ENCONTRO COM O MUNDO

NÃO EUCLIDIANO

Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME

XXIX CNMACCongresso Nacional de Matemática

Aplicada e Computacional

Professores do ensino médio !

Alunos do ensino médio e graduação.

A quem se destina?

Postulados de Euclides

1) Pode-se traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.

2) Pode-se prolongar uma linha reta continuamente em linha reta.

3) Pode-se traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.

4) Todos os ângulos retos são iguais.

5) Se uma linha reta que intercepte duas linhas retas faz ângulos internos de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto daquele lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos.

Resultados do Livro I de Euclides provados sem a utilização do quinto postulado

Transporte de segmentos (I.3)

Transporte de ângulos (I.23)

Congruência de triângulos

LAL (I.4) LLL(I.8) ALA(I.26) LAA0(I.26)

Triângulo isósceles (I.5 e I.6)

Mediatriz e bissetriz (I.9 e I.10)

Existência da perpendicular (I.11 e I.12)

Teorema do ângulo externo (I.16)

Desigualdades geométricas (I.17, I.18, I.19, I.20, I.24, I.25)

Ângulos alternos-internos iguais implica paralelismo (I.27)

Ângulos internos iguais a 2 retos implica paralelismo (I.28)

Existência da paralela (I.31)

Proposição I16

Axiomas da Geometria Planasegundo Hilbert

Termos primitivos: ponto, reta, incidente, estar entre, congruente.

Axiomas de Incidência

I1. Para todo ponto P e todo ponto Q, Q distinto de P, existe uma única reta incidente com P e Q.

I2. Para toda reta r existem pelo menos dois pontos distintos incidentes com r.

I3. Existem três pontos distintos tais que nenhuma reta é incidente com todos os três.

Axiomas da Geometria Planasegundo Hilbert

Axiomas de Estar Entre

B1. Se A – B – C, estão A, B, C são três pontos distintos incidentes numa mesma reta e vale C – B – A.

B2. Dados quaisquer dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E incidentes com a reta BD tais que A – B – D, B – C – D e B – D – E.

B3. Se A, B, C são três pontos distintos incidentes numa mesma reta, então um e somente um dos pontos está entre os outros dois.

B4. (Separação do plano) Para toda reta r e quaisquer três pontos A, B, C fora de r:a) Se A e B estão do mesmo lado de r e B e C estão do mesmo lado de r, então A e C estão do mesmo lado de r.b) Se A e B estão em lados opostos de r e B e C estão em lados opostos de r, então A e C estão do mesmo lado de r.

Axiomas de Congruência

C1. Se P e Q são pontos distintos e se A é um ponto qualquer, então para toda semi-reta r com origem A existe um único ponto B sobre r tal que B é distinto de A e AB PQ.

C2. Se AB CD e AB EF, então CD EF. Além disso, todo segmento é congruente a si mesmo.

C3. Se A – B – C, P – Q – R, AB PQ e BC QR então AC PR.C4. Dados um ângulo arbitrário EDF e uma semi-reta qualquer AB

com origem A, existe uma única semi-reta AC, com C num dado lado da reta AB, tal que BAC EDF.

C5. Se A B e A C, então B C. Além disso, todo ângulo é congruente a si mesmo.

C6. (Critério LAL de congruência de triângulos) Se dois lados e o ângulo incluído de um triângulo são congruentes, respectivamente, a dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes.

Axioma de Continuidade (Dedekind)Axioma de Paralelismo

• Suponha que o conjunto de todos os pontos incidentes com uma reta r é a união disjunta de dois subconjuntos não vazios tais que nenhum ponto de um dos subconjuntos está entre dois pontos do outro subconjunto. Então existe um único ponto O sobre r tal que um dos subconjuntos é a semi-reta de r com origem O e o outro subconjunto é o seu complementar.

• Para toda reta r e todo ponto P fora de r, existe no máximo uma reta m que passa por P e é paralela a r.

1) Completude: significa que tudo que será usado na teoria está propriamente contido nos axiomas, de maneira que não haverá hipóteses tácitas.

2) Consistência: significa que é impossível deduzir dois teoremas contraditórios a partir dos axiomas.

3) Independência: significa que nenhum dos axiomas é uma conseqüência dos outros.

4) Categórico: todos os exemplos (modelos) da teoria axiomática em questão são, em um certo sentido, equivalentes (isomorfos).

Propriedades dos axiomas

Cronologia das Fontes

Elementos (300 aC)

Teôn de Alexandria (335 dC)

Proclo (410 – 485)

Versões Árabes, Al-Hajjaj (786 – 809)

Tradução Latina, Adelardo de Bath (1120)

Versão impressa, Campanus (1482)

635 anos

150 anos

324 anos

311 anos

362 anos

Cronologia das tentativas de provas do Postulado das Paralelas

Euclides (300 aC)

Poseidonius (135 – 50 aC)

Cláudio Ptolomeu (87 – 165)

Proclus (410 – 485)

Ibn-al-Haitham (Alhazen) (965 – 1041)

Omar Khayyam (1050 – 1123)

Nasir Eddin (1201 – 1274)

Christoph Clavius (1537 – 1612)

Federico Commandino (1509 – 1575)

Levi ben Gerson (1288 – 1344)

Pietro Antonio Cataldi (1608 – 1679)

Giovanni Alfonso Borelli (1608 – 1679)

)John Wallis (1616 – 1703)

Giordano Vitale (1633 – 1711)

Gerolamo Saccheri (1667 – 1733 )

Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765)

Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777)

Louis Bertrand (1731 – 1812)

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1865)

Adrien Marie Legendre (1752 – 1833)

J.F Lorenz (1738 – 1807)

Bernhard Friedrich Thibaut (1775 – 1832)

J.K.F Hauff (1766 – 1846)

Farkas Bolyai (1775 – 1856)

Victor J. Bunaikovskij (1804 – 1889)

Tentativa de Farkas Bolyai

Dado um ponto P fora da reta l, sejam PQ perpendicular a l em Q e m perpendicular a PQ em P. Seja n uma reta passando por P, n distinta de m e de PQ. Devemos mostrar que n intercepta l. Sendo A um ponto qualquer entre P e Q, tome B o único ponto tal que A – Q – B e AQ QB. Seja R o pé da perpendicular a n traçada a partir de A. Seja C o único ponto tal que A – R – C e AR RC. Então A, B e C são não colineares e, portanto, existe uma circunferência passando por eles. Desde que l e n são as mediatrizes de AB e AC, respectivamente, l e n se interceptam no centro de .

Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas

1.Se duas retas são intersectadas por uma transversal de modo que a soma das medidas dos dois ângulos internos de um dos lados da transversal é menor que 180, então as duas retas se cortam daquele lado da transversal.

2.Para toda reta r e todo ponto P fora de r, existe no máximo uma reta m que passa por P e é paralela a r.

3.Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então também intersecta a outra.

4.Se r // t e s // t, então r // s.

5.Se duas retas são paralelas, então os pares de ângulos alternos-internos definidos por uma transversal são congruentes.

6.Se t r e r // s , então t s.

7.Se u // v, r u e s v, então ou r = s ou r // s.

Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas

8.Existe um triângulo cuja soma das medidas de seus três ângulos é igual a 180.

9.Existe um retângulo.

10. A soma das medidas dos três ângulos de qualquer triângulo é igual a 180.

11. A soma das medidas dos quatro ângulos de qualquer quadrilátero convexo é igual a 360.

12. Todo ângulo inscrito em uma semi-circunferência é reto.

13. Se BAC é um ângulo reto, então A pertence à circunferência de diâmetro BC.

14. Se A, B e C são pontos pertencentes a uma circunferência de centro O tal que A e O estão do mesmo lado de BC, então m (BAC) = m (BOC) / 2.

Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas

15.Retas paralelas são eqüidistantes.

16.O lugar geométrico dos pontos de um determinado lado de uma reta r e que são eqüidistantes de r é uma reta.

17.Existe um par de retas eqüidistantes.

18.A distância entre um par de retas paralelas é limitada.

19.Dados um ABC e um segmento DE, existe um triângulo DEF que é semelhante a ABC.

20.Existe um par de triângulos semelhantes não congruentes.

21.Dados um ângulo A e um ponto D em seu interior, qualquer reta que passa por D intersecta ao menos um lado do A.

Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas

22.Dados um ângulo agudo A e um ponto D em seu interior, existe uma reta que passa por D, mas não por A, e que intersecta ambos os lados do A.

23.Existe um ângulo agudo A tal que todo ponto D em seu interior pertence a uma reta que intersecta ambos os lados do A, mas não em A.

24.Dado um ângulo agudo ABC, a perpendicular à reta AB por um ponto D na semi-reta AB, D distinto de A, intersecta também a semi-reta AC.

25.Existe um ângulo agudo BAC tal que a perpendicular à reta AB por um ponto D na semi-reta AB, D distinto de A, intersecta também a semi-reta AC.

26.As mediatrizes dos três lados de um triângulo são concorrentes.

Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas

27.Dados três pontos não colineares A, B e C, existe uma circunferência que os contém.

28.Existe um ponto eqüidistante de quaisquer três pontos não colineares.

29.Duas paralelas quaisquer possuem uma perpendicular comum.

30.Existe um triângulo cuja área é maior do que qualquer valor dado a priori.

A B

CD

Quadrilátero de Saccheri

Ângulos de vértices C e D agudos (hipótese do ângulo agudo).

Ângulos de vértices C e D obtusos (hipótese do ângulo obtuso).

Ângulos de vértices C e D retos (hipótese do ângulo reto).

AD = BC

Resultados de Saccheri

1. Se uma das hipóteses é válida para um quadrilátero de

Saccheri, então ela é válida para todo quadrilátero de

Saccheri.

2. Sob a hipótese do ângulo reto, obtuso ou agudo, a

soma das medidas dos três ângulos de um triângulo é

respectivamente, igual, maior ou menor que 180.

3. Se existe um triângulo cuja soma das medidas de seus

ângulos é igual, maior ou menor que 180 então temos,

respectivamente, a validade da hipótese do ângulo reto,

obtuso ou agudo.

4. Duas retas quaisquer ou são concorrentes, ou possuem

uma perpendicular comum, ou são assintóticas.

1829 - On the principles of Geometry

Gauss

(1777-1855)

Nicolai Lobachevsky

(1792-1856)

Janos Bolyai

(1802-1860)

Início das Geometrias Não Euclidianas

Conseqüências

1. Para toda reta r e todo ponto P fora de r, pelo menos duas retas distintas paralelas a r passam por P.

2. Retângulos não existem.

3. A soma das medidas dos três ângulos de qualquer triângulo é menor que 180.

4. Se dois triângulos são congruentes então eles são semelhantes.

5. Existe uma constante positiva K tal que para todo triângulo ABC, Área ( ABC) = (π / 180) K2 [180 - A - B - C]

Geometria Hiperbólica

Postulado Hiperbólico

Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r, tais que pelo menos duas retas distintas paralelas a r passam por P.

Paralelas na Geometria Hiperbólica

Paralelas na Geometria Hiperbólica

Questão 1. O postulado hiperbólico leva a alguma contradição?

Questão 2. É a geometria hiperbólica frutífera, útil, interessante?

Teorema: Se a geometria euclidiana é consistente então o mesmo é verdadeiro para a geometria hiperbólica.

Geometria Hiperbólica

Conseqüência: Se a geometria euclidiana é consistente então o postulado das paralelas é independente dos outros postulados.

Modelos

França 1854 - 1912Alemanha 1849 - 1925

Felix KleinHenri PoincaréEugenio Beltrami

Itália 1835 - 1900

Um modelo para um sistema axiomático formal é uma interpretação dos termos primitivos segundo o qual os postulados tornam-se proposições verdadeiras.

Pseudoesfera e Esfera

PoincaréCiência e Hipótese (1902)

Nós

1 metro

Distância Comprimento

0 1.0000

1/2 R 0.7500

3/4 R 0.4375

7/8 R 0.2348

PoincaréCiência e Hipótese (1902)

metro

Paralelas no modelo de Poincaré

Outros modelos

Vivemos no mundo hiperbólico?