OCEANOGRAPHIC COMPANYOF THE

NETHERLANDS

Slibconcentratieprofielen

(Het bepalen van erosie- en sedimentatie-snelheden met behulp van een 1-D model)

P.A.J. VerlaanR. Spanhoff*

Datum : 25 mei 1992

Dienst Getijdewateren, RijkswaterstaatPostbus 209072500 EX Den Haag

RijkswaterstaatRijksinstituut voor

Kust en Zee/RIKZ

bibliotheek

Inhoudsopgave pag

1 : inleiding 2

2 : Transportvergelijkingen van zwevend stof i.d. verticaal2.1 : Behoudsvergelijkingen 42.2 : Erosie en sedimentatie 82.3 : Bodenischui f spanningen en verticale diffusie 92.4 : Mogelijke analytische oplossingen in het 17

stationaire geval

3: Oplossingen van de verticale tijdsafhankelijke advectie- 22diffusievergelijking3.1 : Basisvergelijkingen 223.2 : Oplossingen bij een constante verticale diffusie 243.2.1 : Sedimentatie 243.2.2 : Erosie 3 23.3 : Oplossingen bij een lineair/constante verticale 38

diffusie <numeriek>

4: Een 1-D model ter bepaling van de erosie en sedimen- 43tatiesnelheden.4.1 : Beschrijving van het model 454.2 : Modelresultaten 59

5 : Discussie 765.1 : Modelbeschouwing 7 65.2 : De erosie-sedimentatie cyclus 80

6 : Conclusies en aanbevelingen 83

7 : Literatuurlijst 85

Bijlage A : De programmatuur 88

Bijlage B : Stationaire concentratieprofielen 97

Bijlage C : De grootte van de verticale snelheidsgradiënt 98en de gemiddelde snelheid

Bijlage D : Demping van de verticale diffusiecoefficient 100

1 : INLEIDING

Al vele jaren worden modellen ontworpen met het doel zo goed mo-gelijk het transport van zwevende stof (slib) in estuaria en inopen zee te kunnen simuleren. Hierbij komt de laatste jarensteeds meer de nadruk te liggen [1,11] op 2-D en 3-D modellen.Voor een betrouwbare 2-D of 3-D modellering is het noodzakelijkdat eerst in één dimensie de belangrijkste processen goed wordenbeschreven. In een evenwichtsituatie bepalen twee processen degrootte van de concentratie. Dit is ten eerste het vallen van deslibvlokken naar de bodem. Het neerwaartse massatransport tenge-volge hiervan wordt in een stationaire situatie op iedere hoogtevolledig opgeheven door het opwaarts gerichte turbulente trans-port van slib. Zodoende blijft de concentratie op iedere hoogteconstant in de tijd terwijl de afzonderlijke deeltjes wel continuvan plaats veranderen. Voor de verscheidene snelheidsprofielenzijn concentratieprofielen berekend [5].De evenwichtstoestand kan worden verstoord als er ter plaatse vande bodem netto massa in de waterkolom terecht komt (bodemerosie)of verdwijnt (sedimentatie). Beide processen zijn voor het eerstbeschreven door Partheniades [2]. Op grond van laboratoriumexpe-rimenten heeft hij aangetoond dat erosie optreedt vanaf een,be-paalde bodemschuifspanning, de kritische erosieschuifspanning.Voor een uniforme bodem is de erosiesnelheid evenredig met deopgelegde bodemschuifspanning minus de kritische erosieschuif-spanning [2]. Later hebben Parchure en Metha [14] het erosiepro-ces beschreven in het geval van een enigszins geconsolideerdebodent.De bodemschuifspanning wordt bepaald door ondermeer de stroom-snelheid, de golf hoogte en de golflengte van de golven. De velegevonden betrekkingen hiervoor zijn samengevat door Delo [3].Sedimentatie treedt op als de bodemschuifspanning onder de kriti-sche sediinentatieschuif spanning komt. De kritische sedimentatie-schuifspanning blijkt ondermeer af te hangen van de valsnelheidvan een slibdeeltje [18]. De slibvlokken met de grootste valsnel-heid hebben de grootste kritische sediinentatieschuif spanning. Degrotere slibvlokken blijven dus sneller op de bodem liggen danhet fijnere slib. Dit maakt dat gedurende een sediihentatieperiodehet lichte slib in suspensie blijft terwijl het zwaardere slibuitzakt. Het sedimentatieproces is in het geval van zand voor heteerst beschreven door Dobbins [9]. Hij ging hierbij uit van éénconstante valsnelheid en een constante verticale diffusiecoeffi-cient.

De laatste tien jaar is veel theoretisch onderzoek verricht naarde golf-stroming wisselwerking [20] en de invloed van een verti-cale concentratiegradiënt op de verticale diffusie en het snel-heidsprofiel [15,16,19].

Bovendien is de theorie omtrent de invloed van een vertragende ofversnellende stroming op de bodemschuifspanning verder ontwikkeld[17], Veel van de in de theorie gevonden betrekkingen zullen ech-ter in de toekomst nog experimenteel moeten worden getoetst.

In dit rapport wordt getracht een overzicht te geven van de mo-dellering van het slibconcentratieprofiel in één dimensie. Om tebeginnen wordt in hoofdstuk 2 een globaal overzicht gegeven vande op dit moment bekende betrekkingen voor de valsnelheid vanslib, de bodemschuifspanning en de stationaire oplossingen bijeen gegeven verdeling van de verticale diffusiecoëfficiënt. """Hoofdstuk 3 geeft de oplossing voor het concentratieprofiel inniet-stationaire gevallen. Dit zijn bijvoorbeeld situaties waar-bij erosie of sedimentatie optreedt. Het concentratieprofielwordt dan verkregen door de tijdsafhankelijke advectie-diffusievergelijking op te lossen. Deze is alleen analytisch oplosbaar inhet geval van een constante valsnelheid en verticale diffusie-coëfficiënt. Daarom wordt vervolgens voor een hoogteafhankelijkeverticale diffusiecoëfficiënt en een constante valsnelheid deadvectie-diffusievergelijking numeriek opgelost.Hoofdstuk 4 bevat een model waarmee de bodemmassaflux als functievan de tijd wordt berekend. Het model heeft als invoer de slib-concentratie op 15 cm boven de bodem en de stroomsnelheid op 75cm boven de bodem bij het meetpunt "Siltcon" dat 2 km uit de kusttussen Hoek van Holland en Scheveningen ligt [23], De bodemmas-saflux kan achteraf worden vergeleken met de bodemschuifspanningzodat het inzicht in met name het erosieproces wordt vergroot.De modelresultaten worden in hoofdstuk 5 bediscussieerd waarna inhoofdstuk 6 de belangrijkste conclusies volgen.

HOOFDSTUK 2

In dit hoofdstuk wordt de theorie omtrent slibprofielen in deverticaal behandeld voorzover deze bekend zijn. Hierbij wordtuitgegaan van de behoudsvergelijkingen voor vloeistof en sedimentzoals ze door "v.Rijn" geponeerd zijn [1].Vervolgens zullen de meest gebruikte betrekkingen voor erosie ensedimentatie worden geïntroduceerd [2]. Hierna wordt ingegaan opde theorie omtrent bodemschuifspanningen veroorzaakt door stro-ming en golven [3,4,5]. Tevens wordt de verticale diffusiecoëffi-ciënt bekeken [6].Tot slot wordt getracht een overzicht te geven van de analytischeoplossingen van de profielen voorzover deze zijn te vinden [1,7,-8].

2.1 De behoudsvercrelijkingen

Om te beginnen gaan we uit van de behoudsvergelijking voor wateren sediment :

vloeistof; ^(p(l-c)) + -JL (p (i -c) ufii) =0 (2.1)

sediment : -^ (p3c) + _.(Pscuff<i) = 0

waarbij :

c = volume dichtheid van sedimentuf = snelheid van de vloeistofus = snelheid van sedimentp = dichtheid van waterpa = dichtheid van het sedimentxt = plaatscoördinaat in de i-richtingt = tijd

Het effect van turbulentie kunnen we introduceren door de varia-belen te schrijven als een som van een tijdsgemiddelde en eenfluctuatie hierop :

u =» u •»- u /

C = ~C -I- C1(2.2)

Substitutie hiervan in de behoudsvergelijkingen (2.1) levert natijdsmiddeling:

- c'c'u'eti) = 0

De vloeistofsnelheid is gelijk aan die van het sediment m.u.v. desnelheid in de z-richting. Er geldt dan :

Een sediinentdeeltje heeft behalve dat het met de vloeistof meebe-weegt ook nog een valsnelheid (w8) .

Het concept van "eddy-viscositeit" wordt toegepast om de doorturbulentie geïnduceerde transporten te beschrijven. In dit con-cept worden de coëfficiënten die het transport van vloeistof-im-puls en sediment-massa uitdrukken kortweg de vloeistof en sedi-ment "mixing-coëfficiënten" genoemd. De door turbulentie geïndu-ceerde transportcomponenten zijn :

(2.5)

c/u'

met :

ef = vloeistof mixing coëfficiëntes = sediment mixing coëfficiënt

Substitutie van deze betrekkingen in de vergelijkingen levertvoor alleen het x-z vlak :

(2.6)

waarbij :

z - verticale coördinaatu = vloeistof snelheid in de x-richtingw = vloeistof snelheid in de z-richting

Voor een stationaire en uniforme stroming reduceren bovenstaandevergelijkingen tot :

Su n de n du n de n

dt dt dx Bx

& (2,7)vloeistof : (1-c) w + ef—— - O

dzsediment i~c(w-'w~s) -

es-3^

= °

Eliminatie van de verticale vloeistofsnelheid w levert : _

(l-ë) cws + [e, + c(ef - es) ] — = o (2.8)

Bovenstaande vergelijking beschrijft het sediment concentratie-profiel in evenwichtsomstandigheden. Er is ook rekening gehoudenmet de verticale verplaatsing van een vloeistofdeeltje als zijnplaats wordt ingenomen door een sedimentdeeltje. Wanneer we er nuvan uitgaan dat de mixing-coëfficiënten voor vloeistof en sedi-ment praktisch gelijk zijn dan volgt uit (2.8) :

(l-c)cws + es-£p = 0 (2.9)

We kunnen nu onderscheid maken tussen twee mogelijkheden, hogeen lage sediment-concentraties.Bij lage sedimentconcentraties (c<0.001) geldt

(l-c) - l (2.10)

Voor de valsnelheid hebben we dan verschillende mogelijkheden :1 Een constante valsnelheid. Omdat dit in werkelijkheid niet hetgeval is gaan we vaak uit van een valsnelheid die door de korrel-diameter, de dichtheid van het sediment, de viscositeit van wateren de valversnelling bepaald wordt, (zie ook sectie. 2.3)2 Een concentratieafhankelijke valsnelheid. In dit geval wordtrekening gehouden met het verschijnsel van flocculatie of samen-klonteren van sedimentdeeltjes in een vloeistof door onderlingeaantrekking. De mate van samenklontering wordt ondermeer bepaalddoor de concentratie.Voor de valsnelheid in het geval van flocculatie geldt algemeen :

met <x en JS constanten, (l < 13 < 3)

Het flocculatieeffect maakt dat de gemiddelde Korreldiameter doorde concentratie en hiermee de valsnelheid door de concentratiebepaald wordt. Bij hogere sedimentconcentraties zal de valsnel-heid daarom ook hoger zijn (zie ook sectie 2.3). Het effect vanflocculatie speelt een rol vanaf enkele tientallen mg/l tot enke-le g/l .

Bij nog hogere sedimentconcentraties geldt :

s dz(2.11)

met

(2.12)

hierbij is a : een coëfficiënt die varieert tussen 4 en 5 in hetgebied met korreldiameters van 50 tot 500 /m

ws: De valsnelheid van het sedimentdeeltje in eenstilstaande vloeistof

Bovenstaande betrekking laat zien dat de valsnelheid niet alleenbeïnvloed wordt door de terugstroming van de verplaatste vloei-stof (dan zou a gelijk aan 1 zijn) maar ook door andere effectenzoals deeltjesbotsing en door sedimentdeeltjes geïnduceerde tur-bulentie. De effectieve valsnelheid neemt door deze effecten bijconcentraties vanaf 2 è 3 g/l aanzienlijk minder snel toe en gaatvanaf 20 g/l zelfs afnemen. We spreken nu van "hindered settle-ment". Beide effecten, flocculatie en "hindered settlement" zijngeïllustreerd aan de hand van veldmetingen (zie figuur 2.1).

100.0

f

OOLU>

O

ZJ»-•

LU

1.0

0.1

a.oi-

0.001

k, 3 0.513"i = 1.29w»oa 2.6 mm/s

s a.aos-s 4.65

0.01 0.10 1.0 10.0 100.0"

CONCENTRAT1ON, C

Figuur 2.1 De valsnelheid als functie van de concentratie. Hetbetreft in dit geval slib van het "Severn" estuarium. De grootstevalsnelheid wordt gevonden bij een slibconcentratie van 2 g/l.

2.2 Erosie en SedimentatieErosie is een proces waarbij bodemmateriaal in suspensie wordtgebracht. Dit komt doordat de bodemschuifspanning die door stro-ming en golven teweeg wordt gebracht dermate groot is dat eenzekere kritische waarde (rj hiervoor wordt overschreden. Ditbetekent dat met name onderin de waterkolom de sedimentconcentra-tie sterk toeneemt.We kunnen twee soorten erosie onderscheiden. Dit zijn oppervlak-te-erosie waarbij de sedimentdeeltjes afzonderlijk in suspensiekomen en massa-erosie waarbij grote brokstukken sediment eens-klaps in suspensie komen. In gebieden waar niet veel slib op_ debodem ligt zal praktische alleen oppervlakte-erosie voor kunnenkomen. De grootte van de oppervlakte-erosie (E) is lineair even-redig met de bodemschuifspanning.In veel modellen wordt de volgende betrekking gebruikt [1] :

E = M{S- - 1) (2.13)

met r : de bodemschuifspanningTB : de kritische bodemschuifspanning voor erosieM : de erosieconstante (Kg/m2s)

De grootte van M en r9 worden bepaald door de het soort slib ende mate van consolidatie van het bodemmateriaal.

Massa-erosie speelt een rol in gebieden met meer slib op de bo-dem. Onder invloed van golven wordt de bodem verweekt waardoor dekritische erosieschuifspanning belangrijk afneemt. Bodemverwekingof fluidisatie is een direct gevolg van de periodieke drukfluctu-aties die golven teweeg brengen. Hierdoor kunnen plotseling helestukken bodemmateriaal los komen en in suspensie worden gebracht.De erosiesnelheden zijn in dit geval veelal een orde van groottehoger dan in het geval van oppervlakte-erosie.

Wanneer de bodemschuifspanning onder een bepaalde grens komt, danspreken we van sedimentatie. Er wordt nu sediment afgezet op debodera en de sedimentconcentratie in de waterkolom neemt met namebij de bodem na enige tijd sterk af.In het geval van sedimentatie geldt bij de bodem :

*d(2-14)

Hierin is P : sedimentatiesnelheidTd : de kritieke bodemschuifspanning voor sedimenta

tiecb ; de concentratie bij de bodem

De kritische sedimentatieschuifspanning wordt wederom bepaalddoor het soort slib. Hij ligt tussen de 0.04 en 0.15 N/mz.Bovendien speelt ook de slibvlokgrootte of de valsnelheid een rolvoor de grootte van rd. Grotere slibvlokken zullen sneller op debodem blijven liggen dan het fijnere slib [18]. Hierdoor zullentijdens een sedimentatieperiode de grotere slibvlokken op de bo-dem vallen terwijl het fijnere slib in suspensie blijft.

Voor de uitwisseling van sediment tussen de bodem en het waterkunnen we samengevat gebruiken : ~-

E - P = -(WSC + <v|f >* (2.15)

Het is duidelijk dat wanneer geen erosie noch sedimentatieplaatsvindt, het linkerlid gelijk aan nul is. Over het algemeenwordt aangenomen dat de kritische bodemschuifspanning voor erosie(r9) groter is dan die voor sedimentatie (rd) .

2.3 Bodemschuifspanningen en verticale diffusie

De schuifspanning T is een maat voor de snelheid van twee water-laagjes t.o.v. elkaar. Van belang voor het optreden van erosie ofsedimentatie is de waarde hiervan bij de bodem, de bodemschuif-spanning rb.De grootte van de bodemschuifspanning wordt bepaald door destroomsnelheid ,de golfhoogte en de golflengte. Uit de literatuurzijn nogal wat empirische betrekkingen bekend over dit onderwerp.In het stromingsprofiel bij de bodem kunnen over het algemeentwee gebieden onderscheiden worden :1. De visceuze sublaagDeze laag is slechts enkele centimeters dik en wordt veronder-steld een lineair snelheidsprofiel te hebben.2 Het turbulent binnengebiedBinnen deze laag, die enkele meters dik is, is de schuifspanningbij benadering constant. Hieruit volgt m.b.v. de Prandtl mengweg-lengtehypothese een logaritmisch snelheidsprofiel. Wanneer desnelheid tegen de logaritme van de afstand tot de bodem wordtuitgezet levert de richtingscoefficiënt de schuifspanningssnel-heid u*.Theoretisch geldt :

(2.16)

In de praktijk zal het snelheidsprofiel in het turbulent binnen-gebied nooit mooi logaritmisch zijn omdat er nooit een stationai-re toestand wordt bereikt vanwege de getijbeweging. Dit maakt datde waarde van u* bijna altijd over- of onderschat wordt [17]wanneer hij rechtstreeks uit een logaritmisch snelheidsprofielwordt bepaald. Vaak wordt dan ook gebruik gemaakt van benade-ringsformules die u* aan ü correleren.

Voor een turbulente kanaalstroming geldt bijvoorbeeld :

-H- = 2.44ln(-^-) + 5.85 (2.L7)

met H ; waterdiepteks : Nikuradse ruwheidslengteü : gemiddelde stroomsnelheid in de waterkolom

Betrekking (2.17) volgt direct uit (C5) in bijlage C.

Een andere betrekkingen tussen ü en u* is bijv [3].

met n : "Manning's bodem ruwheidscoeff. "(0.012 - 0.018 : zeer zachte slib-bodems)(0.018 - 0.03) : compacte slib-bodems)g : valversnelling

Bij een gladde turbulente stroming (korreldiameter « ks) geldtvoor zachte slib-bodems [3] :

= 5.75ln(-^) +5.2 (2.19)

met u : snelheid op hoogte z boven de bodemv : viscositeit van water (1E-6)

Wanneer nu u* bekend is, dan volgt eenvoudig de bodemschuifspanning a.g.v. alleen stroming uit de betrekking :

P".2 (2'2Q)

met p : dichtheid van water

In figuur 2.2 is het verband gegeven tussen de bodemschuifspan-ning en de gemiddelde stroomsnelheid in de waterkolom volgensformule (2.17) bij verschillende waarden van kfi.

10

Bodemschui f spanning bij stroming

H=10 H=10 H=2O

1.00

0.50-

E

0.000.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

Gemiddelde snelheid i.dwaterkolom (m/s>

Figuur 2.2 De grootte van de bodemschuifspanning als functievan de gemiddelde stroomsnelheid in de waterkolom bij kt is 2mmen Je, =>1 cm. Het blijkt dat de bademsctuiifspemning niet zo gevoe-lig is voor een verandering van k3,

Buiten het turbulent binnengebied geldt de benadering van eenconstante schuifspanning niet meer. In plaats van een logarit-misch snelheidsprofiel is een raachtsprofiel daar een betere bena-dering van de wekelijkheid (zie bijlage C).

Voor golven zijn net als voor stroming ook een aantal betrekkin-gen bekend die een bodemschuifspanning leveren.Uit de lineaire golftheorie volgt voor piek-orbitaalsnelheden(UM) bij de bodem :

uu ( 2 . 2 1 )

met X ; golflengteH : waterdiepteh : golfhoogte ( van top tot dal)T : golfperiode

De golflengte volgt weer uit de golfperiode met

2 irco2 = gktanh(kH) k =

0) =271T

( 2 . 2 2 )

11

orbitaalsnelheid /a. golflengtewaterdiepte H - 20 meter

0.50

o.4O i

g o.3O i

5oö

o.ioi

0.00

h = O,5m

1.25

1.00 ]

• - - h = 1 .Om

- - h = 2.0m

h = 3.0m

orbitaaisneiheid vs. golflengtewatordiepte H = 12 meter

O 10 20 30 40 50 60 7O 80

golflengte (m)

0 10 20 30 40 50 6O 70 80

golflengte (m)

figuur 2,3 De grootte van de orbitaalsnelheid bij een water-diepte van resp, 12 en 20 meter. De orbitaalsnelheid blijkt sterktoe te nemen als de significante golfhoogte 'h' en de golflengtetoenemen.

Goifperiode vs. golflengtevoor twee waterdiepten

10-

9-

8-

7-3« 6-

5-

4-

3"

2-

1"

0

o

êa

ö 10 20 30 40 50 60 70 80

golflengte (m)

H = I2m

H = 20m

2,4 De goifperiode uitgezet tegen de golflengte. De in-vloed van de waterdiepte op dit verband is gering.

Voor de piek-bodemschuifspanning a.g.v. golven geldt nu :

(2.23)

met fw = wrijvingsparameter

Voor fw zijn vele betrekkingen bekend :Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen een ruwe en een gladdebodem. fM wordt altijd 20 gekozen dat het de grootste waarde isvan de volgende twee gevallen : ___

! In het geval van een gladde bodem (fw ~ fws) geldt :

UJiRw = -f-(2.24)

met R„ : golf-Reynolds getalfWB; gladde bodem wrijvingsparameter

Voor een gladde bodem geldt : B = 0.0521N = 0.187

2 Voor een ruwe bodem (fw = fwr) geldt :

f w = 0.3 ~-

= 0.00251exp(5.21

> 5.10

(2.25)

met fWE = wrijvingsparameter voor een ruwe bodem

Voor de totale bodemschuifspanning kan nu geschreven worden :

,v) (2.26)

De factor 1/2 houdt verband met het feit dat geïntegreerd wordtover l golfperiode.De bovenstaande betrekkingen moeten voor ieder geval in de prak-tijk (op zee) niet al te precies worden genomen. De meeste be-trekkingen zijn empirisch in een laboratorium bepaald en op zeezullen er een heleboel storende factoren zijn. Er moet dan ge-dacht worden aan het feit dat golven slechts in ie benadering metde lineaire golftheorie worden beschreven. Tevens zal de bodem-ruwheid van plaats tot plaats sterk verschillen. Dit maakt dat ksslechts op een orde van grootte kan worden geschat voor een be-paald zeegebied.

13

Bodemschuifspanning bij golven

(M

O>

i

h=1/2Ks-1/500

h=1 - h=1.Slabda=30 [abda=35

h=2.5labda=40

8 10 12 14 16 18 20

waterdiepte (m)

Figuur 2.5 Het verloop van de jboderoschui f spanning als functie.van de vaterdiepte ten gevolge van alleen golven bij ks~2 mm.De vier lijnen geven een mogelijke situatie veer voor een signi-ficante golfhoogte(h) en een golflengte(X). De golflengte is inde praktijk altijd enigszins gekoppeld aan de significante golf-hoogte .

Een 2e parameter die bepalend is voor het verticale concentratie-verloop is de verticale diffusiecoefficiënt es(z).De verticale turbulente uitwisselingscoëfficiënt voor sedimentwordt bij niet te hoge slibconcentraties verondersteld gelijk tezijn aan de verticale uitwisselingscoëfficiënt voor impuls.In het geval dat wordt uitgegaan van een logaritmische snelheids-profiel moet voor de verticale diffusiecoëfficiënt gelden :

iH

met K = de "Karman" constante f^O.41)

Dicht bij de bodem reduceert deze vergelijking tot :

( 2 . 2 8 )

14

Betrekking (2.28) is op zich eenvoudig in te zien als er vanuitwordt gegaan dat de grootst mogelijke turbulente wervels het ver-ticaal transport bepalen. De diameter van de grootste wervels isprecies de afstand tot de bodem 'z'. De grootheid u* is een maatvoor de snelheid waarmee de wervel rond draait. De schuifspan-ningssnelheid u* kan afnemen ten gevolge van een verticale con-centratiegradiënt [15,16]. Zodoende kan een correctie plaatsvin-den (zie bijlage D).In veel modellen wordt de verticale diffusiecoëfficient in eengroot deel van de gehele waterkolom constant verondersteld.We kunnen dan gebruik maken van de uitdrukking van Fischer : -

= 0.0025uif (2.29)

De Verticale diffusiecoefficient

h=0.5

H= 10 u^O.015h=1 h=1.5

X=35h=2.5

0.20

o0

87

JUo

ï0.04 -

0.00

o 6 8 10

afstand tot de bodem (m)

Figuur 2.6 De verticale diffusiecoëfficiënt bij een gemiddeldestroomsnelheid met daarop gesuperponeerd verschillende golfbij-dragen. Ne veronderstellen voor de stromingsbijdrage een lineairetoename tot O.15*H en daarboven een constante verticale diffusie-coëfficiënt. De bijdrage van golven aan de verticale diffusie*coëfficiënt is in met name de onderste paar meter van de wsiterko-lom te verwaarlozen mits de waterdiepte maar voldoende groot is(bijv. 10 meter).

15

De beste benadering van het verloop van de verticale diffusie-coefficient wordt waarschijnlijk nog gegeven door betrekking(2.28) te gebruiken in de buurt van de bodem en (2.29) hoger inde waterkolom.De hierboven gegeven diffusiecoëfficiënt is afgeleid voor hetgeval dat er geen golven zijn. In het geval van golven zal dediffusiecoëfficiënt veranderen. Vaak wordt voor de golfbijdragede volgende uitdrukking gebruikt :

met o = 4? en k - **a met o = 4? en k - ._ ...2sinh2(kH) T A, (2.30)

Deze uitdrukking is op dit moment nog de meest veelbelovende. Deenige onzekere parameter in (2.30) is de waarde van de constantea. In laboratoriumexpermenten [7] is deze bepaald op 8E-4.Figuur 2.6 geeft een voorbeeld van het verloop van de verticalediffusiecoëffiënt waarbij de golfbijdrage (2.30) gesuperponeerdwordt op de stromingsbijdrage (2.28 en 2.29).

Uit figuur 2.6 blijkt dat de stroming van het water grotendeelsde vertciale diffusie bepaalt. De invloed van golven op de verti-cale diffusie is betrekkelijk klein. Golven lijken dus een uiter-mate ineffectief mechanisme zijn om materiaal omhoog te transpor-teren. Daarentegen spelen ze wel een belangrijke rol voor degrootte van rb.

16

2.4 Mogelijke analytische oplossingen

Bij het vinden van een exacte oplossing voor het concentratiepro-fiel is het mogelijk alleen de meest eenvoudige gevallen analy-tisch te behandelen. We maken onderscheid tussen een constantevalsnelheid en een concentratieafhankelijke valsnelheid.a. Constante valsnelheid wsEr geldt nu weer :

w.c(z) + es(z) CLZ= 0 (2.29)

met als oplossing :

c{z) =cae **

c{z) =

als es(z) =

als

(2.30)

met randvoorwaarde c(z=a)

Concentr at i eprof ie!c<0.1)=1 N»10 w=0.1 mm/s

efe) =• 0.01 - - - - 5(2} =u * s= O.016

84J

T3OXI

O

I

u

O

o

4

2

f)0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

u uj U i*V) 0)

q o 13dl O <ü H0) > ^ 0

•^ ü Q - UIQ CJ

- i in +i nj

•H 3 «'M -U (5

•H tJIQ <U

S 3o oO (0

•u

"-s ai

o

4) II

CJ O^ Ü

<U (!)aq (i)

T3•i-I

+J

concentratie (gr/l)

S <D O

3 «) ü a t

th +i R 'M O•H -H (U 'H 4J

b cortcentratieafhankelijk valsnelheid : ws - et cfl met 1 < £ < 3

oplossing :

als

a i s

( 2 . 3 1 )

10

<Ü

Concentratieprofielo«.1H1 H-10 w-02**!1

«(z) -u * • OQ16

1

111iïiii

i

\\\\

\s

00.00 0.10 O20 0^30 0.40 0.50

concentratie (gr/l)

Figuur 2.8 Het verticaal concentratieprofiel bij een valsnel-heid die een functie is van de concentratie 'c'.

18

Beide betrekkingen geven het effect van flocculatie weer. De val-snelheid neemt toe door samenklontering bij hoge slibconcentra-ties. De constanten (a, JJ , n en cr) zullen echter voor iedereslibsoort weer opnieuw moeten worden bepaald. Het flocculatieef-fect is over het algemeen van invloed voor concentraties groterdan 3 00 mg/l.De valsnelheid zal echter niet onbeperkt toenemen bij hogere con-centraties. Vanaf een concentratie van 2 a 3 g/l, zullen deslibvlokJcen of slibdeeltjes elkaar gaan naderen. Voor de valsnel-heid zal dan gelden :

wa (2.34)

met a = 4 a 5k : een factor die een concentratie in gram per liter omzet

in een volume-concentratie(c = 2.65 g/l 2650 Kg/m3 — > kc = 0.001)

Concentrat i eprof i e I

UK-0u016

1e-08i

1e-09-

1e-103 10

concentratie (ar/!)

Figuur 2.10 Het verticaal concentratieprofiel bij een valsnel-heid die sterk afneemt bij een toenemende concentratie. Omdat deconcentratie vlak bij de bodem naar oneindig gaat zal de valsnel-heid naar nul gaan. Dit leidt ertoe dat de verticale concentra-tiegradiënt zeer klein wordt. Dit proces speelt mogelijk een rolbij sliblagen met zeer hoge concentraties. Binnen zo'n slihlaagis de concentratieverschillen gering.

In veel gevallen heeft het echter, vanwege dimensionale proble-men, voordelen om voor de valsnelheid te nemen :

ws ~ tl+ (—-) ] Wo (2.32)

met cr = referentieconcentratien = een getal tussen 1 en 3

met als oplossing :

= (ï- )e als ea(z) = e.

(!-• •) = ( 1 - •) < - > als eg(z) -

(2.33)

Concentratieprofielc<0.1)=1 I-N10 w-O.t*<1+c) mm/s

etü » 0.01 etz) »u» - 0.016

10

O

(1)T3

8-

1

]

00.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

concentratie (gr/l)Figuur 2.9 Net als figuur 2,8. Alleen is manier waarop de val-snelheid van de concentratie afhankelijk is realistischer geko-zen.

Voor de oplossing van het verticale concentratieprofiel geldt indat geval (a ~ 5) :

1 1 , ,„rkct(l-kc) ,_wo(a-z) . m , , m£ [ n (1-kc) - nd-kcj "

Jte (l-Jtcr) waln(-^)] = =— : eg(z)

KU

E [ ] l n [ , ; r ]ami. n(l-kc)» n(l-kca)

n kc(l -kca) KU,(2.3-5)

Figuur 2.10 geeft een beeld van het concentratieverloop. Men kangoed zien dat de concentratie dicht bij de bodem nauwelijks meertoeneemt. Dit komt door de afnemende valsnelheid bij hoge slib-concentraties die het concentratieprofiel vlak bij de bodem veelminder stijl dat lopen dan in het geval van flocculatie (zie fi-guur 2.9) .

In alle bovenstaande oplossingen wordt er vanuit gegaan dat ergeen erosie noch sedimentatie is. Meestal geldt echter dat inmeer of mindere mate één van beide processen plaatsvindt. Dan kanhet profiel dus niet door bovenstaande oplossingen worden be-schreven omdat er geen stationaire situatie mogelijk is. Inhoofdstuk 3 ziet U hoe dit probleem is op te lossen.

21

HOOFDSTUK 3

Dit hoofdstuk zal de analytische oplossingen bevatten voor hetverticale concentratieprofiel in het geval van sedimentatie enerosie. Hierbij zal dus een profielberekening plaatsvinden alsfunctie van de tijd uitgaande van een beginprofiel. Voor dit be-ginprofiel (op t=0) kan een evenwichtsprofiel worden gekozen maardit is niet een noodzakelijke voorwaarde om een oplossing te kun-nen berekenen. In het geval van sedimentatie en erosie is de si-tuatie per definitie nooit stationair omdat er netto sedimentwordt af- of toegevoerd aan de waterkolom. Vindt geen van beideprocessen plaats dan hangt het van de beginsituatie (het concen-tratieprofiel op t=*0) af wanneer er een stationaire situatiewordt bereikt. Wanneer als beginprofiel een evenwichtsprofielwordt gekozen dan zal het concentratieprofiel niet meer verande-ren als functie van de tijd.

Nadat in sectie 3.1 de basisvergelijkingen zijn geponeerd zullenin sectie 3.2 de oplossingen worden gegeven in het geval van eenconstante valsnelheid en een constante verticale diffusiecoëffi-ciënt. De valsnelheid wordt constant genomen omdat de diff.verge-lijking anders bij een concentratieafhankelijke valsnelheid niet-lineair wordt wat de berekening van een analytische oplossing(te) ernstig bemoeilijkt.In sectie 3,3 worden oplossingen gegeven voor het verticaal con-centratieprofiel bij een verticale diffusiecoëfficiënt die onder-in de waterkolom, tot 0.15*H (H=waterdiepte), lineair toeneemt enhierboven constant blijft. Dit verloop van de verticale diffusie-coëfficiënt is waarschijnlijk realistischer [6]. Omdat voor ditgeval een exacte oplossing niet meer is te berekenen wordt de op-lossing op numerieke wijze bepaald.

3,. 1,,:,, De basisvergelijkingDe behoudsvergelijking voor sediment kan m.b.v. (2.3) en (2.5)worden geschreven als :

Als gesteld wordt dat variaties in de x en y richting verwaar-loosd worden, dan volgt uit (3.1) m.b.v. (2.4) als w«ws :

dt Wa dz dz {**^ï] (3'2)

Als ez niet van z afhangt dan verandert (3.2) in :

4£ = ̂ | £ + e j r Ü £ ' • (3.3)dt s dz z dz2

22

Deze vergelijking is ook d.m.v. schaling af te leiden [11].De oplossing van het bovenstaande probleem is uniek te bepalenals twee randvoorwaarden en een beginvoorwaarde zijn gegeven.

Als randvoorwaarde bij het wateroppervlak kan gebruik worden ge-maakt van het gegeven dat het verticaal transport van sedimentbij het wateroppervlak gelijk aan nul is. Dit is in formulevorm :

* sC + e , J f = 0 \ZMH (3.4)

De randvoorwaarde bij de bodem is afhankelijk van de omstandigheden. Er kan sprake zijn van erosie, sedimentatie of geen van beide processen kan optreden. In dit laatste geval geldt bij de bodem net als bij het wateroppervlak :

*sc + e,J§ = 0 !2.0 (3.5)

Vindt er erosie plaats dan volgt uit (2.15) :

met 'E' gegeven door (2.13). In deze formule is 'E' de erosie-snelheid. Deze geeft aan hoeveel kg sediment over één mz bodemop-pervlak per seconde in suspensie wordt gebracht.Bij sedimentatie wordt een randvoorwaarde gebruikt die afgeleidis uit (2.14) en (2-15) :

+ e*ir s o!*-o met r = T" 0 s r * 1 (3.7)

Deze randvoorwaarde betekent dat de fractie '(1-r)' van de massasediment die op de bodem valt direct weer wordt opgewerveld. Wehebben de maximale sedimentatiesnelheid als r=0. De sedimentatie-snelheid kan dus nooit groter zijn dan wsc2»0-

De beginvoorwaarde is van de vorm : c(z,t=0) = f(z) .De functie f(z) kan een evenwichtsprofiel (de stationaire oplos-sing) zijn maar hij kan ook willekeurig gekozen worden. Bij dekeuze van een stationaire oplossing als beginvoorwaarde is deberekening echter wel het eenvoudigst.

23

3.2. De analytische oplossingen bij een constante verticale dif-fusieVergelijking (3.2) is een 2e-orde partiële differentiaalvergelij-king, de zgn. tijdsafhankelijke advectie-diffusie vergelijkingdie in de numerieke wiskunde vaak als voorbeeld wordt genomen.Deze vergelijking kan opgelost worden d.m.v. scheiding van varia-belen als de oplossing ook daadwerkelijk te scheiden is [9]. Inhet algemeen hoeft dit echter niet het geval te zijn. Daarom isvoor een andere oplosmethode gekozen. Hierbij wordt gebruik ge-maakt van een Laplace-transformatie. Laplace-transformaties kun-nen partiële diff.vergelijkingen transformeren in gewone dirff.vergelijkingen. De gewone diff.vergelijking wordt dan opgelost ende gevonden oplossing wordt vervolgens teruggetransformeerd('Mellin Inversion Integral'). Het is een zeer veel gebruiktemethode bij het oplossen van beginwaarde problemen [10]. Dezetransformatie is succesvol als er een variabele is die loopt van0 tot « zoals de tijd 't'. In de nu volgende berekeningen wordtuitgegaan van een constante verticale diffusiecoëfficiënt.

3.2.1 SedimentatieVergelijking (3.3) levert na de Laplacetransfonnatie :

&(c(z, t)) = -fL-J ciz.t) e~tsds = P{z,s) (3.8)

de volgende vergelijking:

met P1 = dp^az

e_P" + wP' - sP = -c(z,Q) met P1 = dp^,s) (3.9)az

Als beginvoorwaarde wordt nu gekozen: c(z,0) = co e'hz met b' een

parameter die in het geval van een stationaire oplossing gelijkis aan w/e.Vergelijking (3.9) is een gewone inhomogene diff.vergelijking dieals oplossing heeft :

P{z,s) = e"**'(A(s) e?2 + B(s) e'"*) + K{s) e~b'z (3.10)

met :

p(3) - ((-^r)2 + 4 ) ^ en K{s) = C

2e e s + wb'-eb12

De twee constanten A(s) en B(s) volgen uit de randvoorwaarden(3.4) en (3.7) :

24

(Jb'e-t/) (pe-x) e'"" + (b'e-wr) (-~-pe) e~pH

£(pe-x) e&H + (-^-pe) (pe+x)

-~A{s) = K(s) [ £ ] (3.11)

(i/e-w) (pe+x)e"?/f- (jb'e-wr) (—+pe)e-pw

[ - ] (3.12)ï (pe-x) epW + (-j-f-pe) (pe+x) e"p"

met

Invullen van de aonstanten in de oplossing (3.10) levert :

P(z,s) = e'^K(s) [ e-*«(b>e-w)A(z) + {b>e-wx) B{z))

coah(pH) l(-¥-x)pe] + sinh(pH) [ ( p e ) 2 ^

+ Kis) e~bl*

met A(z) = pe cosh(pz) - x sinia(p2r)w (3.13)

3(z) = -™sinh(p(z-H)) -pe h ( ( H ) )

In bovenstaande oplossing kunnen twee termen worden onderschei-den. De eerste term is de homogene oplossing en de 2e term is departiculiere oplossing.We hebben nu een getransformeerde oplossing die moet worden te-ruggetransformeerd. Gezien het feit dat de oplossing nogal com-plex is kan geen gebruik worden gemaakt van de bekende integra-lenboeken [12].Voor de oorspronkelijke oplossing geldt nu :

Y+i™

c{z,t) =<tx(P{z,s)) - —K <f P(z,s) etsds (3.14)lm J.

Als integraal wordt de contour genomen zoals die in figuur 3.1staat afgebeeld. Bij de keuze van dit contour moet er op geletworden dat er geen punten binnen dit contour liggen waarvan vooreen zekere s de functiewaarde niet uniek is bepaald ('branch-points'). In dit geval zijn ze echter niet aanwezig. Bij het be-rekenen van de integraal kan gebruik worden gemaakt van het residu-theorema zoals het bekend is uit. de complexe functietheorie.De getransformeerde oplossing (3.13) heeft meerdere polen die ie-der een bijdrage tot de oorspronkelijke oplossing leveren.

25

Figuur 3,1 De contour waarover geïntegreerd wordt. Bij het uit-voeren van da integratie verondarstelllon ve dat R naar oneindiggaat. De grootte van da integraal wordt zodoende alleen nog maarbepaald door de singulier* punten 's' die binnen het contour lig-gen (In ons geval alleen op dm negatieve reële as).

We kunnen de volgende polen onderscheiden:X De polen van K(s):

sb = b'(eb'-w) (3.15)

Omdat deze pool in zowel de homogene als de particuliere oplos-sing voorkomt geeft deze twee residuen. Deze zijn achtereenvol-gens:

, t) (3.16)

en voor de homogene oplossing

c2(z,t) =(3.17)

met F(pb) = [ e-«"(b'e-w)A{z) * (ble-wr) B(z)

cosh{pbH) [(~-x)pbe] + sinh(pbH) [{pb^)^-w~\

en A{z) = pbecosh(pbz) - xsinh(pbz)

B(z) = ^sinh(ph(z-H) ) - pbcosh(pb{z-H)

Pb =w2

"ië2"b* - y-

e

26

De homogene oplossing van (3.13) heeft nog meerdere polen. Hier-voor geldt dan :

cosh(pH) [<-£ - x)pe] + sinh(pH) -w^] = 0 (3.18)

Deze vergelijking is na enig rekenwerk te schrijven als :

coth (pH) pHw(l-r) H

e

wir-l/2) H2 (r-1) e

pH(3.19)

De2e betrekking heeft alleen oplossingen voor imaginaire waardenvan 'p'. Stel nu dus p = iX . Dit levert de volgende betrekking:

2cotU/f) = XHw(l-x) H

2e

w(l/2-r) He(l-r)

kH(3.20)

De transdescente vergelijking die nu is ontstaan is slechts gra-fisch of numeriek op te lossen (zie figuur 3.2).

Grafische oplossing van (3.19)

100

50

-50

W =*e =r =»H a

*

1E-41E-2

010 ^ ^

•

1t<̂ H - ai73

20aH -

«H —>

1/20OH

0.00 3.14 6.28

Figuur 3.2 Het linker- en het rechterlid van vergelijking (3.20)zijn afgebeeld. Het gaat erom voor welke waarden van a f=X in detekst) ze aan elkaar gelijk zijn. Dit is eenvoudig op numeriekewijze ta bepalen.

De vergelijking heeft oneindig veel oplossingen voor X die we aanzullen geven met X„. Uit (3.10) volgt dat voor sn nu geldt :

(3.21)

Deze polen geven nu uiteindelijk de onderstaande reeksoplossing :

c^z.t) 2«

n~x(3.22)

2Xn[e-*H(b'e-w) C(z) + (b'e-wx) D(z)w(l-r)

mee C(z) = Xnecos(Xnz) - w(r-~) 3in(Xnz)

D(z) = •¥si - Xnecos(Xn(z-H))

K{Xa)2e

Grafische oplossing van (3.19)

100

5 0

0

wer

| H

*

= 1E-3« 1E-2= 0.9= 10 ^ ^

^ / ^ 20aH + 4/aH

0.00 3.14 6.28

figuur 3.3 Zie figuur 3.2. In dit geval is er alleen één snij-punt minder. Dit maakt dat we één residu minder hebben met eenimaginaire waarde voor p (is reële waarde voor X o£ a) en daar-voor in de plaats een extra bijdrage krijgen voor een reële waar-de van p (is een imaginaire waarde voor \ of ce) .

Voor de totale oplossing kan nu geschreven worden :

c{z,t) ~ CX{Z, t) +C2(z,t) + C3(z, t) (3.23)

Als geldt dat w(l/2-r)H/ (1-r) e < -2 , dan heeft (3.19) ook éénreële pool 'pa > 0'.Het aantal imaginaire polen is in dat geval met één verminderdzodat voor c3 nu geldt :

£2 iwb'-ebz-sa)(3.24)

In figuur 3.3 zien we hoe in dit geval de imaginaire polen wordengevonden.

De reële pool 'pa' geeft als residu :

- Cn9"******** ie-**(b'e-w) A(z) + (b'e-wz) B(z)] (3.25)C' Ztt {s + wb'eb2) FipH)

met

sinh(paif}

en A(z) = paecosh(paz) - xsinh(paz)

B{z) = -%-sinh{pa{z-H)) - pacosh(pa

i4e

Voor de totale oplossing kan in dit geval geschreven worden :

C{z,t) =Ct{z,t) + C2(Z, t) + Cj(z, C) 4- C4(2-, t) (3.26)

Na het invullen van enkele getallen blijkt voor r o l te gelden :dat ct(z,t) gelijk is aan -c2(z,t). Er geldt daarom :

29

concentratie (g/D

O O Q O O8 8 è S 8

•

' l: 1

1

IIIIIj

|

f/JJ

/ff1j1

ii n0 0

fDiï 3-!̂3

i|

im

1 &

M&:te)

2a

concentratie (g/l>concentratie (g/l)

i

Figuur 3.4 £>e verandering in het verticaal concentratieprofielten gevolge van sedimentatie. De concentratie neemt bij kleinevalsnelheden (wl.io'1' m/s) maar zeer langzaam at. Als beginsi-tuatie zijn we telkens van de stationaire oplossing uitgegaan.

Figuur 3.5 Zie figuur 3,4. Ds valsnelheid is nu een factor 10groter zodat de concentratie aok veel sneller afneemt.

Na het invullen van enkele getallen blijkt voor r o l te gelden :dat Ci(z,t) gelijk is aan -c2(z,t). Er geldt daarom :

w(l-x)Hc{z, t) = c3 (z, t) als —r-—-r~ > -2

-<z, t) = c3 (z, t) + c4 (z, C) als —-—~r~-~ 5 -2

(3.27)

Op dit moment is dus een oplossing gegeven voor de concentratieop ieder tijdstip bij een gegeven beginconcentratieverdeling inde verticaal voor verschillende valsnelheden (w) en verschillendewaarden voor de verticale diffusie (e) . De randvoorwaarden zijndan op ieder tijdstip dezelfde.In figuur 3,4 en 3.5 zijn voorbeelden gegeven van het verloop vande concentratie als functie van de tijd bij verschillende val-snelheden en opwervelingsfractie 'r'.We zien dat de concentratiegradiënt na enige tijd steeds verderafneemt. Onderin de waterkolom waar de concentratie het grootstis op t=0 is gedurende de sedimentatieperiode de neerwaartse mas-saflux ook het grootst. We kunnen verder constateren dat de con-centratie maar zeer langzaam afneemt bij kleine valsnelheden.Veldmetingen laten echter zien dat dit veel sneller moet gaan.Dit hangt ondermeer samen met het feit dat de verticale diffusie-coefficient in dit geval constant is verondersteld terwijl hij inwerkelijkheid bij de bodem sterk afneemt, zodat het materiaalminder snel omhoog kan worden getransporteerd.

31

3.2.2 ErosieEen 2e mogelijkheid is het geval dat er meer of minder erosieplaatsvindt met een erosiesnelheid E.Bij het oplossen van de diff.vergelijking wordt weer een Laplace-transformatie toegepast die vergelijking (3.9) oplevert. De alge-mene oplossing is ook dit keer weer dezelfde als (3.10) :

P{z,s) = e'^z(A(s) eeg + Bis) e^s) + K(s) e-b'z (3.28)

De randvoorwaarden moeten natuurlijk ook Laplace getransformeerdworden. Dit heeft tot resultaat dat uit (3.6) volgt als E=E(t)- :

vac + ezjf = -Êis) \Z.Q (3.29)

met Ë(s) : de Laplace getransformeerde erosiesnelheid.De randvoorwaarden (3.29) en (3.5) leveren voor A(s) en B(s) achtereenvolgens :

en

Bis)

2e

Invullen van deze constanten in de algemene oplossing (3.28)geeft als oplossing :

X 2 3_ 4.

P{ZtS) • e^ms)-K<(S)) c{z) + K'js) e^e^{Z-H) ^

s sinh(pH) s sinh (pH)

met C{z) = - —sinh(p [z-H) ) + pcosh(p (z-H) )2e

D(z) = p cosh(pz) - ̂ sinh(pz) (3.32)

K'is) = Kis) (eb'-w)

Bij het terugtransformeren van de oplossing wordt weer gebruikgemaakt van het residu-theorema. Er wordt over hetzelfde contourals in het geval van sedimentatie geïntegreerd (figuur 3.6).

32

Figuur 3.6 Het contour waarover geïntegreerd wordt in het gevalvan erosie. We zien i.t.t. tot net geval van sedimentatie (figuur3.1) nu ook een pool voor s=o. Deze pool kan als enige tijdson-afhankelijke bijdragen leveren (3.41 t/m 3.43) aan de totale op-lossing.

Hiertoe moeten de polen van de verschillende termen één voor éénworden bekeken.

Voor de pool van K(s) geldt

en pb = J (HL ( 3 . 3 3 )

Deze pool levert voor de verschillende termen van (3.32) de volgende drie residuen :terra 2 geeft :

cx{z, t) =

met D{z) = [-

H)• D(z)

2e{z-H}) +pbcosh(pb (z-H) ) ]

(3.34)

term 3 geeft :

cAz.t) = ^2e

" • * ' • • * " "

3.35

\

33

term 4 geeft :

Voor de 2e pool van (3.32) geldt :

sinh(pH) =0 =» pH = nni => s = - e ( ^ > 2 .jg = _gfl (3.37)

Deze pool levert voor de verschillende termen in (3.32) een aan-tal reeksoplossingen. ~"

De eerste term in (3.32) is evenredig met Ê(s) . Voor Ë(s) geldtdat deze gelijk is aan E/s ; dit is de Laplace getransformeerdevan E(t) als E constant in de tijd wordt verondersteld,term 3, levert :

Ü (X) 2(D n^ (3.38)

H H 2e H

term Z levert :

c5(z,t) = T{-l)nH2 ( 3 . 3 9 )

TÉ/ ï"Hf#

met F(z) = -£

term 3 levert :

c^z.t) = V; "° v"" "" t ~ n ZZ^lG(z)e-x»c

0^*^^ v / v 4- XtT^\' — c J^ * 1 f — 1 \ fl u 2 / »̂ ji A \

met G(z) = •

Voor de 3e pool geldt s=0. Deze pool geeft ook weer 3 residuen,

terra 1 levert :

34

c7 (z, t) =Et we

Ee' 2e*cosh(—(z-H))2e

2e sinh(~H)2e

E [ ze

w sinh(2e

2e sinh(^ff) sinh2 (—ff)2e 2e

(3.41)

term 2 levert :

, t) =sinh(— H)

2e

(3.42)

term 3 levert :

C9<Z,fc)wcne'

b'He * 2

2s i n h ( — H)

2e

(3.43)

De totale oplossing kan nu geschreven worden als de som van deze9 termen. Er geldt dus :

(3-44)

In de hierboven gegeven oplossing is een constante erosiesnelheid'E' verondersteld.Vindt er echter in zijn geheel geen erosie plaats, dan betekentdit dat geldt : c,,(z,t) = c7(z,t) = 0. Het concentratieprofielwordt dan alleen nog door de overige 7 termen beschreven. Deze 7termen bepalen hoe het concentratieprofiel naar een stationairesituatie convergeert.

We kunnen ook veronderstellen dat voor de erosiesnelheid geldt :

E{t) = 0 tiT

Voor de Laplace-getransformeerde Erosiesnelheid levert dit :

Ë(s) = -i (l-e-st) (3.46)s

35

Als t > T kan dan ook deze Ë(s) in (3.32) worden ingevuld. Ditl e v e r t voor de twee polen in d i t geval :

t ) =

met F(Z) *

E e 2e 2enn F{z)( 3 . 4 7 )

H

t) we^

( 3 . 4 8 )2e slnh(-^-ff)

26

Voor (t < T) worden gewoon de uitdrukkingen (3.37) en (3.41) voorc« en c7 genomen.In figuur 3.7 en 3.8 zijn voor verschillende erosiesnelheden ge-durende een beperkte tijd (zie 3.45) de concentratieprofielen alsfunctie van de tijd gegeven bij verschillende beginprofielen.Uit deze figuren kan worden bepaald hoeveel kg slib er per in2 naeen tijd t in suspensie is gebracht. Dit is immers gelijk aan hetoppervlak tussen het beginprofiel en het concentratieprofiel optijdstip t.

concentratieprofielen (erosie)(t<2CÏ

0 3 0

OOO0 1 2 3 4 0 8 7 8

afstand tot de bodem (m)

Figuur 3.7 Het verloop van da concentratie bij een valsnelheidvan 0.1 mra/s. Gedurende de eerste 20 minuten is de erosiesnelheidconstant, Hierna is de erosiesnelheid gelijk aan nul. We ziendat, zodra de erosieperiode ten einde komt, het concentratiepro-fiel direct naar een stationaire situatie convergeert. Nettowordt er dan geen materiaal meer aan de waterkolom toe- of afge-voerd. Dit kunnen we controleren als we de oppervlakken onder degrafieken met elkaar vergelijken.

36

concentratieorofielen (erosie)e=iE-2 W»1E-3 b--w/e

0 3 0

0 1 2 3 4 8 8 7 8 » 10

afstand tot de bodem (m)

Figuur 3.3 zie figuur 3.7. De valsnelheid is nu 1 mm/s.

Figuur 3.9 geeft het concentratieprofiel als er geen erosie {nochsedimentatie) optreedt. Duidelijk is te zien dat het profiel naareen evenwichtsprofiel convergeert. Er wordt netto geen sedimentaan de waterkolom toegevoegd. Wordt als beginprofiel al een even-wichtsprofiel gekozen, dan zal de oplossing in dit geval statio-nair zijn.

concentratieprofielene=1E-2 w=1E-3 b'= (t=0)

I0)

2J5O

Z.0O

1.50

1.OO

0.80 -

aoo 2 3 4 5 6 7 8

afstand tot de bodem (m)

9 10

Figuur 3.9 Het concentratieverloop als functie van de tijd alsop t=o een niet-stationair profiel wordt gekozen. Al na 30 minu-ten is het concentratieprofiel praktisch stationair.

37

3.3 : Oplossingen bii een lineair/constante verticale diffusie

In dit hoofdstuk wordt uitgegaan van een verticale diffusie-coefficient die vanaf de bodem tot 0.15*H Lineair toeneemt enhierboven constant is.

e, = KU,Z z< 0.15 ff(3.49)

e, = 0.0615utH ZZQ.15H

Deze keuze voor de verticale diffusiecoëfficiënt is realistischerdan wanneer die constant wordt verondersteld zoals in sectie 3.2.We gaan nu uit van vergelijking (3.2) : ~~

i£ - w i£ + _i_ (e i£) f3at v* dz dz (e* dz} [ '

zodat geldt :

Z<0.1SH : -e-iot dz

(3.51)

-3. = w-pdt dz

met de randvoorwaarden gegeven door (3.5) en (3.6) of (3.7) voorerosie, resp. sedimentatie. Bovendien moet gelden :

cx = c2 z - 0 .15 H

Z = 0.15 ffdcx _ dc2 (3.52)

dz dz

De bodemrandvoorwaarde (3.6) of (3.7) is in dit geval niet geldigop z»0 omdat z=0 een singulier punt is. De concentratie "c" gaatnamelijk naar oneindig op z=0. We moeten daarom een zekere af-stand tot de bodem kiezen (z=Ó) waarop de bodemrandvoorwaardengeldig zijn. In werkelijkheid is er altijd een dun laagje bovende bodem (visceuze sublaag) waarde verticale diffusie wederomconstant is. We kiezen 6 gelijk aan de dikte van dit laagje. Hetlaagje is over het algemeen enkele malen de ruwheidslengte, ks.Wij kiezen S=5 mm (k„=2 ram) .

Het is niet mogelijk (3.51) exact op te lossen. De oplossing kanslechts benaderd worden. Het is niet zozeer moeilijk maar welingewikkeld om dit analytisch te doen, vandaar dat voor een nume-rieke benadering wordt gekozen.

38

Het meest eenvoudige schema voor (3.51) is een 'expliciet-diffe-rentieschema' zodat geldt :

Een nadeel van een expliciet differentieschema zijn in dit gevalde vrij stringente stabiliteitseisen zodat een nogal kleine tijd-stap vereist is wat de rekentijd vergroot. Dit is eenvoudig in tezien als we voor (3.53) schrijven :

~2 * ••

Wanneer we invullen : c"j = aneimJiiz, dan vinden we :

a (m) ~ 1+ X [cosimAz) -1] + iasin(inAz) ( 3 . 5 5 )

Een oplossing is stabiel als geldt : Re(a)>-1. In ons geval le-vert dit dat moet gelden :

(3.56)

Bij de berekeningen kiezen we telkens H=«10 en Az=0.1.We hebben zo 100 roosterpunten in de verticaal, met j=0 bij debodem en j=100 aan het wateroppervlak. Bij de randvoorwaardenwordt een centrale-plaats differentie gekozen. Dit levert :

[c - c ]e99—"°

9e = o <oppervlak>[c - c ]

[c -c ]i Ui 1-—?— = -E <bodem-ezosie> (3.57)T T Az

[c -c ]i + « i \ 2 = o <bodem~sedimentatie>

Zoals al eerder opgemerkt ligt de 'j=o-coördinaat' op z-6.Bij een voorwaartse plaatsdifferentie hebben we niet w.Cj, maarw.c0.De nauwkeurigheid van de oplossing wordt grotendeels bepaald doorde afbreekfouten die vlak bij de bodem ontstaan. Daar is immersde concentratieverandering , met 'z' het grootst. Daarom is ge-tracht de bodemrandvoorwaarde zo nauwkeurig mogelijk te formule-ren.

39

Het grootste nadeel van het expliciete differentieschema is debetrekkelijk grote roosterafstand (öz=10 cm) in combinatie met deheel kleine tijdstap die moet worden gekozen om de rekentijd nogenigszins te beperken. Het verkleinen van &z kan echter de groteconcentratiegradiënt dicht bij de bodem nooit goed weergeven. Metname bij een kleine verticale diffusie en een grote valsnelheidzullen vlak bij de bodem "wiggles" ontstaan. Deze hebben nietsmet onstabiliteiten te maken maar zijn zuiver een gevolg van degrote afbreekfout. Daarom kiezen we voor een impliciet differen-tieschema zodat voor (3.54) geldt:

cf1 - ef + 0,(1-6) (C&-C&) * 0̂ 6 (ffPl)(3.58)

* Kd (1-6) ï f ê l

met :(e./+1-Gj-i) Ac

Az2

Voor de randvoorwaarde ge ld t :

2A*r£r , <?i («o( 3 . 5 9 )

Voor de factor 6 in dit schema wordt een waarde tussen 0 en 1 ge-kozen. Bij 6=0 is het schema volledig expliciet en bij 9=1 volle-dig impliciet. De rekentijd die nodig is om één tijdstap door terekenen is zeker twee keer zo groot als bij een expliciet schema.Uit de theorie [22] is afgeleid dat een impliciet differentie-schema voorwaardelijk stabiel is als 0>%. Dit betekent dat we dzveel kleiner kunnen maken en öt veel groter. Zo kunnen we metdezelfde rekentijd de nauwkeurigheid van de oplossing aanzienlijklaten toenemen. We kiezen nu AZ=0.01 (1 cm), zodoende kan de gro-te concentratiegradiënt bij de bodem beter worden weergegeven.Een veel grotere tijdstap heeft weinig nadelige gevolgen op denauwkeurigheid omdat de externe omstandigheden (zoals de vertica-le diffusiecoëfficiënt) maar langzaam of niet veranderen in deloop der tijd (zie hoofdstuk 4).

40

Het meest gebruikte oplosschema voor vergelijking (3.58) is dezogenaamde "double-sweep" methode [22]. Hiertoe schrijven we voor(3.58) :

met Aj = 9 (a^+kj)

( 3' 6 0 )

Stel nu vervolgens :

Cj = ^ + 1 c j t l + Fj (3 .61)

Betrekking (3.61) levert voor j=0 gecombineerd met de bodemrandvoorwaarde in het geval van erosie :

s - o - ^ — ^ ej3 F s ; ^Z ^ t (3.62)

Vullen we in (3.60) in c ^ = E^o, + P4-i , dan kunnen we met be-hulp van (3.61) de coëfficiënten afleiden :

Ai

(3.63)

Met behulp van (3.62) en (3.63) kunnen we de coëfficiënten Ej enPj berekenen van j=l tot j=J-l.Voor j=J-l geldt (met behulp van (3.61) :

CJ.J, = CJEJ^ + FJ^ (3.64)

Betrekking (3.64) levert tesamen met de oppervlakte randvoorwaar-de :

(3,65)J

Op dit moment is dus c3 bekend. We kunnen nu met de bekende coëf-ficiënten en met (3,61) vervolgens terugitereren.

41

concentratieprofiel (erosie)e=1E-2 w=1E-4 E=1E-4 <t<20 min)

0.19

QJOO

3 4 8 0 7

afstand tot da bodem (m>

to

3.10 Het concsntratievorioop als functie van de tijdwaarbij alleen gedurende de eerste 20 minuten erosie optreedt. DBvalsnelheid is gelijk aan 0.1 mm/s. In dit geval is gebruik ge-maakt van een expliciet-differentieschema met een roosterafstandvan IQ cm en een tijdstap van 0.4 seconde.

Figuur 3.10 en 3.11 laten het resultaat zien als er alleen deeerste 20 minuten erosie plaatsvindt en hierna de erosie is ge-stopt. We zien in de onderste paar meter een concentratietoenamezolang erosie plaatsvindt. Zodra de erosie ophoudt nemen de con-centraties direct weer afi Hoger in de waterkolom is het beeldeenvoudiger. Daar blijft de concentratie ook nadat de erosie op-houdt nog toenemen.

concentratieprof iei (erosie)£=1E-2 w=1E-3 E=iE-4 <t<20 min)

t»40 I

- t-ao i

oooi a 3 4 s e r a

afstand tot . de bodem (m)

Figuur 3.11 Als figuur 3.10 met een valsnelheid van 1 mm/s. Hetmateriaal komt nu minder snel omhoog dan in het geval met eenvalsnelheid van 0.1 mm/s.

HOOFDSTUK 4 : Een l-D model ter bepaling van de erosie en sedi-ment at iesnelheden

In dit hoofdstuk worden de erosie- en sedimentatiesnelheden meteen l-D model berekend. Hiertoe worden slibconcentratiewaarnemin-gen op 15 cm boven de bodem en stroomsnelheden op 75 cm boven debodem ingelezen. Het model bevat slechts twee processen, het val-len van de slibvlokken en de turbulente opwerveling van slib. Hetmodel bepaalt zelf hoe groot de massaflux ter plaatse van de bo-dem moet zijn om overeenkomst met de slibconcentratiemetingen teverkrijgen. Het is dus deze massaflux die steeds opnieuw door Hetmodel wordt bepaald. Afhankelijk van het plus of min-teken vandeze massaflux spreken we van erosie of sedimentatie. De groottevan het turbulent transport fde verticale diffusie) wordt door deschuifspanningssnelheid (u«) bepaald, welke op zijn beurt weerdoor de stroomsnelheid en de keuze van het snelheidsprofiel wordtbepaald. Hiertoe wordt een meetwaarde voor de stroomsnelheid (op75 cm boven de bodem) ingelezen en een snelheidsprofiel gekozen.De invloed van golven op de verticale diffusie wordt ver-waarloosd. Een rechtvaardiging hiervoor is in de Discussie(hoofdstuk 5) te vinden.Voor de verticale diffusie veronderstellen we een lineaire toena-me vanaf de bodem tot 0.15*H (H=waterdiepte). Hierboven is hijconstant (zie sectie 3.3). Zoals bekend is uit de theorie (ziebijlage D) kan de verticale diffusiecoefficient belangrijk afne-men onder invloed van een verticale concentratiegradiënt. Degrootte van deze afname wordt bepaald door in het model het con-cept van een Richardsongetal te introduceren. De grootte van hetRichardsongetal wordt bepaald door de verticale snelheidsgradiëntin combinatie met de verticale concentratiegradiënt. Dit Richard-songetal wordt telkens berekend als functie van de hoogte.De valsnelheid kiezen we constant als functie van de tijd. Het ismogelijk enige variatie als functie van de hoogte te veronder-stellen. Dit argument wordt ingegeven door het feit dat dit inwerkelijkheid ook het geval is. Onderin de waterkolom zal zichrelatief meer zwaarder materiaal bevinden dan bovenin de waterko-lom. Dit effect kan alleen goed worden gesimuleerd door met eenverdeling van valsnelheden (meer-fractie model) te werken. Ditvergroot de rekentijd echter aanzienlijk zodat besloten is metéén fractie te werken. Bovendien hebben meerdere fracties ook hetnadeel dat nog meer aannames moeten worden gemaakt die mogelijkniet geheel juist zijn. Een probleem zal echter blijken te zijndat een hoogteafhankelijke valsnelheid tot fysisch onrealistischeresultaten kan leiden. Zo kan in een periode met sedimentatie deconcentratie dicht bij de bodem lager zijn dan hogerop in de wa-terkolom. We kiezen daarom 'uiteindelijk voor een valsnelheid dieals functie van de hoogte en tijd constant is.

43

In sectie 4.1 wordt het model beschreven waarmee de erosie ensedimentatiesnelheden worden berekend. Tevens zal worden getesthoe gevoelig het model is voor variatie in de valsnelheid, hetsnelheidsprofiel en de mate van demping van de verticale diffu-sie. Sectie 4,2 bevat de resultaten van enkele 'runs' bij ver-schillende stroomsnelheden en golfomstandigheden. De door hetmodel berekende bodemtnassaflux wordt achteraf vergeleken met debodemschuifspanning. Zodoende kunnen enkele conclusies omtrenterosiemechanisme worden getrokken.

44

4.1 : ModelbeschrijvingIn pagina 47 en 48 is een blokschema gegeven van het gebruiktemodel.

A : InvoerIn het model zijn een aantal variabelen die steeds opnieuw in ge-voerd kunnen worden en een aantal constanten die in het programmaeen waarde krijgen.De volgende constanten zijn gegeven :K = 0.41 (Karman constante)g = 9.81 m/s2 (valversnelling)p = 1020 Kg/m3 (dichtheid van water)v — 1E-6 m2/s (kinematische viscositeit van water)ka= 2 mm (Nikuradse ruwheidslengte)ca= de slibconcentratie in g/l aan het wateroppervlak.nr= exponent die de macht van het snelheidsprofiel aangeeft.Al deze bovenstaande constanten kunnen eenvoudig gewijzigd wordenin het model.

Bij iedere run worden ingevoerd :- de waterdiepte (H)- De naam van de file die de stroomsnelheid op 75 cm boven debodem en slibconcentratie op 15 cm boven de bodem bevat.

Het beginconcentratieprofiel (op t-0) is de stationaire oplossingvan vergelijking (2.29). De \vorm van het profiel wordt bepaalddoor de grootte van de valsne|lheid en de verticale diffusiecoef-ficient. Met één concentratiewaarde aan het wateroppervlak wordthet beginprofiel vastgelegd. In. bijlage B is aangegeven hoe hetbeginconcentratieprofiel wordt berekend.

B : ModelbewerkingenBijlage A bevat een uitdraai van het model (de Pascal programma's: model.pas en schema.pas). Het model voert achtereenvolgens devolgende bewerkingen uit:1 Het programma leest de stroomsnelheid op 75 cm boven de bodemen de slibconcentratie op 15, cm boven de bodem in (5-minutenwaarden) . Van de slibconcentratiemetingen op 15 cm wordt eersthet lopende gemiddelde over 5 waarden genomen om de toevalligevariaties zoveel mogelijk te uit te middelen.2, Op grond van de stroomsnelheid op 75 cm boven de bodem wordt deverticale diffusiecoefficient berekend. Met deze verticale diffu-siecoefficient en een aanname voor de valsnelheid als functie vande hoogte wordt analytisch het beginconcentratieprofiel berekend(zie Bijlage B) . Hiervoor wordt de oplossing in een evenwichtsi-tuatie gebruikt. Het nu berekende concentratieprofiel wordt alsbeginvoorwaarde gekozen.

45

2 Het model bepaalt op iedere hoogte het Richardsongetal. Hierbijwordt het concentratieprofiel zoals berekend bij 2. gekozen. Alssnelheidsprofiel wordt een machtprofiel of een logaritmisch pro-fiel gekozen (zie bijlage C). Het Richardsongetal levert met be-hulp van een gekozen dempingsrelatie een correctie op voor deverticale diffusiecoefficient (zie bijlage D),

1 Het model gaat nu telkens opnieuw bepalen welke massaflux bijde bodem nodig is om overeenstemming te vinden tussen de bereken-de concentratie op 15 cm boven de bodem en de gemeten concentra-tie op 15 cm boven de bodem. Hiertoe wordt bij iedere iteratie-stap vijf minuten vooruit gerekend (30 tijdstappen van 10 secon-de) bij een zekere massaflux. Als de door het model berekendeconcentratie op 15 cm boven de bodem binnen 5%o overeenkomt metde gemeten concentratie wordt de gevonden massaflux weggeschre-ven.

.5 Na iedere set van iteratieslagen die een waarde voor de massaf-lux bij de bodem oplevert wordt de verticale diffusiecoefficientopnieuw gecorrigeerd met de opnieuw uitgerekende Richardsongetal-len op iedere hoogte. Dit gebeurt dus iedere vijf minuten.

j5 Tot slot wordt voor iedere vijf minuten een modelwaarde voor deslibconcentratie op 15 en 90 cm boven de bodem, de berekende mas-saflux bij de bodem (en in het geval van sedimentatie de waardevoor de sedimentatiegraad 'r') en eventueel de dempingsgraad(correctie voor de verticale diffusiecoefficient) op één of meer-dere hoogten weggeschreven.

De nu verkregen waarden voor de erosie en sedimentatiesnelhedenkunnen achteraf worden vergeleken met de grootte van de bodem-schuif spanning en de stroomsnelheid. Zodoende kan het inzicht inmet name het erosieproces worden vergroot (zie Discussie).

opmerkingAls de sedimentatiesnelheid groter is dan de maximaal mogelijkesedimentatie (r=0), dan wordt het geval van r=0 genomen. In onzemodelsimulaties zal dit tijdens sedimentatie regelmatig het gevalzijn.

46

Modelschema (model.pas)

Constanten

ks/ p, v, K, g, ca

d t , d z

Invoer

Haantal

Inlees

Filenaam(5-min.)

,j

startop1.

U 7 S [ 0 ] - > U* - > € S ( Z )

nummer=aantal/(300/dt)

- - > CO(Z)

iteratie(bepaling bodemmassaflux)

bewerking (bepaling €3 en demping)

numa [ i ] =>c13

numc[i]=E (bodemmassaflux)numd[i]==r (<>1 bij sedimentatie)nume[i]=Richardsongetal (op één

hoogte)Ttot $ i=nummer

opslaan(alle waarden voor numa[i] t/m nume[i])

einde

Geeft het aantal 5-minuten intervallenDe 3e kolom bevat cls cm en de 5e kolom u75

47

Procedure iteratie

kies een (nieuwe) waarde voorde bodemmassaflux

procedure bereken

totdat 'uit' en de nieuwe c15 minder dan 5%overschillen(m.u.v. geval dat r=0) __^______

sepaiing üoaemmassafluxin geval van sedimentatie

|cO(z)=cl(z)

einde

Procedure bereken

Gl(Z)=C0(Z)

E>0 E<0 -> r < 0 -> r=0 (maximale sedimentatie)(erosie)

r > 0 (sedimentatie)

5 minuten vooruit rekenen -> c2(z) wordt bepaald,(met volledig impliciet schema)

C1(Z)=C2(Z)

'uit'=cl[l5 cm]

Teinde

48

C : Keuze van de tijdstap (10 sec) en de roosterafstand (1 cm)De tijdstap fAt)Het model zelf heeft geen beperking wat betreft de tijdstap omdatwe gebruik maken van een impliciet differentieschema (zie sectie3.3). De keuze van de tijdstap wordt daarom bepaald door de tijd-schaal waarop externe omstandigheden veranderen. Onder externeomstandigheden verstaan we niet alleen verandering in de stroom-snelheid maar ook verandering in de slibconcentraties vanwegeerosie of sedimentatie. Alleen deze laatste factor levert eensignificante bijdrage aan de fout bij grote tijdstappen. Ditwordt geïllustreerd aan de hand van figuur 4.1 waarin de toenamevan de slibconcentratie is te zien bij een constante erosiesnel-heid van 1.10"3 kg/m2s.Het blijkt dat de afbreekfout steeds groter wordt als we de tijd-stap vergroten. Bij een tijdstap van 100 seconde is de ontstaneafbreekfout onaanvaardbaar groot. We kiezen daarom voor een tijd-stap van 10 seconde. Een nog kleinere tijdstap heeft weer hetnadeel dat de rekentijd te groot wordt terwijl het de nauwkeurig-heid nauwelijks meer verbeterd.

Slibconcentratie bij constante erosieE=1É-3 kg/m2s

t=1 s At-10 s At=1QO &t=0=1 0=1 9=1 8=1/2

030

0.000 1O 20 3O 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

' tijd (sec)

figuur 4.1 De toename van de slibconcentratie op 15 cm boven debodem bij een constante erosiosnelh&id van 1.10 kg/ms. Hatmaakt weinig uit of een tijdstap van 1 of 10 seconden wordt geko-zen. Daarentegen neemt bij een tijdstap van 100 seconden de nauw-keurigheid sterk af. De modelberekeningen zullen daarom in hetvervolg gedaan worden met een tijdstap van 10 seconden.

Voor het geval At=ioo sec. hebben we tevens de 0-factor geva-rieerd. Deze bepaalt of we met een expliciet of impliciet schemawerken (zie sectie 3.3). De fout blijkt het grootst te zijn inhet geval van Q=h wanneer we een afbreekt out van O(At2) hebben.Het voert te ver dit feit in detail te behandelen in dit rapport.We gaan hier dan ook niet verder op in. We zullen vanaf nu altijd

(volledig impliciet) gebruiken.

De grootte van de roosterafstand fAz)Het differentieschema levert een afbreekfout van O(Az2) . Er- isdus veel aan gelegen de roosterafstand, Az, zo klein mogelijk tekiezen. De vraag is alleen hoe klein?De grootste afbreekfouten ontstaan bij maximale concentratiegra-diënten. De concentratiegradiënt is maximaal als de valsnelheidmaximaal en de verticale diffusiecoefficient minimaal is. Dit ishet geval bij de bodem. Bij een te groot concentratiegradiëntontstaan "wiggles" (zie sectie 3.3) die de oplossing waardeloosmaken. Om dit probleem zoveel mogelijk te ondervangen kiezen weeen roosterafstand van slechts 1 cm.

Slibconcentratieverloopstationaire situatie

voorw.diff

centralediff

8

2.50

2.00 -

1.50 ~

1.00 -

0.50 -

0.000 20 40 60 80 100 120

tijd (sec)140 160 180 200

Figuur 4.2 Het slibconcentratieverloop op 15 cm uitgaande vaneen stationaire situatie op t=0. Omdat ar geen erosie noch sedi-mentatie plaatvindt behoort de slibconcentratie op een constantniveau te blijven. Toch blijkt dat vanwege grote afbreekfouten inde bodemrandvoorwaarde bij een voorwaartse plaatsdifferentie deconcentratie sterk toeneemt. Bij een centrale plaatsdifferentie(zie formule 3,57) is dit niet het geval.

Op grond van het bovenstaande is het duidelijk dat de bodemrand-voorwaarde zo goed mogelijk (met een minimale afbreekfout) in hetmodel moet worden geïmplementeerd. Om de afbreekfout van de bo-demrandvoorwaarde van dezelfde orde te laten zijn als van hetschema kiezen we voor een centrale plaatsdifferentie (zie formule3.57). Dit is beter dan een 'voorwaartse differentiatie' zoals infiguur 4.2 wordt geïllustreerd.

Bij een voorwaartse differentiatie hebben we een fout van O(Az).Dit geeft enorme fouten zoals in figuur 4.2 is te zien. We kiezendaarom voor een centrale differentie met een afbreekfout ~vano(Aza) . In dat geval zien we dat als we roet een stationaire op-lossing beginnen de concentratie op hetzelfde niveau blijft zoalshet behoort te zijn.In het geval van sedimentatie neemt de concentratiegradiënt bijde bodem na enige tijd sterk af zodat we niet zozeer met dergelijke problemen te maken hebben.

51

D : Gevoeligheid voor variatie van de valsnelheid en het snel-heidsprofiel.

De valsnelheidOm berekening van het beginconcentratieprofiel niet onnodig ge-compliceerd te maken kiezen we voor een constante valsnelheidboven 0.15*H. Hieronder kunnen we hem laten variëren. We zullenhiertoe vier mogelijkheden bekijken die enigszins realistischzijn (zie hoofdstuk 5: Discussie).Als eerste mogelijk nemen we een valsnelheid die vanaf de bodemlineair afneemt van 5.icf4 tot 1.10"4 op O.15*H. Als tweede moge-lijkheid veronderstellen we dat de valsnelheid lineair afneemtvan l.ltf3 bij de bodem tot 1,10"* op 0.15*H. In het 3e en 4e ge-val nemen we voor de valsnelheid boven O.15*H niet l.io4 maar1.10*5 m/s.Figuur 4.3 laat zien wat het resultaat is in de vier gevallen :

Erosiesnelheden bij verschillende w3log.profiel Demping : 1/(H-5-*Ri)

• • + • • WO1E-3w1o1E-6

2 n

U.JU

0.20

0.10

-

mr

/ ^ * ; ; '^ . • • • • * •

1 1

3 10

tijd - > (x 5 minuten)

Figuur 4.3 Hst verloop van de slibconcentratie op 15 cm bovende bodem uitgaande van een logaritmisch snelheidsprofiel met dem-ping van de verticale diffusiecoëfficiënt. De valsnelheid bij debodem (wO) blijkt invloed te hebben op de door het model bereken-de erosiesnelhaden. Daarentegen heeft de gekozen valsnelheid ho-ger in de waterkolom (wl) nauwelijks invloed op de berekende ero-siesnelheid.

52

We zien dat het nauwelijks uitmaakt of we boven de 0.15*H alsvalsnelheid l.io"* of l.io"5 m/s nemen. Het maakt echter wel uitwat voor valsnelheid we bij de bodem kiezen. In het geval van eengrotere valsnelheid bij de bodem zullen de berekende erosiesnei-heden iets kleiner zijn. Het materiaal komt iets minder snel om-hoog dus bij een kleinere erosiesnelheid hebben we al dezelfdeslibconcentratie op 15 cm boven de bodem. In het bovenstaandegeval blijkt dat een factor twee verschil in de valsnelheid bijde bodem een verandering van 10% a 20% in de erosiesneihedengeeft. De keuze van de valsnelheidsverdeling luistert dus niet alte kritisch. ~~

Een nadeel van een hoogteafhankelijke valsnelheid is dat het metname tijdens sedimentatieperioden een fysisch onrealistische op-lossing kan geven. Zo zal bij sedimentatie de slibconcentratieonderin de waterkolom na enige tijd lager zijn dan hoger in dewaterkolom. Dit is in principe geen stabiele situatie. Daarombekijken we tevens een aantal gevallen waarbij de valsnelheidconstant is als functie van de hoogte.Figuur 4.4 en 4.5 geven de erosiesnelheid bij drie verschillendevalsnelheden. We zien dat de keuze van de valsnelheid een signi-ficante invloed heeft op de berekende erosiesneiheden.

Erosiesneiheden bij verschillende w(log.profiel Demping : 1/(1+5-*Ri)

W-1E-4 — & — —e— w-ee-4

o.ao

0.60 -

0.40 -

0.20 -

0.003 10

tijd - > (x 5 minuten)

Figuur 4,4 Het slibconcentratieverloop op 15 cm boven de bodembij drie verschillende valsnelheden (voor de gehele waterkolomconstant) . De keuze van de valsnelheid heeft een aanzienlijkeinvloed op de door het model berekende erosiesneiheden.

Erosiesnelheden bij verschillende wslog.profiel Demping : 1/(1+5-*Ri)

- -A- - w=>3E-4 —e--

O.3O

SI

0.20 -

0,10 -

0.002 4 6

tijd - > (x 5 minuten)

8 10

.Figuur 4.5 a l s Jfiguur 4 .4 . Alleen zi jn de arasiasnelheden indit geval veel groter.

In het model kiezen we voor een constante valsnelheid, namelijkw=l.icf* en w=5.10"\ In de Discussie (Hoofdstuk 5) wordt dezekeuze nader beargumenteerd.

Het snelheidsprofielDe vorm van het profiel wordt gevarieerd door voor de exponent inhet machtprofiel (zie bijlage C) de waarde 1/7 of 1/10 te nemen.Deze profielen kunnen we vergelijken met een logaritmisch snel-heidsprofiel. Bijlage C geeft voor beide gevallen aan hoe grootde snelheidsgradiënt is in vergelijking met een logaritmischsnelheidsprofiel welke volgens de theorie de beste benadering isin de onderste paar meter van de waterkolom. Hieruit blijkt datin het geval van 1/7 de snelheidsgradiënt de beste overeenkomstmet een logaritmisch profiel heeft op 10 cm terwijl in het gevalvan 1/10 de overeenkomst het beste is op 1 meter boven de bodem.In figuur 4.6 is te zien welke invloed variatie van het snel-heidsprofiel op de berekende erosiesnelheden heeft.

54

Erosiesnelh. bij verschil snelheidsprof.wO=5E-4, w1 = 1E-4 Demping : 1/<1+5-*R|)

n-7rtMCfttprofM

r»"1OmachtprafM

— 9— Ie»

0.80

0.60 -

0.40 -

0.20 -

0.004 6

tijd - > (x 5 minuten)

a 10

Figuur 4.6 De invloed van het gekozen snelheidsprofiel op deberekende erosiesnalhedan. Het maakt vrijwel geen verschil of weeen machtprofiel met n=*10 of een logaritmisch snelheidsprofielkiezen. Een machtprofiel met n=7 geeft echter duidelijke grotererosiesnelheden.

Figuur 4.6 laat goed zien dat bij een exponent gelijk aan 1/7 deberekende erosiesnelheden groter zijn dan in het geval van l/ioof een log.profiel. We spreken dan over een verschil van 10% a15%. Er is dus duidelijk van een verschil sprake maar het is nietonaanvaardbaar groot. De grotere berekende erosiesnelheden in hetgeval van een exponent gelijk aan 1/7 verklaren we als volgt :Het snelheidsprofiel loop minder stijl (in het geval van 1/7) watimpliceert dat de gemiddelde snelheid in het model groter wordtverondersteld. Dit heeft een grotere schuifspanningssnelheid endaarmee een grotere verticale diffusie tot gevolg. Er is 2odoendemeer erosie nodig om op 15 cm boven de bodem dezelfde concentra-tie te verkrijgen. Het materiaal wordt immers sneller naar bovengetransporteerd door de verticale diffusie.We kunnen ook op een andere manier tegen het resultaat aankijken.Een snelheidsprofiel dat minder stijl loop duidt op een groterebodemruwheid. De bodemruwheid bepaalt immers voor een groot deelhet snelheidsprofiel bij de bodem. Een ruwere bodem betekent meerturbulentie wat de verticale diffusie doet toenemen.Een logaritmisch profiel en een machtprofiel met een exponentgelijk aan 1/10 resulteren in dezelfde erosiesnelheden. Dit komtomdat de resulterende gemiddelde snelheid in de waterkolom inbeide gevallen ook praktisch gelijk is. Het is de gemiddeldesnelheid die in ons model de schuifspanningssnelheid, u. bepaalt.

55

E Demping van verticale diffusiecoefficientIn tiet model wordt ten gevolge van een verticale gelaagdheid deverticale diffusiecoefficient gedempt. Voor de grootte van dezedemping zijn vele betrekkingen bekend (zie Discussie). De meestgebruikte betrekking is de zgn. "Munk-Anderson" relatie (formuleD.2). Deze relatie geeft een verband tussen het Richardsongetalen de grootte van de demping. In figuur 4.7 is het verband gege-ven tussen de mate van demping en de grootte van het Richardson-getal in twee gevallen, één met de "Munk-Anderson" relatie en éénmet een andere veel gebruikte dempingsformule die volgt uit deMonin-Obukhov relatie [15]. ~~

De demping van de verticale diffusiebij een toenemend Richardsongetal

IÜ

"3

!

I

1.1O

1.00

0.90

0 5 0

0.70

0.60

O6O

0.40

0.30

0.20

a i o

r\

A e.(z) = e.

i L 1— • — • — — —

i . i , — J — i —

0.00 0.40 OBO 1.20

Rlchardsongetai

1.60 zoo

Figuur 4.7 De Damping van de verticale diffusie ais functie vanhet Richardsongetal. Met name bij een lage waarde voor het Ri-chardsongetal maakt het weinig verschil of we de dempingsformulevan "Munk-Anderson" nemen of de dempingsformule dia volgt uit de•<Monin~Obuhkov" relaties.

Het is uiteraard van groot belang om te weten hoe groot de in-vloed van deze demping is op de door het model berekende erosieen sedimentatiesnelheden. Hiertoe wordt voor twee gevallen beke-ken welke verschillen in erosiesnelheden op kunnen treden bijvariatie van de mate van demping.

56

i

Erosiesnelheden bij verschil in dempingn=8 (machtprofiei) wO=5E—4 w1~1E—4

0.80

0,60 -

0.00*

- "A- • Qmun —e--

4 6

tijd - > (x 5 minuten)

8 10

figuur 4.B De erosiesnelheden oij verschillende dempingsrela-ties, weergegeven in figuur 4.7, Het wel of niet toelaten vandemping van de verticale diffusie heeft enige invloed op de ero-siesnelheden. Daarentegen maakt het weinig uit welke dempingrela-tie wordt gebruikt.

Erosiesnelheden bij verschil in dempingn=8 (machtprofiel) wO=5E-4 w1 = 1E-4

tvkito-And. Gtmn —e--

0.008 10

tijd - > <x 5 minuten)

Figuur 4.9 als figuur 4.8. De erosiesnelheden zijn in dit gevalalleen veel groter. Daardoor zijn de verticale concentratiagra-diënten en daarmee de invloed van demping op de berekende erosie-snelheden veel groter.

In het eerste geval veronderstellen we dat er in zijn geheel geendemping plaats vindt. Het Richardsongetal is wordt gelijk aan nulgekozen. In het tweede geval veronderstellen we een demping gege-ven door de "Munk-Anderson" relatie. In het derde geval de dem-ping die volgt uit de Monin-Obukhov relatie [15]. In figuur 4.8en 4.9 is aangegeven hoe groot de erosiesnelheden zijn voor dedrie gevallen.Het blijkt dat het van groot belang is welke mate van demping inhet model wordt gebruikt. Dit verschil is het grootst bij grotereerosiesnelheden waarbij gelaagdheid een rol kan gaan spelen omdathet niet snel genoeg naar boven kan worden afgevoerd. Na enigetijd kan het een factor twee in de erosiesnelheid schelen of wewel of geen demping toelaten. Men kan zich afvragen of en welkedempingsrelatie nu de beste is.Het antwoord op deze vraag kan mede worden bepaald door het bere-kende concentratieverloop op 90 cm boven de bodem te vergelijkenmet de gemeten concentratie op 90 cm (zie sectie 4.2). Hieruitblijkt dat enige demping wel wenselijk is omdat anders de bere-kende concentratie op 90 cm boven de bodem zeker te hoog uitvalt.Dit is met enige demping in mindere mate het geval.Een nog grotere demping is niet aan te bevelen omdat het niet opeen in de literatuur gevonden betrekking is gebaseerd . Dit ismet de twee gebruikte relaties wel het geval.

58

4.2 ModelresutatenHet model wordt gebruikt om van enkele perioden de erosiesnelhe-den te berekenen. Hiertoe worden metingen van de slibconcentratieen de stroomsnelheid van het meetpunt "Siltcon" ingelezen. Hetmeetpunt "Siltcon" ligt twee kilometer uit de kust tussen Scheve-ningen en Hoek van Holland (zie figuur 4.10).

U TM coördinaten /.no2 Loosduinen E:581572.89 N: 5770208.0,6mo11Loosduinen E: 578678.00 N: 5773T13.35ma Platvarm E:57268QOO N; 5766765.34mo2 HoekvHolland E: 572350.44 N: 576u6a48

E:

- f k /

Figuur 4.20 De lokatie "Siltcon" waar de metingen zijn verrichtdie in ons model worden gebruikt. De meetlokatie ''Siltcon" ligttwee kilometer uit de kust en heeft een afstand van 4 a 5 km vande stortlokatie Loswal Noord, aangegeven door een 'S'.

De belangrijkste aannarae die we maken bij het berekenen van deerosiesnelheden is dat we een homogeen slibveld veronderstellen.Met deze aanname kunnen we de meeste verschijnselen bij dit meet-punt verklaren [23] (zie verder: Discussie). We kiezen nu eenaantal perioden van enkele uren om na te gaan hoe groot de ero-siesnelheden zijn geweest. Hiertoe nemen we enkele perioden metgrote erosiesnelheden en enkele perioden met hogere en enkeleperioden met lagere golven.

59

Behalve de aanname van een homogeen slibveld nemen we verder aandat de begintoestand een stationaire toestand is. In werkelijk-heid is dit niet geheel het geval. We gaan daarom ook na hoe ge-voelig het model is voor het opleggen van de begintoestand. Hier-toe zullen we voor enkele gevallen dezelfde meetserie op ver-schillende tijdstippen laten begin en de resultaten vergelijken.In alle berekeningen gaan we uit van een logaritmisch snelheids-profiel en een constante valsnelheid (ws = 1.10"* m/s ofwa= 5.10* m/s). We gebruiken verder de dempingsformule die volgtuit de "Monin-Obukhov" lengte (zie bijlage D).

Om de concentratie niet te sterk te laten wisselen nemen we voorde concentratie op 15 cm een lopend gemiddelde over drie of vijf5-minuten waarden.Het is steeds mogelijk om de door het model berekende concentra-tie op 90 cm boven de bodem te vergelijken met de gemeten concen-tratie. Hiertoe worden deze op t=0 aan elkaar gelijk gesteld.

Bodemmassaflux en bodemschuifspanninglog.profie! (h=1, X=25)

r,. Flux Fluxw=1E-4 w=5E-4

D0n.

0.50

0.40 -

0.30 -

0.20

0.10 -

0.00 -0.201000 1 100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

tijd (uren)

Figuur 4.11 a: De door het model berekende bodemmassaflux verge-leken met de bodemschuit'spanning. De bodemschuifspanning wordtberekend door een geschatte golfbijdrage (in dit geval h=l m en\s=25 m) te superponeren op een stromingsbijdrage die berekendwordt uit de gemeten stroomsnelheid op 75 cm boven de bodem.De grootste piek in de arosiesnelheid is te zien bij het aantrek-ken van de vloedstroom welke is aangegeven.

60

oiiüconcenirauesH=10

15 cm 90 om —• — — 90 cm * 9O cmmotjno mstlno rnocW nnocW

wME-4

70O

V ^ ' - ^ • • * • " • - * • , ; ^ A — - v u .

. . . _ . ! . . . . l _ I I . I „ L I i

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800tijd (uren)

Figuur 4.11 b: De door het model berekende slibconcentraties op90 cm boven de bodem vergeleken met de gemeten slibconcentratie.De beste overeenkomst tussen meting en model vinden we nog bijeen valsnelheid van S.io"1 m/s. De slibconcentratie op 15 cm bo-ven de bodem betreft het lopend gemiddelde over 5 waarnemingen.

Figuur 4.11a en 4.11b geven het verloop van de bodemschuifspan-ning, de bodemmassaflux en de slibconcentraties weer. Het betrefteen periode met een vrij krachtige westenwind. De significantegolfhoogte wordt in de beschouwde periode geschat op 1 meter ende golflengte op 25 meter. De maximale vloedstroomsnelheid (± 45cm/s op 75 cm boven de bodem) is iets groter dan de maximale eb-stroomsnelheid (35 cm/s). Figuur 4.11a laat twee duidelijke pie-ken in de erosiesnelheid zien. De eerste bevindt zich aan heteinde van de ebstroom. De tweede en grootste piek treedt op zodrade vloedstroom inzet.De tijdstippen van maximale erosiesnelheid vallen ongeveer samenmet de tijdstippen met de maximale slibconcentratie. Vervolgenszien we dat zowel de concentratiepiek van de door het model bere-kende als de piek van de gemeten slibconcentratie op 90 cm ietslater (±10 minuten) komt dan de piek op 15 cm. Verder valt op dathet model een significant grotere waarde voor de slibconcentratieop 90 cm geeft dan de metingen terwijl ze op t=0 op dezelfdewaarde beginnen (om een vergelijking te kunnen maken). Het ver-schil is het grootst als w=1.10~* m/s wordt gekozen. Opvallend isdat een factor 5 verschil in de valsnelheid maar een geringe in-vloed heeft op de berekende erosiesnelheden. Bij sedimentatiedaarentegen is het verschil aanzienlijk groter.

6 1

Een beperking van het model is dat met slechts één fractie wordtgerekend en de interactie tussen de verschillende fracties (floc-culatie) niet wordt meegenomen. In de discussie wordt dit beargu-menteerd. Een gevolg hiervan is dat het regelmatig voorkomt datde maximale sedimentatiesnelheid moet worden overschreden om dejuiste bodemmassaflux uit de gemeten slibconcentratie op 15 cm teberekenen. Als de bodemmassaflux groter zou zijn dan de maximaaltoegestane sedimentatiesnelheid neemt het model een sedimenta-tieflux gelijk aan w.c0. Dit is er de oorzaak van dat de bodem-massaflux vaak langdurig op een constant niveau blijft of eenzeer glad verloop heeft. ~~

Over het algemeen wordt verondersteld dat erosie op kan tredenals de bodemschuifspanning boven de kritische erosieschuifspan-ning (rj komt en sedimentatie optreedt bij bodemschuifspanningenkleiner dan de kritische sediraentatieschuifspanning (rd) [2].Uit figuur 4.11a blijkt dat de bovenstaande veronderstelling maarin beperkte mate door onze metingen wordt bevestigd. Van de twee-de erosieperiode (14.00 - 15.00 uur) kunnen we alleen zeggen datdie samenvalt met het moment dat de bodemschuifspanning toeneemt.Een half uur na het inzetten van de erosieperiode nemen de ero-siesnelheden al weer sterk af terwijl de bodemschuifspanning nogverder toeneemt. Het ligt voor de hand dat de oorzaak hiervoorhet beperkte slibaanbod is. Al na een half uur gaat het materiaal, dat kan worden opgewerveld, opraken zodat de erosie ook stopt.De eerste erosiepiek (11.00 - 12.00 uur) laat zich niet zo een-voudig verklaren. Waarschijnlijk betreft het materiaal dat op enzekere afstand van de sensor is opgewerveld (mogelijk tijdensmaximale ebstroom) en pas uren later over de sensorpaal wordt ge-voerd.Een ander opvallend verschijnsel is de sterke sedimentatie directna de erosieperiode (bijv. 15.00 uur). Dit is volledig in strijdmet de gangbare stelling [2] dat sedimentatie pas bij lage bodem-schuif spanningen optreedt. Het is goed mogelijk dat de sedimenta-tie die het model geeft in zijn geheel niet is opgetreden. Hier-voor kunnen we de volgende reden geven:

Het verloop van de door het model berekende bodemmassaflux wordtgrotendeels bepaald door de gemeten slibconcentratie op 15 cm bo-ven de bodem. Het is de sterke afname van de gemeten concentratiedie maakt dat het model een sedimentatieflux veronderstelt. Degemeten concentratie is echter sterk afhankelijk van de korrel-grootte van het slib. De gevoeligheid van de troebelheidssensoris in eerste benadering omgekeerd evenredig met de korrelgrootte.Het is goed mogelijk dat tijdens de erosieperiode flocculatieoptreedt wat de gemiddelde' korrelgrootte belangrijk doet toene-men. De slibsensor neemt tengevolge hiervan een veel grotere con-centratieafname waar dan de werkelijke concentratieafname.

62

CM

E

%4 -

'3

"Oo.Q

Boaemmassanux en ooaemscnuirspanning!og.profiel (h=1, A=25)

Flux Fluxw=1E-4 w=5E-4

T S

0.50

0.40 -

0.30 -

0.20 - _

0.10 -

0.001335 1435 1535 1635

tijd (uren)1735

0.50

-0.201835

Slibconcentraties (4/10/90)

15 cmH=10

9O em 90 cm 90 cm

W-1E-4

700

1335 1435 1535 1635

tijd (uren)1735 1835

Figuur 4,12 Als figuur 4.lla/b, De meetperiode is in dit gevalaen deelpsriode van figuur 4.11. We beginnen dus alleen op eenlater tijdstip. De erosiesnelheden blijken ongeveer even groot tezijn als in figuur 4.11.

Bodemmassaflux en bodemschuifspanninglog.profiel (h=1.5, X=35)

Tb Flux — Fluxw=1E—4 w=5E-4

0.80

0.202200 2300 0 100 200 300 400 500 600

tijd (uren)

Slibconcentraties (4-5/10/90)H=10

18 cm 90 om 90 cm 90 cm

700

600

500

I 4002

300

g 200

100

O

—

/_ /

. . . . i

"X

*™ •>»

. , . i . -. i .

/ \

/ ' M/ l \

/ / / WV-./ •••' ' • • ^ s _

••' / l

• • • • ' ' / • - ' N

_ ' - \

[ 1

•. ^ _

^ — • — . —

^ — ^

" s S ^ v " . . .I i

2200 2300 0 100 200 300 400 500 600tijd (uren)

Figuur 4.13 sis figuur 4.11. We beschouwen nu een meetperiodedie een halve dag later Komt. De golven zijn m dit geval hogeren langer dan in fiquur 4.11.

Zoals al is aangekondigd hebben we ook nagegaan hoe groot de in-vloed is van de keuze van het begintijdstip. In Figuur 4.12 zijnvoor de 2e deelperiode van figuur 4.11 dezelfde berekeningen ge-daan. Zoals we zien speelt de keuze van het begintijdstip nauwe-lijks een rol. De berekende bodemmassaflux is in figuur 4.11 en4.12 praktisch gelijk. Een voorwaarde is natuurlijk wel dat hetbegintijdstip wordt gekozen op het moment dat de gemeten slibcon-centratie op 15 cm al enige tijd (± een uur) vrij constant is.

Figuur 4.13 geeft de resultaten voor een periode die een halvedag later komt (5/10/90) . De windsnelheid en met name de g&lf-hoogte zijn ondertussen nog verder toegenomen. De maximale eb- envloedstroomsnelheden zijn ongeveer hetzelfde gebleven. Ook ditkeer zien we dat de voornaamste piek in de erosiesnelheid samen-valt met het moment dat de vloedstroom inzet en begint toe tenemen. De erosiesnelheid heeft dezelfde orde van grootte. Hetverschil met figuur 4.11 is echter dat de erosiesnelheid in ditgeval sneller toeneemt zodra de vloedstroom begint aan te trek-ken. Deze bewering wordt geïllustreerd aan de hand van figuur4.14 en 4.15 die het verband geven tussen de bodemschuifspanningen de erosiesnelheid.

Bepaling van de erosieconstante (M)(4/10/90)

+ w=1E-4 A w =5E-4

I2 m'o i

(D ~

0.30

0.24

0.18

0.12

0.06 -

0.00

E = O.0O46B#r - O.OOO66

E = 0.00352*r - 0.00049

0.10 0.14 0.18 0.22 0.26 0.30

bodemschuifspanning (N/m2)

Figuur 4,14 De erosiesnelheid als functie van de bodemschuit-spanning omstreeks 14.00 uur in figuur 4.11, Alleen gedurende heteerste kwartier van de erosieperiode wordt een lineair verbandgevonden, op grond van dit lineaire verband kan m.b.v. formule(4.1) de erosieconstante M worden bepaald. Deze blijkt in enigemate van de gekozen valsnelheid af te hangen.

Bepaling van de erosieconstante (M)(5/10/90)

+ w=1E-4 A w

i2

!

0.30

0.24

0.18

0.12

0,06

0.000.50

0.00664*r - 0.0036

+A

E = 0,00672*r - 0.0O316

0.54 0.58 0.62 0.66 0.70

bodemschuifspanning (N/m2)

Figguc 4.15 als figuur 4,14. We beschouwen nu de erosieperiodeomstreeks 2.30 uur in figuur 4.13, De erosieconstante M is indit geval veel groter. Dit houdt mogelijk verband met de hogeregolven in dit geval.

Figuur 4.14 beschouwt het begin van de erosieperiode op 4/10/90(rond 14.00 uur) en figuur 4.15 betreft de erosieperiode op5/10/90 (rond 2.00 uur). Uit de meetpunten is het mogelijk eenwaarde voor de erosieconstante M af te leiden. Bij de bepalingvan M worden alleen de eerste vier meetpunten beschouwd. Dezeliggen ongeveer op een rechte l i jn . De overige meetpunten wijkensterk van deze rechte l i jn af. Hier gaan we in dicussie nader opin. Een lineaire aanpassing door de 4 punten levert een waarde opvoor M en re. Hierbij gebruiken we de volgende betrekking :

E = Af( — - 1 ) ( 4 . 1 )

66

In tabel 4.1 zijn de resultaten gegeven :

tabel 4.1

fig.nr. | M | TB \ h \ X | R ^

W*lE-4 j 6.6E-4 | 0.14 j 1 | 25 | 0.998

W=5E-4 j 4.9E-4 | 0.14 | 1 | 25 j 0.996

W«lE-4 | 3.6E-3 | 0,55 j 1.5 | 35 | 0.995

W=5E-4 ! 3.2E-3 I 0.55 I 1,5 I 35 I 0.987

De invloed van de valsnelheid op de kritische erosieschuifspan-ning (re) is nihil zoals viel te verwachten. De grootte van devalsnelheid heeft wel enige invloed op M. Verder blijkt uit tabel4,1 dat in de situatie met de hoogste golven (figuur 4.15) M ookhet grootst is. De erosieconstante M zegt iets over het gemakwaarmee slib van de bodem los kan komen. Deze wordt ondermeerbepaald door de mate van consolidatie in combinatie met allerleichemische e.o. biologische factoren. Het verschil van een factor6 in de erosieconstante (M) zal in ons geval mogelijk te makenhebben met de mate van consolidatie. In de situatie met de hoog-ste golven houdt de bodemverweking (een gevolg van de golven) deconsolidatie tegen zodat het slib gemakkelijker los kan komen.Dit heeft dan een grotere waarde voor M tot gevolg.Met nadruk merken we op dat het verschil tussen beide periodenniet is gelegen in de grootte van de erosiesnelheid (E) maar inde grootte van erosieconstante (M).

De kritische erosieschuifspanning is voor beide gevallen totaalverschillend. Dit betekent dat we aan deze grootheid niet teveelwaarde moeten hechten. Het lijkt beter als men concludeert datiedere significante toename in de bodemschuifspanning erosie te-weeg kan brengen mits er maar voldoende materiaal voorhande isdat gezien de absolute grootte van de bodemschuifspanning kanworden losgemaakt.

Net als bij de vorige periode hebben we dit keer wederom het be-gintijdstip veranderd (zie figuur 4.16). De grootte van de bodem-massaflux is wanneer we figuur 4.16a met 4.13a vergelijken prak-tisch hetzelfde.

67

slïbconcentratie (mg/1)bodemschu i f spanning (N/m2)

Hi "•]

c c

•Ck -h

U Ol

tn

c

;Orfr

Crm

sH

a.

dl

Oo.

OOo

oo

8o

oo

o

f0o

01o

t01o

OlOlo

enOl

o

Üloo

0)oo

Joo

i 'i

li \

\\

- I

1)

t\I11

- f :1 :1 :\ :f {

IIilV

'f.i

',

i /

—TT i 1

\

V' • • - - . \

• - \

"ï " . \':• J

/f/flI

[/1il

il\\1l.1

—i 1

\

\)

9 U}

! 8i 3

O18 CD

I O (D00

Ül

ouSO

1

öCQ"b

TH

o'

_L X IIm - » •i

>

ö0D(D33tnccÜJ

fX

ccc

D

m

ai

(C

bodemmassaflux (kg/m2s)

üoaemmassanux en ooaemscnuirspanninglog.profiei (h=2. X=35)

_ T^ p|ux „_ pr|uxW-1E-4 w=5E—4

1.10

1.05

1.00 -

0.80

^ 'ii

VV

i

\ J

\

-

l.

-

•

1 J • J

730 930 930 1030 1130 1230 1330 1430 1S30 1630 1730

tijd (uren)

Slibconcentraties (28/10/90)H=10

-0.20

18 cm 9O cm 9 0 cmmeting meting rnodftt

9O cmniocwl

W-6Ë-4

~ "

•ati

e

o§Ü•9

m

JOU

300

2 5 0

2 0 0

150

100

50

n

-

-

- / /

=-—/* s \ \

/

,.,!__ l_ ,

/

y

\ /A

1 1

\ -x

\

\\

i

730 830 930 1030 1130 1230 1330 1430 1530 1630 1730tijd (uren)

Figuur 4.17 als figuur 4.11. We beschouwen een periode met hogegolven en lage stroomsnelheden. De demping van de verticale dif~fusie is na enige tijd zo sterk (in het geval van w=5.io-' m/s)dat het mat meer mogelijk is de bodemmassaflux te berekenen.

In figuur 4.17 is een geheel andere situatie weergegeven. Het be-treft nu een periode (28/10/90) met vrij hoge golven en lagestroomsnelheden. De stroomsnelheid ligt met uitzondering van hetmoment rond 9.3 0 uur lager dan 3 0 cm/s. Een verandering in destroomsnelheid heeft daarom weinig invloed op de bodemschuifspan-ning. Zeer opvallend is dit keer dat terwijl de slibsensor op 15cm behoorlijk uitslaat de sensor op 90 cm geen enkel patroongeeft (zie figuur 4,17b). Daarentegen neemt bij de modelbereke-ningen de concentratie op 90 cm net zo snel toe als die op 15 cm.Hierbij is de keuze van de valsnelheid wel van groot belang. Bijeen valsnelheid w=5.lO~'* loopt het model na enige tijd vast.— Dedemping van de verticale diffusie wordt zo sterk dat het nietmeer mogelijk is een bodemmassaflux te berekenen. Het materiaalkan gewoon niet meer omhoog komen. De heel sterke demping in ditgeval hangt samen met de lage stroomsnelheden. Hierbij komt nogeen ander numeriek effect. De combinatie van een grote valsnel-heid en een zeer kleine verticale diffusiecoefficient (na dem-pingscorrectie) geven enorme verticale concentratiegradiënten diedoor het model niet meer goed kunnen worden opgelost. De numerie-ke afbreekfouten worden dermate groot zodat de berekening van deconcentratie volledig verkeerd gaat. Hiervoor kan worden gecorri-geerd. We gaan hier in dit rapport niet verder op in.

Bodemmassaflux en bodemschui f spann inglog.profiei (h=1, X=35)

w=1E-4 w=5E-4

O.80 0.80

0.20

^ -0.20

0.401600 1700 1800 1900 2000 2100

tijd (uren)

70

Slibconcentraties (8/10/90)H=10

15 ommeting

- 90 cmmeting

90 ommodel

w=1E-4

9O ommodel

w=5E-4

1200

1000

• • • • . . ..•/•<•••'*•••'*

s ^ ' - ' \ '•

-, • •

1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200tijd (uren)

Figuur 4,18 als figuur 4.11. Het bQtreft een periode met vrijhoge en lange golven.

Figuur 4,18 geeft een beeld van de slibconcentraties in een peri-ode met hoge golven en een harde noordwestenwind (8/10/90). Wezien een drietal pieken in de slibconcentratie op 17.30, 18.30 en19.30 uur. De eerste piek, de grootste valt samen met het inzet-ten van de vloedstroom. We hebben voor deze periode de stijgendetak van de eerste erosiepiek nader bekeken (zie figuur 4.19).Figuur 4.19 geeft de eerste drie kwartier van de eerste erosiepe-riode. In het eerste kwartier nemen de erosiesnelheden sterk toeals functie van de bodemschuifspanning. Gedurende het 2e kwartiervolgt een veel langzamere toename die in het 3e kwartier gevolgdwordt door een snelle afname. Een dergelijk patroon suggereert,als de aanname van een homogeen slibveld juist is, dat er vantwee verschillende lagen slib sprake is met ieder een eigen ero-sieconstante M.

71

In figuur 4.19 is een lineaire aanpassing gemaakt door respectie-velijk de eerste 4 en het 4e t/m het 7e meetpunt. De2e lineaireaanpassingen zijn met een cijfer aangegeven. Tabel 4.2 geeft deresultaten.

Bepaling van de erosieconstanre (M)(8/10/90)

•f VY=1E-<I- A w=5E—4

ui

o

0.80

0.64 -

0.48 -

0.32

0.16 -

0.000.30 0.38 0.46 0.54 0,62 0.70

bodemschuifspanning (N/m2)

Figuur 4.19 De erosiesnelheid als functie van de bodemschuif-spanning. Het betreft de eerste erosieperiode van figuur 4.18 om~streeks 17.15 uur. Op grond van de modelbmrakenigen lijkt hsterop dat er van een twee-lagen systeem sprake is waarbij er eenbovenste makkelijk erodeerbare laag (grote waarde voor M) is metdaaronder een moeilijker erodeerbare laag (kleinere waarde voor») •

Tabel 4.2 : resultaten van figuur 4.19

nr.

1

2

3

4

i

i

i

t

l

w

1E-4

5E-4

1E-4

5E-4

T

0 .

0 .

0 .

0 .

•

3 4

3 4

3 9

38

ii 3

I 2

! 3

i 2

M

.16E-3

.56E-3

.OE-4

.35E-4

ii

i

i

i

i

0

0

0

0

a l

.884

.878

,995

.995

*

* Na een correctie waarbij voor het 4e meetpunt ( de eerste vande reeks) : E=0 wordt gekozen.

72

We vinden, net zoals uit in tabel 4.1, dat de grootte van de val-snelheid, w, enige invloed heeft op de erosieconstante M. De in-vloed van w op feis te verwaarlozen. Uit de resultaten in tabel 4.2 valt verder afte leiden dat de bodem bestaat uit een bovenste makkelijk ero-deerbare laag en daaronder een moeilijker erodeerbare laag meteen erosieconstante die bijna tien keer zo klein is. Dit feit kanworden verklaard door aan te nemen dat de onderste laag waar-schijnlijk al eerder is gevormd wat resulteert in een groterewaarde voor rB en een veel kleinere waarde voor de erosiecons€an-te M.Van een dergelijke gelaagde bodem lijkt alleen in dit geval zoduidelijk sprake te zijn. Meestal (zie figuur 4.14 en 4.15) kun-nen we slechts vaststellen dat de erosiesnelheid na enige tijdveel minder snel toeneemt (zie ook :Discussie).

Bij de keuze van w=1.10"'' m/s hebben we na de eerste erosiepiekblijvend de maximale sedimentatieflux als bodemmassaflux. Bijw=5.10"A m/s zien we nog twee andere erosiepieken die ongeveersamenvallen met de momenten van maximale slibconcentratie. Zestaan echter niet in relatie tot de bodemschuifspanning. Ditlaatste is niet wat je zou verwachten. Waarschijnlijk speelt indit geval een rol dat het aanbod van slib continu veranderd. Ditkomt o.a. doordat de stroomrichting ook steeds veranderd.

Tot slot bekijken we de invloed van het lopende gemiddelde. Om debodemmassaflux niet al te snel te laten variëren middelen we dewaarden voor de slibconcentratie op 15 cm boven de bodem uit overrespectievelijk drie en vijf 5-minuten waarden. Hiertoe beschou-wen het slibconcentratieverloop op 4 november. Het is een periodemet vrij hoge en lange golven die komen uit een noord-noordweste-lijke richting.De maximale vloedstroomsnelheid op 75 cm boven de bodem is veelgroter (± 60 cm/s) dan de maximale ebstroomsnelheid (± 35 cm/s).Dit heeft tot gevolg dat de slibconcentratie en daarmee de ero-siesnelheid het grootst zijn direct na het toenemen van de vloed-stroom.

Figuur 4.20 geeft de bodemmassaflux met de bodemschuifspanning ofde stroomsnelheid op 75 cm. In figuur ,4.20a is gebruik gemaaktvan een lopend gemiddelde over 5 waarnemingen terwijl in figuur4.20b het lopend over 3 waarnemingen is gebruikt. Zoals we zienmaakt het voor de resultaten niet zoveel uit. Het scheelt hoog-stens 10 a 20%. Het lijkt daarom niet tot grote problemen te lei-den als we de slibconcentratiereeks op 15 cm iets uitmiddelen.

73

Bodemmassaflux en bodemschuifspanninglog.profiel (h=1.5, X=40)

-r„ Flux Fluxw=1E-4 w=5E—4

1.20

0.50 a -0.401130 1230 1330 1430 1530 1630 1730

tijd (uren)

4.20a De berekende bodemmassaflux vergeleken met de bo~demschuifspanning. Hierbij Is net als in alle voorafgaande bere-kenigen het lopend gemiddelde over 5 waarnemingen genomen.

Bodemmassafiux en stroomsnelheidlog.profiei (h=1.5, X=40)

atroomirmt- Ftuxhatd wBte-4

Flux

1 f

0.00 -0.401130 1230 1330 1430 1530

tijd (uren)1630

Figuur 4.20b De berekende bodemmassaflux vergeleken met destroomsnelheid op 75 cm boven de bodem. In dit geval is het lo~pend gemiddelde over 3 waarnemingen genomen. Hierdoor vallen deberekende erosiesnelheden iets hoger uit.

Het is opvallend dat de bodemmassaflux niet direct lijkt te rea-geren op een toename van de bodemschuifspanning terwijl deze welreageert op een toename van de stroomsnelheid. Dit komt doordatbij lage stroomsnelheden de bodemschuifspanning in dit geval(hoge golven) grotendeels door die van golven wordt bepaald.Op grond van figuur 4.20 kan in ieder geval de conclusie wordengetrokken dat een kleine toename in de stroomsnelheid al grotegevolgen heeft voor de erosiesnelheid. De erosieconstante is der-mate groot zodat snel grote hoeveelheden slib in suspensie kunnenkomen.

75

Hoofdstuk 5 : Discussie

In hoofdstuk 4 is getracht met een eenvoudig l-D model erosie- ensedimentatiesnelheden te berekenen. In laboratoriumexperimentenheeft men al vele jaren geleden prachtige betrekkingen gevondentussen ondermeer de erosiesnelheid en de opgelegde bodemschuif-spanning. In de natuur heeft men daarentegen slechts zelden ero-sie- en sedimentatiesnelheden bepaald. Dit komt grotendeels omdatslechts zelden tijdreeksen van gelijktijdig slibconcentratie enstroomsnelheid bij de bodem zijn gemeten. Bovendien is een vrijgrote meetfrequentie (bijv. iedere 5 minuten) noodzakelijk omdatbinnen korte tijd de erosie- en sedimentatiesnelheden sterk kun-nen veranderen.

5.1 : ModelbeschouwinaEen belangrijk probleem bij het bepalen van de erosie- en sedi-mentaitensnelheden vormt het grote aantal aannamen dat moet wor-den gemaakt. In sectie 4.1 werd het model getest op de gevoelig-heid voor een aantal parameters zoals de valsnelheid, de dempingvan de verticale diffusie en het snelheidsprofiel.De belangrijkste aanname die aan het model ten grondslag ligt isdat er een homogene verdeling van slib op de bodem wordt veron-dersteld. De slibconcentratie mag alleen als functie van de hoog-te en tijd variëren. Dit is de omgeving van het meetpunt"Siltcon" slechts ten dele het geval. Sommige dagen of weken gaatde aanname beter op dan andere dagen of weken.Het meetpunt ligt indirect onder invloed van de stortlokatie,Loswal Noord, waar regelmatig (meer dan 200 dagen per jaar) bag-ger wordt gestort. Deze stortlokatie is de belangrijkste oorzaakdat de slibverdeling nooit geheel homogeen zal zijn rond hetmeetpunt. Bovendien ligt het meetpunt betrekkelijk dicht bij dekustlijn (± 2 km) wat ook zijn invloed op de bodemtopografie endaarmee op de slibverdeling heeft (zie figuur 4.10).

Het model is zo opgezet dat zo min mogelijk aannamen hoeven teworden gemaakt. De bodemschuifspanning wordt pas achteraf uitge-rekend om de resultaten te analyseren. Allerlei betrekkingen voorerosiesnelheden [2,14] worden niet opgelegd maar kunnen achterafworden afgeleid. Het model bevat wel een voorwaarde voor sedimen-tatie die tot gevolg heeft dat de verticale concentratiegradiëntaltijd negatief is. In de natuur zal dit uiteraard niet altijdhet geval zijn.

Het door ons gekozen model is voornamelijk gericht op het zo goedmogelijk berekenen van de slibconcentraties in de onderste metervan de waterkolom. Hiertoe hebben we de volgende uitgangspuntenof maken we de volgende aannamen:

76

A : Een één fractie-modelIn het model wordt er vanuit gegaan dat al het slib één valsnel-heid heeft. Deze aanname is natuurlijk een grove benadering vande werkelijkheid. Het is beter als het model werkt met een kor-relgrootteverdeling en dus met een verdeling van valsnelheden.Toch zijn hier wel enkele nadelen aan verbonden, namelijk :a De slibsensor is geijkt op een bepaalde korrelgrootteverdeling.Deze is bekend. We weten alleen niet welke relatie er preciesbestaat tussen de korrelgrootte en de valsnelheid. Dit komt door-dat de valsnelheid niet alleen door de korreldiameter maar ookdoor de dichtheid en de vorm van de korrel worden bepaald. _Hetzijn nu juist deze laatste twee grootheden die in de natuur zomoeilijk met zekerheid zijn te bepalen.

b De verdeling van valsnelheden of korrelgrootten is tijdens onzemeting niet rechtstreeks gemeten. Wat wel bekend is, is de kor-relgrootteverdeling van een bodemmonster enkele jaren voor dezemeetcampagne (oktober 1988). Of deze verdeling van korrelgroottentwee jaar later sterk is veranderd weten we niet. Stel dat ditniet het geval is. Dan blijft toch nog altijd een probleem dat weeen korrelgrootte in een valsnelheid moeten vertalen,c Het is op dit moment niet bekend hoe de interactie tussen deverschillende fracties (flocculatie en deflocculatie) preciesverloopt. Hoewel hier al veel onderzoek naar gedaan is in geïdea-liseerde laboratoriumomstandigheden [13] zijn de bestaande rela-ties nog nauwelijks bruikbaar om in een model te implementeren.Bovendien zijn er bij modellering van flocculatie en defloccula-tie nog veel numerieke problemen op te lossen vanwege het sterkniet-lineaire karakter van deze processen.

Samengevat lijkt het nog niet zo slecht met één fractie te werkenen hiervoor een bepaalde valsnelheid aan te nemen. Omdat eenjuiste keuze voor de valsnelheid nogal onzeker is hebben we iede-re modelrun met twee valsnelheden {w=l. ïo"*1 m/s en w=5.io"'1 m/s)uitgevoerd.

B : De verticale diffusiecoefficientDe verticale diffusiecoefficient is in de onderste anderhalvemeter een lineaire functie van de afstand tot de bodera. Een der-gelijk verloop wordt in de meeste modellen aangenomen [15,16,17].Het is gebaseerd op de veronderstelling dat de grootste wervelshet verticaal transport vrijwel volledig bepalen mits je maar inde buurt van de bodem bent (zie ook pag.15).

c : De invloed van golvenDe invloed van golven op de verticale diffusiecoefficient wordtverwaarloosd. Golven zijn een effectief mechanisme om materiaalvan de bodem los te maken maar ze zijn vlak bij de bodem uiterma-te ineffectief om materiaal in de waterkolom omhoog te transpor-teren. Een waterdeeltje voert vlak bij de bodem o.i.v. golven

77

slechts een beweging uit in een horizontaal vlak. Pas in de op-pervlaktelaag worden verticale snelheden van groot belang. Deverticale concentratie is daar echter 20 klein dat de invloed ophet verticaal transport van slib gering is.De invloed van golven op de stroomsnelheid in de buurt van debodem is zeker wel relevant [20]. Bij de afwezigheid van golvenvoelt de stroming als het ware alleen de fysische bodemruwheid(ks). Onder invloed van golven wordt echter veel turbulente kine-tische energie gedissipeerd in de golfgrenslaag. Deze is maximaalenkele cm's dik. Deze energiedissipatie wordt door de stromingboven de golfgrenslaag geïnterpreteerd in de vorm van een extrabodemruwheid (een schijnbare bodemruwheid die veel groter kanzijn dan de fysische bodemruwheid). Deze extra bodemruwheid maaktdat de stroomsnelheden en daarmee de transporten direct bodem degolfgrenslaag afnemen.

D: Demping van de verticale uitwisselingDe verticale uitwisseling van massa en impuls kan aanzienlijk af-nemen onder invloed van een dichtheidsstratificatie. In hoofdstuk4.1 hebben we gezien dat het nogal uitmaakt of we wel of geendemping van de verticale diffusie in het model introduceren. Hetkan bij grote erosiesnelheden al snel een factor twee uitmaken ofer wel of geen demping wordt toegelaten.

ss

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

!)•,

04

nuo

• d1.0 1,5

>o

* - 0 . 4 _cm.o~

/

ZJO

)

f~

/

/

/

15

\

\

f *-o.i iF c_.i5.a"

yA

3.0

/

/

/

3.S

•

4.0

Figuur 5.1 Sen logaritmisch snelheidsprofiel vergeleken met hetsnelheidsprotiel als er een sterke verticale concentratiegradiëntis. op de y-as staat de relatieve hoogte aangegeven. Beide snel~heisprofielen leveren dezelfde bodemschuit'spanning.

78

In de omgeving van ons meetpunt speelt behalve een demping doorde verticale concentratiegradiënt ook demping door een zout-aoetgelaagdheid een rol. Dit zal met name in de bovenste helft van dewaterkolom een grote rol kunnen spelen. Omdat hier gedurende onzemetingen echter niets over bekend is hebben we deze factor buitenbeschouwing gelaten. De invloed van een zout-zoet gelaagdheid opde berekende bodemmassaflux is gering. De zout-zoet gelaagdheidis in ons geval in de onderste meter van de waterkolom te ver-waarlozen. De demping wordt daar waarschijnlijk vrijwel geheeldoor de verticale concentratiegradiënt bepaald.

Behalve een afname van de verticale diffusie heeft een verticaleconcentratiegradiënt ook invloed op het snelheidsprofiel [16,19].Het logaritmische snelheidsprofiel wordt gemodificeerd met eenextra factor. Deze factor maakt dat de snelheid sneller toeneemtals functie van de afstand tot de bodem (zie figuur 5.1). Ditheeft tot gevolg dat de bodemschuifspanning afneemt bij een toe-nemend verticaal concentratiegradiënt.

E : Vertragen of versnellen van de stromingEen logaritmische snelheidsprofiel vormt slechts een benaderingvan de werkelijkheid als er sprake is van een versnelling of ver-traging van de stroming. In werkelijkheid zal de stroming echteraltijd in meer of mindere mate vertragen of versnellen. Hierdoorwordt net als bij sediment-stratificatie het snelheidsprofiel ge-modificeerd met een extra term [17]. In laboratoriumexperimentenzijn hiervoor enkele betrekkingen afgeleid. Deze hebben als re-sultaat dat dit effect in ons geval meestal is te verwaarlozen.

79

5.2 ; De erosie-sedimentatie cyclusDe modelresultaten laten zien dat de erosieperioden veel korter(maximaal een uur) duren dan de sedimentatieperioden. Hier staatdan wel tegenover dat de sedimentatiesnelheden beduidend lagerzijn dan de erosiesnelheden.

ErosieprocesDe grootte van de erosiesnelheid wordt voornamelijk bepaald doorhet aanbod van slib, dat beperkt is, in combinatie met de groottevan de bodemschuifspanning of de stroomsnelheid. De grootste ero-siesnelheden worden in ons geval meestal tijdens de versnellendefase van de vloedstroom gemeten, vooral als dit moment voorafwerd gegaan door een periode met aanzienlijk lagere stroomsnelhe-den. We praten dan over erosiesnelheden van 2.10"* tot 8.10"*1

kg/m2s. Meestal liggen de erosiesnelheden echter lager en zijnniet groter dan 2.10"* kg/m2s.

Aan de waarden voor de kritische erosieschuifspanning (re) die wein sectie 4.2 geven moet niet teveel gewicht worden toegekend. r„is slechts de grootte van de bodemschuifspanning op het momentdat de erosie inzet. Deze is voor ieder geval weer geheel anders.Nu is er waarschijnlijk wel een ondergrens voor re (>o) maar dezewordt in de gevallen die wij bekeken altijd overschreden. De on-dergrens voor T8 zal afhankelijk van de mate van consolidatieliggen tussen de 0.2 en 0.6 N/m2 [23].

Erosieperioden duren praktisch nooit langer dan een uur. Ditgeeft duidelijk aan dat het aanbod van slib beperkt is en de sen-sor geen zand meet dat wel onbeperkt aanwezig is. Op grond van degemiddelde tijdsduur van een erosieperiode en de typische erosie-snelheden wordt geschat dat in een erosieperiode maar 500 a 1000gram slib per mz wordt opgewerveld. Dit komt bij een sediment-dichtheid van 2 g/cm3 neer op een laag van 0.25 tot 0.5 mm dikte.De erosie heeft dus een te verwaarlozen invloed op de bodem.In sectie 4.2 is geopperd dat de bodem soms uit twee uniformelaagjes met een verschillende waarde voor M en T 8 bestaat. In demeeste gevallen konden we echter niet zozeer twee lagen onder-scheiden. We kunnen beter zeggen dat de erosieconstante na eenperiode waarin hij ongeveer constant is (het eerste kwartier vande erosieperiode) sterk af begint te nemen. De erosiesnelheid (E)neemt nog wel toe maar de erosieconstante (M) neemt af. We kunnenhiervoor twee mogelijke verklaringen geven :

a: Binnen het sliblaagje hebben we een hoogteafhankelijke erosie-constante M. Deze neemt af met de diepte zodat het slib in hetbegin makkelijker loskomt dan na enige tijd.b: Al het slib heeft tijdens een erosieperiode dezelfde waardevoor M. Omdat de dikte van de sliblaag echter van plaats totplaats verschilt (bijvoorbeeld ten gevolge van ribbels in de bo-dem) is het materiaal op de ene plaats eerder op dan op de andereplaats. Hierdoor neemt de toename van de erosiesnelheid na enige

80

tijd sterk af.De eerste verklaring lijkt het minst waarschijnlijk gezien degeringe gemiddelde dikte van de sliblaag. De tweede verklaringheeft dan ook de voorkeur.Uit de resultaten 2ijn duidelijk aanwijzingen gekomen dat de ero-sieconstante M toeneemt als functie van de golfhoogte en de golf-lengte. Dit komt doordat bij een toenemende golfintensiteit debindingssterkte die tussen de afzonderlijke slibdeeltjes of slib-vlokken bestaat steeds kleiner wordt zodat bij een zeer geringetoename van de bodemschuifspanning direct grote hoeveelheden ma-teriaal in suspensie worden gebracht, —

SedimentatieprocesIn perioden met sedimentatie is het vaak niet mogelijk om desnelle daling van de gemeten concentratie op 15 cm te verklaren.Zoals in sectie 4.2 al is opgemerkt hangt dit vermoedelijk samenmet veranderingen in de gemiddelde korrelgrootte waardoor de ge-voeligheid van de sensor verandert. De sensor registreert hier-door een andere waarde voor de concentratie dan de werkelijkeconcentratie•De maximale sedimentatiesnelheid werd meestal direct na een ero-sieperiode gevonden terwijl de bodemschuifspanning steeg of nogenige tijd op een hoog niveau bleef. Bij dit resultaat kan gezieneerdere onderzoeken een vraagteken worden geplaatst. In sectie4.2 (pag.xx) is al opgemerkt dat de gevoeligheid van de slibsen-sor hierbij een rol kan spelen.Laten we toch een hypothese opstellen die kan verklaren waarom weeen sedimentatieperiode vinden terwijl de bodeiaschuifspanning nogtoeneemt :Op het moment dat slib loskomt van de bodem bestaat slib nogslechts uit afzonderlijke deeltjes. Na enige tijd gaan twee pro-cessen er toe leiden dat het in suspensie gebrachte materiaalflocculeert. Dit zijn de toenemende turbulentieintensiteit(t.g.v. een toenemende stroomsnelheid en daarmee een toenemendeproduktie van turbulente kinetische energie door "shear") en hetbotsen van deeltjes met verschillende valsnelheden ("differentialsettling"). Beide processen maken dat de botsingskans van eenslibdeeltje in suspensie met een ander deeltje belangrijk toe-neemt. Deze effecten worden na enige tijd echt van belang als deerosieperiode ten einde komt. De grotere vlokken hebben door hungrotere diameter een hogere valsnelheid. Hier staat weer tegen-over dat de soortelijke dichtheid afneemt als functie van devlokgrootte wat de valsnelheid doet afnemen. Uit lab.experimentenblijkt dat het eerste proces overheersend is. Verder laten dezeexperimenten zien dat de kritische sedimentatieschuifspanningbelangrijk toeneemt als functie van de valsnelheid [18], m.a.w :grotere vlokken blijven sneller op de bodem liggen als ze eenmaalde bodem raken dan kleinere vlokken.

81

De toenemende kritische bodemschuifspanning kan tot gevolg hebbendat er voor grote vlokken (die na enige tijd het merendeel van demassa in suspensie vertegenwoordigen) sedimentatie optreedt. Dezehypothese verklaart mogelijk de sediraentatieperiode direct na deerosieperiode.

82

Hoofdstuk 6 : Conclusies en aanbevelingen

Conclusies

JL : In een stationaire toestand bepalen twee processen voorname-lijk de concentratieverdeling van slib in de verticaal. Dit zijnhet vallen van slib met een valsnelheid w en het omhoog gerichteturbulente transport van sediment evenredig met de verticale dif-fusiecoefficient es.2 : Zodra erosie of sedimentatie optreedt kan het concentratie-profiel niet meer een stationaire toestand zijn. Het concentra-tieprofiel is in dit geval de oplossing van de tijdsafhankelijkeadvectie-diffusie vergelijking. Deze is analytisch opgelost voorhet geval van een constante valsnelheid en een constante vertica-le diffusiecoefficient.2 : Zodra de verticale diffusiecoefficient variabel als functievan de tijd en hoogte wordt verondersteld is een numeriek modelnoodzakelijk. Het oplossen van de tijdsafhankelijke advectie-dif-fusie vergelijking gebeurt met een "Cranck-Nicholson" schema (inons geval volledig impliciet). Voor een nauwkeurige berekeningvan de concentraties is een roosterafstand van 1 cm en een tijd-stap van maximaal 10 & 20 seconden noodzakelijk.

± i Met een 1-D model kan de bodemmassaflux (erosie en sedimenta-tiesnelheden) worden bepaald. Hiertoe worden de gemeten slibcon-centraties op 15 cm en de stroomsnelheid op 75 cm boven de bodemingelezen. De valsnelheid wordt constant in tijd en hoogte geno-men (één fractie model). De verticale diffusiecoefficient wordtbepaald door de gemeten stroomsnelheid. Verder kan de verticalediffusie worden gedempt door een verticale concentratiegradiënt.5, : De erosiesnelheid E bedraagt in ons geval roax. 8.10"* kg/m2s.Meestal is hij kleiner dan 2.10"4 kg/m2s. Erosieperioden durenmeestal korter dan een uur. Sedimentatieperioden kunnen aanzien-lijk langer duren. De sedimentatiesnelheid is sterk van de geko-zen valsnelheid afhankelijk. Hij is meestal beduidend kleiner dande erosiesnelheid.Het erosieproces wordt in ons geval het beste beschreven door éénuniforme laag slib met een bepaalde erosieconstante M te veron-derstellen. Vanwege de ruimtelijke variatie in de sliblaagdikteneemt de erosiesnelheid na enige tijd minder snel toe.De erosieconstante M kan belangrijk toenemen bij een toenemendegolfintensiteit. Hij ligt over het algemeen tussen de 2.1Q* en4.10'3 kg/m2s.

83

Aanbevalingen

1 : Omdat vele grootheden onbekend zijn in de onderste meter vande waterkolom moeten in een model veel aannamen worden gemaakt.Het is aan te bevelen behalve de slibconcentratie ook regelmatigde korrelgrootteverdeling en verdeling van valsnelheden van slibin suspensie te bepalen. Deze gegevens kunnen dan in een neer-fractie model worden ingevoerd opdat de erosie- en sedimentatie-snelheden met meer zekerheid worden bepaald.2. : Een aantal theoretische studies hebben het inzicht in degolf-stroming wisselwerking [20] en de invloed van sediment-stra-tificatie op de turbulentie en daarmee op het snelheidsprofielsterk vergroot [15,16,19], Veel van de in deze studies gevondenbetrekkingen kunnen met metingen worden getest. Hierbij kan mendenken aan stroomsnelheidsmetingen bij de bodem, bij voorkeuriedere 5 minuten. Het is dan noodzakelijk minimaal 4 sensorenover de onderste l a 2 meter te verdelen. Hiernaast moet eendruksensor een beeld geven van het frequentiespectrum van de gol-ven ter plaatse van de bodem. Het signaal van de druksensor kanbijvoorbeeld één keer in de drie uur worden geregistreerd.Met behulp van deze metingen is het bovendien mogelijk de bodem-schuif spanning en de bodemruwheidpaameter rechtstreeks te bepalen[24,25,26], In ons model hebben we de golfbijdrage aan de bodem-schuif spanning slechts moeten schatten.

84

Hoofdstuk 7 : Literatuurlijst

[1] L.C. v Rijn Mathematical Modelling of Morphological Pro-cesses in the case of Suspended SedimentTransport, -proefschrift- juni 198 7

[2] E.Partheniades A Study of erosion and depositions of cohesi-ve soils in salt waterUniversity of Californië, Berkeley, Disserta-tion. 1962

[3] E.A.Delo

[4] H.A. Einstein

[5] J.N. Hunt

[6] J.0. Hinze

[7] M.A. Ross

[8] W.Puls

[9] W,E. Dobbins

[10] H.S. Carslaw

Estuarine Muds ManualReport No Sr 164 Feb. 1988Hydraulics Research, Wallingford

The Bed Load Function for Sediment Transportin Open Channel Flow (1950)United States Dep. of Agriculture, WashingtonD.C. Technical Bulletin No. 1026, USA

The turbulent transport of suspended sedimentin open channelsProc. of Royal Soc. of London vol 224 (1954)

TurbulenceMacgraw-Hill, New York, 1959

Vertical Structure of Estuarine fine SedimentSuspensions. PH.D. Thesis, University of Flo-rida, Gainesville, 206p (1988)

Settling Velocity of Mud Flocs : Results ofField Measurements in the Elbe and the WeserEstuaryJ.Dronkers en W. van Leussen (eds.).Springer Verlag 1988, pp 404-423

Effect of Turbulence on SedimentationTransactions , ASCEVol.109 , 1944

Introduction to the Mathematical Theory ofthe Conduction of Heat in Solids.Macmillan, London 1921

[11] J.S. Ribberink QUASI G-D modelling of suspended sedimentI. Katopodi transport by currents and waves

Delft Hydraulics H 460 okt.1988

85

[12] I.S.Gradshteyn Table of Integrals, Series and ProductsI.M. Ryzsik Academie Press (1965) 4e editie.

[13] W.van Leussen Aggregation of particles, settling velocityof mud flocs. A review.J.Dronkers en W.van Leussen (eds.)Springer-Verlag 1988, pp 347-403

[14] M .Parchure Erosion of soft Sediment Deposits+ A.J. Metha Journal of Hydraulic Engineering ASCE 11

(10) pp 1308-1326 (1985)

[15] Y.P. ShengC. Vilaret

Modelling the Effect of Suspended SedimentStratification on Bottom Exchange ProcessesJournal of Geophysical Research vol.94 clOpp 14.429-14.444 (1989)

[16] C Vilaret Effect of Stratification by Suspended Sedi-J.H. Trowbridge ments on Turbulent Shear Flows

Journal of Geophysical Research vol.96 no.c6pp 10.659-10.680 (1991)

[17] R.L. SoulsbyK.R. Dyer

[18] A.J. MethaJ.W. Lott

[19] S.M. GlennW.D. Grant

[20] W.D, GrantO.S. Madsen

[21] H. NishimuraY, Nakamura

The Form of the Near-Bed Velocity Profile ina Tidaly Accelerating Flow.Journal of Geophysical Research vol.86 no.c9pp 8067-8074 (1981)

Sorting of Fine Sediment During DepositionCoastal sediments 1987, ASCE Speciality Con-ference on Advances in Understanding ofCoastal Sediment Processes. Eds : NicholasKraus. pp 591-609.

A Suspended Sediment Stratification Correc-tion for Combined Wave and Current Flows.Journal of Geophysical Research vol.92 no.c8pp 8244-8264

Combined Wave and Current Interaction With aRough BottomJournal of Geophysical Research vol.84 no,c4pp 1797-1808 (1979)

A new method of estimating vertical diffu-sion coëfficiënt.Continental Shelf research vol.7 No.10pp 1245-1256 (1987)

86

[22] R.D. Richtmeyer Difference Methods for Initial Value Pro-K.W. Morton

[23] P. VerlaanR. Spanhoff

[24] T.P. GrossA.E. IsleyC.R. Sherwood

[25] V.D. Lyne•B. ButmanW.D. Grant

[26] V.D. LyneB. ButmanW.D. Grant

bletns,John Wiley and Sons (1967)

In situ procesonderzoek aan slibtransportenmet duurmetingen bij de zeebodem.IMAU rapport R 92-1 (1992)

Estimation of stress and bed roughness duringstorms on the Northern California ShelfContinental Shelf Research vol.12 no.2/3 ~pp 389-413 (1992)

Sediment Movement along the U.S. east coastcontinental shelf™ 1 : Estimates of bottomstress using Grant-Madsen model and currentmeasurements.Continental Shelf Research vol.10 no.5pp 397-428 (1990)

Sediment Movement along the U.S. east coastcontinental shelf- 2 : Modelling suspendedsediment concentration and transport rate du-ring storms.Continental Shelf Research vol.10 no.5pp 429-460 (1990)

87

Biilaae A fDe poarammatuur)

Deze bijlage bevat twee "Pascal" programma's, namelijk model.pasen de unit schema.pas.

88

program modej; {*erosie expliciet-impliciet schema*)

uses schema,crt;

const wO=5E-4;wl=5E-4;dt=10.0;et1=30;dZ=0.01;grens=0.005;Kp=0.41;ca=0.02;teta=l.0;eta=0.0;

(*valsnelheid bij de bodem*)(*valsnelheid aan oppervlak*)(*tijdstap*)(*iedere 300 seconden een slibc/snelheid inlezen*)(*roosterafstand*)(*in een laag van 5 mm dikte is de verticale diffusie cons

(•oppervlakte concentratie*)(*volledig impliciet schema*)(*eventuele numeriek diffusie*)

type reeks=recordrk : array[0..200] of real;end;

var cO,cl,c2,lap,lambda,z,eps,sigma,w : array[0. .1000] of real;epsilonjErjUs^g, labda, T,r, uit, Ero, un,Richard : real;n,aant,aantal,H,a,i,nummer,teller : integer;numa,numb,numc,numd,nume : Areeks;datal,data2 : Areeks; (*slibconcentratie op 15 cm en stroomsnelheid

75 cm*)

procedure inlees;

(*deze procedure leest de slibconcentratie en snelheden in(5 minuten waarden in)*)

var Fnaam: string;Fin : text;i : integer;a,b,c,d :real;

beginwriteln('Welke file met concentraties wilt U inlezen?');readln(Fnaam);assignfFin,Fnaam);reset(Fin);for i:=*o to (nummer+l) do begin

readln(Fin,a,b,datal".rk[i],c,data2A.rk(i],d);datalA.rk[i]:=datalA.rk[i]/1000;

end;close(Fin);end;

procedure startopl;

(* De analytische oplossing wordt als beginconcentratieprofiel opgelegd*)(* De valsnelheid en de verticale diffusiecoefficient krijgen een *)(* waarde *)

begina:=H; Er:=0; r:=l;epsilon:=0.15*H*Kp*us;aant:=round(H/dz);z[0]:=grens;

(*aantal roosterpunten in de verticaal*)

for n:=X to aant do 2[n]:=n*dz+z[0];for n:=0 to aant dobegin

if n<(0.I5*aant) then beginw[n]:=w0+(wl-w0)*2fn]/(0.15*H);eps[n]:=Kp* z[n]*us;cO[n]:= ca*exp(wl*(a-0.l5*H)/epsilon)*macht((0.i5*H)/z[n], wO/ (kp*us;

*exp((wl-wO)/(kp*us)*(l-z[n]/(0.15*H)));end;

if n>=(0.15*aant) then beginw[nJ:=wl;eps[n]:=epsilon;cO[n] :=ca*exp(wl*(a-z(;n]} /epsilon) ;

end,-end; ^

end;(*startopl*)

procedure bewerk(u5:real);

(* De demping van de verticale diffusiecoefficient wordt *)(* berekend aan de hand met de Monin-Obukhov relatie (zie bijlage D) *)

const nr=8;rho=1020;g=9.81;

var Ri : array[0..1000] of real;uM,dC,dU : real;

beginuM:=u5/macht(0.75/H,l/nr); (*De gemiddelde snelheid wordt berekend

uitgaande van een machtprofiel met n=8*)

for n:=0 to aant dobegin

dU:=us/(kp*z[n]);if (n<>0) and [noaant] then dC: = (cO[n+l]-cO[n-l]) / (2*dz) ;if (n=0) then dc:=(c0[i]-c0[0])/dz;if (n=aant) then dC:=(co[aant]-cO[aant-l])/dz;Ri[n]:=-g/rho*(dC/sqr(dü));Rifn];=l/macht((l+5.0*Ri[n]),1);Richard:^Ri[5];if n<(0.15*aant) then epsfn]:=Kp*z[n]*us*Ri[n];if n>=(0.15*aant) then eps[n]:=epsilon*Ri[n];

end;(*for*)end;(*bewerk*)

procedure start;

beginfor n:=0 to aant do lambdaCn]:=(l-eta)*eps[n]*dt/(sqr(dz));for n:=l to (aant-l) do

beginsigma[n]:=(eps[n+l]-epsfn-lj)*dt/(4*sqr(dz))+(w[n]*dt)/(2*dz);lap[n]:»dt/(2*dz)*(w[n+l]-w[n-l]);

end;rt,rk[0]:=c0[i5];.rk[0] :=c0[90] ;

numcA.rk[0]:=Er; .numd^.rk[0]:=r;numeA.rk[0]:=Richard;

end;(*start*)

procedure bereken (Er : real; var uitrreal);

(*Deze procedure berekent 5 minuten vooruit het concentratrieprofiel *)(*uitgaande van een bodemmassaflux 'Er', De procedure levert een *)(*waarde voor de nieuwe slibconcentratie op 15 cm boven de bodem (uit) *)

var Ee,D : real;A,B,C,E,F : array[0..1000] of real;k : integer;

beginfor n:=0 to aant do cl[n]:=cO[n];if Er<0 then

begin ~~r:-l+Er/(w[0]*cl[0]);Ero:=0;if r<0 then begin

writeln(' te sterke sedimentatie');r: =o ;

end;F[0]:=0;E[0] : = (eps[;0]+eps[l]) / (eps[0]+eps[l]-2*w[0] *r*dz) ;

end;if Er>=0 then

beginr:=»l;Ero:=Er;writeln('ErO = ', Ero) ;E[0]:=(eps[0]+eps[l]+w[0]*r*dz)/(eps[0]+eps[l]-r*w[0]*dz);F[0]:=2*d2*Ero/(eps[0]+eps[l]-r*w[0]*dz);

end;for n:=l to (aant-l) do begin

A[n]:=teta*(lambda[n]+sigma[n]);B[nj:=l+2*teta*(lambda[n]-lap[n]/2);C[n]:=teta*(lambda(n]-sigma[n]);E[n]:«»A[n]/(B[n]-C[n]*E[n-l]) ;

end;for K:=l to ctl dobeginfor n:=l to (aant-1) dobegin

D:=cl[n]+(l-teta)*(lap[n]*cl[n] -f sigma[n]*(cl[n+l]-cl[n-l])+lambda[n]*(cl[n+l]+cl[n-lj-2*cl[n])) ;

F[n]:-{D+Ctn]*F[n-lJ)/(B[n]-C[n]*E[n-l]) ;end;Ee: = (eps[aant]+eps[aant-1]+w[aant]*dz)/(eps[aant]+eps[aant-1]-w[aant]*dz)c2[aant]:=F[aant-l]/(Ee-E[aant-l]) ;for n:=aant downto 1 do c2 [n-1] :=E[n-l]*c2[n]+F[rv-l] ;for n:=0 to aant do ci(n]:=c2[n];

end;(*for*)uit:=ci[i5];

end;

procedure iteratie(i:integer);

(* Deze procedure bepaald welke boderamassaflux gekozen moet worden *}(* opdat de gemeten concentratie na vijf minuten overeenkomt binnen * ) '{* 5 promiel met de door het model berekende concentratie. *)(* Alleen in het geval met maximale sedimentatiesnelheid (r=0) wordt *)(* niet aan dit kriterium voldaan *)

var ets,Er1,Er2 : real;atw : boolean;p :integer;

beginbereken(Er,uit);atw:=false;cts;=5E-5;if (uit<datalA.rk[i]) then

beginEr2:=Er+cts;repeatwriteln('paull') ?bereken(Er2,uit);if (uit<datalA.rk[i]) then Er2:=Er2+cts;

until (uit>dataiA.rk[i]);Erl:-Er2-cts;repeat

Er:=(Erl+Er2)/2;bereken(Er,uit);writeln('paul2');if (uit>datalA.rk[iJ) then Er2:=Er;if (uit<datalA.rk[i]) then Erl:=Er;

until (abs{ (uit-datalA.rk[i])/dateii*.rk[i])<0.005) or (r=0) ;atw:=true;

end;if (uit>datalA.rk[i]) and (atw=false) then

begincts:=2E-5;Er2:=Er-cts;repeatwriteln('uit =',uit);bereken(Er2,uit);writeln('piral');if (uit>datal".rk[i]) then Er2:=Er2-cts;

until (uit<datal".rk[i]) or (r=0);Erl:=Er2+cts;repeat

Er:=(Erl+Er2)/2;bereken(Er,uit);writeln('Er =',Er); writeln('uit =',uit);writeln('pim2');if (uit<datalA.rk[i]) then Er2:=Er;if (uit>datalA.rk[i]) then Erl:=Er;

until (abs((uit-datalA.rk[i])/datalA.rk[i])<o.OO5) or (r=0);end;

for n:=0 to aant do cO[n]:=cl[n];if (Ero<=0) then Ero:=-(eps[0]*(cO[l]-cO[0])/dz + w[0]*c0[0]);end; (*ittaratie*)

procedure bewerking (u5:real);

(* Deze procedure berekend iedere vijf minuten de nieuwe verticale *)(* diffusie coëfficiënt met de demping *)

const nr=8;rho=1030;g=9.8i;

var Ri : array[0..1000] of real;uM,dC,dU : real;

begingolfstroom(H,u5,hg,labda,T,us); (*bepaling u* (=us) uit u5 en H*)epsilon:=0.15*H*Kp*us;uM:=u5/macht(0.75/H,l/nr);for n:=0 to aant dobegin

dU:=us/(kp*z[n]);if (n<>0) and (noaant) then dC:=(cO[n+l] -cO [n-1]) / (2*dz) ;if (n=0) then dC:=(cl[l]-cltO])/dz;if (n=aant) then dC:=(cl[aant]-cl[aant-1])/dz;Ri[n]:=-g/rho*(dC/sqr(dU));Ri[n]:=l/macht((i+S.O*Ri[n]),1);Richard:=Ri[5];if n<(0.15*aant) then eps[n]:=Kp*z[n]*us*Ri[n];if n>=(0.15*aant) then eps[n]:=epsilon*Ri[n];lamtada[n] :=(l-eta)*eps[n]*dt/(sqr(dz)) ;

end;for n:=l to (aant-l) do

sigma[n]:=((eps[n+l]-eps[n~l])*dt)/(4*sqr(dz))+w[n]*dt/(2*d2)end; (*bewerking*)

procedure opslaan;

(* In deze procedure worden de variabelen numa t/m nume opgeslagen *)(* zodat iedere 5 minuten en waarde voor de concentratie op 15 en *)(* 90 cm, de bodemmassaflux en r bekend zijn. Bovendien wordt voor *)(* een bepaalde hoogte (in dit geval 5 cm boven de bodem) de dein- *)(* pingsfactor opgeslagen. *)

var Fnaam : string;Fuit : text;i : integer;

beginsound(220) ;delay(2200);nosound;writeln('geef de naam van de uitvoer-file ' ) ;readln(Fnaam);assign(Fuit,Fnaam);rewrite(Fuit);for i:=0 to nummer dobeginwrite(Fuit,' ',i,' ' ,nutnaA .rk[ i]: 8 :4, ' ' ,numbA .rk[i] :8: 4, ' ' ,numcA

writeln(Fuit,numdA.rk(iJ:4:2,' ',numeA.rk[i]:4:3);end;

close(Fuit);end;

begin (*hoofdprogramma*)

GetMem(numa,Sizeof(reeks));Getmem{numb,Sizeof(reeks)) ;GetMemfnuinc^izeof (reeks)) ;GetMem(numd,Sizeof(reeks) );GetMem(nume,Sizeof(reeks ));GetMem(datal,Sizeof(reeks));GetMem(data2,Sizeof(reeks));

writelnf'Hoeveel tijdstappen van ',dt:3:l,' seconden wilt U');

readln(aantal);writeln('Geef de waterdiepte (in meters)'); readln(H);writeln('geef de golfhoogte'); readln(hg);writeln('Geef de golflengte ' ) ; readln(labda);{*De invoer voor hg en labda wordt niet in de modelberekeningen gebruikt*)

nummer:=aantal div ctl;inlees;golfstroom(H,data2A.rk[O],hg,labda,T,us);startopl;bewerk((data2A .rk[0]+data2"• .rk[ 1]) f2) ;writeln('Ri[5] s^Richard);start;for i:=l to nummer do datalA.rk[i]:=datalA.rk[i]-(datalA.rk[0]-cO[l5]);for i:=1 to nummer dobegin

iteratie(i);writeln(i,' ',cO[i5]);numaA.rk[i]:=cl[l5];numb'".rk£i] :=cl[90] ;numcA.rk[i]:=Ero;numd^.rkfi]:=r;numeA.rk[i]:=Richard;un: = (data2".rk[i]+data2*.rk[i+1]) /2;bewerking(un);writeln('Ri[5] =',Richard);

end;opslaan;

end.

Unit schema;{$N+}/ i t * * * * * * * * * *****************************************************)

(* functies en procedures voor het berekenen van verticale *)(* concentratieprofielen. *)/#**************************************************************)

interface

type rij=array[l..10] of real;

function macht (x,y:real): real;

function sinh (x:real): real;

function cosh (x:real): real;

procedure invoer (var ws,norm : rij);

procedure golfstroom (H,u75,hg,labda :real; var T,us:real);

implementation

const g=9.81; (*valversnelling*)rho=1020; (*dichtheid van water*)ks=0.002; (*Nikuradse ruwheidslengte*)tota=10;v=lE-6; (*kinematische viscositeit*)nr=8',Kp=0.41;

function macht(x,y:real):real;

beginif x>0 then macht:=exp(y*ln(x));if x<0 then macht:=-l*exp(y*ln(-x));if x=0 then macht:=0;

end;

function sinh(x:real):real;

beginsinh:-(exp(x)-exp(-x))/2;end;

function cosh(x:real):real;

begincosh:=(exp(x)+exp(-x))/2;

end;

procedure invoer (var ws,norm : rij);

(*leest een verdeling van valsnelheden in*)

var Fnaam :string;Pin :text;i :integer;

beginwriteln('geef naam van de invoer file ? ' ) ; readln(Fnaam);

assign(Fin,Fnaam);reset(Fin);for i:=l to tota dobegin

readln(Fin,norm[i],ws[i]ws[i]:=ws[i]/1000;

end;end;(*invoer*)

procedure golf (H,hg,labda:real; var Tgolf:real);

(*bepaalt de bodemschuifspanning door alleen golven*)

var rey,uorb,perK,omega,A,fwr,fws

fw

real;real;real;

beginK:=2*pi/labda;omega:={g*K)*sinh(K*H)/cosh(K*H);per:=2*pi/sqrt(omega);uorb:=pi*hg/(per*sinh<K*H)) ;A:=uorb*per/<2*pi) ;if (A/ks<=1.57) then fwr:=0.3;if (A/ks>l.57) then fwr:=o.0025l*exp{5.2l*macht(A/ks,-o.19));rey:=uorb*A/v;fws;=2 *macht(rey,-0.5);if fws>fwr then fw:=fws;if fws<=fwr then fw:=fwr;Tgolf:=0.5*rho*fw*sqr(uorb);end;

procedure golfstroom (H,u75,hg,labda :real; var T,us:real);

(•bepaalt de totale bodemschuifspanning*)

var zO,Tgolf,Tstro,ustro :real;

beginzO:=ks/3 0;(*ustro: = l/macht(0.75/H,1/nr)*nr/(nr+l)*u75;us:=ustro/(2.44*ln(H/ks) +5.85); *)us:=kp*u75/(ln(0.75/20));Tstro:=rho*sqr(us);golf(H,hg,labda,Tgolf);T:=sqrt(sqr(0.5*Tgolf) + sqr(Tstro));end;

end, (*schema*J

Bijlage B : Stationaire concentratieprofielen

In alle door ons uitgevoerde modelberekeningen wordt als begin-concentratieprofiel (op t=0) de stationaire oplossing gekozen.

Dit profiel is de oplossing van de vergelijking :

<t (z) dcjz) + ws(z) c{z) = 0 (BI)

De bovenstaande vergelijking geeft een evenwicht weer tussen- deneerwaartse massaflux door het vallen van het slib met valsnel-heid w3 en de opwaartse flux ten gevolge van het turbulente dif-fusie evenredig met de diffusiecoefficient es.

De algemene oplossing van deze vergelijking is :

c(z) = oce *'lz)

met a een constante.

Kiezen we :

,dan vinden

€.<z) -e.U) :

c(z=H)ws(z) =

we als

c(z) =

ciz) =

~ ca

= w

oplossing(a-g) w

C & *"

(a-0.15H)ft

z >z <,

••

r

/ 0\

0.0.

z

. 15

15*H15*H

a0.15H

w• H \ KU.

(B3)

In plaats van een valsnelheid die constant is in de verticaalkunnen we ook kiezen voor een verticaal variërende valsnelheid.Kiezen we : ws = Wj z > 0.15*H

ws = w0 + (w1-w0)*z/(0.15*H) z £ 0.15*Hdan vinden we als oplossing :

c

c

(B4)

(z)

(z)

(a-z)

er,"" / o . i s Hz

Bijlage c : De grootte van de verticale snelheidsgradiënt en decteiniddelde snelheid

Over het algemeen wordt in het trubulent tainnengebied (dat deelvan de grenslaag waar u* constant wordt verondersteld) een loga-ritmisch snelheidsprofiel aangenomen van de vorm :

u(z) = -ülin(-5.) (Cl)

met z0 ~ ka/30 (voor ruwe bodem) -_ka = Nikuradse bodemruwheidsparameter.

Voor de snelheidsafgeleide geldt nu :

-Ëü = -Hi (C2)dz K

In plaats van een logaritmisch snelheidsprofiel kunnen we ook eenmachtprofiel kiezen.Een machtprofiel is van de vorm:

met 7 £ n s 10 en u(H)=uM.

Voor de snelheidsgradiënt geldt dan :

_ËH = _A_ (S)^'1 (C4)dz niï /f

We kunnen op 4 hoogten (2=1 cm, z«10 cm en z»l m en z«lO m) degrootte van de snelheidsgradiënt bepalen voor drie verschillendegevallen, een machtprofiel met n=8 resp. n=10 en een logaritmischprofiel. In tabel Cl zijn de waarden voor de snelheidsgradiëntgegeven.

In tabel Cl zien we dat een machtprofiel het log.profiel beterbenaderd als 'n' toeneemt. Een machtprofiel levert in vergelij-king tot een log.profiel vlak bij de bodem een onderschatting vande snelheidsgradiënt en bovenin de waterkolom een overschattingvan de snelheidsgradiënt.Op grond van fysische overwegingen lijkt het het beste om onderinde waterkolom een log.profiel te kiezen en hoger in hoger in dewaterkolom eventueel een machtprofiel.

Tabel Cl De snelheidsaradiënt (H=10,u(75 cm)=0.4 m/s)

log.profiel macht-profiel (n=8) j n=10

z=0.01

2=0.1

2=1

Z=10

4.

0.

0.

0.

24

424

0424

00424

2.

0.

0.

0.

92

429

0596

00725

2.

0.

0.

0.

59

326

0411

00518 _

Behalve de snelheidsgradiënt is ook de gemiddelde snelheid in dewaterkolora van belang.

In het geval van een log.profiel geldt voor de gemiddelde snel-heid :

ü « -I dz = -̂ -K

(C5)

In het geval van een machtprofiel vinden we voor de gemiddeldesnelheid :

(C6)

met Um = u(z) (-£)""2

In tabel G2 is zijn waarden gegeven voor de gemiddelde snelheidin de waterkolom voor als geldt u(75 cm) =0.4 ra/s en H=»10.

Tabel C2machtprofiel n=7

0.507

log.profiel

ü 0.466 0.468

We aien opnieuw dat het machtprofiel met n=10 de beste benaderinggeeft van het logaritmische profiel, over het algemeen wordt ech-ter aangenomen dat het log.profiel alleen in de onderste p<\armeter van de waterkolom een goede benadering is. Hierboven heefteen machtprofiel de voorkeur. Dit maakt dat het log.profiel degemiddelde snelheid waarschijnlijk iets onderschat. We praten indit geval slechts over een verschil van minder dan 10%

Bijlage D : Demping van de verticale Diffusiecoefficient

Ten gevolge van een verticale gelaagdheid kan de verticale uit-wisseling van massa en impuls worden onderdrukt. De mate waarindit gebeurt wordt bepaald door de grootte van het Richardsonge-tal.Voor het Richardsongetal (Ri) geldt:

-9

"3z

(Dl)

Het Richardsongetal is gedefinieerd als het quotiënt van de sta-biliserende dichtheidskrachten (deze dempen de turbulentie) endestabiliserende krachten als gevolg van turbulentieproduktiedoor shear. Het getal geeft een maat voor de mate van stratifica-tie die op een bepaalde hoogte in de waterkolom aanwezig is.Uit de theorie van turbulentie is bekend dat als het Richardson-getal in de buurt komt van 0.1 er een aanzienlijke demping op-treedt. Vanaf Ri-0.25 wordt de turbulentie volledig onderdrukt enkan zich een stabiele gelaagdheid vormen. Dè verticale uitwisse-ling wordt dan praktisch gelijk aan nul. Er kan dan een twee-la-gen stroming ontstaan met in de onderste laag een slibdeken.

In de theorie zijn meerdere betrekkingen bekend die een verbandgeven tussen de grootte van het Richardsongetal en de demping vande verticale diffusiecoefficient.De meest gebruikte relatie is de die van "Munk-Anderson" :

e (z) = bsifl (D2)(l+3.33Ri)1-5

In een andere methode wordt gebruik gemaakt van 'Monin-obukhov'lengte die verticaal kan variëren. De Monin-Obukhov lengte (L)wordt gedefinieerd als :

rL

Hierbij geldt dan

= e de. = K U Z * (D4)5 dz dz

Voor de diffusiecoefficient in een gelaagd systeem geldt nu :

¥*«¥met j3 een constante die ligt tussen 4.7 en 5.2Voor deze laatste uitdrukking kunnen we ook schrijven :

Voor het Richardsongeta1 volgt in het geval van een logaritmischsnelheidsprofiel namelijk (zie bijlage G):

3 = £± = 2 (D7)P

We kunnen beide relaties voor de demping van de verticale diffu-sie gebruiken. Het is niet bekend welke betrekking de beste is inons geval.

0/