NOIUNI FUNDAMENTALE ALE MATEMATICII N ABORDRI CONTEMPORANE. SENSURI I SEMNIFICAII

Luminia Dominica Moise Ruxandra Cristea Maria Dinic

Abstract One of the still unsolved problems of Mathematics is the distribution of prime numbers, a problem which is presented here so as to be understood at a high school curriculum level. Another direction in contemporary science is the mathematical modeling of natural phenomena. In our paper, we are going to present several applications of new areas of Mathematics in Biology, Geography and Chemistry.

IntroducereConceptul de numr este fundamental pentru matematic, iar numerele prime sunt crmizile din care sunt construite celelate numere. De-a lungul timpului au fost formulate multe conjecturi referioare la numere, unele dintre ele de o simplitate surprinztoare, dar ateptnd nc rezolvarea. Sensurile i semnificaiile acestor numere depesc graniele matematicii i au aplicaii n diferite domenii. Una dintre problemele nc nerezolvate este distribuiia numerelor prime, problem care este adus n discuie aici pentru a fi nteleas cu bagajul matematic al nivelului liceal. Dac problemele aritmeticii preocup nc de pe vremea grecilor antici matematicienii, o traiectorie asemntoare gsim n abordarea noiuniilor din geometria transformrilor. Analiza structurii lumii vii a condus de la simetria cristalelor la cvsisimetrie iar transformrile geometrice aplicate iterativ la noiunea de fractal. Modelele matematice astfel create au generat noua paradigm n tiina contemporan prin fundamentarea unor domenii ale tiinei din aceste perspective.

Numerele primeDup cum afirm unii autori, n anul 1854, Riemann a descoperit Sfntul Graal al matematicii: o formul care prezicea distribuia numerelor prime dar pentru care nu a oferit o riguroas dovad matematic. Afirmaia sa se referea la distribuia zerourilor unei anumite funcii, numite zeta, funcie care a dobdit o semnificaie important nteoria numerelordatorit relaiei pe care o are cu distribuianumerelor prime. Rspunsul la problema distribuiei umerelor prime are aplicaii n diferite domenii cum ar fifizic,teoria probabilitilor sau statisticaaplicat.Literatura de specialitate definete funcia zeta Riemann (s) ca o funcie de variabilcomplex. Putem s ne apropiem de nelegerea acestei funcii pornind de la seria armonic generalizat din analiza real.Seria armonic generalizat (s)

Demonstrm c pentru s=1 seria armonic este divergent:

Este minorat de seria :

serie care conine 4-2=2 termeni de valoare 14, 8-4=4 termeni cu valoarea 1/8, 16-8=8 termeni de valoare 1/16 s.a.m.d. deci egal cu

prin urmare infinit.O demonstratie mai riguroas se poate face prin inducie matematic. Notm cu SN irul sumelor pariale Pentru m=1 afirmaia este adevart deoarece .Pentru m >1, presupunem c i demonstrm ca afirmaia este adevarat i pentru m:

Demonstraia 2.Presupunnd ca seria armonic este convergent la Satunci i subirul va converge la S i n acest cazva avea limita la infinit 0. Dar :.Contradicie! Deci, presupunerea este fals i seria este divergent.Demonstrm convergena pentru s=2. Seria devine

Deoarece

rezultat dedus din identitile ; . Observnd c rezult c seria converge la un numr mai mic dect 2.Consecin. Seria armonic generalizat este convergent pentru s> 2 deoarece

Demonstraia convergenei pentru s > 1 utilizeaz binomul lui Newtoni inegalitatea:

Deci, aceast serie Dirichlet convergepentru toate valorilerealeale luismai mari ca 1.Revenim acum la funcia zeta, extindere a funciei anterioare (s) la valoricomplexeale variabilei s. Literatura de specialitate definete funcia zeta Riemann (s) ca o funcie de variabilcomplexsiniial definit prin urmtoarea serieinfinit pentru anumite valori ale luisi apoi continuat analitic la toate numerele complexes 1.

Se demonstreaz n analiza complex c aceast serie Dirichlet convergepentru toate valorilerealeale luismai mari ca 1. Riemann a stabilit o ecuaie funcional pentru funcia zeta, care pune n legtur valorile din punctelescu cele din punctele 1s. Celebraipotez Riemann, formulat n aceeai lucrare a lui Riemann, se ocup de zerourile acestei funcii extinse analitic.O legtur cu numerele prime este dat de Formula lui Euler

Funcia zeta Riemann admite o infinitate de valorispentru care (s) =0. Dintre acestea -2, -4, -6, ... se numesc zerouri triviale deoarece existena lor este relativ uor de demonstrat. Zerourile netriviale sunt cele care au captat atenia att de mult, deoarece distribuia lor este legat de numerele prime. Este cunoscut faptul c oricare dintre zero-urile netriviale se afl n banda {s C: 0 6 este suma a dou numere prime?

Transformrile geometrice n actualitatea tiintificStudiul tiinific asupra cristalelor minerale (cristalografia) a nceput la sfritul secolului al XVII-lea dorind, la nceput, clasificarea lor din perspectiva caracteristicilor geometrice. Ulterior, cristalografii au ajuns la concluzia c geometria observat la scar macroscopic poate fi explicat de strucura corpurilor la nivel de atomi, molecule sau ioni, ordinea i simetria structurii interne conducnd la proprietile fizice ale cristalelor i a formelor lor geometrice exterioare vizibile cu ochiul liber. Diamantul - mineralnativ i n acelai timp piatr preioas care este simbolul duritii - este aa de puternic datorit structurii sale simetrice, a modului n care atomii de carbon sunt legai mpreun.Dac cristalele pot fi descrise cu un grup de simetrii, cvasicristalele ncalc regulile de simetrie ntlnite la structurile cristaline tradiionale. Ele prezint proprieti fizice i electrice diferite de cele ntlnite la alte structuri cristaline i au fost descrise pentru prima oar n anii '80 de ctre cercettorul israelian Daniel Schehtman, distins cu Premiul Nobel pentru chimie n 2011 pentru descoperirea sa. Dr. Shechtman a creat prima dat cvasicristalele prin rcirea rapid a metalelor lichide precum aluminiu sau magneziu i apoi pulverizarea amestecului pe o suprafa rece. La microscop, el a remarcat c noul cristal era format din uniti perfect ordonate, dar care nu se repetau niciodat practic, o structur atipic, de fapt, pentru cristale, care au structura regular i repetitiv, adevrate fascinante mozaicuri arabe reproduse la nivelul atomilor. Suportul matematic al cvasicristalelor const n teoria pavajelor, adic acoperirea unui plan cu submulimi ale sale fr a fi suprapuneri, fiecare pies fiind echivalent topologic cu un disc.

Fig. 2 Codificri ale simetriilor

Simetria este foarte important i n biologie viruii sunt deseori simetrici n form i acesta este secretul pentru care sunt aa de viruleni i de puternici. Un grup de oameni de tiin au studiat proteina virurului gripal care este implicat n mecanismul utilizat de virus pentru a prelua controlul asupra proceselor din celulele umane pe care le infecteaz. Cunoscut ca metoda microamestecului ea este dezvoltat pentru a obine informaii maxime asupra proteinei dorit s cristalizeze utiliznd o cantitate minim din mostr.

Fig. 4 Exemple de figuri simetrice

Dei dezvoltarea biologiei nu a fost influenat n mod esenial de dezvoltarea matematicii, n ultimele decenii este recunoscut importana completrii studiului descriptiv al unor fenomene sau mecanisme biologice cu aspecte legate de prelucrarea i interpretarea datelor obinute. Cea mai avansat form a folosirii matematicii n biologie este biologia matematic. Ea i propune modelarea matematic a proceselor biologice i studiul modelelor folosind metode specifice matematicii. Una dintre directiile noi din biologie este tehnologia fractal important n cercetarea tiintific din medicina i biologie deoarece s-a remarcat c fractalitatea este o nsusire general a biosistemelor. Obiectele din natura sunt fractali, structuri care favorizeaza schimbul cu mediul i n consecinta abordarea fractal este tot mai utilizat n probleme de modelare, diagnosticare i clasificare a sistemelor biologice. ntr-un limbaj netiinific, fractalul poate fi explicat ca o form geometric fragmentabil care poate fi divizat n pri, fiecare parte fiind o copie mai mic a ntregului. (fractus = rupt sau fracturat). Fractalul este un obiect autosimilar - conform acestei proprieti, o parte din structura sa seamn cu ntregul.are o dimensiune fracionar i are o definiie simpl i recursiv.i nu doar biologia ine pasul cu noile domenii din matematic. Geografia ultimilor decenii este marcat pe plan teoretic de diverse abordri ale conceptului de discontinuitate, proces care este n concordan cu modificri de aceeai natur aprute i n alte tiinte precum fizic, chimie sau biologie. Concepte din teoria hosului sau geometria fractal gsesc aplicaii aici i dau o nou percepie asupra realitii. De exemplu, studiul variaiilor paleoclimatice G i C Nicolis, 1984 pe baza analizei izotropilor de oxigen din sedimentele marine a evideniat un sistem cu patru variabile independente care ar putea fi suficient pentru a explica istoria, haotic a climei Pmntului. Teoria haosului face ca astzi s fie posibil nelegerea fenomenelor aparent dezordonate i a proceselor haotice pe care fizica tradiional le-a abandonat. Natura ofer la fiecare pas exemple de forme neregulate i fenomene haotice (fumul unei igri, cursul unei ape, traiectoria cderii unei frunze); n fiecare moment evoluia sistemelor haotice este imprevizibil. Legtura ntre haos i geometrie nu este accidental ci mai degrab o dovad a nrudirii lor.

Se pare ca nimeni nu este indiferent fa de fractali. De fapt, muli privesc prima lor ntlnire cu geometria fractal ca o experien cu totul nou, att din punct de vedere estetic, ct i tiinific.Benoit Mandelbrot Frumusetea fractalilor, 1986

Concluzii Traseul matematicii rmne un flux continuu din Grecia antic i pn astzi oferind omenirii provocri pentru mintea uman dar i modele pentru celelate tiinte, dezvoltarea aparatului matematic avnd implicaii n aproape toate domeniile cunoaterii umane i genernd o nou paradigm n tiin.

References

[1] M. F.Barnsley, Fractals everywhere, Second Edition, Academic Press Professional, 1993. [2] D. Moise, B. Bogdan and D. Dru, Algoritmi, numere si fractali, Editura Printech, Bucureti, 2007.[3] V. Alexandru and N.M. Gooniu, Elemente de teoria numerelor; Editura Univ. Bucureti, 1999.[4] H.O. Peitgen, H. Jurgens and D. Saupe, Chaos and New Frontiers of Science, Springer Verlag, 1992.[5] I. Ghitu, M. Ilie and L. Moise The Mathematics - the mysteries of science in shell equations, Symbols in the Universe of Knowledge, 2013.[6] A. Floroiu, A. Brignola and L. Moise, The number, the essence of all things, Symbols in the Universe of Knowledge, 2013.