2D3

5EL PUVKO EUGLIDIAKO

1 EL PUNO EUCLIDIANO. LA RECTA. ECUACION DE UNA RECTA .-

Se TI ama PLANO EUCLIOIANO ANALITICO al espa -2

co vectorial IR , donde: *

(1) A todo elemento { x , y) de IR2 se le llama PUNTO de IR2 .

(2) Dado un conjunto L c ftz , se le llama RECTA si existe un punto P2

* (*o* !/o) E R y un vecto*. a (diferente de 0), tales que

L - { P = ( x , y) e IR2 / P = P + tI , t e IR } .. (*)

(3) La dlitancJji [Pj, P2 ] entre dos puntos Pj y P2 es igual a

la longitud del vector Pj P2 , es decir,

d[Pi. P2 ] = I (P?^) I lp2- pl I

1.1 NOTACION.- Por simplicidad, con frecuencia denotaremos a la rectaL dada previamente, como

L = { Pc + ti } (*)

y se dirS que L es LA RECTA QUE PASA POR PG V ES PARALELA AL VECTOR a , el cual serS denominado " vec toK dn.ecc.onaZ " de L .

Al coeficiente t (que puede ser r, s , etc.) se le llama PARAMETRO , y a la ecuaciSn de (*) se le conoce como ECUACION VECTORIAL VE LA RECTA L .

204 La Recta Cap. 5

1.2 TEOREMA.- Un punto P pertenecer a la recta L ti y to*j> ti el

vector P P * P - PD es paralelo al vector a . Es decir, si P - P = ti , para algn nmero real t .

Equi va1enteme n te,P es un punto de la recta L , ti y oto ti i

. . (**)

1.3 EJERCICIO.- Dados los conjuntos:

Lt - { P = (2t + l , -3t + 3) / t E IR }

L2 { P = (3 - 4r , 6r) / r e R } ,

probar que Lj y L2 representan RECTAS , y que Lj = L2

SOLUCION.- puesto que se puede expresar como

\-l - { P = (1.3) + t(2, -3) / t e R }L2 = { P = (3. D) + r(-4,6) / r e R } .

entonces Lj y L2 son RECTAS pon. deinicidn , pues Lt tiene como PUN

T0 DE PASO al punto P = (1, 3) y como VECTOR OIRECCIDNAL al vector a = (2, -3), y L2 tiene a Qc = (3,0) como PUNTO DE PASO, y al vec

tor b = (-4, 6) como VECTOR DIRECCIONAL.

Ahora probaremos que Lj = L2 .

Cap. 5 La Recta 205

Sea P e Lj : P (1, 3) + t(2, -3) (1 + Zt, 3 - 3t) , algn te R

y se desea probar que P e L2 para lo cual, por (**), se debe veri -car que:

(P - Q0) b "L - D :

(P-Q0) - b-1 - [ (l + 2t. 3 - 3t) - (3.0) ] - (-6.-4)- (Zt-2. 3-3t) - (-6.-4)

- (6) (2t 2) + (4) (3 3t) - 0 = > Lj c L2 ;

ahora probaremos que L2 c L( : sea Q e L2 : Q * (3-4r, 6r) . para algn nmero real r , y para lo cual basta verificar que:

(Q- P) 3 * D . (por ** ) ; en efecto,

(Q-P0) . 3 X - [(3 -4r, 6r) - (1,3)]. (3. Z)

- (2 - 4r, 6r - 3) (3, Z)

(3)(2 - 4r) + (Z)(6r - 3) - D = * L2 c Lt .

Por lo tanto, de estas dos inclusiones: Lj L2 .

1.4 Ob s e r v a c i n.- Del ejercicio previo, se deduce que, en la recta

L { P P + t3 ) ,

en lugar del vector direccional 3 , que es el vector que le da la inclinacin a la recta L con respecto al Eje X , se puedeelegir cualquier vector b t D como vedo*. dlneccional de la misma rec

ta L siempre que b ea PARALELO al vector 3 , y por lo tanto, larecta L tendra la representaciSn equivalente siguiente:

L = P P 0 + tb } . drele b = rS , para algnnmero reaf r .

Por esta raz5n, no es tan correcto hablar de Re.cXa dOU.gda, sino simplemente de RecXai , y no se debe confundir ya sea con el victon. (Uxtcco nal 6 con la Inclinacin de. L , que si son conceptos bien establecidos.

Anlogamente, el Punto de Paso P NO ES UNICO, y puede ser reemplazado por cualquier otro punto Q , SIEMPRE QUE SEA TAM

206 La Recta Cap. 5

BIEN ELEMENTO VE LA MISMA RECTA L .

2 ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA

SI un punto P * (x, y) e L , donde

L { P - P0 + ta } . y donde P0 - (x0, yD) , y i - (alt a2) ,

entonces se tienen las ecuaciones simultneas:

\

que son denominadas LAS ECUACIONES PARAMETRICAS VE LA RECTA L , con PUNTO DE PASD PD = (x0, yD) , y con VECTOF DIRECCIONAL a - (alt a2) .

Z.l EJEMPLO.- La recta L cuyas ecuaciones paramStrlcas son:

f x - 1 - ti y 2

y que puede representarse como:

L { (*, y) * (1 - t, 2) } { (x, y) - (1,2) + t(-l, 0) } ,

tiene como Punto de Paso al punto P = (1,2) , y como Vector Direccio-nal al vector i = (-1,0) , horizontal, y puesto que este vector le da

la inclinacifin a la recta L , sta resulta ser una Ke.cXa hoiu.zonta , quepasa por P *= (1,2) .

* i = (-1, 0)

(-1,0) 0 1 2 3 X

Cap.5 La Recta 207

3 FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE UNA RECTA

SI la recta L tiene como Punto de Paso al punto PD * (x0, yc) , y como Vector Dlrecclonal a - (a, a2) con aj f 0 y

a2 f 0 [es decir que, L no es vertical ni horizontal ] , entonces < 1 par de ecuaciones simultneas: x0 + ta!

Vo * t a2es equivalente a:

( - t )

que es denominada LA FORMA SIMETRICA de ta ecuacin de ta Ateta L

208 La Recta Cap.5

A cualquier vector no nulo, ortogonal a L se le llama VECTOR NCMMAL a L , y puede ser elegido como el vector

= i *" 6 cualquier vector mltiplo de i .

4.1 TEOREMA.- Un punto P pertenecer a la recta L que tiene como

punto de t>aso P0 y vector normal , SI V SOLO SI el

vector P P * P - Pc es ORTOGONAL al vector .

P E L = (P-P) . F - 0 .. (*)

A esta ltima ecuacifin se le conoce como LA ECUACION NORMAL de la *.ecXa L qu fxua pon P0 y (e octogonal) tiene vec.ton. normal .

Si consideramos P * (*, y) , - (a, b) , y PG - - c , entonces (*) se convierte en:

P - - PD |------------------------- 1ax + by * -c = I a* + b i / + c - 0 I

que es llamada la ECUACION GENERAL de la A.ecta L normal al \1ecX0K

- (a, b) .

Note que el vector = (a, b) est formado por los coeficientes

de las variables * y y , en ese orden.

4.2 EJERCICIO.- Hallar la ecuacin Normal y la ecuaci6n Genznal dela recta L que pasa por los puntos Pj * (1, 3) yP2 = (4, 1) .

SOLUCION: Consideraremos coi.o vector direccional al vector :

5 * V * 2 * P2' P1 = (4* 11 (1* 3) = (3' 'Z) *

y como vector normal al vector : _ in = a-1- = (2, 3) ,

y puesto que un Punto de Paso puede ser cualquier punto de ai \ecta ( Px 6

P2 ) , entonces elegimos como PG al vector: P = P2 = (4, 1) .

Cap.5 La Recta 209

De esta manera se tiene que, para un punto genrico P (x, y) e L ,

(P- P) - 0[ P - (4. 1)] (2. 3) - 0 ... ECUACION GENERAL DE L,

P . PD r

(*. y) * (2, 3) - (4,1). (2,3)

Zx + 3y * 11 , 6 sino 2x + 3y - 11 0 ,

que vienen a ser las ECUACIONES GENERALAS DE LA RECTA L .

4.3 NOTA.- El procedimiento seguido en el Ejercicio previo proporcio- ciona un mtodo ripido para hallar la ECUACION GENEkAL de una recta L si es que se conoce un punto d i paio PD yun vcXok nonmal , haciendo: ------------------

I P = P0 I

5 DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UNA RECTA L

Sea (P - P0) D la ECUACION NORMAL de L , donde_ __ 2 n = (a, b) y P n * -c ; si Q = (Xj, es un punto de IR ,

entonces se tiene que LA TISTAWCIA PE Q A LA RECTA L viene dada por la

relaci6n: rft Q ; l ] = I cP - ( Q - p0) | =

210 La Recta Cap.5

d [ Q ; L ] = | Cp - ( Q - PD) |

I a*i + bi/j + c |

(Q - P0)

I " I

Q . - P

I " I

( * ! y l ) ; L

que viene a ser la frmula de LA DISTANCIA DEL PUNTO Q (x^ , t/y)

RECTA L ruya ecuacin general estS dada po-L : ax + by + c * 0

5.1 EJERCICIO.- Hallar la distancia del punto Q = (7, 9) a la ta L : 3* + 4i/ - 7 = 0 .

d[Q;L]

Cono Q = (xj, yj) = (7,9) entonces

|3*1 + 4

Cap. 5 La Recta 211

6 PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR V SOBRE UNA RECTA L

Dado un vector v y una recta L * { P + t }

la cual tiene vector direccional a f 6 , se define como VECTOR PROYEC

CION ORTOGONAL DE v SOBRE LA RECTA L , al vector de Proyeccin Ortogo - nal de v sobre cualquier vector direccional i de L .

Se puede ver que el vector Pr ^v es un vectcr PARALELO a la recta L , y no depende del vector

dfreccional a de L que se elija , como veremos en el siguiente Ejemplo.

6.1 Ej e m p l o .- Sea v (6, 8) , L : 2x - + 4 = 0 la recta cuyo

vector direccional puede tomarse (2. -4) = (4, 2) -6sino (-2,-1) , cualquier mltiplo de (4,2). En ca

so de elegir (4,2) :

Pr i - =(- 7 f )5 = i > * 2) (8*4)

Ahora, si se eligiese a = (-2,-1) :

Pr - 5 = 5 = - ^ ( . 2,-i) = 8,4),1*1 5

212 La Recta Cap. 5

y por lo tanto, en cualquiera de los casos: Pr^ v = Pr- v * (8,4) .

7 SEGMENTO I>F RECTA2

Dados los puntos PQ , Pj e IR , se

llama SEGMENTO CERRADO [ P0> Pj D al conjunto

[Po. PJ =

Cap. 5 La Recta 213

Ri P0 + (1/4)(P!- P)

R2 - P M2/4)(P!- P0)R3 - P0 +

214 La Recta Cap. 5

De (*) resultan las siguientes formas equivalentes.

AQ (m/n) QB (m/n)[QA AB ] (m/n)[-AQ + AB ] =

(m + n) AQ - m AB , y coiw AQ * Q - A , AB B - A ,

A ( ) ABm + n

forma que puede ser interpretada geomtricamente, y de la cual se deduce la siguiente, que es muy til para el cSlculo explcito del punto Q :

Q - ( ) A ( ) B m + n m + n

8.2 EJERCICIO.- Dados los extremos A -(1.1) y B - (10, 7) delsegmento AB, hallar el punto Q que divide al seg

ment AB en la raz6n (-2):(-l) .

La raz6n (-2):(-l) es Igual a la razfin 2:1 , y por lo tanto,hi- 2, n = 1 , n + n - 3 , y

Q - ( ) A + (-51-) m+n m+nB 3 (1. 1) | (10. 7)

(7,5) .

En este caso, Q es un punto del segmento AB . (Ver la figura).

8.3 SUB-CASO 1-1 : SI n y n tienen el mismo signo (ambos positivos 6

ambos negativos), entonces Q resulta un punto interior del segmento

Cap. 5 La Recta ?15

AB .

B.4 SUB-CASO 1-2 : SI m y n tienen signos opuestos, Q resulta serun punto exterior al segmento AB (pero siempre den

tro de la recta que contiene a este segmento), y

Im i- < i .b) Q estar mis cerca ai punto B si | jj | > 1 .

8.5 EJERCICIO.- Dados los puntos A - (2,2) y B (6,4), hallar elpunto que divide al segmento AB en la raz6n de2 : (-3) .

SOLUCION.- Para este caso, m 2, n -3, m + n -1, m/n -2/3 ,

Q1 * {i ^ ] A * ( n+~ > B * donde |S| " ! < 1 '

por lo que el punto se encontrar! fuera del segmente AB , pero en el ladocorrespondiente al punto A , en la recta que pasa por A y B . Asi

- "7 A * "7 B " 3A - 2B

- 3(2,2) - 2(6.4) - (-6. -2) .

- (-6. -2) -

8.6 EJERCICIO.- Dados los puntos A (2.2) y B * (6.4). hallar elpunto Q2 que divide al segmento AB en la raz6n de-3):(l) .

SOLUCION.- Para este caso, m = -3. n 1. m + n - -2. m/n - -3 ,

Q2 ( n ) A ( ) B , donde 1^1 3 > 1 , m n m+n |n|

por lo que el punto se encontrarS fuera del segmento AB , pero al lado co rrespondiente al punto B. AsT,

Q, = -i-A * - B = - - A + - B2 - 2 - 2 2 2

- ^(2, 2) + | (6. 4) = (B, 5) .

-216- La Recta Cap. 5

n

En (*) resulta: AQ = - QB

Q-A = - (B-Q) = Q - B

= > A = B

lo que indica que el segmento AB consta del nico punto A =B , y donde el punto Q , que se cancela en la penltima ecua cifin, pueae ser cualquier punto del plano y no necesariamente Q = A , que por supuesto que tambin es soluci6n.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dida: las siguientes rectas:

a) 1-1 pasa por (0, 0) 1 paralela a (2, 2)

b) L2 pasa por (1. 1) > pa"alela a (1. 1)c) 1-3 pasa por (1. 0) y (2, 1)

d) L4 pasa por (2, 3) y (4, 5)

e) l5 pasa por (0, 3) y paralela a (4. 2)

f) l6 pasa por (2. 4) . paralela a (2. 1)

9) 1-7 pasa por (0, 2) . paralela a (1. 0)

h) L8 pasa por (2, 2 ) y (4, 2)