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teorema de Gauss ejemplos
Teorema de Gauss
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
26 de mayo de 2011
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teorema de Gauss ejemplos
teorema
teorema de Gauss
teorema de Gauss~X : Ω→ R3 campo C1
S superficie cerrada tal que int(S) ∪ S ⊂ Ω
⇒ ∫∫S
~X .N dS =
∫∫∫int(S)
div ~Xdx dy dz
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teorema de Gauss ejemplos
teorema
teorema de Gauss
teorema de Gauss~X : Ω→ R3 campo C1
S superficie cerrada tal que int(S) ∪ S ⊂ Ω
⇒ ∫∫S
~X .N dS =
∫∫∫int(S)
div ~Xdx dy dz
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teorema de Gauss ejemplos
teorema
teorema de Gauss
teorema de Gauss~X : Ω→ R3 campo C1
S superficie cerrada tal que int(S) ∪ S ⊂ Ω
⇒ ∫∫S
~X .N dS =
∫∫∫int(S)
div ~Xdx dy dz
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
interpretación de la divergencia
div ~X (p) = flujo en p x unidad de volumen
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de p
Gauss:∫∫∂Bε(p)
~X .N dS =∫∫∫
Bε(p) div ~X dV
TVM:∫∫∫
Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))
juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
pasando al límite:
div ~X (p) = limε→0
1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de pGauss:
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS =∫∫∫
Bε(p) div ~X dV
TVM:∫∫∫
Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))
juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
pasando al límite:
div ~X (p) = limε→0
1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de pGauss:
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS =∫∫∫
Bε(p) div ~X dV
TVM:∫∫∫
Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))
juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
pasando al límite:
div ~X (p) = limε→0
1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de pGauss:
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS =∫∫∫
Bε(p) div ~X dV
TVM:∫∫∫
Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))
juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
pasando al límite:
div ~X (p) = limε→0
1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de pGauss:
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS =∫∫∫
Bε(p) div ~X dV
TVM:∫∫∫
Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))
juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
pasando al límite:
div ~X (p) = limε→0
1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de pGauss:
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS =∫∫∫
Bε(p) div ~X dV
TVM:∫∫∫
Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))
juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
pasando al límite:
div ~X (p) = limε→0
1vol Bε(p)
∫∫∂Bε(p)
~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
div ~X (p) > 0⇒ p fuente
flujo de ~X se aleja de p
div ~X (p) < 0⇒ p pozo
flujo de ~X se acerca a p
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
div ~X (p) > 0⇒ p fuente
flujo de ~X se aleja de p
div ~X (p) < 0⇒ p pozo
flujo de ~X se acerca a p
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
div ~X (p) > 0⇒ p fuente
flujo de ~X se aleja de p
div ~X (p) < 0⇒ p pozo
flujo de ~X se acerca a p
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
div ~X (p) > 0⇒ p fuente
flujo de ~X se aleja de p
div ~X (p) < 0⇒ p pozo
flujo de ~X se acerca a p
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
div ~X (p) > 0⇒ p fuente
flujo de ~X se aleja de p
div ~X (p) < 0⇒ p pozo
flujo de ~X se acerca a p
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia
⇒∫∫
S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada
⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que salefluído incompresible
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia⇒∫∫
S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada
⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que salefluído incompresible
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia⇒∫∫
S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada
⇐ también vale
la cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que salefluído incompresible
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia⇒∫∫
S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada
⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficie
es igual a la que salefluído incompresible
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia⇒∫∫
S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada
⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que sale
fluído incompresible
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teorema de Gauss ejemplos
interpretación
interpretación física de la divergencia
si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia⇒∫∫
S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada
⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que salefluído incompresible
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1~X = (3x + y + z, x2 + 2y + ez ,ex2
+ y2 + 4z)
S tetraedro de vértices(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1~X = (3x + y + z, x2 + 2y + ez ,ex2
+ y2 + 4z)
S tetraedro de vértices
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1~X = (3x + y + z, x2 + 2y + ez ,ex2
+ y2 + 4z)
S tetraedro de vértices(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1~X = (3x + y + z, x2 + 2y + ez ,ex2
+ y2 + 4z)
S tetraedro de vértices(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Gauss:∫∫
S~X .N dS =
∫∫∫int S div ~X dV
div ~X = (3x + y + z)x + (x2 + 2y + ez)y + (ex2+ y2 + 4z)z
div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫
S~X .N dS = 9. vol(int S)∫∫
S~X .N dS = 3
2 > 0
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Gauss:∫∫
S~X .N dS =
∫∫∫int S div ~X dV
div ~X = (3x + y + z)x + (x2 + 2y + ez)y + (ex2+ y2 + 4z)z
div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫
S~X .N dS = 9. vol(int S)∫∫
S~X .N dS = 3
2 > 0
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Gauss:∫∫
S~X .N dS =
∫∫∫int S div ~X dV
div ~X = (3x + y + z)x + (x2 + 2y + ez)y + (ex2+ y2 + 4z)z
div ~X = 3 + 2 + 4 = 9
⇒∫∫
S~X .N dS = 9. vol(int S)∫∫
S~X .N dS = 3
2 > 0
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Gauss:∫∫
S~X .N dS =
∫∫∫int S div ~X dV
div ~X = (3x + y + z)x + (x2 + 2y + ez)y + (ex2+ y2 + 4z)z
div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫
S~X .N dS = 9. vol(int S)
∫∫S~X .N dS = 3
2 > 0
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Gauss:∫∫
S~X .N dS =
∫∫∫int S div ~X dV
div ~X = (3x + y + z)x + (x2 + 2y + ez)y + (ex2+ y2 + 4z)z
div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫
S~X .N dS = 9. vol(int S)∫∫
S~X .N dS = 3
2 > 0
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)
S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1tal que z < 1
2 ,
con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)
S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1
tal que z < 12 ,
con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)
S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1tal que z < 1
2 ,
con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)
S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1tal que z < 1
2 ,
con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)
S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1tal que z < 1
2 ,
con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0
calcular∫∫
S~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
observemos que S no es cerrada
para aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1
2⇒∫∫
S∪T~X .N dS =
∫∫∫V div ~X dV
div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficie
por ejemplo con una tapa T ⊂ z = 12
⇒∫∫
S∪T~X .N dS =
∫∫∫V div ~X dV
div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1
2
⇒∫∫
S∪T~X .N dS =
∫∫∫V div ~X dV
div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1
2⇒∫∫
S∪T~X .N dS =
∫∫∫V div ~X dV
div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1
2⇒∫∫
S∪T~X .N dS =
∫∫∫V div ~X dV
div ~X = 2− 1− 1 = 0
⇒∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1
2⇒∫∫
S∪T~X .N dS =
∫∫∫V div ~X dV
div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
parametricemos T
T = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 12
T = 2x2 + 82 ≤ 34 , z = 1
2T = 8
3x2 + 323 y2 ≤ 1, z = 1
2x = r
√3√8
cos θ
y = r√
3√32
sin θz = 1
2
con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)
![Page 44: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/44.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
parametricemos TT = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 1
2
T = 2x2 + 82 ≤ 34 , z = 1
2T = 8
3x2 + 323 y2 ≤ 1, z = 1
2x = r
√3√8
cos θ
y = r√
3√32
sin θz = 1
2
con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)
![Page 45: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/45.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
parametricemos TT = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 1
2T = 2x2 + 82 ≤ 3
4 , z = 12
T = 83x2 + 32
3 y2 ≤ 1, z = 12
x = r√
3√8
cos θ
y = r√
3√32
sin θz = 1
2
con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)
![Page 46: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/46.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
parametricemos TT = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 1
2T = 2x2 + 82 ≤ 3
4 , z = 12
T = 83x2 + 32
3 y2 ≤ 1, z = 12
x = r
√3√8
cos θ
y = r√
3√32
sin θz = 1
2
con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)
![Page 47: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/47.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
parametricemos TT = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 1
2T = 2x2 + 82 ≤ 3
4 , z = 12
T = 83x2 + 32
3 y2 ≤ 1, z = 12
x = r√
3√8
cos θ
y = r√
3√32
sin θz = 1
2
con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)
![Page 48: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/48.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
N ≡ (0,0,1)
∫∫T~X .N dS =
= −∫
T z dS
= −12 .A(T )
![Page 49: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/49.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
N ≡ (0,0,1)∫∫T~X .N dS =
= −∫
T z dS
= −12 .A(T )
![Page 50: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/50.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
N ≡ (0,0,1)∫∫T~X .N dS =
= −∫
T z dS
= −12 .A(T )
![Page 51: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/51.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
N ≡ (0,0,1)∫∫T~X .N dS =
= −∫
T z dS
= −12 .A(T )
![Page 52: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/52.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
calculemos A(T )
Φr = (√
3√8
cos θ,√
3√32
sin θ,0)
Φθ = (−r√
3√8
cos θ, r√
3√32
cos θ,0)
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣∣i j k√
3√8
cos θ√
3√32
sin θ 0
−r√
3√8
sin θ r√
3√32
cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (0,0, 3
16 r)
![Page 53: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/53.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
calculemos A(T )
Φr = (√
3√8
cos θ,√
3√32
sin θ,0)
Φθ = (−r√
3√8
cos θ, r√
3√32
cos θ,0)
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣∣i j k√
3√8
cos θ√
3√32
sin θ 0
−r√
3√8
sin θ r√
3√32
cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (0,0, 3
16 r)
![Page 54: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/54.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
calculemos A(T )
Φr = (√
3√8
cos θ,√
3√32
sin θ,0)
Φθ = (−r√
3√8
cos θ, r√
3√32
cos θ,0)
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣∣i j k√
3√8
cos θ√
3√32
sin θ 0
−r√
3√8
sin θ r√
3√32
cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (0,0, 3
16 r)
![Page 55: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/55.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
calculemos A(T )
Φr = (√
3√8
cos θ,√
3√32
sin θ,0)
Φθ = (−r√
3√8
cos θ, r√
3√32
cos θ,0)
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣∣i j k√
3√8
cos θ√
3√32
sin θ 0
−r√
3√8
sin θ r√
3√32
cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣
Φr ∧ Φθ = (0,0, 316 r)
![Page 56: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/56.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
calculemos A(T )
Φr = (√
3√8
cos θ,√
3√32
sin θ,0)
Φθ = (−r√
3√8
cos θ, r√
3√32
cos θ,0)
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣∣i j k√
3√8
cos θ√
3√32
sin θ 0
−r√
3√8
sin θ r√
3√32
cos θ 0
∣∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (0,0, 3
16 r)
![Page 57: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/57.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T )
= − 332π
∫∫S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 58: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/58.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T )
= − 332π
∫∫S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 59: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/59.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T )
= − 332π
∫∫S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 60: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/60.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π
∫∫T~X .N dS = −1
2A(T )
= − 332π
∫∫S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 61: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/61.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T )
= − 332π∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 62: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/62.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T ) = − 332π
∫∫S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 63: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/63.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T ) = − 332π∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS
= 332π
![Page 64: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/64.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
A(T ) =∫∫
D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ
A(T ) = 316
∫ 2π0 dθ
∫ 10 r dr
A(T ) = 316πr2|10
A(T ) = 316π∫∫
T~X .N dS = −1
2A(T ) = − 332π∫∫
S~X .N dS = −
∫∫T~X .N dS = 3
32π
![Page 65: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/65.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
observación importante
si ~X no es C1 en todo el interior de S, entonces el teorema deGauss no se cumple
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teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
ejemplo *~X = −c ~r
r3 campo gravitacional
∂Bε(0) esfera que encierra el origen⇒ ∫∫
∂Bε(0)
~X .N dS 6=∫∫∫
Bε(0)div ~X dV
![Page 67: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/67.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
ejemplo *~X = −c ~r
r3 campo gravitacional∂Bε(0) esfera que encierra el origen
⇒ ∫∫∂Bε(0)
~X .N dS 6=∫∫∫
Bε(0)div ~X dV
![Page 68: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/68.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
ejemplo *~X = −c ~r
r3 campo gravitacional∂Bε(0) esfera que encierra el origen⇒ ∫∫
∂Bε(0)
~X .N dS 6=∫∫∫
Bε(0)div ~X dV
![Page 69: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/69.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0
⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS= − c
ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −4cπ 6= 0
![Page 70: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/70.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS= − c
ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −4cπ 6= 0
![Page 71: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/71.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:
∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS= − c
ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −4cπ 6= 0
![Page 72: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/72.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS= − c
ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −4cπ 6= 0
![Page 73: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/73.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS
= − cε2 A(∂Bε(0))∫∫
∂Bε(0)~X .N dS = −4cπ 6= 0
![Page 74: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/74.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS= − c
ε2 A(∂Bε(0))
∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −4cπ 6= 0
![Page 75: teorema de gauss.pdf](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020105/552b2fa9550346c9478b45f7/html5/thumbnails/75.jpg)
teorema de Gauss ejemplos
ejemplo *
ejemplo *
div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫
Bε(0) div ~X dV = 0
por otro lado:∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −c∫∫
S~rr3~rr dS
= −c∫∫
Sε2
ε4 dS= − c
ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)
~X .N dS = −4cπ 6= 0