operadores ii campos -...

Dr. José Manuel Donoso

http://plasmalab.aero.upm.es/~jmdv/

Dpto. Física Aplicada, ETSIAE, Universidad Politécnica de Madrid

OPERADORES II

CAMPOS Operadores diferenciales

Física II 2019-20

TOPICS: Herramientas matemáticas ,derivada parcial, gradiente, rotacional…,

Programa.

2 Física II- Operadores

( ) ( ) 0div rot = ∇ ⋅ ∇× =v v

( ) ( ) 0rot grad V V= ∇× ∇ =

cerrs V V

E d A = divE dV E dV ⋅ = ∇ ⋅∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Introducción. Motivación.


Campos en física ¿qué es un campo? ¿cómo visualizarlo y medirlo?.Matemáticamente, es una aplicación unívoca desde un punto de un espacio a otro.

• Aquí es propiedad mensurable escalar o vectorial dependiente del punto de medida:

Visualización: campo escalar por superficies isoescalares, el vectorial por líneas de campo:

3

3 3( ; ) ( , , ; ) a fijo

( ) ; :( ) ; :

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x z z

g t g x y z t t

T T T

w x y z w x y z w x y z≡

= →

= → = + +

r

rr

r

w w ww i j k

:Notaciónr xi yj zk

x y z

= + +

= + +r

i j k

Gradiente de un escalar. Derivada direccional.


• La variación infinitesimal de la propiedad escalar p será:

• Reescrita como producto escalar, define el vector gradiente de p

p p pdp i j k dlx y z dp grad p dl

dl dx i dy j dz k

p dl ∂ ∂ ∂

= + + ⋅ ∂ ∂ ∂ ⇒ ∇ ⋅= ⋅ = = + +

p p pdp dx dy dzx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

• Define el operador gradiente que se representa por Nabla:

• La dirección del vector desplazamiento elemental dl puede estar orientada sobre una curva dada. Ejm: sobre la recta x=9y=3z,

( )

p p pgrad p i j kx y z

i j k operador Nab

p

lax y z

∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ +=∂ ∂

∇

∇∂

/ 9 / 3dl dx i dx j dx k= + +

Derivada direccional


•La variación de p puede medirse a lo largo de una dirección dada. •Si dl yace sobre un segmento infinitesimal de curva con orientación dada u.

cos n l

l

dp dp dn dp dp u udl dn dl dn dn

dpdp grad máxl

ul

pd

pd

α= ⋅ = = ⋅

= ⋅ ⇒ = ∇

•Define la derivada direccional de p en el punto Q siguiendo la orientación del versor u. •Si u yace sobre puntos de una curva γ , puede encontrarse tal curva que maximiza la derivada. El módulo del gradiente da la derivada direccional máxima: grad P , se orienta hacia donde p aumenta.

( )( )l

l l

ldp grad p dl grad p dl u pdp p u

u dl

grad p udl

= ∇

= ⋅ = ⋅ = ∇ ⋅

⋅ ⋅=

nu lu

αPi

+

1 pi

Q 1i ip p +<

Así, si γ está sobre una superficie p=cte=K, la derivada direccional de p a lo largo de γ será nula. El vector gradiente es normal a las superficies equiescalares p=K y se orienta en sentido creciente de valores de K

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Divergencia de un vector y rotacional de un vector


• Si w es un campo vectorial sus líneas de campo yacerán sobre curvas γ tangentes a él en cada punto, es decir, las (dos) ecuaciones diferenciales de las curvas vienen de: • La operación diferencial resultante del producto formal del operador gradiente y el

vector dado es un escalar, llamado divergencia de w: (en cartesianas)

0 .yx z

w dlww wdl w

dx dy dz

dl dxi dy j dzk dr

→

× = ⇒ = =

= + + =

P Q

( )w P( )w Q

yx zww wdiv w w

x y z∂∂ ∂

= ∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

vrobar que si v v( ), v. 3 P; r

dr u

drEjm si w r w = ∇ ⋅ = ⋅= →∇⋅ =

Divergencia de un vector y rotacional de un vector


•También la operación siguiente da un vector, el resultante de hacer actuar formalmente el operador nabla vectorialmente sobre el vector dado w

• Da el operador rotacional (rotor) de w en coordenadas cartesianas (cuidado, ver tablas para otros sistemas coordenados).

•Un ejemplo de vector irrotacional (sin rotor) es el propio radiovector r o cualquier vector radial dependiente sólo de su módulo r:

• SIGNIFICADO FÍSICO DE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL: relacionados con los conceptos de FLUJO y CIRCULACIÓN de un vector.

( ) , .

y yx xz z

x y z

z yx

w ww ww wi j ky z z x

i j k

rot w w wx y z

w w w

w = etcw wy z

x y

=

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= ∇× = ∇∧ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∇×

−∂

∂

: ( ) (| |) ( ) 0rSi w r w r g r r rot wr

= ± = ⇒ =

Operadores de segundo orden y algunas propiedades


• También pueden definirse operaciones que dan derivadas segundas de campos escalares y vectoriales , como:

2( ) ,( ) , ( ) ( ), ( ( ))

( ) ( )dado V grad V Vdado div grad div rot rot

div gradV Laplaciano de VV V→ =∇→ =∇ ∇× ∇×⋅ = ∇ ∇ ⋅ =

= ∇⋅∇ = ∇rv r v v v v vv

IMPORTANTE: (demostradlo por cálculo directo) • La divergencia de un rotacional es cero, el rotacional de un vector es un vector solenoidal:

•Y el rotacional de un gradiente es cero, el gradiente de un campo escalar es un vector irrotacional:

•La expresión siguiente define la laplaciana de un vector:

( ) ( ) 0div rot = ∇ ⋅ ∇× =v v

( ) ( ) 0rot grad V V= ∇× ∇ =

2 2 2 2

2

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

x y z en cartesianas

rot rot grad div laplacian

i v j v k v∇ ⋅∇×= = − =∇× ∇ −

∇ = ∇ + ∇ + ∇

∇vvv v v

vv

NOTA: Propiedades


2 2 2

2 2 22( ) V

x y zLaplaciano de V V V ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂ →∇ ≡ =∆

• Siendo en cartesianas:

• Si T y P son campos escalares, v y w campos vectoriales, con a y b constantes escalares, serán útiles las propiedades siguientes (demostración como ejercicio).

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

aT bP a T b P TP T P P Ta b a b T T Ta b a b T T T

∇ + = ∇ + ∇ ∇ = ∇ + ∇∇⋅ + = ∇⋅ + ∇⋅ ∇⋅ = ∇ ⋅ + ∇⋅

∇∧ + = ∇∧ + ∇∧ ∇∧ =∇ ∧ + ∇∧∇⋅ ∧ = ⋅∇∧ − ⋅∇∧

v w v w v v vv w v w v v v

v w w v v w

Ejer. Comprobar las relaciones siguientes, que saldrán a menudo en clase:

2

1

3 2

23

2 212 12

2 2 2

1 1

2

) 0 ; ( )

( ) '( )

3 0 (si 0)

( ( ) con ( , , ),

r r r

r

rr

r r r r

rr rr

d r r

r f r f r

r

g r x y z r x y z

= = −

= ∇

= ⋅ = −

∇ = ∇ = − ∇ =

∇⋅ = ∇⋅ = ≠ ∇⋅ =

∇× = + += ∫

r ru u u

r r

u r r

r

r

(es una traslación de origen)Repetir los cálculos con la con constan e, tsustitución de por = 00 r r R r -rImportante:

Coordinates. Line, surface and volume Elements.

10 Física II- Electrostática conductores

Operador gradiente en otros sistemas de coordenadas


•Expresión analítica del vector gradiente en coordenadas cilíndricas (r,φ,z)

•En caso de simetría axial, con T dependiente sólo de la distancia al eje OZ:

• Superficies equiescalares cilíndricas , con gradiente radial respecto del eje OZ.

•Expresión analítica del vector gradiente en coordenadas esféricas (r,θ,φ) :

•Si T sólo depende de la distancia al origen (simetría esférica), las superficies equiescalares son esferas y el gradiente es radial. Dibujadlas.

1( , , ) rT TT r z u u k

r zTr ϕϕ

ϕ∂ ∂

∇ = +∂

+∂

∂∂

2 2( ) ; ,rT T xi y jT T r T u r r x yr r r

ρ⊥

∂ ∂ += →∇ = = ≡ = = +

∂ ∂

1 1( , , )senr

T TT r u u ur r

Tr θ ϕθ ϕ

θ θ ϕ∂ ∂

∇ = +∂

+∂ ∂∂

2 2 22 2 2 ( )

.( ) ; ,rx y z xr

ejmx x r

T T xi y j zkT r u r x y zr r r

+ +∂∂= =

∂ ∂

∂ ∂ + +∇ = = = + +

∂ ∂

Divergencia y laplaciano en geometría radial cilíndrica y esférica:


Para un vector radial [o escalar p] dependiente sólo de la variable radial r=ρ, distancia al eje OZ, y la divergencia [laplaciano] en coordenadas cilíndricas es:

( )2 1(

( )1(

)

(

)

) ,;

(

) rr

r rrur

pp r div

r vv r v r u div

grad p

vr r

r xi yj

r rr r r

=

∂ ∂ ∇ = =

=∂

= ⇒ =

∂ ∂

+∂

Para un vector radial [o escalar p] dependiente sólo de la variable radial r, distancia al origen, la divergencia [laplaciano] en coordenadas esféricas es:

( )22

2

2

2

,

1( ) (

( )1( ) ( ) ;

)

r r rrr vv r v r div v

r rru ur

pp r div grad p r

r xi yj zk

rr r r

=

∂ ∂ ∇ = = ∂ ∂

∂= ⇒ =

∂+

= +

La demostración es inmediata (hacedla). En caso de no recordar la expresión ¿cómo hacerlo? Ejer. ¿Cómo sería la divergencia de un vector que sólo tiene en cilíndricas componente φ y ésta depende sólo de la variable radial r=ρ , o sea ? (sol. Poniéndolo en cartesianas, sale 0) ( ) ( )v r v r uϕ ϕ=

Problemas


Problemas


Obtened, en función de n, el flujo Φ del campo A a través de una superficie esférica de radio R centrada en el origen y particularizar para n del caso 2) ¿es nulo Φ? . La misma cuestión para el campo B, con flujo a través de un cilindro de radio R y altura H.

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