operaciona istraŽivanja - wordpress.com · 2020. 4. 2. · 4/2/2020 gordana savic,...

Gordana Savic, [email protected] 4/2/2020

1

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

GORDANA SAVIĆ

UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA

LABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŽIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”

CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI

Obnavljanje

Transportni problem - TP 2

Transportni problem (TP)

Model TP se primenjuje u situacijama kada je potrebno

transportovati robu iz veceg broja ishodišta (npr. skladišta) do

određenog broja odredišta (npr. prodavnica) tako da ukupni

troškovi transporta budu minimalni.

Formulisan je sredinom XX veka, kada su napravljena i

pocetna istraživanja. (Kantorovic, Hickok, Ivanovic, Vogel,

Dancig, Carns, Kuper, Ford, Ferguson, ...)

Linearni TP je spicifičan problem linearnog programiranja.

3


Pretpostavke:

Vrši se tansport jedne vrste robe

Postoji m-punktova (ishodišta) A1,…,Ai,..,Am (Ai, i=1,...,m)

Skladišta raspolažu sa količinom robe a1,... ,ai,..,am (ai, i=1,...,m) ,

respektivno (izražene u određenim jedinicama mere).

Postoji n-punktova potrošnje (odredišta) B1,...,Bj,..,Bn (Bj, j=1,...,n)

Odredištima je potrebno isporučiti količine robe robe b1,... ,bj,..,bn, (bj,

j=1,...,n) (izražene u određenim jedinicama mere).

Cena transporta jedinice robe iz svakog ishodišta do svakog odredišta je

poznata cij (i=1,...,m, j=1,...,n)

4


Šema transporta Pretpostavke:

Postoji n-punktova (ishodišta)

A1,…,Ai,..,Am (Ai, i=1,...,m)

Skladišta raspolažu sa količinom

robe a1,... ,ai,..,am (ai, i=1,...,m) ,

Postoji n-punktova potrošnje

(odredišta) B1,...,Bj,..,Bn (Bj,

j=1,...,n)

Odredištima je potrebno isporučiti

količine robe robe b1,... ,bj,..,bn, (bj, j=1,...,n).

5

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .


Pretpostavke:

Roba se može transportovati iz bilo kog ishodišta A1,…,Ai,..,Am do bilo kog

odredišta B1,..., Bj,..,Bn .

Cena transporta jedinice robe iz svakog ishodišta do svakog odredišta je

poznata cij (i=1,...,m, j=1,...,n)

6


Šema transporta Roba se može

transportovati iz bilo

kog ishodišta

A1,…,Ai,..,Am do bilo

kog odredišta B1,...,

Bj,..,Bn.

Cena transporta

jedinice robe iz svakog

ishodišta do svakog

odredišta je poznata cij

(i=1,...,m, j=1,...,n)

7

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ij

cm1

c 11

c i1c1

j

c mj

c1n

cin

c mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .


Šema transporta Potrebno je pronaći

ekonomični plan

transporta odnosno

količinu robe koja će se

transportovati iz i-tog

ishodišta do j-tog

odredišta:

xij (i=1,...,m, j=1,...,n)

8

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ij

x ij

cm1

x mj

c 11

x 11

c i1

x i1

c1j

x1j

xm1

c mj

c1n

x1n

cin

xin

c mn

x mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .


Tabelarna forma

Šema transporta Tabelarna forma

9

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ij

x ij

cm1

x mj

c 11

x 11

c i1

x i1

c1j

x1j

xm1

c mj

c1n

x1n

cin

xin

c mn

x mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .

B1 Bj Bn Tražnja

A1 c11

x11

... c1j x1j

... c1n x1n

a1

... ... ... ...

Ai ci1

xi1

... cij xij

... cin xin

ai

... ... ... ...

Am cm1

xm1

... cmj xmj

... cmn xmn

am

Ponuda b1 bj bn


Primer

Prodavnice

Magacini B. Brdo Dorcol Slavija raspoloživo

Borca 14 12 15 100

Kneževac 8 11 12 200

Palilula 9 5 8 100

Zvezdara 9 11 12 50

potrebno 150 200 50

10

m=4, n=3


Primer

Prodavnice

Magacini (B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo

(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c34=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400

11

Ukupna ponuda=Ukupna tražnja Zatvoren (balansiran) TP

(a1+a1+a1+a1=b1+b2+b3=400)


Tabelarna forma

Šema transporta Tabelarna forma

12

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ij

x ij

cm1

x mj

c 11

x 11

c i1

x i1

c1j

x1j

xm1

c mj

c1n

x1n

cin

xin

c mn

x mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .

B1 Bj Bn Tražnja

A1 c11

x11

... c1j x1j

... c1n x1n

a1

... ... ... ...

Ai ci1

xi1

... cij xij

... cin xin

ai

... ... ... ...

Am cm1

xm1

... cmj xmj

... cmn xmn

am

Ponuda b1 bj bn

1 1

m n

i j

i j

a b

Zatvoren (balansiran)TP

Zatvoreni (balansran)

transportni problem (ZTP)

Celokupna količina robe na ishodištima (ponuda) će biti

transportovana

Celokupna količina robe

rtažena u odredištima

(tražnja) će biti dostavljena

13

1 1

m n

i j

i j

a b

ZTP

Matematički model

14

11 11(min) ( ) ij ij mn mnf x c x c x c x K K

1 1

m n

i j

i j

a b

Upravljačke odluke: količina robe koja se transportuje iz i-tog ishodišta do j-tog odredišta

xij (i=1,...,m, j=1,...,n)

Kriterjum upravljanja Ukupni troškovi transporta

Cilj: Minimizacija

ZTP

Matematički model 15


11 1 1 1... ...j nx x x a

1 1

m n

i j

i j

a b

1 ... ...i ij in ix x x a

M

M1 ... ...m mj mn mx x x a

Količina robe

na ishodištima

Upravljačke odluke: količina robe koja se transportuje iz i-tog ishodišta do j-tog odredišta

xij (i=1,...,m, j=1,...,n)

Kriterjum upravljanja

Ukupni troškovi transporta

Cilj:

Minimizacija

Ograničavajući faktori p.o.

ZTP

Matematički model 16


11 1 1 1... ...j nx x x a

1 1

m n

i j

i j

a b


M


Količina robe

na ishodištima

Upravljačke odluke: Količina robe koja se transportuje iz i-tog ishodišta do j-tog odredišta

xij (i=1,...,m, j=1,...,n) x11, x12,..., xij,..., xmn

Kriterjum upravljanja

Ukupni troškovi transporta

Cilj:

Minimizacija

Ograničavajući faktori p.o.

Količina robe

potrebna odredištima

11 1 1 1... ...i mx x x b

1 ... ...j ij mj jx x x b

M

M1 ... ...n in mn nx x x b

11,..., ,..., 0ij mnx x x

Zatvoreni transportni problem (ZTP)

Broj ograničenja: m+n

Broj promenljivih: m*n

17

1 1 1

1 1 1

,

,

m n m

ij i

i j i

n m n

ij j

j i j

x a

x b


11 1 1 1... ...j nx x x a


M


11 1 1 1... ...i mx x x b

1 ... ...j ij mj jx x x b

M

M1 ... ...n in mn nx x x b

11,..., ,..., 0ij mnx x x

Osobina MM ZTP

Nezavisnost ogranicenja

Matematicki model ZTP ima m + n ogranicenja, ali

jedno od njih je linearno zavisno od ostalih,

tako da MM ZTP može imati najviše m+n-1 linearno

nezavisnih ogranicenja.

drugim recima, matrica A ekvivalentnog linearnog

problema može imati rang najviše m+n-1.

Posledica:

problem ZTP ima m+n-1 baznih promenljivih u svakom

baznom rešenju.

18

ZTP - Matematički model

Primer

Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija raspoloživo

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 a1=100

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400

19

11 12 13 21 22 23

31 32 33 41 42 43

(min) ( ) 14 12 15 8 11 12

9 5 8 9 11 12

p.o.

f x x x x x x x

x x x x x x

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

4 41 42 43

: 100

: 100

: 100

: 100

A x x x

A x x x

A x x x

A x x x

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

11 12 43

: 150

: 200

: 50

, ,..., 0

B x x x x

B x x x x

B x x x x

x x x

Rešavanje TP 20

Rešavanje TP

Osnovni koraci algoritma za rešavanje TP:

1. Inicijalizacija: naci pocetno bazno dopustivo rešenje. Ovo

rešenje se smatra tekucim.

2. Test optimalnosti: da li je tekuce bazno rešenje optimalno?

Ako jeste, KRAJ.

3. Nalaženje „boljeg” rešenja: naći susedno bazno dopustivo

rešenje za koje je vrednost funkcije cilja manja i usvojiti ga

kao tekuce rešenje.

Vratiti se na korak 2.

21

Rešavanje TP

Za razliku od LP gde, po upotrebljivosti i

rasprostranjenosti, simpleks metoda dominira nad

ostalim algoritmima i rešava zadatak LP od

pocetka do kraja, kod TP postoji veci broj približno

efikasnih procedura koje su specijalzovane za

određeni deo algoritma.

22

Rešavanje TP

Metode za dobijanje pocetnog baznog dopustivnog rešenja

1. Metoda „severozapadnog ugla”;

2. Metoda najmanjeg elementa u matrici cena;

3. Vogelova aproksimativna metoda.

23

Metoda „severozapadnog ugla”

Bazne promenljive se određuju „redom” po glavnoj dijagonali

matrice cena pocevši od gornjeg levog (severozapadnog

ugla).

Algoritam (formalno):

Za svaki red i (iduci odozgo na dole):

1. U gornju levu celiju rasporediti maksimalno mogucu kolicinu robe iz

posmatranog ishodišta (vrednost bazne promenljive xij=max(ai,bj))

2. Izračunti preostale količine u ishodištima (ai= ai-xij)

3. Izračunti preostale količine u odredištima(bj= bj-xij)

4. Ako je preostalo robe u posmatranom ishodištu, preci na sledecu celiju desno

od nje i ponoviti korake od 1-3., u suprotnom preći na sledeći red (i+1).

Ova metoda ne vodi racuna o kvalitetu dobijenog rešenja

24


Primer

Iteraija i=1

25

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=min(100,150)

c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=8

c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9

c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400


Primer

Iteraija i=1

26

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=min(100,150)

c12=12 c13=15 a1=100 a1=100-x11=100-100=0


c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9

c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 150

b1=150-x11=150-100=50

b2=200 b3=50 =400


Primer

Iteraija i=1

27

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=min(100,150)

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9

c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 50 b2=200 b3=50 =400

Celokupna količina robe iz Borče je transportovana!

preći na sledeći red


Primer

Iteraija i=2

28

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=100

c12=12 c13=15 a1=0

(A2) Kneževac c21=8 x21=min(100,50)

c22=11 c23=12 a2=100

a2= 100-x21= 100-50=50

(A3) Palilula c31=9

c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1=50

b1=150-x11=50-0=0

b2=200 b3=50 =400

Celokupna tražena količina robe u odredište B. Brdo je transportovana, ali je ostalo robe u Kneževcu!

preći na sledeću ćeliju u istom redu


Primer

Iteraija i=2

29

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=100

c12=12 c13=15 a1=0

(A2) Kneževac c21=8 x21=50

c22=11 x22=min(50,200)

c23=12 a2=50

a2= 50-x22= 50-50=0

(A3) Palilula c31=9

c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1=0 b2=200

b2=200-x22= 200-50=150

b3=50 =400

Celokupna količina robe iz Kneževca je transportovana!



Primer

Iteraija i=3

30

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=100

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11 x22=50

c23=12 a2=0

(A3) Palilula c31=9

c32=5 x32=min(100,150)

c33=8 a3=100

a3= 100-x32= 100-100=0

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1=0 b2=150

b2=150-x32= 150-100=50

b3=50 =400

Celokupna količina robe iz ishodišta Palilula je transportovana!



Primer

Iteraija i=3

31

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=100

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11 x22=50

c23=12 a2=0

(A3) Palilula c31=9

c32=5 x32=100

c33=8 a3=0

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 x42=min(100,50)

c43=12 a4=100

a4=100-x42=100-50=50

Potrebno b1=0 b2=50

b2=50-x42=50-50=0

b3=50 =400

Celokupna količina robe je transportovana u odredište Dorćol, a celokupna količina robe iz ishodišta Zvezdara nije transportovana!

preći na sledeće polje


Primer

Iteraija i=3

32

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=100

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11 x22=50

c23=12 a2=0

(A3) Palilula c31=9

c32=5 x32=100

c33=8 a3=0

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 x42=50

c43=12 x43=min(50,50)

a4=50

a4=50-x43=50-50=0

Potrebno b1=0 b2=0 b3=50

b3=50-x43=50-50=0

=400

Celokupna količina robe je transportovana u odredište Slavija, a celokupna količina robe iz ishodišta Zvezdara je transportovana!

početni plan je određen


Primer

Početno rešenje

33

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 x11=100

c12=12 c13=15 a1=100


c22=11 x22=50

c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9

c32=5 x32=100

c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

c42=11 x42=50

c43=12 x43=50

a4=100

Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 =400

Početno rešenje-bazne promenljive: XB0=x11

0, x210, x22

0, x320, x42

0, x430=(100, 50, 50, 100, 50, 50)

Vrednost funkcije cilja: f(X0)=c11*x110+c21*x21

0+c22*x220+c32* x32

0+c42* x420+c43* x43

0=

f(X0)=14*100+8*50+11*50+5*100+11*50+12*50=4000

Metoda najmanjeg elementa u

matrici cena

Ova metoda uzima u obzir kvalitet rešenja koristeci princip proždrljivosti

(greedy).

Algoritam:

1. Naci se polje (i, j) sa najmanjom vrednošcu cij. Promenljivoj xij se

dodeljuje vrednost min(ai,bj).

2. Ako je ai≤ bj tada se izvrše sledece privremene transformacije: ai = 0,

bj = bj - ai , cij = , j=1,..., n

3. Ako je ai ≥ bj tada se izvrše sledece privremene transformacije: bj = 0,

aj = ai - bj , cij = , i=1,..., m

4. Koraci 1-3 se ponavljaju sve dok se ne rasporedi sva kolicina robe.

34

Metoda najmanjeg elementa u matrici cena

Primer

Iteraija i=1

1. min cij=c32=5 x32=min(200,100)=100

2. a3=100


Primer

Iteraija i=2

1. min cij=c21 =8 x21=min(150,100)=100

2. a2=100


Primer

Iteraija i=3

1. min cij=c41 =9 x41=min(100,50)=50

2. b1=50


Primer

Iteraija i=3

1. min cij=c42 =11 x42=min(100,50)=50

2. a4=50


Primer

Iteraija i=3

1. min cij=c12 =12 x12=min(100,50)=50

2. b2=50


Primer

Početno rešenje

40

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 c12=12

x12=50

c13=15

x13=50

a1=100


c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9

c32=5 x32=100

c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

x41=50

c42=11 x42=50

c43=12 a4=100

Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 =400


0, x130, x21

0, x320, x41

0, x420=(50, 50, 100, 100, 50, 50)


0+c21*x210+c32* x32

0+c41* x410+c42* x42

0=

f(X0)=12*50+15*50+8*100+5*100+9*50+11*50=3650

Vogelova aproksimativna metoda

Ova metoda uzima u obzir kvalitet rešenja koristeci princip gledanja

unapred (look ahead).

Algoritam:

1. Za svaki red i za svaku kolonu izracunati razliku između dva najmanja

elementa u matrici cena.

2. Izabrati red ili kolonu za koju je ova razlika najveca i u polje (i, j) koje

ima namanju vrednost u tom redu ili kolonu dodeliti vrednost min{ai, bj}.

3. Ako je ai ≤ bj tada red i iskljuciti iz daljeg razmatranja i ažurirati razlike

između dva najmanja elementa za svaku kolonu.

4. Ako je ai ≥bj tada kolonu j iskljuciti iz daljeg razmatranja i ažurirati

razlike između dva najmanja elementa za svaki red.

5. Koraci 2-4 se ponavljaju sve dok se ne rasporedi sva kolicina robe.

41


Primer

Iteraija 1

42

Prodavnice

Magacini (B1) B. Brdo

b1= 150

(B2) Dorcol

b2=200 b2=100

(B3) Slavija

b3=50 Razlika reda (RR)

(A1) Borca

a1=100

c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2

(A2) Kneževac

a2=100

c21=8

c22=11 c23=12 11-8=3

(A3) Palilula

a3=100 a3=0

c31=9 c32=5

x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdara

a4=100

c41=9

c42=11

c43=12 11-9=2

Razlika kolone

(RK)

9-8=1 11-5=6 12-8=4 max rezlika=6

1. max razlika = 6 bazna promenlijiva će biti u drugoj koloni (j=2)

2. minci2=c32 =5 x32=min(100,100)=100

3. a3=100


Primer

Iteraija 2

43

Prodavnice


b1= 150 b1= 50

(B2) Dorcol

b2=200 b2=100

(B3) Slavija


(A1) Borca

a1=100

c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2, 15-14=1

(A2) Kneževac

a2=100 a2=0

c21=8

x21=100

c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4

(A3) Palilula

a3=100 a3=0

c31=9 c32=5

x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdara

a4=100

c41=9

c42=11

c43=12 11-9=2, 12-9=3

Razlika kolone

(RK)

9-8=1 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=0

max rezlika=4

1. max razlika = 4 bazna promenlijiva će biti u drugom redu (i=2)

2. minc2j=c21 =8 x21=min(100,150)=100

3. a2=100


Primer

Iteraija 3

44

Prodavnice


b1= 150 b1= 50 b1= 0

(B2) Dorcol

b2=200 b2=100

(B3) Slavija


(A1) Borca

a1=100

c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2, 15-14=1

(A2) Kneževac

a2=100 a2=0

c21=8

x21=100

c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4

(A3) Palilula

a3=100 a3=0

c31=9 c32=5

x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdara

a4=100 a4=50

c41=9

x41=50

c42=11

c43=12 11-9=2, 12-9=3

Razlika kolone

(RK)

9-8=1, 14-9=5, 11-5=6 12-11=1

12-8=4 12-12=0

15-12=3,

max rezlika=6

1. max razlika = 5 bazna promenlijiva će biti u prvoj koloni (j=1)

2. minci1=c41 =9 x41=min(50,100)=50

3. b1=50< a4=100 b1=50, a4=100-50=50


Primer

Iteraija 4

45

Prodavnice


b1= 150 b1= 50 b1= 0

(B2) Dorcol

b2=200 b2=100

(B3) Slavija

b3=50 b3=0 Razlika reda (RR)

(A1) Borca

a1=100

c11=14 c12=12

x12=100

c13=15 14-12=2, 15-14=1

(A2) Kneževac

a2=100 a2=0

c21=8

x21=100

c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4

(A3) Palilula

a3=100 a3=0

c31=9 c32=5

x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdara

a4=100 a4=50

a4=0

c41=9

x41=50

c42=11

c43=12

x43=50

11-9=2, 12-9=3

Razlika kolone

(RK)

9-8=1, 14-9=5, 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=0

15-12=3,

max rezlika=6

1. max razlika = 3 bazna promenlijiva će biti u trećoj koloni (j=3)

2. minci3=c43 =12 x43=min(50, 50)=50

3. b3=50= a4=50 b3=0, a4=0 x12=100


Primer

Početno rešenje

46

Prodavnice


(A1) Borca c11=14 c12=12 x12=100

c13=15 a1=100


c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9

c32=5

x32=100

c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9

x41=50

c42=11

c43=12

x43=50

a4=100

Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 =400


0, x210, x32

0, x410, x43

0=(100, 100, 100, 50, 50)


0+c32* x320+c41* x41

0+c43* x430=

f(X0)=12*100+8*100+5*100+9*50+12*50=3550

Metode za određivanje

početnog rešenja

Metode za dobijanje pocetnog baznog dopustivnog rešenja

47

Metoda Vrednost f-je cilja Izbor

Metoda „severozapadnog ugla” fsu(X0)=4000

Metoda najmanjeg elementa u matrici cena fne (X0)=3650

Vogelova aproksimativna metoda. fvog (X0)=3550 √

fsu≥fne≥fvog

Eksperimentalno je utvrđeno da Vogelova aproksimativna metoda daje najmenju vrednos f-je cilja tj. pronalazi početo bazno rešenje koje je najbliže optimalnom!

Metode za pronalaženje optimalnog rešenja

Transportni problem - TP 48

Rešavanje TP

Metode za određivanje optimalnog rešenja

2. Provera optimalnosti:

Ako je rešenje optimalno; KRAJ

Ako nije optimalno: Korak 3

3. Pronaći “bolje” dopustivno bazno rešenje i vratiti

se na korak 2.

49

Rešavanje TP

Metode za određivanje optimalnog rešenja

1. Metoda „skakanja s kamena na kamen” (stepping

stone);

2. Metoda uslovno optimalnih planova;

3. Metoda potencijala (metoda simpleks

množitelja, u-v metoda, MoDi metoda).

50

Metoda potencijala

Ova metoda proizilazi iz dualnog tumacenja

matematickog modela transportnog problema.

51

Zatvoreni transportni problem (ZTP)

ZTP-Primal ZTP-dual

52

1 1

(min) ( )

p.o.

m n

ij ij

i j

f x c x

1

, 1,...,n

ij i

j

x a i m

0, 1,..., ,

1,...,

i jx i m

j n

1 1

(max) ( , )

p.o.

m n

i j i i j j

i j

u v a u b v

1,..., , 1,...,i j iju v c i m j n

, , neograničeno,

1,..., ,

1,...,

i ju v

i m

j n

1

, 1,...,n

ij j

i

x b j n

iu

jv

ijx

Metod potencijala

Prema svojstvu komplementarnosti optimalnih

rešenja primala i duala važi:

53

* * *( ( )) 0, 1,..., , 1,...,ij ij i jx c u v i m j n

Metod potencijala

Uslov optimalnosti baznog rešenja X*

Ako je promenljiva xij bazna, tj. xij *> 0, tada važi

Ako je primenljiva xij nebazna, tj. xij *= 0, tada važi

54

* *( ) 0ij i jc u v

* *( ) 0ij i jc u v

Metod potencijala

Postupak utvrđivanja optimalnosti rešenja x

Za tekuće rešenje x odrediti dualne promenljive u i v rešavanjem

sistema jednacina ui + vj = cij za svako i, j za koje važi da je

promenljiva xij bazna.

Proveriti da li važi da za svaku nebaznu promenljivu važi

dij = cij - ui + vj ≥ 0

Ako važi, rešenje X je optimalno. Ako ne važi, treba odrediti novo

bazno rešenje, s tim što vrednosti dij predstavljaju jedinične

priraštaje funkcije cilja ukoliko nebazna promenljiva xij postane bazna.

55

Metod potencijala

Postupak utvrđivanja optimalnosti rešenja x

Sistem jednacina ui + vj = cij za svako i, j za koje važi da je

promenljiva xij bazna, ima m + n promenljivih i m + n – 1

jednačina.

Ovo znaci da je jedna promenljiva nezavisna, dok su ostalih

m+n–1 zavisne.

Prilikom rešavanja zadataka, dovoljno je na proizvoljan nacin

izabrati jednu dualnu promenljivu i dodeliti joj proizvoljnu

vrednost.

Ovaj postupak može imati teškoće kada je tekuće rešenje

degenerisano (neka bazna promenljiva jendaka 0).

56

Provera optimalnosti

Kriterijum optimalnosti

Bazno dopustivo rešenje Xk dobijeno u k-toj iteraciji sa

ukupnim troškovima transporta min Fk predstavlja optimalno

rešenje transportnog problema ukoliko je jedinična promena

troškova dij≥0 za sve nebazične promenljive xij=0,

i=1,...,m, j=1,...,n.

Polja na kojima je vrednost jedinične promene troškova negativna pružaju mogućnost

za formiranje boljeg rešenja (moguće je smanjiti ukupne troškove transporta) ukoliko

bi se po nekom od njih vršio transport.

57

Kriterijum ulaska promenljive u bazu

Kriterijum ulaska promenljive u bazu U bazu ulazi ona nebazična promenljiva xsr za koju važi da je

Novo bazno dopustivo rešenje Xk+1 i odgovarajući ukupni troškovi Fk+1 :

Odrediti u transportnoj tabeli "poligon" P čije je jedno teme polje xsr, a ostala

temena čine polja (i,j) u kojima je se nalaze bazne promenljive (svaki red i kolona

sadrže tačno dva temena poligona). Ukoliko je bazično dopustivo rešenje

nedegenerisano poligon P uvek postoji i jedinstven je.

Odrediti način promene vrednosti (dodavanje i oduzimanje vredsnosti ) u poljima

poligona P, tako da zbirovi redova i kolona u tabeli ostanu nepromenjeni. Na

osnovu toga moguće je odrediti skup temena poligona u kojima bi se vršilo

dodavanje P+, odnosno skup temena poligona u kojima bi se vršilo oduzimanje P-.

58

min{ : 0}sr ij ijd d d

Određivanje novog baznog rešenja

59

1 *ksrx

1 *, ( , )k kij ijx x i j P

1 *, ( , )k kij ijx x i j P

1 , ( , )k kij ijx x i j P

*

( , )min kij

i j Px

1 1 *k k ijF F d Vrednost f-je

cilja

Vrednost nove

bazne

promenljive

Metoda potencijala primer

Primer

Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija raspoloživo

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 a1=100

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 =400

Početno rešenje Matematički model - primal

60

11 12 13 21 22 23

31 32 33 41 42 43

(min) ( ) 14 12 15 8 11 12

9 5 8 9 11 12

p.o.

f x x x x x x x

x x x x x x

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

4 41 42 43

: 100

: 100

: 100

: 100

A x x x

A x x x

A x x x

A x x x

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

11 12 43

: 150

: 200

: 50

, ,..., 0

B x x x x

B x x x x

B x x x x

x x x

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x31=50

rang matrice (m+n-1)=(4+3-1)=6 >

broj baznih promenljivih =5

Degenerisano rešenje

Metoda potencijala primer

Primer

Matematički model - primal Matematički model - dual

61

11 12 13 21 22 23

31 32 33 41 42 43

(min) ( ) 14 12 15 8 11 12

9 5 8 9 11 12

p.o.

f x x x x x x x

x x x x x x

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

4 41 42 43 4

: 100

: 100

: 100

: 100

A x x x u

A x x x u

A x x x u

A x x x u

1 11 21 31 41 1

2 12 22 32 42 2

3 13 23 33 43 3

11 12 43

: 150

: 200

: 50

, ,..., 0

B x x x x v

B x x x x v

B x x x x v

x x x

1 2 3 4 1 2 3(max) ( , )

p.o.

u v u u u u v v v

11 1 1

12 1 2

13 1 3

21 2 1

22 2 2

23 2 3

: 14

: 12

: 15

: 8

: 11

: 12

x u v

x u v

x u v

x u v

x u v

x u v

31 3 1

32 3 2

33 3 3

41 4 1

42 4 2

43 4 3

: 9

: 5

: 8

: 9

: 11

: 12

x u v

x u v

x u v

x u v

x u v

x u v

1 2 3 4 1 2 3, , , , , , neograničeno po znakuu u u u v v v

Metoda potencijala

Provera optimalnosti rešenja

Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0

vj v1=

v2=

v3=

Početno rešenje Bazne promenljive

62

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

12 1 2

21 2 1

32 3 2

41 4 1

43 4 3

4

: 12

: 8

: 5

: 9

: 12

0

x u v

x u v

x u v

x u v

x u v

u

* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c

Broj promenljivih (m+n)=7 >

Broj jednačina =6

Jedna dualna promenljiva je

nezavisna i postaje jednaka 0.

1. Svakom redu odgovara dualna promenljiva ui

2. Svakoj koloni odgovara dualna promenljia vj

3. Promenljiva u koloni ili redu sa najvećim brojem

baznih promenljvih postaje jednaka 0 (u4= 0)

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0

vj v1=9-0=9

v2=

v3=


63

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

12 1 2

21 2 1

32 3 2

41 4 1 1 4

43 4 3

4

: 12

: 8

: 5

: 9 9 9 0 9

: 12

0

x u v

x u v

x u v

x u v v u

x u v

u

* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c



3. Promenljiva u koloni ili redu sa najvećim brojem baznih

promenljvih postaje jednaka 0 (u4= 0)

4. Ostale promenljive se računaju korišćenjem datih jednačina.

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=8-9=-1

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0

vj v1=9

v2=

v3=12


64

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

12 1 2

21 2 1 2 1

32 3 2

41 4 1 1

43 4 3 3

4

: 12

: 8 8 8 9 1

: 5

: 9 9

: 12 12

0

x u v

x u v u v

x u v

x u v v

x u v v

u

* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c



3. Promenljiva u koloni ili redu sa najvećim brojem baznih

promenljvih postaje jednaka 0 (u4= 0)

4. Ostale promenljive se računaju korišćenjem datih jednačina.

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=-1

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=9-9=0

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0

vj v1=9

v2=

v3=12


65

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

12 1 2

21 2 1 2

32 3 2

31 3 1 3 3

41 4 1 1

43 4 3 3

4

: 12

: 8 1

: 5

: 9 9 9 9 0

: 9 9

: 12 12

0

x u v

x u v u

x u v

x u v u u

x u v v

x u v v

u

* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c

1. Nedostaju vrednosti za u1, u2 i v2 kao posledica degenerisnaog

rešenja.

2. (m+n-1)=(4+3-1)=6 > broj baznih promenljivih =5

Dodati jednu fiktivnu baznu promenljivu u prvi, treći red ili

drugu kolonu. Dodati promenljivu u polje najmanjih troškova

gde nema transporta x31= = 0. Nastaviti proračun.

x31=

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=-1

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=0

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0

vj v1=9

v2=-5

v3=12


66

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

12 1 2

21 2 1 2

32 3 2 2

31 3 1 3

41 4 1 1

43 4 3 3

4

: 12

: 8 1

: 5 0 5 5

: 9 0

: 9 9

: 12 12

0

x u v

x u v u

x u v v

x u v u

x u v v

x u v v

u

* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c


rešenja.





x31=

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=17

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=-1

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=0

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4= 0

vj v1=9

v2=-5

v3=12


67

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

12 1 2 1

21 2 1 2

32 3 2 2

31 3 1 3

41 4 1 1

43 4 3 3

4

: 12 12 ( 5) 17

: 8 1

: 5 0 5 5

: 9 0

: 9 9

: 12 12

0

x u v u

x u v u

x u v v

x u v u

x u v v

x u v v

u

* * * *( ) 0 ( )ij i j i j ijc u v u v c


rešenja.





x31=

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14

d11=-12

c12=12 c13=15

d13=-14

u1=17

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11

d22=17

c23=12

d23=1

u2=-1

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8

d33=-4

u3=0

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11

d42=16

c34=12 u4= 0

vj v1=9

v2=-5

v3=12

Početno rešenje Nebazne promenljive

68

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

11 11

13 13

22 22

23 23

33 33

42 42

: 14 9 17 12

: 15 12 17 14

: 11 ( 1) ( 5) 17

: 12 ( 1) 12 1

: 8 12 0 4

: 11 ( 5) 0 16

x d

x d

x d

x d

x d

x d

* *( )ij ij i jd c u v


rešenja.





x31=

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14

d11=-12

c12=12 c13=15

d13=-14

u1=17

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11

d22=17

c23=12

d23=1

u2=-1

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8

d33=-4

u3=0

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11

d42=16

c34=12 u4= 0

vj v1=9

v2=-5

v3=12

Početno rešenje Kriterijum optimalnosti

69

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50 x43=50

Kriterijum optimalnosti nije zadovoljen: d11≤0, d13≤0, d33≤0

min dij=d13=-14 x13 postaje bazna promenljiva (x13=)

x31=

Kriterijum optimalnosti dij≥0, i,j,

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14 c12=12 c13=15 u1=

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11 c23=12 u2=

(A3)

Palilula

c31=9 c32=5 c33=8 u3=

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11 c34=12 u4=

vj v1=

v2=

v3=

Početno rešenje Kriterijum optimalnosti

70

x12=100-

x21=100

x32=100+

x41=50 +

x13= 1. Kriterijum optimalnosti nije zadovoljen: d11≤0, d13≤0, d33≤0

min dij=d13=-14 x13 postaje bazna promenljiva (x13=)

2. Kreira se poligon (počinje se od nove bazne promenljive i u svakom

redu i svakoj koloni kroz koju prođe poligon mora da postoji po jedno

teme kome se dodaje P+ i jedno od kog se oduzima P- vrednost da bi

se zadržao balans ponude i tražnje).

3. Bira se vrednost

x31=-


x43=50- *

( , )min min(50, ,100) 0kij

i j Px

Metoda potencijala


Prodavnice

Magacini

(B1)

B. Brdo

(B2)

Dorcol

(B3)

Slavija ui

(A1)

Borca

c11=14

d11=2

c12=12 c13=15 u1=0

(A2)

Kneževac

c21=8 c22=11

d11=3

c23=12

d23=1

u2=-4

(A3)

Palilula

c31=9

d31=4

c32=5 c33=8

d33=0

u3=-7

(A4)

Zvezdara

c41=9 c42=11

d42=2

c34=12 u4=-3

vj v1=12

v2=12

v3=15

I iteracija (k=1) Kriterijum optimalnosti

71

x12=100

x21=100

x32=100

x41=50

x13= Kriterijum optimalnosti je zadovoljen X1=X*


x43=50

Optimalno rešenje-bazne promenljive: XB*=x12

*, x21*, x32

*, x41*, x43

*

=(100, 100, 100, 50, 50)

Vrednost funkcije cilja: f(X*)=c12*x12* +c21*x21*+c32* x32*+c41* x41

0+c43* x43*=

f(X*)=12*100+8*100+5*100+9*50+12*50=3550

•d33=0rešenje je višestruko!

•Drugo bazno optimalno rešenje XB* * se može pronaći

ako x33 uđe u bazu (radi se još jedna iteracija)

•Sva bazna optimalna rešenja predstavljaju linearnu

konveksnu kombinaciju X* = X * + (1-)X* *, 0≤≤1

Pitanja

Transporni problem: cilj i zadatak?

Zatvoreni trasnportni problem: pretpostavke?

Matematički model ZTP?

Matematički model OTP (ponuda veća od tražnje)?

Balansiranje OTP (ponuda veća od tražnje)?

Matematički model OTP (tražnja veća od ponude)?

Balansiranje OTP (tražnja veća od ponude)?

Metode za dobijanje početnog rešenja?

72

Pitanja

Transporni problem: cilj i zadatak?

Zatvoreni trasnportni problem: pretpostavke?

Matematički model ZTP?

Metode za dobijanje početnog rešenja?

73

Pitanja

Metoda severozapadno ugla (osnovni koraci)

Metoda najmanjih troškova (osnovni koraci)

Vogelova aproksimativna metoda (osnovni koraci)

Metode za dobijanje optimalnog rešenja?

Metoda potencijala?

Dualni problem TP?

Svojstvo komplamentarnosti?

Jedinični priraštaj troškova (potencijal)?

74

Pitanja

Uslov optimalnosti baznog rešenja?

Kriterijum ulaska promenljive u bazu?

Dobijanje novog baznog rešenja u k+1

iteraciji?

Vrednost f-je cilja u k+1 iteraciji?

75

76

Hvala na pažnji

operaciona istraŽivanja - wordpress.com · 2020. 4. 2. · 4/2/2020 gordana savic,...

Documents