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Isometrias do Plano Euclidiano
Semana do ICE — 2013
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 1 / 7
O Plano Euclidiano E
O Plano Euclidiano
E e o plano euclidiano da geometria classica (ensino medio).
Nocoes Basicas Importantes
1 Distancia entre pontos.
2 Angulos.
3 Orientacao no plano.
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7
O Plano Euclidiano E
O Plano Euclidiano
E e o plano euclidiano da geometria classica (ensino medio).
Nocoes Basicas Importantes1 Distancia entre pontos.
2 Angulos.
3 Orientacao no plano.
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7
O Plano Euclidiano E
O Plano Euclidiano
E e o plano euclidiano da geometria classica (ensino medio).
Nocoes Basicas Importantes1 Distancia entre pontos.
2 Angulos.
3 Orientacao no plano.
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7
O Plano Euclidiano E
O Plano Euclidiano
E e o plano euclidiano da geometria classica (ensino medio).
Nocoes Basicas Importantes1 Distancia entre pontos.
2 Angulos.
3 Orientacao no plano.
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7
O Plano Euclidiano E
Propriedade
Sejam A,B e C pontos de E. Entao, d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) se, esomente se, A,B e C sao colineares e B esta entre A e C.
Propriedade
Um ponto X e determinado quando se conhecem suas distancias a trespontos nao colineares quaisquer.
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O Plano Euclidiano E
Propriedade
Sejam A,B e C pontos de E. Entao, d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) se, esomente se, A,B e C sao colineares e B esta entre A e C.
Propriedade
Um ponto X e determinado quando se conhecem suas distancias a trespontos nao colineares quaisquer.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Definicao
Uma isometria do plano euclidiano e uma aplicacao f : E → E tal que,quaisquer que sejam os pontos X,Y ∈ E, tem-se
d(f(X), f(Y )) = d(X,Y ).
Exemplos
1 Identidade.
2 Translacao determinada pelos pontos A e B.
3 Rotacao por um angulo α em torno de um ponto P .
4 Reflexao em uma reta r.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Definicao
Uma isometria do plano euclidiano e uma aplicacao f : E → E tal que,quaisquer que sejam os pontos X,Y ∈ E, tem-se
d(f(X), f(Y )) = d(X,Y ).
Exemplos1 Identidade.
2 Translacao determinada pelos pontos A e B.
3 Rotacao por um angulo α em torno de um ponto P .
4 Reflexao em uma reta r.
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 4 / 7
Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Definicao
Uma isometria do plano euclidiano e uma aplicacao f : E → E tal que,quaisquer que sejam os pontos X,Y ∈ E, tem-se
d(f(X), f(Y )) = d(X,Y ).
Exemplos1 Identidade.
2 Translacao determinada pelos pontos A e B.
3 Rotacao por um angulo α em torno de um ponto P .
4 Reflexao em uma reta r.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Definicao
Uma isometria do plano euclidiano e uma aplicacao f : E → E tal que,quaisquer que sejam os pontos X,Y ∈ E, tem-se
d(f(X), f(Y )) = d(X,Y ).
Exemplos1 Identidade.
2 Translacao determinada pelos pontos A e B.
3 Rotacao por um angulo α em torno de um ponto P .
4 Reflexao em uma reta r.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Definicao
Uma isometria do plano euclidiano e uma aplicacao f : E → E tal que,quaisquer que sejam os pontos X,Y ∈ E, tem-se
d(f(X), f(Y )) = d(X,Y ).
Exemplos1 Identidade.
2 Translacao determinada pelos pontos A e B.
3 Rotacao por um angulo α em torno de um ponto P .
4 Reflexao em uma reta r.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
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Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
Semana do ICE — 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7
Isometrias — Definicao e Propriedades Basicas
Propriedades1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a nocao de “estar
entre”.
2 Toda isometria preserva angulos.
3 Toda isometria e injetora.
4 Toda isometria e sobrejetora.
5 Toda isometria possui uma inversa, que tambem e uma isometria.
6 A composta de duas isometrias e uma isometria.
Exemplo
Reflexao transladada.
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Dois Teoremas Fundamentais
Teorema 1
Sejam f e g duas isometrias. Se existem tres pontos nao colineares A,B e C tais que f(A) = g(A), f(B) = g(B) e f(C) = g(C), entao f = g.
Teorema 2
Qualquer isometria diferente da identidade e uma composicao de, nomaximo, tres reflexoes em retas distintas.
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Dois Teoremas Fundamentais
Teorema 1
Sejam f e g duas isometrias. Se existem tres pontos nao colineares A,B e C tais que f(A) = g(A), f(B) = g(B) e f(C) = g(C), entao f = g.
Teorema 2
Qualquer isometria diferente da identidade e uma composicao de, nomaximo, tres reflexoes em retas distintas.
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Descricao das Isometrias
Teorema
Seja f uma isometria. Entao f e uma das seguintes aplicacoes:
1 Identidade.
2 Reflexao em uma reta.
3 Rotacao em torno de um ponto.
4 Reflexao transladada.
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