ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΟΥΤΟΥ GAUSSGAUSS

ΚΕΦΚΕΦ. 23. 23

ΗλεκτρικήΗλεκτρική ΡοήΡοή• Ροή (γενικά):

Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται απόμία επιφάνεια.

Ε

Ε

dΑ

• Ηλεκτρική ροή dΦΕ μέσω στοιχειώδους επιφάνειας dA(αφού dA στοιχειώδης επιφάνεια τότε μπορώ να θεωρήσω στο σημείο αυτό Ε=σταθερό):Όταν Ε//dA τότε dΦΕ=Ε·dA αλλιώς dΦΕ=Ε·(dA·cosθ) =(Ε·cosθ)·dA

ΓΕΝΙΚΑ: dΦΕ=E ·dA

θ

Ε

Ε

dΑ

θ

Περιγραφή του ηλεκτρικού πεδίου μεδυναμικές γραμμές

• διεύθυνση του πεδίου στο σημείο P = διεύθυνση της(εφαπτόμενης της) δυναμικής γραμμής στο P.

• Ένταση ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από την πυκνότηταδυναμικών γραμμών («πυκνότητα της ροής»)

Ε ΕΦ Φcosκάθετη

d dEdA dA θ

= =

ΗλεκτρικήΗλεκτρική ΡοήΡοή• Και μέσω μακροσκοπικής επιφάνειας;

Τη χωρίζω σε στοιχειώδη dΑ και αθροίζω τις στοιχειώδεις ροές

ΤοΤο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα υπολογίζεταιυπολογίζεται πάνωπάνω σεσε ΟΛΗΟΛΗ ΤΗΝΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑΤοΤο αποτέλεσμααποτέλεσμα ((ολικήολική ηλεκτρικήηλεκτρική ΡοήΡοή)) είναιείναι ΒΑΘΜΩΤΗΒΑΘΜΩΤΗ ποσότηταποσότηταΕίναιΕίναι κάθετοκάθετο προςπρος τηντην επιφάνειαεπιφάνεια καικαι κατευθύνεταικατευθύνεται προςπρος τατα ΕΞΩΕΞΩΧρησιμοποιείΧρησιμοποιεί τηντην ΚΑΘΕΤΗΚΑΘΕΤΗ συνιστώσασυνιστώσα τουτου E E στηνστην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

– Η ηλεκτρική ροή μέσω της επιφάνειας είναι το άθροισμα τωνκάθετων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου πάνω σε όλη τηνεπιφάνεια.

– Προσέχουμε την κατεύθυνση της κάθετης συνιστώσας καθώςτέμνει την επιφάνεια, είναι “προς τα έξω” ή “προς τα μέσα”;

– “προς τα έξω” είναι “+” “προς τα μέσα” είναι “-”

dA

E dA⋅

ΕΦ Ε dA= ⋅∫

Ει

dAι

i: το κομμάτι i

ΗλεκτρικήΗλεκτρική ΡοήΡοή• Και μέσω κλειστής μακροσκοπικής επιφάνειας;

Τη χωρίζω και πάλι σε στοιχειώδη dΑ και αθροίζω τις στοιχειώδεις ροές

ΤοΤο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα υπολογίζεταιυπολογίζεται πάνωπάνω στηνστην ΚΛΕΙΣΤΗΚΛΕΙΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑΤοΤο αποτέλεσμααποτέλεσμα ((ολικήολική ηλεκτρικήηλεκτρική ΡοήΡοή)) είναιείναι ΒΑΘΜΩΤΗΒΑΘΜΩΤΗ ποσότηταποσότηταΕίναιΕίναι κάθετοκάθετο προςπρος τηντην επιφάνειαεπιφάνεια καικαι κατευθύνεταικατευθύνεται προςπρος τατα ΕΞΩΕΞΩΧρησιμοποιείΧρησιμοποιεί τηντην ΚΑΘΕΤΗΚΑΘΕΤΗ συνιστώσασυνιστώσα τουτου E E στηνστην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

– Η ηλεκτρική ροή μέσω της κλειστής επιφάνειας είναι το άθροισματων κάθετων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου πάνω σε όλητην επιφάνεια.

– Προσέχουμε την κατεύθυνση της κάθετης συνιστώσας καθώςτέμνει την επιφάνεια, είναι “προς τα έξω” ή “προς τα μέσα”;

– “προς τα έξω” είναι “+” “προς τα μέσα” είναι “-”

dA

E dA⋅

ΕΦ Ε dA≡ ⋅∫Ει

dAι

i: το κομμάτι i

Πυκνότητα ροής στην επιφάνεια σφαίρας, ακτίνας r, που περιέχει σημειακόφορτίο Q στο κέντρο της:

ΗλεκτρικήΗλεκτρική ΡοήΡοή

20

( )4QE rπε r

=

212

00 1

Φ 44EQ QπR

επε R= ⋅ = 2

1200 1

Φ 4 (4 )4 (4 )E

Q Qπ Rεπε R

= ⋅ =

R1R2=2R1

E

Σφαιρική συμμετρία: Ε κάθετο σε κάθε σημείο της σφαίρας|Ε| σταθερό σε κάθε σημείο της σφαίρας

ΕΦ Ε Ε Ε Ε σφαίραςdA dA dA S≡ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫Σφαίρα R1 Σφαίρα R2

1 20

Φ ΦE EQτης R της Rε

= =

Και εάν η δεύτερη επιφάνεια έχει τυχαία μορφή;

ΗλεκτρικήΗλεκτρική ΡοήΡοή

Κάθετή στην επιφάνειαΠρος τα έξω και πάλι η στοιχειώδης

ροή από μία στοιχειώδηεπιφάνεια dΑ σεαπόσταση r θα είναι ηίδια με αυτή από τηστοιχειώδη επιφάνειαμίας σφαίρας με ακτίνα r

τυχαία επιφάνεια

dΦ1=Ε⊥dA=E·cosφ·dA

σφαίρα

dΦ2=ΕdA΄=E·cosφ·dA

dΦ1=dΦ2

Το κάνω για όλη την επιφάνεια και προφανώς Φ1=Φ2

ΝόμοςΝόμος τουτου GaussGauss ((ΒΑΣΙΚΟΣΒΑΣΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ):):ΗΗ συνολικήσυνολική ηλεκτρικήηλεκτρική ροήροή μέσωμέσω κάθεκάθε κλειστήςκλειστής επιφάνειαςεπιφάνειαςείναιείναι ανάλογηανάλογη προςπρος τοτο φορτίοφορτίο πουπου περικλείεταιπερικλείεται εντόςεντός αυτήςαυτής..

ΠωςΠως εφαρμόζεταιεφαρμόζεται;;;;ΗΗ παραπάνωπαραπάνω είναιείναι αληθήςαληθής, , δενδεν φαίνεταιφαίνεται όμωςόμως εύκοληεύκολη στηνστην εφαρμογήεφαρμογήΕίναιΕίναι πολύπολύ χρήσιμηχρήσιμη στηνστην εύρεσηεύρεση τουτου EE ότανόταν τοτο πρόβλημαπρόβλημα παρουσιάζειπαρουσιάζει

μεγάλομεγάλο βαθμόβαθμό ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣΓιαΓια νανα λύσουμελύσουμε ωςως προςπρος EE, , πρέπειπρέπει νανα μπορούμεμπορούμε νανα ΕΠΙΛΕΞΟΥΜΕΕΠΙΛΕΞΟΥΜΕ μιαμια

κλειστήκλειστή επιφάνειαεπιφάνεια ώστεώστε τοτο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα νανα υπολογίζεταιυπολογίζεται ΕΥΚΟΛΑΕΥΚΟΛΑΚατεύθυνσηΚατεύθυνση:: ηη επιφάνειαεπιφάνεια επιλέγεταιεπιλέγεται έτσιέτσι ώστεώστε τοτο EE νανα είναιείναι είτεείτεπαράλληλοπαράλληλο είτεείτε κάθετοκάθετο σεσε κάθεκάθε τμήματμήμα τηςτης επιφάνειαςεπιφάνειαςΜέτροΜέτρο:: ηη επιφάνειαεπιφάνεια επιλέγεταιεπιλέγεται έτσιέτσι ώστεώστε τοτο EE νανα έχειέχει τηντην ίδιαίδια τιμήτιμή σεσεόλαόλα τατα σημείασημεία σταστα οποίαοποία τοτο EE είναιείναι κάθετοκάθετο στηνστην επιφάνειαεπιφάνειαΣυνεπώςΣυνεπώς:: αυτόαυτό επιτρέπειεπιτρέπει νανα βγάλουμεβγάλουμε τοτο EE έξωέξω απόαπό τοτο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα

Ε0

Φ Ε enclQdAε

≡ ⋅ =∫

ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ E, ΜΕ ΤΟ ΝΟΜΟΤΟΥ GAUSS

Στρατηγική

1. Μελέτησε τη συμμετρία της κατανομής φορτίου2. Επέλεξε την κατάλληλη γκαουσσιανή επιφάνεια (GS)3. Υπολόγισε το κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα

Όπου το dA κατευθύνεται προς τα έξω.

4. Εξίσωσε το και λύσε ως προς E.

Σημείωση: Η συμμετρία επιβάλλει το αναλλοίωτο ως ορισμένους μετασχηματισμούς(‘συμμετρίας’) όπως: περιστροφή και μετάθεση στο χώρο, κατοπτρισμός ήαλλαγή πρόσημου (+ ↔ -). Qenc μπορεί να είναι: Q, ΣQ, ρV, λL, σA ή ένα ολοκλήρωμα πυκνότητας φορτίου.

ΕΦ Ε Αd= ⋅∫∫

Ε0

Φ enclQε

=

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΓΕΩΜΕΤΡΙΑ καικαι ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΕάν το E είναι σταθερό πάνω σε μια επιφάνεια, και κάθετο σε αυτήπαντού, μπορούμε να πάρουμε το E έξω από το ολοκλήρωμα, αφήνοντας μόνο το εμβαδόν της επιφάνειας

abbcacdS 222 ++=∫a b

c

x

y

z

24 RdS π=∫R

z

R

RLRdS ππ 22 2+=∫L

Ε dA E dA⋅ =∫ ∫

Εφαρμογές (του νόμου του Gauss) (a) Ομοιόμορφα φορτισμένη κοίλη σφαίρα

(π.χ. Μεταλλική σφαίρα, ακτίνας R, με φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένοστην επιφάνεια της με πυκνότητα σ = Q/4πR2) 1. Η κατανομή φορτίου είναι σφαιρικά συμμετρική (δηλ. συμμετρική ως προςπεριστροφές γύρω από κάθε άξονα που περνά από το κέντρο). Έχει επίσηςκατοπτρική συμμετρία. Αναμένουμε το πεδίο να κατευθύνεται ακτινικά προςτα έξω για r > R και (πιθανόν) ακτινικά προς τα μέσα για r < R. 2. Επιλέγουμε ομόκεντρες σφαίρες ακτίνας r ως GS, επειδή το E είναι κάθετοκαι έχει σταθερό μέτρο πάνω στην GS, δηλ. cosθ = 1 and E(r) = σταθ. για r = σταθ.. 3. Είτε κατευθυνόμενο προς τα μέσα είτε προς τα έξω, εάν βέβαια μημηδενικό, το E θα είναι κάθετο στην GS και θα έχει σταθερό μήκος. Συνεπώςτο ολοκλήρωμα δίνει ΦE = 4π r2 E. 4. Για r < R, η GS δεν περιέχει φορτία, άρα Qenc /ε0 = 0, συνεπώς E = 0 παντού μέσα στην κοίλη σφαίρα. Για r > R, Qenc = Q. Οπότε, λύνοντας την ΦE= Qenc /ε0 ως προς E βρίσκουμε E = Q/4πε0r2, και το E να κατευθύνεται προςτα έξω.

Το ηλεκτρικό πεδίοπου παράγεται απόομοιόμορφαφορτισμένη κοίλησφαίρα μηδενίζεται στοεσωτερικό και είναιισοδύναμο προς πεδίοσημειακού φορτίου Q ευρισκόμενου στοκέντρο της σφαίρας, γιαr > R. Στο σχήμαφαίνεται το E(r) vs. r και για r < R και για r > R.

(π.χ. Πλαστική σφαίρα, ακτίνας R, με φορτίο Q, ομογενώςκατανεμημένο

Τα σημεία (1) – (3) είναι όπως προηγουμένως. Το σημείο (4) είναιδιαφορετικό για r < R. Για r > R, Qenc = Q, οπότε πάλι το πεδίο είναιαυτό σημειακού φορτίου στο κέντρο.

r

R

(b) Ομογενώς φορτισμένη στερεά σφαίρα

ομογενώς κατανεμημένοπυκνότητα φορτίου

ρ = Q/[(4/3)πR3]

παντού σταθερή

Για r<R3 3 3 3 34 4 4/ /

3 3 3encQ r r Q R Qr R⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

π ρ π π

32

30 0

4 ( ) enclQ Qrr E rR

= =πε ε

Συνεπώς νόμος του Gauss

Λύνοντας ως προς Ε(r)3

0

( )4QE r rR

=πε

Άρα, για r < R το πεδίο αυξάνει γραμμικά με το r από 0 έως R.

ΣυζήτησηΤο πεδίο εκφρασμένο συναρτήσει του Q δίνεται από:

Για r = R και οι δυο σχέσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλ. E(R) = Q/(4πε0R2). Συνεπώς, το E(r) είναι συνεχής συνάρτηση στην επιφάνεια (r =R).

30

( )4QE r rR

=πε

r<R r>R 20

( )4QE rr

=πε

(c) Λεπτό φορτισμένο σύρμα απείρου μήκους(π.χ. λεπτό σύρμα, γραμμική πυκνότητα φορτίου λ =dQ/dl = σταθ). 1. Υπάρχει κυλινδρική συμμετρία (περιστροφές γύρω από τον άξονα (σύρμα)) και κατοπτρική συμμετρία. 2. Συνεπώς το E είναι κάθετο και έχει σταθερό μέτρο πάνω σε κάθε ομοαξονικήκυλινδρική GS ακτίνας r και πεπερασμένου μήκους l. 3. Το ολοκλήρωμα ανάγεται στο ΦE = 2π r l E. 4. Εξισώνοντας αυτό με Qenc/ε0 = λ l/ε0 και λύνοντας ως προς E δίνει

+ + + + ++ + + +x

y

+ + + + + + + + + + +

Er

l

Er

++++++++++ + +E⊥ =0

GS

r

0 0

2 encr

Q lrlΕΦ = Ε = =λπ

ε ε

0

( )2

rr

Ε =λπε

(d) Ομογενώς φορτισμένο επίπεδο απείρου εκτάσεως,επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ

Η κατανομή έχει περιστροφικήσυμμετρία γύρω από άξονακάθετο στο επίπεδο καισυμμετρία μετάθεσης σεοποιαδήποτε διεύθυνση.

Συνεπώς το πεδίο πρέπει ναείναι ομογενές και κάθετο στοεπίπεδο. Επιλέγουμε ως GS ένα κυλινδρικό κουτίοποιουδήποτε μήκους καιβάσεως εμβαδού A, που τέμνειφορτίο Qenc = σA.

Η ολική προς τα έξω ροή από τιςδυο βάσεις του κουτιού είναι ΦE=2A E = σA/ε0, το οποίο δίνει τομέτρο του E

02σEε

=

A

A A

(e) Δυο άπειρα φύλλα (σ=σταθερό≠0 στις έσω πλευρές)

E=0 E=0E

σ

+

+

++

++

+

σ

+

++

-

-

--

-

--

-

-

-+

+

---

• Το πεδίο εκτός των φύλλων πρέπει ναείναι μηδέν. Δυο τρόποι να το δούμε:

• Επαλληλία

• Πεδίο μεταξύ των φύλλων ΔΕΝ είναι μηδέν:

• Επαλληλία

• Η GS περικλείειμηδενικό φορτίο

• Η GS περικλείει μημηδενικό φορτίο σΑ

0

σEε

=

A

σ

+

+

++

++

+

σ

+

++

-

-

--

-

--

-

-

-+

+

---

Μονωτές vs. Αγωγούς• Μονωτές – ξύλο, λάστιχο, styrofoam, κεραμικά,

etc. • Αγωγοί – χαλκός, χρυσός, ειδικά κεραμικά, etc.

• Μερικές φορές ταυτίζονται με τα μέταλλα

• Μονωτές – φορτία δεν μπορούν να κινηθούν.– Συνήθως κατανέμονται σε όλη τημάζα του σώματος

• Αγωγοί – φορτία κινούνται ελεύθερα.– Σε μονωμένους αγωγούς όλα ταφορτία κινούνται στην επιφάνεια του.

Φορτία σε Αγωγούς• Γιατί τα φορτία στους αγωγούς πάντοτε κινούνταιστην επιφάνεια τους;

– Το λέει ο νόμος του Gauss!!– E = 0 εντός αγωγού που βρίσκεται σε ισορροπία

(ηλεκτροστατική) ! » Γιατί;

Εάν E ≠ 0, τότε τα φορτία θα δέχονταν δυνάμεις καιθα έπρεπε να κινούνται !

• Συνεπώς από τον νόμο του Gauss, το φορτίο σεαγωγό πρέπει να διαμένει στις επιφάνειες!

Αγώγιμο επίπεδο

++++++++++++

++++++++++++Αγώγιμη σφαίρα

+++

++

++

+

Αγωγοί vs. Μονωτές

+-

++-

-

-

+

-

-

- -

++- +

+-- -++++++

-

-- -++++++

- +

- + - +-+

++++++- +

- +- +- +

++++++- +

- +- +- +

- +

- + - +-+

Gauss ⇒ Coulomb• Απόδειξη για την περίπτωση δυο σημειακών

φορτίων Q και q σε απόσταση R. Ο νόμος του Gauss εμπεριέχει τον νόμο του Coulomb.

•Συμμετρία⇒ To E σημειακού φορτίου είναιακτινικό και σφαιρικά συμμετρικό

•Γράφουμε σφαίρα ακτίνας R με κέντρο το Q.

20

14

QE rπε R

=22

0 04

4Q QπR E Eε πε R

= ⇒ =

• Νόμος του Gauss μας δίνει την ένταση του πεδίου•Που δημιουργεί το Q σε απόσταση R

• Οπότε η Δύναμη μεταξύ των Q και q είναι

E

+QR

•q

2 20 0

1 14 4

Q qQF qE q r rπε πεR R

= = =Αυτή είναι ακριβώς ηδύναμη coulomb μεταξύ των Q και q.