МАТЕМАТИКА 6 · Бројеви 5 и –5 су међусобно супротни...

Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић

МАТЕМАТИКАРешења задатака из уџбеника за шести разред основне школе

6

Задатак 1. (10. страна)

a) 1°C б) –1°C в) –3°C г) –10°C


A(2), B(–2), C(3), D(–3), E(–5), F(–7), G(6)



OA = OB, OC = OD, OE = OF


Бројеви 5 и –5 су међусобно супротни бројеви, тј. –(–5) = 5.

Број –34 је супротан број броју 34.

Број 103 је супротан број броју –103, тј. –(–103) = 103.


a) –(–1) = 1 б) –(–6) = 6 в) –(–(–6)) = –6 г) –(–(–(–15))) = 15


Ана и Филип су подједнако удаљени од приземља. Она је на другом спрату изнад земље, а он је на другом спрату испод земље.


a) |6| = 6, |7| = 7, |100| = 100, |0| = 0, |–6| = 6, |–7| = 7, |–100| = 100

б) Апсолутна вредност било ког целог броја a не може бити негативна, јер је једнака раздаљини између тачке A(a) и координатног почетка O(0). Апсолутна вредност неког целог броја a је или позитиван број или број 0.

O(0) I(1)O(0) AB I(1)C(–8) (–1) (3)

1 cm

0 I(1) A(2)B(–2) J(–1) 0 A(2)C(–4)F(–6) E(6)D(4)

1 cm

СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

3

в) Апсолутне вредности супротних бројева су једнаке, јер се на бројевној правој тачке придружене супротним бројевима налазе на једнаком растојању од координатног почетка O(0).


|4| = 4, |–5| = 5, |31| = 31, |–201| = 201, |–11 839| = 11 839, |–1 000 000| = 1 000 000


a) На основу |0| = 0, |1| = 1 и 0 < 1, следи да је |0| < |1|.

б) На основу |0| = 0, |–1| = 1и 0 < 1, следи да је |0| < |–1|.

в) На основу |3| = 3, |–3| = 3, следи да је |3| = |–3|.

г) На основу |9| = 9, |10| = 10 и 9 < 10, следи да је |9| < |10|.

д) На основу |–9| = 9, |–10| = 10 и 9 < 10, следи да је |–9| < |–10|.

ђ) На основу |–21| = 21, |–13| = 13 и 21 > 13, следи да је |–21| > |–13|.


a) x {–7,7}

б) x {–153,153}

в) Не постоји цео број x такав да је |x| = –42, јер за свако x важи |x| ≥ 0. Дакле, једначина |x| = –42 нема решење у скупу Z.


Сви ненегативни цели бројеви су решењa једначине |x| = x, тј. скуп решења је N0.


Риба је на најнижој надморској висини (–20 m), па затим брод (0 m), а птица је на највишој надморској висини (30 m).


Износ –1 000 на банковном рачуну значи да власник рачуна дугује банци 1 000 динара, а износ –2 000 значи да дугује 2 000 динара. Зато је по власника рачуна повољније да је износ на рачуну –1 000.


a) 0 < 2 б) 0 > –2 в) 2 > –2 г) 3 < 4 д) –3 > –4 ђ) –11 < –9

4

УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА


Подморница која је по поринућу заронила 150 m налази се на надморској висини –150 m, а она која је по поринућу заронила 220 m налази се на надморској висини –220 m. Како је –220 < –150, закључујемо да је на мањој надморској висини подморница која је по поринућу заронила 220 m.


Како је –5 < –3, хладније је када је температура –5°C, него када је –3°C.


a) Нека је A скуп (свих) целих бројеве за које важи –7 ≤ x < 2. Тада је

A = {x | x Z, –7 ≤ x < 2} = {–7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1}, па видимо да има 9 целих бројева са траженим својством (седам негативних бројева, број нула и један позитиван).

б) Нека је B скуп (свих) целих бројеве за које важи –7 < x < 2. Тада је B = {x | x Z, –7 < x < 2} = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1}, па видимо да има 8 целих бројева са траженим својством (шест негативних бројева, број нула и један позитиван).

в) Нека је C скуп (свих) целих бројеве за које важи –21 < x < –2. Тада је C = {x | x Z, –21 < x < –2} = {–20, –19, ..., –4, –3}, па видимо да има 18 целих бројева са траженим својством (C = {–20, –19, ..., –2, –1} \ {–2, –1}, 20 – 2 = 18).

г) Нека је D скуп (свих) целих бројеве за које важи –101 < x ≤ 24. Тада је D = {x | x Z, –101 < x ≤ 24} = {–100, –99, ..., –2, –1} {0} {1, 2, ..., 23, 24}, па видимо да има 125 целих бројева са траженим својством (100 + 1 + 24 = 125).


a) {x | x Z, –7 < x < 7} = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

б) {x | x Z, x ≤ –13} {x | x Z, x ≥ 13} = {–13, –14, –15, –16, ...} {13, 14, 15, 16, ...}

в) За сваки цео број x важи |x| ≥ 0. Како је 0 > –2, следи да за сваки цео број x важи |x| ≥ –2. Дакле, сваки цео број x јесте решење неједначине |x| ≥ –2.

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

–15 –13 –10 –5 0 5 10 13 15

5

Задатак 1. (18. страна) Када се подморница са надморске висине –200 m спусти још 100 m наћи ће се на надморској висини –300 m. Када се подморница са надморске висине –200 m попне 100 m наћи ће се на надморској висини –100 m.


a) 7 + 3 = 10 б) –7 + (–3) = –(7 + 3) = –10

в) 9 + 8 = 17 г) –9 + (–8) = –(9 + 8) = –17


a) –45 + (–28) = –73 б) –101 + (–12) = –113

в) –689 + (–37) = –726 г) –708 + (–407) = –1 115


a) 3 + 0 = 3 б) 0 + 0 = 0 в) –8 + 0 = –8 г) 0 + (–17) = –17


a) –5 + 5 = 0 б) –99 + 99 = 0 в) 7 + (–7) = 0 г) 32 + (–32) = 0


а) –10 + 6 < 0 б) –2 + 7 > 0 в) 5 + (–1) > 0 г) 9 + (–15) < 0


a) –13 + 7 = –(13 – 7) = –6 б) –2 + 9 = + (9 – 2) = 7

в) 5 + (–3) = + (5 – 3) = 2 г) 2 + (–32) = –(32 – 2) = –30


a) –34 + (–5) = –39 б) –34 + 5 = –29 в) 34 + (–5) = 29 г) 34 + 5 = 39


a) –28 + 51 = 23 б) –17 + (–48) = –65

в) 91 + (–165) = –74 г) –263 + 129 = –134


а) Како је –352 + (–53) < 0 а 44 + 151 > 0, мора бити –352 + (–53) < 44 + 151.

б) –169 + 653 > –169 + 53

в) 837 + (–994) < –149 + 267

6

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА


Да бисмо напамет израчунали вредности израза користићемо по потреби комутативност и асоцијативност сабирања.

а) –73 + 44 + (–17) = –73 + (–17) + 44 = –90 + 44 = –46

б) –73 + 33 + (–58) = –40 + (–58) = –98

в) 349 + (–12) + (–18) = 349 – 30 = 319


У сваком од датих примера применићемо комутативност и асоцијативност да погодно здружимо сабирке и тако олакшамо израчунавање збира.

а) 1 + (–1) + 1 + (–1) + 1 + (–1) + 1 = (1 + (–1)) + (1 + (–1)) + (1 + (–1)) + 1 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1

б) –1 + 1 + (–1) + 1 + (–1) + 1 + (–1) = (–1 + 1) + ((–1) + 1) + ((–1) + 1) + (–1) = –1

в) –5 + (–4) + (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = = (–5 + 5) + ((–4) + 4) + ((–3) + 3) + ((–2) + 2) + ((–1) + 1) + 0 = 0

г) –7 + (–4) + (–1) + 2 + 5 + 8 = (–7 + 8) + ((–4) + 5) + ((–1) + 2) = 1 + 1 + 1 = 3


а) –3 + (–2) + (–1) + 0 + 1 + 2 = –3 + (–2 + 2) + (–1 + 1) + 0 = –3 или –3 + (–2) + (–1) + 0 + 1 + 2 = (–3 + 2) + (–2 + 1) + (–1 + 0) = –1 + (–1) + (–1) = –3

б) –5 + (–4) + (–3) + (–2) + (–1) = (–5 + (–1)) + (–4 + (–2)) + (–3) = –6 + (–6) + (–3) = –15

в) –9 + (–8) + (–7) + (–6) + (–5) + (–4) + (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = = 0

г) –5 + (–4) + (–3) + (–2) + 2 + 3 + 4 + 5 = 0


а) б)

–6 4 2

8 0 –8

–2 –4 6

–3 2 1

4 0 –4

–1 –2 3


а) –9 + (–7) + 4 = –16 + 4 = –12

б) –9 + |–7 + 4| = –9 + |–3| = –9 + 3 = –6

в) |–9 + (–7)| + 4 = |–16| + 4 = 16 + 4 = 20

г) |–9 + |–7|| + 4 = |–9 + 7| + 4 = |–2| + 4 = 2 + 4 = 6

7


Знамо да је 23 + (–12) = 23 – 12 = 11, па је очигледно да су вредности израза 23 – 12 и 23 + (–12) једнаке.


а) 3 – 7 = 3 + (–7) = –(7 – 3) = –4

б) 2 – 19 = 2 + (–19) = –(19 – 2) = –17

в) 34 – 107 = 34 + (–107) = –(107 – 34) = –73

г) –23 – 2 = –23 + (–2) = –(23 + 2) = –25

д) –44 – 17 = –44 + (–17) = –(44 + 17) = –61

ђ) 109 – 497 = 109 + (–497) = –(497 – 109) = –388

е) –5 – (–2) = –5 + (–(–2)) = –5 + 2 = –(5 – 2) = –3

ж) 27 – (–33) = 27 + (–(–33)) = 27 + 33 = 60


а) –(–2 – (–3)) = –(–2 + 3) = –1

б) –(–2 – |–3|) = –(–2 – 3) = –(–5) = 5

в) –5 – (–13 – (–6)) = –5 – (–13 + 6) = –5 – (–7) = –5 + 7 = 2


а) 7 – 13 = –6, 13 – 7 = 6

б) –5 – (–6) = –5 + 6 = 1, –6 – (–5) = –6 + 5 = –1

в) 17 – (–15) = 17 + 15 = 32, –15 – 17 = –32


Број b – a је супротан броју a – b. Зато из a – b = 5, следи да је b – a = –5.


а) AB = 8, јер је |–3 – 5| = |–8| = 8.

0 I(1)A(–3) 0 B(5)

1 cm

8

ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

0 I(1)0

1 cm

A(–4) B(3)

б) AB = 2, јер је |–3 – (–5)| = |–3 + 5| = |2| = 2.

в) AB = 8, јер је |4 – (–4)| = |4 + 4| = |8| = 8.

г) AB = 7, јер је |–4 – 3| = |–7| = 7.


а) 7 ∙ (–6) = –(7 ∙ 6) = –42 б) 15 ∙ (–3) = –(15 ∙ 3) = –45

в) (–25) ∙ 13 = –(25 ∙ 13) = –325 г) (–14) ∙ 47 = –(14 ∙ 47) = –658


а) Како је 4 ∙ (–5) < 0 а 0 ∙ (–6) = 0, мора бити 4 ∙ (–5) < 0 ∙ (–6).

б) Како је 4 ∙ 0 = 0 и 0 ∙ (–34) = 0, следи да је 4 ∙ 0 = 0 ∙ (–34).

г) Како је –654 ∙ 0 = 0 и 3 ∙ 4 > 0, мора бити –654 ∙ 0 < 3 ∙ 4.


а) (–1) ∙ 6 = –6 б) (–1) ∙ (–6) = –(–6) = 6

в) 5 ∙ (–1) = –5 г) (–5) ∙ (–1) = –(–5) = 5

д) (–643) ∙ (–1) = 643 ђ) (–1) ∙ 158 = –158

е) (–1) ∙ (–1) = 1 ж) (–1) ∙ ((–1) ∙ (–1)) = (–1) ∙ 1 = –1


а) (–5) ∙ (–6) = + (5 ∙ 6) = 30 б) (–8) ∙ (–7) = + (8 ∙ 7) = 56

в) (–4) ∙ (–12) = + (4 ∙ 12) = 48 г) (–11) ∙ (–9) = + (11 ∙ 9) = 99

0 I(1)A(–3) 0

1 cm

B(–5)

0 I(1)0

1 cm

B(–4) A(4)

МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

9


а) 6 ∙ 7 = 42 б) (–6) ∙ 7 = –42

в) 6 ∙ (–7) = –42 г) (–6) ∙ (–7) = 42


а) (–9) ∙ (–3) = 27 б) 7 ∙ (–2) = –14

в) (–8) ∙ 4 = –32 г) 11 ∙ (–6) = –66


а) Како је (–74) ∙ (–32) > 0 а 74 ∙ (–32) < 0, мора бити (–74) ∙ (–32) > 74 ∙ (–32).

б) Како је (–57) ∙ 83 = –(57 ∙ 83) и (–83) ∙ 57 = –(83 ∙ 57), закључујемо да је (–57) ∙ 83 = (–83) ∙ 57.

в) (–46) ∙ (–62) > 46 ∙ (–62)

г) (–358) ∙ (–124) = 358 ∙ 124


а) 2 ∙ (–5) + 1 = –10 + 1 = –9 б) 12 ∙ (–4) – 3 = –48 – 3 = –51

в) 19 – 2 ∙ 15 = 19 – 30 = –11 г) –33 + (–7) ∙ (–5) = –33 + 35 = 2


а) 7 ∙ (–5) ∙ (–8) = 280 б) (–9) ∙ 3 ∙ (–4) = 108

в) 2 ∙ (–15) ∙ 6 = –180 г) (–8) ∙ 5 ∙ (–25) ∙ (–11) = –11 000


За сваки цео број постоји бесконачно много начина да се он напише као производ целих бројева. Ми ћемо за дате бројеве навести само неке од могућности.

а) 6 = 1 ∙ 6 = (–1) ∙ (–6) = 2 ∙ 3 = (–2) ∙ (–3)

б) –5 = 1 ∙ (–5) = (–1) ∙ 5 = (–1) ∙ (–1) ∙ (–5)

в) 8 = 1 ∙ 8 = (–1) ∙ (–8) = 2 ∙ 4 = (–2) ∙ (–4) = 2 ∙ 2 ∙ 2 = (–2) ∙ 2 ∙ (–2)

г) –24 = 1 ∙ (–24) = (–1) ∙ 24 = (–4) ∙ 6 = (–6) ∙ 4 = (–12) ∙ 2 = (–2) ∙ 12

д) –111 = 3 ∙ (–37) = (–3) ∙ 37 = (–37) ∙ (–1) ∙ (–3) = (–1) ∙ 37 ∙ 3


5 ∙ 13 = (–5) ∙ (–13) = 65

5 ∙ (–13) = (–5) ∙ 13 = –65


Број –b ∙ a је супротан броју a ∙ b. Зато из a ∙ b = 4, следи да је –b ∙ a = –4.

10


Број (–b) ∙ (–a) је супротан броју a ∙ (–b). Зато из a ∙ (–b) = –2, следи да је (–b) ∙ (–a) = 2.


а) –17 ∙ (–17) + (–17) ∙ (–33) = –17 ∙ (–17 + (–33)) = –17 ∙ (–50) = 850

б) 8 ∙ (–125 + 11) = 8 ∙ (–125) + 8 ∙ 11 = –1 000 + 88 = –912


а) 14 ∙ (–58) = 14 ∙ (–57 + (–1)) = 14 ∙ (–57) + 14 ∙ (–1) = –798 + (–14) = –812

б) 15 ∙ (–57) = (14 + 1) ∙ (–57) = 14 ∙ (–57) + 1 ∙ (–57) = –798 + (–57) = –855

в) 14 ∙ (–47) = 14 ∙ (–57 + 10) = 14 ∙ (–57) + 14 ∙ 10 = –798 + 140 = –658

г) 14 ∙ (–67) = 14 ∙ (–57 + (–10)) = 14 ∙ (–57) + 14 ∙ (–10) = –798 + (–140) = –938


а) 99 ∙ (–631) = (100 – 1) ∙ (–631) = 100 ∙ (–631) – 1 ∙ (–631) = –63 100 + 631 = –62 469

б) –457 ∙ (–101) = –457 ∙ (–100 – 1) = –457 ∙ (–100) – 457 ∙ (–1) = 45 700 + 457 = 46 157


a ∙ c + b ∙ c = (a + b) ∙ c = 13 ∙ (–5) = –65


а) (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c = 8 – 11 = –3

б) (a – b) ∙ c = (a + (–b)) ∙ c = a ∙ c + (–b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c = 8 + 11 = 19

в) c ∙ (b – a) = c ∙ b – c ∙ a = –11 – 8 = –19

г) (b + a) ∙ (–c) = b ∙ (–c) + a ∙ (–c) = –b ∙ c – a ∙ c = 11 – 8 = 3


а) –b + a = a – b = 3 б) –(a – b) = –3

в) b – a = –(a – b) = –3 г) (b – a) ∙ (–1) = –(b – a) = a – b = 3


а) –(b + a) = –b – a = –a – b = 22 б) –b – a = –a – b = 22

в) a + b = –(–a – b) = –22 г) (b + a) ∙ (–1) = –(b + a) = 22


Ако је a – b = 6, онда је b – a = –6. Ако је –c = –11, онда је c = 11.

а) c ∙ (a – b) = 11 ∙ 6 = 66

б) (b – a) ∙ (–c) = –6 ∙ (–11) = 66

в) c ∙ (–c) – (–b + a)(a – b) = 11 ∙ (–11) – 6 ∙ 6 = –121 – 36 = –157

11


Када двоје људи подели (на једнаке делове) дуг од 1 000 динара, онда обоје дугују по 500 динара. Кажемо и да су онда обоје „у минусу“ по 500 динара. Дакле, –1 000 : 2 = –500.


а) На основу 15 ∙ (–4) = –60, закључујемо да је (–60) : 15 = –4 и (–60) : (–4) = 15.

б) На основу (–22) ∙ 5 = –110, закључујемо да је (–110) : (–22) = 5 и (–110) : 5 = –22.

в) На основу (–25) ∙ (–18) = 450, закључујемо да је 450 : (–25) = –18 и 450 : (–18) = –25.


a) 45 : 9 = 5 б) (–45) : (–9) = 5 в) (–45) : 9 = –5 г) 45 : (–9) = –5


а) –93 : 3 = –31 б) 120 : (–15) = –8 в) –360 : (–45) = 8 г) 1 105 : (–17) = –65


a) DZ5 = {1, –1, 5, –5}

б) DZ–15 = {1, –1, 3, –3, 5, –5, 15, –15}

в) DZ105 = {1, –1, 3, –3, 5, –5, 7, –7, 15, –15, 21, –21, 35, –35, 105, –105}

г) DZ–324 = { 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6, –6, 9, –9, 12, –12, 18, –18, 27, –27, 36, –36, 54, –54, 81, –81,

108, –108, 162, –162, 324, –324}


Број 11 се на 4 начина може записати као производ два цела броја:

11 = 1 ∙ 11 = 11 ∙ 1 = –1 ∙ (–11) = –11 ∙ (–1).

Број –49 (49 = 72) се на 6 начина може записати као производ два цела броја:

–49 = –1 ∙ 49 = 49 ∙ (–1) = 1 ∙ (–49) = –49 ∙ 1 = –7 ∙ 7 = 7 ∙ (–7).

Број 78 (78 = 2 ∙ 3 ∙ 13) се на 16 начина може записати као производ два цела броја:

78 = 1 ∙ 78 = 78 ∙ 1 = –1 ∙ (–78) = –78 ∙ (–1) = 2 ∙ 39 = 39 ∙ 2 = –2 ∙ (–39) = –39 ∙ (–2) = 3 ∙ 26 = = 26 ∙ 3 = –3 ∙ (–26) = –26 ∙ (–3) = 6 ∙ 13 = 13 ∙ 6 = –6 ∙ (–13) = –13 ∙ (–6).


a) Уочавамо да је –7 ∙ 3 = –21, –21 ∙ 3 = –63, –63 ∙ 3 = –189. То нас наводи на закључак да су следећа три члана низа бројеви: –567, –1 701, –5 103, јер је –189 ∙ 3 = –567, –567 ∙ 3 = –1 701, –1 701 ∙ 3 = –5 103.

б) Уочавамо да је –2 ∙ (–2) = 4, 4 ∙ (–2) = –8, –8 ∙ (–2) = 16. То нас наводи на закључак да су следећа три члана низа бројеви: –32, 64, –128, јер је 16 ∙ (–2) = –32, –32 ∙ (–2) = 64, 64 ∙ (–2) = –128.

12

ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА


a) (–56 + (–71)) ∙ 9 = –127 ∙ 9 = –1 143 б) (–36 – 12) : (–36 + 12) = –48 : (–24) = 2

в) 1 690 : (–13) – (–19) ∙ (–7) = –130 – 133 = –263


–4 + 2 ∙ 3 = –4 + 6 = 2

–4 + 4 ∙ 3 = –4 + 12 = 8

дан среда четвртак петак субота недеља

температура –4°C –1°C 2°C 5°C 8°C


Почетна улагања се састоје од трошкова набавке производа (300 ∙ 443 = 132 900 динара) и транспорта (10 000 динара), и износе 300 ∙ 443 + 10 000 = 142 900 динара. Зарада од продаје после k месеци једнака је k ∙ 75 ∙ 462. Добитак или губитак после k месеци рачунамо тако што од зараде после k месеци одузмемо почетна улагања, то јест то је вредност израза k ∙ 75 ∙ 462 – (300 ∙ 443 + 10 000) = k ∙ 75 ∙ 462 – 142 900 динара.

Добитак/губитак после k месеци

k ∙ 75 ∙ 462 – (300 ∙ 443 + 10 000)

• Ако је резултат позитиван, онда је остварен добитак.

• Ако је резултат негативан, онда је остварен губитак.

после 2 месеца

75 ∙ 462 ∙ 2 – (300 ∙ 443 + 10 000) = = 69 300 – 142 900 = –73 600 Остварен је губитак од –73 600 дин.


75 ∙ 462 ∙ 3 – (300 ∙ 443 + 10 000) = = 103 950 – 142 900 = –38 950 Остварен је губитак од –38 950 дин.


75 ∙ 462 ∙ 4 – (300 ∙ 443 + 10 000) = = 138 600 – 142 900 = –4 300

Предузеће је продало сву робу (75 ∙ 4 = 300), али је остварен губитак од –4 300 дин.


Месец Зарада од продаје у току месеца

Укупни добитак/губитак (Д/Г) предузећа на крају месеца Д/Г

јануар 255 000 –2 000 000 + 255 000 = –1 745 000 дин. Гфебруар 255 000 + 45 000 = 300 000 –1 745 000 + 300 000 = –1 445 000 дин. Гмарт 255 000 + 2 ∙ 45 000 = 345 000 –1 445 000 + 345 000 = –1 100 000 дин. Гаприл 255 000 + 3 ∙ 45 000 = 390 000 –1 100 000 + 390 000 = –710 000 дин. Гмај 345 000 –710 000 + 345 000 = –365 000 дин. Гјун 345 000 –365 000 + 345 000 = –20 000 дин. Гјул 345 000 –20 000 + 345 000 = 325 000 дин. Давгуст 345 000 325 000 + 345 000 = 670 000 дин. Дсептембар 345 000 670 000 + 345 000 = 1 015 000 дин. Доктобар 345 000 1 015 000 + 345 000 = 1 360 000 дин. Дновембар 345 000 1 360 000 + 345 000 = 1 705 000 дин. Ддецембар 345 000 1 705 000 + 345 000 = 2 050 000 дин. Д

БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ

13


Обим троугла једнак је збиру дужина његових страница.

O∆ABC = a + b + c = 3,12 cm + 7,5 cm + 5,63 cm = 16,25 cm


Обим троугла ABC једнак је дужини дужи A1A2.


O = 3,2 cm + 2 · 5,8 cm = 14,8 cm


O = 3 · 7,6 cm = 22,8 cm


O∆O1O2A = 3 · 2 cm = 6 cm


β = β1 = δ1 = 108°; α = γ = α1 = γ1 = 180° – 108° = 72°


1) α = 180° – β – γ = 180° – 23° – 81° = 76°

2) β = 180° – α – γ = 180° – 11° – 115° = 54°

3) γ = 86°3’

4) α = 100° 53’44’’


Није могуће да сви углови троугла буду већи од 60°. Ако би сви углови троугла били већи од 60°, онда би збир сва три угла био већи од 180°, што није могуће, јер је збир углова у сваком троуглу једнак 180°.

A B

C

A1 B1 C1 A2

AB = A1B1 BC = B1C1 CA = C1A2

0 1 2 3 4 5 6cm

2 cm2 cm

2 cm

A

O1O2

ТРОУГАО

ТРОУГАО

14

ЗБИР УГЛОВА ТРОУГЛА


1) Углови ∆ABC су: α = 17°, β = 73° и γ = 180° – (17° + 73°) = 180° – 90° = 90°. Дакле, ∆ABC је правоугли троугао.

2) Углови ∆ABC су: β = 34° 12’, γ = 55° 48’ и γ = 180° – (34° 12’ + 55° 48’) = 90°. Дакле, ∆ABC је правоугли троугао.

3) Углови ∆ABC су: α = 64° 13’, β = 25° 46’ и γ = 180° – (64° 13’ + 25° 46’) = 90° 1’. Дакле, ∆ABC је тупоугли троугао.

4) Углови ∆ABC су: α = 60° 1’, β = 30° и γ = 180° – (60° 1’ + 30°) = 89° 59’. Дакле, ∆ABC је оштроугли троугао.


Збир оштрих углова у правоуглом троуглу једнак је 90°. Ако је један оштар угао правоуглог троугла једнак 43°, други оштар угао је 90° – 43° = 47°.


Ако је збир два оштра угла у троуглу већи од 90°, трећи угао тог троугла мора бити мањи од 90°, па је троугао о коме је реч у задатку оштроугли.


1) Из α = 22°, β = 7° следи γ = 180° – α – β = 151°, α1 = 180° – α = β + γ = 158°, β1 = 180° – β = α + γ = 173°, γ1 = 180° – γ = α + β = 29°.

2) Из α = 63° и γ1 = 113° следи β = 50°, γ = 67°, α1 = 117°, β1 = 130°.

3) Из α1 = 98° и γ1 = 107° следи α = 82°, β = 25°, γ = 73°, β1 = 155°.

4) Из β = 34° 15’ и γ1 = 87° 56’ следи α = 53° 41’, γ = 92° 4’, α1 = 126° 19’, β1 = 145° 45’.


У сва три случаја праве a, b и t образују троугао. Праве a и b секу се са оне стране праве t са које је мањи збир унутрашњих супротних углова.

1) Праве a, b и t образују троугао чија су два угла позната: 61° и 100°. Трећи угао овог троугла једнак је 180° – 61° – 100° = 19° и то је уједно и угао између правих a и b.

2) Праве a, b и t образују троугао чија су два угла позната: 77° и 100°. Трећи угао овог троугла једнак је 180° – 77° – 100° = 3° и то је уједно и угао између правих a и b.

3) Праве a, b и t образују троугао чија су два спољашња угла позната: 104° и 100°. Унутрашњи углови који су упоредни овим спољашњим угловима једнаки су 76° и 80°, па је трећи угао овог троугла једнак 180° – 76° – 80° = 24°. Праве a и b секу се под углом од 24° и то са оне стране праве t са које је мањи збир унутрашњих супротних углова.

15


1) Праве a и b су паралелне, јер је збир супротних углова које са овим правама образује трансверзала t једнак 180°.

2) Праве a и b нису паралелне, јер збир супротних углова које са овим правама образује трансверзала t није једнак 180°. Праве a и b се секу под углом од 1°.

3) Праве a и b нису паралелне, јер нису једнаки наизменични углови које са овим правама образује трансверзала t. Праве a и b се секу под углом од 2°.

4) Праве a и b нису паралелне, јер нису једнаки наизменични углови које са овим правама образује трансверзала t. Праве a и b се секу под углом од 2°.


1) Праве a и b су паралелне, па збир супротних углова које са овим правама образује трансверзала t мора бити једнак 180°. Непознати угао је једнак 180° – 115° = 65°.

2) Како је збир супротних углова које са овим правама образује трансверзала t једнак 77° + 103° = 180°, праве a и b су паралелне.


Oсном симетријом у односу на sAB:

∢ACS се пресликава у ∢BCS,

∢BCS се пресликава у ∢ACS,

∢ACB, се пресликава у ∢ACB,

∢CBS се пресликава у ∢CAS,

∢CAB се пресликава у ∢CBA.


1) Ако углове на основици означимо α, онда је 2 · α + 30° = 180°, одакле следи да је α = 75°.

2) Ако угао при врху означимо β, онда је 2 · 20° + β = 180°, одакле следи да је β = 140°.


1) Како је a = 5 cm, b = 7 cm и c = 6 cm, закључујемо да је a < c < b, одакле следи α < γ < β.

2) Како је a = 3 cm, b = 2 cm и c = 3 cm, закључујемо да је b < a = c, одакле следи β < α = γ.

16

ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА У ТРОУГЛУ


1) Ако су два угла троугла једнака 60°, онда је и трећи угао једнак 180° – 60° – 60° = 60°. Наспрам једнаких углова налазе се једнаке странице, па како су сва три угла троугла међусобно једнака, следи да су и све три странице троугла међусобно једнаке. Дакле, троугао је једнакостраничан.

2) Ако је неки троугао једнакокрак и његов угао при врху је једнак 60°, тада су углови на основици једнаки (180° – 60°) : 2 = 60°.

Ако је неки троугао једнакокрак и његов угао на основици је једнак 60°, онда је и други угао на основици 60°, а угао при врху је 180° – 60° – 60° = 60°.

На основу претходних запажања закључујемо: ако је један угао једнакокраког троугла једнак 60°, онда су и преостала два угла тог троугла такође по 60°, па је тај троугао једнакокраки.


Ако је у ∆ABC, α = 35° и γ = 50°, онда је β = 180° – 35° – 50° = 95°, па је α < γ < β, одакле следи да a < c < b.


Ако је угао при врху једнакокраког троугла једнак 61°, углови на основици су једнаки (180° – 61°) : 2 = 59° 30’. Дакле, угао при врху је већи од угла на основици, одакле следи да је у том троуглу основица дужа од крака.


Растојање тачке T од праве a једнако је 0,5 cm.

Растојање тачке T од праве b једнако је 2 · 0,5 cm = 1 cm.

Растојање тачке T од праве c једнако је 3 · 0,5 cm = 1,5 cm.


Једноставно уочавамо да је могуће саставити само једнакокраки троугао чију основицу чини једно палидрвце, а краке чине по два палидрвца.


1) Не постоји троугао чије су странице 1 cm, 2 cm и 3 cm, јер неједнакости троугла нису задовољене; 1 cm + 2 cm = 3 cm.

2) Постоји троугао чије су странице 17 cm, 15 cm и 31 cm, јер важе неједнакости: 17 cm + 15 cm > 31 cm, 15 cm + 31 cm > 17 cm, 31 cm + 17 cm > 15 cm.

3) Не постоји троугао чије су странице 3,6 cm, 8,4 cm и 4,6 cm, јер неједнакости троугла нису задовољене; 3,6 cm + 4,6 cm = 8,2 cm < 8,4 cm.

НЕЈЕДНАКОСТ ТРОУГЛА

17


Ако су две странице троугла a = 1,9 m и b = 0,7 m, онда за трећу страницу c важе неједнакости c < 1,9 m + 0,7 m = 2,6 m и c > 1,9 m – 0,7 m = 1,2 m. Дужина странице c, у метрима, јесте целобројна, па из 1,2 m < c < 2,6 m следи да је c = 2 m.


Дуж делимо на четири једнака дела тако што је најпре поделимо на два једнака дела, а затим конструишемо симетрале обе половине.


Тачка P је пресек праве p и симетрале дужи AB.


Треба конструисати нормалу на праву OT у тачки T.


Прво конструишемо подножје P нормале из O на t, а затим и тражену кружницу k(O, OP).

A B

p

A

B

sAB

P

O

t

T

k(O, 2 cm)

2 cm

O

tP

k(O, OP)

18

УВОД У ГЕОМЕТРИЈСКЕ КОНСТРУКЦИЈЕ




Праве p и q јесу централносиметричне у односу на тачку O.


На слици десно приказана је конструкција угла од 45°. Прво је конструисан прав угао pOq. Затим је тај угао симетралом подељен на два једнака угла од по 45°. Угао од 135° је упоредан углу од 45°.


У тупоуглом троуглу, подножја висина из темена оштрих углова не припадају наспрамним страницама, већ њиховим продужецима.

AB

C

ha

A B

Chahb

Pp

n

A

B

a

b

k(P, 2 cm)

O

pP

Qq

O p

q

45°45°

O p

q

45°135°

19


Прво треба конструисати угао од 67° 30’. Преношењем тог угла, конструишемо једнак угао са теменом у тачки P, а самим тим добијамо и праву p. Права q је права кроз Q паралелна са p.


Угао од 15° је четвртина угла од 60°.


1) 120° = 2 · 60°; 2) 195° = 180° + 15°; 3) 225° = 180° + 45°; 4) 300° = 360° – 60°

5) 165° = 180° – 15°; 6) 105° = 90° + 15°; 7) 150° = 180° – 30°.


Q

67°30' 67°30'P

p q

а

15°

120° 195° 225° 300°

165° 105° 150°

60°45°

A

B C

D k(C, 3 cm)

45°60°4 cm

k(B, 3 cm)

20

КОНСТРУКЦИЈА ТРОУГЛА



1)

1)

2)

2)

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

4,5 cm75°

k(A, 4,5 cm)

5 cm

A B A

C

BA B

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

6 cm

k(C, 6 cm)

3,5 cm

C B

120°

C B C B

A

0 1 2 3 4 5 6cm

3 cm60°45°

B C B C B C

A

0 1 2 3 4 5 6cm 22°30'30°

4 cm

A C A C A

B

C

21




1)

2)

0 1 2 3 4 5 6cm0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

4 cm 2,5 cm

B C B C B C

k(B, 3 cm)k(C, 2,5 cm)Ak(C, 2,5 cm)

3 cm

0 1 2 3 4 5 6cm0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

3,5 cm

B C

4 cm

B C B C

k(C, 4 cm)k(C, 4 cm)k(B, 5 cm)

A

5 cm

0 1 2 3 4 5cm0 1 2 3 4 5 6cm

A B

3 cm5 cm

A B

k(C, 3 cm)k(B, 3 cm)C

0 1 2 3 4 5 6cm 4 cm

4 cm4 cm

A B

C

22


1)

2)


1) Конструкција СУС: дате су две странице троугла (AB = 3 cm и AC = 4 cm) и угао који оне захватају ∢BAC = 90°.

2) Конструкција УСУ: дата је страница троугла (AB = 5 cm) и углови који на њу належу ∢CAB = 30° и ∢CBA = 45°.

3) Конструкција ССС: дате су све три странице троугла (AB = 5 cm, BC = 3,5 cm и CA = 3 cm).

4) Конструкција ССУ: дате су две странице троугла (AB = 4 cm и AC = 6 cm) и угао наспрам дуже од ових страница (AC > AB) ∢ABC = 135°.

5) Конструкција СУС: дате су две странице троугла (AB = 3 cm и BC = 5 cm) и угао који оне захватају ∢ABC = 60°.

6) Конструкција УСУ: дата је страница троугла (AC = 3 cm) и углови који на њу належу ∢CAB = 60° и ∢ACB = 90°.

7) Конструкција ССС: дате су све три странице троугла (AB = 3 cm, BC = 6 cm и CA = 4 cm).

8) Конструкција ССУ: дате су две странице троугла (AC = 4 cm и BC = 3 cm) и угао наспрам дуже од ових страница (AC > BC) ∢ABC = 90°.

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm75°

A B

5,5 cm

A B

C

4 cm

A B

k(A, 5,5 cm)

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5cm

4 cm3 cm

A B

105°

A B

k(B, 4 cm)

A

C

B

23




1)

1)

2) Постоје два троугла AB1C и AB2C која задовољавају дате услове.

0 1 2 3 4 5 6cm

75°

(180° – 75°) : 2 = 52° 30'

3 cm

A B A B

C

0 1 2 3 4 5 6cm

B C

α = 75°

β = 60°

γ = 180° – 75° – 60° = 45° 6 cm

B C

A

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

5 cm

A C

45°

A C

4 cm

A C

k(A, 4 cm)

B

B1

2

0 1 2 3 4 5 6cm 30°

4 cm

A B A B

k(A, 4 cm) k(A, 4 cm)C

24

2)


1)

2)

3)

0 1 2 3 4 5 6cm

30°4 cm180° – 2 · 30° = 120°

A B A B

k(A, 4 cm)C

30°

0 1 2 3 4 5cm0 1 2 3 4 5 6cm

C

3,5 cm3 cm

k(C, 3 cm)

k(C, 3,5 cm)

B

A

0 1 2 3 4 5 6cm

5 cm

A B

30° 60° = 90° – 30°

C

0 1 2 3 4 5 6cm

3 cm

B

A

C

60° = 90° – 30°

25

4)


1) Није могуће конструисати ∆ABC, зато што је збир датих углова α и β већи од 180°.

2) Није могуће конструисати ∆ABC, зато што дате дужи не задовољавају неједнакост троугла: 7 cm > 4 cm + 2 cm.


Троугао A је изрезан са места 4, троугао B је изрезан са места 2, троугао C је изрезан са места 1 и троугао D је изрезан са места 3.


∆ABC ≅ ∆RQS (или ∆ACB ≅ ∆RSQ, ∆CBA ≅ ∆SQR и сл.), ∆XYZ ≅ ∆VTU, ∆DEF ≅ ∆A1B1C1


Црвени жетон може бити на некој од следећих позиција B1, B7, G1 и G7.


AC = VU∢CAB = ∢UVT = 42°

AB = VT

СУС ∆ABC ≅ ΔVTU

Из ∆ABC ≅ ΔVTU следи да је ∢VUT = ∢ACB = 81°, ∢UTV = ∢CBA = 57°.

CA = ZY∢ACB = ∢YZX = 81°

CB = ZX

СУС ∆ABC ≅ ΔYXZ

Из ∆ABC ≅ ΔYXZ следи да је ∢XYZ = ∢BAC = 42°, ∢ZXY = ∢CBA = 57°.

0 1 2 3 4 5 6cm

3 cm

BC

75° : 2 = 37°30'

A

5 cm

135°120°

7 cmA B

k(B, 2 cm)k(A, 4 cm)

26

ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА


Ако два једнакокрака троугла имају једнаке краке и углове при врху, на основу става подударности СУС, следи да су ова два троугла подударна. Дакле, једнаке су одговарајуће странице, што значи да је основица једног троугла једнака основици другог. Такође, ова два троугла имају и једнаке углове, што значи да су углови на основици једног троугла једнаки угловима на основици другог троугла.

CA = C1A1∢ACB = ∢A1C1B1

CB = C1B1

СУС ∆ABC ≅ ΔA1B1C1


Задатак је сличан примеру 5, на страни 68 у уџбенику.

Према подацима са слике угао код темена A у троуглу ABC једнак је

∢CAB = 180° – 115° – 37° = 28°.

Угао код темена R у троуглу PQR једнак је ∢PRQ = 180° – 28° – 37° = 115°.

∢CAB = ∢RQP = 28°AC = QR

∢BCA = ∢PRQ = 115°

УСУ ∆ABC ≅ ΔQPR

Из ∆ABC ≅ ΔQPR следи да је AB = QP и BC = PR.


Ако је γ угао при врху једнакокраког троугла, онда је сваки од углова на основици једнак по (180° – γ) : 2. Дакле, ако је угао при врху једног једнакокраког троугла једнак углу при врху другог једнакокраког троугла, онда су углови на основици једног троугла једнаки угловима на основици другог троугла.

∢CAB = ∢C1A1B1AB = A1B1

∢CBA = ∢C1B1A1

УСУ ∆ABC ≅ ΔA1B1C1


Углови на основици сваког једнакокрако-правоуглог троугла једнаки су по 45°. Ако два једнакокрако-правоугла троугла имају једнаке основице, онда су они подударни према ставу УСУ, јер су углови који належу на једну основицу једнаки угловима који належу на другу основицу.

A B

C

A1B1

C1

A B

C

A1B1

C1

(180° – γ) : 2

45° 45°

45°45°A

C

B

A1

B1

C1

27


AB = MLBC = LK

CA = KM

ССС ∆ABC ≅ ΔMLK

Из ∆ABC ≅ ΔMLK следи да је ∢KML = ∢CAB = 72°, ∢MLK = ∢ABC = 52° и ∢LKM = ∢BCA = 56°.

AB = QPBC = PRCA = RQ

ССС ∆ABC ≅ ΔQPR

Из ∆ABC ≅ ΔQPR следи да је ∢RQP = ∢CAB = 72°, ∢QPR = ∢ABC = 52° и ∢PRQ = ∢BCA = 56°.


AB = A1B1BC = B1C1

AB > BC (AB је наспрам тупог угла)∢ACB = ∢A1C1B1

ССУ ∆ABC ≅ ΔA1B1C1


112° 23°

45° 112° 112°

A B

C

K

LM

P

Q

R23°

23°45°

45°

BC = MKAC = LK

BC > AC (BC је наспрам тупог угла)∢CAB = ∢KLM = 112°

ССУ ∆ABC ≅ ΔLMK

Из ∆ABC ≅ ΔLMK следи да је ∢ABC = ∢LMK = 23° и ∢BCA = ∢MKL = 45°

BC = PQAB = RP

BC > AB (BC је наспрам тупог угла)∢CAB = ∢QRP = 112°

ССУ ∆ABC ≅ ΔRPQ

Из ∆ABC ≅ ΔRPQ следи да је ∢ABC = ∢RPQ = 23° и ∢BCA = ∢PQR = 45°

72° 52°

56°

72° 52°

56°

A B

C

P

Q

R

K

L

M72°72°

52° 52°

56°

56°

једнаки тупи углови

A

B

C C1

A1

B1

28



Став подударности СУС: Ако су две странице и њима захваћени угао једног троугла једнаки двема страницама и захваћеним углом другог троугла, онда су ти троуглови подударни.

Став подударности УСУ: Ако су једна страница и на њу налегли углови неког троугла једнаки страници и на њу налеглим угловима другог троугла, онда су ти троуглови подударни.

Став подударности ССС: Ако су странице једног троугла једнаке страницама другог троугла, онда су та два троугла подударна.

Став подударности ССУ: Ако су две странице једног троугла једнаке двема страницама другог троугла и угао наспрам веће од њих у једном троуглу једнак је углу наспрам веће странице у другом троуглу, онда су та два троугла подударна.


3) Познато је да се дуж централном симетријом пресликава у једнаку дуж, одакле следи да је AB = A1B1, BC = B1C1 и CA = C1A1. Дакле, троуглови ABC и A1B1C1 имају једнаке странице, па су подударни према ставу подударности ССС.

D E

FG

H

I

J

K

L

MN

O P

Q

R

S

T U

ab c

b

c

a

a

c

ba c

MN

O

ba

c

b

c

X

Y

Z

a b

c

a

a

c

b

b

A

O

C

C1

B1A1

B

ПРИМЕНЕ СТАВОВА ПОДУДАРНОСТИ

29


3) Искористићемо тврђење доказано на страни 75 у уџбенику: Ако су различите тачке A и A1 симетричне у односу на осу s, онда је свака тачка осе једнако удаљена од тачака A и A1. Нека је S пресек праве s и дужи AB. Према наведеном тврђењу важи SA = SA1 и SB = SB1, одакле следи да је AB = SA + SB = SA1 + SB1 = A1B1.


3) Искористићемо тврђење доказано на страни 75 у уџбенику: Ако су различите тачке A и A1 симетричне у односу на осу s, онда је свака тачка осе s једнако удаљена од тачака A и A1. Нека је S пресек осе s и дужи AA1. Тада је AS = A1S и BA = BA1, а како је очигледно BS = BS, према ставу ССС следи да су троуглови ABS и A1BS подударни. Дакле, ∢BAA1 = ∢BA1A.


Да бисмо конструсали описану кружницу троугла, довољно је да конструишемо симетрале неке две његове странице (било које). Затим конструишемо кружницу чији је центар пресек тих симетрала и која садржи темена овог троугла.

Центар описане кружнице оштроуглог троугла припада унутрашњости тог троугла. Центар описане кружнице тупоуглог троугла припада спољашњости тог троугла.


1) Бунар треба ископати у центру описане кружнице троугла чија темена одређују позиције кућа.

2) Треба конструисати центар описане кружнице троугла ABC.


Да бисмо конструсали уписану кружницу троугла довољно је да конструишемо симетрале нека два његова угла (било која). Затим конструишемо кружницу чији је центар пресек тих симетрала и која додирује странице овог троугла. Уписану кружницу прецизније ћемо нацртати ако означимо подножја нормала на странице из пресека симетрала углова.

B

A1A

B1

s

S

B

A

s

A1

S

sAB

A B

C

P Q

R

sAC

sPRsQR

OS

S

A B

C

sα

sγ

30


1) Продавница ће бити једнако удаљена од два праволинијска пута ако се налази на симетрали угла који образују ти путеви.

2) Положај продавнице одговара центру уписане кружнице троугла који образују путеви.


Ако су α и β оштри углови правоуглог троугла, онда је α + β = 90°. Нека је S пресек симетрала углова α и β. Тада је

∢ASB = 180° – α2

– β2

= 180° – α + β2

= 180° – 90°2

= 135°.

Под углом између две праве, које нису међусобно нормалне, подразумевамо оштар угао који оне образују. Из претходног рачуна закључујемо да се симетрале оштрих углова правоуглог троугла секу под углом од 45°.


Прво треба одредити угао γ, γ = 180° – 34° – 58° = 88°.

∢ASB = 180° – 17° – 29° = 134°

∢BSC = 180° – 29° – 44° = 107°

∢CSA = 180° – 44° – 17° = 119°

α/2 β/2A B

C

S

(180° – 34° – 58°) : 2 = 44°

17° 29°

44°

29°17°S

A B

C

31


Исказано у метрима, риба се налази на –3,56 m надморске висине.


а) 13

= 26

б) 34

= 912

в) 927

= 13

г) 1449

= 27



а) Број – 35

је супротан број броју 35

.

б) Број 67

је супротан број броју – 67

, тј. –(– 67 ) = 6

7.

в) Број 310

је супротан број броју – 310

, тј. –(– 310 ) = 3

10.

г) Број 1417

је супротан број броју –(–(– 1417 )), тј. –(–(–(– 14

17 ))) = 1417

.

в) Број – 85

је супротан број броју –(– 85 ), тј. –(–(– 8

5 )) = – 85

.

г) Број 1 38

је супротан број броју –(–(–1 38 )), тј. –(–(–(–1 3

8 ))) = 1 38

.


а) | 13 | = 1

3 б) |– 1

3 | = 13

в) | 34 | = 3

4

г) |– 34 | = 3

4 д) |– 6

5 | = 65

ђ) |–1 23 | = 1 2

3


a) x {– 34

, 34 }

б) x {– 67

, 67 }

в) Не постоји рационалан број x такав да је |x| = – 49

, јер за свако x важи |x| ≥ 0. Дакле,

дата једначина нема решења у скупу Q.

–2 –1 0 1 21 213

– 13

– 23

– 14

– 45

–1 23

1 23

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИСКУП РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

32


а) – 13

= – 26

б) – 23

= – 812

в) – 38

= – 3751 000

г) 335

= 56185


а) – 927

= – 13

б) – 35100

= – 720

в) – 8751 000

= – 78

г) – 1 00152

= – 774


а) –4 : 6 = –46

= –23

б) –12 : 15 = –1215

= –45

в) 35 : (–75) = 35–75

= 7–15

г) –42 : 36 = –4236

= –76


а) – 23

= –23

б) – 35

= –35

в) 4–7

= –47

г) 5–11

= –511


– 103

= –3 13

, – 145

= –2 45

, – 477

= –6 57


–1 25

= – 75

, –3 56

= – 236

, –10 711

= – 11711


а) 25

< 1 б) 25

< 35

в) Из 25

= 410

и 410

> 310

следи да је 25

> 310

.

г) Из 25

= 820

, 14

= 520

и 820

> 520


> 14

.

д) Из 1115

= 2230

, 56

= 2530

и 2230

< 2530


< 56

.


а) –1 < 0 б) –3 < 2 в) –4 > –7 г) –11 > –101

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

33


а) – 25

> –1 б) – 25

> – 35

в) Из – 25

= – 820

, – 14

= – 520

и – 820

< – 520

следи да је – 25

< – 14

.

г) Из – 1115

= – 2230

, – 56

= – 2530

и – 2230

> – 2530

следи да је – 1115

> – 56

.

д) Из –3 25

= –3 1435

, –3 37

= –3 1535

и –3 1435

> –3 1535

следи да је –3 25

> –3 37

.


а) Из – 17

= –17

, – 27

= –27

и –1 > –2 следи да је – 17

> – 27

.

б) Из – 37

= –921

, – 1021

= –1021

и –9 > –10 следи да је – 37

> – 1021

.

в) Из – 29

= –836

, – 14

= –936

и –8 > –9 следи да је – 29

> – 14

.

г) Из – 58

= –1524

, – 712

= –1424

и –15 < –14 следи да је – 58

< – 712

.

д) Из –1 29

> –2 и –2 > –2 512

следи да је –1 29

> –2 512

.

ђ) Из –5 415

= –7915

= –31660

, –5 720

= –10720

= –32160

и –316 > –321 следи да је –5 415

> –5 720

.


а) {x | x Q, x ≤ – 16 } {x | x Q, x ≥ 1

6 }

б) {x | x Q, – 23

≤ x ≤ 23 }

в) За сваки рационалан број x важи |x| ≥ 0. Како је 0 > – 49

, следи да за сваки рационалан

број x важи |x| > – 49

. Дакле, сваки рационалан број x јесте решење неједначине |x| > – 49

.

г) За сваки рационалан број x важи |x| ≥ 0, па неједначина |x| < – 49

нема решење у скупу Q.

–1 0 1116

– 16

–1 0 1123

– 23

34


а) 710

= 0,7 б) 1310

= 1,3 в) 27100

= 0,27 г) 45

= 0,8

д) 5340

= 1,325 ђ) 16

= 0,1666… = 0,1(6) е) 43

= 1,333… = 1,(3)


0,5 = 510

= 12

1,4 = 1410

= 75

0,39 = 39100

3,093 = 3 0931 000



а) 0,2 < 0,3 б) 0,02 < 0,2 в) 0,09 < 0,4 г) 1,01 > 0,99


а) 0,354 ≈ 0,35 б) 2,276 ≈ 2,28 в) 0,40511 ≈ 0,41 г) 1,455 ≈ 1,46


а) – 710

= –0,7 б) – 1310

= –1,3 в) – 27100

= –0,27 г) – 4071 000

= –0,407


а) – 5340

= –1,325 б) – 1120

= 0,55 в) –1 1325

= –1,52

г) – 43

= –1,333... = –1,(3) д) – 56

= –0,8333... = –0,8(3)

ђ) – 57

= –0,714285714... = –0,(714285)


а) –0,6 = – 610

= – 35

б) –1,67 = – 167100

в) –2,55 = – 255100

= – 5120

0 1 21 21,30,4

1,125

0,7

0,75

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

35

–2 –1 0 1 21 21,3

0,1

0,4

–0,1

–0,4–0,7–1,3–1,5



а) –0,2 > –0,3 б) –0,04 > –0,4 в) –0,05 > –0,1

г) Прво уочимо да је –1 320

= –1,15 и –1,11 > –1,15. Дакле, –1,11 > –1 320

.

д) Прво уочимо да је – 116

= –1,8333... = –1,8(3) и –1,7 > –1,8(3). Дакле, –1,7 > – 116

.


а) –0,354 ≈ 0,35 б) –2,276 ≈ –2,28 в) –13,7151 ≈ –13,72

г) –13,715 ≈ –13,72 д) –13,705 ≈ –13,70


–5,67253 ≈ –5,7 –5,67253 ≈ –5,67 –5,67253 ≈ –5,673


а) –0,(4) = – 49

б) –1,2(3) = – 11190

= –1 730

в) –23,0(45) = – 22 815990

= –23 122


а) 1 + 4 = 5 б) –1 – 4 = –5 в) –3 + 5 = 2 г) 3 – 5 = –2


а) 17

+ 47

= 57

б) 47

– 17

= 37

в) 23

+ 56

= 46

+ 56

= 96

= 32

= 1 12

г) 56

– 23

= 56

– 46

= 16

д) 34

+ 45

= 1520

+ 1620

= 3120

= 1 1120

ђ) 45

– 34

= 1620

– 1520

= 120


а) 0,5 + 0,4 = 0,9 б) 0,5 – 0,4 = 0,1

в) 0,76 + 0,5 = 1,26 г) 0,76 – 0,5 = 0,26

36

САБИРАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА


а) 16

+ (– 56 ) = 1

6 + –5

6 = 1 – 5

6 = –4

6 = – 2

3

б) – 57

+ (– 37 ) = –5

7 + –3

7 = –5 – 3

7 = –8

7 = –1 1

7

в) – 23

+ 53

= –23

+ 53

= –2 + 53

= 33

= 1

г) –1 710

+ 1710

= – 1710

+ 1710

= 0


а) 17

+ (– 45 ) = 1

7 + –4

5 = 5

35 + –28

35 = 5 – 28

35 = – 23

35

б) – 43

+ 16

= –43

+ 16

= –86

+ 16

= –8 + 16

= – 76

= –1 16

в) 2 14

+ (– 23 ) = 9

4 + –2

3 = 27

12 + –8

12 = 27 – 8

12 = 19

12 = 1 7

12

г) – 78

+ (– 512 ) = –7

8 + –5

12 = –21

24 + –10

24 = –21 – 10

24 = – 31

24 = –1 7

24

д) 56

+ (– 34 ) = 5

6 + –3

4 = 10

12 + –9

12 = 10 – 9

12 = 1

12

ђ) – 43

+ 34

= –43

+ 34

= –1612

+ 912

= –16 + 912

= – 712

е) –2 15

+ (–3 14 ) = –11

5 + –13

4 = –44

20 + –65

20 = –44 – 65

20 = – –109

20 = –5 9

20


а) –2,2 + (–3,21) = –5,41 б) 0,34 + (–0,78) = –0,44

в) –10,653 + (–7,642) = –18,295 г) –13,65 + 18,49 = 4,84


а) 14

+ (–3,83) = 0,25 – 3,83 = –3,58 или 14

+ (–3,83) = 25100

– 383100

= – 358100

= –3 2950

б) – 56

+ (–0,1) = – 56

– 110

= – 2530

– 330

= – 2830

= – 1415

в) –0,6 + (– 78 ) = –0,6 – 0,875 = –1,475 или

–0,6 + (– 78 ) = – 3

5 – 7

8 = – 24

40 – 35

40 = – 59

40 = –1 19

40

г) –3 511

+ 20,75 = – 3811

+ 834

= – 15244

+ 91344

= 76144

= 17 1344

37


а) – 16

б) –1 320

в) 518

г) – 1415

д) 130

ђ) – 4105

e) –0,64 ж) –6,777 з) –11,278 и) 1150

ј) – 1300


Да бисмо напамет израчунали вредности израза користићемо по потреби комутативност и асоцијативност сабирања.

а) 2,3 + (–4,4) + (–2,3) = –4,4 + (2,3 + (–2,3)) = –4,4

б) –4,37 + (–4,4) + 5,37 = –4,4 + (–4,37) + 5,37 = –4,4 + 1 = –3,4

в) –7 25

+ 1 811

+ (– 35 ) = –7 2

5 + (– 3

5 ) + 1 811

= –8 + 1 811

= –6 311


а) –4,504 + x = –1 + (–3,504) + x = –1 + (–3,504 + x) = –1 + (–0,46) = –1,46

б) –3,6 + x = –0,096 + (–3,504) + x = –0,096 + (–3,504 + x) = –0,096 + (–0,46) = –0,556

в) –3 12

+ x = –3,5 + x = 0,004 + (–3,504) + x = 0,004 + (–3,504 + x) = 0,004 + (–0,46) = –0,456



а) – 45

+ (– 34 ) + (– 2

3 ) + (– 12 ) + 0 + 1

2 + 2

3 + 3

4 + 4

5

= (– 45

+ 45 ) + ((– 3

4 ) + 34 ) + ((– 2

3 ) + 23 ) + ((– 1

2 ) + 12 ) + 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

б) –1 45

+ (–1 34 ) + (–1 2

3 ) + (–1 12 ) + 0 + 1

2 + 2

3 + 3

4 + 4

5

= (–1 45

+ 45 ) + ((–1 3

4 ) + 34 ) + ((–1 2

3 ) + 23 ) + ((–1 1

2 ) + 12 ) + 0

= –1 + (–1) + (–1) + (–1) + 0 = –4

–1,57 –23,37 –20,087

–24,94 –43,457

–68,397

2,5 –4,07 –19,3 –0,787

38


Првих седам чланова низа су: –2, –1 13

, – 23

, 0, 23

, 1 13

, 2. Њихов збир једнак је 0.

–2 + (–1 13 ) + (– 2

3 ) + 0 + 23

+ 1 13

+ 2 = 0



а) 1 – 4 = –3 б) –1 – 4 = –5 в) –3 – 5 = –8 г) 3 – 5 = –2 д) –7 – (–4) = –3


а) – 37

– 67

= – 37

+ (– 67 ) = –3

7 + –6

7 = –3 – 6

7 = – 9

7 = –1 2

7

б) 34

– 1 14

= 34

+ –54

= 34

+ –54

= 3 – 54

= – 24

= – 12

в) – 34

– 37

= – 2128

+ (– 1228 ) = –21 – 12

28 = –33

28 = –1 5

28

г) –3 45

– 1,07 = –3,8 + (–1,07) = –4,87

д) –0,23 – (– 23 ) = – 23

100 + 2

3 = – 69

300 + 200

300 = –69 + 200

300 = 131

300

ђ) 1 16

– 2 910

= 1 530

+ (–2 2730 ) = –1 11

15

е) –1 34

– (–1 27 ) = –1 3

4 + 1 2

7 = –1 21

28 + 1 8

28 = – 13

28ж) –0,23 – (–2,3) = –0,23 + 2,3 = 2,07

–2 – 12

132 –4

52

114

– 34

– 92

–8 – 114

34 10

152

12

– 132

– 32

ОДУЗИМАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

39


а) –(– 25

– (– 35 )) = –(– 2

5 + 3

5 ) = – –2 + 35

= – 15

б) –(– 25

– |– 16 |) = –(– 2

5 – 1

6 ) = –( –1230

+ –530 ) = – –12 – 5

30 = – –17

30 = 17

30

в) –4 – (–1 16

– (– 79 )) = –4 – (– 7

6 + 7

9 ) = –4 – ( –2118

+ 1418 ) = –4 – –21 + 14

18 = –4 – –7

18 =

= –4 + 718

= –3 1118


а) a + b = – 34

+ (– 45 ) = –15 + (–16)

20 = –31

20 = –1 11

20

a – b = – 34

– (– 45 ) = – 3

4 + 4

5 = –15 + 16

20 = 1

20

У овом случају је a + b < a – b, јер је –1 1120

< 120

.

б) a + b = 1 16

+ (–1,3) = 76

+ (– 1310 ) = 35

30 + –39

30 = 35 + (–39)

30 = –4

30 = – 2

15

a – b = 1 16

– (–1,3) = 76

+ 1310

= 3530

+ 3930

= 35 + 3930

= 7430

= 3715

= 2 715

У овом случају је a + b < a – b, јер је – 215

< 2 715

.

б) a + b = –12,97 + 67,5 = 54,53

a – b = –12,97–67,5 = –80,47

У овом случају је a + b > a – b, јер је 54,53 > –80,47.


а) 79

– 49

= 39

= 13

, 49

– 79

= – 39

= – 13

б) – 511

– (– 611 ) = – 5

11 + 6

11 = 1

11, – 6

11 – (– 5

11 ) = – 611

+ 511

= – 111

в) 1 35

– (–1 23 ) = 24

15 + 25

15 = 3 4

15, –1 2

3 – 1 3

5 = – 25

15 – 24

15 = –3 4

15


b – a = –(a – b) = –(– 14 ) = 1

4

40


а) AB = |– 37

– 57 | = |– 8

7 | = 87

= 1 17

б) AB = |–3,4 – (–5,2)| = |–3,4 + 5,2| = |1,8| = 1,8

в) AB = | 45

– (–1 38 )| = | 32

40 + 55

40 | = | 8740 | = 2 7

40


а) Температура се променила за 7,5°C , јер је |5 – (–2,5)| = |5 + 2,5| = 7,5.

б) Температура се променила за 3,3°C , јер је |–5,8 – (–2,5)| = |–5,8 + 2,5| = 3,3.


а) 3 ∙ 4 = 12 б) –3 ∙ (–4) = 12 в) –2 ∙ 5 = –10 г) 2 ∙ (–5) = –10


а) 37

∙ 45

= 1235

б) 23

∙ 56

= 59

в) 320

∙ 59

= 112

г) 1 57

∙ 29

= 127

∙ 29

= 821

д) 4 18

∙ 1 111

= 338

∙ 1211

= 92

= 4 12


а) 0,3 ∙ 0,4 = 0,12 б) 0,35 ∙ 0,7 = 0,245

в) 0,76 ∙ 0,41 = 0,3116 г) 1,29 ∙ 2,9 = 3,741


а) – 12

∙ (– 59 ) = 5

18 б) – 3

4 ∙ 2

5 = – 3

10

в) 1 23

∙ (– 56 ) = 5

3 ∙ (– 5

6 ) = – 2518

= –1 718

г) –1 78

∙ (– 45 ) = – 15

8 ∙ (– 4

5 ) = 32

= 1 12

д) –2,7 ∙ (–0,4) = 1,08 ђ) –1,82 ∙ 2,9 = –5,278

е) 0,22 ∙ (– 511 ) = 11

50 ∙ (– 5

11 ) = – 110

ж) –0,13 ∙ (– 78 ) = –0,13 ∙ (–0,875) = 0,11375

МНОЖЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

41


a) – 56

∙ (–1 67 ) + (– 5

6 ) ∙ 5

14 = – 5

6 ∙ (– 13

7 + 5

14 ) = – 56

∙ (– 2614

+ 514 ) = – 5

6 ∙ (– 21

14 ) = 54

= 1 14

б) 3 ∙ (–2 35 ) – 3 ∙ 4

25 = 3 ∙ (–2,6 – 0,16) = 3 ∙ (–2,76) = –8,28

в) 8 ∙ (– 720

+ 1732 ) = 8 ∙ (– 7

20 ) + 8 ∙ 1732

= – 145

+ 174

= – 5620

+ 8520

= 2920

= 1 920


a) – 94

∙ x = –3 ∙ ( 34

∙ x) = –3 ∙ (– 1115 ) = 11

5 = 2 1

5

б) 34

∙ (x – 19 ) = 3

4 ∙ x + 3

4 ∙ (– 1

9 ) = – 1115

– 112

= – 4460

– 560

= – 4960

в) – 34

∙ (x – 1) = –( 34

∙ x) + 34

= 1115

+ 34

= 4460

+ 4560

= 8960

= 1 2960


На основу тврђења датог непосредно пре овог задатка, односно правила за множење рационалних бројева, и без израчунавања закључујемо да важе једнакости:

37

∙ 45

= (– 37 ) ∙ (– 4

5 ) и 37

∙ (– 45 ) = (– 3

7 ) ∙ 45

= –( 37

∙ 45 ).


а) – 23

∙ 34

< – 23

∙ (– 34 ) б) –5 3

7 ∙ (–1 1

6 ) > –1 16

∙ 5 37

в) – 78

∙ 35

= 35

∙ (– 78 )


На основу тврђења датог непосредно пре овог задатка, односно правила за множење рационалних бројева, и без израчунавања закључујемо да важе једнакости:

а) – 25

+ 37

= –( 25

– 37 ) = 3

7 – 2

5;

б) – 710

– 515

= –( 710

+ 515 ) = –( 5

15 + 7

10 ).

42


а) Реципрочна вредност броја 12

јесте број 2.

б) Реципрочна вредност броја – 12

јесте број –2.

в) Реципрочна вредност броја 3 јесте број 13

.

г) Реципрочна вредност броја –3 јесте број – 13

.

д) Реципрочна вредност броја – 34

јесте број – 43

.

ђ) Реципрочна вредност броја – 198


.

е) Реципрочна вредност броја –4 12

= – 92


.


а) 12 : 3 = 4 б) –12 : 4 = –3 в) –35 : (–7) = 5 г) 42 : (–6) = –7


а) 37

: 45

= 37

∙ 54

= 1528

б) 23

: 56

= 23

∙ 65

= 45

в) 320

: 95

= 320

∙ 59

= 112

г) 5,6 : 0,14 = 560 : 14 = 40 д) 10,01 : 1,3 = 100,1 : 13 = 7,7


а) 23

: (– 34 ) = 2

3 ∙ (– 4

3 ) = – 89

б) – 710

: 35

= – 710

∙ 53

= – 76

= –1 16

в) –4 38

: (– 2140 ) = – 35

8 ∙ (– 40

21 ) = 253

= 8 13

г) 0 : (– 1317 ) = 0


а) 3,6 : (–0,12) = –(360 : 12) = –30 б) –0,84 : (–1,2) = 8,4 : 12 = 0,7

в) –5,06 : 0,11 = –506 : 11 = –46 г) 0 : (–5,4) = 0


Просечна јутарња температура посматране јануарске недеље била је (приближно)

–2,4°C, јер –1 + (–3) + (–10) + (–5) + 0 + (–1) + 37

= –177

≈ –2,4.

ДЕЉЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

43


а) На основу 8 : (–2 ∙ 1,25) = 8 : (–2,5) = –80 : 25 = –3,2 и (8 : (–2)) ∙ 1,25 = –4 ∙ 1,25 = –5, закључујемо да је 8 : (–2 ∙ 1,25) > (8 : (–2)) ∙ 1,25. Битно је уочити да различит распоред заграда мења редослед извршавања операција.

б) На основу 2 79

: (–2 13

– 2 23 ) = 25

9 : (–5) = – 25

9 ∙ 1

5 = – 5

9 и

(–2 13

– 2 23 ) : 2 7

9 = –5 : 25

9 = –5 ∙ 9

25 = – 9

5 = –1 4

5, закључујемо да је

2 79

: (–2 13

– 2 23 ) > (–2 1

3 – 2 2

3 ) : 2 79

. Дељење није комутативно.


а) – 635

б) 0,111 в) – 49

г) 2 14

д) –21,7 ђ) –7 е) –522


а) –1,1 б) 1 в) –10,6 г) – 111

д) –8 ђ) 5,2 е) 4,375 ж) – 710


а) 3

1 12

= 332

=

3132

= 3 ∙ 21 ∙ 3

= 2 б) 1 2

5–2

= –

752

= –

7521

= – 7 ∙ 15 ∙ 2

= – 710

в)

27

–821

= – 2 ∙ 217 ∙ 8

= – 34

г) 0,010,001

= 101

= 10

д) 0,0635

= 0,06 ∙ 53

= 0,33

= 0,1


а) 2 б) 13

в) 79

г) 28,8

44

БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ


а) a – ba – b : c

= – 3

4 – 1

2

– 34

– 12

: 14

= – 3

4 – 2

4

– 34

– 12

∙ 4 =

– 54

– 34

– 2 =

– 54

– 114

= 5 ∙ 44 ∙ 11

= 511

б) a – ba – b : c

= –0,5 – 0,25–0,5 – 0,25 : 0,125

= –0,75–0,5 – 250 : 125

= –0,75–0,5 – 2

= –0,75–2,5

= 7,525

= 0,3


(x – (x – 2y)) : y = (–5,6 – (–5,6 – 2 ∙ (–2,3))) : (–2,3)

= (–5,6 – (–5,6 + 4,6)) : (–2,3) = (–5,6 – (–1)) : (–2,3)

= (–5,6 + 1) : (–2,3) = –4,6 : (–2,3) = 2

(x – (x – 2y)) : y = ( 17

– ( 17

– 2 ∙ (– 119 ))) : (– 1

19 )= ( 1

7 – ( 1

7 + 2

19 )) ∙ (–19) = ( 19133

– ( 19133

+ 14133 )) ∙ (–19)

= ( 19133

– 33133 ) ∙ (–19) = – 14

133 ∙ (–19) = 2

Запажамо да је у оба случаја вредност израза исти број. То није случајно. Заправо за све рационалне бројеве x и y, y ≠ 0, вредност израза (x – (x – 2y)) : y јесте број 2, јер је (x – (x – 2y)) : y = (x – x + 2y) : y = (2y) : y = 2.


Јованов отац je отплатиo почетна улагања онда када зарада од продаје вишања постане већа од износа улагања, односно када збир дуга и зараде од продаје постане позитиван. У табели испод су дати подаци о првих 5 година од када је воћњак почео да рађа, тј. од када је Јованов отац почео да зарађује.

Број година од садње (k)

Зарада од продаје у току k-те године Износ после k годинa

4 500 ∙ 105 = 52 500 –1 000 000 + 52 500 = –947 5005 1,15 ∙ 500 ∙ 105 = 60 375 –947 500 + 60 375 = –887 1256 1,15 ∙ 60 375 = 69 431,25 –887 125 + 69 431,25 = –817693,75

7 1,15 ∙ 69 431,25 = 79 845,9375 –817 693,75 + 79 845,9375 = = –737 847,8125

8 1,15 ∙ 79 845,9375 = 91 822,828125 –737 847,8125 + 91 822,828125 = = –646 024,984375

Између осме и осамнаесте године, износ после k-te године од садње представља вредност израза –646 024,984375 + (k – 8) ∙ 91 822,828125. У наредној табели су дати подаци за тих 10 година.

45

Број година од садње (k) Износ после k годинa –646 024,984375 + (k – 8) ∙ 91 822,828125

9 –646 024,984375 + 1 ∙ 91 822,828125 = –554 202,1562510 –646 024,984375 + 2 ∙ 91 822,828125 = –462 379,32812511 –646 024,984375 + 3 ∙ 91 822,828125 = –370 556,512 –646 024,984375 + 4 ∙ 91 822,828125 = –278 733,67187513 –646 024,984375 + 5 ∙ 91 822,828125 = –186 910,8437514 –646 024,984375 + 6 ∙ 91 822,828125 = –95 088,01562515 –646 024,984375 + 7 ∙ 91 822,828125 = –3 265,187516 –646 024,984375 + 8 ∙ 91 822,828125 = 88 557,64062517 –646 024,984375 + 9 ∙ 91 822,828125 = 180 380,4687518 –646 024,984375 + 10 ∙ 91 822,828125 = 272 203,296875

Видимо да ће Јованов отац отплатити дуговања после шеснаест година од садње, а после осамнаест година од садње укупно је зарадио 272 203,296875 динара.


На основу 3 ∙ 0 – 5,7 = –5,7, 3 ∙ (–2) – 5,7 = –11,7, 3 ∙ (– 23 ) – 5,7 = –7,7 и 3 ∙ 4,3 – 5,7 = 7,2,

закључујемо да број –2 јесте решење једначине 3 ∙ x – 5,7 = –11,7, а да бројеви 0, – 23

и 4,3 нису.


а) Уклањањем по једног тега од 200 g и два тега од 20 g са оба таса теразија, увиђамо да је маса поклона 740 g.


а) –6 23

+ x = 5 45

/ + 6 23

x = 5 45

+ 6 23

x = 12 715

б) Уклањањем по два тега од 200 g, једног тега од 50 g и једног тега од 10 g са оба таса теразија, увиђамо да је маса поклона 410 g.

x + 240 = 980 / – 240

x + 240 – 240 = 980 – 240

x = 740

x + 460 = 870 / – 460

x + 460 – 460 = 870 – 460

x = 410

б) x + 14 1325

= –0,87 / – 14 1325

x = –0,87 – 14,52

x = –15,39

в) x – 8 56

= 1,5 / + 8 56

x = 32

+ 536

x = 10 13

г) x – 712

= –7 716

/ + 712

x = –7 716

+ 712

x = –6 4148

46

ЈЕДНАЧИНЕ

д) 89

– x = 6 115

/ + x

89

= 6 115

+ x / – 6 115

89

– 6 115

= x

x = –5 845

а) 3 13

∙ x = –5 35

103

∙ x = – 285

/ ∙ 310

x = – 285

∙ 310

x = –1 1725

в) x : 34

= –5 514

/ ∙ 34

x = – 7514

∙ 34

x = –4 156

ђ) –33,794 – x = 28,09 / + x

–33,794 = 28,09 + x / – 28,09

–33,794 – 28,09 = x

x = –61,884

б) x ∙ 325

= –0,12 / ∙ 253

x = – 12100

∙ 253

x = –1

г) x : (–3 47 ) = 2 1

15

x : (– 257 ) = 2 1

15 / ∙ (– 25

7 )x = 31

15 ∙ (– 25

7 )x = –7 8

21


Ако са x означимо новац који је Анкина мајка вратила банци, онда треба решити једначину: –57 784,35 + x = –11 987,5. Добијамо да је x = 45 796,85. Дакле, до посматраног времена (тренутка) Анкина мајка је (од укупног дуга) банци вратила 45 796,85 динара.


Ако са x означимо дубину на који је инструмент зароњен у воду, онда треба решити једначину: –422 – x = –465,5. Добијамо да је x = 43,5. Дакле, инструмент је зароњен на дубину од 43,5 m, тј. налази се на 43,5 метара испод површине Мртвог мора.


47


Одредити курс евра значи одредити којико динара вреди један евро. Слично је и у случају осталих валута. На основу података са етикете, записујемо једначину, чије решење представља тражени курс.

Страна валута Једначина Решење КурсЕвро Неке чланице ЕУ 34,95 ∙ x = 3 990 x = 3 990

34,95 ≈ 114,1631 Један евро вреди

114,1631 динара.

Злот Пољска 129,99 ∙ x = 3 990 x = 3 990

129,99 ≈ 30,6947 Један злот вреди

30,6947 динара.

Круна Чешка 899 ∙ x = 3 990 x = 3 990

899 ≈ 4,4383 Једана круна вреди


Форинта Мађарска 10 900 ∙ x = 3 990 x = 3 990

10 900 ≈ 0,3661 Једана форинта вреди


Леј Румунија 149,90 ∙ x = 3 990 x = 3 990

149,90 ≈ 26,6177 Један леј вреди


Куна Хрватска 249 ∙ x = 3 990 x = 3 990

249 ≈ 16,0241 Једана куна вреди


Лев Бугарска 64,90 ∙ x = 3 990 x = 3 990

64,90 ≈ 61,4792 Један лев вреди



Ако са x означимо првобитну цену јакне, онда треба решити једначину (1 – 0,3) ∙ x = 3 549. Добијамо да је x = 5 070. Дакле, првобитна цена јакне, пре снижења, била је 5 070 динара.


а) 2x + 58

= –1 13

/ – 58

2x = – 43

– 58

2x = – 4724

/ ∙ 12

2x = – 4724

∙ 12

x = – 4748

в) 4,3 – x = –11,43 / – 4,3

–x = –11,43 – 4,3

–x = –15,73 / ∙ (–1)

x = 15,73

б) 25

x – 5 17

= –0,5 / + 5 17

25

x = – 12

+ 5 17

25

x = 6514

/ ∙ 52

x = 6514

∙ 52

x = 11 1728

г) 0,17 – x3

= –0,01

0,17 – x3

= –0,01 / – 0,17

– x3

= –0,18 / ∙ (–3)

x = –0,18 ∙ (–3)

x = 0,5448

10 2–1–2 4 5 6 1 2 3–2–3,76–5–6 –1 03 718

а) –3 718

+ x < 0 / + 3 718

x < 0 + 3 718

x < 3 718

а) 23

∙ (x – 2) = –1 13

/ ∙ 32

x – 2 = – 43

∙ 32

x – 2 = –2 / + 2

x = –2 + 2

x = 0

б) x + 5,78 ≥ 2,02 / – 5,78

x ≥ 2,02 – 5,78

x ≥ –3,76

б) x – 5,154

= 5,5 / ∙ 4

x – 5,15 = 5,5 ∙ 4

x – 5,15 = 22 / + 5,15

x = 22 + 5,15

x = 27,15

в) 5 ∙ (1 – 23

x) = – 14

/ ∙ 15

1 – 23

x = – 14

∙ 15

1 – 23

x = – 120

/ – 1

– 23

x = – 120

– 1

– 23

x = – 2120

/ ∙ (– 32 )

x = – 2120

∙ (– 32 )

x = 1 2340


Ако са x означимо првобитну цену флашице од 0,5 ℓ минералне воде, онда треба решити једначину (1 – 0,15) ∙ x + 1 = 30,75. Добијамо да је x = 35. Дакле, првобитна цена флашице од 0,5 ℓ минералне воде била је 35 динара.


Све три једначине решене су на први начин, приказан у примеру 7 у уџбенику на страни 117. Ти једначине можеш решавати и на други начин.


Нека је x број који је замислила Сара. Тада на основу података из задатка, да бисмо

одредили који број је Сара замислила, треба решити једначину (x – 5) ∙ 47

= –4. Добијамо да је

x = –2. Према томе, Мина није била у праву када је рекла да је Сара замислила број –1. Сара је замислила број –2.


НЕЈЕДНАЧИНЕ

49

10 2–1 4 5 73 –8–13 –7 –6 –5–11–125 2536

–9 2335

1 2 3–2 4–0,508–3–4 5

–3–8 –2 –1 0–6–7 –4 935

–1–6 0–4–5 1 2–2 49

–25 –10–15–20,79

в) x – 5 2536

≤ 0 / + 5 2536

x ≤ 0 + 5 2536

x ≤ 5 2536

д) –0,506 – x ≤ 0 / + x

–0,506 ≤ 0 + x

x ≥ –0,506

г) x – 1021

≤ –10 215

/ + 1021

x ≤ –10 215

+ 1021

x ≤ –9 2335

ђ) – 514

– x ≥ 3,9 / + x

– 514

≥ 3,9 + x / – 3,9

– 514

– 3,9 ≥ x

x ≤ –4 935


а) Тражени скуп је скуп решења неједначине x + 2 < – 49

, тј. скуп свих рационалних

бројева који су решања неједначине x + 2 < – 49

. Дакле, {x | x Q, x < –2 49 }.

б) Тражени скуп је скуп решења неједначине –20 – x ≥ 0,79. Дакле, {x | x Q, x ≤ –20,79}.

50

1 2 30–3 –1–2 1 2 30–3 –1–2

–1 0 1–2–5 –4 –30 –10 0–20–40 –37–2 79

10 2–5 –4 –3 3–2

1 2 3–2 4–0,42–3–4 5

–1 311

10 2–1 3–2 4 5,3 6 7

10 2–5 –4 –3 –1 3–1 57

а) 2x ≤ –3 37

/ ∙ 12

x ≤ – 247

∙ 12

x ≤ –1 57

а) 0,15x < – 512

x < –2 79

а) 12

x > 0 / ∙ 2

x > 0

в) x4

< – 722

/ ∙ 4

x < – 722

∙ 4

x < –1 311

б) 0,53 ∙ x ≥ 2,809 / : 0,53

x ≥ 2,809 : 0,53

x ≥ 5,3

б) 0,15x < –5,55

x < –37

б) – 12

x > 0 / ∙ (–2)

x < 0

г) x : 1 1011

≥ –0,22

x : 2111

≥ –0,22 / ∙ 2111

x ≥ – 22100

∙ 2111

x ≥ –0,42




51

–1 0 1 –3 –1 0 1 2 3– 27

–1 78

в) –3x < 67

/ ∙ (– 13 )

x > 67

∙ (– 13 )

x > – 27

г) 45

x ≥ –1,5 / ∙ 54

x ≥ – 32

∙ 54

x ≥ –1 78


а) На основу –6 ∙ (–3) + 5 = 23, –6 ∙ 0 + 5 = 5 и –6 ∙ 3 + 5 = –13, закључујемо да бројеви –3 и 0 јесу решења неједначине –6x + 5 > 3 (јер је 23 > 3 и 5 > 3), а број 3 није решење те неједначине (јер је –13 < 3).

–6x + 5 > 3 / – 5

–6x > 3 – 5

–6x > –2 / ∙ (– 16 )

x < –2 ∙ (– 16 )

x < 13

б) На основу –32

– 47

= –2 114

, 02

– 47

= – 47

и 32

– 47

= 1314

, закључујемо да бројеви 0 и

3 јесу решења неједначине x2

– 47

> –1 712

(јер је – 47

> –1 712

и 1314

> –1 712 ), а број –3

није решење те неједначине (јер је –2 114

< –1 712 ).

x2

– 47

> –1 712

/ + 47

x2

> – 1912

+ 47

x2

> – 8584

/ ∙ 2

x > – 8584

∙ 2

x > –2 142

–3 –1 1 2–4 0–2 13

–3 –1 0 1–4 –2 142

52

–5 –1 0 1 2 4 6–3,7 5–2–3 3

в) На основу – 56

∙ (–3) – 2 712

= – 112

, – 56

∙ 0 – 2 712

= –2 712

и – 56

∙ 3 – 2 712

= –5 112

,

закључујемо да бројеви –3, 0 и 3 јесу решења неједначине – 56

x – 2 712

< 12

(јер је – 112

< 12

, –2 712

< 12

и –5 112

< 12 ).

– 56

x – 2 712

< 12

/ + 2 712

– 56

x < 12

+ 2 712

– 56

x < 3712

/ ∙ (– 65 )

x > 3712

∙ (– 65 )

x > – 3710

x > –3,7

г) На основу 0,7 – –34

= 1,45, 0,7 – 04

= 0,7 и 0,7 – 34

= –0,05, закључујемо да број 3 јесте

решење неједначине 0,7 – x4

≤ 0,35 (јер је –0,05 < 0,35), а бројеви 0 и –3 нису решење те

неједначине (јер је 1,45 > 0,35 и 0,7 > 0,35).

0,7 – x4

≤ 0,35 / – 0,7

– x4

≤ 0,35 – 0,7

– x4

≤ –0,35 / ∙ (–4)

x ≥ –0,35 ∙ (–4)

x ≥ 1,4


а) Тражени скуп је скуп решења неједначине x6

– 13

> – 25

, тј. скуп свих рационалних

бројева који су решења неједначине x6

– 13

> – 25

. Дакле, {x | x Q, x > – 25 }.

б) Елементи траженог скупа су цели бројеви који припадају скупу решења неједначине 5x + 1,2 < –14,3. Дакле, {x | x Z, x < –3,1} = {–4, –5, –6, ...}.

–1 0 1 21,4 3

–2 –1 0 1 2– 25

–7 –2 –1 0 1 2 4–3,1 3–4–5–653

–2 0 1 2 3

–4 –2 –1 0 1–3–6 –5 112

– 5354

а) 34

∙ (6x – 79 ) > –5 / ∙ 4

3

6x – 79

> –5 ∙ 43

/ + 79

6x > – 203

+ 79

6x > – 539

/ ∙ 16

x > – 539

∙ 16

x > – 5354

б) 2 1

3 – 2x

5 ≤ 2,5 / ∙ 5

2 13

– 2x ≤ 2,5 ∙ 5

2 13

– 2x ≤ 12,5 / – 2 13

–2x ≤ 12 12

– 2 13

–2x ≤ 10 16

/ ∙ (– 12 )

x ≥ 616

∙ (– 12 )

x ≥ –5 112


Све три неједначине решене су на први начин, приказан у примеру 6 у уџбенику на страни 124. Ти једначине можеш решавати и на други начин.


а) –6 ≤ 5 – 3x < 2,2

5 – 3x ≥ –6 / – 5

–3x ≥ –6 – 5

–3x ≥ –11 / ∙ (– 13 )

x ≤ –11 ∙ (– 13 )

x ≤ 3 23

x – 3 ≥ –5,5 / + 3

x ≥ –2,5

5 – 3x < 2,2 / – 5

–3x < 2,2 – 5

–3x < –2,8 / ∙ (– 13 )

x > – 145

∙ (– 13 )

x > 1415

x – 3 ≤ 5,5 / + 3

x ≤ 8,5

1415

< x ≤ 3 23

–2,5 ≤ x ≤ 8,5

б) |x – 3| ≤ 5,5

–5,5 ≤ x – 3 ≤ 5,5

–1 0 2 3 43 23

1415

–5 0 105 8,5–2,5

54


Свако поље шаховске табле одређују слово и број који редом означавају вертикални ред и хоризонтални ред у којима се налази то поље.

бели краљ – h4; црни краљ – h7; бели пешак – g7; црни пешак – c4; бели топ – f8; црни топ – g8; бели скакач – e6.


A(2, 4), B(0, 2,5), C(–2,5, 2), D(–4, 0), E(–4, –2), F(–2,5, –3), G(2,5, –4,5), H(5, –2)



а) AB = |7 – (–11)| = |–11 – 7| = 18

б) AB = |–2 15

– 4 17 | = |4 1

7 – (–2 1

5 )| = 6 1235



а) S(–3, 0); б) S(37, –8); в) S( 712

, – 1112 ); г) S(1 3

8, 1 1

6 ).

1 2 3 4 5 x

y

12345

A(2, 0)

C(–3, 4)

B(0, 2)

D(3, –2)–1–2–3–4–5

–1–2–3–4–5

E(–4 12

, –2 12 )

1 2 3 4 5 x

y

12345

C(2, 3)

–1–2–3–4–5

–1–2–3–4–5

D(–4, 3)

B(2, –1)A(–4, –1)Обим правоугаоника једнак је 20 јединичних дужи.

ПРАВОУГЛИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ

55


a) б) в)

г) д)


a) б)


a) б) в)

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–31 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3

x = –2

2

x ≤ –1

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3

y > 2

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3x > 2y < 1

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3x < 1y < 1

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–31 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3

x = –2

y = 2

2

x ≤ 1y ≥ 1

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–31 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3

|x| ≤ 1

2

|y| < 2

1 2 3 x

y

1234

–1–2–3

–1–2–3

|x| ≤ 2|y| ≤ 1

56



a) б)


E € 1 € 50 € 150 € 120 €

D дин. 121 дин. 6 050 дин. 18 150 дин. 14 520 дин.


1 2 3 4 5 x

y

12345

T(2, 3)

T1(2, –3)

–1–2–3–4–5

–1–2–3–4–5

T2(–2, 3)

T3(–2, –3)

1 2 3 4 5 x

y

12345

D(2, 3)

–1–2–3–4–5

–1–2–3–4–5

A(–3, 3)

C(2, –3)B(–3, –3)

1 2 3 4 5 x

y

12345 C(1, 5)

–1–2–3–4–5

–1–2–3–4–5

A (–3, –2) B (1, –2)

D(–3, 5)

2 4

2

4

6

a (страница)

O (обим)

(0, 0)

(2, 6)

3

1

5

7

1 3 5

(1, 3)

O = 3 · a

ДИРЕКТНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

57


а) Ако је p број пређених километара и s одговарајућа сума новца коју туриста треба да плати, онда је s = 0,5 · p.

б) Треба да плати 120 · 0,5 = 60 долара.

в) Прешао је 55 : 0,5 = 110 километара.


а) Из YX

= 2,161,8

= 0,360,3

= 0,60,5

= 0,30,25

= 1,2

следи да је Y = 1,2 · X.

б) Ако је X = 2,4, онда је Y = 1,2 · 2,4 = 2,88.

в) Ако је Y = 2,4, онда је X = 2,4 : 1,2 = 2.


Изразићемо брзину сваке глисте у mm/s.

Брзина глисте A: 10 dmh

= 10 · 100 mm3 600 s

= 1 000 mm3 600 s

Брзина глисте B: 10 cmmin

= 10 · 10 mm60 s

= 100 mm60 s

= 6 000 mm3 600 s

Брзина глисте C: 10 mms

= 36 000 mm3 600 s

Најбржа глиста је глиста C, а најспорија је глиста A.


а) За један дан би 20 кројача сашило све костиме.

б) Један кројач би за 20 дана сашио све костиме.

в) За два дана би 10 кројача сашило све костиме.

г) Два кројача би за 10 дана сашила све костиме.

д) За четири дана би 5 кројача сашило све костиме.

ђ) Пет кројача би за 4 дана сашило све костиме.


а) Из 2 · 0,6 = 1,2 · 1 = 0,6 · 2 = 0,4 · 3 = 1,2 следи x · y = 1,2.

б) Ако је x = 2,4, онда је y = 1,2 : 2,4 = 0,5.

в) Ако је y = 2,4, онда је x = 1,2 : 2,4 = 0,5.

2 4

2

p (пут у km)

s (сума новца у доларима)

(0, 0)

3

1

1 3 5

s = 0,5 · p

(2, 1)(4, 2)

2 4

2

4

6

X

Y

(0, 0)

(5, 6)

3

1

5

7

1 3 5

(2,5, 3)

Y = 1,2 · X

58

ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ


а) Ако Софија чита 18 страница дневно, књигу ће да прочита за 16 дана.

б) Софија треба да чита 32 странице дневно, да би књигу прочитала за 9 дана.

в) Ако Софија чита 24 странице дневно, књигу ће да прочита за 12 дана.

г) Софија треба да чита 36 страница дневно, да би књигу прочитала за 8 дана.


Крећући се равномерном брзином од 8 km/h, прешао је стазу за 90 минута. Ако се неко креће три пута брже, брзином од 24 km/h, стазу ће прећи за три пута краће време, за 30 минута.


До одговора долазимо када за сваку врсту паковања одредимо колико треба платити једну исту количину воде, на пример 1 литар воде.

Литар воде у паковањима од 0,5 литара кошта 48 динара.

Литар воде у паковању од 1,5 литара кошта 35 : 1,5 ≈ 23,33 динара.

Литар воде у паковању од 5 литара кошта 86 : 5 = 17,2 динара.

Дакле, већу количину воде треба куповати у већим паковањима.


а) x = 3; б) y = 3; в) z = 3,2; г) x = 3,75; д) x = 8/45; ђ) x = 0,1.


Странице правоугаоника су 4 cm и 6 cm.


Из 70 : x = 14 : 50 следи да је x = 250. Потребно је 250 kg свежег грожђа да би се добило 50 kg сувог.


Да бисмо направили палачинке од 5 јаја, потребно је 500 g брашна, 500 mℓ млека, 500 mℓ воде и 75 g уља.


Из 15 : x = 5 : 3, следи да је x = 9. Потребно је 9 камиона носивости од 5 тона.

A (свеже)70x

B (суво)1450

K (камиони)15x

N (носивост)35

ПРОПОРЦИЈЕ

59

S (славине)46

V (време)15y


Из 4 : 6 = y : 15, следи да је y = 10. Шест славина напуниће базен за 10 сати.



Зависност суме y, коју треба платити, од укупног броја пређених километара x, можемо описати и на следећи начин:

1) ако је 0 ≤ x ≤ 3, онда је y = 2;

2) ако је x > 3, онда је y = 2 + (x – 3) · 1, тј. y = x – 1.


На графику су означени периоди у којима је температура расла: 1. 12. – 5. 12; 9. 12. – 13. 12; 14. 12. – 16. 12; 22. 12. – 23. 12; 25. 12. – 26. 12; 27. 12. – 28. 12; 29. 12. – 30. 12.


a) Просечна откупна цена јабука 2003. године је била 20 дин./kg.

2 4

2

4

6

s (пут у m)

(0, 0)

(2, 4)3

1

5

7

1 3 5

(1, 2)

s = 2 · t

t (време у s)

(3, 6)

x

y

0

2

4

6

8

2 4 6 8 10

1

3

5

7

9

1 3 5 7 9

1050

–5

–101 5 10 15

Минималне дневне температуре (°C) у Нишу у децембру 2011.

2520 30

10

05

152025303540

2000. 2002. 2004. 2006. 2008.

цена у дин./kg

година

2003.60

ГРАФИК ЗАВИСНОСТИ МЕЂУ ВЕЛИЧИНАМА

б) Два пута је просечна откупна цена била 20 дин./kg, 2001. године и 2003. године.

в) 2002. године је била већа откупна цена него 2004. године.

г) 2008. године је била највећа откупна цена јабука.

д) 2000. године је била најнижа откупна цена јабука.

ђ) Током 2005. и 2006. године није се мењала откупна цена јабука.

е) У периоду од 2000. до 2002. године откупна цена јабука је расла.


a) Ако је кочење започето при брзини од 50 km/h, зауставни пут на поледици је 5 m, а на асфалту је 2 m.

б) Ако је дужина зауставног пута приликом кочења на асфалту једнака је 4 m, онда се аутомобил пре кочења кретао приближно 70 km/h.


а) Просечна висина момака је 180 cm, између њихове 16. и 17. године.

б) Просечна висина девојака које имају 12 година приближно је једнака 155 cm.

в) Просечна висина девојака једнака је просечној висини момака у 11. и 13. години.

г) Просечна висина девојака већа од просечне висине момака између 11. и 13. године.

10

05

152025303540

2000. 2002. 2004. 2006. 2008.

цена у дин./kg

година

2003.2001.

0

1

2

3

4

5

20 40 60 80

зауставни пут у m

брзина у km/h

асфалт

поледица

50

61


140 cm + 150 cm + 130 cm + 145 cm4

= 141,25 cm


Светски првак у фудбалу 1950. године био је Уругвај.



Наводимо један пример сређивања података прикупљених у истраживању.

одбојкафудбал кошарка

4321

567

број

лоп

ти

89

рукомет

4321

567

број

уче

ника

89

спорт,рекреација

телевизија,компјутер, телефон

друштвене игре

биоскоп, позориште, утакмица, концерт остало

62

ГРАФИЧКИ ПРИКАЗ ПОДАТАКА


Кружни дијаграм наводимо за пример који смо дали уз решење задатка 4, са стране 143 у уџбенику.


а) 35% становништва има крвну групу A+ .

б) Крвне групе О– и A– су једнако заступљене у Србији.

в) 5% становништва у Србији има крвну групу АБ.

г) Крвну групу О и А има више од 2/3 становништва у Србији.


а) Оцену 1 добило је 4% ученика.

б) У одељењу има 25 ученика.

в) Оцену 3 добило је 8 ученика.

г) Просечна оцена одељења на тесту једнака је 3,32.

спорт,рекреација

телевизија,компјутер, телефон

друштвене игре

биоскоп, позориште, утакмица, концерт остало

8 7 4 6 3

102,9°90°

51,4° 77,1°38,6°

спорт,рекреацијателевизија,

компјутер, телефон

друштвене игре биоскоп,

позориште, утакмица, концерт

остало

828

· 360° ≈ 102,9°, 728

· 360° = 90°, 428

· 360° ≈ 51,4°, 628

· 360° ≈ 77,1°.

63


1) OABCD = 1,8 cm + 4,8 cm + 3,6 cm + 2,4 cm = 12,6 cm

2) На основу података са слике, ∆ABC je једнакостраничан троугао странице 4 cm. OABCD = 4 cm + 4 cm + 2 cm + 3 cm = 13 cm

3) ∆BCD je једнакокрако-правоугли троугао, DC = BC = 3 cm. OABCD = 2,5 cm + 3 cm + 3 cm + 3,5 cm = 12 cm

4) ∆ABD је једнакокраки, јер је ∢ADB = 180° – 100° – 40° = 40°, па је AD = AB = 3 cm. OABCD = 3 cm + 4 cm + 2 cm + 3 cm = 12 cm

5) ∆ACD је једнакокраки, јер је ∢DAC = ∢DCA = 42°, па је AD = DC = 3 cm. Како се дуж BD налази на симетрали дужи AC, закључујемо и да је ∆ACB једнакокраки троугао и да је AB = BC = 4 cm. OABCD = 4 cm + 4 cm + 3 cm + 3 cm = 14 cm

6) ∆ABD и ∆BCD су једнакокрако-правоугли троуглови што значи да је AB = BC = CD = DA = 2,2 cm. OABCD = 4 · 2,2 cm = 8,8 cm

7) ∆ABC и ∆ACD су једнакостранични троуглови што значи да је AB = BC = CD = DA = 3,4 cm. OABCD = 4 · 3,4 cm = 13,6 cm

8) ∆ACD је правоугли троугао чији су оштри углови једнаки 30° и 60°. Ако су оштри углови правоуглог троугла једнаки 30° и 60°, онда је краћа катета једнака половини хипотенузе, па је AD = CD : 2 = 3 cm. Из ∆ACD ≅ ∆CAB следи да је AB = CD = 6 cm и BC = AD = 3 cm. OABCD = 2 · 6 cm + 2 · 3 cm = 18 cm


1) Детаљно образложење је дато на странама 40 и 41 у уџбенику.

2) Спољашњи угао троугла јесте угао упоредан са неким од углова тог троугла.

3) Збир спољашњих углова троугла је константан и једнак је 360°.


Збир углова у четвороуглу једнак је 360°, одакле следи:

δ = 360° – α – β – γ = 360° – 68°20’ – 85°45’ – 98° = 107°55’


1) Ако је α = β = γ = δ, онда из α + β + γ + δ = 360° следи да је α = 360° : 4 = 90°.

2) Ако је α + β = 180°, онда из α + β + γ + δ = 360° следи да је γ + δ = 360° – 180° = 180°.

ЧЕТВОРОУГАОЧЕТВОРОУГАО

64

ЗБИР УГЛОВА ЧЕТВОРОУГЛА


1) ∢BCD = 180° – 77° = 103° ∢DAB = 360° – 67° – 103° – 120° = 70°

2) ∢ABC = 180° – 130° = 50° ∢BCD = 180° – 47° = 133° ∢CDA = 360° – 78° – 50° – 133° = 99°

3) ∢CAB = 180° – 90° – 50° = 40° ∢DAB = ∢DAC + ∢CAB = 39° + 40° = 79° ∢ACD = 180° – 39° – 90° = 51° ∢BCD = ∢BCA + ∢ACD = 50° + 51° = 101°

4) ∢DAB = ∢CDA = (360° – 110° – 100°) : 2 = 75°

5) ∢DAC = 38° ∢DAB = ∢DAC + ∢CAB = 38° + 41° = 79° ∢BCA = 180° – 41° – 63° = 76° ∢BCD = ∢BCA + ∢ACD = 76° + 38° = 114° ∢CDA = 180° – 2 · 38° = 104°

6) ∆ABD је једнакокраки (AB = DB), па је ∢DAB = ∢ADB = (180° – 37°) : 2 = 71° 30’. ∆BCD је једнакокраки (DC = BC), па је ∢CDB = ∢CBD = 55° и ∢BCD = 180° – 2 · 55° = 70°. ∢ABC = ∢ABD + ∢DBC = 37° + 55° = 92° ∢CDA = ∢CDB + ∢BDA = 55° + 71° 30’ = 126° 30’

7) ∆DBC је једнакокраки (CB = CD), па је ∢DBC = ∢BDC = (180° – 56°) : 2 = 62°. ∆ABD је једнакокраки (AB = AD), па је ∢ADB = ∢ABD = 56° и ∢BAD = 180° – 2 · 56° = 68°. ∢ABC = ∢ABD + ∢DBC = 56° + 62° = 118° ∢CDA = ∢CDB + ∢BDA = 62° + 56° = 118°

8) ∆ABD је једнакокрако-правоугли троугао (AB = AD), а ∆BDC је једнакостраничан троугао. ∢DAB = 90°, ∢ABC = 45° + 60° = 105°, ∢BCD = 60°, ∢CDA = 60° + 45° = 105°

9) ∆ABC је једнакостраничан троугао, а ∆ACD је једнакокрако-правоугли троугао (AC = AD). ∢DAB = 90° + 60° = 150°, ∢ABC = 60°, ∢BCD = 60° + 45° = 105°, ∢CDA = 45°


1) Из α = β = γ и δ = α + β следи да је δ = 2α, па је 360° = α + β + γ + δ = α + α + α + 2 · α = 5 · α. Дакле, α = β = γ = 360° : 5 = 72° и δ = 2α = 144°.

2) Из α = 2β = 3γ = 4δ, следи да је β = α2

, γ = α3

и δ = α4

, па је

360° = α + β + γ + δ = α + α2

+ α3

+ α4

= 2512

· α.

Дакле, α = 172,8° = 172° 48’, β = α2

= 86° 24’, γ = α3

= 57,6° = 57° 36’, δ = α4

= 43° 12’.

3) Из β = 2α, γ = 12

β = α и δ = 12

γ = α2

следи

360° = α + β + γ + δ = α + 2α + α + α2

= 92

· α,

па је α = γ = 80°, β = 2α = 160° и δ = α2

= 40°. 65


Ако је α = γ и β = δ, онда је 360° = α + β + γ + δ = α + β + α + β = 2(α + β), одакле следи да је α + β = 180°, па је и γ + δ = 180°.


1) Из α = 78°, β1 = 130°, γ1 = 40° следи да је: β = 50°, γ = 140°, δ = 92°, α1 = 102°, δ1 = 88°.

2) Из α = β = 72°, δ1 = 62° следи да је: γ = 98°, δ = 118°, α1 = β1 = 108°, γ1 = 82°.

3) Из α = β1 = γ = 40° следи да је: β = 140°, δ = 140°, α1 = γ1 = 140°, δ1 = 40°.

4) Из α = β = γ1 = 40° следи да је: γ = 140°, δ = 140°, α1 = β1 = 140°, δ1 = 40°.


Тражена тачка D је пресек праве p кроз C паралелне са AB и праве q кроз A паралелне са BC. Четвороугао ABCD је паралелограм јер су његове наспрамне странице паралелне.


Два наспрамна угла паралелограма су по 123°, а друга два су по 180° – 123° = 57°.


Ако је спољашњи угао паралелограма једнак 101°, онда је њему упоредан унутрашњи угао једнак 180° – 101° = 79°. Два наспрамна угла паралелограма су по 79°, а друга два су по 101°.


Суседни углови паралелограма су суплементни, тј. њихов збир је једнак 180°. Дакле, збир два наспрамна угла је једнак 212°. Како су наспрамни углови паралелограма једнаки, два наспрамна угла датог паралелограма су по 212° : 2 = 106°. Друга два наспрамна угла једнака су по 180° – 106° = 74°.

A B

D

q || BC

p || ABC

66

ПАРАЛЕЛОГРАМ


1) Свака два наспрамна угла четвороугла APBQ су једнака, одакле следи да је овај четвороугао паралелограм.

2) Сваке две наспрамне странице четвороугла APBQ су једнаке (AP = BQ = 3 cm и PB = QA = 2,8 cm), одакле следи да је овај четвороугао паралелограм.

3) Четвороугао APBQ је паралелограм, јер су његове наспрамне странице AP и BQ једнаке (AP = BQ = 3 cm) и налазе се на паралелним правама (∢PAB = ∢QBA = 42°).


Центар O кружница полови пречник AB кружнице k(O, r1) и пречник CD кружнице k(O, r2), тј. дужи AB и CD имају заједничко средиште. У четвороуглу ACBD дужи AB и CD су дијагонале. Дакле, дијагонале четвороугла ACBD се полове, одакле следи да је тај четвороугао паралелограм.


У паралелограму ABCD, наспрамне странице AB и CD су једнаке и паралелне. Такође, у паралелограму ABQP, наспрамне странице AB и PQ су једнаке и паралелне. То значи да су једнаке и паралелне дужи PQ и CD, које су наспрамне странице четвороугла PQCD. Дакле, PQCD је паралелограм.


Четвороугао UKVL јесте паралелограм, јер се његове дијагонале UV и KL међусобно полове.


У паралелограму ABCD, дијагонале AC и BD се међусобно полове. Такође, у паралелограму APCQ, дијагонале AC и PQ се међусобно полове. То значи да се међусобно полове и дужи BD и PQ, које су дијагонале четвороугла PBQD. Дакле, PBQD је паралелограм.


Нека је O пресек дијагонала паралелограма ABCD. Тачка O је средиште дужи AC и BD.

Из OB = OD и BK = DL следи да је OK = OB – BK = OD – DL = OL. Дакле, O је средиште дужи KL. Како дужи AC и KL имају заједничко средиште, закључујемо да је AKCL паралелограм.

O

A

B

C

D

r2

r1

S

K

LU

V

A B

CD

P

Q

A B

CD

KL O

67


Средиште дужи AC истовремено је и средиште дужи BD. Када конструишемо средиште O дужи BD, добијамо још једну тачку која припада дијагонали AC.


Ако је четвороугао паралелограм, онда су наспрамни углови тог четвороугла једнаки.

Ако је четвороугао паралелограм, онда су наспрамне странице тог четвороугла једнаке.

Ако је четвороугао паралелограм, онда се дијагонале тог четвороугла узајамно полове.

Ако су наспрамни углови четвороугла једнаки, онда је тај четвороугао паралелограм.

Ако су наспрамне странице четвороугла једнаке, онда је тај четвороугао паралелограм.

Ако се дијагонале четвороугла узајамно полове, онда је тај четвороугао паралелограм.

Ако су наспрамни углови четвороугла једнаки, онда су наспрамне странице тог четвороугла једнаке.

Ако су наспрамне странице четвороугла једнаке, онда су наспрамни углови тог четвороугла једнаки.

Ако су наспрамне странице четвороугла једнаке, онда се дијагонале тог четвороугла узајамно полове.

Ако се дијагонале четвороугла узајамно полове, онда су наспрамне странице тог четвороугла једнаке.

Ако су наспрамни углови четвороугла једнаки, онда се дијагонале тог четвороугла узајамно полове.

Ако се дијагонале четвороугла узајамно полове, онда су наспрамни углови тог четвороугла једнаки.


1) Ако четвороугао ума три права угла, онда и четврти угао мора бити прав, јер је 360° – 3 · 90° = 90°, па је тај четвороугао правоугаоник.

2) Наспрамни углови паралелограма су једнаки, па ако је један од углова прав, онда је и њему наспрамни угао прав. Суседни углови паралелограма су суплементни, па ако је један угао прав, онда је прав и њему суседни угао. Дакле, ако паралелограм има један прав угао, онда су и сви остали углови прави, па тај паралелограм мора бити правоугаоник.

A

B

D

O

68

ПРАВОУГАОНИК, РОМБ, КВАДРАТ


AB = AB∢ABC = ∢BAD = 90°

BC = AD

СУС ∆ABC ≅ ΔBAD

Из ∆ABC ≅ ΔBAD следи да је AC = BD.


∢DAC = (180° – 20°) : 2 = 80°

∢CAB = 90° – 80° = 10°


Претпоставимо да је ABCD паралелограм чије су дијагонале AC и BD једнаке.

BC = AD (наспрамне странице паралелограма су једнаке)AC = BDAB = AB

ССС ∆ABC ≅ ΔBAD

Из ∆ABC ≅ ΔBAD следи да је ∢DAB = ∢CBA. Суседни углови паралелограма су суплементни, па из последње једнакости следи да су углови ∢DAB и ∢CBA прави. Паралелограм чији су углови прави јесте правоугаоник.


1) Сви углови четвороугла APBQ су прави, одакле следи да је овај четвороугао правоугаоник.

2) Дијагонале четвороугла APBQ су једнаке и полове једна другу, одакле следи да је овај четвороугао правоугаоник (види задатак 5 на страни 157 у уџбенику).


Ако су A1 и B1 подножја нормала из A и B на праву p, онда је због AA1 = BB1, четвороугао AA1B1B правоугаоник, па је AB || A1B1.


Нека је E пресек странице CD и симетрале ∢BAD правоугаоника ABCD. Према претпоставци задатка важи CE = ED и CD = 7 cm, одакле следи да је CE = ED = 3,5 cm.

Троугао AED је једнакокрако-правоугли, па је AD = DE = 3,5 cm.

OABCD = 21 cm


Нека је BD краћа дијагонала ромба ABCD. Ако је дијагонала BD једнака страници ромба, онда BD дели ромб на два једнакостранична троугла. Оштри углови ромба ABCD једнаки су по 60°, а тупи углови су по 120°.

A B

CD

20°

A B

CD

AB

A1

B1p

45°

a = 7 cmA B

CD E

69


Ако је оштар угао ромба једнак 60°, онда краћа дијагонала дели тај ромб на два једнакостранична троугла, и страница ромба је једнака краћој дијагонали.

O = 4 · 4 cm = 16 cm


1) Према датој конструкцији важи AQ = QB = BP = PA = 2 cm, одакле следи да је AQBP ромб.

2) Према ставу подударности СУС закључујемо да су сви правоугли троуглови ASP, BSP, ASQ и BSQ међусобно подударни. Одатле следи да су хипотенузе ових троуглова једнаке AP = PB = BQ = QA. Дакле, APBQ је ромб.

3) Према ставу подударности УСУ једнакокраки троуглови ABP и ABQ су подударни, одакле следи да је AP = PB = BQ = QA. Дакле, APBQ је ромб.


Нека је ABCD паралелограм чије су дијагонале узајамно нормалне. Нека је O пресек дијагонала AC и BD.

Познато је да се дијагонале паралелограма полове: AO = CO и BO = DO. Будући да је угао између дијагонала прав, према ставу СУС следи да су сви троуглови ABO, CBO, CDO и ADO међусобно подударни. Из подударности ових троуглова следи да је AB = BC = CD = DA.

Дакле, ABCD је четвороугао чије су све странице међусобно једнаке, па је ABCD ромб.


1) Квадрат је истовремено и правоугаоник и ромб. Дијагонале правоугаоника су међусобно једнаке, а дијагонале ромба су међусобно нормалне. Дакле, дијагонале квадрата су једнаке и узајамно нормалне.

2) Око сваког правоугаоника се може описати кружница. Специјално, сваки квадрат је правоугаоник, па се и око сваког квадрата може описати кружница.

3) У сваки ромб се може уписати кружница. Специјално, сваки квадрат је ромб, па се и у сваки квадрат може уписати кружница.


Нека су P, Q, R и S средишта страница квадрата ABCD.

Према ставу подударности СУС закључујемо да су сви троуглови SAP, PBQ, QCR и RDS међусобно подударни. Из ових подударности следи да је PQ = QR = RS = SP. Једноставно рачунамо и да је ∢SPQ = ∢PQR = ∢QRS = ∢RSP = 90°. Дакле, PQRS је четвороугао чије су све странице једнаке и сви углови прави, па је PQRS квадрат.

A B

CD

O

A B

CD

P

Q

R

S

45°45°

70


1) Нека је ABCD паралелограм чије су дијагонале једнаке и узајамно нормалне. Нека је O пресек дијагонала AC и BD.

Познато је да се дијагонале паралелограма полове: AO = CO и BO = DO. Будући да је угао између дијагонала прав, према ставу СУС следи да су сви троуглови ABO, CBO, CDO и ADO међусобно подударни. Из подударности ових троуглова следи да је AB = BC = CD = DA. Дакле, све странице четвороугла ABCD су међусобно једнаке. Из претпоставке да су дијагонале AC и BD једнаке, следи да је AO = BO = CO = DO, што значи да су троуглови ABO, CBO, CDO и ADO једнакокрако-правоугли. Углови на основици ових троуглова су по 45°, па једноставно рачунамо да је ∢DAB = ∢ABC = ∢BCD = ∢CDA = 90°. Дакле, сви углови четвороугла ABCD су прави.

2) На слици је приказан четвороугао ABCD који није квадрат, иако су његове дијагонале AC и BD међусобно једнаке и узајамно нормалне.


Конструкција СУС представља конструкцију троугла у случају када су познате две његове странице b и c и угао α које оне захватају:

1) цртамо дуж AB = c,

2) конструишемо полуправу Ax такву да је ∢BAx = α,

3) на Ax конструишемо тачку C тако да је AC = b.

Конструкција УСУ представља конструкцију троугла у случају када је позната једна његова страница c и углови α и β који на њу належу:


2) конструишемо полуправу Ax такву да је ∢BAx = α,

3) конструишемо полуправу By такву да је ∢ABy = β.

Полуправе Ax и By конструишемо са исте стране дужи AB. Пресек полуправих Ax и By је теме C троугла који треба конструисати.

Конструкција ССС представља конструкцију троугла у случају када су познате све три његове странице, a, b и c:


2) конструишемо кружницу k(A, b),

3) конструишемо кружницу k(B, a).

Једна пресечна тачка кружница k(A, b) и k(B, a) је теме C троугла који треба конструисати.

C

A B

D

O

A

B

C

D

КОНСТРУКЦИЈА ПАРАЛЕЛОГРАМА

71

Конструкција ССУ представља конструкцију троугла у случају када су познате две његове странице b и c, при чему је c > b и угао γ (наспрам дуже странице):

1) цртамо краћу страницу AC = b,

2) конструишемо полуправу Cz такву да је ∢ACz = γ,

3) конструишемо кружницу k(A, c).

Пресечна тачка полуправе Cz и кружнице k(A, c) је теме B троугла који треба конструисати.


A3, A7, G1


Конструкција се може обавити на више начина, као што је описано у примеру 1 на страни 161.

1. начин. Тачку B можемо одредити као пресек праве кроз A паралелне са CD и праве кроз C паралелне са AD.

2. начин. Прво конструишемо праву a кроз A паралелну са CD, а затим на a конструишемо тачку B тако да је AB = CD и тачке B и C су са исте стране праве AD.

3. начин. Тачку B можемо конструисати као пресек кружница k(A, DC) и k(C, DA), при чему тачке B и D треба да буду са различитих страна праве AC.

4. начин. Прво можемо конструисати средиште O дужи AC, а затим B конструисати као тачку која је централносиметрична тачки D у односу на O.


1) Прво треба конструисати троугао ABD чије су све три странице познате (ССС: AB = 5 cm, BC = 6 cm, DA = 3 cm). Након тога треба конструисати четврто теме C паралелограма ABCD.

2) Прво треба конструисати троугао ABD коме су познате две странице и угао који захватају (СУС: AB = 5 cm, DA = 4 cm, ∢DAB = 75°). Након тога треба конструисати четврто теме C паралелограма ABCD.

3) Прво треба конструисати троугао ABC коме су познате две странице и угао који захватају (СУС: AB = 6 cm, AC = 5 cm, ∢BAC = 30°). Након тога треба конструисати четврто теме D паралелограма ABCD.

3 cm

5 cm

6 cm

A B

CD

3 cm

75°

5 cm

4 cm

75°A B

CD

30°

6 cm

5 cm

A B

CD

30°

72


1) Постоји више начина да се конструише тражени паралелограм. Један начин је приказан испод.

2) Нека је D1 подножје висине из темена D паралелограма ABCD. Правоугли троугао AD1D конструише се на познат начин (позната је хипотенуза и једна катета).

Након конструкције троугла AD1D, на продужетку странице AD1 треба одредити тачку B тако да је AB = 4 cm и A – D1 – B. Најзад, остаје да се конструише четврто теме C паралелограма ABCD.

3) Означимо са E подножје висине из D на AB, a са F подножје висине из D на BC.

Троугао AED је правоугли и познате су његова хипотенуза (AD = 3,5cm) и једна катета (DE = 3cm), па га можемо конструисати на познат начин. Како је DF нормално на BC и BC || AD, следи да је DF нормална и на AD. Дакле, након конструкције троугла AED треба конструисати нормалу на AD у тачки D и на тој нормали одредити тачку F тако да је DF = 4cm. Тачка B je пресек праве AE и праве кроз F паралелне са AD. Преостаје само да се конструише тачка C тако да ABCD буде паралелограм.

0 1 2 3 4 5 6cm

0 1 2 3 4 5 6cm

0 1 2 3 4 5 6cm

6 cm

3 cm

AD

3 cm

6 cm

4,5 cm

k(A, 4,5 cm)k(D, 4,5 cm)

AD

3 cm

6 cm

AD 6 cm

3,5 cm 3 cm

4 cmD C

BA D1

3,5 cm 3 cm4 cm

A B

CD

E

F

73


Прво треба конструисати правоугли троугао ABD чије су катете познате (СУС: AB = 5 cm, AD = 3 cm, ∢DAB = 90°). Након тога, остаје да се конструише четврто теме C правоугаоника ABCD.


0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

0 1 2 3 4 5 6cm

D

E A

k(D, 4cm)

F

D

E A

k(D, 4cm)

F

p || AD

B

C q || AB

D

E

D

E A

k(D, 3,5cm)

D

EA

5 cm

3 cm

A B

CD

0 1 2 3 4 5 6cm 75°3,5 cm

A B A B A B

D

A B

CDk(A, 3,5 cm)

k(D, 3,5 cm)

k(B, 3,5 cm)

74


Поступи као у примеру 6 на страни 164 у уџбенику. Треба конструисати две узајамно нормалне дужи које се међусобно полове и чије су дужине 5 cm и 6 cm. Крајње тачке ове две дужи представљају темена ромба који треба конструисати.


Нека је O пресек дијагонала правоугаоника ABCD који треба конструисати. Познато је да су дијагонале правоугаоника једнаке и да се међусобно полове. Прво треба конструисати једнакокраки троугао AOD (СУС: AO = DO = 2,5 cm, ∢AOD = 30°). Темена B и C су централносиметрична редом тачкама D и A у односу на O.


Треба конструисати две дужи које су узајамно нормалне, међусобно се полове и једнаке су по 4 cm. Крајње тачке ових дужи представљају темена траженог квадрата.


1) Треба конструисати два узајамно нормална пречника кружнице k(O, 4 cm). Крајње тачке ових пречника представљају темена квадрата уписаног у кружницу.

2) Треба конструисати два узајамно нормална пречника PR и QS кружнице k(O,4 cm). Затим треба одредити тачке A, B, C и D тако да PAQO, QBRO, RCSO и SDPO буду квадрати.

2,5 cm

3 cm

OA

B

C

D

3 cm

2,5 cm

30°2,5 cm

2,5 cm

A B

CDO

2 cm2 cm

2 cm2 cm

A

B

C

D

k(O, 4 cm)

OA C

B

D

k(O, 4 cm)

OP R

Q

S

A B

CD

75


AB = MN , CD = OQ , EF = RS , GH = OP , IJ = VW , KL = TU .





A

B

C

a || BCA1

A

B

Ca || BC

A1

A

B

C

A1

1) 2) 3)

bT

RS

P

Qa

a + b

b

b

A

B

C1)

A

B

C2)

A

B

C3)

C1

A

B

C4)

C1

AB + CA = CBBA + AC = BC

AB + AC = AC1

BA + CA = BC1

A

B

1) 2)

C1

D1

3)

A

B

C

A

B

CD

B1 D1

DC

D AB + AC + AD = AD1

BA + AC + CD = BD AB + CB + DC = AD11

76

ОПЕРАЦИЈЕ СА ВЕКТОРИМА

P

QR

ST

Ua –a

b–b

a – b b – a

A B

CD C1

D1A B

CD

C1

D1


1) AB + AD = AC ; 2) BA + BC = BD ; 3) CD + CB = CA ; 4) DA + CD = CA .



1) AB + AC – AD = AD1 2) AB – AC – AD = AD1

3) AB – (AC – AD) = 0 4) –AB – AC + AD = AD1


1) –a – 2b + c ; 2) 2a – 12

b + 14

c ; 3) a + 3b – 2 c .


Постоји троугао чије су странице 6,25 cm, 4,32 cm и 3,27 cm, зато што су задовољене неједнакости троугла: 6,25 + 4,32 > 3,27, 4,32 + 3,27 > 6,25, 3,27 + 6,25 > 4,32. Средње

линије овог троугла су: 6,25 + 4,322

= 5,285, 4,32 + 3,272

= 3,795, 3,27 + 6,252

= 4 ,76.

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

C1

B1D1

AC – AD = AB

bca

PQ – RS = PT , RS – PQ = RU

77


1) Нека је ABCD четвороугао и нека су P, Q, R, S средишта страница AB, BC, CD, DA.

Дужи PQ и RS су средње линије троуглова ABC и CDA, које одговарају њиховој заједничкој страници AC.

Према теореми о средњој линији троугла закључујемо:

PQ и RS су обе паралелне са AC, па су паралелне и међу собом, PQ || RS и

PQ и RS су обе једнаке половини дужи AC, па су једнаке и међу собом PQ = RS.

Из PQ || RS и PQ = RS следи да је PQRS паралелограм.

Издвајамо два основна запажања која ћемо користити у осталим деловима задатка. Ако је ABCD четвороугао и нека су P, Q, R, S средишта страница AB, BC, CD, DA, онда:

(I) сваки угао паралелограма PQRS једнак је једном од углова које образују дијагонале четвороугла ABCD;

(II) свака страница паралелограма PQRS једнака је половини одговарајуће дијагонале четвороугла ABCD.

2) Дијагонале правоугаоника су међусобно једнаке, па према тврђењу (II) које је наведено у делу задатка под 1) следи да је PQRS ромб (све дужи PQ, QR, RS, SP једнаке су половини дијагонале правоугаоника).

3) Дијагонале ромба су међусобно нормалне, па према тврђењу (I) које је наведено у делу задатка под 1) следи да су сви углови паралелограма PQRS прави, што значи да је PQRS правоугаоник.

4) Сваки квадрат је и ромб и правоугаоник, па према деловима задатка 2) и 3) следи да средишта страница квадрата образују паралелограм који је и правоугаоник и ромб, тј. образују квадрат.


Дуж чије су крајње тачке средишта две странице троугла, назива се средња линија тог троугла. Средња линија троугла паралелна је наспрамној страници и два пута је краћа од ње.

A

B

CD

P

Q

R

S

A B

CD

P

Q

R

S

A B

CD

P

Q

RS

A B

CD

P

Q

R

S

78

ТРАПЕЗ


Углови на горњој основици суплементни су суседним угловима на доњој основици. Дакле, на горњој основици трапеза ABCD угао код темена D једнак је 180° – 63° = 117°, a угао код темена B je 180° – 54° = 126°.


102°, 76°


1) Нека је C1 подножје нормале из C на AB. Трапез ABCD разлаже се на правоугаоник AC1CD и једнакокрако-правоугли троугао C1BC.

Из AC1 = CD = 4 cm и AD = CC1 = C1B = 3 cm, следи да је AB = AC1 + C1B = 7 cm.

2) Трапез ABCD се разлаже на паралелограм и једнакостраничан троугао, одакле следи да је AB = 7 cm.

3) Нека је D1 подножје нормале из D на AB. Трапез ABCD разлаже се на правоугли троугао AD1D чији су оштри углови једнаки 30° и 60°, и на правоугаоник D1BCD. У правоуглом троуглу чији су оштри углови једнаки 30° и 60° краћа катета је једнака половини хипотенузе, па је AD1 = 1,5 cm. Дакле, AB = AD1 + D1B = 5,5 cm.


OABCD = 16 cm


Нека је ABCD једнакокраки трапез, AD = BC.

Из једнакости AD = BC и AB = AB и чињенице да су углови на основици једнакокраког трапеза једнаки, ∢ABC = ∢BAD, према ставу СУС следи да је ∆ABC ≅ ΔBAD. Из ∆ABC ≅ ΔBAD следи да је AC = BD.


7,5 cm + 5,7 cm2

= 6,6 cm

3cm

4cm

45°A B

CD

C1

4cm

3cm

60°60°A B

CD

C1

60°

3cm

4cm

A B

CD

D1

B

CD

A

79


1) Прво треба одредити дужу основицу, AB = 10,5 cm. Средња линија је једнака 10,5 cm + 6 cm

2 = 8,25 cm.


2 = 8,25 cm.


2 = 7,125 cm.


Одредимо најпре дуж LQ = KP + MR2

= 16 cm + 12 cm2

= 14 cm.

Из AB + LQ2

= AB + 14 cm2

= 16 cm следи да је AB = 18 cm.

Из CD + LQ2

= CD + 14 cm2

= 12 cm следи да је CD = 10 cm.


Нека је MK = KL = LN = x, као што је обележено на слици.

Дуж ML је средња линија троугла ABD, па је AB = 2ML = 4x. Такође, дуж LN је средња линија троугла CDB, па је CD = 2LN = 2x. Из ових једнакости следи да је AB = 2CD.


Нека је MN средња линија трапеза ABCD, а тачке K и L пресек средње линије и дијагонала. Посматрајући труглове CDA и DCB, уочавамо да су дужи MK и LN средње линије ових троуглова које одговарају њиховој заједничкој страници CD. Дакле, дужи MK и LN морају бити једнаке. Нека је MK = LN = x. Како је средњи део KL једнак збиру преостала два дела, имамо да је KL = 2x.

Дуж ML је средња линија троугла ABD, па је AB = 2ML = 6x. Такође, дуж LN је средња линија троугла CDB, па је CD = 2LN = 2x. Из ових једнакости следи да је AB = 3CD.

A B

CD

M NK Lx x x

A B

CD

M NK Lx

2xx

80


Права кроз теме C паралелна са краком AD разлаже трапез ABCD на паралелограм AECD и троугао EBC. Странице троугла EBC су a – b, c, d. Из неједнакости троугла следи да је d – c < a – b < c + d, уз претпоставку да је d > c.


1)

2) Нека је D1 пресек основице AB и праве кроз D паралелне са BC. Дуж DD1 разлаже трапез ABCD на троугао AD1D и паралелограм D1BCD.

Прво треба конструисати троугао AD1D (УСУ): AD1 = 3 cm, ∢DAD1 = 30° и ∢AD1D = 75°. Затим на продужетку странице AD1 треба одредити тачку B тако да је A – D1 – B и D1B = 4 cm. Најзад, конструишемо тачку C тако да D1BCD буде паралелограм.



Прво треба конструисати троугао AD1D (СУС): AD1 = 5 cm – 3 cm = 2 cm, AD = 4 cm и ∢DAD1 = 45°. Затим на продужетку странице AD1 треба одредити тачку B тако да је A – D1 – B и D1B = 3 cm. Најзад, конструишемо тачку C тако да D1BCD буде паралелограм.

2) Нека је C1 пресек основице AB и праве кроз C паралелне са AD. Дуж CC1 разлаже трапез ABCD на троугао C1BC и паралелограм AC1CD. Како је позната дужина једне странице троугла C1BC, пре конструкције треба одредити и углове налегле на познату страницу.

Прво треба конструисати троугао C1BC (УСУ): BC = 4 cm, ∢C1BC = 45° и ∢BCC1 = 75°. Затим на продужетку странице BC1 треба одредити тачку A тако да је A – C1 – B и AB = 7 cm. Најзад, конструишемо тачку D тако да AC1CD буде паралелограм.

A B

CD

a – b

b

cd d

Eb

a

0 1 2 3 4 5 6cm

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

3,5 cm

A B

5 cm60°

A B60°

A B60°

k(A, 3,5cm) D

A B60°

k(A, 3,5 cm)Dd ||AB

2 cm

k(D, 2 cm)C

30° 75° 75°A B

CD

D1

4 cm

3 cm

2 cm45°

4 cm

3 cm

B

C

A

D

D13 cm

45°

120° 4 cm

B

C

A

D

180° – 120° = 60°C1

60°

180° – 60° – 45° = 75°

КОНСТРУКЦИЈА ТРАПЕЗА

81


Прво треба конструисати троугао AD1D (УСУ): AD1 = 5 cm – 3 cm = 2 cm, ∢DAD1 = 60° и ∢AD1D = 75°. Затим на продужетку странице AD1 треба одредити тачку B тако да је A – D1 – B и D1B = 3 cm. Најзад, конструишемо тачку C тако да D1BCD буде паралелограм.

4) Прво треба конструисати троугао ABD (ССУ): AD = 3 cm, BD = 6 cm, ∢DAB = 60° (BD > AD). Теме C је пресек праве кроз D паралелне са AB и кружнице k(B, 3 cm). Права кроз D паралелна са AB и кружница k(B, 3 cm) имају две пресечне тачке, па треба изабрати ону за коју је ABCD трапез (четвороугао са само једним паром паралелних страница).

5) Прво треба конструисати троугао ABD (ССУ): AD = 3 cm, BD = 6 cm, ∢DAB = 90° (BD > AD). Теме C је тачка праве кроз D паралелне са AB таква да је CD = 3 cm и C и A су са различитих страна праве BD.

6) Нека је D1 подножје висине из темена D.

Прво треба конструисати једнакокрако-правоугли троугао AD1D чије су катете по 2 cm. На продужетку странице AD1 треба одредити тачку B тако да је A – D1 – B и D1B = 4 cm. На правој кроз D паралелној са AB треба одредити тачку C такву да је CD = 2 cm и C и A су са различитих страна праве BD.


1) Нека је D1 подножје висине из темена D. Висина правоуглог трапеза једнака је краћој основици DD1 = 4 cm. Прво треба конструисати правоугли троугао AD1D чије су катете AD1 = 3 cm и DD1 = 4 cm. Теме B је пресек праве AD1 и кружнице k(D, 6 cm), при чему је A – D1 – B. Наjзад, одређујемо и теме C тако да D1BCD буде правоугаоник.

2) Нека је D1 подножје висине из темена D. Висина правоуглог трапеза једнака је краћој основици DD1 = 4 cm. Прво треба конструисати правоугли троугао AD1D чије су катете AD1 = 3 cm и DD1 = 4 cm. Теме C је пресек кружнице k(A, 6 cm) и праве кроз D паралелне са AD1, при чему су тачке A и C са различитих страна праве DD1. Наjзад, одређујемо и теме B тако да D1BCD буде правоугаоник.

60° 75°

3 cm

3 cm B

C

A

D

2 cm D1

60°

3cm 3cm6cm

A B

CD

6 cm3 cm

3 cm

B

C

A

D

45° 45°2 cm

B

C

A

D

D12 cm 4 cm

2 cm

3 cm

4 cm

A B

CD

k(D, 6 cm)

6 cm

D1

3 cm

4 cm

A B

CD

k(A, 6 cm)

D1

82

3) Нека је D1 подножје висине из темена D. Прво треба конструисати правоугли троугао AD1D чија је хипотенуза AD = 4 cm и катета AD1 = 3 cm. Теме B је пресек праве AD1 и кружнице k(D, 6 cm), при чему је A – D1 – B. Наjзад, одређујемо и теме C тако да D1BCD буде правоугаоник.

4) Нека је D1 подножје висине из темена D. Прво треба конструисати правоугли троугао AD1D чија је хипотенуза AD = 4 cm и катета AD1 = 3 cm. Теме C је пресек кружнице k(A, 6 cm) и праве кроз D паралелне са AD1, при чему су тачке A и C са различитих страна праве DD1. Наjзад, одређујемо и теме B тако да D1BCD буде правоугаоник.


Нека је D1 пресек основице AB и праве кроз D паралелне са BC. Дуж DD1 разлаже једнакокраки трапез ABCD на једнакокраки троугао AD1D и паралелограм D1BCD.

Прво треба конструисати једнакокраки троугао AD1D чији су краци DA = DD1 = 3 cm и основица AD1 = 4 cm. Затим на продужетку странице AD1 треба одредити тачку B тако да је A – D1 – B и DB = 6 cm. Тачка B је пресек продужетка праве AD1 и кружнице k(D, 6 cm). Најзад, конструишемо тачку C тако да D1BCD буде паралелограм.


Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од крајева те дужи. Дакле, ако су P и Q на симетрали дужи AB, онда је PA = PB и QA = QB.

PA = PBQA = QBPQ = PQ

ССС ∆PQA ≅ ΔPQB

Из ∆PQA ≅ ∆PQB следе једнакости одговарајућих углова:

∢APQ = ∢BPQ, што значи да sAB полови угао APB;

∢AQP = ∢BQP, што значи да sAB полови угао AQB;

∢PAQ = ∢PBQ.


Нека је C1 осносиметрична слика тачке C у односу на праву AB. Четвороугао ACBC1 је делтоид, јер има два пара једнаких суседних страница: AC = AC1 и BC = BC1.

3 cm

4 cm

A B

CD

k(D, 6 cm)

6 cm6 cm

D1

3 cm

4 cm

A

D

B

Ck(A, 6 cm)

D1

4 cm

3 cm 3 cm

A B

CD

D1

6 cm

A

BC

C1

ДЕЛТОИД

83


1)

2)

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

0 1 2 3 4 5 6cm 0 1 2 3 4 5 6cm

60°3 cm

3 cm

A B

DC

4 cm

4 cm

60°

60°3 cm

3 cm

A B

D

75°

75°

3 cmA B

C

4cm

3 cm 4 cm

75°

3 cmA B

C

4 cmD

4 cm

3 cm

84

1 2 3 4 5 x

y

12345

C(3, 3)

–1–2–3–4–5

–1–2–3–4–5

D(–3, 3)

B(3, –2)A(–3, –2)


1) Из 1 a = 100 m2 следи да је 6 a = 600 m2, а како је 600 : 50 = 12, површина парцеле од 6 ари је 12 пута већа од површине стана од 50 m2.

2) Из 2 ha = 200 a и 200 : 5 = 40 следи да је њива површине од 2 хектара 40 пута већа од парцеле површине 2 ара.

3) Из 1 km2 = 100 ha, следи да је 3,4 km2 = 340 ha.


1) a = 4,2 cm, b = 3,21 cm: P = 4,2 cm · 3,21 cm = 13,482 cm2

2) a = 2,13 dm, b = 12,3 cm = 1,23 dm: P = 2,13 dm · 1,23 dm = 2,6199 dm2

Могли смо да рачунамо и на следећи начин: a = 2,13 dm = 21,3 cm, b = 12,3 cm.

P = 21,3 cm · 12,3 cm = 261,99 cm2. Наравно, 2,6199 dm2 = 261,99 cm2.

3) a = 0,1 m, b = 72 dm = 7,2 m: P = 0,1 cm · 7,2 cm = 0,72 m2


P = 7,22 cm2 = 51,84 cm2


Четврто теме правоугаоника је D(–3, 3). Странице правоугаоника су једнаке 6 и 5 јединичних дужи, па је површина правоугаоника једнака 30 јединичних квадрата.

јединица мере

3 4 6 9 6 9 6 14


ПОВРШИНЕ ТРОУГЛОВА И ЧЕТВОРОУГЛОВА

МЕРЕЊЕ ПОВРШИНЕ

85



Површина фигуре са леве стране:

25 mm · 15 mm – 9 mm · 3 mm – 7 mm · 4 mm = 320 mm2

Површина фигуре са десне стране:

26 mm · 13 mm – 16 mm · 3 mm – 7 mm · 6 mm = 248 mm2


а) Површина је једнака 26 јединичних квадрата.

б) Површина је једнака 24 јединична квадрата.

в) Површина је једнака 23 јединична квадрата.

1 cm

1mm

9 mm3 mm

4 mm

7 mm

25 mm

15 mm 13 mm

26 mm

16 mm 3 mm

6 mm

7 mm

Задатак 6. (185. страна)јединица мере

6 8 7,5 12 12

86


Површина свих приказаних паралелограма је 16 јединица мере.


1) a = 4,3 cm, ha = 3,4 cm: P = a · ha = 4,3 cm · 3,4 cm = 14,62 cm2

2) a = 38 mm = 3,8 cm, ha = 0,1 cm: P = a · ha = 3,8 cm · 0,1 cm = 0,38 cm2

3) b = 12,5 cm, hb = 3,4 dm = 34 cm: P = b · hb = 12,5 cm · 34 cm = 425 cm2


Поступи као у примеру 1 на страни 188 у уџбенику. Измери једну страницу нацртаног паралелограма, а затим и висину која одговара тој страници. Површина паралелограма је производ странице и одговарајуће висине.


Висину hb рачунамо користећи једнакост a · ha = b · hb. Из 12 cm · 8 cm = 10 cm · hb следи да

је hb = 12 · 810

cm = 9,6 cm.


Странице паралелограма рачунамо користећи једнакости P = a · ha и P = b · hb:

a = Pha

= 120 cm2

12 cm = 10 cm, b = P

hb

= 120 cm2

3 cm = 40 cm.


Из P = a · ha следи да је 24 cm2 = 4 cm · ha, па је ha = 6 cm. Из P = b · hb следи да је 24 cm2 = b · 8 cm, па је b = 3 cm.


Користимо следеће тврђење: ако су оштри углови правоуглог троугла једнаки 30° и 60°, онда је краћа катета једнака половини хипотенузе.

hb = a2

= 2,7 cm, P = b · hb = 6,2 cm · 2,7 cm = 16,74 cm2

30°a = 5,4 cm

b = 6,2 cmhb

ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА

87

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2

A B

CD

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2

AB

CD

A B

CD

A1

B1

C1

D1


1) Троуглови EBC и AFD су једнакокрако-правоугли и површина сваког од њих је једнака 18 cm2. Површина правоугаоника ABCD једнака је 60 cm2, па је

PAECF = PABCD – PEBC – PAFD = 60 cm2 – 2 · 18cm2 = 24 cm2.

2) PAEFC

PABCD

= 2460

= 0,4 = 40%

Осенчено је 40% правоугаоника ABCD.


1) Дуж A1B1 је средња линија троугла ABC, па је паралелна са AC и једнака је половини дужи AC. Дуж C1D1 је средња линија троугла ACD, па је паралелна са AC и једнака је половини дужи AC. Дакле, дужи A1B1 и C1D1 су паралелне и једнаке, па је A1B1C1D1 паралелограм.

2) PABCD = 2 · PA1B1C1D1

30°a = 6,8 cm

b = 7,12 cmha

150°Задатак 8. (189. страна)

Ако је један угао паралелограма једнак 150°, тада су оштри углови паралелограма једнаки 30°.


ha = b2

= 3,56 cm, P = a · ha = 6,8 cm · 3,56 cm = 24,208 cm2


а) PABCD = 25 јединичних квадрата; б) PABCD =20 јединичних квадрата.

88

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2

A B

C

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2A

B

C


Површина свих приказаних троуглова је 10 јединица мере.


Поступи као у примеру 1 на страни 191 у уџбенику. Измери једну страницу нацртаног троугла, а затим и висину која одговара тој страници. Површина троугла је половина производа странице и одговарајуће висине.


1) a = 3 cm, ha = 2,4 cm: P = a · ha

2 = 3 cm · 2,4 cm

2 = 3,6 cm2

2) b = 13,1 cm, hb = 1,8 dm = 18 cm: P = b · hb

2 = 13,1 cm · 18 cm

2 = 117,9 cm2

3) c = 11 m, hc = 0,04 km = 40 m: P = c · hc

2 = 11 m · 40 m

2 = 220 m2


Висину hb рачунамо користећи једнакост a · ha

2 = b · hb

2, тј. a · ha = b · hb.

Из 21 cm · 5 cm = 7 cm · hb следи да је hb = 21 · 57

cm = 15 cm.


а) P∆ABC = 12,5 јединичних квадрата; б) P∆ABC = 10 јединичних квадрата.

ПОВРШИНА ТРОУГЛА

89


Сви наведени троуглови имају исту висину из темена A; означимо је h.

Из P∆ABC = BC · h2

, односно 6 cm2 = 3 cm · h2

,

добијамо да је h = 4 cm. Сада је једноставно израчунати површине наведених троуглова:

P∆ACD = CD · h2

= 2 cm · 4 cm2

= 4 cm2

P∆ADE = DE · h2

= 4 cm · 4 cm2

= 8 cm2

P∆AEF = EF · h2

= 2,5 cm · 4 cm2

= 5 cm2



ha = b2

= 2 cm, P = a · ha

2 = 5 cm2


P∆ABC = 5 cm2


Површина правоуглог троугла једнака је половини производа његових катета:

P = 7 cm · 5 cm2

= 17,5 cm2


P = 12

· 32 cm2 = 4,5 cm2

30°a = 5 cm

ha

b = 4 cm

A

BC

30° 150°b = 5 cm

c = 4 cmA B

C

hc = 2,5 cm

C1

2 cm3 cm 4 cm 2,5 cm

A

B C D E F

h

90

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2

A

B

C

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2A

B

C

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2

AB

D

C

1 2 4x

y

1

3

–1–1–2–4

–2

3–3

2A

B

C

D


Поступи као у примеру 3 на страни 192 у уџбенику. Нацртани четвороугао подели дијагоналом на два троугла. За сваки троугао, измери једну страницу и одговарајућу висину, па израчунај површину тог троугла. Површина нацртаног четвороугла је збир површина троуглова.


а) P∆ABC = 14 јединичних квадрата; б) P∆ABC = 9 јединичних квадрата.


а) PABCD = 22 јединична квадрата; б) PABCD = 16 јединичних квадрата.

91


Површина свих приказаних трапеза је 12 јединица мере.


Измери основице и висину нацртаног трапеза, а затим примени формулу за израчунавање површине трапеза.


a = 8 cm, b = 4,2 cm, h = 5,1 cm: P = a + b2

· h = 8 cm + 4,2 cm2

· 5,1 cm = 31,11 cm2


Висину трапеза рачунамо користећи формулу P = m · h, где је m средња линија трапеза. Како је P = 24 dm2 и m = 1,2 m = 12 dm, из 24 dm2 = 12 dm · h следи да је h = 2 dm.


P = 10 cm + 4 cm2

· 6 cm = 42 cm2


EF = 12 cm + 9 cm2

= 10,5 cm

PABFE = 12 cm + 10,5 cm2

· 2,5 cm = 28,125 cm2

PEFCD = 10,5 cm + 9 cm2

· 2,5 cm = 24,375 cm2


CD = AB = AE + EB = 10 cm

P∆AED = AE · DE2

= 4 cm · 5 cm2

= 10 cm2

PEBCD = EB + CD2

· DE = 6 cm + 10 cm2

· 5 cm = 40 cm2

Површина трапеза EBCD је 4 пута већа од површине троугла AED.

b = 4 cm

A B

CD

6 cm45°

E

h = 6 cm

a = 10 cm

92

ПОВРШИНА ТРАПЕЗА


Површина свих приказаних четвороуглова је 12 јединица мере.


Дијагонале делтоида су међусобно нормалне: P = d1 · d2

2 = 2,3 cm · 4,5 cm

2 = 5,175 cm2.


P = 30 mm · 30 mm2

– 10 mm · 15 mm2

= 375 mm2


1) Дијагонале квадрата су међусобно нормалне: P = d2

2 = 8,32 cm2

2 = 34,445 cm2.

2) Полупречник описане кружнице квадрата једнак је половини дијагонале квадрата. Ако је полупречник описане кружнице 3,5 cm, дијагонала је 7 cm:

P = d2

2 = 72 cm2

2 = 24,5 cm2.

3) Полупречник уписане кружнице квадрата једнак је половини странице квадрата. Ако је полупречник уписане кружнице 3,5 cm, страница је 7 cm:

P = a2 = 72 cm2 = 49 cm2.


Дијагонале ромба су међусобно нормалне: P = d1 · d2

2 = 6 cm · 5 cm

2 = 15 cm2.

5 mm

15 mm30 mm

10 mm30 mm

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА ЧИЈЕ СУ ДИЈАГОНАЛЕ УЗАЈАМНО НОРМАЛНЕ

93


Четвороугао ABCD можемо разложити на два подударна троугла ABD и CBD. Заједничкој страници BD = 3 cm ових троуглова одговара висина AC : 2 = 3,5 cm.

PABCD = P∆ABD + P∆CBD = 2 · 3 cm · 3,5 cm2

= 10,5 cm2

Напомена. Ако су продужеци дијагонала неконвексног четвороугла међусобно нормални, онда је површина тог четвороугла једнака половини производа дужина дијагонала.

94

МАТЕМАТИКА 6 · Бројеви 5 и –5 су међусобно супротни...

Documents