折り紙の数理と形状設計

鶴田直也 東京工科大学

2015.10.9 数理人

自己紹介 (1/2)

• 名前: 鶴田直也

• 研究内容: – コンピュータグラフィックス

– インタラクティブアプリケーション

–形状モデリング

–計算折紙

• 略歴: – 2012.4-2015.3: 筑波大学博士課程

– 2015.3-:東京工科大学 助手

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自己紹介 (2/2)

• 出没する学会、研究会

–折紙の科学・数学・教育研究集会

• 東京、年2回

–日本図学会大会

–応用数理学会年会

• 折紙工学の研究部会

–情報処理学会GCAD研究会

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今日のお話

• 折り紙の研究とは

–計算機による折紙設計

–折り紙研究の紹介

• 最近の話題

• 鶴田の取り組み

–折りたたみパターンの列挙

–立体的な曲げ形状設計

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計算機上での形状設計

• CG（コンピュータグラフィックス）

–視覚的な画像、映像用途

–自由なモデリングが可能

• CAD（コンピュータ支援設計）

–現実の物体をモデリング

–物理的な制約を考える 必要がある

Autodesk, Inc.

Blender Foundation

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計算機上での折紙の形状設計

• 紙の折り曲げによる形のデザイン

• 計算機上で扱う利点:

–手作業による試行錯誤の軽減

–平坦に折り畳めるように形状を自動修正

–折り畳み方のシミュレーション

[Mitani 2011] 6

計算機によって設計された折紙

[Tachi 2008] [Mitani 2009] [Lang 2004]

Air bag simulation [Lang 1999] [Mitani, Issey Miyake 2010] Solar sail [JAXA]

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「折紙の形状設計」の課題

• 設計可能な領域が制限される

–設計可能な世界の解明

–埋没しているであろう価値ある形状の発見

CG

CAD

設計可能な領域の包含関係

ペーパークラフト

折り紙

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本研究の目的

• これまで知られてこなかった折紙でできる 新しい形状を見つけ出す

–計算機による設計支援

• 作品創作や工学応用の起点となりうる 折紙の資産の積み上げ

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関連分野 - 折紙の世界

2D 平坦に折り畳み可能

1D 細長い紐や帯の折り畳み

3D 立体的な形状

[Douglas et al.] ユニット折り紙

[Huffman]

テセレーション[Gjerde]

一般的な折り紙作品

剛体折り [Tachi]

[Umesato et al.]

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切り起こしによるコアパネル製造

• 切り込みを許容し、 折り工程のみで製造

–従来必要だった接着 作業が不要に

11 従来手法（左）と折紙式製造法（右） [Saito et al. 2014]

本発表の「折紙」の指す範囲について

• 糊付けによる接着は不可

–ペーパクラフトは含まない

• 切り込みの可否は？

–まだ十分に議論されていない新しい領域

切り込みなし 切り込みあり 複数部品の接着あり

古典折紙 切り起こし 折り紙建築 ポップアップ・カード 紙工作

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最近の話題 (1/2)

• 2方向に折りたたみ可能な構造

–建築物や構造物への応用

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世界のORIGAMIはすごい。超頑丈で伸縮自在の折り紙構造物 : ギズモード・ジャパン http://www.gizmodo.jp/2015/09/origami.html @gizmodojapanさんから

最近の話題 (2/2)

• 衣類のデザインやトラスコアへの応用

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“Origami” から生まれる世界的な技術革新 | nippon.com: http://www.nippon.com/ja/currents/d00161/#.Vhdfo-Ozec4.twitter

後半の内容

• 折り畳みパターンの列挙

–膨大な山折り谷折りの組み合わせが存在

• 最適化による立体的な折紙形状の設計

–幾何的な拘束を満たす形状を自動的に計算

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折り畳みパターンの列挙

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Stamp Folding と Map Folding

• Stamp Folding (1D)

–等間隔に配置された山谷の折り線

–紙の重なり順が異なる折り方は何通りあるか

• Map Folding (2D)

–グリッド上に配置された山谷の折り線

–平坦に折り畳めるかどうかの判定はNP完全[Arkin et al. 2004]

Map Folding のイメージ 17

折り畳み形状列挙 [Tsuruta et al. 2012]

• 本研究の貢献

– 紙を折る操作や折る回数を制限することで、 4回以下の折りで可能な形状を列挙

– 紙を折り畳んだ形状を自動生成する アルゴリズムの考案

–得られた形状群からコンピュータで自動生成された新しい折紙作品を発見

自動生成した形状のリストと発見した鳥のモデル 18

列挙アルゴリズム概要

• 全7通りの折り紙の公理 （折り紙のカドや辺を参照要素とする折り方）のうち3つを使用 – 残りの折り方は一般に用いられないため除外

• 3通りの折り方について、可能な参照要素の組み合わせをすべて試行

19 (A) 2点を通る (B) 2点を重ねる (C) 2辺を重ねる

折紙の公理 [Justin 91, Huzita 91]

• 点と直線の組み合わせ

–注: 現在は折りたたみが成立しない条件がある ことがわかっている

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列挙された形状 [Tsuruta et al. 2012]

1回折り

2回折り

3回折り 4回折り

21 PDF is available on my web -> http://grusfield.com/tsuruta/origami/lists/

スリットを含む平板素材の 曲げ形状設計

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背景

• 平板素材を用いた 設計の利点

素材の無駄を減らす

接続部材が少ない

設計の自由度が低い

[Flux Furniture B.V. 2010]

[FUCHS+FUNKE Industrial Design 2007]

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対話的な可展面の設計

平面曲線での折り曲げ [Mitani and Igarashi 11]

帯状の曲げ [Bo and Wang 08]

展開図と立体形状の同時編集 [Solomon et al. 12]

折りの鋭さの調整 [Zhu et al. 13]

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折り曲げの幾何的なモデリング

• 平面四辺形メッシュによる可展面の 離散表現 [Liu et al. 06]

• 平板の集合による形状モデリング [Pottmann 08]

可展面の離散表現 [Liu et al. 08]

平板の折り曲げによる実際の建築物と それを模したCG [Pottmann et al. 08] 25

平面四辺形メッシュ

• 平面四辺形（Planar Quads）メッシュ

– ４つの頂点が同一平面に乗るような四辺形集合

• 各頂点座標が満たすべき拘束条件の関数をGauss-Newton法（など）で最小化

–行列の大きさはメッシュサイズに依存

𝑓𝑝𝑞 ≔ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑎0, 𝑏1 , 𝑠𝑒𝑔 𝑎1, 𝑏02= 0

𝑠𝑒𝑔 𝑎, 𝑏 : 𝑎𝑏 間の線分 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑠, 𝑣 : 𝑠𝑣 間の距離

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スリット入り素材の折り曲げ [Tsuruta et al. 2013]

• 本手法の貢献

–スリットを含む素材の折り曲げに着目

–対話的な設計システムを提案

–幾何拘束を自動的に満たすための最適化手法の実現

開発したシステムの実行画面 27

概要

• 対象とする形状: 複数のスリットを含む左右対称な長方形素材

• 曲げ形状を対話的に編集するシステムの提案

– 幾何的な拘束は最適化によって自動的に満たされる

対称平面

素材の展開図と曲げ形状のイメージ 28

デモ

29

対象とする展開図

• 展開図は L1 から L4 の数値とストリップの 本数N で定義

–スリット幅は等間隔

展開図の定義 30

ストリップの折り曲げ

• ストリップは 𝑀 + 1 個の折り線E を持つ

• 折り線E は平面上の位置と角度からなる 𝑬= { 𝒙𝑳, 𝒙𝑹, 𝜽}

平面上の折り線 逐次的に曲げることで3次元形状を計算

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幾何的な制約

• ストリップの始点はユーザによって定義

• 終端は対称平面上に乗らなければならない

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最適化

• 勾配法で 𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 を最小化

𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 = 𝑤1𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 +𝑤2𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ+ 𝑤3𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 + 𝑤4𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙

1. 素材の位置拘束 2. 曲げの滑らかさ

3. 四辺形の縮退 4. ユーザ指定の位置拘束

初期状態の折り線と最適化後の折り線 33

1. 終端の位置拘束

• 全体形状が左右対称であり、鏡像と連結することで得られるため、対称平面との距離

𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 ≔ (𝑣𝐿,𝑛)𝑥2+ (𝑣𝑅,𝑛)𝑥

2

をゼロにする

終端と対称平面との距離 34

2. 曲げの滑らかさ

• 折り角度の差分を少なくし、対称面と直交するように

𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ ≔ −𝜃𝑖−1 + 2𝜃𝑖 − 𝜃𝑖+12 + 𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ≔ 𝑣𝐿,𝑛−1 − 𝑣𝐿,𝑛 ∙ 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒_𝑜𝑓_𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦2

隣接する折り線の角度差と対称平面に接する角度を制御 35

3. 四辺形の縮退排除

• ストリップの四辺形が三角形に縮退する （折り線が交差する）ことを防ぐ

𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 ≔ 1

𝑥𝐿,𝑖 − 𝑥𝐿,𝑖−1+

1

𝑥𝑅,𝑖 − 𝑥𝑅,𝑖−1

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4. ユーザ指定の頂点位置拘束

• 対称面上の位置と各頂点の位置を指定

𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 ≔ 𝑣𝐿,𝑖 − 𝑣′𝐿,𝑖2+ 𝑣𝑅,𝑖 − 𝑣

′𝑅,𝑖2

+ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣𝐿,𝑛, 𝑐𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦 + 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣𝑅,𝑛, 𝑐𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦

ユーザによる位置指定 37

ストリップの細分割

• より滑らかな曲面と詳細な編集

–折り線の数を増加

–細分割後に最適化を実行

Subdivide optimize

細分割と最適化による滑らかな曲面

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結果 （1/2）

• ストリップ 6本 と 10本 の椅子モデル

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結果 （2/2）

• ストリップ 9本のモニュメント

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誤差

• 最適化のため微小な誤差が含まれる

• 誤差E は鏡像とのズレの最大値G から計算 𝐸 = 𝐺/(𝐿2 + 𝐿3)

誤差: 0.15% （全体形状に 対するズレの大きさ）

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測定点群への近似

• 紙で制作したモデルを3次元測定

– 得られた点群に近づけるような拘束条件を追加

3次元測定データ 出力 測定データを部分的に抽出したものと編集中の形状

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妥当性の検証

• 伸縮しない紙を設計した形状に一致させられることの確認

–厚みの考慮をしていないため、長さがわずかに 足りなかった

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3Dプリントした型と画用紙を張り合わせた様子 寸法(W/H/D): 247 × 233 × 179mm

実制作

• 紙のみで目的の形を保持することは難しい

–折り目がなく、力学的な平衡点に落ち着くため

• 部分的なサポートが必要

44 建築家らによる紙を用いた試作

まとめ

• 折紙研究の概説

–幅広い折紙の世界と工学的な応用

• 折り畳みパターンの列挙

–紙の重なりが生み出す膨大なパターン

• 最適化による立体的な折紙形状の設計

–平面四辺形で構成された幾何モデル

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