nyquist fundamentos de controlo deec/istisabel lourtie critério de nyquist introdução...

NyquistFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Critério de Nyquist

IntroduçãoDefinição; Teorema de Cauchy.

Método de Nyquist Contorno de Nyquist; Construção e análise do diagrama.Estabilidade relativa; Margens de ganho e de fase.



Introdução

O critério de Nyquist é um método gráfico que parte do conhecimento da função resposta em frequência da malha aberta para avaliar a estabilidade do sistema em malha fechada

K sG

sR sY

sH

função de transferência em cadeia aberta

Função de transferência em cadeia fechada: sHsKGsKG

1

Critério de estabilidade absoluta: as raízes da equação característica (polos da função de transferência em cadeia fechada)

situam-se no semiplano complexo esquerdo 01 sHsKG

O critério de Nyquist baseia-se no teorema de Cauchy para funções de variável complexa



Teorema de Cauchy

Dada uma função , analítica sobre todo um contorno e no interior deste excepto para um número finito de pontos, quando percorre, num dado sentido, o contorno , percorre um contorno imagem dando em torno da origem do plano complexo um número de voltas que é igual ao número de zeros menos o número de polos de no interior do contorno :

sF

sF C

C

Z

sC sF

P

CN

PZN

Re

Im

C

plano sRe

Im

C

plano sF

dá 1 volta, no mesmo sentido que , em torno da origem.

112

PZNP

Z

CC

Ex. 1

Re

Im

C

plano sRe

Im

C

plano sF

dá 1 volta, em sentido contrário a , em torno da origem.

121

PZNP

Z

CC

Ex. 2



Método de Nyquist K sG

sR sY

sHAplicação do Teorema de Cauchy ao estudo da estabilidade de um sistema em anel fechado

Objectivo: determinar se possui zeros no semiplano complexo direito

sHsKGsF 1

Definição do contorno C - contorno de Nyquist

não tem polos sobre o eixo imaginário sHsKG

Re

Im

C

- semicircunferência de raio - inclui todo o semiplano complexo direito

Plano s

tem polos sobre o eixo imaginário sHsKG

Re

Im

C

0raio

Plano sSentido positivo: sentido dos ponteiros do relógio



Método de Nyquist K sG

sR sY

sHObjectivo: determinar se possui zeros no semiplano complexo direito

sHsKGsF 1

PZN

- nº de voltas de em torno da origem

CN

- nº de polos de - igual ao nº de polos de - no semiplano complexo direito

sFP sHsKG

- nº de zeros de - igual ao nº de polos da f.t.c.f. - no semiplano complexo direito

sFZ

Re

Im

Plano s

Re

Im Plano F(s)

1 0

Contorno de Nyquist

sHsKGsF 1

C



Método de Nyquist Nº voltas de

em torno da origem sHsKGsF 1

Nº voltas de

em torno de sHsKG

1

PZN - nº de polos no semiplano complexo direitoP sHsKG

- nº de zeros de no semiplano complexo direito

sHsKG1Z

- nº de voltas de em torno de sHsKG

N1

Nº de polos da função de transferência em cadeia fechada no semiplano complexo direito

O sistema em cadeia fechada é estável sse PNZ 0

Re

Im

Contorno de Nyquist

sHsKG

Re

Im

2 01

Diagrama de Nyquist



Diagrama de Nyquist

Re

Im

Contorno de Nyquist js

jHjKG - pode obter-se a partir do diagrama de Bode

jHjKG

jHjKGarg

- função par

- função ímpar

O diagrama de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real

O diagrama de Nyquist é uma representação polar de

para um dado valor de

sHsKGjesHsKGsHsKG arg

K

Re

Im

11 sHsKG

11arg sHsKG



Diagrama de Nyquist

Re

Im

Contorno de Nyquist

rres j ;

2,

2;

n

m

pspspszszszsKsHsKG

21

21

A imagem da semi-circunferência de

raio infinito é a origem

0: sHsKGmn

finito valor : sHsKGmn



Diagrama de Nyquist

K

sR sY1

1s

Exemplo 1

1

sKsHsKG

210 110 010 110 210

0

45

90

dBK

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

20dB

K

40dB

K

0Im

0

K

Re

02/K

1

1

01 :polo Ps

0,0 NK

0 PNZ

O sistema em anel fechado é estável para 0K

0K

Re

Im Contorno de Nyquist

1



Diagrama de Nyquist

K

sR sY1

1s

Exemplo 1 (cont.)

1

sKsHsKG

210 110 010 110 210

180

135

90

dBK

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

20dB

K

40dB

K

0K

só a fase se altera

Re


0Im

0

K

Re

0

2/K

1

1

1



O sistema em anel fechado é estável para

01 K

0Im

0

K

Re

0

2/K

1

1

Diagrama de Nyquist Exemplo 1 (cont.) 0K

1

sKsHsKG 01 :polo Ps

0Im

0

K

Re

0

2/K

1

1

1K

1

1

01 K

0 PNZ

0,01 NK

1 PNZ

1,1 NK

O sistema em anel fechado é instável para

1K

1 polo no SPCD



Diagrama de Nyquist

0Im

0

K

Re

02/K

1

1

0K

0Im

0

K

Re

0

2/K

1

1

0K

rotação de 180º em torno da origem do plano

Exemplo 1 (cont.)



Diagrama de Nyquist

K

sR sY1

1s

0KExemplo 2

1

sKsHsKG

210 110 010 110 210

90

135

180

dBK

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

20dB

K

40dB

K

0Im

0

K

Re

02/K

1

1

Re


1

11 :polo Ps



O sistema em anel fechado é instável para

10 K

Diagrama de Nyquist Exemplo 2 (cont.) 0K

1

sKsHsKG 11 :polo Ps

1 PNZ

0,10 NK

0 PNZ

1,1 NKO sistema em anel fechado é estável para

1K

0Im

0

K

Re

0

2/K

1

1

1

10 K

1 polo no SPCD

0Im

0

K

Re

02/K

1

1

1K

1



0Im

0

K

Re

02/K

1

1

Diagrama de Nyquist Exemplo 2 (cont.)

0K

11 :polo Ps

0,0 NK1 PNZ

O sistema em anel fechado é instável 0K

0Im

0

K

Re

02/K

1

1

0K

rotação de 180º em torno da origem

1

sKsHsKG

1 polo no SPCD



Diagrama de Nyquist

K

sR sY 1

1ss

Exemplo 3

1ssKsHsKG

0K

210 110 010 110 210

90

135

180

40dB

K

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

20dB

K

80dB

K

Re

Im

0

0

Re

ImContorno de Nyquist

1

0

0

jes

jjjjj

jjj eHeKGeKeeKeHeKGes arglim

1:

0

00,1 :polos Ps0,0 NK

O sistema em anel fechado é estável para 0K

0 PNZ



Re

Im

0

0

Diagrama de Nyquist Exemplo 4 0K

21

ssKsHsKG

211ssK

sR sY

Re

Im

1

0

0

jes

210 110 010 110 210

90

180

270

40dB

K

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

40dB

K

120dB

K

0P

?



Diagrama de Nyquist

210 110 010 110 210

90

180

270

40dB

K

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

40dB

K

120dB

K

Re

Im

0

0

Exemplo 4 (cont) 0K

Ponto de cruzamento com o eixo real negativo:

21

ssKsHsKG

Fase º180Amplitude

dBdB

KK2

6

Sistema estável: 2012

0 KK2K



Diagrama de Nyquist Exemplo 5 0K

12

ssKsHsKG

Re

Im

1

0

0

jes

12

jKjHjKG

122

KjHjKG

arctanarg jHjKG

Re

Im

0

0

0P



0

0 Re

Im

Diagrama de Nyquist Exemplo 5 (cont.)

0K

12

ssKsHsKG

Re

Im

1

0

0

jes

2

202200lim

1limlim j

jjjj eK

eeKeHeKG

1

22

0

22

4

0202

24

22

0

2arglim

0

jj eHeKG

2 NPZ

O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K>0

0P2N



Estabilidade Relativa

O diagrama não está à escala

41

sssKsHsKG

Re

Im

0

0

1K

210 110 010 110 210

90

180

270

40

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

120

0

40

80

O sistema torna-se instável com o aumento do ganho?

?

1

dB 26

0.05-

O sistema fica instável quando 2005.01K



Estabilidade Relativa Margem de Ganho (MG)

A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.

Re

Im

0

0

1

MG1

210 110 010 110 210

90

180

270

40

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

120

0

40

80

dB 26MG



Estabilidade Relativa Margem de Fase (MF)

A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.

210 110 010 110 210

90

180

270

40

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

120

0

40

80

º73MF

Re

Im

0

0

1

MF




A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.

jHjKG

1MG

Re

Im

0

0

1

MG1

MF

A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.

c

jHjKG

argº180MF

frequência para a qual a função de transferência em anel aberto introduz uma rotação de fase de -180º

frequência de corte a 0 dB – frequência para a qual a função de transferência em anel aberto tem ganho unitário

c




O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para sistemas em cadeia aberta estáveis ou marginalmente estáveis (P = 0).

Para sistemas cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo em mais do que um ponto, a condição de estabilidade imposta pelo critério de Nyquist traduz-se em MG>1 e MF>0.

Para sistemas de 1ª e 2ª ordem cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo em qualquer ponto, a MG é sempre infinita.

Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo.

Consideram-se valores convenientes para uma boa estabilidade relativa 30º<MF<60º e MG>6dB.



K

sR sY sG

Estabilidade Relativa Exemplo

Qual o valor de K para o qual a margem de fase é de 45º?

21

10KdB 10 K

210 110 010 110 210

90

180

270

40

Am

plitu

de (d

B)

Fase

(º)

rad/s

120

0

40

80

º45

dB 10

Qual a margem de ganho para este valor de K?

dB 26

2016

10MGdB 16)26(10MG

MG

1K



Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x

sR sY n

n

ss x2

2

10 x

nn

sssG

x2

2

Função de transferência em cadeia aberta:

Para sistemas em cadeia fechada de 2ª ordem sem zeros e com polos complexos,

que valor deve ter a Margem de Fase para que a sua resposta ao escalão apresente uma determinada sobre-elevação?

22

2

2 nn

n

sssRsY

x

Margem de Fase:

222

22

42n

n

n

n

jjjG

x

x

n

jGx

2arctanº90arg

142 42 xx nc

1

xxx

2142

arctanº90

argº180MF

42

cjG



Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x

xxx

2142

arctanº90MF42

100ºMF

x

especificação no domínio da frequência

especificação no domínio do tempo



Largura de Banda vs. Frequência de Corte a 0 dB

sR sY n

n

ss x2

2

c

dB0

Amplitude da malha aberta

c

Amplitude da malha fechada

dB3

c6.1

cc 2LB



Largura de Banda vs. Coeficiente de Amortecimento x

sR sY n

n

ss x2

2

cc 2LB

x

cLB

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