formulario y tablas · web viewel operador nabla se define así: en las fórmulas que vienen a...
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ÍNDICE
MATEMÁTICAS 1
Geometría 1Trigonometría 2Números Complejos 2Geometría Analítica del Espacio 3Reglas Generales de Derivación 4Tablas de Integrales 6Vectores 10Integrales Múltiples 11Fórmulas Misceláneas 13
XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen 43
3 r
Área de la Superficie 4 2 r
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2 rh
r
h
Volumen 13
2 r h
Área de la superficie lateral r r h r l2 2
Volumen 13
2 2 h a ab b
Área de la superficie lateral
a b h b aa b l
2 2
h
a
b
l
XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
1
Trigonometría
sen sen cos cos senA B A B A B
cos cos cos sen senA B A B A B
tan A BtanA tanB
tanAtanB
1
sen sen A A
cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 12
sen cos sen senA B A B A B 12
cos cos cos cosA B A B A B 12
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos
Ley de los cosenosc a b a b C2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a ba b
tan A Btan A B
1212
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que r i r p i pp pcos sen cos sen
Sea n cualquier entero positivo y , entonces
r i r in n kn
kncos sen cos sen 1 1 2 2
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2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 : PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,
Distancia entre dos puntos: d x x y y z z l m n 2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:
x x l t 1 y y mt 1 z z n t 1
-Forma Simétrica:
t x xl
1 t y y
m
1 t z zn
1
Cosenos Directores:
cos
x x
dld
2 1 cos
y y
dmd
2 1 cos
z z
dnd
2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0
-Forma General:Ax By Cz D 0
cos cos cos2 2 2 1 o
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
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3
Coordenadas cilíndricas:
x ry rz z
cossen
o
r x ytan
z z
yx
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P(x,y,z)(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x ry rz r
sen cossen sencos
o r x y z
tan yx
zx y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
m m
m m2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación
ddx
cx c
ddx
cx ncxn n 1
ddx
u v wdudx
dvdx
dwdx
ddx
cu cdudx
ddx
uv udvdx
vdudx
ddx
uvw uvdwdx
u wdvdx
v wdudx
ddx
uv
v dudx u dv
dxv
2
ddx
u nududx
n n 1
(Regla de la cadena)
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Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
ddx
ue
ududx
a aaalog
log, 0 1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
ddx
uu u
dudx u u
dudx
si u
si usec
sec
sec
12 2
12
21
1
1
1
1
0
ddx
uu u
dudx u u
dudx
si u
si ucsc
csc
csc
12 2
12
21
1
1
1
1
0
0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
ddx
u u dudx
coth csc h2
ddx
u u u dudx
sec sec tanhh h
ddx
u u u dudx
csc csc cothh h
5
ddx
uu
dudx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
ddx
uu
dudx
u o ucoth
12
11
1 1
ddx
uu u
dudx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
ddx
uu u
dudx u u
dudx
si u si ucsc ,h-1
11
11
0 02 2
Tablas de Integrales
u dv uv v du csc cot cscu u du u C u du
nu C nn n
1
111
duu
u C ln cot ln senudu u C
e du e Cu u
a dua
aCu
u
lncsc ln csc cotudu u u C
sen cosu du u C dua u
ua
C2 2
1
sen
duu u a a
ua
C2 2
11
sec
csc cot2 u du u C dua u a
u au a
C2 2
12
ln
duu a a
u au a
C2 2
12
ln
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 22
2 2
2 2 ln du
u a u aa u a
uC
2 2
2 21
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 22
2 2
82
8 ln du
u a ua ua u
C2 2 2
2 2
2
a u
udu a u a
a a uu
C2 2
2 22 2
ln du
a u
ua a u
C2 2 3 2 2 2 2
/
a uu
dua u
uu a u C
2 2
2
2 22 2
lna u du
ua u
a ua
C2 2 2 22
1
2 2 sen
6
dua u
u a u C2 2
2 2
ln
u dua u
ua u
au a u C
2
2 22 2
22 2
2 2 ln
a uu
du a u aa a u
uC
2 22 2
2 2
ln
a uu
duu
a uua
C2 2
22 2 11
sen u a duu
u aa
u u a C2 2 2 22
2 2
2 2 ln
u du
a u
ua u
a ua
C2
2 22 2
21
2 2 sen
Cdu
u a u aa a u
uC
2 2
2 21
lnu a
udu u a a
au
C2 2
2 2 1 cos
duu a u a u
a u C2 2 2 2
2 21
u au
duu a
uu u a C
2 2
2
2 22 2
ln
duu a
u u a C2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
du
u u a
u aa u
C2 2 2
2 2
2
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
udua bu b
a bu a a bu C
12 ln u du
a bu ba b u abu a bu
2
32 2 22
158 3 4
duu a bu a
a bu a
a bu aC a
1
0ln , si
2 01
aa bu
aC atan , si
du
u a bu au
a buC
1
ln a buu
du a bu adu
u a bu
2
du
u a bu auba
a buu
C2 2
1
ln a buu
dua bu
ub du
u a bu
2 2
udu
a bua
b a bu ba bu C
2 2
1ln
u a budu
b nu a bu na u a budun n n
2
2 332 1
du
u a bu a a bu aa bu
uC
2 2
1 1ln
u dua bu
u a bub n
nab n
u dua bu
n n n
2
2 122 1
1
du
u a bua bu
a n ub n
a ndu
u a bun n n
1
2 32 11 1
u a budub
bu a a bu C 215
3 22
32
7
udua bu b
bu a a bu
23
22
sen sen2 12
14 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1
212u du u u u u C
cos sen2 12
14 2udu u u C sen sen cos senn
nn nu du u u
nn
udu 1 1 21
cos cos sen cosnn
n nu du u un
nu du
1 1 21
sen sen cos3 13
22udu u u C cot cot cotn n nudun
u u du
11
1 2
cos cos sen3 13
22u du u u C sec sec secn n nu dun
tanu unn
u du
11
21
2 2
csc cot csc cscn n nu dun
u unn
u du
11
21
2 2
cot cot ln sen3 12
2u du u u C
sen sen
sen senau bu du
a b ua b
a b ua b
C
2 2sec sec lnsec3 1
212u du u tanu u tanu C
cos cos
sen senau bu du
a b ua b
a b ua b
C
2 2
sen cos
cos cosau bu du
a b ua b
a b ua b
C
2 2u udu u u n u udun n ncos sen sen 1
u udu u u u Csen sen cos sen cosn mu u du
sen cos
sen cosn m
n mu un m
nn m
u udu1 1
21
sen cos
sen cosn m
n mu un m
mn m
u udu1 1
21
u u du u u u Ccos cos sen u u du
uu
u uCcos cos
1
21
22 14
14
u udu u u n u u dun n nsen cos cos 1
sen sen 1 1 21udu u u u Cu u du
nu u
u du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
11 1
1
cos cos 1 1 21udu u u u Cu u du
nu u
u duu
nn nn
cos cos ,
1 1 1
1
2
11 1
1
u u duu
uu u
Csen sen
12
122 1
414
ue dua
au e Cau au 112
ln lnudu u u u C
8
u e dua
u ena
u e dun au n au n au 1 1
u u du
un
n u Cnn
ln ln
1
211 1
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos
2 2
1u u
du u Cln
ln ln
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen
2 2
senh coshudu u C cosh senhudu u C
coth ln senhu du u C
22
22
2 22
1au u duu a
au ua a u
aC
cos
du
a u u
a ua
C2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 36
22
22
23
1
cos
uduau u
a u u aa u
aC
22
22 1
cos
22
2
22 1a u u
udu a u u a
a ua
C
cos
duu a u u
a u ua u
C2
22
2
2 2 22
2
21a u u
udu
a u uu
a ua
C
cos
9
Vectores
A B A B cos 0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz:
Magnitud del Producto Cruz
El operador nabla se define así:
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
Divergencia de A = div A
Ax
Ay
Az
1 2 3
Rotacional de A = rot A
Ay
Az
Az
Ax
Ax
Ay
3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U =
10
Integrales Múltiples
donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
donde , son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t tr tr t
( )( )( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal
n sr sr s
( )( )( )
Vector binormal
Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo
b t n n b t t n b x x x, ,
Recta tangente en Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
Plano osculador t n, en
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
r r t r t xr t 0 0 0 0
x x y y z zx y zx y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
11
Curvatura y Torsión
tr t r t
r tt
r t r t r tr t r t
x x
x3 2
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante t b, en
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z zx y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
Propiedades de la Divergencia
i) div ( + ) = div ( ) +div ( )ii) div ( ) = div( ) + ( grad ) iii) div ( + ) = G rot ( ) - ( )
12
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para
Trabajo W
Longitud de arco de y f x en
Centro de gravedad de una región plana ,
Longitud de arco en forma paramétrica
Momento de inercia de R respecto al origen
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
Cálculo del volumen
Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )( )
Ecuación del resorte helicoidal r t t tt
( ) cos ,sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y zu, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20
Ley de Torricelli v =
13