) 2 000 000 n) 160 000 000 o) 2 430 000p) 486 000 q) 405 000 r) 72 000

741. a) 23 = 8 b) 25 = 32 c) 27 = 128 d) 24 = 16 e) 25 = 32

f) 26 = 64 g) 22 = 4 h) 26 = 64 i) (-3)4 = 81 j) (-3)3 = -27

k) -36 = -729 l) -36 = -729 m) 35 = 243 n) 30 = 1 o) 35 = 243

p) 34 = 81

HATVÁNYOZÁS

109

742. a) 32 ◊ 22 = (3 ◊ 2)2 = 62 = 36 b) (2 ◊ 3)3 = 216

c) -(2 ◊ 3)4 = -1296 d) 7776

e) -(5 ◊ 2)3 = -1000 f) 1000g) 100 000 h) 10 000

743. a) 26 ◊ 56 = (2 ◊ 5)6 = 1 000 000 b) 34 ◊ 25 = 64 ◊ 2 = 1296 ◊ 2 = 2592

c) 7776 d) 55 ◊ 25 = 105 = 100 000

e) 23 ◊ 23 ◊ 53 = 8000 f) 10 000

g) 35 ◊ (2 ◊ 5)3 = 243 000 h) 23 ◊ 53 ◊ 33 = 27 000i) 675 000 j) 72 000k) 81 000 l) 270 000

744. a) 72 = 49 b) 53 = 125 c) 112 = 121 d) 70 = 1 e) 31 = 3 f) 23 = 8

g) 81 h) 1 i) 19 j)1

9k)

1

5l) 16

745. a) 105 b) 150 c) 12 d) 42 e) 10 f)25

4

g) 8 h) 2 i)( ) ( )

( )

- ◊ ◊ - ◊- ◊ ◊

=- ◊

= -2 3 2 5

2 3 5

2 5

3

10

3

2 2 2

3 2

j)( ) ( )

( ) ( )

- ◊ ◊ -- ◊ ◊ -

=- ◊-

=3 2 5

3 2 5

3 2

5

6

5

3 3 3

2 2 4 k) 270 l)2 3 5

2 3 5

9

5

6 4 2

6 2 3

◊ ◊◊ ◊

=

746. a)5 7 11

5 7 1155

4 4 4

3 4 3

◊ ◊◊ ◊

= b)( )

( )

( )- ◊ ◊- ◊ ◊

=- ◊

=5 3 2

5 3 2

5 2

3

100

9

7 4 3

5 6

2 2

2

c)3 5 7

3 5 73 5 7 735

3 4 5

2 3 32◊ ◊

◊ ◊= ◊ ◊ = d)

2 3 5 7

5 7 3 22 3 5 300

5 3 5 2

3 2 2 32 2◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊= ◊ ◊ =

e)2 3 5

2 3 5

1

36

5 4 5

7 6 5

◊ ◊◊ ◊

= f)2 3 5

2 3 51

4 5 5

4 5 5

◊ ◊◊ ◊

=

747. a) a1 = -8; a2 = 8 b) b1 = -6; b2 = 6 c) c1 = -3; c2 = 3

d) d1 = -4; d2 = 4 e) e1 = -5; e2 = 5 f) f1 = -9; f2 = 9

g) g1 = -7; g2 = 7 h) h1 = -10; h2 = 10 i) i1 = -11; i2 = 11

j) j1 = -12; j2 = 12 k) k1 = -1; k2 = 1 l) l1 = -13; a2 = 13

748. a) -3

4

3

4; b) -

2

9

2

9; c) -

7

9

7

9; d) -

6

5

6

5;

e) -5

10

5

10; f) -

8

10

8

10; g) -

15

100

15

100; h) -

2

100

2

100;

HATVÁNYOZÁS

110

i) -7

11

7

11; j) -

1

12

1

12; k) -

2

13

2

13; l) -

3

14

3

14;

749. a) -4; 4 b) -2; 2 c) -0,4; 0,4 d) -0,2; 0,2

e) -0,04; 0,04 f) -0,02; 0,02 g) -0,004; 0,004 h) -0,002; 0,002

i) -0,09; 0,09 j) -0,001; 0,001 k) -0,006; 0,006 l) -0,011; 0,011

750. a) a = 5 b) b = 3 c) c = 0,5 d) d = 0,3 e) e = 0,05 f) 0,03g) 0,005 h) 0,003

751. a) 8 b) 9 c) 0,5 d) 0,3 e) 2,5 f) 7,28

g) 6,93 h) 126 = 1,26 ◊ 102 = (1,12 ◊ 10)2; 11,2 i) 7,94 j) 9,95

k) 128 = 1,28 ◊ 102 = (1,13 ◊ 10)2 = 11,32; 11,3 l) 625 = 252; 25

m) 564 = 5,64 ◊ 102; 2,37 ◊ 10 = 23,7 n) 256 = 2,56 ◊ 102; 1,6 ◊ 10 = 16

o) 279 = 2,79 ◊ 102 = (1,67 ◊ 10)2; 16,7

752. a) 8 cm b) 9 cm c) 9,64 cm ª 9,6 cm d) 12,8 cm e) 80 dmf) 23,4 dm g) 19,9 dm h) 60 dm i) 15 m j) 17,8 m k) 27 ml) 37,1 m

753. a) 2,5 dm b) 60 mm = 0,6 dm c) 90 dm d) 60 dm e) 0,8 dmf) 1,1 dm g) 1,3 dm h) 140 dm i) 30 dm j) 270 dm k) 290 dml) 330 dm

111

MÛVELETEK TIZEDESTÖRTEKKEL

Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása

754. a) Két egész hét tized; kilenc tized; három egész huszonnégy század; hetvenkét század;öt egész száztizenkét ezred; ötszázhetvenegy ezred

b) négy egész hét század; kilenc század; tíz egész egy század; tizenkettô egésztizenkettô ezred; három egész száztinezöt tízezred; kilenc ezred

c) százkettô egész százkettô ezred; tíz egész kétezer-egy tízezred; két egész kilencezred; negyvenegy egész hetvennégy tízezred; százegy tízezred

d) három egész százhuszonháromezer-négyszázötvenhat milliomod; háromszáztizen-négy százezred; kétszáz egész kétezer-kettô tízezred; ezerkilencszázkilencvenkettôszázmilliomod

755. a) 135

10013 05= , b) 12 0032 12

32

10 000, = c)

7

10000 007= ,

d) 3 507 35

10

7

1000, = + + e) 2

59

10002 059= ,

f) 74 7205 7472

100

5

10 000, = + +

756. a) 3,47 b) 0,195 c) 4,506 d) 71,0214

757. a) 21,5 b) 3,2 c) 3,07 d) 4,24 e) 0,412 f) 17,9g) 0,4172 h) 7,09 i) 17,12

758. Százas Tízes Egyes , Tized Század Ezred

0 , 2 5 0 251

4, =

0 , 6 0 63

5, =

1 , 8 1 89

5, =

0 , 6 2 5 0 6255

8, =

0 , 2 4 0 246

25, =

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL

112

Százas Tízes Egyes , Tized Század Ezred

1 , 4 8 1 4837

25, =

7 , 5 7 515

2, =

9 , 3 7 5 9 37575

8, =

2 , 7 5 2 7511

4, =

0 , 1 5 0 153

20, =

759.3

40 75= , ;

7

80 875= , ;

1

20 5= , ;

4

50 8= , ;

13

200 65= , ;

340

2513 6= , ;

6

51 2= , ;

72

252 88= , ;

37

500 74= , ;

9

42 25= ,

Növekvô sorrendben:

1

2

13

20

37

50

3

4

4

5

7

8

6

5

9

4

72

25

340

25< < < < < < < < <

760. a)2

50 4= , ;

4

1250 032= , ;

9

200 45= , ;

3

80 375= , ;

7

500 14= ,

9

20

2

5

3

8

7

50

4

125> > > >

b)17

82 125= , ;

21

54 2= , ;

7

41 75= , ;

51

401 275= , ;

36

251 44= ,

21

5

17

8

7

4

36

25

51

40> > > >

761. a) - = -1

20 5, ;

3

50 6= , ; - = -

5

80 625, ;

3

40 75= , ; - = -

11

200 55,

- < - < - < <5

8

11

20

1

2

3

5

3

4

b) Tizedes tört alak: 8,16; 8,25; -1,7; 0; -1,35

- < - < < <34

201

14

400

204

258

1

4

c) - < - < - = - < -71

54

1

22

3

8

19

81

5

20

TIZEDES TÖRTEK ÍRÁSA, OLVASÁSA, ÖSSZEHASONLÍTÁSA

113

762.

7

1011

100

5101

100 5101

10

4

1000

110

100202

1007

100

763. a) 3,7000 = 3,7; 3,700 = 3,7; 3,70 = 3,7b) 0,012400 = 0,0124; 0,01240 = 0,0124; 0,0124000 = 0,0124; 0,01240000 = 0,0124c) 3,70400 = 3,704; 3,7040 = 3,704; 3,704

764. a) 1,200 = 1,2 b) 0,70 = 0,7 c) 12,100 = 12,1d) 75,750 = 75,75 e) 8,120 = 8,12 f) 0,420 = 0,42

765. a) 0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000; 0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000;0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000; 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000;0,2 = 0,20 = 0,200 = 0,2000

b) 10,5 = 10,50 = 10,500 = 10,5000; 100,5 = 100,50 = 100,500 = 100,5000;101,4 = 101,40 = 101,400 = 101,4000; 103,3 = 103,30 = 103,300 = 103,3000

c) 6,7 = 6,70 = 6,700 = 6,7000; 1,6 = 1,60 = 1,600 = 1,6000A többi hasonlóan bôvíthetô.

766. Hasonlóan az elôzôekhez.

767. a) 3,5 = 3,50 b) 6,100 > 6,01 c) 10,10 = 10,1d) 72,4 < 724,0 e) 0,100 = 0,1 f) 0,7 > 0,070

768.

Legnagyobb: 7,120 = 7,12 (vagy nincs legnagyobb).

769.

a) 31,4 = 31,40b) 0,314


114

c) A legkisebb szám a 0,314, a legnagyobb a 31,4 = 31,40.

d) 31,4 = 31,40 > 3,14 > 3,1 > 3,014 > 3,01 > 0,314

e) 0,314 < 3,01 < 3,014 < 3,1 < 3,14 < 31,4 = 31,40

f) 31,4 = 31,40

770. a) 0,005 < 1,005 < 1,050 < 1,5 < 10,005 < 10,05 < 10,5

b) 0,003 < 0,3 = 0,30 < 3,003 < 3,03 < 3,3 < 30,03 < 30,3

771. a) 66,6 > 66,06 > 60,6 > 60,06 > 6,6 > 6,06 > 6,006

b) 0,21 = 0,210 > 0,201 > 0,021 > 0,0021 > 0,0012

772.

6

5

13

10

773. a) 0 7700

1000, = ;

3

50 6

600

1000= =, ;

6

15

2

5

400

1000= = ; 0 16

160

1000, = ; 1 423

1423

1000, = ;

12

25

480

1000= ;

9

30

3

10

300

1000= =

0 169

30

6

15

12

25

3

50 7 1 423, , ,< < < < < <

Vagy a (közönséges) törteket tizedes törtté alakítjuk.

b)3

40 75= , ;

4

50 8= , ;

12

15

4

50 8== = ,

0 25 0 53

4

4

5

12

150 8 1 75, , , ,< < < = = <

c) Alakítsuk a törteket tizedes törtté!

0 127

50

1

4

3

60 82 1 033 1 33, , , ,< < < < < <

d) 0 16 0 6 0 606 0 663

4

12

101 4, , , , ,< < < < < <

774. a) 250 m < 0,5 km =1

2km < 600 m <

3

4km <1

1

4km < 1320 m < 1750 m

b) 350 m; 1

2km; 700 m; 750m =

3

4km;

4

5km; 1,2 km; 1250 m

TIZEDES TÖRTEK ÍRÁSA, OLVASÁSA, ÖSSZEHASONLÍTÁSA

115

775. a)1

4kg = 25 dkg;

1

20kg = 5 dkg;

3

4kg = 75 dkg;

5

20kg = 25 dkg

A csökkenô sorrend

0,8 kg > 3

4kg >

5

20kg =

1

4kg > 16 dkg > 15 dkg > 6 dkg >

1

20kg

b) 875 g > 4

5kg = 0,8 kg > 75 dkg =

3

4kg >

1

2kg > 0,4 kg >

3

25kg

776. a) 3 m 2 dm 8 cm = 3,28 m b) 4,34 m c) 12,571 m d) 0,783 m e) 10,08 mf) 7,97 m g) 5,022 m h) 11,46 m i) 6,19 m

777. a) 2,709 kg ª 2,71 kg b) 9,01 kg c) 1,515 kg ª 1,52 kg

d) 0,070 kg = 0,07 kg e) 1,037 kg ª 1,04 kg f) 5,040 kg = 5,04 kgg) 10,20 kg = 10,2 kg h) 1,010 kg = 1,01 kgi) 5,200 kg = 5,20 kg = 5,2 kg

778.

779. a) 1 cm-es beosztást célszerû készíteni

b)

780. a) 0,72 ª 0,7; -0,58 ª -0,6; 1,21 ª 1,2; 0,793 ª 0,8; -1,03 ª -1Ábrázoljuk a kerekített értékeket és így olvassuk le a növekvô sorrendet!

b) 0,317 ª 0,3; -0,31 ª -0,3; 2,02 ª 2; -1,92 ª -1,9; -0,87 ª -0,9

781. Mérôszalagon jelölhetjük 10 centiméterenként az egészeket. Így a 0,125 helye a 0-tól

jobbra 11

4cm távolságra van, a -0,375 helye pedig a 0-tól balra 3

3

4cm-re található. Ha

a füzetünkben pl. 8 négyzetoldal egy egység, akkor 0,21; -0,9; 2,85 helyét csakközelítôleg jelölhetjük, a többi számét pontosan.

Tizedes törtek összeadása, kivonása

782. a) 5,948 b) 19,36 c) 58,79 d) 539,39

783. a) 781,77 b) 4005,126 c) 25,003 d) 3,7084 e) 27,748 f) 1101,111g) 85,0687 h) 153,269 i) 321,4567

784. a) 28,96 b) 231,269 c) 183,758 d) 169,119 e) 201,3912 f) 216,3659

785. a) 3120 032

21 0324 182

,,,,

b) 14 0236 40 09

20 513

,,,,

c) 25 003103 043

5 07133116

,,,,


116

786. a) 73,337 b) 117,839 c) 69,992

787. a) 4 930 250 045

70 070105 265

,,,,,

b) 0 1212 6

7 0511 8

21 571

,,,,,

c) 20 460 51 7070 172

22 839

,,,,,

d) 42,999 e) 8,937 f) 100

788. a) 3,3 b) 0,32 c) 13,22 d) 1271,22 e) 0,32 f) 2,951g) 11,12 h) 1331,317

789. a) 4,64 b) 0,149 c) 558,82 d) 3,21 e) 0,675 f) 3,216g) 18,813 h) 179,28

790. a) 11,18 b) 35,18 c) 4,07 d) 0,444

791. a) 0,487 b) 8,63 c) 2,04 d) 17,86 e) 3,532 f) 50,641g) 0,111 h) 0,171 i) 5,275 j) 11,941 k) 19,7109 l) 1991,007

792. a) 566,44 b) 88,74 c) 34,09 d) 62,03 e) 0,95 f) 8,86

793. a) 33,351 b) 18,387 c) 11,58 d) 32,15 e) 38,988 f) 62,627

794. 3,728 kg ª 373 dkg; 3728 g

795. a) 0,32 ª 0,3; 31,47 ª 31,5; 3,82 ª 3,8; 9,51 ª 9,5; 0,07 ª 0,1

b) 3,19 ª 3,2; 2,03 ª 2,0; 0,04 ª 0,0; 9,69 ª 9,7; 9,99 ª 10,0

796. a) 2,117 ª 2,12 3,071 ª 3,07 14,1047 ª 14,10 171,999 ª 172,002,117 ª 2,1 3,071 ª 3,1 14,1047 ª 14,1 171,999 ª 172,02,117 ª 2 3,071 ª 3 14,1047 ª 14 171,999 ª 172

b) 17,069 ª 17,07 1,0009 ª 1,00 0,978 ª 0,98 10,908 ª 10,9117,069 ª 17,1 1,0009 ª 1,0 0,978 ª 1,0 10,908 ª 10,917,069 ª 17 1,0009 ª 1 0,978 ª 1 10,908 ª 11

c) 3,033 ª 3,03 3,719 ª 3,72 19,921 ª 19,92 99,999 ª 100,003,033 ª 3,0 3,719 ª 3,7 19,921 ª 19,9 99,999 ª 100,03,033 ª 3 3,719 ª 4 19,921 ª 20 99,999 ª 100

797. a) becslés: 12 m; számítás: 12,32 m = 123,2dmb) becslés: 5 dm + 6 dm = 11 dm; számítás: 10,38 dm = 103,8 cmc) becslés: 17 cm; számítás: 16,59 cm = 165,9 mm

798. a) b: 3,0 hl sz: 3,014 hl = 301,4 lb) b: 1,4 hl sz: 1,395 hl = 139,5 lc) b: 54 l sz: 54,23 ld) b: 48 l sz: 47,74 l = 477,4 dle) b: 4 l sz: 4,25 l = 425 cl

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

117

799. a) pl.: -2,9; -2,1; -1,3; -0,5; 0,3; 1,1; 1,9; 2,7; 3,50,8-et adunk az elôzô elemhez, így kaphatjuk a sorozat egy újabb elemét.

b) pl.:

- - -1 5 1 0 4 0 3 11 2 3 4 1 5 3, ; ; , ; , ; , ; ; ; , ; ,

c) pl.: 10,23; 10,16; 10,1; 10,05; 10,01; 9,98; 9,96; 9,95; 9,95Szabály: Mindig 0,01-dal kevesebbet vonunk ki.

800. a) 11,34b) Az elsô oszlop második száma.

11,34 - (3,78 + 3,82) = 3,74c) 34,02

801. a) xyz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 98 7 6 5 4 3 2 1 0 95 5 5 5 5 5 5 5 5 6

b)

802. a) ª < 2,3 b) ª < 2,78 c) ª = 1,1 d) ª = 1,99

803. 3830,163

804. (92,6 + 28,3 + 0,035) ◊ 100 = 120,935 ◊ 100 = 12 093,5

805. A huzaldarabok hosszának összege 68,19 dm = 6,819 m. Legalább 7 m kell, ha egészmétereket vásárolhatunk.

806. A Margit-híd 637,5 m, a Szabadság-híd 331 m, az Erzsébet-híd 380 m. Az Erzsébet híd49 m-rel hosszabb a Szabadság-hídnál.

807. A Szabadság-híd 20,1 m széles, az Erzsébet-híd 27,5 m széles.

808. 14,5 m hosszú a cölöp.

809. 15,32 m + (15,32 + 17,25) m + (15,32 + 17,25 - 0,9) m = 79,56 m Együttes hossz 79,56 m. Az elsô darab a harmadiktól 16,35 m-rel rövidebb.

810. A második útvonal hosszabb 20,7 km-rel.

811. 200,1 - (84,5 + 30,3) = 85,3 Kecskemét-Szeged távolsága 85,3 km.

812. 1948-ban Németh Imre 56,07 m-es dobással lett a kalapácsvetés olimpiai bajnoka.1952-ben Csermák József dobása: 60,34 m. 1992. évi barcelonai olimpián az

3,84 3,73,74

3,86 3,72

3 83 78 3 82

3 76

,, ,

,


118

aranyérmes dobás: 82,54 m. A 40 évvel elôbbi olimpiai aranyérmet jelentô dobáshossza 22,2 m-rel kevesebb.

813. 4,9 + (4,9 + 9,8) + [(4,9 + 9,8) + 9,8] + [(4,9 + 9,8) + 9,8] + 9,8 = 78,4 (m)

814. Az egyik szám: 9x. A másik: x.9 0 593 2 507

10 310 31

x xxx

+ = +==

, ,,,

A kisebbik szám 0,31.

815. 100x = 8,1100x = 0,081 A kisebbik összeadandó 0,081.

816. 29,33 cm - (10,6 cm + 7,23 cm) = 11,5 cm = 115 mm

817. 71,61 m

818. a) 0,6 m ◊ 3 = 1,8 m b) 1,3 dm ◊ 3 = 3,9 dm

819. a) 4,7 + 4,7 + 4,7 = 4,7 ◊ 3 = 14,1

b) 3,2 ◊ 5 = 16,0 c) 17,55 d) 24,72

820. a) 9,08 b) 6,35 c) 1,76 d) 62,83

821. Használjuk a különbség kivonásáról tanultakat!a) 6,45 b) 2,45 c) 2,28 d) 11,91

822. a) 34 - 15 - 18,08 + 7,072 = 19 + 7,072 - 18,07 = 8,002b) 0,416 c) 1,085 d) 8,201

823. a) 712 cm - 98 cm = 614 cm b) 475 cm - 9,8 cm = 465,2 cm

c) 531,6 cm - 423 cm = 108,6 cm

824. a) 2567,5 g b) 387,8 g

825. Volt: x l benzin( , ) , ,

,,

xx

x

+ - + =+ =

=

4 5 0 7 32 7 4036 5 40

3 5

Elakadáskor 3,5 l benzin volt a tartályban.

826. a) 7,61 kgb) (3,27 kg + 0,25 kg) + 4,34 kg = 7,61 kg + 0,25 kg = 7,86 kgc) 3,27 kg + (4,34 kg + 0,25 kg) = 7,86 kgd) (3,27 kg + 0,25 kg) + (4,34 kg + 0,25 kg) = 7,61 kg + 0,5 kg = 8,11 kg

827. 25,09 kg + 10,97 kg = 36,06 kg

a) (25,09 kg - 4,5 kg) + 10,97 kg = 36,06 kg - 4,5 kg = 31,56 kg

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

119

b) 25,09 kg + (10,97 kg - 4,5 kg) = 31,56 kg

c) (25,09 kg - 4,5 kg) + (10,97 kg + 4,5 kg) = 36,06 kg

828. 14,18 kg dió maradt kint, ez 8,58 kg-mal több, mint amit hazavittünk.

a) (14,18 kg + 1,3 kg) - 5,6 kg = 8,58 kg + 1,3 kg = 9,88 kgMost 9,88 kg-mal több dió van kint, mint otthon.

b) (14,18 kg + 1,3 kg) - (5,6 kg - 1,1 kg) = 9,88 kg + 1,1 kg10,98 kg-mal van kint több dió, mint otthon. A különbség nô, ha a kivonandót csökkentjük (változatlan kisebbítendô esetén).

c) (14,18 kg + 1,3 kg - 2,3 kg) - (5,6 kg - 1,1 kg) = 10,98 kg - 2,3 kgMost 8,68 kg-mal van kint több dió. A különbség csökken, ha a kisebbítendôt csökkentjük (változatlan kivonandóesetén).

d) (15,48 kg - 2,3 kg) - (5,6 kg - 2,3 kg) = 9,88 kgA különbség nem változik, ha a kisebbítendôt és a kivonandót ugyanannyivalcsökkentjük.

829. Elôször 0,21 m-rel ugrott nagyobbat, másodszor 0,31 m-rel, harmadszor 0,06 m-relugrott nagyobbat Józsi mint Gábor.Negyedik eset: (4,96 m + 0,05 m) - (4,48 m + 0,05 m) = 0,21 m.Józsi mindig nagyobbat ugrott, ô gyôzött.

830. 13,52 + 48,78 = 62,3a) (13,52 + 3,4) + 48,78 = 13,52 + (48,78 + 3,4) = 62,3 + 3,4

b) (13,52 - 4,15) + 48,78 = 13,52 + (48,78 - 4,15) = 62,3 - 4,15c) pl.: (13,52 + 2,7) + (48,78 + 1,22) = 16,22 + 50 = 66,22

d) pl.: (13,52 - 0,22) + (48,78 + 0,22) = 13,3 + 49 = 62,3

831. 38,43 + 21,85 = 60,28

a) 38,43 + (21,85 - 11,85) = 38,43 - 10 = 28,43b) (38,43 + 11,57) + 21,85 = 50,00 + 21,85 = 71,85

c) pl.: (38,43 - 0,4) + (21,85 - 1,1) = 38,03 + 21,75 = 58,78

d) pl.: (38,43 + 5,57) + (21,85 - 5,57) = 60,28

832. 26,42 - 19,54 = 6,88

a) (26,42 - 7,5) - 19,54 = 18,92 - 19,54 = -0,62

b) 26,42 - (19,54 + 7,5) = -0,62

c) (26,42 + 3,58) - 19,54 = 10,46

d) 26,42 - (19,54 - 3,58) = 10,46

e) pl.: (26,42 - 1,31) - (19,54 - 1,31) = 6,88

833. 31,47 - 16,5 = 14,97

a) (31,47 + 6,5) - 16,5 = 31,47 - (16,5 - 6,5) = 21,47

b) (31,47 - 10,47) - 16,5 = 4,5


120

c) pl.: (31,47 + 2) - (16,5 - 2) = 18,97

d) (31,47 + 2) - (16,5 + 2) = 14,97

834. a) 25,6 + (-25,6) + 7 = 7

b) (-13,13) + (-6,87) + 9,05 + 42,95 + 76,5 = -20 + 52 + 76,5 = 108,5

c) 9,52 + (-4,52) + 18,3 + (-3,3) + 3,792 + (-0,792) = 5 + 15 + 3 = 23

d) 74,5 + 5,5 + (-9,6) + (-0,4) + 4,89 + (-3,51) = 80 + (-10) + 4,89 + (-3,51) == 84,89 + (-13,51) = 71,38

835. A 834-es feladat megoldásában használt felcseréléseket, csoportosításokat, valamint azösszeg, különbség kivonásáról tanultakat alkalmazzuk!

a) -509,82 b) 12,7 + 8,6 - 5,7 + 2,9 = 18,5

c) -3,071 d) 49 - 28,07 - 13 + 6,07 = 14

836. Az összeg, különbség hozzáadásáról, kivonásáról tanultakat használjuk.

a) 59,99 b) 79,13 c) -16,62 d) 3,31

837. a) 42,683 b) 42,683 c) 42,299 d) 43,683 e) 42,701a = b, mert összeget tagonként is kivonhatunk.c < b, mert a kivonandót növeltük.d > b, mert a kivonandót csökkentettük.Az a) és b) feladatban a 0,009 kivonandó, az e) feladatban hozzáadandó, a többiszámmal ugyanazt a mûveletet végezzük, ezért a + 0,018 = e.

838. a) 12,188 c) 22,172 c) 4,672

839. a) (27,6 + 14,76) + (27,6 - 14,76) = 27,76 ◊ 2 = 55,2

b) (27,6 + 14,76) - (27,6 - 14,76) = 14,76 ◊ 2 = 29,52

c) (35,43 + 18,6) + (35,43 - 18,6) = 35,43 ◊ 2 = 70,86

d) (35,43 + 18,6) - (35,43 - 18,6) = 18,6 ◊ 2 = 37,2

Tizedes törtek szorzása, osztása

840. a) 5 = 50 tized = 500 század = 5000 ezred = 50 000 tízezred21 = 210 tized = 2100 század = 21000 ezred = 210 000 tízezred4,3 = 43 tized = 430 század = 4300 ezred = 43 000 tízezred19,07 = 190,7 tized = 1907 század = 19 070 ezred = 190 700 tízezred

b) 7,31 = 73,1 tized = 731 század = 7310 ezred = 73 100 tízezred4,03 = 40,3 tized = 403 század = 4030 ezred = 40 300 tízezred4,076 = 40,76 tized = 407,6 század = 4076 ezred = 40 760 tízezred52,0007 = 520,007 tized = 5200,07 század = 52 000,7 ezred = 520 007 tízezred

c) 5,063 = 50,63 tized = 506,3 század = 5063 ezred = 50 630 tízezred1000,1 = 10 001 tized = 100 010 század = 1 000 100 ezred = 10 001 000 tízezred 0,0048 = 0,048 tized = 0,48 század = 4,8 ezred = 48 tízezred3,00717 = 30,0717 tized = 300,717 század = 3007,17 ezred = 30 071,7 tízezred

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA

121

841. a) 0,7 ◊ 10 = 7 0,7 ◊ 100 = 70 0,7 ◊ 1000 = 7003,5 ◊ 10 = 35 3,5 ◊ 100 = 350 3,5 ◊ 1000 = 350013,9 ◊ 10 = 139 13,9 ◊ 100 = 1390 13,9 ◊ 1000 = 13 9001,47 ◊ 10 = 14,7 1,47 ◊ 100 = 147 1,47 ◊ 1000 = 147029,8 ◊ 10 = 298 29,8 ◊ 100 = 2980 29,8 ◊ 1000 = 29 8000,16 ◊ 10 = 1,6 0,16 ◊ 100 = 16 0,16 ◊ 100 = 160

b) 13,07 ◊ 10 = 130,7 13,07 ◊ 100 = 1307 13,07 ◊ 1000 = 13 070A többi szám esetében is hasonlóan járunk el.0,1992 ◊ 10 = 1,992 0,1992 ◊ 100 = 19,92 0,1992 ◊ 1000 = 199,2

842. a) 98,7 > 9,87 > 0,987 > 0,0987 54,36 > 5,436 > 0,5436 > 0,0543670 > 7 > 0,7 > 0,07 15,6 > 1,56 > 0,156 > 0,0156358,26 > 35,826 > 3,5826 > 0,35826 800,18 > 80,018 > 8,0018 > 0,80018

b) 13,07 > 1,307 > 0,1307 > 0,01307 0,07 > 0,007 > 0,0007 > 0,00007...A többi hasonlóan írandó.

c) 5 > 0,5 > 0,05 > 0,005 3,05 > 0,305 > 0,0305 > 0,00305...A többi szám tizede, százada, ezrede hasonlóan írható fel.

843. 1,472 m = 14,72 dm = 147,2 cm = 1472 mm

844. Százszor kisebb.

845. Tízezerszerese.

846. Tízszer nagyobb.

847. a) 000375,12 b) 00,07 c) 000411,782003751,2 00,7 004117,82037512 07 041178,2375120 70 411782

d) 00005,31 e) 002900 f) 00011170000053,1 000700 00008000000531 003050 88560000005310 543000 00021320053100 000090 000011110

848. a) 7,186 b) 0,756 c) 1,333720,0347 0,03159 0,3400240,01259 0,00807 0,01111110,00394 0,00066 0,00123456

d) 0,692 e) 0,431 : 10 = 0,0431 f) 0,0024650,6743 5,768 : 10 = 0,5768 0,00012786,7321 0,967 : 10 = 0,0967 0,023510,9738 3,88 : 100 = 0,0388 0,0012890,00107 50,505 : 1000 = 0,050505 0,0000066660,05055 3,0303 : 1 = 3,0303 0,001232

849. a) 15,4 m 0,937 m 19,92 m 20,6 m 1,025 mb) 1,15 m 73,773 m 5,555 m 0,5757 m 0,01992 m


122

c) 7,9 m 70,9 m 77,77 m 0,082 m 0,05 md) 52 000 m 9000 m 430 m 10 010 m 7 m

850. pl.:

kmhm

(100 m)dkm

(10 m) m dm cm mm

a) 17 dm 1 7 = 1 m + 7 dm42 mm 4 2 = 4 cm + 2 mm58 cm 5 8 = 5 dm + 8 cm309 m 3 0 9 = 3 hm + 9 m309 m 309 = 309 m

2005 m 2 0 0 5 = 2 km + 5 m50 052 dm 5 0 0 5 2 = 5 km + 5 m + 2 dm

b) 3,8 dm 3 8 = 3 dm + 8 cm0,42 dm 4 2 = 4 dm + 2 cm3,072 m 3 0 7 2 = 3 m + 7 cm + 2 mm

502,12 dm 5 0 2 1 2 = 5 dkm + 2 dm + 12 mm6,8 cm 6 8 = 6 cm + 8 mm

73,07 m 7 3 0 7 = 7 dkm + 3 m + 7 cm9,6 km 9 6 = 9 km + 6 hm9,6 km 9 600 = 9km + 600 m

5,009 km 5 9 = 5 km + 9 m5,009 km 50 9 = 50 hm + 9 m5,009 m 5 9 = 5 m + 9 mm5,009 m 50 9 = 50 dm + 9 mm

851. a) 10 dm; 2 dm; 6 dm b) 1000 m; 125 m; 875 m

c)100

2 40 cm

5 cm◊ = d)

10003 600

mm

5 mm◊ =

e)1000

3 375 mm

8 mm◊ = f)

1000250

m

4 m=

g)10 000

2 2500 dm

8 dm◊ = h)

10 0006 7500

dm

8 dm◊ =

852. a) 760 cm = 76 dm = 7 m 6 dm (= 7,6 m)b) 3480 cm = 348 dm = 34 m 8 dm (= 34,8 m)c) 110 000 cm = 11 000 dm = 1100 m = 1 km 100 m (= 1,1 km)d) 101 000 cm = 10 100 dm = 1010 m = 1 km 10 m (= 1,010 km)

853. a) 7500 m = 7,5 km; 10 500 m = 10,5 km (= 1,05 ◊ 101 km); 15 000 dm = 1,5 km;30 000 dm = 3 km

b) 13 800 m = 13,8 km (= 1,38 ◊ 10 km); 27 600 m = 27,6 km (= 2,76 ◊ 10 km);

13 800 dm = 1,38 km; 27 600 cm = 0,276 km (= 2,76 ◊ 10-1 km)

854. a) 82 500 cm = 8250 dm = 825 m (= 8,25 ◊ 102 m)82 500 mm = 825 dm = 82,5 m (= 8,25 ◊ 10 m)


123

b) 399 500 cm = 3995 m = 3,995 km399 500 dm = 39 950 m = 39,95 km (= 3,995 ◊ 10 km)

c) 7500 mm = 7,5 m; 750 cm = 7,5 m; 75 dm = 7,5 md) 15 000 mm = 15 m; 1500 cm = 15 m; 150 dm = 15 m

855. a) 65 000 dm = 6500 m = 6,5 km65 000 cm = 650 m = 0,65 km65 000 mm = 65 m = 0,065 km

b) 4900 mm = 4,9 m490 cm = 4,9 m49 dm = 4,9 m

c) 1 000 000 cm = 100 000 dm = 10 000 m = 10 kmvagy 106 cm = 105 dm = 104 m = 101 km

d) 72 000 000 cm = 7 200 000 dm = 720 000 m = 720 kmvagy 7,2 ◊ 107 cm = 7,2 ◊ 106 dm = 7,2 ◊ 105 m = 7,2 ◊ 102 km

856. a) 7 m; 11 m; 15 m; 19 m; 23 m; ...; 47 m; 51 m; 55 m; 59 m; 63 mb) 2,82 m; 3,32 m; 3,82 m; 4,32 m; 4,82 m; ...; 6,82 m; 7,32 m; 7,82 m; 8,32 m;

8,82 mc) 22 dm; 19 dm; 17 dm; 16 dm; 16 dm; ...; 37 dm; 44 dm; 52 dm; 61 dm; 71 dm;

Balról jobbra haladva mindig 1-gyel nagyobb számot adunk hozzá. Az elsôhosszáadandó -3.

d) 0,5 cm; 1 cm; 2 cm; 4 cm; 8 cm; ...; 512 cm; 1024 cm; 2048 cm; 4096 cm;8192 cm;

e) 19 638 km; 6561 km; 2187 km; 729 km; 243 km; ...; 1

3km;

1

9km;

1

27km;

1

81km;

1

243km

857. a) Ugyanazt a mennyiséget fejeztük ki m ill. dm mértékegységekkel. A dm-benkifejezett mennyiség mérôszáma 10-szer akkora, mint a m-ben kifejezetté.

b) A lehetô legnagyobb és az eredeti mértékegység segítségével fejezzük ki amennyiségeket úgy, hogy a mérôszámok egész számok legyenek.

a) m dm4 40

0,5 51

4=

=

0 25

12

51 4

192

7 55 05

,

,

,,

2,5

14

1,90,20,75

50,5

b) be ki75 dm

1300 cm105 mm200 cm62 dm

602 cm

7 m 5 dm13 m1 dm 5 mm

5 m 5 dm17 m 7 cm3 m 3 mm

55 dm1707 cm

3003 mm

2 m6 m 2 dm6 m 2 cm


124

858. a) 5 km2 = 5 ◊ 1000 m ◊ 1000 m = 5 ◊ 106 m2 b) 2,5 km2 = 2,5 ◊ 106 m2

0,5 km2 = 5 ◊ 105 m2 0,25 km2 = 2,5 ◊ 105 m2

0,05 km2 = 5 ◊ 104 m2 0,025 km2 = 2,5 ◊ 104 m2

0,005 km2 = 5 ◊ 103 m2 0,0025 km2 = 2,5 ◊ 103 m2

859. a) 3 m2 = 3 ◊ 104 cm2 b) 1,5 m2 = 1,5 ◊ 104 cm2

0,3 m2 = 3 ◊ 103 cm2 0,15 m2 = 1,5 ◊ 103 cm2

0,03 m2 = 3 ◊ 102 cm2 0,015 m2 = 1,5 ◊ 102 cm2

0,003 m2 = 3 ◊ 10 cm2 0,0015 m2 = 1,5 ◊ 10 cm2

860. a) 1,842 m = 1,842 ◊ 103 mm; 18,42 m = 1,842 ◊ 104 mm

b) 0,6 m = 6 ◊ 102 mm; 0,06 m = 60 mm = 6 ◊ 10 mm

c) 1,2 dm = 120 mm = 1,2 ◊ 102 mm; 12 dm = 1200 mm = 1,2 ◊ 103 mm

d) 0,07 dm = 7 mm; 0,7 dm = 70 mm = 7 ◊ 10 mm

861. a) 106 m b) 107 m c) 3,2 ◊ 106 m d) 2,1 ◊ 107 m

e) 9,88 ◊ 107 m f) 2,76 ◊ 107 m g) 7,62 ◊ 106 m h) 9,75 ◊ 106 m

862. a) 16,2 m = 16 200 mm = 1,62 ◊ 104 mm

b) 8,16 m = 8160 mm = 8,16 ◊ 103 mm

c) 25,06 m = 250,6 dm = 2,506 ◊ 102 dm

d) 134,5 m = 13 450 cm = 1,345 ◊ 104 cme) 0,012 m = 1,2 cmf) 0,605 m = 6,05 dm

g) 0,319 m = 319 mm = 3,19 ◊ 102 mm

h) 0,96 m = 960 mm = 9,6 ◊ 102 mm

863. a) 63,5 m = 6350 cm = 635 dm b) 17,32 km = 173 200 dm = 17 320 mc) 0,45 km = 450 m = 4500 dm d) 0,03 km = 3000 cm = 30 me) 1,96 m = 19,6 dm = 196 cm f) 3,05 m = 3050 mm = 305 cmg) 0,107 km = 1070 dm = 10 700 cm h) 0,301 m = 30,1 cm = 301 mm

864. a)850

1008 5= , A két szorzat egyenlô, csak a szorzandó más alakú.

b)96

109 6= , c)

22 470

100224 7= , d)

1248

10001 248= , e)

9600

10009 6= ,

f)41 040

100410 4= ,

865. a) 15,04 ª 15,0 b) 87,24 ª 87,2 c) 2999,15 ª 2999,2

d) 459,34 ª 459,3 e) 126,48 ª 126,5 f) 2673,56 ª 2673,6

g) 31,5 h) 6816,126 ª 6816,1 i) 228,228 ª 228,2

j) 15,768 ª 15,8 k) 19,72 ª 19,7 l) 673,596 ª 673,6


125

866. a) 54,7 b) 8000 c) 480 d) 10 e) 314 f) 6240g) 74 h) 0

867. a = 16,5 m; K = 16,5 m ◊ 4 = 66,0 m = 660 dm

868. a) 26,15 m = 0,02615 km b) 513,76 m = 0,51376 kmc) 2342,75 m = 2,34275 km d) 3922,1 m = 3,9221 kme) 177,6 m = 0,1776 km f) 21 169,26 m = 21,16926 km

869. 1 kísérlethez 4,5 g28 + 1 kísérlethez 4,5 g ◊ 29130,5 g = 13,05 dkg rézgálicot használtak el.

870. 1 játékhoz 4,5 dm25 játékhoz 4,5 dm ◊ 25112,5 dm huzal szükséges, ez 11,25 m.

871. (62,75 - 4,8) ◊ 15 = 57,95 ◊ 15 = 869,2562,75 ◊ 15 - 4,8 ◊ 15 = 941,25 - 72 = 869,25A két eredmény egyenlô. Különbséget úgy is szorozhatunk egy számmal, hogy akisebbítendôt is és a kivonandót is megszorozzuk a számmal, majd elvégezzük akivonást.

872. 32,38 ◊ 21 + 18,173 ◊ 21 = 679,98 + 381,633 = 1061,613(32,38 + 18,173) ◊ 21 = 50,553 ◊ 21 = 1061,613

873. 1 kocka tömege 7,8 kg12 kocka tömege 7,8 kg ◊ 12 = 93,6 kg12 ilyen kocka tömege 93,6 kg.

874. 36 kocka tömege 266,4 g = 26,64 dkg.

875. a) 1575 b) 1326 c) 984 d) 70620015,75 0013,26 098,4 0070,620001,575 0001,326 009,84 0007,062

e) 9315 f) 34368 g) 1903,2 h) 116,480931,5 03436,8 0190,32 011,6480009,315 00343,68 0019,032 116,48

876. a) 22 680 g = 22,68 kg b) 1206 g = 1,206 kgc) 266,73 dkg = 2,6673 kg d) 348,788 dkg = 3,48788 kge) 278,76 kg f) 1,566 kgg) 0,1664 t = 166,4 kg h) 0,1605 t = 160,5 kgi) 0,0279 t = 27,9 kg

877. a) 585,25 dl = 58,525 l b) 286,596 l c) 6,3375 hl = 633,75 ld) 60 600 ml = 60,6 l e) 919,89 cl = 9,1989 l f) 0,7272 hl = 72,72 l

878. a) 3,6 ◊ 18 = 36 ◊ 1,8 b) 4,2 ◊ 1,2 < 42 ◊ 1,2 tized része


126

c) 26,5 ◊ 2,5 > 2,65 ◊ 2,5 tized része d) 32,8 ◊ 3,8 = 3,28 ◊ 38

e) 0,415 ◊ 6,7 < 41,5 ◊ 0,67 tized része

f) 792, 5 ◊ 4,81 > 7,925 ◊ 4,81 század része

g) 12,98 ◊ 11,5 = 129,8 ◊ 1,15

h) 397,6 ◊ 0,442 < 39,76 ◊ 44,2 az elsô szorzat a másodiknak tized része

i) 217,5 ◊ 33,7 > 217,5 ◊ 3,37 tized része

j) 667,7 ◊ 11,9 > 66,77 ◊ 1,19 század része

879. a) 31 25 752 312 5 75223 500 235 000

, ,◊ < ◊<

tízszer nagyobb211 500-zal nagyobb

b) 0 517 41 517 0 4121197 211 97

, ,, ,◊ < ◊

<tízszer nagyobb190,773-del nagyobb

c) 2 02 38 4 04 1976 76 76 76

, ,, ,◊ = ◊

=Az egyik tényezôt kétszeresére, a másikat feléreváltoztattuk.

d) 5 03 52 10 06 5 2261 56 52 312, , ,

, ,◊ > ◊

>ötszörös209,248-del nagyobb

e) 51 314 510 3141601 4 1601 4, ,

, ,◊ = ◊

=Az egyik tényezôt 100-szorosára, a másikat századáraváltoztattuk.

f) 57 3 573 5 73 53 732 832 9 307 701

, , ,, ,

◊ > ◊>

több mint százszorosa32 525,199-del nagyobb

880. h = 7,25 m; sz = 2,6 m; m = 0,4 mV = h ◊ sz ◊ mV = 7,25 ◊ 2,6 ◊ 0,4 m3 = 7,54 m3

7,54 m3 homok szükséges.

881. 197,05 ◊ 15,2 + 201,5 ◊ 10,07 = 2995,16 + 2029,105 = 5024,265

882. 1 m3 tömege 12,1 t0,27 m3 tömege 12,1 t ◊ 0,270,27 m3 oltott mész tömege 3,267 t.

883. 1 gyerek adott3 gyerekAjándék áraHiányzik

72,6 Ft - ot72,6 Ft 372,6 Ft

Ft

◊◊ ◊

◊ ◊ - ◊ ==

3 1 8

72 6 3 1 8 72 6 3174 24

,

, , ,,

xx

x

Apukától 174 Ft 30 fillért kell kérniük.

884. Sz.: 1 m tömege 0,62 kg V.: 1m tömege 0,4 kg1,85 m 0,62 kg ◊ 1,85 1,3 m 0,4 kg ◊ 1,3


127

B.: 1 m tömege 0,31 kg1,6 m 0,31 kg ◊ 1,6

0 62 1 85 0 4 1 3 0 31 1 6 2 163, , , , , , , kg kg kg kg◊ + ◊ + ◊ =A kész kabát tömege 2,163 kg.

885. 237 dkg = 2,37 kg

886. (2,5 dl ◊ 4) ◊ 31 = 310 dl = 31 l

887. K = (12,3 + 12,3 ◊ 1,12) ◊ 2 cmK = 52,152 cm ª 52 cmT = 12,3 ◊ (12,3 ◊ 1,12) cm2

T = 169,4448 cm2 ª 170 cm2

888. 1 db hossza 1,25 m12 db 1,25 m ◊ 12 = 15 m1 m ára 22,5 Ft15 m 22,5 Ft ◊ 15 = 337,5 Ft15 m szalagot vásároltak, 337,5 Ft-ot fizettek.

889. 119,4 kg

890. (18,5 - 14,7) ◊ 0,6 = 2,282,28 km-rel elôzi meg a bátyja Gábort.

891. [14,2 + (14,2 + 2,1)] ◊ 0,25 = 7,6250,25 óra múlva 7,625 km távol lesznek egymástól.

892. 5 - (4,7 + 16,2) ◊ 0,2 = 0,820,82 km-re lesznek egymástól 0,2 óra múlva.

893. 2,04 m az összes hulladék. (Az 1,83 m felesleges adat.)

894. 4,38 kg; 6,57 kg; 11,388 kg; 42,048 kg összeg: 64,386 kg

895. a) 222,984; 1,21; 222,984 b) 223,329; 92,354; 223,329c) 1,9728; 7,5608; 1,9728 d) 14,6601; 26,7591; 14,6601Összeget, különbséget tagonként is szorozhatunk.

896. a) 6,18 b) 4,962 c) 3663,569 d) 149,4396

897. a) 3,5 ◊ 19 = 66,5 b) 7,8 ◊ 10 = 78 c) 9,8 ◊ 8,3 = 81,34

d) 3,6 ◊ (6 - 13) = -25,2 e) 7,8 ◊ 8,3 = 64,74 f) 2,7 ◊ 8,3 = 22,41

898. a) 0,0704 b) 0,298 c) 15,464 d) 12,74 e) 30,308

899. a) 0,1 + 11,62 = 11,72 b) 22,25 + 13,69 = 35,94 c) 5,150061d) 1242,0576

12 3, cm 1,12◊


128

900. a) (131,5 + 18,9) ◊ (131,5 - 18,9) = 150,4 ◊ 112,6 = 16 935,04

b) 131,52 - 18,92 = 17 292,25 - 357,21 = 16 935,04A két szám összegének és különbségének a szorzata egyenlô a két számnégyzetének a különbségével.

901. (23,5 ◊ 0,2 + 138,4) ◊ (23,5 ◊ 0,2 - 138,4) = (4,7 + 138,4) ◊ (4,7 - 138,4) == 143,1 ◊ (-133,7) = -19 132,47

902. a) (7,306 + 8,9) ◊ ( 7,306 - 8,9) ◊ 5 = 16,206 ◊ (-1,594) ◊ 5 = -129,16182

b) (7,306 + 8,9) ◊ (7,306 ◊ 5 - 8,9 ◊ 5) = 16,206 ◊ (36,53 - 44,5) =16,206 ◊ (-7,97) == -129,16182

903. a) (0,75 - 0,85) ◊ (0,75 + 0,85) = -0,1 ◊ 1,6 = -0,160,752 - 0,852 = 0,5625 - 0,7225 = -0,16

b)3

5

6

5

3

5

6

5

9

5

3

5

27

25+Ê

ËÁˆ¯◊ -ÊËÁ

ˆ¯

= ◊ -ÊËÁ

ˆ¯

= -

( , ) , , , ,0 6 1 2 0 36 1 44 1 08108

100

27

252 2- = - = - = - = -

c) 0,175 ◊ 1,075 = 0,1881250,390625 - 0,2025 = 0,188125

d) 0,8 ◊ 0 = 00,16 - 0,16 = 0

904. a) (0,8 - 0,35) ◊ (0,8 + 0,35) = 0,45 + 1,15 = 0,51750,64 - 0,1225 = 0,5175

80

100

35

100

80

100

35

100

45

100

115

100

5175

10 000-Ê

ËÁˆ¯◊ +ÊËÁ

ˆ¯

= ◊ =

16

25

1225

10 000

6400

10 000

1225

10 000

5175

10 000- = - =

b) 1,075 ◊ (-0,325) = -0,349375; 349 375

1 000 000

0,140625 - 0,49 = -0,349375

c) 2,15 ◊ (-0,35) = -0,7525; 18

20

25

20

18

20

25

20

301

4000 7525+Ê

ËÁˆ¯◊ -ÊËÁ

ˆ¯

= - = - ,

0,81 - 1,5625 = -0,7525; 18

20

25

20

324

400

625

400

301

4000 7525

2 2ÊËÁ

ˆ¯

- ÊËÁ

ˆ¯

= - = - = - ,

d) (-0,32) ◊ 0,56 = -0,17920,0144 - 0,1936 = -0,1792

905. a) 0 73

40 7 0 75, , ,◊ = ◊ b) 0,92 < 0,9 ◊ 1,2; 0,27-dal


129

c) 0 82

50 8 0 42, , ,◊ > ◊ ; 0,064-del d) 0 8

4

52

2

, = ÊËÁ

ˆ¯

906. a b c dab

a b a ba b

) ) ) ), , , ,, , , ,

( )( ) , , , ,, , , ,

2 5 31 4 9 0 61 8 0 8 1 3 0 23 01 8 97 22 32 0 323 01 8 97 22 32 0 322 2

+ −−

907. xy

x y x yx y

0 8 1 9 0 7 0 2 1 2 6 711 0 2 1 1 6 4 1 30 57 3 57 0 51 2 52 14 56 43 20 57 3 57 0 51 2 52 14 56 43 22 2

, , , , , ,, , , ,

( )( ) , , , , , ,, , , , , ,

- -- -

+ - - - - -- - - - -

908. y1 = (3,6 ◊ 0,03 + 1,2) ◊ 12,3 = 16,0884

y2 = [3,6 ◊ (-0,12) + 1,2] ◊ 12,3 = 9,4464y3 = 14,80428

909. a) 3,6 + 3,6 ◊ 10,5 + (3,6 ◊ 10,5 - 1,8) = 77,4 b) 77,4 ◊ 0,75 = 58,05

910. (3,16 + 2,1) ◊ 100 = 5,26 ◊ 100 = 526Az 5,26 a szorzatnak a század része.

911. I. 27,4 mII. 25,8 mIII. 13,7 m

folyosók hossza szônyegek hossza

¸˝Ô

Ô◊◊

¸˝˛

12 6 214 6 2

,,

27 4 25 8 13 7 12 6 2 14 6 266 9 54 4

, , , , ,, ,

+ + > ◊ + ◊>

Még 12,5 m hosszú szônyeget kell vásárolni.

912. 52,28 + 32,47 + 22,45 ◊ 29 = 735,8A szerelvény 735,8 tonna.

913. (9,76 - 9,76 ◊ 0,35) ◊ 30,2 kg = 191,5888 kg ª 191,6 kg.

914. A két állomás távolsága 97,2 km. 55 4 0 9 52 6 0 9, , , ,◊ + ◊

915. r = 7,6 dm K ª 2 ◊ 7,6 ◊ 3,14K = 2rp K ª 47,728 dm

916. d = 0,8 mK = dp K ª 2,512 m2,612 m hosszú pántot kell venni az abroncs elkészítéséhez.


130

917. d = 0,63 m K ª 0,63 ◊ 3,14fordult: 3500-at K ª 1,9782 mút = K ◊ 3500 út ª 6923,7 m6923,7 m ª 7 km hosszú utat tettünk meg.

918. I.I 2,45 vödör/perc V = (2,45 + 0,6 ◊ 2,45) ◊ 500II. 2,45 ◊ 0,6 vödör/perc V = 19608 óra 20 perc = 500 percA medencébe 1960 vödör víz fér.

919. 10 m-es szakaszra 4 cölöp kell.

A hosszabb oldalon 17 ◊ 4 + 1 cölöpöt helye-zünk el. A két hosszabb oldalra tehát69 ◊ 2 = 138 cölöp kell. A rövidebb oldal kétvégén akkor már van cölöp, ezért37,5 : 2,5 - 1 db szükséges egy-egy oldalra.A két rövidebb oldalra 14 ◊ 2 = 28 cölöp kell.Összesen 166 cölöp szükséges. Ha az oldalakmérôszáma 2,5-nek egész számú többszörö-se, mint jelen esetben is, akkor egy egysze-rûbb megoldás is van: K = (170 + 37,5) ◊ 2.A cölöpök száma 415 : 2,5 = 166.

920. x = 8 ma = 12,5 mb = 33,5 mK = K = (a + 2 ◊ 8 + b + 2 ◊ 8) ◊ 2K = (12,5 + 33,5 + 32) ◊ 2K = 156 m156 m hosszú a kerítés.

921. T1 = 5,75 m ◊ 12,6 m = 72,45 m2

T2 = 5,75 m ◊ (12,6 ◊ 0,8) m = 57,96 m2

T1 - T2 = 14,49 m2.

Az elsô terem 14,49 m2-rel nagyobb területû.T1 + T2 = 130,41 m2.

Az iskolai ünnepélyeket 130,41 m2 területen lehet megtartani.

922. a)1

10 része = 0,1 része b)

1

100 része = 0,01 része

1


1


z

12 6, m 0,8◊

T1 T2


131

2


1


4


1


16

10 része =

8


125


923. a) 100 m = 0,1 km b) 5 dm = 0,5 m c) 10 cm = 0,1 m200 m = 0,2 km 7 dm = 0,7 m 12 cm = 0,12 m500 m = 0,5 km 12 dm = 1,2 m 75 cm = 0,75 m600 m = 0,6 km 21 dm = 2,1 m 60 cm = 0,6 m1400 m = 1,4 km 25 dm = 2,5 m 150 cm = 1,5 m

924. a) 2000 m = 2 km b) 2000 mm = 2 m800 cm = 8 m = 0,008 km 300 dm = 30 m30 dm = 3 m = 0,003 km 5000 m = 5 km5 m = 50 dm = 0,005 km 250 mm = 25 cm = 2,5 dm

c) 500 mm = 5 dm250 cm = 2,5 m7 dm = 70 cm12 km = 12 000 m

925. a) 98 cm = 0,98 m ª 1 m b) 979 mm = 97,9 cm ª 1 m511 mm = 51,1 cm ª 0,5 m 760 m ª 0,8 km498 cm = 49,8 dm ª 5 m 51 cm = 5,1 dm ª 0,5 m19 dm = 1,9 m ª 2 m 9 cm ª 1 dm

c) 48 mm ª 5 cm d) 9,8 cm = 0,98 dm ª 1 dm760 mm ª 0,8 m 51,1 mm = 5,11 cm ª 5 cm5001m ª 5 km 4,97 cm ª 5 cm

257 m ª 1

4km 1,9 dm ª 2 dm

e) 9,79 mm ª 1 cm f) 0,48 mm ª 1

2mm

7,6 dm ª 3

4m 9,06 mm ª 1 cm

5,1 cm ª 0,5 dm 5,009 m ª 5 m0,9 cm ª 1 cm 2,57 m ª 26 dm

926. a) 12 b) 60 c) 180 d) 900 e) 72 f) 144g) 432 h) 504 i) 864 j) 360 k) 720 l) 1080

927. a) 60 b) 840 c) 740 d) 160 e) 2000 f) 2400g) 780 h) 1560 i) 320 j) 640 k) 1280 l) 2560


132

928.Törtrész

5

100Százalék (%)

1

4

25

100

3

4

4

5

7

10

6

55

= = = = =75

10080

10070

100120100

25 75 80 70 120

Törtrész33

100Százalék (%)

1

20

3

20

11

25

9

25

37

5033

= = = = =5

10015

10044

10036

10074

1005 15 44 36 74

Törtrész71

100Ahány századrész

Százalék (%) annyi százalék

3

10

30

100=

71 30

929. a) 30 b) 750 c) 600 d) 300 e) 2250 f) 2400g) 900 h) 4500 i) 4800 j) 5250

930. a) a Ftp = 35 (%)

sz.é.=

sz.é.=a p

100sz.é.= 87,5 Ft

=

⋅

250 Ellenôrzés 35 %1 %

100 %

87 587 5 35 2 52 5 100 250

,, : ,

,=

◊ =

b) 54 kg c) 270 m d) 375 Ft e) 41,6 kg f) 675 m g) 9,6 lh) 42 perc

931. a) 170 km ◊ 0,4 = 85 km ◊ 0,8 b) 850 80055 5

Ft 0,33 Ft 0,42280,5 -del 336

◊ < ◊,

c) 3520 4200266

Ft 0,7 Ft 0,652464 -tal 2730

◊ < ◊ d) 610 80014 6

m 0,54 m 0,43329,4 -del 344◊ < ◊

,

e) 36 1811 88

kg 0,82 kg 0,9829,52 -dal 17,64◊ > ◊

,f) 72 kg ◊ 0,66 = 108 kg ◊ 0,44

932. K = (18 + 18 ◊ 0,25) ◊ 2 = 45K = 45 cmT = 18 ◊ (18 ◊ 0,25) = 81T = 81 cm2

933. a = 72,4 kgp = 100 (%) - 85 (%) = 15 (%)sz.é. = 10,86 kg

934. I. II.1 órai út 72 km 72 km 1,125 = 81 km

menetidô 3,5 h72 3,5

72 1,125 (h)

◊◊◊

ª 311,

Ekkor közelítôleg 3,11 óra alatt ért célba.

935. 50 dkg.

18 cm 0,25◊


133

936. T = 9 ◊ 30 dm2, ennek 85 %-át tartalmazza a ruha, azaz 270 dm2 ◊ 0,85 = 229,5 dm2.

937. alvás: 9,6 óra, étkezés: 2,16 óra, utazás: 1,56 óra, iskolában töltött idô: 6 óra, otthonitanulás: 2,4 óra. A nap 9,5 %-át töltheti egyéb elfoglaltsággal. Ez 2,28 óra.

938. 0,988 t = 988 kg; (226,72 kg; 65 kg; 0,052 t = 52 kg)

939. ª 6,24 kg

940. 3,745 kg = 374,5 dkg

941. Szén: 35 kg (21 kg; 10,5 kg; 18,48 kg) kova: 15 kg (9 kg; 4,5 kg; 7,92 kg)mangán: 10 kg (6 kg; 3 kg; 5,28 kg) foszfor: 4 kg (2,4 kg; 1,2 kg; 2,112 kg)kén: 0,1 kg (0,06 kg; 0,03 kg; 0,0528 kg)

942. d = 0,5 dm = 5 cm

100 36040 5 145 834 5 124 2

25 90360

15 76 45 44

1

2

3

%, % ,, % ,

%

,,,

∞∞∞

∞

¸˝Ô

Ô∞

= = ªªªª

K d Kiii

p cm 16 cm cm cm

cm

T = r2p T ª 2,52 ◊ 3,14 cm2 = 19,625 cm2

T1 ª 7,95 cm2 T2 ª 6,77 cm2 T3 ª 4,9 cm2

943. a) 9,12 b) 91,2 c) 15,2 d) 7,6

944. a) 85,6 b) 32,7 c) 54,9 d) 54,9 e) 151,7 f) 21,7

945. a) 0,3; 0,6; 1,2; ...; 19,2; 38,4; 76,8b) 0,4; 0,8; 1,6; ...; 25,6; 51,2; 102,4c) 0,3; 0,9; 2,7; ...; 218,7; 656,1; 1968,3d) 9,6; 28,8; 86,4; ...; 6998,4; 20 995,2; 62 985,6

946. a) y = x ◊ 8; x = y : 8

xy

1 8 2 2 5 9 3 62 4 12 8 48 8

, , , ,, , ,

0,3 1,6 6,114,4 17,6 47,2 28,8

b) y = x ◊ 10; x = y : 10

xy

3 8 1 65 0 312 5 22 1 7 60 3

, , ,, , ,

1,25 2,21 0,7 6,0338 16,5 3

947. a) y = x : 5; x = y ◊ 5

xy

1 5 2 5 5 55 3 5 6 750 3 2 0 6, , , , ,

, ,16 3

,3 0,5 1,11 0,7 1,35

b) y = x : 10; x = y ◊ 10


134

xy

27 41 2 33 6 3 52 3 1 82 4 7523 18,2 47,5

2,7 4,12 3,36 0,35, , ,

, , ,

948. a) 42,6 b) 21,4 c) 1,86 d) 53,16 e) 3,24 f) 31,8

949. a) 6,34 ª 6,3 b) 1,58 ª 1,6 c) 54,38 ª 54,4 d) 21,36 ª 21,4

e) 32,59 ª 32,6 f) 35,25 ª 35,3

950. a) 32,717 ª 32,7 b) 52,149 ª 52,1 c) 3,632 ª 3,6 d) 65,247 ª 65,2

e) 16,589 ª 16,6 f) 6,986 ª 7

951. a) 33,461 ª 33 b) 9,375 ª 9,4 c) 1,968 ª 2 d) 0,087 ª 0,09

952. a) 0,003 b) 7,816 ª 7,82 c) 0,101 ª 0,10 d) 28,441 ª 28,44

953. a) 31,97; 3,197; 0,3197; 0,03197 b) 0,037; 0,0037; 0,00037; 0,000037c) 0,0372; 5,121; 0,0101; 0,01232 d) 0,00372; 0,2132; 5,72; 0,023676

954. a) 0,076 b) 0,03910,8726 3,913,207 0,0003913,7017 0,391

955. a) (34,5 + 8,16) : 15 = 42,66 : 15 = 2,844b) 34,5 : 15 + 8,16 : 15 = 23 + 0,544 = 2,844

956. a) (49,3 - 15,6) : 25 = 33,7 : 25 = 1,348

b) 49,3 : 25 - 15,6 : 25 = 1,972 - 0,624 = 1,348

957. a) (31,5 - 4,2) : 3 = 27,3 : 3 = 9,131,5 - 4,2 : 3 = 31,5 - 1,4 = 30,131,5 : 3 - 4,2 : 3 = 10,5 - 1,4 = 9,1Különbséget úgy is oszthatunk, hogy a kisebbítendôt és a kivonandót külön-különelosztjuk az osztóval és a hányadosok különbségét képezzük.

b) 0,1 c) 12,35 d) 4,356,1 47,4 4,350,1 12,35 40,32Összeget tagonként is oszthatunk.

958. a) 3,6 : 12 > 0,36 : 12 b) 12,18 : 6 < 121,8 : 6 c) 7,56 : 18 < 75,6 : 18d) 32,34 : 30 = 3,234 : 3

959. a) 0014,69 b) 63,36 c) 3,61469 06,336 7,20001,469 06,336 7,20014,69 63,36 0,360014,69 63,36 3,6


135

960. a) a : b = 4,8 b) a : b = 4,5(a ◊ 3) : b = 14,4 (a : 3) : b = 1,5a : (b ◊ 3) = 1,6 a : (b : 3) = 13,5(a ◊ 3) : (b ◊ 3) = 4,8 (a : 3) : (b : 3) = 4,5

c) a : b = 6,3 d) a : b = 12,52(a ◊ 10) : b = 63 (a : 100) : b = 0,1252a : (b ◊ 10) = 0,63 a : (b ◊ 100) = 0,1252(a ◊ 10) : (b ◊ 10) = 6,3 (a ◊ 100) : (b ◊ 100) = 12,52

961. Mindkettôt ugyanannyiszorosára kell változtatni, vagy mindkettôt ugyanazzal a nullátólkülönbözô számmal kell osztani.

962. a) 72 : 3 = 24 vagy 360 : 15 = 24 vagy ...b) 84 : 5 = 16,8 vagy 420 : 25 = 16,8 vagy 168 : 10 = 16,8 ...c) 16 : 5 = 3,2 d) 720 : 9 = 80 e) 720 : 45 = 16 f) 91 : 14 = 6,5g) 38 : 25 = 1,52 h) 45 : 9 = 5 i) 850 : 85 = 10

963. 2,36

964. A sûrûsége 8 9,kg

dm3 . Az anyag lehet réz.

965. 18 ing készíthetô.

966. 31 kiránduló volt.

967. 85 napközis kapott cseresznyét és 15 dkg megmaradt.

968. 33 kiránduló volt.

969. 12,6 dkg 1 m huzal tömege.

970. a = 6,3 cmT = 54,81 cm2

T = a ◊ b54,81 = 6,3 ◊ bb = 8,7 cmK = (a + b) ◊ 2K = (6,3 + 8,7) ◊ 2 = 30 (cm)

971. 3,5 óra alatt

972. 11 szobor készülhetett és maradt 0,45 kg agyag.

973. 7 8,kg

dm3

974. h = 1,44 : (1,2 ◊ 0.8) = 1,44 : 0,96 = 1,51,5 m magasan áll az 1,44 m3 = 14,4 hl víz a tartályban.


136

975. a) 3,8 b) 20 c) 02 d) 1103,15 20 07 040,30,2 30 20 9000,3 20 60 0460,3 80 01,07 040

976. a) 3000 b) 0,5 c) 0,05 d) 0,0005 e) 0,008 f) 0,2

977. a) 0,05 ª 0,1 b) 0,036 ª 0,04 c) 10,018 ª 10,02

d) 713,8 ª 714 e) 556,9230 ª 556,923 f) 0,003 ª 0,00

g) 49,650 ª 49,65

978. a) 2,8 : 0,32 = 280 : 32 = 8,75b) (1,41 + 1,23) : 0,16 = 16,5

c) [40 + 3,2] ◊ 0,04 = 43,2 ◊ 0,04 = 1,728

d) [4,1 ◊ 5,5 + 3,75] ◊ 1,6 = [22,55 + 3,75] ◊ 1,6 = 26,3 ◊ 1,6 = 42,08

979. 28,8558

980. 39,63 ◊ 0,5 ◊ 1,2 + (0,82 : 2) ◊ 2 = 19,815 ◊ 1,2 + 0,82 = 23,778 + 0,82 = 24,598

981. ( , ) : , ,,

xx

◊ - ==

2 0 2 0 35 25 54 5625

982. ab

a b

a b

8 16 3 71 2 5 0 12 6 43 5 1 8 1 7 1 3 2

2 3 2

254 68 268 22 23 82 2 11

, , , , ,, , , ,

( ) ,, , , ,

+ ⋅−

≈ ≈ ≈ − ≈ −

983. a) 0,93 b) 4,6775 c) 2,9312

984. a) 0,5 b) 61,5 c) 43,5

985. a) [11,46 : 12,5] : 0,2292 = 0,9168 : 0,2292 = 4

b) 0 801 0 699801

699

267

233115, : , ( , )= = ª c) 0 32 8 169

320

81690 039, : , ( , )= ª

986. a)5 3

1 583

3 75

1 5835 3

3 75

1 5835 3

2 2

1 583

6 1899

1 583

61 899

15 8303 91

,

,

,

,,

,

,,

,

,

,

,,- + - = - = = ª

b)5 3

1 5835 3

5 3 1 1 583

1 583

13 6899

1 583

136 899

15 8308 648

,

,,

, ( , )

,

,

,,+ = ◊ + = = ª

c)5 3 1 1 583

1 583

5 3 0 583

1 583

3 0899

1 583

30 899

15 8301 95

, ( , )

,

, ( , )

,

,

,,

◊ - = ◊ - = - = - ª -

d)5 3 1 1 583

1 583

30 899

15 8301 95

, ( , )

,,

◊ - = - ª -


137

987. xx

◊ ==

0 32 14 5645 5

, ,,

988. 36,8 km

989. 147,6 m

990. a) xy

1 6 3 2 6 73 075 1 8 4 35

, , ,, , ,4,1 2,4 5,8

1,2 2,4 5,025

b) xy

10 81 10 58 0 463 8 4 1 6 2

, , ,, , ,

8,74 9,43 14,264,7 4,6 0,2

991. 326,5 m

992. 072 % 134,28001 % 1,865 vagy 134,28 : 0,72 = 186,5100 % 186,5

993. 028 % 123,2 m2

100 % (123,2 : 28) ◊ 100 = 4,4 ◊ 100 = 440 (m2)

994. 1050 tanuló jár az iskolába.

995. 25 óra ª 3 munkanap (napi 8 óra esetén)

996. 100 % - 30 % = 70 % 357,70 Ft - 30 % = 70 %100 % 511 Ft

997. 12 kg

998. 54 250 Ft volt a teljes költség. Egyéb költségre 28 210 Ft jutott.

999. T a b T a x ba b x a b

xx

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅

==

( , ) ( ), ( )

,,

1 251 25

1 25 10 8

20 %-kal kell csökkenteni a másik oldalt.

1000. [( , ) , ] , ,xx

◊ ◊ ◊ ==

0 7 0 95 1 4 5213 605600

Az eredeti ár 5600 Ft volt.

1001. Nôdolgozók száma: 0,35A férfiak száma:

összlétszám:xx

x0 35 420, +

¸˝˛

0 35 0 35 4200 7 420

420 0 31400

, ( , ),

,

x x xx x

xx

+ + =+ =

==

Az üzemben 1400 dolgozó van.


138

1002. (1) 15 % 72 kg

1 %72

15kg

100 %72

15100◊Ê

ËÁˆ¯

kg = 480 kg

( ) ,: ,

2 0 15 7272 0 15480

xxx

◊ ===

480 kg 15 %-os ötvözetet kapunk 72 kg ón felhasználásával.

1003. p1 = 28 (%)szé1 = 52,5 (kg)

a = a = 52,5 : 0,28 = 187,5 (kg)p2 = 72 %

szé = 2

szé2 = 187,5 ◊ 0,72 = 135 (kg)A levágott darab 135 kg.

1004. Folyóméterenként a rögzítô alkatrész 2,4 kg, ez 7,5 %. 1 m sín tömege 2,4 : 0,075 == 32 (kg). Együtt 34,4 kg. 35,4 km = 35 400 m, a kétvágányú szakaszon 141 600 m síntfektettek le, így a sín és a rögzítôanyag tömege 34,4 kg ◊ 141 600 = 4 871 040 kg. A35,4 km hosszú kétvágányú szakaszhoz 4871,04 t fémet használtak fel.

1005. A könyvtárban 73 600 anyanyelvû kötet van. A könyvtár 84 640 kötetes.

1006. A kötetre 180 Ft-os árat nyomtattak. A kereskedô darabonként 162 Ft-ért adta el akönyvet. A haszon 172 kötet eladásakor 172 ◊ [162 - (180 - 27)] Ft = 1548 Ft.

1007. Az egyiknek 28, a másiknak 50 diója volt. 78 diót osztottak szét.

1008. 1. szám 2. szám285,75 - x x

285 75 0 143285 75 1143

250

, ,, ,- =

==

x xx

xA második szám 250.

1009. (x ◊ 0,25) ◊ 0,212 = 530; x = 10 000

1010. Legyen a szám x.x x x x

x xx

- - - ◊ =- =

=

0 4 0 4 0 25 21 420 75 0 3 21 42

47 6

, ( , ) , ,, , ,

,

1011. [(x ◊ 0,9) ◊ 0,8] ◊ 0,8 = 27; x = 46,875

1012. a) 1 %; 9 %; 12 %; 57 %; 78 %; 91 %b) 10 %; 30 %; 40 %; 60 %; 70 %; 80 %


139

c) 110 %; 130 %; 172 %; 324 %; 260 %; 531 %d) 19,2 %; 24,8 %; 205,3 %; 500 %; 300,3 %; 199,2 %

1013. a) 1 %; 10 %; 50 %; 20 %; 5 %; 25 %; 4 %; 2 %b) 3 %; 30 %; 150 %; 60 %; 15 %; 75 %; 12 %; 6 %c) 570 %; 300 %; 300 %; 200 %; 170 %; 500 %; 175 %

1014. a) 100 % b) 200 %; 500 %; 1000 % c) 2500 %; 4 %d) 2500 %; 4 %

1015. a) 0,01; 0,07; 0,14; 0,59; 1,43; 2,11 rész

b) 0,1; 1

40 25= , ; 0,4;

3

40 75= , ; 1,2; 2,25 rész

c) 1; 2; 0,001; 1

20 5= , ; 0,45;

1

3 rész

1016. a) 0,666...r ª 66,7 %; ª 0,5714r ª 57,1 %; 0,388...r ª 38,9 %; 0,096r = 9,6 %;0,024r = 2,4 %; 0,075r = 7,5 %; 0,8r = 80 %

b) 70,1 %; 303 %; 3030 %; 66,7 %; 523 %; 1,4 %

1017. 0,005 rész; 0,17 rész; 1,0575 rész; 0,014 rész; 4,1225 rész

1018. Az elsô 60 %-ot, a második 40 %-ot kap.

1019. 30 %; 70 %

1020. Kedden 20 %-kal több idôt töltünk az iskolában. A hétfôi óraszám akeddinek ª 83,3 %-a.

1021. a) 100 %-a; 25 %-a; 10 %-a; 5 %-a; 4 %-a

b) 25 %-a; ª 16,7 %-a; 20 %-a; 200 %-ac) 50 %-a; 200 %-a; 20 %-a; 10 %-ad) 10 %-a; 1 %-a; 0,1 %-a; 100 000 %-ae) 10 %-a; 5 %-a; 20 000 %-a; 2 %-af) 10 000 %-a; 1 %-a; 50 %-a; 7,5 %-a

1022. a) 40 %-a b) 250 %-a c) 60 %-a d) 25 %-a e) ª 40,2 %-a

f) 12,5 %-a g) 0,1 %-a h) 12 %-a i) ª 166,7 %-a

1023. 4 %; ª 1,2 %; 900 %; 1600 %; 156,25 %; 256 %; 400 %; 64 %

1024. a) 100 %; 50 %; 75 % b) 25 %; 12,5 %; 37,5 %c) 12,5 %; 87,5 %; 62,5 % d) 25 %; 75 %; 150 %

1025. a) 50 %; 25 %; 75 % b) 150 %; 15 %; 45 %c) 10 %; 20 %; 30 % d) 5 %; 35 %; 45 %

1026. a) 50 %; 20 %; 200 % b) 25 %; 70 %; 60 %


140

1027. a) 20 %; 25 %; 40 % b) 60 %; 100 %; 120 %c) 100 %; 200 %; 700 % d) 50 %; 80 %; 75 %e) 320 %; 80 %; 1 % f) 0,1 %; 0,1 %; 0,1 %

1028. a) jeles 12,5 %, jó 25 %, közepes 50 %, elégséges 12,5 %

b) jeles ª 11,1 %, jó 25 %, közepes ª 31,9 %, elégséges ª 20,9 %, elégtelen ª 11,1 %

1029. Minden feladatrészben kiszámítjuk, hogy a létszám hány százaléka kapta a kérdésesérdemjegyet, majd a 360∞ megfelelô részeivel rajzoljuk egymás mellé a középpontiszögeket.

jelesjóközepeselégségeselégtelen

a) b) c)2516 733 316 7

8 3

9060

1206030

16 712 55016 7

4 2

6045

1806015

2533 32516 7

901209060

%, %, %, %, %

, %, %%

, %, %

%, %%, %

∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞

∞∞∞∞

1030. 90 %

1031. 15,2 %

1032. alap = 12,75 kgszázalékláb (p) = százalékérték = 0,75 kg

százalékérték = alapszázalékláb

100p

100p

5,9 p

◊

= ◊

= ◊ª

0 75 12 75

75 12 75

, ,

,

A sóoldat ª 5,9 %-os.

1033. a) 300 Ft b)5

4 része c) 125 % d)

4

5 része e) 80 %

f) 540 Ft g)4

9 része h) 225 % i) 500 % j) ª 55,6 %

1034. a) 480 Ft b) 360 : 480 = 3 : 4 c)3

4-szerese

d) ª 133,3 % e) 25 % f) ª 233,3 %; 175 %

1035. 95,2 %-os a csíraképesség.

1036. 37,5 %


141

1037. x x- 0 2, ; 8

10

x;

4

5x ; x

x-

5; x ◊0 8, ;

80

100

x

1038. yy

+5

100;

100 5

100

y y+

1039. 5,8 %

1040. 11,1 % cement, 22,2 % homok, 66,7 % kavics.

1041. 0,01 %

1042. 38,9 %

1043. 10 %-a, 90 %-kal kisebb az eredeti számnál.

1044. 0,357 ª 0,36 a kerekítésnél adódó hiba: 0,003

0 003

0 357100 0 84

,

,,◊ =

A hiba az eredeti számnak a 0,84 %-a.

1045. A két hegyesszög külön-külön 50 %-a a derékszögnek.

45

180100 25

90

180100 50

∞∞◊ =

∞∞◊ =

25 %; 25 %; 50 % a belsô szögek százalékos megoszlása.

1046. 200 %

1047. 40∞; 50∞; 90∞ª 22,2 %; ª 27,8 %; 50 %

142

NAGY ÉS KICSI SZÁMOK ÍRÁSA,NORMÁLALAK

1048. a) 35 b) 125 c) 7305d) 42,6 e) 7050 f) 300,9

1049. a) 1020 b) 1 110 000 c) 326 000d) 31 650 e) 290 500 f) 99 900

1050. a) 0,312 b) 0,0506 c) 0,037d) 0,705 e) 0,0099 f) 0,00084

1051. a) 0,0009012 b) 0,0031 c) 0,00299d) 0,63 e) 0,026 f) 0,333

1052. a) 6,5 ◊ 10 t b) 3,6 ◊ 10 g c) 7,5 ◊ 103 dkg

d) 6,4 ◊ 102 g e) 1,3 ◊ 102 t f) 7,1 ◊ 102 dkg

g) 9,8 ◊ 102 hl h) 5,7 ◊ 103 l i) 7,784 ◊ 103 dl

1053. a) 3,6 kg = 3,6 ◊ 103 g b) 42,5 dkg = 4,25 ◊ 102 g

c) 1 t = 106 g d) 75 dkg = 7,5 ◊ 102 g

e) 61 kg = 6,1 ◊ 104 g f) 2,1 t = 2,1 ◊ 106 g

1054. a) 3 ◊ 1018 b) 5,91 ◊ 108 km

c) 7 ◊ 104 km d) 9,109 ◊ 10-28 g

e) 2,818 ◊ 10-15 m f) 1,67343 ◊ 10-27 kg

143

MÛVELETEK ALGEBRAIKIFEJEZÉSEKKEL

1055. a) pl.: 51

21000x x x x x; ; ; ;- b) pl.: a

aa a a; ; ; ;

311 100 5-

c) pl.: 2 0 1 3 501

5z z z z z; , ; ; ;- d) pl.: ab

abab ab ab; ; ; ;

49 2 70-

e) pl.: y y y yy

; ; ; ;8 5 108

- -

1056. a) pl.: 3 100 73

42 2 2 2a a a a; ; , ;- b) pl.: 9 0 01

5722 2

22x x

xx; , ; ; -

c) pl.: a b a b a b a b2 2 2 21

216; ; ;- d) pl.: ab ab ab ab2 2 2 20 03

1

33; , ; ;-

e) pl.: 0 01 7 0 5, ; ; ; ,ab ab ab ab-

1057. a) x x xy xy xy x y x y; ; ; ;3 4 3 5 52 2

b) 3 7 2 2 22 2 2a a a ab ab ab ab ab; ; ; ;-

c) 11 3 3 4 2 32 2 2 2; ; ; ;- x x x y x y xy xy xyz

d)x

x x x xx x x x

33 5 2

3 2 2 42

2 2 3 4

; ; ; ; ;- -

1058. a)3

42 3 3

3

4 13 22

22x xy xy x

x

xy xx y; ;

b)1

5 4

3

2 6 210

6

322

2 33

xx

xx

xx

x xx

x; ; ; ; ; ;

c) 7 23

1 75 2 22 2

2

2 22ab ab

ab

a b a bab ba a b a; ; ; ;

d) a a ab abab

a bb a a b; ; ;7 3 5

3

6 62 3 2 2 2

1059. a) 10 b) 3 ◊ (-1) - 2 ◊ 5 + 5 = -3 - 10 + 5 = -8

c) 32

32

1

25 2 1 5 8◊ - ◊ -Ê

ËÁˆ¯+ = + + =

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL

144

1060. a) -1 b) -6 c) 21

33

1

21

7

6◊ - ◊ -Ê

ËÁˆ¯- =

1061. a) 4a b) 0 c) -3c d) 10d

1062. a) 5 b) 2 - 5y c) 10z + 9 d) 40 - 8v

1063. a) -3x + y - 11Ellenôrzés: 3 ◊ 2 - [4 + 2 ◊ (-2) + 6 ◊ 2] + 3 ◊ (-2) - 7 = 6 - [4 - 4 + 12] - 6 - 7 == -- ◊ + - - = - - - = -

¸˛- = -19

3 2 2 11 6 2 11 1919 19

( )

b) 2a - 4b + 18 Mindkét kifejezés helyettesítési értéke 4.

c) 3v - 21 Az eredeti és a kapott kifejezés helyettesítési értéke -22.

d) 3a + 10b + 4c - 5 A helyettesítési érték -2.

1064. a) a - 7ab - 7Ellenôrzés: [2 ◊ 3 ◊ (-2) + 3 ◊ 3] - [4 ◊ 3 ◊ (-2) + 5 ◊ 3 ◊ (-2)] - (2 ◊ 3 + 7) = = - + - - - - = - + - = - =- ◊ ◊ - - = + - = - =

¸˛

=( ) ( )( )

12 9 24 30 13 3 54 13 41 3 383 7 3 2 7 3 42 7 45 7 38

38 38

b) 2a2 + ab2 Helyettesítési érték: -10

c) -ab Helyettesítési érték: -0,02

d) -a2b + 2ab2 + a2b2 Helyettesítési érték: 64

1065. a) 15a b) 14b c) 20c d) 6d e) 30ab f) 10ab2

g) 36a2b h) 6ab i) 5x2 j) 4xy k) 7xy l) 2y2

1066. a) 6x3 b) 5y2 c) 8x3 d) 4x2y e) 6a2b2 f) 30 a2b2

g) 10 a2b2 h) 12 a2b

1067. a) a3 b) b5 c) c8 d) a4 e) d5 f) x6

g) y3 h) b6 i) c8 j) d0 k) x4 l) y6

m) a5 n) b3 o) c5 p) d4

1068. a) x5 b) y6 c) (xy)2 d) (xy)3

e) x3y3 = (xy)3 f) x3y3 = (xy)3 g) y4x4 = (xy)4 h) x4y4 = (xy)4

1069. a) a6b6 = (ab)6 b) a4b5 c) a4b5 d) a5b5 = (ab)5

e) a6b3 f) a4b4 = (ab)4 g) a5b3c3 h) a3b3 c3 = (abc)3

i) a3b3c5 j) a2b6c3 k) a4b3c3 l) a3b4c3

1070. a) 4ab b) 3ab2 c) 7a2b d) ab e) 8ab f) 4b2

g) 4a2b h) 4ab

1071. a) 4xy b) 3x2y c) 3x d) 3y


145

1072. a) 7xy b) 4x c) 4x d) 9

1073. A nevezôben szereplô ismeretlenek értéke nem lehet 0.

a) a2 b) b3 c) c3 d) 1 e) x f) y3

g) x4 h) 1 i) x j)12

2

xx= - k) x-1 l) x4

1074. A nevezôben szereplô egyik változó értéke sem lehet 0.

a) xyz b) xy2z c) x2y d)x y

zx y z

2 22 2 1= -

e)xy

zxyz= -1 f)

z

xz x

2

22 2= - g) y3 h) z

i)xz

yxy z= -1 j)

x

zxz= -1 k) x3yz l)

y

zy z

22 1= -

1075. a)x y z

x y z

x

zxz

4 4 4

3 4 51= = - b)

x y z

x y z

x z

yx y z

7 4 3

5 6

2 2

22 2 2= = -

c)x y z

x y z

yz

xx yz

2 4 5

3 3 3

21 2= = - d)

x y z v

x y v z

x z v

yx y vz

5 2 5 3

3 5 2 3

2 2

32 3 2= = -

e)x y z

x y z y zy z

5 4 5

5 6 7 2 22 21

= = - - f)x y z

x y z

4 5 5

4 5 5 1=

1076. a)a

2b)

a

3c)

2

3

ad) 4a

1077. a) 3a + 6 b) 5b - 5 c) 3 - 3c d) 10 - 2d e) 4x + 6 f) 6x - 12

g) 8 - 12x h) 24 - 18x

1078. a) 2a - 1 b) 2b + 5 c) 2 - c d) 4 - 2d e) 0,1a - 0,2 f) 1,5a - 3

g) 8a + 2,4 h) 6a - 3 i) 4,8 - 2a

1079. a) 5x - 15 + 4 - 2x = 3x - 11 b) 9 - 3x + 4x - 4 = x + 5

c) 4x + 2 + 3x + 6 = 7x + 8 d) 4x - 4 + 5x - 15 = 9x - 19

1080. a) 3a - 6 - 2a - 2 = a - 8 b) 8 - 4a - 3a - 15 = -7a - 7

c) 18 - 2a - 12 - 3a = 6 - 5a d) 7a + 35 - 12 - 4a = 3a + 23

e) 10a - 20 - 5a + 10 = 5a - 10 f) 8a - 24 - 2a + 10 = 6a - 14

g) 4a + 12 - 6 + 2a = 6a + 6 h) 12 + 6a - 3a - 12 = 3a

1081. a) 3 - 4x b) x + 8 c) 26 - 23x d) 7x + 6 e) 2x2 + 9x f) 6x2 - 7x

g) x2 - 11x h) 14x2


146

1082. a) 6a2 + 2a - 3a + 3a2 = 9a2 - a

b) 14b2 + 4b = 2b(7b + 2)

c) 0,3a2 - 0,6a - 0,05a + 0,2a2 = 0,5a2 - 0,65a = a(0,5a - 0,65)

d) 6b - 2b2 - 1,5 + b = -2b2 + 7b - 1,5

1083. a) 15x2 + 5x b) 12y2 + 9y c) 8z + 12z2 d) 10x + 4x2 e) 8y2 - 6y

f) 12z2 - 8z g) 35z - 15xz h) 6y - 12y2 i) -14z - 4z2

1084. a) 6x - 8x2 b) 20x + 15x2 c) 4xy - 2y2 d) 4xy - 2x2 e) 12x2 - 6x

f) 6xy - 12x2

1085. a) 2(x - 2) helyettesítési érték: 2 b) 3(x + 2) helyettesítési érték: 15

c) 5(x - 2) helyettesítési érték: 5 d) 2(2x - 1) helyettesítési érték: 10.

1086. a) 2(x - y); 4 b) 3(x - 2y); 0 c) x(4 - y); 8 d) 3y(4x - 1); 90

1087. a) 2y(2x + 1); -18 b) 3x(2y + 1); -42 c) 4x(2 - y); 8 d) 3y(4 - x); 54

1088. a) a(b + 1) = ab + a b) (x + 1)y = xy + y c) (1 + x)y = y + xyd) x(1 + y) = x + xy

1089. a) (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd b) (a + b)(c + a) = ac + bc + a2 + ab

c) (a + 1)(b + 1) = ab + b + a + 1 d) (a + 1)(a + 1) = a2 + 2a + 1

1090. a) xy + y + x + 1; 18 b) 3 + 3x + y + xy; 24 c) xy + 2y + x + 2; 24

d) 6 + 3x + 2y + xy; 32 e) xy + 5y + x2 + 5x; 49 f) x2 + 2xy + y2; 49

g) x2 + 2x + 1; 9 h) y2 + 2y + 1; 36 i) x2 + 2xy + y2; 49

1091. a) a2 + ab + a + b b) a2 + 2a + 1 c) a2 + 2ab + b2 d) 4 + 4a + a2

e) 2a2 + 3a + 1 f) 2a2 + 5a + 2 g) 4a2 + 4a + 1 h) 9a2 + 12a + 4

i) 4 + 12a + 9a2

1092. a) (a - d)(b - c) = ab - ac - bd + cd b) (a - c)(b - c) = ab - bc - ac + c2

c) (y - 2)(x - 2) = xy - 2x - 2y + 4

1093. a) (a - 1)(a - 1) = a2 - 2a + 1 b) (x - 2)(x - 2) = x2 - 4x + 4

c) (a - 3)(a - 3) = a2 - 6a + 9

1094. a) xy - 2y - 3x + 6 b) xy - y - x + 1 c) x2 - 10x + 25 d) y2 - 4y + 4

e) 6a2 - 7a + 2 f) b2 - 6b + 9 g) 9c2 - 6c + 1 h) 4d2 - 12d + 9

i) 4a2 - 12ab + 9b2

1095. a) (3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 6x + 6x - 4x2 = 9 - 4x2 b) 25 - 10x + x2

c) 1 - 4x + 4x2 d) 49 - 9x2 e)1

42- x f)

1

412x x- +

g) 0,09x2 - 0,06x + 0,01 h) 0,01x2 - 1


147

i)1

92

1

30 3 0 09

1

9

1

50 092 2- ◊ ◊ + = - +, , ,x x x x

1096. a) 2a2 + 5a + 3 b) 2a2 - 3a - 9 c) 25a2 - 4 d) 9a2 - 49

e) x2 - y2 f) 4a2 - 1 g) 36 - 4x2 h) 121x2 - y2

i) x2 - y2

1097. a) 3(a + 2) b) 2(a + 4) c) a(a + 2) d) 2a(a + 3)

1098. a) (x + 2)(3 + x) b) (3 - x)(4 + x) c) (2 - x)(2x - 3) d) (x + 1)(2x - 5)

e) x(11 + x) f) x(x - 12) + 3(x - 12) = (x - 12)(x + 3)

g) 5(x - 3) + x(x - 3) = (x - 3)(5 + x)h) 6y + 9xy + 4 + 6x = 3y(2 + 3x) + 2(2 + 3x) = (2 + 3x)(3y + 2)

1099. a)x

xy xy

x xy

x x xy

3 6 2

1

3 2

1

3

1

3 22+ + + = +Ê

ËÁˆ¯+ +Ê

ËÁˆ¯= +ÊËÁ

ˆ¯

+ÊËÁ

ˆ¯

b)1

23

2

13

2ba

ca

c

ba

c+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= +ÊËÁ

ˆ¯

+ÊËÁ

ˆ¯

c)1

5 2 2 2

1

5x

yx x

yx

yx+Ê

ËÁˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯= +ÊËÁ

ˆ¯

+ÊËÁ

ˆ¯

1100. a) a ba b

a b

a b a b

a ba bπ -

++

=+ ++

= +;( ) ( )( )2

b) a π b; a - b

c) ab

a bπ -2

2; d) a π -2b; a + 2b

e) a ba b a b

a ba bπ -

- ++

= -;( )( )

f) a ba b a b

a ba bπ

- +-

= +;( )( )

g) x yx y x y

x yx yπ

- +-

= +;( )( )

h) x yx y x y

x yx yπ -

- ++

= -;( )( )

1101. a) a ba b a b

a ba bπ

- +-

= +22 2

22;

( )( )b) a π -2b; a - 2b

c) x yx y x y

x yx yπ -

- ++

= -33 3

33;

( )( )d) x π 3y; x + 3y

e) x yx y x y

x yx yπ

- +-

= +3

2

2 3 2 3

2 32 3;

( )( )f) x y x yπ - -

3

22 3;

1102. a) x yx y x y

x yx yπ

- +-

= +5

4

4 5 4 5

4 54 5;

( )( )b) x y x yπ - -

5

44 5;

c) a π 0,1b; 10a + b d) a π -30; 30 - a

e) x π 12; 12 + x f) x y x yπ - -7

66 7;


148

1103. a) b aa b

a ba bπ -

-= -3

3

33

2

;( )

b) y xx y

x yx yπ

--

= -44

44

2

;( )

c) xx

xxπ

◊ -◊ -

= -16 1

3 12 1

2

;( )

( )( ) d) y

y

yyπ

◊ -◊ -

= -14 1

8 1

1

21

2

;( )

( )( )

e) a ba b

a ba bπ -

++

= +;( )2

f) aa

aaπ -

++

= +11

11

2

;( )

g) x π -1; x + 1 h) x π -2; x + 2

i) b aa b

a ba bπ -

++

= +55

55

2

;( )

j) xx x

x

x

xxπ -

+ ++

=++

= +1

3

4 6 1

2 1

4 1

2 12 1

2 2

;(9 )

(3 )

(3 )

(3 )(3 )

k) b π -10a; 10a + b

l) xx x

x

x

xxπ -

+ ++

=++

= +1

2

4 4 4 1

2 2 1

4 2 1

2 2 12 2 1

2 2

;( )

( )

( )

( )( )

1104. a) ak

=3

b) ak

=4

c) ak

b bk

a= - = -2 2

;

d) a k b c bk a c

c k a b= - - =- -

= - -22

2; ;

1105. a) at

bb

t

a= =; b) a

t

mm

t

aaa= =

2 2; c) a

t

mc m

t

a c= - =

+2 2

;

d) at

m

t

mm

t

aa aa= = =

2

6 3 3;

1106. a) aA

=6

b) A a b c bc aA

bc b c= + + = -ÊËÁ

ˆ¯

+22

[ ( ) ]; : ( )

c) bA a

a=

- 2

4

2

d) aA

rr= -

p

1107. a) aV

mm

V

a= =; 2 b) c

V

ab= c) r

V

mm

V

r= =

p p; 2

d) cV

m ma m

V

a c mm

V

a c ma aa=

⋅− =

+=

+2 2 2

;( )

;( )

1108. a) 11

4

3

4- = ;

1

41

3

4- = - ;

1 1

40

-= ; 1

1

4

3

4- =

b) 2(-6) - 3 = -12 - 3 = -15; 2(-6 - 3) = -18; - 9

2; 0


149

c) 9; -9; 9; 0

d) (-3)3 = -27; -(-3)3 = 27; [-(-3)]3 = 27; (-3)3 - [-(-3)]3 = -27 - 27 = -54

1109. a) 2 21

22 1 3+ ◊ = + = ; 5; 2 2 2

1

25◊ + ◊ = ; 4

1

2

b) (-0,5) - 0,5 + 2 = 1; -(-0,5) + 0,5 - 2 = -1; -2; 3

c) 12 - (-1) = 1 + 1 = 2; 1 - (-1)2 = 1 - 1 = 0; 0; 0

d)1

4

1

16

4

16

1

16

3

16- = - = ; - - = -

1

4

1

16

5

16;

3

16; - 5

16

1110. a) 2 ◊ 62 = 72; (2 ◊ 6)2 = 144; -72; 144

b) 3 ◊ (-3)2 = 27; -3 ◊ (-3)2 = -27; [-3 ◊ (-3)]3 = 243; -3 ◊ (-3)3 = -3 ◊ (-27) = 81

1111. a)( )-

=1

3

1

3

2

; 1

31 1

1

3+ = ;

2

3;

2

3 b) - Ê

ËÁˆ¯= -

1

2

1

8

3

; 1

4

1

4

1

16◊ = ; 0; - 1

16

1112. a) 15 151

53

1

5x x= ◊ = =, ha

b) 21 4 213

144

9

24 8

1

2

3

14y y+ = ◊ + = + = =, ha

c) x2 + 2xy + y2 = (-5)2 + 2 ◊ (-5) ◊ 3 + 32 = 4, ha x = -5; y = 3

d) 4 21

44

2

32

2

3

1

4

64 48 9

36

121

362

2

x x- + = ◊ -ÊËÁ

ˆ¯- ◊ -Ê

ËÁˆ¯+ = + + = , ha x = -

2

3

vagy 21

2

4

3

1

2

121

36

11

6

2 2 2

x -ÊËÁ

ˆ¯= - -ÈÎÍ

˘˚= = Ê

ËÁˆ¯

1113. a) x xy y x y x y2 2 210 25 5 21

5+ + = + = =( )

2 10 21

525

1

54 4 12

2

+ ◊ ◊ + ◊ÊËÁˆ¯= + + = 9

2 51

52 1 9

22+ ◊Ê

ËÁˆ¯= + =( )

b) 8 4 81

48 4

1

48 812 2xy x y- + = ◊ -Ê

ËÁˆ¯◊ - - ◊ -Ê

ËÁˆ¯+ - =( ) ( ) , ha x y= - = -1

48;

c) 21y - 6xy + 12 = 21 ◊ 3 - 6 ◊ (-0,5) ◊ 3 + 12 = 84, ha x = -0,5; y = 3

d) 3 2 6 35

62

1

2

5

66

1

26

1

3

1

2

5

6y xy x x y+ - = ◊ -Ê

ËÁˆ¯+ ◊ ◊ -Ê

ËÁˆ¯- ◊ = - = = -, ; ha


150

1114. a) a π 0; b π 0; c π 0; d π 0; e π 0 és f π 0; g π 0;

b) a π b; c π 2d; 3e π -f; g π 0; h iπ3

2

1115. x π 0; y π 0

x

y2

4

2 21=

-= -

( );

2 2 4

222 2

x

y=

◊-

=( )

; x y

x

+=

+ -=

4 2

4

1

2

( );

x y

y

2

2

2

2

4 2

2

9

2

- = - --

=( )

( );

x

x2

1

4= ;

1 15

4

2-= -

x

x

1116. y π 0

x

y

ÊËÁˆ¯˜ - =

-ÊËÁ

ˆ¯- = - = -

2 2

12

41

1

41

3

4;

( )x

y

-= -

1 1

4

2

; x

y

-=

1 1

162 ; x

y

2 1 3

4

-= - ;

x

y

2

2

1 3

16

-=

1117.x y

x yx y

+-

=- +- -

= π5 3

5 3

1

4;

x y

x yx y

-+

= π -4;

( );

x y

x yx y

+-

= - π2 1

2

x y

x yx y

+-

= - π( )

;2

1

32

x y

x yx y

2 2

8-+

= - π -;

1118. a) 1; -7, 11; 3; 3 b) 2; 8; 3 ◊ (-1) - (-3) = -3 + 3 = 0; 6; 6

c)3

2; 2

5

6;

19

63

1

6= ;

9

2;

9

2

1119. a) 4xy = 80; -5x(x + 1) = -30; -(5x - y) = 0; 3y(x + 2y) = 660

b)8

10

4

5= ; - ◊ +Ê

ËÁˆ¯= -5

2

5

2

51

14

5; - ◊ -ÊËÁ

ˆ¯= -5

2

5

1

21 5, ; 3

1

2

2

52

1

2

21

10◊ + ◊ÊËÁ

ˆ¯=

c) -1,2; 0,8; -[5 ◊ (-0,2) - 1,5] = 2,5; 3 ◊ 1,5 ◊ (-0,2 + 2 ◊ 1,5) = 12,6

1120. a) -4; 4; 16; 4 b) 0; 0; 0; 0

c) 0,25; 4 ◊ (-0,5) ◊ (0,25)2 = -0,125; 0,25; 0,0625

151

EGYENLETEK

1121. a) 7 b) 503 c) 530 d) 68

1122. a) 23 b) nincs megoldás c) 57 d) 165

1123. a) 28 b) nincs megoldás c) 34 d) 290e) nincs megoldás f) nincs megoldás g) 53 h) 1001i) nincs megoldás j) 5 k) nincs megoldás l) 35

1124. a) 28 b) -100 c) -28 d) 239 e) -10 f) -7

g) -13 h) -8 i) -1 j) 0 k) -99 l) 292Az a) d) j) l) egyenleteknek van megoldása a természetes számok halmazán.

1125. a) 52 b) 60 c) 54 d) 32 e) nincs megoldásf) 52

1126. a) 0 b) -21 c) -15 d) 61 e) -15 f) -30

g) -30 h) 5 i) -4 j) -23 k) 9 l) 12

1127. a) -2 b) 6 c) 16 d) 0 e) -100 f) 973

1128. a) 85 b) 120

c) a természetes számok halmazán nincs megoldása, az egész számok halmazán: -1

d) természetes szám nincs, egész szám: -40

e) nincs megoldása a természetes számok körében, egész szám: -1

f) nincs megoldása, illetve -13.

1129. a) x = 43 - 0 = 43 b) x = 242 - 216 = 26 c) x = 111 - 211 = -100

d) x = -101 e) x = 0 f) x = 5536A c) és d) feladatnak nincs megoldása a természetes számok halmazán.

1130. a) 0 b) 103 c) 369 d) 86 e) 119 f) -44g) 43 h) 372 i) 78Az f) feladatnak nincs megoldása a természetes számok halmazán.

1131. a) 645 b) 607 c) 222 d) 1010 e) 8 f) 14g) 0 h) 185 i) 37 j) nincs ilyen tetmészetes számk) 220 l) 89

1132. a) 4 b) -8 c) 400 d) -519 e) 70 f) 38

g) -13 h) -81 i) -27

EGYENLETEK

152

1133. a) -0,89 b) 10,52 c) 0,49 d) -9,45

1134. a) -3,73 b) -5,97 c) 7,89 d) -7,89

1135. a) ( )xx

xx

+ + =+ + =

+ ==

12 83 15012 83 150

95 15055

Ellenôrzés:( )55 12 83 67 83 150

150 150+ + = + =

=

b) 49 c) 14 d) 11

1136. a) 88 b) 241 c) 221

d) nincs megoldás, mert a -12 nem természetes szám.

1137. a) 141 36 200141 36 200

177 20023

+ + =+ + =

+ ==

( )xxxx

Ellenôrzés:141 23 36 141 59 200

200 200+ + = + =

=( )

b) 19 c) 91 d) nincs megoldás, mert a -22 nem természetes szám

1138. a) ( )xx

xx

- + =- + =

+ ==

31 253 40031 253 400

222 400178

Ellenôrzés( )178 31 253 147 253 400

400 400- + = + =

=

b) ( )xx

xx

- + =- + =

+ == -

141 200 56141 200 56

59 563

Ellenôrzés:( )- - + = - + =

=3 141 200 144 200 56

56 56

c) -164 d) -42A természetes számok halmazán nincs megoldása a b), c), d) feladatoknak.

1139. a) ( )xx

xx

- + =- + =

- ==

705 611 42705 611 42

94 42136

b) 300 c) 97 d) -6 (nem természetes szám)

1140. a) (37 )

( )

- + =- = -

= - -=

xxxx

216 17437 42

37 4279

b) 245 48 10848 245 108

137 48185

- - =- = -

= +=

( )xx

xx

c) -82 d) -64A c) és d) feladatoknak nincs megoldása a természetes számok halmazán.

1141. a) 36 b) 16 c) 20 d) 12 e) 18 f) 24g) 20 h) 20 i) 13 j) nincs ilyen természetes számk) 0 l) 6

EGYENLETEK

153

1142. a) -2 b) -18 c) 25 d) 0 e) 4 f) -2

g) -3 h) 12

1143. a) 8 b) 3 c) -15 d) -8 e) -4 f) -4

g) -12 h) 13

1144. a) nincs megoldás b) 4 c) -9 d) 8 e) 14

f) 0 g) -4 h) -9 i) 0 j) nincs megoldás

k) 0 l) -22

1145. a) 0,5 b)1

3c)

1

3d)

1

4e)

1

3f)

1

5

g) -1

4h) -

1

2i) -

2

3j) -

7

5k) -

3

4l)

3

7

1146. a) 3 5 128 12

12

8

3

2

x xx

x

+ ==

= =

Ellenôrzés:

33

25

3

2

9

2

15

2

24

212

12 12

◊ + ◊ = + = =

=

b) -3 c) -2 d) -11

2e) 0 f)

4

5g)

4

5

h) 1 i) -2

1147. a)2

35

52

3

53

2

71

2

x

x

x

x

=

=

= ◊

=

:

vagy2

35

2 1515

2

x

x

x

=

=

=

Ellenôrzés:

2

3

15

2

15

35

5 5

◊ = =

=

b) 20 c) -40 d) -49 e) -3 f) -2 g) 1

h) 0 i) -32

25j) -

3

2k)

15

16l) -

16

21

1148. a) -4 b) -15,5 c) 1,34 d) 0,67 e) -1,44 f) 1,3

1149. Az osztandót megkapjuk, ha az osztót és a hányadot összeszorozzuk.a) 35 b) 72 c) 100 d) 63 e) 100 f) 100g) 45 h) 25

1150. a) 42 b) 16 c) 0 d) 296Az osztót megkapjuk, ha az osztandót elosztjuk a hányadossal.e) 7 f) 8 g) nincs megoldás h) 30

EGYENLETEK

154

1151. a) 5 b) nincs megoldás c) 25 d) -7 e) -4

f) 4 g) -3 h) -55 i) -346 j) -12 k) 16

l) 42

1152. a) 3 2 83 6

2

xxx

+ ===

b) 2 3 112 14

7

xxx

- ===

c) 7 d) 6 e) 2 f) 3 g) 30 h) 10i) 15

1153. a) 5 b) -1 c) -9 d) nincs megoldás e) -3

f) nincs megoldás g) -1 h) nincs megoldás i) 12

1154. a)

M( ; )5 13

2 3 135

xx+ ==

x x2 3+

x 13 2 3 132 10

5

xxx

+ ===

b)

M( ; )4 25

6 1 254

xx+ ==

x 25

x x6 1+

6 1 256 24

4

xxx

+ ===

EGYENLETEK

155

c)

7 3 172

xx+ ==

M( ; )2 17

x x7 3+

x 17 7 3 177 14

2

xxx

+ ===

1155. a) 11x - 8 = -41 b) 16x + 7 = 391 c) 73 + 5x = 168 - 811x = -41 + 8 + 716x = 391 - 7 73 + 5x = 95 - 811x = -33 + 716x = 384 73 + 5x = 19 - 811x = -3 + 716x = 24

d) -36 e) 5 f) 9

1156. a) 3 b) 10 c) nincs megoldás d) 24 e) 13f) 8 g) 27 h) 4 i) 11 j) 14 k) 11l) nincs megoldás

1157. a) -1 b) -3 c) -4 d) 2 e) -3 f) 2

1158. a) -2 b) -7 c) -4 d) -13 e) 11 f) 12

1159. a) 2 4 122 16

8

xxx

- ===

Az 5-nél kisebb egész számok halmazán nincs megoldásaaz egyenletnek. A természetes számok halmazán x = 8 amegoldás.

Ellenôrzés: 2 ◊ 8 - 4 = 16 - 4 = 12b) 5 9 6

5 3x

x+ == -

Egyik megadott alaphalmazon sincs megoldása azegyenletnek.

c) 2 9 92 0

0

xxx

- = -==

Mindkét megadott halmazon az x = 0 a megoldása azegyenletnek.

Ellenôrzés: 2 ◊ 0 - 9 = 0 - 9 = -9d) x = -4 A természetes számok halmazán nincs megoldása az egyen-

letnek.e) x = 1 Mindkét alaphalmazon megoldás.f) x = -5 Csak az 5-nél kisebb egész számok halmazán van megol-

dása az egyenletnek.

1160. a b c d e f( )( )(( )

1 32 4 33) 4 5 7 54 4 3 5 7 5 5

- - - - - -- - - - -- + + + -- + + + -

EGYENLETEK

156

1161. a) 4x - 6 = 3x b) 7x + 12 = 9x c) 6 - 3x = 3x - 64x = 3x + 6 7x + 12 = 9x - 7x - 3x6 = 6x - 64x = 6 7x + 12 = 2x - 36x = 1

712 + x = 6d) 6 e) nincs megoldás f) nincs megoldás

1162. a) 6 8 125 8 12

5 204

x xx

xx

- = +- ===

Vegyünk el mindkét oldalból x-et! Adjunk mendkét oldalhoz 8-at! Osszuk el mindkét oldalt 5-tel!

Ellenôrzés

Bal oldal:Jobb oldal: 4 +12 = 16

6 4 8 24 8 1616 16

◊ - = - = ¸˝˛

=

b) 2 1 112 10

10

x xx xx

+ = += +=

Vegyünk el mindkét oldalból 1-et! Vegyünk el mindkét oldalból x-et!

c) 9 d) 1 e) 10 f) 22 g) 7 h) 1i) 9

1163. a) nincs megoldás b) 15 c) 11 d) 1e) 6 8 4 8 2

10 8 8 22 8 2

2 63

x x xx xx

xx

+ + = ++ = ++ == -= -

Nincs megoldása a természetes számok halmazán.f) 7,5 nem természetes szám, nincs megoldás.

1164. a) -10 b) -9 c) 9 d) 7 e) 5 f) -1d)

M( ; )7 16x x2 2+

x x3 5-

2 2 3 57

x xx

+ = -=

e)M( ; )5 18

x x4 2-

x x2 8+

4 2 2 85

x xx- = +=

EGYENLETEK

157

f) x x13 7+

x x1 5-

M( ; )-1 6

1 5 13 71

- = += -

x xx

1165. a) 3 b) -1 c) nincs megoldás d) nincs megoldás

e) -2 f) 3 g) -4 h) nincs megoldás i) -7

1166. a)16

7b)

7

4c)

4

3d)

11

12e)

12

11

f) - = -2

50 4,

1167. a) 3 2 7 12 42 043 5 0

x x xx

- + - + =- =

nincs megoldásb) 2 5 7 3 4 11

8 5 118 16

2

x x x xx

xx

- + + - =- ===

E.: 2 ◊ 2 - 5 + 7 ◊ 2 + 3 ◊ 2 - 4 ◊ 2 = 4 - 5 + 14 + 6 - 8 = 11c) 0 d) azonosság (bármely természetes szám igazzá teszi)

1168. a) 1 b) 0 c) 2 d) nincs megoldás, mert -5 π -8

1169. a) 2 b) nincs megoldás c) -3 d) -1

1170. a) -3

2b)

23

15c) -8 d) 6,6

1171. a)4

9b) - = -

11

25 5, c) - = -

14

34

2

3d) 2

9

50

1172. a) 2 2 1 102 2 2 10

4 82

x xx x

xx

+ + =+ + =

==

( ) b) 2 3 5 152 3 15 15

5 306

x xx x

xx

+ - =+ - =

==

( ) c) 5 d) 4

EGYENLETEK

158

1173. a) 2 2 3 22 4 3 6

4 610

( ) ( )x xx x

xx

+ = -+ = -

= -=

b) 4 1 2 84 4 2 162 4 16

2 2010

( ) ( )x xx xx

xx

- = +- = +- =

==

c) 0 d) 6

e) 2 f) A természetes számok halmazán nincs megoldás.

1174. a) 5(x - 2) = 3(x - 2) Ez az egyenlôség csak akkor állhat fenn, ha 5 és 3 szorzója 0.x - 2 = 0, így x = 2.

b) x = -9, nincs megoldás a természetes számok halmazánc) 9d) azonosság, az igazsághalmaz a természetes számok halmazae) 3 f) 11

1175. a) -4 b) -12 c) -23 d) 6 e) -63 f) 11

1176. a) 10 15 3 1057 15 105

7 120120

7

x xx

x

x

- = +- =

=

=

120

7 nem egész szám. Nincs megoldás.

b) -9 c) 30 d) nincs megoldás e) nincs megoldásf) nincs megoldás

1177. a) 7 1 3 37 7 3 34 7 3 0

4 41

( )x xx xx

xx

- + =- + =- + =

==

b) 6 1 5 16 1 5 5

7 1 5 52 1 5

2 42

x x xx x x

x xx

xx

+ + = ++ + = ++ = ++ ===

( ) ( )

c) 1 d) 4 e) 2 f) 14

1178. a) 7 b) -8 c) -15 d) -1 e) 1 f) 8

1179. a) 4

b) 4(3x - 1) + 11 = 2(3x - 1) - 9Vegyünk el mind a két oldalból 2(3x - 1)-et!

2 1 11 92 1 20

3 1 103 9

3

(3 )(3 )

xxx

xx

- + = -- = -- = -= -= -

EGYENLETEK

159

c) 8(2 - 3x) - 11 = 7(3x - 2) + 10 Megj.: 7(3x - 2) = 7[-(2 - 3x)] = -7(2 - 3x) 8(2 - 3x) - 11 = -7(2 - 3x) + 10Adjunk mindkét oldalhoz 7(2 - 3x)-et!15 2 3 11 10

9

45

( )- - =

=

x

x

9

45

1

5= nem egész szám. Nincs megoldás.

d) 6(2x + 1) - 8 = 5(1 + 2x) - 9 Az összeg tagjai felcserélhetôk.6(2x + 1) - 8 = 5(2x + 1) - 9Vegyünk el mindkét oldalból 5(2x + 1)-et!

2 1 8 91

xx

+ - = -= -

e) 10 3 2 2 1 310 3 6 2 2 3

1

- + = + -- - = + -

=

( ) ( )x xx x

x

f) 5 2 3 7 12 5 110 15 7 12 5 5

1

( ) ( )x xx x

x

- + = - +- + = - -

=

1180. a) -29 b) 2 c) 0,2 d) 22,5 e) -1,6 f)1

3

1181. a) 0 b)3

4c) 2,2 d) 0,25 e)

8

3f)

7

3

1182. a)5

6b) -1 c) -

4

3d) 1 e)

7

4f) -

1

2

1183. a) -3,5 b) 1 c) -1,6 d) nincs megoldás e) -3

7f) azonosság

1184. a) 2 b) 3

c) Vegyünk el elôször mind a két oldalból 5(x - 2)-t, így -3(2 - x) = 1 egyenlethezjutunk, ennek pedig a természetes számok halmazán nincs megoldása.

d) A kijelölt mûveletek elvégzése és az összevonások után a 3x - 4 = 3x + 1 egyenletetkapjuk, amelynek nincs megoldása.

1185. a) 1 b) 3 c) 15d) A természetes számok halmazán nincs megoldása.

1186. a) 4,75 b) -7 c) 5 d) 7

1187. a) -5

7b) -

1

3c) 5 d) -2,5

1188. a) Vonjuk össze az x + 1-et tartalmazó tagokat. Így 6 - 4(x + 1) = -4(x + 1) + 6egyenlôséghez jutunk, ez az egyenlôség pedig azonosság.

b) 3,5 c) -10 d) -14

d)-ben összevonás után a következô egyenletet kapjuk: 2(3x + 1) + 16 = 2(2x - 5).

EGYENLETEK

160

1189. a) 3 2 3 2 122 3 2 4

3 6 23 4

4

3

[ ( )]( )

- - =- - =- + =- = -

=

xxx

x

x

b) 3 2 5 3 23 10 6 23 10 12 63 6 23 2

2

3

x xx xx xx xx

x

= - -= - -= - += -

- = -

=

[ ( )]( )

c) 4 5 2 6 24 15 5 2 6 2

4 18 3 6 272 12 6 2

66 106 6

[3 (3 ) ][3 ]

[ ]

,

+ - + = -+ - + = -

- = -- = -

==

x x xx x x

x xx x

xx

d) 2 4 2 5 2 4 72 4 10 2 2 4 7

2 6 4 712 4 7

5 41 25

[ ( ) ][ ]

( )

,

- - - = -- + - = -

◊ - = -- = -- == -

x x xx x x

xxx

x

1190. a) -3 b) -22 c) 10 d) 6

1191. a)5

83 12

5

815

5 12024

a

a

aa

- =

=

==

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 8-cal!

b) 18 c) 12 d)75

710

5

7=

e) 1

32 3

28

34

3

- =

- =

= -

a

a

a

Vegyünk el az egyenlet mindkét oldalából 1

3-ot!

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát -2-vel!.

f)1

10g) -

4

9h) -

1

9

i)1

1

52

1

51

5

+ =

=

=

a

a

a

j) 2

3

2

32

3

3

3

2

32 3 2

5 22

5

a a

a a

a aa

a

+ =

+ =

+ ==

=

Szorozzuk mind-két oldalt 3-mal!

EGYENLETEK

161

k)a a

a a

a

a

a

+ =

+ =

=

=

=

3

4

21

88

8

6

8

21

814

8

21

814 21

3

2

l) 3

5

16

53

5

5

5

16

158

5

16

1516

15

8

52

3

a a

a a

a

a

a

+ =

+ =

=

=

=

:

m) 2

9

5

6

1

128

36

30

36

3

365

36

30

360

6

a a

a a

a

a

- =

- =

- =

=

n) 3

4

7

121

9

12

7

121

2

121

6

a a

a a

a

a

- =

- =

=

=

o) 2

3

4

91

6

9

4

91

2

91

9

2

a a

a a

a

a

- =

- =

=

=

1192. a) 3,4 b) -1,25 c) 2,2 d) -5 e) -1,07 f) 0,433

g) -1,2 h) 3,1

1193. a) 3 b)25

14c) 30 d) 2

1194. a)x +

=1

41 b)

x -=

1

51 c)

x +=

3

62

x + 1 = 4 x - 1 = 5 x + 3 = 12 + 1x = 3 - 1x = 6 + 3x = 9

d) 7 e) 3 f) 16 g) 3 h) 9 i) 3j) 8 k) 2 l) 13 m) 20 n) 13 o) 36p) 15 q) 2 r) 3

1195. a) 7 b) 6 c) 12,5

EGYENLETEK

162

d)3 3

43 12

3 3 12 489 3 48

9 5151

917

3

xx

x xx

x

x

x

-- =

- - =- - =- =

= -

= -

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 4-gyel!

e)3

4f) -4

1196. a)x x

x xx x

xxx

-+

+=

- + + =- + + =

- ===

1

2

1

3

3

23 1 2 1 9

3 3 2 2 95 1 9

5 102

( ) ( )

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát a nevezôk legki-sebb közös többszörösével, 6-tal! Végezzük el a kijelölt szorzásokat! Vonjunk össze a bal oldalon!

b)x x

x xx x

x

+ + - =

+ + - =+ + - =

=

2

5

1

22

2 2 5 1 202 4 5 5 20

3

( ) ( )

c)2 5

3

1

41

4 2 5 3 1 128 20 3 3 12

7

x x

x xx x

x

- - + =

- - + =- - - =

=

( ) ( )

d) 1 e) 1 f) 1

1197. a) 20 b) 3 c) 10 d) nincs megoldás

1198. a)1

4b) -

1

3c) 1 d) 5,5

e)3 1

2

2 1

31

9 3 4 2 6 65 5 6 6

1

x xx

x x xx x

x

--

+= -

- - - = -- = -=

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 6-tal!

f)x

x

x x

x

- + = -

- + = -

=

2

31 3 1

2 3 9 15

4

( )

( )

g)2 3

5

3 2

3 51

3 2 3 5 3 2 3 156 9 15 10 3 15

1

3

x x x

x x xx x x

x

+ - - = +

+ - - = ++ - + = +

=

( ) ( )

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 15-tel!

EGYENLETEK

163

h)8 3

5

2 4

21

8 3

52 1

8 3 5 2 5 58 3 5 10 5 5

9

x xx

xx x

x x xx x x

x

- - + = +

- - + = +

- - + = +- - - = +

= -

( )

( )

Egyszerûsítsünk a kivonandóban!

Szorozzuk mindkét oldalt 5-tel!

1199. a) Elôször szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 3-mal!9 6 6 2

3

2

x x x

x

- + = -

= -

( )

b) -1 c) 40 d) -1

32

1200. a) -40

17b) -

4

29c) 37 d)

25

12e) -4 f) 0,64

g) 0,64 =16

25

1201. a) 1 6 2 8 5 2 2 0 4 6 120 44 12

44

10012

11

300

0 036

, ( , ) , ( , ) ,,

:

( , ).

- = - +=

=

=

=

x xx

x

x

x

b)3159

8003 94875= , c)

9951

68901 444267 1 4( , , )ª ª

1202. Mindegyik feladatban vizsgáljuk meg, hogy x milyen értéke esetén lesz a szorzat 0!

a) x - 2 = 0 b) x - 3 = 0 c) x + 1 = 0 - 2x = 2 - 3x = 3 + 1x = -1

d) x + 5 = 0 e) x - 5 = 0 f) x + 2 = 0 + 2x = -5 - 3x = 5 + 1x = -2

g) x ◊ (x + 4) = 0 ha x1 = 0, akkor a szorzat 0. Akkor is 0 a szorzat, ha x + 4 = 0, azaz

x2 = -4.

h) 0; -1 i) 0; 8 j) 0; -3 k) 0; 5 l) 0; -5 m) 0; 8

n) 0; -2 o) 0; 3

1203. a) 0; 5 b) (x - 1)(x + 2) = 0 c) (x + 2)(x - 5) = 0x

xx

x- ==

+ == -

1 01

2 021 2

xx

xx

+ == -

- ==

2 02

5 051 2

d) -1; 2 e) 4; -3 f) -1; -3

EGYENLETEK

164

1204. a) x xx

xx

xx

1

2 3 4

0 1 01

5 05

2 02

= - ==

- ==

+ == -

b) x xx

xx

xx

1

2 3 4

0 3 03

2 02

1 01

= + == -

- ==

+ == -

c) 0; 3; 6; -3 d) 0; 4; -2; 2

1205. a) 0 b) -2; 2 c) -3; 3 d) -5; 5

e) x2 = 9x Ha x = 0, akkor teljesül az egyenlôség. Ha x π 0, akkor oszthatjuk2x = 9 az egyenlet mindkét oldalát x-szel.A megoldások: x1 = 0 x2 = 9.

f) x x

x x

2

22 0

2

+ == -

x1 = 0 x2 = -2

Vegyünk el mindkét oldalból 2x-et!

A természetes számok halmazán egy, az egész számok halmazán két megoldása van.

g) x x1 20 3= =; h) x x1 20 2= =; i) x x1 20 4= =; j) x x1 201

4= =;

k) Az adott alaphalmazok egyikén sincs megoldása. l) x x1 25 5= = -;

1206. a)

( )xx

x

- =- ==

1 01 0

1

2

x x( )-1 2

x 0

b) (x + 3)2 = 0 c) (x + 10)2 = 0 d) (x - 5)2 = 0)2(x + 3 = 0 )2(x + 10 = 0 )2(x - 5 = 0) + 32(x = -3 ) + 102(x = -10 ) - 52(x = 5

b) c) A természetes számok halmazán nincs, az egész számok halmazán egy megoldásvan.

EGYENLETEK

165

e)

xx

1

2

51= -=

( )xx

xx

x

+ =+ ==

+ = -= -

2 92 3

12 3

5

2

2 1

vagy

x 9

x x( )+ 2 2

M1 5 9( ; )- M2 1 9( ; )

A természetes számok halmazán x = 1 a megoldás, az egész számok halmazánx1 = -5 és x2 = 1 a megoldás.

f) (x - 3)2 = 1x

xx

x- ==

- = -=

3 14

3 121 2

vagy

Mindkét alaphalmazon két megoldás van.

g) x x1 23 1= - = h) x x1 22 6= - = i) x x1 20 6= = -

1207. a) x x

xx

x

2

22 1 0

1 01 0

1

+ + =+ =+ == -

( )

b) x x

xx

x

2

26 9 0

3 03 0

3

- + =- =- ==

( )

c) x x

xx

x

2

24 4 0

2 02 0

2

- + =- =- ==

( )

d) ( )( )

xx

x xx x

- + =- =- = - = -= =

3 2 63 4

3 2 3 25 1

2

2

1 2

vagy

e) ( )( )

xx

x xx x

+ - =+ =+ = + = -= = -

1 3 61 9

1 3 1 32 4

2

2

1 2

vagy

f) ( )( )

xx

x xx x

- + =- =- = - = -= =

2 5 92 4

2 2 2 24 0

2

2

1 2

vagy

EGYENLETEK

166

1208. Hajtsuk végre a kijelölt négyzetreemeléseket!

a) ( )x x

x x x

x

+ =+ + =

+ =

2 4

4 4 4

4 0

2

2

2

nincs megoldás x x( )+ 2 2

x x4

A két függvényképnek nincs közös pontja, tehát nincs megoldás.

b) ( )x x

x x xx

x

- =- + =- = -

=

1

2 12 1

1

2

2 2

2 2

x x2

x x( )-1 2

A két függvénykép az 1

2

1

4;

ÊËÁ

ˆ¯

pontban metszi egymást.

x =1

2

c) x x

x x x

x

2 2

2 22 3

2 6 97

6

+ = -+ = - +

=

( ) d) ( )x x

x x xx

- = +- + = +

=

5 25

10 25 250

2 2

2 2

e) -1 f) -2

EGYENLETEK

167

1209. a)4

3b) Azonosság, az alaphalmaz minden eleme igazzá teszi. c)

7

4

d) 3 3 9

3 6 9 18 81

3 18 27 18 81

3 27 81

2 54

27

3 9

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

( ) ( )

( )

x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

- = -- + = - +- + = - +

+ = +=== ± ◊

x x1 23 3 3 3= = -

1210. a)2 1

3

2 1 31

x

xx x

x

+=

+ ==

x π 0 b)3 2

12

3 2 2 13 2 2 2

1 41

4

−+

=

− = +− = +

=

=

x

xx xx x

x

x

( )

xx+ π

π -1 0

1

c)5

14

9

5

−−

=

=

x

x

x

xx- π

π1 0

1 d)

3 6

23

x

x

−−

= xx

- ππ

2 02

A 2 kivételével minden racionális számigazzá teszi.

e) 0; 1 f)x

xx x

2 4

20

2 2 0

−+

=

− + =( )( )

xx xπ -= = -

22 21 2

Az x2 = -2 nem megoldás

g)x

xx x

2

2

3

31

3 3

++

=

+ = +

x π -3

x x1 20 1= =

h)x

xx x

xx

x

2 25

50

5 5

50

5 05

−−

=

− +−

=

+ == −

( )( )

xx- π -

π5 0

5

168

EGYENLÔTLENSÉGEK

1211. a) 0 £ x < 5 b) 0 £ x < 13

c) 0 £ x < 27 d) 0 £ x < 1000

e) f) g) h) Az adott számnál nagyobb, minden természetes szám helyét kell megjelölni.pl. e)

1212. a)

b) A 0-t, a 10-et és minden közbeesô természetes számot is jelölni kell.c) 0-t, 25-öt és a közbeesô természetes számokat kell jelölni.d)

e)

f)

g)

h)

e) f) g) h) Végtelen sok természetes szám teszi igazzá, ezért a megrajzolt számegyenes-darab végéig jelöljük a természetes számok helyét!

1213. a) x < 11 0-t, 10-et és a közbeesô természetes számokat jelöljük.

b) x £ 15 0-t, 15-öt és a közbeesô természetes számokat jelöljük.

c) x < 18 d) x ¤ 14 e) x > 12 f) x ¤ 18 g) x > 13 h) x £ 4Az ábrázolásnál az elôzô feladatban bemutatott megoldások szerint járunk el.

1214. a) 3; 4; 5 b) ; üres halmaz a megoldáshalmaz, c) 3; 4d) 3; 4; 5; 6 e) 3; 4; 5; 6; 7, azonos egyenlôtlenségf) (3; 4; 5; 6; 7 az igazsághalmaz megegyezik az alaphalmazzal, azonos

egyenlôtlenség.g) 3; 4 h) 3

1215. a) 3; 4; 5; 6; 7 b) 4; 5; 6; 7 c) 6; 7 d) 3; 4e) 6; 7 f) 6; 7 g) 7h) , az adott halmazon nincs megoldása.

1216. a)

b)

EGYENLÔTLENSÉGEK

169

c)

d)

e)

f)

g)

h)

1217. a) 1 < x < 8 vagy 2 £ x < 8 vagy 2 £ x £ 7; vagy 1 < x £ 7

b) 9 < x < 17; 10 £ x < 17; 10 £ x £ 16; 9 < x £ 16

1218. Mivel az alaphalmazt nem adtuk meg, így az ismert számok halmazát tekintjük alaphal-maznak. A számegyenes-darabok végpontjaikkal vannak megadva.

a) 0 < x £ 8 b) 100 £ x £ 180 c) 70 £ x < 78 d) 13 < x < 21

1219. a) 2 < x < 6 b) 3 < x £ 6

c) 7 £ x < 14 d) 7 £ x £ 16

1220. a) 4 b) 4; 5; 6; 7; 8; 9 c) 4; 5; 6; 7d) 4; 5; 6 e) 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 f) 7; 8; 9; 10g) 8; 9; 10 h) 8; 9; 10

1221. a) x < 4; 0; 1; 2; 3 b) x < 10; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9c) x > 5; 6; 7; 8; ... d) x < 4; 0; 1; 2; 3

e) x £ 5; 0; 1; 2; 3; 4; 5 f) x £ 6; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

g) x ¤ 9; 9; 10; 11; ... h) x ¤ 8; 8; 9; 10; ...

1222. a) x < 15; 0; 1; 2; ...; 14; 15 b) x > 36; 37; 38; 39; ...

c) x £ 48; 0; 1; 2; ...; 47; 48 d) x ¤ 100; 100; 101; 102; ...

e) x £ 30; 0; 1; 2; ...; 29; 30 f) x > 60; 61; 62; 63; ...

g) x ¤ 28; 28; 29; 30; ... h) x < 21; 0; 1; 2; ...; 19; 20

1223. a) x < 3 b) x £ 2 c) x > 2

d) x > 3 e) x >7

3f) x ¤ 7

5

7

3

7

5

EGYENLÔTLENSÉGEK

170

g) x £ 3,5 h) x < 23

4i) x > 2

j) x < 3 k) x < 3 l) x ¤ 1

1224. Az ábrázolást az 1223. feladathoz hasonlóan oldjuk meg.

a) x £ −2

3b) x £ −

2

5c) x > -

2

3d) x < -

1

2e) x < -

1

5

f) x £ 1

2g) x > -

1

2h) x ¤ 2 i) x <

1

4

1225. a) x < 1; 1-nél kisebb egész számok

b) x ¤ 1; 1-nél nem kisebb egész számok

1226. a) x > 1 b) x £ 1

1227. a)

x x3 2-

x 7M( ; )3 7

3 2 73

xx

- ££

x x2 5+

x 13M( ; )4 13

2 5 134

xx

+ ¤¤

EGYENLÔTLENSÉGEK

171

x x5 2+

x 7M( ; )1 7

5 2 71

xx

+ <<

x x4 3-

x 5M( ; )2 5

4 3 52

xx- >>

b)

x x- +2 3

x 8

M -ÊËÁ

ˆ¯

5

28;

- + <

> -

2 3 85

2

x

x

-5

2

x 0

x x- +3 6

M( ; )2 0

- +3 6 02

xx¤£

EGYENLÔTLENSÉGEK

172

x 0

x x5 2-

M( , ; )2 5 0

5 2 02 5

- ><

xx ,

x 7

x x3 4-

M( ; )-1 7

3 4 71

--

xx£¤

c)

x 0

xx

42+

M( ; )-8 0

x

x4

2 0

8

+ <

< -

x 1

xx

31-

M( ; )6 1

x

x3

1 1

6

- ¤¤

x 0

xx

23-

M( ; )6 0

x

x2

3 0

6

- ££

x 3

xx

21+

M( ; )4 3

x

x2

1 3

4

+ >

>

1228. 2 12

2

2

xx

x

- +££

M(2; 3) 2 12

2

2

xx

x

- > +

>

EGYENLÔTLENSÉGEK

173

1229.- + -2 1 2

1x x

x£¤ M(1; -1)

- + -2 1 21

x xx¤£

1230. a)

x x6

x x3 6+

M( ; )2 12

3 6 62

x xx

- £¤

b)

x x3

x x3 2-

3 2 3x x- ¤Nincs megoldás. A két függvényképpárhuzamos, ezért egyenlôség nem áll-

hat fenn. Az x ® 3x függvény képe az

x ® 3x - 2 függvény képe fölött halad,ezért a 3x > 3x - 2 egyenlôtlenség telje-sül minden esetben.

c) x x2 5+

x x + 2

M( ; )- -3 1

x xx

+ < +> -

2 2 53

d) x < -1

e) x £ 2

f) Azonos egyenlôtlenség, az x ® x + 9 f) függvény képe halad fölül.

EGYENLÔTLENSÉGEK

174

1231. a) 2 3 7 57 5

4 77

4

x x xx xx

x

- < -- < -<

<

7

4

I = 0 ;1 a természetes számokhalmazán.

b) x £ 3x - 7

0 £ 2x - 7

7 £ 2x7

2£ x

7

2

I = 4; 5; 6; ... a természetes számokhalmazán.

c) x < -3, a természetes számok halmazán nincs megoldás.

d) 3 5 72 73 7

7

3

x x xx xx

x

- +- +-

-

¤¤¤£

Osszuk el az egyenlôtlenség mindkét oldalát (-3)-mal. Azegyenlôtlenség iránya megváltozik.

A természetes számok halmazán nincs megoldás.

e) x > 50 f) x £ 20

I = 51; 52; 53; ... a természetes I = 0; 1; 2; ...; 19; 20 a természetesszámok halmazán. számok halmazán.

1232. a)2 5

5

4

103

2 2 5 4 304 10 4 30

9 3010

3

x x

x xx x

x

x

- + - <

- + - <- + - <

- <

> -

( ) ( )

Szorozzuk az egyenlôtlenség mindkét oldalát 10-zel.

I = 0; 1; 2; 3; ... Bármely természetes szám igazzáteszi.

b)x x

x xx x

xxx

- - -

- - -- - +

-

3

6

5 2

12

11

122 3 5 2 11

2 6 5 2 114 11 11

4 225 5

££££££

( ) ( )

,

Szorozzuk mindkét oldalt 12-vel.

I = 0; 1; 2; 3; 4; 5 a természetes számok halmazán.

EGYENLÔTLENSÉGEK

175

c)3 2

8

1 2

4

9 3

123 2

8

1 2

4

3

43 2 2 1 2 2 3

2

3

x x x

x x x

x x x

x

+ - - -

+ - - -

+ - - -

¤

¤¤¤

( ) ( )

A jobb oldalon álló törtet egyszerûsítsük!

Az egyenlôtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 8-cal.Beszorzás, összevonás után

2

3

I = 1; 2; 3; ... a természetes számok halmazán.

d) Az egyenlôtlenség mindkét oldalát 6-tal szorozzuk.3 15 4 11 6 1

7( ) ( ) ( )x x x

x- + + > +

>I = 8; 9; 10; ...

1233. a) A parabola a -2 £ x £ 1 esetén fut az egyenes alatt.

Az egész számok halmazán I = -2; -1; 0; 1.

b) A parabola-ág az egyenes fölött fut, ha x < -2 vagy x > 1.

I = ...; -5; -4; -3; 2; 3; 4; ... az egész számok halmazán.

1234. a) -4 < x < -1 b) x £ -4 vagy x ¤ -1

I = -3; -2 I = ...; -6; -5; -4; -1; 0; 1; 2; ...

1235. a)x x( )+1 2

x 4M1 3 4( ; )-M2 1 4( ; )

( )xx

+ <- < <

1 43 1

2 ( )xx x

+-

1 43 1

2 ¤£ ¤ vagy

EGYENLÔTLENSÉGEK

176

b)

x 3

x x2 1-

M1 2 3( ; )-M2 2 3( ; )

x2 - 1 £ 3

-2 £ x £ 5

xx x

2 1 32 2- >

< - > vagy

c)x x( )+1 2

x x + 3

M1 2 1( ; )-

M2 1 4( ; )

(x + 1)2 £ x + 3

-2 £ x £ 1

( )x xx x

+ > +< - >

1 32 1

2

vagy

1236. A grafikonokat az 1235. feladat megoldásához hasonlóan készítjük el!

a) ( )x xx x- > - +< >

3 2 61 3

2

vagy ( )x x

x- - +3 2 6

1 3

2 ££ £

b) ( )x xx

+ < - -- < < -

3 15 2

2 ( )x xx x

+ - -- -

3 15 2

2 ¤£ ¤ vagy

c) ( )x xx

+ - < +- < <2 2 2 5

3 1

2 ( )x xx x+ - +-2 2 2 5

3 1

2 ¤£ ¤ vagy

EGYENLÔTLENSÉGEK

177

d)

x x2 6-

x x- -( )3 2

M2 3 0( ; )

M1 1 4( ; )-

- - < -< >

( )x xx x

3 2 61 3

2

vagy - - -( )x x

x3 2 6

1 3

2 ¤£ £

177

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK,EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK

1237. a) y = -2x + 4y = x + 1A két függvénykép közös pontjának koordinátái teszik igazzá mindkét egyenletet.x = 1 y = 2.Algebrai megoldás:A két egyenlet bal oldala egyenlô, ezért a jobb oldalon álló kifejezések is egyenlôk!

- + = += +==

2 4 14 3 13 31

x xxx

xA kapott x értéket a második egyenletbe behelyettesítve: y = 2.Az (1; 2) számpár teszi igazzá egyszerre a két egyenletet.

b) x = 1; y = 1

c) x yx y+ =- =

24 3

A grafikonról x = 1; y = 1, azaz az (1; 1) számpár a megoldás.Algebrai megoldás:Az elsô egyenletbôl: y = 2 - x. Ezt helyettesítjük be a második egyenletbe!

4 2 34 2 3

1

x xx x

x

- - =- + =

=

( )

Az y értékét az elsô egyenletbôl x = 1 helyettesítésével kapjuk: y = 2 - 1, azaz y = 1.A megoldás az (1; 1) számpár.

d) (0; 2)

1238. a) x yx y x y+ =- = Æ = +

22 2

Helyettesítsük be az x-re kapott kifejezést az elsô egyenletbe!

( )2 20

2 02

+ + ==

= +=

y yy

xx

A megoldás a (2; 0) számpár.

b) 2 30

2 33 3

1

x yx yx x

xx

x y+ =- =+ =

==

Æ = Írjuk be az elsô egyenletbe!

y = 1 Az (1; 1) számpár a megoldás.

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK

178

c) (2; 1) d)2

7

9

7;

ÊËÁ

ˆ¯

e) (3; 0,5) f) (0,5; 2)

1239. a) (4,5; 2) b) (0,2; 0,3) c) (2; -2) d) (-4; 4)

e) x y

x yx x

x xx x

xx

y x3 2

3

8

3

8

23

2 3 182 24 3 18

24 186

8

+ =

+ =

+−

=

+ − =+ − =

− ==

→ = −

(8 )

, írjuk ezt az elsô egyenletbe!

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 6 - tal!

A kapott x értéket helyettesítsük az y = 8 - x egyenletbe! y = 8 - 6 y = 2.A megoldás a (6; 2) számpár.

f) (15; 4) g)1

2

1

3;

ÊËÁ

ˆ¯

h) (1; -3) i)3

4

1

3;

ÊËÁ

ˆ¯

1240. a) 3 3 122 3 3

5 153

3 3 3 121

x yx y

xxyy

− =+ =

==

⋅ − == −

Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és ajobb oldaliakat is!

Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe!

A megoldás: (3; -1).A többi feladatot is az a)-ban leírtak szerint oldjuk meg!

b) (-1; 1) c)3

22; -Ê

ËÁˆ¯

d) - -ÊËÁ

ˆ¯

15

8

69

32; e)

1

2

1

3;

ÊËÁ

ˆ¯

f) (-3; 6)

1241. a) (0,2; 1,8) b) (6,5; 1,5)c) 4 3 4

2 3 21

2

2 11

23

4

x y

x y

x

x

+ =

+ =

=

=

Vonjuk ki az elsô egyenletbôl a másodikat!


43

43 4

3 11

3

◊ + =

=

=

y

y

y

A megoldás a 3

4

1

3;

ÊËÁ

ˆ¯

számpár. A többi feladatban is hasonlóan járunk el.


179

d) - -ÊËÁ

ˆ¯

21

2; e)

2

32; -Ê

ËÁˆ¯

f) nincs megoldás

1242. a) 3 4 52 2 83 4 54 4 16

7 213

x yx yx yx y

xx

- =+ =- =+ =

==

Szorozzuk a második egyenlet mindkét oldalát 2-vel!

Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és ajobb oldalon állókat is!


3 3 4 54 4

1

◊ - =- = -

=

yyy

A megoldás a (3; 1) számpár.Ellenôrzés: 3 ◊ 3 - 4 ◊ 1 = 5 illetve 2 ◊ 3 + 2 ◊ 1 = 8.

b) 10 3 112 4 28

10 3 1110 20 140

x yx yx y

x y

+ = -- = -+ = -

- + =

Szorozzuk a második egyenlet mindkét oldalát (-5)-tel!

Az elôzô feladatban leírtak szerint eljárva -ÊËÁ

ˆ¯

64

23

129

23;

számpárt kapjuk.

c) 8 3 17 53 8 2

64 24 1409 24 6

73 1462

x yx y

x yx y

xx

+ =- =+ =- =

==

, Szorozzuk az elsô egyenlet mindkét oldalát 8-cal, a másodikat3-mal!Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és ajobb oldaliakat is.

y = 0,5 A megoldás a (2; 0,5) számpár.

d) Az elsô egyenletet 5-tel, a másodikat 7-tel szorozva az elôzôhöz hasonlóan kapjuk:(2; 3).

e) nincs megoldás

f) Az elsô egyenletet 3-mal, a másodikat (-2)-vel szorozzuk és az így kapott egyenle-teket összeadjuk. (3,8; 0,8)

1243. a) Végtelen sok számpár igazzá teszi. (x; 4 - 3x) számpárok.

b)28

65

5

52; -Ê

ËÁˆ¯

c) (-1,5; -0,2) d) végtelen sok megoldás xx

;2 10

5

-ÊËÁ

ˆ¯

e)1

5

1

2; -Ê

ËÁˆ¯

f) (-0,01; 0,01)

1244. a) Rajzoljunk nagyobb ábrát a füzetbe! (-2; -6); (-3; -8); (-3; -9); (-1; -3,5); ...

b) (-2; 4); (-2; 3); (-2; 2); (-3; 5); (-3; 4); (-3; 0); ...

c) (1; -3); (1; -4); (1; -5); (0; -6); (-1; -7); ...

d) (0; 1); (1; 1); (1; 3); (-1; 2); (-2; 3); ...


180

1245. A bevonalkázott síkrész pontjainak jellemzése:a) y > 3x + 3 b) y > x + 1 c) y > -2x - 1 d) y < -3x + 2

y < 1

2x - 2 y <

1

3x + 2 y >

1

2x + 3 y <

3

2x - 4

A rácsozott síkrész pontjainak jellemzése:a) y < 3x + 3 b) y < x + 1 c) y > -2x - 1 d) y < -3x + 2

y < 1

2x - 2 y <

1

3x + 2 y <

1

2x + 3 y >

3

2x - 4

181

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL,EGYENLÔTLENSÉGGEL

MEGOLDHATÓ FELADATOK

1246. Jelöljük a kisebb számot x-szel!I. szám II. szám Összegük

3 144x x

3 1444 144

363 108

x xxxx

+ ====

Az elsô szám 108, a második 36.Ellenôrzés: 108 : 36 = 3; 108 + 36 = 144.

1247. Ha egy természetes szám végére 0-t írunk, az azt jelenti, hogy megszorozzuk 10-zel. Akisebb szám legyen x, akkorI. szám II. szám Összegük

x x10 847

x xxx

+ ===

10 84711 847

77A két szám 77 és 770.Ellenôrzés: 77 végére 0-t írunk 770 és 77 + 770 = 847.

1248. A természetes szám végérôl ha elhagyunk egy 0-t, az 10-zel való osztást jelent.A két szám 4790 és 479.

1249. A szöveg alapján a következô egyenlete írható fel: (5x + 6) : 7 = 8; x = 10.

1250. A felírható egyenlet: x +

◊ - =5

23 1 14 . A szám: x = 5.

1251. 13 870; 1387 a két szám.

1252. A kétjegyû szám: 10x + yA jegyek felcserélésével kapott szám: 10y + xHozzáadunk 14-et: 10y + x + 14

Felezzük:10 14

2

y x+ +

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

182

A hányados jegyeit felcserélve 64-et kapunk, tehát a hányados 46.Így a következô egyenlet írható fel:

10 14

246

10 14 9210 78

y x

y xy x

+ +=

+ + =+ =

Az eredeti szám: 87.Ellenôrzés: A jegyeket felcseréljük: 78, ehhez 14-et adunk 92, megfelezzük 46, ajegyeket felcseréljük 64.

1253. A gondolt szám: x.

I. (x + 3) ◊ 4( )x x+ ◊ >3 4 5

2-vel

( )x x

x xx

+ ◊ = ++ = +

=

3 4 5 24 12 5 2

10

II. A szám ötszöröse: 5x Ellenôrzés:( )10 3 4 52

5 10 50+ ◊ =

◊ = 52 50>

2-vel

1254. Az utolsó lépésbôl visszafelé indulva, vagy a következô egyenlet megoldásával:

[(x - 60) ◊ 2 - 60] ◊ 2 - 60 = 0A gondolt szám 105.

1255. A felírható egyenlet: 4x + 2 = (x + 3) ◊ 3. A szám: 7.

1256. A gondolt szám x.2 16

460 3 6 20

xx x

-+ - = =;

1257. Az egyik szám x, a másik 2250 - x.

12

100

18 2250

10012 40500 1830 40500

1350

x x

x xxx

=-

= -==

( )

Az egyik szám 1350, a másik 900.

Ellenôrzés: 1350-nek a 12 %-a 1350 ◊ 0,12 = 162900-nak a 18 %-a 900 ◊ 0,18 = 162.

1258. A felírható egyenlet: 3

45

3x

x- = ; A keresett szám 12.

1259. Ha egy szám páros, akkor az 2-nek többszöröse. Az egyik páros szám legyen 2k, akkora rákövetkezô páros szám 2k + 2.

2 2 2 744 722 36

k kkk

+ + ===

( )

Az egyik páros szám a 36, a másik a 38.


183

1260.3

7

3

515 5 21 3

2 63

++

=

+ = +==

x

xx xxx

x π -7 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 5(7 + x)-szel.

A számlálóhoz és a nevezôhöz is 3-at kell adni. 6

10

3

5=Ê

ËÁˆ¯

1261. A szám x.

x x

x x

x x

x xxx

23

23 5 2 3 18

23

10

3

52 6

23

5

6

56

5 30 2 12 603 42

14

+ - +ÊËÁ

ˆ¯

È

ÎÍ

˘

˚˙ ◊

ÏÌÔ

ÓÔ¸˝ÔÔ◊ =

+ - +ÊËÁ

ˆ¯◊ =

+ - - =

+ - - ===

:

Szorozzuk 10 -zel!

Ellenôrzés: A szám 14, a fele meg három az 10, ebbôl vegyük el ötödének a kétszeresét,ami 4. A különbség 6. 6-nak a 3-szorosa 18.

1262. I. szám II. szám

2-szer

12 12 2112 3 33 3

++ ◊ < + ◊x x

2 12 3 33 33

( )+ ◊ = +=

x xx

3-szor kell 3-at hozzáadni mindkettôhöz.

1263. 145 5 4 10 57

+ = +=

x xx

( )

Hétszer kell az 5-öt hozzáadni. A kapott számok: 180 és 45.

1264. xx

xx x

-ÊËÁ

ˆ¯- -ÊËÁ

ˆ¯

- =3 3

23

0:

Az eredmény 0 lesz.

1265. 0,6x = 7,72 - xAz egyik szám 4,825, a másik 2,895.

1266. I. szám II. szám Különbségükx x0 65 0 07, ,

x xxx

- ===

◊ =

0 65 0 070 35 0 07

0 20 2 0 65 0 13

, ,, ,

,, , ,

Az egyik szám 0,2, a másik 0,13.Ellenôrzés: 0,2 - 0,13 = 0,07


184

1267. Jelöljük x-szel azt a számot, amit a számok változtatásával kapunk, így

I. II. III.x x x◊ ◊ ◊2 3 4

Még tudjuk, hogy III. szám > I. szám6,4-del

.

4 2 6 43 2

x xx= +=

,,

Ekkor az elsô szám 6,4, a második 9,6, a harmadik pedig 12,8.

1268. A három szám: x; y; z. Összegük 99. Tudjuk még, hogy

10 15 5

10 15 5

x a y a z a

xa

ya

za

= = =

= = =

A felírható egyenlet:

a a aa

10 15 599 270+ + = =,

x = 27; y = 18; z = 54.

1269. Az elzô két feladatben leírtakat alkalmazhatjuk, de most bemutatunk egy másfajtamódszert is!Legyen a három szám: x; y; z.A következô három egyenletet írhatjuk fel a szöveg alapján

( )

( )

(3)

1 22

21

2

1

21

1

2

5

2

2

5

1

2

x y z

x y x y

y z z y

+ + =

+ = - Æ = -

- = Æ = -ÊËÁ

ˆ¯

Az x-re, z-re kapott kifejezéseket helyettesítsük az (1) egyenletbe!

( )y y y

y

- + + -ÊËÁ

ˆ¯=

=

12

5

1

222

92

3

(2)-bôl x = - =92

31 8

2

3 (3)-ból z = -Ê

ËÁˆ¯=2

59

2

3

1

23

2

3

Ellenôrzésként adjuk össze a kapott számokat.

1270. Ha a négy szám változtatása után kapott azonos számot jelöljük x-szel, akkor akövetkezô egyenlet írható fel:

x x x x

x

-ÊËÁ

ˆ¯+ +ÊËÁ

ˆ¯+ + ◊ =

= =

51

25

1

25

1

25

1

2190

1

899

424

3

4

:


185

Ebbôl a négy szám 191

4; 30

1

4; 4

1

2; 136

1

8.

1271. A gondolt számot x-szel jelölve a következô egyenlet írható fel:

2 4

32 2

xx x

+= + = -

1272. A felírható egyenlet:

5 32

35 3 85 10

4

5x x x- + - = =( )

1273. Jelöljük a harmadik rész x-szel.

I. II. III. Összegük0 4 0 3 0 3 284, ( , ) ,x x x◊ ◊

0,12x + 0,3x + x = 284 x = 200

A harmadik rész 200, a második 60, az elsô 24.

1274. Legyen a három szám sorrendben x; y; z. Összegük 770. További összefüggések:

x y y x x

x z z x x

= ◊ = = ◊

= ◊ = ◊ = ◊

534

753

4

7

7

375

442

17100

100 442

17

34

15

, :

:

innen

, innen

A felírható egyenlet:

x x x

x x xx

x

+ ◊ + ◊ =

+ + = ◊= ◊ ◊ ◊

= =

7

375

34

15770

375 7 850 770 3751232 770 375 2 7

1875

8234

3

8

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 375- tel!

Oszthatjuk mindkét oldalt 11 - tel.

y = ◊ = =1875

8

7

375

35

84

3

8 z = ◊ =

34

15

1875

8531

1

4Ellenôrzésként adjuk össze a három számot.

1275. Jelölje x az elsô rész kétszeresét, a második háromszorosát, illetve a harmadik négysze-

resét. Így az elsô rész x

2, a második

x

3, a harmadik

x

4. Ezek összege 130. Tehát:

x x xx

2 3 4130 120+ + = =, .

A részek: 60; 40; 30.


186

1276. Legyen a három rész x, y, z. Összegük 472. x ◊ 0,5 = y ◊ 0,6 = z ◊ 0,8, innen y x=5

6

z x=5

8, a három rész összegét felírva x x x+ + =

5

6

5

8472 egyenletet kapjuk. x = 192.

y = ◊ =5

6192 160 , z = ◊ =

5

8192 120 . A három szám: 192; 160; 120.

1277. A felírható egyenlet x x x+ + =3 965

99, innen x =

5

99. A számok:

5

99;

5

33;

5

11.

1278. Felcserélés után az eredeti számnál nagyobbat kapunk, ezért az egyesek helyén áll anagyobb számjegy.

Tízes Egyes A számEredeti szám:

Felcserélés után:x x x xx x x x

2 10 22 10 2

+◊ +

20 4 20x x x x+ > +12-vel

3 12 4x x= =;

A keresett kétjegyû szám 48.

Ellenôrzés: 48 ◊ 2 = 96, a jegyek felcserélésével kapott szám 84. 96 - 84 = 12.

1279. Jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel.

Tízes Egyes A számEredeti szám:

Felcserélés után:x x x x

x x x x+ + +

+ + +3 10 3

3 10 3( )

A két szám összege 143. [10(x + 3) + x] + (10x + x + 3) = 143, innen x = 5. A szám 85.

1280. Tízes Egyes A számEredeti szám:

1- et hozzáadva:Felcserélés után:

x x x xx xx x x x

- - +- ++ - + + -

3 10 33 11 3 10 1 3

( )

( )

Az eredeti és az utoljára kapott szám összege 153.

10 3 10 1 3 1538

( ) ( )x x x xx

- + + + + - ==

Az eredeti szám: 58, 1-et hozzáadva 59, felcserélve 95. 58 + 95 = 153.

1281. (1) Az eredeti szám: 10x + y(2) Felcserélés után: 10y + x(3) (2)-höz 12-t adva: 10y + x + 12

(4) (3)-at felezve:10 12

2

y x+ +


187

(5) A (4)-ben kapott szám jegyeit felcserélve: 42, tehát

10 12

224

10 36

y x

y x

+ +=

+ =Az eredti szám 63.

1282. Mivel a felcserélés után az eredetinél kisebb számot kapunk, az eredeti számban atizesek helyén áll a nagyobb számjegy: x.

10 3

21 10 3

5

x xx x

x

+ -- = - +

=

( )( )

A keresett szám: 52.


Felcserélés után:Változtatva:

x x x xx x

x x x x

+ + +++ + - + + -

2 10 22

2 3 2 10 5 2( )

Az egyenlet:10 5 2 2 10 2

4( ) ( )x x x x

x+ + - = + +

=Az eredeti szám 46.

1284. Jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel! Mivel a számjegyek összege 13, atízesek helyén 13 - x áll. Ekkor a kétjegyû szám: 10(13 - x) + x. Az osztó 12, amaradék x - 2, a hányados x. A maradékos osztás ellenôrzése segít a következôegyenlet felírásához:

10 13 12 26

( ) ( )- + = + -=

x x x xx

A keresett szám 76.Ellenôrzés: 76 : 12 = 6Ellenôrzés: 74A hányados megegyezik a szám utolsó jegyével, a maradék pedig ennél 2-vel kevesebb.


Felcserélés után:x x x x

x x x x10 10 10

10 10 10- + -

- - +( )

( )

10 10 2 10 10( ) ( )- + < + -x x x x1-gyel

100 10 1 18 2081 27

3

- + + = +==

x x xx

x

A keresett szám: 37.


188

1286. Készítsünk az elôzô feladatnál használt táblázatot! A tízesek helyén álló számjegyetjelöljük x-szel. A következô egyenletet írhatjuk fel:

10 10 10 10 367

x x x xx

+ - - - + ==

( ) [ ( ) ]


1287. Készítsünk táblázatot! Most jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel. Afelírható egyenlet:

10 1010

55

x x x xx x

x

+ - - - + =- +

=

(9 ) [ (9 ) ](9 )


1288. Mivel felcseréléssel az eredetinél nagyobb számot kapunk, ezért az eredeti számban atizesek helyén álló számjegy a kisebb. Táblázatkészítés és az összefüggésekfelhasználása után a következô egyenletet kapjuk:

10 5 3 10 5 92

( ) ( )x x x xx

+ + = + + -=

A keresett szám 27.

1289. A számjegyek felcserélése után az eredeti számnál kisebb számot kapunk, ezért azeredeti számban a tizesek helyén áll a nagyobb számjegy. Ha x-szel jelöljük a tizesekhelyén álló számjegyet, a szöveg szerint a következô egyenlet írható fel:

102

2 3 102

4

xx x

x

x

+ÊËÁ

ˆ¯

+ = ◊ +

=

:

A keresett szám 42.

1290. Készítsünk táblázatot!

Százas Tízes Egyes A számEredeti szám:

Felcserélés után:x x x xx x x x

1 2 100 10 22 1 100 2 10

+ +◊ + +

100 2 10 2 100 10 2◊ + + < + +x x x x19-cel

( )

201 10 2 102 10 193

x xx

+ = ◊ + -=

( )

A keresett hásomjegyû szám 316.

1291. Jelöljük rendre az életkorukat b, o, r-rel! Írjuk fel az állításokat egyenlettel!

b o ro b

r o b r o b r b

+ + == +

+ = + = + - = -

604

20 20 2 16

Helyettesítsük az o-ra felírt összefüggést a harmadik egyenletbe.


189

b b bb

bo br b

+ + + - =- =

== + == - =

( ) ( )4 2 16 604 12 60

184 22

2 16 20Bori 18 éves, Orsi 22 éves és Ricsi 20 éves.

1292. Az apa és fia közötti korkülönbség nem változik, ezért ha Peti elôbbi életkorát x-szeljelöljük, az apa akkori életkora 9x (hónapokban).

9 26 12 88 8 13 3 1

40

x xxx

- = ◊ += ◊ +=

( )

Apa most 40 éves.

1293. Készítsünk táblázatot! x évvel ezelôtt volt 3-szor annyi idôs az anya.

Anya életkora Lánya életkoraMost 40 16

évvel elôbb 16x x x40 - -

40 3 164

- = -=

x xx

( )

Négy évvel ezelôtt az anya életkora háromszorosa volt a lányáénak.

1294. Az 1293-as feladathoz hasonlóan oldjuk meg. 12 évvel ezelôtt volt az apa 11-szer annyiidôs mint a fia.

1295. Az anya jelenlegi életkorát jelöljük x-szel. Az adatokat a következô táblázatbanrögzíthetjük:

Anya Lánya

4 év múlva

6 évvel ezelôtt

xx

xx

++

--

44

2

66

3

Kétféle egyenletet írhatunk fel:a) Ha figyelembe veszük, hogy a köztük lévô korkülönbség állandó, akkor:

xx

xx

x+ -+

= - --

=44

26

6

336;

b) Figyelembe véve, hogy a két jelzett idôpont között 10 év telt el:

x xx

-=

+- =

6

3

4

210 36;

Az anya most 36 éves, 4 év múlva 40 éves, a lánya 20 éves lesz. A lánya most 16 éves.

1296. Hasonlóan oldjuk meg, mint az 1293-as feladatot. 7 év múlva lesz az apa háromszorolyan idôs, mint a fia.


190

1297. Most x éves, 10 év múlva x + 10 éves, 20 évvel ezelôtt x - 20 éves. A felírhatóegyenlet:

x xx

+ = -=

10 4 2030

( )

1298. Az 1293-as feladathoz hasonlóan oldjuk meg. Az apa 9 év múlva lesz háromszor olyanidôs, mint a fia.

1299. Jelöljük András mostani életkotár x-szel!

Péter András

6 évvel ezelôtt

Most

3 év múlva

A nyilak a kitöltés sorrendjét mutatják.

xx

xx

xx

36

36

6

23

−

+

−+

Ha Péter most x

36+ éves, akkor 3 év múlva

x

36 3+Ê

ËÁˆ¯+ éves lesz, a szöveg szerint

pedig x - 6

2 éves, ebbôl

x xx

39

6

272+ =

-=;

András most 72 éves, Péter 72

36+ éves, azaz 30 éves.

1300. x év múlva teljesül a feltétel, ezért a felírható egyenlet:( ) ( ) ( );25 20 3 10 15+ + + = + =x x x x

1301. A 1300-as feladatban szereplô egyenlethez hasonlót írhatunk fel. 13 év múlva lesz a kétgyerek életkorának összege egyenlô az apa életkorával.

1302. A fiatalabb 5 éves, az öregebb 20 éves. x év múlva a fiatalabb 5 + x, az öregebb 20 + xéves.

20 3 52 5

+ = +=

x xx

( ),

2,5 év múlva a kicsi 7,5 éves, a nagy 22,5 éves. (Ellenôrzés: 7,5 ◊ 3 = 22,5)

1303. A gyerekek 3 évenként születtek, így életkoruk x; x + 3, x + 6. Életkoruk összege 15.Így

x + (x + 3) + (x + 6) = 15; x = 2A testvérek életkora: 2 év; 5 év; 8 év.


191

1304. Laci FeriMost

4 évvel ezelôtt2

2 4 4x x

x x- -ekkor

2x - 4 = 3(x - 4); x = 8Laci 16 éves, Feri 8 éves.

1305. Apa és anya életkorának összege 90 év. A szülôk életkorának számtani közepe 45 év.Anya 10 évvel fiatalabb apánál, tehát apa 50 éves, anya 40 éves. A gyerekekéletkorának számtani közepe legyen x, akkor életkoruk összege 3x, ezért a következôegyenlet írható fel:

3x = 45; x = 15A középsô gyerek, Józsi életkora 15 év. András életkorának kétszerese anya életkora,tehát András 20 éves, ebbôl következik, hogy Peti pedig 10 éves.

1306. Kati x, Éva x + 3, Judit x + 4 éves. A következô egyenlet írható fel:

(x + 3) + (x + 4) = 3x - 1; x = 8Kati 8 éves, Éva 11 éves és Judit 12 éves.

1307. Van LenneNagy

Kicsi

x xx x

-

+ +

32

2 28 32

xx

x- = + + =322

8 32 144;

A nagy tornateremben 144, a kicsiben 72 tanuló van.

1308. Egységnyi idô alattfogott egerek száma

idô alatt

SzerénkeLukréciaEgyütt ill. 60

x

xx

x

3 32 25 5 ;

5x = 60; x = 12Szerénke 36, Lukrécia 24 egeret fogott.

1309. Célszerû Béni jelvényeinek számát x-szel jelölni!

Frédi BéniI.II.

x xx x

++ - +

4545 15 15( )

3

430

4

515 210( ) ( );x x x+ = + =

Béninek 210 jelvénye van.

1310. Jelöljük az ismeretlen jegyét x-szel, akkor


192

2 3 4 5

53 4 3

+ + + += =

xx, ;

Mórickának két hármasa volt.

1311. Eredeti ár 1250 Ft.18 %-kal növelt ár az eredetinek 118 %-a.

Új ár: 1250

118 1475 Ft

100 Ft◊ = .

18 %-kal csökkentik az új árat, akkor annak 82 %-a lesz a legújabb ár:

147582 1209 5

Ft

100 Ft◊ = ,

A legújabb ár 40,5 Ft-tal kevesebb az eredetinél.

1312. A görögdinnye kilogramja x Ft-ba kerül.Anita: 3x + 22Éva: 4x + 5Anita y Ft-tal indult vásárolni!

3 22 4 5 7 10

3 10 22100

25 208

x x xy

y

+ = + + =

◊ + = ◊ =

;

;

A görögdinnyébôl 1 kg 10 Ft-ba kerül. Anita 208 Ft-tal indult vásárolni.

1313. Mivel a lányok száma 6-tal kevesebb, így az ô sátruk a kisebb. Ebben két sor ágy van, afiúkéban 3 sor, ezért 1 sorban 6 ágynak kell lennie.A kisebb sátorban 2 ◊ 6 = 12, a nagyobb sátorban 3 ◊ 6 = 18 tanuló aludt. 30 tanuló vettrészt a táborozáson.

1314. 1 napi bér x arany.

I. II.x x+ 6 3

x x+ <6 32-vel

x + 6 = 3x - 2; x = 4Egy napra 4 aranyat kaptak.

1315. Az ötödikes tanulók számát jelöljük x-szel!

5 6 7 82 5 2 43

. . . . Összesenx x x x-

x + (2x - 5) + 2x + x = 43; x = 88 ötödikes, 11 hatodikos, 16 hetedikes és 8 nyolcadikos jelentkezett a sítáborba.

1316. I. II. III. Összesen

x xx

22

6150


193

x xx

x+ + = =22

6150 45;

Az egyes dobozokban 45; 90 és 15 teniszlabda van.

1317. 3 kifli ára 66 Ft 110 % 22 Ft

1 kifli ára 22 Ft 1 %22

110 Ft

Ft = 20 Ft10022

110100% ◊Ê

ËÁˆ¯

A kifli ára 20 Ft volt az áremelés elôtt.

1318. T = 72 m2

1. nap72

3 m m2 2= 24

2. nap 48 m2 ◊ 0,75 = 36 m2

3. nap 72 m2 - 60 m2 = 12 m2

A 3. napon a kert területének x %-át ásták fel.

1272

10016 7=

◊ª

xx; ,

A 3. napra ª 16,7 %-nyi terület felásása maradt.

1319. Az óra 45 percenként 3 másodpercet késik. 12 óra = 16 ◊ 45 perc, összesen tehát 16 ◊ 3másodpercet fog késni éjfélig, azaz éjfélkor 11 h 59 min 12 s-ot fog mutatni!

1320. A kötél eredeti hossza x méter.

x xx

x- +ÊËÁ

ˆ¯= - =

2

37

44 36;

1321. Az öt tanuló zongorázik is, furulyázik is, ezért ha a zongorázók és a furulyázók számátösszeadjuk, az öt tanuló kétszer számoljuk. A felírható egyenlet

2x + x - 5 = 22; x = 918-an zongoráznak, 9-en furulyáznak.

1322. A könyv x oldalas.

xx x x

420

2

38 144+Ê

ËÁˆ¯+ -ÊËÁ

ˆ¯= =;

1323. f : k = 1 : 2 ez azt jelenti, hogy a polcon kétszer annyi könyv van, mint füzet.I. f = x, k = 2x

II. ( ) : ( ) :( ) ( );

x xx x x

+ - =+ = ◊ - =

2 2 3 2 33 2 2 2 3 12

Eredetileg a polcon 12 füzet és 24 könyv volt.

1324. a = 5x T = a ◊ b a = 10 cmb = 8x T = 40x2 b = 16 cm


194

c = 5x ◊ 0,6 160 = 40x2 c = 6 cmT = 160 cm2 x2 = 4 A = 632 cm2

A = x = 2

1325. Amíg mindenki vesz golyót a megadott rend szerint, egy-egy sorozat után 17-tel leszkevesebb a dobozban, ezt ötször tudják így végrehajtani.

5 ◊ 17 + y = 100A maradék 15 golyóból Ferinek jut még 6, Gézának is jut a feltétel szerinti 7, de Bélamár csak 2 golyót vehet ki, így neki 5 ◊ 4 + 2 = 22 golyója lesz.

1326. I. II.Elôször

Másodszor

x xx

xx

++

++

66

2

6

2A felírható egyenlet:

1 56

2

6

22, ;◊ + = + + =x

xx

x

Az elsô dobozban 8, a másodikban két golyó volt.

1327. Eredetileg az egyes fiókokban 12-12 füzet volt. Most 6 és 18 füzet van.

1328. A labda árának százasokra kerekített értéke 800 Ft. x hét múlva lesz meg a 800 Ft.416 + 24x = 800; x = 16

16 hét múlva megveheti a labdát.

1329. a) 23 éves b)23 11

1022

◊ -=

x; x = 33; 33 éves

1330.1

2

1

4

1

3

13

121+ + = > , ezért a feladatnak nincs megoldása.

1331. x szál virágot vettünk.

xx

x x- + ◊ÊËÁ

ˆ¯= =

5

4

5

1

415 25;

1332. TE = 93 036 km2 : 0,009 = 10 337 333 km2

TB ª 577 km2 ª 580 km2 = 580 000 000 m2 = 5,8 ◊ 108 m2

1333. 9 férfi 21 nô dolgozik a munkahelyen.

1334. A feladat következtetéssel könnyen megoldható. 504 mogyorót gyûjtöttek összesen, aszülôk 336, a nagyobb mókusgyerek 126 mogyorót gyûjtött.

1335. A tört: x

x - 2; a kétszerese

2

2

x

x -; x - 2 = 2x - 9.

7

5 a tört.

1336. A tört: x

x + 5, a reciproka

x

x

x

x

+=

++

5 14

4


195

( )( ) ( )x x x x

x x x x xx

x

+ + = ++ + + = +

==

5 4 14

5 4 20 1420 5

4

2 2

A tört: 4

9.

1337. A pókok száma A cserebogarak száma Összesenx x8 8-

8x + 6(8 - x) = 54; x = 3

3 pókot és 5 cserebogarat gyûjtött.

1338. ötös négyes hármas kettes egyes összes

x x x x2 4 1 1 1 30( )+ +

x + 2x + 4(x + 1) + (x + 1) + 1 = 30 + 2x + 4(x + 1) + (x + 1) + 1x = 30

3 ötös, 6 négyes, 16 hármas, 4 kettes és 1 egyes dolgozat van.

1339. 1 óra alatt óra alatt összesenKatiJuli

1015

200

xxx

1015

10x + 15x = 200; x = 8

8 órát dolgoztak. Juli 40 kg-mal szedett többet.

1340. I. II.VoltLett

xx x

57 5 7 2 7- + + -( )

12 + 2(x - 7) = 30; x = 16Az elsõ kosárban 16 alma volt.

1341.

T1

TT x

xx

1

1

2403 10

240 308

== ◊==

m m

2

2T x xTT

= ⋅= ⋅=

38 24192 m2

A rövidebb oldal 8 m, a kert területe 192 m2.

1342. Balázs nyert játszmáinak számát jelöljük x-szel!


196

A 2xB xK x + 1Összesen 21 játszma.

2 1 215

x x xx

+ + + ==

Andi 10, Balázs 5, Kati 6 játszmát nyert.

1343. A csoportok létszáma számtani sorozatot alkot.

Snd

a

10

1

30010

2

=== -=

Sa a d

a

a

101 1

1

1

9

210

3002 18

210

39

=+ +

◊

=-

◊

=

( )

Az egyes csoportokban dolgozók száma: 39, 37, 35, 33, 31, 29, 27, 25, 23, 21.

1344. Az osztályba x tanuló jár, ötös x

3, négyes x, így a feladat nem oldható meg, mert a

teljes osztály négyest kapott volna. A négyes és ötös osztályzatok száma már több lenneaz osztály létszámánál.Ha az ötösök számáról nem tudunk semmit, akkor x db ötös van, négyes 3x, hármas 2x,kettes x, egyes 4. Az osztályzatok összege 104.

5 4 3 3 2 2 4 1044

◊ + ◊ + ◊ + ◊ + ==

x x x xx

Ötöst 4, négyest 12, hármast 8, kettest 4 és egyest is négy tanuló kapott. Azosztálylétszám 32.

1345. Az osztály létszámát jelöljük x-szel.

lány fiú

I.3

7

II.

x x

x x

4

73

74

4

7+

3

74

4

728

x x

x

+ =

=Az osztályba eredetileg 28 tanuló járt.

1346. Marikának x Ft-ja volt.

Elköltött: x

2Ft-ot és kapott a maradékhoz 50 Ft-ot.

Lett: x

250+ Ft

Ennek 1

5 részét elköltötte, maradt

4

5 250◊ +Ê

ËÁˆ¯

xFt-ja.


197

Kap hozzá 40 Ft-ot, így 4

5 250 40◊ +Ê

ËÁˆ¯+x

Ft -ja lesz.

1

3 részét odaadta, így

2

3 rész maradt, ebbôl még 50 Ft-ot költött, maradt 350 Ft-ja.

2

3

4

5 250 40 50 350 1300◊ ◊ +Ê

ËÁˆ¯+

È

ÎÍ

˘

˚˙- = =x

x;

Marikának 1300 Ft-ja volt.

1347. J G V Összesenx x x+ + +5 5 3 43( )

x x xxx

+ + + + + ===

5 5 3 433 30

10

Jánosnak 15; Gábornak 10; Vilmosnak 18 almája van.

1348.1 2 3 4

52 8 4

+ + + += =

xx, ;

A négyes sorszámú cédula szerepel kétszer.

1349. I. II.Volt 2Lett

3-mal

x xx x2 10 10- > +

(2x - 10) - 3 = x + 10; x = 23

Eredetileg az elsô kosárban 46, a másodikban 23 tojás volt.

1350. Apa 7 percig, Ildi 14 percig, anya 9 percig készülôdik.

1351. A nôk száma x, akkor a férfiaké 2050 - x.

3

52050 0 4 820x x x= - ◊ =( ) , ;

820 nô és 1230 férfi dolgozik a gyárban.

1352. 20 %-kal csökkentették, akkor az új ár az eredetinek a 80 %-a, majd az így kapott árnaka 90 %-át kell fizetnünk.

(3000 ◊ 0,8) ◊ 0,9 = 2160

1353. A termék eredeti ára x Ft volt. A 30 %-kal csökkentett érték: 0,7x Ft. További 5 %-kalcsökkentett ár: 0,95 ◊ 0,7 ◊ x Ft. Az ezutáni áremeléssel kapott ár: 1,4 ◊ 0,95 ◊ 0,7 ◊ x Ft.

1,4 ◊ 0,95 ◊ 0,7 ◊ x = 6275Az eredti ár 6740 Ft volt.


198

1354. 24 ◊ 1,05267 ª 10 908 2251992. év végén 10 908 225 dollárjuk lett volna.

1355. 200 + 200 ◊ 1,1 + (200 ◊ 1,1) ◊ 1,1 + (200 ◊ 1,12) ◊ 1,1 + 200 ◊ 1,13 ◊ 1,1 = 1221Egy mértani sorozat elsô öt tagjának az összege. Általánosan így számolhatunk:

S aq

qn

n

= ◊--

1

1,

ahol Sn n tag összege, a a kezdô tag, q az egymást követô tagok hányadosa, n a tagokszáma.

1356. I. 251

4% = rész; II.

1

4 rész

3

2 része =

3

8 rész; III.

1

4

3

82

5

16 rész rész rész+Ê

ËÁˆ¯

=:

A maradék részt így határozzuk meg:

11

4

3

8

5

161

4 6 5

16

1

16- + +ÊËÁ

ˆ¯= -

+ +=

I.1

4 rész +

1

16 rész : 3 =

13

48 rész

II.3

8 rész +

1

16 rész : 3 =

19

48 rész

III.5

16 rész +

1

16 rész : 3 =

16

48 rész

1357. Eredeti ár legyen x Ft.(x ◊ 0,8) ◊ 0,75 lett a végsô ár.(x ◊ 0,8) ◊ 0,75 ◊ y = x fi 0,8 ◊ 0,75 ◊ y = 1; y ª 1,67A vásár végén 67 %-os áremelést hajtottak végre.

1358. A pénzünk x Ft, 3 év múlva az

elsô bankban Ft, a másodikban Ft[( , ) , ] , ,, ,

x xx x◊ ◊ ◊ ◊

ª ◊ > ◊115 115 115 1 51 52 1 5

Az elsô bankot kell választani!

1359. Adrien induló tôkéje x Ft. Az egy évi kamat:

I. II. III. Összes Ft( , ) , ( , ) , ( , ) ,0 7 0 33 0 25 0 26 0 05 0 17 9135x x x◊ ◊ ◊ ◊

0 231 0 065 0 0085 91350 3045 9135

30 000

, , ,,

x x xxx

+ + ===

Az induló tôke 30 000 Ft volt.


199

1360. A 4 m2 30 %-a 1,2 m2. Azt kell meghatároznunk, hogy ez hány százaléka a 6 m2-nek.

1 2

6100 20

,◊ =

A tulipános terület 20 %-kal csökken.

1361. Jelöljük a középsô testvérre jutó részt x-szel.

(x + 600) + x + (x - 600) = 12 000; x = 4000

A legidôsebb 4600 Ft-ot, a középsô 4000 Ft-ot, a legkisebb 3600 Ft-ot kap.

1362. Jelöljük az elsô könyvszekrényben lévô könyvek számát x-szel, akkor a másodikban100 - x van.

xx

xx

x- - = - + + =3

6 1003

6 84;

Az elsô szekrényben 84 könyv volt, a másodikban 16.

1363. 2 Ft - os(db)

5 Ft - os(db)

Értéke(Ft)

I.

II.

x x x x

x x x x

18 2 5 18

18 2 18 5

− + ⋅ −

− ⋅ − +

( )

( )

2 2 18 5 18 2 52 2 90 5 36 2 5180 4 10 36 3

144 916

◊ + - ◊ = - ◊ ++ - = - ++ - = +

==

[ ( ) ] ( )( )x x x x

x x x xx x x

xx

16 db 2 Ft-osa és 2 db 5 Ft-osa, azaz 42 Ft-ja van.Ha fordítva lenne, akkor 2 db 2 Ft-os és 16 db 5 Ft-os, 4 Ft + 80 Ft = 84 Ft-ja lenne.

1364. A létrafokok közötti különbséget jelöljük x-szel, akkor250 80 2 3 4

15= + - + - + - + -=

(80 ) (80 ) (80 ) (80 )x x x xx

A létrafokok közötti különbség legfeljebb 15 cm lehet. A létra fokai 80 cm, 65 cm,50 cm, 35 cm, 20 cm hosszúságúak lehetnek.

1365. x-szer kell 2-2 diót adni. Így:16 + 2x = 2(5 + 2x); x = 3

Háromszor kell 2-2 diót adnunk, hogy az elsônek kétszerannyi diója legyen, mint amásodiknak.


200

1366. Hány nap alatteszi meg az egészet?

Hányadrészéteszi meg 1 nap alatt?

nap alatthányadrészét eszi meg?

A ló 301

30

A kecske 901

90

A juh 1201

120

x

x

x

x

30

90

120

Együtt megeszik x nap alatt az egészet.

x x xx

30 90 1201 19

360

19+ + = ª =Ê

ËÁˆ¯

; nap nap

1367. x nap alatt kövezik ki együtt az utat.11x + 13x = 120; x = 5

5 nap alatt kövezik ki a 120 m-es utat.

1368. 100 = 10x + 15x; x = 44 perc alatt telik meg a kád.

1369. 10 = 2,5x - 0,5x; x = 5Az 1000 l = 10 hl-es tartály így 5 óra alatt telik meg.

1370. Hány óra alatttölti meg külön?

1 óra alatt hányadrészét tölti meg?

óra alatt hányadrészét tölti meg?

1. csap

2. csap

3. csap

x

x

x

x

61

6 6

41

4 4

31

3 3

Együtt x óra alatt töltik meg az egész tartályt!

x x x

x x x

x

6 4 31

2 3 4 1212

9

4

3

+ + =

+ + =

= =

1 óra 20 perc alatt telik meg a tartály a 3 csövön keresztül.

1371. A kiürülés a töltés ellentettje!a) 950 = 500x + 300x - 200x - 500x; x = 9,5

9,5 óra alatt telne meg a kád.b) A második lefolyó csak fél órán át engedi ki a vizet.


201

950 500 300 200 5001

21200 600

2

= + - - ◊

==

x x x

xx

Így 2 óra alatt telik meg a kád.

1372. Hány óra alatttölti meg?

1 óra alatt hányadrészét tölti meg?

óra alatt hányad -részt tölt meg?

1. csap

2. csap

Hány óra alattüríti ki?

1 óra alatt hányad -rész folyik ki?

óra alatt hányad -rész folyik ki?

lefolyó 151

15

x

x

x

x

x

101

10 10

51

5 5

15

x óra alatt az egész medence tele lesz.x x x

x10 5 15

130

74 3+ - = = ª; ( , )

Így 30

7 óra alatt telik meg a medence.

1373. Az elôzô táblázatot egyszerûsíthetjük, ha figyelembe vesszük, hogy a kiürítés negatívtöltés!

Hány óra alatttölti meg?

1 óra alatthányad részét?

óra alatthányadrészt?

1. csap

2. csap

lefolyó

x

x

x

x

101

10 15

151

15 10

51

5 5− −

x óra alatt telne meg teljesen a medence.

x x xx

15 10 51 30+ - = = -;

Soha nem telne meg a medence, illetve a teli medence 30 óra alatt ürülne ki, ha lefolyóés a két csap egyidejûleg nyitva van.


202

1374. Az egyik percenként 1

3 részét, a másik a pálya

1

5 részét futja be. x perc alatt

x

3 részt

illetve x

5 részt futnak, de ekkor éppen egy teljes pályahosszat tesznek meg együtt.

x xx

3 51

15

8

15

8+ = =; ; perc = 1,875 perc

15

8 percenként találkoznak.

1375. Ha az elsô brigád fele létszámmal dolgozik, az a brigád számára kétszeres munkaidôtjelent.

Ennyi napszükséges

1 nap alatt ennyirészt ásnak

nap alatt ennyirésszel végeznek

I.

II.

III.

x

x

x

x

101

10 10

4 51

4 5 4 5

41

4 4

,, ,

x nap alatt készen lesznek az egész gyümölcsös felásásával.

x x xx

10 4 5 41

180

1031 75+ + = = ª

,; ,

1376. Ennyi óra alatttelik meg

1 óra alatt ennyiedrész telik meg

óra alatt ennyiedrész telik meg

1.

2.

3.

lefolyó 9

x

x

x

x

x

121

12 12

81

8 83

8

3

81

9 9- -

A kifolyás negatív töltôdés.

x x x xx

12 8

3

8 91

72

342 1+ + - = = ª; ,

A medence közelítôleg 2,1 óra alatt telik meg.

1377. Tomi munkaideje: (3 + x) napKarcsi munkaideje: (3 + 5) nap

(3 + x) ◊ 30 + (3 + 5) ◊ 45 = 600; x = 5

Pontosan be tudja fejezni, ha szombaton és vasárnap is dolgoznak. (3 + 5 + 5 = 13)


203

1378. 1 óra alattennyied rész

Munkaidôórákban

A felásottrész

Árpád

Géza

1

165

5

161

125

5

12+

+x

x

Együtt felásáták az egészet.

5

16

5

121

13

4++

= =x

x;

Gézának még 31

4 órát kellett dolgoznia.

1379. v t s

x x

x x

(km / h) (h) (km)

I.

II.

3 5 3 5

4 5 4 5

, ,

, ,

Találkozásukig ketten együtt megteszik a teljes utat.

3,5x + 4,5x = 24; x = 3

3 óra múlva talákoznak, azaz 11 órakor.

1380.

4 5 2 3 5 182

, ,x xx

+ + ==

4 5 3 5 2 182 5

, ,,

x xx

+ - ==

14 órakor és 14 óra 30 perckor lesznek egymástól 2 km távolságra.

1381. Ugyanannyi ideig kerékpároztak, a gyorsabb 1 körrel többet tett meg, ezért

8 6 240120

x xx= +=

120 s alatt a gyorsabb 960 m-t kerékpározik, a lassúb 720 m-t, így 4 kört tesz meg agyorsabb.

Más megoldás:

k xl x

k xl x

◊ =◊ =

¸˝˛fi ◊ =

◊ =240 8240 6

3040

30 és 40 legkisebb közös többszörösét keressük, az 120. k = 4, l = 3.

1382. A gyorsabb óránként 10 km-rel tesz meg többet, tehát pontosan 1 óra múlva körözi le alassúbb autót.


204

1383. 4 2 122

x xx

+ ==

Délután 4 órakor találkoznak. Az egyik 8 km, a másik 4 km utat tesz meg.

1384. Pista 1

5 óra = 12 perc alatt ér az iskolához, Gábor

1

2 óra = 30 perc alatt. Így Gábornak

18 perccel kell hamarabb indulnia.

1385. Bea s méterre lakik az iskolától, menetideje 10 min. Anna 2s méterre lakik, haugyanolyan gyorsan halad, mint Bea, akkor kétszer annyi idôre van szüksége, így Anna7 óra 10 perckor indul.

1386. v t s

x x

x x

(km / h) (h) (km)

I.

II.

16 16

18 1 18 1− −( )

A gyorsabb kerékpáros menetideje 1 órával kevesebb, vagy a lassúbbé 1 órával több. Amegtett út ugyanakkora.

16x = 18(x - 1); x = 9

A lassabban haladó 9 óra alatt, a gyorsabb 8 óra alatt ért a városba. A falu és a várostávolsága 144 km volt.

1387. v t s

A x x

B x x

(km / h) (h) (km)

3 3

4 2 4 2− −( )

3x + 4(x - 2) = 27; x = 513 órakor talákoznak.

1388. Gondolkozzunk hasonlóan, mint az 1386. feladatban! Bea menetideje 31

3 óra, a falu

40 km-re volt.

1389. Ha csak busszal utazik 1

2 órát tölt úton, oda

1

4 óra az út busszal. Vissza gyalog

11

2

1

4 h h = 1

1

4 h- . Oda-vissza gyalog 2 1 h = 2

1

2 h◊

1

4.

1390. ts

v= ; t1

15 1

5= =

km

75 km

h

h ; t210 1

6= =

km

60 km

h

h

A második úton 2 perccel hamarabb érünk oda.


205

1391. Az 1381-es feladat megoldásában leírt gondolatmenetet követjük. 750 s múlva lesznekújra együtt.

1392. Jelöljük a pálya hosszát x-szel. Árpi sebessége x

18; Bandié

x

24. Árpi

x x x

18 24 72- =

egységgel hosszabb utat tesz meg percenként.

A félpálya hátrány ledolgozásához x x

2 7236: =Ê

ËÁˆ¯

perc szükséges.

1393. 1 5 50 1 5 70 1206

7

, ( , )◊ + - ◊ =

=

x

x

A gyorsabb motoros 6

7 órával, közelítôleg 51 perccel indult késôbb.

1394. A kerékpáros sebessége: 15 km : 5

6 h = 18

km

h

A gyalogos sebessége: 15 km : 3 = 5 km

hHa a gyalogos x óráig volt úton, akkor a kerékpáros x - 1 óráig kerékpározott.

5 18 1 1533

23

x x

x

+ - =

=

( )

A gyalogos indulási helyétôl 533

23◊ km -re, azaz közelítôleg 7,2 km-re találkoznak.

1395. Az 1380-as feladatban leírtak szerint gondolkodhatunk. Indulásuktól számítva 15másodperc, illetve 35 másodperc múlva lesznek egymástól 120 m távolságra.

1396. 2 40 6 40 8 50 6 50 8630

xx= ◊ + ◊ + ◊ + ◊=

Induláskor 630 m-re voltak egymástól.

1397. 4 61

23 4 1+ -Ê

ËÁˆ¯= + =x x x;

Elindulásuk után 11

2 óra múlva éri utol,

az indulási helytôl 7 km-re.

1398. Mivel a két csónak 1 óra múlva találkozik, a dongó repülési ideje is 1 óra, sebesség

pedig 10 km

h, így éppen 10 km-t repül a találkozásig.

4 11

2

km

h h + 6

km

h h◊ ◊ -Ê

ËÁˆ¯

x

61

2

km

h h + 4

km

h h◊ ◊ x


206

1399. 6 250021 2500

6 2127

15

◊ + =◊ - =

¸˝˛

+ = -

=( )( )

( ) ( )x yy x

x y y x

yx

627

152500 148 8

267 86

◊ +ÊËÁ

ˆ¯= =

=

xx

x

y

,

,

m

perc

m

perc

A lassúbb 2,48 m

s, a gyorsabb 4,46

m

ssebességgel halad.

1400. ( )( )

x xx x

x+ ◊ > >- ◊ < <

¸˝˛

< <20 8 720 7012 10 720 84

70 84

A tényleges napi út 70 km-nél több 84 km-nél kevesebb.

1401. Mivel a személyszállító vonat késôbb indul, a menetideje kevesebb.

v t s

T x x

Sz x x

(km / h) (h) (km)

35 35

60 2 5 60 2 5− −, ( , )

35 60 2 56

x xx= -=

( , )

12 órakor éri utol, ekkor Szegedtôl 210 km-re lesznek.

1402. 10(x + 9) = 12x; x = 45

Az egyik átlagsebessége 45 km

h, a másiké 54

km

h. A két végállomás távolsága

540 km.

1403. 6(x + v) = 8(x - v); x = 7vÍgy az út hossza 6 ◊ (7v + v) = 48v, ahol v a folyóvíz sebességét jelöli. A tutaj tehát 48 halatt teszi meg az utat.

1404. Jelöljük az A-ból induló vonat sebességét vA-val, a találkozás utáni menetidejét tA-val, aB-bôl induló sebességét vB-vel, a találkozás utáni menetidejét tB-vel.Két lehetséges eset:

a) t

v

A

A

=

=

3 6216

3 6

,

,

h

km

h

Mivel a találkozásig ugyanannyi a menetidô


207

v v

v v

v t

B A

B A

B B

: :

;

=

= ◊

= =

216 270216

270

48270

48

km

h h = 5,625 h

A másik vonat A-ba ª 14 óra 38 perckor érkezik.

b) t

v

A

A

=

=

3 6270

3 6

,

,

h

km

h

v

t

B

B

= ◊ =

=

270

3 6

270

21693 75

216

93 75

,,

,

km

h

km

h

h = 2,304 h

A B-bôl induló vonat ª 11 óra 18 perckor érkezik A-ba.


V

x x

x x

(cm (g / cm Anyagmennyiség (g)

I. 100

II.

Ö.

3 3) )

, ,

, ,

,

r0 8 0 8 100

1 2 1 2

100 1 80 1 2

⋅⋅

+ +

1 ◊ (100 + x) = 80 + 1,2x; x = 100

1406. 300 ◊ 0,4 + 300 ◊ 0,5 = 600 ◊ x; x = 45

1407. Az ecet mennyisége az x l 10 %-os oldatban ugyanannyi lesz, mint az 1 l 2 %-osban

0,1x = 0,02; x = 0,2

2 dl 10 %-os ecet és 8 dl víz szükséges.

1408. Az 1407-es feladat gondolatmenetét követve x = 0,6, azaz 6 dl szesz és 4 dl víz.

1409. 24 = (x + 16 + 24) ◊ 0,5; x = 8Még 8 g víz kell, hogy az oldat 50 %-os legyen.

1410. 25 ◊ 0,9 = (25 + x) ◊ 0,75; x = 5 (g)


Az oldattömege (g)

Százalékosösszetétele (%)

A benne lévô savmennyisége (g)

I. 5 0,8

II.

Együtt

5 80

100 1

5 95 5 0 95

⋅⋅

+ + ⋅x x

x x( ) ,

5 ◊ 0,8 + x = (5 + x) ◊ 0,95; x = 15 (g)


208

1412. Az oldatmennyisége (l)

Erôssége fokban(százalékos összetétel)

Az oldatban lévô alko -hol mennyisége (l)

I. 0,4

II.

Összeöntve

x x

x x

40

0 5 70 0 7 0 5

0 5 48 0 48 0 5

, , ,

, , ( , )

⋅+ +

Az alkoholtartalom összegzôdik.

0,4x + 0,7 ◊ 0,5 = 0,48(0,5 + x); x = 1,375

1,375 liter 40 fokos alkoholt kell hozzáönteni, hogy 48 fokos legyen az oldat.

1413. A maradék 8 liter 70 fokos (%-os) kénsavban a kénsav-tartalom (8 ◊ 0,7) l = 5,6 l. Havizet öntünk hozzá, a folyadékban továbbra is 5,6 l marad a kénsav-tartalom.Az oldat mennyisége 10 l. A benne lévô kénsav 5,6 l. x fokos az oldat.

10

1005 6 56

◊= =

xx, ;

A kénsav 56 %-os lesz a víz hozzáöntése után.

1414. a) Legyen a felhasznált 90 %-os sav tömege x kg, akkor a 70 %-osból (1 - x) kgszükséges.

x ◊ 0,9 + (1 - x) ◊ 0,7 = 0,8; x = 0,5

0,5 kg 70 %-os és 0,5 kg 90 %-os kénsav összeöntésekor kapunk 1 kg 80 %-oskénsavat.

b) Az elôzôhöz hasonlóan okoskodva:

0,9x + 0,7 ◊ (1 - x) = 0,75; x = 0,25

0,25 kg 90 %-os, 0,75 kg 70 %-os sav összeöntésekor 1 kg 75 %-os savat kapunk.

c) 0,9x + 0,7(1 - x) = 0,82; x = 0,60,6 kg 90 %-os, 0,4 kg 70 %-os sav összeöntésekor 1 kg 82 %-os savat kapunk.

1415. A 12 %-os 220 g cukoroldat cukortartalma ugyanannyi, mint a (220 + 80) g cukorolda-té, amely x %-os.

220 0 12 220 80100

8 8◊ = + ◊ =, ( ) ; ,x

x

A víz hozzáöntésével kapott, hígított oldat 8,8 %-os lesz.

Az 1416., 1417., 1418. feladatok megoldásakor használjuk a fizikában tanult összefügéseket.


209

1416. mmTTT

1

2

1

2

140 0 14606432

= === ∞= ∞=

g kg g = 0,06 kgCC

, c m T T cm T Tm T m T m T m Tm T m T m T m T

Tm T m T

m m

T

◊ ◊ - = -◊ - = -+ = +

=++

=◊ + ◊

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

1 20 14 64 0 06 32

0 2

( ) ( )

, ,

,

A keverék hômérséklete 54,4 ∞C.

1417. mT

mTT

1

1

2

2

12 5607 5

45

== ∞=== ∞

,

,

kgC

kg

C

Az 1416. feladatban szereplô képletet használjuk, beszorzás után T2-t fejezzük ki.

Tm T m T m T

m

T

21 2 1 1

2

220 45 12 5 60

7 5

=+ -

=◊ - ◊,

,

A hideg víz hômérséklete 20 ∞C.

1418. Az 1416. feladat képletének megfelelô átalakítása után

mm T T

T Tm

12 2

1

1 33

=--

=

( )

33 kg, azaz ª 33 liter 76 ∞C-os víz szükséges.

1419. Oldat tömege (kg) Töménysége (%) Az oldott só tömege (kg)

I.

II.

10 30 10 0 3

10 50 10 0 5

⋅− − ⋅

,

( ) ,x x

Az oldott só tömege közben sem változott.

10 ◊ 0,3 = (10 - x) ◊ 0,5; x = 4

4 kg vizet kell elpárologtatni.


210

1420. a = 15,2 mb = 15,2 m ◊ 1,2 = 18,24 mT = a ◊ b

Ha 25 %-kal növeljük az egyik oldalt,akkor az 125 % lesz. Így

( , )

,

a bx

a b

x

x

◊ ◊ ◊ÊËÁ

ˆ¯= ◊

◊=

=

1 25100

1 25

1001

80

a ◊1 25,

bx◊

100

A másik oldalt 80 %-ára kell változtatni, azaz 20 %-kal kell csökkenteni.

1421. Legyen az egymást követô három természetes szám n - 1; n; n + 1. A két háromjegyûszám különbsége:

100 1 10 1 100 1 10 1 198100 100 10 1 100 100 10 1 198

200 2 198

( ) ( ) [ ( ) ( )]n n n n n nn n n n n n+ + + - - - + + + =+ + + - - + - - - =

- =Azonosságot kaptunk, ennek alapján nem találhat oda.

1422. A: x B: x - 2 E: 2xA: x B: x - 2 E: 2x - 4

2 4

22

xx

-= - ; azonosság

Attól függ, hogy ki mennyi almát vett, hogy Ancsa mennyit vásárolt.

1423. L: x T: x

22+ F: 2

22◊ +Ê

ËÁˆ¯

x

xx

+ = ◊ +ÊËÁ

ˆ¯

4 22

2 ; azonosság

Nem tudjuk kinek hány bélyege van, csak a kötzük lévô kapcsolatot ismerjük.

1424. A gondolt szám: x

x x-ÊËÁ

ˆ¯◊ + =

1

23 1 5 3, ; azonosság

A gondolt szám bármely valós szám lehet.

1425. K: x T: 3x - 4 M: 4x + 7

x + (3x - 4) + 11 = 4x + 7; azonosság

Legkevesebbet Kata sütött. Ha x = 1, akkor Kata 1, Tündi -1 palacsintát sütött volna, demindenkinek legalább egy sikerült, ezért Kata legalább kettôt, Tündi is kettôt, Mesipedig 15 palacsintát sütött.


211

1426. Rövidláb Róbert mindig 4

3-szor annyit lép, mint Hosszúláb Hugó.

1427. B.a.: x J.a.: 2x + 3 F: 3x + 3

x + 2x + 3 = 3x + 3; azonosság

Attól függ, hogy hol mennyi pénz van, hogy a bal alsó zsebbe mennyi kerül.

1428. A kétszeri növelés után az ifjabbtestvér parcellájának oldalai x + 1hosszúak.

x x x x xx x x

2

2 21 1 1

2 1 1+ + + = + +

+ + = +( ) ( )( )

( ) azonosság

Ennyi adat ismeretében nem dönthetô el, mekkora volt a parcella eredetileg.

1429. A gondolt szám: x. (2x + 5) ◊ 4 - 8x a kijelölt mûveletek elvégzése után 20-at kapunk,azaz a mûveletsor eredménye független a gondolt számtól.

1430. A keresett szám x.

3 - (x + 1) ◊ 3 = 3x; x = 0

1431. Ernô órabére: (x + 5) Ft Ferenc órabére x Ft.

(x + 5) ◊ 40 - 40x = 200; azonosság

Ernô órabérét csak Ferenc órabérének ismeretében tudjuk meghatározni.

1432. A tôke x millió Ft.

( )x x xx x x- ◊ + - =- + - =4 3 12 2

3 12 12 2 azonosság

4 millió Ft-nál több volt a tôke, de hogy mennyi azt nem tudjuk.

1433. x Ft-om volt.

x x

22 2

45 4-Ê

ËÁˆ¯

- + =: ; azonosság

Ha x ¤ 4, akkor minden racionális szám igazzá teszi az egyenlôséget. Az eljárás miatt az5 Ft-os hozzátételekor 1 Ft adósságunk volt.

1434. A szöveg szerint 4 ◊ 3 = 6 ◊ 2 azonossághoz jutunk. A rakomány mennyiségérôl, araktári készletrôl semmit nem tudunk.

x2( )x +1 2


212

1435. I. II. III.2

3

2

320

2

32x x x+ ◊

2

3

2

320

2

32 20x x x+ +Ê

ËÁˆ¯= ◊ + ; azonosság

Semmit nem tudunk a must mennyiségérôl.

1436. piros kékx x

x x x189

52 189 19 78-

+ = - + =78 piros és 111 kék golyó volt eredetileg.

1437. Jelölje az egyes gyümölcsök mennyiségét b, k, s.

b kk ss b

+ =+ =+ =

433239

2 2 2 114575714 32 14 18 25

b k sb k s

s b ks k b

+ + =+ + =

= - += = - = =

( ); ;

Ôszibarackhoz 11 kg-hoz 0,25 kg 25 kg-hoz 0,25 kg ◊ 25 = 6,25 kg

Körtéhez 11 kg-hoz 0,21 kg 18 kg-hoz 0,21 kg ◊ 18 = 3,78 kg

Szilvához 11 kg-hoz 0,2 kg 14 kg-hoz 0,2 kg ◊ 14 = 2,8 kgAnyuka összesen 6,25 kg + 3,78 kg + 2,8 kg = 12,83 kg cukrot használt fel.

1438. Jelöljük a drágább folyóirat árát x-szel, az olcsóbbét y-nal.

Eladott mennyiség Értéke (Ft) Összesítve az érték (Ft)H. d:

o:4 db

12 dbK. d:

o:2 db

12 db

412

764 332

210

764

xyxy

+

4 12 10962 10 7644 12 10964 20 1528

8 43254

x yx yx yx y

yy

+ =+ =+ =+ =

==

Szorozzuk a második egyenletet2 - vel és vonjuk ki ebbôl az elsô egyenletet!


213

Az y-ra kapott értéket helyettesítsük a második egyenletbe!

2 10 54 7642 224

112

xxx

+ ◊ ===

A drágább folyóirat 112 Ft-ba, az olcsóbb 54 Ft-ba került.

1439. Jelöljük D-vel Dezsô, P-vel Pista plakátjainak számát (a tanév végén)!

D PP D

D DD D

DD

P P D

P P

+ =+ - = + + ◊

- + - = + + ◊- = +

==

= -

= - =

674 2 2 7 2

67 4 2 2 7 269 2 18

51 317

67

67 17 50

( ) [( ) ][( ) ] [( )

;

Fejezzük ki az elsô egyenletbôl - t! Írjuk be a 2. egyenletbe!

Dezsônek 17, Pistinek 50 plakátja volt a tanév végén.

1440. Legyen a két természetes szám k és n.

k nk

n

kk

k k

n k

k n

: :

: ( ) :

: (3 )

;

=

+ =

+ =

=+

fi =

= =

1 3

36 1 10

36

1

10

3

3 6

10

3

18 54

Ezt a 2. egyenletbe helyettesítve:

;

1441. Kati képeslapjainak számát jelöljük K-val, Zsuzsiét Z-vel!

K ZZ K

Z ZZ Z

K Z

Z K

+ = ◊ -+ = -

+ + = -+ = -

fi = +

= =

5 2 53 3

6 5 2 1011 2 10

6

21 27

( )

( ); ;

Helyettesítsük az elsô egyenletbe!

1442. A gyerekek tömegét jelöljük A-val, B-vel, C-vel!

A B CA BA C

CA

ABB

+ + =+ =+ =

=+ =

=+ =

=

15310510148

48 10153

53 10552

Vonjuk ki az elsôegyenletbôl a másodikat!

Helyettesítsük a harmadikba!

Helyettesítsük a második egyenletbe!

Albert 53 kg, Béla 52 kg, Csaba 48 kg tömegû.


214

1443. A piros kartonok száma legyen p, a kék kartonok száma k (eredeti állapot)!

p kp k

p ppp

k p

k

+ =+ ◊ = ++ = - +

==

fi = -

=

42235324 4 2641

4 1296 42235 26415 43580

8716

42235

33519

( )

8716 piros és 33519 kék karton volt.

1444. Az egyik hajón x utas, a másikon y utas volt.

x

yx y

x

y

y y y x

= fi =

-+

=

- = + = =

5

4

5

420

2

4

55

420

4

52 48 60

Helyettesítsük ezta második egyenletbe!

( ) ; ;

1445. Legyen az elsô és utolsó jegy x, a két középsô y. Akkor a választott szám:

1000x + 100y + 10y + x

A következô két feltételbôl felírhatjuk az egyenletrendszert!

2 2 201 4

2 2 4 2010 20

2

4

8

x yx y

x xxx

y x

y

+ ==

+ ◊ ===

fi =

=

: :

;

A választott szám 2882.

1446. Jelöljük a tizesek helyén álló számjegyet x-szel, a másikat y-nal.

10 3 5 0 59

x y n y yx y+ = ◊ ◊ fi = =+ =

Utolsó számjegye 0, vagy 5, azaz vagy .

y π 0, mert akkor a számjegyek összege nem lehet 9, ha azt is figyelembe vesszük, hogya számjegyek különbsége 1.Tehát y = 5 és x = 4. A 4 négyzetszám. A kétjegyû szám 45, ennek négyzete 2025.

1447. Jelöljük a keresett számot n-nel!

2n ¤ 3 ◊ (n - 5)1

2n ¤ 3n - 15 ◊ ()

15 ¤ n3 - 15 ◊ ()


215

1448. Legyen a szám x!

3

2

2

32 6 10

2 6 18 3024 163

2

x x

x xx

x

- > -

- > ->

>

Szorozzuk az egyenlôtlenség mindkét oldalát 3- mal!

1449. Az idén kapott tankönyvek száma legyen x!

xx

3

23

611 5> >; ,

Legalább 12 tankönyvet kaptunk az idén.

1450. Ha x-szel jelöljük az 1 kg gyümölcs árát, akkor a következô két egyenlôtlenségetírhatjuk fel, melyeknek egy idôben kell taljesülnie

4 160 40

6 180 30 30 40

x x

x x x

£ ££

fi> > <

1 kg gyümölcs ára 30 Ft-nál több, 40 Ft-nál nem több.

1451. 10 540

3 2< ◊<

mm

A hasáb magassága 40 cm-nél több kell, hogy legyen.

1452. Most x db cipôt készítenek.

6 4 24

x xx> +>

( )

Naponta 4-nél több cipôt készítenek.

1453. Dóra x kg diót szedett!

A: 2 ; B: 3 ; C: ; D: 2 ;x x x

x x x x x

¤ ¤ ¤ ¤5 5 2 5 5

2 3 2 142 20

++ + + + < <

UVW( ) ;

A két egyenlôtlenség közös megoldása:

5 £ x < 20

Dóra legalább 5 kg diót szedett, de 20 kg-nál kevesebbet!

1454. A gôzhajó teljesítménye x LE; a gôzmozdonyé (x - 35) LE.

x + (x - 35) < 200; x < 117,535 < x < 117,5


216

A gõzmozdony teljesítménye kevesebb, mint 82,5 LE.

1455. A háromszög bármely két oldalánakösszege nagyobb a harmadik oldalnál.

x x x xx x

x

+ > + >> >< <

2 18 18 26 18

6 18

A legrövidebb oldal 6 cm-nél hosszabb, 18 cm-nél rövidebb.

1456. A gondolt szám x.

( );

5 2 6

213 3

xx x

- ◊< <

A gondolt szám: 0; 1 vagy 2.

1457. A rövidebb sorban x ember állt.

2x - 4 < x + 3; x < 7

és 4 ember csak úgy távozhatott a hosszabb sorból, ha ott legalább négyen álltak, azaz

x ¤ 2.

2 £ x < 7; 4 £ 2x < 14A rövidebb sorban kettônél nem kevesebb, hétnél kevesebb, a hosszabb sorban 4-nélnem kevesebb, de 14-nél kevesebb várakozó volt.

1458. Külön-külön x Ft-ot kaptak.

xx

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

12 £ x - 24; x ¤ 24

Legalább 24 Ft zsebpénzt kaptak.

1459. Ha minden pénzemet feltettem a játékra, akkor

3x - 1000 < x; x < 500

Legfeljebb 490 Ft-ot költhettem.

1460. K < 2(x + 14)K = x + 2(x - 5) + (x + 14)

x x x xx

xx

+ - + + < +<

- >¸˛< <

2 10 14 2 2812

5 05 12 ;

1461. A Béka Géza által megevett legyek száma x. 1 légy = 2 szunyog.


217

2 17 3 2 208 5

◊ + > +>

xx,

Béka Géza legfeljebb 8 legyet ehetett.

1462. A kétjegyû szám 10(x + 6) + xA jegyek felcserélésével kapott szám 10x + (x + 6)

10 6 10 6 20

54 20

( ) [ ]x x x x+ + - + + ¤¤ mindig igaz

Ezért a feltételeknek eleget tevô számok: 60; 71; 82; 93.

1463. Az elsô könyv x lapos, ebbôl x - 50 csak írásos lap. A második könyv 2x lapos, ebbôl2x - 200 ábra nélküli, az ábra nélküli lapok fele x - 100.

x - 50 > x - 100 azonos egyenlôtlenség

Az ábrák miatt x ¤ 50. Az elsô könyv legalább 50 lapos.

1464. Petinek és Palinak x kutyája volt.

Peti Pali

A kutyáik száma fialás elôtt

A kutyáik száma fialás után

x x

x x

++2

3 3 2( )

Peti még kapott 8 kiskutyát, így:

3x + 8 > 3(x + 2) azonos egyenlôtlenség

Eredetileg akárhány kutyájuk lehetett.

1465. A beszélgetés alapján a következô egyenlôtlenség írható fel:

2(x + 50) > x + x + 100

ellentmondás, mert a két kifejezés egyenlô egymással.

1466. A tavalyi üvegek száma x.

2x + 5 ¤ 2(x + 1) azonos egyenlôtlenség

Bármennyit tehetett el a nagymama.

1467. Libák Tyúkok

azonos egyenlôtlenség, ha

x x

x x x

x x x

2 12 12

2 2 24 12

> - + -> -

( ) ( )

.¤1468. Ha minden kártya legalább ötöt ér, akkor a kártyákon az 5; 6; 7; 8; 9 számok

szerepelnek. Legrosszabb esetben az 5; 6; 7; 8 számokat húzzuk. 5 + 6 + 7 = 18 máreleget tesz a feltételeknek, tehát biztosan nyerünk.A kihúzott lap: x.


218

5 6 7 180

+ + +⎫⎬⎭

xxx

¤¤

nincs azonos, ezért > 7Mindig nyerünk.

217

FÜGGVÉNYEK

Hozzárendelések

1469. A rendezett párok a következõk lehetnek:(2; 1) , (2; 2)(4; 1) , (4; 2) , (4; 4)(6; 1) , (6; 2) , (6; 3) , (6; 6)(8; 1) , (8; 2) , (8; 4) , (8; 8)a) A 2 az egyetlen olyan páros szám aminek pontosan két osztója van. Ezért a 2 az

egyetlen páros prím.b) A felhasznált egyjegyû páros számok közül a 6 és a 8 is négy osztóval rendelkezik.c) A reláció nem függvény, hiszen egy számhoz több számot is rendelhetünk.

1470. A = 11; 13; 15; 17; 19Alkossunk rendezett (a; b) elempárokat, ahol b az a pozitív osztóinak a számát jelentse:(11; 2) , (13; 2) , (15; 4) , (17; 2) , (19; 2)a) A halmazból egyedül a 15 lesz összetett szám, azaz az összes többi prím. A 15-nek

4 pozitív osztója van.b) A megadott hozzárendelés függvény.

1471. a) A verseny végeredménye 24 féleképpen alakulhatott, hiszen az elsõ helyre négy, amásodikra három, a harmadikra kettõ, az utolsó helyre már csak egy lehetõségadódhat. Ezek szorzata adja a végeredményt.

b) Mivel Antal nem lett elsõ, és Béla második lett, ezért az elsõ helyen kettenvégezhettek. A második Béla lett. A harmadik helyen szintén ketten végezhettek, azutolsó helyen így már csak egy lehetõség marad. A lehetséges sorrendek száma:2 ◊ 2 = 4.

1472. a) A relációk megadására használhatunk rendezett számpárokat, nyíldiagrammot,táblázatot vagy koordináta-rendszerben is ábrázolhatjuk az egymáshoz tartozóértékeket. Néhány példa:

1. (-2; 1) , (0; 2) , (2; 3)

2.

3. A

B

−2 0 2

1 1 1

FÜGGVÉNYEK

218

b) A lehetséges számpárok:

(-2; 1) , (-2; 2) , (-2; 3),(0; 1) ,- (0; 2) , - (0; 3)(2; 3)

1473. Adjuk meg a hozzárendelés táblázatát:

x

x

1 2 3 4 5 6 7

2 1 0 1 2 3 4 5− −

Mivel a -1 œB, ezért az 1-hez nem tudunk hozzárendelni egy értéket sem. Ezért amegadott hozzárendelés nem függvény.

1474. a) A hozzárendelés függvény lesz.b) A hozzárendelések megadásánál arra kell ügyelnünk, hogy ha megadjuk a két

alaphalmazt (A és B) és közöttük függvény kapcsolatot (A Æ B) szeretnénklétesíteni, akkor A minden egyes eleméhez B-bõl pontosan egy elemet rendelhetünkhozzá.Pl.: A = 1; 2; 3 B = 0; 1; 2; 3Ha minden a ŒA-hoz hozzárendeljük b ŒB-t úgy, hogy b az a pozitív osztóinakszáma legyen, akkor függvényt kapunk.Nem kapunk akkor függvényt, ha a ŒA-hoz a pozitív osztóit rendeljük hozzá.

1475. A keletkezõ párok függnek attól, hogy a számokatmilyen elrendezésben helyezzük a kocka éleire. Micsak egy lehetõséget mutatunk be.a) 1; 3; 9; 11 halmazból képezhetõ számpárok: 12

lehetõség.5; 6; 7; 8 halmazból képezhetõ számpárok: 12lehetõség.2; 4: 10; 12 halmazból képezhetõ számpárok: 12lehetõség.Így összesen 36 számpár írható fel.

b) Minden csúcsban 3 él találkozik. Pl.: 1; 4; 5 halmazból 6 rendezett számpár írhatófel: (1; 4) , (1; 5) , (4; 1) , (4; 5) , (5; 1) , (5; 4). Mivel 8 csúcs van így összesen 48rendezett számpár írható fel.

c) Minden élhez 4 másik kitérõ él tartozik. Pl. az 1-es élhez tartozó kitérõ élek: 7; 8;10; 12. Ezek meghatározzák a következõ rendezett elempárokat: (1; 7) , (1; 8) ,(1; 10) , (1; 12). 4 féle számpár. Ezt minden kiválasztott él esetén el tudjuk végezni,és mivel összesen 12 él van, ezért az össze rendezett szápár 48 féle lehet.

d) Mivel a kocka minden éle egyenlõ hosszúságú, így az összes lehetséges módonfelírhatjuk a számpárokat. Ezek száma: 122 = 144 lesz. (Itt azok a számpárok islétrejönnek, amelyeknek mindkét eleme ugyanaz. Pl.: (1; 1) , (2; 2) ...)

1476. a) (6; 1) , (7; 1) , (7; 2) , (8; 1) , (8; 2) , (8; 3)(9; 1) , (9; 2) , (9; 3) , (9; 4) .

HOZZÁRENDELÉSEK

219

b) A lehetséges számpárok:(1; 1) , (1; 2) , ... (1; 9) 9 db(2; 1) , (2; 2) , ... (2; 9) 9 db(3; 1) , (3; 2) , ... (3; 9) 9 db(4; 1) , (4; 2) , ... (4; 9) 9 db(2; 1) , (5; 2) , ... (5; 9) 8 db(2; 1) , (6; 3) , ... (5; 9) 7 db (2; 1) , (9; 6) , ... (5; 9) 4 db

Összesen: 66 számpár.

c) Nem igaz, hiszen egyikben sem soroltunk fel például olyan eseteket, amikora - b = 4.

1477. a) Az A Æ B típusú hozzárendelések megadásához elõször meghatározzuk az (a; b)rendezett elempárok számát, ahol a ŒA és b ŒB. Legyen ezek halmaza H.H elemeinek száma: 3 ◊ 3 = 9.Minden hozzárendelés megfelel ezen H halmaz egy részhalmazának. Például:

hozzárendelés megfelel a (10; 2), (10; 4), (30; 6) részhalmaznak.Ezek szerint a lehetséges hozzárendelések száma annyi ahány részhalmaza egy 9 elemûhalmaznak van, azaz 29 = 512.(Itt figyelembe vettük azt az esetet,a mikor A egy eleméhez sem rendelünk hozzá a Bhalmazból elemet.)

b) Például: f A B xx

: ; .Æ5

1478. A = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9a) (a; b) létezik, ha b osztható a-val. Ezek a párok:

(1; 1) , (1; 2) , (1; 3) , (1; 4) , (1; 5) , (1; 6) , (1; 7) , (1; 8) , (1; 9)(2; 2) , (2; 4) , (2; 6) , (2; 8)(3; 3) , (3; 6) , (3; 9)(4; 4) , (4; 8) .18 rendezett számpár létezik

b) (a; b) létezik, ha a többszöröse b-nek. Az a) részben felsorolt 18 számpárt kellfelsorolni, csak fordított sorrendben.Azok az elempárok teljesítik mindkét feltételt, amelyeknél a = b teljesül. Ezek(1; 1) , (2; 2) , (3; 3) , (4; 4) . Vannak olyan elempárok amelyek nem szerepelnek afelsorolásban. Pl.: (2; 5) , (3; 7) stb.

FÜGGVÉNYEK

220

1479. A megoldásokban csak egy lehetséges hozzárendelést adunk. Természetesen ettõl eltérõhelyes megoldások is léteznek.

a) A Æ B; x ® 2x

A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

b) A Æ B; x ® x2 + 1

A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

c) A Æ B; x ® x prímosztói és az 1.

A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 12

13

12

15

123

17

12

13

125

A megadott hozzárendelések közül a c)nem lesz függvény.

HOZZÁRENDELÉSEK

221

1480. a)

b) A legmagasabb hõmérsékletet 14 óra környékén 3 ∞C-nak mérték.A legalacsonyabb hõmérséklet -4 ∞C 22 és 24 óra idõpontok között volt mérhetõ.

c) Az átlaghõmérséklet:

Tátlag =+ + + + + + - + - + - + - + - + - + - ª2 2 5 3 2 0 5 0 1 2 2 5 3 3 5 4 4

13, , ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )

ª - ∞0 77, C

1481. a)A pontokat összekötve szemlél-tethetõ az évek során bekövetke-zõ változások minõsége.

FÜGGVÉNYEK

222

b) 1970-es év kezdetétõl az 1984-es év végéig 15 év telik el. Mivel a 70-es évekbennem ismerünk adatokat, ezért itt az évtizedre kell az 1980 és 1970-ben adódótermelés különbségét venni. Így az évenkénti átlagos növekedés:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )499 242 504 499 412 504 377 412 387 377

15

- + - + - + - + - =

= - = ª387 24215

293

9 6,.

Ez azt jelenti, hogy az évenkénti átlagos növekedés közel 10 ezer db hûtõszekrényvolt.

1482. a)

b) Az évenkénti átlagos napfénytartalom:54 79 137 182 230 253 272 261 200 154 59 45

12160 5

+ + + + + + + + + + + = , .

1483. a) A gép a t1 = 10 min, és t2 = 22 min idõpillanatban volt a legmagasabban (1000 m).b) A repülés 32 percig tartott.c) A legtovább az 500 m magasságon tartózkodott, 4 percen keresztül.d) 00 - 06 perc: folyamatosan emelkedett kb. 850 m magasságig.

06 - 08 perc: kb. 850 m magasságban marad.08 - 10 perc: kb. 1000 m magasságba emelkedik.10 - 12 perc: kb. 500 m magasságra süllyed.12 - 16 perc: kb. 500 m magasságban marad.16 - 22 perc: kb. 500 m-rõl 1000 m magasságra emelkedik.22 - 32 perc: kb. 1000 m-rõl leszállásig süllyed.

1484. a) 300 m. b) 4 perc alatt. c) 2 percig.

d) Menet közben a percenként megtett útja: 300

475m m.=

e) A percenként átlagosan megtett út: 60010

60m m.=

1485. Az egymáshoz tartozó értékeket foglaljuk táblázatba:a) Magasság (km)

Hõmérséklet (∞C)2 km-3 ∞C

6 km-23 ∞C

8 km-39 ∞C

felszínen6 ∞C

b) Hõmérséklet (∞C)Magasság (km)

5 ∞C0,1 km

0 ∞C1,6 km

-25 ∞C6,3 km

-40 ∞C8,1 km

(A leolvasott értékek természetesen csak jó közelítésnek vehetõk.)

HOZZÁRENDELÉSEK

223

1486. Többféle kapcsolat is létezik. Mi mindegyik esetben mutatunk egy lehetõséget.

a) Ha a ŒA b ŒB, akkor b) Ha a ŒA; b ŒB és c ŒC, c) Ha a ŒA és b ŒB, akkorészrevehetõ pl. hogy akkor a + b + c = 180∞. a ◊ 60 = b, ezért:

a + b = 90∞. Ezt felhasználva kitölt- a ® 60 ◊ aA megfeleltetés: hetõ a táblázat. Az utolsó

a ® 90∞ - a. oszlopba tetszõleges érték helyettesíthetõ.

A B382945

5261

71

∞∞∞∞

∞∞∞∞19

45

A B C

a a

25846030

9085603054

6511

126

°°°°

°°°°°

°°°°

°−

60120

A B372

180420

120

30

212

120

1487. A gép szabályára egy lehetséges megoldás:

a) 2 ◊ + 2 ◊ « = ª b) 2 ◊ + « = ª« ª

4 5 186 2 167 35 20

6 3232 2

232

205

10

xx-

« ª4 5 136 2 147 3

5 99 21

21 2 21

172

3x x-

x helyére tetszõleges szám írható.

1488. Egy lehetséges megfeleltetés:y = x tizedestört alakja

x

y

1

2

2

5

3

10

3

5

6

5

8

5

1

4

1

8

0 5 0 4 0 3 0 6 1 2 1 6 0 25 0 125, , , , , , , ,

1489. Egy-egy lehetséges szabály lehet a következõ:

a) 2(a + b) = c b) 4a = b c) 2(a + b) + c = d

FÜGGVÉNYEK

224

a b c6 8 285 12 343 98 40

10 30

60

2412

560 2

2x

x-

a b5 203 128

1456

3256

14

a b c d5 4 3 217 8 2 321 4 37 5 57

4 6 389 10 39

1319

121

d) 2x = y e) 10x + 1 = y f)x

y10=

x y1 21 5512 8

12 3

2 43 0

10 2

6 4

25 4

,,,,,,,

,,,,,,,

3 2

12 7

5 6

24 6

x y111 53 444 09 02

121635 441

139

,,,,,,,

,

,1 20 8

91 2

x y3 67 2

1115 4

1

0 360 7211

0 5

10 3

,,

,

,

,,,,,,,

5

1 03

1 54

0 1

1490. Néhány megfelelõ pont: P1(1; 3) ; P2(2; 4) ; P3(5; 7)

xy

1 2 3 4 5 63 4 5 6 7 8

A hozzárendelés szabálya: x ® x + 2.

1491. Minden olyan P(x; y) pont megfelelõ, ahol x = y.Pl.: P1(1; 1) ; P2(7; 7) ; P3(100; 100) ...

xy

1 2 3 41 2 3 4

A hozzárendelés szabálya: x ® x.

1492. Az ábráról leolvasható, hogy mindenolyan pont megfelelõ, amelyre vagyx = y, vagy -x = y teljesül.Ezek a pontok a koordináta-rendszertengelyei által bezárt szöget megfelezõegyenesre illeszkednek.

x1

y1 P x y1 1 1( ; )

P x y2 2 2( ; )- =x y2 2

x y1 1=

HOZZÁRENDELÉSEK

225

1493. Az 1

10 részét azaz 4 km-t.

t = 4

20

km

kmh

= 15

h alatt teszi meg.

B faluba 12 óra 30 perckor érkezikmeg.

1494. Az elsõ táblázat hozzárendelési szabálya: y = x vagy x ® x.

x

y

5 21

20 3 2 1

5 21

20 3 2 1

− − −

− − −

A második táblázat egy lehetséges hozzárendelési szabálya: x ® x + 3, ha x ¤ 0, és

x ® x - 3, ha x < 0.

xy

2 1 3 25 2 4 25

− − − −− − − −

0 1 226 3 5

1495. Néhány megfelelõ pont: P1(2; 4),

P2(6; 12), P3(-2; -4), P4(-2; 4),

P5(3; -6), P6(6; -12). Ezek akoordináta-rendszerben olyan egyene-sen helyezkednek el amelyik illeszke-dik az origóra. A hozzárendelési sza-

bály: x ® 2x vagy x ® -2x.

1496. a) xyy

− − − − −

− − − − −

2 3 1 9 1 5 1 0 2 0 0 8 1 6 2 2 70 7 0 1 0 5 0 0 8 0 0 8 0 6 0 0 7

3 2 2 1 1 0 0 1 2 21

2

, , , , , , ,, , , , , , ,

P x x'( ; )2P x x''( ; )- 2

FÜGGVÉNYEK

226

y x1 =

y x2 = [ ]

b) A két függvény alapján az y1 + y2 grafikonja is megszerkeszthetõ! A függvényekdefiníciója alapján is nyilvánvaló, hogy y = y1 + y2 = x + [x] = x.

1497. a) A táblázat a helységek és köztük felvehetõ utakösszeszámlálása alapján kitölthetõ:

xy

1 2 3 4 5 6 7 80 1 3 6 10 15 21 28

Minden helységbõl x - 1 út indul ki, és mivelminden útnak két vége van, ezért az összes út

száma: yx x= -( )1

2.

b)

1498.

Az origóra vonatkozó tükrözés szintén az A’’B’’ szakaszt határozná meg.

HOZZÁRENDELÉSEK

227

1499. A megfelelõ értékpárokat foglaljuk táblázatban!

xxx

x

x

x x

−−

+

− + − − − −

+ − − −

3 1 42 6 2 82

13 1

8

51

22 2

3

2

7

25

1 1 2 2 2

( )

1500. a)f x x( ) = - 1

2A1

1

5

1

10; -Ê

ËÁˆ¯

A2 0 0( ; )

A3 14 7( ; )-

b)

g x x( ) = - +2 3B1 7 11( ; )

B25

22; -Ê

ËÁˆ¯

B3299

200

1

100;

ÊËÁ

ˆ¯

c)

h x x( ) = -2 22

C1 1 0( ; )-

C C2 21

21

1

21; ;-

Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜ - -

Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜vagy

( ) ( )C C3 351 100 51 100; ; vagy -

d)D1 10

13

12;

ÊËÁ

ˆ¯

FÜGGVÉNYEK

228

D27

32- -Ê

ËÁˆ¯

;

D

x

3 2

2

( ; )− −

= − estén a függvénynincs értelmezve!

1501. a) Az A(2; 3) pont a grafikon egy pontja, ezért:

f(2) = 3, de f(2) = a ◊ 2

2a = 3 fi a = 32

.

b) A két pont alapján felírható a következõ egyenletrendszer:4 2

40 2= ◊ += ◊ - +

a ba b( )

Ezt megoldva a = 1 és b = 2 adódik.

c) A két pont alapján:

5 113 3

2

2= ◊ - += ◊ +

a ba b

( )

Ez alapján a1 2= és b = 7; vagy a2 2= - és b = 7 adódik.

1502. a) A táblázat alapján bármely x1 π 0 és x2 π 0 értéket is választunk ki, teljesül akövetkezõ:

x x f x f x1 2 1 2: ( ) : ( )=

b) f(x) = 2x

HOZZÁRENDELÉSEK

229

c)

f x x( ) = 2

1503. Az x tengelyre illeszkedõ pontok második koordinátája (ordinátája) 0: Pl. (1; 0).Az y tengelyre illeszkedõ pontok elsõ koordinátája (abszcisszája) 0: Pl. (0; 2).

1504.

Bármely megadott pont abszcisszája: 3. Pl.: R(3; 4).

1505.

Bármely megadott pont ordinátája: 7. Pl.: R(8; 7). Az egyenes az ordináta-tengelyt aQ(0; 7) pontban metszi.

FÜGGVÉNYEK

230

1506. a) Ebben az esetben a hárompont egy egyenesre esik,azaz nem határoz meg há-romszöget. Az egyenesreilleszkedõ minden pontraigaz, hogy y = -5.

b) A három pont nem határozmeg háromszöget, hanemmindhárom egy origón át-haladó egyenesre illeszke-dik. Az egyenes mindenegyes P(x; y) pontjára telje-sül, hogy y = -2x.

c) A három pont ebben azesetben egy olyan egye-nesre illeszkedik, amelynekP(x; y) pontjaira teljesül,hogy y = x + 2.

HOZZÁRENDELÉSEK

231

1507. a) Ha a tükrözés tengelye az b) Ha a tükrözés tengelye az ordinátatengely: abszcisszatengely:

A( ; )2 5A'( ; )-2 5

C'( ; )-5 1

B'( ; )- -4 1 B( ; )4 1-

C( ; )5 1

A( ; )2 5

B( ; )4 1-

C( ; )5 1

C'( ; )5 1-

B'( ; )-4 1

A'( ; )4 5-

Általában: P(x; y) ordinátatengelyre Általában: P(x; y) abszcisszatatengelyrevonatkozó tükörképe: P’(-x; y). vonatkozó tükörképe: P’(x; -y).

Ha az origóra tükrözünk, akkor a P(x; y) pont tükörképe: P’(-x; -y). A feladat esetében: A(2; 5) Æ A’(-2; -5); B(-4; 1) Æ B’(4; -1) valamintC(5; 1) Æ B’(-5; -1).

1508. a) A két pont ordinátája egyenlõ. Pl.: P1(3; 7), P2(10; 7).

b) A két pont abszcisszája egyenlõ. Pl.: P1(3; 7), P2(3; 10).

c) A két pont ordinátája egymásnak ellentettje. Pl.: P1(3; 7), P2(3; -7).

d) A megfelelõ koordináták egymás ellentettjei. Pl.: P1(3; 7), P2(-3; -7).

1509. A megfelelõ pontok:

a) az x tengelyre illeszkednek;

b)

x = 2 az e egyenes minden pontjára teljesül.

FÜGGVÉNYEK

232

c) d)

A megfelelõ pontok az I. síknegyed A megfelelõ pontok a II. síknegyed

pontjai a határoló egyeneseket kivéve. pontjai a határoló egyeneseket kivéve.

e)

y x=

f)

x y+ = 6

1510. a) P(x; y) pontokat keressük,ahol x = 2y.

Pl.: P1(-4; -2),

Pl.: P2(-2; -1), Pl.: P3(0; 0), Pl.: P4(2; 1), Pl.: P5(4; 2)

b) Pl.: P1(-5; -5),

Pl.: P2(-3; 3),

Pl.: P3(-2; 2),

Pl.: P4(2; -2),

Pl.: P5(3; -3)

P1

P2

P3

P4

P5

y x= -P1

P2

P3

P4

P5

HOZZÁRENDELÉSEK

233

c) Pl.: P1(-3; -3),

Pl.: P2(0; -2),

Pl.: P3(3; -1), Pl.: P4(6; 0), Pl.: P5(9; 1)

1511. a) b)

c) d)

yx= -3

2

P1P2

P3

P4

P5

FÜGGVÉNYEK

234

e) f)

1512. a) b)

c) d)

HOZZÁRENDELÉSEK

235

e) f)

P35

15

; -FHGIKJ

3 2x y- =

2 1x y+ =

g) h)

1513. Az ábrán látható ponthalmazok egy lehetséges megadása a következõ:a) x < 2

b) x < 2 és y £ 1c) y + x < 0 ha x < 0

y + x > 0 ha x > 0y = 0 ha x = 0

d) ΩyΩ + ΩxΩ = 2

e) y £ x + 1 és x < 0 és y > 0.

f) y £ x + 2 és y < x és y ¤ 1.

236

Arányosságok

1514. a)

f x x( ) = 2

PPP

1

2

3

0 01 2

1 2

( ; )( ; )( ; )- -

b)

g x x( ) = -2 PPP

1

2

3

0 01 2

2 4

( ; )( ; )( ; )-

-

c)

h x x( ) = 13

P

PP

1

2

3

113

3 13 1

;

( ; )( ; )

FHGIKJ

- -

d)

k x x( ) = - 13

PPP

1

2

3

0 03 1

3 1

( ; )( ; )( ; )--

1515. Mivel f(x) egyenes arányosság, ezért felírható f(x) = ax alakban, ahol a az arányosságitényezõ. Ezt felhasználva az a értéke meghatározható.a) - = ◊ -

=

1 212

a

a

( )

Az egyenes arányosság szabálya így: f x x( ) = 12

.

b) 6 32 2

= ◊= fi =

aa f x x( ) .

c) 7 272

72

= ◊ -

= - fi = -

a

a f x x

( )

( ) .

1516. a) 3 = 23

◊ ª ª = 92

A9

23;

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b) ª = 23

◊ (-2) ª = - 43

B − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

24

3;

ARÁNYOSSÁGOK

237

c) ª = 23

◊ -FHGIKJ

23

ª = - 49

C − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3

4

9;

d) - 57

= 23

◊ ª ª = -154

D − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

4

5

7;

1517. A megadott pontok közül a C(-2; 1) illeszkedik az egyenes arányosság grafikonjára,hiszen

112

2= - ◊ -( ).

1518. a) Az A és C pontok ugyanannak az f x x( ) = - 32

egyenes arányosságnak a grafikonjára illeszked-nek.

b) A B által meghatározott egyenes arányosság:

g x x( ) = 14

A D pont által meghatározott egyenes arányos-ság:

h(x) = 3x.

1519. Az egyik pontnak válasszuk az origót: O(0; 0), hiszen ez bármelyik egyenes arányossággrafikonjára illeszkedik, a másik pont ezek után bármelyik pont lehet, csak neilleszkedjék egyik koordináta-tengelyre sem.

1520. Az a) és d) grafikon határoz meg egyenes arányosságot. Ezek hozzárendelési szabályai:

a) f x x( ) = 35

b) g(x) = -x

1521. Legyen a nagyobbik szám: x.

12 2

318

xx

=

=

1522. Az arány alapján jelöljük a két számot 3x-szel és 5x-szel.

3 5 486

x xx

+ ==

A keresett két szám: a 18 és a 30.

1523. Alakítsuk át a törtkifejezést az alábbi módon:

22

2 1

2

234

1

254

x yy

xy+ =+=

◊ += .

FÜGGVÉNYEK

238

1524. Az elsõ hónapban összegyûjtött pénz legyen 2x, a másodikban 5x.

2 5 28040

x xx

+ ==

Az elsõ hónapban 80 forintot a másodikban 200 forintot spórolt.

1525. Legyen a téglalap két oldala a és b, a kerülete k. Mivel a k= 528

ezért a másik b oldal:

bk

a k k k= - = - =2

12

528

928

.

a)

125

28

145

k

k= b)

ab

k

k= =

528928

59

c) a = b - 16

A b)-ben kapott eredmény alapján legyen a = 5x és b = 9x.

5 9 164

x xx= -=

A téglalap két oldla: a = 20 m és b = 36 m.A téglalap területe: a ◊ b = 20 m ◊ 36 m = 720 m2.

1526. 200-at.

1527. A nyers kávé és a pörkölt kávé mennyisége egyenesen arányos mennyiségek, ezért ha akeresett nyers kávé mennyisége x:

x

x60

6

572

=

=

72 kg nyers kávéból.

1528. A keresett idõ legyen x óra. A munkások száma és a munkaidó fordított arányosságbanállnak.

6 8 316

◊ ==

xx

16 óra alatt végez a 3 munkás.

1529. Mivel s = v ◊ t, ezért rögzített út esetén a sebesség és az út megtételéhez szükséges idõfordítottan arányosak. A keresett idõ legyen t.

40 2 6043

◊ = ◊

=

t

t

A menetidõ 43

óra lesz.

1530. Jelölje a szükséges festék tömegét: x. A felhasznált festék tömege a kocka felszínévelegyensen arányos.

ARÁNYOSSÁGOK

239

Az eredeti kocka felszíne A1 = 6a2, ahol a a kocka élhossza.

A megnövelt kocka felszíne A2 = 6(2a)2 = 24a2 = 4A1.

x

A Ax

4

1

41 1

=

=4 kg festékre van szükségünk.

1531. A tömeg és a térfogat egyenesen arányosak. Ha a keresett térfogatot x-szel jelöljük,akkor

x

x26

2

5 210

=

=,

A darab térfogata: 10 cm3.

1532. A szükséges idõ: x, a munkások számával és a naponta végzett munkaórák számávalfordítottan arányos.

xx

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅=

2 8 2 4 42

2 nap alatt végeznek.

1533. A keresett idõ legyen x. Ez a csapok számával fordítottan, a szükséges vízmennyiséggelegyenesen arányos.

x

x

⋅=

⋅

=

6

1200

2 4

600

22

3

223

óra alatt gyûjthetünk össze 1200 liter vizet.

1534. Az elkészülõ anyag hossza x. Ez a gyapjú mennyiségével egyenesen, az anyagszélességével fordítottan arányos.

x

x

⋅=

⋅

=

0 5

20

40 1

10160

,

160 méter hosszú anyag készül.

1535. A napok száma legyen x. Ez a gépkocsik és a napi fuvarok számával fordítottan, az árutömegével egyenesen arányos.

x

x

◊ ◊ = ◊ ◊

=

10 1015 000

4 10 81500

32

32 nap alatt végzik el a szállítást.

1536. Jelöljük a három számot így: 2x; 3x; 4x.

FÜGGVÉNYEK

240

2 3 4 18020

x x xx

+ + ==

A három szám: 40; 60; 80.

1537. A festék tizedrésze, azaz 5 g szükséges.

1538. Legyen két háromszög két magassága m1 és m2.Mivel a területek egyenlõk, ezért:

6 423

1 2

1

2

◊ = ◊

=

m mmm

1539. Egy gép egy nap alatt a munka 1

6 12◊ =

172

részét végzi el. Ha a munkanapok száma x,

akkor

4 61

724 8

1

721

11

◊ ◊ + - ◊ ◊ =

=az elsõ 4 nap

( )x

x

11 nap alatt végzik el a munkát.

1540. a) 12 nap alatt b) 12 nap alatt c) 48 nap alatt.

Lineáris függvények

1541.

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

241

a) Az x tengelyre való tükrözés után a következôfüggvények adódnak.

a x x

b x x

c xd x x

'( )

'( )

'( )'( )

=

=

= −= −

3

41

223

b) Az y tengelyre való tükrözés után a következôfüggvények adódnak.

a x x

b x x

c xd x x

''( )

''( )

''( )''( )

=

=

== −

3

41

22

3

c) Az origó körüli 90º-os forgatás után a következôfüggvényeket kapjuk:

a x x

b x xc x

d x x

'''( )

'''( )'''( )

'''( )

=

=−

= −

4

32

1

3

nem lesz függvény

FÜGGVÉNYEK

242

1542.

1543.

a x x

d x x

e xx

( )

( ) ( )

( )

= - +

= - +

= - + +FHG

IKJ

23

1

23

1 1

21

31

b x x

f x xx

( )

( ) ( )

= +

= - +

23

3

13

13

1544. Mindegyik grafikon az y tengelyt az y = 2 pontbanmetszi.Az egyes függvények a következô helyekenmetszik az x tengelyt:

a(x): 2x + 2 = 0 x = -1b(x): -x + 2 = 0 x = 2

c(x):12

(x + 4) = 0 x = -4

d(x): 3(x + 1) - 1 = 0 x = - 23

e(x):x + +2

343

= 0 x = -6


243

1545. A függvények grafikonjai a következô értékeknél metszik a tengelyeket: y tengely x tengely

a(x): y = -6 x = 2b(x): y = 0 x = 0c(x): y = 1 x = 2

d(x): y = - 1 x = 1

100

e(x): y = -712

x = -15

1546. Jelölje t az idôt V a tartályban levô víz mennyiségét.

a)tV

( )( ) , ,sl

1 2 3 41 5 3 4 5 6

A közöttük levô függvénykapcsolat: V = 1,5t.V = 1000 l térfogathoz szükséges idô:

1000 1 5

66623

= ◊

=

, t

t s

b) Ha a tartály kezdetben 4 l vizet tartalmaz:

tV

( )( ) , ,sl

1 2 3 45 5 7 8 5 10

V = 4 + 1,5tV = 1000 l esetén:

1000 4 1 5664

= + ◊=

, tt

1547. Az egyes idôpontokhoz tartozó térfogatokat a következô táblázat határozza meg.

V

tabc

( )

( ))))

l

s 1 10 50 112202 220 300 424203 230 350 536205 250 450 760

A térfogat és az eltelt idô közöttifüggvénykapcsolatok:

a) V = 2t + 200

b) V = 3t + 200

c) V = 5t + 200

Ezen függvények grafikonjai az ábránlátható.

FÜGGVÉNYEK

244

1548. Jelölje a tartályban levõ víz mennyiségét V, a közben eltelt idõt t. A közöttük mérhetõkapcsolatok:

a) V = 3t + 6Ha a tartály megtelik, akkor V = 24.

24 3 66

= +=

tt

6 s alatt lesz tele a tartály.

b) V tt

t

= += +=

1224 12

1212 s alatt lesz tele a tartály.Az egyes esetekben a függvényekgrafikonjai az ábrán láthatók.

1549. A megadott függvényeket elõször egyszerûbb alakra hozzuk.

a) a(x) = 3x - 5

Mivel 3x - 2 π 0, ezért a függvény

értelmezési tartománya a 23

kivéte-

lével minden racionális szám.

ÉT: x QŒ RSTUVW\

23

.

b) b x( ) = 12

c) c x x( ) = +12

2

ÉT: x QŒ RSTUVW\

12

. ÉT: x QŒ RSTUVW\

32

.

12

32

23


245

d) d(x) = -10x + 5 e) d(x) = 2x + 1

ÉT: x ŒQ ÉT: x ŒQ \ 0

1550. A fügvényt f(x) = ax + b alakbankeresve az a és b értékeit az alábbiegyenletrendszer megoldása adja:

- + = -+ =

= = -

a ba b

a b

32 32 1

A függvény: f(x) = 2x - 1

a) f(0) = -1b) f(100) = 199

1551. A függvényt f(x) = ax + b alakbankeresve:

a ba b+ = -

- + =2

2 13

egyenletrendszert megoldva

a = -5 b = 3

A keresett függvény:

f(x) = -5x + 3

FÜGGVÉNYEK

246

1552. A keresett függvény f(x) = ax + b alakú. A megadott értékpárok alapján:

100 3993

a ba b+ =+ =

Az egyenletrendszert megoldva: a = 4 b = -1.A függvény szabálya: f(x) = 4x - 1.

1553. Elõször a függvényeket egyszerûbb alakra hozzuk.

a xx

x( ) = --

+ = - +2 35

125

85

Az x tengelyt x = 4-nél, az y tengelyt y = 85

-nél metszi, a meredeksége - 25

.

b x x x x x x( ) ( )( ) ( )( )= - + - + - = - +3 2 2 1 6 1 1 4

A függvény meredeksége -1, az x tengelyt x = 4-nél, az y tengelyt y = 4-nél metszi.

c xx x

xx( ) = +

+- = -6 2

3 12 2 2

2

A függvény meredeksége 2, az x tengelyt x = 1-nél, az y tengelyt y = -2-nél metszi.

d xx x

x( ) = - - - = - +23

2 75

115

1115

A függvény meredeksége - 115

, az x tengelyt x = 11-nél, az y tengelyt 1115

-nél metszi.

1554. a) b)


247

1555. A grafikon három pontja:

P1(0; -4)

P2(1; -1) P3(2; 2)

1556. Egy-egy lehetséges ponthármas a következõ:

a) P1(-1; -2) P2(0; 2) P3(1; 6)

b) Q1(-1; 0) Q2(0; 3) Q3(1; 7)

c) R1(-1; -3) R2(0; 1) R3(1; 3)

1557. Mindegyik függvényt f(x) = mx + b alakban keressük. Mivel m ismert és az adott pontmegfelelõ koordinátái az egymáshoz rendelt függvényértékeket meghatározzák, így a bértéke meghatározható.

a) 2 = m ◊ 0 + b , ahol m = 1b = 2Így f(x) = x + 2

b) f x x( ) = +12

512

c) f x x( ) = - +2 7 d) f x x( ) = - +13

23

e) f x x( ) = - +5 10 f) f x x( ) = -25

85

g) f x x( ) = -3 197

h) f x x( ) ,= 2 5

1558. A keresett függvények f(x) = ax + b alakúak. A megadott pontpárok alapján az a és bértékei meghatározhatók.a)

3 00 6

1

23

= ⋅ += ⋅ +

⎫⎬⎭

= − +

a ba b

f x x( )

a

b

= −

=

1

23

b) 3 07 2

2 3

= ⋅ += ⋅ − +

⎫⎬⎭

= − +

a ba b

f x x( )

( )

ab= −=

23

P1

P2

P3

FÜGGVÉNYEK

248

c) 3 10 2

2

= ⋅ += ⋅ − +

⎫⎬⎭

= +

a ba b

f x x( )

( )

ab==

12

d) − = ⋅ − += ⋅ +

⎫⎬⎭

=

3 35 5

a ba b

f x x

( )

( )

ab==

10

1559. a) b)

a xx xx x

( ) ,,

= + £- >RST

3 03 0

haha

b xx x

x x( ) ,

,= + £

- >RST

1 13 1

haha

c) d)

c xx xx x

( ) ,,

= £- >RST

2 00

haha c x

x xx

x( )

,,

,=

- £< <

-

RS|T|1 2 01 0 32 5

haha

egyébként

1560. A megfelelõ értékpárokat táblázatba foglalva:

x

f x

− − − −

−

2 11

2

2

50

2

32

4 3 21

22

2

52 1

1

30( )


249

1561. Mindegyik függvényt f(x) = mx + b alakban keressük.a) A függvény meredeksége: m = 1

A megadott pont alapján: 2 = -1 + b b = 3f(x) = x + 3

b) mb b

f x x

= -= + == - +

12 1 1

1( )

c) mb b

f x x

== - + == +

32 3 5

3 5( )

d) m

b b

f x x

= -

= + =

= - +

13

213

112

13

123

( )

e) m

b b

f x x

= -

= + = -

= - -

52

252

12

52

12

( )

1562. A függvényeket f(x) = ax + b alakban keressük. A pontpárok alapján a és b értékeimeghatározhatók.

a)0 01 2

1

2

= ⋅ +− = ⋅ +

⎫⎬⎭

= −

a ba b

f x x( )

a

b

= −

=

1

20

b) 0 31 2

3

= ⋅ +− = ⋅ +

⎫⎬⎭

= −

a ba b

f x x( )

ab== −

13

c)4 01 2

5

24

= ⋅ +− = ⋅ − +

⎫⎬⎭

= +

a ba b

f x x

( )

( )

a

b

=

=

5

24

d) 4 28 2

3 2

= ⋅ − +− = ⋅ +

⎫⎬⎭

= − −

a ba b

f x x

( )

( )

ab= −= −

32

1563. a) A grafikonra illeszkedõ pontok:

A 2 312

;FHGIKJ , B 21

13

18;FHG

IKJ , C - -1992 1492;b g , D -FHG

IKJ

49

53

;

b) A függvény grafikonja „fölött” levõ pontok például:

A 2 4;b g, B 21 18;b g , C - -1992 1491;b g , D -FHGIKJ1

53

;

c) A függvény grafikonja „alatt” levõ pontok például:

A 2 3;b g, B 22 18;b g , C - -1992 1493;b g, D -FHGIKJ

39

53

;

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

250

Másodfokú függvények

1564. a) b)

c) d)


251

1565. a) b)

c) d)

FÜGGVÉNYEK

252

1566. a) b)

c) d)

1567. a)

f x x( ) ( )= - + -12

1 22

b)

g x x x x( ) ( )= + - = + -2 4 6 2 1 82 2


253

c)

h x x x x( ) = - - - = - +FHGIKJ +2 6 1 2

32

72

22

d)

k x x x x( ) = + + = +FHGIKJ +

12

14

112

14

3132

22

1568. a)f x x x( ) = + +2 4 22

ÉK: f(x) ¤ 0

A x tengelyt x = -1-nél érinti.

Az y tengelyt y = 2-nél metszi.

b)g x x( ) ( )= - -1

31 32

ÉK: g(x) ¤ -3

A x tengelyt x = -2-nél és x = 4-nél metszi.

Az y tengelyt y = -223

-nál metszi.

FÜGGVÉNYEK

254

c)

h x x( ) ( )= - + +1 42

ÉK: h(x) £ 4

A x tengelyt x = -3-nál és x = 1-nél metszi.

Az y tengelyt y = 3-nál metszi.

d)

k x x x( ) = - + -2 8 72

ÉK: k(x) £ 1

A x tengelyt x = 4 2

2-

-nél és

x = 4 2

2+

-nél metszi.

Az y tengelyt y = -7-nél metszi.

1569. A függvényeket f(x) = ax2 + bx + c alakban keressük. A megadott értékpárok alapjánfelírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értéke meghatározható.

a) a b ca b ca b ca b cf x x

◊ + ◊ + =◊ + ◊ + =◊ + ◊ - + == = ==

0 0 04 2 121 1 3

3 0 03 2

( )

( )

b) a b ca b ca b ca b cf x x

◊ + ◊ - + = -◊ + ◊ + = -◊ + ◊ + == = = -= -

1 1 21 1 24 2 11 0 3

32

( )

( )

c) a b ca b ca b ca b cf x x x

◊ + ◊ - + =◊ + ◊ + =◊ + ◊ + == - = == - + +

1 1 10 0 51 1 3

3 1 53 52

( )

( )

d) a b ca b ca b c

a b c

f x x x

◊ + ◊ + =◊ + ◊ + =◊ + ◊ - + =

= = - =

= - +

1 1 09 3 11 1 1

14

12

14

14

12

14

2

( )

( )

1570. x = -2-nél az f(x) értéke 0.

a) (-2)2 + 2(-2) + c = 0 c = 0 b) (-2)2 - 3(-2) + 2c = 0 c = 1

c) (-2 - 1)(3 ◊ (-2) + c) = 0 c = 6 d) (-2 + 2)(c - (-2)) + 1 = 0 nincs megfelelõ c valós szám


255

1571. a)

f xx x x

x x x( ) ,

,= + £- - >RST

2

22 0

2 0haha

b)

f xx x x

xx x x

( ),

,,

=+ <

£ £- - <

RS|T|

2

2

2 13 1 2

2 2

hahaha

Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény1572. Jelöljük a függvények értelmezési tartományát D-vel!

a)

D D D D x xf g h k= = = = Œ πR 0m r

FÜGGVÉNYEK

256

b)

D x x

D D D x xf

g h k

= Œ π= = = Œ π

RR

0

2

m rm r

1573. A megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerbõl az a és b értékeit meghatároz-hatjuk.

a)a

b

ab

ab

f xx

12

10

11

11

+ =

-+ =

UV|

W|==

= +( )

b)a

b

ab

ab

f xx

20

13

63

63

+ =

+ =

UV|

W|== -

= -( )

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY

257

c)a

b

ab

ab

f xx

10

12

11

11

+ =

-+ =

UV|

W|= -=

= - +( )

d)a

b

a b

ab

f xx

100

10 99

101

101

+ =

+ =

UV|W|

== -

= -( )

1574. a) b)

FÜGGVÉNYEK

258

c) d)

1575. a) b)

c) d)


259

1576. a) b)

c) d)

1577. Mindegyik esetben a h(x) függvény menetét írjuk le.

a)h x x x( ) = + + 2

Menete:

-•-tõl x = -2-ig szigorúan monotoncsökken.x = -2-tõl x = 0-ig konstans, értéke 2.x = 0-tól •-ig szigorúan monoton nõ.

FÜGGVÉNYEK

260

b)h x x x( ) = + + -1 1

Menete:

-•-tõl x = -1-ig szigorúan monoton csök-ken.x = -1-tõl x = 1-ig konstans, értéke 2.x = 1-tõl •-ig szigorúan monoton nõ.

c)h x x x( ) = + +3

Menete:

-•-tõl x = -3-ig konstans, értéke 3.x = -3-tól x = 0-ig szigorúan monotoncsökken.x = 0-tól •-ig konstans, értéke -3.

d)h x x x( ) = + +1

Menete:

-•-tõl x = 0-ig szigorúan monoton csök-ken.x = 0-tól •-ig szigorúan monoton nõ.

1578. a)f x x Df( ) = - - =2 1 1 RMenete:

-•-tõl x = 1-ig szigorúan monoton csök-ken.x = 1-nél minimuma van: -1. x = 1-tõl •-ig szigorúan monoton nõ.


261

b)

f x x Df( ) = - - =2 1 12 R

Menete: -•-tõl x = 2 2

2-

-ig szigorúan

monoton csökken. x = 2 2

2-

-tõl x = 1-

ig szigorúan monoton nõ. x = 1-tõl

x = 2 2

2+

-ig szigorúan monoton csök-

ken. x = 2 2

2+

-tõl •-ig szigorúan mo-

noton nõ. Minimuma van x = 2 2

2-

-nél

és x = 2 2

2+

esetén ennek értéke 0.

Helyi maximuma van x = 1-nél, értéke: 1.

c)f x

xDf( ) \=

-+ =2

11 1R l q

Menete:

-•-tõl x = -1-ig szigorúan monotoncsökken. x = -1-nél minimuma van: 0. x = -1-tõl x = 1-ig szigorúan monoton nõ.

x = 1-nél szakadása van. x = 1-tõl •-ig szigorúan monotoncsökken.

d) f x x Df( ) = - =1 RMenete:

-•-tõl x = -1-ig szigorúan monotoncsökken. x = -1-tõl x = 0-ig szigorúan monoton nõ.

x = 0-tól x = 1-ig szigorúan monotoncsökken. x = 1-tõl •-ig szigorúan monoton nõ.Minimuma van x = -1 és x = 1 értékeknél,ez 0. Helyi maximuma van x = 0-nál, ennekértéke: 1.

FÜGGVÉNYEK

262

1579. a)

D D D D x xf g h k= = = = ŒR ¤ 0

b)

D D D D x xf g h k= = = = ŒR ¤ 0

c)

D x x

D D D x xf

g h k

= Œ= = = Œ

R ¤R £

0

0


263

1580. a) D x xf = Œ πR 0m r, D x xg = Œ πR 3m r , D x xh = Œ πR 1m r ,D x xk = Œ π -R 2m r

b) D x xf = ŒR £ 0 , D x xg = ŒR £ 6 , D x xh = ∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

R £ 1

2,

D x x xk = Œ - ⁄R £ ¤3 3

c) D x xf = Œ >R 0m r , D x x xg = Œ Ÿ πR ¤ 0 2 , D x xh = Œ >R 0m r , D x xk = ŒR ¤ 0

d) D x x xf = Œ π Ÿ πR 0 2m r , D x xg = ŒR ¤ 2 , D x xh = Œ >R 2m r1581. a)

x = 3

b)

- 13

x = -1c)

x = 1

d)

x = 1

FÜGGVÉNYEK

264

1582.

12

a)5

2 0 5x- < , , ha x < 0 vagy x > 2

b) 25

2 10<x- < , ha

512

< x < 54

1583. a)

83

f x x

f x x

f x x

( ) ,

( ) ,

( ) ,

> >

< <

= =

083

083

083

ha

ha

ha

b)

61

3

f x x

f x x x

f x x

( ) ,

( ) ,

( ) ,

> < <

< < >

= =

0 4 613

0 4 613

0 613

ha

ha vagy

ha


265

c)

f x x xf x xf x x x

( ) ,( ) ,( ) ,

> < >< < <= = =

0 0 40 0 40 0 4

ha vagyhaha vagy

d)

f x x xf x xf x x x

( ) ,( ) ,( ) ,

> < >< < <= = =

0 2 40 2 40 2 4

ha vagyhaha vagy

1584. a)2 3x +

x -1

x = -4

b)

- +x 1

2 7x +

x = -2c)

113 - +x

31

23

2x +

x = -1

d)

- 247

- 227

32

2x +

x3

2-

x = - 247

FÜGGVÉNYEK

266

e)2 4x -

x £ 2

f)

2 4x -

x £ 4

g)

23

1x -

- -x3

2

x £ -1

h)

2x

( ) ( )2 4 1x x- - +

x ¤ -5

i)

x2

0 < x < 1

j)

x2 1+

2x

x π 1


267

k)4x

2 2 2- x

- -1 2

- +1 2

- - - +1 2 1 2£ £x

l)

( )x + -1 22

2 3x +

-2 £ x £ 2

Grafikonok a koordináta-rendszerben

1585. a) A(4; 3) , B(-2; 2) , C(-2; -3) , D(4; -6)

b) A(0; 7) , B(-2; 1) , C(-5; -3) , D(3; -2)

c) A(-3; -2) , B(3; -2) , C(4; 3) , D(7; 3), E(0; 7) , F(-4; 3) , G(-7; 3)

d) A(-3; 0) , B(3; 0) , C(3; 4) , D(0; 8), E(-3; 4) , F(-1; 1) , G(1; 1) , H(1; 3) ,J(-1; 3)

1586. a) f x x( ) = +85

6 P3(5; 14) P4(10; 22)

b) f x x( ) = - 32

P3(0; 0) P4(-4; 6)

c) f x x( ) = - +12

1 P3(2; 0) P4(-2; 2)

d) f x x( ) = +23

83

P3 083

;FHGIKJ P4(-1; 2)

1587. a) f x x( ) = -2 P1(0; 0) P2(1; -2)

b) f x x( ) = -34

3 P1(0; -3) P2(4; 0)

FÜGGVÉNYEK

268

c) f x x( ) = +12

2 P1(0; 2) P2(2; 3)

d) f x x( ) = -3 P1(0; 0) P2(1; -3)

1588. a) f x x( ) = - - 2 m = -1 Px(-2; 0) Py(0; -2)

b) f x x( ) = -12

12

m = 12

Px(1; 0) Py 012

; -FHGIKJ

c) f x x( ) = - +32

3 m = - 32

Px(2; 0) Py(0; 3)

d) f x x( ) = +14

12

m = 14

Px(-2; 0) Py 012

;FHGIKJ

1589. a) f x x( ) = - 3 Px(3; 0) Py(0; -3)

b) f x x( ) = +23

2 Px(-3; 0) Py(0; 2)

c) f x x( ) = - - 2 Px(-2; 0) Py(0; -2)

d) f x x( ) = - +54

174

Px175

0;FHGIKJ Py 0

174

;FHGIKJ

1590. a) f x x( ) = - 5 Px(5; 0) Py(0; -5)

b) f x x( ) = - +12

2 Px(4; 0) Py(0; 2)

c) f x( ) = -3 az x tengelyt nem metszi, Py(0; -3)

d) f x x( ) = - -3 13 Px -FHG

IKJ

133

0; Py(0; -13)

1591. a) m = -1 f x x( ) = - +1 Px(1; 0) Py(0; 1)

b) m = 2 f x x( ) = -2 3 Px32

0;FHGIKJ Py(0; -3)

c) A megadott egyenesre merõleges egyenes nem lesz függvény! Olyan ponthalmaztkapunk, amely az x = 2 feltételnek tesz eleget.

d) m = 13

f x x( ) = +13

13

Px(-1; 0) Py 013

;FHGIKJ

1592. A feltételt átírhatjuk y x= - +32

12

alakra. Ez a d) ábrának megfelelõ grafikont

határozza meg.

1593. A grafikonok alapján egy-egy lehetséges szabályt adunk meg.

a) f x x( ) = - 2 b) f x x( ) = - -2 2

c) f x x( ) = - +3 1 d) f x x( ) = + -2 3 3

GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN

269

1594. a) f x x( ) = -2 1 b) f x x( ) ( )= - + 2 2

c) f x x( ) ( )= - +59

3 12 d) f x x( ) ( )= - + +14

2 32

1595. A függvényeket f x ax bx c( ) = + +2 alakban keresve, a megadott pontok alapján felírtegyenletrendszerekbõl az a, b és c értékei meghatározhatók.

a) A(-2; 1) , B(0; 1) , C(1; 4)

1 4 214

1 2 1

= − +== + += = =

a b cca b c

a b c

f x x x x( ) ( )= + + = +2 22 1 1

b) A(2; 3) , B(3; 2) , C(4; -1)

f x x x x( ) ( )= - - + = - + -2 3 4 12 2

c) A(-4; -2) , B(-1; 1) , C(0; 6)

f x x x x( ) ( )= - + = - -2 26 6 3 3

d) A(-2; 4) , B(0; -2) , C(2; 0)

f x x x x( ) = - - = -FHGIKJ -

22

212

214

1596. a) f xx

( ) = 2b) f x

x( ) = +2

2 c) f xx

( ) =-3

2d) f x

x( ) = 2

1597. Az ábrákon függvények transzformációs lépései láthatók.

a) f x x12( ) = ; f x x2

24( ) ( )= - ; f x x321

24( ) ( )= - - ; f x x4

212

4 4( ) ( )= - - -

b) f x x1( ) = ; f x x2 4( ) = + ; f x x3 4 3( ) = + - ; f x x4 4 3( ) = + -

c) f x x12( ) = ; f x x2

24( ) ( )= - ; f x x321

24 3( ) ( )= - + ; f x x4

212

4 3( ) ( )= - +

1598. a) f x x12( ) = ; f x x2

26( ) ( )= - ; f x x321

26( ) ( )= - - ; f x x4

212

6 2( ) ( )= - - -

b) f x x1( ) = ; f x x2 6( ) = + ; f x x3 2 6( ) = - + ; f x x4 2 6 2( ) = - + +

c) f xx11

( ) = ; f xx2

14

( ) =-

; f xx3

14

( ) = --

; f xx4

14

3( ) = --

+

FÜGGVÉNYEK

270

1599. A gépek mûködésére egy-egy lehetséges szabály a következõ:

a) x x2 ; x x + 3 ; x x2 3-

b) x x ; x x2 8- ; x x x2 8 8- +

c) xx

1; x x + 4

1

5; x

x

25-

1600. A gépek kimenetén a kapott értékek a következõk:

a) 4 b) 25 c) 4 d)149

e) -2 f) 2.

1601. A bemeneti értékek az egyes gépeken a következõk:

a) -14 b) -3 c) 3 d)52

vagy - 72

.

1602. a) a a◊ = =738

356

b) 373

12 5◊ - = = -a a

c) - + = = -32

12

9173

a a d)1

100 8 1002527a

a◊ - = =

e) 1 1 0+ + = =a a a f)5 10

57 1

16

-+ = = -

aa

1603. A kimeneten adódó értékek:

a) -1 b) 0.

1604. a) x x4 3- b) x x x3 1 2 3 52 2( )- - = -


271

c) x x( )- - + =2 1 12 d) x x x x( )2 2 4 8 42 2- = - +

= - + +x x2 4 3 1

1605. a) f xx

:1

2 1+b) f x x: - 3

D x xf = Œ π -RST

UVWR 12

D x xf = ŒR ¤ 3

FÜGGVÉNYEK

272

c) f x x x x: ( )2 1 1 4 42 2- - = - d) f x x x: 2 22 2+ = +

Df = R Df = R

1606. A keresett szabélyokra egy-egy lehetõséget adunk meg.

a) x x1

3b) x x - 7 c) x x- +1

21 d) x x- +2

20

7A d) esetet részletezve:

Æ -x 1x x- +220

7y y- +1

2

3

7 ,hiszen

- - +FHG

IKJ + = - + = -1

22

207

37

107

37

1x x x .

1607. Mindegyik esetben hat lehetséges sorrend létezik. Ha a gépeket sorszámozzuk, akkorezek a következõk:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Az eredményül kapott függvényeket ebben a sorrendben megadva:

a) x x( )2 3 2+ ; x x( )2 32 + ; x x( ( ))2 3 2+ ;

x x2 3 2( )+ ; x x2 32 + ; x x2 32( )+ .

b) ( )x x3 1- - ; x x3 1( )- - ; ( )x x3 1- + ;

( )x x- - -3 1 ; x x- -3 1 ; x x- +3 1 .

c) xx

21

2- ; x

x

1

2 2-; x

x2

2- ;

xx

2 21-Ê

ËÁˆ¯

; xx

1

2 2( )-; x

x

2

2 -.


273

1608. Egy-egy megoldás lehet a következõ:

a) y y2 3- b) x x2 1- c) xx +1

2d) z z- - 3

1609. Természetesen több megoldás is elképzelhetõ. Egy lehetséges esetet mutat az ábra:

Æ - +2 1xx x2 y y- +1

1610. a)Æ - +( )x 1 12x x -1 y y2 1+

b)Æ - +( )x 1 12x x( )-1 2 y y +1

c)Æ - +( )x 1 12x x +1 y y( )- +2 12

1611. a)Æ xx x y y

A gépek felcserélésével nem változik a szabály.

b)Æ xx x +1 y y -1

A gépeket felcserélve másik szabály adódik: x x - +1 1 .

c)Æ xx x2 1+ y y

1

2

1

2-

A gépeket felcserélve másik szabály adódik: x y21

2

1

21- + .

1612. Egyiket sem. Mindegyik esetben különbözõ szabályok keletkeznek.Ezeket meg is adjuk.

a) x x- -4 4 ; x x- +4 8 b) x x4 12 - ; x x- +2 22

c) x x- 2 ; x x-2 d) xx

- 1

4; x

x- 1

.

1613. Bármelyik hatványfüggvény megfelelõ, hiszen x x xn n n2 2 2e j e j= = .

Tehát a keresett gép szabálya: x xn .

GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK

274

Garfikusan és algebrai úton is megoldhatófeladatok

1614. Ha az elõször elinduló menetidejét x-szeljelöljük, akkor az általa megtett út 3x, a másikáltal pedig 4,5(x - 2) = 4,5x - 9. Ábrázoljuk az

x ® 3x és x ® 4,5x - 9 függvényeket! Ezekmetszéspontja az x = 6-nél lesz. Tehát a várostávolsága legalább 18 km.

1615. Az egyik gyalogos x óra alatt megtesz 4x km-t,a másik 6x km-t. Az elsõ gyalogos indulásihelyétõl mért távolságuk ezért 4x ill. 10 - 6x.

Azt kell megvizsgálni, hogy az x ® 4x ill.

x ® 10 - 6x függvények hol metszik egymást.A metszéspont x = 1-nél lesz. A gyalogosok 1óra múlva az elsõ gyalogos indulási helyétõl4 km-re találkoznak.


275

1616. Készítsük el a gyalogos út-idõ garfikonját!Errõl leolvashatók az adatok:a) A gyalogos 9 órakor 5 km, 10 óra 30

perckor 8 km, 11 órakor 10 km távolságravolt az indulási helyétõl.

b) 8 km távolságra 10 órakor állt megpihenni.

c) 14 km hosszú utat járt be.d) 6 km-re 9 óra 20 perckor, 10 km-re 11

órakor, 14 km-re 12 órakor volt.

1617. Közös koordináta-rendszerben ábrázoljukAndrás és Béla távolságát András indulási he-lyétõl mérve az idõ függvényében. Leolvasha-tó, hogy 4 óra elteltével András 9 km-re, Béla11 km-re lesz, azaz egymástól 2 km-re. Ettõlmérve x idõ alatt a találkozásig megtesznek 3xill. 4x km-t.

3 4 227

x x x+ = fi =

Eszerint 427

óra múlva találkoznak.

1618. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a gyalogos éa a villamosok távolságát agyalogos indulási helyétõl mérve az idõ függvényében.

a) A gyalogossal egyirányú villamosok A gyalogossal szemben jövõ villamosok

6 belsõ pont 10 belsõ pont

FÜGGVÉNYEK

276

Azt kell összeszámolnunk, hogy a 34

óra idõtartamon belül hány metszéspont van.

A gyalogos út-idõ függvénye: x ® 4x. A vele egy irányban haladó villamosoké:

x ® 18x - b, ahol b = 1,5; 3; ...; 9. A szembe jövõ villamosoké: x ® 18x + b, aholb = 1,5; 3; ...; 15. Az ábrákról leolvasható, hogy 6 azonos irányban és 10szembejövõ, azaz összesen 16 villamossal találkozik.

b) Hasonló gondolatmenet alapján megállapítható, hogy 6 azonos irányban haladó és10 szembejövõ villamossal találkozik ebben az esetben is.

1619. a)

II. tartályx x2 +

I. tartályx x20-

I. tartályban levõ víz mennyiségétmeghatározó függvény:

x ® 20 - 2x.

II. tartály:

x ® 2 + x.

A grafikon alapján x = 6 percnélmindkét tartályban 8 l víz van.

b)

x = 7 6, perckorI. tartály: 4,8 l

II. tartály: 9,6 l

I. tartály kétszeresex x40 4-

II. tartályx x2 +

x = 4 perckorI. tartály: 12 l

II. tartály: 6 l

I. tartályx x20 2-

II. tartály kétszeresex x4 2+


277

c)

x = 3 6, perckorI. tartály: 16,8 l

II. tartály: 5,6 l

II. tartályháromszorosax x6 3+

I. tartályx x20 2 2- -( )

1620.A folyadék hõmérsékletét leíró függvény:

x ® -10 + 3x.

A tartályét: x ® 100 - 2x.A két függvény metszéspontja alapján aközös hõmérséklet 56ºC lesz és 22 percmúlva alakul ki.

FÜGGVÉNYEK

278

1621.

16

26

1130

A két lovas 16

áróig együtt haladt. 16

óra

múlva az elsõ lovas célba ért, ekkor a

második a céltól 5 - 25 ◊ 16

= 56

km-re

volt. Ennyivel elõzte meg õt az elsõ lovas.

A két ló így 525

- 5

30 =

130

óra idõkü-

lönbséggel ért célba.

1622. A szükséges sóoldat mennyisége legyen x. A só mennyiségét figyelembe véve akövetkezõ egyenlet írható fel:

100025

1001000

40100

4000

+ ◊ = + ◊=

xx

x

( )

4000 g 25 %-os sóoldatra van szükség.

277

SOROZATOK

A sorozat megadása

1623. a) 2; 3; 4; 31 b) 3; 5; 7; 61 c) 0; -2; -4; -58 d) 2; 5; 8; 89

e) 2; 4; 8; 230 f) 2; 5; 10; 901 g)12

; 25

; 3

10;

30901

h) a1 nem létezik, hiszen n = 1 esetén a kifejezés nincs értelmezve. A további elemek:23

; 38

; 30899

i) 0; 72

; 263

; 26 999

30j) 1; -2; 3; -30.

1624. A sorozatok egy lehetséges hozzárendelési szabályát adjuk meg, természetesen másmegoldás is elképzelhetõ.a) a nn = -2 4

a5 5= ; a6 8= ; a7 10= ; a30 56=b) an

n= -3 1

a5 81= ; a6 243= ; a7 729= ; a30293=

c) an n= -100

4 1

a52564

= ; a625

256= ; a7

251024

= ; a30 29100

4=

d) an n

n = + -17

1

2

( )

a5 27= ; a6 32= ; a7 38= ; a30 452=e) an

n= - ◊+( )1 31

a5 3= ; a6 3= - ; a7 3= ; a30 3= -f) an

n n= - ◊+ -( )1 21 1

a5 16= ; a6 32= - ; a7 64= ; a30 128= -g) a nn = -70 20

a5 30= - ; a6 50= - ; a7 70= - ; a30 530= - .

1625. Oldjuk meg a 2n + 3 = 113 egyenletet! n = 55, tehát a55 = 113, a100 = 203. Legyen asorozat két szomszédos eleme ak és ak+1. Azt kell megvizsgálni, hogy lehet-e

ak+1 - ak = 3, azaz

2 1 3 2 3 32 3

( ) ( )k k+ + - + ==

feltétel ellentmondásra vezet. Azt kaptuk, hogy a sorozatban két szomszédos elemkülönbsége 2, és nem lehet 3.

SOROZATOK

278

1626. Keressük azt az n természetes számot, amelyre

( )( )

- ◊ + =- ◊ =

1 1 1001 99

n

nn

n

Ez nem teljesülhet, hiszen az egyenlõség bal oldala minden páratlan természetes számranegatív.

a a99 10098 101= - =

1627. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a

2 13 1

1114

nn+-=

egyenletet!

n = 5 adódik, azaz a51114

= .

a a a1 2 332

55

178

= = = =

Keressük azt az n természetes számot, amelyre

2 13 1

0nn+-<

Mivel 3n - 1 minden pozitív természetes számra pozitív, ezért ez akkor teljesülhet, ha2n + 1 < 0. Ilyen természetes szám nem létezik, tehát a sorozatnak nincs negatív eleme.

1564. a)

n n1

22-

b)

n n2 1+

A SOROZAT MEGADÁSA

279

c)

n n2 3+

d)

n n( )+ 3 2

e)

nn

1

f)

nn

31+

g)

n n2

h)

n n2-

SOROZATOK

280

i)

n n -1

j)

n n2 1-

k)

n n - 2

l)

n n2 16-

1629. Egy n oldalú sokszög egy csúcsából húzható átlók száma: n - 3. E szerint a 103 oldalúsokszög egy csúcsából húzható 100 átló. Az 50 oldalú sokszög egy csúcsából 47 átlóhúzható.

1630. Egy n oldalú sokszögnek n n( )-3

2 átlója van. Egy 50 oldalú sokszögnek így 1175 átlója

van.

1631. Igen lehet. Az 5 oldalú sokszögnek 5 átlója van. Bebizonyítható, hogy másik sokszögilyen tulajdonságokkal nem rendelkezik.

1632. Az egy csúcsból húzható átlók az n oldalú sokszöget n - 2 darab háromszögre osztják.Így a 102 oldalú sokszög esetén lesz a háromszögek száma 100.

1633. Az n oldalú sokszög belsõ szögeinek összege:

( )n - ◊ ∞2 180 .

Így a háromszög belsõ szögeinek összege 180∞, a négyszögé pedig 360∞.

A SOROZAT MEGADÁSA

281

1634. Egy n oldalú szabályos sokszög egy oldalához tartozó középponti szög nagysága:360∞

n. A feladat szerint:

36010

36

∞ < ∞>

nn

Legalább 37 oldala van a szabályos sokszögnek.

1635. Egy n oldalú szabályos sokszög egy belsõ szögének nagysága: n

n- ◊ ∞2

180 . A feladat

szerint:n

nn

- ◊ ∞£ ∞£

2180 150

12Legfeljebb 12 oldala lehet a sokszögnek.

Számtani sorozatok

1636. A lehetséges számtani sorozatok:

a) a nn = +3 2 c) a nn = -12 5 d) an

n = +22

e) a b c ncn = - +2 f) a nn = +0 98 0 03, ,

1637. a) a nn = - +1 3 b) a nn = - +4 c) a nn = - +6 3

d) an

n = -34 12

e) an

n = +23 12

f) a nn = +1336

1972

1638. a) a a d10 1 9= + egyenlõség alapján: a10 20= .

b) a n nn = + - ◊ =2 1 2 2( ) c) Sa d

2012 19

220 420= + ◊ =

1639. a) a10 10 9 4 26= - + ◊ = b) S20 560=c) a nn = - + - ◊10 1 4( ) alapján

- + - ◊ ==

10 1 4 10229

( )nn

A sorozat 29. eleme lesz 102.

1640. a) a a d10 1 10 1= + -( ) alapján

29 9 356

1

1

= + ◊ -=

aa

( )

b) S20 550=

SOROZATOK

282

c) Keressük azt a természetes számot, amelyre:56 1 3 1992

68323

+ - ◊ - = -

=

( ) ( )

,

n

n

ez nem megoldás a természetes számok halmazán, tehát a sorozatnak nem eleme a-1992.

1641. a) A számtani sorozat esetén teljesül, hogy aa a

nn n= +- +1 1

2 (n > 1 term. szám)

aa a

21 3

24= + = .

b) Sa d

2012 19

220 420= + ◊ = .

1642. a) aa a

1110 12

2

23

123

276

= + =+

= .

b) Az a a d10 1 9= + egyenlõség alapján, ahol d = 12

, a1236

= - adódik.

c) a nn

n = - + - ◊ = -236

112

3 266

( ) .

1643. a) aa a k l

76 8

2 2= + = +

b) da a l k= - = -8 6

2 2

c) Az a a d6 1 5= + egyenlõség alapján a a d1 6 5= - = kl k- ◊ -5

2 =

6 52

k l-.

1644. Elõször célszerû a b) kérdésre válaszolni!

b) da a= - =5 2

3103

a) a a d1 2 10103

203

= - = - =

c) a nn

n = + - ◊ = +203

1103

10 13

( )( )

.

1645. Elõször a c) pont kérdésére válaszolva:

da a= - = -8 5

383

a) a a d6 5 883

163

= + = - = b) a a d7 6163

83

83

= + = - =

c) d = - 83

d)a a a a3 10 5 8

2 24

+ = + =

1646. a) da a= - =

+=11 7

4

910

57

4113200

b) a a d1 7 657

6113200

2873200

= - = - - ◊ = -

c)a a a a3 15 7 11

2 2

57

910

213

140+ = + =

- +=

SZÁMTANI SOROZATOK

283

1647. A megoldás során az a a n dn = + -1 1( ) összefüggést kell alkalmaznunk.

a) a16 78= b) a23 6= - c) a25563

= d) a13 1= e) a72735

= -

f) a k l19 18= +

1648. a1 2= ; a252

= ; a3 3= . Mivel d a a= - =2 112

, ezért a a d15 1 14 9= + = .

1649. Mivel d a a= - = - =2 154

114

, ezért a17 1 1614

5= + ◊ = .

1650. Mivel d = - =352

12

, így keressük azt az n természetes számot, amelyre:

1352

112

22

= + - ◊=

( )n

n

Tehát a22 13= .

1651. Mivel d = - =133

73

2 , így keressük azt az n természetes számot, amelyre:

793

73

1 2

13

= + - ◊=

( )n

n

Tehát a13793

= .

1652. A sorozat differenciája d a a b b= - - =( ) , így keressük azt az n természets számot,amelyre

a b a b n bn

+ = - + - ◊=

20 122

( )

Tehát a a b22 20= + .

1653. Legyen a1 7= , a8 35= . Ezért da a= - =8 1

74 . Így a megfelelõ számtani sorozat:

7; 11; 14; 15; 19; 23; 27; 31; 35.

1654. Legyen a1 1= , a7 25= . Ezért da a= - =7 1

64 . Így a megfelelõ számtani sorozat:

1; 5; 9; 13; 17; 21; 25.

1655. Legyen a1 1= , a19 10= . Ezértda a= - =19 1

1812

. Így a megfelelõ számtani sorozat:

1 112

2 212

3 312

9 912

10; ; ; ; ; ; ...; ; ; .

SOROZATOK

284

1656. A sorozat differenciája: da a= - =5 1

42

a a d7 1 6 15= + = .

1657. A sorozat differenciája: da a= - = -7 3

46

a a d10 7 3 16= + = - .

1658. A sorozat differenciája: da a= - = -10 7

31

a a d3 7 4 6= - = .

1659. Ha a második egyenletbõl kivonjuk az elsõt:

a a a ad d

d

3 1 9 7 112 2 11

114

- + - =+ =

=

Az elsõ egyenlet alapján

a a

a

1 1

1

6114

16

14

+ + ◊ =

= -

A sorozat elsõ eleme a114

= - , különbsége d = 114

.

1660. Az elsõ egyenlet alapján

a add

2 5 33 3

1

- =- =

= -A násodik egyenletbõl:

a d a da

1 1

1

2 3 118

+ + + ==

A sorozat elsõ eleme: a1 = 8, különbsége d = -1.

1661. Mivel a7 - a2 = 1, azaz 5d = 1, ezért d = 1

5.

Másrészt

a a

a a

a

20 10

1 1

1

2

191

52 9

1

51

5

= ◊

+ ◊ = + ◊ÊËÁ

ˆ¯

=

A sorozat elsõ három eleme: 1

5

2

5

3

5; ; .

SZÁMTANI SOROZATOK

285

1662. Mivel a a d10 5 5 80- = = , ezért d = 16. Azt kell megvizsgálni, hogy létezik-e olyan ntermészetes szám, amelyre

180 100 10 1615= + - ◊=

( )nn

A sorozat 15. eleme 180.

1663. Mivel a a1 17

23 27

215

+ = + = és a a

a1 1792

+ = , ezért a sorozat 9. eleme 15.

1664. Mivel a a d20 5 15 30- = = , azaz d = 2. Ezért a sorozatnak nem lehet páratlan szám azeleme.

1665. Az elsõ egyenlõség alapján:

a a dd

8 3 5 3 750 75

- = ==

,,

A második egyenlõséget osztva 2-vel:

a aa2 4

32136

+ = =

Így a a d5 3 2113

= + = .

1666. A feladatnak csak olyan számtani sorozatok felelhetnek meg, amelyek különbségéreigaz, hogy

d £ 2

Legyen a sorozat elsõ eleme a1. Így

2 32

4 18

2 3 9

1

1

a d

a d

+ ◊ =+ =

Ha d = 0, akkor nincs megoldás, hiszen a192

= adódna.

Ha d = 1, akkor a1 = 3 és a keresett szám: 3456.

Ha d = -1, akkor a1 = 6 és a keresett szám: 6543.Ha d = ±2, akkor sem kapunk a1 értékére egész számot.Így a feladatnak két négyjegyû szám tesz eleget:

3456 és 6543.

1667. a3 50= és a a10 8 10= - . Használjuk fel, hogy a a d10 3 7= + és a a d8 3 5= + , így amásodik feltétel:

50 7 50 5 105

+ = + -= -

d dd

Mivel a a d3 1 2= + , ezért a1 50 2 5 60= - ◊ - =( ) . A sorozat elsõ eleme a1 60= .

SOROZATOK

286

1668. Mivel a a d243 28 215 215- = = , így d = 1. a a d1 28 27 28 27 1= - = - = .

Az elsõ száz elem összege:

Sa d

10012 99

2100 5050= + ◊ = .

1669. Jelöljük az elsõ három elem összegét A-val, a következõ három elemét B-vel. A feladatfeltételei szerint:

A BA B

= -+ =

3060

Ezt az egyenletrendszert megoldva A = 15 és B = 45 adódik. Másrészt ha a sorozat elsõeleme a1, különbsége d:

2 22

3 15

2 52

6 60

1

1

a d

a d

+ ◊ =+ ◊ =

Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai: a153

= , d = 103

.

1670. Használjuk az Sa n d

nn =+ - ◊2 1

21 ( )

összegképletet!

a) S15 330= b) S50 7550= c) S6 45= - d) S12 630=

e) S20126512

= - f) S11992

= g) S25 295= .

1671. Mindegyik esetben számtani sorozatokról van szó.

a) S1001 100

2100 5050= + ◊ = b) S50

2 1002

50 2550= + ◊ =

c) S451 89

245 2025= + ◊ =

1672. Mindegyik esetben számtani sorozatok összegét kell meghatározni.

a) a a S1 900 900100 999100 999

2900 494 550= = = + ◊ =

b) a a S1 450 450100 998100 998

2450 247 050= = = + ◊ =

c) a a S1 450 450101 999101 999

2450 247 500= = = + ◊ =

1673. Legyen a1 12= , a30 99= . Meghatározandó: S3012 99

230 1665= + ◊ = .

1674. Legyen a1 100= , a180 995= . Az 5-tel osztható háromjegyû számok összege így:

S180100 995

2180 98 550= + ◊ = .

SZÁMTANI SOROZATOK

287

1675. A megfelelõ számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1 105= , a150 999= . Ezekösszege:

S150105 999

2150 82 800= + ◊ = .

1676. A páros számok összegébõl vonjuk ki a 3-mal osztható páros (6-tal osztható) számok

összegét! A páros kétjegyû számok összege: S12 98

249 2450= + ◊ = . A 6-tal osztható

héthegyû számok összege: S26 96

216 816= + ◊ = . A keresett összeg: S S S= - =1 2 1634 .

1677. A számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1 102= , a180 997= . Ezek összege:

S180102 997

2180 98 910= + ◊ = .

1678. Legyen a keresett elemszám n. A sorozatban a1 5= és d = 4. Az összegképlet alapján:

2 5 1 42

10 877◊ + - ◊ ◊ =( )n

n .

Az egyenletnek két gyöke n1 73= és n2149

2= - .

A feladatnak az n1 73= tesz csak eleget.

1679. A sorozatban a112

= , d = 23

. A keresett elemszámot jelölje n.

a) Sn > 100 azaz 2

12

123

2100

◊ - ◊◊ >

( )nn .

Az egyenlõtlenség megoldása: n < - +1 48014

vagy n > - - ª1 48014

17 07, . Ezért

legalább 18 elemre van szükség.

b) Sn < 300 azaz 2

12

123

2300

◊ - ◊◊ <

( )nn .

Az egyenlõtlenség megoldása: - + < < - - ª1 144012

1 144012

29 75n , . Legfeljebb

29 elemet vehetünk.

c) Sn =165 azaz 2

12

123

2165

◊ - ◊◊ =

( )nn .

Az egyenletnek két megoldása van n1 22= és n2452

= - . Tehát 22 elemet kell

vennünk a sorozatból!

SOROZATOK

288

1680. Alkalmazzuk a következõ összefüggéseket!

da an

Sa a

nnn

n= --

= + ◊1 1

1 2

a) d S= =8919

90020; b) d S= =285

23111;

c) d S= =47182

13771427; d) d S= =85

21134

73;

1681. Alkalmazzuk az a a n dn1 1= - -( ) és az Sa a

nnn= + ◊1

2 összefüggéseket!

a) a S1 1538 360= - = -; b) a S1 4519 10 755= =;

c) a S1 134 3212

= =; d) a S1 20912

95= - = -; .

1682. Alkalmazzuk az na a

dn= - +1 1 és az S

a ann

n= + ◊1

2 összefüggéseket!

a) n S= =500 250 000500; b) n S= = -16 20016;

c) n S= =200 10 050200; d) n S= =25 27525; .

1683. A polcokon levõ könyvek száma számtani sorozatot alkot, ahol a1 35= , d = 4 és n = 8.A könyvek száma:

S82 35 7 4

28 392= ◊ + ◊ ◊ = .

1684. Az egyes másodpercekben megtett utak hossza számtani sorozatot alkot, ahol a1 16= ,

d = 32. A 6. másodpercben megtett út: a6 = 16 + 5 ◊ 32 = 176. A 6. másodperc alatt

megtett út: S616 176

26 576= + ◊ = .

1685. Az ütések száma: 1, 2, 3, ..., 12 sorozat kétszeri ismétlõdése. Így az ütések száma:

1 122

12 2 156+ ◊ ◊ = .

1686. Az elõzõ feladat megoldása szerint az egész órák ütése során 156 ütés hangzik el. Egyórán belül a negyed órák ütése során 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ütés hangzik el. Ez 24 óra alatt240 ütést jelent. Így az óra egy nap alatt 240 + 156 = 396-szor üt.

1687. A hõmérsékletek olyan számtani sorozatot alkotnak, ahol d = -0,5. Ha an ennek asorozatnak az n-dik eleme, akkor

S

a

12

1

1212 75

2 11 0 52

12

1212 75

=◊ + ◊ - ◊

=

,

( , )

,

Az egyenletet megoldva: a1 15 5= , , azaz október elsején 15,5 ºC volt.

SZÁMTANI SOROZATOK

289

1688. A naponta megkötött sál hossza olyan számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 18 és d = 4. Aszükséges napok száma legyen n.

Sn

nn =◊ + - ◊ ◊ =2 18 1 4

2200

( )

Ezt n-re megoldva n1 2 29 4 6 77= - ª , és n2 2 29 4= - - adódik. Tehát a sál 7 napalatt készül el.

1689. Legyen a szükséges órák száma n. Az egyes órák alatt megtett km-ek száma olyanszámtani sorozatot alkot, ahol a1 = 15 és d = -1. Az összegképlet alapján:

2 15 1 12

54◊ + - ◊ - ◊ =( ) ( )n

n

Az egyenletet megoldva n1 = 4 és n2 = 27 adódik. Ez azt jelenti, hogy 4 óra illetve 27óra múlva lenne a kerékpáros az indulási helyétõl 54 km-re. A 27 óra esetén ez aztjelenti, hogy a mozgása során visszafordul. (A 16. órában egy órát pihen, hiszena16 = 0.)

1690. Az egy perc alatt mérhetõ sebességváltozás

Dv = = ª30

113011

2 73

kmh

kmh

kmh

, .

1691. Az egyes sorokban található székek száma olyan számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 73és d = 6. Mivel 27 sora van, ezért a székek száma

S272 73 26 6

227 4077= ◊ + ◊ ◊ = .

1692. A sebességek olyan számtani sorozatot alkotnak, ahol a5 3 2= , ms

és a1 = 0,5 + d,

hiszen az elsõ másodperc végén már a 0 5, ms

kezdõsebességet a változás megnöveli.

Ezek szerint:a a d

dd

5 1 43 2 0 5 5

0 54

= += +=

, ,,

A golyó sebessége másodpercenként 0,54 ms

-ot változott.

1693. A sorokban található helyek száma olyan számtani sorozat, ahol: a1 = 68 és d = 12.Mivel 22 sor van, ezért a székek száma:

S222 68 21 12

222 4268= ◊ + ◊ ◊ =

SOROZATOK

290

1694. Jelöljük a sorok számát n-nel. Az egyes sorokban található golyók száma olyan

számtani sorozat, amelyre a1 = 1 és d = 1. Az Sa n d

nn =+ - ◊2 1

21 ( )

öszefüggést

alkalmazva:

a)2 1

215

+ - ◊ =nn

Az egyenletet megoldva n1 = 5 és n2 = -6. Tehát a 15 golyóhoz 5 sorra van szükség.

b)2 1

269

+ - ◊ =nn

Az egyenletet megoldva n11 553

2= - +

és n21 553

211 26= - - ª , adódik. Ez azt

jelenti, hogy 12 sorra van szükségünk 69 golyó esetén.

1695. Az egyes sorokban található háromszögek száma olyan számtani sorozat, ahol a1 = 1 ésd = 2.Az elsõ 10 sorban található háromszögek száma:

S102 1 9 2

210 100= ◊ + ◊ ◊ = .

1696. A sorokban található gerendák száma számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 15 és d = -1.Összesen 15 sor keletkezik. A gerendák száma:

S152 15 14 1

215 120= ◊ + ◊ - ◊ =( )

.

1697. A kivett szemek száma számtani sorozatot alkot, a1 = 1 és d = 2. Összesen 20-szorvettek a kosárból, így az összes szemek száma:

S202 19

220 210= + ◊ = .

Péter által kivett szemek száma olyan számtani sorozat, ahol a1 = 1 és d = 2. Összesen:

S102 9 2

210 100= + ◊ ◊ = .

Mivel Péter 100 szemet vett ki, ezért Pálnak 210 - 100 = 110 szem jutott.

Mértani sorozatok

1698. Jelölje an a számtani, bn a mértani sorozat általános tagját.

a) Számtani s.: 6; 18; 30; 42; 54; ... a20 = 234

Mértani s.: 6; 18; 54; 162; 486; ... b20 = 6 ◊ 319

b) Számtani s.: 2; 1; 0; -1; -2; ... a20 = -17

Mértani s.: 2; 1; 12

; 14

; 18

; ... b20 = 1

218

MÉRTANI SOROZATOK

291

c) Számtani s.: 23

; 12

; 13

; 16

; 0; ... a20 = - 52

Mértani s.: 23

; 12

; 38

; 9

32;

27127

; ... b20 = 3

2

18

37

d) Számtani s.: 2 ; 1; 2 2- ; 3 2 2- ; 4 3 2- ; ... a20 = 19 18 2-

Mértani s.: 2 ; 1; 2

2;

12

; 2

4; ... b20 =

1

2

1

218 9e j=

1699. a) 3; 9; 27; q = 3 b) 6; 18; 54 q = 3

c)12

; 14

; 18

q = 12

d)32

; 34

; 38

q = 12

1700. a)

ann= 2

b)

ann= ◊3 2

c)

ann= -( )2

d)

an

n

= ◊ FHGIKJ3

12

SOROZATOK

292

1701. a) an

n

= ◊ FHGIKJ-

52

12

1

b) ann= ◊ -3

23 1 c) an

n

= ◊ FHGIKJ-

76

23

1

d) ann= ◊ - -

5 51b g

1702. Használjuk fel az a a qnn= ◊ -

11 összefüggést!

a) a1 = 2 q = 12

a10 = 2 ◊ 12

9FHGIKJ =

1

28

b) a1 = 4 q = -3 a10 = 4 ◊ (-3)9 = -78 732

c) a1 = 6 q = 23

a10 = 6 ◊ 23

9FHGIKJ =

10246561

d) a1 = 5 q = - 25

a10 = 5 ◊ -FHGIKJ

25

9

= - 512390 625

1703. Mivel q = aa

2

1

= 4. Ezért a kilencedik elem:

a9 = a1 ◊ q8 = 2 ◊ 48 = 217 = 131 072.

1704. q = aa

2

1

= 34

. Felhasználva, hogy a a qnn= ◊ -

11 , an

n

= ◊ FHGIKJ-

434

1

és a8

7

434

= ◊ FHGIKJ .

1705. q = aa

2

1

= - 23

, így a hetedik elem:

a7

6

623

128243

= ◊ -FHGIKJ = .

1706. q = aa

2

1

= 2 ; an

n=

-2

1e j ; a9

82 16= =e j .

1707. Az a a qnn= ◊ -

11 összefüggést felhasználva:

a) a10 71

2= b) a10 = (-5) ◊ (-3)9 = 98 415

c) a10 = 6 ◊ -FHGIKJ

23

9

= -10246561

d) a10 = 1200 ◊ (0,1)9 = 1,2 ◊ 10-6

e) a10 = 558

◊ -FHGIKJ

23

9

= - 3202187

f) a10 = 2 ◊ 2 45 259e j ª ,

1708. a) a7 = a1 ◊ q6 = 12 288

b) A két sorozat egyenlõ, hiszena1 ◊ a7 = a1 ◊ a1 ◊ q

6 = a12 ◊ q6

a2 ◊ a6 = a1 ◊ q ◊ a1 ◊ q5 = a1

2 ◊ q6

MÉRTANI SOROZATOK

293

1709. a) a1 = a

q32 = 2

b) A két sorozat egyenlõ, hiszena1 ◊ a9 = a1 ◊ a1 ◊ q

8 = a12 ◊ q8

a5 ◊ a5 = a1 ◊ q4 ◊ a1 ◊ q

4 = a12 ◊ q8

1710. Haználjuk fel, hogy a mértani sorozatok esetében igaz, hogy a a an n n2

1 1= ◊- + . A

feladatok esetében a a a2 1 3= ◊ vagy a a a2 1 3= - ◊ is megoldás lehet.

a) a2 = ±6 b) a2 = ±12 c) a2 = ±9 d) a2 = ±15 e) a2 = ± 3 2

f) a2 = ± 54

.

1711. Haználjuk fel az aa

qn

n1 1= - összefüggést!

a) aa

q187

164

= = b) aa

q187 3= = c) a

a

q198 2916= =

d) aa

q165

827

0 296= = ª ,

1712.Használjuk a qaa

n n- =1

1

összefüggést!

a) qaa

q4 5

1

2= fi = ± b) qaa

q2 3

1

35

= fi = ± c) qaa

q5 6

1

12

= fi =

d) qaa

q3 4

1

315

= fi =

1713. a a a32

2 4= ◊ alapján a3 = ±18.

1714. a a a82

7 9= ◊ alapján a8 = ±9.

1715. a a a62

5 7= ◊ alapján a6 = ± 3 2 .

1716. A mértani sorozat hányadosa q = 3. Az S aqqn

n

= ◊ --1

11

összegképlet alapján:

S7

6

23 13 1

728= ◊ --

= .

1717. S aqqn

n

= ◊ --1

11

képletet alkalmazva:

S10

10

1

12

1

12

1

1023512

1 998= ◊

FHGIKJ -

-= ª ,

SOROZATOK

294

1718. Mivel q = - 13

, ezért

S10

10

13

13

1

13

1

14 76259 049

0 25= ◊-FHGIKJ -

- -= ª ,

1719. S7

7

22 1

2 114 2 30 49 799= ◊

-

-= + ª

e j,

1720. S10

10

76

23

1

23

1

406 175118 098

3 439= ◊

FHGIKJ -

-= ª ,

1721. Mivel a3 = a1 ◊ q2, ezért

q2 = 4 fi q1 = 2 vagy q2 = -2

Az elsõ húsz elem összege:

S20

2012

2 12 1

1 048 5752

= - ◊ --

= - , vagy

S20

201

2

2 1

2 1

349 525

2' ( )

( )= - ◊ - -

- -= -

1722. Felhasználva, hogy a3 = a1 ◊ q2

q1 = 3

3 vagy q2 = - 3

3.

Az elsõ tíz elem összege:

S10

10

23

33

1

33

1

242 3729

242243

1 571= ◊

FHGIKJ -

-= + ª , , vagy

S10

10

23

33

1

33

1

242 3729

242243

0 421' ,= ◊-FHGIKJ -

- -= - + ª .

1723. Felhasználva, hogy a6 = a1 ◊ q5

q = 12

MÉRTANI SOROZATOK

295

Az elsõ hat elem összege:

S6

6

160

12

1

12

1315= ◊

FHGIKJ --

= .

1724. Felhasználva az S aqqn

n

= ◊ --1

11

összefüggést:

a) S5

5

8

12

1

12

1

312

15 5= ◊

FHGIKJ --

= = , b) S7

772

3 13 1

3 1 2186= ◊ --

= - =

c) S7

774

3 13 1

3 1 2188= - ◊ - -- -

= - - = -( )( )

d) S5

5

12

34

1

34

1

234364

= ◊

FHGIKJ --

=

1725. A qaa

n n- =1

1

és az S aqqn

n

= ◊ --1

11

összefüggések alapján:

a) q = 3 és S7

7

23 13 1

2186= ◊ --

= , vagy q = -3 és S7

7

23 13 1

1094= ◊ - -- -

=( ).

b) q = 4 S4

4

112

4 14 1

12712

= ◊ --

= c) q = -4 S4

4

1 54 14 1

76 5= - ◊ - -- -

=,( )

, .

1726. A sorozat a1 elemére teljesül, hogy a1 ◊ a5 = a32 , ezért a1 =

12

. Az a3 = a1 ◊ q2

összefüggés alapján q1 = 2 vagy q2 = - 2 . Az elsõ 10 elem összege:

S10

10

12

2 1

2 1

31 2 1

237 420= ◊

-

-=

+ª

e j e j,

S10

10

12

2 1

2 1

31 1 2

26 420' ,= ◊

- -

- -=

-ª -

e j e j

1727. Az a a qnn= ◊ -


a qa q q

q1

12

21 61 24

4( )( )+ =+ ◊ =

UVW =

q = 2 vagy q' = -2

A sorozat elsõ eleme:

a1 = 2 vagy a1’ = -1.

SOROZATOK

296

1728. Az a a qnn= ◊ -

11 összefüggés alapján:

a qa q q

q1

12

21 71 63

9( )( )+ =+ ◊ =

UVW =

q1 = 3 vagy q2 = -3

a1 = 74

vagy a1’ = - 72

.

S10

1074

3 13 1

51 667= ◊ --

= vagy S10

1072

3 13 1

51 667' ( )= - ◊ - -- -

= - .

1729. Az a a qnn= ◊ -


a qa q q

q1

12

21 51 20

4( )( )- =- ◊ =

UVW =

q1 = 2 vagy q2 = -2

a1 = -5 vagy a1’ = 53

.

1730. Mivel a1 + a2 + a3 = a1(1 + q + q2), ezért a1 = 6. S5

5

62 12 1

186= ◊ --

= .

1731. a1 ◊ a3 = a22 , ezért a2 = 4 vagy a2’ = -4. A sorozat elsõ eleme: a1 = 2 vagy a1’ = 10. A

sorozat hányadosa: q1 = 2 vagy q2 = - 25

.

1732. a1 ◊ a3 = a22 , ezért a2 = 4 vagy a2’ = -4. Ez alapján a harmadik elem a3 = - 8

3 vagy

a3’ = 163

. A sorozat elsõ eleme: a1 = -6 vagy a1’ = 3. A sorozat hányadosa: q1 = - 23

vagy q2 = - 43

.

1733. A két egyenletet összeadva a5 = 24 és a2 = 18 adódik. A sorozat hányadosa

q = aa

5

2

3 = 43

3 . AZ elsõ eleme: a1 = aq2 = 18 ◊ 3

43 .

1734. A feladat feltételei szerint: a1 + a2 + a3 = 168 és a4 + a5 + a6 = 21. A hányados és azelsõ elem segítségébel:

a1(1 + q + q2) = 168

a1(1 + q + q2) ◊ q3 = 21

A két egyenletet egymással osztva q = 12

adódik. a1 = 96. A sorozat elsõ hat eleme: 96;

48; 24; 12; 6; 3.

MÉRTANI SOROZATOK

297

1735. Az a a qnn= ◊ -


a1(1 + q + q2) = 2

a1(1 + q + q2) ◊ q = 6

Az egyenleteket egymással osztva q = 3 és a1 = 2

13. Az elsõ négy elem összege:

S4

4213

3 13 1

8013

= ◊ --

= .

1736. A két egyenletet átalakítva:

a1(1 + q + q2) = -2

a1(1 + q + q2) ◊ q = -6

Ezeket egymással osztva q = 3 és a1 = - 213

adódik.

1737. Az a a qnn= ◊ -


a1(1 + q2 + q4) = -9

a1(1 + q2 + q4) ◊ q = 9

Az egyenleteket egymással osztva q = -1 és a1 = -3 adódik. A sorozat elsõ három

eleme: -3; 3; -3.

1738. Mivel a1 ◊ a3 = a22 , ezért a2 = 1 vagy a2’ = -1. Ha a2 = 1, akkor a4 =

14

, ha a2’ = -1,

akkor a4’ = 94

. Ennek megfelelõen a sorozat hányadosa q2 = aa

4

2

egyenlõség alapján

q = ± 12

. Az a2’ = -1 a4’ = 94

nem ad megoldást, hiszen a hányadosra q2 = - 94

adódna.

A sorozat elsõ három eleme:

2; 1; 12

vagy -2; 1; - 12

.

1739. Mivel a1 = 1 és a2 = 4, ezért q = 4.

a) S7

7

14 14 1

5461= ◊ --

= .

b) Az elsõ hét elemének szorzata:

a a a a a a aa

q

a

q

aq

a a q a q a q1 2 3 4 5 6 743

42

44 4 4

24

3◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ = ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ =

= = ◊ = ◊ =a a q a q47

13 7

17 21 214( ) .

SOROZATOK

298

1740. a1 = 1 és a2 = 3, ezért q = 3.

a) S10

10

13 13 1

29 524= ◊ --

=

b) a a a a a q a q a q a q a q1 2 10 1 1 12

19

110 1 2 9

110 45 453◊ ◊ ◊ = ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ = ◊ = ◊ =+ + +... ( ) ( ) ... ( ) ... .

1741. A sorozat hányadosa q = 12

.

a) S10

10

10

91

12

1

12

1

2 1

2

1023512

= ◊

FHGIKJ -

-= - =

b) a a a a a q a q a q a q a q1 2 10 1 1 12

19

110 1 2 9

110 45

451

2◊ ◊ ◊ = ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ = ◊ = ◊ =+ + +... ( ) ( ) ... ( ) ... .

Vegyes feladatok

1742. A betét nagysága olyan mértani sorozatot alkot, ahol a1 = 25 000 és q = 22

100 + 1 =

6150

.

A tíz év múlva kapott összeg: a11 = a1 ◊ q10 ª 182 615,8 Ft.

1743. A betét összege legyen x. Mivel öt év múlva 5000 Ft kamatot kapunk, ez x-szelkifejezve:

x x124

1005000

5

+FHGIKJ - =

Ezt az egyenletet megoldva: x ª 2588,5 Ft betét szükséges.

1744. A 10 év múlva felvehetõ összeg:

x = ◊ +FHGIKJ ª20 000 1

22100

146 092 610

,

1745. A betét összege öt év múlva: 30 000 ◊ 125

100

5

+FHGIKJ . Az infláció miatt a vásárlóértéke:

30 000 ◊ 125

100

5

+FHGIKJ ◊ 1

29100

5

-FHGIKJ = 16 518,2 Ft.

1746. Fél év, azaz hat hónap elteltével a bevétel:

x = 3,6 ◊ 106 ◊ 16

100

6

+FHGIKJ ª 5,1 ◊ 106 = 5,1 milló Ft.

VEGYES FELADATOK

299

1747. A kiindulási összeg legyen x. 12 hónap elteltével:

x ◊ 15

100

12

+FHGIKJ = 106

Az egyenletet megoldva a kiindulási összeg nagysága

x ª 556 837,4 Ft.

1748. A város lakosság 50 év múlva:

x = 600 000 ◊ 17

100

50

+FHGIKJ ª 17 674 215.

1749. Az ország lakosság 25 év múlva:

x = 106 ◊ 12

100

25

-FHGIKJ ª 603 465.

1750. A száz évvel ezelõtti lakosok száma legyen x.

x ◊ 16

100

100

+FHGIKJ = 2 ◊ 106

Az egyenletet megoldva a városban száz éve x ª 5894-en laktak.

1751. A teniszlabda a hatodik ütközés után x = 10 ◊ 0,756 = 1,78 m magasra emelkedik.

1752. Ha a kezdeti hõmérséklet nagysága x, akkor

x ◊ 15

100

5

-FHGIKJ = 18

Ismét x ª 23,26 ∞C adódik.

1753. A radioaktív anyag mennyisége olyan mértani sorozatot alkot, ahol q = 12

. 8 óra

elteltével x = 400 ◊ 12

8FHGIKJ = 1,5625 mg radioaktív anyag marad.

1754. 16 méteres kút esetén.

I. mester bére: 16 ◊ 500 = 8000 Ft.

II. mester bére: 0,1 + 0,1 ◊ 2 + 0,1 ◊ 22 + ... + 0,1 ◊ 215 = 0,1 ◊ 2 12 1

16 --

= 6553,5 Ft.

Ebben az esetben a II. mester olcsóbban dolgozik.20 méteres kút esetén:

I. mester bére: 20 ◊ 500 = 10 000 Ft.

II. mester bére: 0,1 ◊ 2 12 1

20 --

= 104 857 Ft.

Ekkor már az I. mester sokkal olcsóbban dolgozik!

SOROZATOK

300

1755. Mivel a lónak négy lába van, a patkószögek száma: 6 ◊ 4 = 24.

Így a ló ára: 0,1 + 0,1 ◊ 2 + 0,1 ◊ 22 + ... + 0,1 ◊ 223 = 0,1 ◊ 2 12 1

24 --

= 1 677 721,5 Ft.

1756. A fénynyaláb erõssége olyan mértani sorozatot alkot, ahol q = 15

. Öt üveglap után az

intenzitása 1

55 = 1

3125 részére csõkken.

1757. A golyó sebesség az ötödik lemez után x = 800 ◊ 0,85 = 262,144 ms

.

1758. Legyen r1 = 10 cm az elsõ kör sugara és a1 az elsõnégyzet egy oldalának a hossza.

a1 = 2 ◊ r1

r2 = a1

2 =

22

◊ r1

A körök sugarai olyan mértani sorozatot alkotnak,ahol

r1 = 10 és q1 = 2

2.

A négyzet oldalaira

a2 = 2 ◊ r2 = 2

2 ◊ a1.

Ezek szintén mértani sorozatot határoznak meg, ahol

a1 = 2 ◊ 10 és q2 = 2

2.

A negyedik négyzet egy oldala a4 = a1 ◊ 2

2

3FHGIKJ = 5 cm, kerülete k4 = 20 cm, területe

t4 = 25 cm2. A kerületek szintén mértani sorozatot alkotnak:

k1 = 40 ◊ 2 és q = 2

2.

Az elsõ négy kerület összege: 40 ◊ 2 ◊

22

1

22

1

4FHGIKJ -

- ª 144,85 cm.

A területek mértani sorozata:

t1 = 200 és q = 12

.

Az elsõ négy terület összege: 200 ◊

12

1

12

1

4FHGIKJ --

= 375 cm2.

r1

r2

a2

a1

VEGYES FELADATOK

301

1759. A feltétel azt jelenti, hogy a baktériumok száma 6 óránként megkétszerezõdik. Egy hét

alatt 7 24

6◊

= 28 ilyen periódus van, ezért a baktériumszám:

1 ◊ 228 ª 2,684 ◊ 108.

1760. Az egyes nemzedékekben található legyek száma a következõ módon alakul:I.

1500II.

1500 ◊ 750III.

1500 ◊ 7502IV.

1500 ◊ 7503

Így a legyek száma a IV. nemzedék után

S4 = 1500 ◊ 750 1750 1

4 --

ª 6,34 ◊ 1011 = 634 milliárd.

1761. A 20 év múlva mérhetõ faállomány térfogata:

V20 = 6800 ◊ 13

100

20

+FHGIKJ ª 12 281,56 m3.

1762. A kiömlõ víz mennyisége 5 perc elteltével:

S5 = 120 ◊ 0 99 10 99 1

5,,

--

ª 588,12 hl.

A tartályban maradó víz mennyisége:

9000 hl - 588,12 hl = 8411,88 hl.

1763. A gép értéke 20 év elteltével:

200 000 ◊ 0,9320 ª 46 847,8 Ft.

1764. A hírrõl értesülõk száma az idõ függvényében:

0 h12

h 1 h 112

h 2 h ... 12 h

1 2 4 8 16 224

Olyan mértani sorozat adódik, ahol a1 = 1, q = 2. 12 óra elteltével a hírt ismerõk száma:

S = 1 + 2 + ... + 224 = 2 12 1

25 --

= 33 554 431.

1765. A dugattyú egy mozdulata után az edényben maradt levegõ nyomása a szívás elõtti

nyomás 78

része lesz. 12 mozdulat után a kialakuló nyomás nagysága:

p = 78

12FHGIKJ ◊ p0, ahol p0 = 105 Pa

p ª 21,15 Pa.

SOROZATOK

302

1766. A sakktáblán 64 mezõ van, így a szükséges búzaszemek száma:

1 + 2 + 4 + ... + 263 = 2 12 1

64 --

ª 1,845 ◊ 1019.

A kért búzamennyiség tömege: 1,15 ◊ 1015 kg = 1,15 billió tonna!

1767. Jelölje az n-edik négyzet olalát an, területét tn.Mivel a1 = 1 és t1 = 1, elõször vizsgáljuk meg a2

értékét! Pitagorasz-tételét alkalmazva:

2 ◊ a22

2FHGIKJ = a1

2

a2 = 2 ◊ a1

Általában is igaz, hogy

an = 2 ◊ an-1

Az oldalak olyan mértani sorozatot alkotnak, ahol

a1 = 1 és q = 2 . Eszerint:

a10 = 29e j ◊ a1 = 16 2

t10 = a102 = 512.

1768. Az n-edik négyzet oldala legyen an, területe tn. Pitagorasz-tétele alapján:

a aan n

n- -FHGIKJ +FHGIKJ =1

31 2

32

3

a an n= -5

3 1

Az oldalak olyan mértani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 1 és q = 5

3. Az elsõ öt négyzet

kerületének összege:

4 ◊ (a1 + ... + a5) = 4 ◊

53

1

53

1

5FHGIKJ -

- ª 12,09

A tizedik négyzet területe:

t10 = a102 =

53

18FHGIKJ ª 0,005.

1769. Az n-edik szabályos háromszög oldala legyen an. Az egymást követõ háromszögekreigaz, hogy

an = 12

◊ an-1

a2

a1

VEGYES FELADATOK

303

A hetedik háromszögre: a7 = 12

6FHGIKJ ◊ a1 =

164

. Kerülete: k = 3

64. Területe: t =

34

72a

=

= 3

16 384 ª 1,06 ◊ 10-4.

1770. Az n-edik szabályos háromszög oldala legyen an,kerülete pedig kn. a1 = 1 és k1 = 3. A Pitagorasz-tételalapján, az ábra szerint:

aa

ann

n- -FHGIKJ + = FHG

IKJ1

22 1

2

32

3

a an n= -3

3 1.

A hetedik háromszög esetén:

a a7

6

13

3127

=FHGIKJ =

k7327

19

= = .

A keresett százalék:kk

7

1

19

11 11= ª , %.

1771. Jelöljük az n-edik körgyûrû területét tn-nel.

tn = (n + 1)2 ◊ p - n2 ◊ p = (2n + 1) ◊ pA körgyûrûk területei számtani sorozatot határoznak meg.

t10 = 21 ◊ p ª 65,97.

1772. A fa ágainak száma a következõk szerint alakul

5 éves(8 ág)

6 éves(13 ág)

7 éves(21 ág)

Ha az ágak számát az n-edik évben an jelöli, akkor észrevehetõ, hogy an = an-1 + an-2.

(Fibonacci-sorozat) Így a 8 = 13 + 21 = 34 ága lesz a fának 8 éves korában.

an

23

1an-

an-1

3

SOROZATOK

304

1773. Az egyes pontokba írva, hogy oda hányféle módon érkezhetünk, azadódik, hogy a csúcsra 8 féle úton juthatunk.

1774. Írjuk az egyes pontokba, hogy hányféle módon érkezhetünk oda!

1775. Az egyes mezõkre írjuk, hogy hányféle módon érhetjük el.a)

1 8 36 120 330 792 1716 34321 7 28 84 210 462 924 17161 6 21 56 126 252 462 7921 5 15 35 70 126 210 3301 4 10 20 35 56 84 1201 3 6 10 15 21 28 361 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1

A jobb felsõ sarokba 3432 útonjuthatunk el.

b) Hasonlóan kitöltve a táblázatot adódik, hogy a lehetséges útvonalak száma: 48 639.

1776. Ha a sorozat differenciája d, akkor az elsõ egyenlõség:

a2 - d + a2 + a2 + d = -12, azaz a2 = -4

A második egyenlõség alapján:

(-4 - d) ◊ (-4) ◊ (-4 + d) = 80

Ezt megoldva d1 = 6 vagy d2 = -6. A sorozat elsõ három eleme:

-10; -4; 2 vagy 2; -4; -10.

1777. Fejezzük ki az egyes elemeket a10 és a sorozat d differenciájának segítségével:

a10 - 6d + a10 - 2d + a10 + 2d + a10 + 6d = 224

a10 = 56

Az elsõ tizenkilenc elem összege:

S19 = a1 + a2 + ... + a10 + ... + a19 = a10 - 9d + a10 - 8d + ... + a10 + ... +

+ a10 + 9d = 19 ◊ a10 = 1064.

VEGYES FELADATOK

305

1778. Ha az áru eredeti ára x forint, akkor az egyes árcsökkenések hatására az ára:

x ◊ 0,9 ◊ 0,95 = x ◊ 0,855

Ez azt jelenti, hogy az eredeti ár 14,5 %-kal csökkent.

1779. Minden kiöntés esetén a kiömlõ alkohol mennyisége arányos az edényben levõ alkohol

mennyiségével, ennek 120

része, így az edényben minden esetben 1920

rész marad.

Mivel kezdetben 20 l alkohol volt, ezért a tizedik kiöntés után:

20 ◊ 1920

10FHGIKJ l ª 11,97 l alkohol marad.

1780. Legyen a pontok száma n. Ha ezeket úgy vesszük fel a körvonalon, hogy ezeketösszekötve a kör belsejének bármelyik pontjában legfeljebb két összekötõ szakasz mes-se egymást, akkor az egyes esetekben a következõ részek száma az alábbi módon ala-kul:

n a pontok száma r a részek száma

12345

1248

16

Ezek után megfogalmazható egy sejtés, amely megadja a részek számát az n függvé-

nyében. Arra gondolhatunk, hogy r = 2n-1. Látható, hogy a képlet n £ 5 esetén helyesenadja meg a részek számát.Ha megvizsgáljuk az n = 6 esetet, akkor azt várjuk, hogy 25 = 32 rész keletkezik. Ezazonban nincs így! n = 6 esetben a kör részeinek száma csak 31.A feladat jó példát adhat arra, hogy soha nem szabad elhamarkodottan általánosítani.10 pont felvétele esetén legfeljebb 256 síkidom keletkezhet. Ez egy megfelelõ ábraelkészítése esetén még összeszámlálható.

1781. Jelöljük az illeszthetõ egyenesek számát e-vel. A pontokat megfelelõ helyzetben a síkonfelvéve, a következõ táblázat nyerhetõ:

n e

456

61015

Mivel bármelyik pont n - 1 másik ponttal határoz meg egy egyenest, így ha pontonkéntösszeszámoljuk és figyelembe vesszük, hogy egy egyenest két pont esetén számolunk,akkor n pont esetén az egyenesek száma:

en n= -( )1

2.

SOROZATOK

306

1782. Az egyenesek akkor adnak legtöbb metszéspontot, ha nincsenek közöttük párhuzamo-sak és bármely metszéspontot át csak két egyenes halad át. Ilyen feltételek esetén a kö-vetkezõ táblázatot kapjuk. (n az egyeneses, p a pontok száma.)

n p

2345

136

10

Mivel bármelyik egyenes n - 1 egyenssel ad metszéspontot, és bármelyik metszéspontpontosan két egyenes metszéspontjaként jön létre, ezért az általános formula a követke-zõ lesz:

pn n= -( )1

2.

Ezért az egyenes legfeljebb n n( )-1

2 metszéspontot határoz meg a síkon.

307

OSZTHATÓSÁG

Osztók és többszörösök

1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse:3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

1784. ¥: a 3 többszörösei : a 6 többszörösei

1785. ¥: a 3 többszörösei : a 4 többszöröseiAhol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

1786. ¥: a 2 többszörösei : az 5 többszörösei ƒ: a 10 többszörösei

1787. ¥: a 2 többszörösei : az 3 többszörösei ƒ: a 6 többszörösei

1788. ¥: a 12 többszörösei ƒ: a 12 azon többszörösei, amelyek 8-nak is többszörösei

1789. A többszörösöket gyûjtsük táblázatba:a) 2 többszörösei: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 többszörösei: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 302 és 3 közöstöbbszörösei: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

b) 2 többszörösei: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 205 többszörösei: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502 és 5 közöstöbbszörösei: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

c) 3 többszörösei: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 többszörösei: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 403 és 4 közöstöbbszörösei: 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

OSZTHATÓSÁG

308

d) 3 többszörösei: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 306 többszörösei: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 603 és 6 közöstöbbszörösei: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

e) 10 többszörösei: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10012 többszörösei: 12 24 36 48 60 72 84 96 108 12010 és 12 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600

f) 12 többszörösei: 12 24 36 48 60 72 84 96 108 12015 többszörösei: 15 30 45 60 75 90 105 120 135 15012 és 15 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600

g) 14 többszörösei: 14 28 42 56 70 84 98 112 126 14021 többszörösei: 21 42 63 84 105 126 147 168 189 21014 és 21 közöstöbbszörösei: 42 84 126 168 210 252 294 336 378 420

h) 28 többszörösei: 28 56 84 112 140 168 196 224 252 28036 többszörösei: 36 72 108 144 180 216 252 288 324 36028 és 36 közöstöbbszörösei: 252 504 756 1008 1260 1512 1764 2016 2268 2520

1790 a) 30 60 90 120 150 b) 18 36 54 72 90c) 30 60 90 120 150 d) 20 40 60 80 100e) 24 48 72 96 120 f) 7 14 21 28 35g) 38 76 114 152 190 h) 180 360 540 720 900

1791. a) 2 többszörösei: 2 4 6 8 103 többszörösei: 3 6 9 12 156 többszörösei: 6 12 18 24 302 és 3 közöstöbbszörösei: 6 12 18 24 302 és 6 közöstöbbszörösei: 6 12 18 24 303 és 6 közöstöbbszörösei: 6 12 18 24 302, 3 és 6 közöstöbbszörösei: 6 12 18 24 30

b) 4 többszörösei: 4 8 12 16 206 többszörösei: 6 12 18 24 309 többszörösei: 9 18 27 36 454 és 6 közöstöbbszörösei: 12 24 36 48 604 és 9 közöstöbbszörösei: 36 72 108 144 1806 és 9 közöstöbbszörösei: 18 36 54 72 904, 6 és 9 közöstöbbszörösei: 36 72 108 144 180

OSZTÓK ÉS TÖBBSZÖRÖSÖK

309

c) 4 többszörösei: 4 8 12 16 207 többszörösei: 7 14 21 28 3512 többszörösei: 12 24 36 48 604 és 7 közöstöbbszörösei: 28 56 84 112 1404 és 12 közöstöbbszörösei: 12 24 36 48 607 és 12 közöstöbbszörösei: 84 168 252 336 4204, 7 és 12 közöstöbbszörösei: 84 168 252 336 420

d) 10 többszörösei: 10 20 30 40 5015 többszörösei: 15 30 45 60 7520 többszörösei: 20 40 60 80 10010 és 15 közöstöbbszörösei: 30 60 90 120 15010 és 20 közöstöbbszörösei: 20 40 60 80 10015 és 20 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 30010, 15 és 20 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 300

e) 10 többszörösei: 10 20 30 40 5012 többszörösei: 12 24 36 48 6015 többszörösei: 15 30 45 60 7510 és 12 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 30010 és 15 közöstöbbszörösei: 30 60 90 120 15012 és 15 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 30010, 12 és 15 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 300

f) 2 többszörösei: 2 4 6 8 1010 többszörösei: 10 20 30 40 5012 többszörösei: 12 24 36 48 602 és 10 közöstöbbszörösei: 10 20 30 40 502 és 12 közöstöbbszörösei: 12 24 36 48 6010 és 12 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 3002, 10 és 12 közöstöbbszörösei: 60 120 180 240 300

OSZTHATÓSÁG

310

g) 6 többszörösei: 6 12 18 24 308 többszörösei: 8 16 24 32 4010 többszörösei: 10 20 30 40 506 és 8 közöstöbbszörösei: 24 48 72 96 1206 és10 közöstöbbszörösei: 30 60 90 120 1508 és 10 közöstöbbszörösei: 40 80 120 160 2006, 8 és 10 közöstöbbszörösei: 120 240 360 480 600

h) 10 többszörösei: 10 20 30 40 5015 többszörösei: 15 30 45 60 7518 többszörösei: 18 36 54 72 9010 és 15 közöstöbbszörösei: 30 60 90 120 15010 és 18 közöstöbbszörösei: 90 180 270 360 45015 és 18 közöstöbbszörösei: 90 180 270 360 45010, 15 és 18 közöstöbbszörösei: 90 180 270 360 450

1792. A két egymást követõ többszörös különbségébõl következtethetünk a keresett számra.a) 3 b) 7 c) 13 d) 14

1793. Mindegyik esetben triviális megoldás az 1. Az ettõl eltérõ megoldásokat adjuk csakmeg:a) 3 b) 5 c) 2, 3, 4 vagy 12 d) 13e) 2, 3, 4 vagy 12 f) 3, 5 vagy 15.

1794. Az ábrán egy lehetséges megoldás látható.a) b)

c) d)


311

1795.

1796. A megadott halmazokra teljesül, hogy C Ã B Ã A.

1797. Mivel D A B= I , ezért az ábra így is felvehetõ

1784. ¥: osztók : valódi osztóka)

b)

c)

d)

OSZTHATÓSÁG

312

e)

f)

1799.

1800. a) Nincs ilyen természetes szám. b) 1.c) A prímszámok (2; 3; ...). d) Az 1 és a prímszámok (2; 3; ...).e) Nincs ilyen természetes szám.

1801. Azokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek pontosan két pozitívosztójuk van prímszámoknak nevezzük. Azokat a természetes számokat, amelyeknekkettõnél több osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. Az 1 egyik halmaznak semeleme.

1802. A halmazokra teljesül, hogy A Ã B.

1803. A halmazokra teljesül, hogy B Ã A.


313

1804. a) b) B AÃ

c) B AÃ d)

1805. a) b)

c) d)

1806. Mivel C Ã B Ã A, ezért:

1807. C A BÃ ( )∩

OSZTHATÓSÁG

314

1808. C B AÃ Ã

1809.

Maradékos osztás

1810. a) Nem igaz. Példa rá a 3. b) Igaz. c) Nem igaz. A 3 nem párosd) Igaz. e) Nem igaz. A 6 páros szám.

1811. a) Igaz. Például a 6. b) Igaz. A 6 is ilyen szám.c) Nem igaz. d) Igaz. Például a 3.

1812. a) Igaz b) Igaz c) Igazd) Nem igaz. Például a 12 10-es maradéka és 5-ös maradéka is 2. e) Igaz.

1813. a) Igaz. b) Igaz.c) Akkor a 2-es maradéka is 0, hiszen osztható 2-vel.d) Akkor a 2-es maradéka is 1, hiszen biztosan páratlan számról van szó.

1814. a) Ekkor a szám 10-es maradéka vagy 0 vagy 5. Attól függ, hogy 0-ra vagy 5-revégzõdik.

b) A 10-es maradéka lehet: 0; 2; 4; 6 vagy 8.

1815. a) Nem igaz. Például a 12 2-vel osztható pedig nem mindegyik számjegye osztható 2-vel.

b) Igaz. c) Nem igaz. Például a 22 sem osztható 4-gyel.d) Igaz. e) Nem igaz. Példa rá a 12.f) Igaz. g) Nem igaz. Példa rá a 33.

1816. a) 68-nak a 7-es maradéka 5, mert 68 = 9 ◊ 7 + 5.

b) 72-nek a 15-ös maradéka 12, mert 72 = 4 ◊ 15 + 12.

c) 32-nek a 8-as maradéka 0, mert 32 = 4 ◊ 8.

MARADÉKOS OSZTÁS

315

d) 135-nek a 10-es maradéka 5, mert 135 = 13 ◊ 10 + 5.

e) 152-nek a 100-as maradéka 52, mert 152 = 1 ◊ 100 + 52.

f) 2897-nek az 1000-es maradéka 897, mert 2897 = 2 ◊ 1000 + 897.

1817. Az eredményt táblázatba foglalva:

237 135 2000 132 43 1112 196010-es maradék 7 5 0 2 3 2 02-es maradék 1 1 0 0 1 0 05-ös maradék 2 0 0 2 3 2 0

1818. 27 38 93 112 321 716 19206-os maradék 3 2 3 4 3 2 02-es maradék 1 0 1 0 1 0 03-as maradék 0 2 0 1 0 2 0

1819. 91 125 137 600 111 2555 10 125100-as maradék 91 25 37 0 11 55 254-es maradék 3 1 1 0 3 3 125-ös maradék 16 0 12 0 11 5 0

1820. 137 106 240 503 211 1992 20003-as maradék 2 1 0 2 1 0 29-es maradék 2 7 6 8 4 3 2

1821. 86 937 111 118 10 000 000 199 219 921 9923-as maradék 0 1 1 09-es maradék 6 4 1 0

1822. 3-as maradéka0: 1992; 997 122.1: 13; 1111; 367; 100 00.2: 812.

1823. a) 1000 ◊ 3 = 3000 b) 99 ◊ 3 + 1 = 298 c) 199 ◊ 3 + 2 = 599

1824. A sorozatot a következõ szabály adja meg.

an = (n - 1) ◊ 5 + 2

Az elsõ három eleme a sorozatnak: 2; 7; 12.

a) 99 ◊ 5 + 2 = 497 b) 322 a 65. helyen áll, mert 64 ◊ 5 + 2 = 322.

1825. A sorozat szabálya: an = (n - 1) ◊ 7 + 3.

a) A kétszázadik eleme: 199 ◊ 7 + 3 = 1396.

b) Az 1354 a 194. helyen áll, mert 193 ◊ 7 + 3 = 1354.

1826. A sorozatot két sorozat „összefésülése” adja meg: an = 3n; bn = 3 ◊ (n - 1) + 2.Az elsõ néhány elem: 2; 3; 5; 6; 8; 9; ...

OSZTHATÓSÁG

316

a) A századik szám: 150. b) Az 572 a 381. elem lesz.

1827. A sorozatot az an = 4 ◊ (n - 1) + 3 és a bn = 4n sorozatok „összefésülése” határozzameg.a) Az ezredik helyen a 2000 áll.b) Az 1000 a 250. eleme lesz a sorozatnak.

1828. a) Adhat maradékul: 1-et, 4-et vagy 7-et. b) A maradék csak 1 lehet.

1829. a) A maradék lehet 2; 5; 8 vagy 11. b) A maradék csak 2 lehet.

1830. a) A maradék szintén 1 lesz. b) A maradék lehet 1 vagy 6.

1831. a) Mivel a 120 osztható 6-tal így több felbontás is elképzelhetõ. Például:

6 + 114 = 12 + 108 = 18 + 102 = 120

b) Ilyen felbontás nem létezik, ha az összeg egyik tagja 6-tal osztható, akkor a másiktag is az lesz.

1832. a) Ilyen felbontás nem létezik, mert a 333 nem osztható 6-tal.b) Több ilyen felbontás létezik. Például:

6 + 327 = 12 + 321 = 18 + 315 = 333.

1833. a) Mivel 520 nem osztható 12-vel, ezért ilyen felbontás nem létezik.b) Például: 12 + 508 = 24 + 496 = 36 + 484 = 520.

1834. Minden 13k + m és 13l - m alakú számpár megfelelõ. Például: 13 + 1 = 14 és13 - 1 = 12.

1835. Minden 17k + m és 17l - m alakú számpár megfelelõ.

1836. A kérdés nyilván a lehetséges maradékokra vonatkozik. Ha a + b osztható 7-tel, akkor alehetséges 7-es maradékok a következõk lehetnek

a 7-es maradéka 0 1 2 3 4 5 6b 7-es maradéka 0 6 5 4 3 2 1

1837. Az 1836-os feladathoz hasonlóan a két szám lehetséges maradékai ha a + b osztható8-cal:a 8-as maradéka 0 1 2 3 4 5 6 7b 8-as maradéka 0 7 6 5 4 3 2 1

1838. A feladat szerint x = 5k + 2 y = 5l + 1.a) x + y = 5(k + l) + 3, a maradék 3.

b) x ◊ y = 25kl + 5k + 10l + 2, a maradék 2.c) 2x + y = 5(2k + l + 1), a maradék 0.

1839. Legyen x = 7k + 1 és y = 7l + 2.a) x + y = 7(k + l) + 3, a maradék 3.

b) x ◊ y = 7(7kl + 2k + l) + 2, a maradék 2.

MARADÉKOS OSZTÁS

317

c) 2x + y = 7(k + 2l) + 5, a maradék 5.

1840. Legyen x = 9k + 2 és y = 9l + 5.a) x + y = 9(k + l) + 7, a maradék 7.

b) x ◊ y = 9(9kl + 5k + 2l + 1) + 1, a maradék 1.c) 2x + 3y = 9(2k + 3l + 2) + 1, a maradék 1.

1841. Legyen x = 5k + 2 és y = 5l + 1.a) x + y = 5(k + l) + 3, a 10-es maradék 3, ha k + l páros és 8, ha k + l páratlan.

b) x ◊ y = 5(5kl + k + 2l) + 2, a 10-es maradék 2, ha 5kl + k páros és 7, ha 5kl + kpáratlan.

c) 2x + y = 5(2k + l + 1), a 10-es maradék 0, ha l + 1 páros és 5, ha l + 1 páratlan.

1842. Mivel a 105 osztható 7-tel, ezért a lehetséges maradék az 1. Többféle felbontás islehetséges. Például: 36 + 36 + 36 = 8 + 36 + 64 = 15 + 22 + 71 = 108.

1843. Mivel 196 = 17 ◊ 11 + 9, ezért az azonos maradék csak a 3 lehet. Néhány lehetségesfelbontás: 14 + 25 + 157 = 25 + 36 + 135 = 36 + 47 + 113 = 196.

1844. Mivel 47 = 3 ◊ 13 + 8, ezért a maradékok értéke mindegyik számnál csak a 2 lehet.Néhány megoldás: 2 + 15 + 15 + 15 = 2 + 2 + 15 + 28 = 2 + 2 + 2 + 41 = 47.

1845. a) A két szám maradéka legyen azonos: x = 7k + m és y = 7l + m.

x - y = 7(k - l),

a különbség 7-tel osztható. Például: (14; 7) , (36; 8)

b) Legyen x = 7k + m és y = 7l - m.

x + y = 7(k + l)

Például: (32; 10)c) Ez csak akkor lehetséges, ha mindkét szám 7-tel osztható. Például: (14; 7)

1846. a) Legyen x = 8k + m és y = 8l + m alakú. Ekkor

x - y = 8(k - l).

Például: (16; 8) , (35; 11)


x + y = 8(k + l)

Például: (9; 7)c) Ez két esetben teljesülhet. Ha mindkét szám 8-cal osztható, vagy mindkét szám 8-as

maradéka 4. Például: (48; 8) , (52; 12)

1847. a) Legyen x = 12k + m és y = 12l + m alakú.

x - y = 12(k - l).

Például: (26; 14)


OSZTHATÓSÁG

318

x + y = 12(k + l)Például: (26; 10)

c) Ez két esetben teljesülhet. Ha mindkét szám osztható 12-vel, vagy mindkét szám 12-es maradéka 6. Például: (72; 24) , (18; 6)

1848. a) Legyen x = 11k + m és y = 12l + m alakú.

x - y = 11(k - l).

Például: (12; 1)


x + y = 11(k + l)

Például: (23; 10)c) Mivel a 11 prím,ezért ez csak akkor teljesül, ha mindkét szám osztható 11-gyel.

Például: (33; 23)

1849. a) Nem szerepelhet azonos maradékú szám, így legfeljebb három számot adhatunkmeg.

b) Végtelen sok szám megadható így. Például, ha mindegyik szám 3-as maradéka 1.c) Az a) válaszból következik, hogy legfeljebb három szám adható meg a különbség

miatt. De ekkor lesz egy olyan, amelynek 3-as maradéka 1 és egy olyan, amelynek3-as maradéka 2. Így legfeljebb két számot adhatunk meg. Például: 2; 3.

1850. Az 1849. feladat megoldása alapján:a) Kilenc számot adhatunk meg. b) Végtelen sok szám megadható.c) Öt számot tudunk megadni. Például: 5; 6; 7; 8; 9.

1851. Az 1849. feladat megoldása alapján:a) Legfeljebb hét szám adható meg. Például: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.b) Végtelen sok szám megadható. Mindegyik szám 7-es maradéka legyen 0-tól

különbözõ azonos szám.c) Legfeljebb négy ilyen számot tudunk megadni. Például: 4; 5; 6; 7.

Oszthatósági szabályok

1852. a) 2; 5 vagy 8. b) 5.c) Bármelyik számjegy beírható. d) 1; 3; 5; 7 vagy 9.e) Nincs ilyen számjegy. f) 2; 5 vagy 8.

1853. a) 0; 3; 6 vagy 9. b) 3. c) 0; 2; 4; 6 vagy 8.d) 2 vagy 6. e) Nincs ilyen számjegy. f) 0; 3; 6 vagy 9.

1854. a) 0; 3; 6 vagy 9. b) 3 vagy 9. c) 3 vagy 7.d) 3. e) 9. f) Nincs ilyen szám.

OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK

319

1855. a) 1 vagy 7. b) 1. c) Nincs ilyen számjegy.d) 4. e) 1; 5 vagy 9. f) Nincs ilyen számjegy.

1856. a) A « és a ª helyére bármilyen számjegy behelyettesíthetõ. Ez összesen 100megoldáspárt eredményez.

b) Nincs ilyen számpár, hiszen az utolsó két számjegy alkotta szám nem osztható 4-gyel.

c) A « helyére bármilyen számjegy írható, míg a ª-re nem található megoldás.d) és e) megoldásai megegyeznek, hiszen a vizsgált szám biztosan páros. A lehetségesszámpárok:

«ª

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

«ª

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

f) «ª

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 8 7 6 5 4 3 2 1

1857. a) Bármilyen számjegypár behelyettesíthetõ.b) Bármilyen számjegypár behelyettesíthetõ.

c) 0; 4 vagy 8 a ª helyére. « bármilyen értéket felvehet.

d) és e) megoldásai:

«ª

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

f) «ª

1 4 7 0 3 6 9 2 5 80 4 8

; ; ; ; ; ; ;

1858. a) «ª

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

b) «ª

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 8 7 6 5 4 3 2 1

c) Bármilyen számpár megoldás lesz.d) Ugyanaz a megoldás mint az a) esetben.e) « helyére bármi írható. A ª lehetséges értékei: 2 vagy 7.f) Ugyanaz a megoldás mint a b) esetben.

1859. a) A 2-ek száma 3-mal osztható kell, hogy legyen. Például: 222; 222 222.b) Nincs ilyen szám, hiszen a 22 nem sztható 4-gyel.c) Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban.d) A 2-ek száma 9-cel osztható kell legyen. Például: 222 222 222.e) Ha jegyek száma páros, akkor a szám osztható lesz 11-gyel. Például: 22; 2222.f) Ugyanaz a megoldás mint a d) pontban.

1860. a) A számjegyek száma legyen 3-mal osztható. Például: 444; 444 444.b) Mivel a 44 4-gyel osztható, így minden 4-es számjegyekbõl felírt szám megfelelõ.

Például: 4; 44; 444.c) Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban.d) Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban.

OSZTHATÓSÁG

320

e) Legyen a számjegyek száma 9-cel osztható. Például: 444 444.f) Ugyanaz a megoldás mint az e) pontban.

1861. a) A jegyek száma legyen 3-mal osztható. Például: 555; 555 555.b) A jegyek száma bármennyi lehet: Például: 5; 55.c) A jegyek száma legyen 9-cel osztható.d) Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban.e) Ugyanaz a megoldás mint a c) pontban.f) Nincs ilyen szám, hiszen a 25-tel osztható számok nem végõdhetnek 55-re.

Közös többszörös, közös osztó

1862. a) 22 ◊ 7 ◊ 17 b) 32 ◊ 72 c) 24 ◊ 5 ◊ 23 d) 23 ◊ 3 ◊ 83

e) 23 ◊ 3 ◊ 7 ◊ 13 f) 23 ◊ 52 ◊ 17 g) 32 ◊ 53 ◊ 7 h) 25 ◊ 33 ◊ 52

1863. a) 1; 2; 3; 2 ◊ 3b) 1; 2; 22; 23

c) 1; 2; 22; 3; 3 ◊ 2; 3 ◊ 22

d) 1; 2; 22; 3; 32; 2 ◊ 3; 2 ◊ 32; 22 ◊ 3; 22 ◊ 32

e) 1; 2; 22; 23; 2 ◊ 7; 22 ◊ 7; 23 ◊ 7; 7

f) 1; 2; 22; 23; 24; 5; 2 ◊ 5; 22 ◊ 5; 23 ◊ 5; 24 ◊ 5; 52; 2 ◊ 52; 22 ◊ 52; 23 ◊ 52; 24 ◊ 52

g) 1; 2; 22; 23; 3; 2 ◊ 3; 22 ◊ 3; 23 ◊ 3; 32; 2 ◊ 32; 22 ◊ 32; 23 ◊ 32; 33; 2 ◊ 33; 22 ◊ 33; 23 ◊ 33

h) 1; 2; 2 ◊ 3; 32; 2 ◊ 32; 5; 2 ◊ 5; 52; 2 ◊ 52; 3 ◊ 5; 2 ◊ 3 ◊ 5; 32 ◊ 5; 2 ◊ 32 ◊ 5; 32 ◊ 52;2 ◊ 32 ◊ 52; 3 ◊ 52; 2 ◊ 3 ◊ 52

1864. a) 348 = 22 ◊ 3 ◊ 29Osztói: 1; 2; 22; 3; 2 ◊ 3; 22 ◊ 3; 29; 2 ◊ 29; 22 ◊ 29; 3 ◊ 29; 2 ◊ 3 ◊ 29; 22 ◊ 3 ◊ 29.

b) 3400 = 23 ◊ 52 ◊ 17. A fentiekhez hasonlóan összesen 24 osztó adható meg.

c) 4550 = 2 ◊ 52 ◊ 7 ◊ 13. Az osztók száma 24.

d) 392 = 23 ◊ 72. Az osztók száma 12 lesz.

e) 2000 = 24 ◊ 53. Az osztók száma 20.

f) 1568 = 25 ◊ 72. Az osztók száma 18.

1865. a) (12; 18) = 6. A közös osztók: 1; 2; 3; 6.b) (25; 25) = 25. A közös osztók: 1; 5; 25.c) (9; 12) = 3. A közös osztók: 1; 3.d) (108; 90) = 18. A közös osztók: 1; 2; 3; 6; 9; 18.e) (600; 126) = 6. A közös osztók: 1; 2; 3; 6.f) (475; 570) = 95. A közös osztók: 1; 5; 19; 95.

1866. a) [9; 12] = 36 b) [8; 18] = 72 c) [15; 25] = 75d) [348; 476] = 41 412 e) [475; 570] = 2850 f) [625; 1024] = 640 000

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, KÖZÖS OSZTÓ

321

1867. (60; 84; 90) = 6.

1868. (210; 300; 165) = 15.

1869. A számláló és a nevezõ legnagyobb közös osztójával tudunk egyszerûsíteni. Így akövetkezõ törtek adódnak:

a)3696

38

= b)128512

14

= c)101211

101211

= d)567

10537

13= e)

629799

3747

=

f)754221

5817

= .

1870. A nevezõk legkisebb közös többszöröse adja közös nevezõt. Az összeadás után a törtetahol lehetett még egyszerûsíthetjük is. Az egyes esetekben kapott eredmények:

a)19

112b)

61450

c)19

1260d)

810 353

e)36539

f)5

209.

1871. Megfigyelhetõ, hogy mindegyik a és b számpárra teljesül, hogy a ◊ b = (a; b) ◊ [a; b]. Akapott számokat a kérdésben megadott sorrendben adtuk meg.

a) 2 ◊ 3 = 6; (2; 3) = 1; [2; 3] = 6; (2; 3) ◊ [2; 3] = 6.b) 448; 4; 112; 448 c) 48; 2; 24; 48 d) 48; 2; 60; 120e) 300; 5; 60; 300 f) 6750; 15; 450; 6750.

1872. a) [840; 1800] = 12 600; (840; 1800) = 120b) 9095; 107 c) 42 427; 551 d) 29 580; 2465

1873. (60; 72; 108; 396) = 12.

1874. [60; 72; 108; 396] = 11 880.

1875. a) x = 528 b) x = 720

c) Mivel 6 = 2 ◊ 3 és 60 = 22 ◊ 3 ◊ 5 ezért az x lehetséges értékei: 22 ◊ 5; 22 ◊ 3 ◊ 5.

d) 16 = 24 és 48 = 24 ◊ 3, ezért a lehetséges megoldások: 3; 2 ◊ 3; 22 ◊ 3; 23 ◊ 3 és 24 ◊ 3.

e) 4 = 22 és 36 = 22 ◊ 32, ezért a lehetséges megoldások: 32; 2 ◊ 32; 22 ◊ 32.f) Minden olyan természetes szám megoldás lesz, amelyik a 32-nek osztója: 1; 2; 4; 8;

16; 32.

1876. a) x = 10 b) x = 15c) x = 12k alakú szám, ahol a k nem osztható sem 2-vel sem 3-mal.d) x olyan természetes szám, amelyik sem 3-mal sem 5-tel nem osztható.e) x = 6k alakú szám, ahol a k sem 2-vel sem 3-mal nem osztható.f) x = 11k alakú szám, ahol a k nem osztható 11-gyel.

1877. AZ 1871. feladat alapján megfogalmazható, és igazolható, hogy a, b természetesszámok esetén igaz, hogy a ◊ b = (a; b) ◊ [a; b]. Így a keresett értékek:a) 300 b) 144 c) 144 d) 1792

1878. A szorzat végén álló nullák száma attól függ, hogy szorzatban hányszor szerepel az 5-ösprímtényezõ. Ezek száma biztosan nem több mint az elõforduló 2-es prímtényezõk

OSZTHATÓSÁG

322

száma. Így mindegyik 5-ös tényezõhöz kapcsolhatunk egy 2-es tényezõt, amelyekszorzata 10-et ad.a) 10! = 1 ◊ 2 ◊ ... ◊ 10 = 28 ◊ 34 ◊ 52 ◊ 7 = 3 628 800

Két nulla szerepel a szorzat végén.

b) 25! = 1 ◊ 2 ◊ ... ◊ 25 = 222 ◊ 310 ◊ 56 ◊ 73 ◊ 112 ◊ 13 ◊ 17 ◊ 19 ◊ 23Hat nulla szerepel a szorzat végén.

c) A 100!-ban szereplõ 5-ös prímtényezõk száma 24. Ugyanis 20 5-tel osztható számvan, de ezek között szerepel 4 olyan, amelyik 52-tel is osztható. A szorzat végén állónullák száma tehát 24.

1879. A szorzat biztosan osztható lesz 6-tal, hiszen lesz a számok között legalább egy páros,és legalább egy 3-mal osztható.

1880. Legyen a két természetes szám x és y. Mivel (x; y) = 24, ezért mindkét szám felírhatóx = 24k és y = 24l alakban, ahol (k; l) = 1. Mivel

24 24 723

k lk l+ =+ =

Így a megoldásokk l k l

x y x y= = = == = = =

1 2 2 124 24 48 241 1 2 2

vagyvagy

1881. Az 1880. feladat gondolatmenetét alkalmazva:x y x yx y x y

1 1 2 2

3 3 4 4

36 144 72 108108 72 144 36

= = = == = = =

1882. Az 1880. feladat gondolatmenetét alkalmazva:x y x yx y x yx y x y

1 1 2 2

3 3 4 4

5 5 6 6

147 1176 294 1029588 735 735 5881029 294 1176 147

= = = == = = == = = =

1883. Legyen x = 5k és y = 5l, ahol (k; l) = 1. A feltételek szerint:xyklkl

===

7525 75

3Így k1 = 1 l1 = 3 és k2 = 3 l2 = 1. A feladat megoldásai: x1 = 5 y1 = 15 és x2 = 15y2 = 5.

1884. Mivel 180 = 22 ◊ 32 ◊ 5, ezért hogy a feltételek teljesülhessenek legalább az egyik számtartalmazza a 22, 32 és az 5 tényezõket. Így a lehetséges x és y megoldások:

xy

1 5 2 3 2 5 3 5 2 3 12 3 5 2 3 5 3 2 5 3 2 5 2 3 5

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

1885. Legyen x = 5k és y = 5l, ahol (k; l) = 1.

x y k lk l

k l k l

2 2 2 2

2 225 25 75

33

- = - =- =

- + =( )( )

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, KÖZÖS OSZTÓ

323

Így adódik, hogy k - l = 1 és k + l = 3.k = 2 l = 1

A feladat megoldása x = 10 és y = 5.

1886. Az 1885. feladat alapján adódik, hogy x = 18 és y = 12.

1887. Meg kell hatátozni a visszatérésekhez szükséges idõk legkisebb közös többszörösét.

[4; 8; 12; 16] = 48

Ez kisebb mint 52, ezért még ebben az évben 48 hét múlva találkoznak.

1888. Meg kell határozni a darabszámok legnagyobb közös osztóját. (48; 72; 100) = 4.Legfeljebb 4-en lehettek a csoportban. (Megoldás lenne még az 1 és a 2, de egyiklétszám esetén sem beszélhetnénk csapatról.)

1889. Mivel [12; 15] = 60. Ezért pontosan egy óra múlva indul egyszerre a két busz.

1890. Mivel [35; 20] = 140, ezért a pedállal rendelkezõ fogaskereket négyszer kellkörbeforgatni.

1891. Mivel [62; 64] = 1984, és a gyõztes ideje 2646 másodperc, ezért még egyszertalálkoznak, azaz a gyorsabb lekörözi a másikat.

1892. A találkozások [15; 40] = 120 méterenként ismétlõdnek.

Vegyes feladatok

1893. Nyilván a legkisebb ilyen természetes szám az 1. A rá következõ a 7 ◊ 8 + 1 = 57 lesz.

1894. A megoldás a 2. A rá következõ természetes szám, amely megfelelõ: 2 ◊ 3 ◊ 7 + 1 = 44.Minden ilyen természetes szám felírható 2 ◊ 3 ◊ 7 ◊ k + 2 alakban, ahol k természetesszám.

1895. A legkisebb ilyen szám a 3. A megfelelõ számok felírhatók 2 ◊ 32 ◊ 5 ◊ 11 ◊ k + 3alakban. Így a második sorban a 993 lesz.

1896. Olyan számot keresünk, amelyhez 1-et hozzáadva 6-tal és 7-tel is osztható lesz, azaz6 ◊ 7 ◊ k alakú. Így a keresett szám 6 ◊ 7 ◊ k - 1 alakú lesz. Ezek közül a legkisebb a 41.

1897. Az 1896. feladat gondolatmenetét követve adódik, hogy a megoldás az 59.

1898. Az 1896. feladat alapján megoldva adódik, hogy: 1429.

1899. A feltétel azt jelenti, hogy a létszámból 3-at levonva olyan számot kapunk, amelyosztható 6-tal, 7-tel, 8-cal és 10-zel. A prímtényezõket figyelembe véve 23 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7-tel.Ezek alapján a létszám: 840 + 3 = 843.

1900. a) Páros számot kapunk, hiszen van egy páros prímszám a tényezõk között, a 2.

OSZTHATÓSÁG

324

b) Így 49 páratlan számot és egy páros (2) számot adunk össze. Az eredmény páratlanlesz.

1901. a) Mivel az elsõ tíz pozitív egész szám összege 55, ezért ezt két egyenlõ egész részrenem tudjuk felosztani.

b) Ha egyenlõ lenne a két halmazban levõ számok szorzata, akkor a prímtényezõsfelbontásuk is megegyezne. Ez viszont nem lehetséges, hiszen például a 7-esprímtényezõ csak az egyik halmaznak lehet eleme.

1902. a) Felírtunk néhány számot, amelynek 12 osztója van. Nyilván arra kell törekednünk,hogy a prímtényezõs felbontásban a lehetõ legkisebb prímek szerepeljenek!

211 = 2048; 23 ◊ 32 = 72; 25 ◊ 3 = 96; 22 ◊ 3 ◊ 5 = 60

Ezek között a legkisebb a 60.

b) Csak a k10 alakú számoknak van 11 osztója. Ezek között a legkisebb a 210 = 1024.Megjegyzés: Általában igaz, hogy valamely n természetes szám pozitív osztóinak

száma, ha n prímtényezõs alakja n = p11a ◊ p2

2a ◊ ... ◊ prra , akkor (a1 + 1)

(a2 + 1) ... (ar + 1).

1903. a) Mivel n

n+ 2

= 1 + 2n

, ezért a kifejezés csak akkor lesz egész, ha n osztója 2-nek,

azaz n = 1 vagy 2.

b)2 2n

n+

= 2 + 2n

. Így a megoldás n = 1 vagy 2.

c)2 6

3nn++

= 2 6

3( )nn++

= 2. Így minden pozitív egész szám megfelelõ.

d)2 6

3nn+-

= 2 6 12

3n

n- +-

= a + 12

3n -. Ez akkor egész, ha n - 3 = 1; 2; 3; 4; 6; 12. Így

n = 4; 5; 6; 7; 9 vagy 15.

1904. Ha a maradék ugyanaz, akkor a két szám különbsége a háromjegyû számmal oszthatólesz. 11 863 - 10 839 = 1024. Így az osztó lehetséges értékei: 512; 256 vagy 128.Ezekhez tartozó lehetséges maradékok 87-et adnak mindegyik esetben.

1905. Az 1904. feladat megoldása alapján adódó osztók: 597 vagy 199. A maradék mindkétesetben 7.

1906. A feltétel azt jelenti, hogy a 2529 és a 2731 ugyanazt a maradékot adja az osztás során.Az 1904. feladat megoldása alapján az osztók. 202 vagy a 101. A maradékok értékepedig rendre 105 vagy 4.

1907. a) A 3-mal osztható számok négyzetei nyilván 0 maradékot adnak. Mivel

( ) ( )( ) ( ) ,3 1 9 6 1 3 3 2 13 2 9 12 4 3 3 4 1 1

2 2 2

2 2 2k k k k kk k k k k+ = + + = + ++ = + + = + + +

a másik két esetben mindig 1-et kapunk maradékul. A négyzetszámok hármasmaradéka 0 vagy 1.

b) Az a) ponthoz hasonlóan adódik, hogy a lehetséges maradékok: 0 vagy 1.

VEGYES FELADATOK

325

c) Az a) ponthoz hasonlóan adódik, hogy a lehetséges maradékok: 0; 1 vagy 4.

1908. a) Nincs. Hiszen az összeg azt jelentené, hogy a szám osztható lenne 3-mal de 9-celnem, ha pedig egy négyzetszám osztható 3-mal, akkor 9-cel is.

b) Nincs. Hiszen ez a szám 3-mal osztva 2-t adna maradékul, ami az 1907. a) feladateredménye alapján nem lehetséges.

c) Igen van. Ilyen például 812 = 6561.

1909. A felosztás nem végezhetõ el. Ha elvégezhetõ lenne, akkor a két szorzat prímtényezõsfelbontása is megegyezne, ami nem lehetséges, hiszen egy nagyobb prímszám (példáula 97) csak az egyik szorzatban szerepelhetne prímtényezõként.

1910. Nincs, mivel legalább egy páros szám szerepelne a három között. Egy páros prímlétezik csak a 2, ennek tehát középen kell állnia. Az 1; 2; 3 számok között viszont az 1nem prím.

1911. Az elsõ kérdésre a válasz nem. Például az 1, 2, 3, 4 sorozatban csak egy összetett számszerepel a 4. Az sem igaz, hogy legfeljebb három lehet közülük összetett. Példa rá a 24,25, 26, 27 sorozat.

1912. Jelölje az elsõ számjegyet x. Mivel a jegyek összege 3-mal osztható így 2x + 1 3-malosztható számot ad. Ez x = 1; 4 vagy 7 esetben teljesül. A feladatra három megoldásadódik: 102; 405; 708.

1913. A három szám között biztosan lesz legalább egy páros, azaz 2-vel osztható és legalábbegy 3-mal osztható szám. Ezek szorzata biztosan osztható 6-tal.

1914. A négy szám között lesz két páros és ezek között az egyik 4-gyel is osztható. Leszlegalább egy 3-mal osztható. Így a szorzat biztosan osztható 2 ◊ 4 ◊ 3 = 24-gyel.

1915. A 120 minden ilyen szorzatnak osztója lesz. Az öt szám között van legalább két páros,melyek közül az egyik 4-gyel is osztható. Van legalább egy 3-mal és legalább egy 5-telosztható. A szorzat tehát 2 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 5 = 120-szal is osztható.

1916. Az egyik szám biztosan osztható lesz 4-gyel is.

1917. 64. A számok között van egy 2-vel egy 4-gyel és egy 8-cal osztható.

1918. Legyen a két befogó a és b. (a; b) = 1.

a b

ab

◊ =

= = ◊ ◊2

84

168 2 3 73

A harmadik oldal a Pitagorasz-tétel alapján adódik:

a2 + b2 = c2

A lehetséges megoldások:

OSZTHATÓSÁG

326

a

b

c

1 3 7 21 8 24 56 168

168 5 24 8 21 7 3 1

28 225 3145 25 505 505 25 3145 28 225

1919. Ez a szám a 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 11 ◊ 13 ◊ 17 ◊ 19 = 9 699 690.

1920. Jelölje a szám egy számjegyét a. A szám aaa = a ◊ 111 = a ◊ 3 ◊ 37. Tehát számprímtényezõs felbontásában szerepel a 37.

1921. A szám alakja abc abc = abc ◊ 1001 = abc ◊ 7 ◊ 143. Mivel a tényezõk között szerepel a143, ezért az állítás igaz.

1922. A két számot jelölje k illetve 2k.

a) k + 2k = 3k osztható 3-mal és k-val b) 2k - k = k osztható k-val

c) 2k ◊ k = 2k2 osztható 2-vel és k2-tel d) k2 + (2k)2 = k2 + 4k2 = 5k2 osztható5-tel és k2-tel

1923. Olyan páros számokat kell keresni, melyek oszthatók 9-cel, azaz a számjegyek összegeis osztható 9-cel. Ezek a számok: 12 222; 21 222; 22 122 és a 22 212.

1924. A számjegyek összege 9-cel osztható kell hogy legyen, valamint az utolsó kétszámjegybõl alkotott szám 4-gyel legyen osztható. Végtelen sok ilyen szám létezik. Azutolsó két számjegyük azonban megegyezik: 32. Ilyen számok: 2232 vagy 22 322 232.

1925. Legyen a három prím a, b és c.

abc = 5(a + b + c)

Az egyenlõségbõl következik, hogy az egyik prím pl. a = 5.

bc = 5 + b + c

Az egyenletet átrendezve:

bc b cb c- - + =- - =

1 61 1 6( )( )

Ez meghatározza a b és c lehetséges értékeit.

bc

a2 3 4 77 4 3 2

5=

A megoldások permutációi is megoldást adnak.

1926. Az 1925. feladat megoldása alapján adódik, hogy a = 13

bc

2 3 8 1515 8 3 2

és ezek permutációi.

1927. Ha a kapott számot 4-gyel szorozzuk, akkor az eredeti számot kapjuk. Írjuk fel aszorzást és végezzük el a megszokott lépéseket:

VEGYES FELADATOK

327

A szorzat bármelyik jegye a szorzandóban eggyel nagyobb helyiértéken szerepel. Eztfelhasználva addig kell folytatnunk a mûveleteket, amíg nem kapunk egy 4-gyelkezdõdõ szorzatot:

A legkisebb ilyen szám tehát a 410 256.

1928. Jelölje a 6-os számjegy törlése után kapott számot A. Ekkor igaz, hogy

25 6 1024 6 104 10

◊ = ◊ +◊ = ◊◊ =

A AAA

n

n

n

Keressük a legkisebb n és A értéket. A = 25 és n = 2. A megoldás 625.

1929. Az eredeti szám felírható 10n + A alakban. Az átrendezett szám 10A + 1. A feltételekszerint:

3 10 10 13 10 1 7( )n

nA A

A+ = +

◊ - = ◊

Vizsgáljuk az egyenlõség bal oldalát, ez 7-tel osztható számot kell hogy adjon. Ezek aszámok: 29; 299; 2999; ... Ezek között a legkisebb megfelelõ: 299 999. A keresettszám: 142 857.

1930. Legyen a két szám a és b.

ab = a + b

Az egyenletet átrendezve:

ab a ba b- - + =- - =

1 11 1 1( )( )

A megoldások a = 0 b = 0 és a = 2 b = 2.

1931. Legyen a három szám a, b és c. (a; b) = 4 (a; c) = 6 (b; c) = 10. Végtelen sokmegoldás képzelhetõ el, ezek közül a legkisebb: a = 4 ◊ 3 = 12 b = 4 ◊ 5 = 20c = 2 ◊ 3 ◊ 5 = 30.

1932. Mivel 11 877 = 3 ◊ 37 ◊ 107, ezért a legvalószínûbb válasz a kérdésre az, hogy akapitány 37 éves.

328

SZÁMRENDSZEREK1933. A megadott sorrendet követve írtuk át a számokat:

a) 2-es számrendszerben: 11; 1001; 1100; 10001; 10111; 100110; 1011011.b) 3-as számrendszerben: 21;110;1011; 1020; 10100; 10102; 100000.c) 6-os számrendszerben: 12; 14; 20; 23; 100; 140; 224.d) 4-es számrendszerben: 13; 20; 21; 101; 111; 303; 30002.e) 12-es számrendszerben: 11; 50; 1(10); 101; 1011; 2022.f) 7-es számrendszerben: 26; 43; 60; 100; 202; 2021; 2626.

1934. a) 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; 10001; 1010; 1011; 1100; 1101; 1110; 1111;1000; 10001; 10010; 10011; 10100.

b) 1; 2; 10; 11; 12; 20; 21; 22; 100; 101; 102; 110; 111; 112; 120; 121; 122; 200; 201;202.

c) 1; 2; 3; 4; 10; 11; 12; 13; 14; 20; 21; 22; 23; 24; 30; 31; 32; 33; 34; 40.d) 1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 30; 31; 32.e) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26.f) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20; 21; 22; 23; 24.

1935. a) 61; b) 52; c) 11; d) 228; e) 318; f) 2926;g) 2070; h) 289; i) 1912; j) 200; k) 482; l) 3334.

1936. A táblázat alsó sorában egy 5-ös számrendszerbeli szám szerepel. Ha ezt átírjuk 10-esszámrendszerbe, akkor megkapjuk a darabszámot, ha 7-es számrendszerbe, akkormegkapjuk az új csoportosítás szerinti értékeket. A válaszoknál elõször a darabszám,majd a 7-es számrendszerbeli szám szerepel.a) 275; 5427 b) 386; 10617 c) 136; 2537 d) 651; 16207

1937. A válaszokban az elsõ szám a darabszám, a másodikban ennek 8-as számrendszerbenfelírt alakja szerepel.a) 208; 3208 b) 515; 10038 c) 3404; 65148 d) 1328; 24608

1938. Mindegyik esetben a lehetõ legkisebb a lapot vettük csak figyelembe. Természetesenezeknél nagyobb alapok is helyesek lehetnek.a) 110012 = 25 b) 120113 = 139 c) 312104 = 868 d) 40135 = 508

e) 1506 = 66 f) 80129 = 5843.

1939. A válaszokat táblázatban megadva:

Számrendszer alapja 2 3 4 9 10 12

Egyjegyûek száma 1 2 3 8 9 11

Kétjegyûek száma 2 6 12 72 90 132

Háromjegyûek száma 4 18 48 648 900 1584

SZÁMRENDSZEREK

329

Megjegyzés: Igazolható, hogy egy n-es alapú számrendszerben a k-jegyû számokszáma: nk - nk-1.

1940. a) 1 b) 0 c) 0 d) 0 e) 1

100012 = 17

1941. a) 1 b) 0 c) 0 d) 1 e) 0

100102 = 18

1942. A számokat azonos számrendszerbe (pl. 10-es alapúba) átírva összehasonlíthatjuk õket.a) 115 < 213 = 134 < 10012 b) 445 < 2223 < 1234 < 1110112c) 378 < 657 < 4145 < 32134 d) 8889 < 32718 < 2114035 < 552306e) 881019 < 3365127 < 12345126 < 76760128

1943. a) 3210234 = 3 ◊ 45 + 2 ◊ 44 + 1 ◊ 43 + 0 ◊ 42 + 2 ◊ 41 + 3 ◊ 40

b) 101110112 = 1 ◊ 27 + 0 ◊ 26 + 1 ◊ 25 + 1 ◊ 24 + 1 ◊ 23 + 0 ◊ 22 + 1 ◊ 21 + 1 ◊ 20

c) 54112406 = 5 ◊ 66 + 4 ◊ 65 + 1 ◊ 64 + 1 ◊ 63 + 2 ◊ 62 + 4 ◊ 61 + 0 ◊ 60

d) 8760129 = 8 ◊ 95 + 7 ◊ 94 + 6 ◊ 93 + 0 ◊ 92 + 1 ◊ 91 + 2 ◊ 90

e) 197819011 = 1 ◊ 116 + 9 ◊ 115 + 7 ◊ 114 + 8 ◊ 113 + 1 ◊ 112 + 9 ◊ 111 + 0 ◊ 110

f) 665401167 = 6 ◊ 78 + 6 ◊ 77 + 5 ◊ 76 + 4 ◊ 75 + 0 ◊ 74 + 1 ◊ 73 + 1 ◊ 72 + 1 ◊ 71 + 6 ◊ 70

1944. Az 1943. feladat felírásából adódik az eljárás helyessége.

1945. a) 8 = 10002 = 223 = 135 = 108 = 89b) 17 = 100012 = 1223 = 325 = 218 = 189c) 22 = 101102 = 2113 = 425 = 268 = 249d) 324 = 1010001002 = 110003 = 22445 = 5048 = 4009e) 1000 = 11111010002 = 11010013 = 130005 = 17508 = 13319f) 23459 = 1011011101000112 = 10120112123 = 12223145 = 556438 = 351559

1946. 56x -et hatványalakban felírva: 5x + 6 = 41 egyenlet adódik. Ennek megoldása x = 7.

1947. A 3x + 2 = 23 egyenletbõl x = 7 adódik.





1952. Az x2 + 2x + 1 = 16 egyenletbõl x1 = 3 és x2 = -5 adódik. A feladatnak csak az x1 = 3lesz megoldása.

SZÁMRENDSZEREK

330

1953. Az x2 + 2x + 1 = 25 egyenletbõl x1 = 4 és x2 = -6 adódik. A megoldás x1 = 4.

1954. A 2x2 + 4x + 2 = 72 egyenletbõl x1 = 5 és x2 = -7 adódik. A megoldás x1 = 5.

1955. A 3x2 + 6x + 3 = 243 egyenletbõl x1 = 8 és x2 = -10 adódik. A megoldás x1 = 8.

1956. A 4x2 + 4 = 200 egyenletbõl x = 7 és x = -7 adódik. A megoldás x = 7.

1957. Mivel 110100112 = 211, ezért a felírható egyenlet: 4x + 3 = 211. Ezt megoldva aszámrendszer alapja x = 52.

1958. 20113 = 58, ezért felírható, hogy 7x + 2 = 58. Ebbõl a számrendszer alapjára x = 8adódik.

1959. 1122113 = 400, ezért felírható, hogy 4x2 + 8x + 4 = 400. Ennek az egyenletnek a

megoldásai x1 = 9 és x2 = -11. A számrendszer alapja x1 = 9.

1960. 10204 = 72, ezért felírható, hogy 2x2 + 4x + 2 = 72. Ennek megoldásai x1 = 5 és

x2 = -7. A feladat megoldása x1 = 5.

1961. A kérdés megválaszolásához elegendõ a számrendszerekben az adott számokathatványok összegeként felírni. Például: 12345 = 1 ◊ 53 + 2 ◊ 52 + 3 ◊ 5 + 4. A megfelelõtagok paritását és ezek számát megvizsgálva adódik, hogy melyik szám lesz páros.Ezeket felsorolva kapjuk, hogy páros szám:a) 12345 34217 b) 31124 c) 12567.

1962. A 3-as számrendszerben azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek 0-ra végzõdnek. A 9-es számrendszerben azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek 3-mal osztható számravégzõdnek. Így a 3-mal osztható számok: 1203; 12503; 61133.

1963. A 22104 és a 523108 oszthatók 4-gyel, mert 0-ra végzõdnek. A 23215 = 336, ezért ezis osztható 4-gyel. A 443125 = 3082, ez pedig nem osztható 4-gyel.

Megjegyzés: Egy k-alapú számrendszerben felírt számról belátható, hogy akkor és csakakkor osztható k - 1-gyel, ha a számjegyek összege osztható k - 1-gyel. Így az 5-összámrendszerben felírt számokról ez alapján is eldönthetõ, hogy oszthatók-e 4-gyel.

1964. Az 1963. feladat megoldását figyelembe véve a 6-tal osztható számok: 2020203;543213.

1965. Az eredmények a következõk:a) 1101112 b) 121223 c) 112242 d) 35558

1966. a) 11002 b) 11224 c) 14508

1967. a) A kettes szorzótábla:

SZÁMRENDSZEREK

331

01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 10 = 1010 ◊ 1 = 10 10 ◊ 10 = 100

b) A hármas szorzótábla:

01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 2 = 2 01 ◊ 10 = 1002 ◊ 1 = 2 02 ◊ 2 = 11 02 ◊ 10 = 2010 ◊ 1 = 10 10 ◊ 2 = 20 10 ◊ 10 = 100

c) A négyes szorzótábla:

01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 2 = 2 01 ◊ 3 = 3 01 ◊ 10 = 1002 ◊ 1 = 2 02 ◊ 2 = 10 02 ◊ 3 = 12 02 ◊ 10 = 2003 ◊ 1 = 3 03 ◊ 2 = 12 03 ◊ 3 = 21 03 ◊ 10 = 3010 ◊ 1 = 10 10 ◊ 2 = 20 10 ◊ 3 = 30 10 ◊ 10 = 100

d) A hatos számrendszer szorzótáblája:

01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 2 = 2 01 ◊ 3 = 3 01 ◊ 4 = 4 01 ◊ 5 = 5 01 ◊ 10 = 1002 ◊ 1 = 2 02 ◊ 2 = 4 02 ◊ 3 = 10 02 ◊ 4 = 12 02 ◊ 5 = 14 02 ◊ 10 = 2003 ◊ 1 = 3 03 ◊ 2 = 10 03 ◊ 3 = 13 03 ◊ 4 = 20 03 ◊ 5 = 23 03 ◊ 10 = 3004 ◊ 1 = 4 04 ◊ 2 = 12 04 ◊ 3 = 20 04 ◊ 4 = 24 04 ◊ 5 = 32 04 ◊ 10 = 4005 ◊ 1 = 5 05 ◊ 2 = 14 05 ◊ 3 = 23 05 ◊ 4 = 32 05 ◊ 5 = 41 05 ◊ 10 = 5010 ◊ 1 = 10 10 ◊ 2 = 20 10 ◊ 3 = 30 10 ◊ 4 = 40 10 ◊ 5 = 50 10 ◊ 10 = 100

1968. A szorzat eredményei:a) 1102 b) 11003 c) 41005

1969. Írjuk fel a számokat az alap hatványainak segítségével. Az így kapott egyenletetmegoldva adódnak az ismeretlen alapok.a) 3 + 4 = x + 1; x = 6.

b) 3x + 4x = x2 + x; x1 = 0 vagy x2 = 6. A rendszer alapja csak a 6 lehet.

c) 2x2 + 2x2 = 2x3; x = 0 vagy x = 2. A feladatnak nincs megoldása, hiszen 2-esszámrendszerben nem szerepelhetnek 2-es számjegyek.

d) x + x + 1 = x2 + 1; x = 0 vagy x = 2. Az ismeretlen számrendszer 2-es alapú.

1970. a) Bármilyen 8-nál kisebb számjegy megfelelõ.b) Csak az 1 lesz a megfelelõ. 101113 = 94.

c) A megoldás 0; 2; 4; 6 vagy 8.d) A megoldás 0; 2 vagy 4.

1971. a) Az utolsó számjegynek 3-mal oszthatónak kell lennie: 0 vagy 3.b) Csak 0 lehet a behelyettesíthetõ szám.c) Az utolsó számjegynek 4-gyel oszthatónak kell lennie: 0 vagy 4.d) Az 1963. feladatban tett megjegyzés alapján annak kell teljesülnie, hogy a

számjegyek összege osztható legyen 4-gyel. Ez 2 esetén teljesül. A megfelelõ száma 223415 = 1596.

SZÁMRENDSZEREK

332

e) 0 vagy 5 a megoldás.f) 5 a helyettesíthetõ számjegy.

1972. Az összeadás szabályait figyelembe véve a következõ megoldást adhatjuk:225515

1043

777

+

1973. a) Az utolsó számjegy páros lesz.b) Az utolsó számjegy 3-mal osztható, azaz 0 vagy 3.c) A szám 0-ra végzõdik.d) A szám jegyeinek összege 5-tel osztható lesz.

1974. a) A szám 0-ra végzõdik.b) Az utolsó két számjegye 0.c) Az utolsó három számjegye 0.d) A szám jegyeit váltakozó elõjellel összeadva 3-mal osztható számot kapunk.

1975. A 4-gyel való oszthatóság szempontjából csak a 0 és a 4 helyettesíthetõ be. A 7-tel valóoszthatósághoz a számjegyek összege 7-tel osztható kell, hogy legyen. Ez a 4-esszámjegy esetén teljesül. A megfelelõ szám: 245648 = 10612.

1976. A 3-mal való oszthatóság miatt 0; 3 vagy 6 számjegy lehet megfelelõ. A 8-cal valóoszthatóság miatt a számjegyek összege 8-cal osztható, így ezek közül a 6 lesz amegoldás: 182769 = 12624.

1977. A « helyére csak páros szám helyettesíthetõ és a számjegyek összege 5-tel osztható.

A lehetséges megoldások:

«ª

0 2 41 4 2

1978. A feltétel azt jelenti, hogy 2-vel és 5-tel osztható számokat keressük. Az 1977. feladatmegoldásához hasonlóan kapjuk, hogy:

«ª

0 2 40 3 1

1979. A számnak 3-mal és 5-tel kell oszthatónak lenni. Az utolsó számjegy csak 0 vagy 3lehet és a számjegyek összege osztható kell, hogy legyen 5-tel. A megoldások:4523106 vagy 4543136.

1980. Egy lehetséges megoldást adunk meg. A számok nagyságrendjét illetve sorrendjétfigyelembe véve adódik, hogy:

SZÁMRENDSZEREK

333

a) 65 5

5 4

45 7214 11290645

46 0 5

◊ b) 2 3345

71 22815 242

87262

◊

1981. Elegendõ egyetlen láncszemet levágni. Ez legyen a sorban a harmadik. Így minden naptud alkalmas mennyiségû láncszemmel fizetni a vándor.

TARTALOMMÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL .................................................................... 5

Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben (1-34) ..................................................... 5Természetes számok összeadása, kivonása (35-99) ............................................................. 8Természetes számok szorzása (100-166) ............................................................................... 14Természetes számok osztása (167-242) ................................................................................. 21

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL ..................................................................................... 28Egész számok értelmezése (243-272) .................................................................................... 28Egész számok összeadása, kivonása (273-329) .................................................................... 38Egész számok szorzása, osztása (330-454) ........................................................................... 47

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL ........................................................................................ 68Törtek összehasonlítása. Bôvítés, egyszerûsítés (455-479) ................................................ 68Törtek összeadása, kivonása (480-512) ................................................................................. 72Tört szorzása természetes számmal (513-538) ...................................................................... 79Tört osztása természetes számmal (539-552) ........................................................................ 83Szorzás törttel (a törtrész kiszámítása) (553-622) ................................................................ 85Osztás törttel (az egész mennyiség kiszámítása) (623-645) ................................................ 94Vegyes feladatok (646-722) ..................................................................................................... 97

HATVÁNYOZÁS (723-753) ......................................................................................................... 107MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL ................................................................................... 111

Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása (754-781) ................................................. 111Tizedes törtek összeadása, kivonása (782-839) .................................................................... 115Tizedes törtek szorzása, osztása (840-1047) ......................................................................... 120

NAGY ÉS KICSI SZÁMOK ÍRÁSA, NORMÁLALAK (1048-1054) .................................... 142MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL (1055-1120) ............................................... 143EGYENLETEK (1121-1210) .......................................................................................................... 151EGYENLÔTLENSÉGEK (1211-1236) ......................................................................................... 168ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK,EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK (1237-1245) .................................................................. 177ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGELMEGOLDHATÓ FELADATOK (1246-1468) ............................................................................ 181FÜGGVÉNYEK ............................................................................................................................. 217

Hozzárendelések (1469-1513) ................................................................................................. 217Arányosságok (1514-1540) ...................................................................................................... 235Lineáris függvények (1541-1563) ........................................................................................... 239Másodfokú függvények (1564-1571) ..................................................................................... 249Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény (1572-1584) ................................................. 254Grafikonok a koordináta-rendszerben (1585-1598) ............................................................. 266Garfikusan és algebrai úton is megoldható feladatok (1599-1613) .................................... 273

SOROZATOK ................................................................................................................................. 277A sorozat megadása (1623-1635) ............................................................................................ 277Számtani sorozatok (1636-1697) ............................................................................................. 281Mértani sorozatok (1698-1741) ............................................................................................... 290Vegyes feladatok (1742-1782) ................................................................................................. 298

OSZTHATÓSÁG ........................................................................................................................... 307Osztók és többszörösök (1783-1809) ...................................................................................... 307Maradékos osztás (1810-1851) ................................................................................................ 314Oszthatósági szabályok (1852-1861) ...................................................................................... 318Közös többszörös, közös osztó (1862-1892) ......................................................................... 320Vegyes feladatok (1893-1932) ................................................................................................. 323

SZÁMRENDSZEREK (1933-1981) .............................................................................................. 328

Csahóczi ErzsébetTÖPRENGÔ III - IV.Gondolkodtató matematikai feladatok8-9, 9-10 éveseknek

A Töprengô c. feladatgyûjtemény amatematika iránt érdeklôdô 8-9, illetve9-10 éves gyerekek számára készült. Fôcélja a tanulók gondolkodásának fejlesz-tése változatos feladatsorokon keresztül.A feladatok tartalma, témája, nehézségifoka, megfogalmazása igazodik a korosz-tály életkori sajátosságaihoz.

A feladatok tematikus feldolgozása, amegoldások közlése módot ad a gyere-keknek az önálló feldolgozásra és önel-lenôrzésre. A tanítók is jól használhatjákórákon és szakkörökön.

Baginé - Bartók - Szebeniné - PéternéMatematikai gyakorló munkafüzet1. - 2. - 3. - 4. osztály számára

A kiadvány célja, hogy a kisiskolásokminél hamarabb és minél könnyebbenmegszerezzék matematikai ismereteiket.Olyan munkáltató feladatlap, mely a ne-velôk, szülôk segítségével és önállóan isjól használható. A sok érdekes feladat le-hetôséget ad az eddigi tudás feleleve-nítésére, bôvítésére. A munkafüzet vé-gén található felmérô lapok segítségévela tanulók tudásukat mérhetik le, és mégjátékos fejtörôk is várnak az érdeklôdôk-re. Fôleg azoknak nyújt segítséget, akik-nek több gyakorlásra van szükségük atananyag elsajátításához.

Kosztolányi - Mike - VinczeÉrdekes matematikai feladatok 1.

A feladatgyûjtemény elsôsorban a fel-sô tagozatos és a középiskola elsôs, illet-ve másodikos tanulói számára készült.A témakörök a hagyományos elemi ma-tematika területei mellett (algebra, geo-

metria) számos olyan érdekes és gondol-kodtató matematikai problémát is tartal-maznak, amelyek megoldásához a logi-kus gondolkodáson kívül szinte másnem is igen szükséges.

A feladatgyûjtemény alapjául a szege-di Radnóti Miklós Gimnázium Matemati-ka Iskola néven közismertté vált kísérletimunkája szolgált.

Kosztolányi - Mike - Vincze

Jól felkészültem-e ?Matematikai feladatsorozatok5. - 6. - 7. - 8. osztály, valamint közép-iskolába készülôknek

A kiadványok felölelik az általános is-kolák felsô tagozatának teljes tananya-gát. A sorozat ötödik kötete segítségetnyújt azoknak a tanulóknak, akik tanul-mányaikat középiskolában szeretnékfolytatni. A feladatsorozatok változatosfeladatokkal, kérdésekkel segítik a felké-szülést, s a megoldásokkal összevetvelemérhetô, hogy a diákoknak mennyiresikerült az adott tananyagot elsajátíta-niuk.

Csordás - Koleszár - Nagy (szerk.)Matematikai versenytesztekA Zrínyi Ilona Matematikaversenyfeladatai és megoldásai 1991-93, 1994,1995, 1996

Az évek óta népszerû Zrínyi Ilonamatematikaverseny megyei és országosfordulóinak feladatsorait adjuk közre év-röl évre. A kötetek tartalmazzák afeladatok megoldási menetét, és azegyes évek évfolyamonkénti tíz legjobbtanulójának eredményeit is. A versenyreaz általános iskolák 3 - 8. osztályos tanu-lói közül bárki jelentkezhet, aki kedvelia kicsit furfangos, gondolkodtató

Könyvajánlat

feladatokat, szeretné összemérni tudásáta társaival.

Végh GyulaSZÓMA

A könyv egy igen érdekes geometriaifejtörô játék leírását, valamint magát ajátékot is tartalmazza. A játék egyszerûhét elembôl álló változata eléggé közis-mert, melyet a szerzô lépésenként, fela-datokkal színesítve 38 elemûre bôvít.A játék kibôvített változatára nagyon sokmeglepô, és ,,szép

,, feladatot tartalmaz a

könyv, melyben külön fejezetben egy-egy lehetséges megoldást is közöl a kitû-zött több mint 120 feladatra.

Ez az érdekes geometriai fejtörô játékközben észrevétlenül fejleszti nem csaka megfigyelô készséget és a kézügyessé-get, hanem a térbeli szemléletet és akombinációs készséget is.

Dr. Hajnal Imre

Matematikai ismeretek13-14 éveseknek

A könyv a 13-14 éves tanulók tanítá-sához, tanulásához úgy kíván segítségetnyújtani, hogy a matematikai fogalmakkialakulását, értelmezését és a közöttüklévô kapcsolatokat állítja elôtérbe. Rá-mutat, hogy az egyszerû, megszokottmunkában is felismerhetünk érdekessé-geket, és ezekbôl hasznos új ismeretek-hez juthatunk. A megfigyelések tudatosmegfogalmazása, és a lényeg felismeréseután következik az új ismeret tisztázása,értelmezése. Közben lehetôséget ad,példát mutat elvonatkoztatásra, abszt-rakcióra.

Dr. Hajnal ImreKözépiskolások kézikönyveMatematikai fogalmak, tételek

A tankönyvben összefoglalva és rend-szerezve található a középiskolai mate-matika elméleti tananyaga. Ezzel segítsé-get nyújt az érettségi vizsgára, fôiskolai,egyetemi tanulmányokra készülôknek.

A 3., bôvített kiadás Kombinatorika c.fejezetettel bôvült.

Dr. Bonifert DomonkosNéhány tipikus problémaszituációmatematikából

Az olvasó olyan példatárat vehet akezébe, amelyben a feladatok nem amegszokott témakörök, hanem megol-dási eljárások szerinti csoportosításbantalálhatók. A fejezetcímek:

I. Függvények, egyenletek, egyenlôt-lenségek

II. BizonyításokIII. Szélsôérték-feladatokIV. Van olyan? Számlálási technikákV. Egyéb érdekességek

A kötet sajátossága, hogy ugyanazonprobléma megoldását többféle módszer-rel, más-más szintû megközelítésben, azötletek sokaságának felhasználásával mu-tatja be. A feladatok tanulmányozása, fel-dolgozása tehetséges általános és közép-iskolai tanulók, valamint az ôket tanítótanárok számára is hasznos lehet.

Katz SándorMatematika feladatsorok

A feladatgyûjtemény az algebrai, atrigonometrikus, az exponenciális vala-mint a logaritmikus egyenletek megol-dásához nyújt szakmailag igényes válo-gatást, a tehetségesebb tanulók számára.

A könyv 18 fejezetben, 80 mintapél-dát és 300 kitûzött feladatot tartalmaz.A feladatok túlnyomó része meghaladjaa középiskolai feladatgyûjtemények meg-szokott szintjét, de a mintapéldák és a

kitûzött feladatok megoldásának közlé-sével a könyv a középiskolások számárais jól követhetô.

Végül álljon itt néhány gondolat alektori véleménybôl: ,,A tankönyv szer-kezete, tagolása, ábraanyaga, szemlélte-tése rendkívül jó benyomást kelt olvasó-jában, kedvet csinál a természet megis-meréséhez. Ez nagyon fontos erénye akönyvnek. A tudnivalók leckékre törde-lése helyett, nagyon helyesen, a jelensé-gek, gondolatkörök szerinti csoportosí-tást alkalmazzák a szerzôk.

,,

KOSZTOLÁNYI – MIKE

MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓFELADATGYÛJTEMÉNY 10 – 14 ÉVESEKNEK

MEGOLDÁSOK(II. KÖTET)

Kosztolányi József - Mike János

MATEMATIKAÖSSZEFOGLALÓ

FELADATGYÛJTEMÉNY10-14 ÉVESEKNEK

MEGOLDÁSOK**

Mozaik Oktatási Stúdió - Szeged, 1996

SZERZÕK:

Kosztolányi Józsefközépiskolai tanár

Mike Jánosközépiskolai tanár

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kia-dásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része sem-miféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható.

ISBN 963 697 102 1

” Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió – Szeged, 1996

5

GEOMETRIA

Ponthalmazok

1982. a) b)

c) d)

e)

GEOMETRIA

6

1983. a) A P ponttól 3 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban.b) A P ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.c) A P ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.d) Azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek a P ponttól mért távolsága nem 3 cm.e) A P ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.f) A P ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

1984. a) A P ponttól 2 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban.b) A P ponttól 2 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.c) A P ponttól 2 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.d) A P ponttól 2 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.e) A P ponttól 2 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

1985. a) b)

c) d)

1986. a) b)

PONTHALMAZOK

7

c) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont. d)

e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont. f) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

1987. a) b)

c) A sík minden pontja megfelela feltételnek.

d)

1988. a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem ki-sebb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak.

b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem ki-sebb és 4 cm-nél kisebb távolságra vannak.

c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél na-gyobb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak.

1989. a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nemnagyobb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak.

b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebbvagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak.

c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebbvagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak.

d) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nemnagyobb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak.

GEOMETRIA

8

1990. a) b)

c) d)

e)

1991. a) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nemkisebb távolságra vannak.

b) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nemnagyobb távolságra vannak.

c) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél na-gyobb távolságra vannak.

d) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél ki-sebb távolságra vannak.

1992. A feladat szövegezése a korábbi kiadásokban sajnos technikai okokból hiányos, ebbõladódóan értelmetlen. Helyesen a feladat szövege:Szerkesszük meg azon pontok halmazát, melyek egy adott e egyenestõla) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél kisebb;

PONTHALMAZOK

9

b) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél kisebb;c) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél nem nagyobb;d) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél nem nagyobb;e) 1 cm-nél nem nagyobb és 2 cm-nél nem kisebbtávolságra vannak!

a) b)

c) d)

e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

1993. a) b)

c) d)

GEOMETRIA

10

e) f)

g)

1994. a) Az A ponttól 2 cm-nél kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontokhalmaza a síkban.

b) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõpontok halmaza a síkban.

c) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõpontok halmaza a síkban.

d) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra le-võ pontok halmaza a síkban.

e) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságralevõ pontok halmaza a síkban.

f) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõpontok halmaza a síkban.

g) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõpontok halmaza a síkban.

h) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra le-võ pontok halmaza a síkban.

1995. a) b)

PONTHALMAZOK

11

c) d)

e) f)

1996. a) Az A ponttól 3 cm vagy a B ponttól 4 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban.b) Az A ponttól 3 cm-nél kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ

pontok halmaza a síkban.c) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra le-

võ pontok halmaza a síkban.d) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távol-

ságra levõ pontok halmaza a síkban.e) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra

levõ pontok halmaza a síkban.f) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távol-

ságra levõ pontok halmaza a síkban.

1997. a) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a Cponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

b) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a Cponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

c) Az A ponttól 4 cm-nél kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

d) Az A ponttól 4 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

1998. a) b)

c) d)

e)

1999. a) b)

GEOMETRIA

12

c) d)

e)

2000. a) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm távolságra vannak.b) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra vannak.c) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra

vannak.d) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra van-

nak.e) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem kisebb távolságra

vannak.

2001. a) b)

c) d)

PONTHALMAZOK

13

e) f)

2002. a) b)

c) d)

2003. a) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cmés az e egyenestõl 2 cm távolságra vannak.

b) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól leg-feljebb 4 cm és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak.

c) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól leg-feljebb 4 cm és az e egyenestõl 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak.

d) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nagyobb és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak.

e) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól leg-alább 4 cm és az e egyenestõl legalább 2 cm távolságra vannak.

f) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól leg-feljebb 4 cm vagy az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak.

2004. A vastagon húzott CD és EF szakaszokbármely pontjába tûzhetjük Bobi cö-löpjét.

GEOMETRIA

14

2005. a) b)

c) d)

e)

2006. a) b)

c) d)

e)

PONTHALMAZOK

15

2007. a) b)

c) d)

e)

2008. Az e egyenes és a kör O középpontjának távolságát tekintve 7 esetet különböztetünkmeg.1. Ha e és O távolsága kisebb 1 cm-nél, akkor 4 megfelelõ pont van.

GEOMETRIA

16

2. Ha e és O távolsága 1 cm, akkor 5 megfelelõ pont van.

3. Ha e és O távolsága 1 cm-nél nagyobb, de 3 cm-nél kisebb, akkor 6 megfelelõ pontvan.


5. Ha e és O távolsága 3 cm-nél nagyobb, de 7 cm-nél kisebb, akkor is 2 megfelelõpont van.

PONTHALMAZOK

17


7. Ha e és O távolsága nagyobb 7 cm-nél, akkor nincs megfelelõ pont.

2009. a) b) c)

d) e)

2010. a) b)

GEOMETRIA

18

c) d)

e)

2011. a) b)

PONTHALMAZOK

19

c) d)

e)

2012. a) b)

GEOMETRIA

20

2013.

2014.

2015.

2016. a) b)

PONTHALMAZOK

21

c)

2017. a) b)

A keresett ponthalmaz egy, az eredeti A keresett ponthalmaz két egymásra egyenesekkel párhuzamos egyenes, merõleges egyenes, amelyek a két adott amely felezi az eredeti egyenesek egyenes által meghatározott szögek közötti távolságot. felezõ egyenesei.

2018. Az elõzõ feladat alapján kétolyan pont van az egyeneseksíkjában, amelyek kielégítik afeltételt. Ezek a pontok a közép-pontjai a mindhárom egyenestérintõ két körnek.

2019. A kívánt tulajdonsággal csak azegyenesek M metszéspontja ren-delkezik.

GEOMETRIA

22

2020. 4 olyan pont van (O; O1; O2; O3), amelyek mindhárom egyenestõl egyenlõ távolságravannak. Ezek a pontok a középpontjai annak a 4 körnek, amelyek mindhárom adottegyenest érintik.

2021. A keresett kör középpontja A-tól és B-tõl egyenlõ távolságra van, ezért illesz-kedik az AB szakasz felezõmerõlegesé-re. Másrészt ez a kör A-ban érinti az eegyenest, ezért középpontjának rajtakell lennie az e egyenesre A-ban emeltmerõlegesen is. Így a szerkesztés mene-te:1. AB felezõmerõlegesének szerkeszté-

se.2. A-ban e-re merõleges szerkesztése.3. A két egyenes metszéspontja, O a

kör középpontja, OA = OB a kör su-gara.

2022. A szerkesztendõ kör középpontja illesz-kedik a szögfelezõre, és a szögszáraktól2 cm távolságra levõ, a szögszárakkalpárhuzamos egyenesekre.A szerkesztés menete:1. Az adott szög szögfelezõjének szer-

kesztése.2. Az egyik szögszártól 2 cm-re a szög-

szárral párhuzamos szerkesztése.3. A kapott O metszéspont körül 2 cm

sugarú kör rajzolása.

PONTHALMAZOK

23

2023. A feladatnak két megoldása van, mind-két kör sugara 2 cm, középpontjaikatpedig a P középpontú 2 cm sugarú körmetszi ki a két egyenes sávfelezõ egye-nesébõl.

2024. A szerkesztendõ kör(ök) középpontjailleszkedik a P körüli 3 cm sugarú körreés az e egyenessel párhuzamos, tõle3 cm távolságban a P-t tartalmazófélsíkben fekvõ egyenesre. Ha a P pontés az e egyenes távolsága kisebb, mint6 cm, akkor két megoldása van a fela-datnak, ha a távolság 6 cm, akkor 1megoldása van, ha pedig 6 cm-nél na-gyobb, akkor nincs megoldása.

2025. a) b) c)

Az AB szakasz felezõ- AB felezõmerõlegese AB felezõmerõlegesemerõlegese. által meghatározott, B-t által meghatározott,

tartalmazó nyílt félsík. A-t tartalmazó nyíltfélsík.

2026. A keresett pontot az AB szakasz felezõ-merõlegese metszi ki e-bõl. Nem ka-punk megoldást, ha az AB egyenes me-rõleges az e egyenesre.

2027. A keresett pont a 2026. feladat módszerével kapható meg. Ha az AB egyenes merõlegese-re és e nem felezõmerõlegese az AB szakasznak, akkor nincs megoldás, ha e felezõ-merõlegese AB-nek, akkor e minden pontja megoldás.

2028. A keresett háromszögek alapokkal szem-közti csúcsát az AB és CD szakaszokfelezõmerõlegeseinek metszéspontjaszolgáltatja. Nincs megoldás, ha az ABés a CD egyenesek párhuzamosak (egy-be is eshetnek) és felezõmerõlegeseiknem esnek egybe. Ha a két szakasz fele-zõmerõlegese egybeesik, akkor a közösfelezõmerõleges minden pontja meg-felelõ, kivéve a szakaszok felezõpont-jait. Más esetben egyértelmû megoldásavan a feladatnak.

GEOMETRIA

24

2029. A keresett pontokat az adott átmérõre merõleges átmérõ metszi ki a körbõl.

2030. A keresett pontokat a húr felezõmerõlegese metszi ki a körbõl.

2031. A keresett pontokat az AB szakasz fele-zõmerõlegese metszi ki a körbõl.Ha az AB egyenes illeszkedik a kör kö-zéppontjára, akkor két megoldás van, haaz AB szakasz felezõpontja a kör belse-jében van; egy megoldás, ha a felezõ-pont a kör pontja; nincs megoldás, ha afelezõpont a körön kívül van.Ha az AB egyenes nem illeszkedik a körközéppontjára, akkor is a fent leírt ese-tek valósulhatnak meg attól függõen,hogy AB felezõmerõlegese metszi akört, érinti a kört vagy nincs közöspontja a körrel.

2032. A keresett pontokat a 2031. feladatmódszerével kaphatjuk meg. Attól füg-gõen, hogy az AB szakasz felezõme-rõlegesének hány közös pontja van akörrel, lehet 0, 1, 2 megoldás. Például,ha az AB egyenes illeszkedik a kör kö-zéppontjára, akkor nincs megoldás.

2033. Az AB és az AC oldalegyenesektõlegyenlõ távolságra levõ pontok halmazaa 2017. feladat b) pontjában leírt egy-másra merõleges egyenespár.a) Az AB oldal felezõmerõlegesének az

elõbb említett szögfelezõ egyenesek-kel alkotott metszéspontjai adják amegoldást. A feltételeknek 2 ponttesz eleget.

b) Most a keresett pontok a BC oldalfelezõmerõlegesének és a szögfelezõegyeneseknek a közös pontjai lesz-nek. A BC felezõmerõlegese akkorés csak akkor illeszkedik az A csúcs-ra, ha az ABC háromszög egyenlõszárú (AB = AC). Ekkor BC felezõ-merõlegesének pontjai alkotják a ke-resett ponthalmazt. Ha AB π AC, ak-kor ebben az esetben is 2 pont lesz a

PONTHALMAZOK

25

megoldás.

2034. A keresett háromszögek alappal szemközti csúcsait az AC átló felezõmerõlegese metsziki a téglalap kerületébõl. Két egybevágó háromszöget kapunk.

2035. A keresett kör középpontja a pontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegesei-nek közös pontja. A kapott kör a három pont által meghatározott háromszög köréírt kö-re.

2036. Az elõzõ feladatban kapott kör bármely, az adott három ponttól különbözõ pontja meg-felel.

2037. Kiválasztva egy kör hét pontját, azok a kör középpontjától egyenlõ távolságra vannak.

2038. A feladat megoldása két kör lesz, me-lyek középpontja a háromszög köré ír-ható kör középpontja (az oldalfelezõmerõlegesek metszéspontja), a sugarakpedik (r + 2) cm, illetve (r - 2) cm, aholr a köré írható kör sugara centiméterbenkifejezve.

2039. Az elõzõ feladat megoldásához hasonlóan kapható meg a két kör.

2040. a) b)

GEOMETRIA

26

c) Elõbb szerkesszünk egy P-re illesz-kedõ, e-vel 60∞-os szöget bezáróegyenest, majd szerkesszünk ezzelaz egyenessel párhuzamos egyenese-ket P-tõl 4 cm távolságban! Ebbenaz esetben is két egyenes a megol-dás.Megjegyzés: P-re illeszkedõ, e-vel60∞-os szöget bezáró egyenes példá-ul a következõ módon szerkeszthetõ:1. P-bõl merõlegest állítunk e-re.

2. P-ben a merõlegesre 30∞-os szö-get szerkesztünk.

2041. A keresett körök középpontjait az adott kör középpontja körüli 2 cm, illetve 6 cm suga-rú körök és az adott egyenessel párhuzamos, tõle 2 cm távolságban levõ egyenesekmetszéspontjai adják. A megoldásoknak az adott kör és az adott egyenes kölcsönöshelyzetétõl függõ vizsgálata lényegében megegyezik a 2008. feladat kapcsán leírtakkal.

2042. A keresett körök középpontjai az átmérõ egyenesétõl n cm (n = 1; 2; 3; 4) távolságralevõ párhuzamos egyenesek és az eredeti körrel koncentrikus (n + 3) cm és (3 - n) cmsugarú körök metszéspontjaiként, illetve érintési pontjaiként adódnak. (n = 3 és n = 4esetben csak egy, az eredetivel koncentrikus kört tudunk felvenni.)a) 8 megfelelõ kört kapunk.

b-d) 4 megfelelõ kört kapunk, az eredeti kör belsejében nem jönnek létre metszéspontok.

2043. A megoldás az elõzõ feladathoz hasonlóan történik. Az a) esetben 7, a b) esetben 5, a c)és d) esetben 4 megfelelõ kör van.

PONTHALMAZOK

27

2044. A keresett pontokat az adott szög szög-felezõ egyenese metszi ki a P közép-pontú, 3 cm sugarú körbõl. 2, 1 illetve 0megfelelõ pontot kapunk attól függõen,hogy P távolsága a szögfelezõtõl ki-sebb, mint 3 cm; 3 cm; illetve nagyobb,mint 3 cm. (Ha a távolság 3 cm, akkoraz érintési pont a megoldás.)Megjegyzés: Elõállhat olyan eset is,hogy az egyik keresett pont a szög csú-csában, vagy a szögtartományon kívülvan.

2045. A keresett pontot az AB szakasz fele-zõmerõlegese metszi ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Nem kapunk megoldást,ha az AB egyenes merõleges a szögfelezõre és az AB szakasz felezõpontja nincs rajta aszögfelezõn. Ha AB felezõmerõlegese és a szögfelezõ egyenese egybeesik, akkor ennekaz egyenesnek minden pontja eleget tesz a feladat feltételeinek.

2046. A keresett pontokat az adott körrel koncentrikus (1 + x) cm, illetve az a) esetben az(1 - x) cm (x = 0,5; 1; 2) sugarú körök metszik ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl.Attól függõen, hogy hány metszéspont jön létre, az a) esetben a megoldások száma le-het 0, 1, 2, 3, 4, a b) és a c) esetben 0, 1, 2. (Ha páratlan számú pontot kapunk, akkor azegyik pont érintési pont.)

2047. Az adott feltétellel egy olyan négyzetkerületének pontjai rendelkeznek,amelynek 6 cm hosszú átlói illeszked-nek az adott egyenesekre. Az ábráról le-olvasható, hogy a négyzet oldalánakbármely P pontja rendelkezik a feladat-ban megkövetelt tulajdonsággal.

2048. A feladat feltételének megfelelõ pont-halmaz egy ellipszis. (Ellipszis: A síkazon pontjainak halmaza, amelyeknekkét adott ponttól mért távolságösszegeállandó, és ez az állandó nagyobb a kétadott pont távolságánál. A két adottpont az ellipszis fókuszpontja.)Körzõvel és vonalzóval az ellipszisnekcsak véges sok pontja szerkeszthetõmeg.

GEOMETRIA

28

2049. A feladat feltételének az ábrán láthatóponthalmaz felel meg, amely 8 félegye-nesbõl áll, amelyek kezdõpontjai azadott egyeneseken vannak, metszés-pontjuktól 1 cm távolságra. Az ábrárólleolvasható az is, hogy a tekintett fél-egyenesek minden pontja rendelkezik akívánt tulajdonsággal. (Lásd még a2107. feladat j) pontját!)

2050. A feladat feltételének megfelelõ pont-halmaz egy hiperbola. (Hiperbola: A síkazon pontjainak halmaza, amelyek kétadott ponttól mért távolságkülönbségé-nek abszolútértéke állandó, és ez az ál-landó olyan pozitív szám, amely kisebba két adott pont távolságánál. A kétadott pont a hiperbola fókuszpontja.)Körzõvel és vonalzóval a hiperbolánakcsak véges sok pontja szerkeszthetõmeg.

2051. A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adottfélegyenessel közös kezdõpontú, vele45∞-os szöget bezáró félegyenes.

2052. A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adottszög szögfelezõje.

a2

a2

PONTHALMAZOK

29

2053. Thalész tételének megfordításából adó-dóan a merõlegesek talppontjai általmeghatározott ponthalmaz az AB átmé-rõjû körvonal.

2054. Az ABC háromszögek C csúcsai az ABegyenessel párhuzamos, tõle az adottmagasság hosszával megegyezõ távol-ságban található egyeneseken helyez-kednek el. Ezen egyenesek bármelypontja megfelel a feltételnek.

2055. Az ABC háromszögek C csúcsai két, azAB egyenesére szimmetrikus, adott su-garú körön helyezkednek el, amely kö-rök közös húrja AB. Az A és a B pontokkivételével a két kör minden egyespontja kielégíti a feladat feltételét.A körök középpontjai az A (vagy B) kö-zéppontú, az adott sugárral megegyezõsugarú kör metszi ki az AB szakasz fele-zõmerõlegesébõl. A tekintett körökszerkeszthetõségének feltétele, hogy az

adott r sugárra teljesüljön az rAB>2

egyenlõtlenség.

GEOMETRIA

30

2056. Jelölje az adott két csúcsot A és B, azadott magasságot mc, az adott egye-nest e.A C csúcsok az AB egyenessel párhuza-mos, tõle mc távolságban levõ egyene-sek e-vel vett metszéspontjaiban lesz-nek. Ha e nem párhuzamos az AB egye-nessel, akkor két megfelelõ háromszö-get kapunk. Ha e párhuzamos az ABegyenessel és attól vett távolsága mc-tõlkülönbözik, akkor nincs megoldás, ha atávolság éppen mc, akkor e mindenpontja megfelel C csúcsnak.

2057. Jelölje c az adott oldalegyenest, mc az adott magasságot, a és b pedig az adott oldalakat.

A C csúcs szerkesztése az elõzõ feladat módszerével történik, szerkeszthetõségénekfeltételei is azonosak. Az A és a B csúcsot a c egyenesbõl a C középpontú, b, illetve a

sugarú körívek metszik ki. A szerkeszthetõséghez szükséges még, hogy a ¤ mc és

b ¤ mc teljesüljön, és legalább az egyik egyenlõtlenség éles legyen.

2058. A szerkesztés menete:1. Az a oldal felvétele.

2. a egyik végpontjába 45∞-os szög szerkesztése.

3. a-tól ma távolságban a-val párhuzamos szerkesztése a 45∞-os szöget tartalmazó fél-síkban.

4. A párhuzamos egyenes és a szögszár metszéspontjaként adódik a háromszög har-madik csúcsa.

A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

2059. A szerkesztés menete:1. A b oldal felvétele.2. b egyenesével, tõle mb távolságban

párhuzamos szerkesztése.3. b egyik végpontjából egy a sugarú

körívvel a harmadik csúcs kimetszé-se a párhuzamos egyenesbõl.

A feladatnak az egybevágó esetektõl el-tekintve két megoldása van.

PONTHALMAZOK

31

2060. A szerkesztés menete:1. Az a oldal felvétele.

2. a egyik végpontjába 30∞-os szögszerkesztése.

3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarúkörívvel a harmadik csúcs kimetszé-se a szerkesztett szögszárból.

A megoldás egybevágóság erejéig egy-értelmû.

2061. A szerkesztés menete:1. Az a oldal felvétele.2. Az a oldal egyenesével, tõle ma távolságban párhuzamos szerkesztése.3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhu-

zamos egyenesbõl.A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

2062. Jelölje az adott magasságot ma, az adott szögfelezõt fa. A szerkeszthetõséghez szüksé-

ges, hogy fa ¤ ma legyen.

Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú, és ekkor akár a (0∞ < a < 180∞), akár b(0∞ < b < 90∞) adott, a megoldás egyértelmû. (2062/1. ábra)Tegyük fel a továbbiakban, hogy fa > ma, és bontsuk három részre a feladatot aszerint,

hogy melyik szög adott (2062/2. ábra).

m fa = a

ma fa

2062/1. ábra 2062/2. ábra

I. a adott (0∞ < a < 180∞)Ekkor az ATF derékszögû háromszög Thalész tételének felhasználásával szerkeszthetõ,amelynek TF oldala kijelöli az a oldal egyenesét.A szerkesztés menete:1. fa mint átmérõ fölé Thalész-kör szerkesztése.

2. A-ból ma sugárral a T pont kimetszése a Thalész-körbõl.

3. fa mindkét oldalára A-ból a2

nagyságú szög szerkesztése.

4. A TF egyenesbõl a szerkesztett szögszárak kimetszik a B és a C csúcsot.A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

GEOMETRIA

32

II. b adott (0∞ < b < 90∞)Itt is az ATF derékszögû háromszögbõl kiindulva, b ismeretében az ABF háromszögszerkeszthetõ.A szerkesztés menete:1. Az ATF derékszögû háromszög szerkesztése (hasonlóan az I. esethez).

2. ma fa -val átellenes oldalára A-ból 90∞ - b nagyságú szög szerkesztése.

3. A szerkesztett szögszár a TF egyenesbõl kimetszi a B' csúcsot.4. B tükrözése fa egyenesére, a kapott pont B!

5. Az AB' egyenes és a TF egyenes metszéspontja C.A megoldás itt is egyértelmû.

Megjegyzés: b lehet tompaszög is, viszont ebben az esetben csak akkor kapunk megol-dást, ha az ma fa-val azonos oldalára A-ból szerkesztett b - 90∞ nagyságú szög szára ma

és fa közé esik.

III. g adott (0∞ < b < 90∞)Az ATF háromszög megszerkesztése után a TF egyenes valamely pontjába szerkesztettg szög másik szárát úgy kell eltolni, hogy a TF egyenessel párhuzamos, A-ra illeszkedõegyenest A-ban messe.A szerkesztés menete:1. Az ATF háromszög szerkesztése.

2. A g szög szerkesztése a TF egyenesre, annak valamely pontjában az A pontot tartal-mazó félsíkban.

3. A-n keresztül párhuzamos szerkesztése a TF egyenessel.

4. A g szög szárának és a szerkesztett párhuzamosnak a metszéspontja A'.

5. A g szög eltolása az A A'Æ

-ral, így kapjuk a C csúcsot.6. C tükrözése fa egyenesére, így kapjuk a C' csúcsot.

7. Az AC' és a TF egyenes metszéspontja a B csúcs.A megoldás egyértelmû.

Megjegyzés: Ha az adatok a 2062/2. ábrának megfelelõek, akkor g < b, és így g bizto-san hegyesszög.

2063. A szögtartományban a magasságpont a szögszáraktól adott távolságban levõ, a szögszá-rakkal párhuzamos egyenesek metszéspontjaként áll elõ. A magasságpontból a szögszá-rakra szerkesztett merõleges egyenesek a másik szögszárból kimetszik a háromszög hi-ányzó két csúcsát.A feladat megoldása egybevágóság erejéig egyértelmû.

PONTHALMAZOK

33

2064. A feladat szövege alapján a P pont a szögtartományon kívül van. Ekkor viszont aPA = PB feltételnek csak a szög csúcsa felel meg (A = B).Megjegyzés: Ha a feladat szövegébõl kivesszük a „közelebbi” szót, akkor P a szögtarto-mányba is eshet, és ekkor van olyan megfelelõ A és B pont, hogy P felezi az AB sza-kaszt. (Lásd a 2634. feladatot!)

2065. Ha M jelöli a háromszög belsõ szög-felezõinek metszéspontját, akkor azABM háromszög szerkeszthetõ. Ezutánaz MAB és MBA szögek megkétsze-rezésével kapjuk az AC és BC olda-lakat.

2066. Ha M jelöli az A és a D csúcsból indu-ló belsõ szögfelezõk metszéspontját,akkor az ABM háromszög szerkeszthe-tõ. Az AMD szög derékszög, mivel atrapéz szárakon fekvõ szögeinek ösz-szege 180∞, ezért a D csúcs az AM-reM-ben állított merõleges és az MABszög megkétszerezésével kapott fél-egyenes metszéspontjaként adódik. Cmegszerkesztéséhez használjuk ki,hogy a trapéz derékszögû.

2067. A magasság egyik végpontjába merõlegest, a másik végpontjába 30∞-os szöget kellszerkesztenünk.

2068. Az adott csúcsból állítsunk merõlegest az adott egyenesre. Ezzel megkaptuk a három-szög magasságát, ahonnan az elõzõ feladat alapján szerkeszthetõ a háromszög.

GEOMETRIA

34

2069. Mivel az adott pont a háromszög súlypontja is egyben, ezért az adott pontból az adottegyenesre szerkesztett merõlegesen a pont és az egyenes távolságát a ponton túl kétszerfelmérve megkapjuk a háromszög magasságát. Innen a háromszög a 2067. feladat mód-szerével szerkeszthetõ.

2070. I. Ha mindkét adott pont az egyenesen van, akkor a háromszög szára adott, így a fel-adatnak végtelen sok megoldása van.

II. Ha az egyik pont az egyenesen van, a másik rajta kívül, akkor két eset lehetséges.1. Az egyenesen levõ pont a szárak metszéspontja. Ekkor a két adott pont távolsá-

gát az egyenesen levõ pontból mindkét irányba felmérve az egyenesre, két meg-felelõ háromszöget kapunk. Ezek pontosan akkor egybevágók, ha a két adottpontra illeszkedõ egyenes merõleges az adott száregyenesre.

2. Ha az egyenesen levõ pont az alap egyik végpontja, akkor a két adott pont általmeghatározott szakasz felezõmerõlegese metszi ki az adott egyenesbõl a harma-dik csúcsot. Ha ez a felezõmerõleges párhuzamos az adott egyenessel, akkornincs megoldás.

2071. Az alap mindkét végpontjába 75∞-os szöget szerkesztve a kapott szögszárak metszés-pontja adja a harmadik csúcsot.

2072. Az alap felezõmerõlegesén a felezõpontból 2 cm-t felmérve adódik a harmadik csúcs.

2073. Az adott magasság talppontja az alapmint átmérõ fölé szerkesztett Thalész-körön van. A kapott tompaszögû három-szög az ábrán látható. Egybevágóságerejéig egyértelmû megoldást kapunk.

2074. A derékszögû csúcs az átfogó fölé szer-kesztett Thalész-körön van, az átfogóegyik végpontjától 4 cm-re. A megoldásegybevágóság erejéig egyértelmû. Pita-gorasz tétele alapján a másik befogó3 cm hosszú.

2075. Mivel a szárakhoz tartozó magasságok egyenlõ hosszúak, ezért az egyik szár mint át-mérõ fölé írt Thalész-körön az átmérõ egyik végpontjától 2 cm távolságra megkapjuk amásik szár egyenesének egy pontját. Ezt az átmérõ másik végpontjával összekötve amásik szár egyenese adódik. Erre felmérve 6 cm-t az átmérõ másik végpontjából, kap-juk a háromszög harmadik csúcsát. A feltételnek két, nem egybevágó háromszög teszeleget, az egyik tompaszögû, a másik hegyesszögû.

T1 T2

PONTHALMAZOK

35

B2

B1

2076. A másik szárhoz tartozó súlyvonal is5 cm, így az AF1C háromszög mindhá-rom oldala ismert, tehát szerkeszthetõ.(Lásd az ábrát!) A CF1 egyenesre F1-bõlfelmérve 3 cm-t adódik a B csúcs.A megoldás egyértelmû.

2077. Az átfogó mint átmérõ fölé szerkesztett Thalész-körbõl az átfogó felezõmerõlegesemetszi ki a derékszögû csúcsot.

2078. a) Jelölje C a derékszögû csúcsot, és legyen T a C-bõl az átfogó egyenesére szerkesz-tett merõleges talppontja. A CT távolságot T-bõl mindkét irányban felmérve az átfo-gó egyenesére, adódnak az átfogó végpontjai.

b) Jelölje A az átfogó egyik végpontját. A derékszögû csúcs az A-ból a befogó egyene-sére bocsátott merõleges talppontja, jelölje C. Az AC távolságot C-bõl felmérve abefogó egyenesére, adódik a harmadik csúcs.

2079. Az alaphoz tartozó magasság felezi az alappal szemközti szöget, így annak végpontjá-ban mindkét oldalra 60∞-os szög, a másik végpontba pedig merõleges szerkesztéséveladódik a kívánt háromszög.

2080. A 2548. feladat állítása szerint azegyenlõ szárú háromszög alapján felvettbármely pontnak a száraktól vett együt-tes távolsága egy állandó érték (a bizo-nyítást lásd ott), amely éppen a szárhoztartozó magasság hossza. Ezt a tényt fel-használva a keresett ponthalmaz egyszakasz lesz, egy olyan szabályos há-romszög egyik oldala, amelynek magas-sága 4 cm. A szakasz végpontjait azegyes szögszárakkal párhuzamos, tõlük4 cm távolságra levõ egyenesek metszikki a másik szögszárakból.

F1

GEOMETRIA

36

2081. Az elõzõ feladat eredményét alkalmaz-va a négy szögtartományra, kapjuk,hogy a keresett ponthalmaz egy téglalaplesz, amelynek átlói az adott egyenesek-re illeszkednek.

2082. A kérdésnek természetesen csak akkorvan értelme, ha a T-vel jelölt talppontrateljesül, hogy AT merõleges a BT-re.A C csúcs rajta van a BT egyenesen, ésannak minden B-tõl különbözõ pontjamegfelel.

2083. Mivel O1AP és O2BP egyenlõ szárú derékszögû háromszögek, ezért AT1 = T1O1 = T1Pés PT2 = T2O2 = T2B. Az O1T1T2O2 derékszögû trapéz O1O2 szárának felezõpontja F,

így FC a trapéz középvonala, amibõl adódóan FCT O T O= + =1 1 2 2

21 5, cm . Kaptuk te-

hát, hogy F távolsága az AB egyenestõl 1,5 cm, függetlenül a P helyzetétõl. Másrésztviszont a 2083/1. ábrán látható, hogy F mindig az ABO egyenlõ szárú derékszögû há-romszög átfogóval párhuzamos A'B' középvonalának belsõ pontja. Ezek után azt kellmég belátnunk, hogy az A'B' szakasz minden belsõ pontja benne van a feladatban defi-niált ponthalmazban, azaz létezik hozzá az AB szakasznak egy megfelelõ P belsõ pont-ja. Ez viszont teljesül, ugyanis F az OO1PO2 téglalap átlóinak metszéspontja, így feleziaz OP szakaszt. Így ha adott az ABO egyenlõ szárú derékszögû háromszög A'B' közép-vonalának egy F pontja, akkor az OF félegyenes kimetszi az AB szakaszból a megfelelõP pontot (2083/2. ábra).

O1

T1 T2

O2

2083/1. ábra 2083/2. ábra

C1

C2

PONTHALMAZOK

37

2084. Lásd az elõzõ feladatot!

2085. Azon pontok halmaza, amelyekbõl a há-romszög derékszögben látszik, az olda-lakra mint átmérõkre kifelé szerkesztettfélkörívek, kivéve a háromszög csúcsa-it.

2086. Az elõzõ feladathoz hasonlóan itt is azoldalak fölé szerkesztett félkörívekpontjai felelnek meg a feltételnek, csakitt a négyzet csúcsai is elemei a ponthal-maznak.

2087. A kör azon pontokból látszik derék-szögben, amelyekbõl a körhöz húzottérintõk derékszöget zárnak be. Ezek apontok egy, az adott körrel koncentri-

kus, 3 2 sugarú kör pontjai, amint azaz ábrán látható.

3 2 cm

GEOMETRIA

38

2088. A létra felezõpontja, lévén az AOB há-romszög derékszögû (lásd az ábrát)minden helyzetben 2 m távolságra vanaz O ponttól. Így a felezõpont pályájaegy O középpontú 2 m sugarú negyed-körív.

2089. Mivel a kör középpontját a húr felezõ-pontjával összekötõ szakasz merõlegesa húrra, ezért Thalész tételének megfor-dítása értelmében a P pontot az adottkör középpontjával összekötõ szakaszmint átmérõ fölé írt körnek az eredetikörbe esõ íve lesz a keresett ponthal-maz. (Az ív végpontjai a P-bõl húzottérintõk érintési pontjai lesznek.)

2090. A téglalap köré írható kör középpontjaaz átlók metszéspontja. Jelölje A' a BColdal, M pedig az AT magasság felezõ-pontját. Ha F és F' a téglalap két, BC-vel párhuzamos oldalának felezõpontja,akkor a téglalap K középpontja felezi azFF' szakaszt. Ebbõl adódóan K illesz-kedik az A'TA háromszög A'M súlyvo-nalára. Másrészt, ha K az A'TA három-szög A'M súlyvonalának tetszõlegesbelsõ pontja, akkor a K-ra illeszkedõAT-vel párhuzamos egyenes és az ABCháromszög AA' súlyvonalának F met-széspontja kijelöli a téglalap BC-velpárhuzamos oldalát. Kaptuk tehát, hogya keresett ponthalmaz az A'M nyílt sza-kasz.

2091. A feladat szövege túl általános, ezért a következõ egyszerûsítésekkel élünk:1. A, B és C az e egyenes ugyanazon oldalán legyenek.2. A négyszög csúcsai pozitív irányításban A, B, C, D sorrendben legyenek.3. Tekintsük négyszögnek azt is, amikor három csúcs (D és az adottakból valamelyik

kettõ) egy egyenesbe esik, vagy a négyszög hurkolt helyzetû (lásd 2091/1. ábrát).Ezek a feltevések a megoldás lényegén nem változtatnak, viszont áttekinthetõbbé teszikazt.

PONTHALMAZOK

39

a) (A korábbi kiadásokban a feladat szövegében „oldal” szerepel, természetesen „átló”kellene.) A BD átlók felezõpontjainak halmaza egy az e-vel párhuzamos egyenes,amelyik felezi a B-bõl az e-re állított merõleges szakaszt.

b) A válasz hasonló az a) pont válaszához.c) Bármely síknégyszög oldalfelezõ pontjai paralelogrammát határoznak meg (vagy

esetünkben egy egyenesre is eshetnek). (Lásd a 2374. feladatot!). A paralelogrammaátlói felezik egymást, így egy az e-vel párhuzamos, az AB felezõpontjából a b) pont-ban kapott egyenesre állított merõleges szakaszt felezõ egyenest kapunk.

F1F2

F3

F4

2091/1. ábra 2091/2. ábra 2091/3. ábra

2092. Az A pont az elsõ forgatásnál egy B középpontú, AB sugarú 120∞-os középponti szög-höz tartozó körívet ír le, a második forgatásnál egy C középpontú, szintén AB sugarú és120∞-os középponti szöghöz tartozó körívet, a harmadik forgatásnál pedig fixen marad.Ha a jelöli a háromszög oldalának hosszát, akkor az A pont az a sugarú kör kerületének2

3 részét tette meg. Így

82

32p p= ◊ a ,

amibõla = 6.

2093. Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát, akkor az A pont útja:1. forgatás: B körüli a sugarú negyedkörív;

2. forgatás: C körüli a 2 (a négyzet átlója) sugarú negyedkörív;3. forgatás: D körüli a sugarú negyedkörív;4. forgatás: A fixen marad.

A pálya hossza összesen:

42

2p p p= +a

a,

GEOMETRIA

40

ahonnan

( )a =+

= - ª8

2 24 2 2 2 34, .

2094. A C csúcsot megkapjuk, ha a B csúcsot A körül 60∞-kal elforgatjuk. Így a C csúcsokhalmaza az adott négyzet A körüli 60∞-os elforgatottja. Mivel a feladat a csúcsok betû-zésének irányítását nem rögzítette, ezért a négyzet A körüli mindkét irányú elforgatottjamegfelel.

2095. Mivel a feladat nem rögzítette a csúcsokbetûzésének irányát, ezért két, az erede-tihez hasonló, egymással egybevágószabályos háromszög (a belsejévelegyütt) alkotja a lehetséges C csúcsokhalmazát. Ezen háromszögek csúcsaitmegkapjuk, ha az A-t az eredeti három-szög csúcsaival összekötõ szakaszokfelezõmerõlegeseire a felezõpontokbólfelmérjük a felezõpont és A távolságát.Megjegyzés: Az eredeti és a kapott há-romszögek hasonlóságának aránya

1

20 707ª , , lévén a derékszögû há-

romszög befogója 2 -ed része az átfo-gónak.

PONTHALMAZOK

41

2096. Legyen a kiválasztott két szemközticsúcs A és C. A feladat feltétele alapjánP illeszkedik a BD átlóra. A feladat szö-vege alapján P egyidejûleg nem lehetösszekötve a B és a D csúccsal, ugyanisellenkezõ esetben nem teljesülhetne ahárom egyenlõ területû részre osztás.Ha P az A, B és C pontokkal van össze-kötve, és a kapott három rész területeegyenlõ, akkor P D-hez van közelebb.Legyen a P pont és az AD oldal távolsá-ga x. Ekkor P az AB oldaltól a - x távol-ságra van, ahol a a négyzet oldalát jelö-li. (Lásd az ábrát!)A feladat feltétele alapján

T T T TAPD CDP ABP BCP+ = = .

Felírva a megfelelõ területeket és ki-használva az ábra szimmetriáját

axa a x= -( )

2,

ahonnan xa=3

.

Ez azt jelenti, hogy P a BD átló D-hezközelebbi harmadolópontja.

2097. 1. A BD átló P felezõpontja megfelel,ugyanis

T T TABCP ABP PBC= + ,

valamint

T T TADCP APD PCD= + ,

teljesül továbbá, hogy

T T T TABP APD PBC PCD= = és .

Ez utóbbi azért teljesül, mert a te-kintett háromszögek egyik oldala ésa hozzá tartozó magasság meg-egyezik.

2. Húzzunk P-n keresztül párhuzamost az AC átlóval! Az így kapott EF szakasz vala-mennyi P' belsõ pontja megfelel, ugyanis T TACP ACP= ' és T T TAP CD ACD ACP' '= + .

Az EF szakasz belsõ pontjaitól különbözõ Q pontokra T TAQC APCπ .

2098. Ha lenne a négyszög belsejében olyan pont, amely mindegyik körön kívül van, akkorThalész tételének következtében ebbõl a pontból mind a négy oldal 90∞-nál kisebb szögalatt látszana. Ez pedig azt jelentené, hogy ebbõl a pontból nézve az oldalak látószögei-nek összege 360∞-nál kisebb, ami nyilvánvaló ellentmondás.

m1

m2

GEOMETRIA

42

2099. A 2017/b) feladat alapján a keresett ponthalmaz két egymásra merõleges egyenes,amelyek egyenletei: y = x, illetve y = -x. A két egyenes pontjainak koordinátái közöttikapcsolat összefoglalva így írható: ΩyΩ = ΩxΩ.

2100. a)

y x= 2

b)

y x= 3

2

c)

y x= 4

d)

yx

=3

e)

yx

=2

5

PONTHALMAZOK

43

2101.

y x>

2102. a) Lásd a 2047. feladatot!

x y+ = 6

b) Lásd a 2049. feladatot!

x y- = 3

GEOMETRIA

44

2103. A keresett pontok az origó körüli 4 egy-

ség sugarú kör és az yx=3

, valamint

az yx= -3

egyenesek metszéspontjai-

ként adódnak.Megjegyzés: Az origó körüli 4 egységsugarú kör pontjainak koordinátáira (éscsak azokra!) Pitagorasz tételébõl adó-dóan x2 + y2 = 16.

2104. A 2102. feladat alapján a feladat feltéte-lének csak a P1(4; 0); P2(0; 4);

P3(-4; 0); P4(0; -4) pontok tesznek ele-get.

2105.

2106. a)

y x=

b)

x y= 2

yx= -3

yx=3

M1M2

M3 M4

P4

P1

P2

P3

PONTHALMAZOK

45

c)

yx=3

d)

y x= 5

e)

x y+ = 2

f)

x y+ = 2

g)y x- = 2

h)

y x- =2 1

2107. a)

x y=

b)y x=

GEOMETRIA

46

c)

x y=

d)

y x= 2

e)

x y+ = 4

f)

x y- = 1

g)

x y+ = 3

h)

x y- = 2

i)

x y- = -1

j)

x y- = 1

PONTHALMAZOK

47

2108. a)

y x= 2

b)

y x2 =

c)

x y2 2=

d)

x y2 2 1+ =

x y2 2= akkor és csak akkor, ha Lásd a 2103. feladat megjegyzését!

x y= .

e)

y x2 24= -

GEOMETRIA

48

2109. a)

x y>

b)

x y£

c)

x y¤ 2

d)

x y+ <1

e)

x y+ ¤ 2

f)

x y- < 3

g)y x- >1

h)

x y− 3 2£

- 2

3

PONTHALMAZOK

49

i)

x y+ +1 0£

2110. a)

x y¤b)

y x<

c)

x y>

d)

x y£

e)

2 3x y£

f)x y+ < 4

GEOMETRIA

50

g)

x y− ¤ 2

h)

y x- < 3

i)

x y− ¤1

j)

x y- < -2

k)

x y− £1

2111. a)

y x¤ 2

b)

x y2 >

PONTHALMAZOK

51

c)

x y£ 2

d)

x y2 2>

x y2 2> akkor és csak akkor, ha

x y> .

e)

x y2 2 9+ £f)

x y2 2 4+ >

2112. a)

x x y¤ 0 és =

b)

x x y< <0 és

c)

x y x y+ = 0 és ¤

d)

x y y= < és 0

GEOMETRIA

52

e)

y x y¤ 2 4 és =

f)

x x y= + <2 4 és

Megjegyzés: Az e) és az f) pont a feladatgyûjteményben hibásan jelent meg.

2113. a)

x y< 0 0 vagy ¤

b)

x y x y+ = - =3 2 vagy

c)x y x y= − vagy £ 2

d)

y x x y£ 2 2 2 4 vagy + =

e)

y x y x> < - vagy

f)

x y x y2 2 1+ + =£1 vagy

PONTHALMAZOK

53

2114. a) Egész koordinátájú pontok: P1(1; 0),

P2(0; 1), P3(-1; 0), P4(0; -1). Ezekegyenlõ távol vannak az origótól.

b) Az egész koordinátájú pontok az áb-rán láthatók. Az origóhoz legköze-lebbi négy pont: P1(2; 2), P2(-2; 2),

P3(-2; -2), P4(2; -2).

c) Végtelen sok egész koordinátájú pont van, közülük kettõ van az origóhoz legköze-lebb: P1(3; 3), P2(-3; -3).

P1

P2

P1P2

P3 P4

GEOMETRIA

54

d) A megoldás ugyanaz, mint az a)pontban.

e) Végtelen sok megfelelõ pont van, azorigóhoz legközelebbiek: P1(2; 0),

P2(-2; 0).

f) A megfelelõ pontok az ábrán lát-hatók, az origóhoz legközelebbiek:P1(1; 0), P2(0; 1), P3(-1; 0),

P4(0; -1).

g) A megfelelõ pontok az ábrán látha-tók. Az origóhoz legközelebbiekugyanazok, min az elõzõ pontban.

P2 P1

P1

P2P3

P4

PONTHALMAZOK

55

2115. A közös rész egy zárt síkidom, az ábránvonalkázással jelöltük.

2116. A közös részt az ábrán vonalkázással je-löltük. (Két közös pont nélküli síkidom,az egyik nagyon „pici”.)

2117. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz

2118. a) hamis b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz f) igaz

2119. a) hamis b) hamis c) hamis d) igaz e) igaz

2120. a) hamis b) hamis c) igaz d) igaz

2121. a) hamis b) hamis c) hamis d) igaz e) igaz f) igaz

2122. a) hamis b) igaz c) igaz d) hamis

2123. a) AB £ 4 cm b) AB ¤ 10 cm

GEOMETRIA

56

2124. a) b)

Ha PB < 4 cm, akkor PA < 1 cm.c) Nincs ilyen pont.

d) e)

Ha PA < 1 cm, akkor PB > 2 cm.

f) Az AB szakasz A-hoz közelebbi harmadolópontja kivételével a sík minden pontjamegfelel.

2125. a) Adott középpontú, adott sugarú gömbfelületen.b) Egy olyan végtelen hengerpaláston, amelynek tengelye az adott egyenes, kereszt-

metszetének sugara pedig az adott távolság.c) Az eredeti félsík által meghatározott mindkét féltérben egy-egy, az eredetivel párhu-

zamos sík, tõle adott távolságban.

2126. a) A két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõleges síkjában. Ezen síkminden pontja rendelkezik az adott tulajdonsággal, a tér más pontjai viszont nem.

b) A két adott egyenes által meghatározott sáv felezõegyenesére illeszkedõ, a két egye-nes által meghatározott síkra merõleges síkban.

c) A két metszõ egyenes szögfelezõ egyeneseire illeszkedõ, az egyenesek által megha-tározott síkra merõleges síkokban. Ez a két sík egymásra is merõleges.

d) A két egyenest egymástól elválasztó, mindkettõvel párhuzamos és a távolságukat fe-lezõ síkban.

2127. a) A két síkot egymástól elválasztó, velük párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban.b) A két metszõ sík által meghatározott szögek szögfelezõ síkjaiban. Ezen két sík il-

leszkedik az eredeti síkok metszésvonalára és merõleges egymásra.

2128. Az eredetivel koncentrikus 1 cm, illetve 5 cm sugarú gömbfelületek.

2129. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) hamis f) hamisg) igaz h) hamis i) hamis j) igaz

2130. a) hamis b) hamis c) igaz d) hamis e) igaz f) igaz

2131. a) hamis b) hamis c) hamis d) igaz e) hamis f) igaz

GEOMETRIA

56

Síkbeli alakzatok

Szakaszok, szögek

2132. Alapszerkesztések.



2135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így xa b= +

2;

ya b= -

2. Az e) és az f) pont adatainak megfelelõ szakaszok nem léteznek.

2136. ac d= +

6; b

c d= -6

. Az a hosszúságú

szakasz szerkesztéséhez harmadolnunkis kell, ami az ábrán látható módon vé-gezhetõ el. Az e) pont adatainak meg-felelõ szakaszok nem léteznek.


2138. F FAB BC

1 2 2= +

a) 2, 5 cm b) 2,25 cm c) 4,1 cm d) 9,5 cm e) 37,54 cm f) 7,65 cm

2139. BC = AC + BD - AD

a) 3 cm b) 6 cm c) 5 cm d) B = C e) 4,19 cmf) Az adatok nem felelnek meg a feltételeknek.

2140. AB BC CD AC BD AD

4 cm 5 cm 6 cm 9 cm 11 cm 15 cm

8 cm 3 cm 45 mm 11 cm 0,7 dm 15 cm

0,9 cm 73 mm 6,7 cm 0,82 dm 14 cm 14,9 cm

130 cm 1,8 m 1,2 m 3,1 m 3 m 4,3 m

1,3 km 200 m 1,5 km 1500 m 1700 m 3 km

1 mm 3,9 cm 13 mm 4 cm 5,2 cm 53 mm

x dm (7,2 - x) dm 6 dm 72 cm (13,2 - x) dm 1320 mm

Az utolsó sor adatai alapján B a feltételnek megfelelõen szabadon választható.

x

3

x

3

x

3

SÍKBELI ALAKZATOK

57

2141. A feladatban egy adott hosszúságú sza-kaszt kell arányosan felosztani. (Lásd azábrát.)

2142. a)10

3 cm b)

10

7 cm c) 4 cm d)

20

7 cm e) 6 cm f)

40

11 cm

g) 5,5 cm h) 6,5 cm i)10p

p q+ cm

2143. a) 3 m b) 4,5 m c) 6 m d) 1,8 m e) 2,25 m f)27

11 m

g) 2 m h) 2,5 m i) 918

918-

+= -

+p

p q

q

p q m m

2144. a) - b) Egy szabályos háromszögnekmegszerkesztem az egyik magassá-gát.

c) 1530

2∞= ∞

d) 75 60 15 6030

2∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞

e) 22 545

2, ∞= ∞

. 45º az egyenlõ szárú

derékszögû háromszög átfogójánfekvõ szög.

f) 37 5 30 7 5 3015

2, ,∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞

2145. c) 22 545

2, ∞= ∞

d) 67 5 60 7 5 6015

260

30

4, ,∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞ = ∞+ ∞

e) 82∞30' = 82,5∞ = 60∞ + 22,5∞ f) 135∞ = 90∞ + 45∞

g) 120∞ = 2 ◊ 60∞ h) 105 90 15 9030

2∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞

i) 112 30 112 5 90 22 5 9045

2∞ = ∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞

' , ,

j) 225∞ = 180∞ + 45∞

2146. a) 270∞ = 180∞ + 90∞ = 360∞ - 90∞b) 330∞ = 360∞ - 30∞

d1d2

d d d

x

y

d

d

1 2

1

2

+ =

=

a

2

GEOMETRIA

58

c) 210∞ = 180∞ + 30∞

d) 217 5 180 37 5 18075

2180 30

30

4, ,∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞ = ∞+ ∞+ ∞

e) 202 30 202 5 180 22 5 18045

2∞ = ∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞

' , ,

f) 285 270 15 27030

2∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞

g) 262 5 270 7 5 27030

4, ,∞= ∞- ∞= ∞- ∞

h) 405∞ = 360∞ + 45∞

i) 375 360 15 36030

2∞= ∞+ ∞= ∞+ ∞



2149. a a b a b= + + -( ) ( )

2; b a b a b= + - -( ) ( )

2

a) a = 45∞, b = 15∞ b) a = 60∞, b = 30∞c) a = 30∞, b = 15∞ d) a = 100∞, b = 20∞e) a = 180∞, b = 30∞ f) a = 134,5∞, b = 44,5∞g) a = 88∞38', b = 50∞8' h) a = 168,55∞, b = 39,25∞i) a = 300∞, b = 30∞ j) a = 224∞30', b = 67∞17'

2150. Lásd a 2149. feladatot!




2154. a g d= +4

; b g d= -2

a) a = 22,5∞, b = 15∞ b) a = 37,5∞, b = 15∞c) a = 26,25∞, b = 7,5∞ d) a = 48,75∞, b = 22,5∞e) a = 43,125∞, b = 18,75∞ f) a = 48,75∞, b = 15∞g) a = 105∞, b = 60∞ h) a = 135∞, b = 45∞i) a = 183,75∞, b = 52,5∞

2155. a) 38∞, 38∞ b) 251

3∞ , 50

2

3∞ c) 19∞, 57∞ d) 30,4∞, 45,6∞

e) 337

9∞ , 42

2

9∞ f) 53,2∞, 22,8∞ g) 31

2

3∞ , 44

1

3∞ h) 33,25∞, 42,75∞

SÍKBELI ALAKZATOK

59

2156. Ha a a kérdéses szög, akkor

35

25

36

180

a a

a

- = ∞

= ∞.

2157. a b a a a+ = + = = ◊ ∞= ∞5

7

12

7

12

7105 180

2158. a + b = 230∞

a) 1802

230 100 130∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

b) Két eset lehetséges.

1. 1803

230 150 80∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

2. 1802

3230 75 155∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

c) Két eset lehetséges.

1. 1804

230 200 30∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

2. 1803

4230 66

2

3163

1

3∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

d) Két eset lehetséges.

1. 1802

5230 125 105∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

2. 1803

5230 83

1

3146

2

3∞+ = ∞ Æ = ∞ = ∞b b a,

2159. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ mindegyik esetben 60∞-os.a) 35∞; 60∞; 85∞ b) 30∞; 60∞; 90∞ c) 15∞; 60∞; 105∞d) 10∞; 60∞; 110∞ e) 6∞46'; 60∞; 113∞14'

2160. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ legyen a.

a)a a a a2

2 180 513

751 43+ + = ∞ Æ = ∞ª ∞, . A szögek: 25

5

7∞ , 51

3

7∞ , 102

6

7∞

b)2

3

3

2180 56

16

1956 84a a a a+ + = ∞ Æ = ∞ª ∞, . A szögek: 37

17

19∞ , 56

16

19∞ , 85

5

19∞

c)a a a a3

3 180 417

1341 54+ + = ∞ Æ = ∞ª ∞, . A szögek: 13

11

13∞ , 41

7

13∞ , 124

8

13∞

d)a a a a4

4 180 342

734 29+ + = ∞ Æ = ∞ª ∞, . A szögek: 8

4

7∞ , 34

2

7∞ , 137

1

7∞

2161. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ mindegyik esetben 72∞-os.

a) 12∞; 42∞; 72∞; 102∞; 132∞ b) 8∞; 40∞; 72∞; 104∞; 136∞c) 52∞; 62∞; 72∞; 82∞; 92∞ d) 27∞; 49∞30'; 72∞; 94∞30'; 117∞

GEOMETRIA

60

2162. a) 72∞; 72∞; 72∞; 144∞ b) 40∞; 80∞; 120∞; 120∞

c) 30∞; 90∞; 90∞; 150∞ d) 513

7∞ ; 77

1

7∞ ; 102

6

7∞ ; 128

4

7∞

e) 693

13∞ ; 83

1

13∞ ; 96

12

13∞ ; 110

10

13∞ f) 45∞; 75∞; 105∞; 135∞

2163. a) 90∞ b) 120∞ c) 150∞ d) 20∞

e) 3030

4

3

430 22 5∞- ∞ = ◊ ∞= ∞, f) 60∞ - 5∞ = 55∞

2164. 0 óra 000∞ 5 óra 150∞ 09 óra 90∞1 óra 030∞ 6 óra 180∞ 10 óra 60∞2 óra 060∞ 7 óra 150∞ 11 óra 30∞3 óra 090∞ 8 óra 120∞ 12 óra 00∞4 óra 120∞Megjegyzés: A mutatók által bezárt két szögbõl mindig a kisebbet tekintettük.

2165. a) 22,5∞ b) 49,2∞ c) 224,9∞ d) 106 406, ∞ e) 93,095∞

2166. a) 33∞30' b) 42∞42' c) 53∞36' d) 134∞14'24” e) 215∞3'

f) 139∞0'36”

2167. ap

a∞= ∞ ◊180( )rad

a) 180∞ b) 360∞ c) 90∞ d) 120∞ e) 30∞f) 135∞ g) 67,5∞ h) 15∞ i) 25∞ j) 75∞

k)180

57 2958 57 17 45∞ ª ∞ª ∞

p, ' '' l)

28891 67

∞ ª ∞p

,

2168. a p a( )rad =∞◊ ∞

180

a) 2p b) p c)p3

d)p2

e)p6

f)p4

g)3

2

p h)

5

3

p i)

p12

j)5

12

pk)

p36

2169. b az a szög pótszöge, ha a + b = 90∞. Ha d jelöli a feladatban megadott különbséget,

akkor a = b + d = 90∞ - a + d, amibõl a d= ∞+90

2.

a) 50∞ b) 51∞ c) 57,5∞ d) 65∞ e) 75∞ f) 82,5∞g) 59,06∞ h) 60∞39'30”

2170. a) 30∞ b) 36∞ c) 27∞ d) 40∞ e) 45∞ f)p

p q+◊ ∞90

SÍKBELI ALAKZATOK

61

2171. Jelöljük a k számmal megjelölt szöget bk-val (k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7). Ekkor

b2 = b4 = b6 = a, b1 = b3 = b5 = b7 = 180∞ - a.

2172. Két szög egymás mellékszögei, haegyik szögszáruk közös, másik szögszá-ruk pedig ugyanazon egyenes két fél-egyenese. Ha d jelöli a feladatban meg-adott különbséget és a b szögre vagyunkkíváncsiak, akkorb = a - d = 180∞ - b - d, ahonnan

b d= ∞-180

2.

a) 85∞ b) 79∞ c) 75∞d) 67,5∞ e) 53,5∞ f) 40∞g) 30∞ h) 24∞21'

2173. a) 90∞ b) 120∞ c) 72∞

d) 771

7∞ e) 75∞ f) 126∞

g) 81∞ h)p

p q+◊ ∞180

2174. a) a = 90∞, b = 90∞b) a = 120∞, b = 60∞c) a = 72∞, b = 108∞d) a = 67,5∞, b = 112,5∞

e) a = ∞114 54, , b = ∞65 45,

f) a = 70∞, b = 110∞g) a = 67,5∞, b = 112,5∞

h) a =+

◊ ∞p

p q180 , b =

+◊ ∞q

p q180

2175. a) a = 90∞, b = 90∞b) a = 60∞, b = 120∞c) a = 72∞, b = 108∞d) a = 80∞, b = 100∞e) a = 54∞, b = 126∞f) a = 63∞, b = 117∞g) a = 82,5∞, b = 97,5∞

a b+ = ∞180

a b+ = ∞180

a b+ = ∞180

GEOMETRIA

62

h) a =+

◊ ∞p

p q180 , b =

+◊ ∞q

p q180

2176. A derékszög.

2177. Jelölje a két szöget a és b. Mivel aszögfelezõk merõlegesek egymásra,

ezért a b2 2

90+ = ∞ , azaz a + b = 180∞.

Ez viszont azt jelenti, hogy mivel azegyik szögszár közös, ezért a szögek egymás mellékszögei, azaz a nem közös szögszá-rak valóban egy egyenesre illeszkednek. Az állítás megfordítása: Ha két szög egy-egyszára ugyanarra az egyenesre illeszkedik, akkor a másik száruk közös és szögfelezõikmerõlegesek egymásra. A megfordítás nyilvánvalóan nem igaz. (lásd az ábrát.) Igaz vi-szont a következõ állítás: Ha két szög egyik szára közös, másik száruk pedig egy egye-nesre illeszkedik, akkor szögfelezõik merõlegesek egymásra. A feltételbõl adódóan

ugyanis a szögek egymás mellékszögei, így a + b = 180∞, amibõl a b2 2

90+ = ∞ .

2178. a + b = 180∞, így a b3 3

60+ = ∞ .

A kérdéses szög lehet:

1. 23 3 3

60◊ + = + ∞a b a

2.a b b3

23 3

60+ ◊ = + ∞

0 90∞< < ∞a , így 03

30∞< < ∞a.

90 180∞< < ∞b , így 303

60∞< < ∞b.

A kérdéses szögösszegekre nézve:

1. 603

60 90∞< + ∞< ∞a;

2. 903

60 120∞< + ∞< ∞b.

SÍKBELI ALAKZATOK

63

2179. Rajzoljuk le a repülõgép útját. Az erede-ti irányra merõlegesen, észak felé repül.

2180. Az ABC háromszög C-nél levõ szöge:

180∞ - 67,5∞ - 45∞ = 67,5∞.A hajó tehát az eredeti útirányhoz ké-pest +67,5∞-kal elfordulva halad.

2181. Beesési szög az (1) helyzetben b1, a (2)

helyzetben b1 + a. Mindkét helyzetbenegyenlõ a beesési és a visszaverõdésiszög az aktuális beesési merõlegeshezviszonyítva. A tükörrel együtt a beesésimerõleges is a szöggel elfordul, így abeesési szög a-val változik. A beesésimerõleges új, a-val elfordult helyzeté-hez képest a visszaverõdési szög a-valváltozik, így az eredeti helyzethez ké-pest valóban 2a-val fordul el.

Kombinatorika a síkon

2182. n pont az egyenest n + 1 részre osztja, ezek között n - 1 szakasz és 2 félegyenes van.

2183. n részre az egyeneset n - 1 pont osztja.

2184. Az egyenesen n szakaszt n + 1 pont határoz meg.

b1

GEOMETRIA

64

2185. Bármelyik pontból a többi ponthoz n - 1 egyenes húzható. Így összeszámlálva az egye-neseket mindegyiket kétszer számláljuk, ezért n olyan pont, amelyek közül semelyik

három nincs egy egyenesen n n( )-1

2 egyenest határoz meg.

a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) 10 f) 15

2186. Bármely két egyenes meghatároz egy metszéspontot, és erre már más egyenes nem il-leszkedik. Az elõzõ feladat gondolatmenetéhez teljesen hasonló módon adódik, hogy n

egyenes n n( )-1

2 metszéspontot határoz meg.

a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) 10 f) 15

2187. n párhuzamos egyenes n + 1 részre osztja a síkot.

2188. a) 2 b) 4 c) 7

d) Eddig a rajzok alapján könnyû volt az egyes sík-részeket megszámolni, viszont ahogy az egye-nesek száma nõ, ez egyre nehezebb lesz. Megfi-gyelhetjük, hogy a d) esetben a negyedik egye-nes behuzása után ezen az egyenesen hárommetszéspont keletkezett, ami ezt az egyenestnégy részre osztotta. Minden ilyen rész elvágottegy eddigi síkrészt, így a három egyenes hely-zetéhez képest a síkrészek száma néggyel nõtt, azaz 11 lett.

e) – f) Az ötödik egyenes behúzása után hasonló gondolatmenettel adódik, hogy asíkrészek száma 16, míg hat egyenes esetén 22.

g) Jelölje an n db, a feladat feltételeit kielégítõ egyenes esetén a keletkezett síkrészekszámát. A fenti gondolatmenetet alkalmazzuk.

a0 = 1a1 = 2 = a0 + 1a2 = 2 + 2 = a1 + 2 = 4a3 = 4 + 3 = a2 + 3 = 7a4 = 7 + 4 = a3 + 4 = 11

an = an-1 + n

Összeadva ezeket, kapjuk, hogy a0 + a1 + a2 + ... + an = a0 + a1 + a2 + ... + an-1 +

+ 1 + 1 + 2 + ... + n, azaz

a nn n n n

n = + + + + = + + = + +1 1 2 1

1

2

2

2

2

...( )

(Felhasználtuk, hogy az elsõ n pozitív egész szám összege n n( )+1

2.)

SÍKBELI ALAKZATOK

65

2189. Az elõzõ feladat alapján 5 egyenes a síkot legfeljebb 16 részre oszthatja, ugyanis havannak közöttük párhuzamosak, vagy van olyan pont, amire legalább 3 egyenes illesz-kedik, akkor a síkrészek száma kevesebb lesz, mint 16. A válasz tehát: nem lehet.

2190. A három párhuzamos és a három egy pontra illesz-kedõ egyenes összesen 10 metszéspontot határozmeg. (Lásd az ábrát.) Ezek után egyesével húzzukbe az egyeneseket. Egy új egyenes behúzása a met-széspontok számát annyival növeli, ahány egyenesa behúzás elõtt a rajzon volt. Így a tizedik egyenesbehúzása után a metszéspontok száma:

10 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40.

2191. A legkevesebb részre akkor osztja, ha az egyenesek párhuzamosak, ekkor a keletkezõrészek száma 5. A legtöbb részre akkor osztja, ha az egyenesek páronként metszikegymást a kör belsejében és semelyik metszésponton sem megy át három egyenes. Ek-kor a részek száma 11. (Lásd a 2188. feladat e) pontját!)

Sokszögek tulajdonságai

2192.

A 12. sorszámú síkidom deltoid, egyik helyre sem írható.

2193.

GEOMETRIA

66

2194. a) b)

c) d)

e)

2195. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) hamis f) igazg) igaz h) igaz i) igaz k) hamis l) igaz

2196. a) igaz b) hamis c) igaz d) igaz e) hamis f) igazg) igaz h) igaz i) igaz j) hamis k) hamis l) hamism) igaz

2197. a) igaz b) igaz c) hamis d) igaz e) igaz f) igazg) igaz h) hamis

2198. a) igaz b) igaz c) hamis d) igaz e) hamis f) igazg) igaz h) igaz i) igaz j) igaz

2199. a) igaz b) igaz c) igaz d) igaz e) hamis f) igazg) igaz h) igaz i) igaz j) igaz

2200.

SÍKBELI ALAKZATOK

67

2201.

A szürkén satírozott tartományokba nem került rajz.

2202. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis e) igaz f) igazg) hamis h) igaz i) hamis j) igaz k) hamis l) hamism) igaz

2203. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) igaz f) igazg) igaz h) hamis i) igaz j) igaz k) igaz

2204. a) igaz b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz f) igazg) igaz h) igaz

2205. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis e) igaz f) igazg) igaz h) hamis i) igaz j) igaz k) igaz l) igazm) igaz n) hamis o) igaz p) hamis

2206. a)

GEOMETRIA

68

b)

c)

2207. a)

A szürkén satírozott részek üresen maradtak.

SÍKBELI ALAKZATOK

69

b)

c)

A szürkén satírozott rész üresen maradt.

2208. a)

GEOMETRIA

70

b)

c)

2209. a)

b)

SÍKBELI ALAKZATOK

71

c)

2210. a) igaz b) igaz c) igaz d) igaz e) hamis f) igazg) igaz h) igaz i) igaz j) hamis k) hamis l) igazm) hamis n) hamis o) igaz

2211. a) igaz b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz f) hamisg) igaz h) hamis i) hamis j) igaz

2212. a) igaz b) igaz c) hamis d) hamis e) igaz f) igazg) hamis h) igaz i) hamis j) hamis k) igaz l) igaz

2213.

2214. a) igaz b) hamis c) igaz d) igaz e) igaz f) igaz

2215.Háromszög 3 különbözõ

oldala van2 oldalaegyenlõ

Minden oldalaegyenlõ

Minden szögehegyesszög

Van derékszöge –

Van tompaszöge –

GEOMETRIA

72

2216.

2217. Konvexek: 1., 6.Nem konvexek: 2., 3., 4., 5., 7., 8.

2218. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis e) hamis f) hamisg) hamis h) igaz i) hamis j) igaz

2219. Csak a páros oldalszámú szabályos sokszögeknek van szimmetria-középpontja.

2220. Szimmetria-átlója csak a páros oldalszámú szabályos sokszögeknek van, egy 2n oldalúszabályos sokszögnek n db.

2221. Az n oldalú konvex sokszög n - 2 megfelelõ háromszögre bontható.

2222. A válasz ugyanaz, mint az elõzõ feladatnál.

2223. Az n oldalú konvex sokszög egy csúcsából n - 3 átló húzható.

2224. Ha egy konvex sokszög egy csúcsából n átló húzható, akkor a sokszög oldalszáman + 3.

2225. Ha egy konvex sokszöget az egy csúcsból húzható átlók n háromszögre bontanak, ak-kor a sokszög oldalszáma n + 2.

2226. Az n oldalú konvex sokszög belsõ szögeinek összege (n - 2) ◊ 180∞.a) 180∞ b) 360∞ c) 720∞ d) 900∞ e) 1080∞ f) 1260∞g) 1980∞ h) 3240∞ i) 5940∞

2227. Bármely n oldalú sokszög belsõ szögeinek összege (n - 2) ◊ 180∞.a) 360∞ b) 540∞ c) 900∞ d) 1260∞ e) 1800∞ f) 2340∞g) 3060∞

SÍKBELI ALAKZATOK

73

2228. Bármely konvex sokszög külsõ szögeinek összege 360∞.

2229. Az n oldalú szabályos sokszög egy belsõ szöge ( )n

n

- ◊ ∞2 180.

a) 60∞ b) 90∞ c) 108∞ d) 120∞ e) ª 128,57∞ f) 135∞g) 144∞ h) 160∞ i) 162∞

2230. A középponti háromszögek szárszöge: 360∞

n.

A középponti háromszögek alapon fekvõ szöge a belsõ szög fele, azaz ( )n

n

- ◊ ∞2 90.

Jelölje a a középponti háromszögek szárszögét, b az alapon fekvõ szöget.

a) a = 120∞, b = 30∞ b) a = 90∞, b = 45∞ c) a = 72∞, b = 54∞d) a = 60∞, b = 60∞ e) a = 36∞, b = 72∞ f) a ª 27,7∞, b ª 76,15∞g) a = 20∞, b = 80∞ h) a ª 17,14∞, b ª 81,43∞ i) a = 12∞, b = 84∞

2231. Jelölje a a középponti szöget, ekkor a sokszög oldalszáma: n = ∞360

a.

Jelölje b a sokszög belsõ szögét.

a) n = 3, b = 60∞, szögösszeg: 180∞ b) n = 4, b = 90∞, szögösszeg: 360∞c) n = 5, b = 108∞, szögösszeg: 540∞ d) n = 6, b = 120∞, szögösszeg: 720∞

e) 2n, b = - ◊ ∞ = - ◊ ∞( ) ( )2 2 180

2

1 180n

n

n

n, szögösszeg: (n - 1) ◊ 360∞

A külsõ szögek összege mindegyik esetben 360∞.

2232. Ha b a külsõ szög és a a megfelelõ belsõ szög, akkor a = 180∞ - b.

Ha a sokszög n oldalú, akkor n = ∞360

b.

A belsõ szögek összege (n - 2) ◊ 180∞, az átlók száma pedig Nn n= -( )3

2.

a) a = 60∞, n = 3, N = 0, szögösszeg: 180∞b) a = 90∞, n = 4, N = 2, szögösszeg: 360∞c) a = 120∞, n = 6, N = 9, szögösszeg: 720∞d) a = 150∞, n = 12, N = 54, szögösszeg: 1800∞e) a = 156∞, n = 15, N = 90, szögösszeg: 2340∞f) a = 168∞, n = 30, N = 405, szögösszeg: 5040∞g) a = 174∞, n = 60, N = 1710, szögösszeg: 10440∞

h) a = - ◊ ∞( )n

n

1 180, 2n, N = n(2n - 3), szögösszeg: (n - 1) ◊ 360∞

2233. Az n oldalú szabályos sokszögnek n n( )- 3

2 átlója van.

GEOMETRIA

74

a) 0 b) 2 c) 5 d) 9 e) 27 f) 44g) 135 h) 189 i) 527

2234. Az átlók száma ugyanaz, mint az elõzõ feladatban.a) 2 b) 5 c) 9 d) 14 e) 35 f) 65g) 135 h) 230 i) 527

2235. Ha a belsõ szögek összege fokokban mérve S, akkor nS= ∞ + ∞

∞360

180.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 11 f) 15g) 19 h) 22 i) 27 j) 33

2236. A szögösszeg n ◊ 180∞, ahol n a háromszögek száma.

2237. Ha a sokszög egy csúcsából n átló húzható, akkor a létrejövõ háromszögek száma n + 1,így a szögösszeg (n + 1) ◊ 180∞.

2238. Figyelembe véve a 2236. feladat eredményét, ha a háromszögek száma n, akkor egy

belsõ szög: n

n

◊ ∞+180

2.

a) 90∞ b) 108∞ c) 120∞ d) ª 128,57∞ e) 140∞ f) 150∞g) ª 158,82∞ h) 163 63, ∞ i) 169 09, ∞

2239. Figyelembe véve a 2237. feladat eredményét, ha az egy csúcsból húzható átlók száma

n, akkor egy belsõ szög: ( )n

n

+ ◊ ∞+

1 180

3.

a) 90∞ b) 108∞ c) 120∞ d) ª 128,57∞ e) 144∞ f) 150∞g) ª 154,29∞ h) 162∞ i) 165,6∞

2240. Ha a szögösszeg a-nál nagyobb és b-nál kisebb, akkor

a < (n - 2) ◊ 180∞ < b,amibõl

a b180

2180

2∞

+ < <∞

+n (n pozitív egész szám)

a sokszög oldalszáma.a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9 f) 17g) Több lehetõségünk van, n lehet: 14; 15; 16; 17; 18.

2241. Ha egy belsõ szög a-nál nagyobb és b-nál kisebb, akkor a sokszög n oldalszámára néz-ve:

a b< - ◊ ∞ <( )n

n

2 180.

A két egyenlõtlenséget külön-külön alakítva, és felhasználva, hogy a < 180∞ ésb < 180∞, kapjuk, hogy

SÍKBELI ALAKZATOK

75

360

180

360

180

∞∞-

< < ∞∞-a b

n .

a) Két lehetõség van, n lehet: 3; 4. b) Két lehetõség van, n lehet: 4; 5.c) Két lehetõség van, n lehet: 6; 7. d) Egy lehetõség van, n = 8.

e) Kilenc lehetõségünk van, 9 £ n £ 17. f) Nem lehetséges.

2242. Az n oldalú sokszög átlóinak a száma n n( )- 3

2. Ha a sokszögnek k-szor annyi átlója

van, mint oldala, akkor

k nn n◊ = -( )3

2.

Ebbõln = 2k + 3.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 17 f) 23g) 33Megjegyzés: n ilyen feltételek mellett mindig páratlan.

2243. Ha a jelöli a legkisebb szöget és a sokszög oldalszáma n, akkor

a + (a + 5∞) + (a + 2 ◊ 5∞) + ... + (a + (n - 1) ◊ 5∞) = (n - 2) ◊ 180∞.

Felhasználva, hogy az elsõ n - 1 pozitív egész összege n n( )-1

2, kapjuk, hogy

nn n

n◊ + - ◊ ∞= - ◊ ∞a ( )( )

1

25 2 180 .

Ebbõl

a = - ◊ ∞- - ◊ ∞n

n

n2180

1

25

a) A legkisebb szög: a = 82,5∞, a legnagyobb szög: 97,5∞.b) A legkisebb szög: a = 98∞, a legnagyobb szög: 118∞.c) A legkisebb szög: a ª 128,57∞, a legnagyobb szög: ª 158,57∞.d) A legkisebb szög: a = 120∞, a legnagyobb szög: 160∞.e) A legkisebb szög: a = 122,5∞, a legnagyobb szög: 177,5∞.f) A legkisebb szög: a = 114,5∞, a legnagyobb szög: 209,5∞.Az utóbbi esetben a sokszögnek 6 konkáv szöge van.

Sokszögek szögei

2244. A külsõ szögek összege mindig 360∞, így ha n a sokszög oldalszáma, és a belsõ szög-összeg k-szor akkora, mint a külsõ, akkor

(n - 2) ◊ 180∞ = k ◊ 360∞,amibõl

n = 2(k + 1).

GEOMETRIA

76

a) 6 b) 8 c) 12 d) 22 e) 28Megjegyzés: n ilyen feltételek mellett mindig páros.

2245. Jelölje a', b ', g ' a megfelelõ külsõ szögeket, g a harmadik belsõ szöget.

a) g = 67∞, a' = 127∞, b ' = 120∞, g ' = 113∞b) g = 58∞, a' = 168∞, b ' = 70∞, g ' = 122∞c) g = 90∞, a' = 150∞, b ' = 120∞, g ' = 90∞d) g = 140∞, a' = b ' = 160∞, g ' = 40∞e) Nem lehetséges. (96∞ + 85∞ > 180∞).f) g = 9∞, a' = 179∞, b ' = 10∞, g ' = 171∞

2246. a) b = 30∞, a' = 120∞, b ' = 150∞, g ' = 90∞b) a = 105∞, g = 35∞, b ' = 140∞, g ' = 145∞c) b = 138∞22', g = 2∞22', a' = 140∞44', g ' = 177∞38'

d) g = 70∞, b = 20∞, a' = 90∞, b ' = 160∞e) a = 57∞29', b = 115∞44', g = 6∞47', g ' = 173∞13'f) Nem lehetséges.

g) Mivel 73∞11' + 106∞49' = 180∞, ezért b szabadon választható és g = 106∞49' - b.

h) g = 108∞28'43”, b = 6∞14'32”, a' = 114∞43'15”, b ' = 173∞45'28”

2247. a) g = 40∞, a' = 135∞, b ' = 85∞b) a' = 143∞, b = 102∞, g = 41∞c) a = 67∞, b = 48∞, g = 65∞d) Nem lehetséges, ugyanis a + b + g = 179∞59'.

e) Nem lehetséges, ugyanis a' π b + g.

f) Nem lehetséges, ugyanis b = 45∞44' lenne, viszont ezzel a' π b + g.

2248. a) A háromszög szabályos.

b) a = 30∞, g = 105∞.A b oldal egyik végpontjába az a, másik végpontjába a b szöget felvéve adódik aharmadik csúcs.A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144. feladatot!

c) Két oldal és a közbezárt szög adott, így a b oldalra egyik csúcsához felmérve a-t,majd a másik szögszárra felmérve c-t adódik a harmadik csúcs.

d) g = 60∞. Lásd az elõzõ alpontot!e) A háromszög nem szerkeszthetõ, mivel a + b < c.f) A háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott, ezért egy tetszõleges szakaszra

egyik végpontjába az a, másik végpontjába a b szöget felmérve adódik egy megfe-lelõ háromszög. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2145. feladatot!

g) b = 75∞. Lásd az elõzõ alpontot!

h) a = 45∞, b = 60∞. Lásd a b) alpontot!

SÍKBELI ALAKZATOK

77

2249. Legyenek a háromszög szögei rendre a, b, g.

(1)ab

b a= Æ = ◊p

q

q

p(2) a + 10∞ = g

Felírva a háromszög belsõ szögeinek összegét:

180 10 2 10∞= + + = + + + ∞= ◊ +ÊËÁ

ˆ¯˜ + ∞a b g a a a aq

p

q

p

Ebbõl a = ∞

+= ∞◊

+170

2

170

2qp

p

p q.

a) p = 2, q = 3

a = 484

7∞ª 48,57∞, g = 58

4

7∞ ª 58,57∞, b = 72

6

7∞ ª 72,86∞

a' ª 131,43∞, g ' ª 121,43∞, b ' ª 107,14∞b) p = 4, q = 5

a ª 52,31∞, g ª 62,31∞, b ª 65,38∞a' ª 127,69∞, g ' ª 117,69∞, b ' ª 114,62∞

c) p = 5, q = 7a = 50∞, g = 60∞, b = 70∞a' = 130∞, g ' = 120∞, b ' = 110∞

2250. a = 50∞, így b + g = 130∞. Ha b : g = p : q, akkor

b =+

◊ ∞p

p q130 és g =

+◊ ∞q

p q130 .

a) b = 52∞, g = 78∞ b) b = 48,75∞, g = 81,25∞b ' = 128∞, g ' = 102∞ b ' = 131,25∞, g ' = 98,75∞

c) b = 59 09, ∞ , g = 70 90, ∞ d) b = 54 16, ∞ , g = 75 83, ∞b ' =120 90, ∞ , g ' =109 09, ∞ b ' =125 83, ∞ , g ' =104 16, ∞

2251. Csak a belsõ szögeket határozzuk meg. A külsõ szögek meghatározására nézve lásd pl.a 2245. feladatot!

Ha a : b : g = p : q : r, akkor

a =+ +

◊ ∞p

p q r180 , b =

+ +◊ ∞q

p q r180 , g =

+ +◊ ∞r

p q r180 .

a) a = 30∞, b = 60∞, g = 90∞ b) a = 45∞, b = 60∞, g = 75∞c) a ª 38,57∞, b ª 64,29∞, g ª 77,14∞ d) a = 45∞, b = 56,25∞, g = 78,75∞e) a = 30∞, b = 70∞, g = 80∞

2252. Legyenek a háromszög belsõ szögei a, b, g. Legyen a = 35∞17' és g = b + 18∞3'. Ekkorb + g = 2b + 18∞3' = 180∞ - a = 144∞43'. Ebbõl b = 63∞20', és így g = 81∞23'. A meg-felelõ külsõ szögek: a' = 144∞43', b ' = 116∞40', g ' = 98∞37'.

GEOMETRIA

78

2253. Nincs ilyen háromszög, hiszen a + b = g ', a feladat feltételei alapján viszonta + b = 5g '.

2254. A feladat tulajdonképpen két feladat,ugyanis a külsõ szög lehet az alaponfekvõ szögek külsõ szöge, és lehet aszárak által bezárt szög külsõ szöge.

1. eset: b ' adott.1. eset: Ekkor

b b

a b

a a b

= ∞-

=

= ∞- = ∞-

180

2

180 1802

',

',

''.

a) b = 144∞, a = 18∞, a' = 162∞ b) b = 136∞, a = 22∞, a' = 158∞c) b = 117∞, a = 31,5∞, a' = 148,5∞ d) b = 100∞, a = 40∞, a' = 140∞e) b = 88∞, a = 46∞, a' = 134∞ f) b = 70∞, a = 55∞, a' = 125∞g) b = 60∞, a = 60∞, a' = 120∞

2. eset: a' adott.1. eset: Ekkor

a ab a a ab b a

= ∞-= ∞- = -= ∞- =

180

180 2

180 2

',

' ,

' .

Mivel a hegyesszög, ezért most csak az e), f), g) esetek lehetségesek.e) a = 88∞, b = 4∞, b ' = 176∞ f) a = 70∞, b = 40∞, b ' = 140∞g) a = 60∞, b = 60∞, b ' = 120∞

2255. a adott, d-t keressük.

d b g b g a= + = + = ∞-2 2 2

180

2

a) 72∞ b) 67,5∞ c) 60∞d) 40∞ e) 30∞

f)5

1275

p = ∞

2256. a adott, b1-et és b2-õt keressük.

b2

g2

SÍKBELI ALAKZATOK

79

1. eset: A háromszög hegyesszögû (a < 90∞).

b a1 2

= , b a2 90= ∞-

a) b1 = 5∞, b2 = 80∞ b) b1 = 12,5∞, b2 = 65∞

c) b1 = 15∞, b2 = 60∞ d) b1 = 22,5∞, b2 = 45∞

e) b1 = 30∞, b2 = 30∞ h) b1 =5

24

p= 37,5∞, b2 =

p12

= 15∞

2. eset: A háromszög tompaszögû.

b a1 2

= , b a2 90= - ∞

f) b1 = 50∞, b2 = 10∞ g) b1 = 60∞, b2 = 30∞

2257. d a b= + = ∞2 2

45

2258. Az a) és a b) eset hegyesszögû, a c) eset tompaszögû háromszöget eredményez. Mivel amagasságvonalak metszéspontja hegyesszögû esetben a háromszögön belül, míg tom-paszögû esetben a háromszögön kívül van, ezért külön tárgyaljuk a két esetet.

Célunk d1 és d2 meghatározása. A létrejövõ derékszögû háromszögek miatt (lásd a

2258/1. ábrát) d1 = a és d2 = b.

a) d1 = 45∞, d2 = 80∞

b) d1 = 22,5∞, d2 = 82,5∞

d1 d2

90∞-a 90∞-b d1 d2

90∞-b90∞-g

2258/1. ábra 2258/2. ábra

A létrejövõ derékszögû háromszögek és az A pontnál kialakuló csúcsszögek egyenlõsé-ge alapján (lásd a 2258/2. ábrát) d1 = b és d2 = g.

c) d1 = 60∞, d2 = 15∞

b2

b1

b2

b1

a2

b2

GEOMETRIA

80

Megjegyzés: Természetesen indokolhattunk volna mindkét esetben a merõleges szárúszögek egyenlõségének figyelembevételével is.

2259. Tekintsük a 2255. feladat ábráját! Ott azt kaptuk, hogy d a= ∞-902

. Nyilván

180 902

∞- = ∞+d a.

2260. A 2256. feladatban kaptuk, hogy az a szárszögû egyenlõ szárú háromszögben az egyikszárral alkotott magasság a másik szárral hegyesszögû háromszög esetén 90∞ - a, mígtompaszögû háromszög esetén a - 90∞ nagyságú szöget zár be. Jelölje d a feladatbanmegadott különbség(ek)et.Hegyesszögû eset: A 2260/1. ábrán jól látható, hogyb = 90∞ - d, és így a = 2d (d < 45∞).a) b = 80∞, a = 20∞ b) b = 76∞, a = 28∞

c) b = 70∞, a = 40∞ d) b = 67∞29', a = 45∞2'

e) b = 62∞, a = 56∞

Tompaszögû eset: A feltétel alapján

b - d = a - 90∞.Felhasználva, hogy

a = 180∞ - 2b,kapjuk

b - d = 180∞ - 2b - 90∞ = 90∞ - 2b.Ebbõl

b d= ∞+90

3.

Teljesülnie kell a 90∞ < a feltételnek, amibõl b < 45∞, azaz 90

345

∞+ < ∞d, ahonnan

d < 45∞.a) b = ∞33 3, , a = ∞113 3, b) b = ∞34 6, , a = ∞110 6,

c) b = ∞36 6, , a = ∞106 6, d) b ª ∞37 30' , a ª ∞105

e) b = ∞39 3, , a = ∞101 3,

2261. Az ábrán látható, hogy az átfogóhoz tar-tozó magasság a derékszöget a két he-gyesszöggel egyenlõ szögekre bontja.

a) 15∞, 75∞ b) 22∞, 68∞c) 36∞, 54∞ d) 45∞, 45∞e) 60∞, 30∞ f) 79∞, 11∞

90∞-a

2260/1. ábra

a - ∞90

2260/2. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

81

2262. A két szögfelezõ által bezárt d szögre nézve d a b= +2 2

. (Lásd még a 2255. feladatot!)

a) 39∞ b) 45∞ c) 62∞15' d) 39∞44'30” e) 65∞A magasságvonalak szögét az egyesesetekben külön kell vizsgálni, attólfüggõen, hogy a konkrét szögek mek-korák.

Az a) és a d) esetben a g szög tompa-szög. Ekkor a 2258. feladat alapján amegfelelõ magasságvonalak szögea + b. a) 78∞; d) 79∞29'.A b) esetben a magasságvonalak a befo-gók egyenesei, így szögük 90∞. (Itt isa + b = 90∞.)A c) és az e) esetben az egyik adottszög a tompaszög. A magasságvonalakmeghúzásával létrejövõ derékszögû há-romszögek, és a csúcsszögek egyen-lõsége alapján a keresett szög180∞ - (a + b). c) 55,5∞; e) 50∞.

2263. a) A 2255. és a 2262. feladat alapján d a b= +2 2

.

b) Mivel az egy csúcsból kiinduló bel-sõ és külsõ szögfelezõ derékszögetzár be egymással, ezért a külsõ szög-

felezõk szöge is d a b= +2 2

.

c) A 2258. és a 2262. feladat alapján:

– Ha a + b < 90∞, akkor d = a + b.

– Ha a + b = 90∞, akkor d = 90∞.– Ha a + b > 90∞, akkord = 180∞ - (a + b).

Megjegyzés: Itt is és a korábbi felada-toknál is két egyenes hajlásszögén a ki-sebbik szöget értettük.

2264. Legyen a az adott szög és d (< 90∞) a két belsõ szögfelezõ által bezárt szög. (A másikbelsõ szögfelezõ induljon a b szög csúcsából.) Csak az ismeretlen belsõ szögeket hatá-rozzuk meg.

a) d = 80∞, b = 2d - a = 104∞, g = 40∞ b) Nem lehetséges.

c) d = 74∞, b = 92∞, g = 32∞ d) d = 55∞, b = 54∞, g = 70∞e) d = 50∞, b = 44∞, g = 80∞ f) d = 40∞, b = 24∞, g = 100∞

a b+ - ∞90

a b+ - ∞90

90∞-b

90∞-b

180∞- +( )a b

GEOMETRIA

82

2265. Jelölje a', b ', g ' a külsõ szögfelezõkáltal meghatározott háromszög belsõszögeit az ábrának megfelelõen.

A g szöget határozzuk meg, a többi tel-jesen hasonlóan adódik.

AOB <) = 180∞ - a b2 2

+ÊËÁ

ˆ¯

Mivel OAC' <) = OBC' <) = 90∞, ezért

g ' + AOB <) = 180∞, ahonnan

g a b'= +

2 2

Hasonlóan adódik, hogy a b g'= +

2 2 és

b a g'= +

2 2.

a) a' = 70∞, b ' = 40∞, g ' = 70∞ b) a' = b ' = g ' = 60∞c) a' = 75∞, b ' = 60∞, g ' = 45∞ d) a' = 77∞, b ' = 68∞, g ' = 35∞e) a' = 73,5∞, b ' = 46,5∞, g ' = 60∞

2266. Több esetet kell vizsgálnunk.

1. a < 90∞, b < 90∞.Ekkor a g-hoz tartozó magasság is a há-romszög belsejében van, így a 2266/1.ábra alapján

d g b a g= - ∞- = ∞- -2

90 902

( ) ( ) .

Itt b > a, de a kétféle kifejezés egyesít-hetõ:

d a g b g= + - ∞ = + - ∞2

902

90

.

Mivel g a b2

902

= ∞- +, ezért

d a b a b= - =

-2 2

.

Ennek az esetnek felelnek meg az a), b),c) alpontok.

a) d = 11∞ b) d = 15∞ c) d = 0∞

a2

b2

g2 90∞-b

2266/1. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

83

2. a és b közül valamelyik tompaszög.Legyen a > 90∞. Ekkor a 2266/2. áb-ra alapán

d a g= - ∞+902

.

Fejezzük ki g2

-t a-val és b-val, írjuk be

az elõzõ kifejezésbe, majd vonjunk ösz-sze. Kapjuk

d a b= -2

.

Eredményünk ugyanaz, mint az 1. eset-nél. Ennek az esetnek felelnek meg a d)és e) alpontok.

d) d = 42∞ e) d = 57∞

2267. Három esetet különböztetünk meg.1. eset: A háromszög hegyesszögû.Jelölje Ta az a-hoz tartozó, Tb a b-heztartozó magasság talppontját. Az ATaCés a BTbC háromszögek olyan derékszö-gû háromszögek, amelyeknek egyik he-gyesszögük g. Ebbõl adódóan

TbBC <) = TaAC <) = 90∞ - g.

2. eset: A háromszög tompaszögû és a aleghosszabb oldal.

Itt is TbBC <) = TaAC <) = 90∞ - g. (Azindoklás ugyanaz, mint az elõzõ eset-nél.)

3. eset: A háromszög tompaszögû, va-lamint a és b a két rövidebbik oldal.

TaCA <) = TbCB <) = 180∞ - g(csúcsszögek), így TaAC <) = TbBC <) =

= g - 90∞.

g2a - ∞90

180∞-a2266/2. ábra

Ta

Tb

mb

ma

2267/1. ábra

Ta

Tb

mb

ma

2267/2. ábra

Ta

Tb

mbma

180∞-g

2267/3. ábra

GEOMETRIA

84

2268. Az ábrán látható, hogy d = 45∞ - b = a - 45∞.

2269. Jelölje d a kisebbik szöget. Ekkor

d a g a= ∞- - = ∞- -1802

180

- ∞- -ÊËÁ

ˆ¯

= ∞- -90

2 290

2

a b a b.

Itt most az ábrán a > b teljesül. Az ösz-szefüggés ettõl függetleníthetõ:

da b

= ∞--

902

.

a) d = 77∞ b) d = 65∞18'30”

c) d = 45,5∞ d) d = 60∞e) d = 90∞ f) d = 45∞

2270. Az elõzõ feladat alapján a két szög különbsége:

902

902

∞+-Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ - ∞-

-Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ = -

a b a ba b .

2271. A feltételek alapján a két részháromszög derékszögû, így az eredeti háromszög egyenlõszárú derékszögû háromszög.

2272. Jelölje a az alapon fekvõ szög felét.Ekkor mivel AD = AB, ezért ABD <) =

= BOA <) = 2a. Így a + 2a + 2a = 180∞,amibõl a = 36∞. A háromszög szögei72∞, 72∞, 36∞.

2273. Az elõzõ feladat esetében AD = DC is teljesül, ugyanis ACB <) = a = 36∞.

g2

SÍKBELI ALAKZATOK

85

2274. a) b)

c) d)

2275. a) A 2263. feladat a) pontja alapján, ha g2

= és b2

= , akkor

b g

b g2 2

58

116

+ = ∞

+ = ∞

,

,

így a = 180∞ - (b + g) = 64∞.

b) Ha a2

= és b2

= , akkor

a ba b

+ = ∞- ∞= ∞

+ = ∞

180 72 108

2 254 ,

így d = 54∞.

c) b = 90∞ - 35∞ = 55∞, d = 35∞. A két magasság által létrehozott derékszögû három-szögek hegyesszögei közötti kapcsolat, a háromszög külsõ szögére vonatkozó tételés a csúcsszögek egyenlõsége miatt a háromszög belsõ szögeinek összege:

35∞ + (b + g) + (b + (d - g)) = 180∞.

Rendezve g kiesik, ami azt jelenti, hogy g -t bizonyos határok között szabadon vá-laszthatom, b és d értéke viszont meghatározott.

d) g = ∞- ∞ = ∞180 100

240 .

d + 100∞ + (180∞ - 2 ◊ 20∞) = 360∞,ahonnan d = 120∞, és így a = 30∞.

GEOMETRIA

86

2276. A kijelölt O pont a háromszög oldalfele-zõ merõlegeseinek metszéspontja, a há-romszög köré írható kör középpontja.Ennélfogva az ABO, BCO és CAO há-romszögek egyenlõ szárúak. Jelöljemost a szokásostól eltérõen ezen három-szögek alapon fekvõ szögeit rendre a, bés g. Ezzel a jelöléssel a + b + g = 90∞.AOB <) = 180∞ - 2a = 180∞ - 2(90∞ -- b - g) = 2(b + g). A BOC és az AOCszögekre hasonlóan adódik, hogy az ál-lítás igaz.

2277. a) 2g + d = 180∞ fi g = 50∞g = 2a fi a = 25∞a + b + g + (180∞ - 2b) = 180∞ fi b = a + g = 75∞e = 180∞ - (a + b) = 80∞ = d

b) g = 45∞, a = 22,5∞, b = 67,5∞, e = 90∞c) g = 35∞, a = 17,5∞, b = 52,5∞, e = 110∞

2278. A feladat feltételének megfelelõ összegképzésére 4 lehetõségünk van:

(1) a' + a + b

(2) a' + 2b

(3) b' + a + b

(4) b' + 2b

a) (1) b = 30∞, a = 120∞ (2) 210∞ + 2a = 360∞ fi a = 75∞, b = 52,5∞(3) a = 30∞, b = 75∞ (4) b = 30∞, a = 120∞

b) (1) b = 56∞, a = 68∞ (2) a = 62∞, b = 59∞(3) a = 56∞, b = 62∞ (4) b = 56∞, a = 68∞

c) (1) b = 80∞, a = 20∞ (2) a = 50∞, b = 65∞(3) a = 80∞, b = 50∞ (4) b = 80∞, a = 20∞

d) (1) Nem lehetséges. (2) a = 30∞, b = 75∞(3) a = 120∞, b = 30∞ (4) Nem lehetséges.

Megjegyzés: (1) és (4) ugyanazokat a szögeket szolgáltatja, ezért három lényegesenkülönbözõ eset van.

2279. a = g + w fi w = 30∞b = d + w fi d = 30∞g = e + d fi e = 50∞Kihasználtuk a csúcsszögek egyenlõségét és a háromszög külsõ szögére vonatkozó té-telt.

SÍKBELI ALAKZATOK

87

2280. Igaz. Mivel 2 180( )< + < + < = ∞ , ezért< + < + < = ∞90 . CP-t P-n túl az AB

szakaszig meghosszabbítva kapjuk a Dpontot. A szögekre megállapított fentiösszefüggés miatt ADC <) = 90∞, így CDmagasság. Hasonlóan adódik, hogyCEB <) = 90∞ (lásd az ábrát), így BE ismagasság. Mivel P illeszkedik a három-szög két magasságvonalára (ebbõl kö-vetkezik, hogy a harmadikra is), ezért Pvalóban a magasságpont.

2281. A feltételekbõl CFE <) = 90∞ - b2

és FEC <) = 90∞ - a2

. Így ECF <) =a b2 2

+ .

a) 39∞ b) 42∞ c) 55∞ d) 38∞20' e) 59∞

2282. Kihasználva, hogy a megfelelõ háromszögek külsõ szöge egyenlõ a nem mellette fekvõkét belsõ szög összegével, a következõk adódnak:

1. CAB <) = ABC <) = a2. DCB <) = BDC <) = 2a3. Az elõzõ miatt BDE <) = BED <) = 180∞ - a - (180∞ - 4a) = 3a.

4. Hasonlóan FDE <) = EFD <) = 180∞ - 2a - (180∞ - 6a) = 4a.

5. b = EGF <) = FEG <) = 180∞ - 3a - (180∞ - 8a) = 5a. Kaptuk b = 5a.

a) b = 25∞ b) b = 50∞ c) b = 75∞d) Ez az adat nem felel meg az ábrának.

2283. Az n-edik szakasz behúzása után akkor nem tudjuk folytatni, ha az derékszöget zár beaz egyik szögszárral. (Ekkor már nem képezhetõ új egyenlõ szárú háromszög.) Az elõzõfeladat alapján, ha a a kezdõ szög, akkor n ◊ a = 90∞.

a) a = 30∞ b) a = 18∞ c) a = 15∞ d) a = 10∞ e) a = 9∞ f) a =90∞n

2284. Legyen a a szárak által bezárt szög. Ek-kor a 2282. feladat és az ábra alapján

3a + 3a + a = 180∞,ahonnan

a

a

= ∞ ª ∞

= ∞ ª ∞

180

725 72

3540

777 14

, ,

, .

GEOMETRIA

88

2285. Jelölje d a negyedik szöget, a', b', g ', d' pedig a megfelelõ külsõ szögeket.a) d = a' = b' = g ' = d' = 90∞b) d = 146∞, a' = 67∞, b' = 142∞, g ' = 117∞, d' = 34∞c) A négyszög konkáv, d = 205∞59'.d) d = 108∞, a' = 135∞, b' = 101∞, g ' = 52∞, d' = 72∞e) d = 69∞, a' = 83,7∞, b' = 88∞49', g ' = 76∞29', d' = 111∞f) d = 15∞, a' = 113∞, b' = 8∞, g ' = 74∞, d' = 165∞

2286. a) b = 88∞, d = 87∞, a' = 70∞, g ' = 105∞, d' = 93∞b) b = 57∞, d = 99∞, g = 139∞, a' = 115∞, g ' = 41∞c) a = 39∞, g = 74∞, d = 83∞, b = 164∞, b' = 16∞d) g = 78∞27', a = 47∞8', a' = 132∞52', b' = 115∞44', d' = 9∞51'e) d' = 74∞. b + g = 170∞, b szabadon választható a feltételnek megfelelõen, g b vá-

lasztásával már meghatározott.f) Mivel b + b' = 179∞, ezért nincs megfelelõ négyszög.

2287. Mivel a + b + g + d = 360∞ és a + b + a' + b' = 360∞, ezért d + g = a' + b'.

a) 214∞ b) 206∞52' c) 193∞59' d) 200∞36'


2289. Jelölje a szögfelezõk által bezárt szögetw. (Lásd az ábrát!) Az ABCM négy-szögre felírva a belsõ szögek összegét:

a g b w2 2

180 360+ + + ∞+ = ∞( ) .

Ebbõl

w a g b= ∞- + +ÊËÁ

ˆ¯

1802 2

Mivel az AMC <) lehet konvex és kon-káv is, ezért

w a g b= ∞- + +ÊËÁ

ˆ¯

1802 2

a) w = 5,5∞ b) w = 2,5∞c) w = 26,5∞ d) w = 47∞27'30”

a2

g2

SÍKBELI ALAKZATOK

89

2290. Ha w a megfelelõ szögfelezõk által be-zárt szög (lásd az ábrát), akkor

w a b= +2 2

.

a) w = 95∞b) w = 85∞c) w = 132,5∞d) w = 58∞53'30”

2291. a + b = 180∞ és az átlók oldalakkal be-

zárt szöge a2

illetve b2

. A feladatban

a adott.

a) b = 150∞ b) b = 138∞c) b = 129∞ d) b = 111∞44'

e) b = 56∞ f) b = 16∞41'

g) b = 180∞ - a


a) a = 32∞, b = 148∞ b) a = 62∞, b = 118∞c) a = 86∞32', b = 93∞28' d) a = 137∞, b = 43∞e) a = 140∞, b = 40∞ f) a = 2d, b = 180∞ - 2d

2293. a + b = 180∞ és a adott.

a) b = 15∞ b) b = 127∞c) b = 100∞44' d) b = 29∞e) b = 18∞41' f) b = 180∞ - aA paralelogramma mindegyik esetbenlehet rombusz is.

2294. Legyen a a kisebb szög. Ekkor

2a + d = 180∞,ahonnan

a d= ∞-902

, b d= ∞+902

.

a) a = 74,5∞, b = 105,5∞ b) a = 68,5∞, b = 111,5∞ c) a = 60∞, b = 120∞ d) a = 50∞52', b = 129∞8' e) a = 44,18∞, b = 135,82∞

a2 b

2

a2

b2

GEOMETRIA

90

2295. A feltételek alapján az ATD derékszögûháromszög egybevágó a DTB derékszö-gû háromszöggel, ezért AD = BD = a,ami azt jelenti, hogy az ABD háromszögszabályos, így a = 60∞.

2296. A 2291. és a 2295. feladat alapján arombusz oldala és a rövidebb átló egyenlõ hosszúak.

2297. A 2293. feladat alapján, ha a : b = p : q, akkor

a =+

◊ ∞p

p q180 és b =

+◊ ∞q

p q180 .

a) a = 60∞, b = 120∞ b) a = 72∞, b = 108∞ c) a = 67,5∞, b = 112,5∞ d) a = 80∞, b = 100∞ e) a = 75∞, b = 105∞ f) a = 54∞, b = 126∞

2298. Mivel az AB és CD oldalak párhuzamo-

sak, valamint FAE <) = ECF <) =a2

,

ezért AF párhuzamos EC-vel. Ha AF ésEC egybeesik, akkor a paralelogrammarombusz.Megjegyzés: Indokolhattunk volna ígyis: A paralelogramma átlóinak metszés-pontjára vonatkozó tükrözésnél AF képeCE.

2299. Az elõzõ feladat alapján adódik, hogy aparalelogramma belsõ szögfelezõi para-lelogrammát határolnak, vagy egy pon-ton mennek át. Tegyük fel, hogy a para-lelogramma két szomszédos oldala kü-lönbözõ hosszúságú. Mivel

a + b = 180∞, ezért a b2 2

90+ = ∞ , amibõl adódóan a paralelogramma két szomszédos

belsõ szögének felezõje derékszöget zár be. Így, ha a paralelogramma nem rombusz,akkor belsõ szögfelezõi olyan paralelogrammát határolnak, amelynek a szögei 90∞-osak, azaz téglalapot. A belsõ szögfelezõk akkor és csak akkor metszik egymást egypontban, ha a paralelogramma rombusz. (Lásd az elõzõ feladatot!)

a

2

a

2

a2

a2

a2

b2

SÍKBELI ALAKZATOK

91

2300. Mivel az egy csúcshoz tartozó belsõ éskülsõ szögfelezõ derékszöget zár be,ezért a külsõ szögfelezõk olyan négy-szöget határolnak, amelynek mindegyikszöge derékszög, azaz téglalapot. (Lásdaz ábrát!)

2301. Az elõzõ feladat alapján nyilvánvaló.(Lásd az elõzõ feladat ábráját!)

2302. a adott, d-t kell meghatározni. Az ABMháromszög M-nél levõ külsõ szöge d,így d = 2a.

a) d = 24∞ b) d = 43∞c) d = 65∞46' d) d = 90∞e) d = 180∞ - 2 ◊ 62∞ = 56∞ (Az a most nem a rajznak megfelelõ)

2303. Az elõzõ feladat ábrája és a kapott összefüggés alapján, ha d adott és a-t keressük, ak-

kor a d=2

.

a) a = 16∞ b) a = 30∞ c) a = 35∞38' d) a = 41,3∞ e) a = 66∞


2305. Ha a megadott két szög (a és g) külön-

bözõk, akkor b d a g= = ∞- +180

2.

a) b = d = 108,5∞b) b = d = 112,5∞c) Itt b és d adott, a és g nem egyértel-

mû, a + g = 224∞d) b = d = 84∞31'e) b = d = 48∞f) b = d = 67∞6'30”

2306. (Az elõzõ feladat ábráját használjuk.) Az AC átló az oldalakkal a2

és g2

szöget zár be.

(AC, a szimmetriatengely, felezi az a és g szöget.) A BD átló és az oldalak szöge, lévén

a deltoid átlói merõlegesek egymásra, 902

∞- a és 90

2∞- g

.

a)a2

16 5= ∞, , g2

55= ∞ , 902

73 5∞- = ∞a, , 90

235∞- = ∞g

GEOMETRIA

92

b)a2

22 5= ∞, , g2

45= ∞ , 902

67 5∞- = ∞a, , 90

245∞- = ∞g

c) Nem határozható meg egyértelmûen.

d)a2

60 49 30= ∞ ' '' , g2

34 39 30= ∞ ' '' , 902

29 10 30∞- = ∞a' '' , 90

255 20 30∞- = ∞g

' ''

e) Itt és az f) alpontban a deltoid kon-káv, így ha g a konkávszög, akkor a BD átló az olda-

lakkal g2

90- ∞ és 902

∞- a szöget

zár be. (Lásd az ábrát!) a2

20 5= ∞, ,

g2

111 5= ∞, , g2

90 21 5- ∞= ∞, ,

902

69 5∞- = ∞a, .

f)a2

9 32 30= ∞ ' '' , g2

103 5 30= ∞ ' '' , g2

90 13 5 30- ∞= ∞ ' '' , 902

80 27 30∞- = ∞a' '' .

2307. Általában két lehetõségünk van.

a) 1. 131∞, 78∞, 131∞, 20∞2. 131∞, 78∞, 78∞, 73∞

b) 1. 89∞16', 89∞16', 107∞59', 73∞29'2. 89∞16', 107∞59', 107∞59', 54∞46'

c) 1. 73∞51', 73∞51', 67∞24', 144∞54'2. 73∞51', 67∞24', 67∞24', 151∞11'

d) Csak egy lehetõség van: 191∞, 34∞,34∞, 101∞

e) Csak egy lehetõség van: 153∞, 101∞, 101∞, 5∞f) Nem lehetséges.

2308. A 2305. és 2306. feladat alapján számolunk.a) 1. AC: 39∞, 10∞ b) 1. AC: 53∞59'30”, 10∞44'30”

1. BD: 51∞, 80∞ 1. BD: 36∞30”, 53∞15'30”2. AC: 65,5∞, 36,5∞ 2. AC: 44∞38', 27∞23'1. BD: 24,5∞, 53,5∞ 1. BD: 45∞22', 62∞37'

c) 1. AC: 72∞27', 33∞42' d) Az egyik szög konkáv.1. BD: 17∞33', 56∞18' 1. AC: 95,5∞, 50,5∞2. AC: 75∞35'30”, 36∞55'30” 1. BD: 5,5∞, 39,5∞1. BD: 14∞24'30”, 53∞4'30” 1. (lásd a 2306. feladat ábráját)

e) 1. AC: 76,5∞, 2,5∞1. BD: 13,5∞, 87,5∞

a2

902

∞- ag2

g2

90- ∞

360∞-g

SÍKBELI ALAKZATOK

93

2309. A 2306. feladat alapján, ha a2

és g2

adott, akkor b = d = 180∞ - a g2 2

+ÊËÁ

ˆ¯

,

és a BD átlónak az oldalakkal bezárt

szögei konvex esetben 902

∞- a és

902

∞- g, konkáv esetben (g > 180∞)

902

∞- a és

g2

90- ∞ .

a) a = 32∞, g = 148∞, b = d = 90∞, BD: 74∞, 16∞b) a = 78∞32', g = 175∞2', b = d = 53∞13', BD: 50∞44', 2∞29'

c) a = 87∞4', g = 188∞26', b = d = 42∞15', BD: 46∞28', 4∞13'

d) Nem lehetséges. (a + b > 360∞)e) a = 69,4∞, g = 185∞14', b = d = 52∞41', BD: 55,3∞, 2∞37'

f) Nem lehetséges. (a + b = 360∞)

2310. Adott 902

∞- a és 90

2∞- g

(vagy g2

90- ∞ ). b = d = 902

∞-ÊËÁ

ˆ¯

a+ 90

2∞-Ê

ËÁˆ¯

g, az AC átló-

nak az oldalakkal bezárt szögei a2

és g2

. (Lásd az elõzõ feladat ábráját!)

a) b = d = 90∞, a = 120∞, g = 60∞, AC: 60∞, 30∞b) b = d = 157∞, a = 34∞, g = 12∞, AC: 17∞, 6∞c) b = d = 108∞, a = g = 72∞, AC: 36∞, 36∞ (rombusz)

d) b = d = 112∞1', a = 102∞36', g = 33∞22', AC: 51∞18', 16∞41'

e) b = d = 127∞5', a = 84,4∞, g = 21∞26', AC: 42,2∞, 10∞43'f) Nem lehetséges.

2311. Adott a és g. Ebbõl d = 180∞ - a ésb = 180∞ - g, valamint a' = d, b' = g,g' = b, d' = a.

a) b = 79∞, d = 146∞b) b = 60∞, d = 120∞ (szimmetrikus tra-

péz)

c) b = 68∞9', d = 106∞41'

d) b = 71∞5', d = 83∞29'

e) b = 3,3∞, d = 126∞11'f) Nem lehetséges.

GEOMETRIA

94

2312. A szögek az elõzõ feladat ábrájának megfelelõek, tehát a + d = b + g = 180∞.a) a = 36∞, b = 72∞, g = 108∞, d = 144∞b) – d) Ezekkel az arányokkal a szögek nem lehetnek trapéz szögei, ugyanis nem tel-

jesül a fenti feltétel.

e) a = ∞32 72, , b = ∞40 90, , g = ∞49 09, , d = ∞57 27,

f) Nem lehetséges.A megfelelõ külsõ szögek az elõzõ feladat alapján számolhatók.

2313. a) 150∞ b) 120∞c) 90∞ d) 125∞21'

e) 69∞42' f) 10,16∞g) b = 180∞ - a

2314. g adott. Az ábra alapján a g= ∞-902

,

b g= ∞+902

.

a) a = 75∞, b = 105∞b) a = 60∞, b = 120∞c) a = 45∞, b = 135∞d) a = 62∞40'30”, b = 117∞19'30”

e) a = 34∞51', b = 145∞9'

f) a = 5,08∞, b = 174,92∞

g) 902

∞- a, 90

2∞+ a

2315. Ha d a két szög közti különbség, akkor b = a + d és a + b = 180∞, amibõl a d= ∞-902

,

b d= ∞+902

.

a) a = 85∞, b = 95∞ b) a = 81∞, b = 99∞c) a = 70∞3'30”, b = 109∞56'30” d) a = 41,645∞, b = 138,355∞e) a = 34∞39'30”, b = 145∞20'30” f) a = 13,65∞, b = 166,35∞

SÍKBELI ALAKZATOK

95

2316. Legyen a a kisebbik, b a nagyobbik szög és d a feladatban megadott különbség. Ekkor

a a d+ +ÊËÁ

ˆ¯

= ∞3

2180 , ahonnan a d= ∞-360 2

5.

a) a = 64,8∞, b = 115,2∞ b) a = 48∞55'36”, b = 131∞4'24”

c) a = 42,712∞, b = 137,288∞ d) a = 31∞20'24”, b = 148∞39'36”

e) a = 6,6∞, b = 173,4∞ f) Nem lehetséges.

2317. Jelölje w a szárak meghosszabbításai ál-tal alkotott szöget, és legyen a trapézadott szöge a vagy d, attól függõen,hogy 90∞-nál kisebb, vagy nagyobbaz adott szög. Ekkor a + d = 180∞,b = 180∞ - (w + a), b + g = 180∞.a) a = 30∞, d = 150∞, b = 120∞,

g = 60∞b) a = 60∞, d = 120∞, b = 90∞, g = 90∞c) a = 73∞16', d = 106∞44',

b = 76∞44', g = 103∞16'

d) a = 86,73∞, d = 93,27∞, b = 63,27∞, g = 116,73∞e) d = 116∞39', a = 63∞21', b = 86∞39', g = 93∞21'

f) d = 124,6∞, a = 55,4∞, b = 94,6∞, g = 85,4∞g) a, b = 180∞ - (w + a), g = w + a, d = 180∞ - a

2318. Az állítás igaz. Mivel AD = CD, ezért azACD háromszög egyenlõ szárú, ígyDAC <) = ACD <) . Ugyanakkor AB pár-huzamos CD-vel, ezért ACD <) = CAB <) .Kaptuk, hogy DAC <) = CAB <) , és ezvolt az állítás.

2319. Jelölje a a DAB szöget. Ekkor CDB <) =

= DBC <) = ABD <) = 90∞ - a. Húrtrapéz-

ról lévén szó a = 2(90∞ - a), ahonnana = 60∞. Tehát DAB <) = ABC <) = 60∞ és

BCD <) = CDA <) = 120∞. 90∞-a

90∞-a

GEOMETRIA

96

2320. Mivel AD = 2 ◊ DT, ezért az ATD derék-szögû háromszöget az AB egyeneséretükrözve az eredeti és a képháromszögegyesítése szabályos háromszög, amialapján a = 30∞, d = 150∞. g = 180∞ - b,így a feladat feltételébõl adódó egyen-

let: 303

11180 150∞+ = ∞- + ∞b b( ) . Meg-

oldva kapjuk, hogy b = ∞ ª ∞330

747 14, ,

és így g ª 132,86∞.

2321. a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

SÍKBELI ALAKZATOK

97

2322. Az A'B'C'D'E' szabályos ötszögbenE'A'B' <) = 108∞, így C'A'E' <) = 72∞.A CA'E' háromszög egyenlõ szárú(A'C = CE'), ezért A'E'C <) = 72∞. Ezek

alapján ACE <) = 36∞.

2323. A paralelogramma szemközti szögeiegyenlõek, szomszédos szögei pedig180∞-ra egészítik ki egymást. Ha az Acsúcsnál levõ szög a, akkor, felhasznál-va még a háromszög külsõ szögei ésbelsõ szögei közötti kapcsolatot, az ABoldalon fekvõ szögekre 5a = 180∞, ami-bõl a = 36∞. A paralelogramma szögei tehát 36 és144 fokosak.

2324. Adott e = 76∞ és a. A tengelyes szim-metriából adódóan a = d és b = g. Adó-dik továbbá, hogy az ABFE négyszögbelsõ szögeinek összege:a + b + 90∞ + 38∞ = 360∞.Így b = 232∞ - a.

a) b = 172∞b) b = 122∞c) b = 119∞26'

d) b = 99,33∞e) b = 112∞

2325. Jelölje a hatszög belsõ szögeit a, b, g, d, e, j. Ha a : b : g : d : e : j = p : q : r : s : t : v,akkor

a =+ + + + +

◊ ∞p

p q r s t v720 , b =

+ + + + +◊ ∞q

p q r s t v720 ,

g =+ + + + +

◊ ∞r

p q r s t v720 , d =

+ + + + +◊ ∞s

p q r s t v720 ,

e =+ + + + +

◊ ∞t

p q r s t v720 , j =

+ + + + +◊ ∞v

p q r s t v720 .

180 2∞- a 180 2∞- a

GEOMETRIA

98

a) a ª 34,29∞, b ª 68,57∞, g ª 102,86∞, d ª 137,14∞, e ª 171,43∞, j ª 205,71∞;b) a ª 41,14∞, b ª 61,71∞, g ª 102,86∞, d = 144∞, e ª 164,57∞, j ª 205,72∞;c) a = 28,8∞, b = 72∞, g = 100,8∞, d = 129,6∞, e = 172,8∞, j = 216∞;d) a ª 61,71∞, b ª 82,29∞, g ª 102,86∞, d ª 123,43∞, e ª 164,57∞, j ª 185,14∞.

Háromszögek, négyszögek

2326. A háromszög létezéséhez teljesülnie kell, hogy bármely két oldal hosszának összegenagyobb a harmadik oldal hosszánál. Mind a négy esetben létezik a háromszög.

2327. Jelölje c a harmadik oldal hosszát.a) c + 2,7 > 5,1 és 2,7 + 5,1 > c; c lehet: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm.b) c + 0,7 > 1,8 és 1,8 + 0,7 > c; c = 2 cm.c) c + 1,16 > 2,32 és 1,16 + 2,32 > c; c lehet: 2 cm, 3 cm.

d) c + 39,3 > 41,5 és 39,3 + 41,5 > c; 3 cm £ c £ 80 cm.

2328. Ha egy háromszögben a £ b, akkor és csak akkor az a-val szemközti a és a b-vel szem-

közti b szögre a £ b.

a) A harmadik szög 52∞, vele szemben a b oldal fekszik.

b) A harmadik szög 30∞, vele szemben az a oldal fekszik.

c) A harmadik szög 72∞, vele szemben a b vagy a c oldal fekszik, ugyanis b = c.

d) A harmadik szög 49∞, vele szemben a b oldal fekszik.

e) A harmadik szög 6∞13', vele szemben az a oldal fekszik.

f) A harmadik szög 80,25∞, vele szemben a b oldal fekszik.

2329. a) A harmadik oldal 6 cm és az alapon fekvõ szög a nagyobb.b) Két eset van.

1. A harmadik oldal 5 m és a szárak szöge a nagyobb.2. A harmadik oldal 9 m és az alapon fekvõ szög a nagyobb.

c) A harmadik oldal 10 dm és az alapon fekvõ szög a nagyobb.d) A harmadik oldalra nézve (jelölje c): 0 mm < c < 12 mm.

– 0 mm < c < 6 mm esetén az alapon fekvõ szögek a nagyobbak.– c = 6 mm esetén a szögek egyenlõk.– 6 mm < c < 12 mm esetén a szárak szöge a nagyobb.

2330. A 2326. feladat kapcsán leírt feltételnek kell teljesülnie. Elõbb meghatározzuk az összeslehetséges kiválasztás számát, amelyek nem teljesítik a feltételt.1. 3 különbözõ adatot választunk ki.

Ha különbözõnek tekintjük azokat a hármasokat is, amelyek csak az adatok sor-rendjében különböznek, akkor 7 ◊ 6 ◊ 5 = 210 esetünk van. Most azonban a csak sor-rendben különbözõk azonos esetet jelentenek, így a kapott eredményünket osztanikell 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-tal, azaz 3 adat lehetséges sorrendjeinek a számával. Így kapjuk,hogy 35 különbözõ hármast tudunk kiválasztani. Ezek közül a feltételnek nem felel-nek meg a következõ hármasok:

SÍKBELI ALAKZATOK

99

2 cm; 3 cm; 5 cm2 cm; 3 cm; 5,3 cm2 cm; 3 cm; 5,8 cm2 cm; 3,6 cm; 5,8 cm.

Tehát 31 különbözõ oldalhosszúságú háromszöget tudunk szerkeszteni az adott ol-dalakból.

2. Egyenlõ szárú, de nem egyenlõ oldalú háromszögek.

Most két adatot kell kiválasztani, ezt 7 6

221

◊ = -féleképpen tehetjük meg. Ebbõl a

feltételnek nem felel meg az alábbi négy eset:2 cm; 2 cm; 4,2 cm2 cm; 2 cm; 5 cm2 cm; 2 cm; 5,3 cm2 cm; 2 cm; 5,8 cm.

Az adott szakaszokból tehát 17 egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ.3. 7 szabályos háromszög szerkeszthetõ az adott szakaszokból.Összegezve tehát az adott szakaszokból 31 + 17 + 7 = 55 különbözõ háromszög szer-keszthetõ.

2331. Legyen a ¤ b ¤ c. Mivel a ¤ b és a ¤ c, ezért 2a ¤ b + c, ami az állítást igazolja.

2332. Legyen a ¤ b ¤ c. Mivel a < b + c, ezért 2a < a + b + c = K, amibõl

aa b c K< + + =

2 2.

Mivel a volt a legnagyobb oldal, ezért b-re és c-re is teljesül az állítás.

2333. Jelölje az egyenlõ szárú háromszög alapjának hosszát a, szárának hosszát b. Ekkor a ke-rület 2b + a.

2

2 2

b ab

ab a

+ = + < + ,

ami az állítás elsõ részét igazolja.Másrészt

3

42

3

2

3

4 2

3

4 4

3

4( )b a b a b

ba b

aa a b+ = + = + + > + + = + ,

ugyanis 2b > a alapján b a

2 4> .

Ezzel az állítás második részét is beláttuk.

2334. A szerkesztés: Az a oldal egyik végpontjából a b, másik végpontjából a c oldallal kör-ívezek, a kapott metszéspont lesz a harmadik csúcs.e) b = 10 cm, c = 7,5 cm; f) b = 42 mm, c = 42 mm.A háromszög mindegyik esetben egyértelmû.

2335. A szerkesztés: Az a oldalra egyik végpontjában felveszem a g szöget, majd annak másikszárára felmérem a b oldalt. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. felada-

GEOMETRIA

100

tokat!) A háromszög mindegyik esetben egyértelmû.

2336. A szerkesztés: A b oldalra egyik végpontjában mérjük fel az adott a szöget, majd a má-sik végpontból az a oldallal körívezve az a szög szárából messük ki a harmadik csú-csot.a > b mindegyik esetben teljesül, a háromszög mindegyik esetben egyértelmû.

2337. A szerkesztés: Szerkesszük meg az a oldal egyik végpontjába a b, másik végpontjába ag szöget. Az adott szögek a-t nem tartalmazó szögszárainak metszéspontja a harmadikcsúcs.A d) esetben b + g = 180∞, így nincs ilyen háromszög, a többi esetben a háromszög egy-értelmû.

2338. Három eset lehetséges.1. 75∞-os szöget az adott oldalak zár-

nak be. Ekkor a háromszög egyér-telmû. (Lásd a 2335. feladatot!)

2. A 75∞-os szög a 6,5 cm-es oldallalszemben van. Ebben az esetben isegyértelmû a háromszög. (Lásd a2336. feladatot!)

3. A 75∞-os szög az 5 cm-es oldallalszemközti szög. Ilyen háromszögnincs. Ha a szerkesztést a 2336. fel-adatban leírtak alapján végezzük,akkor az 5 cm-es oldallal körívezvea 75∞-os szög másik szárán met-széspont nem jön létre. (Lásd az áb-rát!)

2339. A harmadik szög 75∞-os. Attól függõen, hogy a 45 mm-es oldal melyik szöggel vanszemben, 3 különbözõ háromszöget kapunk, amelyek szerkesztésére nézve lásd a 2337.feladatot.

2340. A d) és az f) esetben a + b + g = 181∞, tehát nem létezik ilyen háromszög. A többi eset-ben végtelen sok megoldás van, ugyanis ezekkel az adatokkal a háromszög csak ha-sonlóság erejéig meghatározott. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. fel-adatokat!)

2341. a) Az alap két végpontjából a szárakkal körívezve adódik a harmadik csúcs. A meg-oldás egyértelmû.

b) Az a oldal felezõmerõlegesére a felezõpontból felmérve ma-t adódik a harmadikcsúcs. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2072. feladatot!)

c) b = ∞- ∞ = ∞180 75

252 5, . Az alapra mindkét végpontjában felmérjük a b szöget, ezek

szárainak metszéspontja lesz a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. (Lásd méga 2071. feladatot!)

SÍKBELI ALAKZATOK

101

d) Lásd a c) pontot!

e) Felveszünk egy 105∞-os szöget, majd ennek mindkét szárára a szög csúcsából fel-mérjük a b oldalt. A megoldás egyértelmû.

f) A b oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört szerkesztünk, majd ezt az egyik végpontbólelmetsszük ma-val. A kapott metszéspont az a oldal felezõpontja. ma egyeneséretükrözve a b oldalt adódik a háromszög. A megoldás egyértelmû.

g) Az a oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört szerkesztünk, majd az átmérõ egyik vég-pontjából mb-vel körívezünk. A körrel kapott metszéspontot az átmérõ másik vég-pontjával összekötve adódik az egyik szár egyenese. Ennek az a oldal felezõmerõ-legesével vett metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. (Lásd még a 2073.feladatot!) A megoldás egyértelmû.

h) ma egyik végpontjában mindkét irányban szerkesszünk a2

nagyságú szöget, másik

végpontjában pedig szerkesszünk merõleges egyenest. A kapott félegyenesek met-széspontjai lesznek az alap végpontjai. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2079.feladatot!)

i) Szerkesszünk mb-re egyik végpontjában 90∞ - a nagyságú szöget, másik végpontjá-ban pedig merõlegest. A kapott szögszárak metszéspontja lesz az alappal szemközticsúcs. Az így kapott szárra (b) a-t felmérve, majd a kapott szög másik szárára a márismert b-t felmérve adódik a háromszög. A megoldás egyértelmû.

j) Lásd a 2340. feladatot! A háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott.

k) Mivel a + 2b = 177∞, ezért nincs ilyen egyenlõ szárú háromszög.

l) Lásd az i) pontot!

2342. Mivel d b+ = ∞2

90 , ezért b = 180∞ -

- 2d, tehát b d ismeretében szerkeszt-hetõ. Hasonlóan szerkeszthetõ a is,ugyanis a = 180∞ - 2b = 4d - 180∞.a) Lásd a 2341/d) feladatot!b) Lásd a 2341/e) feladatot!c) Lásd a 2341/h) feladatot!d) Lásd a b) pontot!(A szögek szerkesztésére nézve lásd a2144-2146. feladatokat!)

b2

ma

fb

GEOMETRIA

102

2343. Jelölje F az AC oldal felezõpontját.a) – b) Az ABF háromszög szerkeszt-

hetõ, ugyanis két oldala bb

,2

ÊËÁ

ˆ¯

és a

nagyobbikkal szemközti szöge(180∞ - d) adott. (Lásd a 2336. fel-adatot.) Ezek után az AF oldal F-entúli meghosszabbítására felmérveb

2-t adódik a C csúcs.

c) Az ABF háromszög három oldala b sb

b, ,2

ÊËÁ

ˆ¯

adott, így most is szerkeszthetõ. (Lásd

a 2334. feladatot!) A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontokban.

2344. a) – a < 90∞. Lásd a 2341/i) feladatot!

– a = 90∞. Ekkor mb = b, a háromszög egyenlõ szárú derékszögû.

– 90∞ < a < 180∞. Az ATB háromszög szerkeszthetõ.

mbmb

a - ∞90

180∞-a

2344/1. ábra 2344/2. ábra

b) Lásd a 2341/g) feladatot! a > mb esetén van megoldás.

c) A 2344/3. ábra alapján AB'B <) = BAB' <) = b2

és AC'C <) = CAC' <) = b2

, így az

AB'C' egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ (alapja és szögei adottak). Ezek utánaz AB' és az AC' oldalak felezõmerõlegesei kimetszik a B'C' szakaszból a B és Ccsúcsokat. A szerkeszthetõség feltétele, hogy b < 90∞ legyen.

sb

b

2

b

2

180∞-d

SÍKBELI ALAKZATOK

103

b2

b2

b2

b2

2344/3. ábra

d) b a= ∞-902

, így ez az eset visszavezethetõ az elõzõre. (a < 180∞)

e) – f) Tegyük fel, hogy b < 90∞ adott. a b= ∞-ÊËÁ

ˆ¯

902

A 2344/4. ábra alapján (hason-

lóan a c) ponthoz) az AB'C háromszög szerkeszthetõ (egy oldal és a rajta fekvõ kétszög adott – lásd a 2337. feladatot), és B a B'C szakasz azon pontja, amelyikegyenlõ távol van A-tól és B'-tõl.

b2

b2

2344/4. ábra

g) Vegyünk fel az R sugarú körben egy a hosszúságú húrt. Ennek a húrnak a felezõme-rõlegese kimetszi a körbõl az alappal szemközti csúcsot.– 2R = a. Egyértelmû megoldás, egyenlõ szárú derékszögû háromszög.– 2R > a. Két nem egybevágó háromszög a megoldás.– 2R < a. Nincs megoldás.

h) Vegyünk fel az R sugarú körben egy b hosszúságú húrt, majd ennek egyik végpont-jából húzzuk meg a kör átmérõjét. A húrt a tekintett átmérõ egyenesére tükrözvemegkapjuk a háromszög hiányzó csúcsát. A megoldhatósághoz szükséges, hogyb < 2R teljesüljön. Ekkor a megoldás egyértelmû.

i) Az R sugarú kör egyik átmérõjére annak egyik végpontjából mérjük fel az ma sza-kaszt, majd a kapott végpontban állítsunk rá merõlegest. Ez a merõleges kimetszi akörbõl az alap végpontjait. Ha ma < 2R, akkor egyértelmû megoldás van, más eset-ben nincs megoldás.

GEOMETRIA

104

j) Mivel d + b = 90∞, ezért b szerkeszthetõ. Innen lásd a 2341/d) feladatot!d < 90∞ esetén egyértelmû megoldás van.

2345. Jelölje b az alapon fekvõ, a a szárak által bezárt szöget. Ekkor a + 2b = 180∞.

a) b a=2

, így a = 2b, azaz a = 90∞, b = 45∞;

b) b a=3

, így 5b = 180∞, ahonnan b = 36∞, a = 108∞;

c) b = 2a, így 5a = 180∞, ahonnan a = 36∞, b = 72∞;d) b = 7a, így 15a = 180∞, ahonnan a = 12∞, b = 84∞.A szerkesztésre nézve lásd a 2341/d) feladatot!

2346. Ha K a kerületet, a az alap hosszát b a szár hosszát jelöli, akkor a + 2b = K.a) b = 2a, így 5a = 2 dm, ahonnan a = 0,4 dm, b = 0,8 dm;

b) b = 4a, így 9a = 2 dm, ahonnan a = 2

9 dm , b = 8

9 dm .

A szerkesztésre nézve lásd a 2341/a) feladatot!

2347. a) Lásd pl. a 2341/a) feladatot!

b) A magasság egyik végpontjába merõlegest, másik végpontjába 30∞-os szögeketszerkesztünk mindkét oldalra.

c) A szabályos háromszög köré írható kör sugara a magasság 2

3 része. (A köré írható

kör középpontja súlypont is egyben.) Így belõle felezéssel, majd háromszorozással amagasságot kapjuk. (Lásd a b) pontot!)

d) A beírható kör sugara a magasság harmada. (A beírható kör középpontja is a súly-pontban van.)

2348. a) Egy derékszög egyik szárára a-t, másik szárára b-t mérjük fel a csúcsból kiindulva.b) A c átfogó mint átmérõ fölé szerkesztett Thalész-körbõl, a-val körívezve c egyik

végpontjából, kimetszük a derékszögû csúcsot.c) A c mint átmérõ feletti Thalész-körbõl a c-vel párhuzamos, tõle mc távolságra levõ

egyenes metszi ki a derékszögû csúcsot.d) Egy derékszög egyik szárára mérjük fel a csúcsból kiindulva a-t, majd szerkesszünk

a mint átmérõ fölé Thalész-kört. A derékszög csúcsából mc-vel körívezve kimetszüka Thalész-körbõl az átfogóhoz tartozó magasság talppontját. Ezt a másik végpontjá-val összekötve, majd a talpponton túl meghosszabbítva kapjuk az átfogót és a há-romszög harmadik csúcsát.

e) b = 90∞ - a, így szerkeszthetõ. Adott az a befogón fekvõ két szög (b, 90∞), így a há-romszög a 2337. feladat alapján szerkeszthetõ.

f) Lásd az elõzõ pontot!

g) a = 90∞ - b. (Lásd az e) pontot vagya 2337. feladatot!)

SÍKBELI ALAKZATOK

105

h) Mivel TCA <) = 90∞ - a = b, ezért azATC« szerkeszthetõ. (Lásd az e)

pontot!) CA-ra C-ben merõlegest ál-lítunk, majd AT-t T-n túl meg-hosszabbítjuk. Ezek metszéspontjalesz a B csúcs. A megoldás minde-gyik esetben egybevágóság erejéigegyértelmû.

2349. a) Lásd a 2348/d) feladatot! A megoldhatósághoz szükséges, hogy a > mc teljesüljön.A megoldás a > mc esetén egyértelmû.

b) b = 90∞ - a szerkeszthetõ, így lásd a 2348/g) feladatot! A megoldhatósághoz szük-séges, hogy a < 90∞ legyen. A megoldás a < 90∞ esetén egyértelmû.

c) Lásd a 2348/e) feladatot! Szükséges, hogy b < 90∞ teljesüljön. A megoldás b < 90∞esetén egyértelmû.

d) c = 2R, b = 90∞ - a adottak, így lásd a b) pontot. Szükséges, hogy a < 90∞ teljesül-jön. Ekkor egyértelmû a megoldás.

e) c = 2R, így lásd a 2348/c) feladatot! A megoldhatóság feltétele, hogy mc £ R telje-süljön. Ebben az esetben a megoldás egyértelmû.

f) c = 2R, így lásd a 2348/b) feladatot! A megoldhatósághoz szükséges, hogy b < 2Rteljesüljön. Ekkor a megoldás egyértelmû.

2350. a) Az AOT háromszög szögei és egyikbefogója adott, így szerkeszthetõ.(Lásd a 2348/a) feladatot!) Ezekután AT T-n túli meghosszabbításáramérjük fel T-bõl r-t, kapjuk a C csú-csot. Az AC egyenest tükrözzük azAO egyenesre, adódik az átfogóegyenese, aminek az AC-re C-benállított merõlegessel vett metszés-pontja a B csúcs. A megoldhatóság-hoz szükséges, hogy a < 90∞ legyen,ekkor a megoldás egyértelmû.

b) – c) Az AOT háromszög most isszerkeszthetõ, hiszen két befogója(r, b - r) adott. Innen lásd az elõzõpontot! A megoldáshoz szükséges,hogy b > 2r teljesüljön. Ebben azesetben a megoldás egyértelmû.

mc

902

∞- a

a2

2350/1. ábra

GEOMETRIA

106

d) Mivel c + 2r és r adott, ezért c szer-keszthetõ. Másrészt a körhöz külsõpontból húzott érintõszakaszokegyenlõsége következtében

c = (a - r) + (b - r) = a + b - 2r,

ahonnan a + b = c + 2r. (Lásd a2350/1. ábrát!) A 2350/2. ábrán lát-ható ABB' háromszög két oldala(a + b, c) adott és a BB'A <) = 45∞,lévén a BB'C derékszögû háromszögegyenlõ szárú (BC = B'C). Mivela < 90∞, ezért az ABB' háromszögegyértelmûen szerkeszthetõ.

Az ABB' háromszög szerkesztése: Az AB' szakaszra a B' pontban szerkesszünk 45∞-os szöget, majd A-ból c-vel messük el a kapott szögszárat. Mivel a < 90∞, ezért alétrejövõ metszéspontok közül a B'-höz közelebbi az a < b, távolabbi az a > b eset-nek felel meg. (Ha az adataink olyanok, hogy csak egy közös pont – érintési pont –jön létre, akkor a = b és a = 45∞.)Ha az ABB' háromszög megszerkesztett, akkor a B-bõl AB'-re bocsátott merõlegestalppontja lesz a C csúcs. Ahhoz, hogy adatainkból a háromszög szerkeszthetõ le-gyen szükséges, hogy az ABB' háromszög B csúcsa létrejöjjön. Szélsõ helyzetben(érintési pont) AB = BB' és így az ABB' háromszög egyenlõ szárú derékszögû.

Pitagorasz tétele alapján ekkor 2c2 = (a + b)2, ahonnan ca b c r= + = +

2

2

2. Ha c en-

nél kisebb, nincs megoldás, ha nagyobb, vagy egyenlõ, akkor egybevágóság erejéig

egyértelmû megoldás van. Tehát cc r¤ + 2

2, amibõl figyelembe véve, hogy c + 2r

és r adott

( )c r rc r+ - +

2 22

2¤ ,

vagy

( )c r r+ -2

2 1

2 2¤ .

e) Mivel c + 2r = a + b, ezért az ABB' háromszög a < 90∞ esetén egyértelmûen szer-keszthetõ (lásd a 2350/2. ábrát), ahonnan a befejezés az elõzõ pontban leírtak alap-ján történik.

2351. a) Lásd az elõzõ feladat d) pontját! A megoldáshoz szükséges, hogy ca b¤ +

2 telje-

süljön. Ekkor egybevágóság erejéig egyértelmû megoldást kapunk.

2350/2. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

107

b) Az adatokból adódóan a > b. A2351/1. ábra alapján az ABB' három-szög szerkeszthetõ, hiszen adott kétoldala (a - b, c) és a nagyobbikkalszemközti szög, amely, lévén azAB'C egyenlõ szárú derékszögû há-romszög, 135∞. (Az ABB' három-szög szerkesztésére nézve lásd a2336. feladatot!) Ezek után a BB'egyenesére A-ból bocsátott merõ-leges talppontja lesz a C csúcs.A megoldhatósághoz szükséges,hogy c > a - b teljesüljön, és ekkoregyértelmû megoldást kapunk.

c) Mivel a > b, ezért 45∞ < a < 90∞kell, hogy legyen. A 2351/1. ábránlátható, hogy az ABB' háromszög-ben B'AB <) = a - 45∞ és ABB' <) =

= b = 90∞ - a. Ismert tehát egy oldal(a - b) és a rajta fekvõ két szög(90∞ - a, 135∞), így az ABB' három-szög szerkeszthetõ. (Lásd a 2337.feladatot!) Innen lásd az elõzõ pon-tot! A megoldás egyértelmû.

d) Lásd az a) pontot!

e) a adott, így a 2351/2. ábra alapjánABC <) = 90∞ - a,

BCC' <) = BC'C <) = 45∞ + a2

, ami-

bõl AC'C <) = 135∞ - a2

. Így az

AC'C háromszögben adott egy oldal(c - a) és a rajta fekvõ két szög

1352

∞-ÊËÁ

ˆ¯

a a, , tehát a háromszög

szerkeszthetõ. (Lásd a 2337. felada-tot!) A hiányzó B csúcsot az AC-reC-ben állított merõleges és az AC'C'-n túli meghosszabbításának met-széspontja adja. a < 90∞ esetén egy-értelmû megoldást kapunk.

2351/1. ábra

90∞-a135

2∞- a

2351/2. ábra

GEOMETRIA

108

f) A 2351/3. ábrán látható, hogy az adatokból a BC'B' háromszög szerkeszthetõ. (Lásda 2337. feladatot!) A C és az A csúcsot a C'B' szakaszból a BC' és a BB' szakaszokfelezõmerõlegesei metszik ki. Ha a < 90∞, a megoldás létezik és egyértelmû.

a2

2351/3. ábra

2352. a) Az ábrán látható, hogy az adatokbólaz A'BC derékszögû háromszögszerkeszthetõ. (Egy oldal és a rajtafekvõ két szög adott: a + b, 90∞,22,5∞. A szerkesztésre nézve lásd a2337. feladatot!) Ezek után BC = a-tCA'-re C-bõl felmérve kapjuk az Acsúcsot. A megoldás egyértelmû.

b) Mivel az egyenlõ szárú derékszögûháromszög hegyesszöge 45∞, ezértlásd a 2351/e) feladatot!

2353. Elegendõ megszerkesztenünk a BCF de-rékszögû háromszöget (lásd az ábrát),ugyanis ennek a CF egyenesre való tük-rözésével adódik a kívánt szabályos há-romszög. A BCF háromszögre nézveadott a + m és a szögek, így az elõzõfeladat a) pontjában alkalmazott mód-szerrel szerkeszthetõ. A megoldás egy-értelmû.

2354. Azonos a 2347. feladat c) és d) pontjával.

2355. Ha a és b a két hegyesszög, akkor a + b = 90∞, és ha a : b = p : q, akkor

a =+

◊ ∞p

p q90 és b =

+◊ ∞q

p q90 .

A szerkesztésekre nézve lásd a 2337. feladatot!

a) a = 30∞, b = 60∞; b) a = 36∞, b = 54∞; c) a = 20∞, b = 70∞;d) a = 18∞, b = 72∞; e) a = 15∞, b = 75∞; f) a = 40∞, b = 50∞;g) a = 35∞, b = 55∞.

a

2

SÍKBELI ALAKZATOK

109

2356. Ha b > a és b - a = d, akkor

a d= ∞-452

és b d= ∞+452

.

A hegyesszögek ismeretében a szerkesztés a 2337. feladat alapján történhet.

a) a = 37,5∞, b = 52,5∞; b) a = 33,75∞, b = 56,25∞; c) a = 30∞, b = 60∞;

d) a = 26,25∞, b = 63,75∞; e) a = 22,5∞, b = 67,5∞; f) a = 15∞, b = 75∞;

g) a = 7,5∞, b = 82,5∞.

(A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat.)

2357. a) a és b adott, ezért g = 180∞ - (a + b) is adott. Így két oldal és a rajta fekvõ két szögismeretében a 2337. feladat alapján a háromszög szerkeszthetõ. A szerkeszthetõségfeltétele: a + b < 180∞.

b) Lásd a 2059. feladatot! A szerkeszthetõség feltétele: c ¤ ma. Ha c > ma, akkor kétmegoldás lehetséges attól függõen, hogy a-t az ma felöli, vagy a másik oldalra mér-jük fel.

c) Lásd a 2058. feladatot! A szerkeszthetõség feltétele: b < 180∞.

d) Lásd a b) pontot!

e) Az AB'C háromszögnek adott két oldala (a + c, b) és az egyikhez tartozó magassá-ga, így a b) pont alapján szerkeszthetõ. (2357/1. ábra) A B'A szakasz felezõmerõle-gesének a B'C szakasszal vett metszéspontja a B csúcs. A szerkeszthetõség feltétele:

ma £ b és ma < a + c. A b) ponthoz hasonlóan itt is két megoldás lehetséges, hama < b.

b2

ma

2357/1. ábra

f) Az AB'C háromszög most is szerkeszthetõ, hiszen egy oldal (a + c) és a rajta fekvõ

két szög b g2

,ÊËÁ

ˆ¯

adott. (Lásd a 2357/1. ábrát és a 2337. feladatot!) A B csúcsot az

elõzõ pontban leírt módszerrel kapjuk. A szerkeszthetõség feltétele: b + g < 180∞.

GEOMETRIA

110

g) Az A'BC háromszögben adott kétoldal (b + c, a) és a kisebbikkel

szemközti szög a2

ÊËÁ

ˆ¯

. A szerkesz-

téshez szükséges, hogy b + c > a tel-jesüljön. A szerkesztés: Az adott

A'C oldalra A-ban felvesszük az a2

szöget, majd a kapott szögszárat C-bõl a sugarú körívvel elmetszve kap-juk a B csúcsot. Ha az adatok olya-nok, hogy B nem jön létre, akkornincs megoldás. Ha a C középpontú,

a sugarú körnek érintõje az a2

nagyságú szög szára, akkor a megoldás egyértelmû (A'BC <) = 90∞). Ekkor b = c,azaz a szerkesztett háromszög egyenlõ szárú. Ha a B csúcsra két lehetõségünk van(A'B szelõje a C középpontú, a sugarú körnek), akkor két megoldást kapunk. Az Acsúcsot az A'B szakasz felezõmerõlegese metszi ki az A'C szakaszból.

h) Az A'BC háromszög (2357/2. ábra) szerkeszthetõ, ugyanis adott két oldala (a, b + c)és a közbezárt szög (g). (Lásd a 2335. feladatot!) Az A csúcs az elõzõ pontban leír-tak alapján kapható. A szerkeszthetõség feltétele: b + c > a, g < 180∞. A megoldásegyértelmû.

i) A 2357/1. ábrán látható AB'C háromszög szerkeszthetõ. (Lásd a c) pontot!) A Bcsúcs az elõzõ pontokban leírt módon kapható. A szerkeszthetõség feltétele:a + c > ma, g < 180∞.

j) A 2357/3. ábrán látható AB'C há-romszög szerkeszthetõ, ugyanis kétoldala (a - c, b) és a nagyobbikkal

szemközti szög 902

∞+ÊËÁ

ˆ¯

b adott.

(Lásd a 2336. feladatot!) A B csú-csot az AB' szakasz felezõmerõlege-se metszi ki a B'C egyenesbõl. Aszerkeszthetõség feltétele: b < 180∞,a - c > 0, b > a - c. A megoldásegyértelmû.

k) A 2357/4. ábrán látható AB'C' háromszögnek ismert egy oldala (a + b + c),a hozzá tartozó magasság (ma) és az adott oldallal szemközti szög

a b g a a a+ + = + ∞- = ∞+ÊËÁ

ˆ¯2

180

290

2. Ez a háromszög szerkeszthetõ, bár a szer-

kesztéshez egy olyan tételt és ahhoz kapcsolódóan egy olyan szerkesztési eljárástfogunk alkalmazni, ami középiskolás tananyag. Ez a tétel Thalész tételének az álta-lánosítása: Azon pontok halmaza a síkon, amelyekbõl a sík egy adott AB szakasza

a2

a2

2357/2. ábra

902

∞+ b

902

∞- b

902

∞- b

2357/3. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

111

adott a (0∞ < a < 180∞) szög alatt látszik, két szimmetrikus körív, a látószögkörív,amelyek közös húrja az AB szakasz. Az AB szakasz végpontjai nem tartoznak a látó-szögkörívhez. (a = 90∞ esetén Thalesz tétele adódik.) (2375/5. ábra)

b2

b2

g2

g2

ma

2357/4. ábra

A látószögkörív szerkesztéséhez az ún. kerületi szögek tételét használjuk, amely aztmondja ki, hogy egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögekegyenlõek. (Kerületi szög: Csúcsa a kör kerületén van, szárai pedig a kör két húrja,vagy egy húr és egy érintõ.) (2357/6. ábra)

O1

O2

2357/5. ábra 2357/6. ábra

A látószögkörív szerkesztése (lásd a 2357/5. ábrát): Legyen adott egy szakasz és egykonvex szög.1. Szerkesszük meg a szakasz felezõmerõlegesét2. Vegyük fel a szakaszra, annak egyik végpontjában az adott szöget.3. A szög csúcsában szerkesszünk azon szögszárra merõlegest, amelyre nem illesz-3. kedik az adott szakasz.4. Az adott szakasz felezõmerõlegesének és a fenti merõlegesnek a metszéspontja4. adja az egyik körív középpontját.5. A másik középpont az adott szakasz egyenesére vonatkozó tükrözéssel adódik.

GEOMETRIA

112

Ennyi bevezetõ után térjünk vissza az eredeti feladathoz. A szerkesztés (2357/4. áb-ra):

1. A B'C' (a + b + c) szakasz fölé szerkesszük meg a 902

∞+ a szögû látószögkörív

1. egyik felét.2. A körív felöli oldalra B'C'-tõl ma távolságra szerkesszünk B'C'-vel párhuzamost.

3. A körív és a párhuzamos metszéspontja az A csúcs.4. AB' és AC' felezõmerõlegese metszi ki B'C'-bõl a B és a C csúcsot.A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû, ha a körívnek és a párhuzamosnakvan közös pontja, egyébként nincs megoldás.

2358. a) Vegyünk fel egy R sugarú kört, majd abban egy a hosszúságú húrt. Ezek után a húregyenesétõl ma távolságra, a húrral párhuzamosan vegyünk fel két egyenest. Ezenegyenesek és a kör metszéspontjai szolgáltatják az a oldallal szemközti csúcsokat.

A szerkeszthetõség szükséges feltételei: a £ 2R, ma < 2R. Ha csak az egyik párhuza-mos egyenesnek van közös pontja a körrel, akkor egybevágóság erejéig egyértelmûa megoldás. Ha mindkét párhuzamosnak van közös pontja a körrel, akkor két nemegybevágó megoldást kapunk. Ha egyik párhuzamosnak sincs pontja a körön, akkornincs megoldás.

b) Az R sugarú kör a hosszúságú húrjára egyik végpontjában felvett b szög szára met-

szi ki a körbõl az a oldallal szemközti csúcsot. A szerkeszthetõség feltételei: a £ 2R,b < 180∞. A megoldás egyértelmû.

c) Az R sugarú kör a hosszúságú húrjának felezõpontjából sa-val körívezve metszük ki

a körbõl az a oldallal szemközti csúcsot. A szerkeszthetõség feltételei: a £ 2R. Hanem jön létre metszéspont, akkor nincs megoldás. Ha van metszéspont, akkor amegoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

d) Az R sugarú kör b hosszúságú húrja mint átmérõ fölé szerkesszünk Thalesz-kört.Ezt a Thalesz-kört messük el a húr valamelyik végpontjából ma-val körívezve. A ka-pott pont és a húr másik végpontja adja az a oldal egyenesét. Ennek az egyenesnekaz R sugarú körrel vett másik metszéspontja a B csúcs. A szerkeszthetõség feltételei:

b £ 2R, ma < b. A megoldás egyértelmû.

e) Az sa mint átmérõ fölé szerkesszünk Thalesz-kört. Ezt sa egyik végpontjából ma-valkörívezve (legyen ma < sa) messük el. A kapott metszéspont és sa másik végpontja

meghatározza az a oldal egyenesét. Erre sa végpontjából mindkét irányban a

2-t fel-

mérve adódik a B és a C csúcs. A szerkeszthetõség feltétele: ma £ sa. Ha ma = sa, ak-kor a háromszög egyenlõszárú. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

f) Szerkesszünk a b oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört. Ezt b egyik végpontjábólmessük el ma-val. Ez a pont és b másik végpontja meghatározza az a oldal egyene-sét. Ezt az egyenest b azon végpontjából, amelybõl ma-val köríveztünk messük el sa-val. A kapott pont lesz az a oldal felezõpontja. Innen az a oldal és így a háromszög

már szerkeszthetõ. A szerkeszthetõség szükséges feltételei: ma £ sa, ma £ b. Ha

SÍKBELI ALAKZATOK

113

ma = sa, akkor a háromszög egyenlõszárú. Ha ma = b, akkor a háromszög derékszö-gû. Ha ma < sa, akkor két nem egybevágó háromszög a megoldás.

2359. a) Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú. (Lásd a 2341/b) feladatot!) Tegyük

fel, hogy fa > ma. Ekkor

A'AA0 <) = a b b g b b g2

90 902

902

- ∞- = ∞- + - ∞- = -( ) ( ) .

Mivel az A'AA0 háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot), ezért adott szá-

munkra az a oldalon fekvõ két szög különbsége, b - g. (Most feltesszük, hogyb > g.)

mafa

2359/1. ábra 2359/2. ábra

A 2359/2. ábrán látható, hogy a háromszög A csúcsát a BC' szakasz fölé szerkesztett180∞ - (b - g) szögû látószögkörív (lásd a 2357. feladat k) pontját) metszi ki a BC-vel párhuzamos, tõle ma távolságra levõ e egyenesbõl. (C' a C pont e egyenesre vo-

natkozó tükörképe.) Mivel feltételeztük, hogy b > g, ezért a feladat megoldása egy-értelmû.

GEOMETRIA

114

b) Ha ma = fa, akkor a háromszög

egyenlõ szárú, ennek szerkesztésérenézve lásd a 2341/h) feladatot.Tegyük fel, hogy fa > ma. Az A'AA0

háromszög szerkeszthetõ (lásd a2348/b) feladatot). A-ban fa-ra a

2359/3. ábrának megfelelõen mind-

két oldalra felmérve az a2

nagyságú

szöget, a szögszárak kimetszik azA0A' egyenesbõl a B és a C csúcsot.

Ha a < 180∞ és fa ¤ ma, akkor a fel-

adat megoldása egyértelmû.

c) A szerkesztés itt is az A'AA0 derékszögû háromszög megszerkesztésével kezdõdik,ha fa > ma. (ma = fa esetre lásd a 2341/f) feladatot!) Ha b > fa, akkor A-ból ma-val át-

ellenes oldalra körívezve kapjuk a C csúcsot, ha b £ fa, akkor a másik irányba kell

köríveznünk. (Ez az ábrán annak felel meg, hogy a c oldal adott.) A B csúcsot a boldal fa egyenesére vonatkozó tükörképe metszi ki az A0A' egyenesbõl. A megoldás

egyértelmû.

d) Ha ma = fa, akkor az AA0C háromszög (lásd a 2348/e) feladatot) ma egyenesére vo-

natkozó tükörképének és az AA0C háromszögnek az egyesítése a szerkesztendõ há-romszög.Ha ma < fa, akkor az AA0C háromszög (2359/3. ábra) most is szerkeszthetõ. A-ból

fa-val körívezve adódik az A0C szakaszon az A' pont. A B csúcs ugyanúgy kapható

meg, mint az elõzõ pontban. Ha az adatok az ábrának megfelelõek, akkorb > fa > ma. Ekkor a megoldás egyértelmû.

e) Tegyük fel, hogy b > g. Az AA'C há-romszög szerkeszthetõ, hiszen egyoldala és a rajta fekvõ két szög adott.A B csúcs szerkesztése az elõzõ pon-tokban leírtakhoz hasonlóan törté-nik. Ha b + g < 180∞, akkor a megol-dás egyértelmû. (2359/4. ábra)

mafa

a2

2359/3. ábra

a2

1802

∞- +ÊËÁ

ˆ¯

a g

2359/4. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

115

2360. a) Az ábrán látható AB'D egyenlõ szá-rú háromszög szerkeszthetõ, ugyanisadott szárainak és alaphoz tartozómagasságának a hossza. (Lásd a2341/f) feladatot!) Mivel B'BCD pa-ralelogramma, ezért B és C könnyenszerkeszthetõ.

b) Az ábra AB'D háromszögének adottak az oldalai, így szerkeszthetõ.

c) Az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest a végpontjaiból elmetsz-szük b-vel és d-vel. A kapott metszéspontok lesznek a trapéz hiányzó csúcsai.A feladatnak négy megoldása van.

d) Az ábra AB'D háromszöge szerkeszthetõ, hiszen oldalai (a - c; b; d) adottak.

2361. a) A 2361/1. ábrán látható AB'D há-romszög az adatok alapján szabályosés adott a magassága, így szerkeszt-hetõ. (Lásd a 2347/b) feladatot!)A B'BCD négyszög paralelogram-ma, és az a oldal hossza adott, így aB és a C csúcs szerkeszthetõ.

b) Az a oldalra, annak jobb végpontjában vegyük fel a b szöget. A kapott szögszárrafelmérve a b oldalt, adódik a C csúcs. Húzzunk C-n keresztül a-val párhuzamost,majd ezt messük el az a oldal bal végpontjából d-vel. A D csúcsra két lehetõségünkvan, így a feladatnak két megoldása van.

c) A 2361/1. ábrán látható AB'D háromszögnek adott egyik oldala (a - c), a hozzátartozó magasság és az adott oldalra illeszkedõ egyik szög, így szerkeszthetõ. (Lásda 2357/c) feladatot!) A B és a C csúcs az a) pontban leírtak alapján adódik.

d) A c oldalon fekvõ szögek: g = 75∞;d = 97,5∞. Ezeket a szögeket vegyükfel c-re a végpontokban, majd aszögszárakat messük el a c-tõl m tá-volságra haladó párhuzamos egye-nessel. (2362/2. ábra)

e) Vegyük fel az a oldalt, majd velepárhuzamosan, tõle m távolságbanegy egyenest. Vegyük fel az a szö-get az a bal végpontjában. A szög-szár és a párhuzamos metszéspontjalesz a D csúcs. Ebbõl c-t felmérve adódik a C csúcs.

2361/1. ábra

2361/2. ábra

GEOMETRIA

116

f) Mivel a = c, ezért a trapéz paralelogramma lesz. Szerkesztése az e) pontban leírtak-hoz hasonlóan történik.

Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2362. a) Az ABC háromszög szerkeszthetõ,hiszen adott három oldala. C-n ke-resztül AB-vel párhuzamost húzva ésarra C-bõl a c oldalt felmérve adódika D csúcs.

b) Az ABC háromszög most is szer-keszthetõ. A-ban az AB oldalra fel-mérve a-t, a kapott szögszár és a C-re illeszkedõ, AB-vel párhuzamosegyenes metszéspontja lesz a Dcsúcs.

c) Most az ACD háromszög szerkeszthetõ három oldalából. Ezek után CD-re C-benvegyük fel a 180∞ - b = 105∞ nagyságú szöget. A kapott szögszár és az A-ra illesz-kedõ, CD-vel párhuzamos egyenes metszéspontja lesz a B csúcs.

d) Az ABC háromszögnek adott két oldala és az egyikhez tartozó magasság, így a há-romszög szerkeszthetõ. (Lásd a 2357/d) feladatot!) AB-re A-ban vegyük fel a-t,majd messük el a kapott szögszárat az AB-vel párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenes-sel. A metszéspont lesz a D csúcs.

e) Az ABC háromszög megszerkesztése után messük el A-ból d távolsággal az AB-velpárhuzamos, C-re illeszkedõ egyenest, kapjuk a D csúcsot. Két megoldást kapunk.


2363. a) – c) Messük el az a oldallal párhu-zamos, tõle m távolságra levõ egye-nest az A csúcsból e-vel, a B csúcs-ból f-fel az ábrának megfelelõen. Ígyadódik a C és a D csúcs. A c) eset-ben a trapéz szimmetrikus.

d) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala (a, b, e). A D csúcsotaz a-val párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenesbõl a B végpontú, f hosszúságú sza-kasszal metszhetjük ki az ábrának megfelelõen.

e) A D csúcsot az a-ra A-ban felvett a szög szárából az a-val párhuzamos, tõle m tá-volságra lévõ egyenes metszi ki. A C csúcs A-ból e-vel körívezve adódik az ábránakmegfelelõen.

f) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és az általuk közbezártszög (a, d, a). A C csúcsot az elõzõ e) ponthoz hasonlóan kapjuk.


SÍKBELI ALAKZATOK

117

2364. a) Lásd a 2360/d) feladatot! Ha b + d >

> a - c (a ¤ c), és a - c + b > d, ak-kor a feladat megoldása egyértelmû

b) Lásd a 2361/a) feladatot! haa < 180∞ és b < 180∞, akkor a meg-oldás egyértelmû.

c) Az ABC háromszög szerkeszthetõ,hiszen adott két oldala és az általuk közbezárt szög (a, b, b). Az a oldalra az Acsúcsba a 2364/1. ábrának megfelelõen felvett a szög szára kimetszi a C-re illeszke-dõ, a-val párhuzamos egyenesbõl a D csúcsot. Ha a < 180∞ és b < 180∞, akkor amegoldás egyértelmû.

d) Az ABC háromszög szerkeszthetõ (a, e, b adott), viszont, ha e £ a, akkor két külön-bözõ megfelelõ háromszög adódhat. (Lásd még a 2338. feladatot!) A D csúcs azelõzõ c) pontban leírtak alapján adódik. Attól függõen, hogy az ABC háromszögszerkesztésekor 0, 1 ill. 2 megoldás adódik, az eredeti feladat megoldásainak a szá-ma is 0, 1, 2 lehet.

e) Az ACD háromszög szerkeszthetõ, hiszen CDA <) = 180∞ - a. (Ha c ¤ e, akkor elõ-fordulhat, hogy nem kapunk megoldást, vagy két háromszög is megfelelõ.) A c-velpárhuzamos, A-ra illeszkedõ egyenesen A-ból a 2364/1. ábrának megfelelõen fel-mérve a-t adódik a B csúcs. a < 180∞ esetén, attól függõen, hogy az A csúcsra hánymegoldás adódik, az eredeti feladat megoldásainak a száma 0,1 ill. 2 lehet.

f) Az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra levõ egyenest B-bõl b-vel elmetszveadódik a C csúcs. C-bõl c-t a 2364/1. ábrának megfelelõen felmérve adódik D. Hab > m, akkor két megoldást kapunk. Ha b = m, akkor a trapéz egyértelmû és derék-szögû. b < m esetén nincs megoldás.

g) Tegyük fel, hogy a > c. (Ellenkezõesetben a szerkesztés hasonlóan tör-ténik.) Az AB'D háromszög szer-keszthetõ, hiszen két oldala(a - c, d) és egy szöge (b) adott. (Ha

d £ a - c, akkor elõfordulhat, hogynem kapunk megoldást, vagy két há-romszög is megfelelõ.) Az AB' sza-kasz B-n túli meghosszabbítására B'-bõl felmérve c-t, a B csúcsot kapjuk.Az AB-vel párhuzamos, D-re illesz-kedõ egyenesre D-bõl felmérve c-t, aC csúcsot kapjuk. Feltéve, hogyb < 180∞, attól függõen, hogy a Dcsúcsra hány megoldás adódik, azeredeti feladat megoldásainak aszáma lehet 0, 1 ill. 2.

h) Tegyük fel, hogy a > c. Ekkor a 2364/2. ábra AB'D háromszöge egyértelmûen szer-keszthetõ, feltéve, hogy a + b < 180∞. A B és a C csúcs szerkesztése az elõzõ g)pontban leírtak alapján történik. A fenti feltételek mellett a megoldás egyértelmû.

i) Lásd a 2361/e) feladatot! A feladat megoldása egyértelmû.

2364/1. ábra

2364/2 ábra

GEOMETRIA

118

j) A 2364/1. ábra ABC háromszöge szerkeszthetõ. (Ha e £ a, elõfordulhat, hogy a há-romszög nem szerkeszthetõ, de az is, hogy a C csúcsra két megoldást kapunk.) A C-re illeszkedõ a-val párhuzamos egyenesre az ábrának megfelelõen felmérve c-t adó-dik a D csúcs. A C csúcsra kapott lehetséges megoldásoktól függõen az eredeti fel-adat megoldásainak száma lehet 0, 1 ill. 2.

k) Lásd az e) pontot!l) Az a-val párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest A-ból e-vel a 2364/1. ábrának

megfelelõen elmetszve adódik a C csúcs. Ebbõl az ábrának megfelelõen c-t felmérvekapjuk D-t. Egyértelmû megoldást kapunk, ha e > m, ellenkezõ esetben nem kapunkmegoldást.

2365. a) Mivel AEa c= -

2 és a = 60∞, ezért

d = b = a - c. (Az AED háromszögegy szabályos háromszög „fele”.)Az AED háromszög szerkeszthetõ.Az ábrának megfelelõen A-ból a-tfelmérve az AE egyenesen, a B csú-csot kapjuk. Az AB-vel párhuzamos,D-re illeszkedõ egyenesen az ábrá-nak megfelelõen c-t felmérve, a Ccsúcs adódik.

b) A szerkesztés az elõzõ a) pontban leírtak alapján történik.c) Vegyük fel az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest, majd messük

el ezt b-vel az a oldal mindkét végpontjából körívezve. A feladatnak két megoldásavan.

d) Vegyük fel a-ra mindkét végpontjában az a szöget az ábrának megfelelõen, majdmindkét szögszárra a szög csúcsából mérjük fel b-t.

e) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala. A C csúcsot tükrözveaz a oldal felezõmerõlegesére, adódik a D csúcs.

f) Az ABC háromszög szerkeszthetõ. (Az adatok alapján C-re két megoldás adódik.)A D csúcs szerkesztése az elõzõ e) pont alapján történhet. A feladatnak két megol-dása van.


2366. a) Lásd a 2360/d) és a 2364/a) feladatokat. (Most b = d.) Ha 2b > a - c, akkor a meg-oldás egyértelmû.

b) Tegyük fel, hogy a < 90∞. Ekkor lásd a 2365/d) feladatot.

c) Mivel AEa c= -

2 (feltesszük, hogy

a > c), ezért az AED derékszögû há-romszög szerkeszthetõ. A befejezésa 2365/a) feladat alapján történhet.A megoldás egyértelmû, a = c eseténtéglalapot kapunk.

SÍKBELI ALAKZATOK

119

d) Lásd a 2365/e) feladatot! Ha e + b > a és a + b > e, akkor a megoldás egyértelmû.e) Mivel a szimmetrikus trapéz átlói egyenlõ hosszúak, ezért BD = e és

BE = a - a c-

2 =

a c+2

(feltesszük, hogy a > c). Így az EBD derékszögû három-

szög szerkeszthetõ. (Lásd a 2348/b) feladatot!) E-bõl EB egyenesén az ábrának

megfelelõen a c-

2-t felmérve kapjuk az A csúcsot. A C csúcs D-nek az AB felezõ-

merõlegesére történõ tükrözésével adódik. A megoldás egyértelmû, ha ea c> +

2,

ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást. Ha a = c, akkor a trapéz téglalap.f) Lásd a d) pontot!

2367. a) Szerkesszünk az a oldal A végpont-jába merõlegest és erre mérjük fel A-ból d-t. A d oldalra D-ben szer-kesszünk merõlegest az ábránakmegfelelõen, és mérjük fel erre D-bõl c-t. Egyértelmû megoldást ka-punk.

b) Az AED derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot), haa - c < b. Az AE oldal E-n túli meghosszabbítására E-bõl c-t felmérve adódik a Bcsúcs. Az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenesre D-bõl az ábrának megfe-lelõen c-t felmérve adódik a C csúcs. Ha a - c < b, akkor a megoldás egyértelmû,ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást.

c) Az FBC derékszögû háromszög szerkeszthetõ. (Feltesszük, hogy a < 90∞ ésa - c < b.) Az FB oldal F-en túli meghosszabbítására B-bõl a-t felmérve kapjuk az Acsúcsot. Az AB-vel párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenesre C-bõl c-t az ábránakmegfelelõen felmérve adódik a D csúcs. Feltételeink mellett a megoldás egyértelmû.

d) Az ABC háromszögnek adott három oldala, így szerkeszthetõ, ha e + b > a ésa + b > e. A D csúcsot az AB-re A-ban állított merõleges metszi ki a C-re illeszkedõ,AB-vel párhuzamos egyenesbõl. A feltételek mellett a megoldás egyértelmû, ellen-kezõ esetben nincs megoldás.

e) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pont-ban.

f) Az ABD derékszögû háromszögnek adott két befogója, így szerkeszthetõ. A C csú-csot az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenes és az A középpontú, e sugarúkör megfelelõ metszéspontja adja. Ha e > d, akkor a megoldás egyértelmû, ellenke-zõ esetben nincs megoldás.

g) Az ACD derékszögû háromszög szerkeszthetõ. A B csúcs a c-vel párhuzamos, A-railleszkedõ egyenes és a C középpontú, b sugarú kör metszéspontjaként adódik. Ha

b < d, nincs megoldás. b = d esetén téglalapot kapunk. Ha d < b < c d2 2+ , akkor

két megoldást kapunk, ha b > c d2 2+ , akkor egy megoldás van.h) Az ACD derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot). Innen a B

csúcs az elõzõ ponthoz hasonlóan adódik. Ha e £ c, akkor nincs megoldás. Ha c < e

GEOMETRIA

120

és e > b > e c2 2- , akkor két megoldás van. Ha b > e, akkor a megoldás egyér-telmû.

i) Mivel BCD <) = 180∞ - a, ezért a BCD háromszög szerkeszthetõ. Az A csúcsot a D-ben c-re állított merõleges metszi ki a B-re illeszkedõ, c-vel párhuzamos egyenesbõl.Ha a D-ben c-re állított merõlegesnek nincs közös pontja a BC szakasszal, akkor amegoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

2368. a) – b) Az ABD háromszög szerkeszt-hetõ, hiszen két oldala és a közbe-zárt szög adott. Az A csúcs BD fele-zõpontjára vonatkozó tükörképe a Ccsúcs.

c) – d) Az a-val párhuzamos, tõle ma távolságra levõ egyenesbõl az a-ra A-ban felvett

a szög szára metszi ki a D csúcsot. Innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ kétpont esetében.

e) – f) Az a-val párhuzamos, tõle ma távolságra levõ egyenesbõl az A ill. B középpon-tú, b sugarú körök metszik ki a D ill. a C csúcsot az ábrának megfelelõen.


2369. a) Az ABC háromszög szerkeszthetõ,hiszen adott három oldala. A B csúcsAC felezõpontjára vonatkozó tükör-képe a D csúcs.

b) Az ABC háromszög egyértelmûenszerkeszthetõ, hiszen adott két ol-dala és a nagyobbikkal szemköztiszög. Innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban.

c) Az ABM háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala ae f

, ,2 2

ÊËÁ

ˆ¯

. A-t és B-t

M-re tükrözve adódik a B és a C csúcs.

d) Az ABM háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala af

,2

ÊËÁ

ˆ¯

és a nagyobbik-

kal szemközti szög (180∞ - d). Innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban.e) Az a-val párhuzamos, tõle ma távolságra levõ egyenesbõl az A középpontú, e sugarú

kör az ábrának megfelelõen kimetszi a C csúcsot. A D csúcs B-nek az AC felezõ-pontjára vonatkozó tükörképe.

f) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. Innena befejezés az elõzõ ponthoz hasonlóan történhet.

g) Lásd a d) pontot!Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

ma

ma

a1

SÍKBELI ALAKZATOK

121

2370. a) Lásd a 2368/a) feladatot! Haa < 180∞, akkor a megoldás egyér-telmû.

b) Lásd a 2368/e) feladatot! ma £ e ese-tén egyértelmû megoldást kapunk.

c) Lásd a 2369/a) feladatot! a + b > eés a + e > b esetén a megoldás egy-értelmû.

d) Lásd a 2368/d) feladatot! a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû.e) a és mb egyértelmûen meghatározza a CDT derékszögû háromszöget. (Lásd pl. a

2348/b) feladatot!) Ha mb < a és az mb-vel szemközti hegyesszög éppen a, akkorvégtelen sok megoldás van, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

f) Lásd a 2369/f) feladatot! Ha a1 < 180∞, akkor a megoldás egyértelmû.

g) Lásd a 2369/e) feladatot! ma £ e esetén egyértelmû megoldást kapunk.

2371. a) Lásd a 2369/c) feladatot! Egyértel-mû megoldást kapunk, ha e + f > 2a

és ae f+ >2 2

.

b) A BCM háromszög szerkeszthetõ,hiszen két oldala és a közbezárt szög

adott e f

2 2, , dÊ

ËÁˆ¯

. B-t és C-t M-re

tükrözve kapjuk D-t és A-t.c) Vegyünk fel egymástól ma távolságra két párhuzamos egyenest. Ezek sávfelezõ

egyenesén jelöljünk ki egy M pontot. Az M középpontú e

2 és

f

2 sugarú köröknek

és a párhuzamos egyeneseknek az ábrának megfelelõen vett metszéspontjai leszneka paralelogramma csúcsai. e > ma és f > ma esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõesetben nincs megoldás.

d) Mivel DT1B <) = BT2D <) = 90∞, ezért ABC <) = 180∞ - w, ahonnan DAB <) = w. Így

az w szög száraival párhuzamos, azoktól ma ill. mb távolságra levõ egyenesek a fel-

vett szög száraival meghatározzák a paralelogrammát. w < 180∞ esetén egyértelmûmegoldást kapunk.

e) Vegyünk fel egymástól ma távolságra két egyenest és közöttük egy e hosszúságúszakaszt. (Ez lesz az AC átló, A az egyik, C a másik egyenesre illeszkedik.) AC Mfelezõpontjában vegyük fel e-re a d szöget az ábrának megfelelõen. A kapott szög-

szár egyenese kimetszi a párhuzamosokból a B és a D csúcsot. e ¤ ma és d < 180∞esetén a megoldás egyértelmû.

ma

a1

mb

ma

mb

T1

T2

GEOMETRIA

122

2372. a) A 2372/1. ábrán látható AC'C há-romszög szerkeszthetõ, hiszen adottkét oldala (a + b, e) és egy szöge

902

∞-ÊËÁ

ˆ¯

a. Ha ez kész, akkor az

AC' oldalra A-ban vegyük fel az aszöget. A C-re illeszkedõ, AC'-velpárhuzamos egyenesbõl a kapottszögszár kimetszi a D csúcsot. En-nek e (AC) felezõpontjára vonatkozótükörképe B. Az AC'C háromszögrekaphatunk 0, 1 ill. 2 megoldást. En-nek megfelelõ az eredeti feladatmegoldásainak száma is.

b) A 2372/2. ábrán látható AC'C há-romszög szerkeszthetõ, hiszen adottkét oldala (a - b, e) és a nagyobbik-kal szemközti szög

AC C' )< = ∞-ÊËÁ

ˆ¯

1802

a. Innen a befe-

jezés ugyanaz, mint az elõzõ pont-ban. 0 < a - b < e esetén a megoldásegyértelmû, ellenkezõ esetben nincsmegoldás.

c) A 2372/1. ábra AC'C háromszöge szerkeszthetõ. (Lásd a 2357/c) feladatot!) A befe-jezés ugyanaz, mint az elõzõ pontokban.

d) A 2372/2. ábra AC'C háromszöge szerkeszthetõ. (Lásd az elõzõ pontot!)

2373. Tulajdonképpen adott a paralelogramma két szomszédos oldala és azok szöge. (Lásd pl.a 2368/a) feladatot!)

2374. A megfelelõ felezõpontok meghatározzák a paralelogramma középvonalait. (Lásd azelõzõ feladatot!) Olyan pontok esetén van csak megoldás, amelyek közül kettõt-kettõtössze tudunk kötni úgy, hogy a kapott szakaszok kölcsönösen felezzék egymást.

2375. a) – b) Lásd a 2368/e) feladatot! Mosta = b.

c) Az ABC háromszög három oldalaadott, így szerkeszthetõ. B-nek azAC egyenesére vonatkozó tükörképea D csúcs.

d) A szerkesztés az elõzõ ponthoz ha-sonlóan történik.

e) Az ABD háromszög szerkeszthetõ.A-nak a BD egyenesére vonatkozótükörképe C.

f) Lásd az elõzõ pontot!

ma

902

∞- a

2372/1. ábra

2372/2. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

123

g) Lásd az e) pontot!Megjegyzés: A szögek szerkesztésérenézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2376. a) – b) DAB <) = 2a. Lásd a 2376/e)feladatot!

c) Az ACD egyenlõ szárú háromszögszerkeszthetõ. A B csúcs a D pontAC egyenesre vonatkozó tükörképe.

d) Az ABD egyenlõ szárú háromszögszerkeszthetõ, ugyanis ABD <) =

= BDA <) = 90∞ - a. A C csúcs az Apont BD egyenesre vonatkozó tükör-képe.

e) Vegyünk fel egymástól m távolságra két párhuzamos egyenest. Az egyikre az ábrá-nak megfelelõen vegyük fel az a szöget, ennek csúcsa legyen A. A szögszár a másikegyenest a C csúcsban metszi. A párhuzamos egyenesekbõl az AC felezõmerõlegesekimetszi a B és a D csúcsot.

f) Vegyünk fel egymástól m távolságra két párhuzamos egyenest. Jelöljünk ki egyikenegy pontot, ez lesz a D csúcs. Ebbõl f-fel körívezve a másik egyenesen megkapjuk aB pontot. BD felezõmerõlegesének a két egyenessel vett metszéspontjai lesznek az Aés C csúcsok. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

g) Lásd az elõzõ pontot!Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2377. a) Lásd pl. a 2375/a) feladatot! Ha a ¤ m, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõesetben nincs megoldás.

b) Lásd pl. a 2375/e) feladatot! a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû.

c) Lásd pl. a 2376/e) feladatot! (Most 2a adott.) a < 180∞ esetén a megoldás egyértel-mû.

d) Úgy kell felvennünk a két adott szakaszt, hogy azok merõlegesen felezzék egymást.

e) Lásd pl. a 2376/c) feladatot! (Most 2a adott.) a < 180∞ esetén a megoldás egyértel-mû.

f) Lásd pl. a 2376/d) feladatot! (Most 2a adott.) a < 180∞ esetén a megoldás egyértel-mû.

g) Lásd pl. a 2376/g) feladatot! A megoldás e > m esetén egyértelmû, ellenkezõ eset-ben nincs megoldás.

h) Lásd az elõzõ pontot!

GEOMETRIA

124

2378. a) – b) Az ABD háromszög szerkeszt-hetõ, hiszen három oldala adott. AzA pont BD egyenesére vonatkozó tü-körképe a C csúcs.

c) Az f egyik oldalára az ACD, másikoldalára az ABC egyenlõ szárú há-romszög szerkeszthetõ.

d) Az ACD egyenlõ szárú háromszögszerkeszthetõ. Az AC oldal felezõ-merõlegesére D-bõl mérjük fel e-t, akapott végpont lesz a B csúcs. Egykonvex és egy konkáv megoldásvan, attól függõen, hogy e-t D-bõlmelyik irányba mérjük fel.

e) Lásd az elõzõ pontot!

2379. a) Az ABD háromszög szerkeszthetõ,hiszen adott két oldala és a közbe-zárt szög. A-nak BD egyenesére vo-natkozó tükörképe a C csúcs.

b) Az ABC egyenlõ szárú háromszögszerkeszthetõ. Az AC oldalra azACD egyenlõ szárú háromszög isszerkeszthetõ. A feladatnak egy kon-vex és egy konkáv megoldása van.

c) Az ABD háromszög egyértelmûenszerkeszthetõ, hiszen adott két olda-la és a nagyobbikkal szemköztiszög. Az A csúcs BD egyenesére vo-natkozó tükörképe a C csúcs.

d) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC felezõmerõlegesére B-bõle-t felmérve adódik a D csúcs.

e) A és a az ACD egyenlõ szárú háromszöget egyértelmûen meghatározza. Ehhez a há-romszögben f > 9 cm kell, hogy teljesüljön, ezért nincs megoldás.

f) Az elõzõ pontban leírtak alapján nincs megoldás.

g) Mivel b = d, és a két átló merõleges egymásra, ezért b1 = d1 = 902

∞- a = 48,75∞.

(Lásd az ábrát!) Így az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. AC felezõme-rõlegesére D-bõl e-t az ábrának megfelelõen felmérve adódik a B csúcs.

h) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott egy oldala (e) és a rajta fekvõ két

szög a a b2

1802

, ∞- -ÊËÁ

ˆ¯

. A-nak a BD egyenesére vonatkozó tükörképe lesz a C

csúcs.

b1

b2 d2

d1

SÍKBELI ALAKZATOK

125

i) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott az alapja (f) és az ala-

pon fekvõ szöge (b2 = d2 = 902

∞- g – lásd az ábrát!). Hasonlóan szerkeszthetõ az

ACD egyenlõ szárú háromszög is.Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2380. a) Lásd a 2378/a) feladatot! Ha a + b > e és a + e > b, akkor a = b esetén egyértelmû amegoldás (rombusz), a π b esetén egy konvex és egy konkáv megoldás van.

b) Lásd a 2378/c) feladatot! Ha 2a > f és 2b > f, akkor a = b esetén egyértelmû a meg-oldás, a π b esetén egy konvex és egy konkáv megoldás van.

c) Lásd a 2378/c) feladatot! af>2

esetén a megoldás egyértelmû.

d) Lásd a 2378/e) feladatot! bf>2

esetén a megoldás egyértelmû.

2381. a) c) Lásd a 2379/b) feladatot! Haa π b, akkor egy konvex és egy kon-káv megoldás van.

b) Lásd a 2379/a) feladatot!d) Lásd a 2379/c) feladatot! Ha e > a,

akkor a megoldás egyértelmû. Ellen-kezõ esetben lehetséges, hogy nemkapunk megoldást, és kaphatunk kétmegoldást is.

e) Lásd a 2379/d) feladatot! A megol-dás egyértelmû.

f) Ha 2a > f, akkor az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. CD-re C-ben a dszöget az ábrának megfelelõen felmérve, a kapott szögszár és AC felezõmerõlegesé-nek metszéspontja B.

g) b és f az ABC egyenlõ szárú háromszöget egyértelmûen meghatározza, így az 2b > fesetén szerkeszthetõ. Az ACD egyenlõ szárú háromszögben (feltételezzük, hogy a

deltoid konvex) b1 = d1 = 902

∞- a, így az is szerkeszthetõ. (Lásd az ábrát!)

h) Lásd a 2379/g) feladatot! A megoldás egyértelmû.

i) Az e fölé szerkesztett d szögû látószögkörívekbõl (lásd a 2357/k) feladatot) az e-vel

párhuzamos, tõle f

2 távolságra levõ egyenesek metszik ki az A és a C csúcsot.

A megoldás egyértelmû, ha a látószögköríveknek és a párhuzamos egyeneseknekvan közös pontja, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

j) Lásd a 2379/h) feladatot! 360∞ - a - 2d > 0∞ esetén a feladat megoldása egyértelmû.

k) Lásd a 2379/i) feladatot! 360∞ - a - 2b > 0∞ esetén a feladat megoldása egyértelmû.

b1d1

GEOMETRIA

126

2382. a) Az ACD egyenlõ szárú háromszögszerkeszthetõ, hiszen szára és szögeiadottak. Az ABC egyenlõ szárú há-romszög is szerkeszthetõ, hiszen azACD háromszög szerkesztése utánadott az alapja (f) és alapon fekvõszögei (b2 = 90∞ - g1). Ha b1 < 90∞és g1 < 90∞, akkor a megoldás egy-értelmû, ellenkezõ esetben nincsmegoldás.

b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott egy oldala (e) és a rajta fekvõ kétszöge (g1, d1 = 90∞ - b1). Ezt a háromszöget a BD egyenesre tükrözve kapjuk a del-

toidot. b1 < 90∞ és g1 < 90∞ esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincsmegoldás.

c) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adottak az oldalai. Az ABCháromszög is szerkeszthetõ, ugyanis alapja és alapon fekvõ szögei (b2 = 90∞ - g1)

adottak. Ha 2a > f és g1 < 90∞, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetbennincs megoldás.

d) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adottak szárai és a szárakszöge (2g1). AC-re mint alapra az ACD egyenlõ szárú háromszög is szerkeszthetõ,

ugyanis adottak alapon fekvõ szögei (b1). Ha b1 < 90∞ és g1 < 90∞, akkor a megoldásegyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

e) Az elõzõ pontokhoz hasonlóan az ACD és ABC egyenlõ szárú háromszögek külön-külön szerkeszthetõk.

f) Az ABD háromszögnek adott két oldala (b, e) és a b oldallal szemközti szög(d1 = 90∞ - b1). Ha az ABD háromszög szerkeszthetõ, akkor a b) pontban leírtakalapján kapjuk a deltoidot. Lehet 0, 1 és 2 megoldása a feladatnak attól függõen,hogy az ABD háromszögre hány megoldás adódik.

2383. Akkor kapunk konkáv deltoidot, ha azadatok az ábrának megfelelõek, azaza > b, a > e, b > 180∞ és az a olyan ki-csi, hogy az ABD háromszögben az ADoldallal szemben tompaszög van.a) Lásd a 2379/a) feladatot!b) Lásd a 2379/b) feladatot!c) Az ABD háromszög egyértelmûen

szerkeszthetõ, hiszen adott két ol-dala és a nagyobbikkal szemközti

b1

d1

b2

g 1

SÍKBELI ALAKZATOK

127

szög b2

ÊËÁ

ˆ¯

. A-nak a BD egyenesre vonatkozó tükörképe a C csúcs.

d) Lásd a 2379/c) feladatot!e) Lásd a 2379/d) feladatot!f) Mivel b > 180∞, ezért az ABD háromszög abban az esetben egyértelmûen szerkeszt-

hetõ, ha az a szög szárának és a B középpontú, e sugarú körnek két közös pontjavan.

g) Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ (adott egy oldala és szögei), ha

a b+ < ∞2

180 . A C csúcs a c) pontban leírt módon adódik.

h) Lásd az elõzõ pontot!i) Lásd a g) pontot!

2384. a) Az ABC derékszögû háromszög be-fogói adottak, így szerkeszthetõ. Ezta háromszöget tükrözve az átfogófelezõpontjára kapjuk a téglalapot.

b) Az ABC derékszögû háromszögszerkeszthetõ (lásd a 2348/b) felada-tot). A befejezés ugyanaz, mint azelõzõ pontban.

c) Az ABC derékszögû háromszögszerkeszthetõ (lásd a 2348/f) felada-tot).

d) Lásd a 2348/e) feladatot és az a) pontot!

e) Az AMD egyenlõ szárú háromszög szárai e

2ÊËÁ

ˆ¯

és a közbezárt szög (d) adottak, így

szerkeszthetõ. M-re tükrözve a háromszöget adódik a B és a C csúcs.

f) Az ABM egyenlõ szárú háromszög alapja (a) és a rajta fekvõ szög a d=ÊËÁ

ˆ¯2

adott,

így szerkeszthetõ. Ezt a háromszöget M-re tükrözve adódik a C és a D csúcs.

g) a d=2

, ezért lásd a d) pontot!

h) Lásd a b) pontot!Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2385. a) Lásd a 2384/a) feladatot! A megoldás egyértelmû.b) Lásd a 2384/b) feladatot! A megoldás e > a esetén egyértelmû, ellenkezõ esetben

nincs megoldás.c) Lásd a 2384/c) feladatot! a < 90∞ esetén a megoldás egyértelmû.d) Lásd a 2384/d) feladatot! a < 90∞ esetén a megoldás egyértelmû.e) Lásd a 2384/f) feladatot! d < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû.f) Lásd a 2384/g) feladatot! d < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû.g) Lásd a b) pontot! b < e esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs meg-

oldás.

GEOMETRIA

128

2386. a) Lásd a 2384/a) feladatot! Most a = b.b) Lásd a 2384/e) feladatot! Most d = 90∞.c) Lásd a 2352/a) feladatot! Az átló felezõpontjára tükrözve kapjuk a négyzetet.d) Lásd a 2352/b) feladatot! A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban.

2387. a) Az ABD háromszög szerkeszthetõ,hiszen adott két oldala és a közbe-zárt szög. Ezek után az a szögtarto-mányba egy az AB és AD oldalakatbelsõ pontban érintõ kört kell szer-kesztenünk. (Erre nézve lásd a 2022.feladatot!) Ehhez a körhöz a B és aD pontból húzott érintõk metszés-pontja lesz a C csúcs. (Az érintésipontokat az OB ill. OD szakaszokfölé szerkesztett Thalesz-körök met-szik ki a körbõl.) Ha az r sugarú kör-nek az a szög száraival vett érintésipontjai az AB ill. az AD szakasz belsejében vannak, akkor a feladat megoldása egy-értelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

b) Vegyük fel a b szöget és szerkesszük meg a szögtartományba a szárakat érintõ r su-garú kört. (Lásd a 2022. feladatot!) Ezek után húzzuk be az érintési pontokba a meg-felelõ sugarakat, és forgassuk el õket az ábrának megfelelõen 180∞ - a ill. 180∞ - gszöggel. Az érintési pontok elforgatottjai lesznek az AD ill. CD oldalakon vett érin-tési pontok. Ezekben a pontokban merõlegest állítva az elforgatott sugarakra meg-kapjuk az AD és CD oldalakat. a < 180∞, b < 180∞, g < 180∞ és 180∞ < a + b ++ g < 360∞ esetén egyértelmû megoldást kapunk.

2388. a) Vegyünk fel egy R sugarú kört, ésannak egy pontjából kiindulva ve-gyük fel rendre az a, b, c hosszúságúhúrokat az ábrának megfelelõen. Haa-nak és c-nek nincs közös pontja,akkor a megoldás egyértelmû, ellen-kezõ esetben nincs megoldás.

b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, ugyanis adott két oldala és a közbezárt szög. Ez aháromszög egyértelmûen meghatározza a négyszög köré írt kört, szerkeszzük eztmeg. (Lásd a 2035. feladatot!) Az AB oldalra B-ben, az ábrának megfelelõen felvettb szög szára kimetszi a C csúcsot a körbõl.

c) Mivel BCD <) = 180∞ - a, ezért a szerkesztés az elõzõ pontban leírtakkal azonosmódon történik.

d) Az ABD háromszög és annak körülírt köre a b) pont alapján szerkeszthetõ. A C csú-csot B-bõl c-vel körívezve kapjuk. Ha C az A-t nem tartalmazó BD íven van, akkor amegoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

180∞-a

180∞-g

SÍKBELI ALAKZATOK

129

e) Az R sugarú körben az ACD háromszög szerkeszthetõ. a-t az ábrának megfelelõenfelvéve adódik a B csúcs. Ha a körbe írt ACD háromszög létrejön, és B a D-t nemtartalmazó AC ívre esik, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincsmegoldás.

2389. a) Ha a < 2R és b < 2R, akkor az ABOés BCO egyenlõ szárú háromszögekaz ábrának megfelelõen szerkeszthe-tõk. A C pontot tükrözve AB felezõ-merõlegesére adódik a D csúcs. Eb-ben az esetben olyan megoldást iskaphatunk, ahol O a trapézon kívülvan. Ha a = 2R és b < 2R, akkor ABa kör átmérõje, így az ABC három-szög BCA szöge derékszög.

b) Tegyük fel, hogy a < 90∞. Ha a < 2R, akkor az ABO háromszög szerkeszthetõ, a Ccsúcsot pedig az AB-re B-ben felvett a szög szára metszi ki az O középpontú, R su-garú körbõl. A D csúcs az elõzõ pontban leírtak alapján kapható. Ebben az esetbenkét megoldása van a feladatnak. Ha a = 2R, akkor az ABC derékszögû háromszögszerkeszthetõ, és ekkor egyértelmû megoldást kapunk.

c) Tegyük fel, hogy a < 90∞ és b < 2R. Ekkor a BCO egyenlõ szárú háromszög szer-keszthetõ, az A csúcsot pedig a BC-re B-ben az ábrának megfelelõen felvett a szögszára metszi ki az O középpontú R sugarú körbõl. A D csúcs a C pont tükörképe ABfelezõmerõlegesére. Ha a feltételek teljesülnek, egyértelmû megoldást kapunk.

d) Tegyük fel, hogy a < 90∞. Az ABC háromszög szerkeszthetõ. A C pont tükörképeAB felezõmerõlegesére a D csúcs. A megoldás egyértelmû.

e) Az R sugarú, O középpontú körben vegyünk fel az ábrának megfelelõen egy a ésegy e hosszúságú húrt. A D csúcs az elõzõ pontokban leírtak alapján adódik. Ha

2R ¤ e és 2R ¤ a, valamint legalább az egyik egyenlõtlenség éles, akkor a megoldásegyértelmû, ha a = e. Két megoldást kapunk, ha a π e. Ha a fenti feltételek nem tel-jesülnek, akkor nem kapunk megoldást.

f) Ha a = c < 2R, akkor a trapéz téglalap, szerkesztésére nézve lásd a 2384/h) felada-

tot! Tegyük fel, hogy c < a £ 2R. Ekkor az R sugarú körben vegyünk fel egy a hosz-

szúságú húrt és felezõpontjából mindkét irányba mérjünk fel rá c

2-t. A kapott pon-

tokban állítsunk a húrra merõlegeseket. A merõlegeseknek a körrel alkotott met-széspontjai lesznek a C és D csúcsok. Ha a < 2R, két megoldást kapunk, ha a = 2R,akkor a megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

GEOMETRIA

130

2390. a) Az ABD egyenlõ szárú háromszögszerkeszthetõ. Ezek után az a szög-tartományba szerkesszünk a szárakatérintõ r sugarú kört. (Lásd a 2022.feladatot!) Ha a kapott érintési pon-tok az AB és AD oldalak belsõ pont-jai, akkor a B-bõl és D-bõl a körhözszerkesztett érintõk metszéspontjalesz a C csúcs. (Az érintõk szerkesz-tésére nézve lásd a 2387/a) felada-tot!) Ha a fenti feltétel teljesül, akkora megoldás egyértelmû, ellenkezõesetben nincs megoldás.

b) A d szög tartományába a 2022. feladat alapján szerkesszünk r sugarú, a szögszára-kat érintõ kört, és az egyik szárra mérjük fel a szög csúcsából b-t. Ha az érintési pontaz AD szakasznak belsõ pontja, akkor az AD egyenes metszi ki a második szögszár-ból C-t. A B csúcs D-nek az AC egyenesre vonatkozó tükörképe. Ha az érintésipontra vonatkozó feltétel nem teljesül, akkor nincs megoldás, ellenkezõ esetben amegoldás egyértelmû.

c) Lásd a b) pontot!

d) Vegyük fel az a szöget és a szögtartományba szerkesszünk a szögszárakat érintõ, rsugarú kört. (Lásd a 2022. feladatot!) Az AO félegyenesre (lásd az ábrát) A-bólmérjük fel e-t. Ha az így kapott C pont az ábrának megfelelõen a körön kívül van,akkor C-bõl a körhöz szerkesztett érintõk (lásd a 2387/a) feladatot) és az a szög szá-rainak metszéspontjai lesznek a B illetve a D csúcs. A megoldás a fenti feltétel mel-lett egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

2391. a) Vegyük fel az r sugarú kört és egyikátmérõ egyenesére O-ból mindkét

irányban mérjünk fel e

2-t. Ha az így

kapott A és C pontok a körön kívülvannak, akkor az ezekbõl szerkesz-tett érintõk (lásd a 2387/a) feladatot)és az AC-re O-ban állított merõlegesegyenes metszéspontjai lesznek a Bés D csúcsok. Ha a fenti feltétel tel-jesül, akkor a feladat megoldásaegyértelmû, ellenkezõ esetben nincsmegoldás.

b) Lásd az a) pontot!

c) A DOC derékszögû háromszög, szerkeszthetõ, ha a ¤ 2r. (Lásd a 2348/c) feladatot!)Ezt O-ra tükrözve adódik az A és a B csúcs. A megoldás így egybevágóság erejéigegyértelmû, a < 2r esetén nincs megoldás.

d) Az a szög tartományában vegyük fel a szárakat érintõ r sugarú kört. (Lásd a 2022.feladatot!) A szöget O-ra tükrözve kapjuk az egyértelmûen meghatározott rombuszt.

SÍKBELI ALAKZATOK

131

Megjegyzés: A beírható kört nem is kell megszerkesztenünk, elegendõ O-t meghatá-rozni.

2392. A trapéz magassága 2r, így az ábrán lát-ható EBC derékszögû háromszög szer-keszthetõ. (Lásd a 2348/b) feladatot!)A kapott EBC <) = b szögtartománybanszerkesszük meg a szárakat érintõ r su-garú kört (lásd a 2022. feladatot), majdC-n keresztül szerkesszük meg a körEB-vel párhuzamos érintõjét. Ezután aBE félegyenes valamely, az ábránakmegfelelõen választott A' pontjábólmessük el d-vel a C-re illeszkedõ érintõegyenesét. A kapott A'D' szakaszra O-ból állítsunk merõlegest. Ez kimetszi akörbõl az AD oldal F érintési pontját. F-ben állítsunk merõlegest OG-re, kapjukaz AD oldalt. Megoldás akkor és csak

akkor van, ha b ¤ 2r és d ¤ 2r. b = d == 2r esetén négyzetet, d = 2r és b > 2resetén derékszögû trapézt kapunk. Hab > 2r és d > 2r, akkor a feladatnak kétmegoldása van.

2393. Thalesz tételének megfordításából adó-dóan C rajta van az AB átmérõjû körön,ezért AF = FC = FB. Az AFC és a CFBháromszögek így egyenlõ szárúak.


2395. A tekintett oldal felezõpontja egyenlõ távolságra van a háromszög csúcsaitól, ezért ez apont a köréírt kör középpontja. Thalesz tétele értelmében a háromszög derékszögû.

2396. Lásd az elõzõ feladatot!Megjegyzés: A 2393. feladat állításának megfordítása a 2395. feladat állítása, és ugyan-ez a kapcsolat a 2394. és 2396. feladatok között is.

2397. Tekintsük a kör két tetszõleges húrját. Ezen húrok felezõmerõlegeseinek metszéspontjalesz a kör középpontja.Ha csak derékszögû vonalzónk van, akkor egy tetszõleges húr egyik végpontjába állít-sunk merõlegest a húrra. A két egymásra merõleges húr végpontjai meghatározzák a

GEOMETRIA

132

kör egyik átmérõjét. Hasonló módon „megszerkesztve” egy másik átmérõt, a két átmérõmetszéspontja lesz a kör középpontja.

2398. A magasságok talppontjai rajta vannaka harmadik oldal fölé írt Thalesz-körön,így annak középpontját a két adott pontáltal meghatározott szakasz felezõmerõ-legese metszi ki az adott egyenesbõl.A kör sugara a kapott metszéspont és azegyik adott pont távolsága lesz, és ez akör metszi ki az adott egyenesbõl az Aés a B csúcsot. Ha a két adott pont azegyenesnek ugyanazon az oldalán vanés az általuk meghatározott egyenesnem merõleges az adott egyenesre, ak-kor a harmadik csúcsra két lehetõsé-günk van (az ábrán C1 és C2), így egyhegyesszögû és egy tompaszögû megol-dást kapunk.Ha az egyik pont az egyenesen van, akkor egy derékszögû háromszöget kapunk,amelynek egyik befogója az adott egyenesre illeszkedik és derékszögû csúcsa az egye-nesen adott pont.Ha az adott pontok az egyenes különbözõ oldalára esnek és az általuk meghatározottegyenes nem merõleges az adott egyenesre, akkor két tompaszögû háromszöget ka-punk.Abban az esetben, ha a két pont által meghatározott egyenes merõleges az adott egye-nesre, pontosan akkor van megoldás (akkor viszont végtelen sok), ha az adott egyenes akét pont által meghatározott szakasz felezõmerõlegese.

2399. Thalesz tételének megfordítása értelmében a magasságtalppontok illeszkednek a har-madik oldal mint átmérõ fölé írt körre.

2400. A derékszögû csúcsot a két adott pont által meghatározott szakasz mint átmérõ fölé írtThalesz-kör metszi ki az adott egyenesbõl. A feladatnak legfeljebb két nem egybevágómegoldása lehet az adott pontok elhelyezkedésétõl és a létrejövõ metszéspontok szá-mától függõen.

2401. Legyen a két adott pont A és B, az adott távolság pedig d. Megoldás akkor és csak akkor

van, ha d £ AB. Ha d = AB, akkor a két egyenes merõleges AB-re. Ha d < AB, akkorszerkesszük meg azt az ABC derékszögû háromszöget (lásd a 2348/b) feladatot),amelynek egyik befogója d és a derékszögû csúcsa C. (Legyen pl. d = BC.) Az egyikegyenes AC, a másik az ezzel párhuzamos, B-re illeszkedõ egyenes.

C1

C2

Ta

Tb

SÍKBELI ALAKZATOK

133

2402. Legyen M a körnek az alappal vett met-széspontja. Thalesz tétele értelmébenMC merõleges az alapra, így M az alapfelezõpontja.

2403. Thalesz tétele értelmében CMF <) = 90∞(lásd az ábrát), így az AFM háromszögolyan derékszögû háromszög, amelynekhegyesszögei 30 illetve 60 fokosak. Eza háromszög egy szabályos háromszög

„fele”, ezért AMAF AC= =2 4

.

2404. Thalesz tételébõl adódóan bármelyik kétkör közös húregyenese a harmadik ol-dalhoz tartozó magasságvonal. A há-romszög magasságvonalai pedig egypontban, a háromszög magasságpontjá-ban metszik egymást.

2405. Az AB szakasz mint átmérõ fölé szer-kesztett Thalesz-körbõl az AP ill. a BPegyenes metszi ki a derékszögû csúcsot.Ha P a körön kívül van, nincs megol-dás, ha P a körre illeszkedik, akkor õ aderékszögû csúcs, ha pedig a körön be-lül van, akkor két megoldás van. (Lásdaz ábrát!)

2406. Vegyük fel az adott egyenessel párhuzamos, tõle m távolságra levõ egyenest az adottpontok által meghatározott félsíkban. Az adott pontok által meghatározott szakasz mintátmérõ fölé szerkesztett Thalesz-kör és a párhuzamos egyenes metszéspontja(i)lesz(nek) a derékszögû csúcs(ok). A szerkeszthetõséghez szükséges, hogy az adottpontok a két egyenes által meghatározott sávban legyenek és a Thalesz-körnek legyenközös pontja a párhuzamos egyenessel. Legfeljebb két nem egybevágó megoldás lehet-séges.

C1C2

GEOMETRIA

134

C1C2

A2 B2B1A1


2408. A kör átmérõje lesz a téglalap egyik átlója. Ennek egyik végpontjából az adott szakasz-szal körívezve megkapjuk a körön a téglalap harmadik csúcsát. Ennek a csúcsnak a körközéppontjára vonatkozó tükörképe lesz a negyedik csúcs.Mind a négy esetben egyértelmû megoldást kapunk.

2409. PCR <) = 90∞, így az állítás Thalesz tételének megfordításából adódik.

2410. Legyen a három adott pont P, Q és R. APQ és QR szakaszok fölé szerkesszünkThalesz-kört, és tekintsük ezeknek azegyik Q-ra illeszkedõ közös szelõjét. Eza szelõ a köröket olyan A és B pontok-ban metszi, amelyekre nézve Thalesz té-telébõl adódóan PAQ <) = QBR <) = 90∞.Ezek után a négyzet már egyszerûenadódik. A feladatnak végtelen sok meg-oldása van.

2411. A PQ szakasz mint átmérõ fölé szer-kesztett Thalesz-körbõl az AP egyeneskimetszi a D csúcsot. Innen a négyzetkönnyen adódik. A megoldás egyértel-mû.

Sokszögek kerülete, területe

2412. Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát, akkor K = 4a, T = a2.

a) K = 4 cm, T = 1 cm2

b) K = 12 mm, T = 9 mm2

c) K = 2 dm, T = 0,25 dm2

d) K = 6 m, T = 2,25 m2

e) K = 144 cm, T = 1296 cm2

f) K = 0,68 m, T = 0,0289 m2 = 289 cm2

g) K = 20 km, T = 25 km2

h) K = 0,64 dm, T = 0,0256 dm2 = 2,56 cm2

SÍKBELI ALAKZATOK

135

i) K = 3 cm, T =9

160 5625 cm cm2 2= ,

j) K =20

3m, T =

25

92 7 m m2 2= ,

2413. K = 2(a + b), T = ab.

a) K = 18 cm, T = 20 cm2

b) K = 21 m, T = 27 m2

c) K = 78 mm, T = 360 mm2

d) K =7

2dm = 3,5 dm, T =

5

8dm2 = 0,625 dm2

e) K = 109,2 cm, T = 84,8 cm2

f) K = 10,6 m, T = 6,72 m2

g) K =52

15dm = 3 46, dm, T =

119

180dm2 = 0 661, dm2

h) K = 15,5 cm, T = 14,5866 cm2

i) K = 8,1 dm, T =166

45dm2 = 3 68, dm2

j) K = 8,02 km, T = 1,476 km2

k) K = 1080,44 m, T = 118,8 m2

2414. aK=4

a) 4 cm; b) 5 dm; c) 11 m; d) 16 km; e) 0,9 dm; f) 0,04 mm;

g) 1,81 cm; h)43

12 m = 3,583 m ; i)

43

68 cm 0,63 cm;ª j) 1,315 mm;

k)35

38 km 0,92 km.ª

2415. a T=a) 1 m; b) 2 cm; c) 3 dm; d) 4 mm; e) 5 km; f) 6 cm;

g)3

2 m =1,5 m; h)

5

4 dm =1,25 dm; i)

25

13 mm; j) 1,5 cm;

k)14

9 m; l) 2 cm 1,414 cm.ª

2416. aK b T

b= - =2

2, b

K a T

a= - =2

2.

GEOMETRIA

136

a

b

K

T

4 cm 10 cm3

22 cm 3

11

3 m

3 cm 5 m 0,04 dm 23

4 mm

3,6 dm18

11 cm 8

15

26 m

dm mm mm2 2 2

6 m 5 mm8944

mm

8 cm1522

cm2352

m

14 cm 22 m 18 mm10511

mm

12 cm 80 cm45

484 cm

575338

m2 2 2 23000 2089

16

2417. a) 1,91 dm2 > 0,019 m2 > 4210 mm2 > 22 cm2

b) 380 ár < 423 000 m2 < 500 ha < 5,1 km2

2418. T T T T T T6 1 3 4 5 2< < = < <

2419. Legyen L a kerítés hossza, T a telek területe, a a hosszabbik, b a rövidebbik oldal. Ek-kor L = a + 2b - 3 m, T = ab.

a) L = 33 m, T = 162 m2; b) L = 49 m, T = 330 m2;

c) L = 83 m, T = 920 m2; b) L = 29,54 m, T = 132,288 m2.

2420. 1 cm 4 m-nek felel meg.

a) T = 300 m2.b) kapu: 1 m

ház: 14 mösszesen: 15 mA kerítés hossza: K - 15 m = 70 m - 15 m = 55 m.

c) Tház = 6 m ◊ 8 m = 48 m2. d) Tvirág = 10 m ◊ 6 m = 60 m2.

e) Tzöldség = 12 m ◊ 8 m = 96 m2. f) Tgyümölcs = 8 m ◊ 8 m = 64 m2.

g) Tút = 20 m ◊ 1 m + 6 m ◊ 2 m = 32 m2.

2421. Jelölje T a kert területét m2-ben. A feltételek alapján

T TT T

460

325

3

8+Ê

ËÁˆ¯

+ +ÊËÁ

ˆ¯

+ ◊ = .

Rendezés után

23

2485T T+ = ,

SÍKBELI ALAKZATOK

137

ahonnan T = 2040 m2.

2422. T = 14 400 m2.Ha L a kerítés hossza, akkor

L = 4 ◊ 120 m - 2 m = 478 m.A gyümölcsöskert egyik oldalával pár-huzamosan legfeljebb 19 fa ültethetõ,ugyanis

116 = 8 + 18 ◊ 6 < 120 << 8 + 19 ◊ 6 = 122.

Így a kert gyümölcsfáinak száma legfel-jebb 19 ◊ 19 = 361.

2423. Jelölje a és b a téglalap szomszédos oldalai mentén elhelyezkedõ rácspontok számát.Ha k db rácsnégyzet nincs még bevonalkázva, akkor

2a + 2(b - 2) + k = ab,ahonnan

ab = 2(a + b) - 4 + ka téglalap rácsnégyzeteinek száma.A nem vonalkázott négyzetek számára nézve

k = (a - 2) ◊ (b - 2).

Jelölje a a hosszabbik oldalt (a ¤ b).a) a = 4, b = 3, ab = 12; b) a = 5, b = 3, ab = 15;c) Két lehetõség: d) Két lehetõség:

1. a = 8, b = 3, ab = 24; 1. a = 10, b = 3, ab = 30; 2. a = 5, b = 4, ab = 20; 2. a = 6, b = 4, ab = 24;

e) Három lehetõség: 1. a = 14, b = 3, ab = 42; 2. a = 8, b = 4, ab = 32; 3. a = 6, b = 5, ab = 30.

2424. Legyen x méter a telek rövidebbik oldala. A feltétel alapján

1

36 1568◊ ◊ =x x m2 .

Ebbõl x = 28 m, 6x = 168 m. Így K = 392 m, T = 4704 m2.

2425. Legyen x méter a ház oldalának hossza. Ekkor a feltétel alapján

( )x

x

+ =64

2

2,

azaz x + 6 = 2x. Ebbõl x = 6 m, tehát a ház területe 36 m2.

2426. A kivágható téglalapok száma legfeljebb 36 33

9 622

◊◊

= . Az ábra mutatja, hogy 22 db

téglalap ki is vágható a lemezbõl.

GEOMETRIA

138

2427. Legyen a téglalap hosszabbik oldala a centiméter. Ekkor a feltétel alapjána2 = a(a - 6) + 66. Rendezve az egyenletet és a-t kifejezve kapjuk, hogy a = 11 cm. ÍgyT = 11 cm ◊ 5 cm = 55 cm2, K = 32 cm.

2428. Jelölje a a négyzet oldalának hosszát. Ekkor a négyzet területe: Tª = a2, a téglalap te-

rülete: (3a) ◊ (4a) = 12a2, tehát

T

T= 12

A kerületekre nézve: Kª = 4a, 14a, így

K

K= =14

4

7

2.

2429. Legyenek az eredeti téglalap oldalai 3x méter és 4x méter. A feladat feltétele szerint

(3x - 3) ◊ (4x + 6) = 3x ◊ 4x.Alakítva a kapott egyenletet:

12x2 - 12x + 18x - 18 = 12x2,ahonnan

x = 3.

Az eredeti téglalap oldalai: 9 m, 12 m. Így T = 108 m2, K = 42 m.

2430. Legyen x méter a telek oldalának hossza. A feltétel szerint

x2 - 600 = (x - 10)2.Alakítva az egyenletet:

x2 - 600 = x2 - 20x + 100,ahonnan

x = 35.

A telek oldala tehát 35 m, T = 1225 m2, K = 140 m.

SÍKBELI ALAKZATOK

139

2431. A téglalap oldalai méterben kifejezve x és 2x. A járda területe:

2x ◊ x - (2x - 2) ◊ (x - 2) = 6x - 4.Másrészt a felhasznált betonlapok összterülete:

640 ◊ 0,25 m2 = 160 m2.Ez a két terület egyenlõ, azaz

6x - 4 = 160

ahonnan x = 271

3 m , így 2 54

2

3x = m .

Megjegyzés: Az elõbbi megoldásban a járdát is a játszótérhez számítottuk. Ha nemszámítjuk hozzá, akkor a járda területe

(2x + 2) ◊ (x + 2) - 2x2 = 6x + 4,és így x = 26 m, 2x = 52 m.

2432. Mivel a négyzet eredeti kerülete 4a, ezért az említett oldalakat a

5-tel hosszabbítottuk

meg. Így a téglalap területe a a a◊ =6

5

6

52 . Ez 1,2-szerese a négyzet területének.

2433. A feltétel szerint a > b > 0 egészek és 0 < a2 - b2 < 10.a értéke legfeljebb 5 lehet, ugyanis 62 - 52 = 11 > 10.Ha a = 5 m, akkor b = 4 m.Ha a = 4 m, akkor b = 3 m.Ha a = 3 m, akkor b lehet 1 m és 2 m.Ha a = 2 m, akkor b = 1 m.

2434. A téglalap oldalai 2

3a és b. A feltétel szerint

a ab2 2

3= ,

ahonnan

b a= 3

2.

A négyzet kerülete 4a, a téglalapé 13

3a , vagyis a téglalap kerülete nagyobb

a

3-mal.

2435. Mivel a négyszög átlói egyenlõek és felezik egymást, ezért a négyszög téglalap.Legyenek a téglalap oldalai centiméterben mérve a és b. A feladat szerint

a + b = 9 cm és ab = 18 cm2.Ezt a két egyenletet egyidejûleg csak az a = 3 cm, b = 6 cm (vagy fordítva) értékek elé-gítik ki.

2436. Jelölje K és T az eredeti, K' és T' az új kerületet illetve területet.a) K' = 2K, T' = 4T; b) K' = 1,5K, T' = 2,25T; c) K' = 3K, T' = 9T;

GEOMETRIA

140

d) K K T T' , ' ;= =5

3

25

9e) K K T T' , ' ;= =25

9

625

81 f) K' = k ◊ K, T' = k2 ◊ T.

2437. a) kétszeresére; b) háromszorosára; c) ötszörösére; d) 2 -szeresére;

e)3

2-szeresére; f) 3 -szorosára.

2438. Legyen T = ab és T' az új terület.

a) T' = 2T; b) T' = 6T; c) T' = 21T; d) T' = 2,25T; e) T T' ;= 217

22

f) T' = k ◊ l ◊ T.

2439. a) 1 : 2; b) 1 : 3; c) 2 : 3; d) 3 : 4; e) 3 : 5; f) 1 2: ;

g) 2 2 1 2: : ;= h) 3 3 1 3: : .=

2440. Pitagorasz tétele alapján b e a= -2 2 , így

K a e a= + -ÊËÁ

ˆ¯2 2 2 és T a e a= ◊ -2 2 .

a) K = 14 cm, T = 12 cm2;

b) K = 34 m, T = 60 m2;

c) K = 34 mm, T = 60 mm2;

d) K = 28 dm, T = 48 dm2.

2441. Jelölje az oldalakat a és b. A feltétel szerint 2(a + b) = ab.I. megoldás: Redukáljuk az egyenletet 0-ra, majd próbáljunk a bal oldalon szorzatot ki-alakítani.

ab - 2a - 2b = 0(a - 2)(b - 2) - 4 = 0(a - 2)(b - 2) = 4

Lehetõségeink: a = 4 cm, b = 4 cm;Lehetõségeink: a = 3 cm, b = 6 cm;Lehetõségeink: a = 6 cm, b = 3 cm.II. megoldás: Fejezzük ki az egyik oldalt a másikkal, majd alakítsuk a kifejezést.

ab - 2a = 2ba(b - 2) = 2b

b π 2, így (b - 2)-vel oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát.

ab

b

b

b b b=

-= -

-+

-= +

-2

2

2 4

2

4

22

4

2

a és b pozitív egészek, ezért 4 osztható (b - 2)-vel.b = 1 nem lehet, mert a < 0.b = 3, a = 6.

SÍKBELI ALAKZATOK

141

b = 4, a = 4.b = 6, a = 3.Kaptuk a már ismert megoldásokat.

2442. Tab c mc= = ◊2 2

.

a) 6 cm2; b) 341,25 mm2; c) 8,4 dm2; d) 8,1 m2; e) 27,805 cm2;

f) 552 cm2; g) 1,82 dm2; h) 24,52 m2; i) 683,2 dm2; j) 801 cm2;

k) 13,26 m2; l) 21,9 mm2.

2443. Ta m c ma c= ◊ = ◊

2 2; b = c és mc = mb.

a) 12 cm2; b) 9 cm2; c) 7,86 m2; d) 10,25 dm2; e) 3,2 cm2;

f) 16 m2; g) 25,228 dm2.

h) Pitagorasz tételébõl adódóan m ba

a = - ÊËÁ

ˆ¯

22

2. Így ma = 4 cm és T = 12 cm2.

i) Az elõzõ ponthoz hasonlóan adódik, hogy ma = 12 m és T = 60 m2.

2444. aT

ma

= 2; b = K - (a + c); c = K - (a + b); m

T

aa = 2.

a b c m K Ta

3 cm 4 cm 5 cm 4 cm

5 m 12 m 13 m

5 dm 41 cm 13,1 dm 716,9 cm

5,1 dm 35 cm 186 cm 10,5 dm

6 m 62

3 m 50 dm 1708 cm

2

2

12 cm 6 cm

12 m 30 m 30 m

5,5 dm 4,097 dm

6 dm 7,5 dm

4,413 m 11,03 m

2

2

2

ª

Megjegyzés: Az elsõ két sor háromszögei derékszögûek.

2445. Pitagorasz tétele alapján b c a= -2 2 , így K a c a c= + - +2 2 , Ta c a= ◊ -2 2

2.

a) b = 4 dm, K = 12 dm, T = 6 dm2; b) b = 12 mm, K = 30 mm, T = 30 mm2;c) b = 24 m, K = 56 m, T = 84 m2; d) Nem lehetséges.e) b = 8 dm, K = 40 dm, T = 60 dm2; f) b = 15 mm, K = 90 mm, T = 270 mm2.

GEOMETRIA

142

2446. Ha a szabályos háromszög oldala a, ak-kor Pitagorasz tétele értelmében

a ma2 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

, ahonnan

m aa

a a= - = =22

2

4

3

4

3

2.

Így a terület:

Ta a a=◊

=

32

2

3

4

2

.

a) K T= = ª6 3 1 732 m, m m2 2, ;

b) K T= = ª12 4 3 6 928 cm, cm cm2 2, ;

c) K T= = ◊ ª21 12 25 3 21 218 cm, m m2 2, , ;

d) K T= = ◊ ª25 5 18 0625 3 31 285, , , ; dm, dm dm2 2

e) K T= = ◊ ª18 9 3 15 588 km, km km2 2, ;

f) K T= ª141

79 623 cm, cm2, .

2447. Az elõzõ feladat ábrája és eredményei alapján, ha a jelöli a derékszögû háromszög átfo-góját, akkor a terület egy a oldalú szabályos háromszög területének a fele, a kerület pe-

dig: K aa a= +2

3

2+ .

a) K T= + ª = ª6 2 3 2 3 3 464 cm 9,464 cm, cm cm2 2, ;

b) K T= + ª = ◊ ª9 3 39

23 7 794 dm 14,196 dm, dm dm2 2, ;

c) K T= + ª = ◊ ª15 5 325

23 21 65 m 23,66 m, m m2 2, ;

d) K T= + ª = ◊ ª24 8 3 32 3 55 426 mm 37,856 mm, mm mm2 2, ;

e) K T= + ª = ◊ ª30 10 3 50 3 86 6 cm 47,32 cm, cm cm2 2, .

2448. Pitagorasz tétele alapján c2 = 2a2, ahon-nan

ac c= =2

2

2.

Így ( )K c c c= + = ◊ +2 2 1 és

a

2

a

2

SÍKBELI ALAKZATOK

143

Tc c=

ÊËÁ

ˆ¯˜ ◊ =

2

1

2 4

2 2

.

a) ( )K T= ◊ + ª =6 2 1 9 cm 14,485 cm, cm2 ;

b) ( )K T= ◊ + ª =4 2 1 4 dm 9,657 dm, dm2 ;

c) ( )K T= ◊ + ª =0 8 2 1 1 0 16, , ; m ,931 m, m2

d) ( )K T= ◊ + ª =12 2 1 28 36 mm ,97 mm, mm2 ;

e) ( )K T= ◊ + ª =7

32 1 5

49

36 m ,633 m, m2 ;

f) ( )K T= ◊ + ª = ª64

132 1 11

1024

1696 059 dm ,885 dm, dm dm2 2, .

2449. Az egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogójához tartozó magassága fele az átfogó-nak, így, ha m jelöli a magasságot, akkor az elõzõ feladat megoldása során kapott össze-függések alapján

( )K m= + ◊2 2 1 és T = m2.

a) ( )K T= ◊ + ª =8 2 1 16 cm 19,314 cm, cm2 ;

b) ( )K T= ◊ + ª =10 2 1 25 m 24,142 m, m2 ;

c) ( )K T= ◊ + ª =4 8 2 1 11 5 76, , ; dm ,588 dm, dm2

d) ( )K T= ◊ + ª =136 2 1 328 4624 mm ,333 mm, mm2 ;

e) ( )K T= ◊ + ª = =20

32 1 16

100

9111 mm ,094 mm, mm mm2 2, ;

f) ( )K T= ◊ + ª = ª166

192 1 21

6889

36119 083 cm ,093 cm, cm cm2 2, .

2450. Az egyenlõ szárú háromszög derékszögû. Az elõzõ feladat alapján T = m2 < 90 cm2. Ígym lehetséges értékei: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm.

2451. T1 = 10, T2 = 18, T3 = 14,5, T4 = 14, T5 = 14.Így a sorrend: T1 < T4 = T5 < T3 < T2.

2452. Az ABF derékszögû háromszög a 2447.

feladatnak megfelelõ, így a b= 3 ésb = 2ma. Ezek alapján:

K b b m ma a= + = + ◊2 3 4 2 3 és

ma

GEOMETRIA

144

Tb

ma= =2

23

43 .

a) K T= + ª = ª12 6 3 22 9 3 15 588 cm ,392 cm, cm cm2 2, ;

b) K T= + ª = ª8 4 3 14 4 3 6 928 m ,928 m, m m2 2, ;

c) K T= + ª = ª24 12 3 44 36 3 62 354 mm ,785 mm, mm mm2 2, ;

d) Lásd az a) pontot!

e) K T= + ª = ◊ ª6 3 3 11 2 25 3 3 897 dm ,196 dm, dm dm2 2, , ;

f) K T= + ª ª90 45 3 167 876 85 mm ,942 mm, mm2, .

2453. Jelölje O a beírható kör középpontját, ésbontsuk fel a háromszöget az AOB,BOC és COA háromszögekre. Ezek te-

rülete: Tc r

AOB = ◊2

; Ta r

BOC = ◊2

;

Tb r

COA = ◊2

. Az ABC háromszög terüle-

te ezek összege, azaz

Ta r b r c r

ABC = ◊ + ◊ + ◊ =2 2 2

= ◊ + + = ◊ra b c

K r

2 2( )

ahol K = a + b + c a háromszög kerülete.


r

K

T

5 cm 10 mm 0,7 m

30 cm 4 m 28 dm

dm cm2 2

10 dm

5 cm

75 cm 98 dm2 2200 2 5,

2455. A feltétel szerint

13 cm < a + b + c < 18 cm.

Mivel a = 7 cm és b = 2c, ezért

6 cm < 3c < 11 cm,

azaz

2 cm < c < 11

3cm.

A b oldalra nézve

SÍKBELI ALAKZATOK

145

4 cm < b < 22

3cm.

Mivel b + c > a, ezért c > 7

3 cm és b > 14

3 cm .

Összefoglalva

7

3

11

3 cm < cmc < ,

14

3

22

3 cm < cmb < .

2456. Legyen a telek szára b méter, alapja a méter. A feltételek alapján

1.3

224 16b b= Æ = m m.

2. ab

a+ = Æ =2

25 17 m m.

Az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz tételébõl számolható.

m ba

a2 2

2

2183 75= - Ê

ËÁˆ¯

= , m2

ma ª 13,56 m.

Így Ta ma= ◊ =

2115 26, . m2

2457. TAF m

ABF = ◊2

, TFC m

BCF = ◊2

. Mivel

AF = FC, ezért valóban TABF = TBCF.


2459. T T TCF M CF B CMBb b= - (1)

T T TBMF BCF CMBc c= - (2)

A 2457. feladat alapján T TCF B BCFb c= .

Ezt az (1) és (2) összefüggésekkel ösz-szevetve:

T TCF M BMFb c= .

Fb

Fc

GEOMETRIA

146

2460. A 2457. feladat állítását többször alkal-mazva kapjuk, hogy a nagy háromszögterülete 7-szerese az eredetinek. (Lásdaz ábrát!)

2461. Te f

a m b ma b= ◊ = ◊ + ◊2

a) T = 30 cm2; b) T = 12 cm2; c) T = 7,84 cm2;

d) T = 50 cm2; e) T = 16,5 cm2, K = 18 cm; f) T = 96 cm2, K = 32 cm;

g) T = 30 cm2, K = 24 cm.

2462. Te f

a ma= ◊ = ◊ ◊2

2 , K ae f

e f= = ÊËÁ

ˆ¯

+ ÊËÁ

ˆ¯

= ◊ +4 42 2

22 2

2 2 .

a) T = 24 cm2, K = 20 cm; b) T = 1,2 m2, K = 5,2 m;

c) T = 0,96 dm2, K = 4 dm; d) T = 2,16 cm2, K = 6 cm;

e) T = 30 m2, K = 20 m; f) T = 77,76 cm2, K = 28,8 cm;

g) T = 5119,2 dm2, K = 324 dm.

2463. T = a ◊ ma

a) 32 cm2; b) 2,76 dm2; c) 12,642 dm2; d) 31,356 m2; e) 23,4 cm2;

f) 34,182 dm2.

2464. K = 2(a + b), T = a ◊ ma + b ◊ mb

a) K = 16 cm, T = 19 cm2;b) K = 18 dm, T = 29,5 dm2;

c) Ke f

e f Te f= Ê

ËÁˆ¯

+ ÊËÁ

ˆ¯

= ◊ + ª = ◊ =42 2

2 20 82

26 242 2

2 2 , , ; cm, cm2

d) be f= =2 2

, a be= = ◊32

3 , ( ) ( )K e= + = ◊ + ª1 3 8 1 3 21 86 m m, ,

T a be= ◊ = ◊ = ◊ ª

2

43 16 3 13 856 m m2 2, .

(Az átlók egyenlõségébõl adódik, hogy a paralelogramma téglalap. Lásd még a2446. feladatot!)

e) K = 20 cm, T = 40 cm2;f) K = 160 cm, T = 9,6 dm2.

2465. A középpontos tükrözéssel kapott síkidom mindhárom esetben paralelogramma lesz.a) K = 14 cm; b) K = 12 cm; c) K = 10 cm.

SÍKBELI ALAKZATOK

147

2466. K = a + 2b + c, Ta c

m= + ◊2

, b da c

m= = -ÊËÁ

ˆ¯

+2

22 .

a) K = 26 cm + 2 3 42 2◊ + cm = 36 cm, T = 52 cm2;b) K = 56 m, T = 180 m2;c) A trapéz három szabályos háromszögbõl

tevõdik össze. (Lásd a 2466/1. ábrát!) Így

K = 5c = 40 dm, Tc= ◊ =3

3

4

2

= ª48 3 81138 dm dm2 2, . (Lásd még a2446. feladatot!)

d) A 2466/2. ábra alapján a c- =

2

= - =b m2 2 8 mm. Így a = 21 mm.K = 46 mm, T = 78 mm2.

e) A trapéz téglalap, így K = 18 m,T = 20 m2.

f) A 2466/3. ábra alapján ma c= - =

24 dm

és b = d = m ◊ 2 = 4 2◊ dm ªª 5,657 dm. Így K = 32 + 8 2 dm ªª 43,314 dm, T = 64 dm2.

g) A 2466/4. ábra és a 2447. feladat alap-

ján md=2

és a c d- =

2

3

2, ahonnan

c a d= - 3 . Az adatokból c-re negatívérték adódik, így nincs ilyen trapéz.

2467. e = e1 + e2, f = f1 + f2. Mivel a trapéz szim-metrikus, ezért e1 = f1 és e2 = f2. (Lásd azábrát!) A merõlegességbõl adódóan

T =e f1 1

2

◊+

e f2 1

2

◊+

e f2 2

2

◊+

e f1 2

2

◊=

ef f

11 2

2◊ +

+ ef f

21 2

2◊ +

=

( ) ( )e e f f1 2 1 2

2

+ ◊ +=

e f◊2

=e2

2.

2466/1. ábra

a c-2

2466/2. ábra

2466/3. ábra

a c-2

2466/4. ábra

e1

e2f2

f1

GEOMETRIA

148

a) 2 cm2; b) 8 m2; c) 12,5 dm2; d) 578 mm2.

2468. Ta c m= + ◊( )

2, m

T

a c=

+2

, aT

mc= -2

, cT

ma= -2

.

a c m T

20 m 12 m 8 m

13 dm 85 cm 6450 cm

3 cm 4,5 cm 500 mm

32 cm 2,4 dm 4,8 dm

2

2

2

128 m

60 cm

8 cm

2

-

2469. K a b c d= + + + , Ta c m= + ◊( )

2, a

T

mc= -2

, b K a c d= - + +( ) .

a b c d m K T

8

13

cm 10 cm 6 cm 8 cm 7,6 cm

22 mm 1,5 cm 0,12 dm 1 cm 2,81 cm

m 8 m 600 cm 50 dm 3230 cm

2

32 cm 53,2 cm

4,12 cm 9,02 cm

5,3 m 52,5 m

2

2

2470. T1 = 25, T2 = 32, T3 = 24, T4 = 15, T5 = 27, T6 = 22,5.T2 > T5 > T1 > T3 > T6 > T4

2471. A 2467. feladat kapcsán leírtakkal analóg módon bizonyítható, hogy ebben az esetben

Te f= ◊

2. (Lásd még a 2472. feladatot!)

a) 5 cm2; b) 242,2 m2; c) 3,9 dm2.

2472. e e e1 2+ = , f f f1 2+ = . T =e f1 1

2

◊+

+e f1 2

2

◊+

e f2 1

2

◊+

e f2 2

2

◊=

=e

f f11 22

( )+ +e

f f21 22

( )+ =e

f1

2+

+e

f2

2=

e ef1 2

2

+ ◊ =e f◊

2.

e1

e2

f2

f1

SÍKBELI ALAKZATOK

149

2473. Ha c jelöli a rövidebb alapot, akkor ahosszabb alap 3c. Az ABM és DMC há-romszögek hasonlóak, ezért az M pont3 : 1 arányban osztja az átlókat. DMCegyenlõ szárú derékszögû háromszög,

ezért DM MCc= =2

. Így

DB ACc= = ◊42

. A 2467. feladat

alapján TDB AC c= ◊ = ◊ ◊

ÊËÁ

ˆ¯˜ =

2

1

24

2

2

= 4c2. Mivel c = =16842

mm

4 mm ,

ezért T = 7056 mm2.

2474. Az adatok alapján a trapéz a 2466. fel-adat c) pontjának megfelelõ, így

T = ◊ ◊ ª33 6 3

416 84

2,, dm dm2 2 .

2475. T T TAMD ACD MCD= - és TCMB = TBCD -

- TMCD. Másrészt TDC m

ACD = ◊ =2

= TBCD. Ezeket összevetve adódik a fel-adat állítása.

2476. A paralelogramma átlói felezik egy-mást, így TMCD = TMBC. (Egy-egy oldalés a hozzátartozó magasság egyenlõ.) Aközéppontos szimmetriából adódóanTMCD = TMAB és TMBC = TMDA. Ezzel azállítást beláttuk.

2477. A szögekre tett feltételek alapján:

1. BCD <) = 120∞.2. Az ABD háromszög szabályos, így

AB = BD = DA.3. A BCM háromszög olyan derékszö-

gû háromszög, amelynek egyik he-

gyesszöge 30∞, így DB BC= ◊ 3 ,

MCBC=2

és MBBC= ◊ 3

2. (Lásd

GEOMETRIA

150

a 2446. és a 2447. feladatot!)

Ezek alapján: AC = AM + MC =AB ◊ 3

2+

BC

2=

DB ◊ 3

2+

BC

2= BC ◊ 3

2+

BC

2=2 ◊ BC.

Tehát AC = 4 m, MC = 1 m, AM = 3 m, DB = ◊2 3 m. K = 2 ◊ AB + 2 ◊ BC =

= ( )4 3 4◊ + m = ( )4 3 1◊ + m ª 10,93 m, TAC DB= ◊

2= 4 3◊ m2 ª 6,93 m2.

2478. Legyen a hosszabbik alap hossza dm-ben a, a rövidebbiké c, a magassága pedig legyenm.

a = 2c + 0,3 és a + c = 6.Innen

a = 4,1 dm, c = 1,9 dm, m = 0,4 ◊ a = 1,64 dm.Így

Ta c

m= + ◊ =2

4 92, . dm2

2479. Az ábrán látható négy derékszögû há-romszög egybevágó, ugyanis két-két ol-daluk (a; 2a) és a közbezárt szög (90∞)megegyezik. (Lásd az ábrát!) A kapottnégyszög oldalai ezért egyenlõk, és mi-vel a + b = 90∞, a négyszög valóbannégyzet. Egy derékszögû háromszög te-

rülete 2

22a a

a◊ = , így a nagy négyzet

területe ötszöröse az eredeti négyzet te-rületének.

2480. Ha m jelöli a trapéz magasságát, a nemszürkén satírozott terület

TAB

mCD

mAB CD

m'=◊

+◊

= + ◊22

22 4

.

(Lásd az ábrát!) Ez fele a trapéz terüle-tének, így a vonalkázott terület is fele a trapéz területének.

m

2

m

2

SÍKBELI ALAKZATOK

151

2481. A szögfelezõk metszéspontjai által meg-határozott négyszög szögei derékszö-gek, ugyanis a szomszédos szögek szög-felezõi derékszögben metszik egymást.Az ábrán látható, hogy mivel a szem-közti szögek szögfelezõi párhuzamosakés az oldalakkal 45∞-os szöget zárnakbe, ezért az EFC és GHB háromszögekegybevágó egyenlõ szárú derékszögûháromszögek, amelyek átfogója 2 cmhosszú. A szögfelezõk által bezárt négy-szög tehát négyzet, amelynek oldala

d = 2

2 cm = 2 cm . Így területe

2 cm2.

2482. TABC = TACD, TAME = TAFM, valamint

TMCM = TMGC. Mivel TEMHD = TACD -- TAME - TMCH és TFBGM = TABC -- TAFM - TMGC, ezért a vonalkázott terü-letek valóban egyenlõek.

2483. A töröttvonal helyettesíthetõ a párhuzamosokra merõleges szakasszal. A helyettesítéstkét lépésben végezzük el.

A1

B1

F1

F2

A1

B1

A2

B2

2483/1. ábra 2483/2. ábra

1. Ha F1 az AM, F2 pedig a BM szakasz felezõpontja, akkor az F1F2 egyenes A1B1 sza-

kasza jó helyettesítõ, ugyanis T TAF A F CM1 1 1= és T TCF M BB F2 1 2

= . (Lásd a 2483/1. áb-

rát!)2. Ha F az A1B1 szakasz felezõpontja, akkor a rá illeszkedõ A2B2 szakasz megfelel,

ugyanis T TA FA B B F1 2 2 1= . (Lásd a 2483/2. ábrát!)

GEOMETRIA

152

2484. Jelölje T a négyzet területét.

a)

T

4

T

4

T

8

b)

T

4

T

4

T

4

3

8T

T

4

c) d)

S súlypont az ABD háromszögben, így TAC BD= ◊

2, F negyedeli a BD át-

TT

SBDABD=3

, tehát a vonalkázott rész lót, így TAC BD

TEFGD =◊

=

12

34

2

3

8.

területe T

3.

2485. Jelölje T mindegyik esetben az eredeti síkidom területét.

a) T

9

T

9

T

9

b)

2

3

T

T

2

SÍKBELI ALAKZATOK

153

c) d)

T = TABCD = ( )a cm+ ◊2

T

6A vonalkázott rész területe:c m a c m◊ + - ◊ =

2 2 2

= ◊ + -ÊËÁ

ˆ¯

=mc

a c

2 2

= ◊ + =m a c T

2 2 2.

2486. Az ABFD húrtrapéz felbontható három egy-bevágó szabályos háromszögre, amelyekoldalának hossza 4 cm. A paralelogrammanégy ilyen szabályos háromszög egye-sítése, így a 2446. feladat alapján

T = 416 3

4◊ ◊

cm2 =16 3◊ cm2 ª

ª 27,71 cm2, és K = 24 cm.

2487. Ha a szabályos háromszög oldala a, akkor a hatszög oldala a

2. A háromszög területe

(lásd a 2446. feladatot):

ta

1

2 3

4= .

A hatszög területe:

t

a

a2

2

223

46 3

3

8=

ÊËÁ

ˆ¯

◊◊ = ◊ ◊ .

Így

t

t

a

a

2

1

2

2

338

314

3

2=

◊ ◊

◊ ◊= .

2488. a) T = 69,5 cm2.

b) T = 180 cm2.

GEOMETRIA

154

c) A 2488/1. ábra jelöléseit használva:

( )4 2 3 5 13- + + + =x x

x =-

ª2

3 12 73, cm

A területre nézve:

Tx

x xx

x= - + - + + + ª( )( )( ) ,

4

24 9

3

25 35 81

2 2

cm2 .

x 32 3

2488/1. ábra 2488/2. ábra

d) A 2488/2. ábrán látható átdarabolásokat elvégezve, és az ott látható adatokkal

( )( ) ( )T = + + = + ª4 3 1 8 3 12 3 4 24 78 cm cm cm2 2 2, .

2489. T = 772 800 m2.

2490. T = 35,84 m2.

2491. TABFE = AB ◊ AG és TEFCD = AB ◊ GD.Összegük:

TABFE + TEFCD =

= AB ◊ (AG + GD) = AB ◊ AD == TABCD.

2492. a) A szabályos háromszög beírt és kö-réírt körének középpontja a három-szög súlypontja, amely 2 : 1 arány-ban osztja a súlyvonalakat. Ezt és a2446. feladat kapcsán leírtakat fel-használva adódik, hogy a beírt há-

romszög magassága m R= 3

2, olda-

la pedig am R= =2

3

3

3. A beírt há-

2492/1. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK

155

romszög területe így

ta R= = =

2 23

4

3 3

4

= ª12 3 20 78 cm cm2 2, .

Hasonló okoskodással adódik, hogy a köréírt háromszögre nézve

bR R

a= ◊ = =2 3

3

6

32

( ), ami alapján T : t = 4 : 1. (T a köréírt háromszög területe.)

b) A beírt négyzet átlójára nézve

a R2 2= ,

így a beírt négyzet területe

t = 2R2.

A köréírt négyzet oldala

b = 2R,

így területe

T = 4R2.

Kaptuk, hogy T : t = 2 : 1.

c) A beírt szabályos hatszög oldalaegyenlõ a kör sugarával, így területe:

tR R= ◊ ◊ = ◊ ª6

3

4

3 3

2

2 2

ª 41 57, cm2 .

A köréírt hatszög középponti három-szögének m magasságára nézve:

m = R. Így bR= 2

3, és a terület:

T

R

R= ◊

ÊËÁ

ˆ¯˜ ◊

=6

2

33

42 3

2

2 .

Ezek alapján a területek aránya:

T

t

R

R= =2 3

3 32

4

3

2

2.

Megjegyzés: Megfigyelhetõ, hogy a sokszögek oldalszámának növekedésével a kérdé-ses arány csökken.

2492/2. ábra

2492/3. ábra

GEOMETRIA

156

2493. Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát,akkor a levágott háromszögek területé-nek összege:

8

49982a = cm2 .

Ebbõl a = 24,5 cm, és így a nyolcszögterülete

T = a2 - 98 cm2 = 502,25 cm2.

A kör és részeinek kerülete, területe

2494. a) K = 8p cm ª 25,12 cm, T = 16p cm2 ª 50,24 cm2;

b) K = 10p m ª 31,42 m, T = 25p m2 ª 78,55 m2;

c) K = 56p mm ª 175,84 mm, T = 784p mm2 ª 2461,76 mm2;

d) K = 4,6p dm ª 14,44 dm, T = 5,29p dm2 ª 16,61 dm2;

e) K T= ª = ª4

3

4

91 4p p m 4,19 m, m m2 2, ;

f) K T= ª = ª18

5

81

2510 17p p cm 11,3 cm, cm cm2 2, ;

g) K T= ª = ª50

9

625

8124 23p p dm 17,44 dm, dm dm2 2, ;

h) K T= = ª1025

7 96 mm, mm mm2 2

p, .

2495. a) K = 10p m ª 31,42 m, T = 25p m2 ª 78,55 m2;

b) K = 24p cm ª 75,36 cm, T = 144p cm2 ª 452,16 cm2;

c) K = 1,6p dm ª 5,024 dm, T = 0,64p dm2 ª 2,01 dm2;

d) K = 3,64p mm ª 11,43 mm, T ª 10,4 mm2;

e) K = 1,16p m ª 3,64 m, T ª 1,06 m2;

f) K T= ª ª4

90 16p cm 1,4 cm, cm2, ;

g) K T= ª ª39

119 87p cm 11,13 cm, cm2, ;

h) K T= = ª69

2 87 dm, dm dm2 2

p, .

2

7a

2

7a

3

7a

SÍKBELI ALAKZATOK

157

2496. r

d

K

T

2,26 m 9 dm 3 cm 8,6 m 4 mm

6 cm 18 dm 6 cm 17,2 m 8 mm

14,2 m 18,84 cm 18,84 cm 25,12 mm

16,04 m 28,26 cm 254,34 dm 232,23 m2 2 2 2

3 cm

m

18 dm 54 m

cm mm2 2

ªª

ª ª ª ªª ª ª ª

4 52

9 50 24

,

,

pp

2497. R = 1 m; R

r2

0 5= = , m ; p ª 3,14.

a) 6,28 m, 3,14 m; b) 12,56 m, 6,28 m; c) 3,14 m, 1,57 m;d) 1,57 m, 0,785 m; e) 5,024 m, 2,512 m; f) 753,6 m, 376,8 m;g) 1055,04 m, 527,52 m; h) 3692,64 m, 1846,32 m; i) 55012,8 m, 27506,4 m;j) 275064 m, 137532 m.

2498. A kerék kerülete: 3 4 3400 17

9

, km

1800

m

1800 m 1,89 m= = ª . Így

d = ª1 890 602

,,

m m = 60,2 cm

p, r = 30,1 cm.

2499. Egy menet hossza: 2rp ª 25,12 cm. Így a szükséges rézhuzal hossza: 502,4 m.

2500. Az r sugarú félkörív hossza rp. Az r

2 sugarú félkörívek összhossza: 2

2◊ ◊ =r

rp p . Ha-

sonlóan adódik, hogy az rn2

(n természetes szám) sugarú félkörívek összhossza:

22

nn

rr◊ ◊ =p p .

2501. A kerületek aránya megegyezik az átmérõk arányával, a területek aránya pedig az átmé-rõk arányának négyzete, nevezetesen

a) 1 : 4; b) 4 : 9; c) 9 : 25; d) 1 : 12,25; e) 49 : 81; f) p2 : q2.

2502. a) A legnagyobb kivágható kör sugara a háromszög beírható körének sugara, ami aszabályos háromszög magasságának harmada. (Lásd a 2347., 2446. és 2492. felada-

tokat!) Így rm

m m= = ◊ =3

1

3

3

2

3

6. A hulladék területe:

3

4 12 m m2 2- ªp

ª 0,17 m2.b) A legnagyobb kivágható kör sugara a négyzet oldalának fele, azaz 0,5 m. A hulla-

dék területe: 1 m m m2 2 2- ªp4

0 21, .

GEOMETRIA

158

c) A legnagyobb kivágható kör sugaraaz 1 m oldalú szabályos háromszögmagassága (lásd az ábrát), azaz

r m= 3

2. A hulladék területe (lásd

a 2492. feladatot): 63

4◊ m2 -

- 3

4

p m2 = 0,24 m2.

A kivágott körlap és a sokszöglap terü-letének aránya az egyes esetekben:

T

T= = ª

pp12

34

3 30 6, ;

T

T= ªp

40 79, ;

T

T= = ª

34

3 32

2 30 91

pp

, .

2503. Mindhárom esetben az adott körbe írható szabályos sokszöglemezt vágjuk ki.a) A szabályos háromszög köré írható kör sugara a magasság kétharmada. (Lásd a

2347., 2446. és 2492. feladatokat!) Így 13

2

3

3 m =

2

3◊ =a a

, ahonnan a = 3 m .

A hulladék területe: p m m m2 2 2- ª3 3

41 84, .

b) A négyzet köré írható kör sugara az átló fele, így 12

m =2a

, ahonnan a = 2 m .

A hulladék területe: p m2 - 2 m2 ª 1,14 m2.c) A szabályos hatszög köré írható kör sugara a hatszög oldalával egyenlõ, így a hulla-

dék területe: p m m m2 2 2- ª3 3

20 54, .

A kivágott sokszöglap és a kör területének aránya az egyes esetekben:

T

T= ª

3 34 0 41p

, ;T

T= ª2

0 64p

, ;T

T= ª

3 32 0 82p

, .

2504. Ha a kör átmérõje d és a középponti szög fokokban a, akkor a körcikk területe:

Td= ◊ ◊

∞

2

4 360

p a,

kerülete pedig:

K d d= + ◊∞

p a360

.

a) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

613 08 10

5

3

p p cm cm cm 15,23 cm;2 2, ,

SÍKBELI ALAKZATOK

159

b) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

419 63 10

5

2

p p cm cm cm 17,85 cm;2 2, ,

c) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

126 54 10

5

6

p p cm cm cm 12,62 cm;2 2, ,

d) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

89 82 10

5

4

p p cm cm cm 13,92 cm;2 2, ,

e) ( )T K= ª = + ª25

239 26 10 5 25

p p cm cm cm ,7 cm;2 2, ,

f) T K= ◊ ª = + ◊ÊËÁ

ˆ¯

ª3

458 88 10

3

25 3325 cm cm cm ,55 cm;2 2p p, ,

g) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

362 18 10

5

1810

p p cm cm cm ,87 cm;2 2, ,

h) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

243 27 10

5

1211

p p cm cm cm ,31 cm;2 2, ,

i) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

184 36 10

5

911

p p cm cm cm ,75 cm;2 2, ,

j) T K= ª = +ÊËÁ

ˆ¯

ª25

164 91 10

5

811

p p cm cm cm ,96 cm;2 2, ,

k) T K= ◊ ª = + ◊ÊËÁ

ˆ¯

ª11

4818 10

11

245 1725 cm cm cm ,2 cm.2 2p p,

2505. a) 180∞; b) 90∞; c) 60∞; d) 240∞; e) ª 257,14∞; f) 216∞;g) 270∞.

2506. Ha R jelöli a körcikk sugarát és a a körcikk középponti szöge fokokban, akkor

r

R=

∞a

360.

Így a körcikk területe

T R Rr

RrR= ◊

∞= ◊ =2 2

360p a p p ,

kerülete pedig

K = 2R + 2rp = 2(R + rp).

a) T = 1,5p cm2 ª 4,71 cm2, K ª 9,14 cm;

b) T = 3p cm2 ª 9,42 cm2, K ª 12,28 cm;

c) T = 4,5p cm2 ª 14,13 cm2, K ª 15,42 cm;

d) T = 6p cm2 ª 18,84 cm2, K ª 18,56 cm.

GEOMETRIA

160

2507. Az a középponti szöghöz tartozó körszelet az ábránvonalkázással jelölt síkidom.

a) a = 90∞,

TR R R= - = -Ê

ËÁˆ¯

ª2 2 2

4 2 2 21 28 5

p p, , cm2

KR

R R= + ◊ = +ÊËÁ

ˆ¯

ª2

42

22 29 84

p p, cm.

b) a = 180∞. A körszelet most maga a félkörlap, így TR= ª

2

2157

p cm2 ,

K = Rp + 2R ª 51,4 cm.

c) a = 270∞. A megfelelõ körszelet a körlapnak az a) pontbeli körszelet elhagyása utánkapott része.

T RR R R= - -

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ = +Ê

ËÁˆ¯

ª22 2 2

4 2 21

3

2285 5p p p

, , cm2

K R R R= ◊ + ◊ = +ÊËÁ

ˆ¯

ª3

42 2

3

22 61 24p p

, cm.

d) a = 360∞. A körszelet most a teljes körlap. T = R2p ª 314 cm2, K = 2Rp ª 62,8 cm.

e) a = 60∞. Ekkor a körszeletet határoló húr hossza R, és a középponti háromszög te-

rülete R2 3

4. (Lásd a 2446. feladatot!)

TR R R= - = -

Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜ ª

2 2 2

6

3

4 2 3

3

29 03

p p, , cm2

K RR

R= + = +ÊËÁ

ˆ¯

ª2

61

320 47

p p, cm.

f) a = 120∞. A körszeletet határoló húr hossza R 3 és a megfelelõ középponti három-

szög területe R2 3

4. (Lásd a 2446. és 2452. feladatokat!)

TR R

R= - = -Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜ ª

2 22

3

3

4 3

3

461 37

p p, , cm2

KR

R R= + = +ÊËÁ

ˆ¯

ª2

33

2

33 38 25

p p, cm.

SÍKBELI ALAKZATOK

161

2508. A körgyûrû területe: T = (R2 - r2)p = (R + r)(R - r)p = (R + r) ◊ d ◊ p.

r R d T

3 cm 5 cm

25 mm 0,04 m

5 cm 0,2 dm

6 m 40 cm

10 mm 30 cm

2,8 dm 54 m

5 cm 314 cm

5 mm 7 cm

2

2

2

2

2 cm 50,24 cm

1,5 cm 30,62 cm

7 cm 75,36 cm

5,6 m 14,57 m

4,16 m 3,88 m

7,5 cm 12,5 cm

6,75 cm 7,25 cm

2

2

2

2

- -

p

2509. T = (R + r)(R - r)p.

a) T ª 62,8 cm2; b) T ª 33 dm2; c) T ª 45,75 m2; d) T ª 47,1 mm2.

2510. Jelölje R a külsõ, r a belsõ kör sugarát. A kérdezett arány:

( )R r

R

r

R

r

R

2 2

2

2

2

2

1 1-

= - = - ÊËÁ

ˆ¯

p

p.

a)3

4; b)

8

9; c)

7

16; d)

9

25; e)

24

49; f)

n m

n

2 2

2

-.

2511. A kérdezett arány számértékileg a vonalkázott területtel egyezik meg.

a) A vonalkázott síkidom egy 1 sugarú körlap negyede, így az arány p4

0 785ª , .

b) A vonalkázott terület most a négyzet területébõl az elõzõ pontban kimaradt terület

kétszeresét kivonva adódik. 1 2 14 2

1 0 57- -ÊËÁ

ˆ¯

= - ªp p, .

c) Összességében egy 1

2 sugarú kör területét kell levonni a négyzet területébõl.

14

0 215- ªp, .

d) Az eredeti négyzetet négy olyan 1

2 oldalú négyzetre lehet bontani, amelyekben a

vonalkázott terület a b) pont négyzetébõl kimaradt területnek felel meg. Így a vonal-

kázott terület: 4 21

4 162

20 43◊ -Ê

ËÁˆ¯

= - ªp p, .

2512. Az alapkör területe p. Legyen A a kérdezett arány.

a) A =-

=p p

p4 3

4; b) A =

+=

p p

p4 16 5

16; c) A =

-ÊËÁ

ˆ¯

=

12 4 3

8

p p

p;

GEOMETRIA

162

d) Az ábráról leolvasható, hogy az alapkörlapból kimaradó síkidomok:1. 2 darab 60∞-os középponti szög-

höz tartozó háromszög, összterü-

letük 3

2. (Lásd a 2446. felada-

tot!)2. 2 darab 120∞-os középponti

szöghöz tartozó háromszög, ezek

összterülete is 3

2. (Lásd a

2452. feladatot!)3. 4 darab 60∞-os középponti szöghöz tartozó körszelet, ezek összterülete

46

3

4

2

33

p p-Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜ = - . (Lásd a 2507/e) feladatot!)

Így a megmaradó (vonalkázott) terület: p p p- ◊ - -ÊËÁ

ˆ¯

=23

2

2

33

3, tehát A = 1

3.

2513. Az ábráról leolvasható, hogy a feladat-ban pontozással jelölt területrész való-ban a négyzet területének negyede.A másik állításra is gyorsan adódik a bi-zonyítás, ha figyelembe vesszük, hogyaz oldalakra írt félkörök területénekösszege egyenlõ annak a negyedkörneka területével, amelynek sugara a négyzetoldala.

2514. Jelölje A a kérdezett arányt.

a) A rombusz két szabályos háromszögbõl tevõdik össze, így területe 3

2. (Lásd a

2446. feladatot!) A vonalkázott rész két 1

2 sugarú, 60∞-os középponti szöghöz tar-

tozó körcikk, amelyek összterülete p12

. (Lásd a 2504. feladatot.) Így

A = =◊

ª

pp12

32

6 30 31, .

b) A trapéz három darab 2 oldalhosszúságú szabályos háromszögbõl tevõdik össze, így

területe 32 3

43 3

2

◊ ◊ = . (Lásd a 2446. és 2466/c) feladatokat!) A kimaradó rész

összességében két 1

2 sugarú körlap és két 1 sugarú, 60∞-os középponti szöghöz

SÍKBELI ALAKZATOK

163

tartozó körcikk. Ezek összterülete 24 3

5

6◊ + =p p p

. (Lásd a 2504. feladatot!) A vo-

nalkázott terület így 3 35

6- p

, az arány pedig A =-

= - ª3 3

56

3 31

5

18 30 49

pp

, .

c) Az egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogóhoz tartozó magassága 4, így a vo-

nalkázott terület 16 - 4p, az arány pedig A = - = - ª16 4

161

40 22

p p, .

d) A hatszög 6 darab 2 oldalhosszúságú szabályos háromszögbõl tevõdik össze, így te-

rülete 6 3 . (Lásd a 2446. feladatot!) A kimaradó rész összességében 3 darab 1 su-

garú kör, amelyek összterülete 3p. A vonalkázott terület 6 3 3- p , az arány pedig

A = - = - ª6 3 3

6 31

2 30 09

p p, .

2515. Legyen 1 a befogók hossza. Ekkor a háromszög területe 1

2. A holdacska területe a

2

2 sugarú félkörlap és az 1 sugarú, 90∞-os középponti szöghöz tartozó körszelet terü-

letének különbsége, azaz T = - -ÊËÁ

ˆ¯

=p p4

1

2 21

1

2. (Lásd a 2507/a) feladatot!)

2516. Jelölje a háromszög befogóit a és b, átfogóját c. Pitagorasz tétele értelmébena2 + b2 = c2. A holdacskák területének összege:

( )ab a b c aba b c

ab

2

1

2 4 4

1

2 4 2 8 2

2 2 22 2 2+ +

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ - = + + - =p p p p

.

Pitagorasz tételének alkalmazása

2517. a) 5 m; b) 13 cm; c) 10 dm; d) 25 mm; e) 26 cm; f) 17 cm;

g) 34 m; h) 2 cm 1,41 cm;ª i) 5 m 2,24 m;ª

j) 3 cm 1,73 cm;ª k) 8 dm 2,83 dm;ª l) 4 mm.

2518. a) 4 cm; b) 3 dm; c) 12 mm; d) 8 m; e) 15 dm; f) 11 mm;g) 18 mm; h) 3,5 cm; i) 16 cm; j) 2 m; k) 1 cm

l) 6 dm 2,45 dm.ª

GEOMETRIA

164

2519. a

b

c

3 5, cm 4,6 cm 610 mm 4,82 m

0,43 dm 42 mm 5,2 m 66,4 cm 5240 mm

8,3 cm 88 cm 9,43 dm

ª ªª

ª ª ª

7,16 cm 6,7 dm

87,88 cm

5,54 cm 5,24 m 7,12 m

2520. Ha c jelöli a háromszög legnagyobb oldalát, akkor a háromszög hegyesszögû, haa2 + b2 > c2; derékszögû, ha a2 + b2 = c2; tompaszögû, ha a2 + b2 < c2.a) derékszögû (itt b a legnagyobb oldal); b) hegyesszögû;c) tompaszögû; d) tompaszögû; e) derékszögû; f) tompaszögû.

2521. Ha a háromszöget tükrözzük a hosszabbik befogó egyenesére ,akkor az eredeti és aképháromszög egyesítése szabályos háromszög. Ebbõl adódóan, ha az átfogó hossza c,

akkor a befogók c

2, illetve

c ◊ 3

2 hosszúak Pitagorasz tétele alapján. (Lásd még a

2447. feladatot!)

a) 1 cm, 3 cm ª 1,732 cm;

b) 2 m, 2 3 m ª 3,464 m;

c) 1,6 dm ª 2,77 dm;

d) 42 mm ª 72,746 mm;

e) 3,9 m ª 6,755 m;

f) 28

9cm ª 5,004 cm.

2522. Ha az átfogó hossza c, akkor a befogó c c

2

2

2= hosszúságú.

a) 2 m; b) ª 15,56 mm; c) ª 4,53 cm; d) 3,5 mm;

e) ª 24,04 mm; f) ª 212,13 mm.


a) 2 cm; b) 6 m; c) 400 2 mm ª 565,68 mm; d) ª 7,92 dm;

e) ª 67,88 cm; f) ª 7,49 mm; g) a 2 .

2524. Alkalmazva Pitagorasz tételét

h AC AF= - = ª2 2 1000 25, m2

ª 31,6 m. A kicsit talán meglepõ ered-mény azt mutatja, hogy bõven átsétálhategy ember a kötél alatt.

2525. Ha l a huzal hossza, akkor l

210 0 6 10 018= + ª( ( , , m) m) m,2 2 ahonnan

l ª 20,036 m.

c ◊ 3

2

c

2

SÍKBELI ALAKZATOK

165

2526. Az ábrán látható ABC háromszögbenAB = 2r, AC = r, így d = BC =

= ( )2 2 2r r- = r 3 ª 24,25 mm.

2527. A csúszda emelkedése 4 m, így hossza

l = + = ª( (10 4 116 m) m) m 10,77 m.2 2

2528. Az ábrán látható ABC derékszögû há-

romszögben ACa= 3

2 (lásd pl. a

2521. feladatot) és BCa= 3

2. Így

AB =a a3

2

3

2

2 2Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜ + Ê

ËÁˆ¯

=3

4

9

4

2 2a a+ = 3 2a = a 3 ª 6,93 m.

2529. Jelölje az inga centiméterekben kifeje-zett hosszát l. Ekkor az ábrán láthatóABC derékszögû háromszögben BC == (l - 2) cm. Így

l2 = (l - 2)2 + 202.Ebbõl

l = 101 cm.

2530. l = + = ª( , ( ,1 2 2 5 44 m) m) m 2,33 m.2 2

2531. Az ábrán látható ABC derékszögû há-romszögben BC = 145 m, AC = 178 m -- 7,5 m = 170,5 m, így

l = + =( ( ,145 170 5 m) m)2 2

= ª50095 25, m 223,82 m.

2532. h = - = ª( , ( , ,3 8 1 7 11 55 m) m) m 3,4 m.2 2

2533. A gyalogos által megtett út:

s = ◊ ◊5 3 5 2 km

h h + 5,5

km

h h = 28,5 km.,

Jelölje d a gyalogos elmozdulását kilométerben mérve. Ekkor d s s212

22= + , ahol

s1 = 17,5 km és s2 = 11 km. Így

a

2

GEOMETRIA

166

d = + ª17 5 112 2, km 20,67 km.

2534. A P(x; y) pont origótól vett távolsága d x y= +2 2 .

a) 1; b) 5 ª 2 24, ; c) 5; d) 13; e) 5;

f) 26 ª 5 1, ; g) 109 ª 10 44, ; h) 27,25 ª 5 22, .

2535. A P1(x1; y1) és P2(x2; y2) pontok távolsága d x x y y= - + -( ) ( ) .2 12

2 12

a) 5; b) 136 11 66ª , ; c) 41 6 4ª , ; d) 76 25 8 73, , ;ª

e) 117 10 82ª , ; f) 250 15 81ª , .

2536. a) AB = 5; AC = 6; BC = 13

K = + ª11 13 14 6,

T = ◊ =6 3

29

b) AB = 5; AC = 65 ; BC = 50

K = + + ª5 65 5 2 20 13,

T = ◊ =5 7

217 5,

c) AB = 26 ; AC = 74 ; BC = 6

K = + + ª6 26 74 19 7,

T = ◊ =6 5

215

SÍKBELI ALAKZATOK

167

d) AB = 82 ; AC = 37 ; BC = 3

K = + + ª3 82 37 18 14,

T = ◊ =3 1

21 5,

e) AB = 4; AC = 74 ; BC = 146

K = + + ª4 74 146 24 68,

T = ◊ =4 5

210

f) AB = 8; AC = 8 ; BC = 40

K = + + ª8 2 2 2 10 17 15,

T = ◊ =8 2

28

g) AB = 202 ; AC = 11; BC = 125

K = + + ª11 202 5 5 36 4,

T = ◊ =11 11

260 5,

GEOMETRIA

168

h) AB = 2b; AC = a b2 24+ ; BC = a

K a b a b= + + +2 42 2 ; Ta b

ab= ◊ =2

2Ez a háromszög a π 0 és b π 0 esetén derékszögû.

2537. Az ABCD négyszög mind a négy esetben téglalap.

a) AB = CD = 4; BC = AD = 5K = 18; T = 20

Az A és a B pont második koordiná-tájának a feladatban leírt változtatásá-val a téglalap egy szakasszá zsugoro-dik össze.

b) AB = CD = 4; BC = AD = 9K = 26; T = 36

A változtatással kapott A'B'CD négy-zetreA'B' = CD = 4; B'C = A'D = 4K' = 16; T' = 16

c) AB = CD = 10; BC = AD = 13K = 46; T = 130

A változtatással kapott A'B'CD tégla-lapraA'B' = CD = 10; B'C = A'D = 8K' = 36; T' = 80

SÍKBELI ALAKZATOK

169

d) A négyszög négyzet.

AB = BC = CD = DA = 3 62 2+ =

= 45 = 3 5 .

K =12 5 ª 26,83; T = ( )3 52

= 45

A változtatással kapott négyszög pa-ralelogramma, amelyre nézve

A'B' = CD = 3 5 és

B'C = A'D = 6 22 2+ = 40 = 2 10 .

Így K = 6 5 + 4 10 = ( )2 5 3 2 2+ ª

ª 26,07. Az ábrán vonalkázással jelöltháromszögek egybevágók, így

TA'B'CD = TPQCD = ( ) ( )3 5 2 5◊ ◊ ◊ =

= 30. (Felhasználtuk, hogy

QC = PD = = 2 5◊ .)

2538. A feladatnak a koordináták változtatására vonatkozó utasítása minden esetben av(-3; 4) vektorral történõ eltolást jelent, így a kapott alakzat egybevágó az eredetivel.

a) AB = 6; BC = 5; AC = 61 .

K = + ª11 61 18 81,

GEOMETRIA

170

T = ◊ =6 5

215

b) A kapott derékszögû háromszög ol-dalai

AB = 73 ; BC = 8; AC = 3.

K = + ª11 73 19 54,

T = ◊ =8 3

212

c) A kapott háromszög oldalai

AB = 9 32 2+ = 90 ;

BC = 6 22 2+ = 40 ;

AC = 9 72 2+ = 130 .A kapott adatokból látható, hogy

AB BC AC2 2 2+ = , amibõl Pitago-rasz tételének megfordítását al-kalmazva adódik, hogy a há-romszög derékszögû (ABC <) = 90∞).

K = 3 10 + 2 10 + 130 ª 27,21

SÍKBELI ALAKZATOK

171

T = ◊ =3 10 2 10

230

d) A háromszög oldalainak hossza (lásd a 2535. feladatot): AB = 17 , BC = 629,

AC = 612 . Az adatokból látható, hogy BC AC AB2 2 2= + , azaz a háromszög

derékszögû (BAC <) = 90∞). K ª 53,94; T = ◊ =17 612

251

2539. Alkalmazva a két pont távolságát megadó összefüggést és Pitagorasz tételének megfor-dítását kapjuk, hogy mind a 4 háromszög derékszögû. Ekkor viszont Thalesz tételénekmegfordításából adódóan a köréírt kör sugara az átfogó (a leghosszabb oldal) fele.

a) rAB

K T= = = ◊ ª = ª2

13

213 11 32

13

410 21, , , , ;p p

b) rAC

K T= = = ª = ª2

5 10 31 42 25 78 53, , , , ;p p

c) rAB

K T= = = ◊ ª = ª2

130

2130 35 81

65

2102 1, , , , ;p p

d) rAB

K T= = = ◊ ª = ª2

85

285 28 96

85

466 76, , , , .p p

2540. Legyen a paralelogramma negyedik csúcsa S, és a betûzés valamelyik körüljárási irány-ban PQRS. (Ezzel egyértelmûvé tettük a megoldást, a feltevés nélkül három megoldástkapnánk.)

a) S(5; -4);

PQ = RS = 7; QR = PS = 41;

K = + ª14 2 41 26 81, .A PQ oldalhoz tartozó magasságm = 5, így T = 35.

b) S(2; 4);

PQ = RS = 5; QR = PS = 8 = 2 2;

K = + ª10 4 2 15 66, ;

T = 5 ◊ 2 = 10.

GEOMETRIA

172

c) S(3; 15);

PQ = RS = 8; QR = PS = 136 =

= 2 34;

K = + ª16 4 34 39 32, ;

T = 8 ◊ 6 = 48.

d) S(-6; -4);

PQ = RS = 170; QR = PS = 4;

K = + ª8 2 170 34 08, ;

T = 4 ◊ 11 = 44.

2541. Az ABC háromszög mind a négy esetben egyenlõ szárú.

a) AB = 4, BC = AC = 53 ;

K = + ª4 2 53 18 56, ;

T = ◊ =4 7

214 .

SÍKBELI ALAKZATOK

173

b) AB = 8, BC = AC = 41 ;

K = + ª8 2 41 20 81, ;

T = ◊ =8 5

220 .

c) AB = 32 = 4 2 , BC = AC = 10 ;

K = + ª4 2 2 10 9 15, ;

T = ◊ =4 2 2

24 .

d) AB = BC = 20 = 2 5,

AC = 72 = 6 2 ;

K = + ª4 5 6 2 17 43, ;

T = ◊ =6 2 2

26 .

2542. a) D(6; 1)

AB = 5, BC = AD = 37 , CD = 3;

K = + ª8 2 37 20 17, ;

T = + ◊ =5 3

26 24 .

GEOMETRIA

174

b) D(4; -5)

AB = 8, BC = AD = 50 5 2= ,CD = 6;

K = + ª14 10 2 28 14, ;

T = + ◊ =8 6

27 49 .

c) D(7; 10)

AB = 80 , BC = AD = 50 ,

CD = 20 ;

K = + + =4 5 2 5 10 2

= + ª6 5 10 2 27 56, .A terület könnyen számolható pél-dául az ábrán látható felbontás segít-ségével.T = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 == 16 + 3,5 + 9 + 4 + 12,5 = 45

t1

t2t3

t4

t5

d) D(-9; 7)

AB = 40 , BC = AD = 10,

CD = 160 ;

K = + + =2 10 4 10 20

= + ª6 10 20 38 97, .Az ábrán látható felbontás alapjánT = t1 + t2 + t3 + t4 == 18 + 6 + 7,5 + 58,5 = 90.

t1 t2

t3t4

SÍKBELI ALAKZATOK

175

Vegyes feladatok


2544. A hegyesszögek: 15∞, 75∞. Thalesz téte-lének megfordításából adódóan AF =

= FB = FC =c

2. A háromszög külsõ

szögére vonatkozó tétel miatt CFB <) =

= 30∞. (Lásd az ábrát!) Az AFC három-szögre teljesül az elõzõ feladat feltétele,így

m TCFC c= = =2 4

.

2545. A körhöz külsõ pontból húzott érintõ-szakaszok egyenlõ hosszúak, ígyE1C = CE2 = r ;E2A = AE3;E3B = BE1.

Ezeket felhasználva

a + b = BE1 + 2r + E2A == 2r + E3B + AE3 = 2r + c.

2546. Az O pont a háromszög belsõ szögfele-zõinek metszéspontja, így DAO <) +

+ ODA <) = 1

2(DAB <) + CDA <) ) =

= 1

2◊ 180∞ = 90∞. Ebbõl pedig

AOD <) = 90∞. Hasonlóan látható be azállítás második fele is.

2547. Legyen B = 4r. A 2545. feladat alapjána + b = c + 2r, ahonnan c = a + 2r. Fel-írva a háromszögre a Pitagorasz tételét:

(a + 2r)2 = a2 + 16r2.

Ebbõl adódik, hogy a = 3r.

c

2c

2

c

2

E1

E2

E3

E1

E2

E3

GEOMETRIA

176

2548. Írjuk fel a háromszög területét kétféle-

képpen: egyrészt Tb mb= ◊

2, másrészt

T =b d◊ 1

2+

b d◊ 2

2=

bd d

2 1 2( ).+ (Lásd az

ábrát!) Ezen kifejezések egyenlõségébõladódik, hogy d1 + d2 = mb, ami adott há-romszögre valóban állandó.

2549. Az elõzõ feladathoz hasonlóan most is aterület kétféle felírásából kapjuk az állí-tást. (Lásd az ábrát!)

a m a d a d a d◊ = ◊ + ◊ + ◊ =2 2 2 2

1 2 3

=a

d d d2 1 2 3( )+ +

Ebbõld1 + d2 + d3 = m.

2550. Az AH3H2, BH1H3 és CH2H1 háromszö-gek egybevágóak, ugyanis két-két olda-luk és a közbezárt szög megegyezik, te-hát a H1H2H3 háromszög szabályos. Az

AH3H2 háromszögben AH2 = 2 ◊ AH3 és

H2AH3 <) = 60∞, így a háromszög derék-szögû. (Lásd a 2447. és 2521. feladato-kat!) Ugyanez igaz a BH1H3 és CH2H1

háromszögekre is.

2551. F1F2 a háromszög egyik középvonala,ezért F1F2 párhuzamos F3TC-vel, tehátaz F1F2F3TC négyszög trapéz. (Lásd azábrát!) F2F3 is középvonal, ezért

F FBC

2 3 2= . A BCTC háromszög derék-

szögû, ezért Thalesz tételének megfordí-

tásából adódóan BC

F TC2 1= . Eddigi

megállapításainkat összevetveF2F3 = F1TC, azaz a trapéz valóbanegyenlõ szárú.

d2d1

mb

d2

d1

d3

H3

H2

H1

TC

F1F2

F3

SÍKBELI ALAKZATOK

177

2552. A szabályos kilencszög egy belsõ szöge( )

.9 2 180

9140

- ◊ ∞ = ∞ Azábrán látható

A1A2A3A4A5 tengelyesen szimmetrikusötszögben így A5A1A2 <) = A4A5A1 <) =

= 60∞. Jelölje a a kilencszög oldalát, b alegrövidebb, c a leghosszabb átlóját, éslegyen B az A1A5 átlónak az a pontja,amelyre A5B = b. Az A1A2A4A5 négy-szög szimmetrikus trapéz, így aA2A4A5B négyszög olyan paralelogram-

ma, amelynek egyik szöge 60∞-os. Eb-bõl adódóan az A1A2B háromszög sza-

bályos, tehát valóban a = c - b.

2553. A kapott A'B'C'D' négyszög átlói aszármaztatásból adódóan egyenlõ hosz-szúak és merõlegesen felezik egymást,tehát a négyszög négyzet. Jelölje a azeredeti, a' a kapott négyzet oldalánakhosszát. Az ábrán látható A'B'BA szim-metrikus trapézban a' = a + 2m, ahol ma trapéz magassága, és Pitagorasz tételé-

bõl adódóan ma=2

. Így

a aa

a a' .= + ◊ = +22

2

Mivel az eredeti négyzet átlója, ugyan-

csak Pitagorasz tételébõl adódóan a 2 ,ezért az állítást beláttuk.

A1

A2

A3

A4

A5

GEOMETRIA

178

2554. Jelölje g a kérdéses szöget. A feltételbõladódóan az ábrán látható FBC három-szög egyenlõ szárú és

FT TBAB c= = =4 4

. Jelölje az AB oldal

F felezõpontjából az AC oldalra állítottmerõleges talppontját T'. A feltételbõladódik, hogy az FTC derékszögû há-romszög egybevágó az FT'C derékszö-

gû háromszöggel, így FT FTc= =' .4

Az AFT' derékszögû háromszögben azátfogó kétszerese az egyik befogónak,így a = 30∞. (Lásd a 2447. és 2521. fel-adatot!) Az ATC derékszögû három-

szögben 30 23

90∞ + ◊ = ∞g, ahonnan

g = 90∞.

2555. A feltétel nyilván csak úgy teljesülhet,ha FM = MC. (Lásd az ábrát!) Mivel aháromszög derékszögû, ezért AF = FC,így a = CAF <) = FCA <) . A háromszögkülsõ szögére vonatkozó tétel alapján2a = 45∞ - a, ahonnan a = 15∞, és ígyABC <) = b = 75∞.

2556. A háromszög külsõ szögére vonatkozótétel alapján az állítás nyilvánvaló.(Lásd az ábrát!)

2557. A feltételekbõl adódóan CAD <) = 14∞,így az ADC háromszög D-nél levõ külsõszögére nézve

TDA <) = 31∞ + 14∞ = 45∞.Kaptuk, hogy az ATD derékszögû há-romszög egyenlõ szárú, tehát valóbanAT = TD.

c

4

c

4

c

4

c

2

SÍKBELI ALAKZATOK

179

2558. Mivel P, Q, R és S a megfelelõ oldalakfelezõpontjai, ezért az ábrán azonosanjelölt területek megegyeznek, amibõladódik a feladat állítása.

2559. Tegyük fel, hogy a t1 = TABM, t2 = TBCM

és t3 = TCDM területek adottak. (Lásd azábrát!) Felírva a megfelelõ területeket:

tBM mA

1 2= ◊

, tBM mC

2 2= ◊

,

tDM mC

3 2= ◊

, tDM mA

4 2= ◊

.

Vegyük észre, hogy t1 ◊ t3 = t2 ◊ t4, így

tt t

t41 2

3

= ◊.

2560. Az elõzõ feladat ábráját és jelöléseit használva a feltétel:t1 + t2 = t3 + t4 és t1 + t4 = t2 + t3.

Ezeket az egyenleteket kivonva egymásból kapjuk, hogy t2 - t4 = t4 - t2 és t1 - t3 =

= t3 - t1, amibõl adódik, hogy t2 = t4 és t1 = t3. Az elõzõ feladat kapcsán kaptuk, hogy

t1 ◊ t3 = t2 ◊ t4, így mindent összevetve t1 = t2 = t3 = t4. Ez viszont azt jelenti, hogy az át-lók felezik egymást, tehát a négyszög paralelogramma.

2561. Húzzunk az adott ponton keresztül a há-romszög oldalaival párhuzamosokat.Ezek három szabályos háromszögre éshárom paralelogrammára bontják a há-romszöget. A pontból a csúcsokba hú-zott szakaszok és az oldalakra állítottmerõlegesek mindegyike „megfelez”egy paralelogrammát, illetve egy szabá-lyos háromszöget. Az ábrán azonosanjelölt területek tehát egyenlõek, ebbõlpedig adódik a feladat állítása.

2562. A téglalap elhelyezkedésére nézve két eset lehetséges.1. eset: Ekkor a téglalap kerülete (lásd a 2562/1. ábrát) 2(1 - a + a) = 2, azaz állandó,függetlenül a P pont választásától.2. eset: Ebben az esetben a téglalap kerülete Pitagorasz tétele alapján (lásd a 2562/2. áb-rát):

2 2 21

22 2 2 1 2 1a

aa a a+ ◊ - = + ◊ - = +( ) ( ).

t1 t1

t2

t2t3

t3

t4

t4

t1

t2

t3t4

mA

mC

t1 t1 t2

t2

t3

t3

t4

t4

t5

t6

t6

GEOMETRIA

180

Látható, hogy pl. a = 3

4 esetén ez a kifejezés 2-nél nagyobb értéket vesz fel, viszont a

maximumát nem veszi fel, hiszen a = 1 esetén nem kapunk téglalapot.

a 2

a 21

2

- a

1

2

- a

2562/1. ábra 2562/2. ábra

2563. Legyen a háromszög alapjának hossza1. Ekkor a téglalap kerülete (lásd az áb-rát):

4a + 2(1 - 2a) = 2.Kaptuk, hogy a téglalap kerülete állan-dó.

2564. Minden háromszögnek van legalább egy olyan szöge, amelynek nagysága 60∞-nál nemkisebb, ugyanis ellenkezõ esetben a háromszög belsõ szögeinek összege kisebb lenne

180∞-nál. Legyen a ¤ 60∞. Ekkor a másik két szög számtani közepére nézve

180

290

290

60

260

∞- = ∞- ∞- ∞ = ∞a a £ .

Kaptuk, hogy

180

260

∞- ∞a a£ £ ,

és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

2565. Ha a, b és c jelöli a háromszög oldalainak hosszát, ma és mb pedig a megfelelõ magas-

ságok, akkor a feltétel értelmében a £ ma és b £ mb. Ugyanakkor viszont ma £ b és

mb £ a bármely háromszögben. Összevetve az egyenlõtlenségeket kapjuk, hogya = b = ma = mb, azaz a háromszög egyenlõ szárú derékszögû háromszög.

2566. Lásd a 2097. feladatot! Az ottani ábra AF egyenese (és csak az) megfelel a feltételnek.A módszer konkáv négyszögre is alkalmazható.

1

2- a

SÍKBELI ALAKZATOK

181

2567. Az ABFE téglalap területének negyede aBME háromszög területe és az EFCDtéglalap területének is negyede a DMFháromszög területe. Ebbõl adódóan avonalkázott terület negyede az ABCDtéglalap területének.

2568. Az ábráról leolvasható, hogyCDE <) = 15∞.

2569. Ha a és b a két befogó hossza, c az átfogó hossza, mc pedig az átfogóhoz tartozó magas-ság hossza, akkor a feladat feltétele az a) esetben c = 2mc, a b) esetben c = 4mc.

a) A háromszög egyenlõ szárú derékszögû háromszög.

b) Lásd a 2544. feladatot! A két hegyesszög nagysága: 15∞; 75∞.

2570. Ha a háromszög szabályos, akkor beírt körének sugara harmada a magasságnak (lásd pl.a 2347. feladatot), így 3m = 3 ◊ (3r) = 9r, tehát fennáll a feladatbeli összefüggés.Az állítás megfordításának bizonyításához tegyük fel, hogy ma + mb + mc = 9r.

Elõbb belátjuk, hogy bármely pozitív x és y esetén x

y

y

x+ ¤ 2, és egyenlõség pontosan

akkor áll, ha x = y. Valóban

x

y

y

x

x y xy

xy

x y

xy+ - = + - = -

22

02 2 2( )

.¤

Jelölje T a háromszög területét. Felhasználva a 2453. feladat területképletét a feltételiegyenlet

2 2 29

2T

a

T

b

T

c

T

a b c+ + = ◊

+ +alakban írható. Ebbõl ekvivalens átalakításokkal kapjuk, hogy

( ) ,a b ca b c

+ + + +ÊËÁ

ˆ¯

=1 1 19

majd a bal oldalon elvégezve a szorzást adódik, hogy

a

b

b

a

b

c

c

b

c

a

a

c+Ê

ËÁˆ¯

+ +ÊËÁ

ˆ¯

+ +ÊËÁ

ˆ¯

= 6.

A bizonyított egyenlõség alapján ez csak a = b = c esetén teljesülhet.

GEOMETRIA

182

2571. Ha a jelöli a négyzet oldalát, akkor 8 ◊ 18 = a2, ahonnan a = 12. Egy lehetséges átdara-bolás az ábrán látható.

2572. A paralelogramma szerkesztésére nézve lásd a 2368/e) feladatot!Az átdarabolást két lépésben hajtjuk végre.1. A paralelogrammát átdaraboljuk egy olyan téglalapba, amelynek oldalai 5 cm és

6 cm hosszúak. (2572/1. ábra)2. A kapott téglalapot a kívánt háromszöggé daraboljuk át a 2572/2. ábrán látható mó-

don.

2572/1. ábra 2572/2. ábra

2573. a) b)

c) d)

SÍKBELI ALAKZATOK

183

2574. a) b)

c)

5

2

a

5

2

a

3

2

a

3

2

a a

2

a

2

2575.

2576. Azt kell csupán megmutatnunk, hogy 6, 7 illetve 8 négyzetre felbontható az eredetinégyzet, ugyanis ha k db négyzetre felbontható, akkor k + 3 darabra is a 2576/1. ábránlátható helyettesítéssel.A kívánt felbontások a 2576/2. ábrán láthatók.

2576/1. ábra 2576/2. ábra

GEOMETRIA

184

2577. A feltételekbõl adódóan a négyzet területe 100-nál kisebb négyzetszám, és mivel a tég-lalap oldalainak aránya 1 : 4, ezért a négyzet területének 4-gyel oszthatónak kell lennie.Így a négyzet oldala lehet: 2; 4; 6; 8. A kerületekre vonatkozó feltételt figyelembe vévea megfelelõ téglalapok oldalai rendre: 1 és 4; 2 és 8; 3 és 12; 4 és 16.

2578. Egy lehetséges megoldás az ábrán látható.

2579. Az állítás abból a ténybõl adódik, hogy a paralelogramma középpontosan szimmetrikusaz átlók metszéspontjára.

2580. A feladat lényegében megegyezik a 2096. feladattal, a megoldást lásd ott.

2581. Foglaljuk bele a háromszöget az ábránlátható módon egy olyan téglalapba,amelynek oldalai párhuzamosak a koor-dinátatengelyekkel és csúcsai egész ko-ordinátájú pontok. A téglalapba az ere-deti háromszögön kívül olyan derék-szögû háromszögek vannak, amelyekbefogói egész szám hosszúak. (Ha azeredeti háromszög tompaszögû, akkorelõfordulhat, hogy a derékszögû három-szögeken kívül még egy egész oldal-hosszú kisebb téglalap is fellép a fel-bontásban.) Az eredeti háromszög terü-letét úgy kapjuk meg, hogy a téglalapterületébõl levonjuk a kimaradó derék-szögû háromszögek területének össze-gét. Mivel a téglalap területe egész számés a derékszögû háromszögek területe isvagy egész szám, vagy egy egész számfele, ezért az eredeti háromszög területeis egész szám, vagy egy egész szám fe-le.

180

Geometriai transzformációk

I. Egybevágósági transzformációk

2582. a) Eltolás az y tengely mentén 2-vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -2) vektorral.)b) Tükrözés az x = 10 egyenesre.

c) A körüli -90∞-os elforgatás.

d) A feladatban A' koordinátái helyesen A'(-2; -2). Így a transzformáció origóra vo-natkozó tükrözés.

e) Az x tengelyre vonatkozó tükrözés.f) Az y tengelyre vonatkozó tükrözés.

2583. a) A'(-2; -4), B'(4; 2), C'(5; -7) b) A'(2; 4), B'(-4; -2), C'(-5; 7)

c) A'(2; -4), B'(-4; 2), C'(-5; -7) d) A'(-2; 4), B'(4; 10), C'(-5; 11)

e) A'(2; 14), B'(-4; 8), C'(5; 7) f) A'(-4; -2), B'(2; 4), C'(-7; 5)

g) A'(-2; 4), B'(4; -2), C'(-5; -3) h) A'(10; -8), B'(4; -2), C'(3; -11)

i) A'(0; 4), B'(6; -2), C'(7; 7) j) A'(-2; -1), B'(4; -7), C'(5; 2)

k) A'(4; -2), B'(10; -8), C'(11; 1)

Tengelyes tükrözés

2584. A tükörképeket az ábrán azonos számmal jelöltük.


2586. Jelöljünk ki az adott egyenesen két olyan pontot, amelyek egyenlõ távolságra vannak azadott kör középpontjától. Ezzel a távolsággal a kapott pontokból körívezve a metszés-pont a képkör középpontja lesz.

2587. A metszetként kapott síkidom paralelogramma és deltoid, tehát rombusz.

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

181

2588. Ha a jelöli az eredeti háromszög oldalá-

nak hosszát, akkor a metszet egy a

2 ol-

dalú, 60∞-os szöget tartalmazó rombusz,míg az egyesítés egy konkáv hatszög.(Lásd az ábrát!) A 2446. feladat alapjána metszet kerülete

ka

a= ◊ =42

2 ,

területe

t

aa= ◊

ÊËÁ

ˆ¯

=22

3

4

3

8

2

2

.

Az egyesítésként kapott konkáv hatszög kerülete

K = 4a = 2k

területe

Ta a

t= ◊ = =3

2

3

4

3 3

83

2 2

.

a) k t K T= = ◊ ª = = ◊ ª69 3

81 95 12

27 3

85 85 cm, cm cm cm, cm cm2 2 2 2, , , ;

b) k t K T= = ◊ ª = = ◊ ª1025 3

85 41 20

75 3

816 24 cm, cm cm cm, cm cm2 2 2 2, , , ;

c) k = 120 mm, t = ◊ ª450 3 779 42 mm mm2 2, , K = 240 mm,

T = ◊ ª1350 3 2338 27 mm mm2 2, ;

d) k = 1,5 dm, t = ◊ ª0 5625 3

80 122

,, , dm dm2 2 K = 3 dm,

T = ◊ ª1 6875 3

80 366

,, . dm dm2 2

2589. Az egyesítésként kapott síkidom egy rombusz, amelynek belsõ szögei 60∞ és 120∞, ol-dalának hossza pedig megegyezik az eredeti háromszög oldalának hosszával. Ha a je-löli a szabályos háromszög oldalának hosszát, akkor

K = 4a, Ta=

2 3

2. (Lásd a 2446. feladatot!)

a) K T= = ◊ ª129 3

27 8 cm, cm cm2 2, ;

b) K T= = ◊ ª16 8 3 13 86 cm, cm cm2 2, ;

c) K T= = ◊ ª200 1250 3 216 5 mm, mm mm2 2, ;

d) K T= = ◊ ª2 6 0 21125 3 0 366, , , . dm, dm dm2 2

a2

a2

a2

GEOMETRIA

182

2590. Az egyesítésként kapott síkidom egy tompaszögû egyenlõ szárú háromszög, amelynekszárai 5 cm hosszúak, alapja pedig 8 cm.

K = 18 cm, T = ◊ =8 3

212 cm cm2 2 .

2591. Az eredeti háromszög hegyesszögû, így az egyesítésként kapott síkidom mindkét eset-ben konvex deltoid lesz.a) K = 26 cm; b) K = 22 cm.

2592. Az egyesítésként kapott síkidom szimmetrikus trapéz, amelynek alapjai 8 cm és 12 cmhosszúak, magassága 5 cm, szárának hossza pedig Pitagorasz tétele alapján

5 22 2+ ª cm = 29 cm 5,385 cm.

K ª 30,77 cm, T = 50 cm2.

2593. A két kör középpontját összekötõ szakasz felezõmerõlegese lesz a tükrözés tengelye.

2594. Az egyesített terület mindhárom esetben a trapéz területének kétszerese, így a 2474. fel-

adat alapján T = ◊ ◊ ◊ ª23 16 3

441 57 cm cm2 2, .

a) Az egyesítésként kapott síkidomszabályos hatszög, amelynek oldala4 cm hosszú. A szabályos hatszög-nek 6 szimmetriatengelye van.K = 24 cm.

b) Az egyesítésként kapott síkidom egykonkáv hatszög (lásd a 2588. felada-tot). Ennek a hatszögnek 2 szimmet-riatengelye van. K = 32 cm.

c) Az egyesítésként kapott síkidom azábrán látható konkáv hatszög,amelynek 1 szimmetriatengelye van.K = 32 cm.

2595. Az a egyenes t-re vonatkozó a' tükörké-pének és a b egyenesnek a közös pontjalesz az alap egyik végpontja. A kapottpont t-re vonatkozó tükörképe az alapmásik végpontja. Ha a' és b párhuzamo-sak, akkor nincs megoldás, ha egy kö-zös pontjuk van akkor a megoldás egy-értelmû, ha egybeesnek, akkor végtelensok megfelelõ háromszöget kapunk.

2596. f a háromszögnek szimmetriatengelye,így az A és a B csúcs az elõzõ feladatkapcsán leírt módon szerkeszthetõ. A Ccsúcs a tengelynek az a pontja, amelyreAC = CB = AB.


183

2597. A szabályos háromszögben a magasság-vonal szimmetriatengely, ezért a három-szög egyik csúcsa a k1 m-re vonatkozók1' tükörképének és k2-nek a közöspontjaként adódik. (Lásd az ábrát!) Akapott pont m-re vonatkozó tükörképe iscsúcsa a háromszögnek, a harmadikcsúcs pedig m pontja úgy, hogy a hárompont páronkénti távolságai megegyez-nek.A nem egybevágó megoldások számaattól függ, hogy k1'-nek és k2-nek hányközös pontja van. (Ha az O1O2 egyenesmerõleges m-re, akkor különbözõ közöspontokból kiindulva is egybevágó meg-oldásokat kapunk.)

2598. A képpont a másik szögszáron lesz a tengelyes tükrözés tulajdonságaiból adódóan.

2599. Ha P az AB oldalon van és az A-ból ki-induló belsõ szögfelezõ egyenesére tük-rözünk elõször, akkor P' az AC egye-nesre illeszkedik. (Lásd az ábrát!)A három tükrözés végrehajtása után ka-pott P''' pont az AB egyenesre illesz-kedik.Megjegyzés: Ábránkon mindhárom kép-pont a háromszög valamelyik oldalánakbelsõ pontja, viszont az nem szükség-szerû. Felvehetõ úgy a kiinduló P pont,hogy a képpontok ne illeszkedjenekmind a háromszög oldalaira.

2600. Az elõzõ két feladat alapján A-nak az fegyenesre vonatkozó A' tükörképe il-leszkedik a BC oldal egyenesére. Ebbõladódóan az A'B egyenes metszi ki a Ccsúcsot az f egyenesbõl. Ha A'B párhu-zamos f-fel, akkor nincs megoldás, el-lenkezõ esetben a megoldás egyértelmû.

A1

A2B2

B1

O1O1'

O2

C2

C1

k1 k1'

k2

GEOMETRIA

184

2601. Az ABCC' szimmetrikus trapézbanABC <) = C'AB <) = b és CAB <) =

= ACC' <) = a. (Lásd az ábrát!)

Ebbõl

C'AC <) = C'AB <) - CAB <) =

= b - a.

Az ACC' háromszögben tehát

AC = b, AC' = a ésC'AC <) = b - a.

2602. Az elõzõ feladat alapján az ACC' háromszög (lásd az elõzõ feladat ábráját) szerkeszt-hetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. Az A pontnak a CC' szakasz felezõ-merõlegesére vonatkozó tükörképe lesz a szerkesztendõ háromszög B csúcsa.

2603. Az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése szabályos háromszög, így az ere-deti derékszögû háromszög rövidebb befogója fele olyan hosszú, mint az átfogó. (Lásdmég a 2447. és 2543. feladatokat!)

2604. A k1 kör t-re vonatkozó k1' tükörképé-nek és a k2 körnek a metszéspontjailesznek a trapéz egyik szárának vég-pontjai. (Lásd az ábrát!) Ezeknek a met-széspontoknak a t-re vonatkozó tükör-képei a másik szár végpontjai.Ha k1'-nek és k2-nek legfeljebb egy kö-zös pontja van, akkor nincs megoldás.Nem kapunk trapézt akkor sem, ha ametszéspontok által meghatározottegyenes merõleges t-re. Ha k1 és k2 egy-más t-re vonatkozó tükörképei, akkorvégtelen sok megoldást kapunk. Ha azeddig felsoroltak egyike sem teljesül,akkor a megoldás egyértelmû.

2605. Az a egyenes BD egyenesére vonatkozóa' tükörképének és c-nek a metszés-pontja a deltoid harmadik csúcsa.A metszéspontnak a BD egyenesre vo-natkozó tükörképe a negyedik csúcs. Amegoldások száma attól függ, hogy a'-nek és c-nek hány közös pontja van.

O1

O1'

O2k1

k1'

k2


185

2606. A k1 kör BD egyenesére vonatkozó k1'tükörképének és k2-nek a közös pont-ja(i) a deltoid harmadik csúcsa(i).A metszéspontként kapott csúcsnak aBD egyenesre vonatkozó tükörképe adeltoid negyedik csúcsa. A szerkeszthe-tõség feltételeinek és a megoldások szá-mának vizsgálatára nézve lásd a 2597.feladatot.

2607. Az a egyenes t-re vonatkozó a' tükörké-pének és b-nek közös pontja a rombuszC csúcsa. (Lásd az ábrát!) C-nek t-revonatkozó tükörképe az A csúcs. D atengelynek az a pontja, amelyre nézveAB = AD. A megoldások száma attólfügg, hogy a'-nek és b-nek hány közöspontja van.

2608. A k1 kör t-re vonatkozó k1' tükörképé-nek és a k2 körnek közös pontja lesz arombusz C csúcsa. (Lásd az ábrát!) AzA csúcs C-nek t-re vonatkozó tükörké-pe. A B csúcs a t tengely azon pontja,amelyre

CD = CB = AB = AD.A szerkeszthetõség feltételeinek és amegoldások számának vizsgálatára néz-ve lásd a 2597. feladatot.

2609. A négyzet A csúcsa (lásd az ábrát) az aegyenes t-re vonatkozó a' tükörképénekés a k körnek közös pontja. A-nak t-revonatkozó tükörképe a C csúcs. A B ésa D csúcsot az AC szakasz mint átmérõfölé szerkesztett Thalesz kör metszi ki t-bõl.A feladatnak attól függõen van 0, 1vagy 2 megoldása, hogy a'-nek és k-nakhány közös pontja van. (Két egybevágómegoldást kapunk, ha a párhuzamos t-vel és a'-nek két közös pontja van k-val.)

O1O1'

O2k1

k1'

k2

A1A2

C2C1

O1O1'

O2

k1k1'

k2

A1 A2C2

C1

B1

B2

A1

A2

C2

C1

B1

B2

D2

D1

GEOMETRIA

186

2610. a) A rombusz egyik oldala adott, így azt tükrözve a két szimmetriatengelyre és a ten-gelyek metszéspontjára kapjuk a többi oldalt.

b) A szimmetriatengelyek felezik a rombusz szögeit, így a 2598. feladat alapján azegyik pontnak a megfelelõ tengelyre vonatkozó tükörképével megkapjuk az egyikoldalt, innen pedig az a) pont alapján dolgozhatunk.

2611. Az adott pontot tükrözzük az adott egyenesekre. A kapott képpontok lesznek a három-szög hiányzó csúcsai.

2612. A szerkesztés az ábráról leolvasható.A tengelyes tükrözés megõrzi a szögeknagyságát, így a jelzett szögek egyen-lõek. Ez pedig azt jelenti, hogy teljesül avisszaverõdés törvénye.

2613. A b) pontban nyilván az AB szakasz és emetszéspontja lesz a keresett T pont.a) A szerkesztés az ábráról leolvasható.

AT + TB valóban minimális, hiszen aháromszög-egyenlõtlenség alapjánAT + TB = AT + TB' = AB' < AP ++ PB' = AP + PB az e egyenes bár-mely T-tõl különbözõ P pontjára.

2614. A szerkesztés az ábráról leolvasható. Azelõzõ feladat alapján könnyen igazolha-tó, hogy AT1 + T1T2 + T2A valóban mi-nimális.

2615. A szerkesztés az ábráról leolvasható.AT1 + T1T2 + T2B minimalitása a 2613.feladat alapján könnyen igazolható.

2616. a) A'(-2; -5), B'(6; 2), C'(4; -3), D'(6; -8)

b) A'(2; 5), B'(-6; -2), C'(-4; 3), D'(-6; 8)c) A csúcspontok koordinátái felcserélõdnek.

A'(5; -2), B'(-2; 6), C'(3; 4), D'(8; 6)

T1

T2

T1

T2


187

d) A koordináták felcserélõdnek és elõjelet váltanak.A'(-5; 2), B'(2; -6), C'(-3; -4), D'(-8; -6)

e) A'(-2; 3), B'(6; 10), C'(4; 5), D'(6; 0)f) A'(-4; 5), B'(-12; -2), C'(-10; 3), D'(-12; 8)

2617. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) igaz f) hamisg) igaz h) igaz i) igaz j) hamis k) hamis l) igazm) hamis n) igaz o) igaz p) igaz q) hamis r) igaz

2618. Ha a háromszögnek van két szimmetriatengelye, akkor oldalai egyenlõ hosszúak. Aszabályos háromszögnek viszont három szimmetriatengelye van.

2619. Ha egy négyszögnek van két szimmetriatengelye, akkor téglalap vagy rombusz.A téglalap harmadik szimmetriatengelyének illeszkednie kell két szemközti csúcsra, vi-szont ez csak úgy lehetséges, ha a szomszédos oldalak egyenlõ hosszúak, azaz a tégla-lap négyzet.A rombusz harmaik szimmetriatengelyének merõlegesen feleznie kell két szemközti ol-dalt, ami csak úgy lehetséges, ha a rombusz minden szöge derékszög, azaz a rombusznégyzet.A négyzetnek négy szimmetriatengelye van.

2620. Igen van. Például kör, egyenes, félsík.

2621. Ha a sokszögnek van két szimmetria-tengelye, akkor azok metszik egymást asokszög belsejében. Ez következik ab-ból a ténybõl, hogy mindkét szimmet-riatengely két egyenlõ területû részreosztja a sokszöget.Tegyük fel, hogy a sokszögnek van há-rom szimmetriatengelye, és ezek az ál-lítással ellentétben páronként különbözõpontokban metszik egymást. Ekkor ahárom metszéspont a sokszög belse-jében egy háromszöget határoz meg.Jelöle t1, t2 és t3 a három tengelyt (lásdaz ábrát), és legyen P az általuk meghatározott háromszög egy belsõ pontja. Legyen A asokszög P-tõl legtávolabbi (vagy egyik legtávolabbi) csúcsa. P és A valamelyik ten-gelynek ugyanazon az oldalán van (az ábrán ez pl. a t2 tengely), így az A csúcsnak errea tengelyre vonatkozó A' tükörképére (ami szintén csúcsa a sokszögnek) nézve

A'P = A'T + TP = AT + TP > AP,

ami azt jelenti, hogy A' távolabb van P-tõl, mint A. Ez viszont ellentmond az A válasz-tásának, és ez az ellentmondás csak úgy oldható fel, ha igaz a feladat állítása.

t1

t2

t3

GEOMETRIA

188

2622. A tükrözések következtében az eredetiháromszög csúcsaiban három egybevá-gó szögtartomány találkozik az ábránlátható módon. A feltétel szerint ezekösszege mindhárom csúcsnál 180∞, amicsak úgy lehetséges, ha az eredeti há-romszög minden szöge 60∞-os, tehát aháromszög szabályos.

2623. a) Lásd a 2612. feladatot!b) A szerkesztés a 2623/1. ábráról leolvasható.

A1

B1

2623/1. ábra

B1

B2B3

R1

R2 S2

Q1

S3

P3

2623/2. ábra

c) A szerkesztés a 2623/2. ábrán látható. Itt is az volt a célunk, hogy a golyó útját„kiegyenesítsük”. Ennek érdekében, figyelembe véve az elõírt ütközések sorrendjét,tükrözésekkel elõállítottunk három „látszólagos” biliárdasztalt és mindegyikben je-löltük a B golyó megfelelõ tükörképét. Az ábra jelöléseit használva a tükrözéseksorrendje:

1. PS egyenesre Æ PSR1Q1; B1

2. PQ1 egyenesre Æ PQ1R2S2; B2

3. R2Q1 egyenesre Æ P3S3R2Q1; B3.

Az AB3 szakasz a golyó útjának „kiegyenesített” megfelelõje. Ezen szakasz és PS Kmetszéspontja az elsõ ütközési pont. Az AB3 és a PQ1 szakasz metszéspontjának õs-képe a PQ oldalon a második ütközési pont, míg az AB3 és a Q1R2 szakasz metszés-


189

pontjának õsképe a QR oldalon a harmadik ütközési pont, M.A tengelyes tükrözés megõrzi a szögek nagyságát, így az ábrán azonosan jelölt szö-gek egyenlõek, amibõl adódóan a szerkesztett út megfelel a visszaverõdés törvényé-nek.Ha az AB3 szakasz illeszkedik a P1 vagy a Q1 pontra, akkor nincs megfelelõ út.

d) A szerkesztés az elõzõ pontban leírtakhoz hasonlóan történik, csak itt még egy„látszólagos” biliárdasztalt fel kell venni, nevezetesen a 2623/2. ábra P3S3R2Q1 tég-lalapját kell tükrözni az S3R2 egyenesre.

2624. A harmadik oldalra mindkét esetben merõlegesen érkezik a golyó.

a) A 2624/1. ábra alapján 3

290

a a+ = ∞ , ahonnan a = 36∞.

b) A 2624/2. ábra alapján a = 45∞.

3

2

a

a2

902

∞- a

90∞-a

2624/1. ábra 2624/2. ábra

Középpontos tükrözés



2627. A kapott síkidom paralelogramma.

2628. A tükrözés középpontja a szakaszok végpontjai által meghatározott paralelogrammaátlóinak metszéspontja.

2629. a) A közös rész egy szabályos hatszög,

amelynek oldala 4

3 cm hosszú.

k t= = ◊

ÊËÁ

ˆ¯

◊=8 6

4

33

4

2

cm, cm2

= ◊ ª8 3

34 62 cm cm2 2, .

(Lásd a 2487. feladatot!)

GEOMETRIA

190

b) Az egyesítés egy konkáv tizenkétszög (hatágú csillag), amelynek oldala szintén4

3 cm hosszú. K = 16 cm, és az ábráról leolvasható, hogy a terület a metszet terü-

letének kétszerese, azaz T = 2t ª 9,24 cm2.

2630. Az egyesítésként kapott síkidom egy olyan 4 cm oldalhosszúságú rombusz, amelynek

van 60∞-os szöge. K = 16 cm és a 2446. feladat alapján T = 24 3

4

2

◊ ◊ cm2 =

= 8 3◊ cm2 ª 13,85 cm2.

2631. Pitagorasz tételének megfordításából adódóan a háromszög derékszögû, így az egyesí-tésként kapott négyszög téglalap. K = 14 cm, T = 12 cm2.

2632. Az egyesítésként kapott síkidom paralelogramma.

2633. Az a egyenes P-re vonatkozó tükörképemetszi ki az egyik (B) pontot a b egye-nesbõl. Az a egyenes megfelelõ pontja(A) a B P-re vonatkozó tükörképe. Haa'-nek és b-nek nincs közös pontja, ak-kor nincs megfelelõ pontpár.

2634. Az egyik szögszár egyenesének P-revonatkozó tükörképe metszi ki a másikszögszárból a szerkesztendõ egyenesegy P-tõl különbözõ pontját. Az FPegyenes valóban megfelel, ugyanis aközéppontos tükrözésbõl adódóanFP = PE. (Lásd az ábrát!) Mindig vanmegoldás, és az egyértelmû.

2635. Az elõzõ feladatban kapott EF szakasz fölé szerkesztett Thalesz-körbõl EF felezõme-rõlegese metszi ki a négyzet hiányzó csúcsait. (Lásd a 2386/b) feladatot!)


191

2636. A két kör középpontosan szimmetrikusaz O1O2 szakasz F felezõpontjára, éstengelyesen szimmetrikus az M1M2

egyenesre, így O1O2 és M1M2 merõlege-sen felezik egymást. Az ábra jelöléseithasználva, mivel M1 és M2 F-re nézveegymás tükörképei, ezért az A1B2 és aB1A2 párhuzamos egyenesek is egymástükörképei. A két kör és a két szelõszimmetrikus elhelyezkedésébõl adódó-an A1 F-re vonatkozó tükörképe A2 ésB1 F-re vonatkozó tükörképe B2. Ezekalapján az A1M2A2M1 és B1M2B2M1

négyszögek paralelogrammák, hiszenátlóik felezik egymást, tehát az azono-san jelölt szakaszok valóban egyenlõhosszúak.

2637. Az A pont M-re vonatkozó tükörképe B,így valóban AM = MB.


2639. A k1 kör P-re vonatkozó k1' tükörképé-nek és k2-nek a P-hez közelebbi közöspontja legyen A'. (Lásd az ábrát!) A'-nek a P-re vonatkozó tükörképe a k1 körA pontja. A középpontos tükrözés tulaj-donságaiból adódóan az AA' egyenesmegfelel a feltételnek, ugyanisAP = PA'.A feltételnek megfelelõ közös szelõ lé-tezéséhez szükséges, hogy k1'-nek és k2-nek legyen közös pontja.

A1

A2B1

B2

M2

M1

O1 O2

O2

O1

k1

k1'

k2

O1'

O1

O1'

O2

k1

k2

k1'

GEOMETRIA

192

2640. Jelöljük ki a belsõ kör egy tetszõleges Ppontját és tükrözzük a kört erre a pont-jára. (Lásd az ábrát!) Ha A' jelöli a kül-sõ kör és a képkör egyik közös pontját,akkor az A'P egyenes megfelel, ugyanisa tükrözésbõl adódóan AP = PA', ahol Aaz A' pont õse. P-t tetszõlegesen válasz-tottuk, így a feladatnak végtelen sokmegoldása van.

2641. Alkalmazzuk a 2633. feladat módszerét a négyszög szemközti oldalegyeneseire. Az ígykapott négy pont által meghatározott négyszög átlói P-ben felezik egymást.

2642. Az ábrán látható CC'B háromszög szer-keszthetõ, hiszen adottak oldalai (a, b,2sc). A CC' oldal F felezõpontjára tük-rözve B-t, kapjuk a háromszög A csú-csát. Az adatokra fenn kell állnia aza + b > 2sc egyenlõtlenségnek, így az a)és a d) esetben nincs megoldás.

2643. A CC'B háromszög szerkeszthetõ (lásdaz ábrát), ugyanis adott két oldala (a,2sc) és a nagyobbikkal szemközti szög

(180∞ - g). Az A csúcs B-nek a CC' ol-dal felezõpontjára vonatkozó tükörképe.A szögek szerkesztésére nézve lásd a2144. és 2145. feladatokat!

2644. Az ábrán látható BCB' háromszög szer-keszthetõ, hiszen adott két oldala (a,2sb) és az egyikhez tartozó magasság(ma). (Lásd a 2357/d) feladatot!) C-neka BB' oldal F felezõpontjára vonatkozótükörképe az A csúcs.

k1'k2

k1

sc sc

sc sc

sb sb

ma


193

2645. a) A 2645/1. ábrán látható BCB' há-romszög szerkeszthetõ két oldalából(a, 2sb) és a harmadik oldalhoz tarto-zó magasságból (mc).

1. Ha mc = a < 2sb, akkor az ABCháromszög derékszögû (b az át-

fogó), és így sb

b =2

. (Lásd a

2348/b) feladatot!)

2. Tegyük fel, hogy mc < a és mc < 2sb (mc > a és mc ¤ 2sb esetén nincs megoldás.)A 2sb hosszúságú BB' szakasz fölé szerkesztett Thalesz-körbõl a B középpontú,mc sugarú kör kimetszi a T pontot. (Lásd a 2645/1. ábrát!) A B'T egyenesbõl a Bközéppontú, a sugarú kör kimetszi a C csúcsot. (C-re most két lehetõségünk van,az ábra csak az egyiket tünteti fel.) C-nek a BB' szakasz F felezõpontjára vonat-kozó tükörképe az A csúcs.

Az 1. esetben kapott megoldás egyértelmû, a 2. esetben két nem egybevágó megol-dást kapunk.

b) Lásd a 2642. feladatot! Egyértelmû megoldást kapunk, ha a + c > 2sb.

c) Lásd a 2643. feladatot! 2sb ¤ a esetén a megoldás egyértelmû. Ha 2sb < a, akkor kétnem egybevágó megoldást kapunk.

d) Lásd a 2644. feladatot! Ha 2sb ¤ mc, akkor amegoldás egyértelmû, ellenkezõ eset-ben nincs megoldás.

e) A háromszög súlypontja 2 : 1 arány-ban osztja a súlyvonalakat, így2645/2. ábrán látható SCS' három-

szög oldalai 2

3sa ,

2

3sb ,

2

3sc . (S'

az S súlypontnak az AC oldal Fb fe-lezõpontjára vonatkozó tükörképe.)Az SCS' háromszög tehát szerkeszt-hetõ, és így szerkeszthetõk ezen há-romszög súlyvonalai is, amelyek

hossza éppen a

2,

b

2,

c

2.

A feladatnak egyértelmû megoldásavan, ha sa + sb > sc és sa + sc > sb.Az adott súlyvonalak harmadolásáranézve lásd a 2760/a) feladatot!

sb sb

mc

mc

2645/1. ábra

sa sb

Fb

Fa

Fc

2

3sa

sb

3 sb

3

b

2 2

3

sc

2645/2. ábra

GEOMETRIA

194

2646. a) Ha a trapézt egyesítjük a BC oldal Ffelezõpontjára vonatkozó tükörképé-vel, akkor egy olyan paralelogram-mát kapunk, amelynek oldalai a + cés d, az a + c hosszúságú oldalhoztartozó magassága pedig m (lásd azábrát). Ezekbõl az adatokból a para-

lelogramma d ¤ m esetén egyértel-mûen szerkeszthetõ a 2368/f) feladatalapján. A kapott paralelogrammaátlóinak metszéspontja F, ahonnanb

2-vel körívezve megkapjuk a tra-

péz B és C csúcsát. (b ¤ m eseténvan csak megoldás és az egyértel-mû.)

b) Az ábrán látható AD'A'D paralelogramma szerkeszthetõ egyik oldalából (a + c), ahozzá tartozó magasságból (m) és egyik szögébõl (a). (Lásd a 2368/c) feladatot!) AzAD' oldalra, az ábrának megfelelõen felvett b szög szárát toljuk el úgy, hogy illesz-kedjen a paralelogramma átlóinak F metszéspontjára. A megoldás egyértelmû.

c) Az ábrán látható AD'C háromszögnek adott három oldala, így szerkeszthetõ, hae + f > a + c. C-bõl b-vel körívezve az AD' szakaszon kijelölhetõ a B pont. D'-t aBC szakasz felezõpontjára tükrözve kapjuk a D csúcsot. A megoldás egyértelmû.

d) Az ábrán látható AD'C háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (e, f) és aközbezárt szög (180∞ - d). A-ból az ábrának megfelelõen a-t felmérve kapjuk azAD' szakaszon a B csúcsot. Az AD'-vel párhzamos, C-re illeszkedõ egyenesre azábrának megfelelõen C-bõl felmérve az AD' - a = c hosszúságú szakaszt adódik a Dcsúcs. Ha B az AD' szakasz belsõ pontja, akkor a megoldás egyértelmû.

e) Az ábra AD'C háromszöge szerkeszthetõ, így szerkeszthetõ az AD' = a + c szakaszis. a + c és a - c tehát adott, amibõl a 2135. feladat alapján a szerkeszthetõ. Innenlásd az elõzõ pontot!

2647. A háromszög oldalainak felezõpontjai átal meghatározott egyenesek (és csak ezek)megfelelnek. Három ilyen egyenes van.

2648. Mivel F1 és F2 felezõpontok, ezért azABF1F2 négyszögben az AF2 és BF1 ol-dalak párhuzamosak és egyenlõ hosz-szúak. Ebbõl viszont adódik, hogy azABF1F2 négyszög paralelogramma, ígyAB párhuzamos és egyenlõ hosszúF1F2-vel.

F1F2


195

2649. Az állítást az FaFb középvonalra látjukbe, a többire hasonlóan megy. Tükröz-zük a háromszöget a BC oldal Fa felezõ-pontjára. A kapott ABA'C négyszög pa-ralelogramma, amelyben az A'B oldalFb' felezõpontja az Fb képe. Az elõzõfeladat alapján FbFb' = AB és párhuza-

mosak, tehát valóban F FAB

a b =2

és

párhuzamosak.

2650. Az ábrán látható ACD háromszögbenF3F4 középvonal, így az elõzõ feladatalapján F3F4 párhuzamos az AC átlóval

és F FAC

3 4 2= . Ugyanez mondható el

az ABC háromszög F1F2 középvonalá-ról is, ezért F1F2 párhuzamos és egyenlõhosszú F3F4-gyel, amibõl adódóan azF1F2F3F4 négyszög paralelogramma.

2651. Lásd az elõzõ feladatot!a) A négyszög átlói egyenlõ hosszúak.b) A négyszög átlói merõlegesek egymásra.c) A négyszög átlói egyenlõ hosszúak és merõlegesek egymásra.

2652. A négy középpontos tükrözés végrehaj-tása után visszajutunk az eredeti pontba.(P4 = P, lásd az ábrát!) Ez a 2649. és a2650. feladat alapján abból adódik,hogy a PP2 és P2P4 szakaszok párhuza-mosak és egyenlõ hosszúak, és mivelegyik végpontjuk közös, ezért egybe-esnek.

FaFb Fb'

F2

F1

F3

F4

P P= 4

P1

P2

P3

GEOMETRIA

196

2653. Az ábra ABC és A2B2C2 háromszögeiegymás középpontos tükörképei a merõ-leges egyenesek M metszéspontjáranézve.Két egymásra merõleges tengelyre vo-natkozó tükrözés egymásutánja a met-széspontjukra vonatkozó középpontostükrözés.

2654. A tengelyek merõlegességébõl adódóanaz ábrán látható PP1P2 háromszög de-rékszögû, és mivel PM = P1M = P2M,ezért Thalesz tételének megfordításábóladódóan M a PP2 szakasz felezõpontja.

2655. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) igaz f) hamis g) igaz h) igaz i) hamis j) igaz k) hamis l) hamism) igaz n) igaz o) igaz p) igaz q) igaz

2656. a) A'(-2; -7), B'(4; -5), C'(1; 4) b) A'(-2; -5), B'(4; -3), C'(1; 6)

c) A'(0; 1), B'(6; 3), C'(3; 12) d) A'(-4; -13), B'(2; -11), C'(-1; -2)

e) A'(-10; 3), B'(-4; 5), C'(-7; 14) f) A'(-4; 5), B'(2; 7), C'(-1; 16)

g) A' ; ,- -ÊËÁ

ˆ¯

453

B' ; ,213

ÊËÁ

ˆ¯

C' ;-ÊËÁ

ˆ¯

1283

Ha a P(x; y) pontnak az O(a; b) pontra vonatkozó tükörképe P1(x1; y1), akkor O felezi aPP1 szakaszt, amibõl adódóan

ax x= + 1

2 és b

y y= + 1

2.

A fenti két kifejezésbõl a P1 pont koordinátái:

x1 = 2a - x és y1 = 2b - y.

2657. A(-2; 5), B(2; 2), C(5; 7), D(2; 9), E(0; 9)A'(-2; -5), B'(2; -2), C'(5; -7), D'(2; -9), E'(0; -9)A''(2; -5), B''(-2; -2), C''(-5; -7), D''(-2; -9), E''(0; -9)A két tengelyes tükrözés egymásutánja az origóra vonatkozó középpontos tükrözés.(Mindkét koordináta elõjelet vált.)Lásd még a 2653. és 2654. feladatokat!

t1

t2

A2

A1B1

B2

C2

C1

t1

t2

P1

P2


197

2658. Mindegyik esetben két megfelelõ négyzet teljesíti a feltételt.Ha a csúcspontok koordinátái abszolútértékének összege S, akkor a megfelelõ négyze-tek csúcsainak koordinátái:

1.S

40; ,

ÊËÁ

ˆ¯

04

; ,SÊ

ËÁˆ¯

-ÊËÁ

ˆ¯

S

40; , 0

4; -Ê

ËÁˆ¯

S

2.S S

8 8; ,

ÊËÁ

ˆ¯

-ÊËÁ

ˆ¯

S S

8 8; , - -Ê

ËÁˆ¯

S S

8 8; ,

S S

8 8; -Ê

ËÁˆ¯

a) (2; 0), (0; 2), (-2; 0), (0; -2) b) (4; 0), (0; 4), (-4; 0), (0; -4)(1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1) (2; 2), (-2; 2), (-2; -2), (2; -2)

c) (6; 0), (0; 6), (-6; 0), (0; -6) d) (12; 0), (0; 12), (-12; 0), (0; -12) (3; 3), (-3; 3), (-3; -3), (3; -3) (6; 6), (-6; 6), (-6; -6), (6; -6)

e) (16; 0), (0; 16), (-16; 0), (0; -16)(8; 8), (-8; 8), (-8; -8), (8; -8)

2659. Aladár Berci lépéseitõl függetlenül mindkét esetben megnyerheti a játékot. A nyerõstratégia a következõ:1. lépés: Aladár az asztal szimmetriaközéppontjába teszi az elsõ zsetont.További lépések: Aladár Berci utoljára letett zsetonjának a középpontra vonatkozó tü-körképét lépi, azaz úgy teszi le a zsetonját, hogy a Berci és az õ zsetonja által meghatá-rozott szakasz felezõpontja az asztal szimmetriaközéppontja legyen.

2660. A középpontosan szimmetrikusan elhelyezkedõ párok: b - c; c - e; c - f.

2661. Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, ezért a 2633. és a 2639. feladat eljárásátkell kétszer alkalmazni.Megoldást akkor kapunk, ha az átlók metszéspontjára vonatkozó tükrözések után létre-jönnek a megfelelõ metszéspontok. Az a) esetben a megoldás (ha van) egyértelmû, a b) esetben legfeljebb négy nem egy-bevágó megoldást kaphatunk.

2662. Vegyük fel az F pontot az AB szakaszonúgy, hogy DF párhuzamos legyen BC-vel. (Lásd az ábrát!) Mivel AC = BC,ezért AD = DF. Az EBDF négyszög kétszemközti oldala (BE és DF) párhuza-mos és egyenlõ, így a négyszög parale-logramma. A paralelogramma átlói fele-zik egymást, tehát DM = ME.

Pont körüli elforgatás

2663. Alapszerkesztések. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

GEOMETRIA

198




2667. a) Az egyesített síkidom egy olyanrombusz, amelynek van 60∞ nagysá-gú belsõ szöge. Lásd a 2589. felada-tot!

b) Az egyesített síkidom egy konkávtizenkétszög (hatágú csillag), amely-

nek mindegyik oldala 4

3 cm hosz-

szú. Lásd a 2629/b) feladatot!

2668. Az erdeti háromszög Pitagorasz tételé-nek megfordítása értelmében derékszö-gû.a) Az egyesített síkidom az ábrán lát-

ható konkáv négyszög. K = 18 cm,T = 12 cm2.

b) Lásd az elõzõ pontot!

4

3 cm


199

2669. a) A közös rész egy deltoid (a 2669/1. áb-rán A'BCM), amelynek szögei: 45∞, 90∞,90∞, 135∞; oldalainak hoszsza pe-dig: A'B = BC = 4 cm, A'M = MC =

= ( )4 2 4- cm ª 1,65 cm. k ª 11,31 cm,

t = ( )4 4 2 4◊ - cm2 ª 6,63 cm2.

Az egyesítés egy tengelyesenszimmetrikus konkáv hatszög(a 2669/1. ábrán ABC'D'MD), amely-nek négy oldala 4 cm, két oldala pe-

dig ( )( )4 4 2 4- - cm = ( )8 4 2- cm

hosszú. A belsõ szögek között négy de-rékszög van, egy szög 135∞-os, egy pe-dig 225∞-os.

K = 4 ◊ 4 cm + ( )2 8 4 2◊ - cm =

( )32 8 2- cm ª 20,7 cm. Az egyesített

terület megkapható, ha a két négyzet te-rületének összegébõl levonjuk azily módon kétszer számolt közösrész területét, tehát T = 32 cm2 - t ªª 25,37 cm2.

b) A közös rész egy szabályos nyolcszög,az egyesítés pedig egy egyenlõ oldalúkonkáv tizenhatszög (nyolcágú csillag).Határozzuk meg mindkét síkidom ol-dalának hosszát. Jelölje a 2669/2. ábránlátható AP szakasz hosszát a. Ekkor

2 2 4a a+ = cm,

ahonnan

a =+

ª4

2 2 cm 1,17 cm.

Tehát az egyesített síkidom oldalának

hossza a ª 1,17 cm, a közös rész oldalának hossza pedig a 2 1 65= , cm. Így a kö-

zös rész kerülete: k ª 8 ◊ 1,65 cm = 13,2 cm, az egyesítés kerülete pedigK ª 16 ◊ 1,17 cm = 18,72 cm. A közös rész területét megkapjuk, ha a négyzet terü-letébõl kivonjuk négy darab a befogójú egyenlõszárú derékszögû háromszög terü-

letét. Így t = 16 cm2 - 42

2

◊ a ª 16 cm2 - 2,74 cm2 = = 13,26 cm2. Az egyesített sík-

( )4 2 4- cm

2669/1. ábra

a 2

2669/2. ábra

GEOMETRIA

200

idom esetén a négyzet területéhez hozzá kell adnunk a közös résznél levont területet,így T ª 16 cm2 + 2,74 cm2 = 18,74 cm2.

2670. A 2504. feladat alapján a fokokban mérve a nagyságú középponti szöghöz tartozó r su-garú körcikk kerülete:

K r= + ◊∞

ÊËÁ

ˆ¯

2 1360

p a,

területe pedig

T r= ◊∞

2

360p a

.

a) A metszet középponti szöge 90∞, így

k r t r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 14

10 714

7 062p p, , . cm, cm2

Az egyesítés középponti szöge 150∞, így

K r T r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 15

1213 85

5

1211 782p p

, , . cm, cm2

b) A metszet középponti szöge 75∞, így

k r t r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 15

249 92

5

245 892p p

, , . cm, cm2


K r T r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 111

2414 63

11

2412 952p p

, , . cm, cm2

c) A metszet középponti szöge 30∞, így

k r t r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 112

7 5712

2 352p p, , . cm, cm2


K r T r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 17

1217

7

1216 492p p

cm, cm2, .

d) A két körcikknek nincs metszete.Az egyesítés középponti szöge 240∞, így

K r T r= +ÊËÁ

ˆ¯

ª = ª2 12

318 56

2

318 842p p

, , .cm, cm2

2671. Lásd az ábrát!

a1a2

Q2 '

Q1'


201

2672. Lásd az ábrát!

2673. Lásd az ábrákat!

a) b)

2674. A kérdéses ponthalmaz az AB szakasz felezõmerõlegese.

2675. Legyen a két szakasz AB és CD. Ha AB-t szeretnénk CD-re forgatni, akkor két lehetõ-ségünk van: A Æ C és B Æ D, illetve A Æ D és B Æ C. Az elõzõ feladat alapján azegymásnak megfelelõ végpontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegeseinekközös pontja lesz a forgatás középpontja. (Lásd az alábbi két ábrát!)

O1B = O1D, O1A = O1C O2A = O2D, O2B = O2C

O1

O2

2676. Az elõzõ feladat alapján az egymásnakmegfelelõ pontok által meghatározottszakaszok felezõmerõlegeseinek közöspontja lesz a forgatás centruma. A kétháromszög körüljárásának meg kellegyeznie, ezért három megoldása van afeladatnak. Egyik lehetséges megoldásaz ábrán látható.(A következõ feladat kapcsán bizonyít-juk általánosabban, hogy a három sza-kaszfelezõ merõlegesnek van közöspontja.)

GEOMETRIA

202

2677. A forgási középpont meghatározása azelõzõ két feladat módszerével történik.Belátjuk, hogy a három szakaszfelezõmerõlegesnek valóban van közös pont-ja. Legyen O az AA' és CC' szakaszokfelezõmerõlegeseinek közös pontja. (Olétrejön, ugyanis a feltétel értelmébenAC és A'C' nem párhuzamosak.)Az ACO és A'C'O háromszögek megfe-lelõ oldalai rendre megegyeznek, a kétháromszög tehát egybevágó. Ebbõladódóan OAC <) = OA'C' <) . A feltételbõl kapjuk, hogy CAB <) = C'A'B' <) , így OAB ésOA'B' háromszögek egybevágóak, ugyanis AB = A'B', OA = OA' és OAB <) = OAC <) ++ CAB <) = OA'C' <) + C'A'B' <) = OA'B' <) . Ez viszont azt jelenti, hogy OB = OB', azaza BB' szakasz felezõmerõlegese illeszkedik az O pontra.

2678. a) Az AB szakasz fölé írt Thalesz-körbõl az AB felezõmerõlegese metszi ki az elõjelmiatt egyértelmûen meghatározott pontot.

b) AB felezõpontja a megfelelõ pont.c) A pozitív körüljárási irányú ABC szabályos háromszög C csúcsa a megfelelõ pont.d) Lásd az elõzõ pontot!e) Azon pozitív körüljárási irányú ABC egyenlõ szárú háromszög C csúcsa a megfelelõ

pont, amely háromszögben az alapon fekvõ szög nagysága 75∞.f) Azon negatív körüljárási irányú ABC egyenlõ szárú háromszög C csúcsa a megfe-

lelõ pont, amely háromszögben az alapon fekvõ szög nagysága 67,5∞.A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2679. Az a egyenes P körüli +60∞-os a' elfor-gatottjának és b-nek a közös pontja aháromszög második csúcsa (B). Ezt Pkörül -60∞-kal „visszaforgatva” kapjukaz a egyenesen az A csúcsot. (Lásd azábrát.)

2680. Az elõzõ feladat módszerével szerkeszthetõ olyan PAB egyenlõ szárú derékszögû há-romszög, amelynek A és B csúcsa az adott egyeneseken van. (A forgatás szögéneknagysága most 90∞.) P-t az AB egyenesre tükrözve kapjuk a négyzet negyedik csúcsát.

2681. Jelöljünk ki a középsõ egyenesen egy pontot. Innen lásd a 2679. feladatot!

2682. A szabályos háromszög a 2679. feladat módszerével szerkeszthetõ. Ha az adott szög ki-sebb 60∞-nál, akkor két nem egybevágó megoldás van, ellenkezõ esetben a megoldásegyértelmû.


203

2683. A szabályos háromszög középpontjábóla csúcsokhoz húzott szakaszok 120∞-osszöget zárnak be, ezért az egyik szög-szár adott pont körüli 120∞-os elforga-tottjának és a másik szögszárnak a kö-zös pontja lesz a szerkesztendõ három-szög egyik csúcsa. Ezt a csúcsot mind-két irányban 120∞-kal elforgatva kapjuka másik két csúcsot. (Lásd az ábrát!)

2684. Jelölje a a szerkesztendõ háromszögszárainak szögét. Az e egyenes P körülia szögû elforgatottjának és az adottkörnek közös pontja lesz az alap egyikvégpontja. Az alap másik végpontja az eegyenes azon pontja, amelynek képe atekintett közös pont. (Lásd az ábrát!)A forgatás mindkét irányban elvégezhe-tõ, a megoldások száma attól függ, hogya kapott két képegyenesnek és az adottkörnek hány közös pontja van.(A szögek szerkesztésére nézve lásd a2144-2145. feladatokat!)

2685. a) A k2 kör tetszõleges P pontja körül a k1 kört 60∞-kal elforgatva (mindegy milyenirányban) egy olyan k1' kört kapunk, amely a Q pontban belülrõl érinti a k3 kört.(Lásd a 2685/1. ábrát!) Ha R jelöli azt a k1-re illeszkedõ pontot, amelynek a tekintettforgással kapott képe Q, akkor a PQR háromszög megfelel a feladat feltételeinek.Ezt a háromszöget O körül tetszõlegesen elforgatva az eredetivel egybevágó megol-dásokat kapunk.

b) A feladat megoldása az a) esethez hasonlóan történik, csak most k2 tetszõleges P

pontja körül 90∞-kal kell k1-et elforgatnunk. Két nem egybevágó megoldást kapunk.(Lásd a 2685/2. ábrát!)

k1

k1'

k2

k3

k1k1'

k2

k3

R1R2

Q2

Q1

S1

S2

2685/1. ábra 2685/2. ábra

A1

A2

B2

B1

GEOMETRIA

204

2686. A szerkesztés az elõzõ feladat kapcsán leírt módszerrel hajtható végre a körök tetszõle-ges elhelyezkedése esetén is. Az elõzõ feladat jelöléseit használva a megoldások számaattól függ, hogy a k2 kiszemelt pontja körüli (mindkét irányban végrehajtott) forgatásokután k1'-nek és k3-nak hány közös pontja van.

2687. A két tengelyes tükrözés egymásutánja forgatás, amely szögének nagysága a tengelyekáltal bezárt szög kétszerese, iránya pedig a tengelyes tükrözések sorrendjétõl függ. A c)esetben a két tengelyes tükrözés egymásutánja középpontos tükrözés.

2688. Mindkét tengely illeszkedik a forgatás centrumára, az általuk bezárt szög nagysága aforgásszög nagyságának fele. (A tengelyeket ezen feltételek teljesülése mellett tetszõle-gesen vehetjük fel.) A tükrözések sorrendje a forgatás irányától függ.

2689. Az eredõ forgatás középpontja mindegyik esetben az O pont, szöge pedig

a) +15∞; b) +60∞; c) +60∞; d) -30∞.

2690. a) A'(-5; -2), B'(3; 1), C'(-2; 8) b) A'(2; -5), B'(-1; 3), C'(-8; -2)

c) A'(5; 2), B'(-3; -1), C'(2; -8) d) A'(5; 2), B'(-3; -1), C'(2; -8)

2691. a) Origó körüli +90∞-os forgatás.

b) Origó körüli -90∞-os forgatás.

2692. Mindegyik esetben két lehetõségünk van. A megfelelõ pontok koordinátái az elõzõ kétfeladat alapján könnyen adódnak.

a) (-4; 2) vagy (4; -2) b) (6; 5) vagy (-6; -5) c) (1; 0) vagy (-1; 0)

d) (5; -4) vagy (-5; 4)

2693. A forgatás centruma mindegyik esetben a sokszög középpontja, a megfelelõ pozitívforgásszögek pedig

a) 0∞, 120∞, 240∞; b) 0∞, 90∞, 180∞, 270∞;c) 0∞, 72∞, 144∞, 216∞, 288∞; d) 0∞, 60∞, 120∞, 180∞, 240∞, 300∞;

e) kn

◊ ∞360, ahol k = 0; 1; 2; ...; n - 1.

2694. a) igaz b) hamis c) hamis d) igaz e) hamis f) igazg) igaz h) hamis i) igaz j) hamis k) igaz l) hamis


205

2695.

2696. Legyen két, a feltételeknek megfelelõszakasz AB és CD. Az AB szakasznak anégyzet középpontja körüli 90∞-os elfor-gatottja, A'B' merõleges AB-re, és ígypárhuzamos CD-vel. Viszont ekkor azA'CDB' négyszög paralelogramma, ígyAB = A'B' = CD. (Nyilván akkor is igazaz állítás, ha A'B' egybeesik CD-vel.)

2697. Legyenek a szemközti oldalegyeneseken adott pontok A és B, illetve C és D. C-bõl ál-lítsunk merõlegest AB-re, majd mérjük fel erre C-bõl az AB távolságot. Az így kapottCD' szakasz merõleges AB-re és vele egyenlõ hosszú, így az elõzõ feladat állításaalapján a DD' egyenes a négyzet egyik oldalegyenese. Erre az egyenesre A-ból és B-bõlmerõlegest állítva kapjuk a négyzet másik két oldalegyenesét, a negyedik oldal pedig C-re illeszkedik és DD'-vel párhuzamos.Ha D egybeesik D'-vel, akkor a feladatnak végtelen sok megoldása van.

2698. Forgassuk el C körül a BPC háromszö-get -60∞-kal. (Lásd az ábrát!) Ennél aforgatásnál a B képe A, és mivelAPC <) = APB <) = 60∞, ezért P képe azAP szakasz azon P' pontja, amelyrePP' = PC. A BPC háromszög képe tehátaz AP'C háromszög és így

PA = PP' + P'A = PC + PB.

2699. Jelölje A' az A csúcsnak a BC oldal Ffelezõpontjára vonatkozó tükörképét.Forgassuk el az AA'C háromszöget az Apont körül 90∞-kal az ábrán látható mó-don. Mivel AG = A'C = A”E és a forga-tás miatt AG párhuzamos A”E-vel, ezértaz AA”EG négyszög paralelogramma.Így

d = EG = AA” = AA' = 2 ◊ AF.

GEOMETRIA

206

2700. Elõbb belátjuk, hogy egy szabályos há-romszögbe beírt szabályos háromszögközéppontja egybeesik az eredeti há-romszög középpontjával. Forgassuk elaz eredeti háromszöget a középpontjakörül 120∞-kal. Ennél a forgatásnál azeredeti háromszög képe önmaga, a beírtháromszög pedig egy olyan szintén azeredeti háromszögbe írt szabályos há-romszögbe transzformálódik, amelynekoldalai párhuzamosak az elõször beírt háromszög oldalaival. Ez viszont csak akkor tel-jesülhet, ha a beírt háromszög is önmagára transzformálódik a forgatás során, azaz õ isa középpontja körül fordult el.A szerkesztés az elõzõ állítás alapján könnyen adódik. Vegyük fel a 4 cm oldalú szabá-

lyos háromszöget és kicsinyítsük a középpontjából 3

4-ére. A kapott kis háromszöget a

középpont körül forgassuk el úgy, hogy csúcsai a nagy háromszög oldalaira essenek.(Lásd az ábrát!)

2701. A feladatbeli állítás felhasználásával könnyen adódik a szerkesztés. Forgassuk el az át-lók metszéspontja körül a paralelogramma egyik oldalegyenesét 90∞-kal. A képegye-nesnek a szomszédos oldalegyenesekkel alkotott metszéspontjai a négyzet két szem-közti csúcsát adják. Innen a feltételnek megfelelõ négyzet már egyszerûen adódik.

2702. A rombuszra tett feltételbõl és a rom-busz szimmetriájából adódóan a metszetszabályos nyolcszög.

2703. Az adott csúcsnak a középpont körüli +120∞-os illetve -120∞-os elforgatottjai lesznek aháromszög hiányzó csúcsai.

2704. Az egyes forgatások utáni helyzet és a megoldás az ábrán látható.


207

2705. A P-ben egymást metszõ két húr csakakkor lehet egyenlõ hosszú, ha a kör P-re illeszkedõ átmérõjére nézve szimmet-rikusan helyezkednek el. A tekintett át-mérõre P-ben mindkét irányban az ábrá-nak megfelelõen 45∞-os szöget felmérveadódik a két húr.

Párhuzamos eltolás

2706. Egyenlõek: 2. és 4.; 3. és 6.Ellentettek: 1. és 3.; 1. és 6.; 2. és 5.; 4. és 5.

2707.

2708. A végpontokkoordinátái:

a) (-5; 2)

b) (-4; 3)

c) (-6; 3)

d) (-8; 6)

e) (-7; -3)

f) (2; -2)

GEOMETRIA

208

2709. A végpontokkoordinátái:

a) (4; 5)b) (2; 5)c) (5; 8)d) (0; 9)e) (10; 3)

f) (-3; -4)

Általánosan, ha egy origó kezdõpontú vektor végpontja (x0; y0), akkor a vele egyenlõ,(a; b) kezdõpontú vektor végpontja (x0 + a; y0 + b).


209

2710.

A végpontok koordinátái:a) (-5; 7) b) (-6; 7) c) (-7; 6) d) (3; 10) e) (-15; 4) f) (-2; 3)

Az ABÆ

-ral egyenlõ, origó kezdõpontú vektor végpontja az elõzõ feladat alapján

(6; -6). Az ABÆ

ellentettjével egyenlõ, origó kezdõpontú vektor végpontja így (-6; 6).Innen az elõzõ feladat alapján adódnak a fenti értékek.

2711.

a)

1

2a

b)

c)

d)

7

2a

e)- 1

4a

f)- 3

8a

GEOMETRIA

210

2712. a) b)

c) d)




2716. a) A közös rész egy az eredetihez hasonló rombusz, amelynek oldala fele olyan hosz-szú, mint az eredeti rombuszé. (Pl. AM1 középvonal az ACD háromszögben. Lásdmég a 2649. feladatot!)Az egyesítés egy konkáv nyolcszög (ABM2B'C'D'M1D), amelynek oldalai 4 cm és2 cm hosszúak.Jelölje rendre k és t a közös rész, K és T az egyesítés kerületét és területét. Mivel atekintett rombuszt rövidebb átlója két egybevágó szabályos háromszögre vágja szét,

ezért a területek a 2446. feladat alapján számolhatók. t = ◊22 3

4

2

cm2 =

= 2 3 cm2 ª 3,46 cm2; T = ◊24 3

4

2

cm2 - 2 3 cm2 = 6 3 cm2 ª 10,39 cm2;

k = 8 cm; K = 24 cm.b) A közös rész egybevágó az a) pontban kapottal. Az egyesítés most is egy konkáv

nyolcszög, amelynek kerülete és területe megegyezik az a) pontbeli egyesítés kerü-letével és területével.

M1

M2

M1 M2

2716/1. ábra 2716/2. ábra


211

2717. A közös rész egy olyan rombusz,amelynek szögei 60∞ és 120∞-osak, ol-dala pedig 4 cm hosszú. Az egyesítésegy hatszög (AB'C'D'EF).Az elõzõ feladat alapján

t = ◊ = ª24 3

48 3

2

cm cm2 2

ª 13 85, . cm2

A kerületek:k = 16 cm, K = 32 cm.

Az ábráról leolvasható, hogy az egyesí-tett terület ötszöröse a közös rész terü-letének, így

T = ª40 3 69 25 cm cm2 2, .

2718. Mivel a szabályos háromszög magas-ságpontja harmadolja a magasságot,ezért a képháromszög egyik csúcsa amagasságpont lesz.A közös rész szabályos háromszög,amelynek oldala harmad olyan hosszú,mint az eredeti háromszögé, az egyesí-tés pedig az ábrán látható konkáv hét-szög. A 2446. feladat alapján a területek

t =

ÊËÁ

ˆ¯

◊= ◊ ª

43

3

4

4 3

32 31

2

cm cm cm2 2 2, ,

T t= ◊ ◊ - = - = ª24 3

48 3

4

33

20

33 11 54

2

cm cm cm cm cm2 2 2 2 2, .

A harmadolásból adódóan AM M M M B1 1 2 24

3= = = cm és A M M B' '1 2

8

3= = cm .

(Lásd az ábrát!) Így

k = 4 cm, K = 5 ◊ 4 cm = 20 cm.

M1 M2

GEOMETRIA

212

2719. Az adott szög szögfelezõjére, annak tet-szõleges pontjában állítsunk merõlegest,majd erre a metszéspontból mindkétirányba mérjük fel az adott szakaszhosszának felét. A kapott végpontokrailleszkedõ, a szögfelezõvel párhuzamosegyenesek metszik ki a szögszárakból aszerkesztendõ szakasz végpontjait. Ezutóbbi úgy is fogalmazható, hogy amegfelelõen felvett AB szakaszt az

AA'Æ

= BB'Æ

-ral eltolva kapjuk a kívántszakaszt. (Lásd az ábrát!)

2720. Szerkesszünk a háromszög kiszemeltpontján át párhuzamost az eltolás irányát megadó egyenessel. Ha a háromszög kisze-melt pontja P, és a párhuzamos egyenesnek a másik adott egyenessel vett metszéspontja

Q, akkor az eltolás vektora PQÆ

. (Ha Q nem jön létre, akkor a feladatnak nincs megol-dása.)

2721. Szerkesszünk az adott szakasz végpont-jain keresztül párhuzamost a szögszá-rakkal. Ha a párhuzamosok metszés-

pontja Q, akkor AB-t a QPÆ

-ral eltolvakapjuk a megfelelõ A'B' szakaszt.

( QPÆ

= AA'Æ

= BB'Æ

)

2722. Szerkesszünk az adott szakaszhoz olyan, az adott körrel egybevágó köröket, amelyek-nek az adott szakasz húrja. (Az adott szakasz felezõmerõlegesének a végpontoktól4 cm-re levõ pontjai lesznek a tekintett körök középpontjai.) Ha a kapott körök közép-

pontjai O1 és O2, akkor az AB szakasznak az O O1Æ

-ral, illetve az O O2Æ

-ral eltolt képelesz a két megfelelõ húr. (Lásd az ábrát!)

O2O1

A1

B1B2

A2

2723. Az elõzõ feladat szerkesztési módszerének felhasználásával toljuk el az adott szakasztúgy, hogy az adott körnek húrja legyen. Az eredeti és az eltolással kapott szakasz vég-pontjai által meghatározott paralelogramma átlóinak metszéspontja a megfelelõ pont.Két megoldást kapunk.


213

2724. A körcikk OP határoló sugarára O-bólmérjünk fel 3 cm-t. (Lásd az ábrát!) Azígy kapott A ponton keresztül húzzunkpárhuzamost az OQ sugárral. Ennek akörívvel vett A' metszéspontja lesz amegfelelõ szakasz egyik végpontja. O-t

az AA'Æ

-ral eltolva kapjuk az OQ sugá-ron a szakasz másik végpontját (O').

2725. Vegyünk fel a párhuzamosok között egy4 cm hosszú szakaszt, majd ennek egye-nesét toljuk el úgy, hogy illeszkedjen azadott pontra. (Lásd az ábrát!) A fela-datnak mindkét esetben két megoldásavan.

2726. Toljuk el a c egyenest a BAÆ

-ral. (Eztörténhet például úgy, hogy B-bõl c-remerõlegest állítunk, az így kapott T talp-

pontot eltoljuk a BAÆ

-ral, majd a T' kép-ponton keresztül párhuzamost szerkesz-tünk c-vel.) c' és d közös pontja lesz a

D csúcs, ennek ABÆ

-ral való eltoltja a Ccsúcs. (Lásd az ábrát!) Nem kapunkmegoldást, ha c'-nek és d-nek nincs kö-zös pontja, illetve ha a D közös pont il-leszkedik az AB egyenesre. Ha c' és degybeesik, akkor végtelen sok megoldásvan. Az elõzõ speciális esetek kivételé-vel a megoldás egyértelmû.

2727. Az ábrán látható AED háromszög olda-lai adottak, tehát szerkeszthetõ. A DEoldalt az AE-vel párhuzamos, c hosszú-

ságú DCÆ

= EBÆ

vektorral eltolva adódika B és a C csúcs. Egyértelmû megoldástkapunk, ha az AED háromszög szer-keszthetõ. (Lásd még a 2360/d) és a2364/a) feladatot!)

2728. Két párhuzamos egyenesre történõ tükrözés egymásutánja párhuzamos eltolás, amely-nek vektora merõleges az egyenesekre és hossza az egyenesek távolságának kétszerese.Az eltolás irányát a tükrözések sorrendje határozza meg.

A1

B1

M1

M2

B2

A2

GEOMETRIA

214

2729. A feladatbeli eltolás elõáll bármely két olyan tengelyre vonatkozó tükrözés egymás-utánjaként, amely tengelyek merõlegesek a tekintett szögfelezõre és távolságuk a szög-felezõ hosszának fele. Az eltolás irányát a tengelyes tükrözések sorrendje határozzameg.

2730. A két középpontos tükrözés egymásutánja párhuzamos eltolás, amelynek vektora

2 ◊ ABÆ

vagy 2 ◊ BAÆ

attól függõen, hogy melyik pontra tükrözünk elõször.

2731. Például az A és a B pont megfelel, de megfelel bármely két olyan pont, amelyek általmeghatározott egyenes párhuzamos az eltolás vektorával és távolságuk fele akkora,mint az eltolás vektorának hossza. A tükrözések sorrendjét az eltolás iránya egyértelmû-en meghatározza.

2732. Két párhuzamos eltolás egymásutánjapárhuzamos eltolás, amelynek vektora akét eltolás vektorának összege (lásd azábrát!). Az eltolások sorrendjének fel-cserélésével is ugyanazt az eredõ elto-lást kapjuk.

2733. Végtelen sok megfelelõ felbontás létezik, és ezen felbontások az eltolások sorrendjétõlfüggetlenül ugyanazt az adott eredõ eltolást határozzák meg. Az adott eltolás vektorá-nak egy-egy megfelelõ felbontása az ábrákon látható.a)

v1v2

b)

v1

v2

v3

c)

v1

v2

v3

v4

v5

2734. Ha v a tekintett eltolás vektora, akkor v = AA'Æ

= BB'Æ

= CC'Æ

. Ha v kezdõpontja az origó,akkor a 2709. feladat alapján v végpontja (a1' - 0; a2' - 2) = (b1' + 4; b2' + 3) =

= (c1' - 9; c2' - 2), ahol A'(a1'; a2'), B'(b1'; b2'), C'(c1'; c2').

a) (5; 0) b) (0; -2) c) (2; 2) d) (9; 4) e) (-2; -2) f) (2; -5)

2735. Ha A(a1; a2), B(b1; b2), C(c1; c2), akkor A'(a1 - 3; a2 + 2), B'(b1 - 3; b2 + 2),

C'(c1 - 3; c2 + 2).

a) A'(-3; 2), B'(-1; 6), C'(-8; 1) b) A'(1; 3), B'(-3; 7), C'(-5; 2)c) A'(0; -2), B'(-2; 5), C'(-8; 3) d) A'(-7; 1), B'(-1; -2), C'(0; 9)

2736. Egymás párhuzamos eltoltjai: 1. és 3.; 2. és 7.; 4. és 6.

v1

v2


215

2737. a) igaz b) hamis c) igaz d) igaz e) hamis f) hamisg) igaz h) igaz i) igaz

2738. Az egyik kört az O O1 2Æ

-ral eltolva a másik kört kapjuk. Ha a tekintett szakaszok párhu-zamosak O1O2-vel, akkor az eltolás egymásnak megfelelõ pontjait kötik össze, ígyszükségképpen ugyanolyan hosszúak, mint az O1O2 szakasz.

2739. Az úttesten merõlegesen kell áthalad-nunk, így arra kell törekednünk, hogy azúttesten kívüli út minimális legyen. En-nek a minimális útnak a szerkesztésevégett toljuk el az A pontot az ábrán lát-

ható EFÆ

-ral ( EFÆ

= AA'Æ

). Az A'B sza-kasz kimetszi f-bõl azt az M1 pontot,ahol az úttestet el kell hagyni, és így aminimális út az AM2M1B töröttvonal.(Az úttesten kívüli út hossza AM2 + M1B = A'B.) A megszerkesztett út minimalitásakönnyen adódik a háromszög-egyenlõtlenségbõl, ugyanis ha M1' és M2' tetszõleges M1-tõl és M2-tõl különbözõ átkelési pontok, akkor

AM2' + M1'B = A'M1' + M1'B > A'B = A'M1 + M1B = AM2 + M1B.

2740. Lásd a 2645/e) feladatot!

Alakzatok egybevágósága. Vegyes feladatok

2741. Síkmozgások: b) c) d) f) h) i) l)Irányításfordító transzformációk: a) e) g) j) k)

2742. Térmozgások: b) c) d) e) g)

2743. Mind a négy eset következik abból a tételbõl, hogy két háromszög egybevágó, ha meg-felelõ oldalaik hossza egyenlõ. Ha a az oldal hossza, m a magasság hossza, r pedig abeírható kör sugarának a hossza, akkor Pitagorasz tétele alapján

ma= 3

2; r

m a= =3

3

6,

és a szabályos háromszög súlyvonala egybeesik a magassággal. (Lásd még a 2347. és2528. feladatokat!)

2744. a) A feltételbõl következik, hogy a két háromszög alapon fekvõ szögei is megegyez-nek.

b) A 2744/1. ábrán látható BCTb és B'C'Tb' háromszögek egybevágóak, ugyanis meg-

egyeznek két oldalban és a nagyobbikkal szemközti szögben. Viszont ekkor g = g',így az elõzõ pont alapján teljesül az állítás.

M1

M1'

M2 '

M2

GEOMETRIA

216

Tb Tb'

Ta'Ta

2744/1. ábra 2744/2. ábra

c) Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így a 2744/2. ábrán látható ABTa ésA'B'Ta' háromszögek egybevágók, ugyanis megegyeznek két oldalban és a közbe-zárt szögben. Viszont így AB = A'B', tehát a két egyenlõ szárú háromszög oldalairendre megegyeznek, amibõl adódik az állítás.

d) Egybevágósági alapeset.e) A 2744/2. ábrán látható ABTa és A'B'Ta' háromszögek most is egybevágóak, ugyan-

is megfelelõ szögeik megegyeznek és ATa = A'Ta'. Innen lásd a c) pontot!

2745. a) Egybevágósági alapeset.b) A két derékszögû háromszög megfelelõ szögei megegyeznek és egy-egy befogójuk

is egyenlõ.c) Egybevágósági alapeset. (A két háromszög megegyezik két oldalban és a nagyob-

bikkal szemközti derékszögben.)d) Átfogójából és átfogóhoz tartozó magasságából a derékszögû háromszög egybevá-

góság erejéig egyértelmûen szerkeszthetõ (lásd a 2348/c) feladatot), ugyanis a létre-jövõ négy háromszög közül bármelyik átvihetõ bármelyik másikba vagy tengelyes,vagy középpontos tükrözéssel.

2746. a) Két-két oldal és a közbezárt szögek megegyeznek.b) Az átfogóhoz tartozó magasság hossza az átfogó fele, így lásd az elõzõ feladat d)

pontját!c) Lásd az elõzõ pontot!d) A köré írható kör sugara ugyanolyan hosszú, mint az átfogóhoz tartozó magasság,

így lásd az elõzõ két pontot!

2747. a) Igaz, ugyanis a feltételbõl adódik, hogy a két háromszög megegyezik egy oldalbanés a rajta fekvõ két szögben, ez pedig egybevágósági alapeset.

b) Nem igaz. A két háromszög hasonló, de nem feltétlenül egybevágó.c) Nem igaz. Lásd az ábrát, ahol AB = A'B' és AC = A'C'!


217

2748. A két háromszög hasonló, hiszen a feltétel alapján szögeik rendre megegyeznek. Vi-szont, ha az adott hosszúságú oldal az egyik háromszögben alap, a másikban szár, és aháromszögek nem szabályosak, akkor nem egybevágók.

2749. Az OM1T és OM2T háromszögek egybe-vágóak, ugyanis megegyeznek egy ol-dalban (OT) és a rajta fekvõ két szögben

902

∞ÊËÁ

ˆ¯

, .a

2750. Bocsássunk merõlegest C-bõl az ABszakaszra az ábrának megfelelõen, amerõleges talppontja legyen T. Az ábránazonosan jelölt szögek egyenlõek, vala-mint GA = AC és CB = BF, így az AGDés a CAT, valamint a BCT és az FBE há-romszögek páronként egybevágóak.Ebbõl adódik, hogy AD = CT = BE.

2751. A b) állításból nyilvánvalóan követke-zik a), így a második állítást látjuk beelõször. AB = AG, AC = AE és EAB <) =

= CAG <) = 90∞ + a. (Lásd az ábrát!) Mi-vel az ABE és AGC háromszögek meg-egyeznek két oldalban és a közbezártszögben, ezért egybevágóak.

c) TAE AC

ABE = ◊2

. Mivel az ABE há-

romszög egybevágó az AGC három-szöggel, ezért

TABE + TAGC = AE ◊ AC = TACDE.

2752. Az egyenesnek illeszkednie kell a háromszög egyik csúcsára. Erre az egyenesre nézve afeltétel értelmében a háromszög tengelyesen szimmetrikus, tehát egyenlõ szárú.

a2

M1

M2

GEOMETRIA

218

2753. Az alakzatok egy lehetséges felbontása az ábrán látható.

2754. A felbontás az ábrán látható.

2755. Mivel ABCD húrtrapéz, ezért AD = BCés ADD' <) = CBB' <) . Az eltolásból adó-dóan DD' = BB'. Az eddigiek alapján az ADD' és CBB'háromszögek megyegyeznek két oldal-ban és a közbezárt szögben, tehátegybevágóak. Ekkor viszont harmadikoldalaik is egyenlõ hosszúak, azazAD' = B'C.


219

2756. Az AED, BFE és CDF háromszögekegybevágóak, ugyanis megegyeznek kétoldalban és a közbezárt szögben. Ebbõladódóan DE = EF = FD, azaz a DFEháromszög valóban szabályos.

II. Hasonlósági transzformációk

Középpontos hasonlóság

2757. Alapszerkesztések.Az a) pontbeli transzformáció helyben hagyja a háromszöget, a b) pontbeli pedig kö-zéppontos tükrözés.Nagyítások: c) f) g) h)Kicsinyítések: d) e)

2758. Alapszerkesztések.Nagyítások: a) b) e) f)Kicsinyítés: d)A c) pontbeli transzformáció középpontos tükrözés.

2759. A kerületek kétszeresére, a területek négyszeresére nõnek.


2761. Alapszerkesztések. Az eredeti hatszög oldala 3 cm hosszú.

2762. Abból a ténybõl, hogy mindegyikcsúcsból felére kicsinyítettünk adódik,hogy a képek levágásával kapott három-szög oldalai az eredeti háromszög kö-zépvonalai. Ezek a 2649. feladat alapjánnégy egybevágó háromszögre osztják azeredeti háromszöget, és ezen négy há-romszög mindegyike az erdeti három-szög felére kicsinyített képe.

2763. Elõször tegyük fel, hogy a PQ szakasz az AB oldal képe, és PQ π AB. (Lásd az ábrát!)Ekkor két megfelelõ középpontos hasonlóság van, az egyik középpontja az AP és a BQ,a másik középpontja az AQ és a BP egyenesek metszéspontja (O1, O2). Teljesen ha-

sonló a helyzet, ha PQ π AB és a PQ szakasz a CD oldal képe.Ha PQ = AB, akkor két középpontos tükrözés felel meg a feladat feltételeinek, azegyiknél PQ az AB képe, a másiknál PQ a CD képe.

FaFb

Fc

GEOMETRIA

220

O1O2

C2C1

D1 D2

2764. A megoldást az AB oldal esetére adjuk meg.

Kössük össze az O középpontot az A és B csúcsokkal. Az adott szakaszt AB-vel párhu-zamosan úgy kell elhelyezni az AOB szögtartományban, hogy végpontjai a szögszárak-ra essenek. Ehhez A-ból mérjük fel d-t az AB félegyenesre, a másik végpont legyen D.(Lásd az ábrát!) Az AO-val párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenes kimetszi BO-ból a B'pontot, az A' pont pedig a B-re illeszkedõ, AB-vel párhuzamos egyenes és AO metszés-pontjaként adódik. Ezután C' az ábráról leolvasható módon szerkeszthetõ. Az A'B'C'háromszög O-ra vonatkozó A”B”C” tükörképe is megoldása a feladatnak, tehát kétmegoldást kapunk.

2765. A feladat tulajdonképpen azt kéri, hogy egy, az adott szög szárait érintõ kört a szögcsúcsából nagyítsunk vagy kicsinyítsünk úgy, hogy a kép illeszkedjék az adott pontra.A szerkesztés az ábráról leolvasható. A feltételeknek két kör felel meg (k1, k2).

P2

O2

k2

k1

O1P1OP O P OP O P1 1 2 2 és

2766. A feladatot csak az a) esetre oldjukmeg, a többire hasonlóan történik aszerkesztés.Vegyük fel a BCA szögtartománybaegy, a szerkesztendõhöz hasonló tégla-lapot az ábrának megfelelõen úgy, hogy


221

hosszabbik oldalának végpontjai a háromszög két rövidebb oldalára illeszkedjenek, ésez az oldal párhuzamos legyen a háromszög harmadik oldalával. Nagyítsuk ezt a tégla-lapot C-bõl úgy, hogy a kép megfelelõ oldala a háromszög AB oldalára illeszkedjen.

2767. Lásd az elõzõ feladatot! Három különbözõ négyzet tesz eleget a feladat feltételének.

2768. A szerkesztés a 2766. feladat módszeré-vel végezhetõ el. Két különbözõ elren-dezés lehetséges, ezek az ábrán láthatók.A 2. elrendezés szerkesztéséhez elõbbegy 90∞-os körcikkbe helyeztünk be azábrán látható módon egy olyan téglala-pot, amelyben a szomszédos oldalakaránya 1 : 2, majd a kapott ábrát „meg-feleztük”.

2769. a) – c) A szerkesztendõ háromszög-nek adottak a szögei, így tudunkszerkeszteni egy, az eredetihez ha-sonló A'B'C' háromszöget. Ezekután az adott kerületet az A'B'C' há-romszög oldalainak arányában fel-osztva megkapjuk a szerkesztendõháromszög oldalait. A szerkesztés a2769/1. ábráról leolvasható. (Lásdmég a 2141-2143. és 2344/c) felada-tokat!)

d) A szerkesztés az elõzõ pontok mód-szerével történhet, most a szer-kesztendõ háromszög a és b oldaláttudjuk megszerkeszteni. (Lásd méga 2357/f) feladatot!)

e) A módszer hasonló az elõzõ pontok-ban alkalmazott módszerhez. Az aés a b oldal szerkesztése a 2769/2.ábrán látható.

f) Lásd az e) pontot! aa b b= + -( )

.2

2

2770. a) Lásd pl. a 2769/a) feladatot! b) Lásd a 2769/d) feladatot!c) Lásd a 2769/d) feladatot! d) Lásd a 2769/e) feladatot!

2771. Lásd a 2769/a) - c) feladatokat!

2769/1. ábra

aa b b= - +( )2

2

2769/2. ábra

GEOMETRIA

222

2772. Egy-egy lehetséges szerkesztési módszer az ábrákon látható.a) b)

1

a

c) 1

a

1

a 12a

d)

a

Az azonosan jelölt szögek egyenlõ-ségébõl adódóan ATC« ~ CTB«,

ezért AT

CT

CT

TB= , azaz CT-2 =

= AT ◊ TB = a ◊ 1 = a. Így CT a= .(Lásd még a 2778. feladatot!)

2773. Egy-egy lehetséges szerkesztési módszer az ábrákról leolvasható.a) b)

a

b

c)

b

a

d)

ab

e)

a

b

2

2774. a) r' = 6 cm, a középpont szerkesztésére nézve pedig lásd az ábrát!

PO' = 2 ◊ PO = 10 cm


223

b) r' = 2 cm.

10

3 cm

PO PO'= ◊ =2

3

10

3 cm

c) r' =Ω-1,5Ω◊ r = 4,5 cm.

PO' =Ω-1,5Ω◊ PO = 7,5 cm

d) r' = - ◊ =1

31r cm

5

3 cm

PO PO'= - ◊ =1

3

5

3 cm

2775. a) Kicsinyítsük a kört a P pontból felé-re az ábrának megfelelõ módon.A szelõ B pontja az eredeti és a kép-kör közös pontja. Ha A a PB szelõ-nek az eredeti körrel alkotott másikközös pontja, akkor AB : PB == OO' : O'P = 1 : 1, ugyanis a tekin-tett középpontos hasonlóságnál az Apont képe B.

b) A szerkesztés az elõzõ pont módsze-rével hajtható végre, a középpontoshasonlósági transzformáció aránya1

3.

c) Lásd az a) pontot, az arány 2

5.

d) Lásd az a) pontot, az arány 4

9.

Megjegyzés: Mindegyik esetben két szelõ felel meg a feltételnek, ezek az OP egyenesreszimmetrikusan helyezkednek el.

2776. Két hasonlósági középpontot kapunk, az egyik a két kör közös külsõ, a másik a két körközös belsõ érintõinek metszéspontja.A közös külsõ érintõk Thalesz tételének alkalmazásával a 2776/1. ábrán látható módonszerkeszthetõk.Az O1O2T derékszögû háromszög szerkeszthetõ, hiszen O1O2 és O1T = 2 cm adott.(Lásd pl. a 2348/b) feladatot!) O1T T-n túli meghosszabbítására illeszkedik az E1 érinté-

si pont, E2-re nézve pedig O1E1 ¥ ¥ O2E2. A másik közös külsõ érintõ E1E2-nek az O1O2

egyenesre vonatkozó tükörképe.

GEOMETRIA

224

P1O1O2

r2

E2

E1

r2 3= cm

r r1 2 2- = cm

2776/1. ábra

A közös belsõ érintõk szerkesztésére nézve lásd a 2776/2. ábrát! Az O1O2T derékszögûháromszög O1T oldalára merõleges az egyik közös belsõ érintõ, és ennek O1O2-re vo-natkozó tükörképe a másik.

O1O2

r2

r2

E2

E1r r1 2 8+ = cm

P2r1

2776/2. ábra

Alakzatok hasonlósága. Vegyes feladatok

2777. Az ábra jelöléseit használva: b

a

x

b= ,

ahonnan xb

a=

2

. A kis téglalap oldalai

b és x.a) x = 1 cm; b) x = 1,5 cm;

c) x =4

3cm; d) x = 0,5 cm.

2778. Az ábrán azonosan jelölt szögek nagy-sága megegyezik, ezért

ATC« ~ CTB« ~ ACB«.Ezekbõl a hasonlóságokból szép össze-függések vezethetõk le.


225

1. ATC« ~ CTB«, amibõl a megfelelõ oldalak arányára nézve

q

m

m

p= , ahonnan m2 = pq.

3. CTB« ~ ACB«, ezért

a

c

p

a= , ahonnan a2 = c ◊ p.

Hasonlóan látható, hogy

b2 = c ◊ q.


2780. A táblázat üres sorait az alábbi össze-függések segítségével határozzuk meg:

a2 + b2 = c2; m2 + q2 = b2;m2 + p2 = a2

ab = cm (= 2 ◊ T); c = p + q

a2 = cp (Lásd a 2778. feladatot!)

b2 = cq (Lásd a 2778. feladatot!)

m2 = pq (Lásd a 2778. feladatot!)

a b c p q m

5 12

4 5

1325

13

3 6 6 4

24 10

20 16

132513

14413

6013

395

165

125

5 1214413

6013

6 8 10 4,8

10,83 26 28,17256

803

1003

12643

, ,

ª ª

2781. A számításokhoz felhasznált összefüg-gések:

a

b

c

d= ;

a b

a

c d

c

f

e

+ = + =

GEOMETRIA

226

A táblázat harmadik sorában csak az a

b arány határozható meg.

a b c d e f

7 4 9 6

10 11 6 8

4 7 10

10 11 3 9

367

667

6011

13611

37

283

3011

9914

x x

2782. a)

Origó középpontú tükrözés.

b)

Origó centrumú, 2 arányú középpontos hasonlóság.


227

c)

B' ;-ÊËÁ

ˆ¯

1

2

3

2

Origó centrumú, - 1

2 arányú középpontos hasonlóság.

d)

B' ;3

4

9

4-Ê

ËÁˆ¯

A' ;3

2

3

2ÊËÁ

ˆ¯

C' ;92

32

-ÊËÁ

ˆ¯

Origó centrumú, 3

4 arányú középpontos hasonlóság.

e) Origó centrumú, k arányú középpontos hasonlóság.

2783. a) A B C5

21

7

22

3

2

5

2; , ; , ;

ÊËÁ

ˆ¯

ÊËÁ

ˆ¯

- -ÊËÁ

ˆ¯

b) ( ) ( ) ( )A B C10 4 14 8 6 10; , ; , ;- -

c) A B C- -ÊËÁ

ˆ¯

- -ÊËÁ

ˆ¯

ÊËÁ

ˆ¯

5

3

2

3

7

3

4

31

5

3; , ; , ;

d) A B C- -ÊËÁ

ˆ¯

- -ÊËÁ

ˆ¯

ÊËÁ

ˆ¯

20

3

8

3

28

3

16

34

20

3; , ; , ;

e) A B C- -ÊËÁ

ˆ¯

- -ÊËÁ

ˆ¯

ÊËÁ

ˆ¯

714

5

49

5

28

5

21

57; , ; , ;

f) A B C25

9

10

9

35

9

20

9

5

3

25

9; , ; , ;

ÊËÁ

ˆ¯

ÊËÁ

ˆ¯

- -ÊËÁ

ˆ¯

GEOMETRIA

228

2784. a) igaz b) igaz c) hamis d) hamis e) igaz f) hamisg) igaz h) igaz i) hamis j) igaz k) hamis l) igazm) hamis n) hamis o) igaz p) igaz

2785. a) hamis b) hamis c) igaz d) igaz e) igaz f) hamisg) hamis

2786. Ha a és a' a két megfelelõ oldal, a hasonlóság aránya pedig 0 < r < 1, akkor a' = r ◊ a ésa - a' = a - r ◊ a = a(1 - r) = 1 m. Ebbõl

ar

=-1

1m és a

r

r' .=

-1m

a) a = 3 m, a' = 2 m; b) a = 5 m, a' = 4 m; c) a a= =7

4

3

4 m, m;'

d) a = 6,5 m, a' = 5,5 m.

2787. ABC« ~ A'B'C'«, így a megfelelõ oldalak aránya egyenlõ.

AB BC AC A B B C A C' ' ' ' ' '

,

10 14 25 20

1 1 5 2 15

20 12 8 16

100 210 125 5

5 4 6 3

8 9 4 28

8 35

10 20

30 40

4 8,4203

10

31,5 14

2788. A megfelelõ oldalak aránya egyenlõ, így ha k az adott kerület, akkor

xx

x xx

k+ + + = =2

2

32

25

6,

az oldalak pedig

xx

x x; ; ; .2

2

32

a) 2,4 m; 1,2 m; 1,6 m; 4,8 mb) 18 cm; 9 cm; 12 cm; 36 cmc) 67,2 mm; 33,6 mm; 44,8 mm; 134,4 mmd) 28,8 dm; 14,4 dm; 19,2 dm; 57,6 dm

2789. a) 0,4 m; 0,6 m; 0,8 m; 1 m b)2

9 m;

3

9 m;

4

9 m;

5

9 m

c)2

7 m;

3

7 m;

4

7 m;

5

7 m d)

2

7 m;

3

7 m;

4

7 m;

5

7 m


229

2790. Ha az ötszög oldalainak hossza x

2;

2

3

x;

3

4

x;

4

5

x; x, és a tekintett különbség d, akkor

x = 2d.

a) 1 m; 4

3 m;

3

2 m;

8

5 m; 2 m

b) 25 cm; 100

3 cm = 33

1

3 cm; 37,5 cm; 40 cm; 50 cm

c) 44 dm; 176

3 dm = 58

2

3 dm; 66 dm; 70,4 dm; 88 dm

d) 130 mm; 520

3 mm = 173

1

3 mm; 195 mm; 208 mm; 260 mm

2791. Ha az oldalak aránya r, akkor a területek aránya r2.

a)10

3 cm és

20

3 cm; b) 2,5 cm és 7,5 cm; c) 4 cm és 6 cm;

d)40

9 cm és

50

9 cm.

2792. A kerületek aránya megegyezik az oldalak arányával, a területek aránya pedig az olda-lak arányának négyzetével.a) 1 : 4; b) 9 : 16; c) 25 : 49; d) 81 : 121; e) 196 : 324; f) 529 : 676.

2793. A felszínek aránya az oldalak arányának négyzete, a térfogatok aránya az oldalak ará-nyának köbe.A felszínek aránya:a) 1 : 4; b) 4 : 25; c) 9 : 49; d) 25 : 81; e) 121 : 81; f) 225 : 676.A térfogatok aránya:a) 1 : 8; b) 8 : 125; c) 27 : 343; d) 125 : 729; e) 1331 : 729;f) 3375 : 17576.

2794. ABC« ~ D1E1C« ~ D2E2C« ~ D3E3C«,ugyanis megegyeznek két-két oldal ará-nyában és az oldalak által közbezártszögben. Ebbõl adódik, hogy az AB,D1E1, D2E2 és D3E3 szakaszok páron-ként párhuzamosak.A vonalkázott terület meghatározása vé-gett tükrözzük a D2E2C háromszögetaz E2 pontra (Lásd az ábrát!) Ekkor

T TABD D ABC2 2' = és TD E E D2 2 3 3=

= TE D D E1 3 2 2' ' , és mivel TD D D D1 3 2 2' ' =

= TABD D3 1' ezért TT

D E E DABC

1 1 3 3 2= .

D1

D2

D3

D3'

D2 'E2

E1

E3

GEOMETRIA

230

2795. Legyen az AD és EB szakaszok met-

széspontja M. Mivel AB AC= 2

3, ezért

BM CD BE= =2

3

2

3. Messe a CG sza-

kasz a BE szakaszt az M' pontban. Mi-

vel BCAC=3

, ezért BMAG BF

' .= =3 3

Másrészrõl viszont BEBF=2

, így

BM BE' .= 2

3

Kaptuk, hogy BM BM BE= =' ,2

3 ami

csak úgy lehetséges, ha M = M'.A két négyzet M-re nézve középponto-san szimmetrikus helyzetû, az ABFG

négyzet - 1

2 arányú kicsinyített képe a

DEBC négyzet.

2796. Az ábra jelöléseit használva:

ABD« ~ AB1D1«, így x

a

b

a b=

+, ahon-

nan xab

a b=

+. Hasonlóan EBC« ~

~ E2B2C«, így y

b

a

a b=

+, ahonnan

yab

a b=

+. A kapott eredményeket ösz-

szevetve adódik az állítás.

2797. Legyen BB' = x.ACA'« ~ BCB'«, ezért

x BC

AC2= .

ACC'« ~ ABB'«, ezért

x AB

AC3= .

A kapott arányokat összeadva kapjuk, hogy

x x AB

AC

BC

AC

AB BC

AC

AC

AC3 21+ = + = + = = ,

B1 D1

B2

E2


231

ahonnan

x = =6

51 2, .

Általánosan: ha AA' = a, CC' = b, akkor xab

a b=

+.

2798. Legyen a fa magassága méterben mérveh = AB. Az ábra jelöléseit használva azadatok:

AC = 18 m, CE = 2 m,CD = 3,5 m, EF = 3 m.

Legyen B' az AB szakasz azon pontja,amelyre a B'EFB négyszög paralelog-ramma. Ekkor AEB'« ~ CED'«, amibõl

adódóan AB

AE

CD

CE

' '.= Mivel

AB' = h - EF és CD' = CD - EF == 0,5 m, ezért felírható a következõegyenlet

h - =3

20

0 5

2

,,

ahonnanh = 8 m.

2799. Legyen F a BC oldal és az AE-vel pár-huzamos, D-re illeszkedõ egyenes met-széspontja. AEC« ~ DFC«, így

CE

CF

AC

DC= = 2.

Másrészt BFD« ~ BEP«, ezért

BF

BE

BD

BP= = 2.

Mivel F a CE, E pedig a BF szakaszfelezõpontja, ezért BE = EF = FC, ami-bõl adódóan BC = 3 ◊ BE.

2800. Elõbb szerkesszünk a kívánt háromszöghöz hasonló háromszöget, majd nagyítsuk(vagy kicsinyítsük) a megfelelõ sugarak arányában. (Lásd még a 2769. és 2770. fel-adatokat!)

2801. Jelölje a, b, c és a', b', c' a feladat feltételeinek megfelelõ két háromszög oldalainakhosszát. Ekkor a : b : c = a' : b' : c' és b = a' illetve c = b'. Végtelen sok megfelelõ há-romszög-pár konstruálható, egy ilyen például: a = 17, b = 18, c = 12, illetve a' = 18,

GEOMETRIA

232

b' = 12, c' = 8. (A konstrukciónál figyelni kell arra, hogy a háromszög-egyenlõtlenségteljesüljön.)

230

Térgeometria, térfogatszámítás

2802. a) A téglatest térfogata: 5 cm ◊ 6 cm ◊ 8 cm = 240 cm3, így 240 db kocka keletkezett avágásokkal.

b) Távolítsuk el a téglatestrõl azokat a kockákat, amelyeknek valamelyik lapja a tégla-test felületén van! (Ezeknek van befestett lapja.) Mivel a kockák éle 1 cm, ezért egyolyan téglatest marad, amelynek élei 3 cm, 4 cm ill. 6 cm hosszúak. Ebben összesen:3 ◊ 4 ◊ 6 = 72 db kocka található, tehát 72 db kockának nincs egyetlen befestett lapjasem.

c) Azoknak a kockáknak van pontosan két befestett lapja, amelyek a téglatest éleimentén helyezkednek el, kivéve a csúcsokban állókat. (A 8 csúcsban álló kockánakhárom-három befestett lapja van.) Az ilyen kockákból minden él mentén kettõvelkevesebb van, mint az él mérõszáma centiméterben. Így ezek száma:4 ◊ (3 + 4 + 6) = 52 db. Tehát olyan kocka, amelynek legalább két befestett lapja vanösszesen: 52 + 8 = 60 db található.

d) Az elõzõ eredményekbõl következik, hogy olyan kocka, amelynek pontosan egy be-festett lapja van 240 - 72 - 60 = 108 db található. Ezek felhasználásával egy 12 cmmagasságú hasábot építhetünk, hiszen ennek térfogata: 3 cm ◊ 3 cm ◊ 12 cm == 108 cm3.

2803. A kockában legfeljebb akkora pálca he-lyezhetõ el, mint a testátlójának hossza.A testátló kiszámításához használjuk azábra jelöléseit: a testátló hossza x cm, alapátló hossza d cm. Pitagorasz tételé-nek felhasználásával:

d2 = 102 + 102 = 200

x2 = 102 + d2 = 100 + 200 = 300Innen:

x ª 17,32Tehát a testátló 17,32 cm hosszú, így a18 cm-es pálca nem fér el a kockában.

2804. Az ábra jelöléseit felhasználva alkal-mazzuk Pitagorasz tételét!

d2 = a2 + b2

Ezzel:

x2 = d2 + c2 = a2 + b2 + c2

Tehát a testátló négyzete megegyezik ahárom egy csúcsba futó él négyzeténekösszegével. Ezzel a feladatok ered-ményei:

a) x2 = 22 + 32 + 62 = 49; x = 7 cm b) x2 = 32 + 42 + 122 = 169; x = 13 cm

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS

231

c) x2 = 42 + 52 + 202 = 441; x = 21 cmA három eredmény alapján a következõ szabály fogalmazható meg:Ha egy téglatest éleinek hossza k; k + 1; k(k + 1) egység, akkor a testátlója k(k + 1) + 1egység hosszú. (ahol: k tetszöleges pozitív szám)Az állítás bizonyításához meg kell mutatni, hogy a három él négyzetösszege megegye-zik a testátló négyzetével. Ez pedig igaz, hiszen:

k2 + (k + 1)2 + [k(k + 1)]2 = k2 + k2 + 2k + 1 + [k(k + 1)]2 =

= [k(k + 1)]2 + 2k(k + 1) + 1 = [k(k + 1) + 1]2

(A bizonyításban felhasználtuk azt az algebrai azonosságot, hogy: (u + v)2 = u2 + 2uv ++ v2.)

2805. A hasáb alapja háromszög négyszög ötszög hatszögLapok száma 5 6 7 8Csúcsok száma 6 8 10 12Élek száma 9 12 15 18

Jelöljük a lapok, csúcsok ill. élek számát rendre l; c; é betûkkel!a) Több összefüggést is megfogalmazhatunk a táblázat alapján (ezek könnyen bizo-

nyíthatóak is):

(1) c = 2l - 4 (2) é = 3l - 6 (3) 3c = 2l (4) l + c = é + 2b) Az (1) összefüggés alapján:

l + 15 = 2l - 4, innen l = 19Mivel a lapok száma kettõvel több, mint az alapot alkotó sokszög oldalszáma, ezért17-szög alapú hasáb esetén teljesül a feltétel.

c) Használjuk a (2) összefüggést:

l + 15 = 3l - 6, innen 2l = 21Mivel a lapok száma egész, ezért nincs olyan hasáb, amelyben a feltétel teljesül.(Hasáboknál az élek és a lapok számának különbsége páros szám!)

2806. a) A hasáb alapjait alkotó négyzeteket rakjuk egymás mellé, majd az ábra szerint he-lyezzük melléjük az oldallapokat alkotó téglalapokat.

b) Elõször a téglalapot a rövidebb oldalakra merõlegesen két egybevágó részre vágjuk.(Ha négyzetbõl indultunk, akkor egyszerûen középvonal mentén kettévágjuk.)

GEOMETRIA

232

A keletkezett téglalapok egyik végébõl levágunk egy-egy négyzetet - ezek a hasábalapjai -, a maradékot pedig két egybevágó részre vágjuk az ábra szerint:

Így valóban egy négyzet alapú hasáb határoló lapjait kaptuk meg.

2807. A kockának 12 éle van, így egy él hossza: 160 cm. A kocka felszíne: 6 ◊ (160 cm)2 == 153 600 cm2 = 1536 dm2. A kocka térfogata: (160 cm)3 = 4 096 000 cm3 = 4096 dm3.

2808. Jelöljük a kocka éleinek hosszát a-val, felszínét A-val, térfogatát V-vel. Ekkor:

A a= ◊6 2 , innen aA

=6

; V a= 3 .

a) A = 24 cm2; a = 2 cm; V = 8 cm3

b) A = 7,26 dm2 = 726 cm2; a = 11 cm; V = 1331 cm3

c) A = 1,5 m2 = 15 000 cm2; a = 50 cm; V = 125 000 cm3

2809. Jelöljük a kocka éleinek hosszát a-val, felszínét A-val, térfogatát V-vel. Ekkor: V = a3,

innen a V= 3 ; A = 6 ◊ a2.

a) V = 8 cm3; a = 2 cm; A = 24 cm2

b) V = 0,001 dm3 = 1 cm3; a = 1 cm; A = 6 cm2

c) V = 0,125 m3 = 125 000 cm3; a = 50 cm; A = 15 000 cm2

2810. a

m

= =

=

=

8 0 8

0 85

cm dm

kg

dm kg

3

,

,

?

r

V = a3 = 0,512 dm3

m = V ◊ r = 0,4352 kgA kocka tömege kb. 0,44 kg.

2811. m

a

=

=

=

9 6

1 2

,

,

?

kg

kg

dm3r

V = m

r = 8 dm3

a = V3 = 2 dm

A kocka éle 2 dm hosszú.

2812. Jelöljük a téglatest egy csúcsba futó éleinek hosszát a; b; c-vel, felszínét A-val, térfoga-tát V-vel. Ekkor A = 2(ab + ac + bc); V = abc.

a) A = 484 cm2; V = 0,72 dm3 b) A = 136 cm2; V = 0,08 dm3

c) A = 632 cm2; V = 1,056 dm3


233

2813. Használjuk az elõzõ megoldás jelöléseit! Ekkor: A = 2ab + 2ac + 2bc, innen

cA ab

a b=

-+2

2 2; V = abc. a = 8 cm; b = 11 cm.

a) A = 556 cm2; c = 10 cm; V = 0,88 dm3

b) A = 9,36 dm2 = 936 cm2; c = 20 cm; V = 1,76 dm3

c) A = 7,46 dm2 = 746 cm2; c = 15 cm; V = 1,32 dm3

2814. A = 2ab + 2ac + 2bc, innen aA bc

b c=

-+2

2 2; V = abc, innen c

V

ab= . A táblázat kitöltése-

kor figyeljünk a mértékegységek egyeztetésére!

a b c A V12 cm 2,1 cm 0,11 cm ª 53,5 cm2 2,772 cm3

2 dm 7 dm 8 dm 172 dm2 112 dm3

8 cm 0,04 m 1,2 dm 352 cm2 384 cm3

9 cm 13 cm 11 cm 718 cm2 1,287 dm3

0,3 m 5 dm 6 dm 126 dm2 90 dm3

2815. Az élek hossza: a = 3x cm; b = 4x cm; c = 5x cm. Ekkor 3x + 4x + 5x = 240, innen:x = 20. Tehát a három egy csúcsból induló és 60 cm; 80 cm; 100 cm. Ezzel a téglatestfelszíne: 376 dm2; térfogata: 480 dm3.

2816. a) A feltételek szerint: a b=2

3 és a = 1,5c. Innen b a=

3

2 és c a=

2

3.

Írjuk fel a téglatest térfogatát!

2162

3

3

23 3cm = = ◊ ◊ =abc a a a a

Vagyis a = 6 cm, így b = 9 cm, c = 4 cm.

b) A téglatest felszíne: At = 2ab + 2bc + 2ca = 228 cm2. A kocka élének hosszát a tér-

fogat ismeretében tudjuk meghatározni: 216 cm3 = a3, innen a = 6 cm. Így a kockafelszíne: Ak = 6 ◊ a2 = 216 cm2. Ezzel megadhatjuk a téglatest és a kocka felszínénekarányát:

A

At

k

= =228

216

19

18

cm

cm

2

2

2817. A metszet egyik oldala a téglatest alap-lapjának átlója, ennek hosszát Pitago-rasz tétele alapján kiszámíthatjuk:

d2 = (4 cm)2 + (3 cm)2

Innen:d = 5 cm

Mivel a metszet a feltételek szerintnégyzet, ezért a téglatest harmadik éle(magassága) is 5 cm. A téglatest felszí-ne: A = 94 cm2.

GEOMETRIA

234

2818. Legyen a kocka egy lapjának területe T. Ekkor a kocka felszíne 6T, a keletlkezett testekfelszínének összege 18T. Észrevehetjük, hogy egy síkkal elvágva a kockát a felszín 2T-vel növekszik meg. Mivel 18T = 6T + 6 ◊ 2T, ezért a kockát 6 síkkal vágtuk el.

2819. Mivel az edényt a harmadrészéig töltöttük fel, ezért az edényben lévõ víz térfogata:V = 6 cm ◊ 9 cm ◊ 4 cm = 216 cm3. Éppen ekkora a kocka térfogata is a feltétel szerint,így a kocka a élének hosszára: a3 = 216 cm3 adódik. Innen a kocka éle: a = 6 cm.

2820. Jelöljük az 1 másodperc alatt kifolyó V = 16 liter víz által beborított út hosszát x dm-rel!Ekkor:

16 liter = 4 m ◊ 1 mm ◊ x dm

Megfelelõ mértékegységeket kialakítva:

16 dm3 = 40 dm ◊ 0,01 dm ◊ x dm

Innen:

x = 40

Tehát az 1 másodperc alatt kifolyó víz 40 dm = 4 m hosszú utat borít be, így a gépkocsi

sebessége v = =4 14 4 m

s

km

h, .

2821. Jelöljük a hasáb alapélének hosszát x-szel! Ekkor a feltétel szerint magassága 2x, így afelszíne: 490 cm2 = 2x2 + 4 ◊ x ◊ 2x. Innen 490 cm2 = 10x2, tehát x = 7 cm. Vagyis a ha-sáb alapélei 7 cm hosszúak, magassága 14 cm, így térfogata: V = (7 cm)2 ◊ 14 cm == 686 cm3.

2822. Jelöljük a hasáb alapélének hosszát a-val! Ekkor magassága m a=2

3; térfogata

V = 144 cm3. V = a2m, ezért: 1442

32 cm3 = ◊a a . Innen: a3 = 216 cm3, azaz: a = 6 cm;

m = 4 cm. A hasáb felszíne: A = 2a2 + 4am = 168 cm2.

2823. A téglatest alapélei a; b, magassága c. A feltételek szerint: a = 3x; b = 4x és2a + 2b = 98 cm. Innen: 14x = 98 cm, x = 7 cm. Tehát az alapélek a = 21 cm;b = 28 cm. V = abc, ezért: 7056 cm3 = 21 cm ◊ 28 cm ◊ c, azaz: c = 12 cm. A téglatestfelszíne: A = 2ab + 2bc + 2ca = 2352 cm2.

2824. A rombusz megrajzolt ma magasságaegy olyan háromszöget vág le a rom-buszból, amely egy szabályos három-

szög fele, így ma

a = =2

6 cm . Ezzel a

hasáb térfogata:

V = Tm = a ◊ ma ◊ m =

= 12 cm ◊ 6 cm ◊ 10 cm == 720 cm3


235

2825. b = 0,8 dm = 8 cmc = 10 cmV = 264 cm3

A = ?Pitagorasz tétele alapján:

a2 = c2 - b2

Így:

a = 6 cm

V Tmab

m= = ◊2

, innen:

mV

ab= =

211 cm

A hasáb felszíne:A = 2T + (a + b + c)m == ab + (a + b + c)m = 312 cm2

2826. a = 10 cmb = 13 cmA = 300 cm2

m = ?V = ?Az alaplapot alkotó háromszög ma ma-gasságára Pitagorasz tétele alapján felír-

hatjuk, hogy: m ba

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen:

ma = 12 cm. Így az alapterület:

Ta ma=◊

=2

60 cm2 . A = 2Ta +

+ (a + 2b)m, így: mA T

a ba=

-+

=2

25 cm .

A hasáb térfogata: V = T ◊ m = 300 cm3.

2827. V = 43,2 dm3 = 43 200 cm3

T = 720 cm2

K = 164 cmA = ?

V = T ◊ m, innen: mV

T= = 60 cm . A = 2T + K ◊ m = 11 280 cm2 = 112,8 dm2.

GEOMETRIA

236

2828. a = 3,5 dmb = 1,3 dmc = 2,5 dmm = 32 cm = 3,2 dmA = ?V = ?Az alaplapot alkotó trapéz magasságaPitagorasz tétele alapján számítható:

m ba c

a2 2

2

2= -

-ÊËÁ

ˆ¯

, innen: ma =

= 1,2 dm. Az alapterület:

Ta c

ma=+

◊ =2

3 6, dm2 . V = Tm =

= 11,52 dm3. A = 2T + (a + 2b + c)m == 17,52 dm2.

2829. a = 12 cmm = 12 cmA = ?V = ?Az alaplapot alkotó háromszög magas-sága Pitagorasz tétele alapján számítha-

tó: m aa

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen:

ma ª 10,39 cm. Az alapterület:

Ta ma=◊

ª2

62 35, cm2 . A = 2T +

+ 3a ◊ m ª 556,7 cm2, V = T ◊ m ªª 748,2 cm3.

2830. a = 8 cmm = 11 cmA = ?V = ?A szabályos hatszöget 6 db szabályosháromszögre darabolhatjuk fel. Egyilyen szabályos háromszög ma magassá-gát Pitagorasz tételével számíthatjuk ki:

m aa

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: ma ª 6,93 cm.

Az alapterület: Ta ma= ◊ ◊ =6

2

= ◊ ª3 166 3a ma , cm2 . A = 2T +

+ 6a ◊ m ª 860,5 cm2, V = T ◊ m ª

a c-2


237

= 1829 cm3.

2831. a = 16 cmb = 5 cmc = 8 cmV = 468 cm3

A = ?A trapéz magassága Pitagorasz tétele alap-

ján számítható ki: m ba c

a2 2

2

2= -

-ÊËÁ

ˆ¯

, in-

nen: ma = 3 cm. Így az alapterület:

Ta c

ma= + =2

36 2cm . V = T ◊ m, így

mV

T= = 13 cm . A = 2T + (a + 2b + c)m =

= 514 cm2.

2832. Az árokban folyó víz 1 perc = 60 másodperc alatt 0 8 60 48, m

s s m◊ = hosszú utat tesz

meg. Így az árok keresztmetszetén 1 perc alatt annyi víz folyik át, amennyi egy 48 mhosszú részben található, azaz: 1 m ◊ 0,5 m ◊ 48 m = 24 m3.

2833. a) Határozzuk meg elõször az árok ke-resztmetszetének területét! Ha meg-rajzoljuk a trapéz magasságát, akkor azegy olyan háromszöget vág le a trapéz-ból, amely egy szabályos háromszög

fele, így xa

= =2

0 5, m , és c = 2 m.

A trapéz magassága Pitagorasz tétele

alapján: m a xa2 2 2= - , innen

ma ª 0,866 m. A trapéz területe:

Ta c

ma= + ◊ ª2

1 3, m2 . Így az árokban

található víz térfogata: V = T ◊ 100 m ª= 130 m3.

a c-2

GEOMETRIA

238

b) Az a) részhez hasonlóan gondol-

kodhatunk. Itt: xa

= =4

0 25, m ,

ma ª 0,433 m, c = 1,5 m. Az alapterület:

Ta c

ma=+

◊ ª2

0 541, m2 . Így az árok-

ban található víz térfogata:V = T ◊ 100 m ª 54,1 m3.

c) Az árokban található víz térfogata:V ª 77 m3.

2834. a = 5 cme = 8 cmm = a = 5 cmV = ?A = ?A rombusz átlói merûlegesek, ezértPitagorasz tétele alapján:

fa

e

2 2

22

2ÊËÁˆ¯= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: f = 6 cm. Így

a rombusz területe: Te f

=◊=

224 cm2 .

V = T ◊ m = 120 cm3.A = 2T + 4a ◊ m = 148 cm2.

2835. a = 20 cmc = 12 cmm = 12 cmA = ?V = ?A trapéz magasságvonala az ábra szerintegy egyenlõ szárú derékszögû három-szöget vág le a trapézból, így

ma c

a =-

=2

4 cm . Pitagorasz tétele

alapján: b ma c

a2 2

2

2= +

-ÊËÁ

ˆ¯

, innen:

b ª 5,66 cm. A trapéz területe:

Ta c

m=+

◊ =2

64 cm2 . V = T ◊ m =

= 768 cm3. A = 2T + (a + 2b + c)m ª= 648 cm2.

a

2

a

2

a c-2


239

2836. A legnagyobb térfogató háromszög ala-pú hasábot akkor kapjuk, ha a hatszög-bõl a legnagyobb területû szabályos há-romszöget vágjuk ki. Ez akkor keletke-zik, ha a hatszög három, páronként nemszomszédos csúcsát kötjük össze. Ennekterülete (az ábráról könnyen leolvasha-tóan) fele a hatszög területének. A sza-bályos háromszög oldala kétszer akko-ra, mint a hatszöget alkotó 6 db szabá-lyos háromszög magassága.

a) Pitagorasz tétele alapján: m aa

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: ma ª 10,4 cm. A hatszög területe:

Ta m

a mha

a= ◊◊

= ◊ ◊ ª62

3 374 cm2 . A háromszög területe: T Th= ª1

2187 cm2 . A

hatszög alapú hasáb felszíne: Ah = 2Th + 6a ◊ m ª 3340 cm2. A háromszög alapú ha-

sáb felszíne: A = 2T + 3 ◊ 2ma ◊ m ª 2619 cm2.

b) A hatszög alapú hasáb térfogata: Vh = Th ◊ m ª 13 468 cm3. A háromszög alapú ha-

sáb térfogata: V = T ◊ m ª 6734 cm3.

2837. A feltételbõl következik, hogy:c = 15 cmm = 15 cmA = ?V = ?

Pitagorasz tétele alapján: a2 = c2 - b2,innen: a = 9 cm. Az alaplap területe:

Tab

= =2

54 cm2 .

A = 2T + (a + b + c)m = 648 cm2.V = T ◊ m = 810 cm3.

2838. a = 36 cmb = 28 cmx = 6 cm

A keletkezett téglatest élei: a - 2x == 24 cm; b - 2x = 16 cm; x = 6 cm, ígytérfogata: 24 cm ◊ 16 cm ◊ 6 cm == 2304 cm3. Így az edénybe kb. 2,3 lfolyadék fér.

2839. b a=5

8m = 12 cm

a

2

GEOMETRIA

240

A feltétel szerint: (a + 2b) ◊ m = 648 cm2. Innen a + 2b = 54 cm, így: a = 24 cm;

b = 15 cm. Pitagorasz tétele alapján: m ba

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: ma = 9 cm. Az alapterület:

Ta ma=◊

=2

108 cm2 . A térfogata: V = T ◊ m = 1296 cm3.

2840. 8 db egybevágó hasábra.

2841. Van ilyen gúla, elegendõ, ha az egyik oldalél merõleges az alapra.

2842. Oldallapok száma 3 4 5 6 9 18Lapok számaÉlek száma 6 8 10 12 18 36Csúcsok száma 4 5 6 7 10 19

4 5 6 7 10 19

Jelöljük a lapok, élek, csúcsok számát rendre l; é; c betûkkel. Ekkor több összefüggés ismegfogalmazható:

(1) l = c (2) é = 2(l - 1)Az (1) és (2) összefüggésbõl következik, hogy: l + c = é + 2.

2843. Pitagorasz tétele alapján: e ma2

02

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

ill. m ma

02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

. Ezeket felhasználva a

feladatok eredményei:a) e = 10 cm b) m0 = 120 cm c) a = 2 dm d) m = 40 cm

e) m0 = 39 cm f) a = 16,8 dm g) m = 12 dm

2844. A aam

a am= + ◊ = +2 0 204

22 . Ezt felhasználva:

a) A = 297 cm2 b) A = 33,12 cm2 c) A = 892,84 cm2

A további feladatokban használjuk fel, hogy: e ma2

02

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

ill. m ma

02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

. Így

a feladatok eredményei:

d) A = 340 cm2 e) A = 1344 dm2 f) A = 41,16 cm2

g) A = 2400 cm2 h) A = 1200 dm2

2845. Va m

=2

3. Ezt felhasználva:

a) V = 240 cm3 b) V = 2,376 dm3 c) V ª 277,3 cm3

A további feladatokban használjuk fel, hogy: m ma

02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

. Így a feladatok megol-

dása:

d) V = 512 dm3 e) V = 10,8 dm3 f) V = 131,712 dm3


241

g) V = 1728 dm3 h) V = 105,456 cm3 i) V = 699,84 dm3

2846. a = 2,4 mm0 = 2,2 mA = ?

Aam

am= ◊ = =42

2 10 5600 , m2

2847. a = 11 mm0 = 10 mA = ?

Aam

am= ◊ = =42

2 22000 m2

Mivel 1 m2-re 16 cserép kell, ezért a tetõre 16 ◊ 220 = 3520 db cserép kell. Mivel a töré-sekre 5 %-ot számítunk, ezért a befedéshez szükséges x db cserépre teljesül, hogy:0,95 ◊ x = 3520. Innen: x ª 3705,2. Tehát 3706 db cserép kell a befedéshez.

2848. Va m

=2

3, innen: m

V

a=

32 . Ezt felhasználva a feladatok eredményei:

a) m = 27 cm b) m = 1,5 dm c) m = 17 cmd) m = 15 cm e) m = 5 dm

2849. A = a2 + 2am0, innen: mA a

a0

2

2=

-. Ezt felhasználva a feladatok eredményei:

a) m0 = 8 cm b) m0 = 4,4 dm c) m0 = 16 cm

d) m0 = 11 cm e) m0 = 0,89 dm

2850. Használjuk fel, hogy m ma

02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

ill. Va m

=2

3.

a) V = 64 cm3 b) V = 10 800 cm3 c) V = 16,464 cm3

d) V = 109,85 dm3 e) V =8

27 dm3

2851. Használjuk fel, hogy: Va m

=2

3, innen: m

V

a=

32 ; m m

a02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

ill. A = a2 + 2am0.

a) m = 4 dm; m0 = 5 dm; A = 96 dm2

b) m = 5 cm; m0 = 13 cm; A = 1200 cm2

c) m = 12 cm; m0 = 13 cm; A = 360 cm2

d) m = 2,1 dm; m0 = 3,5 dm; A = 70,56 dm2

e) m = 0,55 dm; m0 = 1,43 dm; A = 14,52 dm2

GEOMETRIA

242

2852. Használjuk fel, hogy: A = a2 + 2am0, innen: mA a

a0

2

2=

-; illetve: m m

a202

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

.

a) m0 = 5 dm; m = 3 dm b) m0 = 13 cm; m = 5 cm

c) m0 = 15 dm; m = 12 dm d) m0 = 9,1 dm; m = 8,4 dm

e) m0 = 8,5 cm; m = 6,8 cm

2853. a = 20 cme = 26 cmA = ?Pitagorasz tétele alapján:

m ea

02 2

2

2= -Ê

ËÁˆ¯

, innen: m0 = 24 cm;

A = a2 + 2am0 = 1360 cm2.

2854. Használjuk a 2843. feladat jelöléseit! Ekkor a feltétel alapján: 0 652

2 0, aam

= . Innen

adódik, hogy: m0 = 1,3a. A = a2 + 2am0 = 3,6a2, így a = 10 cm; m0 = 13 cm. Ekkor a

test magassága Pitagorasz tétele alapján: m ma2

02

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: m = 12 cm. Így a test

térfogata: Va m

= =2

3400 cm3 .

2855. a = 16 cmm = 6 cmA két gúla felszínének összege az ábránbesatírozott háromszög területének két-szeresével lesz nagyobb az erdetigúla felszínénél. A háromszög alapjaegyenlõ a gúla alapélével, magassága agúla magasságával, így területe:

Tam

= =2

48 cm2 . Tehát a felszín nö-

vekedése 96 cm2.

2856. Folytassuk az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét! Ekkor a felületnövekedés

4T, ahol: Tam

=2

, az egyik sík által kivágott háromszög területe. Határozzuk meg tehát

a test magasságát!


243

a = 24 cmA = 1200 cm2

m = ?

A = a2 + 2am0, innen: mA a

a0

2

2=

-. Adatokkal: m0 = 13 cm. Pitagorasz tétele szerint:

m ma2

02

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, így m = 5 cm. Tehát a felszín növekedése: 4 42

2Tam

am= ◊ = =

= 240 cm2 .

2857. a = 228 mm = 145 m

r = =2 4 2 4, , kg

dm

t

m3 3

A piramis térfogata: Va m

= =2

32 512 560 m3 . Így a felhasznált kõ tömege:

Vr = 6 030 144 tonna.

2858. a = 40 cmm = 20 cmV = ?A = ?e = ?

Va m

= ª2

310 667 cm3 . Pitagorasz tétele alapján: m m

a02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

, így m0 ª 28,28 cm.

A felszíne: A = a2 + 2am0 ª 3863 cm2. Az oldaléle Pitagorasz tétele alapján:

e ma

ma2

02

22

2

22

2= + Ê

ËÁˆ¯= + ◊Ê

ËÁˆ¯

, innen: e ª 34,64 cm.

GEOMETRIA

244

2859. a) a = 10 cmb = 18 cmm = 12 cmA = ?V = ?Pitagorasz tétele alapján:

m mb

12 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

ill. m m22 2= +

+ ÊËÁˆ¯

a

2

2

. Adatokkal: m1 = 15 cm;

m2 = 13 cm. A gúla felszíne és térfoga-

ta: A abam= + ◊ +2

21

+ ◊ =22

2bmab + am1 + bm2 = 564 cm2;

Vabm

= =3

720 cm3 . Ugyanígy járha-

tunk el a b) ill. c) feladat megoldásánális.

b) A = 16,2996 dm2; V = 3,53736 dm3

c) A ª 250,4 cm2; V = 192 cm3

2860. a) A keletkezett gúla alapéleinek hosz-sza megegyezik a kocka élénekhosszával, oldaléleinek hossza pedigfele a kocka testátlójának. Határoz-zuk meg tehát a kocka testátlójánakhosszát!Jelölje a a kocka élének hosszát, f azegyik lap átlójának hosszát, e a test-átló hosszát! Ekkor az ábrán megje-lölt háromszögre alkalmazva a Pita-gorasz tételét:

f 2 + a2 = e2 (1)

Ugyanakkor az f átló hosszát szinténPitagorasz tétele alapján számíthat-juk:

f 2 = a2 + a2 (2)A két összefüggésbõl:

e2 = 3a2 , így e a= 3 .

Adatainkkal: e ª 34,64 cm. Vagyis agúla oldaléleinek hossza:ª 17,32 cm.


245

b) A felszín meghatározásához szüksé-günk van a gúla oldallapjainak ma-gasságára. Ezt ismét Pitagorasz té-tele alapján számíthatjuk ki:

me a e a a a a

02

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

3

4 2= ÊËÁˆ¯- ÊËÁˆ¯=

-=

-=

Tehát m0 ª 14,14 cm. Ezzel a gúla felszíne:

A aam

a am= + ◊ = + ª2 0 204

22 965 7, cm2

c) A gúla térfogata a kocka térfogatának hatodrésze, hiszen ha minden lap csúcsaitösszekötjük a kocka középpontjával, akkor hat egybevágó gúlát kapunk, amelyek

térfogatának összege egyenlõ a kocka térfogatával. Tehát: Va

= ª3

61333 cm3 .

2861. Elõször határozzuk meg az alaplap terü-letét!a = 10 cm

m aa

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: ma ª 8,66 cm

Tam

aa= ª

243 3, cm2

Az oldallapok területe:a = 10 cmb = 13 cm

m ba

02 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: m0 = 12 cm

Tam

00

260= = cm2

Így a gúla felszíne:

A = Ta + 3T0 ª 223,3 cm2.

2862. A gúla alaplapja 6 db a = 8 cm oldalú szabályos háromszögre bontható. Egy háromszög

területe: Tama

D = 2, ahol: m a

aa2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

. Így T = 6 ◊ TD = 3ama ª 166,28 cm2. A gúla

térfogata: VTm

= ª3

332 55, cm3 .

2863. A gúla alaplapjának területét a 2862. Feladat megoldása szerint számíthatjuk. A gúlafelszíne: A = Ta + 6T0 = Ta + 3am0 ª 1022 cm2.

e

2

GEOMETRIA

246

2864. Mivel az oldallapok az alaplappal 45º-os szöget zárnak be, ezért az a három-szög, amelyet valamely oldallap magas-sága a test magasságvonalával meghatá-roz (ábra) egyenlõ szárú derékszögû há-romszög. Ezért ma = m = 10 cm. Ebbõlkövetkezik, hogy az alaplap 6 db olyanszabályos háromszögbõl áll, amelyekmagassága ma = 10 cm.

Ekkor Pitagorasz tétele szerint:

aa

ma2

22

2= ÊËÁˆ¯+ . Innen:

3

4

22a

ma= , az-

az a ma2 24

3= . Adatokkal:

a ª 11,55 cm. Így a gúla alapterülete:

Tam

aa= ◊ =6

2 = ª3 346 4ama , cm2 .

Az oldallappok magassága Pitagorasz

tétele alapján: m m ma02 2 2= + , innen

m0 ª 14,14 cm. Így a gúla felszíne:

A = Ta + 6 ◊ T0 =

= Ta + 3am0 ª 836,3 cm2.

2865. A kocka felszíne: Ak = 6a2, innen a = 7 cm.

a) A gúla magassága egyenlõ a kocka élének hosszával, így térfogata: Va a= ◊ ª

2

3

ª 114 3, cm3 .

b) Az oldallapok magassága Pitagorasz

tétele szerint: m aa

02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

, in-

nen: m0 ª 7,83 cm. Ezzel a

gúla felszíne: A aam= + ◊ ª2 04

2

ª 158 57, cm2 .

c) Az oldalélek hosszát Pitago-rasz tétele alapján számolhatjuk:

ba

m22

02

2= ÊËÁˆ¯+ , innen b ª 8,57 cm.


247

2866. Határozzuk meg elõször a gúla felszí-nét!a = 10 cmm = 12 cmPitagorasz tétele alapján:

m ma

02 2

2

2= + Ê

ËÁˆ¯

, innen m0 = 13 cm.

Ezzel a gúla felszíne: A aam

a am= + ◊ = + =2 0 204

22 360 cm2 . A feltétel szerint ekkora

a hasáb felszíne is. Jelöljük a hasáb magasságát x-szel. Ekkor a hasáb felszíne:Ah = 2a2 + 4ax, innen: x = 4 cm. Ezzel a hasáb térfogata: V = a2 ◊ x = 400 cm3.

2867. Jelöljük az alapél hosszát a-val, az oldallapok magasságait m0-val. Ekkor a feltétel sze-

rint: 2 42

2 0aam

= ◊ . Innen: 2a2 = 2am0, azaz a = m0.

2868. a) A = 273 cm2

a = 7 cm

A = a2 + 2am0, innen: m0 = 16 cm.Pitagorasz tétele alapján:

m ma2

02

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen:

m ª 15,61 cm. A gúla térfogata:

Va m

= ª2

3255 cm3 .

b) Az alaplap területe: Tam

aa= ◊ =6

2

= 3ama , ahol m aa

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, így

ma ª 3,46 cm. Ezzel Ta ª 41,57 cm2.

A gúla felszíne: A Tam

a= + ◊ =62

0

= +T ama 3 0 , innen: m0 ª 19,29 cm.A test magassága Pitagorasz tétele

alapján: m m ma2

02 2= - , innen

m ª 18,97 cm. Így a test térfogata:

VT ma= ª

3262 9, cm3 .

GEOMETRIA

248

2869. Pitagorasz tétele alapján:

m aa

02 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: m0 ª 13,86 cm.

m ma2

02

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, innen: m ª 11,31 cm.

Így: A aam

= + ◊ ª2 042

699 4, cm2 ;

Va m

= ª2

3965 4, cm3 .

2870. Minden lap egy 20 cm oldalú szabályos háromszög. A test felszíne: A ª 692,8 cm2.

2871. A levágott gúla alapéle is és magassága is feleakkora, mint az eredeti gúláé. Így térfo-gata nyolcadrésze az eredeti gúlának.

2872. A = 2r2p + 2rpm; V = r2pm. Ezek alapján a feladatok megoldásai: (a p értékét 3,14-dalközelítettük.)

a) A ª 471 cm2; V ª 785 cm3 b) A ª 2034,7 cm2; V ª 6782,4 cm3

c) A ª 26,38 cm2; V ª 15,83 cm3 d) A ª 654,1 cm2; V ª 3663 cm3

e) A ª 3391 cm2; V ª 36 466 cm3

2873. r = 9,58 cm; m = 2,4 m = 240 cm. A = 2rpm ª 14 439 cm2 ª 1,44 m2.

2874. r = 16 cm; m = 32cm. A = 2r2p + 2rpm ª 4823 cm2; V = r2pm ª 25 723 cm3.

2875. r

m

A

V

(cm)

(cm) 12 5,6

(cm

(cm

2

3

8 3 4 6 11 2 4

12

288 24

1089 300

, ,

,

) ,

) , ,

5

18 9 2 6

320 61 2 440 170

768 64 736 648 14 976

p p p p p pp p p p p p

r

m

A

V

(cm)

(cm) 4,5

(cm

(cm

2

3

7 12 1

3 4 25

161 386 88 468

457 504 4

11 6 6 2

7 5 4

348 10

220 5 961 1080

, ,

, ,

) ,

) , ,

p p p p pp p p p p

2876. m = 2,6 m = 260 cmr = 14 cm

r = =0 6 0 6, , g

cm

kg

dm3 3


249

V = r2pm ª 160 dm3. A farönk tömege tehát: Vr ª 96 kg.

2877. 2rp = 120 cm, innen r ª 19,1 cmm = 80 cmV = ?

V = r2pm ª 91 720 cm3 = 91,72 dm3. A hordóba tehát kb. 91,72 liter folyadék fér.

2878. kb. 2,15 liter.

2879. kb. 26,83 kg.

2880. T = 600 cm2 = 6 dm2

V = 4 dm3

m = ?

V T m= ◊2

3, innen: m = 1 dm.

2881. Vk = 8 dm3, innen: a = 2 dm. A legnagyobb térfogatú henger alapkörének átmérõje akocka éle, magassága a kocka élével egyenlõ. Így: r = 1 dm; m = 2 dm.a) Vh = r2pm ª 6,28 dm3 b) kb. 21,5 % a hulladék c) kb. 63,7 %-a

2882. A kiszorított víz térfogata: V = (30 cm)2p ◊ 0,8 cm ª 2261 cm3. A téglatest térfogatamegegyezik a kiszorított víz térfogatával, így a téglatest harmadik éle:

c =◊

ª2261

255

cm

cm 18 cm cm

3

.

2883. V = 952 cm3; A ª 646,5 cm2.

2884. m = 2rA = 597 cm2

V = ?A = 2r2p + 2rpm = 6r2p, innen r ª 5,63 cm. Így: V = r2pm = 2r3p ª 1121 cm3.

2885. r = 6 cmA = 480 cm2

V = ?

A = r2p + 2rpm, innen: m ª 9,74 cm. Így: V = r2pm ª 1101 cm3.

2886. Használjuk fel, hogy: k = 2rp; P = k ◊ m; T = r2p; V = r2pm.

a) V ª 129 cm3 b) P ª 15,7 cm2 c) V ª 18 083 cm3

d) P ª 2,26 cm2 = 0,0226 dm2 e) V ª 7,23 dm3

2887. r = 12 cm; m = 12 cm. V ª 5426 cm3; A ª 1809 cm2.

2888. a) r = 8 cm; m = 12 cm. Így: V ª 2412 cm3; A ª 1005 cm2

b) r = 12 cm; m = 8 cm. Így V ª 3617,3 cm3; A ª 1507 cm2.

c) r = 6 cm; m = 8 cm. Így V ª 904,3 cm3; A ª 528 cm2.

d) r = 4 cm; m = 12 cm. Így V ª 603 cm3; A ª 402 cm2.

GEOMETRIA

250

2889. a = 5 cm; b = 8 cm. V

V

b a

a b

b

a1

2

2

2

8

5= = =

pp

; A

A

b b a

a a b

b

a1

2

2

2

8

5=

++

= =pp

( )

( ).

2890. a = 16 cm; b = 12 cm. V

V

ab

ba

a

b1

2

2

2

2

2

4

3=

ÊËÁˆ¯

ÊËÁˆ¯

= =p

p

; A

A

a ab

b ba

a a b

b b a1

2

22 2

22 2

2

2

40

33=

+ÊËÁ

ˆ¯

+ÊËÁ

ˆ¯

=++

=p

p

( )

( ).

2891. r = 5 cm = 0,5 dmV = 3 liter = 3 dm3

m = ?

V = r2pm. Innen: mV

r= ª2 38 22

p, cm .

2892. R = 32 cmr = 25 cmm = 2,4 m = 240 cm

r = 1 8, kg

dm3

A csõ térfogata: V = R2pm - r2pm ª 300,7 dm3. Így a csõ tömege: rV ª 541 kg.

2893. R = 1,9 cmr = 1,5 cmm = 800 cm

r = 7 8, kg

dm3

A csõ térfogata: V = R2pm - r2pm ª 3,42 dm3. Így a csõ tömege: rV ª 26,65 kg.

2894. A csõ térfogata: V = ª8

2 963 kg

2,7 kg

dm

dm

3

3, . V = R2pm - r2pm = (R2 - r2)pm, innen:

mV

R r=

-( )2 2 p. Itt: R = 2,7 cm; r = 2,3 cm; V ª 2963 cm3. Így a csõ hossza:

m ª 472 cm.

2895. A feltétel szerint: r2p = 2rpm. Innen: r = 2m, tehát a sugár és a magasság aránya: 2 : 1.

2896. A 2889. feladat megoldása alapján a téglalap két oldalának aránya: 2 : 3.



2899. r = 3m. Így a palást területe: P = 2rpm = 6m2p. A henger felszíne: A = 2r2p + P == 18m2p + 6m2p = 24m2p. Innen adódik, hogy: A = 4P, tehát a felszín négyszerese a pa-lást területének.


251

2900. m = 14 cm; r = 7 cm, így a térfogat és a felszín: V ª 2154 cm3; A ª 923,2 cm2.

2901. A feltételbõl következik, hogy m = 2r. A metszet területe: T = m2 = 4r2, a felszín:A = 2r2p + 2rpm = 6r2p. Tehát a felszín kb. 4,71-szorosa a metszet területének.

2902. Mindhárom esetben kb. 36,3 %-ot.

2903. a) A feltételek alapján: a = 20 cm. Pita-gorasz tételébõl: (2r)2 = a2 + a2, in-

nen: ra2

2

2= . Innen: r ª 14,14 cm.

b) r = 14,14 cm; m = 20 cm, ezértA ª 2176,3 cm2; V ª 12 560 cm3.

2904. A feltételekbõl következik, hogy: m = 26 cm és 2rp = 26 cm, innen: r ª 4,14 cm. Így ahenger térfogata: V ª 1399 cm3.

2905. r = 6 cmm = 10 cmA hatszög oldalainak hossza megegyezika kör sugarával, a = r = 6 cm. A hat-szög területe 6 db 6 cm oldalú szabá-lyos háromszög területének összege:

T Tam

amaa

a= ◊ = ◊ =6 62

3D , ahol:

m aa

a2 2

2

2= - Ê

ËÁˆ¯

, így ma ª 5,2 cm. vagy-

is a hatszög területe: Ta ª 93,5 cm2.

Ezzel a hasáb felszíne és térfogata: A = Ta + 6am ª 453,5 cm2; V = Tam ª 935,3 cm3.A hasáb térfogata kb. 82,74 % a henger térfogatának.

2906. Jelöljük a henger alapkörének sugarát r-rel, magasságát m-mel, a gúla alapélét a-val! Ekkor: (2r)2 = a2 + a2, így: a2 = 2r2.A két térfogat aránya:

V

V

a m

r m

a

r

r

rg

h

= = = = ª

2

2

2

2

2

23

3

2

3

2

30 21

p p p p, .

2907. Használjuk fel, hogy Pitagorasz tétele alapján: a2 = r2 + m2.

r

m

a

12 0 2

2 6

cm m 13 cm

16 cm 2,4 dm 8,4 dm 12 cm

dm 29 cm 0,37 m

10 cm 3 5 dm

2 1 dm

2 dm 0 85 m

, ,

,

, ,

GEOMETRIA

252

2908. A = r2p + rpa = rp(r + a)

a) A ª 201 cm2 b) A ª 637,55 cm2 c) A ª 989,1 dm2 d) A ª 2523 cm2

2909. Vr m

=2

3

p

a) V ª 157 cm3 b) V ª 506,4 cm3 c) V ª 3538 cm3 d) V ª 45,34 cm3

2910. Használjuk fel, hogy: A = rp(r + a); Vr m

=2

3

p; a2 = r2 + m2.

a) A ª 282,6 cm2; V ª 314 cm3 b) A ª 628 cm2; V ª 1005 cm3

c) A ª 15,07 dm2; V ª 1,884 dm3 d) A ª 40,69 dm2; V ª 16,88 dm3

e) A ª 73,85 dm2; V ª 42,2 dm3 f) A ª 61,54 dm2; V ª 8,79 dm3

g) A ª 71,22 dm2; V ª 36,93 dm3 h) A ª 1413 cm2; V ª 3391 cm3

i) A ª 84,78 dm2; V ª 20,35 dm3 j) A ª 492,2 cm2; V ª 653,5 cm3

k) A ª 70,74 dm2; V ª 22,83 dm3

2911. rma

AV

(cm) 4 28,8 1,6 9,6 6 (cm) 3 12 4 16 (cm) 3,4 12 4,1 41,6 (cm (cm

2

3

0 9 38 43 7 2 5 29

5 31 2 836 1728 8 207 36 4 5 307216 3318 2 56 221 184 1 08 7864 63 5

, ,, ,

,) , ,) , , , ,

ª

ª ª ªp p p p p p pp p p p p p p

84

2912. rma

AV

(cm) 8 1,2 (cm) 6 (cm) (cm (cm

2

3

8 16 2,615 0,5 21 0,917 10 1,3 34 29 4,1 4,33

144 3 800 32,4 18320 2800

20 430 12

200 980128 0 24 2560 4 8 27

ª

ª)) , ,

p p p p p p pp p p p p p p

2913. Vágjuk el a kúpot egy, a szimmetriatengelyét tartalmazó síkkal! Ha a = 60º, akkor ez ametszet egy szabályos háromszög, így ekkor az alkotó hossza: a = 2r. Ezt felhasználva:

a) A ª 942 cm2 b) A ª 166,2 cm2

c) A ª 1846 cm2 d) A ª 10,58 dm2

Ha a = 45º, akkor a metszet egyegyenlõ szárú derékszögû háromszög,így: a2 + a2 = (2r)2, azaz: a2 = 2r2, ésm = r. Ezt felhasználva:

e) A ª 121,3 cm2 f) A ª 272,9 cm2

2914. Mivel az alkotók alaplappal bezárt szöge 45º, ezért r = m. Ezt felhasználva:

a) V ª 1809 cm3 b) V ª 9,693 cm3 c) V ª 72,14 cm3 d) V ª 1470 cm3


253

2915. Ha egy kúp palástját kiterítjük, akkor egy olyan körcikket kapunk, amelynek sugaramegegyezik a kúp alkotójával, ívhossza pedig a kúp alapkörének kerületével.

a) A feltételbõl következik, hogy a = 12 cm és ap = 2rp, innen: r = 6 cm. A kúp ma-gassága Pitagorasz tétele alapján kapható: m2 = a2 - r2, innen: m ª 10,39 cm. Így akúp felszíne és térfogata: A = rp(r + a) ª 339,1 cm2; V ª 391,6 dm3.

b) A feltételekbõl következik, hogy: a = 20 cm és a

rp

p2

2= , innen: r = 5 cm.

m2 = a2 - r2, innen: m ª 19,36 cm. Így a kúp felszíne és térfogata: A = rp(r + a) ª= 392,5 cm2; V ª 506,7 cm3.

c) A feltételekbõl következik, hogy: a = 12 cm és 3

22a rp p= , innen: r = 9 cm. A kúp

felszíne: A = rp(r + a) ª 593,5 cm2.

d) A feltételekbõl következik, hogy: a = 15 cm és 2

32

ar

pp= , innen: r = 5 cm.

m2 = a2 - r2, innen: m ª 14,14 cm. A kúp felszíne és térfogata: A = rp(r + a) ª

ª 314 cm2; Vr m

= ª2

3370 1

p, cm3 .

2916. a) A feltételek alapján: 2rp = 20 cm, innen r ª 3,18 cm, illetve ap = 20 cm, innen:a ª 6,37 cm; m2 = a2 - r2, innen: m ª 5,52 cm. Így a kúp felszíne és térfogata:

A = rp(r + a) ª 95,54 cm2; Vr m

= ª2

358 43

p, cm3 .

b) A ª 55,73 cm2 c) A ª 11,46 dm2

2917. a) a = 6 cmb = 8 cmc = 10 cmA rövidebb befogó körül forgatvaolyan kúpot kapunk, amelyben:r = 8 cm; m = 6 cm; a = 10 cm.Így: A ª 452,2 cm2; V ª 402 cm3.A hosszabb befogó körül forgatvaolyan kúpot kapunk, amelyben:r = 6 cm; m = 8 cm; a = 10 cm. Így:

GEOMETRIA

254

A ª 301,5 cm2; V ª 301,5 cm3.

b) A befogók hossza 3x ill. 4x, így Pitagorasz tétele alapján: (3x)2 + (4x)2 = 152, innen:25x2 = 225, x = 3. Tehát a háromszög oldalai 9 cm; 12 cm; 15 cm. A rövidebb befo-gó körül forgatva olyan kúpot kapunk, amelyben r = 12 cm; m = 9 cm; a = 15 cm,így V ª 1356,5 cm3; A ª 1017,4 cm2. A hosszabb befogó körül forgatva olyan kúpotkapunk, amelyben: r = 9 cm; m = 12 cm; a = 15 cm, így V ª 1017,4 cm3;A ª 678,3 cm2.

c) Legyenek a háromszög befogói a ill. b. Ekkor a két kúp térfogatának aránya:

V

V

a b

b a

a

b1

2

2

23

3

= =

p

p

Tehát a háromszög befogóinak aránya 3 : 4.

2918. e = 12 cmf = 16 cmA forgatáskor két olyan kúp keletkezik,

amelyek sugara: re

=2

, magassága:

mf

=2

. A kúpok alkotóinak hossza:

a m r= +2 2 . Így a test térfogata és

felszíne: Vr m

= ◊ ª23

602 92p

, cm3 ;

A = 2 ◊ arp ª 376,8 cm2.

2919. Legyenek a rombusz átlói e; f, ahol: e : f = 5 : 12. A hosszabb átló körül forgatva olyan

„kettõs kúp”-hoz jutunk, amelynek sugara e

2, magassága

f

2, a rövidebb átló körül for-

gatva olyan „kettõs kúp”-hoz, amelynek sugara f

2, magassága

e

2. A két test térfogatá-

nak aránya:

V

V

e f

f e

e f

ef

e

f1

2

2

2

2

2

213 2 2

21

3 2 2

5

12=

◊ ÊËÁˆ¯◊

◊ ÊËÁˆ¯◊

= = =p

p

Tehát a két test térfogatának aránya 5 : 12.


255

2920. AB = 18 cm; BC = 13 cm; CD = 6 cm;DA = 5 cm. A forgatáskor olyan testetkapunk, amely egy hengerbõl és egykörkúpból van „összeragasztva”. A hen-ger alapkörének sugara AD, magasságaDC. A kúp alapkörének sugara AD, ma-gassága AB - CD, alkotója BC.Így a keletkezett test térfogata:

V V Vh k= + = ◊ +(5 6 cm) cm2p

+ ◊ ª(5 12785

cm) cm

3 cm

23p

. A fel-

szín számításánál figyelembe kell venni,hogy a kúp és a henger egyik alap-köre mentén van „összeragasztva”,így ez nem tartozik a felszínhez.A = (5 cm)2p + 2 ◊ 5 cm ◊ p ◊ 6 cm ++ 5 cm ◊ 13 cm ◊ p ª 471 cm2.

2921. AD r= = − =( (810 6 cm) cm) cm2 2 .Innen az elõzõ feladat megoldá-sának gondolatmenetét követve:V ª 979,7 cm3; A ª 527,5 cm2.

2922. Az ábra alapján: BP = - =( (25 7 24 cm) cm) cm2 2 , így: DC = 28 cm - 24 cm == 4 cm. Kövessük ezután a 2920. feladat megoldásának gondolatmenetét. Így:A ª 879,2 cm2; V ª 2051,5 cm3.

2923. BC = + =( (912 15 cm) cm) cm2 2 . In-nen a 2920. feladat megoldásának gon-dolatmenetét követve: A ª 1130,4 cm2;V ª 2486,9 cm3.

GEOMETRIA

256

2924. A keletkezett test az ABPD téglalapmegforgatásával keletkezõ henger,amelybõl kihagytuk a BPC háromszögmegforgatásával keletkezõ kúpot.A henger sugara R = AD, magasságaM = AB, a kúp sugara r = AD; magas-sága m = AB - CD, alkotója a = BC.A keletkezett test térfogata a henger és a kúp térfogatának különbsége:

V V V R Mr m

h k= - = -22

3p

p. A keletkezett test felszíne a henger egyik alapkörébõl és

palástjából, valamint a kúp palástjából áll. Így: A = R2p + 2RpM + rpa. Ezeket felhasz-nálva az egyes feladatokban keletkezett testek felszínét és térfogatát kiszámíthatjuk.

a) A ª 452,2 cm2; V ª 1281 cm3 b) A ª 835,3 cm2; V ª 3077 cm3

c) A ª 960,8 cm2; V ª 4069,5 cm3

2925. A keletkezett test az ABD háromszögmegforgatásával keletkezõ kúp, amely-bõl kihagytuk az ACD háromszög meg-forgatásával keletkezett kúpot. A kétkúp jellemzõi: Az ABD háromszögmegforgatásával keletkezett kúp sugara:r = = AD = 8 cm; magassága:m1 = BD = = 15 cm; alkotója:

a AB1 = = = + =AD BD2 2 17 cm .Az ACD háromszög megforgatásávalkelet-kezett kúp sugara r = AD = 8 cm;magassága m2 = CD = 6 cm; alkotója:

a AC AD CD22 2 10= = + = cm .

a) A test felszíne a két kúp palástjának területösszegével egyenlõ, így: A = ra1p +

+ ra2p = rp(a1 + a2) ª 678,24 cm2.

b) A test térfogata a két kúp térfogatának különbségével egyenlõ, így:

Vr m r m r m m

= - =-

ª2

12

22

1 2

3 3 3602 9

p p p ( ), cm3 .

2926. AT = 4 cmBC = 16 cmA keletkezett test két kúpból áll össze,amelyek alapkörének sugarar = AT = 4 cm, magasságuk: m1 = BTillt. m2 = TC. Így a test térfogata a kétkúp térfogatának összege.


257

Vr m r m r m m AT BC

= + =+

=◊ ◊

ª2

12

22

1 22

3 3 3 3268

p p p p( ) cm3

Megjegyzés: Azt a feltételt, hogy BC a háromszög leghosszabb oldala ott használtuk ki,hogy a magasságvonal T talppontja a BC oldalon van.

2927. Mivel a vasnak 48 %-a hulladék lett, ezért a keletkezett kúpok tömege: 120 kg ◊ 0,52 =

= 62,4 kg. Egy kúp térfogata (r = 2 cm; m = 6 cm) Vr m

= =2

32512

p, cm3 , így egy kúp

tömege: Vr ª 195,94 g. Így a 62,4 kg vasból 318 db kúp esztergálható.

2928. A kúp alapkörének sugara r = 10 cm; magassága m = 20 cm. Így: Vkocka = 8000 cm3;

Vkúp =r m2

3

pª 2093 cm3. Így a hulladék kb. 5907 cm3.

2929. Vkúp = Vhenger

(4 dm) dm) dm

22pp

◊= ◊

m

34 1(

Így a kúp magassága: m = 3 dm. A kúp alkotója: a = + =( (34 5 dm) dm) dm2 2 , ezzel

a kúp felszíne: A = rp(r + a) ª 113 dm2.

2930. m = 16 cmt = 192 cm2

A metszet területe: t = r ◊ m, innen:r = 12 cm. A kúp alkotója:

a r m= + =2 2 20 cm . Így a kúp fel-színe és térfogata: A ª 1206 cm2;V ª 2410 cm3.

2931. V1 : V2 : V3 = 12 : 16 : 24 = 3 : 4 : 6.

2932. V1 : V2 : V3 = 32 : 42 : 52 = 9 : 16 : 25.

GEOMETRIA

258

2933. a) Pitagorasz tétele alapján:

r = - =( (10 6 8 cm) cm) cm2 2 . A forgástestegy r = 8 cm sugarú, m1 = 8 cm magasságúhengerbõl és két r = 8 cm sugarú, m2 = 6 cmmagasságú, a = 10 cm alkotójú kúpból rakhatóössze. Így térfogata a három test térfogatának

összege: V r mr m= + ◊ =2

1

222

3p p

= +ÊËÁ

ˆ¯ªr m m2

1 22

32412p cm3 . A test felülete

a két kúp palástjából és a henger palástjábóláll, így felszíne: A = 2rpm1 + 2rpa =

= 2rp(m1 + a) ª 904,3 cm2.

b) A keletkezett test egy r = 8 cm alapkör sugarú,m1 = 20 cm magasságú henger, amelybõl ki-hagytunk két r = 8 cm sugarú, m2 = 6 cm ma-gasságú és a = 10 cm alkotójú kúpot. Így atest térfogata a henger és a két kúp térfoga-

tának különbsége: V r mr m= - =2

1

222

3p p

= -ÊËÁ

ˆ¯ªr m m2

1 22

33215 4p , cm3 . A test fel-

színe megegyezik a két kúp palástjának, ésa henger palástjának területösszegével. Így:A = 2rpm1 + 2rpa = 2rp(m1 + a) ª 1507 cm2.

2934. A = 4r2p; Vr

=4

3

3p.

a) A = 36p cm2 ª 113 cm2; V = 36p cm3 ª 113 cm3

b) A = 144p cm2 ª 452 cm2; V = 288p cm3 ª 904,3 cm3

c) A = 900p cm2 ª 2826 cm2; V ª 4500p cm3 ª 14,13 dm3

d) A = 23,04p cm2 ª 72,35 cm2; V ª 57,88 cm3

e) A = ª9

47 065

p m m2 2, ; V = ª

9

161 77

p m m3 3,

f) A = ª16

95 58

p dm dm2 2, ; V = ª

32

811 24

p dm dm3 3,

2935. A ª 706,5 m2; V ª 1766 m3.

2936. rA

V

(cm) 9 2,4 (cm

(cm

2

3

4 3 3 2 1 5 12 5324 23 04 36 9

972 18 432256

343 69 2604

, , ,) , ,

) , , ,

p p p p p p p

p p p p p p p

64 40 96 625

36 4 5ª ª


259

2937. a) rvas = 5 cm

rvas 3 g

cm= 7 8,

V rvas vas3 3 cm= ª

4

3523 6

p, ; mvas = Vvas ◊ rvas ª 4084 g.

ral = 10 cm

ral 3

g

cm= 2 7,

V ral al3 3 cm= ª

4

34189

p; mal = Val ◊ ral ª 11310 g.

Tehát az alumínium golyó a nagyobb tömegû, kb 7226 g-mal több a vasgolyónál.

b) m V rréz réz réz réz réz3

33g

cm cm) gramm 1006,6 g= = ◊ = ◊ ◊ = ◊ ªr r

p pp

4

38 9

4

3320 4, (3 ,

m V ral al al al al3

33g

cm cm) gramm 1413,7 g= = ◊ = ◊ ◊ = ◊ ªr r

p pp

4

32 7

4

35 450, (

Tehát az alumínium golyó tömege kb. 407 grammal nagyobb a rézgolyó tömegénél.

c) m V rvas vas vas vas vas3

33g

cm cm) gramm 7057 g= = ◊ = ◊ ◊ = ◊ ªr r

p pp

4

37 8

4

36 2246 4, ( ,

m V rréz réz réz réz réz3

33g

cm cm) gramm g= = ◊ = ◊ ◊ =

◊ªr r

p p p4

38 9

4

35

4450

34660, (

Tehát a vasgolyó tömege kb. 2397 grammal nagyobb a rézgolyó tömegénél.

2938. Egy kockából kiesztergálható legnagyobb gömb átmérõje megegyezik a kocka élével.Így az egyes esetekben a gömb sugara:a) r = 9 cm b) r = 4,2 dm c) r = 3 dmÍgy a felszín és térfogat nagysága:

a) A = 4r2p = 324p cm2 ª 1017 cm2; V r= = ª4

3972 30533pp cm cm3 3 .

b) A = 4r2p = 70,56p dm2 ª 221,6 dm2; V r= = ª4

398 784 310 33p

p, , dm dm3 3 .

c) A = 4r2p = 36p dm2 ª 113 dm2; V r= = ª4

336 1133pp dm dm3 3 .

2939. Jelöljük a 3 cm sugarú gömb felszínét A1-el, térfogatát V1-el, a 4 cm sugarú gömb fel-színét A2-el, térfogatát V2-el! Ekkor:

A

A1

2

4 4

4

16

9= =pp

(

(3

cm)

cm)

2

2 ; V

V1

2

43

4

43

64

27= =

p

p

(

(3

cm)

cm)

3

3

Tehát a gömb felszíne 16

9 -szeresére, térfogata

64

27 -szeresére növekszik.

GEOMETRIA

260

2940. Jelöljük az eredeti léggömb sugarát r-rel. Ekkor a felszíne és térfogata: A = 4pr2;

V r=4

33p

. A keletkezett léggömb sugara 1,5r, így felszíne és térfogata:

A1 = 4p ◊ (1,5r)2 = 2,25 ◊ 4pr2 = 2,25 ◊ A

V r r V= = ◊ = ◊4

31 5 3 375

4

33 3753 3p p

( , ) , ,

Tehát a felszín 2,25-szorosára, a térfogat 3,375-szeresére növekedett.

2941. Az r sugarú fémgolyó lesüllyed a hen-ger aljára, így a térfogatával egyenlõmennyiségû vizet szorít ki (feltételezve,hogy a víz teljesen ellepi a golyót). Te-hát a kiszorított víz térfogata

V r=4

33p

. Ugyanakkor a d átmérõjû

edényben h-val emelkedett a víz szintje,tehát a kiszorított víz mennyisége:

Vd

h= ÊËÁˆ¯2

2

p . Így következik, hogy:

4

3 2

3 2p pr dh= Ê

ËÁˆ¯

Egyszerûsítve p-vel:

4

3 4

3 2r dh=

Innen:

16

3

3

2

r

dh=

a) d = 12 cm; r = 1 cm; h =◊

◊= ª

16 1

3 12

1

27

(

(

cm)

cm) cm 0,37 mm

3

2 . Tehát a víz szintje kb.

0,37 mm-t emelkedik.

b) d = 12 cm; r = 2 cm; h =◊◊

= ª16 2

3 12

8

27

(

(

cm)

cm) cm 3 mm

3


3 mm-t emelkedik.

c) d = 12 cm; r = 4 cm; h =◊◊

= ª16 4

3 12

64

272 37

(

(,

cm)

cm) cm cm

3


2,4 cm-t emelkedik.

2942. Kövessük az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét! Ha a d átmérõjû hengerbeegy r sugarú fémgömböt helyezünk, akkor a víz szintje h-val emelkedik. Így a kiszorí-tott vízmennyiség:

V rd

h= = ÊËÁˆ¯

4

3 23

2pp


261

Innen:

hr

d=

16

3

3

2

Adatainkkal: d = 10 cm; r = 3 cm;, így:

h =◊◊

=16

3 101 44

3

2

(3

(,

cm)

cm) cm

Ha a hengerbe az a élû kockát helyezzük, akkor a vízszint x cm-rel emelkedik. Így a ki-szorított víz mennyisége:

V ad

x= = ÊËÁˆ¯

32

2p

Innen:

xa

d=

4 3

2pAdatainkkal: a = 5 cm; d = 10 cm, így:

x =◊◊

ª4 5

101 59

3

2

(

(,

cm)

cm) cm

pTehát a víz szintje a kocka elhelyezése esetén emelkedik nagyobbat, az emelkedés kb.1,5 mm-rel lesz több.Megjegyzés: Annak eldöntésére, hogy melyik esetben nagyobb a vízszint emelkedése,

elegendõ a gömb és a kocka térfogatát kiszámítani. Mivel: V rgömb3 cm= ª

4

31133p

;

Vkocka = a3 = 125 cm3, ezért a kocka esetén lesz nagyobb a vízszint emelkedése.

2943. R = 50 mm = 5 cmr = 47 mm = 4,7 cm

r = 8 8, g

cm3

V R r R r= - = ◊ - ª4

3

4

3

4

388 73 3 3 3p p p

( ) , cm3 ; m = Vr ª 781 g. Tehát a gömb tömege

kb. 781 g.

2944. a) Egy 1 cm sugarú gömb térfogata nyolcadrésze egy 2 cm sugarú gömb térfogatának.Így ez nyolcadannyi vizet szorít ki, mint a 2 cm sugarú gömb. Tehát a vízszint

emelkedése 2

0 25 mm

8 mm= , .

b) Egy 3 cm sugarú gömb térfogata 27

8-szor akkora, mint egy 2 cm sugarú gömb tér-

fogata, így a kiszorított víz mennyisége is 27

8-szor annyi. Ezért a vízszint emelke-

dése 27

82◊ mm = 6,75 mm .

GEOMETRIA

262

c) Egy 4 cm sugarú vasgolyó térfogata nyolcszor akkora, mint egy 2 cm sugarú vas-golyó térfogata, így nyolcszor annyi vizet szorít ki, mint egy 2 cm sugarú golyó.Tehát a vízszint emelkedése 8 ◊ 2 mm = 16 mm.

d) Az a) feladat alapján egy 1 cm sugarú golyó behelyezése esetén a vízszint emelke-dése 0,25 mm, így 4 db ilyen golyó esetén 1 mm.

2945. a) Egy 4 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(4 cm)2 = 64p cm2. 4 db 1 cm sugarú gömb

felszíne: A2 = 4 ◊ 4p(1 cm)2 = 16p cm2. Így a 4 cm sugarú gömb felszíne a nagyobb.

b) Egy 3 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(3 cm)2 = 36p cm2. 3 db 2 cm sugarú gömb

felszíne: A2 = 3 ◊ 4p(2 cm)2 = 48p cm2. Tehát 3 db 2 cm sugarú gömb felszíne a na-gyobb.

c) Egy 2 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(2 cm)2 = 16p cm2. 4 db 1 cm sugarú gömb

felszíne: A2 = 4 ◊ 4p(1 cm)2 = 16p cm2. A két felszín egyenlõ.

2946. Egy 6 cm sugarú gömb térfogata: V14

36 288= =

pp( cm) cm3 3 . Egy 1 cm sugarú gömb

térfogata: V24

31

4

3= =p

p( cm) cm3 3 .

V

V1

2

28843

216= =p

p

Tehát 216 db kis golyó önthetõ.

A 6 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(6 cm)2 = 144p cm2. A 216 db 1 cm sugarú gömb

felszíne: A2 = 216 ◊ 4p(1 cm)2 = 864p cm2. Így:

A

A1

2

864

1446= =

pp

Tehát a kis golyók felszínének összege hatszorosa az eredeti golyó felszínének.

2947. Legyen a henger alapkörének sugara r. Ekkor a henger magassága 2r, így térfogata:

V1 = r2p ◊ 2r = 2r3p. A kiesztergált gömb sugara r, így térfogata: V r234

3=p

. Ebbõl kö-

vetkezik, hogy:

V

V

r

r2

1

3

3

432

2

367= = ª

p

p%

Tehát a gömb térfogata kb. 67 %-a a henger térfogatának. A henger felszíne:A1 = 2rp(r + 2r) = 6r2p. A gömb felszíne: A2 = 4pr2. Így a henger és a gömb felszíné-nek aránya: A1 : A2 = 3 : 2.


263

2948. A kiszorított víz térfogata: V = ÊËÁ

ˆ¯

◊12

12

cm

2 cm = 36 cm3p p . Jelöljük a golyó sugarát

r-rel. Ekkor: 4

336

3r pp= cm3 , így: r3 = 27 cm3. Tehát a golyó sugara 3 cm.

2949. Jelölje a két gömb sugarát r1 és r2. Ekkor a feltétel szerint: 4

9

4

41

2

12

22

12

22= = =

A

A

r

r

r

r

pp

, így

r

r1

2

2

3= . A térfogatok aránya:

V

V

r

r

r

r1

2

13

23

1

2

343

4

3

8

27= =

ÊËÁˆ¯˜ =

p

p .

2950. r = 2,2 m. A = 2r2p = 2 ◊ (2,2 m)2 ◊ p ª 30,4 m2. Mivel a veszteség az elkészítésnél 8 %volt, ezért 30,4 m2 a felhasznált anyag 92 %-a. Így:

92 % 30,4 m2

100 % ª 33,04 m2

Tehát az ejtõernyõ elkészítéséhez kb. 33,04 m2 anyagot használtak fel.

2951.

2

V V Vhenger kúp félgömb: : : : : : : := ◊ ◊◊ ◊ ◊

= =1 11 1

3

2 1

31

1

3

2

33 1 22

2 3

pp p

A kúp alkotója Pitagorasz tétele alapján 2 egység. Így a felszínek aránya:

( )A A Ahenger kúp félgömb: : ( ) : : ( )= ◊ ◊ + ◊ + ◊ + =2 1 1 1 1 1 2 2 1 12 2p p p p

( ) ( )= + = +4 1 2 3 4 1 2 3p p p: : : :

2952. Az edényben lévõ víz térfogata a kocka térfogatának és a golyó térfogatának különbsé-

ge: Vvíz = - ◊ ª( (104

34 732 cm) cm) cm3 3 3p

. Így a golyót kivéve a víz magassága:

x = =732

107 32

cm

cm) cm

3

2(, . Tehát a víz kb. 7,32 cm magasan áll az edényben.

2953. A kúp térfogata: Vkúp

23 cm) cm

3 cm=

◊=

(5 10 250

3

p p. A gömb térfogata:

Vgömb3 3

3 cm) cm= =

45

500

3

p p( . Innen adódik, hogy Vgömb = 2 ◊ Vkúp, vagyis a kúp

anyagának sûrûsége kétszer akkora, mint a gömb anyagáé, azaz rkúp 3 g

cm= 5 .

GEOMETRIA

264

2954. a) Egy golyó kettéfûrészelésekor 2 db r sugarú körlap területével nõ meg a felszín. Egygolyó felszíne 4pr2, így a kettéfûrészelés után 4pr2 + 2pr2 = 6pr2 lesz, vagyis a fel-szín másfélszeresére nõ, így a növekedés 50 %-os.

b) Jelöljük a kettéfûrészelt golyók számát k-val. Ekkor az elõzõek alapján:k ◊ 2pr2 = 0,15 ◊ 10 ◊ 4pr2. Innen: k ◊ 2pr2 = 6pr2, így k = 3. Tehát 3 golyót fûrészel-tünk ketté.

2955. Mivel a lefûrészelt 10 cm magasságú kúp ha-sonló az eredeti kúphoz, ezért a lefûrészelt kúpalapkörének sugara 5 cm. Az eredeti kúp térfo-gata:

V110 20 2000

3=

◊=

( cm) cm

3 cm

23p p

A lefûrészelt kúp térfogata:

V25 10 250

3=

◊=

( cm) cm

3 cm

23p p

Így a csonkakúp térfogata:

V V Vcsk3 cm= - =1 2

1750

3

p

Ezzel:

V

Vcsk

1

17503

20003

7

887 5= = =

p

p , %

Tehát a csonkakúp térfogata 87,5 %-a a kúp térfogatának.

2956. Jelöljük a kockák éleinek hosszát x cm és (x + 2) cm-rel.

a) A feltétel szerint:

6 2 6 432

6 4 4 6 43224 24 432

17

2 2

2 2( )

( )

x x

x x xx

x

+ - =+ + - =

+ ==

Tehát a két kocka élének hossza 17 cm ill. 19 cm.b) A feltétel szerint:

( )

( )( )

x x

x x x x

x x

x xx x

+ - =+ + + - =

+ - =+ - =

- + =

2 488

6 12 8 488

6 12 480 0

2 80 08 10 0

3 3

3 2 3

2

2

Egy szorzat nulla, ha valamelyik tényezõ nulla. Mivel x + 10 a feltételek alapján po-zitív, ezért x - 8 = 0, így x = 8. Tehát a két kocka élének hossza 8 cm ill. 10 cm.


265

2957. a) A feltételek alapján a kúp alapkörének sugara és a gömb sugara egyenlõ. Jelölje ezta sugarat r. Ekkor a kúp alkotója a = 2r. Ezzel:

A

A

r r a

r

r r r

rkúp

gömb

=+

=+

=pp

pp

( ) ( )

4

2

4

3

42

b) A feltételek alapján a kúp alapkörének sugara és a gömb sugara egyenlõ. Jelölje ezta sugarat r. A kúp magassága m = 2r. Ezzel:

V

V

r m

r

r r

r

kúp

gömb

= = =

2

3

2

33

43

2

4

1

2

p

ppp

2958. Jelölje a gömb sugarát R, a henger alap-körének sugarát r, magasságát m. A fel-tétel szerint: m = R. Készítsünk egyolyan metszetet a testekrõl, amelyben ametszõsík áthalad a henger szimmetria-tengelyén! Pitagorasz tétele alapján:

(2R)2 = R2 + (2r)2. Innen: r R2 23

4= .

Ezzel:

V

V

r m

R

r m

R

henger

gömb

= = =2

3

2

34

3

3

4

pp

=◊ ◊

=3

3

44

9

16

2

3

R R

R

Tehát a henger és a gömb térfogatánakaránya 9 : 16.

2959. a) A kúp palástját kiterítve egy olyan körcikket kapunk, amelynek sugara a kúp alko-tójával egyenlõ, ívhossza pedig megegyezik az alapkör kerületével. Így a körcikk

sugara 6 cm, ívhossza pedig 26

6◊ = cm

2 cmp p . Mivel a 6 cm sugarú félkör kerü-

lete éppen 6p cm, ezért a palást kiterítve egy félkör, így a középponti szög 180º-os.

b) a = 6 cmr = 3 cmPitagorasz tétele alapján:a2 = m2 + r2, így m2 = a2 - r2 == 27 cm2. Tehát a kúp magassága

27 cm 5,2 cmª .

GEOMETRIA

266

2960. a) Egy 16 cm oldalú szabályos há-

romszög területe (16 3

4

cm)2 ◊ =

= ª64 3 111 cm cm2 2 , így a tetra-éder felszíne kb. 111 cm2.

b) A feltételbõl következik, hogy a tet-raéder minden éle 8 cm, így azélhálózat elkészítéséhez 6 ◊ 8 cm == 48 cm hosszú huzalra van szükség.

2961. a) A keletkezett test egy szabályos ok-taéder (olyan nyolclapú test, amely-nek minden lapja szabályos három-szög).

b) A kocka éle a = 10 cm. Jelöljük azoktaéder éleinek hosszát x-el. Te-kintsük azt a derékszögû háromszö-get, amelyet két szomszédos lap kö-zéppontja és a közös él felezõpontja alkot! (Az ábrán satírozással jelöltük.) Ennek

befogói a

2;

a

2 hosszúságúak, átfogója x. Pitagorasz tétele alapján:

xa a2

2 2

2 2= ÊËÁˆ¯+ ÊËÁˆ¯

, innen x = 5 2 cm . A test felszíne megegyezik 8 db x oldalú

szabályos háromszög területének összegével, így: Ax= ◊ = ◊ ◊ =8

3

48

50 3

4

2 cm2

= ª100 3 173 cm cm2 2 .

A test feldarabolható két négyzet alapú gúlára, amelyek alapéle x, magassága a

2.

Így a test térfogata:

Vx

ax a

= ◊◊=

◊=

◊= ª2 2

3 3

50 10 500

3167

22 cm cm

3 cm cm

23 3


267

2962. Mivel egy gömb bármelyik síkmetszetekör, ezért a metszet egy körlap. Jelöljüka kör sugarát r-el! Ekkor Pitagorasz té-tele alapján: (13 cm)2 = (5 cm)2 + r2.Innen r = 12 cm. Tehát a sík a gömbötegy 12 cm sugarú körben metszi.

2963. Mindhárom kérdésre igen a válasz, pl.:a) b) c)

(A b) és c) ábrán a megfelelõ élek felezõpontjait kötöttük össze.)

267

KOMBINATORIKA,VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS

Vegyes kombinatorikai feladatok

2964. a) Akármelyik golyót rakhatjuk az elsõ helyre, ez három lehetõség. Ha például a pirosgolyó került elõre, akkor a második helyre a másik két golyó közül bármelyik kerül-het. Ez két esetet jelent. Ugyanez igaz akkor is, ha másik golyó állt az elsõ helyen.Emiatt az elsõ két helyre 3 ◊ 2-féleképpen kerülhetnek a golyók. Ha eldõlt, hogy az

elsõ két helyre melyik golyó került, akkor a harmadikra már csak egyféle módonhelyezhetjük el a kimaradót. Emiatt összesen 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 féle sorrend lehetséges.

Táblázatba foglalva a lehetõségeket (a golyókat a színük kezdõbetûjével jelöltük):

1. hely P K S

2. hely K S P S P K

3. hely S K S P K P

Ugyanez a válasz a b) c) d) e) f) g) h) kérdésekre is, tehát a lehetõségek száma:3 ◊ 2 ◊ 1 = 6.

2965. a) Akármelyik golyót rakhatjuk az elsõ helyre, ez négy lehetõség. Ha például a pirosgolyó került elõre, akkor a második helyre a maradék három golyó közül bármelyikkerülhet. Ez három esetet jelent. Ugyanez igaz akkor is, ha másik golyó áll elõl, te-hát az elsõ két helyre 4 ◊ 3-féleképpen helyezhetünk golyókat. Ha az elsõ két helyre

már tettünk golyót, akkor a harmadik helyre a megmaradt két golyó bármelyike ke-rülhet. Így az elsõ három helyre 4 ◊ 3 ◊ 2-féleképpen rakhatunk golyókat. Ha eldõlt,

hogy melyik három golyó kerül az elsõ három helyre, akkor a negyedik helyre márcsak egyféleképpen kerülhet golyó. Emiatt összesen 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 féle sorrend le-

hetséges.

Megjegyzés: Az elõzõ feladat eredményét felhasználva gyorsabban is eredményrejuthatunk: Az elsõ helyre bármelyik golyó kerülhet, ez négy lehetõség. Ha például apiros golyó került elsõ helyre, akkor a többi három helyre a maradék három golyótkell sorbarakni. Az elõzõ feladat szerint ezt 6-féleképpen tehetjük meg. Ugyanezigaz akkor is, ha másik golyó áll elöl. Így összesen 4 ◊ 6 = 24-féle sorrend lehetsé-

ges.

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS

268

Ugyanez a válasz a b) c) d) e) f) g) h) kérdésekre is, tehát a lehetõségek száma:4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24.

2966. a) 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 négyjegyû számot kaphatunk.

b) Páros számot csak akkor kapunk, ha az utolsó számjegy a 4. Így az elsõ háromhelyiértékre az 1; 3; 5 számjegyek kerülnek valamilyen sorrendben. Annyi párosszámot kapunk tehát, ahányféleképpen az 1; 3; 5 számjegyek sorbarendezhetõk.Ezen sorrendek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. Tehát 6 páros szám van közöttük.

c) 4000-nél nagyobb számot akkor kapunk, ha az elsõ számjegy 4 vagy 5. Így az elsõhelyiértékre kétféle számjegy kerülhet. Ha ide valamelyik számjegyet leírtuk, akkora további három helyiértékre kell a maradék három számjegyet leírni. Ezt3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-féleképpen tehetjük meg. Tehát a 4000-nél nagyobb számok száma:2 ◊ 6 = 12.

2967. Korongok Példák az elrendezésekre Sorrendek száma

P; K PK; KP 2

P; K; S PKS; PSK; KPS; KSP; SPK; SKP 6

P; K; S; F PKSF; PKFS; PSKF; PSFK; … 24

2968. a) Az öt vendég 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120-féle sorrendben érkezhetett meg a születésnapra.

b) Az elsõ három érkezõ a három fiú volt. Õk 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-féle sorrendben érkezhettek

meg. Az ezután érkezõ két lány kétféle sorrendben érkezhetett. Vagyis a fiúk bár-mely érkezési sorrendjéhez kétféleképpen kapcsolódhatnak, így az ilyen sorrendekszáma: 6 ◊ 2 = 12.

2969. Az elsõ helyen bármelyik futó végezhetett, ez 6 lehetõség. Ha az elsõ helyezett már be-futott, a második helyre a maradék öt futó közül bármelyik kerülhet, így ez 5 lehetõség.Tehát az elsõ két helyre 6 ◊ 5-féleképpen kerülhetnek versenyzõk. Hasonlóan folytatvatovább a hat futó lehetséges befutási sorrendjeinek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = = 720.

2970. Mivel a szám 15-tel kezdõdik, ezért az elsõ két helyiértéket már kitöltöttük, így a többinégy helyiértéken kell elhelyezni a maradék négy számjegyet. Ezt annyiféleképpen te-hetjük meg, ahányféleképpen a négy számjegyet sorba lehet rendezni. Ezek száma:4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24. Tehát 24 db ilyen hatjegyû szám képezhetõ.

2971. Annyi ötjegyû számot képezhetünk, ahányféleképpen az öt számjegyet sorba lehet ren-dezni. Ezek száma: 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120. Tehát 120 db ötjegyû számot képezhetünk. Ha

a szám 7-re végzõdik, akkor az elsõ négy helyiértékre kell elhelyezni a maradék négyszámjegyet minden lehetséges sorrendben. Az ilyen számok száma tehát:4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24.

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK

269

2972. 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 5040-féle sorrendben.

2973. a) Annyi ötjegyû számot képezhetünk, ahányféle módon sorbarendezhetjük az ötszámjegyet. Ezek száma: 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120.

b) Azok a számok párosak ezek közül, amelyek 2-re vagy 4-re végzõdnek. Tehát azutolsó helyre kétféle számjegyet választhatunk. Ekkor valamelyiket leírva a maradéknégy helyiértékre kell elhelyezni a kimaradó négy számjegyet. Ezt 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féle módon tehetjük meg. Tehát a képezhetõ páros számok száma: 2 ◊ 24 = 48.

c) Azok a számok lesznek néggyel oszthatóak, amelyek utolsó két jegyébõl álló kétje-gyû szám osztható néggyel. Emiatt az utolsó két helyiértékre a következõ számokkerülhetnek: 32; 52; 72; 24. Ha ezek valamelyikét leírjuk az utolsó két helyiértékre,akkor a maradék három számjegyet kell az elsõ három helyiértékre elhelyezni. Ezenelrendezések száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. Tehát összesen: 4 ◊ 6 = 24 néggyel osztható szám

van közöttük.

d) A legnagyobb szám a 75 432, a legkisebb a 23 457.

e) A legnagyobb páratlan szám a 75 423.

f) A legkisebb páros szám a 23 574.

g) Nagyság szerint írva a négy legkisebb szám sorrendben: 23 457; 23 475; 23 547;23 574. Tehát a 4. helyen a 23 574 állna. Mivel az a) rész szerint 120 db szám vanösszesen, ezért a nagyság szerinti növekvõ sorban ugyanaz a szám áll a 115. helyen,mint ami a csökkenõ sorrendben a 6. helyen. Írjuk le csökkenõ sorrendben az elsõhat számot!

75 432; 75 423; 75 342; 75 324; 75 243; 75 234; ...

Tehát a növekvõ sorrendben a 115. helyen a 75 234 állna.

h) Mivel minden szám ötjegyû és 120 db van belõlük, ezért az egymás mellé íráskor5 ◊ 120 = 600 jegyû számot kapnánk.

2974. Ábécé sorrendben írva a „szavakat”, elõször az A, majd a K, végül a P és U betûvelkezdõdõ szavak következnek. Nézzük elõször hány „szó” kezdõdik A betûvel! Ezekszáma éppen 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6, hiszen a maradék három betût ennyiféle sorrendben írhatjuk

az A betû után. Tehát a „szótárban” az elsõ hat „szó” A betûvel kezdõdik és ezután kö-vetkeznek a K betûvel kezdõdõ „szavak". Hasonlóan, mint az A betû esetén, a K betû-vel kezdõdõ „szavak” is hatan vannak. Az is látható, hogy közülük az elsõ a KAPU ésutolsó a KUPA (hiszen a KAPU-ban a K után ábécé sorrendben, míg a KUPÁ-ban ép-pen fordítva következnek a betûk). Ebbõl következik, hogy a „szótárban” a KAPU a 7.,a KUPA a 12. helyen szerepel.

2975. a) Egy szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege is osztható 3-mal. Az általunk képezett számokban ugyanazok a számjegyek szerepelnek, tehát haa jegyek összege osztható 3-mal, akkor minden ilyen hatjegyû szám is osztható lesz


270

3-mal. A jegyek összege 1 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 36 osztható 3-mal, tehát annyi 3-mal osztható szám lesz, ahány ilyen hatjegyû számot képezni lehet. Ezek száma:6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 720, hiszen ennyiféleképpen rendezhetjük sorba a hat számje-

gyet.

b) Egy szám akkor osztható 6-tal, ha osztható 3-mal és páros. Mivel az általunk képez-hetõ számok mind oszthatók 3-mal, ezért azt kell megszámolni, hogy közöttük hánypáros van. Páros számot akkor kapunk, ha az utolsó helyiértékre 6-ot vagy 8-atírunk. Ezek bármelyikét leírva a többi öt helyiértékre 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120-féle mó-

don rendezhetjük el a maradék öt számjegyet. Tehát a 6-tal osztható számok száma:2 ◊ 120 = 240.

c) Egy szám akkor osztható néggyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû számis osztható néggyel. Esetünkben lesz közöttük néggyel osztható, hiszen a 16-ra, 56-ra, 76-ra, 96-ra és 68-ra végzõdõ számok mind ilyenek.

Megjegyzés: Könnyen megszámolhatjuk, hogy hány néggyel osztható számot ké-peztünk! Az elõzõek szerint az utolsó két helyiértékre 5-féleképpen írhatunk szám-jegyeket. Bármelyiket is tekintjük, hozzá az elsõ négy helyiértékre 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-

féleképpen rendezhetjük el a maradék négy számjegyet. Így a néggyel oszthatószámok száma: 5 ◊ 24 = 120.

2976. a) A nyolc ember 8 ◊ 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 40 320-féle módon ülhet le egymás mellé.

b) Különböztessünk meg két esetet:

1. eset: a páratlan sorszámú helyeken fiúk ülnek, a páros sorszámú helyeken lányok.

Ekkor a négy páratlan sorszámú helyre a négy fiút 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen ül-

tethetjük le. A fiúk bármely sorrendjében a lányok a négy páros sorszámú helyre4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen ülhetnek. Így ezen sorrendek száma: 24 ◊ 24 = 576.

2. eset: a páratlan sorszámú helyeken lányok ülnek, a páros sorszámú helyeken fiúk.

Ekkor az elõzõ részhez hasonlóan a lehetõségek száma 576.

Így összesen 576 + 576 = 1152-féle módon ülhetnek le felváltva fiúk, lányok a pad-ra.

2977. A leírt feltétel szerint nem tekinthetõ különbözõnek az a két elhelyezés, amelyek egyikeúgy keletkezik a másikból, hogy mindenki pl. egy hellyel jobbra ül. Ebbõl következik,hogy az elhelyezkedésnél az elsõ ember tetszüleges helyre ülhet, a sorrendet a többiekhozzá képest való elhelyezkedése határozza meg.

a) Az elõbb elmondottakból következik, hogy 3 ember csak egyféleképpen ülhet le azasztal mellé, hiszen bármilyen helyzetben is foglaltak helyet a két szomszéd ugyan-az marad. (Ha különbséget tennénk a bal- ill. jobboldali szomszéd személye között,akkor persze kétféle elhelyezkedés adódna, aszerint, hogy az elsõ ember balján amásodik, vagy a harmadik ember ül.)


271

b) Az a) részben leírtak szerint 3 ember csak egyféleképpen ülhet le az asztal köré. Haa négybõl három már leült, a negyediket 3-féleképpen ültethetjük le annakmegfeleleõen, hogy melyik kettõ közé ültetjük. Így a lehetõségek száma 3. (Ha kü-lönbséget teszünk a bal és jobboldali szomszéd között, akkor az elõzõ megjegyzés-bõl adódóan 6-féle elhelyezés lehetséges.)

c) A b) rész szerint négy ember háromféleképpen ülhet le az asztal köré. Válasszunk kiaz öt emberbõl négyet és ültessük le õket! Ekkor az ötödik ember 4-féleképpen ülhetle közéjük, így az öt ember elhelyezkedésére: 3 ◊ 4 = 12 lehetõségünk van. (Ha kü-

lönbséget teszünk a bal- és jobboldali szomszéd között, akkor a lehetõségek száma24.)

2978. A megoldás alapgondolata megegyezik az elõzõ feladat megoldásában használtakkal.Három gyöngyöt csak egyféleképpen fûzhetünk fel a láncra. A negyediket bármelykettõ közé illeszthetjük, így a négy gyöngy felfûzésére 3 lehetõség van. Az ötödikgyöngyöt a már felfûzött négy gyöngy közé kell illeszteni, így erre 4 lehetõség van. Te-hát az öt gyöngyöt összesen 3 ◊ 4 = 12-féleképpen fûzhetjük fel. Ha már öt gyöngyöt

felfûztünk, a hatodikat ezek közé kell illeszteni. Erre 5 lehetõségünk van. Így a hatgyöngyöt összesen: 5 ◊ 12 = 60-féleképpen fûzhetjük fel a láncra.

2979. a) Osszuk fel a padot három részre, és osszuk el a részeket a három házaspár között.Ezt 6-féleképpen tehetjük meg. (Az elsõ részt bármelyik pár kaphatja, ez háromeset. Ha az egyik már megkapta azt, a másik részre két lehetõség van. Végül, ha azelsõ két részt elosztottuk, akkor a harmadikat csak egyféleképpen adhatjuk oda. Ígyaz esetek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6) A megkapott részre mindegyik pár kétféleképpen ül-het le. Így az összes lehetõségek száma: 6 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 48.

Megjegyzés: Másképpen is okoskodhatunk! A pad bal oldali szélére a hat ember kö-zül bárki leülhet, ez 6 lehetõség. Melléje viszont már csak a házastársa ülhet, így azelsõ két helyre 6-féleképpen ülhetnek le. Ezután a következõ helyre a kimaradó 4ember közül bárki leülhet, melléje viszont ismét csak a házastárs ülhet, így az elsõnégy helyre 6 ◊ 4-féleképpen ülhetnek le. A kimaradó két helyre a harmadik házas-pár kétféleképpen ülhet le, így az összes lehetõségek száma: 6 ◊ 4 ◊ 2 = 48.

b) Kövessük vagy az a) részben vagy a megjegyzésben látott gondolatmenetet! A le-hetséges esetek száma: 24 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 384. (A megjegyzésbeli gondolatmenettel:8 ◊ 6 ◊ 4 ◊ 2 = 384.)

2980. a) A 2977. feladat megoldásából kiderült, hogy három ember a feltételeknek megfele-lõen csak egyféleképpen helyezkedhet el az asztal körül. Ültessük le elõször a há-rom férfit az asztal köré, ezt csak egyféleképpen tehetjük meg. Ezután minden fele-ség választhat, hogy férje jobb vagy bal oldalán szeretne inkább ülni. Így a lehetõ-ségek száma: 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8.


272

b) Az a) rész szerinti gondolatmenetet követve: A négy férjet háromféleképpen ültet-hetjük az asztal mellé. (2977. feladat b) része.) Ezután minden feleség két lehetõségközül választhat: férje jobbján vagy balján foglalhat helyet. Így a lehetõségek szá-ma: 3 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 48.

Megjegyzés: Ha leülésnél különbséget teszünk a jobb- és baloldali szomszéd között,akkor az elhelyezkedések száma az elõzõ megoldásból adódónak kétszerese lesz.

2981. a) 4 b) 18 c) 96

Gondolkodjunk úgy, hogy az elsõ helyiértékre a 0-n kívül bármely számjegy kerülhet.Ha ide már leírtunk egy számjegyet, akkor a maradék helyiértékekre a kimaradt szám-jegyeket tetszõleges sorrendben leírhatjuk.

2982. Az elsõ helyiértékre nulla nem kerülhet, így ide 9-féleképpen írhatunk számjegyet. Amaradék kilenc helyiértékre a kimaradó 9 számjegy tetszõleges sorrendben írható, így alehetõségek száma: 9 ◊ 9 ◊ 8 ◊ 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 3 265 920.

2983. Egy szám pontosan akkor osztható öttel, ha 0-ra vagy 5-re végzõdik. Ezért esetünkben a0 az utolsó helyiértéken szerepelhet csak. Az elsõ négy helyiértékre a négy számjegyet4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen helyezhetjük el, így 24 ilyen ötjegyû szám képezhetõ.

2984. Egy szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végzõdik. Esetünkben a 0-ravégzõdõ négyjegyû számok száma 6, hiszen a többi három számjegyet hatféleképpenhelyezhetjük el az elsõ három helyiértéken. Az 5-re végzõdõ számok száma 4, hiszen a0 nem kerülhet az elsõ helyiértékre. Összesen tehát 10 ilyen négyjegyû szám képezhetõ.

2985. Az utolsó számjegy vagy a 0, vagy a 2. Ha a 0 az utolsó jegy, akkor az elsõ háromhelyiértékre 6-féleképpen rendezhetjük el a három számjegyet, így 6 ilyen négyjegyûszám van. Ha az utolsó számjegy a 2, akkor 4 ilyen négyjegyû szám képezhetõ, hiszen a0 nem állhat az elsõ helyiértéken.Összesen tehát 10 ilyen négyjegyû szám képezhetõ. Néggyel osztható számot akkor ka-punk, ha az utolsó két számjegybõl álló kétjegyû szám osztható néggyel. Így az utolsókét helyiértékre csak a 12; 32; 20 kerülhet. Így 4 db néggyel osztható számot kapha-tunk, ezek a következõk: 3012; 1032; 1320; 3120.

2986. a) Az elsõ helyiértékre nem kerülhet 0, így 4 lehetõség adódik. Ha valamelyik számje-gyet elsõnek leírtuk, akkor a többi négy helyiértékre a maradék négy számjegyet4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen írhatjuk le. Így 4 ◊ 24 = 96 ötjegyû számot képezhetünk.

b) Az utolsó számjegy csak 1 vagy 3 lehet, ez két lehetõség. Valamelyiket leírva a ma-radék négy számjegybõl kell négyjegyû számot képezni. Mivel a nulla nem kerülhetaz elsõ helyiértékre, ezért ilyen négyjegyû szám: 3 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 18 van. Tehát a pá-

ratlan ötjegyû számok száma: 36.


273

c) Egy szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha ötre vagy nullára végzõdik. Ezért ese-tünkben a nullának az utolsó helyiértéken kell állni. Ilyen szám összesen4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 képezhetõ, hiszen a maradék négy számjegyet tetszõleges sorrend-

ben írhatjuk az elsõ négy helyiértékre.

d) Egy szám pontosan akkor osztható néggyel, ha az utolsó két jegyébõl álló kétjegyûszám is osztható néggyel. Így esetünkben a számoknak a következõ kétjegyû számvalamelyikére kell végzõdni: 20; 40; 12; 32; 24; vagy 04. Ha a szám, végzõdése 20;40 vagy 04, akkor az elsõ három helyiértékre tetszõleges sorrendben írhatjuk a ki-maradó három számjegyet. Tehát ilyen szám összesen 3 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 18 képezhetõ.

Ha a szám végzõdése 12; 32 vagy 24, akkor a kimaradó három számjegybõl a 0 nemkerülhet az elsõ helyiértékre, így ilyen szám összesen 3 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 1 = 12 képezhetõ.

Összefoglalva: 30 db néggyel osztható számot képezhetünk.

2987. a) Egy szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege is osztható 3-mal. Esetünkben a jegyek összege: 0 + 2 + 4 + 6 + 9 = 21 osztható 3-mal. Így azösszes ötjegyû szám osztható lesz 3-mal. Ezek száma 4 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 96, hiszen a

nulla nem állhat elsõ helyen.

b) Egy szám akkor osztható 6-tal, ha osztható 3-mal és páros. Esetünkben mindenszám osztható 3-mal, tehát csak azt kell megszámolni, hogy hány páros van közöt-tük. Mivel csak a 9-re végzõdõ számok nem párosak, ezért célszerû megszámolni,hogy hány 9-re végzõdõ szám található közöttük. Mivel a 0 nem kerülhet az elsõhelyiértékre, ezért a 9-re végzõdõ számok száma: 3 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 18. Tehát a számokközött 96 - 18 = 78 hattal osztható van.

c) Egy szám pontosan akkor osztható 30-cal, ha osztható 5-tel is, 3-mal is és 2-vel is.Esetünkben minden szám osztható 3-mal, így azokat kell megszámolni, amelyik 5-tel is és 2-vel is oszthatók. Ez a feltétel akkor teljesül, ha a szám 0-ra végzõdik. Ígyezek száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24.

2988. a) 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332. A számok leírása nélkül is kiszámít-hatjuk az összeget! Észrevehetjük, hogy az összegben minden számjegy mindenhelyiértéken éppen kétszer szerepel, hiszen a másik két jegyet kétféleképpen írhat-juk le a megmaradó két helyiértékre. Így az összeg: 2 ◊ (1 + 2 + 3) ◊ 100 ++ 2 ◊ (1 + 2 + 3) ◊ 10 + 2 ◊ (1 + 2 + 3) = 2 ◊ (1 + 2 + 3) ◊ 111 = 2 ◊ 6 ◊ 111 = 1332.

b) Az a) részben látott gondolatmenetet követhetjük. Minden számjegy minden helyi-értéken annyiszor szerepel az összegben, ahányféleképpen a többi három számje-gyet a maradék három helyiértékre le lehet írni. Ez éppen 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. Így az ösz-

szeg:6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 1000 + 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 100 + 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 10 + 6 ◊ (1 ++ 2 + 3 + 4) = 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 1111 = 6 ◊ 10 ◊ 1111 = 66 660.


274

c) Hogy a b) részben látott gondolatmenetet alkalmazni tudjuk, írjuk hozzá gondolat-ban a négyjegyû számokhoz azokat is, amelyek 0-val kezdõdnek. Ekkor a b) részalapján az összeg: 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) ◊ 1000 + 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) ◊ 100 ++ 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3)10 + 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) = 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) ◊ 1111 == 6 ◊ 6 ◊ 1111 = 39 996. Ebbõl az összegból vonjuk ki azokat, amelyek 0-val kez-

dõdtek (0123; 0132; ...) Ezek összege éppen az a) részben számított összeg, tehát1332. Így a 0; 1; 2; 3 számjegyek felhasználásával készített négyjegyû számok ösz-szege: 39 996 - 1332 = 38 664.

2989. a) 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120, hiszen ennyiféleképpen lehet sorbarendezni az 5 számjegyet.

b) Minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel az összegben, ahányféle-képpen a többi 4 számjegyet a 4 kimaradó helyiértéken el lehet helyezni. Ez a szám4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24. Így a keresett összeg (az 2988. feladat mintájára):24 ◊ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ◊ 11 111 = 24 ◊ 25 ◊ 11 111 = 6 666 600.

2990. a) ABB; BAB; BBA

b) TOLL; TLOL; TLLO; OTLL; OLTL; OLLT; LOTL; LOLT; LLOT; LTOL;LTLO; LLTO

2991. AABB; ABAB; ABBA; BAAB; BABA; BBAA

2992. Korongok Példák az elrendezésekre Sorrendek száma

F; P; K FPK; FKP; PFK; PKF; … 6

F; F; P FFP; FPF; PFF 3

F; P; K; S FPKS; FPSK; FKPS; FKSP; … 24

F; F; P; K FFPK; FPFK; FPKF; FFKP; … 12

F; F; F; P FFFP; FFPF; FPFF; PFFF 4

F; F; P; P FFPP; FPFP; FPPF; PFFP; … 6

2993. I. megoldás: Válasszunk ki a négy helyiérték közül kettõt, és ide írjuk le a két 2-esszámjegyet! Ezt 6-féleképpen tehetjük meg, hiszen az elsõ helyiértéket 4 közül vá-lasztjuk, a másodikat a maradék három közül. Ez 12 lehetõséget jelentene, azonbanminden helyiérték-párt kétszer számoltunk meg annak megfelelõen, hogy melyiket vá-lasztottuk ki elsõnek. Ezután a maradék két helyiértékre írjuk le a 3 és az 5 számjegye-ket. Ezt kétféleképpen tehetjük meg. Így a képezhetõ négyjegyû számok száma6 ◊ 2 = 12.

II. megoldás: Írjunk az egyik kettes számjegy helyébe egy 1-est! Így a négy szám-jegybõl 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 négyjegyû számot képezhetünk. Rendezzük ezeket párba: két

szám kerüljön párba, ha az 1 és 2 cseréjével egyikbõl a másikat kapjuk. (pl: 5132és


275

5231) Látható, hogy ha most az 1 helyett visszaírjuk az eredetileg szereplõ 2-t, akkor apárok ugyanazt a négyjegyû számot jelentik. Ezért a képezhetõ négyjegyû számok szá-ma: 12.

2994. I. megoldás: Válasszunk ki az öt helyiérték közül kettõt, és ide írjuk le a két 1-es szám-jegyet. A két helyiérték kiválasztását 10-féleképpen tehetjük meg. A maradék háromhelyiértékre írjuk le a 2; 3; 5 számjegyeket. Ezt 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-féleképpen tehetjük meg.Így a képezhetõ ötjegyû számok száma: 10 ◊ 6 = 60.

II. megoldás: Írjunk az egyik 1-es számjegy helyett 9-est! Az így kapott öt számjegybõl5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120 ötjegyû számot képezhetünk. Rendezzük ezeket párba: két szám

kerüljön párba, ha az 1 és a 9 cseréjével egyikbõl a másikat kapjuk. (Pl: 29 351 és21 359) Látható, hogy ha most a 9-es helyett visszaírjuk az eredeti 1-est, akkor a párokugyanazt a számot jelentik. Így a képezhetõ ötjegyû számok száma: 60.

2995. Válasszunk ki a négy helyiérték közül kettõt és írjuk ide a két 3-ast, a másik kéthelyiértékre a két 5-öst. Így annyi négyjegyû számot lehet képezni, ahányféleképpen anégy helyiérték közül kettõt ki lehet választani. Ezt 6-féleképpen tehetjük meg. (Az elsõhelyiérték kiválasztására 4, a másodikra 3 lehetõségünk van. Ez összesen 12 esetet je-lentene, de minden helyiérték-párt kétszer számoltunk annak megfelelõen, hogy melyi-ket választottuk ki elõször.) Tehát 6 db négyjegyû számot képezhetünk.

2996. a) Válasszuk ki az öt helyiérték közül kettõt, és a maradék háromra írjuk le az egyesszámjegyeket. Ezt 10-féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott két helyiértékre a 2 és3 kétféleképpen írható, így a képezhetõ ötjegyû számok száma: 2 ◊ 10 = 20.

b) 3 db c) 6 db

2997. Járjunk el a 2995. feladat szerint.

a) 6 db b) 3 db

2998. a) Az öt helyiérték közül válasszunk ki kettõt, ide írjuk le a két 2-est, a többi háromhelyiértékre pedig a három 1-est. Így annyi ötjegyû számot képezhetünk, ahányféle-képpen az öt helyiérték közül kettõt ki lehet választani. (Az elsõ helyiérték kiválasz-tására 5, a másodikra 4 lehetõségünk van. Így azonban minden helyiérték-párt két-szer számoltunk meg. Tehát a kiválasztások száma: 10) Vagyis 10 ilyen ötjegyûszám képezhetõ.

b) 3 db c) 4 db d) 6 db

2999. 3 db ilyen ötjegyû szám képezhetõ.

3000. Az elsõ négy helyiértékre kell elhelyezni minden lehetséges módon az 1; 1; 2; 2 szám-jegyeket. Az ilyen hatjegyû számok száma: 6. (Lásd a 2997. a) feladat megoldását.)


276

3001. a) 12 szó képezhetõ. (Lásd a 2993. feladat megoldását. Írjunk az A betûk helyett 2-t, aK helyett 3-at, a T helyett pedig 5-öt!)

b) Az AKTA szó a 4. helyen áll ebben a szótárban.

3002. Ahhoz, hogy a MATEK szót kiolvassuk kettõt jobbra és kettõt lefelé kell „lépnünk".Jelöljük a jobbra lépést az 1 számjeggyel, a lefelé lépést a 2 számjeggyel. Így mindenegyes kiolvasáshoz tartozik egy négyjegyû szám, amely két 1-es és két 2-es számjegyettartalmaz, és fordítva: minden ilyen négyjegyû számhoz tartozik egy elolvasása a MA-TEK szónak. Például: a 2112 számhoz a nyilak szerinti elolvasás tartozik:

M A T

A T E

T E K

ØÆ Æ

Ø

Ebbõl következik, hogy annyiféleképpen olvasható ki a MATEK szó a táblázatból,ahány négyjegyû szám képezhetõ az 1; 1; 2; 2 számjegyekbõl. Ezek száma 6. (Lásd2997 a) feladat megoldását.) Tehát 6-féleképpen olvasható ki a MATEK szó a táblázat-ból.

3003. Kövessük az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét! Ahhoz, hogy az ISKOLAszót kiolvassuk a táblázatból 3 „lépést” jobbra és 2 „lépést” lefelé kell megtenni. Jelöljea jobbra lépést 1-es számjegy, a lefelé lépést 2-es számjegy. Így a táblázatból annyiféle-képpen olvasható ki az ISKOLA szó, ahány ötjegyû szám képezhetõ az 1; 1; 1; 2; 2számjegyek felhasználásával. Ezek száma 10. (Lásd a 2998. feladat a) részének megol-dását.) Tehát 10-féleképpen olvasható ki a táblázatból az ISKOLA szó.

3004. Az olvasáskor hét lépést kell tennünk jobbra és kettõt lefelé. Jelöljünk minden jobbralépést egy 1-es számjeggyel és minden lefelé lépést egy 2-es számjeggyel. Így mindenelolvasáshoz egyértelmûen hozzárendelhetõ egy kilencjegyû, 7 db 1-es és 2 db 2-esszámjegyet tartalmazó szám, és fordítva: minden ilyen számhoz egyértelmûen tartozik aMATEMATIKA szónak egy elolvasása. Pl. az 111211211 számhoz a nyilakkal jelöltkiolvasás:

M A T E M A T I

A T E M A T I K

T E M A T I K A

Æ Æ ÆØ

Æ ÆØ

Æ Æ

Így annyiféleképpen olvasható ki a táblázatból a MATEMATIKA szó, ahány kilencje-gyû szám képezhetõ az 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2 számjegyekbõl. Ezeket könnyen össze-számolhatjuk: Válasszunk ki a kilenc helyiérték közül kettõt, ide írjuk a két 2-es szám-


277

jegyet, a többi helyiértékre pedig az 1-eseket. Tehát annyi ilyen szám képezhetõ, ahány-

féleképpen a kilenc helyiérték közül kettõt ki lehet választani. Ezek száma: 9 8

236

◊= .

Ugyanis az elsõt kilencféleképpen, a másodikat ezután nyolcféleképpen választhatjuk.Ez 9 ◊ 8 lehetõséget jelent, de itt minden helyiérték-párt kétszer számoltunk, hiszen egy-

szer az egyiket, másodszor a másikat választottuk ki elsõként. Összefoglalva: a MA-TEMATIKA szó 36-féleképpen olvasható ki a táblázatból.

3005. (A feladat szövege „1-es és 2-es” számjegyeket ír. Ez azt jelenti, hogy mind a kétszámjegynek szerepelni kell a négyjegyû számban.)

1112; 1121; 1211; 2111; 1122; 1212; 1221; 2112; 2121; 2211; 1222; 2122;2212; 2221

Ezek száma tehát 14.

3006. a) Az elsõ helyiértékre bármelyik számjegy írható, ez 3 lehetõség. Ha valamelyiket le-írtuk, akkor a második helyiértékre is 3 lehetõségünk van, így az elsõ két helyiértékkitöltésére 3 ◊ 3 lehetõség adódik. Ha az elsõ két helyiértékre leírtunk egy-egy

számjegyet, akkor a harmadikra háromféle számjegy kerülhet. Így a képezhetõ há-romjegyû számok száma:3 ◊ 3 ◊ 3 = 27.

b) 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 ilyen szám van, hiszen ennyiféleképpen rendezhetjük sorba a három

számjegyet.

c) Összesen 27 ilyen számot képezhetünk. Ebbõl 6 olyan van, amely mind a három je-gyet tartalmazza, és 3 olyan, amelynek minden számjegye ugyanaz. Így az olyanszámokból, amelyeknek pontosan két számjegye egyenlõ: 27 - 6 - 3 = 18 db van.

d) 3 ilyen szám van.

3007. a) 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24 b) 4 ◊ 4 ◊ 4 = 64

3008. a) 4 ◊ 3 = 12 b) 4 ◊ 4 = 16

3009. a) A páros számok száma: 2 ◊ 4 = 8, a páratlanoké: 3 ◊ 4 = 12

b) A páros számok száma: 2 ◊ 5 = 10, a páratlanoké: 3 ◊ 5 = 15.

3010. a) 5 páratlan számjegy van, közülük bármelyik kerülhet az elsõ helyiértékre, ez 5 le-hetõség. Ha valamelyiket leírtuk, akkor a második helyiértékre szintén 5-féle szám-jegyet írhatunk. Így összesen 5 ◊ 5 = 25 ilyen kétjegyû számot képezhetünk.

b) 5 ◊ 4 = 20 ilyen kétjegyû szám van, hiszen ha az elsõ helyiértéket már kitöltöttük,

akkor az ide írt számjegy nem szerepelhet a második helyiértéken.

3011. a) 5 páros számjegy van. Az elsõ helyiértéken nem szerepelhet a 0, így 4 lehetõségünkvan a választásra. Ha valamelyik jegyet ide leírtuk, akkor a második helyiértékremár bármelyik számjegy kerülhet. Így az ilyen kétjegyû számok száma: 4 ◊ 5 = 20.


278

b) 4 ◊ 4 = 16 ilyen kétjegyû szám található, hiszen az elsõ helyiértéken nem szerepelhet

a 0, ill. a második helyiértékre nem kerülhet a már elsõre leírt számjegy.

3012. 8888; 8889; 8898; 8988; 9888; 8989; 9889; 9898

3013. a) Bármely dobásnak hat különbözõ kimenetele lehet, így minden esetben 6-féleszámjegyet írhatunk le. Így a kísérletnek 6 ◊ 6 ◊ 6 = 216 kimenetele lehet.

b) Számoljuk meg azokat a kimeneteleket, amelyekben nincs hatos dobás. Ekkor min-den dobáskor ötféle eredmény születhet, így ezen kimenetelek száma:5 ◊ 5 ◊ 5 = 125. Mivel összesen 216-féle eredmény születhet, ezért azon kísérletekszáma, amelyekben legalább egy hatos van: 216 - 125 = 91.

c) Ekkor minden dobásra három lehetõség adódik (4; 5; 6), így a kísérlet kimenetelei-nek száma: 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27.

d) A dobott számok között három prímszám adódhat: 2; 3; 5. Így azon kimenetelekszáma, amelyekben minden dobás prímszám: 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27.

3014. a) A felsõ csíkot bármelyik színnel színezhetjük, ez négy lehetõség. Ezután a másikcsík szinezésére csak három lehetõség marad, hiszen az nem lehet az elsõ csíkkalegyezõ szín. A lehetõségek száma tehát: 4 ◊ 3 = 12.

b) Az a) rész alapján a felsõ két csík szinezését 12-féleképpen végezhetjük el. Ezutánaz alsó csík színét háromféleképpen választhatjuk meg, hiszen ennek színe nemegyezhet meg a középsõ színével. A készíthetõ zászlók száma tehát: 12 ◊ 3 = 36.

c) A b) rész szerint a felsõ három csík színét 36-féleképpen választhatjuk ki. Ezután anegyedik csík színének kiválasztására 3 lehetõségünk van, hiszen az nem egyezhetmeg a fölötte lévõ színével. Így a készíthetõ zászlók száma: 36 ◊ 3 = 108.

3015. a) 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 b) 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24 c) 5 ◊ 4 ◊ 3 = 60 d) 10 ◊ 9 ◊ 8 = 720

3016. a) Az elsõ tárgyat bárkinek odaadhatjuk, ez 10 lehetõség. ha valaki megkapta az elsõtárgyat, akkor a másodikat már csak kilenc tanulónak adhatjuk, ez 9 lehetõség. Te-hát az elsõ két tárgy szétosztására 9 ◊ 10 lehetõség van. Ha az elsõ két tárgy gazdára

talált, akkor a harmadikat már csak 8 tanuló valamelyikének adhatjuk. Így a kiosztá-sok száma: 10 ◊ 9 ◊ 8 = 720.

b) Az elõzõ esethez képest annyi a különbség, hogy minden tárgy kiosztásánál 10 le-hetõségünk van. Így az esetek száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 = 1000.

3017. Bármely tárgy sorsolásánál annyi lehetõségünk van, mint ahány ember van a társaság-ban. Így a sorsolás kimeneteleinek száma:

a) 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81 b) 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 256

c) 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 = 625 d) 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 10 000

3018. a) 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81


279

b) Ha minden tanuló kap legalább egy tárgyat, akkor egy tanuló 2 tárgyat, a többiekegy-egy tárgyat kapnak. Adjunk az egyik tanulónak két tárgyat. Ezt 3 ◊ 6 = 18-

féleképpen tehetjük meg, hiszen ez bármelyik tanuló lehet, ez 3 eset, illetve a 4tárgy közül a neki adott 2 tárgyat 6-féleképpen választhatjuk ki. Ezután a maradékkét tárgyat a két tanuló között kétféleképpen oszthatjuk el. Így a lehetõségek száma:18 ◊ 2 = 36.

3019. 28 ◊ 27 ◊ 26 = 19 656

3020. a) 9 db ilyen szám van. (111; 222; ...; 999)

c) Az elsõ helyiértékre nem kerülhet 0, így ide 9-féleképpen írhatunk számjegyet. Ez-után a második helyiértékre nem kerülhet az elsõre írt jegy, így erre 9 lehetõségadódik. Ha az elsõ két helyiértékre már írtunk számjegyet, akkor a harmadikra csak8 lehetõségünk van. Így a képezhetõ számok száma: 9 ◊ 9 ◊ 8 = 648.

b) Összesen 9 ◊ 10 ◊ 10 = 900 db háromjegyû szám van. Így a két különbözõ számje-gyet tartalmazók száma: 900 - 9 - 648 = 243.

3021. 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120

3022. 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 54

3023. a) 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 = 625

b) Számoljuk meg azokat a számokat, amelyekben nincs benne az 1-es számjegy! Ek-kor minden helyiértékre négyféle számjegy közül választhatunk, így az ilyen szá-mok száma: 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 256. Tehát az 1-es számjegy 625 - 256 = 369 számban

fordul elõ.

3024. Az elsõ helyiértéken nem állhat nulla, az utolsó helyiértéken pedig nem állhat 1. Így aképezhetõ számok száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 2 = 108.

3025. a) 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 32

b) Azok a számok lesznek néggyel oszthatók közülük, amelyek 12-re végzõdnek. Ezekszáma: 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8. (Hiszen az elsõ három helyiértékre bármelyik számjegy kerül-

het.)

c) Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a szám jegyeinek összege osztható 3-mal. Ígycsak az 1; 1; 1; 1; 2 és az 1; 2; 2; 2; 2 jegyekbõl képezett számok lesznek 3-maloszthatóak. Ezek száma: 10.

3026. a) Az elsõ helyiértéken nem állhat 0, az utolsó helyiértéken nem állhat 1. Így az ilyenszámok száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 2 = 324.

b) Az elsõ helyiértéken nem állhat 0, az utolsó helyiértéken csak az 1 állhat. Így azilyen számok száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 1 = 162.


280

c) A képezett számok csak akkor lesznek néggyel oszthatók, ha végzõdésük: 00; 20vagy 12. Ezek száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 162.

3027. Egy szám akkor osztható 6-tal, ha páros és a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Ígyaz a) feladatban csak a 4; 4; 5; 5 jegyekbõl képezett páros számok felelnek meg. A ké-pezhetõ számok száma 3.

b) Ebben az esetben a 4; 5; 5; 5; 5 vagy a 4; 4; 4; 4; 5 számjegyekbõl képezett párosszámok felelnek meg. Ezek száma: 1 + 4 = 5.

3028. 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 = 360 ilyen négyjegyû szám képezhetõ. Ezek közül: 4 ◊ 3 = 12 kezdõdik 65-

tel.

3029. A gondolt szám minden számjegye 2 vagy 3. Így a következõ számokra gondolhattunk:222; 223; 232; 322; 233; 323; 332; 333

3030. A gondolt szám minden jegye 8 vagy 9. Így három kérdés feltételével biztosan kitalál-ható a gondolt szám. (Ezek a kérdések például:

1. Az elsõ jegy 9-es?

2. A második jegy 9-es?

3. A harmadik jegy 9-es?)

3031. Ilyen számok: 20; 31; 42; 53; 64; 75; 86; 97; 13; 24; 35; 46; 57; 68; 79. Ezek száma 15.Így négy kérdéssel biztosan kitalálható a gondolt szám.

3032. Minden olyan háromjegyû szám elõállhat, amit az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számjegyekbõl (egy-egy jegyet csak egyszer használva) képezhetünk. Ezek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120.

3033. a) Az utolsó dobás eredménye csak a 2; 4; 6 valamelyike lehet, az elsõ három dobáseredménye tetszõleges. Így a kimetelek száma: 6 ◊ 6 ◊ 6 ◊ 3 = 648.

b) 4-gyel osztható szám akkor keletkezik, ha az utolsó két dobás eredményének egy-más után történõ leírásával kapott kétjegyû szám osztható 4-gyel. Az ilyen kimene-telek: 12; 16; 24; 32; 36; 44; 52; 56; 64. Ezek száma 9. Az elsõ két dobás eredmé-nye tetszõleges lehet. Így a 4-gyel osztható négyjegyû számok száma:6 ◊ 6 ◊ 9 = 324.

3034. a) A 4 csak úgy adódhat összegként, ha kétszer 1-et, egyszer pedig 2-t dobunk. Mivel akettes eredmény bármelyik dobás lehet, ezért a lehetõségek száma 3.

b) Az 5 három eredmény összegeként 1 + 1 + 3 vagy 1 + 2 + 2 formájában állhat elõ.Itt mind a két lehetõség 3-3-féleképpen keletkezhet attól függõen, hogy a 3-at illetvea 1-et melyik dobásnál kaptuk. Így a lehetõségek száma 6.

c) Ha a dobások sorrendjét nem vesszük figyelembe, akkor a 9-et hatféleképpen kap-hatjuk meg összegként: 1 + 2 + 6; 1 + 3 + 5; 1 + 4 + 4; 2 + 2 + 5; 2 + 3 + 4;


281

3 + 3 + 3. Ha a dobások sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor a három különbö-zõ számból álló összegek 6-féleképpen, a két különbözõ számból álló összegek 3-féleképpen adódhattak, így a lehetõségek száma: 6 + 6 + 3 + 3 + + 6 + 1 = 25.

d) A 16 összegként 6 + 6 + 4 vagy 6 + 5 + 5 formában kapható meg. Itt mindkét lehe-tõség 3-féleképpen keletkezhet, így összesen 6 esetben lehet a számok összege 16.

3035. Minden dobás eredménye vagy 1, vagy 3, vagy 5. Mivel egy szám pontosan akkorosztható 3-mal, ha a számjegyek összege is osztható 3-mal, ezért a három eredményösszegének 3-mal oszthatónak kell lenni. Ez úgy adódhat, ha mindhárom dobás ered-ménye ugyanaz a szám, vagy ha mindhárom dobás különbözõ. Így az egyes dobásokeredménye a következõ lehetett:

(1; 1; 1); (3; 3; 3); (5; 5; 5); (1; 3; 5); (1; 5; 3); (3; 1; 5); (3; 5; 1); (5; 1; 3); (5; 3; 1)

3036. Egy egész szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege is osztható9-cel.

a) Az elõzõek alapján 9-cel osztható számot csak úgy kaphatunk, ha 4 db 4-es és 4 db5-ös számjegyet használunk a nyolcjegyû szám képzésénél. Tehát annyi ilyennyolcjegyû számot képezhetünk, ahányféleképpen a 8 helyiérték közül kiválasztható

az a 4, ahová a 4-est írjuk. Ezek száma 84

70ÊËÁˆ¯ = db .

b) Kilencjegyû 9-cel osztható számot csak akkor kapunk, ha minden számjegy 4-esvagy minden számjegy 5-ös. Így ezek száma 2 db.

3037. Egy jelbõl álló morzejel 2 db van: -; ◊ Két jelbõl álló morzejel 4 db van, hiszen mindkét

jelet kétféleképpen választhatjuk meg. Hasonlóan: három jelbõl álló morzejel2 ◊ 2 ◊ 2 = 8 db van, négy jelbõl álló morzejel 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16 db van, öt jelbõl állómorzejel 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 32 db van. Így a morzejelek száma: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.

3038. A feladat megoldásánál eltekintünk attól, hogy bizonyos telefonszámok (pl. a csupa 0számjegyet tartalmazó) a valóságban nem léteznek.

a) Bármely jegy 10-féleképpen alakulhat, így a vonalak száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 = 1000.

b) A vonalak száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 10 000, hiszen bármely jegyet 10-féleképpen

választhatunk ki.

c) Ebben az esetben a lehetséges vonalak száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 100 000, hi-

szen minden jegyet 10-féleképpen lehet kijelölni.

Megjegyzés: Az elõzõek alapján következik, hogy n jegyû telefonszámok esetén a tele-fonvonalak száma legfeljebb 10n.

3039. a) Ha egy négyjegyû tükörszám elsõ két jegyét megadtam, akkor a számot egyértelmû-en meghatároztam, hiszen az utolsó két számjegy az elsõ két jegy fordított sorrend-ben történõ leírásával adódik. Így annyi négyjegyû tükörszámot képezhetünk az 1;


282

2; 3 számjegyek felhasználásával, mint ahány kétjegyû számot. Ezek száma:3 ◊ 3 = 9, hiszen mindkét helyiértékre bármelyik számjegy kerülhet.

b) Az a) rész alapján annyi négyjegyû tükörszám van, ahány kétjegyû szám. Így ezekszáma 90 db.

c) Egy ötjegyû tükörszámot egyértelmûen megadunk, ha megadjuk az elsõ háromszámjegyét. Így annyi ötjegyû tükörszám képezhetõ az 1; 2; 3 számjegyekbõl, ahányháromjegyû szám. Így ezek száma 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27, hiszen bármelyik helyiértékre bár-

mely számjegyet írhatjuk.

d) Annyi ötjegyû tükörszám képezhetõ, ahány háromjegyû szám. Így ezek száma:900 db.

3040. Pistának igaza van, hiszen annyi hatjegyû tükörszám van, ahány háromjegyû szám, ill.annyi hétjegyû tükörszám van, hány négyjegyû szám. Ezek száma: 900 ill. 9000.

3041. a) 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16

b) Az összeg képzésekor minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel,ahányféleképpen a maradék három helyiértékre leírhatjuk a számjegyeket. Ez éppen2 ◊ 2 ◊ 2 = 8-féle eset. Így az összeg:

8 ◊ (1 + 2) ◊ 1000 + 8 ◊ (1 + 2) ◊ 100 + 8 ◊ (1 + 2) ◊ 10 + 8 ◊ (1 + 2) == 8 ◊ (1 + 2) ◊ 1111 = 26 664.

3042. 3 ◊ 6 = 18-féle

3043. 3 ◊ 6 ◊ 6 = 108-féle

3044. a) 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 = 2520

b) Számoljuk meg azokat az ötjegyû számokat, amelyekben nincs benne az 1-esszámjegy! Ezek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 = 1440. Így az a) rész alapján azok száma,amelyekben benne van az 1-es: 2520 - 1440 = 1080 db.

3045. a) Elsõre nem húzhatunk 0-t, így a lehetõségek száma: 4 ◊ 4 ◊ 3 = 48.

b) Elsõre nem húzhatunk 0-t, és utolsóra páratlan számjegyet. Ha az utolsó jegy 0, ak-kor a számok száma: 4 ◊ 3 = 12. Ha az utolsó jegy 2 vagy 4, akkor a számok száma3 ◊ 3 = 9. Így összesen 12 + 9 + 9 = 30-féleképpen kaphatunk háromjegyû páros

számot.

3046. a) 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120-féleképpen.

b) 2 ◊ 5 ◊ 4 = 40-féleképpen.

c) Azoknak a sorrendeknek a száma, amikor Anna nincs a helyezettek között5 ◊ 4 ◊ 3 = 60. Így azon esetek száma, amikor Anna a helyezettek között van (az a)

rész alapján): 120 - 60 = 60.


283

3047. a) Ha a kihúzott legkisebb szám nagyobb 5-nél, akkor minden húzásnál a 6; 7; 8; 9; 10számok valamelyikét húzzuk. Így a lehetõségek száma: 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 = 3125.

b) Számoljuk meg, hogy hány esetben lesz a kihúzott legkisebb szám 6-nál nagyobb!Ekkor minden húzásnál a 7; 8; 9; 10 számok valamelyikét húzzuk, így az esetekszáma: 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 1024. Ezután (az a) rész eredményét felhasználva) azonesetek száma, amikor a legkisebb kihúzott szám a 6: 3125 - 1024 = 2101.

3048. a) 20 ◊ 19 ◊ 18 = 6840-féleképpen.

b) 20 ◊ 20 ◊ 20 = 8000-féleképpen.

c) Azon esetek száma, amikor egy tanuló 3 tárgyat kap 20. Így, ha egy tanuló legfel-jebb 2 tárgyat kaphat a lehetséges elosztások száma a b) rész alapján:8000 - 20 = 7980.

3049. Írjuk le minden betû helyére, hogy hányféleképpen juthatunk el az elolvasás során azilletõ betûhöz! Észrevehetjük, hogy minden betûhöz annyiféleképpen juthatunk el, minta fölötte és balra mellette található számok összege. (Ha valamelyik hiányzik, akkorcsak a másik.) Az így kapott számtáblázat:

1 1 1 1 11 2 3 4 11 3 6 4 11 4 6 4 11 4 6 4 1

Így a TANUL szót összesen 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16-féleképpen olvashatjuk ki a táblá-zatból.

II. megoldás: Az olvasásnál 4 lépést kell tennünk. Helyettesítsünk minden lépést a J ill.L betûkkel aszerint, hogy abban a lépésben jobbra vagy lefelé haladtunk. Így a J és Lbetûkbõl álló négybetûs „szavakhoz” jutottunk. Könnyen átgondolható, hogy mindenegyes elolvasásnak megfelel egy ilyen „szó”, illetve minden ilyen „szó” egyértelmûenmegad egy elolvasást. Például a JLJJ szó a következõ kiolvasást határozza meg:

T A N U L

A N U L

N U L

U L

L

ÆØ

Æ Æ


284

Így annyi elolvasási lehetõség van, ahány ilyen négybetûs szó képezhetõ. Ezek száma,mivel minden betût kétféleképpen választhatunk meg: 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16.

3050. Kövessük a 3049. feladat megoldásának gondolatmenetét! A kiolvasások száma: 32.

3051. Kövessük a 3049. feladat megoldásának gondolatmenetét! A kiolvasások száma: 64.

3052. a) 900 000 b) 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 = 531 441

c) A nulla nem kerülhet az elsõ helyiértékre, így 5-féle lehetõségünk van a leírására.A többi helyiértékre a többi 9 számjegy bármelyike kerülhet. Így az esetek száma:5 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 = 295 245.

3053. 9 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 9000

3054. a) Bármely két pont különbözõ egyenest határoz meg. Így az esetek száma: 62

15ÊËÁˆ¯ = .

b) Bármely három pont különbözõ háromszöget határoz meg, így a háromszögek szá-

ma: 63

20ÊËÁˆ¯ = .

3055. Annyi kézfogás történt, ahányféle módon az öt ember közül kettõ kiválasztható. Ez52

5 4

210Ê

ËÁˆ¯ =

◊= .

3056. a) Egyelemû 4 db, kételemû 6 db, háromelemû 4 db.

b) 5; 10; 10; 5 c) 6; 15; 20; 15; 6

3057. ; 1; 2; 3; 1; 2; 1; 3; 2; 3; 1; 2; 3

3058. A 3057. feladat megoldásában leírt halmazok, és még azok, amelyek az elõzõ halma-zokból úgy keletkeznek, hogy mindegyikhez hozzávesszük a 4-et.

3059.82

8 7

228Ê

ËÁˆ¯ =

◊= mérkõzésre került sor.

3060. a)42

4 3

26Ê

ËÁˆ¯ =

◊= b)

52

5 4

210Ê

ËÁˆ¯ =

◊= c)

62

6 5

215Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

d)172

17 16

2136Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

3061.122

12 11

266Ê

ËÁˆ¯ =

◊=


285

3062.82

8 7

228Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

3063. Bármely két egyenesnek legfeljebb 1 metszéspontja lehet, így a válaszok:

a)32

3ÊËÁˆ¯ = b)

42

4 3

26Ê

ËÁˆ¯ =

◊= c)

52

5 4

210Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

d)102

10 9

245Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

3064. Az 1; 2; ...; 21 számok közül két különbözõt 212

21 20

2210Ê

ËÁˆ¯ =

◊= -féleképpen lehet ki-

választani. Így 210 db szelvény megfelelõ kitöltésével elérhetõ, hogy biztosan legyen„telitalálatos” szelvényünk.

3065. Az 1; 2; ...; 45 számok közül két különbözõt 452

45 44

2990Ê

ËÁˆ¯ =

◊= -féleképpen lehet ki-

választani. Ha tehát 990 db szelvényt különbözõ módon kitöltenek, akkor nem lehetolyan számpárt találni, amely ne szerepelne valamelyik szelvényen. Így PICURKA or-szágnak legfeljebb 989 lakosa van.

3066.92

9 8

236Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

3067. Annyi tízjegyû szám képezhetõ, ahányféleképpen a tíz helyiérték közül kiválasztható

kettõ, ahová a 2 db 2-es számjegy kerül. Ez 102

10 9

245Ê

ËÁˆ¯ =

◊= számot jelent.

3068. Egy n oldalú konvex sokszögnek (n ¤ 4) n n( )-3

2 átlója van. Ugyanis minden csúcsból

(n - 3) db átló indul ki, hiszen nem indul átló a két szomszédhoz. Így n(n - 3) vég-

pontja van a sokszög átlóinak. Mivel minden átló két csúcsot köt össze (két végpontja

van), ezért az átlók száma n n( )-3

2 db. Ez alapján a válaszok:

a) 2 b) 5 c) 9 d) 170

3069. Legyen a társaság tagjainak száma x. Ekkor mindenki (x - 1) emberrel fog kezet, így

összesen x x( )−1

2 kézfogásra kerül sor. (Ugyanis egy kézfogáshoz két ember tartozik.)

Így feladatunk szerint: x x( )-

=1

221 . Innen: x(x - 1) = 42, tehát x = 7. A társaságnak

tehát 7 tagja van.


286

3070. Legyen a csapatok száma x. Minden csapat (x - 1) csapattal játszott, így az összes mér-

kõzések száma: x x( )−1

2. (Hiszen minden mérkõzéshez két csapat tartozik.) A feladat

szerint: x x( )

.−

=1

228 Innen: x(x - 1) = 56, azaz: x = 8. Tehát a bajnokságban 8 csapat

szerepelt.

3071. Legyen az egyenesek száma x. Ekkor minden egyenesen (x - 1) metszéspont alakul ki,

így az összes metszéspontok száma: x x( )-1

2. (Hiszen egy metszéspont két egyenesen

is rajta van.) A feladat szerint: x x( )−

=1

215 , innen x(x - 1) = 30, azaz x = 6. Tehát 6

egyenest rajzoltunk a papírlapra.

3072. Egy n oldalú konvex sokszögnek n n( )-3

2 átlója van. (Lásd a 3068. feladat megoldá-

sát!) A feladat feltételei szerint: n n( )-

=3

277 . Innen: n(n - 3) = 154, azaz: n = 14. Te-

hát a sokszög 14 oldalú.

3073.62

6 5

215Ê

ËÁˆ¯ =

◊= -féleképpen.

3074. Egy n elemû halmaznak n n n2

1

2ÊËÁˆ¯ =

-( ) kételemû részhalmaza van. A feladat feltételei

szerint n n( )-

=1

236 , így: n(n - 1) = 72. Innen kapjuk, hogy n = 9. Tehát a halmaznak

9 eleme van.

3075. a)63

6 5 4

2 320Ê

ËÁˆ¯ =

◊ ◊◊

= b)52

5 4

210Ê

ËÁˆ¯ =

◊=

3076.63

6 5 4

2 320Ê

ËÁˆ¯ =

◊ ◊◊

= -féleképpen.

3077. a)43

4ÊËÁˆ¯ = b)

53

10ÊËÁˆ¯ = c)

63

20ÊËÁˆ¯ = d)

73

35ÊËÁˆ¯ =

3078.73

35ÊËÁˆ¯ =

3079. (Lásd a 3002., 3003., 3004. feladatok megoldását.)

a)61

6ÊËÁˆ¯ = b)

62

15ÊËÁˆ¯ = c)

63

20ÊËÁˆ¯ =


287

3080.103

120ÊËÁˆ¯ =

3081.83

85

56ÊËÁˆ¯ =ÊËÁˆ¯ =

3082. Annyi különbözõ sorrendben húzhatjuk ki a hét golyót, ahányféleképpen a hét húzásközül kiválaszthatjuk azt a hármat, amelyben piros golyót húzunk. Az ilyen húzások

száma: 73

35ÊËÁˆ¯ = .

3083. Az elsõ számjegy csak 1-es lehet. A további hét helyiérték közül ki kell jelölni azt a

hármat, ahová a többi 1-es számjegyet írjuk. Ezt összesen 73

35ÊËÁˆ¯ = -féleképpen tehetjük

meg, tehát 35 ilyen nyolcjegyû számot képezhetünk.

3084. Rakjuk le az öt piros golyót egymás után! Ekkor a fehér golyók vagy az öt golyó elé,vagy a piros golyók közé, vagy a piros golyók után kerülhetnek. Ez 6 helyet jelent a fe-hér golyók elhelyezésére, úgy hogy egy helyre legfeljebb egy fehér golyó kerülhet. Így

a keresett sorrendek száma: 62

15ÊËÁˆ¯ = .

3085. A 3084. feladat megoldásának gondolatmenete alapján a sorrendek száma: 63

20ÊËÁˆ¯ = .

3086. a)905

90 89 88 87 86

2 3 4 543 949 268Ê

ËÁˆ¯ =

◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊

=

b)456

45 44 43 42 41 40

2 3 4 5 68 145 060Ê

ËÁˆ¯ =

◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊ ◊

=

3087. Egy n elemû halmaznak összesen 2n db részhalmaza van. Ezt igazolhatjuk a következõmódon: Írjuk le valamilyen sorrendben a halmaz elemeit. Ezek után egy tetszõlegesrészhalmazhoz hozzárendelhetünk egy n betûs „szót” a következõképpen:legyen a„szó” elsõ betûje I, ha a sorban elsõként leírt elem szerepel a részhalmazban, és legyenaz elsõ betû N, ha nem szerepel a részhalmazban. Hasonlóan keletkezik a „szó” máso-dik betûje a másodikként leírt elemmel kapcsolatban, a harmadik betû a harmadikkéntleírt elemmel kapcsolatban, stb. Így minden részhalmazhoz különbözõ „szót” rendel-tünk és fordítva, minden az I és N betûkbõl álló „szó” kijelöl egy részhalmazt. Így any-nyi részhalmaz van, ahány ilyen n betûbõl álló „szó” képezhetõ. Ezek száma pedig ép-pen 2n db. Az elõzõek alapján a feladat kérdéseire a következõk a válaszok:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32

3088. A 9 szám közül kell 2; 3; ill. 4 mezõt kilyukasztani, így a beállítások száma:


288

a)92

36ÊËÁˆ¯ = b)

93

84ÊËÁˆ¯ = c)

94

126ÊËÁˆ¯ =

3089. Az öt forduló után 4 pontot kétféle módon érhetett el a versenyzõ:

a) az egyik fordulóban kikapott a többiben gyõzött,

b) két fordulóban döntetlent ért el, a többiben gyõzött.

Mivel az elért eredmények sorrendjére is tekintettel vagyunk, ezért a versenyzõ az

eredményét: 552

5 10 15+ ÊËÁˆ¯ = + = -féle sorrendben érhette el.

3090. Ha az eredmények elérésének sorrendjét nem vesszük figyelembe, akkor a versenyzõ a4 pontot háromféle módon szerezhette meg:

a) 4 fordulóban gyõzött, kettõben kikapott,

b) 2 fordulóban gyõzött, 4 fordulóban döntetlent ért el,

c) 3 fordulóban gyõzött, 2 fordulóban döntetlent ért el, egy fordulóban kikapott.

Ha az eredmények elérésének sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor az a) esetben62

15ÊËÁˆ¯ = , a b) esetben

62

15ÊËÁˆ¯ = , a c) esetben 6

52

60◊ÊËÁˆ¯ = -féle sorrendben érhette el az

eredményeket, így összesen 15 + 15 + 60 = 90-féleképpen szerezhette meg a 4 pontot.

3091. Vizsgáljuk meg András szempontjából, hogy milyen módon érhette el a 2,5 pontos tel-jesítményt! Erre három lehetõség adódik:

a) Kétszer gyõzött, kétszer vesztett és egy parti döntetlen lett.

b) Egyszer gyõzött, egyszer vesztett és három parti döntetlen lett.

c) Mind az öt parti döntetlen lett.

Vegyük ezután figyelembe az eredmények elérésének sorrendjét is!

a) Az eredmény 542

30◊ÊËÁˆ¯ = -féleképpen következhetett be, hiszen bármelyik játszma

végzõdhetett döntetlenre, a maradék 4 játszma közül pedig 42ÊËÁˆ¯ -féleképpen választ-

ható ki az a kettõ, amelyekben gyõzött.

b) Az eredmény 5 ◊ 4 = 20-féleképpen következhetett be, hiszen bármelyik játszmát

megnyerhette, ill. a maradék 4 játszma közül bármelyiket elveszíthette.

c) Az eredmény csak egyféle módon adódhat.

Összefoglalva: az eredmény 30 + 20 + 1 = 51-féle módon alakulhatott ki.

3092. Legyen a háromféle helyezés elsõ, második, harmadik. Vizsgáljuk elõször azt, hogyhányféleképpen lehet két elsõ helyezettje a versenynek! A négy versenyzõ közül bár-


289

melyik kettõ lehetett elsõ, ez 42

6ÊËÁˆ¯ = eset. Ezután a másik két versenyzõ kétféleképpen

következhet, így a sorrendek száma: 6 ◊ 2 = 12. Könnyen végiggondolható, hogy

ugyanennyi sorrend adódik akkor is, ha két második, vagy ha két harmadik helyezettjevan a versenynek. Így a magasugró versenynek 36-féle eredménye lehet.

3093. Az elsõ sorban tetszõleges sorrendben helyezhetõk el a színek, ez 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 esetet je-

lent. Ezután a második sort már csak kétféleképpen színezhetjük, végül a harmadik sorszinezése egyértelmû. Így összesen 12-féleképpen szinezhetõ ki a táblázat.

3094. Csak a pozitív osztók számát határozzuk meg!

a) Az osztók: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; tehát 8 osztója van a számnak.

b) Az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12; tehát 6 osztója van a számnak.

c) Az osztók: 1, 2, 4, 8; tehát 4 osztója van a számnak.

d) Az osztók: 1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210; tehát 16 osztójavan a számnak.

e) Az osztók: 1, 2, 3, 5, 4, 6, 10, 12, 20, 15, 30, 60; tehát 12 osztója van a számnak.

f) Az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; tehát 8 osztója van a számnak.

g) Az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; tehát 9 osztója van a számnak.

3095. a) Az osztók száma rendre: 2; 3; 4; 5; 6; 7.

b) Az osztók száma rendre: 4; 6; 8; 10; 12; 14.

c) Az osztók száma rendre: 6; 9; 12; 15; 18; 21.

d) Az osztók száma rendre: 8; 12; 16; 20; 24; 28.

Megjegyzés: Általában igaz, hogy ha egy pozitív egész szám prímtényezõs felbontása

p p pk knkn

1 21 2◊ ◊ ◊... (ahol p1; p2; ...; pn prímszámok; k1; k2; ...; kn pozitív egészek), akkor a

pozitív osztók száma: (k1 + 1) ◊ (k2 + 1) ◊ ... ◊ (kn + 1).

3096. a) 540 = 22 ◊ 33 ◊ 51, így a pozitív osztók száma: (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 24.

b) 2730 = 21 ◊ 31 ◊ 51 ◊ 131, így az osztók száma: (1 + 1)5 = 32.

3097. Egy páros számnak legalább annyi páros osztója van, mint ahány páratlan. Ugyanisbármely páratlan osztóját 2-vel szorozva a szám egy páros osztójához jutunk, hiszen akettõ biztosan osztója a páros számnak. Ha a páros szám prímtényezõs felbontásában a2 többször is elõfordul, akkor a páros osztók száma a nagyobb, hiszen ekkor van olyanpáros osztója, amely nem egy páratlan osztó kétszeresével keletkezik (4). Ezek alapjánelegendõ a számok prímtényezõs felbontásában a kettesek számát meghatározni.

a) 30 = 2 ◊ 3 ◊ 5, ugyanannyi páros, mint amennyi páratlan osztója van.

b) 180 = 22 ◊ 32 ◊ 5, a páros osztók száma több.


290

c) 210 = 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7, ugyanannyi páros, mint amennyi páratlan osztója van.

d) 360 = 23 ◊ 32 ◊ 5, a páros osztók száma több.

e) 324 = 22 ◊ 34, a páros osztók száma több.

3098. a) 48 = 3 ◊ 24. A 48 azon osztói nem oszthatók 4-gyel, amelyek osztói a 3 ◊ 2 = 6-nak.

Ezek száma 4.

b) 120 = 5 ◊ 3 ◊ 23. A 120 azon osztói nem oszthatók 4-gyel, amelyek osztói az 5 ◊ 3 ◊ 2-

nek. Ezek száma 8.

c) Azok az osztók nem oszthatók 15-tel, amelyek osztói a 22 ◊ 32-nek vagy 22 ◊ 5-nek.

ezek száma 9, ill. 6, de itt kétszer számoltuk a 22 osztóit. Így a 15-tel nem oszthatóosztók száma: 9 + 6 - 3 = 12.

II. megoldás: Az összes osztók száma 3 ◊ 3 ◊ 2 = 18. Ezek közük azok oszthatók 15-tel, amelyek a 22 ◊ 3 valamelyik osztójának 15-szörösei. Ezek száma 3 ◊ 2 = 6. Teháta 15-tel nem osztható osztók száma 18 - 6 = 12.

3099. a) 1 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 4 ◊ 5 ◊ 6 ◊ 7 ◊ 8 = 1 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 5 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 7 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 27 ◊ 32 ◊ 5 ◊ 7. Tehát

27-nel osztható a szorzat.

Ha a pozitív egész számok szorzatát vizsgáljuk, akkor minden második számban vankettes prímtényezõ, minden negyedik számban két kettes prímtényezõ, minden nyolca-dik számban 3 kettes prímtényezõ, ... stb. Ezek alapján a kettes prímtényezõk száma azegyes feladatokban:

b) 7 + 3 + 1 = 11. Így a szorzat 211-nel osztható.

c) 15 + 7 + 3 + 1 = 26. Így a szorzat 226-nal osztható.

d) 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97. Így a szorzat 297-nel osztható.

3100. Ha az x; y; z számok sorrendjétõl eltekintünk, akkor három megoldás található:

11

3

1

3

1

3

1

2

1

3

1

6

1

2

1

4

1

4= + + = + + = + +

Ha a számok sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor a megoldások száma:1 + 6 + 3 = 10.

3101. Az elsõ lépcsõfokra csak egyféleképpen juthatunk fel, a másodikra már kétféleképpen.Ezután minden egyes lépcsõfokra a megelõzõrõl vagy az azt megelõzõrõl léphetünk.Így a feljutások száma megegyezik a megelõzõ két lépcsõfokra való feljutások számá-nak összegével. Ezek alapján a válaszok:

a) 1 + 2 = 3 b) 2 + 3 = 5 c) 3 + 5 = 8 d) 5 + 8 = 13

e) Folytatva az elõzõ sort: n = 7 esetén 8 + 13 = 21; n = 8 esetén 13 + 21 = 34; n = 9esetén 21 + 34 = 55; így n = 10 esetén 34 + 55 = 89.


291

3102. a) Az elhelyezkedések száma 63

20ÊËÁˆ¯ = , hiszen ki kell választani három tanulót, akik

az elsõ szobába kerülnek.

b) Ha a szobán belüli elhelyezkedéseket is figyelembe vesszük, azaz megkülönböztet-jük a hat ágyat, akkor az elhelyezkedések száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 720, hiszen

ennyiféle sorrendben helyezkedhetnek el a hat ágyon.

3103. A feltételeknek megfelelõ háromjegyû számok száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24. A számok összegé-

ben minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel, ahányféle módon a má-sik két helyiértékre a többieket elhelyezhetjük. Ezek száma 3 ◊ 2 = 6. Tehát mindenszámjegy minden helyiértéken 6-szor szerepel. Így a számok összege: 6 ◊ (4 + 5 + 6 ++ 7) ◊ (100 + 10 + 1) = 6 ◊ 22 ◊ 111 = 14 652.

3104. A képezett ötjegyû számok akkor oszthatók 4-gyel, ha 12-re vagy ha 24-re végzõdnek.Ezek a számok: 12412; 14212; 21412; 24112; 41212; 42112; 11224; 12124; 21124.Összesen tehát 9 ilyen szám képezhetõ. Ezek összege: 199 944.

Halmazokkal kapcsolatos megszámlálásifeladatok

3105. Ha összeadjuk az angolul és németül tanulók számát, akkor a mindkét nyelvet tanulókatkétszer számoltuk meg. Így az összeg annyival lesz több az osztály létszámánál, mintahányan mindkét nyelvet tanulják. Tehát az angolul is és németül is tanulók száma:18 + 16 - 26 = 8.

Megjegyzés: Általában igaz, hogy ha A és B két véges halmaz, akkorA B A B A B∪ ∩= + - . (Itt X az X halmaz elemeinek számát jelenti.)

II. megoldás: A 26 fõs osztályban 18-an tanulnak angolul, így 26 - 18 = 8 tanuló van,aki csak németül tanul. Mivel a németet 16-an tanulják, ezért 16 - 8 = 8 tanuló angolul

is tanul. Tehát mindkét nyelvet 8 tanuló tanulja.

3106. A feltételek szerint 20 tanuló jár valamelyik szakkörbe. Mivel 12-en matematika szak-körbe járnak, ezért: 20 - 12 = 8 tanuló van, aki csak rajzszakkörbe jár. Így mindkétszakkörbe 14 - 8 = 6 tanuló jár.

3107. 12 tanulónak volt ötöse matematikából, közülük 6 tanuló magyarból is ötöst kapott, ígycsak matematikából 12 - 6 = 6 tanuló kapott ötöst. Hasonlóan gondolkodva adódik,

hogy csak magyarból 10 tanulónak volt ötöse. tehát azok a tanulók, akik vagy matema-tikából, vagy magyarból ötöst kaptak összesen 6 + 10 + 6 = 22-en voltak. Mivel 8 ta-


292

nulónak egyik tantárgyból sem sikerült ötöst szereznie, ezért az osztály létszáma:22 + 8 = 30.

3108. Az osztály tanulóinak 2

3 része tanul angolul, ezért

1

3 része csak németül tanul. Így

mindkét nyelvet az osztály tanulóinak 3

4

1

3

5

12− = része tanulja. Így:

5

12 rész = 10 tanuló

1

12 rész = 2 tanuló

Tehát az osztály létszáma 24 tanuló.


5 része tanul németül, így

3

5 része csak franciául tanul. Ebbõl

következik, hogy mindkét nyelvet az osztály tanulóinak 2

3

3

5

1

15- = része tanulja. Ezért

az osztály tanulóinak 1

15 része = 2 tanuló, tehát az osztály létszáma 30 tanuló.

3110. Az elsõ feladatot a résztvevõk 70 %-a oldotta meg, így a résztvevõk 30 %-a csak a má-sodik feladatot oldotta meg helyesen. Ebbõl következik, hogy mindkét feladatot a részt-vevõk 80 % - 30 % = 50 % oldotta meg helyesen. Mivel ez a feltétel szerint 13 tanulót

jelent, ezért a versenyen 26-an vettek részt.

3111. A 30 tanuló 1

5 része 6 tanuló, 30 %-a pedig 9 tanuló. Tehát 6 tanuló volt ötös matema-

tikából, 9 tanuló pedig történelembõl. Mivel 4 tanuló mindkét tantárgyból ötöst kapott,ezért csak matematikából 2, csak történelembõl 5 tanuló volt ötös. Összesen tehát:2 + 5 + 4 = 11 tanuló volt, aki vagy matematikából, vagy történelembõl ötöst kapott.Vagyis 30 - 11 = 19 tanuló volt, aki egyik tárgyból sem szerzett ötöst.

3112. Mivel 17 tanulónak volt ötöse a két tárgy valamelyikébõl, és 11 tanulónak matematiká-ból, ezért 6 olyan tanuló volt az osztályban, akiknek csak magyarból sikerült ötöst sze-rezni. Emellett 4 tanulónak mindkét tárgyból ötöse volt, így magyarból összesen4 + 6 = 10 tanuló kapott ötöst.

3113. A feltételek szerint 25 - 14 = 11 tanulónak a két tantárgy valamelyikébõl sikerült ötöstszerezni. Mivel matematikából 7 tanuló kapott ötöst, ezért csak fizikából 11 - 7 = 4 ta-

nulónak volt ötöse. Így összesen 9 tanuló volt, akik fizikából ötöst kaptak.

HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS MEGSZÁMLÁLÁSI FELADATOK

293

3114. Szemléltessük a táblára írt számokatVenn-diagrammal!

a) 3 olyan szám van, amely páratlan ésosztható 3-mal.

b) 1 olyan szám van, amely páratlan ésnem osztható 3-mal.

c) 6 olyan szám van, amely páratlanvagy osztható 3-mal.

d) 16 olyan szám van, amely páratlanvagy nem osztható 3-mal.


6 része 25 tanuló, 40 %-a 12 tanuló. Tehát 25 tanuló közepesnél

nem rosszabb, így 5 tanuló van, aki közepesnél rosszabb. Tehát a közepes tanulók szá-ma: 12 - 5 = 7.

3116. Ha összeadjuk a hegedülni és zongorázni tanuló diákok számát, akkor az osztály lét-számnál 5-tel kapunk többet, hiszen öten mindkét hangszeren tanulnak. Ez az összegtehát 27. Másrészt kétszer annyian tanulnak hegedülni, mint zongorázni, így a 27 har-madrésze lesz azon tanulók száma, akik zongorázni tanulnak. Összefoglalva: 9 tanulózongorázik és 18 tanuló hegedül ebben az osztályban.

3117. Legyen azon tanulók száma, akik mind-három sportággal foglalkoznak x. Ké-szítsünk Venn-diagrammot, és írjuk beaz egyes helyekre a feltételeknek meg-felelõ számokat!

Mivel mindenki foglalkozik valamelyiksportággal, ezért a diagrammon szereplõszámok összege egyenlõ az osztály lét-számával. Így:

6 + x + 6 - x + 12 + x + 7 - x ++ x + 3 - x + 2 + x = 38

Innen:

x = 2

Tehát két tanuló ûzi mindhárom sport-ágat.


294

3118. Szemléltessük az egyes kirándulásonrésztvevõk számát Venn-diagrammon,és írjuk be az egyes helyekre a felté-teleknek megfelelõ számértékeket!

Összeadva az egyes helyeken szereplõszámokat:

4 + 3 + 7 + 4 + 4 + 1 + 6 = 29

Tehát az osztály tanulói közül 29-envettek részt legalább egy kiránduláson.

3119. Szemléltessük az egyes feladatok meg-oldóinak számát Venn-diagrammon, ésírjuk be a feltételben szereplõ adatokat!Összeadva az egyes helyeken szereplõszámokat: 6 + 4 + 1 + 3 + 6 + 7 + 2 == 29. Tehát 29-en oldottak meg lega-lább egy feladatot, így 1 tanuló volt,akinek egyik feladatot sem sikerültmegoldania.

3120. A feltételbõl következik, hogy pontosan két kiránduláson 130 - 60 = 70 tanuló vett

részt. Ha összeadjuk azon tanulók számát, akik egy-egy kiránduláson rész vettek, akkorkétszer számoltuk azokat, akik pontosan két kiránduláson voltak és háromszor azokat,akik mindhárom kiránduláson részt vettek. Így legalább egy kiránduláson:320 + 280 + 350 - 70 - 2 ◊ 60 = 760 tanuló vett részt.

HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS MEGSZÁMLÁLÁSI FELADATOK

295

3121. Jelöljük x-el azon tanulók számát, akikmindhárom versenyen részt vettek! Ké-szítsünk Venn-diagrammot az egyesversenyen résztvevõ tanulókról, és írjukbe a feltételekbõl adódó számokat amegfelelõ helyekre! Mivel minden tanu-ló részt vett valamelyik versenyen, ezérta szereplõ számok összege 20.

x - 5 + 12 - x + x - 4 + x ++ 9 - x + 7 - x + x - 4 = 20

Innen:

x = 5

Így adódik, hogy nem volt olyan tanuló, aki csak matematikából indult, illetve 5 olyantanuló volt, aki mindhárom versenyen részt vett.

3122. Ha összeadjuk az egy-egy nyelvet tanulók számát, akkor a pontosan két nyelvet tanuló-kat kétszer, a mindhárom nyelvet tanulókat háromszor számoltuk meg. Jelölje x azontanulók számát, akik mindhárom nyelvet tanulják! Így:

16 + 18 + 14 = 30 + 16 + 2x

Innen:

x = 1

Tehát 1 tanuló van az osztályban, aki mind a három nyelvet tanulja.

Valószínûségszámítás

3123. Határozzuk meg, hogy a kísérlet lehetséges kimenetelei közül melyekben következik beaz A; B illetve C esemény! Az A esemény következik be, ha:

1. dobás 1 1 2 2 3 12. dobás 1 2 1 2 1 3

Ez 6 lehetõség.

A B esemény következik be, ha:

1. dobás 2 6 5 3 4 3 6 5 4 6 4 5 6 5 62. dobás 6 2 3 5 4 6 3 4 5 4 6 5 5 6 6

Ez 15 lehetõség.

A C esemény következik be, ha:


296

1. dobás 1 4 2 3 1 5 2 4 3 1 6 2 5 3 42. dobás 4 1 3 2 5 1 4 2 3 6 1 5 2 4 3

Ez 15 lehetõség.

Vagyis a B és a C eseményt a kísérletnek 15-15 kimenetele valósítja meg, míg az A

eseményt csak 6. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a B és a C esemény egyforma valószí-nûséggel következik be, és ez a valószínûség nagyobb az A esemény bekövetkezésénekvalószínûségénél. Így fogadni a B vagy a C esemény bekövetkezésére érdemes.

3124. Jelöljük az a) b) c) d) e) pontban leírt eseményeket rendre A; B; C; D; E betûkkel. Hasz-náljuk a továbbiakban egy X esemény valószínûségének jelölésére a P(X) írásmódot! Afeladatban leírt kísérletnek összesen 36 kimenetele van, hiszen 36-féle kétjegyû számotkaphatunk ha a kísérletet elvégezzük. Számoljuk össze, hogy hány kétjegyû szám teszeleget ezek közül az egyes pontokban leírt feltételeknek!

a) 6 ilyen kétjegyû szám van, hiszen másodikra hatféle eredményt kaphatunk és ezekmindegyike kerülhet a második helyiértékre. Így az esemény valószínûsége:

P A( ) = =6

36

1

6.

b) 6 ilyen kétjegyû számot kaphatunk, hiszen ha elsõre 6-ot dobunk, akkor a másodikdobás után mindig ilyen kétjegyû szám keletkezik. Így az esemény valószínûsége:

P B( ) = =6

36

1

6.

c) Páros számot akkor kapunk, ha a második dobás 2; 4 vagy 6, az elsõ pedig tetszõle-ges. Így ilyen kétjegyû szám 6 ◊ 3 = 18 alakulhat ki. Tehát az esemény valószínûsé-

ge: P C( ) = =18

36

1

2.

d) A hárommal való oszthatóság feltétele, hogy a számjegyek összege legyen osztható3-mal. Könnyen ellenõrízhetõ, hogy bármely elsõ dobás után kétféle második do-bással kaphatunk 3-mal osztható kétjegyû számot. (Pl.: ha az elsõ dobás 1, akkormásodikra 2 vagy 5, ha az elsõ dobás 2, akkor másodikra 1 vagy 4, ... esetén adódikhárommal osztható kétjegyû szám). Így 6 ◊ 2 = 12 ilyen kétjegyû szám alakulhat ki,

tehát az esemény valószínûsége: P D( ) = =12

36

1

3.

e) Az elõálló kétjegyû számok között 6 olyan van, amelyek számjegyei egyformák, te-hát 30 kétjegyû számban lesznek különbözõek a számjegyek. Így az esemény való-

színûsége: P E( ) = =30

36

5

6.

3125. A kísérletnek 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27 kimenetele van, hiszen minden húzásnál 3-féle színû golyó

adódhat. Azok a kimenetelek felelnek meg, amelyben a három húzásnál különbözõ szí-nû golyók adódnak. Ezek száma annyi, ahányféleképpen a három színt sorban ki lehet

VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS

297

húzni. Ezek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6, hiszen az elsõre húzott színt nem húzhatjuk másodikra,

ill. harmadikra már csak a kimaradó színt húzhatjuk. Ezzel az esemény valószínûsége:6

27

2

9= .

3126. Ha a dobozban 5 fehér és x piros golyó van, akkor a fehér golyó kihúzásának valószínû-

sége: 5

5x +. Ezzel az egyes kérdésekre adott válaszok:

a) 5 piros golyót, hiszen 1

2

5

10= b) 10 piros golyót, hiszen

1

3

5

15=

c) 15 piros golyót, hiszen 1

4

5

20= d) 95 piros golyót, hiszen

1

20

5

100=

3127. A kísérletnek 6 ◊ 6 ◊ 6 = 216 különbözõ kimenetele lehet.

a) 5-tel osztható számot akkor kapunk, ha az utolsó dobás eredménye 5-ös, az elsõkettõ tetszõleges. Ilyen háromjegyû szám 6 ◊ 6 = 36 adódhat. Így az esemény való-

színûsége: 36

216

1

6= .

b) Páratlan számot akkor kapunk, ha a harmadik dobás eredménye 1; 3 vagy 5, az elsõkettõ tetszõleges. Ilyen háromjegyû szám 6 ◊ 6 ◊ 3 = 108 alakulhat ki, így az ese-

mény valószínûsége: 108

216

1

2= .

3128. A kísérletnek 6 ◊ 6 ◊ 6 = 216 különbözõ kimenetele lehet.

a) A dobott számok összege kétféleképpen lehet páros:

(1) minden dobás eredménye páros

(2) egyik dobás eredménye páros, a másik kettõ páratlan.

Az (1) eset 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27-féleképpen valósulhat meg, hiszen minden dobásnál 3-féle

páros számot dobhatunk.

A (2) eset 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81-féleképpen valósulhat meg, hiszen bármelyik dobás lehet

páros, illetve mind a páros, mind a páratlan dobás háromféleképpen következhet be.

Így összesen 27 + 81 = 108 esetben lesz a dobott számok összege páros. Tehát az

esemény valószínûsége 108

216

1

2= .

Megjegyzés: Azt a tényt, hogy ugyanannyi páros, mint páratlan összegû kimenetelevan a kísérletnek egyszerûbben is beláthatjuk. Ugyanis bármi is volt az elsõ két do-bás eredménye, ezek összegét a harmadik dobás 3-féle eredményével párosra, 3-féleeredményével páratlanra alakíthatjuk. (Pl.: ha az elsõ két dobott szám összege pá-ratlan, akkor 1-est, 3-ast vagy 5-öst dobva páros összeget, 2-est, 4-est vagy 6-ost


298

dobva páratlan összeget kapunk). Ebbõl pedig következik, hogy a kimenetelek fele

páros összeget ad, így a valószínûség 1

2.

b) Az a) rész megjegyzésében leírt gondolatmenet alapján könnyen beláthatjuk, hogy

az esemény valószínûsége 1

3. Legyen ugyanis az elsõ két dobás eredménye tetszõ-

leges! Ha ezek összege osztható 3-mal, akkor 3-ast vagy 6-ost dobva 3-mal oszthatóösszeget kapunk. Ha ezek összege 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor 2-est vagy 5-öst dobva 3-mal osztható összeget kapunk. Végül ha ezek összege 2 maradékot ad3-mal osztva, akkor 1-est vagy 4-est dobva kapunk 3-mal osztható összeget. Vagyisaz összes kimenetelnek a harmadrészében 3-mal osztható összeg adódik, így az

esemény valószínûsége 1

3.

c) A dobott számok összege legalább 3, legfeljebb 18, így a következõ prímszámokállhatnak elõ összegként: 3; 5; 7; 11; 13; 17. Vizsgáljuk meg elõször a dobások sor-rendjétõl eltekintve, hogy milyen módon állhatnak elõ ezek az összegek a háromdobás eredményébõl:

3 = 1 + 1 + 15 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 27 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 311 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 413 = 1 + 6 + 6 = 2 + 5 + 6 = 3 + 4 + 6 = 3 + 5 + 5 = 4 + 4 + 517 = 5 + 6 + 6

Vegyük ezután figyelembe a dobások sorrendjét is!Ekkor a 3-as: egyféleképpen;

az 5-ös: 3 + 3 = 6-féleképpen;a 7-es: 3 + 6 + 3 + 3 = 15-féleképpen;a 11-es: 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27-féleképpen;a 13-as: 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21-féleképpen;a 17-es: 3-féleképpen jöhet létre.

Összefoglalva: a kimenetelek közül 1 + 6 + 15 + 27 + 21 + 3 = 73 ad prímszám-

összeget. Tehát az esemény valószínûsége: 73

2160 338ª , .

3129. A c) pontban írt esemény valószínûsége a legnagyobb, az a) pontban írt esemény való-színûsége a legkisebb.

3130. A dobozban található 4 golyó közül 2 golyót hatféleképpen választhatunk ki. Ezen ki-választások közül két esetben kapunk azonos színû golyót, így a b) pontban írt esemény


299

a valószínûbb. (Az azonos színû golyók húzásának valószínûsége 1

3, a különbözõ szí-

nû golyók választásának valószínûsége 2

3.)

3131. A 6 golyó közül 2 golyót 15-féleképpen választhatunk ki. Azonos színû golyókat akkorhúzunk, ha vagy a 3 fehér, vagy a 3 piros golyó közül veszünk ki kettõt. Mindkét eset-ben 3-3-féleképpen választhatunk, így az azonos színû golyók húzásának valószínûsége6

15

2

5= . Tehát a különbözõ színû golyók húzásának valószínûsége a nagyobb.

3132. A kísérletnek 5 ◊ 4 ◊ 3 = 60 különbözõ kimenetele lehet, tehát ennyiféle háromjegyû

számot kaphatunk.

a) 5-tel osztható számot akkor kapunk, ha az utolsóként húzott szám az ötös. Az ilyen

húzássorozatok száma: 4 ◊ 3 = 12, így az esemény valószínûsége 12

60

1

5= .

b) Hárommal osztható szám akkor adódik, ha a kihúzott három számjegy összege oszt-ható 3-mal. Ez csak akkor következik be, ha a kihúzott számok (sorrendtõl eltekint-ve) az 1; 2; 3 vagy a 3; 4; 5 vagy az 1; 3; 5 vagy a 2; 3; 4. Ha a húzás sorrendjét isfigyelembe vesszük, akkor ez 4 ◊ 6 = 24-féle háromjegyû számot jelent, így az ese-

mény valószínûsége: 24

60

2

5= .

c) Ahhoz, hogy 4-gyel osztható számot kapjunk az utolsó két húzásnak az eredménye:vagy az 1; 2, vagy a 3; 2, vagy az 5; 2, vagy a 2; 4. Elõre a kimaradó 3 szám bár-melyike adódhat, így a néggyel osztható háromjegyû kimenetelek száma: 3 ◊ 4 = 12.

Ekkor az esemény valószínûsége: 12

60

1

5= .

d) 25-tel osztható háromjegyû szám csak akkor adódhat, ha az utolsó két húzás ered-ménye 2; 5. Így ilyen háromjegyû szám 3 van, tehát az esemény valószínûsége:

3

60

1

20= .

3133. A kísérletnek 10 ◊ 10 ◊ 10 = 1000 különbözõ kimenetele lehet. Hogy a kihúzott legki-

sebb szám legalább 7 legyen, ahhoz minden húzásra legalább 7-et kell húzni. Az ilyen

húzássorozatok száma: 4 ◊ 4 ◊ 4 = 64. Tehát az esemény valószínûsége: 64

1000

8

125= .

3134. A kísérletnek 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120 kimenetele van. Ahhoz, hogy a kihúzott golyók piros-fe-

hér-zöld színben kövessék egymást, elsõre a két piros közül, másodikra a két fehér kö-


300

zül, harmadikra a két zöld közül kell húzni. Az ilyen húzássorozatok száma: 2 ◊ 2 ◊ 2 =

= 8. Tehát az esemény valószínûsége: 8

120

1

15= .

3135. Minden dobásnál 36-féle kimenetel lehetséges, így a kísérlet különbözõ kimeneteleinekszáma: 363 = 46 656. Számoljuk meg elõször azokat a kimeneteleket, amelyekben nemdobunk egyszer sem két hatost! Ekkor minden dobásnál 35-féle esemény adódhat, ígyaz ilyen kimenetelek száma: 353 = 42 875. vagyis azon kimenetelek száma, amelyekbenlegalább egyszer két hatost dobtunk 46 656 - 42 875 = 3781. Így az esemény valószí-

nûsége: 3781

46 6560 081ª , .

3136. Az összes lehetséges kimenetelek száma: 25 = 32, így az esemény valószínûsége:2

32

1

16= .

3137. A kísérletben 6 golyó közül választunk ki 2 golyót, ezért a különbözõ lehetséges kime-netelek száma 15. Azonos színû golyókat akkor kapunk, ha vagy a 4 fehér közül vá-lasztunk ki kettõt, vagy kihúzzuk a két piros golyót. Az ilyen húzások száma 6 + 1 = 7,

tehát annak valószínûsége, hogy két azonos színû golyót húzunk 7

15.

3138. A kísérletben 8 golyó közül választunk ki 2 golyót, ezért a különbözõ lehetséges kime-netelek száma 28. Azonos színû golyókat akkor kapunk, ha vagy az 5 fehér közül vá-lasztunk ki kettõt, vagy kihúzzuk a két piros golyót. Az ilyen húzások száma

10 + 1 = 11. Tehát annak a valószínûsége, hogy két azonos színû golyót húzunk 11

28.

3139. A 9 golyó közül kihúzunk egymás után három golyót, így a különbözõ lehetséges ki-menetelek száma 9 ◊ 8 ◊ 7 = 504.

a) Azoknak a húzássorozatoknak a száma, amelyekben az elsõ kihúzott golyó piros, amásodik fehér, a harmadik zöld színû golyó: 3 ◊ 4 ◊ 2 = 24. Így az esemény valószí-

nûsége: 24

504

1

210 0476= ª , .

b) Három azonos színû golyó úgy adódhat, ha vagy a 4 fehér színû golyóból húzunk kiegymás után hármat, vagy a 3 piros golyót húzzuk ki egymás után. Az ilyen húzás-


301

sorozatok száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 + 3 ◊ 2 ◊ 1 = 30. Tehát az esemény valószínûsége30

504

5

840 0595= ª , .

3140. Mivel az egyik dobozban 8, a másikban 10 golyó található, ezért a kísérlet lehetségeskimeneteleinek száma 8 ◊ 10 = 80.

a) Két piros golyót úgy kapunk, ha mindkét dobozból a piros golyók közül húzunk kiegyet-egyet. Az ilyen húzások száma 5 ◊ 3 = 15, ezért az esemény valószínûsége15

80

3

16= .

b) Hasonlóan gondolkodva adódik, hogy az esemény valószínûsége 21

80.

3141. Tegyük fel, hogy András 17 óra x perc-kor, Béla 17 óra y perckor érkezik afagyizó elé! Ábrázoljuk ezt az eseményt

a sík (x; y) pontjával! Mivel 0 £ x £ 60

és 0 £ y £ 60, ezért az összes események

halmaza a koordináta-rendszerben egynégyzet pontjai.

Találkozás akkor jön létre, ha:

Ωy - xΩ £ 15

azaz:

-15 £ y - x £ 15

x - 15 £ y £ x + 15


302

Ez azt jelenti, hogy a találkozáshoz tar-tozó pontok az elõbbi négyzet azonpontjai, amelyek az y = x - 15 és az

y = x + 15 egyenletû egyenesek közötthelyezkednek el.

Ezzel a találkozás valószínûségét értel-mezhetjük úgy, mint az elõzõ ábrán be-satírozott területnek és a négyzet terüle-tének hányadosa. A négyzet területe:60 ◊ 60 = 3600 egység. A vonalkázott

rész területét megkaphatjuk, ha a négy-zet területébõl kivonjuk a kimaradó két háromszög területét. Így a vonalkázott rész te-rülete:

3600 245 45

23600 2025 1575- ◊

◊= - = egység.

Tehát modellünk alapján annak valószínûsége, hogy a korábban érkezõnek nem kell 15percnél tovább várakozni:

P = =1575

36000 4375,

TARTALOM

GEOMETRIA .................................................................................................................................. 5Ponthalmazok (1982-2131) ...................................................................................................... 5Síkbeli alakzatok ...................................................................................................................... 56

Szakaszok, szögek (2132-2181) ....................................................................................... 56Kombinatorika a síkon (2182-2191) ................................................................................ 63Sokszögek tulajdonságai (2192-2243) ............................................................................ 65Sokszögek szögei (2244-2325) ........................................................................................ 75Háromszögek, négyszögek (2326-2411) ........................................................................ 96Sokszögek kerülete, területe (2412-2493) ...................................................................... 131A kör és részeinek kerülete, területe (2494-2516) ......................................................... 152Pitagorasz tételének alkalmazása (2517-2542) .............................................................. 159Vegyes feladatok (2543-2581) ......................................................................................... 170

Geometriai transzformációk ................................................................................................... 180I. Egybevágósági transzformációk (2582-2583) ............................................................ 180

Tengelyes tükrözés (2584-2624) .............................................................................. 180Középpontos tükrözés (2625-2662) ......................................................................... 189Pont körüli elforgatás (2663-2705) .......................................................................... 197Párhuzamos eltolás (2706-2740) .............................................................................. 206Alakzatok egybevágósága. Vegyes feladatok (2741-2756) ................................. 213

II. Hasonlósági transzformációk .................................................................................... 217Középpontos hasonlóság (2757-2776) .................................................................... 217Alakzatok hasonlósága. Vegyes feladatok (2777-2801) ....................................... 222

Térgeometria, térfogatszámítás (2802-2963) ......................................................................... 230KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS ............................................................ 267

Vegyes kombinatorikai feladatok (2964-3104) ..................................................................... 267Halmazokkal kapcsolatos megszámlálási feladatok (3105-3122) ...................................... 288Valószínûségszámítás (3123-3141) ......................................................................................... 291

palÁnkainÉ – szederkÉnyinÉ – vincze - matematika · palánkainé jakab Ágnes dr....

Documents