Nociones de Topología del Espacio

Euclidiano para Homo sapiens y otros

semovientes.

Hernán Darío Toro Agudelo

Introducción

La Topología en el Espacio Euclidiano1 es el estudio de propiedades de conjuntos de

puntos, las cuales no cambian (son invariantes) con respecto a transformaciones

continuas. Para hacernos una imagen mental intuitiva de ello, imaginemos una lámina

elástica (como si fuera de látex o caucho de silicona), en la cual se marcan unas zonas en

blanco, otras en rojo y otras en azul. Si dicha lámina se deformara sin rasgarla y sin

perforarla, podría pasar algo como lo que se muestra a continuación:

Es obvio que, tras la deformación o transformación, las distancias y los ángulos entre los

puntos respectivos cambian, pero algunas propiedades se conservarán: por ejemplo, la

zona azul seguirá rodeada por la roja; los puntos blancos continuarán separados de los

azules por los puntos rojos; se podrá seguir uniendo cualquier pareja de puntos de color

azul con un camino que no se salga de la zona azul; los puntos de la línea limítrofe entre

1 El espacio que estudiaremos puede ser el conjunto de los números reales (𝑥 ∈ 𝐑), el de las parejas

ordenadas del plano ((𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝐑2), el de las ternas ordenadas del espacio,

((𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐑3), o en general, el de las 𝑛-adas ordenadas en un espacio 𝑛-dimensional

((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐑𝑛). El conjunto 𝐑𝑛 se lee “𝑅-súper-𝑛”. Sea cual sea el valor de 𝑛, en cualquiera de esos conjuntos debe estar bien definida una medida de distancia y una medida de ángulos.

la zona roja y la blanca, seguirán siendo una línea; los puntos previamente muy cercanos

seguirán siendo muy cercanos después de la deformación. Todas estas propiedades y

muchas más que también se conservan cuando se deforma un conjunto sin rasgarlo o

perforarlo (esto es, continuamente), son el campo de estudio de la topología.

En este escrito usaremos nuestra noción intuitiva del espacio, tal cual la forjó la evolución

por selección natural para hacernos aptos a escalas de tamaño intermedias. Esto significa

que, a pesar de que la materia es discontinua en la escala molecular e inferiores (atómica

y subatómica), consideraremos a la materia como si fuera continua e infinitamente

divisible. De la misma forma, aunque hoy día sabemos que no existen longitudes

inferiores a la longitud de Planck que pudieran tener sentido físico, supondremos que el

espacio es continuo: que entre dos puntos diferentes siempre habrá un número infinito de

puntos.

Esta aproximación intuitiva y algo ingenua al estudio de la topología, permitirá un

aprendizaje más significativo que si se parte de una axiomática de principios para concluir

teoremas particulares.

La Topología y nuestra herencia zoológica

La mayor parte del conocimiento topológico que usa un ingeniero en pregrado incluye

propiedades del espacio que realmente han sido “alambradas” en el hardware neuronal

del reino Animalia durante centenares de millones de años de evolución biológica. La

supervivencia de todo animal depende de que su modelo mental del espacio corresponda

razonablemente bien con la realidad que lo rodea, y esto hace que todos los animales

tengan una concepción más o menos aceptable de las propiedades topológicas del espacio

a escalas medianas de tamaño.

Incluso algunos conceptos que se entienden principalmente en el contexto de un espacio

continuo (como el de punto interior), pudieron estar motivados inicialmente por

diferencias de vida o muerte vinculadas con la posición y otras relaciones derivadas de la

proximidad a otros individuos en conjuntos discretos, como la manada propia o ajena.

Es por estas razones que este documento se centrará principalmente en formalizar y en

aplicar los conceptos a priori sobre el espacio con los cuales la evolución dotó a nuestros

cerebros. No tendrá un enfoque abstracto y generalizador con respecto a topologías en

otros tipos de espacios. Simplemente trataremos de dotar de algo de rigor matemático a

esas intuiciones “continuas” sobre el espacio que son la herencia de nuestra historia

filogenética.

Dos grupos generales de conceptos emanan de nuestra intuición animal sobre el espacio:

los conceptos que surgen de la idea de “interioridad” (diferente de la “pertenencia”), y los

conceptos que emanan de la idea de “contacto” y “aislamiento”. Para precisarlos se

separarán en dos secciones.

Interioridad y conceptos derivados

Lo que define biológicamente al Reino Animalia es su naturaleza heterótrofa y móvil: a

diferencia de las plantas, los animales no generan su propio alimento, sino que usan

moléculas orgánicas que obtienen de los cuerpos de otros seres vivos; además, y a

diferencia de los hongos y su reino Fungi, que también son heterótrofos, los animales se

mueven para buscar su sustento.

Los animales son expertos en matar y en evitar ser matados. Esto hizo que la evolución

por medio de la selección natural dotara a los cerebros de los animales de un modelo muy

apropiado de lo que es un espacio continuo, y de sus relaciones derivadas de la cercanía.

El concepto más importante de esta categoría es el de “elemento interior de un conjunto”

como concepto diferente de “elemento perteneciente a un conjunto”. Esto tal vez pueda

chocar al lector: ¿cómo no va a ser lo mismo “estar en un conjunto”, que “estar adentro

del conjunto”? ¿Acaso no es lo mismo estar en, que estar dentro?

Aunque un uso laxo del lenguaje español nos haya terminado de convencer de la

sinonimia entre la interioridad y la pertenencia, la realidad es muy diferente: cualquier

animal en la Sabana de Serengueti sabría distinguirlas con total claridad porque es

cuestión de vida o muerte. El siguiente ejemplo lo explicará a cabalidad.

Considere una migración de gacelas. La manada es un conjunto de cientos o miles de

animales. Cada una de las gacelas pertenece a la manada. No obstante, hay una diferencia

enorme entre los animales que se señalan en la imagen siguiente en colores azul, marrón

y verde. Trate el lector de imaginar que es la gacela verde, luego la marrón y finalmente

imagine que es la azul. ¿Sintió alguna diferencia?

Si el lector logró despertar su instinto animal por un instante ante la adrenalina imaginaria

de dicha situación, entenderá que la gacela señalada con color verde seguramente vivirá

otro día; la marrón, sólo siendo muy afortunada podrá sobrevivir a ese instante, y la azul

tendrá un destino mucho más aciago, no muy distinto del siguiente:

El anterior ejercicio mental ilustra a la perfección la diferencia entre pertenecer a un

conjunto, y estar dentro del conjunto. Las tres gacelas, la azul, la ocre y la verde, están

en el conjunto; pertenecen a la manada, pero sólo la gacela verde está realmente dentro

de la manada. La ocre no está adentro de la manada; está justo en el borde de la manada,

pero no dentro de ella. La azul, aunque es una gacela, está aislada de todas las demás, y

con total seguridad, será la siguiente en morir.

Es obvio que para que una gacela esté dentro de la manada, aparte de estar en ella, tiene

que estar rodeada por todos lados de otros elementos de la manada. Eso es lo que la

hace estar en un lugar seguro; por eso vivirá otro día para contar cómo sus compañeras

murieron en las fauces de un león.

En este caso “estar rodeada por todos lados” significa tener congéneres alrededor, sobre

la superficie de la sabana. Es un rodeo “superficial”. Las gacelas no esperan ser atacadas

aéreamente por un león volador, ni subterráneamente por un león-topo que salga de entre

la tierra. Desde esa óptica, aunque las gacelas son tridimensionales, la manada de gacelas

se puede considerar como un conjunto esencialmente plano, sobre la llanura.

Nótese que este concepto no está alambrado únicamente en el cerebro de las presas. Los

depredadores también lo conocen a la perfección: cualquiera de los leones del esquema

sabría cuál presa le costaría más atrapar. El gasto innecesario de energía, y el riesgo de

cornadas o accidentes en una cacería innecesariamente difícil, puede significar la

diferencia entre el éxito y el fracaso y, con ello, la vida o la muerte por inanición del

depredador y su progenie.

Para otros animales que se mueven en entornos tridimensionales, hay una equivalencia

de lo que significa estar en un conjunto o estar dentro de un conjunto. Piense en un

cardumen tridimensional de arenques, que ocupan un volumen de mar, a diferencia de la

manada de gacelas que ocupan un área de una sabana. La diferencia entre estar en el

cardumen, y estar dentro del cardumen es la misma, como se ilustra en la imagen a

continuación.

Si hace el ejercicio de ponerse en la posición del arenque color azul y luego en la del

arenque color ocre, es obvia la diferencia entre pertenecer al cardumen y estar dentro de

él; es la misma diferencia de vida o muerte. Para un caso tridimensional, estar en el

interior del conjunto significa estar rodeado por todos lados por elementos pertenecientes

al conjunto; esto es, por encima, por debajo, por la derecha, por la izquierda, por delante,

por detrás, y por cualquier dirección diagonal, intermedia entre las previas.

Pasar del concepto animal de interioridad, al concepto topológico de interioridad en un

espacio euclidiano no conlleva mayor dificultad, aparte de la del paso de los conjuntos

continuos a los conjuntos discretos y del paso de objetos reales a puntos de tamaño nulo.

No hablaremos de elementos discretos en un conjunto de objetos, sino de puntos en el

espacio continuo.

Consideremos un punto �⃑�0 en un conjunto 𝐴, que simbolizaremos con la notación

universalmente aceptada de �⃑�0 ∈ 𝐴, que se lee “equis sub cero está en 𝐴”, o “equis sub

cero pertenece a 𝐴”. Diremos que dicho punto �⃑�0 es un punto interior del conjunto 𝐴 si

está rodeado por todos lados por puntos del conjunto 𝐴. Para ilustrar el concepto en el

plano, imaginemos el conjunto 𝐴 de todos los puntos del plano que tienen tonalidad

azul en el siguiente esquema, donde se indican tres puntos

específicos: �⃑�𝑖, �⃑�𝑓 y �⃑�𝑎.

𝐴

�⃑�𝑖 �⃑�𝑓

�⃑�𝑎

En dicho esquema, es evidente que los tres puntos están en el conjunto 𝐴, porque los tres

cumplen la condición que define al conjunto: todos ellos tienen tonalidad azul. Esto se

puede simbolizar como se indicó antes: (�⃑�𝑖 ∈ 𝐴) ∧ (�⃑�𝑓 ∈ 𝐴) ∧ (�⃑�𝑎 ∈ 𝐴) ; la cuña “∧”

representa la conjunción, y justo como en nuestro idioma, se lee “y”. A veces, para no ser

repetitivo, lo anterior se abrevia así: �⃑�𝑖, �⃑�𝑓 , �⃑�𝑎 ∈ 𝐴 (que se lee “equis-sub-𝑖, equis-sub-𝑓

y equis-sub-𝑎 pertenecen a 𝐴”, o también “están en 𝐴”).

En este caso si se generaliza el concepto previo, resulta obvio que sólo uno de esos puntos,

�⃑�𝑖 es un punto interior del conjunto 𝐴, porque es el único que está rodeado por otros

puntos de 𝐴. Los demás, para hacer analogía con nuestro ejemplo animal, serían puntos

que están justo en el borde de la manada y con riesgo alto de muerte (como �⃑�𝑓) o peor

aún, serían animales que están totalmente aislados de la manada, justo los que los que

prefieren los depredadores antes de atacar (en este caso, �⃑�𝑎).

Vecindades en el espacio

Para poder entrar a analizar rigurosamente el concepto de interioridad, necesitamos una

herramienta matemática que nos permita dar rigor a la idea de cuándo un elemento de un

conjunto está rodeado por completo de otros elementos del mismo conjunto. En este caso,

los elementos de los que hablaremos serán puntos en el espacio.

El concepto de estar rodeado implica un elemento central, y otros elementos vecinos o

cercanos alrededor de él. Esto implica definir claramente al elemento central, y

determinar también una medida de cercanía o distancia máxima al centro, lo cual se

determina dando un radio máximo de alejamiento desde ese centro.

Todo esto nos lleva a definir nuestra herramienta matemática. Será un conjunto que

llamaremos “vecindad o entorno centrado en un punto �⃑⃑⃑�𝟎 con radio 𝒓”, y que

denotaremos con el símbolo 𝑉𝑟(�⃑�0).

Su definición es simple: una vecindad es el conjunto de todos los puntos que estén más

cerca del centro que cierto radio máximo; en otras palabras, una vecindad o entorno de

consta de todos los puntos �⃑� en el espacio 𝑛-dimensional 𝐑𝑛, cuya distancia2 hasta el

punto central �⃑�0, denotada por 𝑑(�⃑�, �⃑�0), sea estrictamente menor que un radio 𝑟. En

notación matemática,

𝑉𝑟(�⃑�0) = { �⃑� ∈ 𝐑𝑛: 𝑑( �⃑� , �⃑�0) < 𝑟}

Una buena imagen mental de lo que podría ser una vecindad en el espacio tridimensional

𝐑3 sería el interior de una pompa o burbuja de jabón con espesor superficial

2 Existen infinitas fórmulas de distancia equivalentes en un espacio métrico. Por ejemplo, en el caso de

𝐑𝑛, la distancia euclidiana está dada por 𝑑(�⃑�, �⃑�) = √(𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛)2.

Para cada valor de 𝑝 ∈ 𝐍, 𝑑𝑝(�⃑�, �⃑�) = √|𝑥1 − 𝑦1|𝑝 + |𝑥2 − 𝑦2|𝑝 + ⋯ + |𝑥𝑛 − 𝑦𝑛|𝑝𝑝 es una 𝑝 −distancia.

Si 𝐴 es cualquier una matriz definida positiva, 𝑑𝐴(�⃑�, �⃑�) = √�⃑�𝑇𝐴�⃑�, es otra distancia. Nosotros nos casaremos con la distancia euclidiana.

“infinitamente delgado”3. La vecindad estaría conformada únicamente por los puntos

ocupados por el gas encerrado por la burbuja, sin incluir la lámina de jabón

(considerándola infinitamente delgada) que lo encierra.

El lector puede examinar cómo sería una vecindad en el plano y una vecindad en la recta

real, para encontrar respectivamente a un disco (sin la circunferencia que lo bordea), y un

intervalo abierto (sin los puntos inicial y final).

Click aquí en o en la imagen para gráfica interactiva

Punto interior de un conjunto

Ya con una herramienta matemática para examinar todos los puntos alrededor de un punto

central, se puede definir fácilmente el concepto de interioridad, así:

3 Se insiste en que este texto parte de una comprensión intuitiva-animal del espacio y de la materia, como infinitamente divisibles. Aunque esa no sea la realidad, para la aplastante mayoría de las tecnologías humanas, es perfectamente aplicable dicha concepción del espacio y la materia.

𝑟

Un punto �⃑⃑⃑�0 en un conjunto 𝐴 ⊂ 𝐑𝑛, es un punto dentro de 𝐴, o interior al conjunto 𝐴,

sí y sólo sí está completamente rodeado por puntos pertenecientes a 𝐴. Para garantizar

que el punto está rodeado por completo, basta encontrar al menos una vecindad a su

alrededor que esté compuesta única y exclusivamente por puntos de 𝐴. Esto se cumple si

para dicho punto �⃑�0 ocurre que ∃𝑟 > 0: 𝑉𝑟(�⃑�0) ⊂ 𝐴. Si eso ocurre, decimos que �⃑�0 está

dentro de 𝐴 o que es punto interior de 𝐴.

Si llamamos Int(𝐴) al conjunto de todos los puntos interiores de 𝐴, entonces podemos

decir que un punto es interior a 𝐴 si está en Int(𝐴). Así, rigorizando la definición de punto

interior queda de la siguiente forma:

�⃑�0 ∈ Int(𝐴) ⇔ ∃𝑟 > 0: 𝑉𝑟(�⃑�0) ⊂ 𝐴

Y la definición de conjunto interior queda:

Int(𝐴) = {�⃑� ∈ 𝐴: ∃𝑟 > 0 ∧ 𝑉𝑟(�⃑�) ⊂ 𝐴 }

A manera de ilustración, considere en la figura siguiente que los puntos de 𝐴 son los

puntos del plano con tonalidad azul.

En ese caso, de los puntos etiquetados, los pertenecientes a 𝐴 (los que están en 𝐴) serían

�⃑�𝑖, �⃑�𝑓2, �⃑�𝑓3, y �⃑�𝑎. De ellos, el único punto etiquetado que sería verdaderamente interior a

𝐴 (que está dentro de 𝐴) sería �⃑�𝑖.

Punto exterior de un conjunto

Tal como no es lo mismo estar en un conjunto que estar dentro del conjunto, hay una

diferencia topológica crucial entre no estar en un conjunto y estar afuera o en el exterior

del conjunto. La definición de un punto exterior de un conjunto es análoga a la de un

punto interior, pero respecto al complemento de conjunto: así como un punto interior de

𝐴

�⃑�𝑖

�⃑�𝑓1 �⃑�𝑎

�⃑�𝑓2

�⃑�𝑒

�⃑�𝑓3

�⃑�𝑓4

�⃑�ℎ

𝐴 es un punto en 𝐴 que además está rodeado por completo de puntos en 𝐴, un punto

exterior de 𝐴 es un punto que no está en 𝐴 y que, además, está rodeado por completo de

puntos que no están en 𝐴.

Usando la misma herramienta matemática de la vecindad para dar rigor a la definición

anterior, se llega a que �⃑�0 es punto exterior de 𝐴 ⇔ ∃𝑟 > 0: 𝑉𝑟(�⃑�0) ⊂ 𝐴′, donde 𝐴′ denota

al complemento de 𝐴.

Si llamamos Ext(𝐴) al conjunto de todos los puntos exteriores de 𝐴, entonces podemos

decir que un punto es exterior a 𝐴 si está en Ext(𝐴). Así, dando rigor a la definición de

punto interior queda de la siguiente forma:

�⃑�0 ∈ Ext(𝐴) ⇔ ∃𝑟 > 0: 𝑉𝑟(�⃑�0) ⊂ 𝐴′

Y la definición de conjunto interior queda:

Ext(𝐴) = {�⃑� ∈ 𝐴′: ∃𝑟 > 0 ∧ 𝑉𝑟(�⃑�) ⊂ 𝐴′ }

Compare ahora término a término la definición de conjunto interior y exterior:

Int(𝐴) = {�⃑� ∈ 𝐴: ∃𝑟 > 0 ∧ 𝑉𝑟(�⃑�) ⊂ 𝐴 }

Ext(𝐴) = {�⃑� ∈ 𝐴′: ∃𝑟 > 0 ∧ 𝑉𝑟(�⃑�) ⊂ 𝐴′ }

Nótese que, si en la definición de Int(𝐴) se cambia el conjunto 𝐴 por 𝐴′, se obtiene la

definición de Ext(𝐴). Esto demuestra que Ext(𝐴) = Int(𝐴′). Si en esta última igualdad

se cambia 𝐴 por 𝐴’ se llega a lo dual: Int(𝐴) = Ext(𝐴′).

A manera de ilustración, considere en la figura siguiente que los puntos de 𝐴 son los

puntos del plano con tonalidad azul.

En ese caso, de los puntos etiquetados, los pertenecientes a 𝐴′ (los que no están en 𝐴)

serían �⃑�ℎ, �⃑�𝑓1, �⃑�𝑓4, y �⃑�𝑒. De ellos, el único punto etiquetado que sería verdaderamente

exterior a 𝐴 (que está afuera de 𝐴) sería �⃑�𝑒.

𝐴

�⃑�𝑖

�⃑�𝑓1 �⃑�𝑎

�⃑�𝑓2

�⃑�𝑒

�⃑�𝑓3

�⃑�𝑓4

�⃑�ℎ

Punto de frontera de un conjunto

Si se examina la gráfica previa, se notará que hay puntos que no pertenecen ni al interior

del conjunto, ni al exterior de él. Dichos puntos no tienen que pertenecer al conjunto o al

complemento; es irrelevante. Esos son los puntos de frontera. Definiremos los puntos de

frontera de un conjunto como aquellos que no están ni en el interior, ni en el exterior del

conjunto. De los puntos etiquetados en la figura previa, serían los puntos �⃑�ℎ, �⃑�𝑓1, �⃑�𝑓2, �⃑�𝑓3

y �⃑�𝑓4. De éstos, sólo están en 𝐴 los puntos �⃑�𝑓2 y �⃑�𝑓3, mientras que no están en 𝐴 los

puntos �⃑�ℎ, �⃑�𝑓1 y �⃑�𝑓4.

De lo anterior, podemos definir a un punto de frontera así: �⃑�𝑓 ∈ 𝐑𝑛 es punto de frontera

de un conjunto 𝐴 ⊂ 𝐑𝑛 ⇔ : �⃑�𝑓 ∉ Int(𝐴) ∧ �⃑�𝑓 ∉ Ext(𝐴). Además, el conjunto de todos

los puntos de frontera del conjunto 𝐴 se llama “frontera de 𝐴” o “borde de 𝐴”, y se

simboliza y define así:

𝜕𝐴 = {�⃑� ∈ 𝐑𝑛: �⃑� ∉ Int(𝐴) ∧ �⃑� ∉ Ext(𝐴)}.

Dado lo que se había encontrado antes acerca de que Int(𝐴) = Ext(𝐴′) y Ext(𝐴) =

Int(𝐴′), al reemplazar en la definición de 𝜕𝐴, se obtiene:

𝜕𝐴 = {�⃑� ∈ 𝐑𝑛: �⃑� ∉ Ext(𝐴′) ∧ �⃑� ∉ Int(𝐴′)} = 𝜕𝐴′

Eso implica que la frontera de 𝐴 y la frontera de 𝐴′ son exactamente el mismo conjunto.

A manera de ilustración, una representación pictórica en color azul de la frontera del

conjunto azul de las gráficas previas sería la siguiente:

Partición natural de 𝐑𝑛

Dado que los puntos de Int(𝐴) deben pertenecer a 𝐴 y dado que los puntos de Ext(𝐴)

deben pertenecer a 𝐴′, resulta evidente que dichos conjuntos no tienen puntos en común.

Además, como los puntos de 𝜕𝐴 no pueden estar ni en Int(𝐴) ni en Ext(𝐴), estos tres

conjuntos son disyuntos. Su intersección es vacía:

𝜕𝐴

�⃑�𝑎

�⃑�ℎ

Int(𝐴)⋂Ext(𝐴) = ∅

Int(𝐴)⋂𝜕𝐴 = ∅Ext(𝐴)⋂𝜕𝐴 = ∅.

Por último, dado que 𝜕𝐴 incluye cualquier punto de 𝐑𝑛 que no esté en los dos primeros,

cualquier punto del espacio tiene que quedar en uno de esos tres conjuntos. En otras

palabras:

𝐑𝑛 = Int(𝐴)⋃Ext(𝐴)⋃𝜕𝐴.

Contacto, aislamiento y conceptos derivados

Los conceptos derivados de la experiencia natural del aislamiento o del contacto son más

sutiles que los de la interioridad, porque no requieren necesariamente que el elemento

(punto) analizado, pertenezca al conjunto. Para entenderlo, examinemos el ejemplo

previo del conjunto de puntos 𝐴.

Si pretendiéramos definir al punto �⃑�𝑎 como un punto del conjunto 𝐴 que está aislado del

resto de puntos de 𝐴, podríamos pensarlo como un punto que no tiene alrededor suyo

�⃑�𝑎

𝐴