Fridmanovi modeli, opservabilne veličine

08.05.2015. Kosmologija

2015

FRW metrika vs. Švarcšildova metrika

• Masa M u koordinatnom početku generiše Švarcšildovu metriku:

• što nije definisano za

i

• FRW metrika:

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2( ) sin

1

drds c dt a t r d d

kr

2

2 2 2 2 2 2 2

2

2

21 sin

21

GM drds c dt r d d

GMc r

c r

0r 2

2g

GMr r

c

Kosmologija

2015

• Jedini nenulti članovi su dijagonalni:

• pošto je

• kontravarijantne komponente su:

• Koren iz negativne determinante metričkog tenzora je:

• Dalji postupak uključuje računanje Kristofelovih simbola...

2 2 2

33 sing a r 2

11 21

ag

kr

00 1g 2 2

22g a r

g g

00 1g 2

11

2

1 krg

a

22

2 2

1g

a r

33

2 2 2

1

sing

a r

,

,

3 2

2

sin

1

a rg

kr

Kosmologija

2015

• Opšta formula za Kristofelove simbole je:

• Svi simboli sa različitim indeksima su jednaki 0. Npr.:

• Među nenultim Kristofelovim simbolima imamo npr.:

• Itd. itd. Računanje Kristofelovih simbola „rukom“ je teško!

• Ajnštajn 1917. pokazuje da na kraju dobijamo dve netrivijalne jednačine:

1

2

g g gg

x x x

1 11 1131 232123 3 2 1

1 1(0 0 0) 0

2 2

g ggg g

x x x

2 21 11 1111 1 2 2 2

1 1 1

2 2 1 1

g kr a krg

x a r kr kr

2 21 2 3

1 2 32 2 2 2

8 8 82

a a kc G G GT T T

a a c c c

2 20

02 2

8

3

a kc GT

a c

Kosmologija

2015

Sledeći korak: komponente Tμν

• Podsetimo se:

• Ako zanemarimo sopstvena kretanja (= galaksije u homogenom stanju mirovanja u odnosu na celinu fluida = CMB referentni sistem), 4-brzina je jednostavno:

• Dakle, biće

• U aproksimaciji prašine, p = 0, pa se stvari dalje uprošćavaju. Ali pre toga...

2

pT u u pg

c

(1,0,0,0)u

1 2 3

1 2 3T T T p 0 2

0T c Kosmologija

2015

Ključni rezultat: Fridmanove jednačine • Ključne dinamičke jednačine za faktor skaliranja:

• k ima tri vrednosti: -1, 0, 1. Uz malo manipulacije dobija se:

• Odavde ima više puteva, u zavisnosti od jednačine stanja!

2 3 23 0d

c a pada

2 2

2 2

82

a a kc Gp

a a c

2 22

2 2

8 8

3 3

a kc G Gc

a c

Kosmologija

2015

Da ponovimo...

• Različite materijalne komponente i njihove različite jednačine stanja (karakteristične jednačine).

• U opštem slučaju, jednačina stanja je

• ...uz određeni broj parametara (npr. temperatura).

• U realnom svemiru imamo

• prašinu (P = 0)

• idealni gas (P )

• zračenje (P = 1/3 c2)

• vakuum (P = -c2)

P f

Kosmologija

2015

• U kasnijim epohama, u kojima svemirom dominira materija i pritisak je zanemariv, p = 0, dobijamo:

• Ovo nam pokazuje kako gustina materije opada sa širenjem svemira! (u fizičkoj zapremini, ne usputnoj zapremini)

• Međutim, za zračenje imamo jednačinu stanja

• za šta dobijamo:

3

2 3 2

0

0

3 0d a

c a pada a

21

3p c

4

0

0

a

a

Kosmologija

2015

Ovo se lako objašnjava crvenim pomakom

• Gustina zračenja opada sa 3 stepena faktora skaliranja zbog širenja prostora – i dodatni 1 stepen zbog kosmološkog crvenog pomaka.

• Ako se crveni pomak definiše standardno:

• onda važi

• što objašnjava zašto je crveni pomak baš crven – zato što se svemir širi!

obs lab

lab

z

0

1a t

za t

Kosmologija

2015

Vreme

za

pauzu! Kosmologija

2015

Epohe u istoriji svemira

• Epoha kvantne kosmologije (?)

• Kosmološka inflacija (10-36 – 10-32 s)

• Period dominacije zračenja (10-32 s – 400.000 god)

• Period dominacije materije (400.000 god – 10 109 god)

• Period dominacije vakuuma (10 109 god – danas... i još jako

dugo!)

Kosmologija

2015

U periodu dominacije zračenja...

• Odigrali su se i sledeći ključni procesi:

• bariogeneza

• nastanak tamne materije

• primordijalna nukleosinteza

• početak formiranja strukture

• Period dominacije zračenja okončan je razdvajanjem materije i zračenja (decoupling) tokom rekombinacije.

Kosmologija

2015

Hablov parameter

• I u periodu dominacije zračenja i u periodu dominacije materije, univerzum se širi usporeno.

• Stopa širenja:

• što je očigledno u opštem slučaju zavisno od vremena!

• U današnjoj epohi, ovo se najčešće naziva „Hablovom konstantom“ i piše kao

• Uprkos dugačkoj kontroverzi, današnja posmatranja konvergiraju ka vrednosti:

1 da a

H ta dt a

-1 -1

0 100 kms MpcH h

0,69 0,02h

Kosmologija

2015

Parametar usporenja

• Informacija sadržana u drugom izvodu faktora skaliranja izražava se kroz parametar usporenja q0:

• Kada je q0 pozitivno, širenje svemira se usporava, kada je q0

negativno, ono se ubrzava.

• Dugo vremena je najpopularnija vrednost bila q0 = 0,5 , mada se ispostavlja da je uistinu q0 < 0!

• Predmet tzv. neoklasičnih kosmoloških testova.

• Tejlorov razvoj crvenog pomaka:

0 2

0

a t a tq

a t

2 2

0 0 0 0 0

1( ) ( ) 1 ...

2z t t H t t q H

Kosmologija

2015

Ovako postaje jasno zašto se crveni pomak koristi kao časovnik!

Ali se isto tako koristi i za merenje udaljenosti:

• Npr. kažemo da se rekombinacija odigrala na t = 400.000 god

ILI na z = 1100.

2 2

3 30 00 02

11

2

H l H lz q O H l

c c Kosmologija

2015

Potrebna nam je i mera gustine svemira • Kritična gustina = gustina ravnog

svemira koji prestaje da se širi

• Numerički: 10-29 g cm-3.

• Može se lako izvesti u njutnovskoj slici!

• Ako imamo konstituent x , njegova kosmološka gustina (ili kosmološka frakcija gustine) je:

2

0crit

3

8

H

G

crit

xx

Kosmologija

2015

Kosmološka gustina

• Gustine raznih konstituenata su aditivne!

• U svemiru bez kosmološke konstante, kosmološka gustina bi bila determinanta budućnosti prostorvremena.

• Sa kosmološkom konstantom, situacija je malo kompleksnija...

• Određivanje za razne komponente svemira je ključni zadatak posmatračke kosmologije Kosmologija

2015

Kosmologija

2015