CALCULO III - ENGENHARIA MECANICA

O OPERADOR ∇

LISTA DE EXERCICIOS I

1. Seja A = A1i+ A2j + A3k um campo vetorial, define-se o operador

A · ∇ = A1∂

∂x+ A2

∂

∂y+ A3

∂

∂x,

onde (A · ∇)ϕ = A1∂ϕ

∂x+ A2

∂ϕ

∂y+ A3

∂ϕ

∂z, para ϕ um campo escalar.

No caso de um campo vetorial F = F1 i+ F2 j + F3 k, define-se

(A · ∇)F = (A · ∇)F1 i+ (A · ∇)F2 j + (A · ∇)F3 k.

1.1) As equacoes de Navier Stokes (N-S) sao equacoes diferenciais em derivadas parciais que

descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos, que permitem determinar os campos

de velocidade e de pressao num escoamento. Sao usadas para modelar o clima, correntes

oceanicas, fluxos da agua em oceanos, movimentos das estrelas dentro da galaxia, fluxo

ao redor de aerofolios (asas), propagacao de fumaca em incendios. Tambem sao usadas

no projeto de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguıneo, no projeto de usinas de

forca, na analise dos efeitos da poluicao, etc...

Embora estas equacoes foram escritas no seculo 19, ainda nao foi comprovado que, a tres

dimensoes existem sempre solucoes , ou que, se elas existem, entao nao contem qualquer

singularidade (ou infinito ou descontinuidade). Existe um premio de 1.000.000 U$ que

foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de matematica Clay para qualquer um

que fizer progressos substanciais na direcao de uma matematica teorica que possa ajudar

a entender este fenomeno.

Um dos termos da equacao N-S e da forma (V · ∇)V , onde

V = V1(x, y, z, t) i+ V2(x, y, z, t) j + V3(x, y, z, t) k,

e o campo de velocidade do fluido.

Calcule-se as componentes de (V · ∇)V .

1.2) Mostre que uma definicao equivalente do operador V · ∇ e dado pelo limite:

(A · ∇)F (r) = ∥A∥ limϵ→0

F (r + ϵ u)− F (r)

ϵ.

Onde u e vetor unitario na direcao de A.

1

1.3) Verifique a seguinte identidade:

2 (A · ∇)F = rot (F × A) + ∇(A · F ) + (divF ) A− (divA) F − A× rot F − F × rot A.

2. Sejam campos vetoriais F1, F2. Verifique a identidade:

∇(F1 · F2) = (F2 · ∇)F1 + F2 × rot F1 + (F1 · ∇)F2 + F1 × rot F2.

3. Sejam quaisquer campos F , Φ vetorial e escalar respectivamente. Prove-se as seguintes

identidades:

3.1) ∇ · (∇× F ) = 0.

3.2) ∇× (∇Φ) = 0.

3.3) ∇ · (∇Φ) = ∆Φ =∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2+

∂2Φ

∂z2.

4. Sistemas de coordenadas nao cartesianas sao usadas em diversas aplicacoes, como

por exemplo as coordenadas curvilıneas ortonormais (u, v, w), que pode ser derivadas das

coordenadas cartesianas por transformacoes do tipo:

r(u, v, w) = x(u, v, w) i+ y(u, v, w) j + z(u, v, w) k,

tais que os vetores tangentes

{∂r

∂u,∂r

∂v,∂r

∂w

}as linhas coordenadas:

Γ1 : r(u, v0, w0) = x(u, v0, w0) i+ y(u, v0, w0) j + z(u, v0, w0) k

Γ2 : r(u0, v, w0) = x(u0, v, w0) i+ y(u0, v, w0) j + z(u0, v, w0) k

Γ3 : r(u0, v0, w) = x(u0, v0, w) i+ y(u0, v0, w) j + z(u0, v0, w) k,

sao ortogonais dois a dois ( (u0, v0, w0) e um ponto fixo). Chamando h1 =

∥∥∥∥∂r∂u∥∥∥∥, h2 =

∥∥∥∥∂r∂v∥∥∥∥

e h3 =

∥∥∥∥ ∂r

∂w

∥∥∥∥; onde ∥ · ∥ denota o comprimento de um vetor.

Assim obtemos um sistema ortonormal de vetores tangentes as linhas coordenadas:{eu =

1

h1

∂r

∂u, ev =

1

h2

∂r

∂v, ew =

1

h3

∂r

∂w

}.

Sejam as funcoes g : R3 → R, f : R3 → R, onde

f(u, v, w) = g (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ,

2

entao o operador gradiente e dado por:

gradf = ∇ f =1

h1

∂f

∂ueu +

1

h2

∂f

∂vev +

1

h3

∂f

∂wew.

O operador Laplaciano:

∇2f = ∆f =1

h1h2h3

[∂

∂u

(h2h3

h1

∂f

∂u

)+

∂

∂v

(h1h3

h2

∂f

∂v

)+

∂

∂w

(h1h2

h3

∂f

∂w

)].

Agora sejam o campo vetorial F : R3 → V3:

F (u v, w) = Fu(u, v, w) eu + Fv(u, v, w) ev + Fw(u, v, w) ew,

onde Fu, Fv e Fw sao as componentes do campo.

Nesse caso os operadores div e rot sao dados por:

div F = ∇ · F =1

h1h2h3

(∂

∂u(h2h3 Fu) +

∂

∂v(h1h3 Fv) +

∂

∂u(h1h2 Fw)

),

rot F = ∇× F =1

h2h3

(∂(h3 Fw)

∂v− ∂(h2 Fv)

∂w

)eu +

1

h1h3

(∂(h1 Fu)

∂w− ∂(h3 Fw)

∂u

)ev +

1

h1h2

(∂(h2 Fv)

∂u− ∂(h1 Fu)

∂v

)ew.

4.1) Um exemplo de coordenadas curvilıneas sao as coordenadas cilındricas (r, ϕ, z):x = r cosϕ

y = r sinϕ

z = z

(1)

onde r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π e −∞ < z < +∞.

Mostre que a divergencia de um campo vetorial F = Frer + Fϕeϕ + Fz ez em coordenadas

cilındricas e dado por:

∇ · F =1

r

∂(rFr)

∂r+

1

r

∂(Fϕ)

∂ϕ+

∂Fz

∂z.

4.2) Outro exemplo de coordenadas curvilıneas, sao as coordenadas esfericas (r, θ, φ):x = r cosφ sen θ

y = r sinφ sen θ

z = r cos θ

(2)

3

onde r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π e 0 ≤ θ < π.

Mostre que o rotacional de um campo vetorial F = Frer + Fθeθ + Fφeφ em coordenadas

esfericas e dado por:

∇× F =1

r sen θ

[∂

∂θ(sen θ Fφ)−

∂Fθ

∂φ

]er +

1

r

[1

sen θ

∂Ar

∂φ− ∂

∂r(rAφ)

]eθ +

1

r

[∂

∂r(rFθ)−

∂Fr

∂θ

]eφ.

4.3) Sejam as seguinte coordenadas curvilıneas:x = u2 − v2

y = u2 − v2

z = w

(3)

onde u > 0, v > 0 e −∞ < w < +∞.

i) Se r = x(u, v, w)i + y(u, v, w)j + z(u, v, w)k, prove que os vetores tangentes as

linhas coordenadas do sistema (3):{∂r

∂u,∂r

∂v,∂r

∂w,

}sao ortogonais dois a dois.

ii) Calcule-se sistema de vetores ortonormais tangentes as linhas coordenadas do sis-

tema (3):

{eu, ev, ew} .

iii) Calcule o operador gradiente nas coordenadas do sistema (3).

iv) Verifique-se (iii) para o seguinte campo escalar:

g(x, y, z) =

(x+ y

2

) √y − x

2− z2.

4