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PESQUISA OPERACIONAL Um texto essencial para Engenharias, Computao e Cincias Econmicas Antnio Csar Baleeiro Alves Marco Antnio Figueiredo de Menezes Francisco Jos Pfeilsticker Zimmermann Goinia 2006 SUMRIO Captulo 1: MODELAGEM EM PESQUISA OPERACIONAL Captulo 2: MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Captulo 3: PROGRAMAO LINEAR Captulo 4: DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE Captulo 5: PROCESSOS DE MARKOV Captulo 6: SISTEMAS DE FILAS DE ESPERA Captulo 7: SIMULAO

BIBLIOGRAFIA APNDICES Captulo 1 Modelagem em Pesquisa Operacional NestecaptuloestudaremosoprocessodemodelagememPesquisa Operacional (PO). O objetivo aqui, no o de obter solues de problemas de PO, mas sim o de modelar problemas, em contraposio ao uso apenas da experincia e do bom senso. Comorefernciasbsicassugerimos(HILLIEReLIEBERMAN,1995)e (GOLDBARG e LUNA, 2005). A influncia da Segunda Guerra Mundial foi decisiva para o ressurgimento da PO, e os desenvolvimentos que se seguiram nas dcadas que sucederam ao grande conflito sodevidosespecialmentedifusodocomputadornasuniversidadeseempresas.Havia demandas da parte da indstria e dos governos (transportar, planejar e interceptar, etc.), novos conhecimentosemMatemtica,Engenharia,Estatstica,EconomiaeComputaoeram publicados,efinanciamentosdepesquisanestareadeconhecimentosurgiram.Oprojeto ScientificComputationofOptimumProgramsumexemploderelevantefinanciamento ocorrido na ocasio, que resultou num grupo formado para pesquisar a viabilidade em aplicar aMatemticaetcnicascorrelacionadasanlisedeproblemasdeplanejamentoe programao militar.

1.1 O processo de modelagem Osresponsveispelatomadadedecisesnosmaisvariadoscamposda atividade humana defrontam-se com a necessidade de resolver algum problema especfico de PO.Acompreensoeadefiniodoproblemasodefundamentalimportnciaparao processo de modelagem. OprimeiropassoparaaresoluodeumproblemadePOaformulao, queconsisteemtraduzirarealidadeempricaparasentenaslgicasedadosobjetivos, permitindo a partir da o estabelecimento de um modelo matemtico. onde devemos decidir (julgamentohumano)queaspectosdosistemarealdevemosincorporaraomodelo,assim comoquaispodemserignorados,quesuposiespodemserfeitasequaispodemser 2descartadas.Atraduoestsujeitaaerrosefalhasdecomunicao.Tambm,noexistem tcnicas precisas capazes de permitir o estabelecimento do modelo de um problema.Osegundopassoadeduodomodelo,isto,analis-loeresolv-lo atravsdealgoritmosespecficos.Suasoluo,atentaaosmtodosnumricosem Computao,sugereumatomadadedeciso.Paraasuasustentao,recorremosaoterceiro passo que a interpretao de uma soluo do modelo para uma soluo do sistema real. Se o modelono forvalidado, eledeveserreformulado, e assimpordiante.Este oprocessode modelagem.Paramaioresdetalhessobreoprocessodemodelagem,recomendamos (RAVINDRAN, PHILLIPS e SOLBERG, 1987). Aseguir,estudaremoso primeiropassodoprocesso,ouseja, a formulao em Programao Matemtica e exemplos de modelos probabilsticos, sem nos preocuparmos com a soluo e a validao. 1.2 Formulao de alguns problemas Trataremos a seguir trs problemas de PO nesta seo, um da rea agrcola, outrodeadministrao,umdeeletricidade,almdealgunsprocessosestocsticos.Emcada seo, enunciaremos o problema de PO e seu modelo correspondente. Finalmente com relao aos modelos probabilsticos, apenas enunciaremos alguns problemas. 1.2.1Um problema agrcola Este problema foi extrado de (MLLER 2004), e trata da elaborao de um modelo de Programao Linear para planejamento de produo agrcola. 1.2.1.1 O problema Consideremosumproblemanaagriculturaparadecidirquaiseemque quantidade os alimentos soja, milho, arroz e feijo devem ser plantados em uma determinada rea de forma a maximizar o lucro lquido do produtor rural. A Tabela 1.1 resume os dados do problema. 3Tabela 1.1 Dados gerais do problema. Produo esperada (sacas/hectare) Renda lquida esperada (reais/hectare) GlebaTamanho (hectare) SojaMilhoArrozFeijoSojaMilhoArrozFeijo 1105013030401.2001.0402401.450 2184812032551.0809103003.380 3224814030431.0651.7283001.890 4495010028381.3207002801.220 55135703632365-120600610 65432653730160-380595280 77735683732360-171620585 86938953936610410665900 Mnimo (sacas ou hectares) 2.500 (sacas) 3.000 (sacas) 150 (hectares) Mximo (hectares) 80 (hectares) EmrelaoaosdadosdaTabela1.1,apenasattulodeinformao,um hectarecorresponde auma reaplanaequivalente aumquadradode100metrosde lado,ou seja,10.000m2,enquantoumasacaemgeralpesa50kg.Pelasrestriesimpostaspelo proprietriodafazendaprecisa-secolhernomnimo2.500sacasdesoja,poissopara produzirsementeencomendada;nomnimo3.000sacasdemilho,poisserutilizadapara pagaremprstimofeitoemmilhocooperativalocal;pretende-seplantar,nomnimo,150 hectaresdearrozplantados,poisterradeprimeiroano(terrafraca)e,nomximo,80 hectaresdeterraparaplantiodefeijo,poissecorreriscodeperdaeprefere-se,nesteano, no arriscar muito.Ainda na Tabela 1.1, Produo esperada dizrespeito ao que se espera de cadagleba(porodeterra)paraocultivodecadaumdosalimentos.ARendalquida esperadaadiferenaentreocustodeproduoerendabrutaesperada.Asduasltimas linhas formam o conjunto de restries imposto pelo proprietrio da fazenda, que diz respeito aomnimooumximodesacasquesedesejacolherdeumcertotipodealimento,ouo mnimo ou mximo de terra (em hectare) que se deseja plantar. 1.2.1.2 Um modelo Comojafirmamos,noexistemregrasprecisasparaoprocessode modelagem,poristosugerimosumatentativadeencontrarinicialmenteasvariveisde 4deciso.Tambmsugerimosverificarasunidadesdegrandezadecadadado,inclusivedas variveis de deciso. Nestecaso,definimos8 , , 2 , 1 ,= i xije4 , 3 , 2 , 1 = j ,asvariveisde deciso que pretendemos encontrar, se existirem, a saber: ijx : rea em hectares por glebai , para o plantio do alimentoj( 1 = j , soja,2 = j , milho,3 = j , arroz, e4 = j , feijo). Como estamos interessados em maximizar a renda da fazenda, utilizamos os dados da Renda lquidaesperada(reais/hectare)daTabela1.1paraconstruirovalordachamadafuno objetivo do problema, a saber: . 900 665 410 610585 620 171 360280 595 380 160610 600 120 3651220 280 700 13201890 300 1728 10653380 300 910 10801450 240 1040 120084 83 82 8174 73 72 7164 63 62 6154 53 52 5144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x x+ + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + Nossoobjetivodemaximizaoestsujeitoa algumasrestries.Sabemos que a soma das reas para o plantio dos quatro alimentos em cada gleba no pode ultrapassar o tamanho total da gleba. Temos ento: . 697754514922181084 83 82 8174 73 72 7164 63 62 6154 53 52 5144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x x Ainda, no pode haver rea negativa para plantio de cada alimento. Para isso temos, 8 , , 2 , 1 , 0= i xij e4 , 3 , 2 , 1 = j . 5Finalmente,consideramosasrestriesimpostaspeloproprietrioda fazendaconformeaTabela1.1,quesereferemaosrequisitosdeproduodoscereaispara atendimentodeencomenda,pagamentodeemprstimoecondiesdequalidadedosoloe risco de perdas em relao ao feijo. Assim, obtemos as seguintes desigualdades: 2500 38 35 32 35 50 48 48 5081 71 61 51 41 31 21 11 + + + + + + + x x x x x x x x3000 95 68 65 70 100 190 120 13082 72 62 52 42 32 22 12 + + + + + + + x x x x x x x x. 8015084 74 64 54 44 34 24 1483 73 63 53 43 33 23 13 + + + + + + + + + + + + + +x x x x x x x xx x x x x x x x Portanto,onossomodelomatemtico,quetentatraduzirumaparticular realidade da agricultura, dado pelo problema de PO maximizar 84 83 82 8174 73 72 7164 63 62 6154 53 52 5144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11900 665 410 610585 620 171 360280 595 380 160610 600 120 3651220 280 700 13201890 300 1728 10653380 300 910 10801450 240 1040 1200x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x x+ + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + sujeito a: 697754514922181084 83 82 8174 73 72 7164 63 62 6154 53 52 5144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x x 2500 38 35 32 35 50 48 48 5081 71 61 51 41 31 21 11 + + + + + + + x x x x x x x x3000 95 68 65 70 100 190 120 13082 72 62 52 42 32 22 12 + + + + + + + x x x x x x x x8015084 74 64 54 44 34 24 1483 73 63 53 43 33 23 13 + + + + + + + + + + + + + +x x x x x x x xx x x x x x x x 68 , , 2 , 1 , 0= i xij e4 , 3 , 2 , 1 = j . Aformulaodiscutidanestaseorefere-seaummodelocomfunes afins (isto , lineares). Desta forma, denominamos este problema agrcola de um problema de Programao Linear (contnua), que estudaremos no Captulo 3. 1.2.2Um problema de designao Combaseem(FANGePUTHENPURA,1993),extramososeguinte problema de Programao Linear Inteira. 1.2.2.1 O problema Cincopessoas(A,B,C,D,E)estodesignadasparatrabalharemcinco projetosdiferentes(1,2,3,4,5).ATabela1.2mostraquantotempo(emdias)uma determinada pessoa consegue finalizar um especfico projeto. Tabela 1.2 Dados gerais do problema. ProjetosPessoas 12345 A55748 B65837 C689510 D76636 E6710611 O pagamento dirio (em uma jornada de quatro horas) por pessoa 60 reais. Suponhaqueumapessoadesignadapararealizarumnicoprojetoecadaprojetospode ser realizado por uma nica pessoa. 1.2.2.2 Um modelo Nestecasodefinimos ijx ,5 , , 2 , 1= i ( 1 = i ,pessoaAeassimpor diante) e5 , , 2 , 1= j , os projetos pelas quais podem ser designadas responsveis. A varivel ijx pode ser definida como: 7=ijxcontrrio caso , 0projeto o para designada forpessoa a se , 1 j i Nossointeresseagoraodeminimizarocustoparaaexecuodos projetos. Assim, utilizamos os dados da Tabela 1.2, para construir o valor da funo objetivo, a saber: ). 11 6 10 7 66 3 6 6 710 5 9 8 67 3 8 5 68 4 7 5 5 ( 6055 54 53 52 5145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 11x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x+ + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + Nossoobjetivodeminimizaoestsujeitoaalgumasrestries.Sabemos que cada pessoa designada para realizar um nico projeto, i

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