3 Otvoreni i zatvoreni skupovi

3.1 Otvoreni skupovi

Definicija 3.1 Neka je x Rn i r > 0. Skup

K(x, r) = {y Rn : d(x, y) < r} =

y R

n :

n

i=1

(xi yi)2 < r

nazivamo otvorena kugla oko x radijusa r.

x x+rx-r

x

rx

r

Skup A Rn je otvoren ako vrijedi

x A, r > 0, K(x, r) A.

Otvorena okolina tocke x Rn je svaki otvoreni skup koji sadrzi tocku x.

Propozicija 3.2 Otvorena kugla K(x, r) je otvoren skup.

Neka je y K(x, r). Definiramo (vidi sliku)

r1 = r d(x, y).

Buduci je y K(x, r) slijedi da je d(x, y) < r, pa je r1 > 0. Sada za proizvoljnu tocku z K(y, r1)vrijedi

d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r1 = r.

Stoga je z K(x, r), pa smo dokazali da je K(y, r1) K(x, r).

Dokaz.

x

yz r1

9

Napomena 3.3 Radijus r otvorene kugle u definiciji otvorenog skupa ovisi o tocki x.

Primjer 3.4 Otvoreni interval 0, 1 je otvoren skup u R, no nije otvorenu u R2.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1y

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

y

Propozicija 3.5 U metrickom prostoru (Rn, d)

1 prazan skup i citav skup Rn su otvoreni,

2 unija proizvoljne familije otvorenih skupova je otvoren skup,

3 presjek svake konacne familije otvorenih skupova je otvoren.

Dokaz. Za zadacu.

Napomena 3.6 Neka je U familija podskupova od X koja zadovoljava svojstva 1, 2 i 3

prethodnog teorema. Tada (X,U) nazivamo topoloskim prostorom, a U topologijom. Elementefamilije U nazivamo otvorenim skupovima.

Ovo apstraktno okruzenje dovoljno je za definiciju konvergencije niza, limesa funkcije, teneprekidnosti funkcije.

Primjer 3.7 SkupS = {(x, y) R2 : 0 < x < 1}

je otvoren, dok skupS = {(x, y) R2 : 0 < x 1}

nije.

3.2 Interior skupaJ2

Definicija 3.8 Neka je A Rn.Tocka x A je unutarnja tocka skupa A ako postoji otvorena okolina U tocke x sadrzana

u A (tj. ako U, x U A.Nutrina ili interior skupa A je skup svih unutarnjih tocaka

IntA = {x Rn : U, x U A}.

Nutrinu oznacavamo sa IntA.

Direktno iz definicije slijedi da je IntA otvoren skup.

Propozicija 3.9

IntA = {x Rn : r > 0,K(x, r) A}

=

UA

U otvoren

U.

10

Dokaz. Ako je x {x Rn : r > 0,K(x, r) A} za okolinu U uzmemo bas K(x, r), pa jejasno da je x IntA. Ako je x IntA onda postoji njegova otvorena okolina U takva da jex U A. Buduci je x U i U otvoren postoji r > 0 takav da je K(x, r) U A.

Direktno iz definicije slijedi

IntA

UA

U otvoren

U.

Uzmimo sada tocku iz skupa na desnoj strani jednakosti. Slijedi da postoji otvoren podskup odA koji ju sadrzi. Stoga je ona unutarnja tocka, pa i element IntA. Time je dokazana i obratnainkluzija.

Iz ove propozicije zakljucujemo da je IntA zapravo najveci otvoren skup sadrzan u skupu A.

Primjer 3.10 Interior skupa S = {(x, y) R2 : 0 < x 1} je

IntS = {(x, y) R2 : 0 < x < 1}.

Naime, za sve tocke (x, y) za koje je 0 < x < 1 mozemo smjestiti otvorenu okolinu u S, pa susve takve tocke u IntS. S druge strane za tocku (1, y) svaka kugla radijusa r sadrzi tocku kojanije u S (npr. tocku (1+ r/2, y)), pa onda i svaki otvorena okolina tocke (1, y) sadrzi tocku kojanije u S.

3.3 Zatvoreni skupovi

Definicija 3.11 Skup B Rn je zatvoren ako mu je komplement Rn\B otvoren.

Primjer 3.12 Tocka u Rn je zatvoren skup.

Primjer 3.13 Skup K(x, r) = {y Rn : d(x, y) r} je zatvoren.

x

r

Primjer 3.14 Postoje skupovi koji nisu niti otvoreni niti zatvoreni. Primjer jednog takvog jepoluotvoreni interval 0, 1]. S druge strane skupovi i Rn su i otvoreni i zatvoreni.

Napomena 3.15 Koristeci De Morganovim zakonima (unije i presjeci se mijenjaju pri uzimanjukomplemena) i svojstvima 1, 2, 3 za otvorene dobivamo da su i Rn zatvoreni skupovi; da jepresjek proizvoljne familije zatvorenih skupova, zatvoren skup; te da je unija konacne proizvoljnefamilije zatvorenih skupova takoder zatvoren skup.

Primjer 3.16 Skup S = {(x, y) R2 : 0 < x 1, 0 y 1} nije zatvoren niti otvoren.

Primjer 3.17 Svaka unija konacno tocaka u Rn je zatvorena.

11

S3.4 GomilisteP2

Definicija 3.18 Neka je A Rn. Tocka x Rn je gomiliste skupa A ako svaka otvorenaokolina tocke x sadrzi barem jednu tocku iz A razlicitu od x.

Tocku skupa A koja nije njegovo gomiliste nazivamo izolirana tocka.Skup svih gomilista skupa A oznacavamo sa A.

Napomena 3.19 U ovoj definiciji mogli smo traziti da svaka otvorena okolina tocke x sadrzibeskonacno mnogo tocaka iz A. Naime, neka je U otvorena okolina tocke x. Jer je ona otvorena,slijedi da postoji radijus r0 takav da K(x, r0) U . Sada iz gornje definicije slijedi da za otvorenekugle radijusa r0/k, k N dobivamo niz tocaka iz A koje su u U . Razmislite zasto ih mora bitivise od konacno razlicitih. Nadalje, otvrene kugle su dovoljne za opis gomilista.

Primjer 3.20 Neka je x Rn. Skup {x} Rn nema gomilista.

Primjer 3.21 Skup gomilista skupa 0, 1 R je [0, 1].

Primijetimo da gomiliste ne mora lezati u samom skupu.

Teorem 3.22 Skup A Rn je zatvoren ako i samo ako sadrzi sva svoja gomilista.

Dokaz. Pretpostavimo da je A zatvoren. Tada je Rn\A otvoren. Za x Rn\A (x nije u A)slijedi da postoji r > 0 t.d. K(x, r) Rn\A. Stoga x nije gomiliste od A, pa su sva gomilista uskupu A.

Pretpostavimo sad da skup A sadrzi sva svoja gomilista. Uzmimio x Rn\A. To nije tockagomilista, pa postoji r > 0 takav da K(x, r) Rn\A. Stoga je Rn\A otvoren, pa je A zatvoren.

Napomena 3.23 Ako skup nema gomilista ovaj teorem i dalje povlaci da je zatvoren.

Primjer 3.24 Skup svih gomilista skupa S = {x R : x [0, 1], x racionalan} je skup [0, 1].

Primjer 3.25 Jedino gomiliste skupa { 1n: n N} je 0.

Primjer 3.26 Skup [0, 1 nije ni otvoren ni zatvoren.

3.5 Zatvarac skupa

Slicno kako je interior skupa najveci otvoren skup sadrzan u njemu, tako sad definiramo zat-varac skupa kao najmanji zatvoren koji ga sadrzi.

12

Definicija 3.27 Neka je A Rn. Zatvarac (zatvorenje) skupa A, u oznaci A, je presjek svihzatvorenih skupova sto sadrze A, tj.

A =

FA

F zatvoren

F.

Kako je presjek zatvorenih skupova zatvoren slijedi da je A zatvoren skup. Takoder je jasno daA A. Nadalje, skup A je zatvoren ako i samo ako je A = A.

Primjer 3.28 0, 1 = [0, 1].

Propozicija 3.29 Neka je A Rn. Tada vrijedi

A = A A = A {gomilista skupa A}.vjezbe

Dokaz. Oznacimo B = A {gomilista skupa A}.Neka je F zatvoren i sadrzi A. Jer je F zatvoren tada on prema Teoremu 3.22 sadrzi i sva

svoja gomilista, pa onda i gomilista od A. Stoga F sadrzi B. Ako je B zatvoren slijedi da jeB = A.

Pokazimo da je B zatvoren. Opet koristimo Teorem 3.22. Neka je y gomiliste od B i r > 0.Tada K(y, r) sadrzi z B i z 6= y. Stoga je z A ili je z gomiliste od A. Ako je z gomiliste odA tada K(z, r d(y, z)) K(y, r) sadrzi neku tocku iz A razlicitu od y. Dakle, svakako K(y, r)sadrzi neku tocku iz A razlicitu od y. Stoga je y gomiliste od A, pa je onda element od B.

Primjer 3.30 [0, 1 {2} = [0, 1] {2}.

Primjer 3.31 Neka je A Rn. Tada je x A ako i samo ako je inf {d(x, y) : y A} = 0.Neka je x A i = inf {d(x, y) : y A}. Ako je x A slijedi = 0 uvrstavanjem. Ako je x

gomiliste od A tada za svaki r > 0 postoji neki x 6= y A takav da je y K(x, r). To znaci daza svaki r > 0 postoji y A takav da d(x, y) < r. Slijedi = 0.

Obratno, neka je = 0. Iz svojstva infimuma slijedi da za svaki r > 0 postoji y A takavda je d(x, y) < r, tj. y K(x, r). Stoga je x gomiliste skupa A.

3.6 Rub skupa

Definicija 3.32 Neka je A Rn. Rub ili granica skupa A dana je sa

A = A Rn\A.

Kao presjek zatvorenih skupova rub je zatvoren skup. Takoder direktno iz definicije vidimoda vrijedi A = (Rn\A).

Primjer 3.33 K(x, r) = S(x, r) = {y Rn : d(x, y) = r}.

Propozicija 3.34 Neka je A Rn. Tada je x A ako i samo ako za svaki r > 0 kugla K(x, r)sadrzi tocke iz A i Rn\A (moguce i sam x).

Dokaz. Neka je x A = ARn\A. Nadalje, dvje su mogucnosti x A ili x Rn\A. Neka jex A. Tada x Rn\A povlaci da je x gomiliste za Rn\A, pa svaka okolina sadrzi neku tocku izR

n\A.Obratno, sami.

Primjer 3.35 Neka je S = {x R : x [0, 1], x racionalan}. Tada je S = [0, 1].

13