Nikvistov kriterijum stabilnostiMilan R. Rapaic

5. maj 2014 13. maj 2014

Nikvistov kriterijum jeste opti postupak za ispitivanje stabilnostilinearnih, stacionarnih sistema u zatvorenoj sprezi. Vanost Nikvi-stovog kriterijuma proistice upravo iz njegove univerzalnosti. Naime,Nikvistov kriterijum je primenljiv bez obzira na oblik funkcije po-vratnog prenosa, te se moe primeniti kako na procese konacnogreda opisane racionalnim funkcijama prenosa, tako i na procese sakanjenjima, te na procese beskonacnog reda opisane proizvoljnim,neracionalnim funkcijama prenosa.

r W(s) y+

Slika 1: Proces sa jedinicnom povrat-nom spregom i funkcijom povratnogprenosa W(s).

Podsecanje!

Proces cija je funkcija po-vratnog prenosa W(s) nakonzatvaranja povratne spregeopisuje se funkcijom spregnu-tog prenosa

Gs(s) =W(s)

1+W(s).

Polovi procesa u zatvorenojsprezi odreduju se reavanjemsvojstvene jednacine

F(s) = 1+W(s) = 0 .

Ukoliko su sva reenja svojstvenejednacine u levoj poluravni (od-nosno ukoliko su im realni delovinegativni), tada i samo tada jeposmatrani proces u zatvorenojsprezi asimptotski stabilan.

Posmatrajmo proces sa jedinicnom povratnom spregom opisanfunkcijom povratnog prenosa W(s). Nakon zatvaranja povratnesprege, ponaanje procesa je opisano funkcijom spregnutog prenosa

Gs(s) =W(s)

1+W(s). (1)

Stabilnost procesa se moe analizirati ispitivanjem polova procesa,odnosno reenja svojstvene jednacine

F(s) = 1+W(s) . (2)

Proces ce nakon zatvaranja povratne sprege biti asimptotski stabilanako i samo ako sva reanja svojstvene jednacine imaju negativanrealan deo.

Ispostavlja se da je u optem slucaju moguce grafickim metodamaprebrojati sva reenja karakteristicne jednacine koja se nalaze u ne-eljenoj, desnoj poluravni kompleksne ravni. Matematicki alat kojimse to postie jeste Koijeva teorema argumenta.

Koijeva teorema argumenta

Tvrdenje 1. (Koijeva teorema argumenta.) Neka su dati zatvo-rena kriva C u kompleksnoj ravni i kompleksno preslikavanjeF :C C. Neka je F na samoj krivoj C analiticko, a neka unutarkrive poseduje N nula i P polova. Tada, ukoliko kompleksnapromenljiva s obide citavu krivu C, kompleksna slika F(s) ceobici koordinatni pocetak |N P| puta. Pri tome, ukoliko jeN > P smerovi obilaska su jednaki; u suprotnom oni su razliciti.

nikvistov kriterijum stabilnosti 2

Da bismo ilustrovali Koijevo tvrdenja, posmatracemo preslika-vanje F = s+1s+2 , koje poseduje jedan pol u tacki 2 i jednu nulu utacki 1. Slike 2 do 4 ilustruje kako ova funkcija preslikava razlicitekarakteristicne konture u kompleksnoj ravni.

Re s

Im s

A B

CD

(a) Kontura C.

Re s

Im s

A

B

C

D

(b) Kontura F(C).

Slika 2: Ilustracija preslikavanja konturekoja obuhvata i pol i nulu funkcije.Posledicno, s obzirom da je N = 1i P = 1, razlika broja obuhvacenihpolova i nula je N P = 0. Nakonpreslikavanja, kriva ne obuhvata

koordinatni pocetak.

Re s

Im s

A B

CD

(a) Kontura C.

Re s

Im s

AB

C D

(b) Kontura F(C).

Slika 3: Ilustracija preslikavanja konturekoja obuhvata samo pol funkcije. Posle-dicno, s obzirom da je N = 0 i P = 1,razlika broja obuhvacenih polova i nulaje N P = 1. Nakon preslikavanja,kriva obuhvata koordinatni pocetak

jednom, i to u suprotnom smeru u

odnosu na polazni smer obilaska.

Re s

Im s

A B

CD

(a) Kontura C.

Re s

Im s

A

B

C

D

(b) Kontura F(C).

Slika 4: Ilustracija preslikavanja konturekoja obuhvata samo nulu funkcije. Po-sledicno, s obzirom da je N = 1 i P = 0,razlika broja obuhvacenih polova i nulaje N P = 1. Nakon preslikavanja,kriva obuhvata koordinatni pocetak

tacno jedan put.

Od posebnog je interesa razmotriti slucaj koji nastaje kada konturaC obuhvata veci broj polova funkcije pomocu koje se vri preslikava-nje. Slike 5 i 6 ilustruju takve slucajeve. Na slici 5 kontura je potpunosimetricna u odnosu na poloaj polova funkcije F(s) = 1

(s+1)(s+2),tako da se prilikom preslikavanja polazna kontura dva puta presli-kava na identican nacin. Na slici 6 ovakva simetrija nije zastupljena,

nikvistov kriterijum stabilnosti 3

pa se preslikavanje vri na bogatiji nacin. Konkretno, razmatranaje kruna kontura poluprecnika 1.5 sa centrom u tacki 1.5 koja sepreslikava funkcijom F(s) = 1

(s+0.5)(s+1)(s+1.5).

Re s

Im s

A B

CD

(a) Kontura C.

Re s

Im s

A = C

D = B

(b) Kontura F(C).

Slika 5: Ilustracija preslikavanja konturekoja obuhvata dva pola funkcije. Posle-dicno, s obzirom da je N = 0 i P = 2,razlika broja obuhvacenih polova i nulaje N P = 2. Nakon preslikavanja,kriva obuhvata koordinatni pocetak 2

puta, i to u suprotnom smeru od smera

obilaska polazne konture.

Re s

Im s

(a) Kontura C.

Re s

Im s

(b) Kontura F(C).

Slika 6: Ilustracija preslikavanja konturekoja obuhvata tri pola funkcije. Posle-dicno, s obzirom da je N = 0 i P = 3,razlika broja obuhvacenih polova i nulaje N P = 3. Nakon preslikavanja,kriva obuhvata koordinatni pocetak 3

puta, i to u suprotnom smeru od smera

obilaska polazne konture.

Izvodenje Nikvistovog kriterijuma Principi

Re s

Im s

R

Slika 7: Nikvistova kontura CN .

Nikvistov kriterijum se izvodi neposrednom primenom Koijeveteoreme argumenta na svojstvenu funkciju

F(s) = 1+W(s)

i na konturu koja obuhvata citavu desnu poluravan kompleksneravni. Takozvana Nikvistova kontura CN je prikazana dijagramomna slici 7. Ova kontura se protee citavom imaginarnom osom, azatvara se preko polukrunog isecka beskonacnog poluprecnika.Uobicajeno je Nikvistovu konturu obuhvatati u negativnom mate-matickom smeru (tj. u smeru kretanja kazaljke na satu). Na taj nacinkretanje je usaglaeno sa orijentacijom same imaginarne ose.

Jasno, ukoliko je proces nakon zatvaranja povratne sprege apso-lutno stabilan, svojstvena jednacina nema reenja (nula) u desnoj

nikvistov kriterijum stabilnosti 4

poluravni, te je N = 0. Koliko svojstvena jednacina ima polova udesnoj poluravni? Nije teko zakljuciti da je 1+W(s) neogranicenoako i samo ako je W(s) neograniceno. Otuda su polovu funkcija W(s)i F(s) identicni, te je P jednako broju nestabilnih polova procesa uotvorenoj sprezi. Drugim recima, ukoliko je proces stabilan nakonzatvaranja povratne sprege, tada ce kriva koja se dobija preslikavaNikvistove konture CN pomocu svojstvene jednacine procesa obuhva-titi koordinatni pocetak N P = P puta u negativnom, odnosno Pputa u pozitivnom matematickom smeru.

Primetimo ...

Svojstvena funkcija

F(s) = 1+W(s)

jednovremeno sadri infor-macije o polovima procesai pre i posle zatvaranja po-vratne sprege. Polovi procesau otvorenoj sprezi su jedno-vremeno i polovi F(s), poloviprocesa nakon zatvaranja po-vratne sprege su nule F(s).Na osnovu Koijeve teoreme,preslikavanjem Nikvistovekonture CN pomocu svojstvenefunkcije F(s) vri se prebroja-vanje razlike broja nestabilnihpolova pre i posle zatvaranjapovratne sprege. Svaki obrtpreslikane Nikvistove kontureoko koordinatnog pocetka upozitivnom matematickomsmeru oznacava uklanjanjejednog nestabilnog pola pro-cesa. Ovakvih, nestabilnihpolova ima ukupno P. Otudaje neophodno izbrojati P obrtapreslikane Nikvistove konture.

Razmotrimo poblie nacin na koji se preslikavaju razliciti elementiNikvistove konture.

Citav kruni isecak beskonacnog poluprecnika preslikava se ujednu tacku. Da bismo se u to uverili, primetimo da mora postojatigranicna vrednost

limsW(s) R .

Ukoliko to ne bi bilo tako, tada posmatrani proces ne bi imaodobro definisani odskocni odziv.1 S obzirom da je F(s) = 1+W(s)

1 Na osnovu pocetne granicne teoreme,pocetna vrednost bilo kog signala y(0)se moe odrediti pomocu granicnevrednosti lims sY(s). Ukoliko jey odskocni odziv procesa opisanogfunkcijom prenosa W(s), tada je upravo

y(0) = lims sW(s)

1s= lim

sW(s) .

konacno u beskonacnosti, potpuno je svejedno na koji se nacindo te beskonacnosti stiglo. U svakoj tacki velike polukrunice,vrednost svojstvene funkcije je ista.

Nije teko pokazati da svaka Laplasova transformacija realne funk-cije, pa samim tim i svaka funkcija prenosa, poseduje svojstvokonjugovane simetricnosti. Ukoliko sa () oznacimo operacije kom-pleksne konjugacije, tada svaka funkcija povratnog prenosa W(s)zadovoljava svojstvo W(s) = W(s).2 Dakle, ukoliko konjugujemo

2 Za proizvoljni realni signal w vai

W(s) =

0w(t)estdt .

Sada se neposredno pokazuje da vai

W(s) =

0w(t)estdt

=

0w(t)estdt =

0w(t)estdt

=

0w(t)estdt = W(s) .

(preslikamo oko realne ose) argument funkcije prenosa, funkcijaprenosa ce se i sama konjugovati (preslikati oko realne ose).

Konacno zakljucujemo da je prilikom primene Nikvistovog kriterijuma

dovoljno preslikati samo pozitivan deo realne ose. Dobijeni broj obuhvata

ce biti talno upola manji od broja obuhvata koji bi se dobio preslikavanjem

citave Nikvistove konture.

Pre nego to konacno formuliemo Nikvistov kriterijum, napo-menimo jo da se u praksi najcece preslikavanje ne vri pomocusvojstvene jednacine F(s), vec neposredno na osnovu funkcije po-vratnog prenosa W(s). Kriterijum se primenjuje na isti nacin, jedinoto koordinatni pocetak zamenjujemo tzv. kriticnom tackom (1, 0).Kriva koja se dobija preslikavanjem pozitivnog dela imaginarne osepomocu funkcije povratnog prenosa W(s) naziva se Nikvistovomkrivom. Kompleksni broj (vektor) W(j) naziva se Nikvistovimvektorom.

nikvistov kriterijum stabilnosti 5

Re s

Im sR

(a) Kontura CN.

ReW(s)

ImW(s)

(b) Kontura F(CN).

Slika 8: Ilustracija simetrije prilikompreslikavanja Nikvistove konture.Negativan deo realne ose se preslikavana simetrican nacin u odnosu napozitivan deo. Veliki polukruniisecak se citav preslikava u jednu tacku.Jasno je da se obuhvati (kojih u ovomslucaju nema) mogu racunati i samo naosnovu preslikavanja pozitivnog delaimaginarne ose.

Tvrdenje 2. (Nikvistov kriterijum stabilnosti) Proces opisan funk-cijom povratnog prenosa W(s) koja ima P polova u desnoj po-luravni kompleksne ravni i nema polova na imaginarnoj osi bicestabilan nakon zatvaranja jedinicne povratne sprege ako i samoako Nikvistov vektor W(j) obide kriticnu tacku (1, 0) P/2puta, odnosno za ugao Ppi, kako se menja od nule do besko-nacnosti.

Primer 1. (Ilustracija primene Nikvistovog kriterijuma) PrimenomNikvistovog kriterijuma ispitati stabilnost procesa opisanogfunkcijom povratnog prenosa W(s) = k

(s+1)3 .

ReW(j)

ImW(j)

= 0

k

k 33

8

=33

k 18

=3

Slika 9: Nikvistov dijagram procesaopisanog funkcijom povratnog prenosa

W(s) = k1

(s+ 1)3.

Nakon smene s sa j, te razdvajanja realnog i imaginarnog deladobijenog izraza, funkcija povratngo prenosa se moe zapisati uobliku

W(j) = k1 32(2 + 1)3

+ jk(2 3)

(2 + 1)3. (3)

Prilikom crtanja Nikvistove krive, bitno je odrediti tacku u kojojkriva pocinje, tacku u kojoj se kriva zavrava, kao i tacke u kojimakriva preseca koordinatne ose. Pri tome, narocito su bitni presecisa negativnim delom realne ose, s obzirom da oni odreduju ugaoobuhvata oko kriticne tacke (1, 0). Za = 0, Nikvistova kriva pocinje u tacki W(j0) = k.

Za , Nikvistova kriva tei nuli. To je prakticno najcecesretani slucaj, s obzirom da vecina procesa u prirodi nije u stanjuda trenutno reaguje na pobudu.

limW(j) = 0 .

ta vie, moguce veoma lako odrediti ugao pod kojim kriva uvireu koordinatni pocetak. Za vrlo veliku vrednost argumenta, svaki

nikvistov kriterijum stabilnosti 6

polinom se ponaa kao svoj najstariji clan (clan najvieg stepena).Otuda je,

argW(j) arg k(j)3

= 3 arg(j) = 3pi2

.

Nikvistova kriva posmatranog procesa ulazi u koordinatni pocetakpod uglom 3pi2 , odnosno pod pravim uglom od gore.

Tacke preseka sa imaginarnom osom odredujemo kao tacke ukojima realni deo postaje jednak nuli. Iz uslova ReW(j) = 0, od-

mah nalazimo pozitivno reenje =33 takvo da je ImW(j) =

k 33

8 . Podsecamo citaoca da negativna reenja odbcujemo zatoto preslikavamo samo pozitivan deo imaginarne ose.

Tacke preseka sa realnom osom odredujemo iz uslova da je imagi-narni deo jednak nuli, ImW(j) = 0. Jedino pozitivno reenje ovejednacine je =

3, pri cemu je ReW(j) = k8 .

Postoji i drugaciji, ponekad pogodnijinacin za odredivanje tacaka preseka sarealnom i imaginarnom osom. Presekesa realnom osom odredujemo kaotacke u kojima je argument funkcijepovratnog prenosa jednak lpi, zaneko celobrojno l. Slicno, preseke saimaginarnom osom odredujemo kaotacke u kojima je argument funkcijepovratnog prenosa pi2 + lpi. Kako je

argW(j) = 3 arg(j + 1)= 3 arctan ,

Prethodni se uslovi svode na

= tanlpi

3, pr. sa Re -osom

= tan(

pi

6+

lpi

3

), pr. sa Im -osom

Nenegativna reenja prvog uslova su = 0 i =

3. Jedino konacno,

pozitivno reenje drugog uslova je

=33 .

S obzirom da je proces u otvorenoj sprezi bio stabilan (P = 0), dabi nakon zatvarnja povratne sprege ostao stabilan Nikvistova kriva nesme da obuhvati kriticnu tacku. Broj obuhvata mora biti jednak nuli!Sa slike 9 se jasno vidi da Nikvistova kriva nece obuhvatati kriticnutacku (1, 0) ukoliko vai

1 < k8

k < 8 .

Drugim recima, posmatrani je sistem stabilan nakon zatvaranja po-vratne sprege za svako pozitivno pojacanje k < 8. Nikvistove krivedobijene za razlicito k prikazane su uporedo na slici 10. Valja prime-titi da se sa povecanjem pojacanja Nikvistova kriva radijalno iri. Ovapojava je ilustrovana dijagramom na slici 10.

Vana napomena

Potpuno je svejedno da li cr-tamo Nikvistovu krivu funkcijepovratnog prenosa kW(s), papotom analiziramo broj obrtaoko kriticne tacke (1, 0) ilicrtamo Nikvistovu krivu naosnovu normalizovane funkcijepovratnog prenosa W(s), a po-tom analiziramo broj obrta okopodesive kriticne tacke ( 1k , 0).Sa prakticnog stanovita druginacin je najcece pogodniji.

Kada se Nikvistov kriterijum primenjuje na funkciju povratnogprenosa koja poseduje podesivo pojacanje k, kao to je to bio slucaju prethodnom primeru, cesto je prikladnije crtati Nikvistovu krivusamo na osnovu normalizovane funkcije povratnog prenosa dobijeneza k = 1. Analiza stabilnosti za proizvoljno k tada se moe vritipomeranjem kriticne tacke u poloaj 1k . Zaista, kako je

1+ kW(s) = 0 1k+W(s) = 0 ,

analiza stabilnosti se moe ravnopravno vriti posmatranjem broja obrta po-

desive krive kW(j) oko nepokretne kriticne tacke (1, 0) ili posmatranjemobrta normalizovane, nepokretne krive W(j) oko podesive kriticne tacke

( 1k , 0). Slika 11 ilustruje ovaj nacin analize stabilnosti.

nikvistov kriterijum stabilnosti 7

ReW(j)

ImW(j)

k = 0.5

k = 2

k = 4

k = 8

k = 10

Slika 10: Nikvistov dijagram funkcijepovratnog prenosa W(s) = k 1

(s+1)3za

razlicite vrednosti pojacanja k: 0.5, 2, 4,8 i 10. Sa povecanjem proporcionalnogpojacanja k Nikvistova kriva se radi-jalno iri. Za k = 8 Nikvistova krivaprolazi kroz kriticnu tacku i proces jeu zatvorenoj sprezi granicno stabilan.Za k < 8, Nikvistova kriva ne obuhvatakriticnu tacku i proces je stabilan u za-tvorenoj sprezi. Za k > 8, kriticna tackaje obuhvacena krivom i proces je nakonzatvaranja povratne sprege nestabilan.

ReW(j)

ImW(j)

1k

18Slika 11: Ilustracija alternativnog nacinareavanja primera 1. Prikazan je Nikvi-stov dijagram normalizovane funkcijeprenosa W(s) = 1

(s+1)3. S obzirom da

je funkvija povrtnog prenosa normali-zovana, kriticna tacka vie nije (1, 0)vec ( 1k , 0). Kako je proces u ovorenojsprezi stabilan, broj nestabilnih polovaobihvacenih Nikvistovom konturomje P = 0. Otuda, da bi proces i nakonzatvaranja povratne sprege ostao stabi-lan, Nikvistova kriva ne sme obuhvatatikriticnu tacku. Zelenom bojom je pri-kazan interval realne ose koji odgovarastabilnim poloajima kriticne tacke.Crvenom bojom su prikazani poloajikriticne tacke koji odgovaraju nestabil-nom procesu nakon zatvaranja povratnesprege.

nikvistov kriterijum stabilnosti 8

Primer 2. (Primena Nikvistovog kriterijuma kod sistema koji posedujetransportno kanjenje.) Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitatiopseg pojacanja k za koje je proces opisan funkcijom povratnog

prenosa W(s) = k(s+1)3 e

5s stabilan nakon zatvaranja povratnesprege.

Nikvistov kriterijum je dragocen alat za analizu ponaanja sistemakoji poseduju transportno kanjenje. Na alost, s obzirom da su pro-cesi sa kanjenjem beskonacne dimenzije, odgovarajuca Nikvistovakriva je najcece sloenog oblika i obicno se crta uz pomoc odgo-varajucih racunskih alata. Cilj ovog primera je da ilustrujemo oblikNikvistove krive sistema koji poseduju transportno kanjenje, te daukaemo na jednostavan nacin na koji se stabilnost sistema sa kanje-njem moe analizirati analitickim metodama.

Nakon smene s = j, te nakon sredivanja3, realni i imaginarni deo 3 Podsecamo citaoca da je

ej5 = cos(5) j sin(5) .funkcije povratnog prenosa se mogu zapisati u obliku

ReW(j) =(2 3) sin(5) + (1 32) cos(5)

(2 + 1)3,

ImW(j) =

(32 1) sin(5) + (2 3) cos(5)

(2 + 1)3.

ReW(j)

ImW(j)

0.8 1k

0.4

Slika 12: Nikvistov dijagram procesaopisanog funkcijom povratngo pre-nosa W(s) = k

(s+1)3e5s. Uocite da

se Nikvistova kriva spiralno uvija kakoordinatnom pocetku. Dovoljnimpovecanjem pojacanja, odnosno do-voljnim pribliavanjem kriticne tackekoordinatnom pocetku, kriticna tackabiva proizvoljan broj puta obuhvacenaNikvistovom krivom u negativnommatematickom smeru. Drugim recima,procesi sa kanjenjem dovoljnim uve-canjem pojacanja dobijaju proizvoljanbroj nestabilnih polova. Ovakvi procesisu upravo zbog toga izrazito teki zaupravljanje.

S obzirom da je pre zatvaranja povratne sprege proces bio stabilan(P = 0), nakon zatvaranja povratne sprege stabilnost ce biti garan-tovana ukoliko Nikvistova kriva ne obuhvata kriticnu tacku. Drugimrecima, proces ce nakon zatvaranja povratne sprege biti stabilan uko-liko se kriticna tacka nalazi levo od prve tacke preseka sa negativnimdelom realne ose (videti sliku 12).

Prvi presek Nikvistove krive sa negativnim delom realne ose mo-emo odrediti priblino, numerickim metodama. Tako nalazimo 0.4 i ReW(j) 0.8. Zakljucujemo da ce proces nakon zatva-

nikvistov kriterijum stabilnosti 9

ranja povratne sprege biti stabilan za

1k< 0.8 k < 1.25 .

Poredenjem sa rezultatima prethodnog primera, vidimo da je uvo-denje kanjenja u znacajnoj meri umanjilo opseg stabilnosti procesanakon zatvaranja povratne sprege.

Vano je primetiti uvodenje kanjenja ne menja moduo funkcijeprenosa na imaginarnoj osi. Kanjenje menja samo fazu. Zaista, sobzirom da je |ej5| = 1, arg ej5 = 5, zakljucujemo da uvodenjekanjenja samo linearno smanjuje fazni stav funkcije povratnog prenosa.

Primer 3. (Primena Nikvistovog kriterijuma u slucaju procesa koji je ne-stabilan u otvorenoj sprezi.) Primenom Nikvistovog kriterijumaispitati opseg pojacanja k za koje je proces opisan funkcijom

povratnog prenosa W(s) = k s+1(s1)2 stabilan nakon zatvaranja

povratne sprege.

ReW(j)

ImW(j)

1

32

Slika 13: Nikvistov dijagram procesaopisanog funkcijom povratnog prenosaW(s) = k s+1

(s1)2 . Proces ima dva nesta-bilna pola u otvorenoj sprezi P = 2.Poloaji kriticne tacke za koje ce procesnakon zatvaranja povratne sprege bitistabilan prikazani su zelenom bojom,dok su poloaji koji odgovaraju nesta-bilnim procesima u zatvorenoj spreziprikazani crvenom bojom.

Smenom s = j i razdvajanjem realnog i imaginarnog dela funk-cije povratnog prenosa nalazimo

ReW(s) =1 32(2 + 1)2

,

ImW(s) =(33)(2 + 1)2

.

Nikvistova kriva pocinje u tacki W(j0) = 1, a zavrava se u koordi-natnom pocetku kada tei nuli. Preseke sa koordinatnim osamanalazimo na uobicajeni nacin.

Presek sa realnom osom. ImW(s) = 0 = 3, ReW(j3) = 12

Presek sa imaginarnom osom. ReW(s) = 0 =33 ,

ImW(j3) =

32

Nikvistov dijagram je prikazan na slici 13. S obzirom da je proces uotvorenoj sprezi posedovao dva nestabilna pola, ukupan potrebanbroj obrta Nikvistovog vektora oko kriticne tacke je 1. Posledicno,uslov stabilnosti je

1k< 1 k > 1 .

Preteci stabilnosti: Pretek faze, pretek pojacanja i pretek kanjenja

Stabilnosti je svakako centralni pojam prilikom razmatranjadinamickih sistema sa povratnom spregom. U analizi sistema,osnovno pitanje je da li je posmatrani sistem stabilan. Prilikom sin-teze, osnovno pitanje moe li se i na koji nacin posmatrani sistem

nikvistov kriterijum stabilnosti 10

stabilisati uvodenjem odgovarajuce povratne sprege. Medutim, sempitanja Da li je sistem stabilan?, postavlja se i pitanje Koliko je sistemstabilan?. Drugim recima, u kolikoj meri i na koji nacin moemopromeniti ponaanje razlicitih komponenata a da sistem u celini idalje zadri svojstvo stabilnosti. Ova i slicna pitanja spadaju u oblastotpornosti (tj. robusnosti) sistema automatskog upravljanja. Medumnogobrojnim pokazateljima otpornosti sistema prakticno se najcecekoriste pretek pojacanje i pretek faze, odnosno pretek kanjenja.

Pretek pojacanja

Pretek pojacanja

Pretek pojacanja daje odgovorna pitanje: Koliko maksimalnododatno pojacanje je moguceuvesti u sistem, a da on i daljeostane stabilan nakon zatvaranjajedinicne povratne sprege?

Definicija 1. (Pretek pojacanja.) Pretek pojacanja procesa opisa-nog funkcijom povratnog prenosa W(s) jeste minimalno pojaca-nje d > 0 takvo da je proces kW(s) stabilan u zatvorenoj spreziza svako k < d.

Pretek pojacanja odreduje na sledeci nacin. Najpre odredimo vred-nost za koju se Nikvistova kriva preseca sa negativnim delom re-alne ose, odnosno za koje je argument funkcije povratnog prenosajednak pi,

argW(jpi) = pi . (4)

Takvo omega se obicno obeleava sa pi. U optem slucaju, naravno,moe postojati veci preseka Nikvistove krive sa negativnim delomrealne ose. Takode, u zavisnosti od broja nestabilnih polova procesa uotvorenoj sprezi poloaj ovih preseka moe na sloen nacin uticati nastabilnost sistema nakon zatvaranja povratne sprege.

U posebno jednostavnom, ali prakticno izuzetno zanimljivom,slucaju procesa koji su stabilni u otvorenoj sprezi, a kod kojih postojitacno jedan presek Nikvistove krive sa negativnim delom realneose (kada je pi jednoznacno odredeno) pretek pojacanja se moesracunati jednostavnom formulom

d =1

|W(jpi)| . (5)

Zaista, nije teko pokazati da je proces cija je funkcija povratnogprenosa dW(s) granicno stabilan. Ukoliko je pretek pojacanja veciod jedan, tada je posmatrani proces stabilan u zatvorenoj sprezi.Ukoliko je, sa druge strane, pretek pojacanja manji od jedan, proces jenestabilan nakon zatvaranja povratne sprege.

nikvistov kriterijum stabilnosti 11

Pretek faze i kanjenja

Pretek kanjenja

Pretek kanjenja daje odgovorna pitanje: Koliko maksimalnododatno kanjenje je moguceuvesti u sistem, a da on i daljeostane stabilan nakon zatvaranjajedinicne povratne sprege?

Definicija 2. (Pretek kanjenja.) Pretek kanjenja procesa opisa-nog funkcijom povratnog prenosa W(s) jeste minimalno trans-portno kanjenje c > 0 takvo da je proces W(s)esc stabilan uzatvorenoj sprezi za svako < c.

U primerima iz prethodnog odeljka videli smo da uvodenje dodat-nog kanjenja ne menja moduo (amplitudu) Nikvistove krive, samolinearno menja fazu (argument). Otuda se pretek kanjenja moeizracunati na osnovu ugla za koji je neophodno obrnuti Nikvistovukrivu u negativnom matematickom smeru da bi proces naao nagranici stabilnosti. Ilustracija je prikazana na slici 14.

ReW(j)

ImW(j)

1

0.766

67.6

(a) W(s) = 1(s+1)3

ReW(j)

ImW(j)

1

0.766

(b) W(s) = 1(s+1)3

e2.56s

Slika 14: Uporedni prikaz Nikvistovihdijagrama procesa opisanih funkcijamaprenosa

W(s) =1

(s+ 1)3

i procesa cije je funkcija prenosa

W(s) =1

(s+ 1)3e2.56s .

Uvedeno kanjenje je taman toliko dadovede proces na granicu stabilnosti.Pretek kanjenja posmatranog sistema jeupravo c 2.56.

Vidimo da nakon obrtanja za priblino 67.6 (odnosno 1.18 radi-jana) u smeru kazaljke na satu Nikvistov dijagram procesa opisanogfunkcijom prenosa W(s) = 1

(s+1)3 prolazi tacno kroz kriticnu tacku,odnosno postaje granicno stabilan. Za svaki manji ugao obrta, procesje i dalje stabilan. Za svaki veci ugao obrta, proces je nestabilan.

Definicija 3. (Pretek faze.) Pretek faze procesa opisanog funk-cijom povratnog prenosa W(s) jeste minimalan ugao za koji jeneophhodno obrnuti Nikvistovu krivu da bi ona prola krozkriticnu tacku.

Postupak odredivanja preteka faze je sledeci. Najpre se odredivrednost za koju je moduo funkcije povratnog prenosa jednak 1.Takvo se obeleava sa 1 i ne mora biti jednoznacno u optemslucaju,

|W(j1)| = 1 . (6)

nikvistov kriterijum stabilnosti 12

Ugao za koji treba obrnuti Nikvistovu krivu da bi se tacka W(j1)poklopila sa kriticnom tackom je

p f = pi + argW(j1) . (7)

U specijalnom, ali posebno interesantnom slucaju kada je processtabilan u otvorenoj sprezi, a 1 jednoznacno odredeno, tada je p fupravo pretek faze posmatranog procesa.

Pretek kanjenja se sada neposredno nalazi odredivanjem kolicnikapreteka faze i presecne vrednosti ,

c =p f

1. (8)

Do prethodnog izraza dolazimo ukoliko primetimo da destabiliuciobrt Nikvistove krive unosi upravo transportno kanjenje, odnosnoclan oblika ejc . Ovaj clan obrce tacku W(j1) na Nikvistovoj kri-voj u negativnom matematickom smeru za ugao p f = 1c.

Koijeva teorema argumentaIzvoenje Nikvistovog kriterijuma PrincipiPreteci stabilnosti: Pretek faze, pretek pojaanja i pretek kanjenja