pa1 mathcad teorija i vjezbe

1

Uvod: Prednosti Mathcad-a

Mathcad je jedinstveni i vrlo jak inženjerski programski alat za rad s jednadžbama, tekstom i

grafovima. Za razliku od drugih matemati�kih programskih paketa, Mathcad izvodi matemati�ke

prora�une na isti na�in kao i korisnik, ra�un izgleda i organiziran je kao da je ru�no napisan na papiru.

Mathcad-ovo korisni�ko su�elje je prazan radni list (worksheet) u kome korisnik upisuje svoje

jednadžbe, crta podatkovne grafove ili funkcije, ispisuje tekst uz prora�un bilo gdje na radnom listu.

Umjesto da prisiljava korisnika u korištenju i u�enju programerskih sintaksi, Mathcad koristi

pristupa�ni i intuitivni matemati�ki jezik.

U uobi�ajenom programskom jeziku, na primjer, kvadratna jednadžba ima sljede�u formu:

x=(-B+SQRT(B**2-4*A*C))/(2*A)

U tabli�nom kalkulatoru, kvadratna jednadžba se izvodi nad �elijama i poprima sljede�i oblik:

+(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/(2*A1)

U Mathcad-u, ista kvadratna jednadžba je oblika kao da je preuzeta iz udžbenika ili ru�no pisanog

prora�una:

x b b2 4 a� c�

2 a�

Velika prednost Mathcad-ovih jednadžbi i grafova je da su isti “živi”, konstantno se obanvljaju.

Promjenom bilo kog podatka, varijable ili jednadžbe, Mathcad �e trenuta�no iznova izra�unati sve

matemati�ke izraze, trenuta�no obnoviti sve grafove. Korištenjem Mathcad-a mogu se riješiti razli�iti

tehni�ki problemi – od vrlo jednostavnih, do vrlo složenih, i to numeri�ki ili simboli�ki. Vizualizacija

jednadžbi i podataka je vrlo jednostavna koristenjem 2D i 3D grafova. Mathcad sadrži sve potrebne

2

programske alate za cjelovito rješavanje inženjersih problema, od po�etka do kraja, daje korisniku

mogu�nost analize problema, razrade ideja, analize podataka, ..., te prezentaciju rješenja i razmjenu

podataka. Sve je to zbog bogatog i ve� spomenutog pristupa�nog matemati�kog jezika.

A Kratki pregled mogu�nosti Mathcad-a

U Mathcad-u je mogu�e:

1. Izvoditi matemati�ke operacije sa ugra�enim funkcijama i matemati�kim

operatorima

Matemati�ki operatori dostupni su preko posebnih matemati�kih alatnih traka do kojih se može lako

pristupiti na vrhu stranice preko Math alatne trake. Za unos izraza, prvo je potrebni kliknuti na radnom

listu na željeno mjesto i tu �e se pojaviti crveni kurzor, nakon toga se klikne na željeni matemati�ki

operator iz bilo koje od posebnih matemati�kih alatnih traka. Pregled svih ugra�enih matemati�kih

funkcija može se preko izbornika Insert, te odabirom Function ili klikom na gumb Insert Function

(umetni funkciju):

Crveni kurzor

Math alatna traka

Insert Function gumb

Evo nekoliko primjera. Ovi su primjeri u programu izra�unati na 15 decimala, ali se rezultat obi�no

prikazuje s mnogo manje decimala – potrebno je kliknuti na broj�ani rezultat i odabrati u izborniku

3

Format opciju Result, nakon toga promijeniti broj decimala kroz polje Number of decimal places u

komunikacijskom prozoru. Isti komunikacijski prozor se otvara i duplim klikom na broj�ani rezultat

kome se mijenja broj prikazanih decimala.

Za donji izraz iskoristite funkcije drugi korjen i potenciranje iz Calculator matemati�ke alatne trake

. Tako�er utipkajte znak = za dobivanje rezultata. Za osnovne ra�unske operacije koristite znakove

+ , - , * i / na tipkovnici.

1.837 103�

100 352.3142353232�

Brojne standardne inženjerske i matemati�ke funkcije ve� su ugra�ene u Mathcad.

log 1347.2( ) sin 35�� 2.976�

Funkcije i operatori u Mathcad-u mogu ra�unati i s kompleksnim brojevima ...

2.3 4.7i( ) 3 e3 2i 148.613 47.498i�

... i mjernim jedinicama. Pregled svih ugra�enih mjernih jedinica mogu� je odabirom opcije Unit u

Insert izborniku ili klikom na Insert Unit gumb.

Insert Unit gumb

2350 km�

1 hr� 652.78 m sec 1�

4

2. Definirati vlastite varijable i funkcije

Definicijski simbol := nalazi se na Evaluation alatnoj traci , ili se može unijeti preko tipkovnice sa

znakom dvoto�ke (:).

a 4

a a 6�

Kad se promijeni definicija varijable, Mathcad trenuta�no izra�unava i obnavlja sve rezultate koji ovise

o promijenjenoj veli�ini.

f x( ) sin x( )xa

f 10( ) 0.218�

Provjera: Kliknite desno od brojke 4 u definiciji za a i pojaviti �e se okvir za promjenu (editiranje)

vrijednosti:

Nakon toga pritisnite [Backspace] jednom da se pojavi ku�ica za unos veli�ine:

Sada utipkajte 3. Kliknite mišem bilo gdje na ekranu i prethodni numeri�ki rezultati �e se promijeniti

3. Izra�unavati funkcije i izraze za nizove brojeva

5

Operator za niz brojeva .. nalazi se na Matrix numeri�koj alatnoj traci ili se može unijeti preko

tipkovnice sa znakom to�ka-zarez (;). Definiraj niz z kako slijedi:

z 0 .5� 2��

Za ispis gornjeg niza brojeva potrebno je ukucati z=. Za ispis vrijednosti funkcije f ovog niza brojeva

potrebno je samo ukucati f(z)=, za izra�un donjeg eksponencijalnog izraza ...

z0

0.51

1.52

f z( )0

3.8353.3662.66

1.819

exp f z( )( ) z�

023.15628.95921.44412.326

Promjenom 2 u definiciji za z na 4, Mathcad �e za gornje rezultate automatski ispisati ve�e tabele s

rezultatima.

4. Crtati grafove funkcija

Koristite X-Y Plot gumb koji se nalazi na Graph numeri�koj alatnoj traci ili se može unijeti

preko tipkovnice sa znakom (@). Nakon toga unesite izraze koje želite grafi�ki prikazati tako da

popunite ku�ice za unos veli�ine po sredini x i y osi. Izraze je mogu�e unijeti samo na y-osi, a Mathad

�e odabrati osnovni niz brojeva na x-osi. Mogu�e je unijeti i nekoliko izraza za simultano iscrtavanje

grafova, oni tada unose sa znakom zarez (,), nakon �ega se pojavljuje nova ku�ica za unos veli�ine.

6

f x( )

sin x( )

x x�10 0 10

2

0

2

4

5. Ra�unati sume (redove) i integrale

Operatori za sumiranje i integriranje nalaze se na Calculus numeri�koj alatnoj traci . Za unos

izraza, kliknite na radni list da se pojavi crveni kurzor, nakon toga odaberite željeni operator iz alatne

trake i popunite sve ku�ice za unos veli�ine.

0

10

n

1n�

=

2.7182818�

0

1x1

1 x2d 0.785�

7

6. Izvoditi matri�ni ra�un

Za unos matrice pritisnite Matrix or Vector operator koji se nalazi na Matrix numeri�koj

alatnoj traci ili koristite pre�ac istovremenim pristiskom tipki Ctrl M. U otvorenom prozoru Insert

Matrix unosi se broj redova i stupaca željene matrice. Nakan toga potrebno je popuniti broj�ane

vrijednosti u ku�ice za unos podataka unutar matrice. Potrebno je definirati matricu A kao 3x3 matricu

sa sljede�im vrijednostima:

A

4

5

7

5

0

2

1

12

8

Za izra�un inverzne matrice potrebno je utipkati A^-1=.

A 10.074

0.135

0.031

0.117

0.12

0.132

0.184

0.163

0.077

�

Za izra�un determinante zadane matrice koristite Determinant operator koji se nalazi na Matrix

numeri�koj alatnoj traci:

A 326�

7. Rješavati nulto�ke jednadžbe

Mathcad-ova funkcija za pronalaženje nulto�aka funkcije je root. Prije pozivanja funkcije root

potrebno je definirati probližnu vrijednost za traženu nulto�ku pošto neke funkcije posjeduju više od

jedne nulto�ke, root funkcija �e prona�i nulto�ku koja je najbliža zadanoj po�etnoj vrijednosti. Za

zadanu kvadratnu funkciju f(x) potrebno je izra�unati obje nulto�ke:

f x( )x2

3x� 7��

8

Gornju funkciju mogu�e je vizualuzirati na X-Y grafikonu iz Graph numeri�ke alatne trake .

10� 5� 0 5 1010�

0

10

20

30

40

0

f x( )

0

x Iz grafa je vidljivo da postoje dvije nulto�ke, jedna pozitivna na poziciji oko +3, te jedna negativna na

poziciji oko -6. Za pronalazak pozitivne nulto�ke definirati �emo po�etnu to�ku za pronalazak

nulto�ke:

x 3�

root f x( ) x�( ) 3.3218253805150195�

Za pronalazak negativne nulto�ke, mogu� je i slijedi ra�un:

x 6��

x2 root f x( ) x�( )� x2 6.321825380514135��

Indeks 2 u varijabli x2 upisuje se na na�in x.2. Za razliku od pozitivne nulto�ke, negativna nulto�ka

je na ovaj na�in trajno pohranjena u varijabli x2 .

Provjera:

f x2� � 5.676 10 11� �

Kako se radi o numeri�koj, a ne analiti�koj (simboli�koj) analizi, gornje nulto�ke su odre�ene na visok

stupanj to�nosti, ali nisu egzaktne. To�ne vrijednosti gornjih nulto�ki su:

932

�32

�

932

32

�

��

��

6.3218253804964775�

3.3218253804964775��

��

�

9

8. Izra�unavati sisteme jednadžbi

Mathcad omogu�ava jednostavno rješavanje sistema jednadžbi i nepoznanica korištenjem Given-Find

blok funkcije. U sklopu ove blok funkcije potrebno je popisati se sve jednadžbe koje vežu nepoznate

varijable. Kod linearnih sistema postoji jedinstveno rješenje sistema jednadžbi (npr. presjek 2 pravca),

no kod nelinearnih sistema rješenje ne mora biti jedinstveno (npr. presjek pravca i parabole). Iz tog

razloga, prije Given-Find bloka potrebno je definirati po�etne vrijednosti za svaku nepoznatu varijablu

kao po�etne vrijednosti za pronalazak rješenja. Znak jednakosti u izrazima unutar Given-Find bloka je

“logi�ki” jednako iz Boolean numeri�ke alatne trake , ili pritisak na tipke Ctrl +

x0 0� y0 0�

Given

5 x0� y0� 2

2 x0� y0� 10�

Find x0 y0�� 4

18��

��

�

Gornji sistem predstavlja presjek 2 pravca, a traženo rješenje je to�ka presjaka x0 y0�� :

f1 x( ) 5 x� 2�� f2 x( ) 2 x� 10��

10� 5� 0 5 1060�

40�

20�

0

20

40

60

0

f1 x( )

f2 x( )

0

x

Ovaj sistem mogu�e je riješiti i matri�nim ra�unom na na�in :

5

2

1�

1��

��

1� 2

10��

��

�4

18��

��

�

9. Linearna interpolacija

U inženjerskoj praksi koriste se razne iskustvene tablice za odre�ivanje vrijednosti koje

su potrebne za daljnji prora�un. Tablice su nastale prikupljanjem rezultata eksperimenata i

predstavljaju diskretni skup podataka, tj. u tablicama se nalaze samo one vrijednosti

podataka koje su eksperimentalno odre�ene. Za odre�ivanje me�uvrijednosti koristi se

interpolacija.

Naj�eš�e se upotrebljava linearna interpolacija. Linearna interpolacija može se objasniti

na sljede�i na�in:

� Uzimu se dvije susjedne to�ke podataka i ,

� ovisnost izme�u dviju to�aka aproksimira se linearnom funkcijom.

� Pomo�u funkcije interpolacije odre�uje se vrijednost funkcije za poznati

:

Primjer:

Iz tablice su o�itani toplinski kapaciteti vode i . Treba izra�unati .

Rješenje:

Mathcad sadrži ugra�enu funkciju za linearnu interpolaciju: linterp( , , ). Funkcija se

može aktivirati preko gumba Insert Function na alatnoj traci Standard toolbar, a

nalazi se u skupini naredbi Interpolation and prediction.

Funkcija linterp ( , , ) daje vrijednost linearne interpolacije za poznati , ako su

zadani vektori i .

Pri tome:

� je vektor realnih podataka, poredanih po rastu�em redosljedu

� je vektor realnih podataka, koji sadrži jednaki broj podataka kao

� je vrijednost nezavisne varijable za koju trebamo interpolirati rezultat

Preporuka je da vrijednost zadovoljava uvjet .

Slijedi rješenje primjera u Mathcad-u

Primjer:

Iz tablice su o�itani toplinski kapaciteti vode i . Treba izra�unati .

Rješenje u Mathcad-u:

Cp 29.228 29.383( )T�

t 200 300( )T�

linterp t Cp� 265�� 29.329�

VELV Proizvodno strojarstvo PA1 vježba 3 10. ožujak 2011.

1.zad. α 56.45 deg�� β 24.33 deg��

x25.472 sin α( )2

� tan 2.718 π�( )�

cos 3 α� 2 β��( ) 1.348�� x 22.5836865�

2.zad. α 35.7 deg�� β 22.15 deg��

xsin α( ) tan α β�( )�( )3 cos β2

α2

��

tan 2 α�( )2� x 0.1735340�

3.zad. x 0.6� y 2.5�

f74

y�3 x�

1x

1y

�

� cosπ

18��

��

log 18y 2�

x 1��

��

�� f 3.344271�

4.zad. a 15.6� b 18.2� c 12.3�

x0.123 b� 7.59 0.354 b� c�( )��

log a( )0.113 a� 13 0.354 b� c�( )��

ln b( )�� x 61.0200076��

5.zad. a 37.03� b 26.87�

x

3

0.269 a� a b� 2.03� b

2

3�

��

��

ln b( ) log a( ) 0.85� a b�( )

2

5��

log a b� a

1

3�

��

�� x 1.49356��

6.zad. α0 2 deg�� Mt1 5.12 kN� m�� Mt2 2.1 kN� m�� G 37 GPa��

IP 66 cm4�� a 300 mm��

α α0Mt1

G IP�3� a�

Mt2

G IP�a� 0.19781 rad��

7.zad. Q0 19 kW�� ρ 0.984gm

cm3�� cw 4187

Jkg K�

�� ΔT 17 K��

QVQ0

ρ cw� ΔT�976.5829

Lhr

��

8.zad. dm 0.1m�

Wa 151990N� Wb 0.063MN� xa 102cm� xb 0.0022km�

q 39kN� H 6325 mm�� b 53.7 dm��

Pq 42136N� F 1.54�

Pa

Wa xa� Wb xb�� q b�� F Pq�H2

��

H3

F��

Pa 91734.6 N�

9.zad. m0 928 gm�� v0 12.9kmhr

�� g 9.81m

s2�� R 50 cm�� c 0.75

Nmm

�� δ 10 mm��

Given

m0 v02

�

2m0 g� R�

c δ2

�

2

��

��

�=

δ Find δ( ) 61.233 mm��


1.zad. a 48.87� b 22.42� vc 17.85�

α asinvc

b��

52.765 deg�� β asinvc

a��

21.423 deg��

c b cos α( )� a cos β( )�� 59.059��

O a b� c� 130.3494��

2.zad.

1

2

3

1

1

3

1�

2

1

1�

4

2

1

3�

4

1�

��

��

1� 5

21�

33

7�

��

��

�

2

3�

1

5

��

��

�

3.zad.

Zadatak 5.5: Odredi grani�ni iznos težine utega Q kod koje �e sustav utega zadan na slici biti još uravnotežnom položaju?

Zadano:

α 15 deg�� μ0 0.25� G1 200 N�� G2 350 N�� φ atan μ0� � 14.036 deg��

Nakon mehani�ke analize, gornji problem prelazi u sistem 4 jednadžbe s 4 nepoznanice F1,F2,S2, i F12.

Matri�na metoda:

A

cos φ( )

sin φ( )�

0

0

sin φ( )

cos φ( )

sin φ( )

cos φ( )

1�

0

1�

0

0

0

sin α φ�( )

cos α φ�( )�

��

��

� b

0

G1 G2�

0

G2

��

��

�

x A 1� b�� xT 132.887 600.149 274.477 265.614( ) m kg s 2��

4.zad. l 24.23 m�� α 11.62 deg�� β 46.23 deg��

γ 90deg β� 43.77 deg��

ϕ 90deg α� 101.62 deg��

δ 180deg ϕ� γ� 34.61 deg��

cl

sin δ( )sin ϕ( )� 41.79 m��

xc

sin 90deg( )sin β( )� 30.17396 m��

ltan β( )

tan β( ) tan α( )�� 30.17396 m�

5.zad.

Zadatak 5.3: Kolika treba biti težina valjka G za jednoliko spuštanje utega Q, ako je faktor trenja � na svimdodirnim površinama jednak?

Zadano:

Q 150 N�� μ 0.3� φ atan μ( ) 16.699 deg��

S2 Q eμ�π

2�

� 93.634 m kg s 2��

Nakon mehani�ke analize, gornji problem prelazi u sistem 3 jednadžbe s 3 nepoznanice FAN,FBN, i G.

2. Matri�na metoda:

A

μ

1

μ

1�

μ

μ

0

1�

0

��

��

� b

S2�

0

S2

��

��

�

x A 1� b�� xT 168.062 144.053 211.277( ) m kg s 2��


1.zad.x 100� 200��XY

57�

43�

28�

4��

��

T�

xC 168� f x( ) linterp XY 0� � XY 1� �� x��

yC f xC� � 321.6552��

100� 0 100 200200�

100�

0

100

200

300

400

0

XY 1� �

f x( )

yC

0

XY 0� � x� xC�

2.zad.t0_σ0

0

0%

1

25%

3

50%

7

70%

28

90%

90

98%��

��

T� x 0% 1%� 100%��

f x( ) linterp t0_σ0 1� � t0_σ0 0� �� x��

0 20 40 60 800

0.2

0.4

0.6

0.8

t0_σ0 1� �

x

t0_σ0 0� � f x( )�

3.zad.n

14

� Fmax 150� ΔLmax 100� aFmax

ΔLmaxn

� f1_F x( ) a xn��

ΔL_F0

0

2

56.41

8.5

80.99

26

107.11

41

120.03

63

133.64

95

148.09��

��

T�

c 2.5� f2_F x( ) c x��

f x( ) linterp ΔL_F 0� �ΔL_F 1� �� x�� x 0 5� 100��

0 20 40 60 80 1000

50

100

150

ΔL_F 1� �

f2_F x( )

ΔL_F 0� � x�

5.zad.

Zadatak 5.3: Kolika treba biti težina valjka G za jednoliko spuštanje utega Q, ako je faktor trenja � na svimdodirnim površinama jednak?

Zadano:

Q 150 N�� μ 0.3� φ atan μ( ) 16.699 deg��

S2 Q eμ�π

2�

� 93.634 m kg s 2��

Nakon mehani�ke analize, gornji problem prelazi u sistem 3 jednadžbe s 3 nepoznanice FAN,FBN, i G.

1. Rješenje pomo�u "Given - Find" blok funkcije:

FAN 0 N�� FBN 0 N�� G 0 N�� r 1 m��

Given

μ FAN� FBN� S2� 0=

FAN μ FBN�� G� 0=

μ FAN� r� μ FBN� r�� S2 r�� 0=

FAN FBN G� � Find FAN FBN� G�� T 168.062 144.053 211.277( ) m kg s 2��

6.zad.

OPRUGA SIGURNOSNOG VENTILA

Potrebno je konstruirati cilindri�nu zavojnu tla�nu oprugu iz patentirane žice C klase za sigurnosni ventil20 bar i nazivnog otvora NO 6 mm. Maksimalna dužina podizanja pladnja je 4 mm pri sili F2=1.25*F1.Prora�un za M9x1.

pa 1 bar�� p 20 bar�� dv 6 mm�� Adv

2π�

428.274 mm2

�� Δf 4 mm��

G 81.4 GPa��

p A� pa A� F1�=

F1 p pa�� A� 53.72 N��

F2 1.25 F1� 67.15 N�� Fmax F2�

�dop karakteristika opruge:

opr0.5

5

1200

800��

��

�

f_τdop d( ) linterp opr 0� � mm� opr 1� � MPa�� d��

Pretpostavljene vrijednosti za oprugu:

d 1.5 mm��

Dsr 6 mm��

τdop f_τdop d( ) 1111.11 MPa��

d 23 Fmax Dsr�

π τdop�� 0.974 mm�� d 1 mm�� τdop f_τdop d( ) 1155.56 MPa��

τ18 F1� Dsr�

d3π�

820.8 MPa��

τmax8 Fmax� Dsr�

d3π�

1026.0 MPa��

Karakteristika opruge:

cΔFΔf

= cF2 F1�

Δf3.36

Nmm

��

Broj radnih navoja:

nrd4 G�

8 Dsr3

� c�14.03��

Ukupan broj navoja:

nuk nr 1.5 2��( )�= nuk 15.5�

Dužina blokiranja opruge:

LB nuk d� 15.5 mm��

cΔFΔf

= f1F1

c16 mm�� f2

F2

c20 mm��

Dužina neoptere�ene opruge:

L0 LB f2� 35.5 mm��

7.zad.

Za koliko kg je teži 1 m3 vode pri temperaturi od 50°C u odnosu na 70°C?

V 1 m3��

Gusto�a vode (temperaturna funkcija):

gustoca0

62.42

4

62.42

20

62.28

40

61.92

60

61.39

80

60.65��

��

T�

f_ρ T( ) linterp gustoca 0� � °C gustoca 1� � lb

ft3�� T��

��

��

�

T2 50 °C� m2 f_ρ T2� � V� 987.618 kg��

T1 70 °C� m1 f_ρ T1� � V� 977.447 kg��

Δm m2 m1� 10.172 kg��

VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 6

1.zad.XY

1.80

3.80�

13.80

6.22

23.10

14.69

37.90

24.47

48.20

33.99

56.90

35.01��

��

T� N 2�

k slope XY 0� � XY 1� �� 0.732383�� l intercept XY 0� � XY 1� �� 3.748984��

α atan k( )�

α 36.218 deg�� sin α( ) 0.590865�

f x( ) k x� l�� x0 XYN 0�� y0 XYN 1�� y0 f x0� �� 1.5209�

0 20 40 6010�

0

10

20

30

40

XY 1� �

f x( )

y0

XY 0� � x� x0�

2.zad.XY

39�

29.60�

155.3

108.88��

��

T�

xC 65.6��


f x( ) k x� l��

yC f xC� � 48.558��

100� 0 100 200100�

0

100

200

0

XY 1� �

f x( )

yC

0

XY 0� � x� xC�

3.zad.XY

7.59

14.44�

11.77

54.01�

27.88

118.05�

35.71

171.26�

45.94

209.3�

52.00

250.7��

��

T�


f x( ) k x� l�� y0 f 0( ) 16.3553��

f1 y( )y l�

k� xx0 f1 0( ) 3.2302��

aa y0� bb xx0�

Paa bb�

226.4154��

0 10 20 30 40 50 60300�

200�

100�

0

XY 1� �

f x( )

XY 0� � x�

4.zad.t0_ρ0

4

999.972

10

999.7026

15

999.13

20

998.2071

30

995.6502

40

992.2

60

983.2��

��

T� dm 10cm�

t0 30 °C� masa 1kg�

f x( ) linterp t0_ρ0 0� � °C t0_ρ0 1� � kg

m3�� x��

��

��

� ρ0 f t0� � 995.6502kg

m3��

Vmasaρ0

1.004369 dm3�� x 4 4.1� 6��

0 20 40 60980

985

990

995

t0_ρ0 1� �

linterp t0_ρ0 0� � t0_ρ0 1� �� x��

t0_ρ0 x�


Funkcija root, tri glavna slu�aja u kojima koristimo funkciju root:

odre�ivanje nulto�aka�odre�ivanje ekstrema funkcije (nulto�ka derivacije)�odre�ivanje vrijednosti apscise sjecišta funkcija (nulto�ka razlike funkcija)�

Zadane su funkcije

f x( ) 7x2 5x� 2��

g x( ) 12x2 7x� 13��

Nulto�ke funkcije g(x):

x1 1.5� x1 root g x1� � x1�� 1.373��

x2 1�� x2 root g x2� � x2�� 0.789��

Minimum funkcije f(x)

x3 1�� x3 rootx3

f x3� �dd

x3��

��

0.357��

Sjecište funkcija f(x) i g(x):

x4 1�� x4 root g x4� � f x4� �� x4�� 0.907��

x5 3� x5 root g x5� � f x5� �� x5�� 3.307��

x 5� 4.99�� 5��

1

6� 4� 2� 0 2 4 6

100�

100

200

300

400

f x( )

g x( )

g x1� �g x2� �f x3� �f x4� �f x5� �

x x� x1� x2� x3� x4� x5�

2


Hidrauli�ki sustav za navodnjavanje zelene površine usisava vodu gusto�e �=1000 kg/m3 s podzemnog bunaradubine h0=4 m. Pumpa je tipa GRUNDFOS UP 25-80, a koeficijenti svih lokalnih (�1,�2,...) i ukupnog linijskoggubitka (�L) specificirani su na slici. Karakteristika pumpe H(Q) dana je tabelarno, gdje je H visina dobave

pumpe [m], a Q protok vode kroz pumpu [m3/h]. Strujni presjek cijevi instalacije je du=27.2 mm. Potrebno jeodrediti satnu potrošnju vode za navodnjavanje Q0? Kolika je satna potrosnja vode u slu�aju priklju�enjadodatne pumpe priklju�ene serijski iza postoje�e, Qs?

ρ 1000 kg� m 3�� h0 4 m�� du 27.2 mm�� g 10 m� s 2�

��

ζ1 3� ζ2 2� ζ3 5� ζ4 1� ζL 10�

************************************************************************************************************************

f_v Q d�( )4 Q�

d2π�

�

f_Hg Q d�( ) h0 ζ1 2 ζ2�� ζ3� ζL�� f_v Q d�( )2

2 g��

data0

8.4

1

7.8

2

7.3

3

6.6

4

5.9

5

5.0

6

4.0

7

2.8

8

1.6��

��

T� f_Hp Q( ) linterp data 0� � m3

hr� data 1� � m�� Q�

��

��

�

Q 0 0.1m3

hr�� 10

m3

hr��

Q0 0m3

hr�� Q0 root f_Hp Q0� � f_Hg Q0 du�� Q0�� 3.150

m3

hr��

f_Hp Q0� � 6.495 m� f_Hg Q0 du�� 6.495 m�

Qs Q0� Qs root 2 f_Hp Qs� � f_Hg Qs du�� Qs�� 4.934m3

hr��

2 f_Hp Qs� � 10.119 m� f_Hg Qs du�� 10.119 m�

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

f_Hp Q( )

f_Hg Q du�� 2 f_Hp Q( )

Qs

m3 hr 1��

Q0

m3 hr 1��

Q

m3 hr 1��

1


U hidrauli�ki sustav iz prethodnog primjera ugra�ena je nakon rekonstrukcije sustava nova pumpa tipaGRUNDFOS UP 32-80. Odredite novu satnu potrošnju vode Q0? Koliko iznosi mehani�ka (P0=�gHQ) ielektri�na snaga pumpe (iz priloženog dijagrama)? Koliki je u tom slu�aju stupanj djelovanja pumpe?

ρ 1000 kg� m 3�� h0 4 m�� du 27.2 mm�� g 10 m� s 2�

��

ζ1 3� ζ2 2� ζ3 5� ζ4 1� ζL 10�

************************************************************************************************************************f_v Q d�( )

4 Q�

d2π�

�

f_Hg Q d�( ) h0 ζ1 2 ζ2�� ζ3� ζL�� f_v Q d�( )2

2 g��

data

0

7.9

145

1

7.6

170

2

7.2

190

3

6.8

220

4

6.3

235

5

5.8

250

6

5.3

255

7

4.8

260

8

4.2

265

9

3.6

266

10

3.0

265

11

2.4

265

��

��

T

�

f_Hp Q( ) linterp data 0� � m3

hr� data 1� � m�� Q�

��

��

�

f_Pp Q( ) linterp data 0� � m3

hr� data 2� � W�� Q�

��

��

�

Q 0 0.1m3

hr�� 11

m3

hr��

Q0 0m3

hr�� Q0 root f_Hp Q0� � f_Hg Q0 du�� Q0�� 3.259

m3

hr��

f_Hp Q0� � 6.67 m� f_Hg Q0 du�� 6.67 m�

P0 ρ g� f_Hp Q0� �� Q0� 60.39 W��

f_Pp Q0� � 223.889 W�

ηPP0

f_Pp Q0� �26.973 %��

0 5 100

2

4

6

8

10

f_Hp Q( )

f_Hg Q du��

Q0

m3 hr 1��

Q

m3 hr 1��

1


A B C( ) 5� 40 67( )�

f x( ) A x2� B x�� C��

x1

x2

x3

��

��

4�

1�

7

��

��

�

y1

y2

y3

��

��

f x1� �f x2� �f x3� �

��

��

173�

22

102

��

��

�� X

x1

x2

x3

��

��

� Y

y1

y2

y3

��

��

�

Poznate su tri to�ke na paraboli drugog reda: P1, P2 i P3. Odredite koordinate tjemena ove parabole?

x1 y1� � 4� 173�( )�

x2 y2� � 1� 22( )�

x3 y3� � 7 102( )�

************************************************************************************************************************

x0 0� x0 rootx0

f x0� �dd

x0��

��

� x0 4.000000� f x0� � 147�

0 5200�

100�

0

100

200

0

f x0� �

f x( )

Y

0 x0

x X�

1

Poznate su tri to�ke na paraboli drugog reda, P1, P2 i P3. Odredite koordinate maksimuma ove parabole?Zadano: P1=(-4, -173), P2=(-1, 22) i P3=(7, 102)

- jednadžba parabole drugog reda je oblika: y=A*x2+B*x+C,- A, B i C su nepoznati koeficijenti zadane parabole (mogu se odrediti Given-Find meodom ili matri�nim ra�unom)- definirati funkciju f(x) za opis gornje parabole,- za tjeme parabole iskoristiti uvijet f'(x0) (prva derivacija funkcije =0)- tražen maksimum funkcije y0=f(x0)

x1 y1� � 4� 173�( )�

x2 y2� � 1� 22( )�

x3 y3� � 7 102( )�

X

x1

x2

x3

��

��

� Y

y1

y2

y3

��

��

�

y A x2� B x�� C�=

A x12

� B x1�� C� y1=

A x22

� B x2�� C� y2=

A x32

� B x3�� C� y3=

M

x12

x22

x32

x1

x2

x3

1

1

1

��

��

� b

y1

y2

y3

��

��

� x M 1� b�

5�

40

67

��

��

��

A

B

C

��

��

x

5�

40

67

��

��

��

AA 0� BB 0� CC 0�

Given

AA x12

� BB x1�� CC� y1=

AA x22

� BB x2�� CC� y2=

AA x32

� BB x3�� CC� y3=

AA BB CC( ) Find AA BB� CC�( )T 5� 40 67( )��

f x( ) A x2� B x�� C�� x 5� 4.99�� 10��

g x( )x

f x( )dd

�

x0 0� x0 root g x0� � x0�� 4��

y0 f x0� � 147��

2

5� 0 5 10300�

200�

100�

0

100

200

y0

Y

f x( )

g x( )

2xf x( )d

d

2

x0

X x� x�

3


A 6� 12� 0( )T� B 1 5 0( )T� C 7 4� 0( )T�

ABC augment A B� C� A�( )T�

Poznate su tri to�ke u ravnini (x,y): A, B i C. Odredite površinu trokuta ome�enog zadanim to�kamakorištenjem Heronove formule. Tako�er odredite parametre oružnice koja opisuje ovaj trokut.

xA yA� � AT 6� 12� 0( )��

xB yB� � BT 1 5 0( )��

xC yC� � CT 7 4� 0( )��

************************************************************************************************************************

10� 5� 0 5 1015�

10�

5�

0

5

0

ABC 1� �

0

ABC 0� �

f_L A B�( ) B0 A0�� 2 B1 A1�� 2��

a f_L A B�( ) 18.385��

b f_L B C�( ) 10.817��

c f_L C A�( ) 15.264��

f_s a b� c�( )a b� c�

2� f_s a b� c�( ) 22.233�

f_P a b� c�( ) f_s a b� c�( ) f_s a b� c�( ) a�( )� f_s a b� c�( ) b�( )� f_s a b� c�( ) c�( )��

f_P a b� c�( ) 82.5� B A�( ) C A�( ) [ ] B A�( ) C A�( ) [ ]�

282.5�

1

X0 Y0 R� � 0 0 10( )�

Given

xA X0�� 2 yA Y0�� 2� R2=

xB X0�� 2 yB Y0�� 2� R2=

xC X0�� 2 yC Y0�� 2� R2=

X0 Y0 R� � Find X0 Y0� R�� T 2.191� 3.627� 9.198( )��

A 6� 12�( )� B 1 5( )� C 7 4�( )�

XY stack A B� C� A�( )

6�

1

7

6�

12�

5

4�

12�

��

��

��

2


VIJCI

1

1.19

1.59

1.99

10

1.19

1.59

1.99

11

1.09

1.49

1.75

50

1.09

1.49

1.75

51

1.05

1.45

1.69

100

1.05

1.45

1.69

101

0.99

1.35

1.65

500

0.99

1.35

1.65

501

0.95

1.29

1.59

1000

0.95

1.29

1.59

��

��

T

�

f_M6 N( ) linterp VIJCI 0� � VIJCI 1� �� N��

f_IM N( ) linterp VIJCI 0� � VIJCI 2� �� N��

f_KR N( ) linterp VIJCI 0� � VIJCI 3� �� N��

f_UK N1 N2� N3�� N1 f_M6 N1� �� N2 f_IM N2� �� N3 f_KR N3� ��

U veleprodaji vij�ane robe poznate su cijene za tri proizvoda, cijene su ovisne o naru�enoj koli�ini prema tablici:.........

************************************************************************************************************************

a) f_UK 47 157� 89�( ) 413.59�

b) f_UK 189 36� 22�( ) 279.25�

c) f_UK 600 249� 137�( ) 1132.20�

d) N 100� N root f_UK N N� N�( ) 2500� N�( ) 652.74��

N 652� f_UK N N� N�( ) 2497.16�

N N 1�� f_UK N N� N�( ) 2500.99�

1


Numeri�ki odredite i prikažite na grafu kubnu aproksimaciju funkcije koja prolazi kroz to�ke �ije su koordinate zadaneu matrici XY. Na grafu prikažite rezultate dobivene interpolacijskim funkcijama lspline, pspline i cspline

XY0

5

1

4�

2

5

3

2

4

2�

5

4

6

7

9

1

10

3��

��

T�

fl_XY x( ) interp lspline XY 0� � XY 1� �� XY 0� �� XY 1� �� x��

fp_XY x( ) interp pspline XY 0� � XY 1� �� XY 0� �� XY 1� �� x��

fc_XY x( ) interp cspline XY 0� � XY 1� �� XY 0� �� XY 1� �� x��

df_XY x( )x

fc_XY x( )dd

� ddf_XY x( )x

df_XY x( )dd

�z 0 0.1� 10��

0 2 4 6 8 1010�

5�

0

5

10

XY 1� �

fl_XY z( )

fp_XY z( )

fc_XY z( )

XY 0� � z�

Poznate su tri to�ke na paraboli drugog reda, P1, P2 i P3. Odredite koordinate maksimuma ove parabole iprikažite najbolju kubnu aproksimaciju ove funkcije.Zadano: P1=(-4, -173), P2=(-1, 22) i P3=(7, 102).

x1 y1� � 4� 173�( )� x2 y2� � 1� 22( )� x3 y3� � 7 102( )�

X

x1

x2

x3

��

��

� Y

y1

y2

y3

��

��

�

y A x2� B x�� C�=

A 0� B 0� C 0�

Given

A x12

� B x1�� C� y1=

A x22

� B x2�� C� y2=

A x32

� B x3�� C� y3=

A B C( ) Find A B� C�( )T 5� 40 67( )��

f x( ) A x2� B x�� C�� x 5� 4.99�� 10��

g x( )x

f x( )dd

�

x0 0� x0 root g x0� � x0�� 4��

y0 f x0� � 147��

5� 0 5 10300�

200�

100�

0

100

200

y0

Y

f x( )

g x( )

2xf x( )d

d

2

x0

X x� x�

x1 y1� � 4� 173�( )�

x2 y2� � 1� 22( )�

x3 y3� � 7 102( )�

A x1 y1� �� B x2 y2� �� C x3 y3� ��

XY augment AT BT� CT�� T4�

1�

7

173�

22

102

��

��

��

pl_XY x( ) interp lspline XY 0� � XY 1� �� XY 0� �� XY 1� �� x��

pp_XY x( ) interp pspline XY 0� � XY 1� �� XY 0� �� XY 1� �� x��

pc_XY x( ) interp cspline XY 0� � XY 1� �� XY 0� �� XY 1� �� x��

dp_XY x( )x

pc_XY x( )dd

� ddp_XY x( )x

dp_XY x( )dd

�x 5� 4.9�� 10��

5� 0 5 10300�

200�

100�

0

100

200

XY 1� �

pl_XY x( )

pp_XY x( )

pc_XY x( )

f x( )

XY 0� � x�


1. zadatak - simboli�ko ra�unanje

f x( )

0

3

k

3�k� 3 k�( )��

xk� 23 k��

��

�

x3 6 x2�� 12 x�� 8��

f 2( ) 64�

f 5�( ) 27��

f x( ) x3 6 x2�� 12 x�� 8��

fd x( )x

f x( )dd

3 x2� 12 x�� 12��

ff x( ) xf x( ) !"

dx4

42 x3�� 6 x2

�� 8 x��

2. zadatak - proširivanje izraza

x y�( )3 expand x3 3 x2� y�� 3 x� y2

�� y3��

xx y�( )3d

d3 x y�( )2��

xx y�( )3d

dexpand 3 x2

� 6 x� y�� 3 y2��

3. zadatak - skra�ivanje izraza

x2 3x� 4�

x 4�2x� 5� simplify 3 x� 6��

e2 ln a( ) simplify a2�

4. zadatak - limesi

∞x

x2 2�

3x 6�lim�

13

�

ax

3x b�

a2lim

��

3 a� b�

a2�

0x

sin x( )x

lim��

1�

1

5. zadatak - rastavljanje na faktore

x4 4x3� 7x2

� 22x� 24� factor x 3�( ) x 4�( )� x 2�( )� x 1�( )��

6. zadatak - sustavi s jednom jednadžbom

12

x x� 2�= solve x�43

��

x 0�

Given

12

x x� 2=

Find x( )43

�

x x�

x3 5x2� 4x� 20� 0# solve x� 5 x$ 2� x$ 2$%�

7. zadatak - rješavanje sustava jednadžbi

x 2 π� y�� a=4 x� y� b=

��

��

solvex

y��

�a 2 π� b��

8 π� 1��

b 4 a��

8 π� 1��

��

�

Given

x 2 π� y�� a=4 x� y� b=

Find x y�( )

a 2 π� b��

8 π� 1��

b 4 a��

8 π� 1��

��

��

�

7. zadatak - spremanje rješenja sustava

Given

x 2 π� y�� a=4 x� y� b=

H a b�( ) Find x y�( )

a 2 π� b��

8 π� 1��

b 4 a��

8 π� 1��

��

��

��

H 8 5�( )0.97

1.119��

��

�

2

H 8 5�( )1 1.119�

H a b�( )

a 2 π� b��

8 π� 1��

b 4 a��

8 π� 1��

��

��

�

Given

x 2 π� y�� a=4 x� y� b=

M Find x y�( )

a 2 π� b��

8 π� 1��

b 4 a��

8 π� 1��

��

��

��M

M

a 2 π� b��

8 π� 1��

b 4 a��

8 π� 1��

��

��

�

a 1� b 10� c 12�

8. zadatak - korištenje nekoliko simboli�kih naredbi uzastopce ili istovremeno

a x2� b x�� c� 0= solve x�

13 5�

13� 5�

��

��

� float1.3944487245360107069�

8.6055512754639892931��

��

�

solution a x2� b x�� c�

solve x�

float1.3944487245360107069�

8.6055512754639892931��

��

��

solution1 8.606��

sol a x2� b x�� c�

solve x�

float1.3944487245360107069�

8.6055512754639892931��

��

��

a a� b b� c c�

9. zadatak - riješenje jednadžbe za razli�ite varijable

a x2� b x�� c� solve a�

c b x��

x2��

a x2� b x�� c� solve b�

a x2� c�

x��

3

a x2� b x�� c� solve c� a x2

�� b x��

sol a x2� b x�� c� solve x�

b2

b2 4 a� c��

2�

a�

b2

b2 4 a� c��

2�

a�

��

��

��

sol1

b2

b2 4 a� c��

2�

a��

sol1 8.606��

Zadatak 10

X

0

1

2

3

4

5

��

��

� Y

0.008923

0.532

0.602

0.166

0.451

0.057

��

��

�

fl x( ) interp lspline X Y�( ) X� Y� x�( )�

fc x( ) interp cspline X Y�( ) X� Y� x�( )� x 0 0.1� 5��

fp x( ) interp pspline X Y�( ) X� Y� x�( )�

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

Y

fl x( )

fp x( )

fc x( )

X x�

4

pa1 mathcad teorija i vjezbe

Documents