Nama Kelompok:

1. Indah Oktriani

2. Novelia Citra Resmi

3. Sherly Oktaviani

4. Nurwasilah

Tugar Geometri Analitik Datar dan Ruang (Rawuh, 18-19)

21. Tentukan PGL yang melalui (0, -1) dan tegak lurus garis y = 2x.

Jawab:

y = 2x, maka m = 2. Karena tegak lurus

m1m2 = −1

2 m2 = −1

m = −1

2

y = mx + c

−1 = −1

2(0) + c

−1 = 0 + c

c = −1

y = mx + c

= −1

2x − 1

Jadi PGL nya adalah y = −1

2x − 1

22. Tentukan PGL yang melalui (2, 1) dan sejajar garis x + 2y + 3 = 0.

Jawab:

Karena sejajar, maka m1 = m2

x + 2y + 3 = 0

2y = − x − 3

y = −x−3

2

m = −1

2

y = mx + c

1 = −1

2(2) + c

1 = −1 + c

c = 2

y = mx + c

= −1

2x +2

Jadi, PGL nya adalah y = −1

2x +2

23. Tentukan PGL yang melalui (2, 0) dan yang bersudut 450 dengan garis y = 2x.

Jawab:

Misalkan m1 kemiringan (gradient) garis l1 yang akan dicari. Diketahu garis yang yang diminta

membentuk sudut 450 dengan gradient

l2 y = 2x

m2= 2

dalam hal ini ada dua kasus garis yang memenuhi sifat garis yang dicari yaitu:

Kasus 1

Jika 𝜃 = Sudut (l1 , l2) = 450 Jika 𝜃 = Sudut (l2 , l1) = 45

0

tan 𝜃 = m2−m1

1+m1 m2 tan 𝜃 =

m1−m2

1+m1 m2

tan 450 =

2−m1

1+m12 tan 45

0 =

m1−2

1+m1 2

1 = 2−m1

1+2m1 1 =

m1−2

1+2m1

M = 1

3 m = −3

Karena garis melalui titik (2, 0) dan

mempunyai gradient, m = 1

3 maka,

Karena garis melalui titik (2, 0) dan

mempunyai gradient, m = −3 maka,

y − 0 = 1

3(x − 2)

y − 0 = −3(x − 2)

y − 0 = 1

3x −

2

3 y − 0 = −3x + 6

Y = 1

3x −

2

3 atau y = −3x + 6

3y = x − 2

24. Buktikan, bahwa dalam ∆ABC (lihat soal no. 5) dua sisi tegak lurus sesamanya

Jawab:

mAC = y2−y1

x2−x1 mBC =

y2−y1

x2−x1

= 2−1

2−(−5) =

2−(−5)

2−3

= 1

7 = −7

Jika kedua garis berpotongan tegak lurus maka

m1 m2 = −1

1

7− 7 = −1 (terbukti ACBC)

25. Tentukan persamaan garis tinggi dari C (soal no.5).

Jawab:

AC = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 BC = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

= (−5 − 2)2 + (1 − 2)2 = (3 − 2)2 + (−5 − 2)2

= (−7)2 + 12 = 12 + (−7)2

= 49 + 1 = 1 + 49

= 50 = 50

Karena panjang AC = BC, maka garis tinggi dari C membagi garis AB sama panjang.

Titik tengah AB, misal D

D = (x1+x2

2 ,

y1+y2

2) = (

−5+3

2 ,

1+(−5)

2) = (

−2

2 ,

−4

2) = (−1 , −2)

y−y1

y2−y1 =

x−x1

x2−x1

y−2

−2−2 =

x−2

−1−2

y−2

−4 =

x−2

−3

−3y + 6 = −4x + 8

−3y = −4x + 8 − 6

−3y = −4x + 2

y = −4x+2

−3

y = 4x−2

3

Jadi, PGL nya adalah y =4x−2

3

26. Tentukan persamaan garis berat dari A (soal no. 5).

Jawab:

Garis berat adalah garis yang membagi sisi didepan sudut menjadi sama panjang. Titik tengah BC misal

D, maka

D = (x1+x2

2 ,

y1+y2

2) = (

2+3

2 ,

2−5

2) = (

5

2 ,

−3

2) = (2.5 , −1.5)

y−y1

y2−y1 =

x−x1

x2−x1

y−1

−1.5−1 =

x−(−5)

2.5−(−5)

y−1

−2.5 =

x+5

7.5

7.5y − 7.5 = −2.5x − 12.5

7.5y = −2.5x − 12.5 + 7.5

7.5y = −2.5x − 5 (x2)

15y = −5x − 10 (:5)

3y = −x − 2

x + 3y + 2 = 0

27. Apakah ke tiga titik (1, -3), (4, 3), dan (2, -1) terletak pada satu garis?

Jawab:

Iya.

28. Apakah suatu garis lurus yang ditentukan oleh (2, -3) dan (-4, 5) melalui titik pangkal O?

Jawab:

y−y1

y2−y1 =

x−x1

x2−x1

y−(−3)

5−(−3) =

x−2

−4−2

y+3

8 =

x−2

−6

−6y − 18 = 8x − 16

−6y = 8x − 16 + 18

−6y = 8x + 2

y = 8x+2

−6

y = −4x−1

3

0 = −4(0)−1

3

0 = −1

3

0 ≠ −1

3

Itu berarti PGL dari titik-titik (2, -3) dan (-4, 5) tidak melalui titik pangkal O

29. Apakah artinya y = ax + b dan y = 3x + a, bila a dapat berubah-ubah?

Jawab:

y = ax + 3 adalah garis-garis yang yang berputar melalui titik 0,3.

y = 3x + a adalah garis-garis yang sejajar denga y = 3x, karena memiliki gradien yang sama. Suatu garis

akan sejajar dengan garis yang lain apabila m1 = m2

30. Selidiki, apakah titik-titik (2, -3) dan (-3, 4) terletak pada garis 3x + 2y + 1 = 0.

Untuk titik (2, -3) Untuk titik (-3, 4) 0

3x + 2y + 1 = 0 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

3(2) + 2(−3) + 1 = 0 3(−3) + 2(4) + 1 = 0

6 − 6 + 1 = 0 −9 + 8 + 1 = 0

1 ≠ 0 0 = 0

Titik (2, -3) tidak melalui garis 3x + 2y + 1 = 0 karena tidak memenuhi PGL tersebut. Titik (-3, 4)

adalah titik yang melalui garis 3x + 2y + 1 = 0 yang melalui PGL tersebut.

Dalam hal manakah garis y = 3x + a melalui titik (2, 2)?

y = 3x + a

2 = 3 2 + a

2 = 6 + a

a = −4

Pada saat a = −4, maka PGL tersebut melalui titik (2, 2).

31. Tetukan titik potong garis x + 2y – 3 = 0 dengan sb-x; juga dengan sb-y

Jawab:

Tipot pada sb-x, maka y = 0 Tipot pada sb-y, maka x = 0

x + 2y − 3 = 0 x + 2y − 3 = 0

x + 2(0) − 3 = 0 0 + 2y − 3 = 0

x − 3 = 0 2y = 3

x = 3 y = 3

2≈ 1.5

32. Tentukan sebuah titik C pada garis y = -2x, sehingga AC = BC, jika A(5, 1) dan B(3, 7).

Jawab: y = -2x (2x + y = 0)

Karena AC = BC, maka agar AC = BC kita dapat mencari titik tengah AB (misal D) terlebih dahulu

D = (x1+x2

2 ,

y1+y2

2) = (

5+3

2 ,

1+7

2) = (

8

2 ,

8

2) = (4, 4)

mAB = y2−y1

x2−x1 m1 m2 = −1

= 7−1

3−5 −3 m2 = −1

= 6

−2 m2 =

1

3

= −3

y = mx + c Kita gunakan metode eliminasi subtitusi

4 = 1

3(4) + c 2x + y = 0 (x1) 2x + y = 0

4 = 4

3+ c −x + 3y = 8 (x2) 2x +

16

7 = 0

c = 8

3

2x + y = 0 2x = −

16

7

y = mx + c

−2x + 6y = 16 +

x = −8

7

= 1

3x +

8

3 7y = 16

3y = x + 8 −x + 3y = 8 y = 16

7

Jadi titik C adalah (−8

7 ,

16

7)

Pembuktian:

AC = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 BC = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

= (5 +8

7)2 + (1 −

16

7)2 = (3 +

8

7)2 + (7 −

16

7)2

= (35+8

7)2 + (

7−16

7)2 = (

27+8

7)2 + (

49−16

7)2

= (43

7)2 + (−

9

7)2 = (

29

7)2 + (

33

7)2

= 1849

49+

81

49 =

841

49+

1089

49

= 1930

49 =

1930

49

Terbukti bahwa AC = BC, berarti titik C (−8

7 ,

16

7).

33. Bilamana garis-garis ax + by + c = 0 dan px – qy – r = 0 berpotongan? Sejajar? Berimpit? Tentukan titik

potong garis-garis x + 2y + 3 = 0 dan y = x – 3.

Jawab:

garis-garis ax + by + c = 0 dan px – qy – r = 0 akan:

Berpotongan apabila a

p≠

b

−q

Sejajar apabila a

p=

b

−q≠

c

−r

Berimpit apabila a

p=

b

−q=

c

−r

Titik perpotongan garis-garis x + 2y + 3 = 0 dan y = x − 3

x + 2y + 3 = 0 x + 2y = −3 dan y = x − 3 − x + y = −3

x + 2y = −3 x + 2y = −3

−x + y = −3 +

x + 2(−2) = −3

3y = −6 x − 4 = −3

y = −2 x = 1

Jadi, titik potongnya adalah (1, −2)

34. Tentukan PGL yang melalui (2, 2) dan yang bersudut 450 dengan garis x – 2y + 3 = 0.

Jawab:

Misalkan m1 kemiringan (gradient) garis l1 yang akan dicari. Diketahui garis yang yang diminta

membentuk sudut 450 dengan gradient

l2 x – 2y + 3 = 0

m2= 1

2

dalam hal ini ada dua kasus garis yang memenuhi sifat garis yang dicari yaitu:

Kasus 1

Jika 𝜃 = Sudut (l1 , l2) = 450 Jika 𝜃 = Sudut (l2 , l1) = 45

0

tan 𝜃 = m2−m1

1+m1 m2 tan 𝜃 =

m1−m2

1+m1 m2

tan 450 =

1

2−m1

1+m1 1

2

tan 450 =

m1−1

2

1+m1 1

2

1 = 2−m1

1+1

2 m1

1 = m1−

1

2

1+1

2m1

m = −1

3 m = 3

Karena garis melalui titik (2, 2) dan

mempunyai gradient, m = −1

3 maka,

Karena garis melalui titik (2, 2) dan

mempunyai gradient, m = 3 maka,

y − 2 = −1

3(x − 2)

y − 2 = 3(x − 2)

y − 2 = −1

3x +

2

3 y − 2 = 3x − 6

y = −1

3x −

2

3+ 2 y = 3x − 6 + 2

y = −1

3x + 8 atau y = 3x − 4

3y = −x + 8

35. Diketahui jajaran genjang ABCD dengan A(-1, 1), B(5, 4), dan D(0, 6). Tentukan titik C dan luas

ABCD

Jawab:

Untuk mencari titik C, mula-mula kita mencari gradient dari AB dan gradient AD, kemudian kita

tentukan PGL dari gradient AB yang sejajar garis AB melalui titik D dan kita tentukan PGL dari

gradient AD yang sejajarAD melalui titik B. Setelah dapat kedua PGL tersebut lalu kita tentukan titik

potong dari kedua garis tersebut yaitu titik C

mAB = y2−y1

x2−x1 mAD =

y2−y1

x2−x1

karena sejajar, maka m1 = m2 =

4−1

5−(−1) =

6−1

0−(−1)

= 3

6 =

5

1

= 1

2 = 5

PGL yang sejajar AB melalui titik D (0, 6) PGL yang sejajar AD melalui titik B (5, 4)

y = mx + c y = mx + c

6 = 1

2 0 + c 4 = 5(5) + c

6 = c 4 = 25 + c

c = 6 c = −21

y = 1

2x + 6 y = 5x − 21 − 5x + y = −21

2y = x + 12 − x + 2y = 12

Metode eliminasi subtitusi

−x + 2y = 12 (x1) y = 5x − 21

−5x + y = −21 (x2) = 5(6) − 21

−x + 2y = 12 = 30 − 21

−10x + 2y = −42 = 9

9x = 54

x = 6 Titi C (6, 9)

x y

A 1 1 1(4) 1(5) = 4 5 = −9

B 5 4 5(9) 4(6) = 45 24 = 21

C 6 9 6(6) 9(0) = 36 0 = 36

D 0 6 0(1) 6(1) = 0 + 6 = 6 +

A 1 1 54

L =54

2= 27

36. Diketahui ∆ABC dengan A(-1, -2) dan B(7, 2). Garis tinggi dari C melaui (0, 1), sedangkan AC = 5 2.

Tentukan C dan jari-jari lingkaran luarnya.

Jawab: jika diketahui panjang AC = 5 2 , garis tinggi melalui C dan memotong garis AB di D berarti

panjang AD = DC = 5 dengan siku-siku di D (perpotongan garis AB dan garis tinggi yang melalui titik

(0, 1).

cos 𝜃 = AD

AC

= 5

5 2

= 1

2 2

𝜃 = 450

Persamaan garis AB

y−y1

y2−y1 =

x−x1

x2−x1 m1 m2 = −1

y−(−2)

2−(−2) =

x−(−1)

7−(−1)

1

2 m2 = −1

y+2

4 =

x+1

8 m2 = −2

8y + 16 = 4x + 4

8y = 4x + 4 − 16 y = mx + c

8y = 4x − 12 1 = −2 0 + c

2y = x − 3 1 = c

m = 1

2 y = −2x + 1

−x + 2y = −3

Titik potong D

−x + 2y = −3 (x 2) 2x + y = 1

2x + y = 1 (x 1) +

2x − 1 = 1

−2x + 4y = −6 2x = 2

2x + y = 1 x = 1

5y = −5 D (1, -1)

y = −1

Titik C

x = x1 + AC cos θ y = y1 − AC sinθ

= −1 + 5 2 (1

2 2) = −2 − 5 2 (

1

2 2)

= −1 + 5 = −2 − 5 = 4 = −7 Titik C1 (4, -7)

A

C

D

Jika kita rotasikan dengan = 1800 , maka akan diperoleh satu titik lagi, yaitu:

x′ − h = x − h cos 𝜃 − y − k sin θ

x′ − 1 = 4 − 1 cos 180 − −7 + 1 sin 180

x′ − 1 = 3 −1 + 6(0)

x′ − 1 = −3

x′ = −2

y′ − k = x − h sin 𝜃 + y − k cos θ

y′ + 1 = 4 − 1 sin 180 + −7 + 1 cos 180

y′ + 1 = 3 0 − 6(−1)

y′ + 1 = 6

y′ = 5

Titik C2 (-2, 5)

Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah 5

37. Selidiki, apakah garis-garis x + 2y + 3 = 0, 3x + 2y + 1 = 0 dan y + 2x = 0 melalui satu titik. Titik

manakah itu?

Jawab:

x + 2y + 3 = 0 x + 2y = −3

3x + 2y + 1 = 0 3x + 2y = −1

x + 2y = −3 x + 2y = −3

3x + 2y = −1 −

1 + 2y = −3

−2x = −2 2y = −4

x = 1 y = −2

Titik potongnya adalah (1, -2)

y + 2x = 0

−2 + 2(1) = 0

0 = 0

Ketiga garis tersebut melalui satu titik yaitu titik (1,-2)

38. Dalam hal manakah ketiga garis ax + 2y + 3 = 0, y = -2 dan x = 1 tidak melalui satu titik?

Jawab:

ax + 2y + 3 = 0

a 1 + 2 −2 + 3 = 0

a − 4 + 3 = 0

a − 1 = 0

a = 1

Agar ketiga garis tersebut tidak melalui satu maka pada saat a ≠ 1

39. Tentukan persamaan garis sumbu segment garis AB, kalau A(3, 1) dan B(1, -3).

Jawab:

Garis sumbu adalah garis membagi suatu garis menjadi dua sama panjang, sekaligus tegak lurus

terhadap garis tersebut.

Titik tengan AB (misal D)

D = (x1+x2

2 ,

y1+y2

2) = (

3+1

2 ,

1+(−3)

2) = (2 , −1)

mAB

= y2−y1

x2−x1 mAD m2 = −1

= −3−1

1−3 2 m2 = −1

= −4

−2 m2 = −

1

2

= 2

y = mx + c y = mx + c

−1 = −1

2(2) + c

y = −

1

2x + 0

−1 = −1 + c y = −1

2x

c = 0

Jadi, persamaan garis sumbunya adalah y = −1

2x

40. Tentukan persamaan kedua garis yang melalui P(-2, 5) sedemikian, sehingga titik-titik A(3, -7) dan

B(-4, 1) berjarak sama terhadap garis itu.

Jawab:

Persamaan garis yang melaui titik P dan berjarak sama terhadap titik A dan B adalah garis yang sejajar

dengan titik-titik tersebut dan garis yang melalui titik tengah AB.

a. Garis yang sejajar AB

mAB = y2−y1

x2−x1

= 1−(−7)

−4−3 m1 = m2

= 8

−7 m2 = −

8

7

= −8

7

y = mx + c y = mx + c

5 = −8

7(−2) + c

y = −

8

7x +

19

7

5 = 16

7+ c 7y = −8x + 19

c = 19

7

b. Garis yang melaui titik tengah AB (misal C)

D = (x1+x2

2 ,

y1+y2

2) = (

3+(−4)

2 ,

−7+1

2) = (

−1

2 ,

−6

2) = (−0.5 , −3)

y−y1

y2−y1 =

x−x1

x2−x1

y−5

−3−5 =

x−(−2)

−0.5−(−2)

y−5

−8 =

x+2

1.5

1.5y − 7.5 = −8x − 16

1.5y = −8x − 16 + 7.5

1.5y = −8x − 8.5 (x2)

3 y = −16x − 17

16x + 3y = −17