OYUN TEOROYUN TEORİİSSİİ VE VE

UYGULAMALARIUYGULAMALARI

Dr. SanlDr. Sanlıı ATEATEŞŞ

Bu dersin amacı, oyun teorisini teknik olarak tanıtıp, başta

ekonomi alanı olmak üzere değişik alanlara nasıl

uygulanabileceğini tartışmaktır. Günümüzde bireylerden

firmalara, yerel kurumlardan evrensel kurumlara kadar her

noktada karar verme süreçleri stratejik düşünme biçimine

giderek oturmuştur. Karar birimleri daha sağlıklı kararlara

ulaşabilmek için rakiplerinin davranışlarını daha yakından

izlemekte, daha çok bilgi toplamaktadırlar. Bu sürecin bilimsel

düzeyde anlaşılması, oyun teorisinin ilgi alanı içindedir.

22

33

HaftalarHaftalar KonularKonular11 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Normal Biçimli

22 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Başat-altı Stratejiler

33 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Nash Dengesi

44 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Karma Stratejiler

55 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Uygulamalar

66 Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Uygulamalar

77 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Oyun Ağacı Kavramı

88 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Yayvan Biçimli Oyunlar

99 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Alt Oyunlarda Nash Dengesi

1010 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: İki Aşamalı ve Yinelenen Oyunlar

1111 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Pazarlık Modelleri

1212 İşbirlikçi Oyunlar

1313 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik ve İşbirlikçi Oyunlar: Uygulamalar

1414 Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik ve İşbirlikçi Oyunlar: Uygulamalar

Ders MateryaliDers Materyali

Bu ders için şu yayınlardan yararlanılmıştır.

1. M.J. Osborne, A. Rubinstein, A Course in Game Theory, The

MIT Press, Mass., 1994.

2. Edward T. Dowling, Introduction to Mathematical Economics,

Mc Graw Hill, 1992.

3. A.K. Dixit, B.J. Nalebuff, Stratejik Düşünme, Sabancı Ünv.

Yay., İst., 2003.

4. A.M. Brandenburger, B.J. Nalebuff, Ortaklaşa Rekabet, Scala

Yay., İst., 1998.

44

SSıınavlara navlara İİlilişşkinkin

Yapılması planlanan sınavlar, dekanlıkça belirlenen tarihlerdeki

vize ve final sınavları olmak üzere iki tanedir. Ara sınavın (vize)

%40’ı, yarıyıl sonu (final) sınavının da %60’ı toplanarak başarı

notu belirlenecektir.

İİletiletişşimim

GGöörrüüşşme Gme Güünleri:nleri: Cuma, 10.00 -12.00

I. Blok, Ofis No.221

ee--mail:mail: asanli@cu.edu.tr

WEB:WEB: http://idari.cu.edu.tr/sanli

55

TTÜÜMEL BMEL BİİLGLGİİYE YE

DAYALI STATDAYALI STATİİK K

OYUNLAROYUNLAR

Mikro iktisadi analizin bazı konularında ekonomik karar

birimleri, diğer birimlerin davranışlarını dikkate almaksızın

karar verirler. Örneğin fayda teorisinde bireyler faydalarını

maksimize ederlerken, yalnızca veri fiyatlar ve gelir

çerçevesinde, diğer bireylerin kararlarından soyutlanmış olarak

optimal mal seçimini yaparlar.

Benzer şekilde tam rekabetçi ya da monopol piyasalardaki

firma davranışını da söyleyebiliriz.

77

Ancak iktisat biliminde, karar süreçlerinin karşılıklı bağımlılık

içerdiğini gösteren çok sayıda örnek vardır:

1. Duopol piyasada farklılaştırılmış ürün satan iki firma karar

verirken, ürün kalitesini, fiyatı ve reklamı dikkate almalıdır.

2. İki ülke ithalat gümrük oranları, ihracat desteklemeleri gibi

dış ticaret politikalarını belirlemelidirler.

88

3. Bir firma, yöneticilerinin performansını artıracak prim

politikasını belirlemelidir.

Bu örneklerdeki ortak nokta, karşılıklı bağımlılığın varlığıdır. Bir

karar biriminin en iyi seçimi, diğerinin (diğerlerinin) seçimine

bağlıdır.

99

Oyun teorisi, bir karar biriminin kazançlarının, diğerlerinin

kararlarına bağlı olduğu karşılıklı stratejik karar almanın yer

aldığı durumları inceleyen uygulamalı matematiğin bir dalıdır.

Oyunları değişik biçimlerde sınıflandırabiliriz. Bir yaklaşıma

göre statik oyunlarstatik oyunlar ve dinamik oyunlardinamik oyunlar biçiminde bir sınıflama

yapılabilir.

1010

Statik oyunlarStatik oyunlar, veri bir zaman dilimi içerisinde tüm kararların

eşanlı verildiği türden oyunlardır. Yani oyuncular bir kerelik

karar verirler ve oyun sona erer.

Dinamik oyunlarDinamik oyunlar, karar almanın bir dizimselliğe sahip olduğu

türden oyunlardır. Bu anlamda, çok sayıda zaman diliminde

kararlar alınmaktadır.

1111

1212

Statik ve dinamik oyunlar arasındaki farkı daha iyi

anlayabilmek için, Cournot duopol piyasa modelini dikkate

alalım. Temel mikro ders kitaplarında büyük ölçüde statik oyun

çerçevesinde model anlatılmaktadır. Yani her iki firma kendi

kârını maksimize edecek şekilde, aynı anda ve tek üretim kararı

vermektedir.

Ancak bu modeli, firmaların birkaç aşamada karar alarak kârı

maksimize eden üretim düzeylerine ulaştıklarını da düşünerek

inceleyebiliriz. Bu durumda oyun dinamik bir çerçeveye

oturacaktır.

1313

Oyunları, oyuncuların sahip oldukları bilgi açısından da

sınıflayabiliriz. Eğer tüm oyuncular oyunun yapısını tamamıyla

biliyorlarsa, ttüümel bilgi altmel bilgi altıında oyun (nda oyun (complete informationcomplete information) )

dan söz ederiz. Tikel bilgi altTikel bilgi altıında oyunnda oyunda ((incomplete incomplete

informationinformation)) ise, oyunculardan bir kısmı, diğerlerinin sahip

olmadığı özel bir bilgiye sahiptir.

1414

Buna benzeyen, ancak biraz farklı bir başka yaklaşıma göre,

tüm oyuncular karar aşamasından önceki tüm davranışları

biliyorsa, oyun tam bilgiyetam bilgiye ((perfect informationperfect information)) dayalıdır.

Oyunculardan bazıları bunu bilmiyorsa, oyun eksik bilgieksik bilgiye

((imperfect informationimperfect information)) dayalıdır.

1515

Oyunları, sınıflamanın yanında, betimleme ve çözüm yollarını

da sınıflayabiliriz. Bir betimleme yöntemi olan normal binormal biççimim,

stratejiler ve kazançlar üzerine odaklanır. Diğer betimleme

yöntemi olan yayvan (yayvan (extensiveextensive gamegame) bi) biççimim, davranışların ve

kararların dizilimiyle ilgilenir. Her iki biçimde birbirini dışlayan

bir yapıda değildir.

1616

Hangi yöntemin seçileceği, yöntemin kolaylığına ve sezgi

gücüne bağlıdır. Statik oyunlarda daha çok normal biçim,

dinamik oyunlarda da yayvan biçim kullanılmaktadır.

Çözüm yöntemlerine baktığımızda, statik oyunların Nash

dengesi bulunarak çözüldüğünü, dinamik oyunların da ikincil

oyun-mükemmel Nash dengesi üzerine kurulduğunu görebiliriz.

1717

Normal BiNormal Biççimde Oyunlarimde Oyunlar

Her oyunun kendine özgü elemanları ve özelliği vardır. Statik

oyunlarda bu elemanlar, küme ve fonksiyon kavramıyla temsil

edilmektedir. Normal biçimde ifade edilen bir oyunda, bir

oyuncu koyuncu küümesimesi, her bir oyuncu için strateji kstrateji küümesimesi ve her bir

oyuncu için bir kazankazançç fonksiyonufonksiyonu yer alır. Her bir oyuncuyu bir

rakamla gösterebileceğimiz bir oyuncu kümesini şöyle

yazabiliriz: { }1,2, 3, .....,N n=

1818

1919

Her oyuncu, bir strateji kümesine dayanarak karar verir.

Strateji, bir oyunda gerçekleşmesi mümkün olan oyuncu

davranışını tanımlar. Bazı durumlarda strateji kümesi çok

küçük olabilir. Örneğin ya yüksek ya da düşük fiyat uygulama

kararı gibi. Ya da satranç oyunundaki gibi çok sayıda strateji

var olabilir. sij, i. oyuncu için olanaklı j. stratejiyi göstersin. i

bireyi için tüm olası stratejilerin kümesi:

{ }1 2 3, , , .....,ii i i i itS s s s s=

2020Tüm oyuncuların stratejilerinin oluşturduğu küme:

{ }1 2 3, , , ....., nS S S S S=

Son olarak, oyunun sonuç göstergesi olan kazanç

fonksiyonlarını tanımlayalım. Genel olarak bir oyuncunun bir

oyundan elde edeceği kazanç, tüm oyuncuların strateji

seçimlerine bağlıdır. i. birey için kazanç fonksiyonunu yazalım.

{ }1 2 3, , , .....,i i ns s s sΠ = Π

2121

Normal BiNormal Biççimde Oyunlar iimde Oyunlar iççin in ÖÖrneklerrnekler

Firmaların reklam stratejisini seçtikleri bir duopol piyasa

düşünelim. Modelin varsayımları şöyledir:

1. Firmalar ürünlerini sabit (dışsal) bir fiyattan satıyorlar.

2. Reklam, piyasa toplam talep düzeyini etkilememektedir.

3. Firmalar iki reklam düzeyi seçip uygulayabilirler. Yüksek (Y)

ve düşük (D)

4. Firmaların piyasa payları, seçecekleri reklam düzeyine

bağlıdır.

2222

Şimdi bu varsayımları, oyun teorisinin simgeleriyle yazalım. Her

iki oyuncu, ikişer stratejiye sahiptir:

{ }, , 1, 2i Y DS R R i= =

Kazanç matrislerini yazabilmek için bazı ek değişkenlere gerek

var. Π0 endüstrinin kâr düzeyini; mjk , rakip firma k stratejisini

(k=Y , k=D) seçtiğinde, firmanın j stratejisini (j=Y , j=D) seçmesi

durumunda oluşacak piyasa payını göstersin. Değişik reklam

düzeyi seçimlerinde piyasa payı toplamı bire eşittir:

1jk kjm m+ =

2323Dört olası reklam bileşimi vardır. Kazanç fonksiyonu, dört olası

reklam bileşiminin sonuçlarını gösterir. Birinci ve ikinci firma

için kazanç fonksiyonlarını yazalım:

1 0

1 0

1 0

1 0

( , )

( , )

( , )

( , )

Y Y YY Y

Y D YD Y

D Y DY D

D D DD D

R R m R

R R m R

R R m R

R R m R

Π = Π −

Π = Π −

Π = Π −

Π = Π −

2 0

2 0

2 0

2 0

( , )

( , )

( , )

( , )

Y Y YY Y

Y D YD Y

D Y DY D

D D DD D

R R m R

R R m R

R R m R

R R m R

Π = Π −

Π = Π −

Π = Π −

Π = Π −

2424

Şimdi sayısal bir örnek de kullanarak, kazançları matris biçimde

yazalım. Matrisin satır ve sütunları, strateji seçimlerini

gösterecektir. Aşağıdaki değerlere sahip bir piyasa düşünelim.

0 1000 , 400 , 200

1 1 4 1, , ,2 2 5 5

Y D

YY DD YD DY

R R

m m m m

Π = = =

= = = =

Örneğin her iki firma yüksek reklam harcaması yaparsa,

piyasayı yarı yarıya paylaşırlar. Her bir firma 1000 birimlik

endüstri kârının 500’ünü elde eder, reklam harcaması (400)

çıkarıldıktan sonraki net kâr 100’dür.

2525Yukarıda hesapladığımız gibi, diğer kazançları da her bir firma

için hesaplayalım ve kazanç matrisini oluşturalım.

1 0

1 0

1 0

1 0

1( , ) 1000 400 1002

4( , ) 1000 400 4005

1( , ) 1000 200 05

1( , ) 1000 200 3002

Y Y YY Y

Y D YD Y

D Y DY D

D D DD D

R R m R

R R m R

R R m R

R R m R

Π = Π − = − =

Π = Π − = − =

Π = Π − = − =

Π = Π − = − =

2626

2 0

2 0

2 0

2 0

1( , ) 1000 400 1002

4( , ) 1000 400 4005

1( , ) 1000 200 05

1( , ) 1000 200 3002

Y Y YY Y

Y D YD Y

D Y DY D

D D DD D

R R m R

R R m R

R R m R

R R m R

Π = Π − = − =

Π = Π − = − =

Π = Π − = − =

Π = Π − = − =

2727

Firma 2

D YD

Y1 2 1 2

1 2 1 2

( ) , ( ) ( ) , ( )

( ) , ( ) ( ) , ( )

DD DD DY YD

YD DY YY YY

R R R R

R R R R

Π Π Π Π⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Π Π Π Π⎣ ⎦

Firma 1

Firma 2

300, 300 0,400

400,0 100,100

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D YD

YFirma 1

Şimdi Firma 1’in kararını dikkate alalım. Firma 2 düşük reklam

harcamasını seçtiğinde, Firma 1 düşük reklam harcaması

kararında 300, yüksek harcamada 400 net kâr elde edecektir.

Buna göre, Firma 2’nin düşük reklam harcaması stratejisi

karşısında Firma 1’in en iyi seçimi yüksek harcamadır.

2828

Firma 2 yüksek reklam harcamasını seçtiğinde, Firma 1 düşük

reklam harcaması kararında 0, yüksek harcamada 100 net kâr

elde edecektir. Bu durumda da Firma 1 için en iyi strateji

yüksek reklam harcamasıdır. Benzer durum Firma 2 için de

geçerlidir. Aynı anda her ki firma için de en iyi strateji yüksek

reklam harcamasıdır.

2929

Yukarıdaki örnek oyunun genel biçimi, “tutsaklar atutsaklar aççmazmazıı” dır

(prisonerprisoner’’s dilemmas dilemma). Bu oyunda suç işlemiş olan iki bireyin

suçun itiraf etmesi ile sessiz kalması arasındaki durumlar

incelenmektedir. Mahkumiyet kararları, değişik stratejiler

karşısındaki kazançları oluşturmaktadır. İktisatta oldukça

yaygın olan tutsaklar açmazı biçimindeki oyunlar şu

durumlarda oluşur:

1. Ekonomik karar birimleri işbirliği ve işbirliğinden kaçınma

arasında seçim yaparlarsa.

2. İşbirliği ortak optimalken, işbirliğinden kaçınma bireysel

rasyoneldir.

3030

Duopolda reklam modeli, firmalararası rekabete iyi bir tutsaklar

açmazı örneğidir. Benzer biçimde kamu maliyesi teorisinden

kamusal mallara katkı yapmak (işbirliği) ve bedava

yararlanmak (işbirliğinden kaçınma) örneği verilebilir.

3131

Reklam örneğinde dengeyi şöyle tanımlayabiliriz. (Y,Y) durumu,

diğer firmanın seçimi belirliyken, hiçbir firmanın kendini

seçimini değiştirmek için hiçbir neden olmaması anlamında bir

dengedir. Her bir firma, rakibinin stratejisine en iyi tepkiyi

vermektedir. Bu denge kavramı, Nash DengesiNash Dengesi olarak ifade

edilmektedir.

3232

Kesin BaKesin Başşat Altat Altıı Stratejilerin Yinelemeli Eleme Stratejilerin Yinelemeli Eleme

Yoluyla Yoluyla ÇöÇözzüümmüü

Tutsaklar açmazında olduğu gibi, bazı oyunlarda tüm başat altı

stratejileri eleyerek bir dengeye ulaşılabilir. Eleme işlemi

sürecinin sonunda bir çift strateji kalırsa, bu denge değeridir.

3333

n oyunculu bir oyunda, gibi bir strateji mevcutken aşağıdaki

koşul sağlanıyorsa, i. oyuncu için stratejisinin kesin başat

altı olduğunu söyleyebiliriz.

is′

is′′

3434

( ) ( )1 2 1 2, , ....., , ....., , , ....., , .....,i i n i i ns s s s s s s s′′ ′Π > Π

3535

Yukarıdaki koşul şunu söylemektedir: Daima daha yüksek

kazanç sağlayan başka bir strateji varken, bir strateji başat

altıdır. Buna göre bir strateji karşısında daha egemen bir

stratejinin varlığı yeterlidir.

Rasyonel birey başat-altı stratejiyi seçmeyeceğinden, bunu

karar sürecinde eleyebiliriz. Aslında daha kesin olarak

söylersek, ortak bir rasyonalite varsayımı gereklidir. Bu, tüm

oyuncuların rasyonel olması anlamına gelmemektedir.

Oyuncular, kendileri dışında kalanların dominant-altı stratejiyi

seçmeyeceklerinin farkındadırlar.

3636

3737

Şimdi bu koşulu ve başat-altı stratejilerin elenerek denge

değerlerine ulaşılmasına bir örnek verelim. İki oyuncu ve her

birinin seçebileceği üç strateji olsun. Başlangıçtaki bu duruma

G oyunu diyelim.

2. Oyuncu

3, 3 2,6 3,1

2,4 1,4 0,4

1,5 0, 2 6,0

L C RT

M

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

1. oyuncu için M stratejisi, T stratejisine göre başat altıdır.

Diğer bir ifadeyle, T stratejisi M ’ye başattır. B stratejisinin M

’ye başat olduğunu söyleyemeyiz. 2. oyuncunun L, C, R

stratejisini seçtiği durumlarda, 1. oyuncu için T ve M

stratejilerini kıyaslayalım:

3838

3939

: T, M ’ye kesin başattır.

Şimdi de T ve B stratejilerini kıyaslayalım:

: T, B ’ye kesin başat değildir.3 1 , 2 0 , 3 6> > <

3 2 , 2 1 , 3 0> > >

4040

Kesin başat-altı strateji olan M stratejisini eleyerek oyunu

sürdürelim. Bu yeni oyuna G′ diyelim.

2. Oyuncu

3,3 2,6 3,1

1,5 0,2 6,0

L C RT

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

Bu durumda 1. oyuncunun hiçbir stratejisi kesin başat değildir.

Ancak 2. oyuncunun stratejilerine bakarsak, hem L hem de C

’nin R ’ye başat olduğunu görürüz. Bu nedenle R stratejisini

eleyebiliriz.

4141

R ’nin elenmesi sonucu oluşan oyuna G″ diyelim.

2. Oyuncu

3,3 2,6

1,5 0,2

L CT

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

4242

Bu durumda 1. oyuncunun T stratejisi, B ’ye kesin başattır. B ’yi

eledikten sonra, 2. oyuncu için C başat olduğundan L ’yi eleriz.

En sonunda denge değerine (G*) ulaşmış oluruz.

2. Oyuncu

[ ]2,6C

T1. Oyuncu

4343

Nash DengesiNash Dengesi

İktisat bilimindeki çoğu oyunlarda peşi sıra eleme yöntemiyle

denge değerine ulaşmak mümkün değildir. Bu tür durumlarda

daha güçlü bir çözüm yöntemine gerek duyarız. Nash dengesi,

bu aracı sağlar.

Diğer oyuncuların strateji seçimleri belirliyken, hiçbir oyuncu

seçimini değiştirmek için bir neden görmüyorsa, strateji

bileşimi bir Nash dengesidirNash dengesidir. Bu tanımı biçimsel olarak verelim.

4444

n oyuncu için biçiminde bir vektörel strateji seçim kümesi

olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan strateji bileşimi, Nash

dengesidir.

( ) ( )* * * * * * *1 1 1 1, , ....., , ....., , , ....., , .....,i i n i i ns s s s s s s s′Π ≥ Π

4545

Nash dengesinde hiçbir oyuncu stratejisini değiştirmek

istemeyecektir. stratejisi, i. oyuncu için var olan stratejilerin

içinde daha iyisidir. Zayıf eşitsizlik, en az stratejisi kadar iyi

oyunların da olabileceğini ifade etmektedir. Ayrıca bir oyuncu

için aynı anda birden çok strateji vektörü Nash dengesini

sağlayabilir.

*is

*is

4646

Yinelemeli eleme yöntemi ile Nash dengesi arasındaki bağı şu

iki teoremle kurabiliriz:

Teorem 1:Teorem 1: Başat-altı stratejiler eleme yöntemiyle bir denge

değerine ulaşabiliniyorsa, bu değer aynı zamanda oyunun tek

Nash dengesidir.

4747

Teorem 2:Teorem 2: Herhangi bir Nash dengesi, kesin başat-altı strateji

eleme yöntemine de olanak sağlar.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta şudur: Ne eleme yöntemi

Nash dengesinin bir parçası olabilir ne de Nash dengesi bir

eleme yöntemi çözümü değildir.

4848

Nash dengesini anlatmanın bir başka yolu, en iyi tepki en iyi tepki

fonksiyonudurfonksiyonudur. Bu yöntem özellikle strateji kümesi sürekli

biçimdeyse yararlı olur. Örneğin iki oyunculu bir oyunda, 2.

oyuncunun her seçimi karşısında 1. oyuncu için en iyi olan

stratejiyi seçeriz. 2. oyuncunun stratejisi biliniyorken, aşağı-

daki problemi çözerek en iyi tepkiyi belirleriz.

( )1 1 2max ,s sΠ

Bu problemi maksimizasyon için gereken birinci ve ikinci sıra

koşulları elde ederek ve sınayarak çözebiliriz. Kazanç

fonksiyonları, türev alma yoluyla belirlenmiş olacaktır. Birinci

sıra koşuldan elde edilen en iyi tepki fonksiyonlarının eşanlı

çözümünden, denge değerlerine ulaşılır.

4949

5050Nash Dengesine Nash Dengesine ÖÖrneklerrnekler

Aşağıdaki iki oyunculu örneği dikkate alalım.

2. Oyuncu

3,3 2,1 3,1

2,4 2,4 0,4

1,5 0,2 6,5

L C RT

M

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

Bu matriste hiçbir oyuncunun kesin başat-altı stratejisinin

bulunmadığına dikkat edin. Dolayısıyla çözüm yöntemi olarak

en iyi tepki yoluyla Nash dengesinin belirlenmesi olacaktır.

1. oyuncunun en iyi tepkilerini 2. oyuncunun seçimi belirliyken

bulacağız. Aşağıdaki matriste altı çizgili mavi değerler, 1.

oyuncunun en iyi strateji seçimlerini göstermektedir. Örneğin

2. oyuncunun seçimi L stratejisiyken, 1. oyuncunun seçebilece-

ği en iyi strateji T ’dir.

5151

5252

2. Oyuncu

, 3 ,1 3,1

2,4 ,4 0,4

1,5 0,2 ,5

3 2

2

6

L C RT

M

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

Yukarıdakine benzer biçimde, 2. oyuncu için de en iyi tepkileri

belirleriz (altı çizgili kırmızı seçenekler). Aynı anda her iki

oyuncunun birden en iyi seçiminin oluştuğu strateji, Nash

dengesini verecektir.

5353

Aşağıdaki kazanç matrisi, 2. oyuncunun da seçimlerini

içermektedir. Her iki oyuncuya en iyiyi sağlayan (T,L), (M,C) ve

(B,R) stratejileri Nash dengesini göstermektedir.

2. Oyuncu

, ,1 3,1

2, , 0,

1, 0,

3 2

2

6

3

4 4 4

5 52 ,

L C RT

M

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

5454

Şimdi iki oyunculu sürekli biçimdeki bir oyunu inceleyelim. Her

bir oyuncu için strateji kümesinin şöyle olduğunu varsayalım:

{ }: 0i i iS s s= ≥

Bunun anlamı şudur: Her bir oyuncu strateji değişkeninin

negatif olmayan düzeyini seçmelidir. Örneğin iktisatta miktar,

fiyat, tüketim gibi değişkenlerin seçimi negatif değerler alamaz.

5555

1. ve 2. oyuncunun kazanç fonksiyonlarının şu şekilde bildiğini

varsayalım.

21 1 1 1 2 1

22 2 2 1 2 2

10 3

10 2

s s s s s

s s s s s

Π = − − −

Π = − − −

Oyun sürekli biçimde olduğundan, kazanç matrisini önceki

örnekteki gibi oluşturamayız. Bunun yerine, her ki kazancı da

aynı anda maksimize edecek olan s1 ve s2 değerlerini ararız.

5656

( ) ( )

1 21 2 2 1

1 2

1 1 2 2 2 2 1 1

10 2 3 , 10 2 2

1 1( ) 7 , ( ) 82 2

s s s ss s

s R s s s R s s

∂Π ∂Π= − − − = − − −

∂ ∂

= = − = = −

En iyi tepki fonksiyonları

* *1 22 , 3s s= =

5757Şekil 1. Nash Dengesi

1s

2s

7

4

3.5 8

E

2R

1R

*1s

*2s

En iyi tepki

fonksiyonları

5858

Karma Stratejilere GiriKarma Stratejilere Girişş

Tüm oyunlar, her bir oyuncunun %100 olasılıkla yalnızca tek

strateji seçtiği bir safsaf--strateji Nash dengesistrateji Nash dengesi biçiminde değildir.

Bazı iktisadi uygulamalarda oyuncular, olanaklı saf stratejileri

tesadüfi (olasılıklara dayalı) seçerler. Bu tür oyunlar karma karma

stratejiyestratejiye sahiptir.

5959

Şimdi her bir oyuncunun m kadar saf stratejiye sahip olduğu,

iki oyunculu, sürekli olmayan bir durum düşünelim. sij, i. oyuncu

için j. stratejiyi göstersin. Bir karma stratejikarma strateji, i. oyuncunun her

bir olanaklı saf stratejiyi oynayacağı olasılığı tanımlamaktadır.

6060

pj, 1. oyuncunun saf j stratejisini seçme olasılığını; qk, 2.

oyuncunun saf k stratejisini seçme olasılığını; p ve q da olasılık

vektörlerini göstersin. 1. ve 2. oyuncular için karma strateji

kümesini şöyle yazabiliriz:

11

21

p : 0 1 , 1

q : 0 1 , 1

m

j jj

m

k kk

S p p

S q q

=

=

⎧ ⎫= ≤ ≤ =⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧ ⎫= ≤ ≤ =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

∑

6161

Bir saf strateji, karma stratejinin alt kümesidir. sij saf stratejisi,

ve olduğunda karma stratejiye özdeştir.

Karma stratejili Nash dengesini nitelendirebilmek için,

oyuncuların kazanç matrisinin beklenen değerlerini

hesaplamamız gerekir. 1. oyuncu j , 2. oyuncu da k saf strateji-

lerini seçtiklerinde i. oyuncunun kazancının Πijk olduğunu kabul

edelim.

1jp = 0 ( )ip i j= ≠

6262

i. oyuncunun beklenen kazancı, ortaya çıkacak her bir sonucun

kazancı ile bu sonucun çıkma olasılığının çarpımının toplamına

eşittir:

( )1 1 1 111 1 2 112 1 11

2 1 121 2 2 122 1 12

1 1 1 2 1 2 1

.....

.....

.....

m m

m m

m m m m m m mm

E p q p q p q

p q p q p q

p q p q p q

Π = Π + Π + + Π

+ Π + Π + + Π

+ Π + Π + + Π

6363

Bunu kısaltılmış (toplama) simgeleri kullanarak yeniden

yazalım:

( )1 11 1

m m

j k jkj k

E p q= =

Π = Π∑∑

Şimdi tanım olarak Karma Strateji Nash Dengesini yazalım.

6464

Aşağıdaki koşullar sağlanırsa, p* ve q* olasılık vektörleri Nash

dengesidir.

* * *1 1

1 1 1 1

* * *2 2

1 1 1 1

m m m m

j k jk j k jkj k j k

m m m m

j k jk j k jkj k j k

p q p q

p q p q

= = = =

= = = =

′Π ≥ Π

′Π ≥ Π

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑

Diğer bir ifadeyle bu iki koşul, daha yüksek kazanç sağlayan

karma strateji mevcut değilse, p* ve q* vektörlerinin Nash

dengesi olduğunu söylemektedir.

6565

Teorem 3:Teorem 3: Sonlu sayıda saf strateji kümesine sahip her n

oyunculu oyun, en azından bir saf ya da karma strateji Nash

dengesine sahiptir.

Bu teorem, her oyunun bir çözümü olacağını garanti

etmektedir. Şimdi iki oyunculu ve iki stratejili bir oyunu dikkate

alalım. Bunun kazanç matrisi aşağıda verilmiştir.

66662. Oyuncu

, ,

, ,

L RT A a B b

B C c D d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

Bu oyunda her bir oyuncu bir olasılığı seçmektedir. Strateji 1 p

olasılığı ile oynanırsa, strateji 2 (1-p) stratejisiyle oynanacaktır.

Buna göre 1. oyuncunun beklenen (olasılıklı) kazanç matrisini

yazalım:

( )1 (1 ) (1 ) (1 )(1 )E pqA p q B p qC p q DΠ = + − + − + − −

6767Şimdi kazanç matrisinin p ’ye göre türevini alalım.

( )1 (1 ) (1 )E

qA q B qC q Dp

∂ Π= + − + − − −

∂

Bu sonuca göre, türevde p yer almadığından, 1. oyuncu türevin

işaretini belirleyemez. Türev pozitif ise, p ’deki artış, 1.

oyuncunun kazancının beklenen değerini artırır. Bu nedenle 1.

oyuncu en yüksek p değeri olan 1’i seçmelidir. Bu saf strateji

anlamına gelir. Türevin işareti negatifse, 1. oyuncunun en

uygun seçimi p=0 ‘dır. Böyle bir durum, 2. oyuncu için saf

strateji seçimi anlamına gelir.

6868

Türev sıfıra eşitse, tüm p düzeylerinde 1. oyuncunun kazancı

aynıdır. Bu nedenle 1. oyuncu tüm karma strateji seçimleri

karşısında kayıtsızdır ve dengeyi göstermektedir. Karma

stratejinin çözümünü bulmak için, yukarıdaki süreci 2. oyuncu

içinde yaparız.

( )

( )

2

2

(1 ) (1 ) (1 )(1 )

(1 ) (1 )

E pqa p q b p qc p q d

Epa pb p c p d

q

Π = + − + − + − −

∂ Π= + + − − −

∂

6969

Her ikisi için aynı anda denge, birinci türevlerin sıfıra

eşitlenmesi ve p ile q değerlerinin çözülmesiyle belirlenir.

( )

( )

1

2

* *

(1 ) (1 ) 0

(1 ) (1 ) 0

,

EqA q B qC q D

p

Epa pb p c p d

q

d c D Bp qa b c d A B C D

∂ Π= + − + − − − =

∂

∂ Π= + + − − − =

∂

− −= =

− − + − − +

7070Yukarıdaki oyuna sayısal bir örnek verelim. Aşağıdaki oyunu

inceleyelim.

3,1 2,4

2,2 3,1

L RT

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Oyuncu

1. Oyuncu

Dikkat edilirse bu oyunun saf strateji Nash dengesi yoktur.

Ancak teorem 3, karma stratejili bir Nash dengesinin elde

edilebileceğini söylemektedir. Çözüme ulaşabilmek için ilk

olarak her iki oyuncuya ait beklenen kazanç fonksiyonlarını

yazalım.

7171

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

1 1

* *

1 2

3 2 (1 ) 2(1 ) 3(1 )(1 )

4 (1 ) 2(1 ) (1 )(1 )

2 1 0 , 4 1 0

1 1,4 2

2.5 , 1.75

E pq p q p q p q

E pq p q p q p q

E Eq p

p p

p q

E E

Π = + − + − + − −

Π = + − + − + − −

∂ Π ∂ Π= − = = − + =

∂ ∂

= =

Π = Π =

7272

DoDoğğal Tekel Yatal Tekel Yatıırrıım Oyunum Oyunu

Bir piyasada doğal tekel oluşmasının ana nedeni, yalnızca bir

firmanın ekonomik kâr elde edebilecek kadar piyasa ölçeğinin

büyük olmasıdır. Piyasa ölçeği, hem talep düzeyine hem de

firma maliyet düzeyine bağlıdır. Aşağıdaki Şekil 2, bir doğal

tekeli göstermektedir. ½D talep eğrisi, iki firmalı bir durumda,

her iki firmanın da zarar edeceğine dikkat çekmektedir.

7373

Şimdi iki firmalı bir durumu dikkate alalım. Ancak bu iki firma

yeni bir ürün geliştirmek, fabrika binası kurmak gibi bir alanda

ortak yatırım kararı almış olsunlar.

7474Şekil 2. Doğal Tekel

P

Q

AC

D12 D

7575

Bu durumda her bir firmanın karşısında iki strateji vardır:

1.Firmanın piyasaya girişine olanak sağlayan bir yatırım

kararının verilmesi: E

2.Yatırım kararından vazgeçilmesi ve piyasadan uzak kalmak: S

Piyasaya bir firma girerse pozitif bir kâr elde edecek: Π>0; iki

firma girerse, zarar elde edecekler: -L<0.

Buna göre kazanç matrisi:

76762. Oyuncu

, ,0

0, 0,0

E SE L L

S

− − Π⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Π⎣ ⎦

1. Oyuncu

İlk çözüm denemesi olarak başat altı strateji eleme yöntemine

baktığımızda, hiçbir firmanın başat altı stratejiye sahip

olmadığını görebiliriz. Ancak her iki firma açısından birer saf

strateji Nash dengesi vardır: (E,S) ve (S,E). Bunun dışında

oyunda bir de karma strateji dengesi vardır. Bunu

belirleyebilmek için, beklenen kazanç fonksiyonlarını yazarak

başlayalım.

7777( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1

2

1

1

* *

1 2

(1 ) (1 )0 (1 )

(1 ) (1 )0 (1 )

(1 ) 0

(1 ) 0

0 , 0

E pqL p q p pqL p q

E qpL q p q pqL q p

EqL q

p

EpL p

p

p qL

E E

Π = − + − Π + − = − + − Π

Π = − + − Π + − = − + − Π

∂ Π= − + − Π =

∂

∂ Π= − + − Π =

∂

Π= =

Π +

Π = Π =

7878

Yukarıdaki sonucun anlamı şudur: Eğer piyasaya giriş yüksek

kârlar ya da düşük zararlar nedeniyle çok cazipse, firma giriş

olasılığını artırır. Ancak giriş olasılığının artması, giriş

cazibesini azaltacağı için kârlar sıfırlanır.

7979Cournot Duopol ModeliCournot Duopol Modeli

Cournot modelinde bir firmanın stratejisi, çıktı miktarının

seçimidir. i. firma için strateji kümesini yazalım.

{ }: 0i i iS q q= ≥

Buna göre, firmanın strateji uzayı, negatif olmayan tüm çıktı

kümesidir. Aşağıdaki talep ve maliyet fonksiyonlarına göre,

kazanç fonksiyonu şöyle oluşacaktır:

8080( )

( ) [ ] ( )

( )1

, i

i i i i i

n

i j i ij

P a bQ TC c t q

Pq c t q a bQ q c t q

a b q q c t q=

= − = +

Π = − + = − − +

⎡ ⎤Π = − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

Diğer firmaların strateji seçimi belirliyken, i. firma en iyi tepki

fonksiyonuna sahip olacaktır. En iyi tepki fonksiyonlarını

bulabilmek için, diğer firmaların stratejileri sabitken kârı

maksimize ederiz.

( )

( )

( )

1

2

2

2

2

2 0

12 2

n

i j i ij

n

i i i j i ij

ni

i jji

n

i jj

a b q q c t q

aq bq b q q c t q

a bq b q c tq

a c tq qb

=

=

=

=

⎡ ⎤Π = − − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤Π = − − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

∂Π= − − − + =

∂

− −= −

∑

∑

∑

∑

8181

8282

Nash dengesi, n tane en iyi tepki fonksiyonunun eşanlı

çözümüyle elde edilir. Her bir firmanın oynayacağı Nash denge

stratejisi (optimal üretim düzeyi) :

*

( 1)ia c tqn b− −

=+

Nash denge stratejisini, her bir firmanın kazanç

fonksiyonundaki yerine yazarak, denge kazanç değerlerini

hesaplayabiliriz.

8383

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

* * * * * * *

1

2

2

( 1) ( 1) ( 1)

1

n

i j i i i i ij

a b q q c t q a bnq q c t q

a c t a c t a c ta bn c tn b n b n b

a c t

n b

=

⎛ ⎞Π = − − + = − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞− − − − − −= − − +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

− −=

+

∑

8484

Bu çözüm, her bir firmanın, diğer firmaların üretim düzeyi

sabitken karar aldığı biçimindeki Cournot varsayımı üzerine

kuruludur. Bu nedenle denge, literatürde Cournot-Nash dengesi

olarak anılmaktadır.

8585

Bertrand Duopol ModeliBertrand Duopol Modeli

Cournot duopol modeli firmaların strateji seçimini üretim

miktarı üzerine oturtmaktadır. Cournot’un makalesinden 45 yıl

sonra Joseph Bertrand, aksak rekabet nedeniyle firmaların

üretim belirlemek yerine, fiyat stratejisine göre hareket

edeceklerini öne sürmüştür. Bertrand’ın bu yaklaşımı, piyasa

dengesi üzerinde Cournot’ya göre önemli bir farklılık

yaratmaktadır.

8686

Bertrand modeli (Cournot modelindeki gibi) ürünü homojen

varsaymıştır. Ancak firmalar fiyat farklılaştırmasına gitmek-

tedirler. Ürünler homojen olduğundan, tüketiciler ucuz malı

alacak, yüksek fiyattan satan firmanın satış miktarı sıfır

olacaktır. Bertrand modelinde firmalar fiyat stratejisi seçerler.

i. firma için strateji kümesini yazalım.

{ }: 0i i iS p p= ≥

8787

Kazanç fonksiyonlarını yazabilmek için, piyasa talep

fonksiyonuna ihtiyaç duyarız. İlk olarak fiyat değişkenini

tanımlayalım:

1 2min( , )p p p=

Piyasa talep fonksiyonu:

( )Q Q p=

8888

Bireysel firma için talep miktarı üç olasılığa sahiptir. Örneğin i.

firma için bu üç olasılığı yazalım:

( )

( )2

0

i j i

i j i

i j i

p p q Q p

Q pp p q

p p q

< ⇒ =

= ⇒ =

> ⇒ =

8989

Her iki firmanın da aynı marjinal maliyetle (c) çalıştığını

varsayalım. i. firmanın kâr fonksiyonu:

12

( ) ( )

( ) ( )

0

i j i i i i

i j i i i i

i j i

p p p Q p cQ p

p p p Q p cQ p

p p

< ⇒ Π = −

= ⇒ Π = −⎡ ⎤⎣ ⎦

> ⇒ Π =

Kâr fonksiyonu süreksiz biçimde olduğundan en iyi tepki

fonksiyonlarını türev yoluyla elde edemeyiz. Nash dengesini,

tüm olası sonuç uzayı içinde arayacağız. Potansiyel denge, her

iki firmanın da tüm pozitif fiyat bileşimlerini içerir. Uygulanacak

fiyat, tekelci fiyattan (pm) küçük, marjinal maliyetten (c) büyük

olamaz. Diğer olasılıklar, aşağıdaki Şekil 3’de L biçimindeki

mavi alanla belirtilmiştir.

9090

9191Şekil 3. Bertrand Duopol Modelinde

Fiyatlama Kararları

2p

1pmp

mp

c

c

İki tür denge durumunu dışarıda bırakarak modelin çözümünü

yaparız. Birincisi, pozitif kâr sonuçları denge değildir. Her iki

firmanın fiyatı eşitse, bir firma çok küçük bir fiyat indirimiyle

piyasanın tamamını eline geçirir ve iki kat kâr elde eder.

Fiyatlar eşit değilse, yüksek fiyatlı firma, diğer firma fiyatının

biraz altına fiyatı çekerek sıfır kârdan pozitif kâra geçebilir. Bu

nedenle, pozitif kâr Nash dengesi için gereken koşulu

sağlayamaz.

9292

Denge, her iki firmanın da sıfır kâr elde etmesini

gerektirmektedir. Yani düşük fiyat uygulayan firma, marjinal

maliyete eşit bir fiyatlama yapmalıdır. Yüksek fiyat uygulayan

firma marjinal maliyetten yüksek bir fiyatlama yapsaydı,

marjinal maliyetten büyük, pozitif kâr elde etmiş olan ilk

firmanın yüksek fiyatından küçük bir fiyat aralığı oluşurdu. Bu

nedenle, Nash dengesi olmaya aday tek olası durum şudur:

9393

* * * *1 1 1 1, 0p p c= = Π = Π =

Bunun bir denge olduğunu görebilmek için, bir firma fiyatını

düşürdüğünde negatif kâr elde edeceğini, fiyatını yükselttiğinde

de sıfır düzeyinde kalacağına dikkat edelim. Nash dengesi,

dengedeki stratejiden daha yüksek bir kazanç sağlayan strateji

çiftinin olmamasını gerektirmektedir.

Görüldüğü gibi Bertrand-Nash dengesi, Cournot-Nash

dengesinden çok farklıdır. Şimdi de ürün farklılaştırması altında

Bertrand modelini inceleyelim.

9494

9595

ÜÜrrüün Farkln Farklıılalaşşttıırmasrmasıı

Ürün farklılaştırması varsa, düşük ve yüksek fiyat stratejisi

önemini yitirir. i. firmanın üretiminin, fiyatın doğrusal bir

fonksiyonu olduğunu varsayalım:

, 0 1i i jq a p bp b= − + < <

9696

Her iki firma için de marjinal maliyetin sabit ve aynı (c)

olduğunu varsayıyoruz. i. firmanın kâr fonksiyonu:

( ) ( ) ( )i i i i i i i i jp q cq p c q p c a p bpΠ = − = − = − − +

Maksimizasyon birinci sıra koşulu oluşturalım ve buradan en iyi

tepki fonksiyonunu bulalım.

2 02 2

ii j i j

i

a c ba p bp c p pp

∂Π + ⎛ ⎞= − + + = → = + ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Her iki firmaya ait tepki fonksiyonları aşağıdaki Şekil 4’de

gösterilmiştir. a>c olduğundan, her iki firma fiyatı, marjinal

maliyetten büyüktür. Ayrıca tepki fonksiyonları, Cournot

modelindekinin tersine, pozitif eğimlidir. Her bir firma rakibinin

fiyat artışına, kendi fiyatını artırarak tepki veriyor. Fiyatlama

stratejisi, piyasa payına da değil, kârı korumaya yöneliktir.

9797

9898Şekil 4. Fiyat Farklılaştırması Modelinde

Tepki Fonksiyonları

045

1R

2R

E

2p

1p

2a c+

2a c+

9999

Birinci sıra koşullardan elde ettiğimiz tepki fonksiyonlarını

eşanlı olarak çözersek, denge fiyatlarını elde ederiz.

1 2 2 1

* *1 2

,2 2 2 2

2

a c b a c bp p p p

a cp pb

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+= =

−

100100Rant Kollama DavranRant Kollama Davranışıışı

Bu uygulamada, belirli miktardaki bir iktisadi pastanın,

rekabetçi çerçevede paylaşımını inceleyeceğiz. Bazı durumlarda

iktisadi karar birimleri ranttan pay alabilmek için rekabetçi

davranış sergilerler. Örneğin vergi indirimlerini ya da gümrük

koruma oranlarının düşürülmesini isteyen sanayi lobilerinin bu

davranışı birer rant kollama davranışıdır.

101101

Bu türden rantlar elde edebilmek için, girişimciler bir de

harcamaya katlanırlar. Elde edilecek rantın büyüklüğü, bunun

için yapılacak harcamaya bağlıdır. Rant kollama davranışı

bireysel olarak rasyonel olmakla birlikte, tüm oyuncular

açısından kazanç azaltıcıdır.

İlk olarak iki oyunculu bir modeli dikkate alalım, daha sonra

bunu n oyunculu duruma genelleştirelim.

R kadar bir iktisadi rantı paylaşan iki oyuncu varsayalım. Her

bir oyuncu ranttan pay alabilmek için belirli bir harcama da

yapmaktadır. Sırasıyla x1 ve x2 birinci ve ikinci oyuncunun bu

harcamasını göstersin. Her bir oyuncunun ranttan alacağı pay,

rant için yapılan toplam harcamadaki harcama payına eşit

olsun:

ii

i j

xs

x x=

+

102102

103103i. oyuncunun kazanç fonksiyonu:

ii i i i

i j

xs R x R x

x x⎛ ⎞

Π = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Birinci sıra koşul:

( )( )2 1 0i j ii

i j ji i j

x x xR x x R x

x x x

⎛ ⎞+ −∂Π ⎜ ⎟= − = → = −⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠

104104

Oyuncular simetrik olduğundan, harcama düzeyleri dengede

eşit olacaktır.

*

4Rx xR x x= − → =

Aşağıdaki Şekil 5, oyuncuların en iyi tepki fonksiyonlarını ve

dengeyi göstermektedir. Tepki fonksiyonlarının doğrusal

olmadığına dikkat edelim.

Bunu yorumlayabilmek için 2. oyuncuyu dikkate alalım. Tepki

eğrisinin pozitif eğime sahip bölümünde 2. oyuncu rantın

yarısından çoğunu alır. Eğrinin negatif eğimli bölümünde ise,

bunun tersi geçerlidir. Dengede toplam rantların yarısı, iki

oyuncu arasında eşit paylaşılmıştır. Geri kalan yarı ise, verimsiz

rant harcamasına gitmiştir.

105105

106106Şekil 5. Rant Kollama DavranışıModelinde Tepki Fonksiyonları

0451R

2R

E

2x

1x

*2 4

Rx =

R

R*1 4

Rx =

107107

Şimdi rant kollama davranışı modelini n oyunculu duruma

genelleştirelim. Her bir oyuncunun rant payı:

1,

ni

i jj

xs X x

X =

= = ∑

i. oyuncunun kazanç fonksiyonu:

1

in

i ij

j

xR xx

=

⎛ ⎞⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑

108108Birinci sıra koşul:

12

1

1 0

n

j iji

ni

jj

x x

Rx

x

=

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

∂Π ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑

Tüm oyuncuların simetrik olduğunu düşünerek x ’i çözelim.

( )*

2 2

11 0nx x nR x Rnnx

− −− = → =

109109

Toplam rant harcaması ve oyuncuların kazanç fonksiyonları da

şöyle oluşacaktır.

* *

** *

* 2

1nX nx Rn

x RR xX n

−= =

Π = − =

110110Şimdi karşılaştırmalı durağanlığı kullanarak, oyuncu sayısındaki

değişimin denge değerini nasıl değiştirdiğine bakalım:

* 2

4 3

*

2 2

*

3

2 ( 1) 2 0 , 2

( 1) 1 0

2 0

x n n n nR R nn n n

X n n R Rn n n

Rn n

∂ − − −= = < >

∂

∂ − −= = >

∂

∂Π −= <

∂

111111

Kamusal MallarKamusal Mallar

Yukarıda incelediğimiz rant kollama davranışı modelinde sabit

miktardaki bir ekonomik kaynak (çıkar) oyuncular arasında, her

bir oyuncunun bu ranttan pay almak için yaptığı rekabetçi

harcama ölçüsünde bölüşülmekteydi. Buradaki uygulamada

rant oyuncuların harcamasına bağlıdır ve kamusal mal

niteliğindedir.

112112

Tam kamusal mallar (örneğin devlet televizyonu) iki özelliğe

sahiptir: Birincisi, oyunculardan birinin tüketim artışı, diğerinin

tüketim düzeyini düşürmez. İkincisi, bu tür malın üretimine

katkı yapmayanlar, tüketimden dışlanamazlar.

113113

Bu uygulamada şu sorulara yanıt arayacağız.

1. Bireysel olarak seçilen Nash dengesi katkısı, toplumsal ola-

rak optimal midir?

2. Oyuncu sayısındaki değişim, Nash dengesindeki ve toplumsal

optimal olan kamusal mallar düzeyini nasıl etkilemektedir?

114114

xi , i. oyuncunun harcama ya da kamusal mala katkı düzeyini

göstersin. Kamusal malın sağlayacağı toplam yarar (B), toplam

harcamanın bir fonksiyonudur:

1( ) ,

n

jj

B B X X x=

= = ∑

115115

Yarar fonksiyonunun konkav olduğunu, yani kamusal mallara

yapılan harcama artışının azalan marjinal getiriye sahip

olduğunu varsayalım.

2 2

2 2( ) 0 , ( ) 0i i

B B B BB X B XX x X x∂ ∂ ∂ ∂′ ′′= = > = = <∂ ∂ ∂ ∂

Bir bireyin kazancı, kamusal malın yararı eksi kamusal malı

sağlamak için oyuncu tarafından yapılan harcamadır:

( )i iB X xΠ = −

116116

Kazancın maksimizasyonu için gereken birinci ve ikinci sıra

koşullara bakalım:

2

2( ) 1 0 , ( ) 0i i

i i

B X B Xx x

∂Π ∂ Π′ ′′= − = = <∂ ∂

117117

Birinci sıra koşulların çözümünden, X* değerini elde ederiz.

Birinci sıra koşulda n yer almadığından, toplam harcama

kamusal malın denge düzeyi, oyuncu sayısından bağımsızdır.

Toplumsal optimalite için de, kamusal maldan kaynaklanan

toplam net yararların maksimize edilmesi gerekir. Toplam net

yararlar, her bir bireyin kazançlarının toplamıdır:

( )1 1

( ) ( )n n

j jj j

B X x nB X X= =

Π = Π = − = −∑ ∑

118118Birinci ve ikinci sıra koşullara bakalım:

**

2*

2

1( ) 1 0 ( )

( ) 0 ( ) 1

j

j

nB X B XX n

nB X B XX

∂Π′ ′= − = → =

∂

∂ Π′′ ′= < =

∂

Toplumsal Optimal

Nash Dengesi

Birinci sıra koşulun çözümünden elde ettiğimiz sonuç, Nash

dengesi ile toplumsal optimalın farklı olduğunu göstermektedir.

Şekil 6, kamusal mal düzeylerini göstermektedir.

119119Şekil 6. Kamusal Mallar Durumunda

Toplumsal Optimalite ve Nash Dengesi

X

1

( )B X′

*X **X

1n

( )B X′

B(X) içbükey olduğundan, marjinal yarar fonksiyonu B′(X),

negatif eğimlidir. Özel Nash dengesinin (X*), toplumsal

optimaldan (X**) küçük olmasının nedeni, her bireyin kamusal

mal için yaptığı katkının, diğer bireyler için dışsal yararlar

yaratmasıdır. Bireysel maksimizasyon da bu yararlar göz

önünde bulundurulmamaktadır.

120120

121121

Ayrıca etkinsizlik derecesi (iki çözüm arasındaki fark), n

arttıkça büyür. Tüketici sayısının artması, bireysel tüketicinin

diğer katkı yapanlar üzerinden bedavacılığını artırır. Bunun

sonucu olarak da fark büyür.

TTÜÜMEL BMEL BİİLGLGİİYE YE

DAYALI DDAYALI DİİNAMNAMİİK K

OYUNLAROYUNLAR

Önceki bölümde, oyuncuların eşanlı seçim yaptıkları statik

oyunları inceledik. Şimdi oyuncuların peşi sıra seçim yaptıkları

dinamik oyunları inceleyelim. Bu tür oyunlar, iktisadi ilişkilerin

tarihsel bir süreçte geliştiği durumlara uygundur. Bir piyasada

yerleşik olan firmaların, kararlarını piyasa için potansiyel

firmaların girip girmeyeceği hesapları üzerine kurması buna bir

örnektir.

123123

Ayrıca piyasadaki yerleşik firmalar arasındaki pazarlık süreci de

dinamik oyunlar ile incelemeye uygundur. Statik oyunlarda

kazanç matrisi, tepki fonksiyonu gibi araçları kullandık. Ancak

bu araçlar dinamik oyunlara uygun değildir. Dinamik oyunda Dinamik oyunda

strateji bir hareket destrateji bir hareket değğil, oyun anil, oyun anıında olunda oluşşabilecek tabilecek tüüm olasm olasıı

durumlar kardurumlar karşışıssıında bir oyuncunun hareketlerinin bnda bir oyuncunun hareketlerinin büüttüünsel bir nsel bir

tantanıımmııddıır.r.

124124

Statik oyundaki normal biçimi dinamik bir oyunda

kullandığımızda, peşi sıra gelen hareketleri göstermemiz

olanaksızlaşır. Bu nedenle yayvan biyayvan biççimim adını verdiğimiz bir

araç kullanırız. Yayvan biçim, oyundaki dizimsel hareketleri en

iyi anlatabilecek olan oyun ağacı ile betimlenmektedir.

125125

Statik ve dinamik oyunlar arasındaki fark yukarıda söz ettiğimiz

bir araç yöntemi farkından ibaret değildir. Statik oyunlarda

çözüm Nash dengesi ile ifade edilmektedir. Ancak bu kavram

dinamik oyunlar için çok yetersizdir. Dinamik oyunlarda Nash

dengesi, oyuncuların başat altı hareketleri (stratejileri değil)

seçmelerine olanak sağlanması anlamında mantıksız sonuçları

içerebilir.

126126

Dinamik oyunlarda Nash dengesinin güçlü biçimi, alt oyunlualt oyunlu--

tam Nash dengesitam Nash dengesi olarak ifade edilmektedir. Şimdi yayvan

biçime ilişkin tanımdan başlayarak, ayrıntılı incelemesine

girişelim. Oyunlarda oyuncular 0,1,.....,n biçiminde numaralan-

dırılmıştır. 0 doğayı, yani n sayıda oyuncu asıl kararları alırken,

oluşabilecek tesadüfi olayları temsil etmektedir.

127127

128128

Bir oyunun yayvan biçimi şunları tanımlar:

1. Oyuncular kümesini.

2. Hareketlerin sırasını.

3. Oyuncunun yer alabileceği her bir hareketteki olası

davranışlarını ve bu olası davranışları ile olasılık dağılım

fonksiyonunca tanımlanmış olan doğa karşısındaki

hareketleri.

129129

4. Her bir harekette bir oyuncunun sahip olacağı bilgiyi.

5. Her olası hareket bileşimlerine karşılık gelen n oyuncunun

kazançları.

Oyun ağacının en basit biçimini tanımlayarak başlayalım: İki

seçim ve bir oyuncu. Oyun ağacı, çok sayıda dallar ve bu

dalların birleştiği (ya da alt dallara ayrıldığı) noktalardan

oluşur. Bağlantı noktaları kararları ya da sonuçları, dallar da

mevcut kararları gösterir.

130130

Şekil 7’de bir oyunculu oyun ağacı gösterilmiştir. Oyuncu iki

olası karara sahiptir. L ve R. Başlangıç noktası, 1. oyuncunun

karar noktası olması anlamında 1’dir. Sol ve sağ dalların

ucundaki noktalar, varış noktalarıdır ve kazançları

göstermektedir. Bu oyunda denge, bireye en yüksek kazancı

sağlayan davranışın seçilmesidir.

131131

Şekil 7. Tek Oyunculu Modelde Oyun Ağacı

1

L R

LΠ RΠ

Buna benzer biçimde, iki oyunculu dinamik oyunu da

oluşturabiliriz. Bir yatırım kararı oyununu dikkate alalım. Her

bir firma piyasaya girişe olanak sağlayan bir yatırımı yapıp

yapmama kararı karşısında seçim yapma durumunda bulunsun.

Firma yatırım yapmazsa, piyasa dışında kalır ve sıfır kâr elde

eder. Bu örneği eşanlı kararların verildiği bir statik oyun olarak

görmüştük.

132132

133133

Kararlar peşi sıra (dizimsel) verilirse ne olur? 1. oyuncunun ilk

karar veren olduğunu kabul edelim. 2. oyuncu, 1. oyuncunun

davranışını öğrendikten sonra kendi kararını verecektir. Bu

oyunun ağacı Şekil 8 ile verilmiştir. Şekilde E piyasaya girişi, S

piyasa dışında kalma kararını; Π kârı, -L zararı simgelemek-

tedir. Kazanç bileşimlerindeki ilk kazanç 1. oyuncuyu, diğeri 2.

oyuncuyu göstermektedir.

134134

Şekil 8. Dizimsel Oyun

1E S

E S SE

,L L− − ,0Π 0,Π 0,0

2 2

135135

Bu oyunda dengeyi bulabilmek için geriye dogeriye doğğru tru tüümevarmevarıımm

tekniğini kullanacağız. Bu teknik şunları içerir:

1. Oyundaki son karar noktasının incelenmesi.

2. Oynanmamış davranışların elenmesi.

3. Bu elenmiş davranışların silinmesi.

4. Oyun ağacının yeniden çizilmesi.

5. Yukarıdaki sürecin yinelenmesi.

136136

Yukarıda ele aldığımız iki oyunculu (firmalı) yatırım oyununda

son karar noktası, 2. oyuncununkidir. 1. firma (oyuncu)

piyasaya giriş kararı aldığında (ağacın sol dalı), 2. firma için en

iyi seçim piyasa dışında kalmaktır (çünkü piyasaya giriş kararı

verirse, L kadar zarar edecektir). 1. firma piyasa dışında kalma

kararı aldığında (sağdaki dal), 2. firma için en iyi karar

piyasaya giriş yapmaktır. Şekil 9, bu durumlar dikkate alınarak

yeniden çizilmiş olan budanmbudanmışış oyun aoyun ağğacacıınnıı göstermektedir.

137137

Şekil 9. Dizimsel Oyun: Geriye Doğru Tümevarım ve Budama

1E S

S E

,0Π 0,Π

2 2

138138

Şimdi oyunu çözebiliriz. Her iki oyuncunun da rasyonel

olduğunu ve rasyonelliğin de herkesçe bilindiğini varsayıyoruz.

Bu durumda, 2. firmanın rasyonel davranışı gerçekleştireceğini

bilen 1. firma, kendisi için rasyonel olan piyasaya girişi

seçecektir. Çünkü bu durumda, kendisi Π kadar bir pozitif kâr,

rakibi de sıfır kâr elde etmektedir. Bu nedenle denge, 1.

firmanın piyasaya girme kararı, 2. firmanın piyasa dışında

kalma kararıdır.

139139

Bilgi KBilgi Küümesimesi

Yukarıdaki piyasaya giriş kararı örneğinde 2. firma, 1. firma

kararından sonra karar alacağını bilmekteydi. Fakat 2. firma

bunu başından bilmeseydi ne olurdu? Şimdi eşanlı bir karar

verme süreci çerçevesinde oyun ağacını inceleyelim. Bunun için

bilgi kümesi kavramını tanıyalım.

Bir bilgi kümesi, aynı karar dallarına sahip olan fakat oyunun

hangi karar noktasına ulaşıp ulaşmadığını bilmeyen bir

oyuncunun karar noktaları bütünüdür.

Tüm bilgi kümesinin tek karar noktalarından oluştuğu oyunlar,

tam bilgiye dayaltam bilgiye dayalıı oyunlaroyunlar olarak ifade edilmektedir. Eğer bazı

oyunlarda karar noktaları tek değilse, eksik bilgiye dayaleksik bilgiye dayalıı

oyunlaroyunlar söz konusudur.

140140

Şekil 10, piyasaya giriş oyununun eşanlı-hareket durumunu

göstermektedir. Bu, eksik bilgiye dayalı statik oyunun yaygın

biçimdeki gösterimidir. Kesikli çizgi, 2. oyuncu için bir bilgi

kümesidir. Kesikli çizgi, 2. oyuncunun piyasaya giriş yapma ya

da yapmama kararlarından birini seçeceği bir karar noktasında

bulunduğunu, ancak 1. firmanın hangi kararı almış olduğunu

bilmediğini göstermektedir. Şekil 11, Şekil 10’un alternatif bir

gösterimidir. Her iki şekilde özdeştir.

141141

142142

Şekil 10. Eşanlı Yatırım Oyunu: I

1E S

E S SE

,L L− − ,0Π 0,Π 0,0

2 2

143143

Şekil 11. Eşanlı Yatırım Oyunu: II

2E S

E S SE

,L L− − ,0Π 0,Π 0,0

1 1

144144

Belirsizlik ve TesadBelirsizlik ve Tesadüüfi Durumlara Gfi Durumlara Gööre Hareketre Hareket

Yeniden yukarıdaki piyasaya giriş örmeğimizi dikkate alalım ve

potansiyel tüketici talebinde bir belirsizlik olduğunu

varsayalım. İki piyasa ölçeği dikkate alalım. Büyük ölçekli

piyasa (L) ve orta ölçekli piyasa (M).

145145

Büyük ölçekli piyasaya her iki firmanın da giriş yaparak pozitif

kâr elde edebileceğini; orta ölçekli piyasada ise yalnızca bir

firmanın pozitif kâr elde edebileceğini varsayalım. q , büyük

piyasa olma olasılığını; 1-q , orta ölçekli piyasa olma olasılığını

göstersin.

146146

Şekil 12-15, bu oyunun dört olası durumunu göstermektedir.

İlk iki şekil dizimsel oyunu (1. oyuncu ilk karar veren ve

açıklayandır), diğer ikisi eşanlı oyunu betimlemektedir. Sonuç

noktalarında pozitif kazançlar (+), zarar (-) ile simgelenmiştir.

Şekil 12, tüm bilgi kümelerinin tek karar noktasından oluştuğu

bir durumu göstermektedir. Bu nedenle, bu oyunda:

147147

1. Piyasa büyüklüğü (ölçeği) tesadüfi olarak belirlenmektedir.

2. Firmalar piyasa büyüklüğünü (L ya da M) öğrenmektedir.

3. 1. firma piyasaya giriş (E) ya da piyasa dışında kalma (S)

seçeneklerinden birini seçmektedir.

4. 2. firma, 1. firmanın kararını öğrendikten sonra piyasaya

girme ya da dışında kalmaya karar vermektedir.

148148

Şekil 12. Tesadüfi (Bilinen) Talep

N

L M

E S SE

1 1

q 1 q−

E S E S E S E S2 2 2 2

,+ + ,0+ 0,+ 0,0 ,− − ,0+ 0,+ 0,0

Şekil 13 firmaların yine dizimsel seçim yaptıkları, ancak bu

sefer piyasa büyüklüğünü bilmeden karar aldıkları bir oyunu

göstermektedir. Bu durumda 1. firma için iki karar noktası tek

bilgi kümesi anlamına gelir. 2. firma içinse iki bilgi kümesi

vardır. Bunlardan birisi, 1. firmanın piyasaya girmesi (ancak

piyasa büyüklüğünü bilmiyor), ikincisi de piyasa dışında

kalması (yine piyasa büyüklüğünü bilmiyor) durumlarında

oluşmaktadır.

149149

150150

Şekil 13. Tesadüfi (Bilinmeyen) Talep

N

L M

E S SE

1 1

q 1 q−

E S E S E SE S

2 2 2 2

,+ + ,0+ 0,+ 0,0 ,− − ,0+ 0,+ 0,0

151151

Şekil 14. Eşanlı Hareketler ve Bilinen Talep

N

L M

E S SE

1 1

q 1 q−

E S E S E S E S2 2 2 2

,+ + ,0+ 0,+ 0,0 ,− − ,0+ 0,+ 0,0

152152

Şekil 15. Eşanlı Hareketler ve Bilinmeyen Talep

N

L M

E S SE

1 1

q 1 q−

E S E S E S E S

2 2 2 2

,+ + ,0+ 0,+ 0,0 ,− − ,0+ 0,+ 0,0

153153

Yayvan BiYayvan Biççimli Oyunlarda Dengeimli Oyunlarda Denge

Statik oyunlarda olduğu gibi, dinamik oyunlarda da Nash

dengesi vardır. Ancak çok zayıf olması nedeniyle, dinamik

oyunların çözümünde Nash dengesi kavramını kullanamayız.

Nash dengesinin çok zayıf olmasından, bazı yayvan oyunların

anlamsızlığını kastediyoruz.

Anlamlı ve anlamsız Nash dengesini ayırt edebilmek için, alt-

oyun kavramını tanımamız ve yayvan biçimli bir oyunda

stratejiyi tanımlamamız gerekir.

154154

AltAlt--OyunlarOyunlar

Bir oyunun bir bölümü olan alt-oyun, şu özelliklere sahiptir:

1. Tek bir bilgi kümesine sahip bir karar noktasında başlar.

2. Başlangıç karar noktasından sonra, asıl oyunun tüm karar

noktalarını ve dallarını kapsar.

3. Asıl oyunun hiçbir bilgi kümesini kesmez.

155155

Şimdi yukarıda verdiğimiz alt-oyun tanımına bakarak, önceki

örneklerimizde yer alan alt oyunları görebiliriz. Örneğin, Şekil

12’de altı tane alt-oyun vardır. İki tanesi 1. firmanın her bir tek

karar noktasında, Dört tanesi 2. firmanın her bir tek karar

noktasında. Şekil 13’de yalnızca 1. firmanın her bir tek karar

noktasında olmak üzere iki tanedir.

156156

Şekil 13 ve 14’de tek karar noktaları bulunmadığından, alt-oyun

yoktur. Üçüncü özelliği vurgulamak açısından, piyasaya giriş

oyununun son bir olası durumunu dikkate alalım. 1. firmanın

piyasa büyüklüğünü öğrendiğini, ancak 2. firmanın ne piyasa

büyüklüğünü ne de 1. firmanın kararını bilmediğini varsayalım.

1. firma için tek karar noktası vardır. Fakat asıl oyunun alt-

oyunu yoktur. Bu, Şekil 16’da gösterilmiştir.

157157Şekil 16. Birinci Firma İçin Tam, İkinci

Firma İçin Eksik Bilgi Altında Oyun

N

L M

E S SE

1 1

q 1 q−

E S E S E S E S

2 2 2 2

,+ + ,0+ 0,+ 0,0 ,− − ,0+ 0,+ 0,0

158158StratejilerStratejiler

Eşanlı hareketli bir oyunda strateji, doğrudan yapılan eylemdir.

Örneğin Cournot duopol modelinde firmanın stratejisi, üretim

miktarının seçilmesiydi. Buna karşın dinamik oyunlarda

oyuncular yalnızca bir eylemi değil, aynı zamanda karşı eylemi

de gerçekleştirirler. Aynı zamanda, oyunun ilerleyen

aşamalarında oluşabilecek tüm durumlarda nasıl bir karşı

eylemde bulunacağını da planlar. Dolayısıyla dinamik bir

oyunda strateji tanımı, bu unsurları içerir.

159159

Buna göre dinamik oyunda strateji;

Bir oyuncunun oyun ağacındaki tüm olası karar noktalarını

dikkate aldığı eylemleri tanımlayan geniş kapsamlı bir plandır.

Bu tür bir plan oyunun kronolojik sürecine bağımlı olabilir ve

karma stratejileri içerebilir.

Yayvan biçimli bir oyunda strateji kavramını, farklı bir piyasaya

giriş oyunuyla görelim. 1. firma hali hazırda piyasada faaliyet

gösteriyor olsun. 2. firma ise piyasaya giriş yapıp yapmama

kararını verecektir. 2. firmanın piyasaya giriş kararı karşısında,

1. firma yüksek fiyat (H) ve düşük fiyat (L) stratejilerini

seçebilecektir.

160160

Şekil 17’de bu oyun yer almaktadır. 2. firma bir karar

noktasına, iki de eyleme sahiptir. Strateji seçimleri piyasaya

giriş (E) ve piyasa dışında kalmaktır (S). 1. firma iki eyleme (H

ya da L), dört stratejiye sahiptir. Tüm olasılıklar çerçevesinde

bir strateji, bir eylem tanımlar.

161161

162162

Burada 1. firma için bir strateji, bir çift olası eylem demektir:

Birincisi 2. firma piyasaya giriş yaparsa, ikincisi de piyasa

dışında kalırsa ortaya çıkmaktadır. 1. firma için olası strateji

kümesini yazalım:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 , , , , , , ,S H H H L L H L L=

163163

Şekil 17. İkinci Firmanın Yatırım KararıArdından Birinci Firmanın Fiyatlama Kararı

2

E S

H L

,+ + ,− − ,0+ ,0−

1 1H L

164164

AltAlt--Oyun Tam Nash DengesiOyun Tam Nash Dengesi

Nash dengesinin dinamik oyundaki tanımı, statik oyundakiyle

aynıdır: Eğer oyuncular farklı bir strateji seçmek için bir neden

görmüyorlarsa, bu durum Nash dengesidir. Nash dengesini

bulabilmek için normal biçimli bir oyundan yararlanalım.

165165

Kazanç matrisi şöyledir:

2. Firma

0

0

, ,0

, ,0

, ,

, ,

E SH H

H L

L H

L L

+ +

+

+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎦

+

−

+

⎣

1. Firma

166166

Yukarıdaki kazanç matrisinde her bir oyuncunun rakibinin

strateji seçimi karşısındaki en iyi tepkisi altı çizgili (renkli)

gösterilmiştir. Aynı anda altı çizili olan üç seçim, Nash

dengesidir. Bunları E1, E2 ve E3 olarak gösterelim.

2. Firma1. Firma

1 :E ( , )H H E

2 :E ( , )H L E

3 :E ( , )L H S

167167

Bu oyunda üç Nash dengesi olmasına karşın, E2 ve E3 sorunlu

dengelerdir. Şekil 17’yi yeniden inceleyerek bunu görebiliriz. 2.

firma piyasaya giriş kararı aldığında, 1. firma için en iyi alt-

oyun yüksek fiyat uygulamaktır. Aynı durum, 2. firma piyasa

dışında kalmaya karar verdiğinde de geçerlidir.

168168

Dolayısıyla her iki alt-oyunda da H başattır. Ancak E2 ve E3

Nash dengesi olmakla beraber, potansiyel olarak başat-altı

oyunları da (düşük fiyatlama) içermektedir.Her hangi bir

nedenle 2. firma kendisi için en iyi olan stratejiden sapma

gösterirse, 1. firmanın rasyonel seçim yapması olanak dışı olur.

Asıl oyunun tüm alt oyunlarında bir strateji kümesine

dayanarak yapılan eylemler Nash dengesine yol açıyorsa,

yayvan biçimli oyundaki bu strateji kümesi alt-oyun tam Nash

dengesidir.

Statik oyunlar için kullandığımız Nash dengesi kavramını,

dinamik oyunlarda alt-oyun tam Nash dengesi olarak

kullanıyoruz. Bir tam bilgiye dayalı oyunda geriye doğru

tümevarım tekniğiyle, alt-oyun tam Nash dengesi aynı

şeylerdir. Dinamik oyunlar, karma strateji dengesine sahip

olabilirler.

169169

170170

AltAlt--Oyun Tam Nash Dengesi iOyun Tam Nash Dengesi iççin in ÖÖrnekrnek

Şimdiki örneğimiz iki oyunculu, sürekli değişkenler içeren bir

biçime sahiptir. Oyunun kurgusu şöyledir:

1. 1. oyuncu x1 eylemini seçer.

2. 2. oyuncu bunu izler ve ardından x2 eylemini seçer.

3. Oyuncular П1(x1,x2) ve П2(x1,x2) fonksiyonlarınca tanımlanan

kazançları elde ederler.

171171

Bu problemi çözmek için, asıl oyunun alt-oyunu olan 2.

oyuncunun x2 seçimiyle başlarız. 2. oyuncunun kazancının

maksimizasyonu problemini çözeriz. 2. Oyuncu için birinci sıra

koşul:

2 1 2

2

( , )0

x xx

∂Π=

∂

172172

Bu denklemin çözümünden, biçimindeki tepki fonksi-

yonunu bulabiliriz. 2. oyuncunun stratejisini belirledikten

sonra, 1. oyuncunun kararına bakarız. Ortak rasyonellik

varsayımını benimsersek, 1. oyuncu, 2. oyuncunun rasyonel

seçim yapacağını düşünecektir. Buna göre 1. oyuncunun kazanç

fonksiyonunu ve birinci sıra koşulu yazalım:

*2 2 1( )x R x=

( ) ( )

( )

*1 1 2 1 2 1

1 1 2 1 1 1 2

1 1 2 1

, , ( )

, ( )0

x x x R x

d x R x Rdx x x x

Π =

Π ∂Π ∂Π ∂= + =∂ ∂ ∂

Yukarıdaki birinci sıra koşul iki etkiyi barındırmaktadır. Birinci

terim statik oyun dengesi (eşanlı), ikinci terim dizimsel

seçimlere sahip dinamik oyun dengesini yansıtmaktadır.

Şimdi daha önce verdiğimiz bir örnekteki sayısal kazanç

fonksiyonlarını kullanarak açık çözüm elde edelim.

173173

1741742

1 1 1 1 2 1

22 2 2 1 2 1

10 3

10 2

x x x x x

x x x x x

Π = − − −

Π = − − −

Statik oyundaki en iyi tepki fonksiyonları şöyleydi:.

( ) ( )1 11 1 2 2 2 2 1 12 2

* *1 1 2 2

( ) 7 , ( ) 8

2 , 4 , 3 , 9

x R x x x R x x

x x

= = − = = −

= Π = = Π =

175175

Şimdi de ilk olarak 1. oyuncunun oyuna başladığı bir dinamik

model düşünelim. Statik oyunda elde ettiğimiz (2. oyuncuya

ait) tepki fonksiyonu, 2. oyuncunun strateji kuralını oluşturur.

Bu fonksiyonu 1. oyuncunun kazanç fonksiyonuna uygulayarak,

denge değerini bulabiliriz.

( ) ( )

( )

( )

21 1 1 1 2 1

2 11 1 2 1 1 1 1 1 12

211 1 2 1 1 12

1 1 2 11

1

* *1 1 2 2

10 3

, ( ) 10 8 3

, ( ) 3

, ( )3 0

3 , 4.5 , 2.5 , 6.25

x x x x x

x R x x x x x x

x R x x x

d x R xx

dx

x x

Π = − − −

⎡ ⎤Π = − − − −⎣ ⎦

Π = −

Π= − =

= Π = = Π =

176176

Statik ve dinamik oyunların sonuçlarını karşılaştırdığımızda,

dinamik oyunda 1. oyuncunun oyuna ilk başlayan olma

avantajıyla daha iyi bir sonuç elde ettiğini görebiliriz. Ancak

buradaki sonuçtan, tüm oyunlarda ilk hareket eden olmanın

avantaj sağladığı sonucunu çıkaramayız. Sonuçlar, oyunun

yapısına bağlıdır.

177177

İİki Aki Aşşamalamalıı OyunlarOyunlar

İki aşamalı oyun, bir oyunun diğerini izlediği biçimde bir

oyundur. İktisadi uygulamalara baktığımızda, genellikle ilk

oyun aşamayı ya da oyun ortamını oluşturur; ikinci aşamada da

oyun oynanır. Örneğin ilk aşamada firmalar ürün kalitesini,

ikinci aşamada da fiyatı belirlerler. Bir başka örneği de dış

ticaretten verebiliriz. İlk aşamada hükümet, dış ticarete katılan

firmalar için birinci aşama (ya da çevresel koşullar) olan dış

ticaret politikasını belirler, ikinci aşamada firmalar ihracat ve

ithalat kararlarını verirler.

178178

Şimdi her aşamada eşanlı, ancak aşamalar arasında dizimsel

olan oyunlar üzerinde duracağız. Hareketlerin de kesikli değil,

sürekli olduğunu varsayıyoruz. İlk aşamada 1. ve 2. oyuncular

sırasıyla x1 ve x2 seçimlerini yaparlar. 3. ve 4. oyuncular bu

seçimi izledikten sonra, ikinci aşamada eşanlı olarak kendi

seçim kararlarını (x3 ve x4) verirler.

179179

Alt-oyunun tamlığı, asıl oyunda dengenin var olabilmesi için,

ikinci aşamadaki alt-oyunda da Nash dengesinin var olmasını

gerektirir. İkinci aşama alt-oyunu x1 ve x2 seçimlerini veri

almaktadır. Bu nedenle 3. ve 4. oyuncular, kendi kazanç

fonksiyonlarını maksimize edecek olan x3 ve x4 seçimlerini

gerçekleştirirler.

180180

181181

( )

( )

( ) ( )

3 3 1 2 3 4

4 4 1 2 3 4

3 4

3 4

* *3 3 1 2 4 4 1 2

, , ,

, , ,

0 , 0

, , ,

x x x x

x x x x

x x

x R x x x R x x

Π = Π

Π = Π

∂Π ∂Π= =

∂ ∂

= =

182182

Burada dikkati çeken nokta, x1 ve x2 seçimleri içsel olmakla

beraber, x3 ve x4 seçimleri yıldız (asteriks) işaretiyle gösterilmiş

olmasıdır. Bu sanal sıkıntıyı aşmanın yolu, yeniden birinci

aşamaya dönerek, 1. ve 2. oyuncular için kazanç

maksimizasyonunu, ve veriyken belirlemektir. *3x *

4x

183183

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1 1 2 3 1 2 4 1 2

2 2 1 2 3 1 2 4 1 2

31 1 1 1 4* *

1 1 3 1 4 1

32 1 1 1 4* *

2 2 3 2 4 2

, , , , ,

, , , , ,

0

0

x x R x x R x x

x x R x x R x x

Rd Rdx x x x x x

Rd Rdx x x x x x

Π = Π

Π = Π

∂Π ∂Π ∂Π ∂Π ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂Π ∂Π ∂Π ∂Π ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1. ve 2. oyuncular arasında oynanan basit statik oyunla, birinci

aşamada seçim yapılan dinamik oyun arasındaki farka dikkat

edelim. Dinamik oyun, birinci aşamadaki oyuncuların

kararlarının, ikinci aşama kararları üzerindeki dolaylı ya da

stratejik etkilerini içerir.

184184

185185

Tüm oyunun çözümü, dört oyuncunun da birinci sıra

koşullarından elde edilen stratejileri sağlayan alt-oyun tam

Nash dengesidir. Bu dengeyi şöyle yazabiliriz:

( ) ( ){ }* * * * * * * *1 2 3 3 1 2 4 4 1 2, , , , ,E x x x R x x x R x x= = =

186186

Yinelenen OyunlarYinelenen Oyunlar

Yinelenen oyunlar, bir başka önemli oyunlar türüdür. Örneğin

tutsaklar açmazı ya da Cournot duopol modelini yeniden

dikkate alalım. Bu oyunlar, bir statik oyunda oyuncuların

birbirlerini bir kerelik etkilemelerine izin vermektedir.

Gerçek iktisadi yaşamda oyun belirli bir dönemde oynanmasına

karşın, alınan kararların etkileri izleyen dönemlerde de

sürebilmektedir. Yani statik oyunun yinelenen oyunlarından

oluşan bir dinamik oyundan söz ediyoruz. Yinelemeler, izleyen

oyunlarda yeni beklentilerin oluşmasına yol açması bakımından

önemlidir.

187187

Örneğin tutsaklar açmazında her bir oyuncunun önünde iki

strateji vardır: işbirliği yapmak ya da işbirliğinden kaçınmak.

Yinelenen tutsaklar açmazında, strateji uzayı daha karmaşıktır.

Bir oyuncu, diğer oyuncunun geçmişte verdiği kararların etkisi

altındadır.

188188

189189

Şimdi G olarak adlandıracağımız bir statik oyunu dikkate alalım.

G(T), T kere yinelenen bir dinamik oyun olsun. Örneğin G

oyununu iki oyunculu bir tutsaklar açmazı olarak düşünelim.

Kazanç matrisi şöyledir:

2. Oyuncu

, ,

, ,

C DC R R L W

D W L P P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1. Oyuncu

190190

C, işbirliği yapma; D, işbirliğinden kaçınma; R, ödül; L, kayıp,

W, kazanma; P, ceza olarak kullanılmıştır. Aynı zamanda şu

eşitsizliklerin de sağlanması gerektiğini varsayalım:

,2

W LW R P L R +> > > >

Yukarıdaki ilk eşitsizlik tutsakların çıkmazı oyununu

tanımlamakta, ikincisi de oyuncunun işbirliğine gitmekle elde

edeceği kazancının, işbirliği ve işbirliğinden kaçınma kararları

arasında değişikliğe gitmekle elde edeceği kazancını aşacağını

söylemektedir. Daha önce ele aldığımız statik oyunda her iki

tutsak için işbirliğinden kaçınmak tek Nash dengesiydi.

191191

Şimdi oyunun T sayıda yineleme ile oynandığını varsayalım ve

son dönemi dikkate alalım. Artık bu dönemde iki tutsağın

birbiriyle işbirliğine girip girmeyeceği davranışlarının ne

olacağının bir önemi yoktur. Yani adete bir statik tutsak çıkmazı

oyunuyla karşı karşıyayızdır. Bu nedenle her iki tutsak için de

bu alt oyunun dengesi, işbirliği yapmamak stratejilerinin

seçimidir.

192192

Şimdi de T-1 dönemini dikkate alalım. Tutsaklar son dönemde

(T) işbirliğine girmeyeceklerinden, T-1 dönemi için de

işbirliğine gitmemek davranışı tek dengedir. Bu süreci geriye

doğru tümevarım tekniğiyle götürürsek, tüm dönemlerde

dinamik oyunun alt-oyun tam Nash dengesinin işbirliği

yapmamak stratejisi olduğunu söyleyebiliriz.

193193

194194

Teorem 4:Teorem 4: G, T kere yinelenen bir statik oyun olsun. G tek

Nash dengesine sahipse, tek alt-oyun tam Nash dengesi, tüm T

dönemlerinde G ’nin bu statik denge stratejisini oynamaktır.

195195

Eğer yinelenen oyunun zaman ufku sınırsızsa, gelecekte

oluşacak kazançların bugünkü değerine indirgenmesi gerekir.

Sınırsız zaman ufkunda yinelemeli bir oyunda bir oyuncunun

kazancı, her bir dönemde elde edilen kazançların toplamının

bugünkü değeridir.

196196

Oyuncunun t döneminde elde ettiği kazanca Πt ve indirgeme

oranına da δ diyelim. Buna göre bugünkü değer:

0

1, 11

tt

tV

r

∞

=

= δ Π δ = <+∑

Sınırsız zaman ufkuna sahip bir oyunda son dönem belirli

olmadığından, denge değerine geriye doğru tümevarım yoluyla

ulaşamayız. Bunun yerine, şimdi tanımlayacağımız farklı bir

yöntem kullanırız. Bu yöntemde stratejiyi, her bir t döneminde

yaptıklarının özeti olarak tanımlayabiliriz. Yani t dönemindeki

durum, oyuncunun tüm geçmiş davranışlarını göstermektedir.

197197

198198

Ancak dengenin bu şekildeki aranışı bizi sonsuz sayıda dengeye

götürebilir. Bu türden sorunlardan uzak kalmak için genellikle

belirli bir sonuca odaklanırız. Örneğin Pareto optimal sonuca

göre, herkesin kazancını aynı anda artıramayız. Tutsaklar

açmazı oyunu açısından bakarsak bu, her bir dönemde

tutsakların işbirliğine girmesi demektir.

İlk olarak iki oyunculu bir pazarlık modelini inceleyelim.

Örneğin firmalar ile sendikalar arasındaki ücret pazarlık süreci.

Önce ister al ister alma biçiminde bir sürece bakalım. Ardından,

bir anlaşmaya ulaşıncaya kadar kıyasıya bir pazarlığı ele alalım.

İkinci uygulama olarak dış ticaret teorisi çerçevesinde iki

aşamalı bir oyuna bakıyoruz. Üçüncü uygulamamız, önce birinci

firmanın ve ardından ikincinin karar aldığı bir duopol piyasada

liderlik konusu inceleniyor. Son olarak statik oligopol teori,

yinelemeli oyun olarak ele alınıyor.

199199

Dizimsel PazarlDizimsel Pazarlıık Modelik Modeli

Bu oyunda oyuncular, önerilerini zaman içinde peşi sıra

vermektedirler. Ortak bir girişim yapacak olan iki firma

düşünelim. Her bir firma teknolojisi ya da uzmanlığıyla bu

girişime katılabilir ve girişimin başarısında etkili olabilir.

Girişimin belirli bir kâr sağladığını ve bunu firmaların bildiğini

varsayalım. Firmalar açısından sorun, bu kârın nasıl paylaşıla-

cağıdır. Firmalar paylaşımda anlaşabilirlerse, girişim gerçek-

leşir, aksi halde iptal edilir.

200200

Pazarlık modelinin ilk dönemini ele alalım. x ve y oyuncularının

bir liralık bir kazancı pazarlık yoluyla nasıl paylaşacaklarına

bakalım. t0 anında x ’in s0 kadar bir pay alma önerisinde

bulunduğunu varsayalım. Buna göre y, 1-s0 kadar pay alacaktır. y

bu öneriyi kabul ederse, bu kazanç paylaşımı üzerinde

anlaşırlar. Reddederse, anlaşma olmaz ve oyun t1 döneminde

yeniden başlar. Ancak t1 dönemindeki kazancın, indirgenmesi

gerekir. Bu, anlaşma geciktikçe, taraflara bir yük gelmesi

demektir.

201201

202202

Şekil 18, bu oyunu göstermektedir. A, önerinin kabulünü, R

reddini ifade etmektedir. Oyunu çözmek için geriye doğru

tümevarım yöntemini kullanalım. Son karar noktasında oyuncu

y, x’in önerisini kabul ederse 1-s0 , reddederse δΠy kadar

(indirgenmiş) kazanç elde eder. Eğer,

0 01 1y ys s− ≥ δΠ → ≤ − δΠ

olursa, oyuncu y öneriyi kabul edecektir.

203203

Şekil 18. Bir Dönemlik Pazarlık Modelinin Oyun Ağacı

A0 0,1s s−

x

y

0s

R

,x yδΠ δΠ

204204

Şekil 19, oyuncu y ’nin seçim kuralına göre budanmış olan oyun

ağacını göstermektedir. Oyuncu x kendisi için payını

isterse, önerisi reddedilmektedir. durumu kabul

edilmektedir. x kabul edilecek bir öneri götürürse, x açısından

optimal öneri ‘dir. Bu nedenle, bu öneri oyunun

dengesidir ve x ile y sırasıyla, kazançlarını elde

etmektedirler.

0 1 ys ≤ − δΠ

0 1 ys > − δΠ

0 1 ys = − δΠ

1 ,y y− δΠ δΠ

205205

Şekil 19. Bir Dönemlik Pazarlık Modelinin Budanmış Oyun Ağacı

A

x

y

0 1 ys = − δΠ

R

y

0 1 ys > − δΠ

1 ,y y− δΠ δΠ ,x yδΠ δΠ

206206

Şimdi bir uç durum dikkate alalım. Eğer olursa, x

tüm kazancı alır: . Bu durum, y çok zayıf bir pazarlık

gücüne sahipse gerçekleşir. Diğer uç durum, ‘dir. y

bugünkü değer ( ) ölçüsünde, x bugünkü değerden daha

büyük bir kazanç elde eder:

0x yΠ = Π =

0 1s =

1x yΠ = Π =

yδΠ

0 1 1 (1 ) (1 )y x x xs = − δΠ = − δ −Π = − + δΠ >δΠδ

207207

İİki Dki Döönemli (nemli (İİki ki ÖÖnerili) Bir Pazarlnerili) Bir Pazarlıık Modelik Modeli

Bu modelde oyuncuların öneriler yapabilme fırsatlarının

bulunduğunu varsayıyoruz. Peşi sıra oluşacak hareketler

şöyledir:

1. x, s0 kadar bir öneri yapar.

2. y bunu kabul ederse oyun biter, reddederse oyun sürer.

3. y , s0 önerisini reddederse, x ’e s1 önerisini götürür.

208208

4. x , y ’nin karşı önerisini kabul ya da reddeder.

5. x karşı öneriyi reddederse, x’in s , y’nin de 1-s kadar bir

dışsal pay aldıkları bir paylaşımla oyun biter.

5. aşamada kazancın zaman içinde azalmadığı varsayılmıştır.

Ancak ödemelerin bugünkü değeri azalacaktır. Bu oyunun

ağacı, Şekil 20’dedir.

Çözüm geriye doğru tümevarım yöntemiyle yapılmaktadır. Son

karar noktasında x , gibi bir öneriyi kabul eder. y,

gereğinden fazla bir miktar önermeyeceğinden, önerisi

olarak gerçekleşir. Şekil 20, son iki kararı çözdükten sonra

çizilmiştir. Bir sonraki aşamada, s0 önerisinin kabul görüp

görmeyeceğine bakıyoruz.

1s s≥ δ

1s s= δ

209209

210210Şekil 20. İki Dönemlik Pazarlık Modelinin

Oyun Ağacı

A0 0,1s s−

x

y

0s

R

1sx

R

2 2, (1 )s sδ δ −

y

A1 1, (1 )s sδ δ −

211211

Şu koşullar gerçekleşirse, y, (1-s0) önerisini kabul eder:

( ) 20 01 1 1s s s s− ≥ δ − δ → ≤ − δ + δ

s0 ’ın maksimum değeri (δ2s), x ’in başlangıç önerisinden gelen

kazancını aşar. Denge, x tarafından önerisi yapı-

lırsa ve bu y tarafından kabul edilirse gerçekleşir. x ve y ’nin

kazançları da sırasıyla şöyledir:

* 20 1s s= − δ + δ

2 21 ,s s− δ + δ δ + δ

ise, pazarlık sürecinin denge sonucuna göre x yarıdan

fazla, y yarıdan az kazanç elde eder:

12s =

212212

* *0 0

2 2 2 21 12 2

2

1

1 1

1 2 0

s s

s s

≥ −

− δ + δ ≥ δ + δ → − δ + δ ≥ δ + δ

− δ + δ ≥

Son aşamada dışsal paylaşım eşit olsa da, kazançlar bugünkü

değere indirgendiğinde, x daha yüksek bir kazanca sahip

olacaktır.

213213

Dinamik pazarlık modelindeki son örnek modelimiz, oyuncuların

bir anlaşmaya varılıncaya kadar birbirine sürekli öneriler

getirdiği bir durumdur. Öneri sayısında herhangi bir sınır

yoktur; oyun bir sınırsızlığa sahip olabilir. Ancak ilk öneri kabul

edilirse, oyun başlar başlamaz sona erer. Şekil 21, iki dönemli

bir pazarlık sürecini, son aşamadaki kazanç noktaları çıkarılmış

biçimiyle sunmaktadır. Oyunun bu kısmına G diyelim. Sınırsız

bir yinelemeli oyunda, sonsuz sayıda yineleme peşi sıra gelir:

G(∞).

214214

Şekil 21. Yinelenen Pazarlık Oyununun Bir Aşaması

A0 0,1s s−

x

y

0s

R

1sx

R

y

A1 1, (1 )s sδ δ −

Çözüm yöntemi olarak geriye doğru tümevarımı kullanamayız.

Bu nedenle, oyunu ilk ele alış biçimimizdeki gibi, s ve 1-s

oyuncuların dengedeki kazancını göstersin. Şimdi ikinci biçime

gidelim ve oyuncuların peşi sıra öneriler yaptığını varsayalım.

Eğer bir anlaşmaya varamazlarsa, G(∞) sürecinde oyunu

sürdürürler. Kazançları s ve 1-s olur. Ancak diğer yandan iki

dönemli pazarlık modelinde x ve y’nin denge kazançlarını

sırasıyla ve olarak elde etmiştik.21 s− δ + δ 2sδ + δ

215215

216216

Aynı modelde görünürdeki bu iki farklı sonuç sıkıntısından

kurtulmak için şunu kullanalım: ya da G(∞) oyunu ile G

’nin G(∞) oyununu izlemesi özdeş oyunlardır. Buna göre, her iki

sonucun da kazançları aynıdır, Bu denklemi, s* için

matematiksel olarak çözelim:

( )s f s=

217217

( )2 2

*2

( ) 1 1 1

1 11 1

s f s s s

s s

= = − δ + δ → − δ = − δ

− δ= → =

− δ + δ

Bu sonuca göre, x ’in önerdiği ve y ’nin kabul ettiği s* yinelemeli

oyunun dengesidir. Sınırsız bir yineleme söz konusu olsa da, ilk

önerinin avantajı devam edecektir. Göreli kazançlar, indirgeme

oranına bağlıdır.

218218

İndirgeme oranı 1’den küçükken, x ’in kazancı y ’nin

kazancından yüksektir. İki öneri arasındaki zaman dilimi

küçüldükçe faiz oranı sıfıra, indirgeme oranı da 1’e yaklaşır.

Dolayısıyla her iki oyuncunun kazançları eşitlenme eğilimine

girer.

219219

Yukarıda ele aldığımız pazarlık modeli, tümel bilgi varsayımı

üzerine kuruludur. Yani oyuncular birbirlerinin kazanç

fonksiyonlarını bilmektedirler. Ancak gerçek dünyada genellikle

bu bilgiler ya eksiktir ya da asimetriktir (bakışımsız). Örneğin

bir firma ile işçi sendikası arasındaki ücret pazarlığı sürecinde

firma, gelecek dönemdeki talep ve kârlar konusunda daha çok

bilgiye sahip olabilir. Dolayısıyla firma daha iyi bir pazarlık

gücü yakalayabilir.

220220

DDışış Ticaret PolitikasTicaret Politikasıı ve Oligopolve Oligopol

Burada oligopol piyasadaki ihracat desteğini, iki aşamalı bir

oyun çerçevesinde ele almaktayız. Birinci aşamada hükümet dış

ticaret politikasını oluşturmakta, ikinci aşamada firmalar

yapacakları ihracata karar vermektedirler. Oyunu geriye dönük

tümevarımla çözüyoruz. Bu model için aşağıdaki varsayımları

yapıyoruz.

221221

1. Üç ülke vardır: X, Y ve Z.

2. X ve Y ülkelerinde, homojen mal üreten birer firma vardır (x

ve y firmaları). Z ülkesinde üretim yoktur.

3. Her bir firmanın toplam maliyet fonksiyonu: .

, ,i i iTC c q i x y= =

222222

4. X ve Y ülkelerinde mal tüketimi yoktur. Tüm üretim Z ’ye

ihraç edilmektedir.

5. Z ’deki talep fonksiyonu: , x yP a Q Q q q= − = +

6. X ve Y ülkeleri, birim ürün başına ihracat desteği (sx ve sy)

uygulamaktadır. Z ülkesi tamamen serbest dış ticaret

uygulamaktadır.

223223

Yukarıdaki varsayımlara göre x ve y firmalarının kâr

fonksiyonlarını şöyle yazabiliriz:

( )

( )

x x x x x x x y x x x x x

y y y y y y x y y y y y y

Pq c q s q a q q q c q s q

Pq c q s q a q q q c q s q

Π = − + = − − − +

Π = − + = − − − +

224224

Birinci sıra koşullar:

2 0

2 0

xx y x x

x

yy x y y

y

a q q c sq

a q q c sq

∂Π= − − − + =

∂

∂Π= − − − + =

∂

225225Birinci sıra koşulları çözelim:

*

*

* * *

* *

2 23

2 23

23

3

x x y yx

y y x xy

x y x yx y

x y x y

a c s c sq

a c s c sq

a c c s sQ q q

a c c s sP a Q

− + + −=

− + + −=

− − + += + =

+ + − −= − =

226226

Bu çözümler, firmalar için ikinci aşamadaki dengelerdir. Birinci

aşamada ülke hükümetleri, iktisadi refah düzeyini maksimize

edebilmek için dış ticaret politikasını belirlemektedirler. Her bir

ülkenin mal ihracatından elde ettiği özel kazanç, firma

kârlarıdır. Tüm ülkedeki net refah artışını ise, toplam kâr

düzeyinden toplam ihracat desteğini düşerek buluruz.

227227

X ve Y ülkelerinin iktisadi refah fonksiyonları:

( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y

W s q P c s q s q P c q

W s q P c s q s q P c q

= Π − = − + − = −

= Π − = − + − = −

228228

İkinci aşamada elde ettiğimiz optimal değerleri, bu refah

fonksiyonlarındaki yerlerine yazarak, refah fonksiyonlarını

tümüyle parametrelere ve dış ticaret politikalarına

bağlayabiliriz:

2 2 23 3

2 2 23 3

x y x y x x y yx

y x y x y y x xy

a c c s s a c s c sW

a c c s s a c s c sW

− + − − − + + −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− + − − − + + −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

229229

Her bir ülke, refah düzeyini maksimize edecek olan dış ticaret

politikasını seçecektir.

* *

2 4 0

2 4 0

3 2 3 2,

5 5

xx y x y

x

yy x y x

y

x y y xx y

Wa c c s s

s

Wa c c s s

s

a c c a c cs s

∂= − + − − =

∂

∂= − + − − =

∂

− + − += =

230230

Bu sonuçtan ilk olarak şunu çıkarabiliriz: Her iki ülke pozitif

miktarda ihracat yaparsa, destekleme oranları da pozitif

olacaktır. Bunu görebilmek için, yukarıdaki değerleri, ikinci

aşamadaki üretim miktarlarının yerlerine yazmalıyız.

231231

Her iki ülkenin üretim maliyetleri aynıysa, pozitif denge destek

değeri, dış ticaret politikası seçiminde tutsaklar açmazı

durumunu yansıtır. İhracat desteği olmazsa, her bir firma

toplam piyasayı eşit paylaşırlar ve pozitif bir kâr elde ederler.

232232

Ancak her iki ülke destek politikası uygularsa, firmalar yine

piyasayı eşit paylaşırlar ve daha yüksek kârlar elde ederler.

Ancak fiyatların düşmesi sonucu, sübvansiyon maliyeti kâr

artışını aşacağından, ihracatçı ülke refah kaybına uğrar. Tek

kazançlı, Z ülkesidir.