1

On Skew Fuss Paths

Li-Chih Chen

陳立志指導教授：游森棚教授

Department of Applied Mathematics

National University of Kaohsiung, ROC

Aug 11, 2013

2

Outline

• Introduction

Dyck paths Fuss paths

Skew Dyck paths Skew Fuss paths

• Main results

• Idea of proof

• Discussions and future work

3

Dyck pathsDefinition 長度為 n 的 Dyck paths ：＝ ◎ 起點 (0,0) ，終點 (2n,0) ◎ 使用向上步 " " U (1,1) 與向下步 " "

D (1,-1) ，且不落在 x 軸之下。 ◎ 長度 n 是指其向上步 U 的個數。 n=3

有 5 個 Dyck paths

4

( ) : C n Dyck paths of length n

21( ) 1,1,2, ,14,

1

Catalan numbers

nC n

nn

Theorem (André ,1887)

2

2 3 4

1 1 41

2

1 2 14

zC z zC z

z

z z z z

5

◎Generating function

5

5

2-Fuss pathsDefinition(Fuss,1795,Bertrand,1887)

長度為 n 的 2-Fuss paths ：＝◎ 起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(2,2) 與向下步 D(1,-1) ，且不

落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。

有 3 個 2-Fuss paths

n=2

DU

6

2 : 2- F n Fuss paths of length n

2 31 =1,1, ,12,55,

2 1

=Fuss-Catalan numbers

nF n

nn

Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887)

32 2 2 31 1 12F z z F z z z 3

3

◎Generating function

7

2-Fusspaths

Dyckpaths

8

m-Fuss pathsDefinition (Fuss,1795,Bertrand,1887)長度為 n 的 m-Fuss paths ：＝◎ 起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(m,m) 與向下步 D(1,-1) ，且

不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。

m 格

m格

n=2

有 4 個 3-Fuss paths

DU

9

: - mF n m Fuss paths of length n◎

◎Generating function

Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887)

11

mm mF z z F

11

1 m m n

F nmn n

10

2-Fusspaths

m-Fusspaths

Dyckpaths

11

Skew Dyck pathsDefinition (Deutsch et al,2010) 長度為 n 的 Skew Dyck paths ：＝◎ 起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(1,1) 、右下步 D(1,-1) 與左下

步 L (-1,-1) ，且不落在 x 軸之下。 ◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。

有 3 個 Skew Dyck paths

n=2

LDU

12

( ) : S n Skew Dyck paths of length n◎

◎Generating function

k k1

1( ) c =1,1, ,10,36, c =Catalan numbers

1

n

k

nS n

k

Theorem (Deutsch et al,2010)

2

2

2 3 4

1 1 6 51+ 1

2

1 10 36

z z zS z z S z S z

z

z z z z

3

3

13

Skew Dyck paths

2-Fusspaths

m-Fusspaths

Dyckpaths

14

Skew Dyck paths

2-Fusspaths

m-Fusspaths

Dyckpaths

？ ？

Our question…

15

Yes, we find it ！

16

Main results

17

Skew Dyck paths

2-Fusspaths

m-Fusspaths

Skew2-Fusspaths

Dyckpaths

Skewm-Fusspaths

18

Definition 5.1 (Chen,2013)長度為 n 的 Skew 2-Fuss paths ：＝◎ 起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(2,2) 、右下步 D(1,-1) 與左下

步 L (-1,-1) ，且不落在 x 軸之下。◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。

Skew 2-Fuss paths

LDU有 2 個 Skew 2-Fuss paths

n=1

19

n=2

有 14 個 Skew 2-Fuss paths

20

Theorem 5.2 (Chen,2013)

22 2 2 2

2 3

1+ -1 +1

1 2z+ 118

S z z S S S

z z

Generating function

14

2 ( ) : 2- S n Skew Fuss paths of length n

12 +1

0 0

21( ) 2

1

1,2, ,118,1114,11306,

n nk

k j

n n jS n

k j k n jn

14

Theorem 5.3 (Chen,2013)

proof ：step1 ：利用結構拆解法

21

3 2

2

1 1 1

1 1 1

S zS zS z S zS S

S z S S S

or ss

s s

or ss

or

or

S-1

s

S-1

1D

D

D

D

z

LL

L

L

zz

z

USD’SD”S

USD’SL’ U(S-1)L’L”

U(S-1)L’D’S

step2 ：

step3 ：用 Lagrange Inversion formula

2 1 2

1+1

0 0

1( ) 3 1 2

21 2

1

n nn n

n nk

k j

S n z G z z z zn

n n j

k j k n jn

2

2

1 1 1 1

3 1 2

G S S z S S S

G z G G G

令 代入

22

proof ：

23

Skew m-Fuss paths

Definition 5.4 (Chen,2013)長度為 n 的 Skew m-Fuss paths ：＝◎ 起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。◎ 使用向上步 U(m,m) 、右下步 D(1,-1) 與

左下步 L (-1,-1) ，且不落在 x 軸之下。◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。

m 格m 格

U LD

24

( ) : - mS n Skew m Fuss paths of length n

1 2 1

0 0

1 21( ) 2

1

n nm m n k

k j

m n n jS n

j k n jn n k

Theorem 5.6 (Chen,2013)

2 11+ -1 +1

mm m m mS z z S S S

◎ Generating function

Theorem 5.5 (Chen,2013)

step1 ：利用數學歸納法及結構拆解導出

已知 m=1 時成立 ( 即定理 4.2)

已知 m=2 時成立 ( 即定理 5.2)

假設 Skew m-Fuss paths 時成立證明 Skew (m+1)-Fuss paths 時也成立設 Skew (m+1)-Fuss paths 的生成函數記為 S

25

121 1 1 mS z S S S

proof ：

26

依第一次下降到 y=1 及 y=0 分類，並令第

一次下降到 y=0 的單位步的起點為 P ，可

分成 4 種類型：(Ⅰ) LD (Ⅱ) LL (Ⅲ) DD (Ⅳ) DL

m+1

m+1

m+1

m+1

P P

P P

LL

L

L

D

DD

D

(Ⅰ ) (Ⅱ )

(Ⅲ ) (Ⅳ)

proof ：

case1 ：

27

◎ ( )( ) Ⅰ Ⅱ 型：第一次下降到 y=1 的上一步是 L 的路徑。

◎ 在 ( )( )Ⅰ Ⅱ 型中，先考慮 y=1 之上的路徑，就是以 (1,1) 為起點， P 為終點的路徑。

◎( )Ⅰ 型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （ S ）◎( )Ⅱ 型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （ 1 ）◎( )( ) Ⅰ Ⅱ 型相當於以原點為起點， P 為終點的

路徑，乘上 (S+1) 。

m+1 m+1

P PL

LLD

(Ⅰ ) (Ⅱ )

proof ：

case2 ：

28

◎ ( )( ) Ⅲ Ⅳ 型：第一次下降到 y=1 的上一步是 D 的路徑。

◎ 在 ( )Ⅲ ( )Ⅳ 中，先考慮 y=1 之上的路徑，就是以 (1,1) 為起點， P 為終點的路徑。

◎( )Ⅲ 型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （ S ）◎( )Ⅳ 型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （ 1 ）◎( )( ) Ⅲ Ⅳ 型相當於以原點為起點， P 為終點

的路徑，乘上 (S+1)

m+1 m+1

P PLD

DD

(Ⅲ ) (Ⅳ)

proof ：

29

原點走到 P 的函數方程由數學歸納法假設為 12 1 1 mz S S S

滿足 S 的函數方程 = 原點走到 P 乘上(S+1), 即

12

2

1 1 1 1

1 1 1

m

m

S z S S S S

z S S S

proof ：m+1

m+1

m+1

m+1

P P

P P

LL

L

L

D

DD

D

(Ⅰ ) (Ⅱ )

(Ⅲ ) (Ⅳ)

m

m

P

L

D

P

Skew m-Fuss paths Skew (m+1)-Fuss paths

×(S+1)

×(S+1)

step2 ：

step3 ：用 Lagrange Inversion formula

11 2

1 2 +1

0 0

1( ) 3 1 2

1 21 2

1

n m nm n n

n n m n k

k j

S n z G z z z zn

m n n j

j k n jn k

30

12

12

1 1 1 1

3 1 2

m

m

G S S z S S S

G z G G G

令 代入

proof ：

m

1

2

3

4

5

6

1, 1, 3, 10, 36, 137, ……

1, 2, 14, 118, 1114, 11306, ……

1, 4, 64, 1296, 29888, 745856, ……

1, 8, 288, 13568, 734720, 43202560, ……

1, 16, 1280, 137216, 17006592, 2293825536,……

1, 32, 5632, 1351680, 376569856, 114340921344,……

0

s mn

n

31

32

Skew Dyck paths

2-Fusspaths

m-Fusspaths

Skew2-Fusspaths

Dyckpaths

Skewm-Fusspaths

33

按照向左步的計數 (Skew 2-Fuss paths)

,

2

2 3 2

2 3 4 5 3

,

1+ 1 +

1 (1 ) (3 6 4 )

(12 35 40 23 7 )

k nn kS S y z a y z

S z S S y S y

y z y y y z

y y y y y z

2令

Theorem 5.7◎Generating function

n=2

34

按照向左步的計數 (Skew 2-Fuss paths)

2 2

2 1 1

k-n+j0 0 0

,

2 11

1

nn n

n n kn i j

nk j i

S y z S y z

jn n kS y y

n k j in

令

Theorem 5.8

：

step1 ：利用結構拆解 ，將左下步標記為 y

35

3 2 2

2

1 1 1

S-1 1

S zS zy S zyS zyS S

z S y S S y

or or

Soror

1 z z

z z

yy

yy

S

S

S-1

S-1

SS

S

proof ：

step2 ：

step3 ：用 Lagrange Inversion formula

21

1 1

k-n+j0 0 0

1+1 1

2 11

1

nnn n n

n n kn i j

k j i

z S z G z z y z zyn

jn n ky

n k j in

2

2

1 S-1 1

1 1

G S z S y S S y

G z G y G Gy

令 代入

36

proof ：

37

2 11

k-n+j0 0 0

,

2m-1 2 11

1

m mnn

m n kn nn i j

k j i

S y z S y z

jn m n kny

jn n k i

,

12

,

1+ 1 +

m k nn k

m

S S y z a y z

S z S S y S y

令

Theorem 5.9◎Generating function

按照向左步的計數 (Skew m-Fuss paths)

38

Discussions and future work1.數論性質（ 1 ） Dyck paths(Catalan 數 )

（ 2 ） Fuss paths(Fuss Catalan 數 )

211 mod 2 2 1

1kn

nnn

若且唯若

11

1 mod 1 1 11

km nm n m

mn n

若且唯若

39

Discussions and future work1. 數論性質（ 3 ） Skew 2-Fuss paths

2 0 mod 2 ( 1)nS n

證明：定義 ψ ： →

ψ(……L) ＝…… D ，且 ψ(……D) ＝…… L ，顯然是一個 involution ， ψ 將所有 中的路徑二二配對，故

必為偶數。

2nS

ψ

2nS

2nS 2 2

n ns S

n=2

Theorem 6.1

40

Discussions and future work1. 數論性質（ 3 ） Skew 2-Fuss paths

Question： Skew m-Fuss paths 的數論性質？

2

2

2

1 1,2 mod 4

2 1,2,6,6,2 mod8

3 1,2,14,6,10,10,6,14,2 mod16

n

n

n

S

S

S

Conjectures：

41

2. 細分 Dyck Paths ：按照山峰數 Narayana numbers

按照隧道（ tunnel ）數 Narayana numbers

按照區塊（ block ）數 Ballot numbers

按照第一個山峰的高度 Ballot numbers

按照高度（ height ） Height distribution

Discussions and future work

Question：Skew m-Fuss paths 按照以上細分是否有結果？

42

3. Skew 2-Fuss paths 按 " " 步的細分

Discussions and future work

1 12

0 0 1

2 11

1

n n kn i j

nk j i

n n j kS y y

n k j k n j in

20

21

22 2

22 1

31 0 " " 2-

2n+1

3 1 1 " "

1

11 1 2 2 " "

2

2 1 " " 3 2

n

n

nn

nn

ny S y Fuss paths

n

ny S y

n

n nn y S y

n y S y n

個 此即

個

個

個

( )★

Question： ( )★ 有簡單的証明嗎？

43

Discussions and future work

4. 組合結構？◎There are Catalan Structures

◎There are Fuss Structures

Question： Skew m-Fuss paths families ？？

200

50

44

THANK YOU ！