19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano 1

ENCONTRO COM O MUNDO

NÃO EUCLIDIANO

Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME

XXIX CNMACCongresso Nacional de Matemática

Aplicada e Computacional

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Objetivos

Apresentar um Modelo de Geometria Hiperbólica de forma acessível.

Resgatar a Geometria Euclidiana

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Agenda

Geometria Hiperbólica

Apresentando o Modelo do Disco de Poincaré Pré-requisitos

Construção de Retas

Construção da perpendicular

Construção da Mediatriz

Comparando construções na Geometria Hiperbólica e Euclidiana (Parabólica) Aplicações

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Geometria Hiperbólica

Hipérbole: do gr. hyper, em posição superior.

Parábola: do gr.par(a), ao lado de.

Elipse: gr. élleipsis, omissão.

Etimologia – Origem das Palavras

Felix Klein (1849-1925, Alemanha)

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Geometria Euclidiana

Dada uma reta r e um ponto P fora dela,por este ponto passa

reta paralela a reta r

uma e somente uma

r

P. s

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Geometria Hiperbólica

Dada uma reta r e um ponto P fora dela,por este ponto passam

retas paralelas a reta r

no mínimo duas

r

P.

?

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Modelo Matemático

Modelos são laboratórios para experimentarmos o Sistema Formal

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Universo Hiperbólico

Modelo do Disco de Poincaré

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Retas / Semi-Retas / Segmentos Hiperbólicos

Modelo do Disco de Poincaré

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Quantidade de paralelas

Modelo do Disco de Poincaré

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Ângulo Hiperbólico: ângulo entre as tangentes

Modelo do Disco de Poincaré

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Sistema de Medidas Hiperbólico

Construir métrica infinita num disco limitado.

Sempre positivo.

Simétrico

Modelo do Disco de Poincaré

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Sistema de Medidas Hiperbólico)1

2

2

1ln(),(

BP

BP

AP

APBADistância

Modelo do Disco de Poincaré

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)1

2

2

1ln(),(

BP

BP

AP

APBADistância

Modelo do Disco de Poincaré

Sistema de Medidas Hiperbólico

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(OP1).(OP2)=(OQ1).(OQ2)

Pré-RequisitoPotência de um Ponto

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(OP).(OP’) = (raio OL )2

Pré-Requisito Inverso de um Ponto

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(OP).(OP’) = (raio OL )2

P=P’ se e somente P pertence a circunferência C

Se P esta no interior de C então P’ esta fora e vice-versa

(P’)’ = P

Pré-Requisito Inverso de um Ponto

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Ângulo O1LO2 é reto

Pré-RequisitoCircunferências Ortogonais

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Pré-RequisitoCircunferências Ortogonais

Seja P um ponto no interior de C1, de

modo que P é diferente do Centro . Seja

C2 uma circunferência passando por

P. As circunferências C1 e C2 são

ortogonais se somente se C2 passa

pelo inverso P’ de P em relação a C1.

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Modelo do Disco de PoincaréConstrução de Retas

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Modelo do Disco de PoincaréConstrução da Perpendicular

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Modelo do Disco de PoincaréConstrução da Mediatriz

Achar a reta hiperbólica que torne:- P inverso de Q

- K inverso de L

Em relação a circunferência que contém esta mesma reta.

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Modelo do Disco de PoincaréConstrução da Mediatriz

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Quantidade de paralelas

Modelo do Disco de Poincaré

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Soma dos ângulos de um triângulo

Modelo do Disco de Poincaré

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Soma dos ângulos de um quadrilátero

Modelo do Disco de Poincaré

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Circuncentro: encontro das mediatrizes do triângulo

Modelo do Disco de Poincaré

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Ortocentro: encontro das alturas

Modelo do Disco de Poincaré

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Inversão e Reflexão

Modelo do Disco de Poincaré

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Inversão de uma circunferência

Modelo do Disco de Poincaré

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Circunferências Hiperbólicas

Modelo do Disco de Poincaré

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Circunferências Hiperbólicas

Modelo do Disco de Poincaré

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Geometrias não euclidianas

Aplicações

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Geometrias não euclidianas

Aplicações

Maurits Cornelis Escher Holanda – 1898

Circle Limit III

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Respeito ao trabalho de nossos antecessores

Dificuldades e conseqüências de se quebrar paradigmas

Geometria Euclidiana

Idéia inicial sobre modelos matemáticos e geometria hiperbólica