cap 2 y 3 campo elÉctrico y ley de gauss.pdf

8/8/2019 Cap 2 y 3 CAMPO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS.pdf

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Cuaderno de Trabajo: Fsica II

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 19

22)) CCAAMMPPOO EELLCCTTRRIICCOOYY LLEEYY DDEE GGAAUUSSSS


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22..11)) DDeeffiinniicciinn ddee ccaammppoo eellccttrriiccoo,,Er

El vector Er

describe las propiedades elctricas del espacio {medio}.

Donde:

CCaammppoo eellccttrriiccoo:: DDiissccuussiinn

Las interacciones del campo no son instantneasLa carga q modifica el medio que la rodea (campo)

0 0

0

: ,

0

q Carga de prueba q

q

+

Er

0

eEq

=

rr

eFr

q

0q

P

Er

P


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EEccuuaacciioonneess ddee EE

ii)) qq

( )

( )

0

3

3

3

( )

0

,

:

( )

0r

q

q

kqq r r

r r kqrE s

kq r r

E rr

i rq r

En gener

r

al

= =

=

r

r r

r r rrr r

r rr r

r r

r

iiii)) DDiissttrriibbuucciioonneess DDiissccrreettaass,, DDDD

( ) ( )( )

31 1

i

i n i ni iqDD

i i i

kq r r E r E r

r r

= =

= =

=

r rr rr r

r r

iiiiii)) DDiissttrriibbuucciioonneess ccoonnttiinnuuaass::

jj)) VVoolluummttrriiccaa

( )

( )3

,r

vk dv r r

Er r

: representa el volumen

=

r

r rr

r r

( )

q

rE rr

rr

rr

q P

( )iq

rE r

r

rr

'ir r=r r

iq P

iq


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jjjj)) SSuuppeerrffiicciiaall

( )

( )3

,r

ak da r r

E

r r

o s : representa el rea

=

r

r rr

r r

jjjjjj)) LLiinneeaall

( )

( )3

,r

l :k

rd

el

pr

resenta la longir

E dr

ur

t

=

r

r rr

r r

Las distribuciones de carga crean el campo

OObbsseerrvvaacciioonneess

j) Nu EC

r

jj)0

eFEq

=

rr

: definicin operacional

jjj)

0 0

0

, : " "

:

.

e e F q E F Fuerza sentida por q .

E creado por cierta distribucin de

cargas en la posicin de q

=r r r

r

jv) El Er

es usado intensivamente en las ecuaciones.


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22..22)) LLiinneeaass ddee ffuueerrzzaa,, LLFF

( )

( ) ( )3r

k r dv r r E

r r

, E se obtiene por definicion

=

rr r rr

r r

r

LEY DE GAUSS: dealta simetra .

til slo para de alta simetra: Er

fcil de calcular. LF / LF=simetra .

DDeeffiinniicciinn ddee lliinneeaass ddee ffuueerrzzaa

SSoonn llaass ttrraayyeeccttoorriiaass ddeessccrriittaass ppoorr llaass 0q ddeebbiiddoo aa llaa ( )eF qE r r

ggeenneerraaddaa ppoorr

cciieerrttaa ..

La forma de las LF esta ligada a cmo se distribuye la q

rr

rr

P( )r

r

LF

( )'rr

0q

eFr


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LLFF ppaarraa ddiivveerrssaass ddiissttrriibbuucciioonneess ddee ccaarrggaa

ii)) q

ii) 1 2: q q

|q|

+-

d

Caso especial:

1 2

1

2

" "

q q q

q

q

d pequea

+

0q

q

eF

r

q


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iiiiii))

iivv))

q -q

d

O

O

Dipolo elctrico:MMooddeelloo mmss ssiimmppllee ppaarraaddeessccrriibbiirr ssiisstteemmaass ccaarrggaaddooss

((ccuuaannddoo dd ssee aapprrooxx.. aa 00))


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vv)) ( )0 r

CCaarraacctteerrssttiiccaass

jj))E tg LFr

jjjj))

jjjjjj)) NNoo ssee ccrruuzzaann

jjvv)) DDiissttrriibbuucciinn ddee LLFF::

kk)) DDeennssiiddaadd LLFF:: RReellaacciioonnaaddaa aa llaa iinntteennssiiddaadd..

kkkk)) UUnniiffoorrmmiiddaadd LLFF:: RReellaacciioonnaaddaa aa ccaammppooss ccoonnssttaanntteess..

?? PPrreeppaarree mmaaqquueettaass ddee LLFFss

+

Q dv= Q

0q Er


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22..33)) LLeeyy ddee GGaauussss

EEssttaabblleeccee llaaproporcionalidad eennttrree eell fflluujjoo eellccttrriiccoo aa ttrraavvss ddee cciieerrttaa ssuuppeerrffiicciieecceerrrraaddaa,, llllaammaaddaa ggaauussiiaannaa yy llaa ccaarrggaa eellccttrriiccaa eenncceerrrraaddaa ppoorr ddiicchhaa ssuuppeerrffiicciiee..

DDeeffiinniicciinn ddeell fflluujjoo eellccttrriiccoo,, Er

Es la cantidad fsica escalar que informa acerca de cuanto Er

atraviesa lasuperficie.

. ,.

:

ES E

S S

ds da vector de area elementa

E ds E da

l

=

rr rr

r

r

r

da da

da da

ad

r

r

r

dar

da

Er

S A=

Johann CarlFriedrich Gauss,El prncipe de lasmatemticas.


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LLeeyy ddee GGaauussss

,. NEE SG

SG

E da q = rr r

0

. NE

SG

qE da

r r

PPaarraa ssiimmpplliiffiiccaarr llooss ccllccuullooss vveerr qquuee::

cosE da E da r rr

{ }

1

2

0

E da E da

E cte E da E da E saledela

r rr r

r r r rr

*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}

? Investigue por lo menos una biografa del Prncipe de las Matemticas.

? Que otros flujos se usan en la Fsica.

? Ser posible matematizar las LF

SG

NESG

q dV


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EEjjeemmpplloo

1 Por la definicin deEr

( )

( )3r

k dl r r E

r r

=

r

r rr

r r

( ) ( ) 2 2

r rj r r rj zk r r r z

r zk

= +

=

r r r r r

r

( )( )

{ }

{ }

{ }

3 22 2

3 22 2

3 22 2

0,

?

y z

y

z po

k dz rj zk E r E j E k

r z

dz

r

E k r

simetria

r z

zdzE k

r z

= = +

+

= =+

= +

r r

Z

YEr

rr

rr

dl dz

dq dz

=

=

X


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22 aallttaa ssiimmeettrraa GGaauussss

{ }

0

0

0

0

0 0 ,

2

2

NE

SG SCL STS STI

NE

SCL

SCL

qE da

da || E da E

q SG : E cteEda

HE d

E

a E r

r

H

+ + =

= + + =

= = =

=

=

r r

678 678r rr r

r

r r

r

r

Er

SG=SCL+STS+STI

Er

H

O

dar

rr r

H


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S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo elctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las lneas de fuerza del campo

resultante.c) Haga un grfico cualitativo de E vs. x, dnde E se evale en puntos del ejeX.

Solucin:

a) Para el punto S: kE E+ 2q kd+

{ }2

0

2 qqd d

+

25 q

d 2

1

2d

+

2 212 54

d d d

+ +

2

1,2 1

12 4 4 3

21 2 10

3 2 0 0,92 2 3 6d d d d

+

Igual en Q:

kE+

2 q( )2

1

1

2

kE

d

+

5 q( )2 2

1 1 12

1

52 5 5

4d d d

d + +

2

1 1 11,2

5 25 45

3 5 04

d d d

+ +

53

4

5 100,3; 1,4

2 3 6

Q q- q+ E- P E+ Sx

d1 0 d0 d x


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b)

c) Para el punto S:

{ } { }2 2 2 2

2 5 2 5

1 1

2 2

T T

k q k qE i i kq i E i

x xx x

+

+

r

2 2

2 5 1,

21

2

TE kq xx

x

>

Lhay que especificar para cada regin

- + x

E-y ET

E+

0,90 0,5 x

E+ E+


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S1P7) En la distribucin mostrada 0 esconstante y q0 es una carga puntual.Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.

Solucin:

Por superposicin:

( )0 0 0' 2

0

' ;/ 2

q Qq Q q

kQ kQE E E i

d Rd

+ +

r r r

3

3 00 0 0

4 4, '

3 3 2 8

R QQ R Q

R0 0 centro de la circunferenciaq0

R0/2

d

0 0 qr

R0 /2 dR0

0

Q Q

0 0+ r

-0

0


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0 0

3

0 0 2 2

0

4 1 1 3

8

2

q qE k R i

d RE

d

i

r

00 1

RSi d R

d>>


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S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal

()= 0 cos, donde 0 es una constante positiva y el nguloazimutal, Cul es el modulo del vector campo elctrico?a) En el centro del anillo

b) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresinobtenida para d >> R.

a) ( )( )

3

( ) '0

'

k dl r r E

r r

r rr

r r

0, ' cosr r R i Rsen j +rr r

( ) ' cosr r R i Rsen j r

3

1 3r r R r r

; dl Rd

( ){ {

220

0

1 0 cos 22

kE d i sen d j

R

+

r

( )1

1 cos22

+

( ) ( )0 00 0k

E i ER

k

r r

b)

, ' cosr zk r R i Rsen j +

r r

( ) ' cosr r R i Rsen j zk +r r

{ }3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq d +

r r

ZP

z d

0 y R

x dq


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( ){ }

{ { {

22

20

3/ 2 02 2

1 cos 2 cos2

k R zE z d i sen d j d k

RR z

+

+

r

( ){ }

( ){ }

20

20

3/ 22 2

3/ 22 2

,k R

E z ik R

R zE z

R z

+

+

rr

( )2

0

3limz R

k RE z

z

>>

r

S1P47) Determine el campo elctrico de un disco de radio R con densidadsuperficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.

Solucin:

A)Usando coordenadas polares ( coordenadas cilndricas en el plano)

y

da=(rd)drdr

d rx

( )( )

3

'

'

kdq r r E r k I

r r

r rr rr

r r

( )dq da rd dr = =

( )0,0,r zr

z

r

r

r y'r

r

x


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( )' cos , ,0r r rsen r

( )( )

( )3/ 2

2 2

cos , ,

s

k rd dr r rsen z I

r z

+

r

( )

( )

2

3/ 20 0 2 2

cos , ,R r rsen z rd dr

r z

+

2

0cos d

= 0

2

0sen d

= 0 (por evaluarse en sus periodos)

( )

2

3/ 20 0 2 2

R rzdrd

I kr z

+

r

{ } ( )

2

3/ 2

0 0 2 2

R zrdr

d k

r z

+

( )( )

3/ 20 2 2

2R rdr

kr z

+

( ) ( ) 2 2 2 z zE z k k z R z

+

r

? Encuentre este resultado usando la definicin con un elemento de reacartesiano. Analice la expresin integral.

? Qu ocurre si R

R

( ) ( )

( )

( )

2

2 2

k kz

E z k k z k k

r


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( ) ( ) ( )0 0

12 2

4 2E z k

r

: El E de un plano!

(verifquelo usando LG)

B) Usando anillos de =dr

b) , ' cosr zk r r i rsen j +r r

( ) ' cosr r r i rsen j zk +r r

{ }3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd +

r r

( ){ }

{

2

3/ 2 02 2

cosk rdr

dE z r d i rsen d j zd k r z

+ +

r

14243

( ){ }

( ){ }

3/ 2 3/ 22 2 2 2

0

(2 ) (2 ) R

k zrdr k zrdr dE z k E z k

r z r z

+ +

r r

( ) ( )2 2

2z z

E z k k z R z

+

r

zrr

r y

'rr

x

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