2

POLITEHNIKI FAKULTET god.2014/2015MAINSKI FAKULTET:Smjer-MAINSKE KONSTRUKCIJESEMINARSKI RAD IZ

PREDMETA :

OPTIMIZACIJA MAINSKIH KONSTRUKCIJA

TEMA:

MOGUNOST ODREIVANJA POUZDANOSTI ELEMENATA

MAINSKIH SISTEMA U PROCESU KONSTRUISANJA

STDENT: PROFESOR:

MANUKA EMIR doc.dr.sc.ABAZ MANUKAMOGUNOST ODREIVANJA POUZDANOSTI ELEMENATA

MAINSKIH SISTEMA U PROCESU KONSTRUISANJA

REZIME

U radu se daje mogunost odreivanja pouzdanosti elemenata mainskih sistema u procesu konstruisanja na osnovu razmatranja radnih i kritinih stanja elemenata. Odreuje se stohastiki karakter stanja te raspodjele radnih i kritinih stanja izraenih matematikim funkcijama koje obuhvataju cijelu oblast moguih rasipanja. U praksi otkazi koji su mjerilo vjerovatnoe otkaza se odreuju za izabrane predstavnike raspodjela u zavisnosti od stepena preklapanja, vjerovatnoe pojave najveih napona i vjerovatnoe pojave zbirne uestalosti kritinih napona. Rezultat toga je odreen stepen preklapanja koji predstavlja vjerovatnou otkaza. Kao primjer odreivanja pouzdanosti u procesu konstruisanja se daje sluaj kada su obe funkcije raspodjele date kao Weibullove funkcije. Rezultati u ovom radu su dati kao numeriki.

Kljune rijei: pouzdanost elemenata, radna i kritina stanja, Weibullova raspodjela

1. UVOD

Pouzdanost je vjerovatnoa, na odreenom nivou povjerenja, da e ureaj / sistem uspjeno obavljati funkciju za koju je namijenjen, bez otkaza i unutar specificiranih granica performansi, uzimajui u obzir prethodno vrijeme koritenja sistema, u toku specificiranog vremena trajanja zadatka, kada se koristi na propisan nain i u svrhu za koju je namijenjen

pod specificiranim nivoima optereenja. Ona se iskazuje kao vjerovatnoa, brojano od 0 - 1 (0% - 100%) [1]. Pri tome su otkazi mjera nepouzdanosti tj. stanja kada elementi ne mogu da vre ispravno svoju funkciju. Predvianje ovih kritinih stanja se svodi na procjenu uzroka, odnosno predvianje vjerovatnoe otkaza koja predstavlja nepouzdanost F i koja omoguuje odreivanje pouzdanosti na osnovu jedinstvene veze F + R = 1.

U postupku konstruisanja mainskih sistema neophodno je odrediti pouzdanost elemenata kako bi se mogla odrediti / predvidjeti pouzdanost cijelog sistema. Dva su osnovna elemenata koje je neophodno poznavati u postupku predvianja pouzdanosti elementa sistema, a to su raspodjele radnih i kritinih stanja (napona), te stepen preklapanja funkcija koje opisuju ta stanja za radni vijek [2].

Radna stanja / napone je mogue u sluaju konstruisanja pretpostaviti za predviene radne uslove elemenata sistema, te definisati funkciju za radni vijek. Za tako definisanu funkciju mogue je odrediti funkciju kritinih stanja. Uspostavljanjem odnosa stanja mogue je definisati stepen preklapanja, odnosno vjerovatnou otkaza koja predstavlja nepouzdanost. Na osnovu ovako definisane nepouzdanosti moe se predvidjeti pouzdanost elemenata, a time se uspostavljaju i uslovi da se odredi pouzdanost posmatranog mainskog sistema.

2. IZBOR RASPODJELA RADNIH f(s) I KRITINIH OPTEREENJA f(S)

U procesu konstruisanja predvia se vjerovatnoa otkaza elemenata / osnovnog dijela

odnosno njihova pouzdanost. Na osnovu definisane pouzdanosti, utvruju se dimenzije i ostale konstruktivne karakteristike.

Problem pri predvianju vjerovatnoe otkaza je nepoznavanje oblika raspodjela, rasipanja vrijednosti radnih i kritinih optereenja kao i uticaj drugih faktora koji su stohastiki promjenljivi. Za rjeavanje ovog problema postoje u sutini dvije mogunosti. Prva mogunost podrazumijeva da se utvrivanje navedenih raspodjela provede eksperimental-nim metodama. Ove metode su dugotrajne, skupe i zahtijevaju posebnu opremu. Dobiveni rezultati se pri tome mogu koristiti samo za iste ili sline uslove eksploatacije. Formiranje raspodjela za radni vijek podrazumijeva prognoziranje udjela pojedinih eksperimentom utvrenih raspodjela u radnom vijeku.

Druga mogunost je u usvajanju tj. prihvatanju ve odreenih raspodjela, njihovih oblika i rasipanje radnih i kritinih optereenja na osnovu optih znanja o elementima i uslovima u kojima oni rade. Rezultati do kojih se dolazi ovom metodom su manje tani ali je postupak daleko jednostavniji i jeftiniji.

Nakon utvrenih ili usvojenih raspodjela radnih i kritinih optereenja (u kontinuiranom ili stepenastom obliku) neophodno je utvrditi stepen preklapanja istih sa ciljem izraunavanja vjerovatnoe otkaza za date uslove rada.

Vjerovatnoa otkaza, a time i pouzdanost se dobiva rjeavanjem opte jednaine pouzdanosti

(1) i (2). Ista se moe rijeiti samo za odreen mali broj raspodjele.

R = dR = f ( s ) f ( S ) s 1

S 1

dS ds(1)

R = dR = f ( S

) f ( s ) ds dS(2)

f(s) - raspodjela radnih stanja,f(S) - raspodjela kritinih stanja

Za ostale raspodjele rjeenje se dobiva primjenom sloenijih metoda prorauna.

f(s)

f(S)

0s1min

f(s)

ds

SG

s1max

d

0,5

PR(j-i-1)

DS

1,0Za sluaj da se kontinuirane raspodjele

prikau u stepenastom obliku pogodnom

0,8za numeriki postupak rjeavanja onda se

PR(S)prema slici 1. mogu uoiti karakteristine

0,6veliinemjerodavne za proraun

vjerovatnoe otkaza elementa kome

0,4pripadaju takve raspodjele. Stepen

preklapanja oznaen je sa d, a rasipanja 0,2 vrijednosti funkcija sa ds i DS. Za ovakav

sluaj, vjerovatnoa otkaza se u optem

s,Ssluaju moe odrediti kao:

s 1 max

Pf = f ( s) P R (S ) ds...(3)

Slika 1. Preklapanje raspodjela radnih f (s)SG

optereenja i vjerovatnoe otkaza kritinih optereenja PR (S)

Izraz (3) vrijedi za kontinuiranu raspodjelu funkcija f(s) i PR(S). U sluaju preklapanja stepenastih raspodjela, vjerovatnoa otkaza se moe izraziti kao:

j

Pf = fiPR(j-i+1)...(4)

i= 1

Sa slike 1. se vidi kako se kontinuirane raspodjele i njihove vjerovatnoe mogu prikazati u stepenastom obliku pogodnom za utvrivanje vjerovatnoe otkaza numerikim putem. Funkcije kod kojih se integral u izrazu (3) moe rijeiti standardnim nainom mogu se predstavljati u kontinuiranom obliku. Meutim, za funkcije za koje to nije mogue, iste se prikazuju u stepenastom obliku i vjerovatnoa otkaza se utvruje prema izrazu (4).

3. PRORAUN VJEROVATNOE OTKAZA ELEMENATA ZA USVOJENE

RASPODJELE RADNIH I KRITINIH OPTEREENJA

Iz istraivanja koje su provedene u cilju utvrivanja vjerovatnoe otkaza elemenata u postupku konstruisanja dolo se do saznanja da je za njegovo provoenje neophodno poznavanje: oblika raspodjele, veliine rasipanja radnih i kritinih optereenja, te odnos veliine rasipanja i stepena preklapanja raspodjela [2].

Oblici raspodjele optereenja se usvajaju eksperimentalno i teorijski. Ako postoje neki podaci, npr. eksperimentalni, treba usvojiti pomenute funkcije prema odgovarajuim parametrima. U suprotnom sluaju treba istraivanje obaviti sa predloenim reprezentantima i to najbolje sa vie varijanti tj. kombinacija.

Veliina rasipanja radnih usg i kritinih uSg optereenja je drugi element prorauna. Ovim vrijednostima odgovaraju razlike maksimalnih i minimalnih veliina radnih i kritinih optereenja ds = smax - smin, i DS = Smax - Smin. U cilju izraunavanja vjerovatnoe otkaza dovoljno je poznavanje odnosa Ds/DS [3].

Trei element je veliina preklapanja raspodjela radnih i kritinih optereenja d = smax - Smin (prema slici 1). Ako se uspostavi odnos veliine preklapanja d i veliine rasipanja radnih optereenja Ds, kao Cs = d / i omoguena je slikovita analiza parametara vjerovatnoa. Na slici 1. su prikazani ovi elementi potrebni za proraun u optem sluaju. Integral proizvoda funkcije gustoe raspodjele i zbirne vjerovatnoe kao i rjeanje opte funkcije pouzdanosti (1.) i (2.) se moe odrediti za samo mali broj raspodjela tj. njihovih funkcija. Zbog toga se ovdje daje nain rjeavanja opte jednaine te izraunavanje vjerovatnoe otkaza elemenata numerikim putem, tj. zamjenom kontinuiranih oblika funkcija stepenastim raspodjelama.

Pri tome se koristi jednaina u obliku:

j

Pf= fi PR (j-i+1)(5)

i= 1

Relativna uestanost fi se odreuje za svaki interval karakteristinih veliina s sa irinom intervala s. Ako je k broj intervala tada je s = Ds / k . Vjerovatnoa pojave veliine f (s) za promjenljivu s u sredini irine intervala jednaka je proizvodu f (s) i irine intervala s. Vjerovatnoa PR ( j - i + 1) se odreuje za iste intervale s = S i vrijednosti s u intervalu d. Ovako postavljen proraun predstavlja numeriko odreivanje vjerovatnoe otkaza, a nakon toga i pouzdanosti.

4. NUMERIKO ODREIVANJE VJEROVATNOE OTKAZA ZA WEIBULL-ovu

RASPODJELU

Za odreivanje pouzdanosti elemenata racionalno je od beskonanog broja raspodjela odabrati samo reprezentativne za date uslove optereenja. Simetrina raspodjela optereenja moe se najbolje predstaviti sa normalnom raspodjelom. Nesimetrina raspodjela uestalosti optereenja moe se prikazati sa Weibull-ovom raspodjelom. Na slici 2. je prikazana Weibull-ova raspodjela.

0,6

Weibull-ova raspodjela se moe prikazati kao 0,5

*2=0,7

0,4

0,6

= 2,=1,5

0,5

=2,5, =2

0,4

1

u

* 1=1

f(u)f(u)

= 2,=2

f(u) =ue(6)0,3

*3=1,3

0,2

0,1

u

-4-3-2 - 01234

PR = 1 e ug=6 *1(7) u

0,3

= 2,=2,5

0,2

0,1

012345678

um =1,414u

Slika 2. Weibull-ova raspodjela optereenja za razliite vrijednosti i

U sluaju da se raspodjela radnih i kritinih optereenja elemenata u fazi konstruisanja

predstavlja sa Weibull-ovom raspodjelom sa parametrima = 2 i = 2

vjerovatnoe imaju oblik:

22

funkcije

F(u)=

1

2

u u e(8)PR = 1-

u e(9)

Vrijednosti funkcija utvrene numerikim putem iz stepenastog oblika funkcija primjenom izraza (8) i (9) su prikazane u tabeli 1.

Tabela 1. Vrijednosti funkcija f (u) i PR za W ( = 2, =2)

u0,30,91,52,12,73,33,94,55,15,2

f(u)0,146660,36750,427330,348640,218180,108420,043510,014240,038240,000845

PR0,022240,18330,43020,667960,838370,934280,977760,993670,99850,99970

Vrijednosti vjerovatnoe otkaza za razliite stepene preklapanja Cs=d/Ds=d/DS za

W(=2, =2) su date u tabeli 2.

Tabela 2. Vrijednost Pf za razliite vrijednosti Cs

Cs=d/Ds0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

Pf1,8 10-52,405 10-41,38 10-35,77 10-31,979 10-25,698 10-21,398 10-14,379 10-15,323 10-1

1,0

10-1

10-2

10-3

10-4

10-6

Pf=f(Cs)

Ws,WS

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

stepen preklapanja, Cs

Slika 3. Grafiki prikaz funkcije Pf = f(Cs) za Ws (2,2,) i WS (2,2)

Na slici 3. je dat grafiki prikaz odreivanja vjerovatnoe otkaza Pf za sluaj da se raspodjele radnih i kritinih optereenja mogu prikazati sa Weibull-ovim raspodjelama Ws (2.2),

WS (2.2).

Naravno, poslije ovako odreenog stepena preklapanja i vjerovatnoe otkaza mogue je koritenjem naprijed datih izraza definisati / predvidjeti pouzdanost elemenata, a time i

ukupnog mainskog sistema.

5. ZAKLJUCI

Na osnovu navedenog, moe se zakljuiti da izloeni pristup i metoda omoguavaju konstruktoru da u fazi konstruisanja procjeni vjerovatnou otkaza i pouzdanost razmatranih elementa sistema za razliite uslove rada pod kojim bi sistem mogao raditi u svom radnom vijeku. Na taj nain se omoguava jasan uvid o uticajima bitnih karakteristika raspodjele rasipanja na veliinu vjerovatnoe otkaza. Koritenjem ovakve metode mogu se jednostavno odrediti uslovi, raspodjele i stepeni preklapanja pri kojima se moe oekivati unaprijed usvojena eljena ili dozvoljena vjerovatnoa otkaza, odnosno pouzdanosti. U ovom radu je data jedna od mogunosti, kao i primjer numerike metode kod Weibull-ove raspodjele.

6. LITERATURA

[1]Imamovi M.: Teorija pouzdanosti, Zenica 2010.

[2]Imamovi M.: Pouzdanost elemenata u fazi konstruisanja, Zenica 2013.

[3]Savi Z.: Trei severov simpozijum o mehanikim prenosnicima, Subotica 1991.

[4]Ognjanovi M.: Razvoj i dizajn maina, Mainski fakultet Beograd 2007.