Ótica - espelhos

Espelhos Óptica

13-03-2008Departamento de Física

Professor:

Alejandro Pedro Ayala

Óptica Espelhos

Tópicos

Espelhos

Sistema estigmático

Espelhos planos

Espelhos curvos

Espelhos esféricos

Índice de Tópicos:

Índice de Tópicos

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Óptica Espelhos

Tópicos


A óptica geométrica é válida para valores de λ pequenos comparados com as dimensões dos sistemas (fendas, orifícios lentes e lâminas... )

Um sistema é estigmático se cada ponto de uma região tridimensional (espaço objeto) tem sua imagem perfeita em outra região (espaço imagem).

Os pontos de convergência ou divergência de raios luminosos são pontos focais do sistema S, que é estigmático para os pontos O e I (pontos conjugados) se:

• energia emitida de O para S é feita convergir em I

• I é a imagem perfeita ou quase perfeita de O

• vemos a imagem real de O em I, se em I for colocado um anteparo

• em I incidem convergindo raios que divergiam de O


Espaçoobjeto

Espaçoimagem

Distânciaobjeto

so

DistânciaImagem

si

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Óptica Espelhos

Tópicos

REAL VIRTUAL IMPROPRIO

Ponto Objeto:

Formado por raios de luz que incidem no sistema óptico.

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Óptica Espelhos

Tópicos

REAL VIRTUAL IMPROPRIO

Ponto Imagem:

Formado por raios de luz que emergem do sistema óptico.

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Óptica Espelhos

Tópicos

Regras de sinais

• Regra de sinal para a distância objeto:– Quando o objeto está do mesmo lado dos raios incidentes, a distância

objeto é positiva, em caso contrário é negativa.

• Regra de sinal para a distância imagem:– Quando a imagem está do mesmo lado dos raios emergentes, a distância

imagem é positiva, em caso contrário é negativa.

• Regra de sinal para o raio de curvatura de uma superfície: – Quando o centro de curvatura está do mesmo lado da luz emergente, o

raio de curvatura é positivo, em caso contrário é negativo.

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Óptica Espelhos

Tópicos

Objetos e imagens

• Os raios que saem de P são desviados e aparentam convergir no ponto P’, formando uma imagem virtual do objeto.

• A imagem não esta no mesmo lado no que se propagam os raios emergentes, portanto a distância imagem é negativa.

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Espelhos planos

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Tópicos

Os triângulos retângulos PVB e P’VB, são iguais, pois têm um lado e dois ângulos iguais, donde:

A imagem dada pelo espelho plano situa‐se do lado oposto do espelho, a uma distância igual à do objeto ao espelho.

... É obtida, não pelo cruzamento dos raios, mas

... dos seus prolongamentos, (raios virtuais)

... a imagem é virtual

... I é um emissor virtual

O espelho plano não induz convergência real...

Espelho plano

s s′=

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Espelhos planos

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Tópicos

Os triângulos PQV e P´Q´V são congruentes, portanto objeto e imagem são do mesmo tamanho:

Ampliação transversal:

Tamanho e orientação

y y′=

A imagem é reversa ou enantiomorfa, isto é, troca esquerda por direita. Assim, PR aponta no sentido oposto de P´R´.

1ymy′

= =

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Espelhos planos

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Tópicos

Ache os erros….

Utamaro, Woman Powdering Her Neck

Norman Rockwell, Girl at Mirror

Velazquez, Venus at Her Mirror

Edouard Manet, Bar do Folies‐Bergere

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Espelhos planos

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Tópicos

Reflexão de um objetoUm observador esta ao nível da mesa a uma distância d à esquerda de um objeto de altura h. O objeto, pela sua vez, está a uma distância d de um espelho plano. Um raio emitido desde o topo do objeto é refletido no espelho à altura y . Ache y em termos de h.

-tan

tan2

- -2 1 2

2 223

h yd

yd

h y y h y yd d

h y y

y h

θ

θ

=

=

= → =

− =

=

do triângulo amarelo temos que:

do triângulo verde temos que:

então:

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Espelhos planos

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Tópicos

• De acordo com a orientação do espelho em relação ao olho e do tamanho do espelho, se obtém diferentes campos visuais.

• Todos os raios procedentes da região azul se refletem no espelho e podem ser captados pelo sistema óptico do olho.

• Aumenta o campo visual ao acercar o espelho ao olho? E ao afastá‐lo?.

Campo visual de um espelho

Olho’

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Espelhos planos

Óptica Espelhos

Tópicos

Uma pessoa tem h de altura, e seus olhos estão a uma distância p do solo. Para que ela possa ver sua imagem completa num espelho plano de porta de armário: (a) qual deve ser a altura mínima do espelho? (b) a que distância do chão deve estar a borda inferior do espelho?

–Os triângulos FMB e EMB são congruentes → EM = MF = p/2

–Os triângulos ECP e HPD são congruentes → PC = PD = (h‐p)/2

–Tamanho do espelho: l = BC + PC = h/2

–Posição da borda inferior: y = AB = p/2

Espelho de corpo inteiro

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Espelhos planos

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Tópicos

Reflexão dupla

( )

2 2

2 22

2

2 2

π πγ π φ θ φ θ

πα γ φ π

α φ γ

β π θ

⎛ ⎞= − − − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

= −

De acordo com a figura:

Para o ângulo de desvio temos que:

Dois espelhos formam entre eles um ângulo γ. Um raio incidente no espelho M1 a um ângulo θ, ache o ângulo de reflexão no espelho M2 e o ângulo de desvio total δ.

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Espelhos planos

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Tópicos

Retro-reflexão

Se os espelhos formam um ângulo reto (γ=π/2) o raio é refletido na direção de incidência:

2 0δ γ π= − =

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Espelhos planos

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Tópicos

Corner Reflector?

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Tópicos

• Deslocamento com o espelho fixo

– Se o objeto se afasta do espelho uma distância x a uma velocidade v, a imagem se afasta a mesma distância, x, à mesma velocidade, v.

• Deslocamento com o objeto fixo

– Se o espelho se move uma distância x a uma velocidade v:

A inicial distância entre o objeto e a imagem é

AA'= AE+ EA'= 2 AE

A distância depois do deslocamento é:

AA''= AE'+ E'A''= (AE – x) + (AE –x)

AA''= 2AE ‐ 2x

A imagem se afasta uma distância, 2x, à velocidade, 2v.

Movimento de espelhosEspelhos planos

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Óptica Espelhos

Tópicos

Movimento de espelhosEspelhos planos

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Óptica Espelhos

Tópicos

A distância de uma lâmpada a um espelho plano é duas vezes a distância a de pessoa ao espelho. Luz proveniente da lâmpada chega à pessoa por dois caminhos sendo refletida pelo espelho formando um ângulo θ e viajando diretamente para a pessoa. A distância total viajada pela luz no primeiro caso é duas vezes a distância empregada no segundo caso. Ache o valor do ângulo θ.

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– Simplificando estas equações:

– Da definição do problema temos que:

– Daqui podemos obter θ:

Espelhos planos

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Tópicos

Espelho unidirecional

Bright Room Dark RoomSala de discussão(Luminosa)

Sala de observação(Escura)

GLASS

A luz refletida da sala iluminada mascara a luz transmitida da sala escura

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Espelhos planos

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Tópicos

Espelhos curvos

As imagens nos espelhos curvos aparecem distorcidas respeito da original.

Espelhos curvos

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Tópicos

Espelhos convexosReflexão numa esfera ou formas similares: as imágens são menores e estão mais próximas.

MC EscherHand with Reflecting Sphere

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Espelhos curvos

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Tópicos

Espelhos cóncavos

Telescope

Reflexão na superfície interior de uma esfera ou formas similares :

O tamanho e a posição da imagem depende da posição do objeto.

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Espelhos curvos

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Tópicos

Espelho elipsoidal• A elipse é o lugar geométrico dos pontos de

um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, é constante.

• Pelo princípio de Fermat os diferentes raios que divergindo de um ponto convergem num outro ponto, levam todos o mesmo tempo e têm todos o mesmo percurso óptico.

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Espelhos curvos

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Tópicos

Espelho parabólico

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Se os dois focos coincidem temos uma esfera e todos os raios que saem do centro voltam a ele.

Se um dos focos do elipsóide se afasta ao ∞, o elipsóide se transforma num parabolóide. Todos os raios que chegam paralelos ao eixo convergem no foco.

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Espelhos curvos

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Tópicos

Miragem

Pág. 26

Espelhos curvos

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Tópicos

Espelhos esféricos• Um espelho esférico tem a forma de uma

seção de uma esfera.• Se a superfície externa é refletora, o espelho é

convexo• Se a superfície interna é refletora, o espelho é

côncavo.

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Num espelho esférico de centro de curvatura em C, um objecto P sobre o eixo óptico, tem imagem em P’

De acordo com as regras dos sinais: s, s’ e R são positivos

Pela lei dos senos nos triângulos OAC e CAI temos que:

Espelho esférico côncavo

2 e γ β α δ γ α β α= + = + = +

( )sinsin sin sin e

R s R R R sπ δβ α α−

= =′− −

Além disto, podem ser verificadas as seguintes relações entre os ângulos:

( )sin sin sin 2 sin e s R R

R R sα β β α α−

∴ = + =′−

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Combinando as duas equações prévias :

Espelho esférico côncavo

( )2 2 2 2sin sin (1 2 sin ) cos 2 sin 1 sins R AR s

β β β β β β−= − Δ + − Δ

′−

Como conseqüência, a posição da imagem s’ é uma função do ângulo de incidência β ou, em outros termos, do ponto da superfície esférica onde o raio é refletido (A ≡ h).

Este efeito é conhecido como aberração esférica.

s RR−⎛ ⎞Δ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2 21 2 sin 2 cos 1 sins RR s

β β β−= − Δ + Δ − Δ

′−

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Espelhos esféricos

Óptica Espelhos

Tópicos

Aberração esférica em espelhosEspelho esférico Espelho parabólico

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Aberração esférica em espelhos

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Usando a aproximação paraxial temos que:

Equação dos espelhos

2sin , cos 1 0eβ β β β≈ ≈ ≈

Nesta aproximação a posição da imagem só depende da distância objeto e do raio da esfera.

2 2 2 21 2 sin 2 cos 1 sin 1 2s RR s

β β β−= − Δ + Δ − Δ ≈ + Δ

′−

1 2s R s RR s R

− −= +

′−

1 1 2s s R

+ =′Equação de Gauss

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Formação de imagens

lims f

s→

= ∞′

2lims

R fs→∞

= =′

Objecto no infinito produz imagem sobre o foco (f=R/2)

Dada a reversibilidade dos trajectos luminosos, um objecto no foco dá imagem no infinito

Raios que passam pelo centro de curvatura, são reflectidos sobre eles mesmos ...

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Localização de imagem: Método gráfico

Para achar a imagem de um objeto é necessário traçar três raios:

1. O raio paralelo ao eixo óptico é refletido passando pelo foco.

2. O raio que passa pelo foco é refletido paralelo ao eixo óptico.

3. O raio que passa pelo centro de curvatura é refletido sobre si mesmo.

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Traçado de raios num espelho côncavo, s > f

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Espelhos esféricos

Óptica Espelhos

Tópicos

Traçado de raios num espelho côncavo, s > f

A imagem é real

A imagem é invertida

A imagem é menor que o objeto se s > R

A imagem é maior que o objeto se s < RPág. 36

Espelhos esféricos

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Tópicos

Traçado de raios num espelho côncavo, s < f

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Traçado de raios num espelho côncavo, s < f

A imagem é virtual

A imagem é direita

A imagem é maior que o objeto

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Ampliação transversal

Como os triângulos PVQ e P´VQ´ são semelhantes:y smy s′ ′

= = −

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Um técnico está a 3,85m na frente do espelho do Hubble que tem uma distância focal de 5,52 m. (a) Ache a localização da imagem(b) Ache a ampliação da imagem do técnico.

O espelho do Hubble

A posição da imagem é dada pela equação dos espelhos:

1 1 1 12.7s fs s mf s s sf

−′ ′= + ⇒ = ⇒ = −′

Com o resultado anterior podemos calcular a ampliação:

3.30sm ms′

= ⇒ =

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Newton usou as seguintes definições para as distâncias objeto e imagem: x = p‐f e x’=q‐f. Ache a equação do espelho e a ampliação em termos destas variáveis.

Equação de Newton

Usando a definição de x e x’ temos que

( )( )

1 1 1

1f x f x f

x f x ff x f x f

= +′+ +′+ + +

=′+ +

( )2x f x f f x f fm

x f x f f x f f′ ′ ′+ + +

= − = − = −+ + +

i

Pág. 41

Espelhos esféricos

( ) ( )2 2x x x x f f x x f f′ ′ ′+ + + = + +

2f x x′=

No caso da ampliação transversal:

( )( )

( )( )

x f x x f fm

x f f x f x′ ′+ +

= − = −′+ +

x fmf x′

= − = −

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Tópicos

Espelho convexo• De acordo com as regras de sinais o raio

de curvatura é negativo • A equação de Gauss e à da ampliação

transversal também valem para o espelho convexo.

• A partir da equação de Gauss temos que

• Para objetos reais (s > 0) a imagem é sempre virtual (s’ < 0)

02Rf = <

1 1 1s f s

= −′

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Traçado de raios num espelho convexo

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Traçado de raios num espelho convexo

A imagem é virtual

A imagem é direita

A imagem é menor que o objeto

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Espelhos esféricos

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Tópicos

O método gráfico para os espelhos

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Convenção de sinais (espelho esférico)

Grandeza Sinal >0 (+) Sinal <0 (‐)

s Esq. de V. obj. real Dir. de V, obj. virtual

s’ Esq. de V, imag. real Dir. De V, imag. virtual

f esp. côncavo esp. convexo

R C esq. de V, esp. côncavo C dir. de V, esp. convexo.

yo Acima eixo obj. dir. Abaixo eixo obj. Invert.

yi Acima eixo imag. dir Abaixo eixo imag. invert.

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Objeto Orientação da Imagem

Tamanho de Imagem

Tipo de imagem

Espelho convexo

Arbitrária Direita Menor Virtual

Espelho côncavo

Antes de C Invertida Menor Real

C Invertida Igual Real

Entre de C e f Invertida Maior Real

Depois de f Direita Maior Virtual

Espelho plano

Arbitrária Direita Igual virtual

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Espelhos esféricos

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Tópicos

Imagem no espelho

Giovanni Arnolfini e sua esposa (1434)Hubert and Jan van EYCK

Pág. 48

Espelhos esféricos

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Tópicos

O retrato de Arnolfini

Pág. 49

Espelhos esféricos

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Tópicos

Atalhos para outros documentos

2 - Reflexão

1 – Natureza da Luz

3 - Espelhos

4 - Refração

5 - Lentes

6 – Instrumentos ópticos

7 – Interferência

8 - Difração

0 - Introdução à Disciplina

9 - Polarização

Pág. 50

Atalhos

Ótica - espelhos

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