nedoloČeni in doloČeni integral
DESCRIPTION
NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL. 3.7. Nedoločeni integral. Gaussova krivulja je graf funkcije µ ∈ IR - matematično upanje σ ∈ IR, σ > 0 - standardni odklon Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo in abscisno osjo? Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL
3.7. Nedoločeni integral
Gaussova krivulja je graf funkcije
µ ∈ IR - matematično upanjeσ ∈ IR, σ > 0 - standardni odklon
Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo inabscisno osjo?Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenegalika?
2
2
1,
x
e
DEFINICIJA. Nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f na intervalu I ⊆ Df je tista funkcija F, za katero velja
F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ I.
Ker velja za poljubno konstanto C enakost
(F(x) + C)’= F ’(x) = f(x),
zapišemo nedoločeni integral
integralski znak, f(x) integrand, x integracijska spremenljivka, dx diferencial integracijske spremenljivke
CxFdxxf )()(
Elementarni nedoločeni integrali
Funkcija f(x) Nedoločeni integral
Konstantna funkcija 1
Potenčna funkcija
Eksponentna funkcija
Trigonometrične funkcije
rx 1,1
1
rCr
xr
xa Ca
a x
ln
Cex xe
Cx ln
Cx sinxcos
Cx cosxsin
Cx tan
x2sin1 Cx cot
x2cos1
Cx
x
1
Elementarni nedoločeni integrali
Funkcija f(x) Nedoločeni integral
21
1
x
Caxx )ln( 22
Cx arcsin
21
1
x Cx arctan
22
1
ax
Lastnosti nedoločenega integrala
IZREK. Če obstajata nedoločena integrala funkcij f ing, obstaja tudi nedoločeni integral njune vsote (oziromarazlike) in je enak vsoti (razliki) integralov
POSLEDICA. Če obstajajo nedoločeni integrali funkcijf1, f2 . . . fn, obstaja tudi nedoločeni integral njihove
vsotein velja
dxxgdxxfdxxgf )()())((
dxxfdxxfdxxfdxxfff nn )()()())(( 2121
IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f,obstaja tudi nedoločeni integral funkcije C f, pri čemerje C poljubna konstanta in velja
IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f in čeje x = x(t) odvedljiva funkcija, obstaja tudi nedoločeniintegral funkcije f(x(t)) x’(t) in velja
dxxfCdxxCf )()(
dttxtxfdxxf )('))(()(
Primer. Izračunajte dane integrale.
dxxxx )( 124
dxxx )( 3
dxx
xx 522
Metode integriranjaUvedba nove spremenljivke
Če iskanega nedoločenega integrala ni v tabelielementarnih integralov, poiščemo tako novospremenljivko t (če obstaja), da najdemo integral med elementarnimi integrali.
Nekaj primerov funkcij, ki jih lahko integriramo z uvedbo nove spremenljivke:
dxxf )(
dttxtxf )('))((
)(
)('),(')(, za )(')(
xf
xfxfxfIRrxfxf r
Primer. Izračunajte dane integrale.
dxx 3)52(
dxx
xln
dxxxx )32()43( 52
Integriranje po delih (metoda ”per partes”)
IZREK. Naj bosta funkciji u in v odvedljivi in naj
obstaja eden od integralov in .
Tedaj obstaja tudi drugi integral in velja
Primeri funkcij, ki jih lahko integriramo po delih:
pri čemer je p(x) polinom.
dxuv' vdxu'
dxxvxuxvxudxxvxu )()(')()()(')(
vduuvudv
xxpexpxxpxxp x ln)(,)(,cos)(,sin)(
Primer. Izračunajte dani integral.
xdxx cos
3.8. Določeni integral
Kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?
Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in pozitivna.
Interval [a, b] razdelimo na n podintervalov
Širine podintervalov so
Naj bo ∆ širina največjega podintervala:
bxxxxa n 210
nkxxk kk ,,2,1,: 1
nkk ,,2,1;max:
Na vsakem podintervalu si izberimo poljubno vrednost
in zapišimo vsoto ploščin pravokotnikov
je Riemannova ali integralska vsota.
IZREK. Zaporedje Riemannovih vsot jekonvergentno.
n
kkknnn ffffP
12211 )()()()(
nkkk xxxxxx 122110
nP
,, 21 PP
DEFINICIJA. Določeni integral funkcije f na intervalu[a, b] je
Oznake: a – spodnja meja določenega integrala,b – zgornja meja določenega integrala,[a, b] – integracijski interval.
n
kkk
b
an
fdxxf10
)(lim)(
Geometrijska interpretacija določenega integrala
Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je enakploščini lika, omejenega s krivuljo y = f(x) in osjo x naintervalu od a do b.
DEFINICIJA. Funkcija f je integrabilna na intervalu[a, b] natanko tedaj, ko obstaja določeni integral
b
a
dxxf .)(
Lastnosti določenega integrala
Naj bo funkcija f integrabilna na intervalu [a, b]. Tedajvelja
1.
POSLEDICA. Če je ima funkcija f na intervalu [a, b] oba predznaka, je ploščina med krivuljo in osjo x enaka
b
a
dxxfbaxxf 0)(, vsak za 0)(
b
a
dxxfbaxxf 0)(, vsak za 0)(
b
a
dxxfP )(
2.
3. Naj bo a < c < b. Tedaj velja
(Posplošitev: točka c lahko leži tudi zunaj intervala [a, b].)
4.
5. Oznaka integracijske spremenljivke v določenem integralu je irelevantna:
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
0)( a
a
dxxf
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf )()()(
IZREK O POPREČNI VREDNOSTI
Če je funkcija f na na intervalu [a, b] integrabilna in jeM natančna zgornja meja, m pa natančna spodnja mejafunkcije f na intervalu [a, b], obstaja natanko določenoštevilo , tako da velja
Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna, obstaja natem intervalu vsaj eno število ξ [∈ a, b], tako da je
f
).()( abfdxxfb
a
).()()( abfdxxfb
a
Zveza med določenim in nedoločenim integralom
Določeni integral kot funkcija zgornje meje
Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] integrabilna in naj bo x [∈ a, b]. S predpisom
je definirana funkcija F: [a, b] → IR (določeni integralje funkcija zgornje meje).
x
a
dttfxF )(:)(
IZREK. Funkcija F je zvezna na intervalu [a, b].
IZREK. Če je funkcija f zvezna na intervalu [a, b], je funkcija Fodvedljiva in velja
F ’(x) = f(x) za vsak x [∈ a, b].
IZREK. Newton – Liebnitzova formula
POSLEDICA. Določeni integral obstaja pri vsaki zvezni funkciji.
Primer. Izračunajte dani določeni integral. Rezultat geometrijsko interpretirajte.
)()()( aFbFdxxfb
a
2
0
2dxx
3.9. Uporaba določenega integrala3.9.1. Ploščina med krivuljama
Predpostavke:
• funkciji f in g naj bosta integrabilni, • naj bosta x1 in x2 rešitvi enačbe f(x) = g(x), pri tem pa naj bo x1 < x2,• naj bo f(x) > g(x) za vsak x [∈ x1, x2].
Ploščina lika, ki ga oklepata krivulji y = f(x) in y = g(x) je tedaj enaka
2
1
))()((x
x
dxxgxfP
Primer. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij
in .
2)( xxf xxg )(
3.9.2. Prostornina vrtenine
Funkcija f naj bo integrabilna na intervalu [a, b ]. Krivuljo y = f(x) zavrtimo okrog osi x. Prostornina takonastale vrtenine (rotacijskega telesa) je
b
a
dxxfV )(2
Primer. Lik, ki ga omejujeta os x in graf funkcije na
intervalu , zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino
nastale vrtenine.
xxf )(
4,0
Vprašanja, naloge
1. S primerom in sliko ponazorite izrek o povprečni vrednosti funkcije na danem intervalu. Kakšen je geometrijski pomen vrednosti ?
2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo abscisna os in grafa funkcij in . Izračunano ploščino še ocenite s ploščino trikotnika, ki ima osnovnico na abscisni osi med temenoma danih krivulj in vrh v presečišču teh krivulj. Kolikšni sta absolutna in relativna napaka ocene? Krivulji, lik in trikotnik tudi skicirajte.
f
b
a
dxxfab
f )(1
2xy 2)2( xy
3. Z določenim integralom izračunajte ploščino trikotnika s stranicami dolžine 3, 4 in 5.
4. Z določenim integralom izračunajte prostornino valja s polmerom dolžine 3 in višino dolžine 5.