ESCUELA DE INGENIERIA AERONAUTICA Y DEL ESPACIO

Laboratorio de Física II Guión de prácticas

MOMENTOS DE INERCIA

• Finalidad del experimento. Determinar la constante de un muelle de torsión y el momento de inercia de un cuerpo. Comprobar el teorema de Steiner. .

• Material. Muelle de torsión, varilla o disco de masa M, dos pesas de masa m. Varios objetos (esfera,cilindro macizo y hueco) para medir su momento de inercia.

1.- Introducción.

El péndulo de torsión es un sistema que permite fijar un cuerpo sólido y hacerlo oscilaralrededor de un eje fijo. Dos grupos emplearán una varilla como la de la Fig. 1a y otro el discode la Fig. 1b de masa M. En ambos casos, unas masas m pueden ser fijadas a lo largo de labarra (Fig. 1a) o del diámetro del disco (Fig. 1b) por medio de un tornillo. Al desplazar de suposición de equilibrio la barra (disco) oscilará alrededor de un eje fijo con un periodo T formandoun ángulo θ( t) con su posición de equilibrio. Despreciando los efectos de fricción, la ecuaciónde momentos proyectada según el eje de giro será

d 2θ

dt 2+ KIθ=0

donde K es la constante del péndulo de torsión y I el momento de inercia del objetoalrededor del eje de giro. La solución de esta ecuación es, θ( t)=θo sen (ωo t+ϕ ) donde

ωo=√K / I es su frecuencia natural de oscilación. La amplitud θo y la fase ϕ sedeterminan a partir de las condiciones iniciales del movimiento.

Fig. 1a: El péndulo de torsión con la barra y lasdos masas. La cubeta contiene distintoscuerpos para medir su momento de inercia.

Fig. 1b: El disco con las dos masas, seobservan los taladros para poner lasmasas a lo largo de su diámetro.

Si cambiamos la posición de las masas a lo largo de la barra (sobre el disco) el momento deinercia del conjunto cambia, y por lo tanto su periodo de oscilación T=2π /ωo . El objetivo dela práctica es calibrar primero el muelle para obtener su constante K y luego comprobar elteorema de Steiner.

2- Realización.

Determinar la constante del muelle de torsión.

Para determinar la constante del muelle se ajusta la varilla (disco) en el muelle de torsiónsujeta por su centro de masas y con las dos masas más pequeñas en posiciones simétricasrespecto del eje de giro. Se desplaza el sistema de su posición de equilibrio y se mide elperíodo de oscilación. Para ello, cronometramos el tiempo necesario para realizar 10oscilaciones y dividimos el tiempo obtenido por diez. Se repite este proceso cinco vecespara cuatro distancias d de las masas cada vez más próximas al eje de giro.

Con los datos obtenidos podremos construir la siguiente tabla,

Distancia (d cm) Periodo (T s) Promedio T (s)

d1 T11

T1

T12

T13

T14

T15

d2 T21

T2

T22

T23

T24

T25

d3 T31...

... ...

Para cada una de las cuatro distancias de las masas (d1, d2, d3, d4) mediremos cinco vecesel período y obtendremos el valor promedio (Tx ,Ty ,Tz ,...) junto con su error. A partir deestos períodos podemos obtener la frecuencia de oscilación ω o(d )=2π /Td y su errorasociado Δω que se calcula teniendo en cuenta que es una medida indirecta.

Los momentos de inercia del sistema con las dos masas adicionales viene dado por,

I (d )= I o+2 m d2

donde I o=ML2 /12 para la varilla y para el disco I o=MR

2/2. Por consiguiente,

representando el cuadrado de las frecuencias de oscilación ω o2(d )=K / I (d ) obtenidas

frente a las distancias d 2 de las masas al eje de giro, los datos deberían distribuirse a lolargo de una recta de pendiente 2m /K y que corta el eje en K / I o en d=0. Conocidala masa m, de estos dos datos puede obtenerse la constante del muelle de torsión K y elmomento de inercia de la varilla o disco I o .

Comprobación del teorema de Steiner.

El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia de un sólido I CM de masa Mrespecto de un eje que pasa por su centro de masas con su momento de inercia I P

respecto de otro eje paralelo separado una distancia d ,I (d )=I CM+M d2

Para comprobar el teorema de Steiner mediremos el período de oscilación de la varilla(disco) sin ninguna masa adicional ,sujetándola al muelle de torsión en 5 posicionesdiferentes; una de ellas su CM. De nuevo cronometraremos 10 períodos y los calculo seránlos mismos que los del apartado anterior.

Representando de nuevo ωo(d )2=K / I (d ) frente a d 2 los datos deberían disponerse a

lo largo de una recta cuyo punto de corte con el eje en d=0 será K / I CM y su pendienteM /K. Con el dato de K obtenido en el apartado anterior puede comprobarse este

teorema.

Momento de inercia de un objeto.

Finalmente, se determinará de manera experimental el momento de inercia de un objeto congeometría más complicada. El alumno tomará un objeto de la bandeja de la Fig. 1a,determinará su frecuencia de oscilación y comprobará (conociendo K ) si su momento deinercia respecto del CM coincide con el valor teórico, que se encuentra en cualquier libro deFísica elemental.

3.- Resultados y gráficos.

Con estos datos obtenido en la práctica hemos de efectuar las siguientes cálculos y gráficos.

• Representar la frecuencia de oscilación ω o2

en función de la distancia d 2 de las masas al eje de giro y determinar la constante K del muelle de torsión por el método de los mínimos cuadrados.

• Repitiendo el procedimiento del apartado anterior comprobar el teorema de Steiner calculando la pendiente y el punto de corte con el eje mediante el ajuste de mínimos cuadrados.

• Comprobar si el valor teórico del momento de inercia teórico coincide con el experimental para otro cuerpo (esfera, cilindro hueco o macizo) midiendo de nuevo el período de la oscilación.