Statistische GrundlagenStatistische Grundlagen

- Maße für die zentrale Tendenz - Maße für die zentrale Tendenz (Mittelwerte)(Mittelwerte)- Streuungsmaße- Streuungsmaße- Zusammenhangsmaße- Zusammenhangsmaße

Beschreibende (deskriptive) StatistikArbeitsablauf der statistischen Bearbeitung von Testergebnissen

1. Ordnung und Darstellung verhältnisskalierter Daten• Tabellarische Ordnung

1. Urliste2. Primäre Tafel3. Häufigkeitstabelle (evtl. mit Klassenbildung)

• Graphische Darstellung1. Histogramm oder Polygonzug

2. Berechnung des 1. Modus2. Median3. arithmetischen Mittels

Skalenniveaus

• Intervallskala• Rangordnung• gleiche Abstände• Beispiel: Temperaturskala in °C

• Ordinalskala• Rangordnung• Beispiele: Plazierungen, trifft zu - trifft weniger zu - trifft nicht zu

• Nominalskala• keine Voraussetzungen• Beispiel: Ja/Nein

• Verhältnisskala• absoluter Nullpunkt• Rangordnung• gleiche Abstände• Beispiele: m, kg, s, Temperaturskala in °K

Median (Zentralwert)

- Wert, bei dem 50% der Messwerte erreicht (kummuliert) sind. - Ermittlung aus einer geordneten Reihe von Messwerten.

6

14,55

14,04

13,33

13,02

12,91

100m-Zeit [s]i

Median bei 5 Messwerten: 13,3 s

Median bei 6 Messwerten:13,65 s (13,3 + 14,0):214,9

Voraussetzung: mindestens Ordinalskala!

Modus (Gipfelwert)

- Wert, der am häufigsten vorkommt.

Modus bei 1,45 m

11,657

21,606

31,555

61,504

81,453

41,402

31,351

Anzahl nHochsprung-höhe [m]i

Voraussetzung: Nominalskala

41,6514,23

416,54142,30

38,2413,2110

35,6412,639

43,4015,128

35,4213,117

38,6413,396

41,8413,115

35,8213,774

46,6216,303

55,2415,662

45,6816,001

Speer (xS)Kugel (xK)i

65,4110

54,416 S

23,1410

3,142 K

xn

x ii

n

1

1

23,1410

3,142 K

65,4110

54,416 S

Mittelwert ()

Voraussetzung: mindestens Intervallskala!

Beschreibende (deskriptive) StatistikArbeitsablauf der statistischen Bearbeitung von Testergebnissen

1. Ordnung und Darstellung verhältnisskalierter Daten• Tabellarische Ordnung

1. Urliste2. Primäre Tafel3. Häufigkeitstabelle (evtl. mit Klassenbildung)

• Graphische Darstellung1. Histogramm oder Polygonzug

2. Berechnung des Maße für die zentrale Tendenz1. Modus2. Median3. arithmetisches Mittels

3. Berechnung der Streuungsmaße 1. Variationsbreite (Range), R = xmax - xmin

2. Standardabweichung s3. Variabiltätskoeffizient v

Warum Berechnung der Streuungsmaße?- Streuung verschiedener Verteilungen mit gleichem Mittelwert

6,311,39

358,3417,28

-3,41

-6,01

1,75

-6,23

-3,01

0,19

-5,83

4,97

13,59

4,03

(xi - )

1,04

2,56

0,79

1,25

0,71

1,25

0,21

4,28

2,04

3,13

(xi - )2

-1,02

-1,60

0,89

-1,12

-0,84

-1,12

-0,46

2,07

1,43

1,77

(xi - )

11,66

36,17

3,05

38,86

9,08

0,03

34,04

24,66

184,58

16,21

(xi - )2

±s

41,6514,23

 416,54 142,30

38,2413,2110

35,6412,639

43,4015,128

35,4213,117

38,6413,396

41,8413,115

35,8213,774

46,6216,303

55,2415,662

45,6816,001

Speer (xS)Kugel (xK)i

sn

x xii

n

1

12

1

( )31,6

9

34,358 Ss

39,19

28,17 Ks

39,19

28,17Ks

31,69

34,358 Ss

Standardabweichung (±s)

sn

x xii

n

1

12

1

( )31,6

9

34,358 Ss

39,19

28,17 Ks

Standardabweichung (±s)

Variabilitätskoeffizient (v)

Z-Transformation

0,09723,14

39,1 Kv

15,065,41

31,6 Sv

-0,839,1

14,23-13,115

Kx

z

03,031,6

41,65-41,845

Sx

z

vs

x

zx x

sii

XK5=13,11

XS5=41,84

Komparative Statistik- Ermittlung der Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen (Korrelationsrechnung)

- Produkt-Moment Korrelation rxy

- X-Y-Punktdiagramm

Korrelation Kugel-Speer

0

10

20

30

40

50

60

12 13 14 15 16 17

Kugelstoßweite [m]

Sp

ee

rwu

rfw

eit

e [

m]

63,48

3,48

9,62

1,55

6,98

2,53

-0,21

2,68

10,28

19,43

7,13

(xiK - K)·(yiS - S)

6,311,39±s

41,6514,23

358,34 416,5417,28 142,30

11,66-3,4138,241,04-1,0213,2110

36,17-6,0135,642,56-1,6012,639

3,051,7543,400,790,8915,128

38,86-6,2335,421,25-1,1213,117

9,08-3,0138,640,71-0,8413,396

0,030,1941,841,25-1,1213,115

34,04-5,8335,820,21-0,4613,774

24,664,9746,624,282,0716,303

184,5813,5955,242,041,4315,662

16,214,0345,683,131,7716,001

(yi - )2(yi - )Speer (yS)(xi - )2(xi - )Kugel (xK)i

r

x x y y

x x y y

xy

ii

n

i

ii

n

ii

n

( ) ( )

( ) ( )

1

2

1

2

1

Korrelation (rxy)

63,48

3,48

9,62

1,55

6,98

2,53

-0,21

2,68

10,28

19,43

7,13

(xiK - K)·(yiS - S)

6,311,39±s

41,6514,23

358,34 416,5417,28 142,30

11,66-3,4138,241,04-1,0213,2110

36,17-6,0135,642,56-1,6012,639

3,051,7543,400,790,8915,128

38,86-6,2335,421,25-1,1213,117

9,08-3,0138,640,71-0,8413,396

0,030,1941,841,25-1,1213,115

34,04-5,8335,820,21-0,4613,774

24,664,9746,624,282,0716,303

184,5813,5955,242,041,4315,662

16,214,0345,683,131,7716,001

(yi - )2(yi - )Speer (yS)(xi - )2(xi - )Kugel (xK)i

r

x x y y

x x y y

xy

ii

n

i

ii

n

ii

n

( ) ( )

( ) ( )

1

2

1

2

1

81,0358,3417,28

63,48

xyr

Korrelation (rxy)

Interpretation des Korrelationskoeffizienten

• Korrelationskoeffizienten bewegen sich im Bereich von -1 bis +1.

• Positive Korrelationen ergeben sich bei Zusammenhängen der Art „je größer die eine Variable, desto größer die andere Variable“

• Negative Korrelationen ergeben sich bei Zusammenhängen der Art „je größer die eine Variable, desto kleiner die andere Variable“

• Werte zwischen 0,7 und 1,0 werden als hohe, Werte zwischen 0,3 und 0,7 als mittlere und Werte zwischen 0 und 0,3 als niedrige Korrelationen bezeichnet. Ein Wert von -1 oder +1 beschreibt einen vollständigen Zusammenhang.

• Die Korrelationsberechnung kann z.B. zur Identifikation von wichtigen biomechanischen Parametern (Kennwerten) und zur Abgrenzung von eher unwichtigen dienen.

Einschränkungen zum Korrelationskoeffizienten

• Nur sinnvoll anwendbar bei linearen Zusammenhängen! Für nichtlineare Zusammenhänge existieren andere Verfahren

• Ein hoher Korrelationskoeffizient sagt noch nichts über einen tatsächlich inhaltlich vorhandenen Zusammenhang aus (Scheinkorrelationen)!

• Durch die falsche Auswahl von Populationen (Selektionsfehler) können Verzerrungen entstehen.

Nichtlineare Zusammenhänge

Parabolischer Zusammenhang

Kein Zusammenhang

Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer

Scheinkorrelation

Scheinkorrelation?Sind gute Golfspieler gegenüber schlechteren die besseren oder die schlechteren Unternehmensführer? Wer erreicht die besseren Renditen?Was meinen Sie? Argumente? Begründungen?

Scheinbar korreliert ein kleines Handicap im Golf mit hohen Renditen durch den Vorstandsvorsitzenden (negative Korrelation)! Ob dies allerdings inhaltlich begründbar ist, bleibt fraglich.Wäre Tiger Woods also der ideale Unternehmensführer?

Was braucht man zum Golferfolg? Disziplin? Konzentration?

Selektionsfehler (Stichprobe mit zu kleiner Streubreite)

Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer

Selektionsfehler (Stichprobe mit zu kleiner Streubreite)

Aus: BORTZ, J. (1989). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg, New York. Springer

Regression 100m-Zeit zu Weitsprungleistung

Y = mx + bm = -1,0453504b = 18,87Beispiel: 12,5 * -1,0453504 + 18,87 = 5,87 mr = -0,92

Testverfahren für Gruppenvergleiche (Mittelwertsvergleiche)

Aus:WILLIMCZIK, K. (1997): Statistik im Sport. Hamburg: Czwalina

Stichproben und Grundgesamtheit

Unterschiede zwischen Gruppen?

Mittelwertsvergleiche z.B. mit einem t-Test ermöglichen die Entscheidung, ob sich Gruppen signifikant unterscheiden. Sie überprüfen Hypothesen!

Unterschiede zwischen Gruppen?

Mittelwertsvergleiche z.B. mit einem t-Test ermöglichen die Entscheidung, ob sich Gruppen signifikant unterscheiden. Sie überprüfen Hypothesen!