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hg°

LICEO POLITÉCNICO DOMINGO SANTA MARÍA

ENSEÑANZA MEDIA

TÉCNICO PROFESIONAL

3.- ALGEBRA

2°

http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=funcion+exponencial&source=images&cd=&cad=rja&docid=7r7sfQn1We5T2M&tbnid=6dhkmzNhCaC2gM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.kalipedia.com/historia-peru/tema/funcion-exponencial-verifique.html?x1=20070926klpmatfnc_84.Kes&x=20070926klpmatfnc_88.Kes&ei=k9IyUeW5JZCm8ASC5IGYCg&bvm=bv.43148975,d.dmg&psig=AFQjCNFHv5lTadWmMBpLngoswqRPtP3_DA&ust=1362371586916614

No hay rama de la matemática, por

abstracta que sea, que no pueda

aplicarse algún día a los fenómenos del

mundo real.

NIKOLAY LOBACHEVSKY

III.- ALGEBRA

APRENDIZAJES ESPERADOS ESPECÍFICOS

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 01 ANALIZAR GRÁFICAMENTE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, EN FORMA MANUAL Y CON HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 02 ANALIZAR GRÁFICAMENTE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA, EN FORMA MANUAL Y CON HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 03 ANALIZAR GRÁFICAMENTE LA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA, EN FORMA MANUAL Y CON HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 04 ANALIZAR LA VALIDEZ DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FRACCIONARIA.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 05 ESTABLECER ESTRATEGIAS PARA OPERAR FRACCIONES ALGEBRAICAS SIMPLES, CON BINOMIOS EN EL NUMERADOR Y EN EL DENOMINADOR, Y DETERMINAR LOS VALORES QUE INDEFINEN ESTAS EXPRESIONES.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 06 RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS, GRÁFICA Y ALGEBRAICAMENTE.

PE

RIO

DO

2º

SE

ME

ST

RE

OA 07 MODELAR Y APLICAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, RAÍZ CUADRADA Y LOGARÍTMICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, Y RESOLVER PROBLEMAS QUE INVOLUCREN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

PROGRAMACIÓN ANUAL RESUMIDA 2015 * MATEMÁTICA * 2º E. M. T. P.

Yo (Nombre y Firma)

……………………………………………………..………….……………..………… Apoderado de:

……………………………………………………………………………… Certifico, haber recibido el cuaderno Auxiliar n° 3 de Algebra, y me comprometo a revisarlo periódicamente,

a fin de poder ver el avance de mi hijo(a) en la unidad n° 3 de Matemática.

Firmando todas las guías de trabajo.

Yo ……………………………………………………..………….……………..…………

(Nombre y Firma)

Apoderado de: ………………………………………………………………………………

Certifico, haber recibido el cuaderno Auxiliar n° 3 de Algebra, y me comprometo a revisarlo periódicamente,

a fin de poder ver el avance de mi hijo(a) en la unidad n° 3 de Matemática.

Firmando todas las guías de trabajo.

(Corte este comprobante y guárdelo en un lugar seguro)

I.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:

GUÍA Nº 1.-

NOTA 1

GUÍA Nº 5.-

GUÍA Nº 4.-

GUÍA Nº 3.-

GUÍA Nº 2.-

NOTA 3

NOTA 4

NOTA 2

NOTA 5

NOTA FINAL

Firma Apoderado GUÍA Nº 6.-

NOTA 6

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

ALGEBRA:

Una de las aplicaciones importantes que se pueden realizar en matemática es modelar distintas situaciones de la vida diaria. Por ello, es muy frecuente encontrar el concepto de función relacionado con diferentes fenómenos. Por ejemplo, la distancia recorrido por un vehículo en cierto tiempo a una rapidez constante o el precio que se debe pagar por cierta cantidad de alimentos., etc. En relación al párrafo anterior conversemos las siguientes preguntas: 1. ¿En qué situaciones de la vida diaria utilizas variables? 2. ¿Qué quiere decir que dos elementos estén

relacionados? 3. En qué situaciones de la vida cotidiana reconoces alguna

relación matemática? Comenta. CONCEPTO DE FUNCIÓN:

Una función f de un conjunto A en un conjunto B (f: A→B) es una relación (regla o correspondencia que asocia a dos

elementos) en que a cada elemento 𝑥 ∈ 𝑩, llamado imagen, que se denota y =f (x). Se puede denotar como:

f: A→B

x→y = f(x) En general, a la variable x se le llama independiente y a la variable y, dependiente. Además, en el conjunto de las pre imágenes no puede sobrar ningún elemento, mientras que en el de las imágenes sí.

Por ejemplo:

La longitud x de la arista de un cubo y su volumen V se pueden relacionar usando la función V(x) = x3. En este caso, la longitud de la arista es la variable independiente y el volumen es la variable dependiente, es decir el volumen del

cubo depende de la longitud de la arista.

MIS APUNTES

--x cm----

-

V(x) = x3

Variable independiente

Variable dependiente

DOMINIO y RECORRIDO:

Si f:A→B es una función con y=f(x), donde 𝒙 ∈ 𝑨 e 𝒚 ∈ 𝑩, se define el Dominio de f(Dom(f)) o conjunto de las pre imágenes x como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x perteneciente al conjunto A. Mientras que el Recorrido de la función f(Rec(f)) corresponde al

subconjunto de las imágenes 𝒚 ∈ 𝑩 una vez aplicada la función f(y=f(x)).

f: A→B

x→y = f(x) Por ejemplo:

Sea 𝑓(𝑥) =1

1+𝑥 definida en los R

-1 no pertenece Dom (f), ya que f(-1) no está definido, es decir, f no está definida para x=-1

Sea 𝑓(−1) =1

1±−1=

1

0= 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

1

2∈ Rec (f), ya que

𝑓(1) =1

1 + 1=

1

2

Observa: No todas las funciones tienen que denotarse con la letra f.

MIS APUNTES

Pre imagen Imagen

FUNCIÓN AFÍN: Una función afín es una función de la forma f(x) = mx + n, donde m y n son números reales distintos de 0.

Propiedades de la función AFÍN:

La grafica de una función afín es una recta cuya pendiente es m y cuyo punto de intersección con el eje Y en el punto (0, n).

y= f(x) = mx + n es una función afín de la función lineal asociada f(x) = mx

la constante m de la función afín y = mx + n indica el cambio de en la variable dependiente, y por cada unidad de variación en la variable independiente x, m recibe el nombre de pendiente o constante de proporcionalidad de la función f(x) = mx + n

La recta y = mx + n, es una traslación vertical de la recta y = mx, n unidades hacia arriba si n >0 o hacia abajo si n < 0. Nótese que la recta y = mx tiene coeficiente de posición n = 0.

Por ejemplo: Si la recta que representa una función afín pasa por los puntos (0,2) y (2,10), es posible determinar la expresión algebraica que la representa.

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒎 =𝟏𝟎−𝟐

𝟐−𝟎=

𝟒

𝟏 → “y” varia 4 unidades por cada

unidad de x. Como pasa por el punto (0,2) =(0,n), entonces n=2. Por tanto la expresión algebraica de para la función es:

y=f(x)=4x+2 → Función Afín de la función lineal asociada y=f(x)=4x

Además se tiene que f(0) = 2 y f(2)= 10

OA 00

Analizar representaciones de la

función lineal y de la función afín.

MIS APUNTES

GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO ALGEBRA

Curso Fecha N° LISTA

Nombre

LICEO DOMINGO SANTA MARÍA

RENAICO

MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com

1. Grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones:

a) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

Completa la tabla inferior y luego gráfica.

x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

¡ATENCIÓN! SIGUE ATENTAMENTE LAS INSTRUCCIONES QUE DE TU PROFESOR EN LA PIZARRA.

b) 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐


x g

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

c) 𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 Completa la tabla inferior y luego gráfica.

x h

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

RESPONDE:

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 y 𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐

a) 𝒇 = −𝟐𝒙


x f

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

b) 𝒈 = −𝟐𝒙 + 𝟐


x g

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

c) 𝒉 = −𝟐𝒙 − 𝟐


x h

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6


RESPONDE:

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES

𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟐 y 𝒉(𝒙) = −𝟐𝒙 − 𝟐

HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO ALGEBRA

INSTRUCCIONES:

Pauta de observación

N° Ítems a evaluar NC CP CT

1 LAS TABLAS DEL EJERCICIO N° 1 ESTÁN COMPLETAS, Y MUESTRAN A LO MENOS dos EJEMPLOS DE DESARROLLO.

0 1 5


0 1 5

3 TODAS LAS GRAFICAS DEL EJERCICIO N° 1, ESTÁN ACORDES A LOS VALORES DE

LAS TABLAS. Y EN LOS COLORES INDICADOS POR EL PROFESOR 0 1 5



5 TODAS LAS PREGUNTAS DEL EJERCICIO N° 1 FUERON RESPONDIDAS

CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5

7 EL ALUMNO SE MANTUVO DURANTE LA ACTIVIDAD EN SILENCIO Y NO MOLESTO A SUS COMPAÑEROS.

0 1 5

8 EL ALUMNO TRABAJO A UN RITMO ADECUADO A LA ACTIVIDAD. 0 1 5

9 ENTREGO LA ACTIVIDAD EN LOS PLAZOS SEÑALADOS POR EL PROFESOR 0 1 5

10 EL ALUMNO ENTREGO UN TRABAJO LIMPIO Y ORDENADO. 0 1 5

SUB TOTAL TOTAL

PUNTAJE PARA EL 7,0 = 50 PUNTOS PUNTAJE PARA EL 4,0 35 PUNTOS …….

Ptje. Obt.

NOTA

Curso Fecha N°

LISTA

Nombre

Ptje. TOTAL.

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 2 EJERCICIOS DE GRAFICAR FUNCIONES Y 10 PREGUNTAS DE ANÁLISIS

DE LAS FUNCIONES. 2. PUEDES USAR CALCULADORA O CELULAR PARA AYUDARTE EN LAS GRAFICAS. 3. LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO, SI ASÍ LO DESEAS.

4. EL TRABAJO ES INDIVIDUAL. 5. ESTA ACTIVIDAD ES EN SILENCIO. 6. USA REGLA, LÁPIZ GRAFITO, LÁPICES DE COLORES PARA CADA FUNCIÓN. 7. SE ORDENADO Y LIMPIO AL TRABAJAR.

MIS APUNTES 1.- FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial es del tipo:

f(x)= bx

Sea b un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia bx se llama función exponencial de base b y exponente x.

Propiedades de la función exponencial Dominio: R.

Recorrido: R+.

Es continua. Los puntos (0,1) y (1, b) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva toda b ≠ 1 (ninguna imagen tiene más de un

original). Creciente si b > 1. Decreciente si 0 < b < 1.

Las curvas y = bx e y =(𝟏

𝒃)

𝒙 son simétricas respecto

del eje 0Y.

MIS APUNTES La gráfica de una función exponencial de la forma f(x)=bx depende del valor de b. Además, mientras mayor es el valor de b, la función tiene un mayor crecimiento.

Si |𝒂| < 1, La gráfica de y = abx es una dilatación de y = bx, Mientras que: Si |𝒂| > 1, es una contracción de y = bx, La gráfica de y = abx−c es una traslación horizontal de c unidades respecto de y=abx, hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda se c < 0. La gráfica de y = abx + h es una traslación vertical de h unidades respecto de y = abx, hacia arriba si h > 0 y hacia abajo si h < 0.



Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



a) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙


c) 𝒈 = (𝟏

𝟐)

𝒙


x y

-3

-2

-1

0

1

2

2,5

3

3,2

3,4

x g

-3

-2

-1

0

1

2

2,5

3

3,5

4


AE 01 Analizar gráficamente la función Exponencial, en forma manual y con herramientas tecnológicas

b) 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙


x y

-3

-2

-1

0

1

2

2,5

3

3,2

3,4

RESPONDE:

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 y 𝒈(𝒙) = −𝟐𝒙

b) QUE PUNTOS TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 y 𝒉(𝒙) = (𝟏

𝟐)

𝒙

c) ¿CUÁL ES EL DOMINIO Y RECORRIDO DE LA FUNCIÓN 𝒚 = 𝟐𝒙 y 𝒉(𝒙) = (𝟏

𝟐)

𝒙

?

d) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 A MEDIDA QUE “X” DISMINUYE? Y ¿CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = −𝟐𝒙? JUSTIFICA.

e) ¿QUÉ RELACIÓN, DIFERENCIAS O SEMEJANZAS, PUEDES ENCONTRAR ENTRE ESTAS TRES GRÁFICAS? EXPLÍCATE

f) NOMBRA A LO MENOS 3 CARACTERÍSTICAS DE ESTAS FUNCIÓN REPRESENTADAS POR SUS

GRAFICAS.

x h

-3

-2

-1

0

1

1,5

2

2,5

2,6

2,8

x g

-3

-2

-1

0

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

5

6

6,5

b) 𝒈 = (𝟏, 𝟓) ∙ 𝟐𝒙


c) 𝒉 = (𝟎, 𝟏) ∙ 𝟐𝒙




a) Grafica base 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

Completa la tabla inferior y luego

gráfica.

x y

-3

-2

-1

0

1

2

2,5

3

3,2

3,4

RESPONDE:

a). QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES:

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = (𝟏, 𝟓) ∙ 𝟐𝒙 y 𝒉(𝒙) = (𝟎, 𝟏) ∙ 𝟐𝒙

a) ¿CUÁL ES EL DOMINIO Y RECORRIDO DE LA:

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = (𝟏, 𝟓) ∙ 𝟐𝒙 y 𝒉(𝒙) = (𝟎, 𝟏) ∙ 𝟐𝒙 ?

b) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = (𝟏, 𝟓) ∙ 𝟐𝒙 A MEDIDA QUE “X” DISMINUYE? Y

¿CON EL GRAFICO DE 𝒉(𝒙) = (𝟎, 𝟏) ∙ 𝟐𝒙 ? JUSTIFICA. c) ¿QUÉ RELACIÓN, DIFERENCIAS O SEMEJANZAS, PUEDES ENCONTRAR ENTRE ESTAS TRES

GRÁFICAS? EXPLÍCATE

d) NOMBRA A LO MENOS 3 CARACTERÍSTICAS DE ESTAS FUNCIÓN REPRESENTADAS POR SUS

GRAFICAS.



Grafica base a) 𝒇(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙


x y

-4

-3

-2

-1

0

1

1,5

1,8

1,9

2

2,4

2,6

b) 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙−𝒄 Completa la tabla inferior y luego gráfica.

c) 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙+𝒄 Completa la tabla inferior y luego gráfica.

x c X - c y

-3 2

-2 2

-1 2

0 2

1 2

1,5 2

1,9 2

2 2

2,5 2

3 2

3,5 2

4 2

4,5 2

x c X + c g

-3,5 2

-3 2

-2,5 2

-2 2

-1 2

0 2

0,1 2

0,2 2

0,3 2

0,4 2

0,5 2

0,6 2

a) a). QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES:

𝒇(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙−𝒄 y 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙+𝒄

b) ¿CUÁL ES EL DOMINIO Y RECORRIDO DE LA :

𝒇(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙−𝒄 y 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙+𝒄 ?

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙−𝒄 A MEDIDA QUE “X” DISMINUYE? Y ¿CON

EL GRAFICO DE 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙+𝒄 ? JUSTIFICA.

d) ¿QUÉ RELACIÓN, DIFERENCIAS O SEMEJANZAS, PUEDES ENCONTRAR ENTRE ESTAS TRES

GRÁFICAS? EXPLÍCATE

e) NOMBRA A LO MENOS 3 CARACTERÍSTICAS DE ESTAS FUNCIÓN REPRESENTADAS POR

SUS GRAFICAS.

x y

-4

-3

-2

-1

0

1

1,2

1,4

1,6

1,8

1,9

2

2,1

2,2

h x f

2 -4

2 -3

2 -2

2 -1

2 0

2 0,5

2 1

2 1,2

2 1,4

2 1,6

2 1,8

h x g

-2 -4

-2 -3

-2 -2

-2 -1

-2 0

-2 1,5

-2 2,1

-2 2,2

-2 2,3

-2 2,4

-2 2,5



Grafica base

a) 𝒇(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙


b). 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 + 𝒉 Completa la tabla inferior y luego gráfica.

c). 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 − 𝒉 Completa la tabla inferior y luego gráfica.

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES: 𝒇(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 + 𝒉 y 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 − 𝒉

b) ¿CUÁL ES EL DOMINIO Y RECORRIDO DE LA :

𝒇(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 + 𝒉 y 𝒉(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 − 𝒉?

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 + 𝒉 A MEDIDA QUE “X” DISMINUYE? Y

¿CON EL GRAFICO DE (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟐𝒙 − 𝒉 ? JUSTIFICA.

d) ¿QUÉ RELACIÓN, DIFERENCIAS O SEMEJANZAS, PUEDES ENCONTRAR ENTRE ESTAS TRES GRÁFICAS? EXPLÍCATE

e) NOMBRA A LO MENOS 3 CARACTERÍSTICAS DE ESTAS FUNCIÓN REPRESENTADAS POR SUS GRAFICAS.

A.

PAUTA DE RESPUESTA GUÍA N° 2 2° AÑO MEDIO ALGEBRA

INSTRUCCIONES:




0 1 5


0 1 5


0 1 5


0 1 5










CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


0 1 5




SUB TOTAL TOTAL


1) ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 4 EJERCICIOS DE GRAFICAR FUNCIONES Y 12 PREGUNTAS DE ANÁLISIS

DE LAS FUNCIONES. 2) PUEDES USAR CALCULADORA O CELULAR PARA AYUDARTE EN LAS GRAFICAS.

3) LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO, SI ASÍ LO DESEAS. 4) EL TRABAJO ES INDIVIDUAL. 5) ESTA ACTIVIDAD ES EN SILENCIO. 6) USA REGLA, LÁPIZ GRAFITO, LÁPICES DE COLORES PARA CADA FUNCIÓN.

7) SE ORDENADO Y LIMPIO AL TRABAJAR.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

MIS APUNTES 2.- FUNCIÓN LOGARÍTMICA Podemos observar que una función logarítmica se puede escribir de la forma:

f(x) = loga x

Propiedades de las funciones logarítmicas

Con a ≠ 𝟏, 𝒚 𝒂 > 𝟎 se tiene

Dominio:

Recorrido: Es continua. Los puntos (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a >1. Decreciente si a <1. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial , ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

MIS APUNTES

La gráfica de y = loga(x)+b es una traslación vertical de b unidades respecto de y =logax, hacia arriba si b > 0 y La gráfica de y = loga(x)-b es una traslación vertical de b unidades respecto de y =logax, hacia abajo si b < 0 y La gráfica de y = loga(x-c) es una traslación horizontal de c unidades respecto de y =logax, hacia la derecha si c > 0 y La gráfica de y = loga(x+c) es una traslación horizontal de c unidades respecto de y = logax, hacia la izquierda si c < 0.



Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


AE 02 Analizar gráficamente la función Logarítmica, en forma manual y con herramientas tecnológicas


a) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙


b). 𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙


y 𝒙 = 𝟐𝒚 x

-4 𝟐−𝟒 =

𝟏

𝟐𝟒=

𝟏

𝟏𝟔 0,0625

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y 𝒙 =

𝟏

𝟐

𝒚

x

-4 (𝟏

𝟐)

−𝟒

=𝟏

𝟏𝟐𝟒

=𝟏

𝟏𝟏𝟔

= 𝟏

𝟏∙𝟏𝟔

𝟏= 16

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙

b) ¿CUÁL ES EL DOMINIO Y RECORRIDO DE LAS FUNCIONES :

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙 ?

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 A MEDIDA QUE “X” DISMINUYE? Y

¿CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙 ? JUSTIFICA.




a). Función base 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

Completa la tabla lateral y luego gráfica.

b). 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐)


y 𝒙 = 𝟐𝒚 x

-4 𝟐−𝟒 = 0,0625

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


y 𝒙 = 𝟐𝒚 − 𝟐 x

-4 𝟐−𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 − 𝟐 -1,9375

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

c). 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟐)


y 𝒙 = 𝟐𝒚 + 𝟐 x

-4 𝟐−𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟐 2,0625

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟐)


𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟐)?

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) A MEDIDA QUE “X”

CAMBIA? Y ¿CON EL GRAFICO DE 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 − 𝟐) ? JUSTIFICA.

d) ¿QUÉ RELACIÓN, DIFERENCIAS O SEMEJANZAS, PUEDES ENCONTRAR ENTRE ESTAS

TRES GRÁFICAS? EXPLÍCATE e) NOMBRA A LO MENOS 3 CARACTERÍSTICAS DE ESTAS FUNCIÓN REPRESENTADAS POR

SUS GRAFICAS.


a). Función base 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙


b). 𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) + 𝟐


y 𝒙 = 𝟐𝒚 x

-4 𝟐−𝟒 = 0,0625

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


x 𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) + 𝟐 y

𝟏

𝟑𝟐 𝐥𝐨𝐠

𝟐

𝟏

𝟑𝟐+ 𝟐 = (𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟑𝟐) + 𝟐 = (𝟎 − 𝟓) + 𝟐 = −𝟓 + 𝟐= -3

𝟏

𝟏𝟔

𝟏

𝟖

𝟏

𝟒

𝟏

𝟐

0

1

2

4

8

c). 𝒉 = 𝐥𝐨𝐠

𝟐(𝒙) − 𝟐


x 𝒉 = 𝐥𝐨𝐠

𝟐(𝒙) − 𝟐 y

𝟏

𝟏𝟔 𝐥𝐨𝐠𝟐

𝟏

𝟏𝟔+ 𝟐 = (𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟔) + 𝟐 = (𝟎 − 𝟒) + 𝟐 = −𝟒 + 𝟐= -6

𝟏

𝟖

𝟏

𝟒

-1

1

2

4

8

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) + 𝟐 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) − 𝟐


𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) + 𝟐 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) − 𝟐

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) + 𝟐 A MEDIDA QUE “X”

CAMBIA? Y ¿CON EL GRAFICO DE 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙) − 𝟐 ? JUSTIFICA.



SUS GRAFICAS.

A.


INSTRUCCIONES:

Pauta de Observación



0 1 5


0 1 5


0 1 5








CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


0 1 5




SUB TOTAL TOTAL



DE LAS FUNCIONES. 2. PUEDES USAR CALCULADORA O CELULAR PARA AYUDARTE EN LAS GRAFICAS.

3. LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO. 4. EL TRABAJO ES INDIVIDUAL. 5. ESTA ACTIVIDAD ES EN SILENCIO. 6. USA REGLA, LÁPIZ GRAFITO, LÁPICES DE COLORES PARA CADA FUNCIÓN. 7. SE ORDENADO Y LIMPIO AL TRABAJAR.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

MIS APUNTES 3.- FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:

𝒇(𝒙) = √𝒙

Cuyo dominio son todos los números reales positivos R+ (0,

∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada es:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html

MIS APUNTES Propiedades de la función raíz cuadrada

Si |a|>1, g(x)= a √𝒙 corresponde a una dilatación de f(x).

Si |a|<1, g(x)= a √𝒙 corresponde a una contracción de f(x).

h(x)= √𝒙 − 𝒃 corresponde a una traslación horizontal de b

unidades respecto de f(x). A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos x − 1, y hacía de izquierda si hacemos x + 1 Si b > 0 se desplaza b unidades hacia la derecha y si b < 0 se desplaza b unidades hacia la izquierda.



Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


AE 03 Analizar gráficamente la función Raíz Cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnológicas

a). 𝒇(𝒙) = √𝒙


b). 𝒈(𝒙) = −√𝒙


x y

0

0,125

0,25

0,5

0,75

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x y

0

0,125

0,25

0,5

0,75

1

2

3

4

5

6

7

8

9



X

Y

X

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES: 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒈(𝒙) = −√𝒙


𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒈(𝒙) = −√𝒙

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒇(𝒙) = (𝒙) = √𝒙 A MEDIDA QUE “X” CAMBIA? Y

¿CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = −√𝒙? JUSTIFICA.



SUS GRAFICAS.


a). Función base 𝒇(𝒙) = √𝒙


b). 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟐


x y

0

0,125

0,25

0,5

0,75

1

2

3

4

5

6

7

8

9


x 𝒙 + 𝟐 √𝒙 + 𝟐 = 𝒚

-2

-1,75

-1,5

-1,25

-0,5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

c). 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟐


x 𝒙 − 𝟐 √𝒙 − 𝟐 = 𝒚

2

2,25

2,5

2,75

3

4

5

6

7

8

9

X

Y

X

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES:

𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟐


𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟐

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 A MEDIDA QUE “X” CAMBIA?

Y ¿CON EL GRAFICO DE 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟐 ? JUSTIFICA.




a). Función base 𝒇(𝒙) = √𝒙


b). 𝒈(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟐


x y

0

0,125

0,25

0,5

0,75

1

2

3

4

5

6

7

8

9


x 𝟐𝒙 + 𝟐 Y=√𝟐𝒙 + 𝟐 -1

-0,75 -0,5 -0,25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

c). 𝒉 = √𝟐𝒙 − 𝟐


x 𝟐𝒙 + 𝟐 Y=√𝟐𝒙 − 𝟐

1

1.125

1,25

1,50

1,75

2

3

4

5

6

7

8

X

Y

X

a) QUE PUNTOS EN LA GRÁFICA TIENEN EN COMÚN LAS FUNCIONES: 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒈(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟐 𝒉(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟐


𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒈(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟐 𝒉(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟐

c) ¿QUÉ OCURRE CON EL GRAFICO DE 𝒈(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟐 A MEDIDA QUE “X”

CAMBIA? Y ¿CON EL GRAFICO DE 𝒉(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟐 ? JUSTIFICA.



SUS GRAFICAS.

A.


INSTRUCCIONES:




0 1 5


0 1 5


0 1 5








CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


CORRECTAMENTE 0 1 5


0 1 5




SUB TOTAL TOTAL



DE LAS FUNCIONES. 2. PUEDES USAR CALCULADORA O CELULAR PARA AYUDARTE EN LAS GRAFICAS.

3. LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO. 4. EL TRABAJO ES INDIVIDUAL. 5. ESTA ACTIVIDAD ES EN SILENCIO. 6. USA REGLA, LÁPIZ GRAFITO, LÁPICES DE COLORES PARA CADA FUNCIÓN. 7. SE ORDENADO Y LIMPIO AL TRABAJAR.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

MIS APUNTES 4.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Los antiguos griegos eran conocidos por buscar la perfección en todas las cosas. El Partenón de Atenas, templo ubicado en la Acrópolis, dedicado a la diosa Atenea y es considerado el monumento más importante de la civilización griega antigua, está construido de manera que el largo y ancho de la base forman un rectángulo que consideraban ideal. Es un rectángulo tal que, si se quita el mayor cuadrado posible, se obtiene un nuevo rectángulo, cuyos lados están en la misma proporción que el rectángulo original. Esta relación entre los lados del rectángulo se puede expresar como: Entonces Las E.F.A. son representaciones numéricas compuestas por una fracción cuyo denominador es una expresión algebraica. Ejemplos:

𝟏

𝒙+𝟐

𝒂−𝒃

𝒂𝟐+𝒃𝟐 Expresiones Algebraicas

MIS APUNTES 4.1.- COMPARACIÓN Y RESTRICCIONES EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. Como puedes observar, en álgebra existen fracciones cuyos denominadores son expresiones algebraicas que contienen letras. Ya que una letra puede tomar diferentes valores, es preciso restringirlos para que no estén indefinidas, es decir, para que sus denominadores sean distintos de 0. Veamos ejemplos de restricciones:

𝟑

𝟐𝒂→ 𝟐𝒂 ≠ 𝟎 → 𝒂 ≠ 𝟎

𝟓𝒙

𝒚 − 𝟐→ 𝒚 − 𝟐 ≠ 𝟎 → 𝒚 ≠ 𝟐

𝟑𝒂 − 𝟏

𝟐𝒃 − 𝟑→ 𝟐𝒃 − 𝟑 ≠ 𝟎 → 𝟐𝒃 ≠ 𝟑 → 𝒃 ≠

𝟑

𝟐

Para comparar fracciones algebraicas, Si observamos la figura adjunta: Es claro que En general, se puede afirmar que:

Si las expresiones son positivas y ambas fracciones

tienen igual denominador, es mayor la fracción de mayor numerador.

Si las expresiones son positivas y ambas fracciones son de igual numerador, es mayor la fracción de menor denominador.

Si alguna de las expresiones es negativa, se debe tener cuidado y analizar caso a caso, ya que las desigualdades pueden cambiar.

MIS APUNTES 4.2.- AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Si 𝒂𝒄

𝒃𝒄 es una fracción algebraica y d es una expresión

algebraica, se tiene que: 𝑎𝑐 ∙ 𝑑

𝑏𝑐 ∙ 𝑑

Es una amplificación de 𝒂𝒄

𝒃𝒄 por d.

𝒂

𝒃 Es una simplificación

de 𝑎𝑐

𝑏𝑐 por c.

Ejemplos:

i.- Si la fracción 𝒂−𝒃

𝒂 𝑐𝑜𝑛 (𝑎 ≠ 0) la amplificamos por

(𝒂 + 𝒃)

Obtendremos (𝒂+𝒃)∙(𝒂−𝒃)

(𝒂+𝒃)∙𝒂=

𝒂𝟐−𝒃𝟐

𝒂𝟐−𝒂𝒃 siempre que 𝒂 ≠ 𝟎 y

𝒂 + 𝒃 ≠ 𝟎

ii.- Supongamos que queremos simplificar la fracción 𝒂𝟐−𝒂𝒃

𝒂𝟐−𝒃𝟐

con 𝒂𝟐 ≠ 𝒃𝟐 . lo primero que haremos será factorizar al máximo posible el numerador y el denominador:

𝒂𝟐 − 𝒂𝒃

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐=

𝒂(𝒂 − 𝒃)

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

Si dividimos al numerador y denominador por (𝒂 − 𝒃) obtendremos:

Por lo tanto: 𝒂𝟐−𝒂𝒃

𝒂𝟐−𝒃𝟐 =𝒂

(𝒂+𝒃) con (𝒂 + 𝒃 ≠ 𝟎 𝒚 𝒂 − 𝒃 ≠ 𝟎)

MIS APUNTES iii.- veamos un caso con numerador y denominador son potencias:

𝟒𝒙𝟓𝒚𝒛

𝟏𝟔𝒙𝟑𝒚𝟒𝒛𝟐

Simplificamos los coeficientes y ocupando la propiedad de división de potencias de igual base, obtendremos:

𝟒𝒙𝟓𝒚𝒛

𝟏𝟔𝒙𝟑𝒚𝟒𝒛𝟐=

𝒙𝟐

𝟒𝒚𝟑𝒛𝟏



Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


AE 4 Analizar la validez de una expresión algebraica fraccionaria.

1. 𝑎2−𝑎𝑏

𝑎2−𝑏2= 2.-

𝑎2−𝑏2

(𝑎+𝑏)2=

A. a

B. a+b

C. 𝑎

𝑎+𝑏

D. 𝑎

𝑎−𝑏

E. N. de las A.

A. a

B. a+b

C. 𝑎+𝑏

𝑎−𝑏

D. 𝑎−𝑏

𝑎+𝑏

E. N. de las A.

F.

2. 3𝑥−18

𝑥2−5𝑥−6=

4.- 2𝑥−4

(𝑥−2)(𝑥+9)=

A. a

B. x-6

C. 3

𝑥−6

D. 𝑥−6

𝑥+6

E. N. de las A.

A. a

B. 2

𝑥+9

C. 2

𝑥−9

D. 𝑥−6

𝑥+6

E. N. de las A.

5.- 5𝑥2−5

5𝑥−5=

6.- 12𝑥2−12

16(𝑥+3)(𝑥+1)=

A. x

B. 2

𝑥+5

C. 2

𝑥−5

D. 𝑥−6

𝑥+6

E. N. de las A.

A. x

B. 3

4(𝑥+5)

C. 2

𝑥−5

D. 3(𝑥−1)

4(𝑥+3)

E. N. de las A.

F.

I.- Simplica las siguientes Expresiones Algebraicas Fraccionarias

13.- .- 6𝑚2𝑝2𝑞

27𝑚𝑝3𝑞2= 14.-

−125𝑥6𝑦5𝑧4

5𝑥𝑦𝑧=

A. 2

5𝑝𝑞

B. 2𝑝𝑞𝑤2

𝑤

C. 9𝑝𝑞

2𝑧2

D. 2

9𝑝𝑞

E. N. de las A.

A. 25𝑥5𝑦4𝑧3.

B. −25𝑥6𝑦5𝑧4

C. 5𝑥6𝑦3𝑧4

D. −25𝑥5𝑦4𝑧3

E. N. de las A.

11.- 25𝑥5𝑦4𝑧3

5𝑥4𝑦3𝑧2𝑤= 12.-

9𝑥32𝑦43𝑧5

3𝑥44𝑦66𝑧5=

A. 𝑤

5𝑥𝑦𝑧

B. 2𝑥𝑤2

𝑤

C. 𝑤

2𝑥𝑧2

D. 5𝑥𝑦𝑧

𝑤

E. N. de las A.

A. 3

𝑥𝑦2

B. 𝑥𝑦2

𝑤

C. 3

𝑥𝑧2

D. 𝑥𝑦

𝑤

E. N. de las A.

9.- 16𝑥2𝑦2𝑧3

8𝑥𝑦4𝑧3 = 10.- 10𝑥5𝑦4𝑤6

15𝑥7𝑦3𝑤8=

A. y

B. 2𝑥𝑧2

𝑦

C. 𝑦

2𝑥𝑧2

D. 𝑥−6

3𝑎

E. N. de las A.

A. 2𝑦

3𝑥2𝑤

B. 2𝑥𝑤2

2𝑦

C. 2𝑦

2𝑥𝑧2

D. 𝑥−6

2𝑦

E. N. de las A.

7.- 𝑎2−𝑏2

3𝑎2−3𝑎𝑏= 8.-

𝑥2−5𝑥

𝑥2−25=

A. a

B. 𝑎+𝑏

3𝑎

C. 2

𝑥−9

D. 𝑥−6

3𝑎

E. N. de las A.

F.

A. a

B. 𝑥

𝑥+5

C. 𝑥

𝑥−5

D. 𝑥+5

3𝑥

E. N. de las A.

F.

A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 14 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.

EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON

DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO

HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

MIS APUNTES

5.- OPERATORIA CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 5.1.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS i.- Multiplicación: Para multiplicar dos fracciones algebraicas, se calcula de manera similar que para multiplicar fracciones numéricas. Primero, se factorizan los numeradores y los denominadores en ambas fracciones; luego, se simplifican por los factores comunes que existan, tanto numéricos como algebraicos; y, finalmente, se multiplican los términos restantes. Ejemplo: para resolver:

𝟑𝒂 − 𝟑𝒃

𝟐𝒂∙𝟒𝒂 + 𝟒𝒃

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐=

Debemos primero factorizar y luego simplificar, antes de multiplicar

𝟑(𝒂−𝒃)

𝟐𝒂∙

𝟒(𝒂+𝒃)

(𝒂+𝒃)(𝒂−𝒃)=

𝟔

𝒂

𝟑∙𝟒

𝟐𝒂=

𝟏𝟐

𝟐𝒂=

𝟏𝟐

𝟐𝒂=

𝟔

𝒂

ii.- División:

6

Ejemplos:

MIS APUNTES La división de fracciones numéricas, se realiza multiplicando el dividendo por el recíproco del divisor:

(𝒂

𝒃) ÷ (

𝒄

𝒅) = (

𝒂

𝒃) ∙ (

𝒅

𝒄) =

𝒂𝒅

𝒃𝒄 (Con b, c, d ≠ 0)

En las fracciones algebraicas, realizamos el mismo procedimiento: Ejemplo: Para resolver:

𝟒𝒂 − 𝟒𝒃

𝟐𝒂𝒃÷

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

𝟐𝒂𝟐𝒃 − 𝟐𝒂𝒃𝟐=

Comenzaremos factorizando y simplificando 𝟒𝒂−𝟒𝒃

𝟐𝒂𝒃÷

𝒂𝟐−𝒃𝟐

𝟐𝒂𝟐𝒃−𝟐𝒂𝒃𝟐 =𝟒(𝒂−𝒃)

𝟐𝒂𝒃÷

(𝒂+𝒃)(𝒂−𝒃)

𝟐𝒂𝒃(𝒂−𝒃)=

𝟒(𝒂−𝒃)

𝟐𝒂𝒃∙

𝟐𝒂𝒃(𝒂−𝒃)

(𝒂+𝒃)(𝒂−𝒃)=

𝟒(𝒂−𝒃)

𝒂+𝒃

Ejemplos:

MIS APUNTES 5.2.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS i.- Adición: Para sumar fracciones algebraicas, debemos ver si sus denominadores son iguales. De no ser así, debemos encontrar fracciones equivalentes de denominador igual al mínimo común hallado. Finalmente, se suman los numeradores de las fracciones equivalentes halladas. Los egipcios utilizaban fracciones algebraicas como:

1

𝑛=

1

𝑛 + 1+

1

𝑛(𝑛 + 1)

La que usaban para descomponer una fracción unitaria en 2. Por ejemplo si n = 2, tendríamos:

𝟏

𝟐=

𝟏

𝟐 + 𝟏+

𝟏

𝟐(𝟐 + 𝟏)→

𝟏

𝟑+

𝟏

𝟔

Resolvemos: 𝟏

𝟑+

𝟏

𝟔 para ello igualaremos denominadores,

primero amplificaremos la primera fracción por 2. 𝟏∙𝟐

𝟑∙𝟐+

𝟏

𝟔=

𝟐+𝟏

𝟔=

𝟑

𝟔=

𝟏

𝟐 Simplificamos por 3.

Por tanto se cumple para n = 2.

Bien! Ahora comprobemos que:1

𝑛+1+

1

𝑛(𝑛+1) es efectivamente

igual a 1

𝑛.

1

𝑛=

1

𝑛 + 1+

1

𝑛(𝑛 + 1)

La adición de fracciones algebraicas se realiza de la misma forma que las fracciones numéricas; esto es amplificarlos previamente para igualar denominadores:

1

𝑛 + 1+

1

𝑛(𝑛 + 1)=

𝑛 ∙ 1

𝑛 ∙ (𝑛 + 1)+

1

𝑛(𝑛 + 1)

MIS APUNTES Amplificamos la primera fracción por “n” y nos queda:

𝑛+1

𝑛(𝑛+1) Simplificamos por (𝑛 + 1) y nos queda:

𝟏

𝒏

ii.- Sustracción: Para efectuar la sustracción de fracciones algebraicas, ocupamos el mismo procedimiento: Por ejemplo, si queremos efectuar la sustracción:

1

2𝑛−

1

2𝑛 + 4

Primero factorizamos los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo

1

2𝑛−

1

2𝑛 + 4=

1

2𝑛−

1

2(𝑛 + 2)

El mcm entre los denominadores es 2n(n+2), por lo tanto amplificaremos la 1era fracción por (n+2) y la 2da por 2n.

1 ∙ (𝒏 + 𝟐)

2𝑛 ∙ (𝒏 + 𝟐)−

1 ∙ 𝟐𝒏

(2𝑛 + 4) ∙ 𝟐𝒏=

(𝒏 + 𝟐)

(𝟐𝒏𝟐 + 𝟒𝒏)−

𝟐𝒏

(𝟒𝒏𝟐 + 𝟒𝒏)

Luego resolvemos, conservamos el denominador y restamos los numeradores:

(𝑛 + 2)

(2𝑛2 + 4𝑛)−

2𝑛

(4𝑛2 + 4𝑛)=

𝟐𝒏 − (𝒏 + 𝟐)

(𝟐𝒏𝟐 + 𝟒𝒏)

MIS APUNTES 5.3.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EN FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para encontrar el mcm de expresiones algebraicas, se sugiere factorizar cada expresión, si es posible, y luego multiplicar todos los factores encontrados. Si hay algún factor que se repite, se elige el de exponente mayor. Recordemos algunas cosas: Todo número natural se puede escribir como la multiplicación de solo números primos, esta es la llamada factorización prima. Veamos un ejemplo: busquemos el m.c.m. entre: 12, 15 y18 12 15 18 3 4 5 6 2 2 5 3 2

1// 5 3 3 5 1 5 1//

Ejemplo:

i.- Se tienen las expresiones: 𝒙 + 𝟏, 𝒙 − 𝟏, 𝒙𝟐 − 𝟏 El mcm, se puede calcular de la siguiente manera: 1° x + 1 2° x – 1 3° x2 – 1 => (x + 1)(x – 1)

Luego el mcm entre 𝑥 + 1, 𝑥 − 1, 𝑥2 − 1 es:

𝒙𝟐 − 𝟏 ii.- Se tienen las expresiones: 𝒙𝟑, 𝒙𝟑 − 𝟐𝟓𝒙, 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 El mcm, se puede calcular de la siguiente manera: 1° x3 es un término expresado en forma de potencia.

2° x3 -25x = x(x2-25) => x(x+5)(x-5) 3° x2 - 10x + 25 = (x+5)2 Luego el mcm entre 𝑥3, 𝑥3 − 25𝑥, 𝑥2 − 10𝑥 + 25 es:

X3(x-5)(x+5)2

3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 𝟏𝟖𝟎



Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


AE 05 Establecer estrategias para operar fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinar los valores que indefinen estas expresiones.

1. 3𝑎2

𝑏∙

𝑏2

6𝑎3= 2.-

3𝑎−3𝑏

2𝑎∙

4𝑎+4𝑏

𝑎2−𝑏2=

A. 2

𝑏

B. 𝑏

2

C. 𝑎

3𝑏

D. 𝑏

2𝑎

E. N. de las A.

A. 6

𝑎

B. 𝑎

6

C. 𝑎−𝑏

2

D. 2𝑎+2𝑏.

𝑎+𝑏

E. N. de las A.

3.- 𝑥2−𝑦2

3𝑥+3𝑦∙

6

𝑥−𝑦 4.-

3𝑎+3𝑏

2𝑎−2𝑏∙

4𝑎−4𝑏

6𝑎+6𝑏

A. 6

−25𝑥5𝑦4𝑧3

B. 25𝑥5

C. 25𝑧3

D. 2

A. N. de las A.

A. 6

6𝑎+6𝑏

B. 25𝑥5

C. 1

D. 3𝑎 + 3𝑏

E. N. de las A.

5.- 3𝑎−3𝑏

2𝑎𝑏÷

𝑎2−𝑏2

2𝑎2𝑏−2𝑎𝑏2 6.-

5𝑥2

6𝑦÷

15𝑥𝑦

3

A. 𝑎+𝑏

3(𝑎+𝑏)

B. 3(a + b)

C. 3(a−b)

𝑎+𝑏

D. 3𝑎 + 3𝑏

E. N. de las A.

F.

A. 𝑥

10𝑦2

B. 10y2

𝑥

C. 𝑥

𝑦2

D. 𝑦2

E. N. de las A.

F.

13.- 1

2𝑚−

1

2𝑛+4= 14.-

𝑚+3

𝑚−1−

𝑚2−3𝑚

𝑚2−1=

A. 1

𝑛2+2

B. 𝑛2+2

𝑚

C. 𝑚1

D. 𝑛2+2

1

E. N. de las A.

F.

A. 1

𝑚2−1

B. 4𝑚+3

𝑚2−1

C. 5𝑚+3

𝑚2−1

D. 6𝑚+3

𝑚2−1

E. N. de las A.

F.

11.- 4

𝑥+

5

2𝑥−

3

5𝑥2 12.-

4𝑎𝑥

𝑚−

2𝑎𝑥

𝑚=

A. 𝑥−6

10𝑥2

B. 12xz

𝑎−𝑏

C. 10𝑥2

65𝑥−6

D. 65𝑥−6

10𝑥2

E. N. de las A.

F.

A. 4𝑎𝑥

𝑚

B. 2ax

𝑚

C. 𝑚

4𝑎𝑥

D. 4𝑎2𝑥

𝑚

E. N. de las A.

F.

9.- 𝑎+𝑏

𝑎−𝑏÷

2𝑎−𝑏

𝑎−𝑏

10.- 1

4𝑥2÷

1

3𝑥𝑧

A. 𝑎−𝑏

10𝑎−3𝑏

B. 10a−3b

𝑎−𝑏

C. 𝑎−𝑏

10𝑎−3𝑏

D. 10𝑎 − 3𝑏

E. N. de las A.

F.

A. 3𝑧+4𝑥

12𝑥𝑧

B. 12xz

𝑎−𝑏

C. 𝑎−𝑏

3𝑧+4𝑥

D. 4𝑥 − 3𝑥

E. N. de las A.

F.

7.- −2𝑎

𝑎+3÷

3

3𝑎+9 8.-

𝑎+3𝑏

2𝑎−5𝑏÷

4𝑎+12𝑏

2𝑎−5𝑏

A. 3𝑎

4

B. 10a

2

C. −3𝑎

4

D. 3𝑎 + 9

E. N. de las A.

F.

A. 1𝑎

4

B. 1

2

C. 1

4

D. 3𝑎 + 9

E. N. de las A.

F.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 14 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA. EN EL PANEL DE RESPUESTAS.

2. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS.

3. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO HASTA AHÍ.

4. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

MIS APUNTES 6.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS Una ecuación lineal (o de primer grado) con una incógnita es una proposición que se cumple para un único valor de la incógnita involucrada. Cuando se plantean dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, de forma simultánea, se tiene un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se cree que los babilonios ya resolvían estos sistemas en el 2.500 AC. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones, una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que sustituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales dentro de los cuales se destacan: Método de reducción, método de sustitución y método de igualación. A continuación se explica el procedimiento a seguir para desarrollar cada método.

6.1.- MÉTODO GRAFICO Cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales, estás ubicando el punto donde se interceptan las rectas. Recuerda: La ecuación principal de la recta es la de la forma:

y = mx + n, donde m indica la pendiente y n la intersección con el eje y. Por otro lado, la pendiente es Pendiente de

𝑨𝑩 ⃡ : 𝒎𝑨𝑩 ⃡ =𝒂

𝒃

Un sistema de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas (se dice un sistema de 2 × 2) es de la forma:

ax + by = c a´x + b´y = c´

Gráficamente cada una de las ecuaciones corresponde a una ecuación de recta. Al resolver el sistema, si este tiene solución es un punto (x, y) que satisfacen ambas ecuaciones, es decir, es el punto de intersección de ambas rectas. Por ejemplo, si queremos resolver el sistema: Podemos graficar cada recta y determinar cuál es su punto de intersección. Sea L1: 2x–3y=3, expresándola en ecuación principal

obtenemos 𝑦 =𝟐

𝟑𝒙 − 𝟏; es decir, su pendiente es

𝟐

𝟑 e intercepta

el eje y en –1

Para L1:(𝒎 =𝟐

𝟑 𝒚 𝒏 = −𝟏)

Por otro lado la recta L2: x + y = 4 es equivalente a y = –x + 4; por lo tanto, su pendiente es –1 e intercepta al eje y en 4 Para L2: (m = –1 y n = 4).

Grafiquemos ambas rectas:

Para L1: (𝒎 =𝟐

𝟑 𝒚 𝒏 = −𝟏)

Primero podemos dibujar el punto (0, –1), que es donde intercepta al eje y; y luego lo trasladamos 2 unidades hacia arriba y tres a la derecha, ya que la

pendiente de L1 es 𝟐

𝟑 .

MIS APUNTES

MIS APUNTES Para L2: (m = –1 y n = 4). Podemos dibujar el punto (0, 4), que es donde intercepta al eje y, y luego lo trasladamos 1 unidad hacia abajo y 1 a la derecha, ya que la pendiente de L2 es –1: Graficando ambas rectas en un mismo sistema cartesiano, obtenemos: De donde podemos observar que el punto de intersección es el punto (3, 1), que corresponde a la solución del sistema. Verifica que este punto efectivamente satisface las dos ecuaciones del sistema. ¿Qué inconveniente puede tener Este método para resolver Sistemas de ecuaciones?

¿Qué sucedería si en el sistema de ecuaciones las rectas tuviesen la misma pendiente?

A continuación veremos métodos no gráficos para resolver sistemas; las cuales nos dan con exactitud la solución, pero empezamos con el propósito de que entiendas que cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales estas encontrando el punto donde se interceptan ambas rectas.

MIS APUNTES 6.2.- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y reemplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita. Veamos un ejemplo: Si quisiéramos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

{(𝒊)𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓(𝒊𝒊)𝒙 − 𝒚 = 𝟐

Podríamos empezar despejando y de la 2° ecuación:

𝒚 = 𝒙 − 𝟐

Y reemplazamos este valor en la1° ecuación, nos queda:

3𝑥 − 2(𝒙 − 𝟐) = 5 3𝑥 − 2 ∙ 𝑥 − 2 ∙ 2 = 5

3𝑥 − 2𝑥 + 4 = 5 3𝑥 − 2𝑥 = 5 − 4

𝒙 = 𝟏 Como el valor de “x” se puede reemplazar en cualquiera de las ecuaciones, la reemplazaremos en la 2° ecuación:

𝟏 − 𝒚 = 𝟐 −𝒚 = 𝟐 − 𝟏 −𝒚 = 𝟏/∙ −𝟏

𝒚 = −𝟏 Entonces la solución es x = 1 e y = -1, o lo que es lo mismo,

el punto (1;-1)

MIS APUNTES 6.3.- MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas, así se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita. Veamos un ejemplo, resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

{𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎

Despejemos la misma variable en ambas ecuaciones:

𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕 3𝑥 = 7 + 𝑦

𝑥 =𝟕 + 𝒚

𝟑

Despejemos ahora x en la 2° ecuación:

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎 𝒙 = −𝟐𝒚

Ahora igualemos:

𝟕 + 𝒚

𝟑= −𝟐𝒚

𝟕 + 𝒚 = 𝟑 ∙ −𝟐𝒚 𝟕 + 𝒚 = −𝟔𝒚 𝟕 = −𝟔𝒚 − 𝒚

𝟕 = −𝟕𝒚 𝟕 = −𝟕𝒚/∙ −𝟏

−𝟕 = 𝟕𝒚 −𝟕

𝟕= 𝒚

𝒚 = −𝟏 Reemplacemos “y” en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso en la 2°:

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎 𝒙 = −𝟐𝒚

𝒙 = −𝟐 ∙ −𝟏

𝒙 = 𝟐

MIS APUNTES 6.4.- MÉTODO REDUCCIÓN El método de reducción consiste en eliminar una de las incógnitas, para ello se amplifica una (o ambas) ecuaciones por ciertos factores de modo que el coeficiente de una de las incógnitas de una de las ecuaciones sea el opuesto al coeficiente de la misma incógnita en la otra ecuación. Se suman las ecuaciones y así se elimina dicha incógnita. Veamos algunos ejemplos: i.- si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{12𝑥 − 3𝑦 = 360

𝑥 + 𝑦 = 45

Resolvámoslo por el método de reducción, para ello multipliquemos o amplifiquemos por 3 la segunda ecuación.

{12𝑥 − 3𝑦 = 360𝑥 + 𝑦 = 45 /∙ 3

{12𝑥 − 3𝑦 = 3603𝑥 + 3𝑦 = 135

Ahora sumemos ambas ecuaciones para obtener solo una ecuación con solo una incógnita.

{12𝑥 − 3𝑦 = 3603𝑥 + 3𝑦 = 135

+ 15𝑥 = 495 Dividamos ambos lados de la ecuación por 15:

15

15𝑥 =

495

15

𝒙 = 𝟑𝟑

Ahora podemos reemplazar el valor de “x” en la segunda ecuación y así obtener el valor de y.

𝑥 + 𝑦 = 45

33 + 𝑦 = 45

𝑦 = 45 − 33

𝒚 = 𝟏𝟐

MIS APUNTES ii.- Analicemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{5𝑥 + 3𝑦 = 10

𝑥 − 𝑦 = 2

En este ejemplo no nos sería útil sumar o restar las ecuaciones tal como están ya que obtendríamos una tercera ecuación que contendría ambas incógnitas, por lo que antes debemos arreglarlas". Podemos multiplicar la segunda ecuación por 3, de esta forma el sistema quedaría de la forma:

{5𝑥 + 3𝑦 = 10𝑥 − 𝑦 = 2 /∙ 3

{5𝑥 + 3𝑦 = 103𝑥 − 3𝑦 = 6

Ahora sumemos ambas ecuaciones para obtener solo una ecuación con solo una incógnita.

{5𝑥 + 3𝑦 = 103𝑥 − 3𝑦 = 6

+ 8𝑥 = 16 Dividamos ambos lados de la ecuación por 8:

8

8𝑥 =

16

8

𝒙 = 𝟐

Ahora podemos reemplazar el valor de “x” en la segunda ecuación y así obtener el valor de y.

𝑥 − 𝑦 = 2

2 + 𝑦 = 2

𝑦 = 2 − 2

𝒚 = 𝟎



Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


AE 06 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, gráfica y algebraicamente.

1. {𝒙 − 𝒚 = 𝟐

𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏

A. (-1,1)

B. (1,-1)

C. (1,2)

D. (-1,-2)

E. N. de las A.

2. {−𝒙 + 𝒚 = −𝟏

𝒙 + 𝒚 = 𝟑

A. (2,1)

B. (2,-1)

C. (1,2)

D. (-1,-2)

E. N. de las A.

I.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO EL MÉTODO GRAFICO.

3. {𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟏

A. (2,1)

B. (2,-1)

C. (1,3)

D. (1,-3)

E. N. de las A.

4. {𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓

A. (2,1)

B. (-1,2)

C. (1,-2)

D. (1,-3)

E. N. de las A.

5. {𝟑𝒙 = 𝒚

𝒙 − 𝒚 = 𝟏

A. (2,1)

B. (3,2)

C. (1,-2)

D. (2,-3)

E. N. de las A.

6. {𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟎

A. (1,-1)

B. (-1,1)

C. (1,-2)

D. (-1,-1)

E. N. de las A.

7.- 4𝑥 + 3𝑦 − 3 = 02𝑥 + 7𝑦 − 7 = 0

8.- {𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0

−4𝑥 + 6𝑦 + 28 = 0

A. (0,1)

B. (1,0)

C. (0,0)

D. (0, −1)

E. 𝑁. 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝐴.

A. (0,1)

B. (4,2)

C. (−4,0)

D. (2,4)


9.- {4𝑥 + 𝑦 − 30 = 02𝑥 − 𝑦 − 12 = 0

10.- {𝑥 + 𝑦 − 10 = 0

−𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

A. .(0,1)

B. (−4,2)

C. (−4,0)

D. (2, −3)


11.- {2𝑥 + 5𝑦 + 37 = 0 𝑥 + 2𝑦 + 16 = 0

12.- {−𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

4𝑥 + 5𝑦 + 14 = 0

II.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO EL MÉTODO de SUSTITUCIÓN.

A. (4,3)

B. (−4,2)

C. (−4,3)

D. (2, −3)


A. (5,3)

B. (5,2)

C. (−4,3)

D. (5, −3)


A. (−5,3)

B. (5,2)

C. (−4,3)

D. (−3,5)


13.- {−𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 𝑥 + 2𝑦 + 15 = 0

14.- {𝑥 + 5𝑦 − 6 = 0

5𝑥 + 6𝑦 − 11 = 0

15.- {𝑥 + 8𝑦 − 39 = 0

5𝑥 + 𝑦 = 0 16.- {

−2𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 6𝑥 + 3𝑦 − 18 = 0

17.- {𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

−4𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 18.- {

−2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0−6𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0

III.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO EL MÉTODO de IGUALACIÓN.

A. (−7, −4)

B. (−7,4)

C. (−4, −7)

D. (−7,5)


A. (−11, −1)

B. (−1, −11)

C. (1,11)

D. (11,1)


A. (−5, −1)

B. (−1, −5)

C. (1,5)

D. (−1,5)


A. (−4, −1)

B. (−1, −4)

C. (1, −4)

D. (1,4)


A. (−3,6)

B. (−1, −6)

C. (3, −4)

D. (3,6)


A. (−3,0)

B. (−1, −6)

C. (0, −3)

D. (3,0)


19.- {𝑥 + 5𝑦 + 21 = 0

−2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0 20.- {

5𝑥 + 3𝑦 + 17 = 04𝑥 + 𝑦 + 15 = 0

21.- {3𝑥 + 5𝑦 + 9 = 04𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0

22.- {−𝑥 + 3𝑦 − 13 = 0−4𝑥 + 2𝑦 − 22 = 0

23.- {−𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

−2𝑥 + 5𝑦 − 25 = 0 24.- {

−3𝑥 + 6𝑦 − 39 = 06𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0

IV.- DESARROLLA LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO EL MÉTODO de REDUCCIÓN.

A. (−3,6)

B. (−1, −6)

C. (0,3)

D. (−6, −3)


A. (−4,1)

B. (−1, −4)

C. (0,3)

D. (−4, −1)


A. (−2, −3)

B. (−1, −4)

C. (2, −3)

D. (−2, −3)


A. (−4,5)

B. (−5, −4)

C. (2, −3)

D. (−2, −3)


A. (−3,5)

B. (−5, −4)

C. (5, −3)

D. (5,3)


A. (−3,5)

B. (−5, −4)

C. (5, −3)

D. (5,3)


A.


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 24 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.

EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON

DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO

HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.


Nombre

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO


Ptje. TOTAL.

HEMOS ESTUDIADO EN AÑOS ANTERIORES EL CONCEPTO

DE FUNCIÓN Y, EN PARTICULAR, LA FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN. EN ESTA UNIDAD N° 3 SE INTRODUCEN LAS

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARITMO Y RAÍZ CUADRADA EN

DIVERSOS CONTEXTOS Y LAS ESPECTIVAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS CON LA AYUDA DE

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS. POR OTRA PARTE, SE ENSEÑARA LA RESOLUCIÓN DE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS, ESTRECHAMENTE LIGADA A LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS. CON RESPECTO A LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, UDS.

GENERALIZARÁN LAS ESTRATEGIAS QUE USABAN EN LAS OPERACIONES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS PARA

OPERAR CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS E IDENTIFICARÁN LOS VALORES PARA LOS CUALES SE INDEFINE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA.

MAAC

2015

Este cuaderno auxiliar de Matemática,

fue diseñado por Marcelo A. Aravena C.

exclusivamente para 2° de E. M. del

Liceo Politécnico Domingo Santa María.

2015

página 1 - sa8baf3444af92a94.jimcontent.com · oa 05 establecer estrategias para operar fracciones...

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