opći prostorni sustav sila
DESCRIPTION
Opći prostorni sustav silaTRANSCRIPT
Opći prostorni sustav sila
Opći prostorni sustav sila. Slaganje općeg prostornog sustava sila
Slaganje općeg prostornog sustava sila
na tijelo djeluje sustav sila nFFF
...,, , 21
vektori položaja sila sustava n21 ...,, , rrr
O – točka redukcije
primjena teorema o paralelnom prenošenju sile:
- sustav sila nFFF
...,,, 21
nn FFFFFF
,...,, 2211
- sustav spregova sila vektora momenata nMMM
...,,, 21
nnF
nFF
FrMMFrMMFrMM n
022021101 ...,,, 21
F...FFF...FFF n'n
''R
2121
n
iiR FF
1
- GLAVNI VEKTOR SILA!
nFo
Fo
Fono MMMMMMM
...... 21
21
n
i
Foo
iMM1
- GLAVNI VEKTOR MOMENATA
SILA U ODNOSU NA TOČKU O!
Primjenom teorema o paralelnom prenošenju sile svaki prostorni sustav sila može se zamijeniti jednom silom RF
i jednim spregom sila vektora momenta oM
.
n
iiR FF
1
,
n
i
Foo
iMM1
Glavni vektor sila RF
jednak je vektorskom zbroju svih sila sustava. Glavni vektor momenata sila oM
jednak je vektorskom zbroju momenata svih sila
sustava u odnosu na točku redukcije.
Dva prostorna sustava sila su ekvivalentna ako su im glavni vektor sila i glavni vektor momenata jednaki.
Glavni vektor sila RF
ne ovisi o izboru točke redukcije. Glavni vektor momenata sila oM
ovisi o izboru točke redukcije.
Opći prostorni sustav sila. Slaganje općeg prostornog sustava sila
analitički način određivanja glavnog vektora sustava sila RF
n
iiR FF
1
projekcije vektora
n
iixRx FF
1
n
iiyRy FF
1
n
iizRz FF
1
iznos vektora
222RzRyRxR FFFF
pravac i smjer vektora
R
RxRx
F
Fcos ,
R
RyRy
F
Fcos ,
R
RzRz
F
Fcos
komponente vektora
kFFjFFiFF RzRzRyRyRxRx
,,
kFjFiFFFFF RzRyRxRzRyRxR
analitički način određivanja glavnog vektora momenata sustava sila OM
n
i
FOO
iMM1
projekcije vektora
n
iiyiizi
n
i
FOxOx FzFyMM i
11)(
: zbroj momenata sila sustava u odnosu na os Ox
n
iiziixi
n
i
FOyOy FxFzMM i
11)(
: zbroj momenata sila sustava u odnosu na os Oy
n
iixiiyi
n
i
FOzOz FyFxMM i
11)(
: zbroj momenata sila sustava u odnosu na os Oz
iznos vektora
222OzOyOxO MMMM
pravac i smjer vektora
O
OxMx
M
Mcos ,
O
OyMy
M
Mcos ,
O
OzMz
M
Mcos
komponente vektora
kMMjMMiMM OzOzOyOyOxOx
,,
kMjMiMMMMM OzOyOxOzOyOxO
Opći prostorni sustav sila. Svođenje općeg prostornog sustava sila na jednostavniji oblik
Svođenje općeg prostornog sustava sila na jednostavniji oblik
svaki prostorni sustav paralelnih sila može se svesti na glavni vektor sustava sila RF
i glavni vektor momenata sustava sila u odnosu na točku redukcije OM
mogući slučajevi ovisno o iznosima i pravcima vektora RF
i OM
slučaj 1. 0 ,0 oR MF
: uravnoteženi sustav sila
slučaj 2. 0 ,0 oR MF
:
sustav se svodi na spreg vektora momenta
n
i
Foo
iMM1
, vektor oM
ne ovisi o
izboru točke redukcije!
slučaj 3. 0 ,0 oR MF
: sustav se svodi na rezultantu Rr FF
pravac rezultante rF
prolazi točkom redukcije!
slučaj 4. oRoR MFMF
,0 ,0 :
sustav se svodi na rezultantu kojoj pravac prolazi točkom C za koju vrijedi
ORRo MOCFOCFMOC
,,
Dokaz:
paralelno prenošenje sile RF
u točku C
OR
ORR
FC M
F
MFOCFM R
OFC MM R
vektori RFCM
i OM
mogu se ukloniti,
preostaje sila rF
kao rezultanta!
Opći prostorni sustav sila. Svođenje općeg prostornog sustava sila na jednostavniji oblik
slučaj 5. oRoR MFMF
,0 ,0
u ovom slučaju daljnje pojednostavljenje nije moguće!
sustav se svodi na oR MF
, - dinamički vijak
pravac vektora oR MF
, naziva se os dinamičkog vijka (središnja os sustava sila)
Dokaz da daljnje pojednostavljenje nije moguće:
1.mogućnost: vektor momenta sprega sila oM
može se predstaviti sustavom
dviju paralelnih sila jednakog iznosa a suprotnog smjera
moment oM
predstavljen je spregom ) ,( FF
OAFMo
rezultanta sila FFR
,
FFF RR
slaganje sila FFR
, ne može se izvršiti jer im
se pravci ne sijeku
sustav je predstavljen s dvije veličine:
RO FM
, ili FFR
,
2. mogućnost: primjena teorema o paralelnom prenošenju sile za silu RF
paralelno prenošenje sile RF
u točku A
OAFM RFA
R
vektori RFAM
i OM
ne mogu se ukloniti,
može se izvršiti slaganje vektora RFAM
i OM
OFAO MMM R
sustav je predstavljen s dvije veličine:
RO FM
, ili RO FM
,
Opći prostorni sustav sila. Svođenje općeg prostornog sustava sila na jednostavniji oblik
slučaj 6. ),(,0 ,0 oRoR MFMF
sustav se svodi na dinamički vijak čija os prolazi točkom C za koju vrijedi
ORRo MOCFOCFMOC
,,sin
Dokaz:
razlaganje vektora OM
21 MMMO
sin
cos
2
1
O
O
MM
MM
paralelno prenošenje sile RF
u točku C
2sinsin
MMF
MFOCFM O
R
ORR
FC
R
2MM RFC
vektori RFCM
i 2M
mogu se ukloniti,
preostaje dinamički vijak ),( 1MFR
u točki C!
Opći prostorni sustav sila. Uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila
Uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila Nužan i dovoljan uvjet ravnoteže: Glavni vektor sila i glavni vektor momenta sila jednaki nuli!
0,0 0 MFR
n
iiF
10
,
n
i
FO
iM1
0
analitički uvjet ravnoteže Algebarski zbroj projekcija svih sila na svaku od tri pravokutne koordinatne osi jednak nuli i algebarski zbroj momenata svih sila u odnosu na svaku od tri pravokutne koordinatne osi jednak nuli .
0222 RzRyRxR FFFF 0;0 ;0 RzRyRx FFF
0)3(
0)2(
0)1(
1
1
1
n
iizRz
n
iiyRy
n
iixRx
FF
FF
FF
JEDNADŽBE PROJEKCIJA SILA
0222 OzOyOxO MMMM 0;0 ;0 OzOyOx MMM
0)6(
0)5(
0)4(
1
1
1
n
iOzOz
n
iOyOy
n
iOxOx
MM
MM
MM
JEDNADŽBE MOMENATA SILA
kraći zapis:
0)3(0)2(0)1( zyx FFF
0)6(0)5(0)4( zyx MMM
JEDNADŽBE PROJEKCIJA SILA: ograničavaju moguće pomake krutog tijela duž pravaca koordinatnih osi x, y, z!
JEDNADŽBE MOMENATA SILA: ograničavaju moguće zakrete krutog tijela oko koordinatnih osi x, y, z!
Opći prostorni sustav sila. Uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila
ako je broj nepoznanica = broj jednadžbi ravnoteže (6)
STATIČKI ODREĐEN PROBLEM
ako je broj nepoznanica > broj jednadžbi ravnoteže (6)
STATIČKI NEODREĐEN PROBLEM
uvjeti ravnoteže ako na tijelo pored n sila niFi ..1,
djeluje i m spregova sila
vektora momenata mjM j ..1,
0)6(;0)5(;0)4(
0)3(;0)2(;0)1(
111111
111
m
ijz
n
i
FOz
m
ijy
n
i
FOy
m
ijx
n
i
FOx
n
iiz
n
iiy
n
iix
MMMMMM
FFF
iii
uvjeti ravnoteže ako na tijelo djeluje sustav paralelnih sila (npr. sile paralelne s osi Oz)
0)3(
0)2(
0)1(
y
x
z
M
M
F
Primjer 1.
Pravokutna ploča dimenzija 4a2a i težine G vezana je za vertikalni strop s tri užeta. Odrediti reakcije užeta. Zadano: G, a
uvjeti ravnoteže prostornog sustava paralelnih sila
02:0)3(
0232:0)2(
0:0)1
aGaFaFM
aGaFaFM
GFFFF
BAy
CBx
CBAz
-------------------------------------------------------------------------------
.........,.................., CBA FFF
Opći prostorni sustav sila. Uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila
Primjer 2.
Ravni štap pravokutnog poprečnog presjeka duljine ABl uklješten je na kraju A dok je slobodnom kraju B opterećen silom F i spregom sila momenta M u ravnini y'z'. Odrediti reakciju uklještenja. Zadano: F, M, l.
uklještenje
AzAyAxA FFFF
- vektor reakcijske sile
AzAyAxA MMMM
- vektor momenta reakcijskog sprega
uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila
030cos:0)6(
030sin:0)5(
0:0)4(
030sin:0)3(
030cos:0)2(
0:0)1(
lFMM
lFMM
MMM
FFF
FFF
FF
Azz
Ayy
Axx
Azz
Ayy
Axx
-------------------------------------------------------------------------------
lFMlFMMM
FFFFF
AzAyAx
AzAyAx
30cos,30sin,
30sin,30cos,0
Primjer 3.
Pravokutna ploča dimenzija 6a4a i težine G vezana je za nepomičnu podlogu sfernim zglobnim osloncem u točki A, kliznim sfernim zglobnim osloncem u točki B te lakim štapom CE. Pravac klizača u točki B podudara se s pravcem y osi. Odrediti reakcije veza. Zadano: G=2kN, a=1m.
uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila
06:0)6(
030cos430cos30sin430sin30cos2:0)5(
063:0)4(
030cos:0)3(
0:0)2(
030sin:0)1(
aFM
aFaFaGM
aFaGM
GFFFF
FF
FFFF
Bxz
CCy
Bzx
BzAzz
Ayy
CBxAxx
-------------------------------------------------------------------------------
kNFkNFF
kNFFkNF
CBzBx
AzAyAx
433,0,1,0
625,0,0,217,0