ols: bedingte mittelwerte - universität innsbruck
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OLS & bedingte Mittelwerte
• Wiederholung:OLS ist eine Zerlegungsmethode
yi = yi + ei
• Aus den FOC folgt für die OLS Residuen:
cov(x, e) = 0 (warum?)
• Für die Interpretation interessiert uns v.a. der systematische Teil y
yi = b1 + b2xi
mit dem marginale Effekt
dy
dx= b2 ↔ dy
dx= b2 nur wenn cov(x, e) = 0 (x⊥e)
1
OLS & bedingte Mittelwerte
• Wiederholung:OLS ist eine Zerlegungsmethode
yi = yi + ei
• Aus den FOC folgt für die OLS Residuen:
cov(x, e) = 0 (warum?)
• Für die Interpretation interessiert uns v.a. der systematische Teil y
yi = b1 + b2xi
mit dem marginale Effekt
dy
dx= b2 ↔ dy
dx= b2 nur wenn cov(x, e) = 0 (x⊥e)
1
OLS & bedingte Mittelwerte
• Wiederholung:OLS ist eine Zerlegungsmethode
yi = yi + ei
• Aus den FOC folgt für die OLS Residuen:
cov(x, e) = 0 (warum?)
• Für die Interpretation interessiert uns v.a. der systematische Teil y
yi = b1 + b2xi
mit dem marginale Effekt
dy
dx= b2 ↔ dy
dx= b2 nur wenn cov(x, e) = 0 (x⊥e)
1
OLS & bedingte Mittelwerte
• Erinnern wir uns: Regression auf Regressionskonstante liefert Mittelwert
yi = b1 + ei ⇒ b1 = y
• Dies kann verallgemeinert werden: bedingte Mittelwerte
• bedingte Mittelwerte: arithm. Mittel eine Untergruppe.(d.h. einer Teilmenge, die eine bestimmte Bedingung erfüllt)
• Ein Beispiel zum Einstieg . . .
Zusätzliche Intuition/Beispiele im Kapitel zu ‘Dummyvariablen’)
2
OLS & bedingte Mittelwerte
• Erinnern wir uns: Regression auf Regressionskonstante liefert Mittelwert
yi = b1 + ei ⇒ b1 = y
• Dies kann verallgemeinert werden: bedingte Mittelwerte
• bedingte Mittelwerte: arithm. Mittel eine Untergruppe.(d.h. einer Teilmenge, die eine bestimmte Bedingung erfüllt)
• Ein Beispiel zum Einstieg . . .
Zusätzliche Intuition/Beispiele im Kapitel zu ‘Dummyvariablen’)
2
OLS & bedingte Mittelwerte
• Erinnern wir uns: Regression auf Regressionskonstante liefert Mittelwert
yi = b1 + ei ⇒ b1 = y
• Dies kann verallgemeinert werden: bedingte Mittelwerte
• bedingte Mittelwerte: arithm. Mittel eine Untergruppe.(d.h. einer Teilmenge, die eine bestimmte Bedingung erfüllt)
• Ein Beispiel zum Einstieg . . .
Zusätzliche Intuition/Beispiele im Kapitel zu ‘Dummyvariablen’)
2
OLS & bedingte Mittelwerte
• Erinnern wir uns: Regression auf Regressionskonstante liefert Mittelwert
yi = b1 + ei ⇒ b1 = y
• Dies kann verallgemeinert werden: bedingte Mittelwerte
• bedingte Mittelwerte: arithm. Mittel eine Untergruppe.(d.h. einer Teilmenge, die eine bestimmte Bedingung erfüllt)
• Ein Beispiel zum Einstieg . . .
Zusätzliche Intuition/Beispiele im Kapitel zu ‘Dummyvariablen’)
2
Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel
Obs. Preis Alter AlterJ km
1 10000 3.78 4 188000
2 21850 1.61 2 25900
3 14500 2.28 2 83300
4 11100 5.33 5 120300
5 6700 5.49 5 142000
6 24000 0.34 0 5500
7 10000 4.31 4 100500
8 16900 1.69 2 31000
9 18000 2.53 3 23000
10 15300 3.55 4 73000
11 19980 0.59 1 1500
12 15600 2.28 2 21700
13 17200 2.79 3 27570
14 18890 1.10 1 13181
15 23900 0.17 0 1800
16 14320 3.81 4 67210
17 11900 4.73 5 73900
18 15200 2.53 3 27000
19 14450 2.87 3 90000
20 18600 2.11 2 27000
Obs. Preis Alter AlterJ km
21 15000 2.70 3 51500
22 18500 2.11 2 25880
23 18500 2.11 2 19230
24 12350 3.72 4 75000
25 16900 2.70 3 22000
26 18000 2.28 2 35000
27 18890 1.27 1 22500
28 20100 0.84 1 18000
29 19700 1.02 1 12600
30 17500 2.37 2 35900
31 19300 1.19 1 5000
32 15500 3.13 3 39000
33 14000 3.21 3 56400
34 16900 2.11 2 55000
35 17700 2.28 2 25100
36 12500 4.23 4 59200
37 19000 1.36 1 19000
38 22800 0.26 0 5000
39 12350 4.23 4 73000
40 17800 1.86 2 35000
3
Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel
AlterJ = 0 AlterJ = 1 AlterJ = 2 AlterJ = 3 AlterJ = 4 AlterJ = 5
24000 19980 21850 18000 10000 11100
23900 18890 14500 17200 10000 6700
P 22800 18890 16900 15200 15300 11900
r 20100 15600 14450 14320
e 19700 18600 15000 12350
i 19300 18500 16900 12500
s 19000 18500 15500 12350
e 18000 14000
17500
16900
17700
17800
n 3 7 12 8 7 3
y 23567 19409 17696 15781 12403 9900
∆y −4158 −1713 −1915 −3378 −2503
y 22709 20192 17675 15158 12641 10124
∆y −2517 −2517 −2517 −2517 −2517
4
Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel
Für AlterJ (wiederholte Beobachtungen):
Bedingte Mittelwerte:
(Preis|AlterJ) =
23567 für AlterJ = 0
19409 für AlterJ = 1
17696 für AlterJ = 2
15781 für AlterJ = 3
12403 für AlterJ = 4
9900 für AlterJ = 5
Gefittete Werte:
(Preis|AlterJ) =
22709 für AlterJ = 0
20192 für AlterJ = 1
17675 für AlterJ = 2
15158 für AlterJ = 3
12641 für AlterJ = 4
10124 für AlterJ = 5
Preisi = 22 709− 2 517 AlterJi
5
Bedingte Mittelwerte
0 1 2 3 4 5 65000
10000
15000
20000
25000
x (Alter)
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
Preis
Beobachtungen
6
Bedingte Mittelwerte
0 1 2 3 4 5 65000
10000
15000
20000
25000
x (Alter)
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
Preis
rs
rs
rs
rs
rs
rs
y |(x = 3) = 15781
� Bedingt. Mittelw.
7
Bedingte Mittelwerte
0 1 2 3 4 5 65000
10000
15000
20000
25000
x (Alter)
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
Preis
rs
rs
rs
rs
rs
rs
y |(x = 3) = 15781
Regression
8
Bedingte Mittelwerte
0 1 2 3 4 5 65000
10000
15000
20000
25000
x (Alter)
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
Preis
rs
rs
rs
rs
rs
rs
y |(x = 3) = 15781
bc
bc
bc
bc
bc
bc
b
b
b
b
b
b
y |(x = 3) = 15158
lineare Approx. anbedingt. Mittelw.
9
Bedingte Mittelwerte
0 1 2 3 4 5 65000
10000
15000
20000
25000
x (Alter)
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
Preis
rs
rs
rs
rs
rs
rs
y |(x = 3) = 15781
bc
bc
bc
bc
bc
bc
b
b
b
b
b
b
y |(x = 3) = 15158
bcb
y |(x = 3.5) = 13899
10
Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel
Schlussfolgerung: (etwas sloppy)
• Wir können die gefitteten Werte y als lineare Approximation an diebedingten Mittelwerte interpretieren:
y|(x = x)lin≈ y|(x = x)
(x ist eine konkrete Ausprägung von x)
• bzw. etwas allgemeiner, die OLS Schätzfunktion als eine lineareApproximation and die bedingte Mittelwertfunktion.
• Marginaler Effekt:
dy
dx= b2 → d Preis
dAlterJ= 2 517
Marg. Effekt beschreibt nicht Individuum, sondern (lineare Approx. an)durchschnittliche Änderung!
11
Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel
Schlussfolgerung: (etwas sloppy)
• Wir können die gefitteten Werte y als lineare Approximation an diebedingten Mittelwerte interpretieren:
y|(x = x)lin≈ y|(x = x)
(x ist eine konkrete Ausprägung von x)
• bzw. etwas allgemeiner, die OLS Schätzfunktion als eine lineareApproximation and die bedingte Mittelwertfunktion.
• Marginaler Effekt:
dy
dx= b2 → d Preis
dAlterJ= 2 517
Marg. Effekt beschreibt nicht Individuum, sondern (lineare Approx. an)durchschnittliche Änderung!
11
Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel
Schlussfolgerung: (etwas sloppy)
• Wir können die gefitteten Werte y als lineare Approximation an diebedingten Mittelwerte interpretieren:
y|(x = x)lin≈ y|(x = x)
(x ist eine konkrete Ausprägung von x)
• bzw. etwas allgemeiner, die OLS Schätzfunktion als eine lineareApproximation and die bedingte Mittelwertfunktion.
• Marginaler Effekt:
dy
dx= b2 → d Preis
dAlterJ= 2 517
Marg. Effekt beschreibt nicht Individuum, sondern (lineare Approx. an)durchschnittliche Änderung!
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OLS & bedingte Mittelwerte
Nichtlineare Zusammenhänge: einfach(st)er Fall:
y = b1 + b2x + b3x2 → marg. Eff.:
d y
dx= b2 + 2b3x
y
x
bb
b b
bb
b
bb b
bb
b bb
b b b
b
b
bb
b
b
bb b
b b b
bb
b
b
bb
b b
bbb b
b
b bb
b
b b b
12
Darstellung von Regressionsgleichungen
Konventionell:
In Zeilenform: (z.B. Lehrbücher)
Preis = 22 709.303 − 2 517.267 AlterJ
(532.689)*** (190.125)***
R2 = 0.822, n = 40
13
Darstellung von Regressionsgleichungen
In Tabellenform: (v.a. Publikationen)
Dependent variable:
Preis(1) (2)
Constant 22, 709.300∗∗∗ 23, 056.710∗∗∗
(532.689) (468.871)
AlterJ −2, 517.267∗∗∗
(190.125)
Alter −2, 635.669∗∗∗
(166.935)
Observations 40 40
R2 0.822 0.868
Note: ∗p<0.1; ∗∗p<0.05; ∗∗∗p<0.0114
Thanx . . .
15