Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresMiguel Samplón Chalmetamsamplonunizar.es3 de marzo de 2011

Índi eÍndi e 11. Con eptos bási os 21.1. Con epto de medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Resultado de una medi ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Patrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Expresión del resultado de una medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Estima ión de in ertidumbres 72.1. Representa ion matemáti a de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Estima ión de la in ertidumbre. Evalua ión tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Estima ión de la in ertidumbre. Evalua ión tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Distribu ión normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Distribu ión re tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6. Composi ión de in ertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Representa ión de patrones 143.1. Calibra ión de un instrumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Espe i a iones de un patrón dadas por el fabri ante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Espe i a iones de un instrumento de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Representa ión metrológi a de un instrumento de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174. Ejemplos 204.1. Medida dire ta de una magnitud mediante un úni o instrumento de medida . . . . . . . . 204.2. Medida indire ta de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Bibliografía 23

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresPrólogoEste do umento re oge los ontenidos sobre ál ulo de in ertidumbres en pro esos de medida quese han venido impartiendo omo parte de la asignatura Ele trometría del ter er año de la titula ión deIngeniería Té ni a Industrial, espe ialidad Ele tri idad en la Es uela Universitaria de Ingeniería Té ni aIndustrial de Zaragoza.La limita ión en tiempo así omo el he ho de tener que o uparse también en esa asignatura deotras temáti as no demasiado rela ionadas on ésta en primera aproxima ión, omo ha sido el ontrolde instrumenta ión por ordenador, han forzado a que se onsideren úni amente los asos en los que lasmagnitudes son independientes y no se ha men ionado métodos alternativos omo el de Monte Carloque también vienen re ogidos en el GUM. Por los mismos motivos no se ha e un análisis de grados delibertad en la omposi ión de magnitudes a n de obtener una mejor estima ión del fa tor de oberturadel resultado nal. En este sentido se pueden onsiderar estas notas omo introdu torias.Por otra parte se ha in idido fuertemente en la lasi a ión de los dispositivos metrológi os en referen- ias e instrumentos de medida lo que, a jui io del autor, fa ilita el tratatamiento sistemáti o y on eptualdel problema.A efe tos de fa ilitar la omuni a ión de resultados y/o dudas a través de medios ele tróni os, omoel orreo ele tróni o y sistemas de hat, se ha desarrollado una nota ión que no emplea subíndi es nisuperíndi es y que, si bien resulta un tanto engorrosa al prin ipio, se adapta bien a su es ritura en textoplano.Considerando la ingente antidad de do umenta ión libre y de alidad que he en ontrado a través deInternet y de la que he sa ado prove ho me pare e asi obligado difundir este do umento de la mismamanera. Es por ello que se publi a bajo una li en ia Creative Commons CC BY-NC 3.01Se di e que un do umento de este tipo nun a se termina de es ribir, simplemente se deja de trabajaren él. Es mi inten ión a orto plazo ontinuar revisándolo y ompletándolo on más ejemplos al menoshasta el urso 2012-2013 momento en el que la do en ia en esa asignatura esará en pro de los nuevosplanes de estudio que han llegado de la mano de la de lara ión de Bolonia. Espero que la informa iónde estas páginas larique antes que os urez a, en espe ial para mis estudiantes, en uyo aso lo esperodevotamente. Fuera del ámbito de ese ole tivo, si al le tor le resultad de utilidad este do umento meagradará saberlo, por lo que le invito a que me lo omunique por orreo ele tróni o así omo ualquier omentario, ríti a u obje ión -yo soy el úni o ulpable- que rea onveniente.Miguel Samplón Chalmetamsamplonunizar.esZaragoza, marzo del 2011

1Esta obra está bajo una li en ia Attribution-NonCommer ial 3.0 Spain de Creative Commons. Para ver una opia deesta li en ia, visite http:// reative ommons.org/li enses/by-n /3.0/es/ o envie una arta a Creative Commons, 171 Se ondStreet, Suite 300, San Fran is o, California 94105, USA. 1

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres1. Con eptos bási os1.1. Con epto de medirUn atributo de un fenómeno, uerpo o substan ia es medible uando podemos estable er una o-rresponden ia entre ese atributo y sus propiedades físi as y un onjunto de números y sus propiedadesmatemáti as. En ese aso a ese atributo se le denomina magnitud medible o simplemente magnitud.Emplearemos indistintamente el término magnitud para indi ar el on epto general o una realiza ión on reta de esa magnitud en el mismo sentido en que empleamos el término longitud para referirnos alatributo general, La longitud se mide en metros, o a una realiza ión on reta, Tiene una longitud de12 metros.Medir es el pro eso mediante en ual aso iamos a una magnitud on reta el número que le orresponde.En términos generales dentro de las magnitudes que utiliza la Físi a eso se realiza mediante la ompara iónde esa magnitud on otra de referen ia que arbitrariamente se adopta omo unidad. Por ompara ión eneste aso entendemos no sólo estable er una rela ión de orden, esto es, si una magnitud es mayor o menorque la otra, sino ser apa es de espe i ar uantas ve es es mayor o menor. Así, uando de imos que latensión que ae en una resisten ia es 3V queremos de ir que esa tensión ha resultado ser tres ve es másgrande que una tensión de referen ia denominada Voltio.Para llevar a abo la ompara ión podemos re urrir genéri amente a uno de estos métodos:Medi ión mediante un instrumento de medida. La magnitud a medir se pone en onta to on uninstrumento de medida el ual arroja una le tura (digital o analógi a) del valor de la magnitud. Unejemplo de este tipo lo onstituye un óhmetro.Medi ión por ompara ión dire ta. Mediante un dispositivo o montaje auxiliar se omparan lamagnitud a medir y una o varias magnitudes de referen ia. El dispositivo auxiliar presenta algúnvisualizador que indi a el momento en que ambas magnitudes son iguales. Esen ialmente este mé-todo es similar al anterior siendo el dispositivo auxiliar un instrumento de medida optimizado paramedidas en torno a ero de la magnitud y on el que se mide la diferen ia entre ambas. Una balanzade dos brazos para la medida de masas o un puente de Wheastone para la medida de resisten iasson posibles ejemplos.Desde un punto de vista metrológi o los instrumentos que van a formar parte de un sistema de medidalos podemos lasi ar en dos gruposReferen ias : Son dispositivos que presentan o generan una antidad sus eptible de sermedida.Ejemplos de referen ias son: pilas y por extensión fuentes de alimenta ión (magnitud: tensión), shunts(magnitud: resisten ia), diodos zener (magnitud: tensión), un ir uito astable, y por extensión, un gene-rador de onda (magnitud: fre uen ia). Asimismo los alibradores multifun ión de los que suelen estardotados los laboratorios de metrología son dispositivos apa es de a tuar omo referen ias ongurablestanto en el tipo de magnitud que generan omo en su valor.Instrumentos de medida: Son dispositivos apa es de realizar una le tura sobre una refe-ren ia.Idealmente esa le tura orresponderá on el valor verdadero de la referen ia.Ejemplos de instrumentos de medida son: voltímetros, apa ímetros, óhmetros, amperímetros, fre- uen ímetros, termómetros, una regla métri a, os ilos opios...La deni ión anterior impli a que la ara teriza ión prin ipal de un instrumento de medida es quedispone de una pantalla o display o más generalmente de algún sistema mediante el que nos transmiteel valor de la le tura. De esta forma el instrumento de medida pueden ser un úni o dispositivo físi oindependiente o estar onstituido por un onjunto de dipositivos trabajando onjuntamente, ada unode los uales podrían interpretarse omo rereferen ias o instrumentos de medida de forma independientepero que globalmente se omportar omo un instrumento. 2

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresEJEMPLOUna medida de poten ia disipada sobre una arga puede realizarse:Mediante un watímetro.Mediante un voltímetro y un amperímetro one tados a través de un bus de instru-menta ión a un ordenador que es el en argado de pro esar la informa ión obtenidade ambos dispositivos y visualizar el resultado en la pantalla.De esta forma el onjunto formado por el voltímetro, el amperímetro y el ordenador puede onsiderarse omo un úni o instrumento de medida.1.2. Resultado de una medi iónSi se apli a un instrumento de medida a una magnitud, idealmente se debería obtener una le tura oin idente on el valor verdadero de la magnitud. No obstante, experimentalmente se puede omprobarque si se repite el pro eso en ondi iones esen ialmente idénti as se obtienen resultados diferentes aunqueprevisiblemente similares. El resultado de la medi ión es por tanto un onjunto de valores más o menosagrupados pero que presentan una ierta dispersión.Vamos a ilustrarlo on un ejemplo. Supongamos que disponemos de una línea ondu tora por la que ir ula una orriente alterna proviente de la red. Se pretende realizar una medida de la amplitud de laintensidad que ir ula empleando omo instrumento de medida una pinza amperimétri a. Sin pretenderrealizar una lista exhaustiva, la dispersión que obtendríamos se podría a ha ar a una o varias de lassiguientes ausas:Inuen ia del método de medida. La ubi a ión de la pinza en torno al ondu tor no se ha e de unaforma entrada.Inuen ia del instrumento de medida. El entrehierro del ir uito magnéti o ambia un po o adavez que se abre y se ierra la mordaza.Inuen ia del operador. El operario es in apaz de entrar ade uadamente la pinza en torno al ondu tor.Inuen ia de otras magnitudes. Existe un ampo indu ión magnéti a variable exterior al que reala línea ondu tora y que a túa sobre los sensores magnéti os de la pinza.Indeni ión o mala deni ión de la magnitud a medir. Previsiblemente se está intentando medir laamplitud pero presuponiendo que la orriente es una senoidal pura de 50Hz. Si la orriente tiene ontenido armóni o, la amplitud AC no está bien denida.Otras ausas intrínse as al mensurado.Idealmente el resultado de una medi ión debería ser un úni o valor onsistente on la deni ión dela magnitud que se ha medido2. Sin embargo las ausas anteriormente itadas van a ondu ir al estable- imiento de un onjunto de valores que, a la luz del ono imiento que tenemos, pueden ser igualmenteaso iados al resultado. En onse uen ia el resultado de una medi ión no es un úni o valor sino un onjuntode ellos típi amente agrupados en un intervalo. Con respe to a esto abe ha er dos onsidera iones:(a) El tamaño del intervalo no es intrínse o del mensurando sino que depende también, tal omo seha visto, del operador y del método de medida en un sentido amplio. En este sentido el tama«odel intervalo puede onsiderarse un indi ador de la alidad del pro edimiento de medida o omo unindi ador del grado de ono imiento/des ono imiento que se tiene de esa magnitud.(b) Mejoras en el pro edimiento de medida ondu irán a intervalos progresivamente más pequeños, perono se podrán redu ir a un úni o punto. Por ello la idea de valor verdadero de una magnitud pierdesentido físi o.2El VIM dene valor verdadero de una magnitud omo el valor en onsisten ia on la deni ión de una magnitudparti ular dada. Asimismo indi a la imposibilidad de ono er ese valor 3

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresEl intervalo de valores que podemos atribuir a un mensurando X lo representamos mediante dosvalores:Valor onven ionalmente verdadero.Valor onven ionalmente verdadero de una magnitud es el valor atribuido a una magnitudCorresponde on la mejor estima ión que tenemos del valor verdadero. Normalmente oin idirá onel valor entral del intervalo. Lo denotaremos omo X→VCV .In ertidumbre.In ertidumbre es un parámetro, aso iado al resultado de una medi ión, que ara teriza ladispersión de valores que podrían razonablemente ser atribuidos al mensurando.Aunque más adelante se matizará el valor que se asignará a la in ertidumbre por ahora onside-raremos que la in ertidumbre orresponde on la semian hura del intervalo. Lo denotaremos porX→UXLa espe i a ión del resultado de una medida pasará por la indi a ión de ambos valores que, por otraparte, tienen las mismas dimensiones físi as. Usualmente esto se suele ha er en la forma:

(X→VCV ± X→UX) Unidad (1)EJEMPLOEl resultado de la medida de una intensidad I podría ser:(28.78 ± 0.16) A (2) on lo que expresamos que, en base al ono imiento que tenemos de esa orriente podemosrazonablemente atribuirle ualquier valor entre 28.62 A y 28.94 AEn o asiones la in ertidumbre se suele expresar en valores relativos, normalmente en tanto por ienaunque no siempre es así. En ese aso:

(X→UX)REL = 100X→UX

X→VCV(3)1.3. PatronesUn sistema de instrumenta ión puede estar onstituido por un úni o instrumento de medida o seruna ombina ión más o menos ompleja de referen ias e intrumentos de medida. Algunos de ellos puedentener un papel auxiliar en el pro eso. Sin embargo un instrumento de medida sólo sera relevante de ara auna medi ión lo tengamos ara terizado desde un punto de vista metrológi o, en uyo aso de imos que eldispositivo, referen ia o instrumento de medida, es un patrón. La ara teriza ión metrológi a impli a que ono emos la alidad de su opera ión omo dispositivo metrológi o. El pro eso mediante el que se onsigueque un dispositivo sea un patrón se suele denominar habitualmente alibra ión o menos fre uentemente,veri a ión3La ara teriza ión metrologi a se interpreta de forma diferente en fun ión del tipo de dispositivo quese trate:En el aso de referen ias impli a que ono emos el valor de la antidad que presentan y por tantosu valor onven ionalmente verdadero y su in ertidumbre.Un trozo de hilo de obre es una referen ia de resisten ia, pero no es un patrón puesto que des ono e-mos su valor óhmi o y por tanto no onstituye un patrón. In lusive aunque tuviese indi ado su valoróhmi o mediante una etiqueta tampo o podríamos onsiderarlo patrón mientras no estuviésemosseguros de la validez de esa informa ión.3Realmente hay una ierta diferen ia entre alibra ión y veri a ión que se verá mas adelante. Pero habitualmente seemplea el término alibra ión en ambos sentidos. 4

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresEn el aso de instrumentos de medida la ara teriza ión metrológi a onsiste en dispone de unaestima ión del error que omete al realizar una le tura. Más formalmente, la ara teriza ión parapor determinar su desvia iónDesvia ión de un instrumento de medida es la diferen ia entre lo que mide y lo que deberíamedirPara alibrar un instrumento de medida no patrón (o, equivalentemente, para determinar su desvia- ión) se le ha e medir una referen ia patrón. La referen ia (R), omo tal patrón, tiene un valor ono idode (R→VCV ± R→UX) , mientras que el instrumento de medida (IM) indi a que esa referen ia vale(IM→VCV ± IM→UX) . Probablemente habrá una ierta diferen ia entre ambos intervalos en generalo entre ambos valores onven ionalmente verdaderos en parti ular que de alguna manera reejan lo que sedesvía el instrumento de medida al ha er la medida. La desvia ión viene representada por la siguientemagnitud:

D = R− I (4)que reeja la interpreta íón de la desvia ión omo la diferen ia entre lo que debe medir y lo que enrealidad mide. Alternativamente, si despejamos R de la e ua ión anterior:R = I +D (5)lo que permite interpretar la desvia ión omo la antidad on la que hay que orregir al instrumentode medida (la antidad que hay que a«adir al resultado que ofre e) para obtener el resultado orre to.Calibrar un instrumento de medida onsiste por tanto en medir su desvia ión. Como todo pro edi-miento de medida onllevará una ierta dispersión de valores, por lo que la espe i a ión de la desvia iónserá en la forma (D→VCV ± D→UX)1.4. Expresión del resultado de una medidaLa determina ión nal del valor onven ionalmente verdadero e in ertidumbre de una magnitud on-llevará en la mayor parte de los asos de un ierto tratamiento matemáti o. A n de no añadir una fuenteadi ional de in ertidumbre, en los ál ulo intermedios no se realizará ningún tipo de redondeo sino quese tratará de arrastrar el mayor número de de imales posible. Sin embargo el resultado nal sí que sesometerá a un ierto redondeo a n de aumentar su legibilidad a la hora de plasmarlo en un informe.Para la realiza ión de ese redondeo se siguen las siguientes reglas:La in ertidumbre se redondeará a dos ifras signi ativas y siempre ha ia arriba (el redondeo siempredebe tender a aumentar la in ertidumbre)El valor onven ionalmente verdadero se redondeará hasta el nivel de signi a ión de la última ifra signi ativa a la que se ha redondeado la in ertidumbre. Se emplearán las reglas habitualesde redondeo: si la siguiente ifra menos signi ativa está entre 0 y 4 la ifra a redondear se dejaráal valor que tiene. Si la siguiente ifra menos signi ativa está entre 6 y 9, la ifra a redondear sein rementará en una unidad. Si la siguiente ifra menos signi ativa es 5 la ifra a redondear sein rementará una unidad o se dejará omo está de forma aleatoriaUn forma más algorítmi a de realizar lo anterior es la siguiente:1. Expresamos la in ertidumbre en la forma P.RXXXXX EAA, donde P, R, X y A representan dígitosy E es el símbolo de exponente2. Nos aseguramos que P no es ero3. In rementamos R en una unidad y obtenemos S = R + 14. El resultado nal de la in ertidumbre es P.S EAA5. Rees ribimos este número omo nos onvenga para quitar si lo queremos el exponente de a uerdo on las unidades en que esté expresado 5

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres6. Expresamos el valor onven ionalmente verdadero de la forma MMMMM.HTZZZZZZ EAA, dondeM, H, T, Z y A representan dígitos y E es el símbolo de exponente. AA deben tener el mismo valorque los que tenía la in ertidumbre. Habrá tantas ifras M om hagan falta.7. Consideramos el valor de HSi 0 ≤ H ≤ 4 ⇒ K = HSi 6 ≤ H ≤ 9 ⇒ K = H + 1Si H = 5 ⇒ K = H + 1 o K = H aleatoriamente8. El resultado nal del valor onven ionalmente verdadero es MMMMM.K EAA9. Rees ribimos este número omo nos onvenga para quitar si lo queremos el exponente de a uerdo on las unidades en que esté expresado

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ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres2. Estima ión de in ertidumbres2.1. Representa ion matemáti a de una magnitudUna vez estable ido el sentido de valor onven ionalmente verdadero e in ertidumbre surge el problemade la determina ión uantitativa de ambos para una magnitud dada. De alguna manera el des ono imientoque tenemos del valor verdadero de la magnitud obliga a reemplazarlo por un intervalo de valores, lo quepermite interpretar la magnitud omo una entidad a la que ada vez que se le pregunta su valor nosdevuelve uno ualquiera de di ho intervalo. Esto resulta equiparable al omportamiento de una variablealeatoria matemáti a y en este sentido:Dada una magnitud X, a esta magnitud le aso iamos una variable aleatoria X , general-mente ontinua y on una fun ión densidad de probabilidad fX(x)El valor promedio de una variable aleatoria, tras un número arbitrariamente grande de experimentoses el valor esperado (o esperanza) de di ha variable, lo que re oge el sentido que hemos aso iado al valor onven ionalmente verdadero. Así:El valor onven ionalmente verdadero de una magnitud X se estable e omo la esperanzade su variable aleatoria aso iada.La in ertidumbre ara teriza la an hura del intervalo de valores razonablemente atribuibles al mensu-rando, por tanto podrían ser a eptables omo in ertidumbre ualquier medida de dispersión de la variablealeatoria. No obstante y onsiderando que que la in ertidumbre debe tener las mismas dimensiones físi asque el valor onven ionalmente verdadero, podemos aso iarle tentativamente la segunda.La in ertidumbre estándar4 de una magnitud X orresponde a la desvia ión típi a de suvariable aleatoria aso iada. La representaremos mediante el símbolo X→UELo anterior estable e para el resultado de la magnitud X un intervalo de[X→VCV −X→UE,X→VCV +X→UE]»Cómo de representativo es ese intervalo? Suponiendo que la magnitud X tiene una distribu ión normal5,ese intervalo ubre un 68.26% de los asos. O, de forma más pre isa, si se vuelve a realizar el pro eso demedida sobre esa la magnitud tenemos un 68.26% de probabilidad de que el resultado obtenido se halledentro de ese intervalo. »Es esto su iente? En realidad on esta pregunta lo que estamos bus ando esuna uanti a ión del sentido del adverbio razonablemente que apare e en la deni ión de in ertidumbre.»68.26% de probabilidad representa un intervalo razonable? Generalmente no, por lo que se opta porampliarlo mediante su multipli a ión por un fa tor de obertura kLa in ertidumbre expandida de una magnitud X es el resultado de multipli ar la in- ertidumbre estándar por un fa tor de obertura k de forma que el intervalo resultanterepresente los valores que podrían ser razonablemente atribuidos a la magnitud dentro deunos niveles de probabilidad preestable idos.La prá ti a habitual es elegir el nivel del probabilidad a un valor del 95.44% lo que impli a, suponiendoque la magnitud se distribuye normalmente, un valor de k = 2. Sin embargo, para otras distribu iones elvalor de k para ese nivel de probabilidad será otro6.Existe otro motivo que justi a la existen ia de un fa tor k. Una indi a ión de a alidad de una medidaviene dada por el valor de su in ertidumbre: A menor in ertidumbre menor es el intervalo en el que hemosa otado el valor verdadero de la magnitud. Sin embargo para que se puedan estable e ompara ionesentre las in ertidumbres aso iadas a dos medidas, ambas deben referirse al mismo intervalo de onanza,de ahí la importan ia del ono imiento de fa tor de obertura y la ne esidad de indi arlo (implí ita o5para aligerar el texto, en adelante no distinguiremos entre magnitud y variable aleatoria aso iada a la magnitud6En on reto para una distribu ión re tangular k ≈ 1.64. 7

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresexpli itamente) ada vez que se expresa una in ertidumbre expandida. No obstante lo anterior, en mu haso asiones se supondrá7 que la distribu ión nal de la medida es normal y se tomará un valor de 2 para kLo expuesto hasta ahora impli a que ono ida la fun ión de distribu ión de la variable aleatoriaque representa nuestra magnitud podemos determinar su valor onven ionalmente verdadero omo suvalor esperado, su in ertidumbre estándar omo su desvia ión típi a y su varianza en la que en mu haso asiones también estaremos interesados omo se verá más adelante. Sin embargo en la prá ti a esafun ión de distribu ión será des ono ida a priori. Esto es obvio; si por ejemplo pretendemos medir latensión generada por una ierta pila al alina, no disponemos de ninguna informa ión es rita en ella sobrela fun ión on los que se van a distribuir las diferentes le turas que hagamos.Bajo estas ondi iones, se estable en dos posibles métodos de estima ión del valor onven ionalmen-te verdadero e in ertidumbre. Los métodos se denominan de forma estándar Evalua ión tipo A, yEvalua ión tipo B.2.2. Estima ión de la in ertidumbre. Evalua ión tipo AEvalua ión tipo A. Consiste en la evalua ión de la magnitud y su in ertidumbre mediantemétodos estadísti os apli ados a una serie de observa iones (le turas) del mensurando.Este método típi amente se empleará on las le turas obtenidas de instrumentos de medida. En nuestroejemplo anterior, pretendemos obtener el valor verdadero de la tensión de la pila al alina, o al menos lamejor estima ión del mismo. Sin embargo las medidas vienen enmas aradas por una serie de fa tores deinuen ia, mu hos de los uales son extrínse os al mensurando. Sin embargo sabemos que el promediode las le turas tiende al valor verdadero según promediamos un mayor número de ellas, por lo que paradeterminar el valor verdadero realizaremos una serie de le turas que inevitablemente va a ser nito. Lamedia muestral es nuestro estimador del valor verdaderoX =

1

N

N∑

k=1

Xk (6)Como el numero de le turas N no es innito la expresión anterior no nos va a dar el valor verdaderoaunque sí un valor próximo. De he ho, si repitiéramos el pro edimiento on una nueva serie de le turasobtendríamos una estima ión del valor verdadero un po o diferente. Desde un punto de vista matemáti o,los promedios de las observa iones se distribuyen on una ierta fun ión de distribu ión que nos va a a otarel valor onven ionalmente verdadero. Cuanto mayor sea el número de observa iones que omponen adaserie de le turas menor será el intervalo en el que a otamos el valor verdadero. La dispersión de esosvalores vendrá ara terizada por su desvia ión típi a o su varianza (el uadrado de la desvia ión típi a).Podemos estimar su valor mediante la varianza muestral:S2

X=

1

N(N − 1)

N∑

k=1

(Xk −X)2 (7)Y a partir de la varianza puede obtenerse la desvia ión típi a simplemente tomando la raíz uadrada.A modo de resumen: Disponemos de una magnitud X que queremos determinar mediante una seriede N le turas (Evalua ión tipo A). Enton es:X→VCV =

1

N

∑

k

Xk (8)X→S2 =

1

N(N − 1)

∑

k

(Xk −X→VCV )2 (9)X→UE =

√X→S2 (10)

X→UX = kX→UE (11)Sin embargo quedan un par de uestiones de detalle por resolver7Por lo menos en el ámbito de apli a ión de este do umento. 8

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres»Cuantas le turas hay que tomar? »Que valor de k onsideramos? Para poder responder ne esitamosun ono er la fun ión de distribu ión de X. Sin embargo por la Estadísti a sabemos que:• Si X se distribuye omo una gaussiana enton es X se distribuye omo una gaussiana• Si X no se distribuye omo una gaussiana enton es X se distribuye aproximadamente omouna gaussiana donde la aproxima ión será mejor onforme N → ∞ (Teorema Central delLímite)En general onsideraremos que on N ≥ 10 ya podemos aproximar la distribu ión omo gaussiana8por lo que tomaremos series de 10 le turas y utilizaremos un valor de k = 2.Físi amente »Cómo se deben tomar las le turas? A la luz de lo expli ado anteriormente, las le turasdeben tomarse de forma que las magnitudes de inuen ia no presenten sesgo (es de ir que tenganuna inuen ia nula en promedio).EJEMPLOQueremos medir el valor ohmi o de una resisten ia a base de ongurar una fuente detensión a 5V y bajo esas ondi iones medir la orriente que ir ula. Aunque la fuenteindique en su visualizador que está generando 5.0V puede que en o asiones esté dando enrealidad 5.01V, pero al volver a ongurar su salida a 5V esté generando 4.98V. Por ellodebería re ongurarse la fuente para dar una salida de 5V antes de la toma de ada le tura.2.3. Estima ión de la in ertidumbre. Evalua ión tipo BEvalua ión tipo B. La evalua ión será de tipo B para los asos en que no se reali e mediantela evalua ión tipo AEste método se emplea uando, por el motivo que sea, no se dispone o no se puede disponer deun onjunto de le turas sobre las que apli ar métodos estadísti os. Y se ahí que se establez a que esevalua ión tipo B uando no se puede realizar evalua ión tipo A.Los motivos que pueden ondu ir a este tipo de evalua ión pueden ser varios:No se dispone de instrumentos para tomar las le turas.El trabajo aso iado a esa toma de le turas es ex esivamente ostoso o inabordable en un plantea-miento real de la medida.Resulta imposible realizar las le turas.EJEMPLOA modo de ejemplo: Supongamos que para una medida en la que interviene una resisten iane esitamos realizar las orre iones orrespondientes a su varia ión on la temperatura.Cono emos el oe iente de temperatura pero no disponemos de un termómetro ali-brado que nos suministre una indi a ión able de la temperatura a la que se realiza elexperimento. Sin embargo la habita ión está limatizada y dada la alidad del sistema de limatiza ión y a partir de su manual de fun ionamiento podemos onsiderar que la salase en uentra dentro de una ierta banda de temperaturas. No podemos realizar una eva-lua ión tipo A pero tampo o tenemos un des ono imiento ompleto de la temperatura.»Qué se ha e en estos asos? A partir de la informa ión disponible se supone una distribu ión deprobabilidad para la magnitud en uestión y a partir de ella se determina el valor onven ionalmenteverdadero omo su esperanza y la in ertidumbre estándar omo su desvia ión típi a.La informa ión disponible puede ser varia:Valores adaptados de manuales té ni os o tablas de re ono ida solven ia.8La aproxima ión es un po o fuerte. Los estadísti os optan por onsiderar N ≥ 30 pero desde un punto de vista prá ti oeso resulta muy ostoso 9

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresDatos de erti ados de alibra ión.Espe i a iones de fabri antes.Cono imiento y experien ia on los mensurandos y los sistemas de medida impli ados.Las distribu iones de probabilidad que se presuponen suelen ser dos en la mayoría de los asos9: ladistribu ión normal o gaussiana y la distribu ión re tangular.2.4. Distribu ión normalUna variable aleatoria X on distribu ión normal o gaussiana posee una fun ión de distribu ión ara terizada por dos parámetros que orresponden a su esperanza E[X ] = µ y su desvia ión típi a σ.Tiene la siguiente forma:f(x;µ, σ) =

1√2πσ

e

[

−1

2

(

x− µ

σ

)2 ] (12)En mu has o asiones se onsidera que el resultado nal de una medida se distribuye según estadistribu ión. Poe ello uando utili emos en nuestro pro edimiento de medida resultados de medi ionesprevias podemos presuponer que se distribuyen de esta forma. La informa ión disponible es este aso, losresultados de las medidas, nos darán dire tamente los parámetros ne esarios de la distribu ión.EJEMPLOEl erti ado de alibra ión de un shunt Hartmann-Braun indi a que, sometido a unaintensidad de 1000A durante un tiempo de 30 minutos (a n de al anzar el equilibriotérmi o) presenta una resisten ia de 20.008 µΩ on una in ertidumbre de alibra iónde ±0.05(%). El mismo erti ado indi a que la in ertidumbre orresponde a dos des-via iones típi as (nivel de onanza de aproximadamente el 95%). A partir de aquí,dire tamente, obtenemos:La informa ión sobre la in ertidumbre nos ha e suponer que se trata de una distribu iónnormal y que la in ertidumbre expandida se ha al ulado on k = 2. Por otra parte éstanos la dan en valor relativo on respe to al valor onven ionalmente verdadero.R→VCV = 20.008 µΩ

R→UX = 0.05(%) =0.05

10020.008 µΩ = 0.01 µΩ

R→UE =1

kR→UX = 0.005 µΩ

R→S2 = (R→UE)2 = 2.5 · 10−17 Ω2

(13)2.5. Distribu ión re tangularLa distribu ión re tangular se ara teriza por una fun ión de distribu ión de valor onstante entredos límites a y b (a < b) y un valor nulo fuera de esos límites.

f(x; a, b) =

1

(b− a)a ≤ x ≤ b

0 otros valores

(14)A partir de aquí se pueden determinar los parámetros representativos de la distribu iónE[X ] = µ =

1

2(b− a) (15)9Por los menos en los que se usarán aquí 10

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresV ar[X ] =

1

12(b − a)2 ⇒ σ =

√

V ar[X ] =b− a√

12(16)Vamos a ilustrar on ejemplos las formas habituales de utilizar esta distribu ión.A) Se ono en los dos extremos de la distribu ión En este aso podemos apli ar dire tamente lasexpresiones anteriores.EJEMPLOEn un pro eso de medida uno de los dispositivos es sensible a la temperatura. La medi iónse ha e on un sistema de aire a ondi ionado que mantiene la temperatura estable entrelos 22 y 24 grados.A falta de mayor informa ión suponemos que todos los valores de temperatura son igual-mente probables, lo que ondu e a una distribu ión re tangular entre los límites a = 22Cy b = 24CApli ando las anteriores expresiones para la esperanza y la desvia ión típi a obtenemos:

T→VCV = 1

2(24− 22) = 23 C

T→UE = 24−22√12

= 0.5774 C(17)B) Se ono e el valor entral y el semiintervaloSiendo x0 el valor entral y p = (b − a)/2 el semiintervalo, fá ilmente se obtiene que a = x0 − p y

b = x0 + p de donde inmediatamente:µ = x0 (18)

V ar =p2

3⇒ σ =

p√3

(19)EJEMPLODisponemos de una resisten ia omer ial de valor nominal 4k7 y que pertene e a la serieE24 (banda oro: toleran ia del 5%)Presuponemos que la toleran ia indi an que los valores de la resisten ia estarán ompren-didos entre su valor nominal ±5%. A falta de mayor informa ión suponemos que todoslos resultados son equiprobables.p = 4700

5

100= 235 Ω

R→VCV = 4700 Ω

R→S2 = 18408.33 Ω2

T→UE = 135.677 Ω

(20)C) Se ono e el valor entral y el intervalo ompletoSiendo x0 el valor entral y h = (b − a) el intervalo, fá ilmente se obtiene que a = x0 − h/2 y

b = x0 + h/2 de donde inmediatamente:µ = x0 (21)

V ar[X ] =h2

12⇒ σ =

h√12

(22)11

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresEJEMPLOEl número π es irra ional tras endente por lo que tiene innitos de imales que no siguen unpatrón de repeti ión estable ido. A la hora de utilizarlo en ál ulos puramente numéri osse onsideran sus de imales hasta un ierto nivel de signi a ión y el resto se ignoran.Este trun amiento es fuente de in ertidumbre. En on reto supongamos que tomamos elvalor de π omo 3.141592. Ello impli a re ono er que nuestro nivel de ono imiento de πnos indique que puede ser ualquier valor entre:3.1415920000000000000 . . . < π < 3.1415929999999999999 . . . (23)y todos ellos on la misma probabilidad. Estamos por tanto ante una distribu ión re tan-gular de entrada en 3.14159250000 . . . y de an hura el valor una unidad del dígito menossigni ativo. El dígito menos signi ativo es el 2 por lo que h = 0.000001, por lo que:

π→VCV = 3.141592500000000 . . .

π→S2 = 8.3333333 E−14

π→UE = 2.8867513 E−7

(24)2.6. Composi ión de in ertidumbresHasta ahora hemos des rito la forma de obtener valores onven ionalmente verdaderos e in ertidum-bres de una úni a magnitud y por ello esta situa ión sólo es apli able a los asos en los que la magnitudque evaluamos dire tamente oin ide on la magnitud en la que estamos interesados. En la prá ti a éstoraramente suele darse. Normalmente obtendremos el valor de la magnitud en la que estamos interesadosY de forma indire ta mediante la evalua ión previa de un onjunto de magnitudes (X k, k = 1 · · ·n)rela ionadas on ella de una forma que estable erá el pro edimiento de medida. La dependen ia obrarála forma de una fun ión matemáti a: Y = f(X 1, . . . ,Xn) (25)EJEMPLOSe dispone de un able ondu tor por el que ir ula una orriente lo su ientementeelevada omo para estar fuera del rango de trabajo del amperímetro del que disponemos.En ese aso, para medir di ha orriente se opta por insertar en ese able una resisten iashunt y medir la aida de tensión entre los extremos del shunt. La intensidad que ir ulala obtenemos a través de la rela ión fun ional:I = f(RSHUNT ,VDMM ) =VDMMRSHUNT

(26)El problema que surge ahora es el siguiente: ono idos los valores de las magnitudes de entrada (loque impli a ono er su valor onven ionalmente verdadero e in ertidumbre) » ómo determino el valor dela magnitud de salida? (es de ir, su valor onven ionalmente verdadero y su in ertidumbre)Las reglas a emplear son las siguientes:1. El valor onven ionalmente verdadero de la magnitud de salida lo obtenemos evaluando la rela iónfun ional del pro edimiento de medida los valores onven ionalmente verdaderos de las magnitudesde entrada.Y→VCV = f(X1→VCV, . . . ,Xn→VCV ) (27)2. La varianza de la magnitud de salida se obtiene mediante la ley de omposión de varianzas10

Y→S2 =

n∑

k=1

(

∂f

∂Xk

∣

∣

∣

∣

Xk = Xk→VCV

)2

Xk→S2 (28)10Se presuponen magnitudes de entrada in orreladas 12

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres3. La in ertidumbre estándar se obtiene a partir de la varianza por el método habitualY→UE =

√Y→S2 (29)4. Para la in ertidumbre expandida ne esitamos ono er la distribu ión de salida para determinar elvalor de k que onduz a a un intervalo de onanza del 95%. El problema no es fá il de resolver yrequiere un análisis detallado. Sin embargo en mu has o asiones el resultado nal se aproxima poruna distribu ión normal. Por ello en primera aproxima ión optaremos por el fa tor de obertura orrespondiente a esta distribu ión, es de ir k = 2

Y→UX = kY→UE (30)EJEMPLOPara el aso de la medida de orriente a traves del shunt del ejemplo anterior, se tiene:I→VCV =

VDMM→VCV

RSHUNT→VCV(31)

I→S2 =(

1

RSHUNT→VCV

)2

VDMM→S2 +

+(

−VDMM→VCV

RSHUNT→VCV

)2

RSHUNT→S2(32)

I→UE =√I→S2 (33)

I→UX = 2 I→UE (34)

13

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres3. Representa ión de patrones3.1. Calibra ión de un instrumentoPara que un instrumento que intervenga en un pro edimiento de medida nos pueda dar informa iónable y por tanto útil tiene que ser un patrón y por ello, o equivalentemente, tiene que estar ara terizadometrológi amente. A este pro eso se le denomina alibra ión.La forma de llevarla a abo dependerá del tipo de instrumento que se trate:Referen ias. Su ara teriza ión metrológi a onsiste úni amente en espe i ar ual es su valor. Unareferen ia R alibrada será aquella para la que onoz amos su intervalo R→VCV ± R→UX .Conviene indi ar que puede darse el aso de referen ias uya salida es ongurable de alguna manera,generalmente mediante un panel frontal. Es, por ejemplo, el aso de una fuente de tensión varia-ble. Igualmente la alibra ión de este dispositivo pasará por estable er el valor onven ionalmenteverdadero y la in ertidumbre para ada uno de los posibles valores de salida.Instrumentos de medida. Calibrar un instrumento de medida onsiste en estable er lo bien o mal quemide y dar la espe i a ión orrespondiente. Eso se realiza enfrentándolo a una referen ia patrón y omprobando la diferen ia entre el valor que debe medir (el de la referen ia) y el valor que mide (lainforma ión obtenida a partir de las le turas suministradas por el instrumento). Podemos deniruna magnitud denominada desvia iónDesvia ión = Referen ia− Instrumento De Medida =⇒ D = R− I (35)Calibrar un instrumento de medida onsiste en determinar su desvia ión y eso se onsigue medianteun pro eso de medi ión, medi ión de la desvia ión de instrumento, siendo por tanto la expresiónanterior el modelo matemáti o del pro edimiento. Por ello:D→VCV = R→VCV − I→VCV (36)y apli ando la ley de propaga ión de varianzas:

D→S2 = R→S2 + I→S2 (37)En términos generales todos los instrumentos empleados en un pro eso de medida (ex epto el que seva a medir) deben ser patrones dado que son los úni os que ofre en informa ión onable. Tanto parauna referen ia omo para un instrumento de medida la informa ión sobre su valor o sobre su desvia iónrespe tivamente la obtendremos esen ialmente de una de estas dos fuentesDe las espe i a iones dadas por el fabri ante. Nada más adquirir el dispositivo podemos suponerque las espe i a ioens del fabri ante11 sobre el dispositivo son ables. Típi amente estan vendránindi adas en el manual de uso. Conforme pasa el tiempo el instrumento sufre derivas que puedenha er que deje de umplir sus propias espe i a iones y por tanto ya no son ables. Esto es tanto más ierto si el instrumento a estado sometido a ondi iones rigurosas o un mal uso. Para instrumentosde medida, el fabri ante suele dar indi a iones del periodo de tiempo en el que es razonable esperarque sus espe i a iones sigan siendo válidas: Periodos típi os suelen ser de dos años.De un erti ado de alibra ión. Cuando las espe i a iones del fabri ante ya no son ables, eldispositivo debe enviarse a un laboratorio de metrología para que lo alibren. De vuelta obtendre-mos un informe en el que se espe i a el valor del dispositivo si se trata de una referen ia o lasdesvia iones que presenta si se trata de un instrumento de medida.11Un fabri ante de onanza14

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres3.2. Espe i a iones de un patrón dadas por el fabri anteEn general el fabri ante indi ará dire tamente el valor onven ionalmente verdadero omo el valornominal de la referen ia y la in ertidumbre expandida en términos absolutos o relativos al valor nominal.En fun ión de la varia ión del valor de la referen ia on respe to a magnitudes de inuen ia o estadosde opera ión de la misma, estos valores pueden tener una espe i a ión más ompleja que habrá queanalizar en ada aso.Tambien resulta habitual espe i ar una Clase para la referen ia. El VIM dene la lase de exa ti-tud omo grupo de instrumentos de medida que satisfa en determinas exigen ias metrológi as destinadasa onservar los errores dentro de límites espe i ados. A la vista de esta deni ión onviene ha er dos onsidera iones:La deni ión se apoya en el on epto de error que esen ialmente se dene omo la diferen ia entreel resultado y el verdadero valor. Dado que este último no es determinable, se opta por sustituir elverdader valor por el valor onven ionalmente verdadero. Sin embargo este pro eso fue uno de losmotivos por el que se introdujo el on epto de in ertidumbre omo sustituto de error. Si la laseestable e un error máximo » omo debe onsiderarse el on epto de lase bajo la nueva ópti a dein ertidumbre?La lase dene grupos de instrumentos que satisfa en determinadas exigen ias de medida. En esesentido, pese a que la lase se suele denotar mediante un número, resulta en último aso, un rótuloo nombre que agrupa a instrumentos de omportamiento metrológi o similar.De forma simpli ada, uando se habla de un dispositivo de lase X suele indi ar que el error relativomáximo expresado en tanto por ien es ±X . A falta de mayor informa ión puede resultar ade uadointerpretar ese error máximo omo la in ertidumbre expandida bajo una distribu ión normal (k = 2) Así,para una referen ia RR→UX = R→VCV

Clase100

(38)R→S2 =

√

R→UX

2(39)Los dispositivos que son referen ias pero de salida ongurable tienen una espe i a iones dadas porel fabri ante similares a las de los instrumentos de medida, por lo que se remite al le tor a la se ión orrespondiente.3.3. Espe i a iones de un instrumento de medidaEsen ialmente el fabri ante debe onstruir el instrumento, alibrarlo y por tanto determinar su des-via ión y ha er públi o ese valor en la hoja de espe i a iones té ni as o más generalmente en el manualdel instrumento. Sin embargo hay que ha er diferentes matiza iones a este pro eso.Supongamos que el fabri ante alibra el instrumento en un punto (por ejemplo en 3V DC para unmultímetro digital12 y en uentra que tiene un D→ VCV 6= 0 por supuesto una D→UX no nula.Lógi amente el fabri ante desea que ambos parámetros sean lo más próximos a ero posible. La ali-dad de fabri a ión así omo los omponentes empleados13 determinarán el valor de la in ertidumbrey no puede a tuar sobre ellos salvo en are iendo el produ to. Sin embargo la desvia ión la puedeeliminar mediante el orrespondiente ajuste de omponentes (poten iómetros de ajuste, onstantesde alibra ión memorizadas en el rmware...) de forma antes de omer ializar el produ to realizaeste pro eso hasta onseguir una desvia ión nula.

D→VCV = 0 (40)12En mu has o asiones en la literatura se denota por DMM, a rónimo de digital multímeter13La referen ia patrón empleada en el pro edimiento de medida mediante el que se ha determinado la desvia ión idealmentedebería tener una ontribu ión despre iable frente a la propia del instrumento 15

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresy por tanto no da espe i a iones de este valor (que ya se supone que es nulo). Sin embargo estono impli a que la in ertidumbre expandida sea nula, que de he ho no lo es, y éste es el parámetroque se espe i a.El fabri ante publi a unas espe i a iones omunes para todos los instrumentos de un mismo modeloy por tanto deben ser orre tas para ada uno de los instrumentos espe í os de ese modelo. Paraello ha e un análisis estadísti o en base a varios instrumentos del mismo modelo y publi a unasespe i a iones que los ubran a todos. Es por ello que generalmente un instrumento on retose va a omportar desde un punto de vista metrológi o de mejor forma que lo que indiquen susespe i a iones.El fabri ante debe espe i ar la in ertidumbre para todos los posibles puntos de medida y entodas las posibles ongura iones del medida del instrumento. Para instrumentos de gama altaesto resulta mu has ve es inabordable, de forma que las espe i a iones se dan onsiderando elinstrumento ongurado en el modo de mayor pre isión. Pese a todo, se listan espe i a iones para ada magnitud que es apaz de medir el instrumento y, dentro de ellas, para ada rango de medida.Dentro de un rango de medida (por ejemplo Magnitud V DC, rango 1V - 10V) se deberían darvalores de in ertidumbre para ada posible punto, lo que nuevamente resulta inabordable. Es de irdeberia espe i ar la in ertidumbre uando el instrumento está arrojando le turas en torno a los2 V, los 8 V, los 33 V, los 54 V et . Para ello supone que, dentro de un rango de medida lain ertidumbre de la magnitud que se mide es una ierta fun ión del valor de la magnitud, es de irX→UX = f(X→VCV ) (41)Ahora bien, podemos aproximar esa dependen ia fun ional genéri a a una dependen ia lineal y portanto des ribirla empleando úni amente dos onstantes α y β.

X→UX ≈ αX→VCV + β (42)De esta forma el fabri ante para indi ar la in ertidumbre del instrumento en ese rango úni amentepubli a los oe ientes α y β. La forma de indi ar esos valores en las espe i a iones se suele ha erde alguna de las siguientes formas:• Coe iente α. Se suele expresar omo un % de le tura. Si el fabri ante indi a un 0.0035%de le tura el valor de α se al ulará omo:

α =0.0035

100(43)

• Coe iente β Se suele expresar en una de las siguientes formas Dire tamente omo una antidad onstante on las mismas unidades que el mensurando.Por ejemplo 50µV

β = 50µV (44) Como un % de rango. En ese aso el valor de β se estable e en forma relativa al valormáximo del rango. Por ejemplo 0.0005% de rango. En nuestro ejemplo, el rango era 1V -10V, luego

β =0.0005

10010V = 50µV (45)

Como un número de dígitos donde un dígito representa el valor absoluto de la magni-tud orrespondiente a una unidad del dígito menos signi ativo que se muestra en panta-lla14. En nuestro ejemplo, y suponiendo una resolu ión de 0.00001V el valor de β vendríaespe i ado omo 5 dígitos.β = 5 · 0.00001 = 50µV (46)14Esen ialente a ese valor se le denomina la resolu ión del instrumento 16

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresDado que lo que el fabri ante espe i a es una in ertidumbre expandida, debería (aunque no siemprelo ha e) indi ar el valor de k on el que se ha al ulado la in ertidumbre expandida y/o el intervalode onanza que representa.Las espe i a iones suelen venir a ompa«adas de un onjunto de ondi iones de fun ionamientoy/o ongura ión del dispositivo de forma que sólo son apli ables uando se lo ha utilizado de esaforma.15 Tal omo se ha indi ado anteriormente, suelen oin idir on la ongura ión de máximapre isión del instrumento.3.4. Representa ión metrológi a de un instrumento de medidaCuando en un pro edimiento de medida utilizamos una referen ia ono eremos su valor y ese valores su representa ión metrológi a. Sin embargo uando se utili e un instrumento de medida la situa iónes más ompleja. Un instrumento de medida fun ionalmente se ara teriza porque es apaz de ofre erle turas de un mensurando. Metrológi amente el resultado obtenido por el instrumento de medida lovamos a englobar en una magnitud que en lo que sigue denominaremos genéri amente IM. Normalmenteno evaluaremos de forma dire ta esta magnitud dado que va a depender de otras mangitudes más sen illasque serán las que evaluemos dire tamente. La rela ión fun ional es la que sigue:16:IM = IM.VIS+ IM.OC+ IM.D (47)Vamos a analizar ada uno de los omponentes.IM.VIS.La le tura que nos ofre e el instrumento de medida representa un número real y por ello on unnúmero indenido de ifras signi ativas o de imales. Sin embargo no es posible que un instrumentomuestre en su pantalla un número de ese tipo sino que realizará algun tipo de redondeo o trun a-miento hasta dejarlo on un número de de imales ade uado para presentarlo en pantalla. En esesentido:IM.VIS representa la parte de la informa ión que el instrumento de medida nos omuni ainequívo amente• El el aso de un instrumento on visualizador digital, orresponde a las ifras que el dispositivomuestra en pantalla.• En el aso de un instrumento on visualizador analógi o, orresponde a la le tura que inferimosen base al posi ionamiento de la aguja en una es ala graduada.En ambos asos la evalua ión de esta magnitud será de tipo A.IM.OC.Es lo ontrario a la parte visible, representa lo que no podemos verIM.OC Representa la parte de informa ión que el instrumento debería omuni arnos yque por limita iones del visualizador no lo ha ei. Vamos a ver omo determinamos esta magnitud en fun ión de que se trate de un instrumentodigital o analógi o.• Instrumento digital. Supongamos que el instrumento muestra en pantalla el número 3.2. Dadoque no muestra ningún de imal después del 2, el número que nos trata de omuni ar el disposi-tivo podría ser 3.2003 ó 3.224387 et ... Suponiendo que el dispositivo redondea internamente lamagnitud obtenida al número más próximo que puede presentar en el visualizador, ello quiere15Una de las más habituales onsiste en indi ar un periodo de alentamiento. Es de ir un tiempo durante el ual eldispositivo ha de estar en endido antes de que umpla sus espe i a iones. Este tiempo típi amente suele estar omprendidoentre 0 minutos, para instrumentos de planta hasta 2 horas para instrumentos de pre isión.16no se onsideran otras orre iones que la de alibra ión 17

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresde ir que uando el dispositivo muestra un 3.2, podría ser ualquier valor entre 3.15000000... y3.25000000.... Es de ir ualquier numero omprendido entre 3.2 -(1/2)0.1 y 3.2 +(1/2)0.1 Enel aso general, el número mostrado en pantalla P representará ualquier número omprendi-do entre P-(1/2)R y P+(1/2)R siendo R una unidad de la ifra menos signi ativa que nosmuestra la pantalla. R se denomina la resolu ión del instrumento.• Instrumento analógi o. Supongamos que tras observar el visualizador analógi o de idimos quela le tura ofre ida es 3.2 »Podría ser 3.21? O di ho de otra forma »somo apa es de distiguirentre una le tura de 3.20 y otra de 3.21? En aso negativo, la diferen ia entre ambas le turasqueda dentro de lo que el instrumento no es apaz de omuni arnos inequívo amente. La uestión que surje es ómo determinar el intervalo de resolu ión del instrumento. Podemosrealizar la siguiente prueba. La aguja estará situada entre dos mar as onse utivas de la es alagraduada. Olvidémonos de la aguja y onsideremos las dos mar as. »Cual es el mayor númerode partes en que puedo dividir el intervalo de forma que sea apaz de determinar si la agujaestá en uno on reto de ellos (el primero, el segundo. et ...) El tama«o mínimo de intervaloque umpla eso orresponderá on la resolu ión del instrumento y es el equivalente a R para elinstrumento digital. Aunque onviene onsiderar ada aso parti ularmente, omo regla gruesapuede tomarse omo resolu ión del instrumento un uarto del intervalo entre dos mar as, loque es equivalente a de ir que seríamos apa es de de idir si la aguja se en uentra en el primer,segundo, ter er o uarto uarto.A la luz de lo anterior, IM.OC representa lo que hay que a«adirle a la informa ión que se muestraen pantalla (que aso iamos a IM.VIS) para ompletarla on la que no se muestra. Hemos visto quese trata de un intervalo entre -R/2 y +R/2. A priori todos los valores dentro de ese intervalo sonigualmente probables, luego se trata de una distribu ión re tangular entrada en 0 y de an hura RIM.OC→VCV = 0 (48)IM.OC→S2 =

R2

12(49)IM.D.IM.D Representa la orre ión, obtenida por alibra ión, que hay que apli ar a las le turas.Su valor lo obtendremos por medio de un erti ado de alibra ión o de las espe i a iones delfabri ante.Determinadas ya las magnitudes de entrada, la magnitud que representa el instrumento de medida laobtendremos mediante las reglas de omposi ión:

IM→VCV = IM.VIS→VCV + IM.OC→VCV + IM.D→VCV (50)donde ya hemos visto que IM.OC→ VCV = 0. Por otra parte, si la desvia ión la obtenemos de lasespe i a iones del fabri ante tambien o urrirá que IM.D→VCV = 0. Para las varianzasIM→S2 = IM.VIS→S2 + IM.OC→S2 + IM.D→S2 (51)Existe un aso ex ep ional on respe to a lo anterior. Cuando alibramos un instrumento de medida(para onvertirlo en un patrón), lo enfrentamos dire ta o indire tamente a una referen ia para determinarsu desvia ión. En este aso tenemos que representar matemáti amente un instrumento de medida nopatrón. Es el úni o aso en el que un instrumentao de medida no patrón puede formar parte de unpro edimiento de medida y eso es debido a que el propio pro edimiento tiene omo objetivo onvertir enpatrón a un instrumento no patrón. Supongamos que la alibra ión se realiza midiendo una referen ia onun instrumento de medida patrón que denotaremos IMP y on el instrumento a alibrar que denotaremosIMNP. El modelo de la medida es IMNP.D = IMP− IMNP (52)18

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresNotese que lo que estamos tratando de medir es la desvia ión del instrumento no patrón. La re-presenta ión del instrumento patrón estará ompuesta por las tres omponentes VIS, OC y D omo seha expuesto. Pero en la representa ión del no patrón no podemos in luir la omponente de desvia ióndado que es pre isamente la que estamos tratando de determinar. En este aso el instrumento quedarepresentado omo: IMNP = IMNP.VIS+ IMNP.OC (53)

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ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres4. Ejemplos4.1. Medida dire ta de una magnitud mediante un úni o instrumento demedidaEnun iado del problema Determinar la tensión DC generada por una ierta fuente de tensiónvariable uando se ongura para dar una salida de tensión DC nominal de 11V. Como patrón sedispone de un multímetro Yokogawa modelo 7552. Se han realizado 10 le turas de la tensión desalida de forma que antes de tomar ada le tura se des onguraba la fuente y se volvia a ongurarpara dar la salida nominal de 11V. El multímetro hizo las medidas en el rango de 20 V , y para eserango las espe i a iones del instrumento indi an una resolu ión de 100µV y una pre isión17 de±(0.02% de le tura +4 dígitos). Las le turas obtenidas son:

[V ] [V ]11.4137 11.413411.4132 11.412911.4130 11.412811.4129 11.412611.4126 11.4125Cuadro 1: Le turasModelo matemáti o de la medidaDado que se trata de una medida dire ta de una referen ia no patrón (la fuente de tensión) medianteun patrón (el DMM Yokogawa), la tensión que bus amos V F es igual a la medida obtenida medianteel instrumento de medida que puede des omponerse en parte visible, parte o ulta y desvia ión:VF = VF.VIS+VF.OC+VF.DES (54)Evalua ión de in ertidumbres• PARTE VISIBLE VF.VISCorresponde a una evalua ión tipo A, de forma que podemos obtener su valor onven ional-mente verdadero y su varianza a partir de las expresión indi adas en las e ua iones (6) y(7). VF.VIS→VCV = 11.41296 V (55)VF.VIS→S2 = 1.44888888888E− 08 V 2 (56)• PARTE OCULTA VF.OCLa parte o ulta orresponde a una distribu ión re tangular entrada en ero y de an hura totalla resolu ión del instrumento. A tenor de la le turas obtenidas vemos que la resolu ión es deh = 0.0001 V . Considerando (22), obtenemos:VF.OC→VCV = 0.0 V (57)VF.OC→S2 = 8.333333333E− 10 V 2 (58)17espe i a iones de pre isión a un año y en un rango de temperatura de (23 ± 5) C. Se presupone que la medidas sehi ieron dentro de ese margen de temperatura.

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ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbres• DESVIACION VF.D Dado que se toman espe i iones del fabri ante y no un erti ado de alibra ión, el valor onven ionalmente verdadero de la desvia ión es nulo. La in ertidumbreexpandida la obtenemos de las espe i a iones:VF.D→UX =

0.02

100VF.VIS→VCV + 4 · 0.0001 = 0.0002792579 V (59)El fabri ante no espe i a el fa tor de obertura para el que están expresadas las espe i- a iones de forma que onsideramos la op ión habitual: distribu ión gaussiana on k = 2,luego VF.D→S2 =(VF.D→UX

k

)2

= 1.7990749596E− 06 V 2 (60)nalmente tenemos, apli ando (50) y (51), obtenemos:VF→VCV = 11.41296 V (61)VF→S2 = 1.814397479E− 6 V 2 (62)VF→UX = 0.00269399 V (63)ResultadoEl resultado de la medida tras apli ar las reglas de redondeo queda:VF = (11.4130 ± 0.0027) V (64)4.2. Medida indire ta de una magnitudEnun iado del problema Para la determina ión de la orriente AC que ir ula por un ierto ondu tor se ha empleado un transformador de intensidad 400/5 de lase 0.5. Se hi ieron 10 le turasde la orriente de se undario mediante un DMM digital que en su rango de 6A AC ofre ía unaresolu ión de 1 mA y una pre isión del 3% de le tura + 8 dígitos. Las le turas fueron las siguientes:[A] [A]4.372 4.3604.363 4.3724.365 4.3704.373 4.3684.361 4.374Cuadro 2: Le turasModelo matemáti o de la medidaPara la realiza ión de la medida hemos utilizado dos patrones: Una referen ia, el transformadorde intensidad, ara terizado por su rela ión de transforma ión (η), y un instrumento de medida, elDMM, que va a determinar al orriente de se undario (ISEC). La orriente de primario (IPRIM),que es la que queremos determinar, vendrá dada por:IPRIM = η ISEC (65)Por otra parte, el instrumento de media es en sí una magnitud indire ta on las tres ontribu ioneshabituales ISEC = ISEC.VIS+ ISEC.OC+ ISEC.DES (66)21

ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresEvalua ión de in ertidumbres• ISECEl valor del resultado del instrumento de medida se obtendrá on la misma sistemáti a delejemplo anterior, arrojando un resultado de:ISEC→VCV = 4.3678 A (67)ISEC→S2 = 2.70666666E− 6 A2 (68)ISEC→UX = 0.00381685 A (69)• η Interpretando la lase omo la in ertidumbre expandida relativa de la rela ión de transform- ión del trafo y asumiendo un fa tor k = 2, tenemos

η→VCV =400

5= 80

A

A(70)

η→UX =0.5

10080

A

A= 0.4

A

A(71)

η→S2 =(η→UX

k

)2

= 0.04(A

A

)2 (72)Componiendo las ontribu iones de ambos dispositivos, tenemosIPRIM→VCV = η→VCV · ISEC→VCV = 349.424 A (73)y mediante la ley de propaga ión de varianzas:IPRIM→VCV = (η→VCV )2 ISEC→S2 + (ISEC→VCV )2 η→S2 = 31.70968756 A2 (74)por tanto IPRIM→UX = 11.26227 A (75)ResultadoEl resultado de la medida tras apli ar las reglas de redondeo queda:IPRIM = (349 ± 12) A (76)

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ELECTROMETRIA Introdu ión al ál ulo de in ertidumbresBibliografía[1 BIPM, Ed., Guía para la expresión de la in ertidumbre de medida, 1st ed. Centro Español deMetrología, 2008.[2 BIPM, Ed., Vo abulario interna ional de metrología. Con eptos fundamentales y generales, y términosaso iados, 3rd ed. Centro Español de Metrología, 2008.[3 BIPM, Ed., El sistema Interna ional de Unidades, 2nd ed. Centro Español de Metrología, 2008.[4 A. Thompson and B. N. Taylor, Guide for the Use of the International System of Units (SI), NIST,Ed. Centro Español de Metrología, 2008.[5 EAL, (CEA-ENAC-LC/02) Expresión de la in ertidumbre de medida en las alibra iones, 1997.

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